1. Udzbenik Matematika 4 A

Др Душан Липовац Ружица Вукобратовић Снежана Тешић

МАТЕМАТИКА

УЏБЕНИК СА РАДНИМ ЛИСТОВИМА ЧЕТВРТИ РАЗРЕД ОСНОВНЕ ШКОЛЕ

4A

импресум

Библиотека ШКОЛСКА КЊИГА Др Душан Липовац Ружица Вукобратовић Снежана Тешић

МАТЕМАТИКА ЗА ЧЕТВРТИ РАЗРЕД ОСНОВНЕ ШКОЛЕ УЏБЕНИК СА РАДНИМ ЛИСТОВИМА ПРВИ ДЕО I издање Рецензенти Проф. др Јанош Пинтер мр Љубица Грковић Татјана Којић, проф. Издавач ИЗДАВАЧКА КУЋА

АТОС www.atos.co.yu Крагујевац Владимира Булатовића Виба 8 Поштански фах 163 e-mail: [email protected] Тел/факс: (034) 30 20 90; 30 20 92 За издавача Владимир Тодоровић, оснивач Уредник Драган Којовић Ликовно-графичко уређење и дизајн Нела Таталовић Илустратор Биљана Миросављевић Лектор Невенка Витковић-Милојевић Тираж 2 000 примерака Штампа Колор Прес, Лапово Министар просвете и спорта Републике Србије одобрио је издавање и употребу овог уџбеника у четвртом разреду основне школе решењем број: 650-02-00098/2007-06, од 23. 03. 2007. године.

разред

4. Драга децо, Пред вама су још две књиге предмета математика и то за ову годину, сличне онима које сте имали у претходним разредима. Математику ви често зовете МАТИШ. Настава тог предмета из ове две књиге ће наставити да вам открива “фазоне” којима ћете лакше учити математику илити МАТИШ. Нашу помоћ, дакле, помоћ уџбеника математике, ћете користити тако што ћете најпре, на почетку сваке стране, на неком задатку, научити одређено правило, а затим проверити како се исто правило примењује на новим задацима. Остале задатке на истој страни треба самостално да решите примењујући сличне поступке као у решеним примерима. Решења и одговоре на питања уписујете на линијама које смо вам оставили, односно у слободне и празне површи. Ако за неки одговор немате довољно простора, забележите га у својој свесци. Решене задатке не треба да памтите, већ је потребно да уочите уз које правило се они решавају. На новим задацима које самостално решавате, примењујте већ стечена знања и настојте да откријете што више нових поступака и правила са бројевима и њиховим операцијама. Тамо где је потребно упамтити - правило, закључак, обавештење - побринули смо се да буду уоквирени или посебно истакнути. Посебни “фазони” вас очекују у геометрији. Није било могуће да се нађе “краљевски пут” у геометрију, али су понуђени поступци да можете да је учите играјући се : уочавањем, сечењем, премештањем, бојењем, попуњавањем. Кренимо, другари, у освајање нових знања из математике.

Аутори

3

предговор Овим уџбеником математике она се учи самосталним радом ученика. Зато све што треба да се упише, уписује се у простор који је за то намењен. Уџбеник садржи велики број задатака и питања. Ученик треба да покуша самостално да реши сваки задатак. Након решавања групе сличних задатака, може се извести закључак. Ако неки задатак, после више покушаја, ученик не може самостално да реши, тек онда га решава уз помоћ других ученика или учитељице.

Аутори

4

4.

