10. Álgebra
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libro de algrabra teorica de la academia pamer...
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ÁLGEBRA
LEYES DE EXPONENTES DESARROLLO DEL TEMA I.
NOTA NOTACIÓN CIÓN UTILIZ UTILIZAD ADA A
III. TEOREMA TEOREMAS S
A. Para potencia:
exponente n
1.
am an am n
2.
am amn; a 0 an
3.
am
4.
a b
5.
a an ;b 0 b bn
a = potencia
base B. Para radicación: radicación:
n
índice n
a = raíz
radicando
amn n
an bn
n
II. DEFINIC DEFINICION IONES ES
6. m n a mn a 1.
2.
a R
a0 1
a R
a1 a
7. 8.
n
ab n a n b
na
b
n n
a ;b 0 b
IV. IV. PROPIEDADES
3. a R n N / n 2 a n a a a.. ...... .... ..." ." n " factores factores
anb p c 1. m x a n x b p x c mnp a 4. a R 0 n R a
5
1
1
m
an n a
LIBRO UNI
m
1
nm 1 n 1
2.
n n x x... n x "m"radicales
3.
n x n x... n 1 x
4.
n x n x ... n1 x
an
m am n R / 3a n R
nm
a
ÁLGEBRA
LEYES DE EXPONETES
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V. ECUACIÓN ECUACIÓN EXPONENCIAL EXPONENCIAL
V. ECUACIÓN ECUACIÓN EXPONENCIAL EXPONENCIAL
A. Diversos Diversos ejemplos: ejemplos:
2 x 4; 3 x 4 x 5 x; 3
4x
A. A . si : x x aa x1 a
x 1
81 2
B. Teorema:
si : a x
x b B. si : x b x1 b
ay
x y; a 1
C. Propiedad:
x
si : a x a y x 0; a, b 1
problemas
resueltos
Problema 1
3 x k
Reducir: E 4 2
1
27 3
1
36 2
1
x
Resolución: 1 1 1 E 4 2 27 3 36 2
E 4
1
3 27 27
1
36
1
Por teorema:
90
2x 2 3x 3 3 2
44
4 x 4 9x 9 5x 13 13 x 5
30
15 x x11 x 22
x
k
E 21 31 6 1
E
y
C. si : x c y c x y
Problema 4
k x4
1 1 1 3 2 1 6 2 3 6 6 6
Determine un valor de x en: Problema 3
E 1
3
xx 3 4
Determine x en: Resolución:
3
Problema 2
Simplificar: 3
X.
4
x 1
8
Resolución:
3
X.
3
X... X...90fact 0facto ores
3 22
x 1
23
x 1
3
Resolución:
Sea "k" la expresión simplificada, luego
LIBRO UNI
2
2x 2
2x 2 2 3
2
3 x3 3 3 x 4
x3
x3 4
x3 22
x3
x. x. x...44facto x...44factore ress Siendo x >1
x 1
3x 3
Por comparación: x3 2
3x 3 2 2
x 32
2
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
EL POLINOMIO DESARROLLO DEL TEMA
I.
DEFI DEFINI NICI CIÓN ÓN
* Q x x5 2x3 x 1
Es la expresión algebraica que se caracteriza por presentar a todas sus variables en el mumerador, estando cada una de estas afectada solo por exponentes natural.
C. Polinimi Polinimio o compl completo eto::
* P x 2 x x2
Son ejemplos de polinomios:
*
P x 2x 3 7 x 4 Q x; y 5x 4 3x2y 5xy2
Q x 5x x 3 x 2 1 0
Obsevación:
En todo polinomio completo respecto a la variable x se cumple que:
R x 7 x2 3x 4
N° de términos = GR(x) +1
Obsevación:
Todo númerador real es un polinomio en forma muy especial el cero, al cual llamaremos polinomio identicametne nulo.
IV. IV. EUCLIDEANO A. A . Forma general
II. GRAD GRADO O
P x a0 xn a1x n1 a2x n2 ... an
A. Grado Gra do absoluto (GA) B. Grado relativo relativo (GR) (GR) 2 7 * P x; y 5x y
Donde:
GR x 2; GR y 7; GA 2 7 9
x = variable o ideterminada a0 , a1, a2 , ..... an son co coeficientes
x; y 2x 3 5x 2y 2 4y * Q x; GR x 3; GR y 2; GA 2 2 4
a0xn = término dominante, aquí a0 0 y n a0 = coeficiente principal
Obsevación:
an = término independiente de x
Todo número real diferente de cero tiene grado cero el cero carece de grado.
Obsevación:
Un polinomio se dice literal si su grado mayor o igual que la unidad, de no ocurrir esto el polinomio es constante.
III. POLINOMIOS ESPECIALES ESPECIALES A. Polinomio homogéneo:
* P x; x; y x 4 3xy3 5x 2 y2
B. Propiedades del polinomio polinomio literal literal P(x)
B. Polinom Polinomio io orden ordenado: ado:
*
* P(1) P(1) = suma suma de coe coefi fici cien ente tess * P(0) P(0) = térm término inoss indep independ endien ientes tes de de x
P x x 2 5x10 4 x17 LIBRO UNI
3
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EL POLINOMIO
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III. III. POLINOMIOS POLINOMIOS MÓNICO: Es un plinomio literal que se encuentra en función de una sola variable, todos sus coeficientes son enteras y el princiapl es uno. Son polinomios mónicos:
P x x5 2x 2 x 10 10 Q x x 2 7x 4
problemas
resueltos
Problema 1
¿Cuántos polinomios de la forma P x; y xn 7 nx ny y10n existen? Resolución:
Según la definición definición n 7 , n 10 n deben ser números naturales, luego: n 7 0 10 n 0 n7 10 n 7 n 10
Como n tenemos: n = 7; 8; 9 y 10 existen cuatro p olinomios Problema 2
Si P 2x 7 6x 1 . Determinar el polinomio P(7x + 2) Resolución:
Según el polinomio dato.
2x 7 u 2x u 7 x u7 2 P u 6 u 7 1 2 P u 3 u 7 1 P u 3u 22 Finalmente el polinomio buscado es: P 7x 2 3 7x 2 2 2 P 7x 7x 2 21x 6 22 7 x 2 21x 28 P 7x Problema Problema 3
Calcular mn si el polinomio: P x , y xm2 5xy 3 mny n1
es homogéneo. Resolución:
P 2x 7 6x 1 De acuerdo con en ca mbio de variable
Por condición el polinomio dado es homogéno., luego se cumple:
LIBRO UNI
4
m24n1 m 6 n 3 mn 18 Problema 4
Dado el siguiente polinomio mónico lineal: P x a 2 x 2 a b 1 x 2a 2a b
Determine su término independiente. Resolución:
Por ser un polinimio lineal se cumple que: a2 0 a2 ahora tenemos:
P x 3 b x 4 b Por se un polinomio mónico se cumple que: 3b 1 b2 con lo cual tenemos: término independiente de x = 2
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ÁLGEBRA
PRODUCTOS NOTABLES DESARROLLO DEL TEMA I.
CONCEPTO
5.
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que tienen forma determinada, se pueden recordar fácilmente sin necesidad de efectuar la operación.
Producto de multiplicar binomios con término común
• (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab • (x + a)(x + b)=x3 + (a+b+c)x 2 + (ab+bc+ac)x + abc
II. TEOREMAS 1.
6.
Trinomio cuadrado perfecto
Desarrollo de un trinomio al cuadrado
• (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
• (a + b)2 a2 + 2ab + b 2 • (a – b)2 a2 – 2ab + b 2 7.
Desarrollo de un trinomio al cubo
• (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b+c)(a+c)
Nota:
• (a+b+c) 3=a3+b3+c3+3(a+b+c)
(a - b)2n (b - a)2n
(ab+bc+ac)–3abc Corolario:
Identidad de Lengendre 8.
• (a + b)2 + (a – b) 2 = 2(a2 + b2)
• (a2m+ambn+b2n)(a2m –ambn+b2n) = a4m+a2mb2n+b4n
• (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Caso particular:
• (a + b)4 – (a – b) 4 = 8ab(a2 + b2)
2.
Identidad de Argan’d
(x 2 + x + 1)(x 2 – x + 1) = x4 + x2 + 1
Diferencia de cuadrados
9.
• (a + b)(a – b) = a2 – b 2
Identidades de Lagrange
• (a2+b2)(x2+y2) (ax+by)2+(ay–bx) 2 • (a2+b2+c2)(x 2+y2+z2) (ax+by+cz) 2 + (ay–bx) 2 +
3.
Desarrollo de un binomio al cubo 3
3
2
2
(az–(cx) 2+(bz–cy)2
3
• (a + b) = a + 3a b + 3ab + b .... forma desarrollada • (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) .... forma abreviada
10. Identidades condicionales
• (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 .... forma desarrollada.
Si: a+b+c=0, se verifica:
3
3
3
• (a – b) = a – b – 3ab(a – b) ... forma abreviada
• a2+b2+c2=–2(ab+bc+ac) • a3+b3+c3=3abc
4.
Suma y diferencia de cubos III. PROPIEDAD
• (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
Si a2+b2+c2=ab+ac+bc; a,b c
• (a – b)(a 2 + ab + b2) = a3 – b3 LIBRO UNI
5
ÁLGEBRA
a = b = c
PRODUCTOS NOTABLES
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problemas
resueltos
Si x x 1
Calcular:
Calcular:
Problema 1
5 . Calcular: x 3 x 3
x 3 y3 z3 xyz
Resolución:
x 1
x
3 x.x 1
x 3 x 3
3 1 5 125
y4
x 2 y2
z4
2x2 yz
x2z2 y2 z2
De la condición tenemos:
Fácilmente podemos reconocer que: x + y +z = 0
x2 y2 z2 xy xz yz 3 xy xz yz
x 1
125
140
Problema 2
Sabiendo que:
x 12 7;y 7 10 z 10 12
LIBRO UNI
x2 y2 z2 xy xz yz
Luego se cumple que:
x 3 x 3 15 125 x 3 x 3
Resolución:
3
5
x 3 x 3
x4
Resolución:
En la condición de plantea:
x
k
x3 y3 z3 Finalmente tenemos:
3xyz
x3 y 3 z3 xyz 3xyz E xyz E 3
Por propiedad tenemos: x=y=z Finalmente en "k" tenemos:
E
k
x y z
2
3 xy xz yz
6
y4
x 2 y2
4 k x
Problema 3
Si x,y,z ; tal que
x4
x4
x4
z4
2x2 yz
x2z2 y2 z2
x4
x4
2x 4
x4
5x 4 x4 K 5 k
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ÁLGEBRA
división algebraica DESARROLLO DEL TEMA
I.
DEFINICIÓN
B. Clases de cocientes Hay dos clases de cocientes.
Dados dos polinomios llamados dividendo y divisor, es posible encontrar otros dos polinomio llamados cocientes y residuo, tal que verifiquen la siguiente identidad.
1. Cociente Entero. Es el cociente propiamente
dicho de la división.
D x d x Q x R x
2 . C o ci e nt e C o m p le t o. Es una expresión
fraccionaria que está compuesto por el cociente entero, por el residuo y por el divisor
Donde: D x : es el dividendo
Se sabe que: D x d x Q x R x
d x : es el divisor
Dividiendo entre d x :
Q x : es el cociente
D x
R x :es el resto o residuo
d x
A. Propiedades: 1. El grado del dividendo d eberá ser mayor o igual que el grado del divisor.
Q x
R x d x
cociente entero CocienteCompleto
C. Teorema
D d
Si al dividendo y al divisor de una división se les multiplica por una misma expresión distinta de cero, entonces el resto o residuo también quedará multiplicado por dicha expresión. Sabemos que:
2. El grado del cociente es igual al grado del
dividendo menos el grado del divisor. Q D d
D x d x Q x R x
3. El grado del resto o residuo, con respecto a la
Multiplicando ambos miembros por A x :
variable con la cual se efectúa la división, es menor que el grado del divisor. Por lo cual se deduce que, el máximo valor que puede tomar el grado del resto o residuo es igual al grado del divisor disminuido en uno.
