Ayudantía/Laboratorio 1 Variable regionalizada y muestreo MIN 235 – Geoestadística Rodrigo Estay Huidobro
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Función aleatoria Las variables {Z(x), x
d
R
} constituyen una función aleatoria la
variable regionalizada es una realización de una función aleatoria La variable regionalizada es una variable numérica que se distribuye en el espacio. En general, presenta cierta “continuidad” espacial (zonas de altos valores / zonas de bajos valores), pero varía irregularmente y escapa a toda representación representación simple.
Variable regionalizada Una variable regionalizada posee las siguientes características: •
•
Localmente a menudo es muy irregular y no puede ser representada por una función matemática determinista Globalmente presenta cierta organización o estructura en el espacio
Debemos respetar (Principios directores) El modelo debe ser consistente (no incompatible) con los datos. Principio de realismo: encontrar un modelo que entrega una descripción adecuada de la variable, ni demasiado simplificada, ni demasiado formada. Principio de economía: encontrar el modelo menos exigente que permite resolver el problema planteado. Reconstrucción operatoria: plantear el resultado en términos objetivos, susceptibles de ser refutados si se tuviera un conocimiento exhaustivo de la variable regionalizada.
¿Qué se puede modelar?
Modelación en minería
Hacia donde vamos…
Caracterización de una variable aleatoria Una variable aleatoria Z se caracteriza por una distribución de probabilidad, la cual se representa por medio de: •
•
una función de distribución: z R, F(z) = Prob(Z < z) una densidad de probabilidad (variable continua) o una masa de probabilidad (variable discreta).
Se suele considerar parámetros sintéticos (llamados “momentos”) para describir la distribución de probabilidad : • •
esperanza (momento de primer orden) varianza (momento de segundo orden)
Hipótesis simplificadoras Para que la descripción anterior sea operatoria, es necesario poder inferir todo o parte de la distribución espacial a partir del conjunto de datos disponibles. En general, se hacen dos hipótesis simplificadoras: Estacionaridad estricta : la distribución espacial es invariante por traslación en el espacio
n N, x1, ... xn Rd , h Rd , z1, ... zn R,
F(z1,... zn; x1, ... xn) = F(z1,... zn; x1 + h, ... xn + h) Estacionariedad de orden 2: sus dos primeros momentos (esperanza y función de covarianza) existen y son invariantes por traslación. E{Z(x)} = m cov{Z(x+h), Z(x)} = C(h)
independiente de x solo depende de h
Ergodicidad : se puede aproximar las esperanzas matemáticas (promedio sobre las realizaciones) por un promedio en el espacio
Momentos de una función aleatoria Es ilusorio querer caracterizar enteramente la distribución espacial a partir de un número restringido de datos. Por consiguiente, a menudo sólo se considera los parámetros más relevantes o “primeros momentos”, a saber:
esperanza de un valor: m = E[Z(x)]
varianza de un valor: s2 = var[Z(x)]
covarianza entre dos valores: C(h) = cov[Z(x + h),Z(x)]
variograma entre dos valores: g(h) = var[Z(x + h) – Z(x)] / 2
Los parámetros más importantes son los dos últimos, pues modelan la interacción entre dos valores, luego dan una imagen sintética de la continuidad de la variable regionalizada en el espacio. La covarianza indica qué tan semejantes son los valores entre dos sitios, mientras que el variograma qué tan desemejantes son.