разред

САДРЖАЈ

Природни бројеви до 1000 (обнављање градива III разреда) .......................................................................... 7 СКУП ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА N И СКУП N0. Бројање по 1000 до милион .................................................... 11 Записивање декадних јединица као степена броја 10 ........................................................................................ 13 Упознавање бројева до милион .................................................................................................................................. 15 Записивање бројева у облику збира производа ................................................................................................... 16 Читање и писање бројева до милион ......................................................................................................................... 17 Месне вредности цифара ................................................................................................................................................ 18 Месне вредности цифара - задаци ............................................................................................................................... 19 Упознавање декадних јединица већих од милион .......................................................................................... 20 Писање и читање бројева већих од милион ........................................................................................................ 22 Писање и читање бројева већих од милион - задаци ........................................................................................ 24 Уређеност скупа природних бројева .......................................................................................................................... 25 Уређеност скупа природних бројева - задаци ....................................................................................................... 27 Бројевна полуправа ............................................................................................................................................................ 28 Упоређивање бројева. Бројевна полуправа ............................................................................................................ 29 Природни бројеви ............................................................................................................................................................... 30 ЈЕДИНИЦЕ ЗА ПОВРШИНУ. Упоређивање површи ............................................................................................... 31 Мерење површи .................................................................................................................................................................... 33 Површина фигуре ................................................................................................................................................................ 35 Јединице за површину ....................................................................................................................................................... 37 Јединице за површину веће од квадратног метра ............................................................................................... 39 Јединице за површину - задаци .................................................................................................................................. 41 САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ У СКУПУ N - I ДЕО. Појам сабирања и одузимања ...................................... 42 Веза између сабирања и одузимања .......................................................................................................................... 44 Сабирање и одузимање у неколико корака ............................................................................................................ 45 Цифарско сабирање ........................................................................................................................................................... 47 Цифарско сабирање - задаци ....................................................................................................................................... 49 Цифарско одузимање ....................................................................................................................................................... 51 Цифарско одузимање - задаци ..................................................................................................................................... 53 Сабирање и одузимање природних бројева (1) .................................................................................................... 55 Сабирање и одузимање природних бројева (2) .................................................................................................... 56 Задаци са сабирањем и одузимањем (1) ................................................................................................................... 57 Задаци са сабирањем и одузимањем (2) ................................................................................................................... 58 ПОВРШИНА ПРАВОУГАОНИКА И КВАДРАТА. Израчунавање површине правоугаоника .................. 59 Израчунавање површине правоугаоника - задаци ........................................................................................... 61 Израчунавање површине квадрата ........................................................................................................................... 62 Израчунавање површине квадрата - задаци ........................................................................................................ 63 Израчунавање површине правоугаоника и квадрата - задаци ...................................................................... 64 Примењени задаци израчунавања површине правоугаоника и квадрата .......................................... 65 САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ У СКУПУ N - II ДЕО. Изводљивост сабирања и одузимања у скупу N ....... 67 Замена места сабирака ....................................................................................................................................................... 70 Замена места сабирака - задаци ................................................................................................................................... 71 Здруживање сабирака ..................................................................................................................................................... 72 Здруживање сабирака - задаци ................................................................................................................................. 74 Замена места и здруживање сабирака ..................................................................................................................... 75 0 и 1 код сабирања и одузимања .............................................................................................................................. 76 Зависност збира од промене сабирака ................................................................................................................ 77 5

садржај Зависност збира од промене сабирака - задаци .................................................................................................... 79 Непроменљивост збира ........................................................................................................................................................... 80 Непроменљивост збира - задаци ..................................................................................................................................... 81 Зависност разлике од промене умањеника .............................................................................................................. 82 Зависност разлике од промене умањеника - задаци ............................................................................................. 83 Зависност разлике од промене умањиоца ................................................................................................................ 84 Зависност разлике од промене умањиоца - задаци ............................................................................................... 85 Зависност разлике од промене умањеника и/или умањиоца (1) ........................................................................ 86 Зависност разлике од промене умањеника и/или умањиоца (2) ........................................................................ 87 Непроменљивост разлике .................................................................................................................................................... 88 Непромењивост разлике - задаци ..................................................................................................................................... 89 Примена својстава одузимања ............................................................................................................................................ 90 Једначине са сабирањем и одузимањем ...................................................................................................................... 91 Једначине са сабирањем и одузимањем - задаци ..................................................................................................... 93 Решавање једначина са сабирањем и одузимањем .................................................................................................. 94 Неједначине са сабирањем и одузимањем ................................................................................................................... 95 Решавање неједначина са сабирањем и одузимањем ............................................................................................. 97 Једначине и неједначине са сабирањем и одузимањем ......................................................................................... 98 ПОЛУГОДИШЊЕ ПРОВЕРАВАЊЕ ЗНАЊА ..................................................................................................................... 101

6

ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ ДО 1000 Обнављање градива трећег разреда 1.

Прочитај бројеве записане у таблици. 1) На ком месту, гледајући здесна налево, записујемо:

С

Д

Ј

9

7

4

6

0

5

3

5

0

8

0

0

а) јединице; б) десетице; в) стотине? 2) Колико смо цифара користили да запишемо дате бројеве? Како називамо бројеве које записујемо са три цифре?

2.

Запиши број који се састоји од: а) 6 стотинa, 3 десетице и 4 јединицe; б) 8 стотина и 2 јединицe; в) 10 стотина; г) 5 стотина, 1 десетицe и 3 јединицe.

3.

Колико има стотина у бројевима 756, 830, 647, 303? Број 756 има 7 С; , , а) Колико има десетица у сваком од наведених бројева? , , , б) Колико има јединица у сваком од ових бројева? ,

4.

5.

,

. ,

,

,

Поређај следеће бројеве од најмањег до највећег: 435, 534, 345, 543, 453, 354 Напиши прве претходнике и следбенике датих бројева.: Број

89

200

959

609

989

600

450

791

501

1000

следбеник броја Број претходник броја

6.