A x D x A x d x Q x A x R x Observación: Para efectuar la división entre polinomios se recomienda utilizar el método de Horner o para cierto caso especial la regla de Ruffini.
R d R max d 1
LIBRO UNI
7
ÁLGEBRA
DIVISIÓN ALGEBRAICA
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II. TEOREMA DEL RESTO
x n yn ;n / n 2 xy
A. Definición: Es una regla práctica que permite encontrar en forma directa el residuo de cierta división, consta de dos pasos.
B. Cociente notable (C--N): Es el cociente de una división exacta. Ejemplo: La división:
xn yn ;n / n 2 xy
1. Se iguala el divisor a cero y se despeja por
transposición de términos la parte variable. 2. Se reemplaza el valor numérico de la parte
¿Origina un cociente notable? Por el teorema del resto x - y = 0 x=0 sea el dividendo:
variable en el polinomio dividendo, obtenido así el residuo de la división. Ejemplo: Determinar el residuo de dividir
D x x n yn
x 4 2x 7 x 1
R x y n yn R x 0
a. x 1 0 x 1 b. D x x4 2x 7
xn y n Si origina C N n / n 2 xy
B. Propiedad: Si la división:
4
R x 1 2 1 7 1 2 7 R x 10
x m yr x a yb
Observación: El teorema del resto o teorema de Descartes en sus inicios solo se aplicaba cuando el divisor era un binimio de primer grado, hoy en día el divisor podrá ser un polinomio literal de grado arbitrario.
origina un C - N se cumple: 1. El número de términos del C - N "n" verifica:
nm r a b
III. DIVISIONES NOTALES A. Definición: Es una división entre binomios que presenta la siguiente forma.
problemas
2. En el C - N los exponentes de x disminuyen de
"a" en "a", mientras que los de y aumentan en "b" en "b"
resueltos
Problema 1
En las columnas del residuo:
Calcular ab si la división es exacta
a 7 10 10 b 10 0 a 17 b 10 ab 170
2x 4 5x 3 x 2 ax b x2 x 1
0
-2
7
1 -1
1
1
1 -1 1 -1 -1
8
x = -1
0 -1
0
Problema 2
Resolución:
Si Q(x) es el cociente de dividir:
Dada la ecuación: 1
2
-5
1
-1
2
-2
2
1
7 2
1
-7
a
x5 2x 7 x 1
b
-7
Resolución:
- 10 10
Según la regla de Ruffini tenemos:
10
LIBRO UNI
0
0
Q x x 4 x 3 x2 x 1 Q 1 1 1 1 1 1 Q 1 3 Problema 3
Dertermine el resto de dividir:
8
ÁLGEBRA
DIVISIÓN ALGEBRAICA
Exigimos más! x7 2x 5 x 3 x 1 x2 1
R x x 2x x 1 R x x 1
Resolución:
Resolución:
Según propiedad se cumple que :
Según el teorema del resto:
Problema 4
x 2 1 0 x2 1
Si la división: xn2 y 33
En el dividendo tenemos: 3 2 D x x2 x 2 x2 x x 2 x x 1
representa "n"
Reemplazando x2 por 1
LIBRO UNI
x5 y 3
Origina un cociente notable. Calcular la suma de cifras del número que
9
n 2 33 5 3 n 2 11 5 n 2 55 n 57 de c ifras 12
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ÁLGEBRA
factorización en DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINICIÓN
Ejemplo:
Es el proceso mediante el cual un polinomio de coeficientes enteros se transforma como la multiplicación de dos o más polinomios, también de coeficientes enteros.
Factorizar: f(x;y) 4x3y4 + 5x2y5 + 7x4y7 Se observa: x 2y4 como factor común. Luego factorizando tenemos:
II. FACTOR PRIMO Es aquel polinomio literale que no se puede expresar
f(x; y) x2y4 (4x – 5y + 7x 2y3)
como una multiplicación de otros polinomios literales. B. Identidades
Ejemplo:
Es la aplicación inmediata de algunos productos notables como:
* f(x) x2 – 4 no es primo, por que se puede expresar como (x – 2)(x + 2). * f(x) x – 2 es primo, por que no se puede
– Diferencia de cuadrados:
factorizar.
A2 – B 2 = (A + B) (A – B)
* f(x) 3x – 6 si es primo porque al obtener 3(x – 2)
Ejemplo:
percatese que 3 es de grado cero.
Factorizar
Se dice que la factorización se realiza en cuando los
: P(x) 9x 2 –16
Reconocemos : P(x) (3x)2 – (4)2
factores primos obtenidos presentan únicamente coefi-
: P(x) (3x + 4) (3x – 4)
Luego
cientes enteros; mientras no se indique alguna aclaración la factorización solo se realiza en .
– Diferencia de cubos A3 – B3 = (A – B) (A 2 + AB + B2)
Observación:
Ejemplo:
* Al factor primo también se le llama
Factorizar
polinomio irreductible.
: P(x) 27x 3 – 8
Reconocemos : P(x) (3x)3 – (2)3 Luego
: P(x) (3x – 2)(9x 2 + 6x + 4)
III. CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN – Suma de cubos A. Factor común
A3 + B3 = (A + B) (A 2 – AB + B 2)
Se denomina así al factor repetido en varios términos, para lo cual se eligen las bases comunes afectadas del menor exponente. LIBRO UNI
Ejemplo: Factorizar
10
: f(x) 8x 6 + 1
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FACTORIZACIÓN EN Z
Exigimos más! Reconocemos : f(x) (2x2)3 + (1)3
Ejemplo:
: f(x) (2x2 + 1) (4x 4 –2x2 + 1)
Luego
– Trinomio cuadrado perfecto A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
Luego los factores se forman: Horizontalmente: (x – 3) (x – 4)
Ejemplo Factorizar : f(x) 9x4 + 6x2 + 1 Notese
: f(x) (3x 2)2 + 2(3x2)(1) + (1) 2
Luego
: f(x) (3x 2 + 1) 2
E.
Aspa doble Se usa en forma particular para polinomios de la forma: P(x;y) ax2m + bxmyn + cy2n + dxm + eyn + f
Proceso: * Traza dos aspas simples
C. Agrupación de términos
Consiste en seleccionar convenientemente los términos de tal manera que se genere algún factor común o alguna identidad.
* Verificación final con los extremos, veamos en un ejemplo: Factorizar:
Ejemplo:
Factorizar:
P(x;y) 15x 2 – xy – 6y2 + 34x + 28y – 16
como se encuentra ordenado. f(x;y) x – x y + x y – y 10
2 8
8 2
10
1.er Aspa Nos percatamos que no existe factor común en todos los términos, pero si agrupamos de dos en dos obtenemos: f(x;y) x2 (x8 – y8) + y2 (x8 – y8) 2.O Aspa
Factor Repetido: (x 8 – y8)
Luego: f(x;y) (x8 – y8) (x2 + y2)
Continuamos:
Verificación final
f(x;y) (x + y ) (x + y ) (x + y) (x – y) (x + y ) 4
4
2
2
2
2
(Los términos estan descompuestos)
Se uso repetidas veces diferencia de cuadrados: f(x;y) (x4 + y4) (x2 + y2)2 (x + y) (x – y)
D. Aspa simple
Se utiliza para factorizar particularmente Polinomios de la forma: P(x) ax2n + bxn + c ó que se amolden a dicha forma.
Luego, en un esquema se tiene:
Proceso * Descomponer los extremos. P(x;y) = (5x + 3y –2) (3x – 2y + 8)
* Verificar que la suma de productos en aspa sea igual al término central.
LIBRO UNI
11
ÁLGEBRA
FACTORIZACIÓN EN Z
Exigimos más! F.
Aspa doble especial Se emplea para factorizar polinomios de 5 términos con la forma: P(x) Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn + F
Proceso: * Se descomponen los términos extremos en 2 factores cada uno. Luego:
* Se hace el balanceo
f(x) = (x – a) q (x) Al valor de "a” se denomina cero del polinomio.
Ejemplo: Factorizar:
Por ejemplo: P(x) = x3 – x 2 – 4; si evaluamos en x = 2, tenemos:
P(x) (x 2 5x 1)(x 2 x 1) G.
Luego: x3 – x2 – 4 se puede expresar como:
Divisores binomicos (evaluación) Se usa básicamente para factorizar polinomios de grado mayores o iguales a 3. Proceso:
P(x)= (x – 2) (x 2 + x + 2) (Nótese que esta factorizada)
Consiste en evaluar usando la regla de Ruffini.
problemas
resueltos
Problema 1 Factorizar:
Agrupando los términos indicados y factorizando parcialmente = 5p 2(rp2 –5q)–r(rp 2 –5q)
5r(p4+q)–p2(r2+25q)
D) (5x+7y)(3x+3y) E) (4x+7y)(2x+3y)
= (rp2 –5q)(5p 2 –r) Resolución:
10x2+29xy+21y2
A) (rp2 –5q)(5p 2 –r) B) (rp–5q)(5p 4 –r)
Respuesta: A) (rp 2 –5q)(5p 2 –r)
C) (rp4 –5q)(5p 3 –r)
Problema 2
D) (rp3 –5q)(5p 2 –r)
Factorizar:
E) (rp2 –5q)(5p 4 –r)
5x 2x
7y 3y
14xy + 15xy 29xy
10x2+21y2+29xy Finalmente:
Resolución:
A) (6x+7y)(2x+3y)
(5x+7y)(2x+3y)
B) (5x+7y)(2x+4y) C) (5x+7y)(2x+3y)
LIBRO UNI
12
Respuesta: C) (5x+7y)(2x+3y)
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FACTORIZACIÓN EN Z
Exigimos más! Problema 3 Factorizar e indicar la suma de sus factores primos. 12a 2 –59b–63– 7ab–10b 2+15a
Resolución:
Por diferencia de cuadrados tenemos:
De acuerdo con el criterio del factor común tenemos:
P(x) (x 1) (x 1) (x 1)
Aquí recono cemos que los factor es primos son: (x + 1) y (x – 1)
2 2xy y2 ) P(x; y) x5 y (x
A) 7a–3b+4 B) 7a– 3b+3
Dando uso de los productos notables tenemos:
C) 7a– 4b+2 D) 7 a– 5b+2
P(x; y) x5 y (x y)2
E ) 7a– 3b+2
Finalmente los factores primos son: x, y (x y) Resolución:
2
N de factores p ri mos 3
Respuesta E) 2x
Problema 6 Reconocer un factor de: P(x) x 5 x 1
A) B) Respuesta C) 3 C) D) E)
2
12a -7ab - 10b - 15a - 59b - 63
de f .p 2x
UNI
Ordenando y aplicando el criterio de aspa doble
4a 3a
P(x) (x 1)2 (x 1)
–5b 2b
–7 9
Problema 5
Finalmente (4a–5b–7)(3a+2b+9) luego factores primos: 7a– 3b+2 Respuesta: E) 7a–3b+2
Problema 4 ¿Cuántos factores primos tiene el polinomio: 7
6 2
C) 3
D) 4
A) 2x + 1 C) 3x – 1 E) 2x
B) 3x + 2 D) 3x + 1
LIBRO UNI
Resolución:
de cubos sumamos y restamos x 2. 5 P(x) x x 2 x2 x 1
P(x) x 2 (x 3 1) x2 x 1
Resolución:
2 x 1) (x 2 x 1) P(x) x2(x 1) (x
Por agrupación de términos tenemos:
Por el criterio del factor común:
2
2
P(x) x (x 1) (x 1)
P(x) (x 2 x 1) x 2(x 1) 1 P(x) (x 2 x 1)(x3 x 2 1)
Por el criterio del factor común: P(x) (x 1) (x2 1)
E) 5
x – x – 1 x2 – x + 1 x3 – x – 1 x3 – x2 + 1 x3 + x2 + 1
Con la finalidad de formar una diferencia UNI
P(x) x x ( x 1) UNI
B) 2
(x) x 3 x 2 x 1
3
5 3
P(x; y) x y 2x y x y ?
