(10) DEFORMACIÓN PLANA, TRANSFORMACIÓN DE LA DEFORMACIÓN PLANA, ROSETAS DE DEFORMACIÓN Y RELACIONES ENTRE LAS PROPIEDADES DEL MATERIAL.pptx

*Def or maci ónpl ana. *Ecuaci onesgener al espar al at r ansf or maci ón del adef or maci ónpl ana. *Roset asdedef or maci ón. *Rel aci onesent r el aspr opi edadesdel mat er i al . EPII UPT

Def ormaci ónPl ana •

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Eles t adogener aldedef orma maci ónenunpunt odeuncuer poser epr es ent ame medi ant e unacomb mbi naci óndet r escomp mponent esdel adef ormaci ónnormal ,yt r escomp mponent es del adef or maci óncort ant ey. d e f o r ma c i o ne s Las    enunpunt osuel endet er mi nar seme medi ant eelusodeme medi doresde r e c c i o ne se s p e c í fic a s . def ormaci ón,quemi mi denl adef ormaci ónnormalendi

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or ma c i ónp l a na. Pr i mer osees t udi arál adef

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Seconsi der ar ánl osef ect osdel asc omponent esy.

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Ent onces ,un el eme ment o con def ormaci ón pl ana se s ome met e a dos c omp mponent esde def ormaci ónnormalyaunac omp mponent ededef ormaci óncort ant e.

Def ormaci ónPl ana •

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Eles t adogener aldedef orma maci ónenunpunt odeuncuer poser epr es ent ame medi ant e unacomb mbi naci óndet r escomp mponent esdel adef ormaci ónnormal ,yt r escomp mponent es del adef or maci óncort ant ey. d e f o r ma c i o ne s Las    enunpunt osuel endet er mi nar seme medi ant eelusodeme medi doresde r e c c i o ne se s p e c í fic a s . def ormaci ón,quemi mi denl adef ormaci ónnormalendi

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or ma c i ónp l a na. Pr i mer osees t udi arál adef

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Seconsi der ar ánl osef ect osdel asc omponent esy.

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Ent onces ,un el eme ment o con def ormaci ón pl ana se s ome met e a dos c omp mponent esde def ormaci ónnormalyaunac omp mponent ededef ormaci óncort ant e.

Def ormaci ónPl ana •

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Aunquel adef orma maci ón yeles f uer zopl anost i enencada uno t r escomp mponent esque s e encuent r an en elmi smo plano. Larazóndeest ot i enequeverconef ect odePoi ss on. Sielel eme ment odel afigur a1s es omet ealesf uer zopl ano y, nosol osepr oducenl asdef orma maci onesnorma mal es y,si no a mb i é n  quet hayunadef orma maci ónnormalasoci ada,. v i t a r á Porl ot ant o,elef ect o de Poi sson e  l a ocur r enci a si mul t áneadedef ormaci ónpl ana,ame menosque F igur a1

Ecuaci onesgener al espar al at r ansf or maci óndel a def or maci ónpl ana Convenc i óndes i gnos •

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Pr i mer osedebeest abl ecerunaconvenci óndesi gnospar al ast r ansf ormaci ones. Enrel aci ónconelel ement odi f erenci almost r adoenl afigur a2( a) ,l as def o r ma c i o ne s on  sicausan e ol argodel osej es y ,y l a no r ma l e s y s  po s i t i va s l o ng ac i ó n al e s os   sielángul oi nt er i orAOB sevuel   a90°. de f o r ma c i ó nc o r t a nt e,  p i t i va v eme n o r Si guel aconvenci ónques eusaparaelesf uer zopl ano, posi t i voscausar ánqueel el ement osedef   enl asdi recci onesposi t i vas o r me Elpr obl emaesdet er mi narl asdef ormaci onesnormal esycor t ant esy enunpunt o, medi dasenrel aci ónconelej e,s isec onocen y medi dasenrel aci ónconej e,. Sielángul oent r el osej esy es,comoenelcasodelesf uerzopl ano,ser á i  po s i t i vos si guel acurvat ur adel osdedosdel amanoder echa,t i eneunsent i doant i horar i o comosemues t r aenl afigur a2( b) . Figura 2

Ecuaci onesgener al espar al at r ansf or maci óndel a def or maci ónpl ana Def or mac i onesnor malycor t ant e •