На слици су дужина, ширина и висина телевизора приказане у милиметрима. Да ли се овај телевизор може ставити у кутију дужине 85 cm, ширине 45 cm и висине 50 cm?

7

Изрази: 7.

а) у метрима: 600 cm =

; 50 cm =

б) у дециметрима: 800 cm =

8.

; 300 dm =

; 250 cm =

;

; 9m=

;

Напиши шест троцифрених бројева користећи само цифре 4, 1 и 8 (не понављајући исту цифру у запису једног броја). То су бројеви: Напиши број одређен изразом:

9.

10.

а) 5 · 100 + 8 · 10 + 9 · 1 =

;

б) 6 . 100 + 0 · 10 + 2 · 1 =

;

в) 0 · 100 + 6 · 10 + 3 · 1 =

;

г) 9 · 100 + 7 · 10 + 0 · 1 =

;

Попуни таблицу, записујући одговарајуће бројеве римским, односно арапским цифрама. 83

457 CLXIV

809

687

CDXLV

CMLVI

Израчунај збир: 11.

а) 669 + 122 =

б) 508 + 326 =

в) 428 + 280 =

г) 298 + 612 =

Израчунај разлику: 12.

а) 637 - 128 =

б) 420 - 209 =

в) 550 - 349 =

г) 847 - 359 =

13.

Одреди разлику највећег и најмањег троцифреног броја који се може написати цифрама 9, 6 и 2 користећи сваку од ових цифара само једанпут у истом броју.

14.

Састави израз и израчунај његову вредност: а) за колико је збир бројева 356 и 547 већи од разлике бројева 976 и 834; б) колико пута је збир бројева 237 и 63 већи од производа бројева 15 и 2?

15.

8

Нацртај у свесци три дужи: прву дужине 8 cm, другу једнаку половини прве и трећу три пута дужу од друге.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

Реши једначине: а) 308 + х = 846;

б) х - 325 = 479;

в) 950 - х = 384.

Израчунај производе: а) 142 · 2 =

б) 325 · 3 =

Израчунај количнике: а) 648 : 6 =

б) 945 : 3 =

Израчунај вредност израза: а) 379 + 123 · 4 =

;

б) (774 - 670) · 9 =

;

в) 811 - (714 : 7) =

;

г) 478 + (624 : 3) =

;

Колика је дужина странице квадрата ако је његов обим 4 dm?

Плетеном жицом треба оградити башту правоугаоног облика, чије су странице 36 m и 44 m. При томе се на свака 2 m стављају стубови (по један стуб се налази у сваком углу баште). Колико је потребно: а) метара жице;

22.

Упиши у квадратиће одговарајуће цифре тако да назначене операције буду тачне: 4 5 6 8 2 0 _

7 1

23.

24.

б) стубова?

1 0

0

3 · 0

+ 6

1

5 6

6

7

·3 5

3

Дужина правоугаоника је 1 dm 9 cm, а ширина је за 5 cm мања од дужине. Израчунај обим тог правоугаоника.

Два слона за 1 дан попију 280 l воде. Колико ће литара воде попити 3 слона за 2 дана? Одговор:

9

25.

У две фабрике запослено је 840 радника. У једној фабрици ради 120 радника више него у другој. Израчунај колико је радника запослено у свакој фабрици.

26.

На једној полици у библиотеци налазе се 154 књиге. На другој полици има два пута више књига, а на трећој је 62 књиге мање него на другој полици. Колико има књига на трећој полици?

27.

У хотелима су смештена 354 ученика. У првом је 12 ученика више него у трећем, у другом 14 мање него у трећем, а у четвртом је исти број ученика као у трећем. Колико је ученика смештено у сваком хотелу?

28.

У једном руднику раде рудари у три смене. У првој смени ради 126 рудара, у другој 42 рудара више него у првој, а у трећој половина збира рудара обе смене. Колико рудара ради у трећој смени?

29.

Зоран је у једној кутији имао 256 маркица, а у другој 252. У албум је ставио четвртину маркица из прве и трећину из друге кутије. Колико је маркица Зоран ставио у албум, а колико му је остало у свакој кутији? У албум је ставио У првој кутији је остало

30.

31.

маркица. , а у другој

Од 20 l млека добија се 5 kg сира. Колико литара млека је потребно за 160 kg сира?

Збир обима три једнака правоугаоника износи 540 cm. Израчунај: а) половину обима једног правоугаоника; б) дужину једног од ових правоугаоника ако му је ширина 40 cm.

10

.

разред

4.