A) 1
Determine la suma de los factores primos del polinomio:
2
13
Respuesta D) x 3 – x 2 + 1
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
POTENCIA DE UN BINOMIO DESARROLLO DEL TEMA I.
FACTORIAL DE UN NÚMERO Z+
Luego: x – 4 0 x – 1 1
Llamamos así al producto que resulta de multiplicar todos los números enteros y positivos de manera consecutiva desde la unidad hasta el número indicado.
x4
x5
3. Si: a! = b! a = b * a; b 0; 1 Ej emplo: (x – 5 )! = 6 (x – 5)! = 3! x–5=3 x=8
Notación: n! ó n Se lee: Factorial de "n". Así: 2! 1 2 2 3! 1 2 3 6
4. Todo factorial contiene en su desarrollo a otro factorial menor.
4 ! 1 2 3 4 24 5! 1 2 3 4 5 120
(n2) ! 2 1 1) (n n! n (n 2)...3 (n1) !
6 ! 1 2 3 4 5 6 720
En general:
n! = n(n – 1)! n! = n(n – 1) (n – 2)!
n! 1 2 3... (n – 2)(n – 1)n
II. NÚMERO COMBINATORIO
o también: n ! n(n – 1)(n – 2). .. 3 2 1
Representa el número de combinaciones de "n" elementos tomados de "k" en "k".
Observaciones: 1. (a b) ! a! b! 2. (ab) ! (a !) (b !)
Notación: Cnk n Ck n Ck
3. a ! a! b! b
n! Definición: Cnk ;nk k !(n k)!
Propiedades
Donde: n k o
1. n! existe n zo
Ejemplo:
Luego: • (–5)! No existe • –5! Si existe • (2/3)! No existe • 7! Si existe
C52
5! 120 10 2!(5 2)! 2 6
Regla práctica: "k " factores
2. Por definición 1! = 1. Por acuerdo 0! = 1. Ejemplo: Hallar "x" en: (x – 4)! = 1 LIBRO UNI
Cnk
n(n – 1)(n – 2)...(n – k 1) (n – k) ! n! k!(n – k)! 1 2 3...k (n – k) !
"k " factores
14
ÁLGEBRA
POTENCIA DE UN BINOMIO
Exigimos más! 5. Reglas de degradación
Propiedades
1. Cnk Existe n z
Cnk n Ckn11 k
•
k zo k n
10 9 Ejemplo: C10 3 3 C2
2. Propiedad complementaria
n Cnk n – k 1 Ck–1 k
•
n Cnk Cn–k
Ejemplo: C58 8 5 1 C 84 C58 4 C 84 5 5 Ejemplo: Cnk
•
50 49 50 C50 48 C2 2 1 1 225
n Cn–1 n – k k
Ejemplo: C 94 9 C 84 9–4 C 94 9 C 84 5
3. Propiedad de igualdad Cnp Cnq 1. a Posibilidad: p = q
III. BINOMIO DE NEWTON
2. a Posiblidad: p + q = n
(Para exponente entero y positivo) Ejemplo:
n
Definición: (x a)n Cnk x n–kak
Hallar la suma de valores de "n" en:
k 0
10 C10 n C6 .
Donde: x; a 0 n
1. a Posibilidad: n 1 = 6.
Así: (x + a)2 = x2 + 2 x a + a2
2. a Posibilidad: n + 6 = 10 n2 = 4.
(x + a) 3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3 Luego n1 + n 2 = 10.
(x + a) 4 = x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4 (x + a)5 = x5 + 5x4a + 10x3a2 + 10x2a3 + 5xa4 + a5
4. Suma de combinatorios Cnk Ckn1 Ckn11
Nos damos cuenta: (x a)5 c05x 5 c15x 4a c 52x 3a 2 c 53x 2a 3 c 54xa 4 c 55a 5
Ejemplo: Hallar: S C04 C15 C 26 C37
Luego:
(x a)n c0n xn c1nx n1a cn2 xn 2a2 c3n xn 3a3 ... Cnn an
Luego: S C50 C15 C 26 C37
Desarrolloo expansión delbinomio
S C16 C62 C73
Propiedades
S C72 C73
1.
N. de términos Exponente " n " 1 de (x a)n
S C 83 S
8 7 6 3 2 1
LIBRO UNI
Hallar el nº de términos en el desarrollo de: (x + 3y) 7. N.º de términos = 7 + 1 = 8.
56
15
ÁLGEBRA
POTENC IA DE UN BINOMIO
Exigimos más! 2. Si: x = a = 1; se obtiene la sumatoria de coeficientes:
90 30 60 60 180 T61 c60 3 x 2 y 90 30 60 60 180 T61 c60 3 2 x y
cn0 c1n cn2 c3n ... cnn 2n
c50 c15 c52 c 35 c 54 c55 2 5 32
4. Término central ("n" exponente del binomio) Si "n" par existe un solo término central:
n–2 c1n–2 c2n–2 ... cn–2 2n–2 cn–2 0
Tc Tn 1
Hallar la suma de coeficientes en el desarrollo de: (5x2 + y4)40
2
5. Suma de exponentes
Luego: x = y = 1 (5(1)2 + (1)4)60 6 60
Siendo B (x,a) = (xp + aq)n
3. Término de lugar general: Siendo: (x + a) n. En su desarrollo:
Exponentes
n n–k k Tk 1 ck x a
(p q)n(n 1) 2
Ejemplo: Hallar la suma de exponentes en el desarrollo de:
Donde: "k + 1" es el lugar.
39
3 x 4
Ejemplo: Hallar el T61 en el desarrollo de:
Luego: p = 1/3; q = 1/2; n = 39.
B(x; y) = (3x2 + 2y3)90 1 1 39(39 1) 3 2 exponentes Exp 650 2
90 T61 c60 (3x 2)30(2y 3) 60
problemas
resueltos
Problema 1
Resolución:
Problema 2
Si "x" es un número real tal que el término central en el desarrollo de:
Sabemos que:
Hallar el valor de "n" de modo que:
2 – 3x 3 2
12
TK 1 Cnk x n–k a k TC T12 2
1
n n (2r 1) 2n 4 r 0 r
T7
Nivel difícil
12–6 T7 C12 (–3x 2) 6 924 6 (2 3)
Es 924, hallar el valor de: 1 + x2 + x4 + x6
12.11.10.9.8.7 26 36 x6 924 6.5.4.3.2.1 36 26 x=1
Nivel intermedio
A) 18 B) 16 C) 17 D) 15 E) 20
A) 4 Resolución:
Entonces:
B) 8
1 + 12 + 14 + 16 = 4
C) 6 D) 16
Respuesta: A) 4
E) 2
LIBRO UNI
16
Sabemos: n n 2n r 0 r
n n r n 2n–1 r 0 r
ÁLGEBRA
POTENCIA DE UN BINOMIO
Exigimos más! Entonces:
Determinar el valor de:
n n n n 2r 2n– 4 r 0 r r 0 r
2 n 2n1 2n 2n 4 (n 1) 2n 2n 24 n = 15
Respuesta: D) 15
K
n2 3n 7 Nivel intermedio
A)
47
B)
17
(n! – 24 )(n! + 3) = 0 n! = 24 ;
n! = -3
n=4 Entonces:
C) 3 3 D)
35
E)
61
K
42 4 3 7
K 35
Problema 3
Resolución: Tenemos:
Si: n! (n! 3) 18. n! 4
(n!)2 – 3(n!) = 18(n!) + 18 4
LIBRO UNI
(n!)2 – 21(n!) – 72 = 0
17
Respuesta: D) 35
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
racionalización DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINICIÓN:
n
A;n A Q
Es el proceso mediante el cual una expresión irracional se transforma en otra parcialmente racional. Frecuentemente se racionalizan denominadores con el auxilio del factor racionalmente (R:F) según la relación.
Veamos algunos ejemplos:
5
3
3
4
2
3 3 24
Veamos algunos ejemplos: (Exp. Irracional).(FR) = Exp. Racional C. Radical doble:
Se denomina asi a todo número irracional que se puede expresar según la forma:
A. Factor racionalizante (F.R)
Es el menor número irracional positivo que multiplica a otro número irracional y lo transforma en racional. Ejempo:
m
A n B ;m n , A B Q
¿Cuál es el factor racionalizante de
2?
Veamos algunos ejemplos:
Resolución:
observar lo siguiente
2 2 4 2
4 12
2 3
3
10 108
II. TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLE A SIMPLES
2 8 16 4 2 18 36 6 2 32 64 8
A. 1° caso
A B . Se transforma según la fórmula: A B A C A C 2 2
Existen varios números irracionales que multiplican a
2 y lo transforman en racional pero entre todos
ellos
2
Donde "C" se calcula Así: C A 2 B !racional!
es el menor FR 2
B. 2° caso
A B . Se transforma en
B. Radical simple:
Se denomina así a todo número irracional que se
Donde: x.y N x y M
puede experesar segúnla foma:
LIBRO UNI
M2 N x y
18
ÁLGEBRA
RACIONALIZACIÓN
Exigimos más!
II. CASOS DE RACIONALIZACIÓN 1
•
n m A FR A; A # primo
4
n
Donde: FR A n m , veamos algunos ejemplos. 1 1. 31 3 3 3 3.FR 3 1
•
4
5 5. 2 5 2 2 4 3 22 .FR
3
2
2
3
3
2
2
A 3 A.3 B 3 B
A 3 B
A 3 A.3 B 3 B
•
Resultado
A B
A - B
A B
A B
A - B
1 3
3
7 2 1
7 2
7 2
7 2 FR
7 2 72
5 2 1
3
5 32
2
7 2
7. 2 5
•
11 5
11 3
11 3
11 3
•
5
2
1 3
11 3 5
13 3
2
13
3
2
3
3
3
3
25 10 4 52
25 3 10 3 4 7
3 2 3 3 3 2 1. 11 11. 5 5
311 3 5 FR
3
11 3 5
3
3
3
3
3
121 55 25 121 55 25 3 3 11 5 3 11 3 5
3
121 3 55 3 25 6
D. Denominador con índice susperior a tres: n
n A n B FR A B
2FR 13 9
Donde:
2 2FR FR 4 2 13 3
LIBRO UNI
11 3 5 1
8
2FR
3
11 3
1.
•
3
2
2 2 3 11 3 FR 11 3 5 11 3 5 FR
3
25 10 4 3 3 3 3 5 2
7 2
3
5
3
1 5
A B
2 2 1. 3 5 3 5.3 2 3 2 1 3 3 3 3 5 2 5 2 FR
veamos algunos ejemplos: 1
A B
veamos los siguientes ejemplos
A B
Resultado
3
de dos:
FR
FR
A 3 B
13 13 13 2 2.3 4.5 4 5 5 3 120 5 23.3.5 2 .3.5.FR 13FR 13FR 2.3.5 30
1
4
5 1
Expresión
B. Denominador binomio con índice potencia
•
5 1
5 1 5 1
de tres:
3
Expresión
2
4
C. Denominador binomio con índice potencia
3
5
•
4 5 12 4 4 5 1 FR 5 1 FR 1 4 2 5 1 5 1 5 12 4 5 1 5 1 1
A. Denominador monomio
•
FR
FR n A
19
n 1
nA
n 2 n
B ... n B
ÁLGEBRA
n1
RACIONALIZACIÓN
Exigimos más! 2. n / n número impar
3. n / n número par
n A n B FR A B
n A n B FR A B
Donde:
Donde:
FR n A
n 1
nA
problemas
n 2 n
B ... n B
n1
FR n A
n 1
nA
n 2 n
n1
resueltos
Donde se debe cumplir que:
Problema 1
Transformar a radicales simples la siguiente expresión: E 8 60
Como:
a b a b x ab y
E 6 2 5 11 2 30 1
Problema 2
Transformar a radicales simples la siguiente expresión:
Ahora en la expresión "E" se tendría: E
Resolución:
Reconociendo: A = 8 B = 60
5 1
6 5 1
52 6 Reduciendo:
Resolución:
E 6
Hallemos "C": 52 6 2
C 8 60 4 C 2
82 82 2 2
3 2 2
32
52 6 3 2
Luego: E
B ... n B
Problema 4
Racionalizar el denominador de la expresión: Problema 3 E
El equivalente de:
Finalmente:
7 7
5 73
E 6 2 5 11 2 30 1.Es : E 8 60 5 3
Método práctico: Debemos observar que el radical doble presenta la siguiente forma: x2 y
Luego podemos afirmar que: x 2 y a b
LIBRO UNI
Resolución: Resolución:
Observamos que 7 5 7 3 corresponde
Utilizemos el método práctico para
a la relación (2) visto anteriormente,
transformar a los radicales dobles en
con lo cual tenemos.
simples.