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Par adesar r ol l arl aecuaci ónparal at r ansf or maci óndel adef ormaci ón , sedebedet er mi narl ael ongaci ón deunsegment odel í nea quese encuent r aal ol ar godelej e yest ás omet i doal ascomponent esde def ormaci ón. Comosemues t r aenl afigur a3( a) ,l ascomponent esdel al í nea al o l argodel osej esy son

( 1) •

Cuandoocur r el adef or maci ónnor malposi t i va,l al í nea seal arga, figur a3( b) ,l oqueocasi onaquel al í neaseal argue. Figura 3

Ecuaci onesgener al espar al at r ansf or maci óndel a def or maci ónpl ana •

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Cuandosepr oduce,l al í neaseal arga,figur a3( c) ,l oque ocasi onaquel al í neaseal argue. Suponi endo que per manec e fij o en su posi ci ón, l a def or maci óncort ant e,queeselcambi oenelángul oent r ey, ocasi onaquel apart es uper i ordel al í nea sedespl ace al a der echacomosemues t r aenl afigur a3( d) . Est ohacequeseal argue.Siest ast r esel ongaci onessesuman, ent oncesl ael ongaci ónr esul t ant edees

Ecuaci onesgener al espar al at r ansf or maci óndel a def or maci ónpl ana •

Apart i rdel aecuaci ón,l adef or maci ónnor malal ol argodel al í neaes.

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Porl ot ant o,siseusal aecuaci ón( 1) ,set i ene ( 2)

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Laecuaci ón par al at r ansf or maci ón del adef or maci ón sepuededes ar r ol l ar consi der ando l a cant i dad de r ot aci ón que exper i ment a cada uno de l os segment os de l í nea y cuando es t án somet i dos a l as component es de t r ansf or maci ón.

Ecuaci onesgener al espar al at r ansf or maci óndel a def or maci ónpl ana •

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Pr i mer osec onsi der ar ál ar ot aci ónde ,quees t ádefini dapor elángul oensent i doant i horar i o ques emues t r aenl afigur a3 ( e ) . Puededet er mi nar s emedi ant eeldes pl azami ent ocausadopor usando.  Par a obt ener , se c onsi der a t r es component es de des pl azami ent oqueact úanenl adi r ecc i ón:unades de que r esuel t aen,figur a3( b) ;,queda,figur a3( c) ;ypor,que resul t aen,figur a3( d) .

Ecuaci onesgener al espar al at r ansf or maci óndel a def or maci ónpl ana •

Así ,pr ovocadaport odasl ascomponent esdedef ormaci ónes

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Aldi vi di rent r eyalusarl aecuaci ón1,como,set i ene ( 3)

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Comosemues t r aenl afigur a3( e) ,l al í neagi r aunacant i dad. Esposi bl edet er mi nares t eángul omedi ant eunanál i si ss i mi l ar ,osi mpl ement eal sust i t ui rporenl aecuaci ón3. Siseusanl asi dent i dades,set i ene

Ecuaci onesgener al espar al at r ansf or maci óndel a def or maci ónpl ana •

Dadoquey r epr es ent anl ar ot aci óndel osl adosy deunel ement odi f er enci alcuyos l adosest ánor i gi nal ment eor i ent adosal ol argodel osej es y,figur a3( e) ,ent oncesel el ement oses omet eaunadef ormaci óncor t ant ede ( 4)

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Siseusanl asi dent i dadest r i gonomét r i cas y,esposi bl eescr i bi rl asecuaci ones2y4 enl af ormafinal ( 5) ( 6)

Ecuaci onesgener al espar al at r ansf or maci óndel a def or maci ónpl ana •

Ecuaci onesgener al espar al at r ansf or maci óndel a def or maci ónpl ana •

Exi st esi mi l i t udent r el ast resecuaci onesant eri or esyl ascorr espondi ent esparal a t r ansf ormaci óndelesf uerzopl ano,ecuaci onesa,b,c. ( a) ( b) ( c)

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Porcompar aci ón corr es pondena;y cor r es pondena.