СКУП ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА N И СКУП N0 БРОЈАЊЕ ПО ХИЉАДУ ДО МИЛИОН Познати су нам бројеви до хиљаду. Они чине низ: 1, 2, 3, 4, ..., 9, 10, 11, ..., 99, 100, 101, ..., 998, 999, 1000 Декадне јединице овог низа су: 1 - ЈЕДИНИЦА; 10 - ДЕСЕТИЦА; 100 - СТОТИНА И 1000 - ХИЉАДА Замислимо новчанице од хиљаду динара па бројмо хиљаде: 1 хиљада, 2 хиљаде, 3 хиљаде, ..., 9 хиљада, 10 хиљада, 11 хиљада, ... Ако их запишемо, настаје низ хиљада: 1 000, 2 000, 3 000, ...9 000, 10 000, 11 000, ... Тако можемо наставити до хиљаду хиљада, па и даље. Број ХИЉАДУ ХИЉАДА (1 000 000) назива се МИЛИОН Ако бројимо по 10 000, настаће низ десетица хиљада: 10 000, 20 000, 30 000, 40 000, 50 000, 60 000, 70 000, 80 000, 90 000, 100 000 (сто хиљада), 110 000 (сто десет хиљада), 120 000, и тако редом до милион.

Бројимо ли по сто хиљада, настаје низ стотина хиљада: 100 000, 200 000, 300 000, 400 000, 500 000, 600 000, 700 000, 800 000, 900 000, 1 000 000 (милион)

1.

2.

Прочитај и напиши речима бројеве: 5 000

24 000

50 000

240 000

500 000

395 000

Напиши цифрама бројеве: сто хиљада триста хиљада осамсто две хиљаде

; педесет хиљада

;

; седамсто седамдесет хиљада

;

.

Поред декадних јединица које се користе за бројеве до хиљаду, за бројеве до милион користе се и следеће декадне јединице: 10 000 - ДЕСЕТ ХИЉАДА; 100 000 - СТО ХИЉАДА; 1 000 000 - МИЛИОН 1 је најмањи једноцифрени природни број. 10 је најмањи двоцифрени природни број. 100 је најмањи троцифрени природни број. 1 000 је најмањи четвороцифрени природни број. 10 000 је најмањи петоцифрени природни број. 100 000 је најмањи шестоцифрени природни број. 1 000 000 је најмањи седмоцифрени природни број. 11

уџбеник 3.

4.

5.

Попуни таблицу као што је започето: 100 000 200 000

900 000

20 000

30 000

100 000

405 000 406 000

413 000

31 000

32 000

39 000

110 000 120 000

190 000

200 000 300 000

1 000 000

Колико у милиону има: а) стотина хиљада;

б) десетица хиљада;

в) стотина?

Прочитај и упореди бројеве у свакој колони. По чему су слични, а по чему се разликују? Одговор можеш да напишеш у свесци. 8

16

109

70

500

8 000

16 000

109 000

70 000

500 000

Изрази у метрима: 6.

7.

12

97 km

;

105 km

;

5 km

;

1 000 km

;

Напиши број који у себи садржи: а) 5 стотина хиљада, 0 десетица хиљада и 6 јединица хиљада:

;

б) 2 десетице хиљада и 4 јединице хиљада

.

4.

разред

ЗАПИСИВАЊЕ ДЕКАДНИХ ЈЕДИНИЦА КАО СТЕПЕНА БРОЈА 10 Декадне јединице до милион могу се записивати и овако: 10 = 101; 100 = 10 · 10 = 102; 1 000 = 10 · 10 = 103; 10 000 = 10 · 10 · 10 · 10 = 104; 100 000 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 105; 1 000 000 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 106. Записи: 101, 102, 103, 104, 105, 106 називају се СТЕПЕНИ броја 10.

У овим степенима бројеви 1, 2, 3, 4, 5, 6 показују колико пута се број 10 јавља као чинилац.

Декадне јединице до милион, изражене степеном броја 10, читају се на овај начин: 10 = 101 - десетица је први степен броја 10, или 10 на први; 100 = 102 - стотина је други степен броја 10, или 10 на други; 1 000 = 103 - хиљада је трећи степен броја 10, или 10 на трећи; 10 000 = 104 - десет хиљада је четврти степен броја 10 или 10 на четврти; 100 000 = 105 - сто хиљада је пети степен броја 10, или 10 на пети; 1 000 000 = 106 - милион је шести степен броја 10, или 10 на шести.

1.

Напиши у облику степена следеће производе: 10 · 10 ;

2.

10 · 10 · 10 · 10;

10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10

Напиши у облику производа следеће степене: 103

; 105

; 106

102

; 104

;

;

Бројеве 50, 500, 5 000, 50 000, 500 000 (као и друге вишеструке декадне јединице) можемо краће записивати, и то у облику производа једноцифреног броја и степена броја 10: 50 = 5 · 10;

500 = 5 · 100 = 5 · 102;

5 000 = 5 · 1 000 = 5 · 103;

50 000 = 5 · 10 000 = 5 · 104;

3.