E
*
6 2 5 5 1 5 1
*
11 2 30 6 5
20
7FR
7
E
7FR 5 5 3 FR 3 7
7FR 8
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
ECUACIONES DESARROLLO DEL TEMA
I. ECUACIÓN
Por ejemplo la igualdad x – y = z, podemos sumar “y” a ambos miembros, con lo que resulta x = y + z.
Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en la que al menos esté presente una variable que ahora recibirá el nombre de incógnita.
•
Si se restan miembro a miembro varias igualdades, se obtiene otra igualdad. Por ejemplo, en la igualdad x + 5 = 7, podemos restar 5 a ambos miembros con lo que se obtiene x = 2.
•
Si se multiplican miembro a miembro varias igualdades se obtiene otra igualdad.
Notación: A(x; y;...z)
Primer miembro
B(x; y;...z)
Segundo miembro
Donde: x; y; ...; z: incógnita Una ecuación que sólo se verifique para ciertos v alores de las incógnitas recibe el nombre de ecuación condicional o, simplemente, ecuación.
Por ejemplo, si se multiplican por 3 los dos miembros de la igualdad: 1 y 5x 2 . 3 Se obtiene: y = 15x 2
Por ejemplo: • x – 1= 3 se verifica solo para x = 2; es una ecuación condicional. • x2 – 1 = (x + 1) (x – 1) se verifica para todos los valores de x; es una identidad.
Análogamente, si los dos miembros de: 9 C k – 492 5 se multiplican por:
Para representar una identidad se emplea el símbolo en lugar del símbolo =.
Se obtiene: C
A. Soluciones de una ecuación
•
Las soluciones de una ecuación son los valores de las incógnitas que transforman la ecuación en una identidad, es decir, se igualan ambos miembros. L as soluciones satisfacen a la ecuación. Resolver una ecuación es hallar todas sus soluciones. Por ejemplo: x = 2 es una raíz, o solución de la ecuación x + 3 = 5, ya que sustituyendo x = 2 en esta se obtiene 2 + 3 = 5, es decir, los dos miembros se hacen iguales y la ecuación se convierte en una identidad.
Si se dividen miembro a miembro varias igualdades se obtiene otra igualdad siempre que no se divida por cero.
a F m Fórmula: La fórmula es una ecuación que expresa un hecho general, una regla o un principio.
Si se suman miembro a miembro varias igualdades, se obtiene otra igualdad. LIBRO UNI
5 (k – 492) 9
Por ejemplo, si se dividen los dos miembros de la igualdad 3x = 6 por 3, se obtiene x = 2. Análogamente, en la igualdad F = ma se puede dividir los dos miembros por m(m 0) obteniéndose:
B. Operaciones aplicadas en la transformación de ecuaciones •
5 9
21
ÁLGEBRA
ECUACIONES
Exigimos más!
II. ECUACIÓN LINEAL O DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Forma General:
1 . Si: 0 , la ecuación tiene raíces reales y diferentes. 2 . Si: 0, la ecuación tiene raíces reales e iguales (raíces dobles). 3 . Si: 0, la ecuación tiene raíces imaginarias y conjugadas.
ax + b = 0 ; a 0 ; en donde a y b
son constantes arbitrarias. Como primer paso para la resolución de esta ecuación transponemos “b” al segundo miembro obteniéndose así la ecuación equivalente.
IV. RELACIÓN ENTRE LAS RAÍCES Y LOS CO EFICIENTES (PROPIEDADES DE LAS RAÍCES) DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA
ax = b
Si x1 ; x2 son las raíces de la ecuación cuadrática en "x"
Después dividimos ambos miembros entre “a”, obteniéndose otra ecuación equivalente que es la solución de la ecuación dada:
ax2 + bx + c = 0 Se cumple:
x –b a
b • Suma: s x1 x 2 – a c • Producto: p x1 .x 2 a
Si este valor de “x” se sustituye en ax + b = 0 obtendremos la identidad: a – b b 0 a
b2 4ac ; a 0 a Para determinar la diferencia de raíces se recomienda utilizar la equivalencia de Legendre, veamos: (x 1 + x2)2 – (x1 – x2)2 = 4(x1 x2) • Diferencia: | x1 x2 |
–b + b = 0
Teorema: La ecuación lineal con una incógnita ax + b = 0, a 0 Tiene solución única:
A. Casos particulares Dada la ecuación cuadrática en "x": ax 2 + bx + c = 0 De raíces x 1 ; x2, si estas son: 1. Simétricas, se cumple: x1 + x2 = 0. 2. Recíprocas, se cumple: x . x = 1.
x–b a
1
III. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO (CUADRÁTICA)
V. RECONSTRUCCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA EN "X"
A. Forma general
Siendo "s" y "p", suma y producto de raíces, respectivamente, toda ecuación cuadrática en "x" se determina según la relación:
ax 2 bx c 0
donde: x incógnita, asume dos valores a;b ; c /a 0
x 2 – sx p 0
VI. TEOREMAS CUADRÁTICAS EQUIVALENTES
B. Fórmula de Carnot Si: x1; x2 son las raíces de la ecuación: ax 2 + bx + c = 0; a 0 Estas se obtienen a partir de la relación: x1;2
A. Ecuaciones cuadráticas equivalentes Siendo:
2 –b b – 4ac 2a
1. Discriminante dada la ecuación cuadrática en "x": ax2 + bx + c = 0; a 0 se define como:
Se cumple:
ax 2 + bx + c = 0 a1x2 + b1 x + c1 = 0 a b c a1 b1 c1
B. Ecuaciones cuadráticas con una raíz común
b2 – 4ac
ax 2 + bx + c = 0 a1 x2 + b1 + c1 = 0
Sean:
2. Propiedad del discriminante El discriminante de una ecuación cuadrática permite decidir qué clase de raíces presenta, es decir: LIBRO UNI
2
Se cumple: (ab1 – a1b)(bc1 – b1c) (ac1 – a1c) 2 22
ÁLGEBRA
ECUACIONES
Exigimos más!
VII.POLINOMIO DE GRADO SUPERIOR
Propiedad Un polinomio con coeficientes reales puede escribirse como el producto de un número real, multiplicado por factores cuadráticos irreductibles con coeficientes reales y factores lineales con coeficientes reales.
A. Definición Dado un número entero n 3, un polinomio en variable x con coeficientes en k de grado n, es una función de la forma: P(x) anxn + an–1 xn–1 + ........ + a1x + a0, con an 0 A la cual llamaremos polinomio de grado superior, donde: • x = es la variable independiente. • a i K, son los coeficientes de las x y son constantes que pueden ser cualesquiera números. • K es un conjunto. • an= coeficiente principal • ao= término constante • n = [P]° es el grado del polinomio P(x)
B. Teorema (paridad de raíces irracionales) Si un polinomio P(x) con coeficientes racionales tiene como raíz a b , donde
b es irracional, a y b son
racionales; entonces a b también es raíz de P(x). Sea P(x) un polinomio con coeficientes racionales. Si ( a b) es raíz del polinomio P(x), donde
a,
b, ab son irracionales, entonces a b,; a b, a b también son raíces de P(x).
Si la raíz ( a b) es de multiplicidad K, las otras
Observación: El estudio de todo polinomio: P(x) anxn + an–1 xn–1 + ... + a1x + a0 con an 0, a0 0 radica en el tratamiento de sus coeficientes a i K y en particular de a n y a0.
raíces también son de multiplicidad K.
IX. RELACIONES ENTRE LAS RAÍCES Y LOS COEFICIENTES
B. El Teorema fundamental del Álgebra
Dado el polinomio de grado n > 0:
Todo polinomio P(x) de grado n > 0 con coeficientes complejos en general, tiene al menos una raíz gene-ralmente compleja.
P(x) = anxn + an–1 xn–1 + ....... + a0 an 0 (con coeficientes reales o complejos) y cuyas n raíces son r 1, r2, r3, ..., rn (reales o complejas, incluidas tantas veces como se repiten las raíces múltiples), entonces existen relaciones entre los coeficientes de P(x) y las raíces r i.
Colorario: Todo polinomio P(x) de grado n > 0, tiene exactamente "n" raíces. Por ejemplo P(x) = x 5 + x – 1 tiene en total 5 raíces entre reales e imaginarias, asimismo podemos decir que F(x) x 4 tiene en total 4 raíces (cada una es igual a cero).
Dichas relaciones se obtienen del siguiete modo: • anxn an1xn1 ... a0 0
VIII. POLINOMIOS CON COEFICIENTES REALES
xn
an1 n1 an2 n2 a x x ... 0 0 an 0 an an an
(1*)
A. Teorema (paridad de las raíces imaginarias)
• Como r1, r2, ..., rn son las n raíces de P(x), entonces el polinomio P(x) se puede escribir como:
Si un polinomio P(x) con coeficientes reales tiene como raíz el número imaginario Z, entonces Z también es raíz de P(x).
P(x) = a n(x – r1) (x – r 2) .... (x – r n) Como P(x) = 0 an(x – r1)(x – r2)....(x – rn)=0, an 0 (x – r1)(x – r2)....(x – rn) = 0
Observaciones
(2*) •
•
La paridad de raíces imaginarias, refiere lo siguiente, si Z = a + bi, con b 0 es raíz de un polinomio P(x) entonces Z = a – bi también es raíz de P(x). Si Z = a + bi es raíz del polinomio P(x), entonces (x – Z) (x – Z ) será un factor de P(x). LIBRO UNI
• Pero son idénticos (1*) y (2*): xn
an1 x 1 an2 n 2 a ... 0 x x an an an
(x r1)(x r2 )...(x rn) xn r1 r2 ... rn x n1 n
r1r2 r1r3 ... xn1 ... 1 r1r2 r3...rn 23
ÁLGEBRA
ECUACIONES
Exigimos más!