Ecuaci onesgener al espar al at r ansf or maci óndel a def or maci ónpl ana De f o r ma c i one spr i nc i pa l e s •

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Unel ement opuedeor i ent ar seenunpunt odemodoquel adef ormaci óndelel ement o seacausadasól opordef ormaci onesnormal es, def or maci onesc or t ant es. s i n  Lasdef ormaci onesnormal essedenomi nandef   y,sielmat eri ales o r ma c i o ne spr i nc i pa l e s i sot r ópi co,l osej esal ol argodel osc ual ess ucedenest asdef ormaci onescoi nci di r áncon l osej esquedefinenl ospl anosdeesf uer zopr i nci pal . Con baseenl asecuaci ones d ye,l adi r ecci óndelej e ydel osdosval or esdel as def or maci onespr i nci pal esy sedet er mi nanapart i rde ( d) ( 8)   ( e)( 9 )

Ecuaci onesgener al espar al at r ansf or maci óndel a def or maci ónpl ana Def or mac i ónc or t ant emáxi mae nelpl ano •

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Siseusanl asecuaci onesf ,g,h,l adi r ecci óndelej e,yl adef or maci óncor t ant e máxi maenelpl anoyl adef ormaci ónnormalpr omedi oasoci adas edet er mi nana part i rdel assi gui ent esecuaci ones: ( f ) ( 10) ( g) ( 11) ( h) ( 12)

Ecuaci onesgener al espar al at r ansf or maci óndel a def or maci ónpl ana Punt osi mpor t ant es •

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Encas odees f uer zopl ano,elanál i si sdel adef or maci ónpl anapuedeusar sedent r odel pl anodel oses f uer zospar aanal i zarl osdat osdel osmedi doresdedef ormaci ón. Cuandoeles t adodedef or maci ónes t ár epr ese nt adoporl asdef or maci onespr i nci pal es, sobr eelel ement onoact uar áni ngunadef or maci óncor t ant e. Eles t adodedef ormaci ónenunpunt opueder epr es ent ar s eent ér mi nosdel adef ormaci ón cor t ant emáxi maenelpl anoyt ambi énact úas obr eelel ement ounadef ormaci ónnormal promedi o. Elel ement o que r epr es ent al a def or maci ón cor t ant e máxi ma en el pl ano y sus def ormaci onesnor mal espr omedi oasoci adases t áa45°r es pect oal aor i ent aci óndeun el ement oquer epr esent al asdef or maci onespr i nci pal es.

Ej er c i c i o1 •

Un el ement o di f er enci aldemat er i alen un punt o es t á somet i do a un est ado de def ormaci ón pl ana defini do por,,,quet i endeadi s t or si onaralel ement ocomose mues t r aesl afigur a11( a) .Det er mi nel asdef or maci ones pr i nci pal esenelpunt oyl aor i ent aci ón

Figura 11

Ej er c i c i o1 Or i e n t ac i ónde le l e me n t o •

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Apart i rdel aecuaci ón8set i ene

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Porl ot ant o,y porl oquey

e nt i do a nt i ho r a r i o Cada uno de es t os ángul os s e mi de en s  po s i t i v o ,desdeelej e hast al asnor mal eshaci aaf uer aencada car adelel ement odel afigur a11( b) , •

Ej er c i c i o1 De f o r ma c i o ne sp r i n c i p al e s •

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Lasdef ormaci onespri nci pal essedet ermi nanapart i rdel aecuaci ón9.Seti ene

Esposi bl edet ermi narcuáldeest asdosdef ormaci onesdi st orsi onaelel ement oenl adi rec ci ón medi ant el aapl i caci ón del aecuaci ón5con.Así

Porl ot ant o,.Cuandoest ásomet i doadef ormaci onespri nci pal es,elel ement osedi st orsi onacomosemuest r aenl a figur a11( b) .

Roset asdedef or maci ón •

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Cuandoser eal i zaunapr uebadet ensi ónsobr eunapr obet a,l adef ormaci ónnormalen elmat er i alsemi deut i l i zandounmedi dord ede f or mac i ónder e s i s t e n c i ae l é c t r i c a .  Par aunacar gagener alsobr eun cuerpo l asdef ormaci onesen un punt osobr es u super fici el i br esedet er mi nanmedi ant eunconj unt odet r esmedi doresdedef ormaci ón deresi st enci ael éct ri ca,di spuest asenunpat r ónespecí fico. Es t epat r ónseconocec omor os e t adede f or mac i ón.

Comoest asdef ormaci onessemi densól oenelpl anodel osmedi dores,ypues t oqueel cuer poes t ál i br edeesf uer zoenl asuper fici e,l osmedi dor espuedensomet er seae s f ue r z o ,peronoadef .  pl a no o r ma c i ó np l a na •

Roset asdedef or maci ón •

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Losej esdel ost r esmedi doreses t ándi spues t osconl osángul os quese mues t r anelafigur a5( a) . Siset oman l asl ect ur as,esposi bl edet er mi narl ascomponent esde def ormaci ón en el punt o, apl i cando l a ec uaci ón ( 2) par al a t r ansf ormaci óndel adef ormaci ónencadamedi dor .

figur a5 (14) •

Losval or esde sedet ermi nan alr esol verest ast r esecuaci onesde maner as i mul t ánea.