500 000 = 5 · 100 000 = 5 · 105.

Напиши у облику производа једноцифреног броја и степена броја 10 следеће стотине: 400;

900; ;

800; ;

300; ;

700. ;

.

13

уџбеник 4.

Напиши у облику стотина следеће производе: 2 · 102;

7 · 102; ;

5.

;

600 000; ;

;

60 000; ;

7 · 105; ;

;

4 000; ;

400 000. .

2 · 103; ;

9 · 104; ;

8 · 105. ;

.

Напиши сваки дати троцифрени број најпре у облику збира вишеструких декадних јединица (стотина, десетица и јединица), па затим у облику збира производа једноцифреног броја и степена броја 10, као што је започето.

Запиши једним бројем сваки од следећих израза: а) 7 · 100 + 9 · 10 + 3 · 1= б) 0 · 100 + 8 · 10 + 7 · 1= в) 1 · 100 + 4 · 10 + 9 · 1= г) 4 · 100 + 0 · 10 + 0 · 1= д) 9 · 100 + 1 · 0 + 0 · 1 = ђ) 8 · 100 + 0 · 10 + 0 · 1=

14

.

;

856; 791; 507; 716; 648; 930 Пример: 358 = 300 + 50 + 8 = 3 · 100 + 5 · 10 + 8 · 1

8.

10 · 102.

Напиши у облику хиљада следеће производе: 3 · 104;

7.

6 · 102;

Напиши у облику производа једноцифреног броја и степена броја 10 следеће бројеве: 6 000;

6.

9 · 102;

4.

разред

УПОЗНАВАЊЕ БРОЈЕВА ДО МИЛИОН Саберимо бројеве 158 000 и 673. Рачунајмо овако: 158 000+673=158 673 (сто педесет осам хиљада плус шесто седамдесет три). Резултат је 158 673 (158 хиљада 673 јединице).

Овај број је шестоцифрен. Најпре се прочита број хиљада, затим број јединица јер садржи два дела, две класе: КЛАСУ ХИЉАДА и КЛАСУ ЈЕДИНИЦА. Свака класа има своје СТОТИНЕ, ДЕСЕТИЦЕ и ЈЕДИНИЦЕ. Број 158 000 садржи 1 стотину хиљада, 5 десетица хиљада и 8 јединица хиљада. Број 673 садржи 6 стотина, 7 десетица и 3 јединице. Добијени збир бројева 158 000 и 673 уписали смо у следећу таблицу месних вредности. хиљаде

јединице

стотине

десетице

јединице

стотине

десетице

јединице

1

5

8

6

7

3

Бројеве би требало записивати тако да се класа хиљада малим размаком одвоји од класе јединица. Записујемо овако: 158 673. 1.

2.

Нацртај у свесци таблицу месних вредности, упиши у њу следеће бројеве и прочитај их: 7 047, 87 808, 12 021, 148 084, 920 290, 730 073, 304 340, 950 095, 440 044, 340 950, 340 095, 340 059, 340 590. Напиши цифрама бројеве: шездесет осам хиљада двеста двадесет; двеста осамдесет хиљада двадесет осам; осамсто педесет шест хиљада шездесет пет; четиристо четири хиљаде четиристо четрдесет; седамсто хиљада седам.

3.

Прочитај бројеве и напиши их речима у свесци: а) 202 022; 220 202; 220 022; 202 200; 202 002; 200 020; 220 002; б) 770 770; 770 707; 770 077; 770 007; 707 770; 700 070; 700 007.

4.

Прочитај изразе и напиши бројеве који су њима одређени: 7 · 104 + 2 · 102 ; 28 · 103 + 2 · 10 ; 348 · 103 ; 69 · 104. 15

уџбеник

ЗАПИСИВАЊЕ БРОЈЕВА У ОБЛИКУ ЗБИРА ПРОИЗВОДА Бројеве до 1 000 записујемо у облику збира производа: 754 = 700 + 50 + 4 = 7 · 100 + 5 · 10 +4 · 1= 7 · 102 + 5 · 10 + 4 · 1 903 = 900 + 0 + 3 = 9 · 100 + 0 · 10 + 3 · 1 = 9 · 102 + 0 · 10 + 3 · 1 И бројеве веће од хиљаде можемо писати у облику збира производа. а) 5 374 = 5 000 + 300 + 70 + 4 = 5 · 1 000 + 3 · 100 + 7 · 10 + 4 ·1 = 5 · 103 + 3 · 102 + 7 · 10 + 4 ·1 Овај четвороцифрени број има јединице хиљада (5), стотине (3), десетице (7) и јединице (4). б) 27 172 = 2 · 10 000 + 7 · 1 000 + 1 · 100 + 7 · 10 + 2 · 1 = 2 · 104 + 7 · 103 + 1 · 102 + 7 · 10 + 2 · 1 Овај петоцифрени број има десетице хиљада (2), јединице хиљада (7), стотине (1), десетице (7) и јединице (2). в) 355 840 = 3 · 100 000 + 5 · 10 000 + 5 · 1 000 + 8 · 100 + 4 · 10 + 0 · 1 = 3 · 105 + 5 · 104 + 5 · 103 + 8 · 102 + 4 · 10 + 0 · 1 1.