problemas
resueltos
Problema 1 Sea la ecuación 4x 2 – 2x + 3 = 0, cuyas raíces son a y b. Halle otra ecuación cuadrática que tenga por raíces (2a – 1) y (2b – 1) UNI 2008 - I Nivel fácil A) y2 – y + 1 = 0 B) y2 – y – 2 = 0 C) y2 + y + 3 = 0 D) y 2 1 y 2 0 2 2 1 E) y y 3 0 4 Resolución: Dada la ecuación: 4x 2 – 2x + 3 = 0 de raíces {a;b} y 1. Si cambiamos: "x" por " " 2 2 entonces: 4 y 2 y + 3 = 0 2 2
tenemos: y2 – y + 3 = 0 de raíces {2a; 2b} 2. Si cambiamos: "y" por "y+1" Entonces: (y + 1)2 – (y + 1) + 3 = 0 Tenemos: y 2 + y + 3 = 0 de raíces {2a – 1, 2b – 1} Respuesta: C) y 2 + y + 3 = 0
Problema 2 Las raíces de la ecuación x x 2 4 son:
(x – 3)(x – 6) = 0 de donde la que verifica solo será x = 3 Respuesta: B) Solo x = 3
Problema 3 Una ecuación cuadrática tienen como raíces a 4 y 2. Halle la suma de las cifras del producto de estas raíces, siendo el discriminante de la ecuación. UNI 2006 - II Nivel difícil B) 11 D) 13
A) 10 C) 12 E) 14
A) solo x = 6 B) so lo x = 3 D) x 6 , x = 3 E) No existen soluciones Resolución:
x x 2 4
x 2 4 x
Elevando al cuadrado y teniendo en cuenta que
x0
Si: – 1 x 0 Eliminando los valores absolutos: 3x+1 + 3x – 1 = 3 x + 2 Reduciendo: 3 x+1 = 3
De donde: x = 0
Suma de Raíces S 2 2
0 1 x 0
Producto Raíces P 2 2 8
Luego la ecuación será: x 2 (2 2)x 2 2 8 0
Luego calculando el discriminante: 2
(2 2) 4( 2 2 8) 36
Luego: Producto de Raíces = (40)(34) = 1360
cifras 10 Respuesta: A) 10
Si: x < –1 Eliminando los valores absolutos: x
3 –x –1 3 x – 1 3 2 Reduciendo: 3 –x–1 = 3 Tenemos: –x – 1 = 1 De donde: x –2 C.S. {–2;0} Piden: –2 + 0 = –2 Respuesta: B) –2
Problema 4 Si {x1; x 2} es el conjunto solución de:
Problema 5 Las raíces de la ecuación x x 2 4 3 1 3 2 3 son: entonces la suma de x 1 y x 2 es: UNI 2008-I UNI 2008-I Nivel intermedio Nivel fácil A) Solo x = 6 A) –4 B) –2 B) So lo x = 3 C) 2 D) 4 C) x = 3, x = 6 E) 0 D) x 6 , x = 3 E) No existen soluciones Resolución: x 1
x
– 3 x – 1 3x 2
x – 2 0 4 – x 0
Si: 3
tenemos x2 – 9x + 18 = 0
Si: x 0
LIBRO UNI
3x = 1
Resolución:
x 1
C) x = 3, x = 6
Reduciendo: 3x . 3 –2 . 3 x – 1 = 0 Tenemos:
Tenemos: x + 1 = 1
UNI 2007 - II Nivel intermedio
Eliminando los valores absolutos: 3x+1 – (3 x – 1) = 3x + 2
x
Resolución:
x x 2 4 24
x 2 4 x
ÁLGEBRA
ECUACIONES
Exigimos más! Elevando al cuadrado y teniendo en cuenta que: x 2 0 4 x 0
x 1 5 x 1 17 2 2 como x > 0:
2
Tenemos: x – 9x + 18 = 0 (x – 3)(x – 6) = 0 de donde la que verifica solo será x = 3. Respuesta: B) x = 3, x = 6
x1 1 5 x 2 1 17 2 2 x1 x 2 2 5 17 2 Respuesta: B)
Problema 8 Determine el polinomio mónico de menor grado de coeficientes enteros que tenga como raíces a los números reales 2 3 y 3 2. Dar como respuesta la suma de sus coeficientes. UNI 2007 - II Nivel intermedio A) 28 B) 42 C) 56 D) 70 E) 84
2 5 17 2
Resolución: Por el teorema de la paridad de raíces Problema 6 irracionales: Si una raíz es 3 2 la otra Problema 7 La suma de todas las soluciones posiserá (3 2) la cual origina el polinomio La función polinomial: tivas de la ecuación: cuadrático x2 + 6x + 7. 2 10 F(x, y, z) (x y)(y z 3) 6 x x2 Análogamente: Si la otra raíz es 2 3 2 1xx 4 2 la otra será 2 3 que origina el [(Z y)(y x 3)] (x y z 3) es: polinomio: (x 2 + 4x + 1). UNI 2009-II tiene N raíces (x, y, z). Entonces N es Por lo tanto el polinomio mónico será: Nivel difícil igual a: P(x) = (x2 + 6x + 7)(x 2 + 4x + 1) UNI 2008 - I 2 5 17 Nivel fácil Nos piden: P(x) (14)(6) 84 A) 2 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Respuesta: E) 84 Problema 9 2 5 17 B) Resolución: Dados los siguientes polinomios: P(x) 2 2 4 (x y)(y z 3) (z y)(y x 3) de grado 2 y término independiente 5 17 2 0 0 uno; y Q(x) = (x – 1) P(x) + 3x + 1. C) 2 2 (x y z 3) 0 Si Q(2) = 7 y P(1) = 2, halle la suma 0 de raíces de Q(x). 3 5 17 D) Se genera un sistema de ecuaciones: UNI 2004 - II 2 Nivel intermedio x y 0 y z 3 0 3 5 17 A) 0 B) 8/3 E) z y 0 y x 3 0 2 x y z 3 0 C) 10/3 D) 4 E) 5 Resolución: De donde: Piden: x > 0 Resolución: x y 0 De los datos: P(x) = ax 2 + bx + 1 1 z y 0 Llamemos a: Q(x) = (x – 1) (ax 2 + bx + 1) + 3x + 1 x y z 3 0 x2 + x + 1 = m; m > 0 C.S. (1,1,1) Pero: Q(2) 7; (1)(4a 2b 1) 7 7 Del dato: x y 0 4a 2b 1......(1) 10 y x 3 0 2 2 7 (1 x x ) P(1) 2 ; a b 1 2 x y z 3 0 1 x x2 a b 1...(2) 10 C.S. 7m Reemplazando : de (1) y (2) = a 3 / 2;b 5 / 2 m y z 3 0 m2 7m 10 0 De donde: C.S. (m 2)(m 5) 0 z y 0 3 x y z 3 0 m2m5 Q(x) 3 x3 4x 2 3 x 2 2 y z 3 0 Reemplazando: se pide: x2 x 1 2 x 2 x 1 5 y x 3 0 C.S. (2; 1,2) 4 x y z 3 0 x2 x 1 0 x 2 x 4 0 x1 x2 x 3 4 8 3 / 2 3 Nesiguala2 Utilizando la fórmula general: Respuesta: C) 2 Respuesta: B) 8/3 LIBRO UNI
25
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
NÚMEROS REALES DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE LOS NÚMEROS REALES
(M4) a : !1 / a 1 1 a a (Existencia y unicidad del elemento neutro)
El sistema de los números reales, es un conjunto provisto de dos operaciones internas (adición y multiplicación) y una relación de orden y otra de igualdad.
(M5) a – {0} : !a 1 / a a –1 a–1 a 1 (Existencia y unidad del elemento inverso)
Notación
C. Axioma distributiva
Denotamos por al conjunto de los números reales.
Distributividad de la multiplicación respecto de la adición.
A. Axiomas de adición
(D1) a, b, c : a(b c) ab ac
(A1) a, b : a b
(D2) a, b, c : (b c)a ba ca
(Clausura o cerradura)
D. Relación de orden
(A2) a, b : a b b a
Es una comparación que se establece entre 2 elementos de un conjunto que pertenece al campo de los números reales, el campo real es un campo ordenado.
(Conmutatividad) (A3) a, b, c : a (b c) (a b) c (Asociatividad)
Símbolos de la relación de orden: > : "mayo r que"
(A4) a : !0 / a 0 0 a a
< : "menor que"
: "menor o igual que" : "mayor o igual que"
(Existencia y unidad del elemento neutro)
II. DESIGUALDAD (A5) a : !(–a) / a (–a) (–a) a 0
Es una relación de orden que se establece entre dos números reales de diferente valor.
(Existencia y unidad del elemento inverso)
Existen dos tipos de desigualdades. B. Axiomas de multiplicación
(M1) a, b : ab
6>1
(Desigualdad verdadera)
5 < –2
(Desigualdad falsa)
(Clausura) A. Axioma de tricotomia
(M2) a, b : ab ba
Si a b , entonces una y solamente una
(Conmutatividad)
de las siguientes relaciones se cumple:
(M3) a, b, c : a(bc) (ab)c (Asociatividad) LIBRO UNI
26
ÁLGEBRA
NÚMEROS REALES
Exigimos más! •
B. Axioma de transitividad
Si: a x b ab 0 entonces:
Si: (a b) (b c) (a c); a, b, c
0 x 2 Max(a2, b2 )
C. Otros axiomas y teoremas de la desigualdad
a,b,c,d , se cumple: • •
•
Si: 0 a b entonces a a b b 2
•
Si: 0 a b entonces a ab b
a b a c b c
a b c d a c b d D. Propiedades de desigualdades entre medias
•
Si: x1; x2; ... xn son números positivos, se define:
Si: a b c 0 ac bc
• •
a b Si: a b c 0 c c
•
Si: a b –a –b
Media aritmética de x 1; x2; ... ; xn n MA (x1; x2; ...; xn) = 1 x i n i1
•
Media geométrica de x 1; x 2; ...; xn n
•
Si: 0 a b 0 c d 0 ac bd
•
a ; a2 0
MG (x1; x2; ...; xn) = n xi i1
•
Media armónica de x 1; x2; ...; xn MH (x1; x2; ... xn) =
•
ab 0 {(a 0 b 0) (a 0 b 0)}
•
ab 0 {(a 0 b 0) (a 0 b 0)}
•
n x1 i1 i n
Media potencial de x 1; x2; ...; xn n
•
MP (x1; x2; ...; xn) =
1 a y tienen el mismo signo a – {0} a
x k k i i 1
n
Entonces: •
Si a y b tienen el mismo signo y a b 1 1 a b
•
Si: ab 0 a x b 1 1 1 a x b
MP MA MG MH Para dos números: a b, K k k a
bk a b ab 2
•
a b a2n–1 b2n–1 , n
•
0 a b a2n b2n , n
•
a b 0 a2n b2n; n LIBRO UNI
2
2 11 a b
E. Recta numérica real
Es la recta geométrica donde se puede ubicar los números reales, es decir, existe una correspondencia biunivoca entre el conjunto de los números reales y esta recta. 27
ÁLGEBRA
NÚMEROS REALES
Exigimos más!
, – son símbolos ideales, no son números rea-les, son simples representaciones.
problemas
resueltos
Problema 1
Luego:
Sean a, b, c y d cuatro números reales positivos tal que a – b = c – d y a < c. Decir la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1 1 (c d) (a b) c a
I. II.
UNI 2008 - II
n
ai
1 d 1 b c a
a c , si a b b d
A) a1n i1 n
bd, ac a c b d
c a , si c d d b
Nivel fácil
(V )
n
ai
B)
a1 i 1 n
C)
a1
II. Si c < d a < b
c a III. b d UNI 2004 - I Nivel fácil
III.
ca d b
(F)
a c bd
D)
ab cd
A) FFV B) FVV
ca b d
C) FVF
(F)
ann
E)
n
an
n
ai an
i1
a1
n
ai n an
i 1
n a1 a ai n n i1 n
D) VFV Respuesta: E) VFF
E) VFF
Resolución:
Para un grupo de datos no todos iguales: Resolución:
Problema 2
I.
Sean los números racionales a 1, a2, ...,
Si a < c 1 1 ; si a b a b 0 c a LIBRO UNI
an tales que a 1< a 2 < ... < an–1 < an. Entonces se cumple que: 28
a1
a1 a2 a3 ... a n an n ÁLGEBRA
NÚMEROS REALES
Exigimos más! n
•
ai
a1 i1 n
an
a,b números enteros, a b 1 a2 es un número racional.
• n
ai
Respuesta: B) a1 i1 n
Si k y k 2 es par, entonces k es par. Nivel difícil
B) FFV
Problema 3
C) VFV
D) VFF
Clasifique como verdadero (V) o falso (F) cada una de las siguientes afirma-
E) FFF
ciones:
Resolución:
a,b números enteros, a/b es un número racional.
LIBRO UNI
b) Solución del problema •
Es falso, cuando b = 0.
•
Es verdadero, porque en:
UNI 2009 - I
an A) FVV
•
Número A / A Z B Z 0 racional B
a b (1 a2 0) ; 1 a2
•
Es verdadero: o
2 2. K Z K o
K 2
a) Aplicación de teorema Recordar:
29
Respuesta: A) FVV
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
INECUACIONES DESARROLLO DEL TEMA I.