Roset asdedef or maci ón •

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Lasr oset asdedef ormaci ónsedi sponenamenudoenpat r onesde45°o60°.En elcasode45°odel aroset adedef ormaci ón“rec t angul ar”quesemuest r aenl a figur a5( b) ,, porl oqueapart i rdel aecuaci ón14seobt i ene

Paral aroset adet r ansf ormaci óna60°most radaenl afigur a5( c) ,.Aquí ,l a ecuaci ón14da

(15)

figur a5

Ej er c i c i o2

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Eles t adodedef ormaci ón enelpunt oA sobr el aménsul ade l afigur a12( a)semi demedi ant el ar oset adedef or maci ón mos t r adaenl afigur a12( b) .Debi doal ascar gas,l asl ect ur as del osmedi doresdan , y.Det er mi nel asdef ormaci ones pr i nci pal esenelpl anoparaelpunt oyl asdi r ecci onesenl as queac t úan. Figura 12

Ej er c i c i o2 •

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Seut i l i zaranl asecuaci ones14.Alest abl ecerunej ecomoelmost r adoenl a figur a12( b)yalmedi rl osángul osensent i doant i horar i o desdeelej e haci al asl í neasdecent roacadamedi dor ,set i ene,y. Sisesust i t uyenest osr esul t adosj unt oconl osdat osdelpr obl emaenl as ecuaci ones,resul t a

( 1)

 ( 2)

( 3)

Figura 12

Ej er c i c i o2 • •

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Siseusal aecuaci ón1yser esuel vensi mul t áneament el asecuaci ones2y3,seobt i ene

Es t osmi smosr es ul t adost ambi énpuedenobt eners edemaner amásdi r ect aapar t i rdel a ecuaci ón15.

Ej er c i c i o2

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Las def or maci ones pr i nci pal es en el pl ano pueden det er mi nar semedi ant eelcí r cul odeMohr . Elpunt oderef erenci asobreelci r cul oest aes yelcent r o delcí rcul o,C,est asobreelej een,figur a12( c) .

Figura 12

Ej er c i c i o2

60,74. 5

153-119.16 (60+246)/2   =153

  =238. 32 Sent i doant i hor ari o

153+119.16 246,74. 5

Ej er c i c i o2 •

Apart i rdelt ri ángul ogri soscuro,elr adi oes

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Porl ot ant o,l asdef ormaci onespr i nci pal esenelpl anoson

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Elel ement odef ormadosemues t r aconl al í neadi sc ont i nuadel afigur a12( d) .

Figura 12

Rel aci onesent r el aspr opi edadesdelmat er i al •

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Sesupondr áqueelmat er i aleshomogéneoei sot r ópi co,yques ec omport adef orma el ás t i c ol i neal . Sielmat er i alses omet eenunpunt oaunest adodeesf uer zot r i axi al,Fi gur a6( a) ,se desar r ol l ar ándef or maci onesnor mal esas oci adas. Losesf uer zospuedenr el aci onars ec ones t asdef or maci onesusandoelpr i nci pi ode super posi ci ón,l ar azón de Poi ss on y l al ey de Hooke apl i cada en l a di r ecc i ón uni axi al ,. Seconsi der al adef or maci ónnor maldelel ement oen l adi r ecc i ón,causadaporl a apl i caci óni ndependi ent edecadaesf uer zonor mal .Cuandoseapl i ca.Fi gur a6( b) ,el el ement oseal ar gaenl adi r ecc i ón yl adef or maci ón es

Rel aci onesent r el aspr opi edadesdelmat er i al •

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Laapl i caci óndehacequeelel ement osec ont r ai gaconunadef or maci ón,figur a6( c) . Aquí Delmi smomodo,l aapl i caci ónde,figur a6( d) ,causaunacont r acc i óndemodoque

Rel aci onesent r el aspr opi edadesdelmat er i al • •

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Cuando est as t r es def ormaci ones nor mal es se super ponen,es posi bl e det er mi nar l a def ormaci ónnormalpar aeles t adodees f uer zoques emues t r aenl afigur a6( a) . Tambi énpuedendesar r ol l ar see cuaci oness i mi l ar espar al asdef ormaci onesnor mal esenl as di r ecci onesy.Losr esul t adosfinal essepuedenesc r i bi rcomo

