10 Ejercicios Resueltos Por El Método de Cross.pdf

RESISTENCIA DE MATERIALES 2

Teorema de tres momentos

Catedrático: Ing. Alejandro Vildoso Flores

VIDEO https://www.youtube.com/watch?v=CK7Zga31QJs

Preguntas

• ¿Para que se usa la ecuación de los TRES MOMENTOS?. • Resumir el Teorema de los TRES MOMENTOS.

• Colocar 5 espequemas de gráficas con sus rotaciones en los apoyos 1 y2

Este método se utiliza para resolver vigas continuas (figura 7.1,a) sometida a

diversos tipos de cargas.

En la figura 7.1,b se presentan separados los tramos respectivos de la viga, que se pueden tratar como vigas simplemente apoyadas con

momentos redundantes en sus extremos.

En caso general, los diagramas de momentos debidos a las cargas aplicadas tendrán áreas An y An+1 con sus centroides localizados como se muestra en la figura 7.2.

En caso que la sección sea constante, la Ecuación de los tres momentos para vigas continuas es:

Ec. 7.4

El procedimiento consiste entonces en tomar porciones de viga formadas por dos tramos consecutivos y aplicarles la ecuación 7.4. Resulta así, un sistema de ecuaciones cuya solución da los momentos en los apoyos. Una forma alterna de la Ecuación de los tres momentos se obtiene al observar que los términos de la derecha de la ecuación son simplemente las reacciones de las vigas conjugadas correspondientes (figura 7.3), multiplicadas por EI

Queda entonces:

Ec. 7.5

Para aplicar la ecuación anterior, resultan útiles tablas como la tabla 7.1,

que dan de una vez las reacciones de la viga conjugada para diversas solicitaciones de carga, siendo

tramos y

, respectivamente.

correspondiente a los

Cuando los extremos de las vigas descansan sobre apoyos simples o están en voladizo, se empieza por determinar los valores de la carga puntual y momento equivalente a la acción de dicho tramo.

En el caso que sea el apoyo empotrado, no se puede determinar a priori el valor del momento. En este caso, dado que la condición geométrica requerida es que la pendiente en dicho apoyo debe ser cero, se puede añadir una luz imaginaria adyacente al empotramiento L0 = 0, simplemente apoyada en el apoyo opuesto y de inercia infinita (figura 7.4)

La Ecuación de los tres momentos se puede extender para incluir el efecto de asentamientos diferenciales en los apoyos (figura 7.5)

PROBLEMAS • Graficar los diagramas de fuerza cortante, momento flector y refuerzo para la viga continua mostrada en la figura 7.6

SOLUCIÓN

• Resolver la viga continua de la figura 7.11, si es de sección constante.

SOLUCIÓN

Reemplazamos los efectos de las cargas en los voladizos por una carga puntual

y un momento en el apoyo más cercano (figura 7.12)

Ahora, graficamos los diagramas de fuerza cortante y momento flector,

teniendo en cuenta que las reacciones en los apoyos es igual a la suma de las reacciones en dicho apoyo de los tramos que convergen en el nudo.

• Resolver la viga de la figura 7.20, si es de sección constante.

figura 7.20

SOLUCIÓN

Como A y C son empotramientos, por ello adicionamos en cada lado un tramo ficticio de longitud cero y de inercia infinita (figura 7.21)

figura 7.21

• Resolver la viga de la figura 7.25, sabiendo que el apoyo B sufrió un asentamiento de 12mm. Considerar

figura 7.25

SOLUCIÓN Como A es un empotramiento, entonces adicionamos un tramo ficticio de longitud cero y de inercia infinita (figura 7.26)

figura 7.26

PROBLEMA PROPUESTO

Resolver la siguiente viga y graficar los diagramas de fuerza cortante, momento flector y refuerzo, considerando que es de sección constante.