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
2. Aplicar uno de las teoremas siguientes: I. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) II. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) III. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) IV. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)
Son aquellas inecuaciones de la forma: I. ax 2 + bx + c > 0 II. ax 2 + bx + c > 0 III. ax2 + bx + c < 0 IV. ax2 + bx + c 0 Donde: a 0 ;b, c
D. Método de los puntos de corte
A. Método de resolución de inecuaciones de segundo grado con una incógnita I. Método de completar cuadrados. II. Método de la ley de signos de la multiplicación. III. Método de los puntos de corte. B. Método de completar cuadrados Sea: ax2 + bx + c 0 1. El coeficiente de x 2 debe ser 1, si no lo fuese entonces se divide a ambos miembros entre a. 0 x 2 bx c a a 2. El término independiente se pasa al segundo miembro. b c x2 x a a 3. Se busca obtener un trinomio cuadrado perfecto, sumando a ambos miembros la mitad del coeficiente de x elevado al cuadrado. 2
x 2 2(x) b b c b a 2a 2a 2a
2
4. Escribiendo el primer miembro como un binomio al cuadrado y reduciendo el segundo miembro. 2
5. Finalmente:
x b b2 4ac 2a 4a2
P(x)
Consideraciones previas • En la resolución de una inecuación cuadrática se transpone, si es necesario, todos los términos a un sólo miembro de la desigualdad. 1. Factorizar la expresión cuadrática si es posible; si no se puede factorizar aplicar la fórmula cuadrática. 2. Hallar los puntos de corte (valor de x) igualando a cero el factor o los factores. 3. Ubica los puntos de corte en la recta numérica real. 4. Denotar las zonas o regiones determinadas por los puntos de corte colocando los signos intercalados empezando por la derecha con signo positivo. 5. I. Si: P(x) > 0, el conjunto solución es la unión de intervalos positivos (abiertos). II. Si: P(x) 0 , el conjunto solución es la unión de intervalos positivos (cerrados). II. Si: P(x) < 0, el conjunto solución es el intervalo negativo (abierto). IV. Si: P(x) 0 , el conjunto solución es el intervalo negativo (cerrado). Teorema Sea: ax2 + bx + c > 0; a > 0 Si: b2 4ac 0 b Se verifica para todo x diferente de 2a C.S. : x b 2a Teorema Sea: ax2 + bx + c < 0; a > 0 Si: b2 4ac 0 No se verifica para ningún valor real "x".
Teorema
x2 m x m x m;m 0
x2 m x m x m;m 0 C. Método de la regla de signos de multiplicación Sea: ax 2 + bx + c 0 1. Se factoriza el trinomio (factor común, diferencia de cuadrados, aspa simple) LIBRO UNI
Sea: ax2 + bx +c 0
C.S. : x 30
ÁLGEBRA
INECUACIONES
Exigimos más! Teorema Sea: ax2 + bx + c > 0; a > 0 Si: b2 – 4ac < 0 Se verifica para todo valor real “x”. C.S. : x
Ejemplo: (1) Resolver:
B. Caso II
2n P(x) 2n Q(x)
Es equivalente a resolver un sistema constituido a partir de: 0 2n P(x) 2n Q(x)
II. INECUACIONES POLINOMIALES Son aquellas que presentan la siguiente forma general: P(x) a0 xn a1xn-1 a2 xn-2 ... an-1x an 0
Así:
x Variable a0; a1; a2; ... an Coeficientes n Z n 2 • Reducir el polinomio mediante factorizaciones obteniendo la forma equivalente siguiente:
P(x) 0 Q(x) 0 P(x) Q(x)
Ejemplo: (1) Resolver: x 2 6 x Resolución: 1° x + 2 0 x –2 ... (1) 2° 6–x 0 –x –6 x 6 ... (2) 3° x + 2 < 6 –x 2x < 4 x
Resolución:
Se tiene: P(x) 0 Q(x) Multiplicamos a ambos miembros por:
C. Caso III
P(x) Q(x)
2
P(x) Q (x) 0 Q(x)
Se resuelve el sistema construido a partir de: P(x) 0 ... (1) Q(x) > 0 ... (2) P(x) < Q2(x) ... (3)
Expresión reducida: P(x) Q(x) > 0; no olvidando: Q(x) 0 Para luego utilizar el método de los puntos de corte.
finalmente: C.S. S1 S2 S3
IV. INECUACIONES IRRACIONALES
Ejemplo: Resolver: x 2 3
Se denomina así a aquellas inecuaciones donde la incógnita se encuentra bajo signo radical, los casos más usuales son:
Resolución: 1° x – 2 0 x 2 ... (1) 2° 3 > 0 x R ... ( 2) 3° x – 2< 32 x < 11 ... (3)
A. Caso I
Q(x)
Donde P(x), Q(x) son polinomios; n N se resuelve: P(x) Q(x)2n+1 LIBRO UNI
... (1) ... (2) ... (3)
finalmente: C.S. S1 S2 S3
x a1 x a2 ... x an 0
2n1 P(x)
x 2 1
Resolución: Se obtiene: x – 2 > 1 x>3
Teorema Sea: ax2 + bx + c < 0; a > 0 Si: b2 – 4ac < 0 La inecuación no se verifica para ningún valor real “x”. C.S. : x
Q2 (x)
3
31
ÁLGEBRA
INECUACIONES
Exigimos más! Luego: C.S. S1 S2 S3 C.S. = [2; 11>
–
–
D. Caso IV
P(x) Q(x)
Se resuelve:
P(x) 0
S1 P(x) 0 Q(x) 0 P(x) Q(x) S2 P(x) 0 Q(x) 0 Finalmente: C.S. S1 S2
Estas dos propiedades antes mencionadas nos permiten hacer lo siguiente: – |3(x – 4)| = 3|x – 4| – 2|x + 2| = |2x + 4| – –2|x + 2| = –|2x + 4| –
x +1 x +1 = 3 3
–
x + 2 = – x + 2 –3 3
Comentario Esta propiedad va a ser de gran utilidad en el trabajo de una ecuación e inecuación con un valor
V. VALOR ABOLUTO (V.A)
absoluto.
a. Definición Sea a , el valor absoluto se denota por |a|, el cual se define por:
7. Desigualdad triangular: |a + b| |a| + |b|
a;a 0 a = – a;a 0
En particular si: |a + b| = |a| + |b| ab 0
Ejemplos: 1. |4 – 2| =|2| = 2 2. |3 – 5| =| –2| = –( –2) = 2
Nota: – Generalizando si n o: a2n = |a|2n
B. Propiedades 1. El valor absoluto de todo número real siempre es un número no negativo. a 0 2. El valor absoluto de todo número real siempre es igual al valor absoluto de su opuesto. a = –a 3. El valor absoluto de la multiplicación de dos números reales es igual a la multiplicación de los valores absolutos de los números en mención.|ab| = |a||b|
a2n+1 = |a| 2n.a – ¡Tenga cuidado! Teoría de exponentes x2 = x x 0
4. El valor absoluto de la división de dos números reales (divisor es diferente de cero) es igual a la división de los valores absolutos.
Números Reales x2 = x x
a = a ;b0 b b
5. Todo número al cuadrado, siempre es igual al valor absoluto de la base elevado al cuadrado. a2 = |a|2 6. La raíz cuadrada de todo número elevado al cuadrado, siempre es igual al valor absoluto del número.
VI. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO A. Caso 1
|x| = 0 x = 0 Ejemplo: • |x – 3|=0 x – 3 = 0 x = 3
a2 = a
B. Caso 2 |x| = a (a 0) (x = a a = –a) Ejemplo: • |x – 3| = 5 Si 5 0
Nota: – Hagamos la siguiente generalización: x – a; x – a 0 x – a = – x + a; x – a 0 es de la forma: S a; b c; . Halle a + b + c. UNI 2009-I A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5 Resolución: (2 x – x)(3 x – log 3x)(x 2 – 9)(3 x – 9) > 0 Resolviendo:
x 2 2bx c 0
De donde: 3x log3 x 3x log3 x 0; x 0 Resolviendo: (2x –x)(3x –log3x)(x+3)(x–3)(3 x –9) > 0 C.V.A. = Si: log 3x R x > 0
x 3; 5
Operando: a) Aplicación de fórmula o teorema • •
b Suma de raíces: x 1 + x2 = a c Producto de raíces: x1x 2 a
Reduciendo: (x – 3)(3 x – 9) > 0 (x 3 0 3x 9) (x 3 0 3 x 9) (x 3 x 2) (x 3 0 3x 9) x > 3 x < 2..... S1 Luego: C. S.: C. V. A S 1 3 ; + S = 0; 2 a b c a + b + c = 5 Respuesta: E) 5 Problema 3 La inecuación x 2 – 2bx – c < 0 tiene como conjunto solución 3;5 . Halle b + c.
LIBRO UNI
A) 16
Resolución: Analizando:
x x 2 -x x 3 (x 3)(3x 9) 0 3 -log3x
Respuesta: B) –4
UNI 2008 - II B) 18 C) 20 D) 22 E) 24
33
b) Solución del problema –3 5 serán raíces de la ecuación: x2 – 2bx – c = 0 Entonces: x1 x 2 2 b 1 2b
x1 x 2 15 c 15
c
Conclusión b + c = 16 Respuesta: A) 16 ÁLGEBRA
INECUACIONES
Exigimos más! –14 4x
Problema 4
2x 6
Resolver:
7 x 2
|2x + 6| = |x + 8|
x –10 –
Nivel fácil
Resolución:
x 3
7 x 3 2
x –10 –
x = 2
3x = –14 x = –
14 3
Problema 5 Resolver: |3x + 5| = 2x – 3 Nivel intermedio
Resolución:
Aplicando el teorema: |x| = a a 0 (x = a x = –a) Entonces: 2x –3 0 (3x+5=2x –3 3x+5= –2x+3) 3 (x = –8 5x = –2) 2
x = –
–10
–7 2
3
+
7 Respuesta: x – ; 3 2
14 Respuesta: C.S.= – ;2 3
x
–
2 5
3 (F) 2
– 2 3 (F) 5 2 Respuesta: C.S. =
Problema 6 Resolver: |3x + 4| x + 10
Nivel intermedio
Resolución:
Aplicando el teorema: |x| a (a 0) ( –a x a) Entonces: x+10 0 ( –x –10 3x + 4 x + 10) x –10 ( –x –10 3x+4 3x+4 x+10) LIBRO UNI
E)
0;
1 D) 2 ; 0
Operando: I. Calculando el conjunto A (de la inecuación). i) x 0 : 0 1 C.S.i 0; ii) x 0 : x - (-x)
1
2x 1
Problema 7 Sea la igualdad:
1 2x 1
x a b x a b .....(*) entonces la proposición verdadera es: UNI 2009 - I Nivel fácil A) (*) si y solo si x 0 a2 b2 B) (*) si y solo si x = a = b C) (*) si y solo si x 0 a b D) (*) si y solo si x 0 a b E) (*) si y solo si x = a = –b
1 x 1 pero x 0
2 2 II. Calculando el conjunto B (de la inecuación)
i) 1 x 0 : 2x 1 1 2
1 2x 1 0 x 1 , pe
1 x0
x y x y x y
2
b) Solución del problema (x a b) x a b x a b (x a b) 2b 2a 2x 0
Conclusiones ab x 0 Otra solución Tenemos: x a b x a b (2x) (2b – 2a) = 0
1
Como x A ; 2
Resolución: a) Aplicación de fórmula o teorema
Como: –8
1 , 0 2
B x A / x – x – 1 1
|a|=|b| a = b a = –b 2x + 6 = x + 8 2x + 6 = –x –8
C)
Resolución A x / x – x 1
Intersectando:
Aplicando el teorema:
1 1 B) , 2 2
A)
C.S. ii) x 0 : 1 1 11 C.S.ii 0; C.S. C.S.i C.S.ii 0;
B 0; Calculando A–B
x = 0 a = b Recuerda: x y (x y)(x y) 0 Problema 8 Sean los conjuntos: A x / x x 1 y B x A / x x 1 1
Entonces podemos decir que A\B es: UNI 2009-II Nivel intermedio 34
A B 1 ;0 2 Respuesta: D) 1 ; 0 2 ÁLGEBRA
INECUACIONES
Exigimos más! Problema 9 Dada la siguiente relación: y y x x diga cuál de las siguientes gráficas es la que le corresponde: UNI 2010 - I Nivel difícil
A)
B)
Resolución:
Ubicación de incógnita Encontrar la gráfica de la relación.