Esperanza (primer momento) Es un promedio ponderado por las probabilidades, si existe. Da una idea del centro de la distribución
E { Z } = m =
n
w z i i
i =1
E{Z} = valor esperado o “media” de Z
wi = probabilidad de ocurrencia del iésimo valor. n = número de datos
E a = a E bZ = b E Z E a bZ = a b E Z
E g ( Z ) = g ( z ) f ( z ) dz
Varianza (segundo momento) Nos da una idea de la dispersión de la distribución de la variable aleatoria Z. Se define como la esperanza de la desviación de Z respecto de su media al cuadrado: 2
2
Var { Z } = s = E {[ Z m]
Var { Z } = s
} = E { Z 2 } m 2 0
n
2
= wi ( z i m) 2 i =1
Var a = 0 Var aZ = a 2 Var Z Var b Z = Var Z
Varianza La definición anterior 2
2
Var { Z } = s = E {[ Z m]
} = E { Z 2 } m2 0
Es equivalente a la definición “clásica”
Otras mediciones La desviación estándar, = 2 , que es la raíz cuadrada de la varianza, también es una medida de la variabilidad de los datos respecto a la media. Se escribe en las mismas unidades de la variable. s
s
El coeficiente de variación (CV), que es adimensional, es la razón entre la desviación estándar y la media (s/m).
Relaciones entre los momentos La varianza es el valor de la covarianza para una distancia h = 0: s2 = C(0) En términos de la esperanza, se puede escribir como: Var[Z(x)] = E{[Z(x) – m(x)]2}
El variograma y la covarianza están relacionados entre sí: C(h) = g() – g(h) g(h) = C(0) – C(h)
Cuando la distancia de separación h se vuelve infinita, la covarianza tiende a 0 y el variograma es igual a la varianza.
Resumen
Ejemplo Inferir la esperanza (media) y el variograma a partir del siguiente conjunto de datos espaciados 50m: g(h) = var[Z(x + h) – Z(x)] / 2 = E{[Z( x + h) – Z(x)]2} /2 (demostrar)
1
0
2
3
1
4
3
2
2
0
Ejemplo (solución) El variograma sólo se puede calcular para distancias múltiplos de 50m :
g (50m) = ˆ
1 2 9
g (100m) = ˆ
(12 22 12 22 32 12 12 02 22 ) =1.39
1 28
(12 32 12 12 22 22 12 22 ) =1.56
…
g (450m) = ˆ
1
(12 ) = 0.5
21
Ejemplo Sea Z(x) una función aleatoria estacionaria y Z* el promedio ponderado de los valores que se encuentran dispuestos en un cuadrado de 100 x 100 m. Z* = 0,5*Z(x1) + 0,2*Z(x2) + 0,2*Z(x3) + 0,1*Z(x4) Calcular la varianza de Z* cuan la covarianza espacial de Z(x) es de la forma: C(h) = 2,5*exp(-|h|/200)
x1
x4 100 m
x2
x3
Muestreo •
Hipótesis de trabajo: –
Muestras
–
Cálculo de Recursos
•
Práctica: –
Diseño y Plan Minero
La ley de la muestra es correcta Puede utilizarse como un valor sin incertidumbre
–
Muestra que se toma es pequeña Existe un error respecto a ley del conjunto a representar
Cálculo de Reservas SI LAS MUESTRAS ESTÁN MAL, TODO SALE MAL…
Inversión
Protocolo de muestreo
Protocolos de Muestreo
Preparación en terreno
20 kg
Preparación en laboratorio de preparación de muestra
40 kg
Muestra AR (1 m @ 1 cm)
20 kg
Divisor Riffle
Chancador (-3 mm) Divisor Rotatorio
1 kg
Muestra (1 kg)
R2
Pulverizador (-150#)
250 g
Muestra (1 g Cu 50 g Au)
Muestra (250 g)
R4
R3 Preparación en laboratorio químico
R1
Rechazo grueso
Resumen de errores de muestreo Optimización del Protocolo de Muestreo
Error Fundamental Error Segregación y Agrupamiento
Variabilidad a pequeña escala
Implementación del Protocolo de Muestreo Preservación de Integridad de las Muestras
Error de Delimitación Error de Extracción
Alteración
Errores de Preparación Humanos Fraude
Error Analítico
Error de Interpolación Variabilidad a gran escala
En Tiempo En Espacio
Error de Ponderación Error Periódico
Pérdidas