2.

У свесци напиши које декадне јединице има сваки: а) четвороцифрени;

б) петоцифрени;

в) шестоцифрени број.

Запиши бројеве одређене следећим изразима: а) 8 · 1 000 + 4 · 100 + 4 · 10 + 1 · 1 = б) 3 · 104 + 7 · 103 + 1 · 102 + 9 · 10 + 5 · 1 = в) 5 · 100 000 + 0 · 10 000 + 5 · 1 000 + 3 · 100 + 8 · 10 + 0 · 1 = г) 7 · 105 + 8 · 104 +0 · 103 + 0 · 102 + 6 · 10 + 9 · 1 =

3.

Сваки од следећих бројева напиши у облику збира производа, и то најпре једноцифрених бројева и декадних јединица, па затим једноцифрених бројева и степена броја 10: 43 756 70 391 108 260 660 320

4.

5.

16

Колико јединица има сваки од следећих бројева? 745 , 8 732 , 37 439 , 541 053 Колико сваки од тих бројева има: а) десетица; б) стотина; Напиши број одређен изразом: 187 · 103 ; 8 453 ·102 ;

. в) хиљада?

58 · 104 ;

24 · 103.

ЧИТАЊЕ И ПИСАЊЕ БРОЈЕВА ДО МИЛИОН 1.

Упиши у таблицу бројеве: 6 015; 60 284; 640 208. Шта означава цифра 6 у сваком од тих бројева? Хиљаде

2.

3.

4.

Јединице

100 000

10 000

1 000

100

10

1

105

104

103

102

101

100

Према првом примеру напиши следеће производе: а) 3 · 102 = 3 · 100 = 300;

б) 9 · 104 =

в) 4 · 103 =

г) 6 · 105 =

Према првом примеру напиши следеће бројеве: а) 5 000 = 5 · 1 000 = 5 · 103

б) 400 000 =

800 000 =

г) 900 000 =

Напиши бројеве у облику збира производа једноцифрених бројева и декадних јединица: 68 027 = 501 420 = 745 096 =

5.

Напиши бројеве у облику збира производа једноцифрених бројева и степена броја 10: 7 504 = 20 849 = 300 248 =

6.

Напиши број одређен изразом: а) 9 · 105 + 4 · 104 + 0 · 103 + 2 · 102 + 5 · 10 + 8 · 1 = б) 6 · 104 + 6 · 103 + 7 · 102 + 0 · 10 + 4 · 1 =

7.

в) 1 · 105 + 0 · 104 + 9 · 103 + 2 · 102 = Највећи шестоцифрени број коме су све цифре различите је Напиши тај број у облику збира производа једноцифрених бројева и степена броја 10. 17

уџбеник

МЕСНЕ ВРЕДНОСТИ ЦИФАРА Хиљаде С

Д

5

Посматрајмо бројеве записане у табели са назначеним месним вредностима. У првом броју цифра 5 има вредност стотина, цифра 8 вредност десетица и цифра 2 вредност јединица. У другом броју цифра 5 има вредност јединица хиљада, цифра 8 вредност стотина а цифра 2 вредност десетица. У трећем броју цифра 5 има вредност десетица хиљада и вредност јединица, цифра 8 вредност јединица хиљада, цифра 2 вредност стотина. Одреди сам вредност цифара 5 и 8 у последњем реду таблице.

Јединице Ј

С

Д

Ј

5

8

2

5

8

2

0

5

8

2

0

5

8

0

5

8

0

.

На основу наведених примера можемо закључити следеће: Вредност цифре у вишецифреном броју зависи од места на коме се та цифра налази и назива се месна вредност цифре

1.

У таблицу месних вредности упиши бројеве: Број

Хиљаде С

Д

Јединице Ј

С

Д

шездесет хиљада двадесет шездесет две хиљаде двеста шесто хиљада шездесет шесто хиљада шездесет два 2.

3.

18

У таблицу месних вредности упиши бројеве код којих: а) цифра 4 има вредност десетица хиљада и стотина, цифра 8 има вредност јединица хиљада и десетица, а јединица нема; б) цифра 6 има вредност стотина хиљада и јединица хиљада, цифра 3 има вредност десетица хиљада, стотина и десетица, а цифра јединица је нула; в) цифра 7 има вредност стотина и десетица хиљада, стотина и јединица, а на осталим местима су нуле. Ради у свесци. Коју месну вредност има цифра 7 у следећим бројевима: 85 270;

75321;

16 407;

709 058;

67 205;

59 730?