Si: x 0 y 0 y x y x 2x 0 y x
Análisis de los datos o gráficos y y x x yx y x
Operación del problema Si: x 0 y 0 y x y x
Si: x 0 y 0 y x y x xy y
x
y
C)
D)
Si: x 0 y 0 y x y x 2y 0 y 0
Luego:
x
y
y
E) x
LIBRO UNI
35
Respuesta: D)
ÁLGEBRA
x
ÁLGEBRA
FUNCIONES DESARROLLO DEL TEMA Por el diagrama del árbol A B AxB
La palabra función se escu chará muy a menudo en la misma vida diaria por ejemplo en las siguientes frases: 1. Los precios están en función a la oferta y la demanda. 2. El volumen de una esfera está en función del radio de la misma.
m
Y así podría escucharse otras frases que nos dan una idea intuitiva del concepto de una función, el concepto intuitivo de función. "Es la relación de 2 ó más conjuntos bajo una regla o ley". El objetivo es esquematizar el concepto intuitivo en una definición formal, pero antes daremos algunos conceptos previos.
n
p
(m,p)
q
(m,q)
r
(m,r)
p
(n,p)
q
(n,q)
r
(n,r)
Por el diagrama sagital o de Ven
I. PAR ORDENADO
A
B
m
p q
Es un conjunto de 2 elementos denotado así: (a;b) Donde: a: se llama 1.a componente. b: se llama 2. a componente. Que formalmente se define así: (a,b) = {{a}, {a, b}}
n
r
A B m,p , m, q , m,r , n,p , n,q , n,r Por el diagrama cartesiano
Teorema:
(a,b) = (m,n) a = m b = n
II. PRODUCTO CARTESIANO Dados 2 conjuntos A y B no vacíos el producto cartesiano de A y B denotado por A x B se define: A B m,p , m,q , m,r , n,p , n,q , n,r
A x B a,b / a A b B
III. RELACIONES
Ejemplo: Sean A = m, n , B p, q,r A x B = {(m,p), (m,q), (m,r), (n,p), (n,q), (n,r)} B x A = {(p,m), (p,n), (q,m), (q,n), (r,m), (r,n)}
Dados 2 conjuntos no va cíos, A y B se llama relación R de A en B a todo subconjunto de A x B. Ejemplo: Sea A = {m, n}, B = {p, q,r}
Vemos que:
A x B B x A A B LIBRO UNI
A x B m,p , m,q , m,r , n,p , n, q , n,r 36
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más! Ejemplo:
Se citan las relaciones: R1 m,p , n,p , n, r
f
A
B
R 2 m, q , n, p , n, q
m
1
R 3 m, q
n
2
p
3
q
7
IV. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Una función f es una correspondencia entre 2 con juntos A y B tales que a cada elemento a A le co-
Df = A m,n,p, q , Rf 1, 3
rresponde un único elemento de B.
Observación:
Se llama función f al conjunto de pares ordenados (a,b) que: Para cada a A, !b B / a, b f asimismo: a,b f (a,c) f b = c
Si: x,y f función de A en B se denota, y = f(x), se dice: y: es imagen de x bajo f.
Ejemplo
x: es la preimagen de x bajo f. x: variable independiente. y: variable dependiente. C. Cálculo del dominio y el rango
Cumple la definición, por tanto f es una función.
El dominio se halla ubicando los posibles valores que puede asumir la variable independiente. El rango, dependiendo del dominio considera los valores de la variable dependiente.
Ejemplo:
Ejemplo:
f 3, a , 4, a , 5,b
A
f
3
B
Halle el dominio y el rango en:
m
7
n
9
p
f x
f 3,m , 3,n , 7,p , 9,n
I)
25 x 2 x2 7
Df = x R / 25 x2 0 x 2 7 0
2 = x R / x 5 x 5 0 x 7 0
– No se cumple la condición de unicidad. – No es función.
x 5,5 x , 7
"No deben existir 2 o más pares ordenados con el mismo primer elemento".
x 5 , 7
7;
Df = x 5 , 7
A. Dominio de una función
7,
7 ,5
Se llama así al conjunto de todas las primeras compoII)
nentes que coinciden con los elementos del conjunto de partida denotado por Df (dominio de f). Df = { x A / !b B a,b f}}
Rf = R+ 0
D. Gráfica de una función
Se define como el conjunto de los pares (x,y) x, y R x R / x Df Rf
B. Rango de una función
Es el conjunto de todas las segundas component es de todos los pares ordenados de f, denotado por R f (Rango de f). Rf b B / a A a, b f LIBRO UNI
Así:
A
B
C
D
E
Sea: f 3,5 , 2, 2 , 1, 2 , 4, 3 , 5, 4 37
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más!
D. Función escalón unitario
Observación:
•
•
0, x a U x 1, x a
Si tanto la variable independiente "x" y la variable dependiente "y" son reales se llama función real en variable real. Si los pares son continuos la gráfica obtenida es una línea.
E. Propiedad de las funciones reales f es una función real de variable real si y solo si cada recta vertical corta a lo más en un punto a su gráfica. E. Función signo (sig.x)
Ejemplo:
1 x 0 y Sig x 0 x 0 1 x < 0
V. FUNCIONES ESPECIALES A. Función identidad
F. Función máximo entero f x
x n n x n 1,n Z
2 2 x 1 1 1 x 0 f x x 0 0 x 1 1 1 x 2 2 2 x 3
B. Función constante
y 2 1 -2
-1 O -1
C. Función valor absoluto
-2
x x 0 f x x 0 x 0 x x < 0
LIBRO UNI
1
38
2
3
Df=R Rf=z
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más! G. Función inverso multiplicativo
f x 1 x
I. Función potencial f x
/ x 0 ; f x 1/ x; x 0
VI. TRAZADO DE GRÁFICAS ESPECIALES
H. Función polinomial
En esta sección veremos una forma rápida de construir las gráficas de algunas funciones definidas a partir de otras cuyas gráficas se asumen conocidas. En este sentido, dada la gráfica de una función de base y = f(x) veremos primero la forma de construir rápidamente las gráficas de las funciones siguientes: 1. g(x) = f(x) + k; g(x) = f(x - h); g(x) = f(x-h)+k 2 . g(x) = -f(x); g(x) = f(-x); g(x) = -f(-x) 3. g(x) = af(x); g(x) = f(ax); ( a 0 ) 4. g(x) = |f(x)|; y 5. g(x) = f(x) [Todas en base a la gráfica y = f(x)]
1. Función lineal
f x ax b ; a 0
2. Función cuadrática a 0
(1a) La gráfica de g x f x k se obtiene despla-
f x ax 2 bx c; de raíces x 1, x2 Discriminante:
xn / n N
zando verticalmente la gráfica de y = f(x) en |k| unidades:
= b2 – 4ac
i) Hacia arriba, si k > 0 ii) Hacia abajo, si k < 0 y
g(x) = f(x)+2 y = f(x)
2
h(x) = f(x)-2 O -2
(1b) La gráfica de g x f x h se obtiene despla-
3. Función cúbica
zando horizontalmente la gráfica de y = f(x) en
f x ax 3 bx 2 cx d
dades: i) Hacia la derecha, si h > 0 ii) Hacia la izquierda, si h < 0
Reemplazando x por x b se transforma en: 3a
k x 3 px q
pues si f(x) = x 2, entonces: f(x – 4) = (x – 4) 2 = g(x) f(x + 3) = (x + 3) 2 = j(x)
f1 x x 3 px q , de raíces x1, x 2 , x 3 llamamos discriminante: 2
3
q p 2 3
LIBRO UNI
h uni-
Donde en el caso de: j(x) = (x + 3) 2 [x – (–3)] 2 se tiene que: h = –3 ( 1, con base en el eje X.
este eje como doble espejo. Todo lo que está encima del eje X pasa abajo, y viceversa.
ii) Si: 0 < a < 1, escogiendo la gráfica de: y = f(x) verticalmente en un factor a.
y
(3b) La gráfica de y f ax , a > 0, se obtiene:
-f
y=-f(x)
en un factor a, si a > 1, con base en el eje Y.
x
O f
(2b) La gráfica
i) Encogiendo horizontalmente la gráfica de y = f(x) ii) Estirando horizontalmente la gráfica de y = f(x) en
y=f(x)
un factor a, si 0 < a < 1.
y f x se obtiene por reflexión
Gráfica de: y = |f(x)|
de la gráfica de y = f(x) sobre el eje y considerando a
Desde que:
este eje como doble espejo. Todo lo que está encima del eje y, pasa abajo y viceversa.
f x , si f x 0 f x 0 f(x), si f x 0
y f x
y y=f(x)
f(x)=f(-x)
y=-f(x)
Entonces la gráfica de: y f(x) se encontrará completamente en el semiplano superior y 0 y se obtiene a
-x
O
x
partir de la gráfica de la función y = f(x); reflejando
x
hacia arriba del eje x todo lo que este debajo de este eje, quedando intacta la parte de la gráfica de: y = f(x)
(2c) La gráfica de
que originalmente ya se encontraba arriba o en el mismo
y f x se obtiene combinado
eje x (es decir, en la zona y 0).
(2a) y (2b). LIBRO UNI
40
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más!
VII. FUNCIONES PARES, IMPARES Y PERIÓ-DICAS
si existe un número real T 0 , tal que: x Domf x T Dom f ii) f (x + T) = f(x) . x Dom f
i)
A. Función par
Una función f se llama función par si: i) x Domf x Dom f
Tal número T es llamado un periodo de T. y
ii) f (–x) = f(x) En este caso la regla de correspondencia y = f(x) no varía si se reemplaza x por – x. Geométricamente, la gráfica es simétrica respecto al eje y.
f(x)
0
x
x+T T
x+2T x+3T
x
Note que f(x+T) = f(x)
Toda función periódica con periodo T tiene su gráfica de modo tal que la misma forma que tiene en un intervalo de longitud T se repite horizontal y periódicamente en el siguiente intervalo consecutivo de longitud T. Note que si T es un periodo de f, entonces 2T, 3T... también son periodos de f. Las funciones seno y coseno tienen periodo T = 2 : Sen(x + 2 ) = Senx . Cos(x + 2 ) = Cosx; x R También vemos que: 2 . 4 .6 ...2k
Así tenemos que las funciones f(x) = x 2, f(x) = Cosx, f(x) = x 4, son funciones pares. B. Función impar Una función f se llama función impar, si:
i) x Domf x Dom f ii) f (–x) = –f(x)
con k
entero 0, son periodos de seno y coseno, siendo 2 el menor periodo positivo.
Aquí la r egla de correspondencia y = f(x) no varía si se reemplaza simultáneamente tanto x por – x como y por – y. Por lo tanto, su gráfica es simétrica res-pecto al origen.
Definición Se llama periodo mínimo de una función periódica al menor de sus periodos positivos.
y
f
VIII. ÁLGEBRA DE FUNCIONES
f(x) -x 0
A. Igualdad de funciones
x
x
Dos funciones f y g son iguales si:
f(-x)=-f(x)
i) Dom f = Dom g
Son funciones impares: a) f(x) = x3 b) f(x) = sen x c) (x) = 1/x
ii) f(x) = g (x), x Dom f
En tal caso se denota f = g.
Una función que es a la vez par e impar es, por ejemplo: f(x) = 0, x 5 , 2 2 ,5 .
Así tenemos q ue las funciones: f(x) = x 2 –x, x 0, 4 ; g(x) x 2 x, x 0, 5
y
-5
-2
0
No son iguales, pues aunque tienen la misma regla 2
5
de correspondencia, sus dominios no coinciden.
x
B. Adición de funciones
C. Funciones periódicas
Recordemos que una función está completamente
Una función f, en R, se denomina función periódica LIBRO UNI
41
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más! definida cuando se especifica su dominio y su reg la
Asimismo:
de correspondencia.
c . f x, c f x / x Dom f para cualquier constante real c.
Definición: si f y g tienen dominios Dom f y Dom g, se define una nueva función llamada.