(16) •

Es t ast r esecuaci onesexpr es anl asl eydeHookeenunaf ormagener alpar aunes t adode

Rel aci onesent r el aspr opi edadesdelmat er i al Rel aci ónquei nvol ucr anaE,vyG.Seest abl eci óqueelmódul odeel ast i ci dad ser el aci onaconel módul odec or t ant eenl aecuaci ón,as aber ,

Rel aci onesent r el aspr opi edadesdelmat er i al •

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Unaf ormadeobt eneres t arel aci ónesc onsi der arunel ement odel mat er i alqueest ar ásomet i doacor t ant epur o,figur a9( a) . Alapl i carl aecuaci ónl aecuaci ónespar aobt enerl osesf uer zos pri nci pal esseobt i eney. Es t eel ement odebees t aror i ent adocon ensent i doant i hor ari o desdeelej e,comosemues t r aenl afigur a9( b) . Sil ost r esesf uer zospr i nci pal es y sesust i t uyenenl aspr i mer a de l as ecuaci ones 16, l a def or maci ón pr i nci pal puede r el aci onarseconelesf uerzocor t ant e.Elr esul t adoes   ( 19)

Rel aci onesent r el aspr opi edadesdelmat er i al Di l at ac i ónymódul odevol umen. •

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Cuandounmat er i alel ást i coses omet eaes f uer zonormal ,su vol umencambi ar á. Porej empl o,consi der eun el ement odevol umenquees t á somet i doal osesf uerzospr i nci pal es. Sil osl adosdelel ement osonor i gi nal ment e,figur a10( a) , ent oncesdespuésdel aapl i caci óndelesf uer zosec onvi er t en en,figur a10( b) . Porl ot ant o,elcambi odevol umenenelel ement oes

Figura 10

Rel aci onesent r el aspr opi edadesdelmat er i al •

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Sinoset omanencuent al ospr oduct osdel asdef ormaci onesdebi doaqueés t asson muypequeñas.Set i ene

Elcambi o devol umen poruni dad devol umen seconocecomo l a “def ormaci ón vol umét r i ca”odilatación  .És t apuedeesc r i bi r sec omo

(20) •

Encompar aci ón,l asdef or maci onescort ant esno  modi ficar ánelvol umendelel ement o, si noques ól ocambi ar ásuf or mar ect angul ar .

Rel aci onesent r el aspr opi edadesdelmat er i al •

Además,sis eusal al eydeHookedeacuer doconl adefini ci óndadaporl aecuaci ón 16,esposi bl eescri bi rl adi l at aci ónenf unci óndelesf uerzoapl i cado.Set i ene

(21) •

Cuandounel ement odevol umendelmat er i alsesomet eal apr es i ónuni f orme deun l í qui do,l apr esi óns obr eelcuer poesi gualent odasdi r ecc i onesysi empr eesnor mala cual qui ersuper fici esobr el aqueact úa.

Rel aci onesent r el aspr opi edadesdelmat er i al Punt osI mpor t ant es •

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Cuandounmat er i ali sot r ópi cohomogéneoses omet eaunes t adodees f uer zot r i axi al , l adef ormaci ónencadadi r ecci ónes t ái nfluenci adaporl asdef ormaci onesproduci das portodosl osesf uerzos. Lascons t ant esy delmat er i ales t ánmat emát i cament er el aci onadas. l a t a c i ó node f o r ma c i ó nv ol umé t r i c a Ladi   sepr oduces ól oporl adef ormaci ónnormal ,no porl adef or maci óncort ant e. od ev o l ume n  Elmódul esunamedi dadel ar i gi dezdeunvol umendemat er i al .Es t a pr opi edaddelmat eri alr epr esent aunl í mi t esuper i orparal ar azóndelPoi ss onde,l a cualsemant i eneenes eval orc uandoocur r ecedenci apl ást i ca.

Ej er c i c i o3 Sielbl oquer ect angul arquesemues t r aenl afigur a12ses omet eaunapr es i ón uni f or mede,det er mi nel adi l at aci ón y elcambi odel ongi t ud en cadal ado. Consi der e, •

Figura 13

Ej er c i c i o3 Di l a t a c i ón •

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Ladi l at aci ónpuededet er mi nar semedi ant el aecuaci ón( 21)con.Set i ene