Ј

МЕСНЕ ВРЕДНОСТИ ЦИФАРА задаци 1.

Прочитај бројеве у таблици. Напиши речима коју месну вредност имају цифре 2, 7 и 0 у сваком од тих бројева. 2

7

0

609 627 162 074 705 295

2.

3.

4.

Коју месну вредност има цифра 4 у бројевима: а) 96 140

;

б) 240 531

;

в) 54 103

;

г) 435 712

;

Одреди месне вредности цифре 9 у броју 990 909.

а) Колико различитих вредности у шестоцифреном броју може имати било која цифра осим нуле, а колико нула?

б) Коју ће вредност имати цифра 8 ако јој се са десне стране допишу две нуле, четири нуле, пет нула, три нуле?

5.

6.

Пишући два пута цифру 1 и три пута цифру 0, напиши четири петоцифрена броја.

Изрази у метрима следеће величине: 903 000 mm;

428 000 cm;

3 040 dm;

205 km.

19

уџбеник

УПОЗНАВАЊЕ ДЕКАДНИХ ЈЕДИНИЦА ВЕЋИХ ОД МИЛИОН Међу природним бројевима које смо до сада упознали карактеристични су: 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000, 1 000 000. Сваки од ових бројева, осим 1, десет пута је већи од претходног броја. Стога их називамо декадне јединице. Највећи број који смо до сада упознали јесте милион. Можемо га написати: 1 000 000 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 106. Свакодневно радимо са бројевима већим од милиона. Београд има више од два милиона становника. Градови Лондон, Москва, Париз, Каиро, Пекинг имају по 7, 8, 9 или 10, а Шангај, Токио, Њујорк, Мексико и више од десет милиона становника. Народна Република Кина има преко 1 000 милиона становника. Декадне јединице веће од милиона су: 10 000 000 = 107 100 000 000 = 108 1 000 000 000 = 109

1.

- десет милиона - сто милиона - хиљаду милиона, или краће милијарда

Напиши цифрама редом све декадне јединице до билиона.

Декадне јединице веће од милиона су: 10 000 000 000 = 1010 - десет милијарди 100 000 000 000 = 1011 - сто милијарди 1 000 000 000 000 = 1012 - хиљаду милијарди, или краће билион Постоје декадне јединице веће и од билиона, али је за практична рачунања довољно знати читање и писање бројева првих пет класа.

2.

20

Напиши у облику степена броја 10 све декадне јединице од милиона до билиона.

3.

разред

4.

Посматрај таблицу месних вредности: Милијарде

Милиони

Хиљаде

Јединице

С

Д

Ј

С

Д

Ј

С

Д

Ј

С

Д

Ј

1011

1010

109

108

107

106

105

104

103

102

10

1

а) Које су класе представљене у овој таблици? б) Шта садржи свака класа? в) Напиши цифрама бројеве: 106 =

;

107 =

;

109 = ; 1010 = г) Упиши у таблицу бројеве па прочитај:

108 = ;

;

1011 =

;

58 000 000, чита се:

;

7 290 000 000, чита се:

;

604 800 000 000, чита се:

;

д) Бројеве у таблици прикажи у облику производа одговарајућег броја и степена броја 10.

4.

5.

Напиши колико број 274 500 000 000 има: а) укупно стотина

;

б) укупно десетица милиона

;

в) укупно десетица хиљада

;

г) укупно стотина милијарди

;

Упиши у кружић један од знакова тако да се добију тачне неједнакости. 2 · 103

3 · 102 ;

6 · 105

5 · 106 ;

7 · 108

8 · 107 21

уџбеник

ПИСАЊЕ И ЧИТАЊЕ БРОЈЕВА ВЕЋИХ ОД МИЛИОН Као што речи можемо записати словима, тако и ма који број можемо написати цифрама. Бројеве пишемо користећи следећих десет цифара: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Вредност цифре у броју одређена је местом цифре у том броју. Ако се цифра помери за једно место улево, њена вредност се повећава 10 пута. Ако се цифра помери за једно место удесно, њена вредност се смањује 10 пута. Да бисмо велике бројеве прегледно записали и лако прочитали, делимо их здесна налево на класе - по три цифре у свакој класи. Да би се правилно читали и писали велики бројеви, треба знати имена класа. Прве четири класе приказане су у следећој табели. Милијарде

Милиони

Хиљаде

Јединице

С

Д

Ј

С

Д

Ј

С

Д

Ј

С

Д

Ј

1011

1010

109

108

107

106

105

104

103

102

10

1

1)