C. División de funciones
Si f y g son funciones con dominios Dom f y Dom g, Función Suma
se define la nueva función "cociente" denotada por
"f + g", tal que:
"f/g", tal que:
i) Dom f g Dom f Dom g
i) Dom (f/g) = Dom f x Dom g / g(x) 0
ii) (f + g)(x) = f(x) + g(x)
= Domf Dom g x Domg / g(x) 0
C. Sustracción y multiplicación de funciones
Si f y g tiene dominios Dom f y Dom g, se definen
ii)
f / g x
las funciones:
g x
Dom f g Dom f Dom g
Es así, que:
ii) (f – g)(x) = f(x) – g(x)
f / g x,
2. Multiplicación "f . g" i)
Dom (fg) = Dom f Dom g
ii)
(f . g)(x) = f(x) g(x)
, x Dom (f / g)
La condición (i) exige que el dominio de f/g no debe contener los valores de x que hagan que g(x) = 0.
1. Diferencia "f – g" i)
f x
/ x Dom f / g g x f x
IX. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dadas 2 funciones f y g la función composición denotado por fog se define así: • fog = {(x;y)|y = f(g(x))}
f g x f x g x / x Dom f Dom g
•
Dfog = x Dg g(x) Df
Esquematizando con el diagrama sagital:
f g x, f x g x / x Dom f Dom g Notación La multiplicación de una función por sí misma:
f 2 f : f : f n f.f...f (n veces), n
Donde: Dom(fn) Domf Domf ... Domf Domf Por lo tanto: el dominio de cualquier potencia entera positiva de f tiene el mismo dominio de la función f.
Ejemplo: f = {(3;5), (4;3), (5;2)}
Así:
f 2 x, f x .f x / x Dom f
LIBRO UNI
g = {(5;3), (3;5), (7;2)}
42
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más!
X. FUNCIÓN INVERSA Definiciones previas. A. Función inyectiva
Llamada también univalente o uno a uno, se dice inyectiva si a cada elemento del rango le corresponde un único valor del dominio. Formalmente: f es inyectiva si para: x1; x2 Df x1 x 2 f(x1 ) f(x2 )
Equivalentemente: f(x1 ) f(x 2 ) x1 x2
fog = {(5;5), (3;2)} Ejemplo:
Ejemplo: Ver f(x) x 1 es inyectiva. x 1
f(x) 4x 3 , x 15, 22 g(x) 3x 1, x 7,14
Resolución:
•
(fog)(x) = f(g(x)) = 4(3x – 1) + 3 = 12x – 1
•
Dfog x 7,14 3x 1 5, 22
Sean x1 ; x 2 Df Si: f(x1) = f(x2) x1 1 x2 1 x1 x2 x1 1 x2 1
x 16 , 23 3 3 x 7, 23 3
f es inyectiva.
fog(x) 12x 1 / x 7, 23 3
Teorema f es inyectiva si todo vector horizontal corta su gráfica a lo más en 1 punto.
Propiedades de la composición de funciones
Ejemplo:
Dadas las funciones f, g, h, I (identidad) 1.
(fog)oh = fo(goh) [asociativa]
2.
Si I es la función identidad: foI = f
función f:
Iof = f
3.
(f + g)oh = (foh) + (goh)
4.
(fg)oh = (foh) . (goh)
5.
fog goh, en general
6.
InoIm = Inm; n,m, Z+
7.
Ino(f + g) = (f + g) n, n Z+
8.
I n oIn | I |, para n par Z+
9.
I n o In In o I n I , n Z+, impar
1
1
1
LIBRO UNI
43
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más! B. Función suryectiva (epiyectiva)
x
Sobreyectiva o sobre. Se dice suryectiva si el conjunto de llegada queda cubierto por el rango de ese modo coincidiendo el rango y el conjunto de llegada.
f x 1 f x 1
f x x 1 x 1
f x x
Df* = R – {1} ; Rf* = R – {1}
XII. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA Conociendo la gráfica de la función f(x) la gráfica de f*(x) se obtiene reflejando en el eje de la función identidad, así:
C. Función biyectiva
Una función se dice que es biyectiva si es inyectiva y suryectiva a la vez.
XI. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INVERSA Dada una función f x, y / y f x inyectiva se
Propiedades:
define la función inversa denotado por f* como lo que: f x, y / y f x , x Df y f x
f* y; x / y f(x) x Df
f* y, x / y f x , x Df x f * y
y f x
De donde:
f * y x
x DF
Df* = Rf, Rf* = Df I. f * f x x; x Df Ejemplo: Halle la inversa de f(x) x 1 si existe. x 1 Resolución:
II.
Se ha visto que es inyectiva, es a su vez suryectiva.
III. (fog)* = g* o f*
f f * y y; x Df* Rf
IV. (f*)* = f
su inversa Para hallar la inversa se despeja "x".
LIBRO UNI
44
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más!
problemas
resueltos
Nivel difícil
Problema 1 Sean A y B conjuntos no vacíos, señale la alternativa que presenta la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F): I.
Si:
Respuesta: C) VFF A) 1;2
Problema 2
f = {(3, 1); (2, –3); (5, 0); (4, –4); (1, 1)}
(x, y);(x,z) f {(x, y) /x A, yB} AxB
implica que y = z, entonces po-
(2, 1)} h = {(1, –4); (3, –2); (5, 0); (7, 2)}
C)
1;1
E)
;
Resolución :
y K
II. Toda función sobreyectiva f: A B es inyectiva.
0 ;1
D) 0 ;
g = {(–4, 3); (–2, 7); (0, 0); (1, 5);
demos decir que f es una función de A en B.
B)
Dadas las funciones:
Determine la función compuesta f o g
III. Toda función inyectiva f: A B es
x K
o h.
sobreyectiva.
1 x K
Nivel intermedio
B) VFV
A) {(1, 0); (5, 1)}
1 x K 1 ; y K y K y K
UNI 2010-I
A) VVV
; x K
f * (x) K
1 ; x K x K
f(x) f * (x)
C) VFF
B) {(3, –3); (5, –4)}
D) FFV
C) {(1, 1); (7, 1)}
Lo cual se cumple para cualquier valor
E) FFF
D) {(1, 1); (2, –3)}
real de K, es decir: K ; .
UNI 2010-I
E) {(3, –1); (7, 1)}
Respuesta: E) ;
Nivel fácil Resolución:
Resolución:
I.
Verdadero
f={(3;1), (2;–3), (5;0), (4;–4), (1;1)}
De acuerdo a la condición de unici-
g={(–4;3), (–2;7), (0;0), (1;5), (2;1)}
dad esta proposición es perfecta-
h={(1;–4), (3;–2), (5;0), (7;2)}
Problema 4 El rango de la función f :
definida por: f(x) x 1 es: x
mente válida.
UNI 2007 - II
Calculando goh:
A)
2, 2
f = {(3;1), (2;–3), (5;0), (4;–4), (1;1)}
B)
2, 2
fo(goh) = {(1;1), (7;1)}
C)
1, 1
D)
1, 1
E)
0
goh = {(1;3), (3;7), (5;0), (7;1)} II. Falso No necesariamente, por ejemplo: F : 1;2 0; 4
y F(x) x 2
Es una función sobreyectiva, pero no es inyectiva.
Respuesta: C) {(1;1), (7;1)}
Problema 3 Resolución:
Dada la función: III. Falso
f(x) K
No necesariamente, por ejemplo: : 1;3 2; 4
y F(x) 2x 1
Es una función inyectiva, pero no
1
; x K x K
Halle todos los valores que puede tomar K para que la gráfica de la función f y de su inversa sea la misma.
es sobreyectiva.
LIBRO UNI
0
UNI 2010-I
45
Sabemos: x1 2; x 0 x x 1 2 ; x 0 x f(x) 2 f(x) 2
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más! Ranf = ; 2 2 ; 2; 2
Por 5:
II. Como tienen vértices iguales entonces:
13 x 2 7 Respuesta: A)
5
2, 2
5
x 2 7 13 5 f(x)
Problema 5 Luego:
Dada la función: 2
f(x) 5x 7x 8 x3/5
xn n3 4mnp n2 4mp
Rg f 7;13
De la segunda proposición se deduce: Respuesta: D) 7;13
Halle el rango de f . UNI 2008 - I
13 ; 7 5 5
b3 n3 es decir abc mnp
En la figura adjunta se muestra las gráficas de las funciones f y g definidas por:
7 13 5 ; 5
f(x) = ax 2 + bx + c g(x) = mx 2 + nx + p
D) [7;13 E)
7;13]
Resolución:
Piden: Rango de
ambn
Problema 6
13 7 B) ; 5 5 C)
III. a > m, ya que f es más cerrada que g. Siendo: xb b 3 4abc b2 4ac
7 f(x) 13
3 3 definida sobre , . 5 5
A)
– b – n a b 2a 2m m n
f .
De las siguientes relaciones:
Siendo: 2 7x 6 f(x) 5x x3 5
I.
n2 4mp
II.
a b m n
Solo I y II son verdaderas. Respuesta: D) I y II
Problema 7 Sea P(x) = x 3 – 3ax2 – a2x + 3a3, donde a > 0 y Q(x) = –P(x – a). Diga cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: UNI 2009 - II Nivel fácil A) Q(x) P(x); x 0 B) Q(x) P(x); x 0; a C) P(x) Q(x); x a; 2a D) Q(x) P(x); x 2a;3a E) P(x) Q(x); x 3a Resolución: Graficando la función P(x):
III. abc mnp
Tenemos: 5(5x 3)(x 2) f(x) 5x 3
¿Cuáles son verdaderas? A) Solo I
P(x) (x2 a2 )(x 3a)
B) Solo II
Reduciendo:
P(x) (x a)(x a)(x 3a)
C) So lo III
f(x) 5(x 2) 3 3 Si: x ; , entonces: 5 5
5
Del gráfico: f y g tienen raíces reales e iguales.
Restando 2:
3 2 x 2 3 2 5
5
LIBRO UNI
E ) II y III
Resolución:
3 x 3 5
D) I y II
I.
Graficando la función: Q(x) = –P(x – a)
0 para g n2 – 4mp = 0 n2 4mp
46
ÁLGEBRA
FUNCIONES
Exigimos más! Esbozando ambas gráficas:
Respuesta: A) 0;
Problema 3 Indique la gráfica que mejor representa a:
g(x)
x2 4 3 , x UNI 2008 - II Nivel difícil Respuesta: D)
Para x 2a; 3a la gráfica de la función Q(x) está en la parte superior del P(x).
Q(x) P(x); x 2a; 3a
A )
Problema 10
Respuesta:
Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es ver-
D) Q(x) P(x); x 2a; 3a
dadera (V) o falsa (F):
B)
Problema 8
I.
Sea f una función tal que:
con una función impar es un a fun-
f x 2 x 2 x 4 x ; x 4 entonces Dom(f) Ran(F) es igual a: Nivel 2009 - II
ción par. II. El producto de dos funciones im-
C)
pares es una función impar. III. La suma de dos funciones pares
Nivel intermedio
es una función par.
A) [0; B) [1; C)
La composición de una función par
UNI 2011 - I
D)
0;
A) VFV
D) [4;
B) VVV
1;
C) FVV
E)
D) FFV Resolución:
E)
E) VFF
Esbozando la gráfica de: x 2 x Resolución:
(por álgebra de funciones)
Ubicación de incógnita
Resolución:
Valor de verdad
Tenemos:
Operación del problema I.
F par :F( x) F(x) G impar : G( x) – G (x)
La expresión:
(FoG)(x) F(G(x))
x 2 x es inyectiva. Dom(f) = 0;
Ahora:
De donde:
(FoG)(x) F(G( x))
Analógicamente la e xpresión:
(FoG)(x) F(G(x))
2x 4 x
(FoG)(x) (FoG)(x)
es inyectiva:
FoGespar_________(V)
2 x 4 x 4; Ran(f) = 4;
Dom(f)nRan(f) = 0; LIBRO UNI
II. F impar: F(–x) = –F(x)
Luego:
G impar: G(–x) = –G(x) 47
ÁLGEBRA
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