4

3

8

2

9

0

6

1

5

3

2)

6

0

0

0

5

0

7

0

0

0

0

8

0

7

9

1

3

0

9

1

3)

7

4

1) Први број у таблици прочитаћемо овако: 4 милијарде 382 милиона 906 хиљада 153. Када се читају бројеви редом слева удесно, свака се класа чита као засебан троцифрен број уз који се наводи назив те класе. Назив прве класе (класа јединица) изоставља се. 2) Други број из таблице читамо овако: 62 милијарде 507 хиљада. Називе класа, у којима су све три цифре нуле, не изговарамо. 3) Прочитај и напиши речима трећи број из ове табеле.

1.

22

Запиши бројеве са размацима између класа, затим их прочитај и напиши речима: 4059605436; 35000670089; 700200123081.

2.

разред

4.

Прочитај и речима напиши бројеве: а) 3 459 586 758 б) 970 930 000 700 в) 272 476 999 764 г) 8 000 085 000 д) 54 550 470 000 ђ) 23 009 000 007

3.

4.

5.

Колико милијарди има у броју: а) 75 387 439 001;

б) 91 753 680;

в) 978 657 472 606?

Бројеве 121 374 973, 307 821 405 и 37 514 001 напиши у облику збира производа једноцифрених бројева и степена броја 10.

1) Запиши цифрама бројеве у следећим реченицама: а) У Индији има деветсто тридесет пет милиона и седамсто хиљада становника. б) На Земљи живи укупно пет милијарди седамсто милиона становника. 2) Сваки од ових бројева напиши у облику производа одговарајућег броја и степена броја 10.

6.

Напиши и прочитај: а) најмањи седмоцифрени број б) најмањи десетоцифрени број в) највећи деветоцифрени број г) највећи дванаестоцифрени број

7.

8.

Колико километара би била дугачка колона од 1 000 000 војника ако два војника заузимају 1 m?

Напиши месну вредност сваке цифре у броју 8 405 096 132.

23

ПИСАЊЕ И ЧИТАЊЕ БРОЈЕВА ВЕЋИХ ОД МИЛИОН- задаци 1.

Напиши бројеве цифрама са размацима између класа: а) тридесет осам милијарди двеста шест милиона седам хиљада тринаест б) шестсто девет милијарди три милиона седамсто двадесет хиљада осамсто девет

; ;

в) две милијарде шестсто пет хиљада двеста шездесет четири

. 2.

Прочитај бројеве па их напиши речима: а) 9 873 654 712 ; б) 64 025 000 459 ; в) 401 581 003 120 .

3.

Напиши број одређен изразом: а) 2 · 107 + 5 · 106 + 0 · 105 + 0 · 104 + 9 · 103 + 3 · 102 + 8 · 10 + 4 · 1 =

б) 6 · 109 + 0 · 108 + 4 · 107 + 0 · 106 + 4 · 105 + 1 · 104 + 0 · 103 + 9 · 102 + 3 · 10 + 8 · 1 =

4.

Попуни таблицу: n-1

345 799 999

n

42 534 000 000

n+1

5.

Подвуци цифру која има највећу месну вредност, а заокружи ону цифру која има најмању бројевну вредност: а) 45 876 ;

6. 24

5 100 000 000

б) 120 473 397 ;

в) 59 857 439 846.

Напиши највећи и најмањи осмоцифрени број. Највећи је

; најмањи је

.

4.

разред

УРЕЂЕНОСТ СКУПА ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА Низ бројева: 1, 2, 3, ... 99, 100, 101, ..., 999, 1 000, 1001, ..., 999 999, 1 000 000, 1 000 001, ..., 999 999 999, 1 000 000 000, 1 000 000 001 ... називамо низ природних бројева.

Између појединих бројева тачкама се означава да се на месту тачака налазе неки природни бројеви, а тачке на крају означавају да се низ наставља неограничено, тј. да природних бројева има бесконачно много, па је скуп природних бројева бесконачан скуп. Из приказа низа природних бројева уочава се следеће: Најмањи природни број је број 1. Не постоји највећи природни број.

Сви природни бројеви чине скуп природних бројева. Скуп природних бројева означавамо посебном ознаком, словом N, а записујемо овако: N = {1, 2, 3, 4, ...}. Број 0 (нула) не припада скупу N, тј. Є N. Међутим, врло често број 0 разматрамо заједно са природним бројевима. Скуп који чине 0 и природни бројеви означавамо словом N0 (читамо: ен нула) и записујемо: N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}. Слово N и број 0 подсећају нас да су елементи скупа N0 сви елементи скупа N и нула. Својства природних бројева: (А) За два различита природна броја a и b увек важи један од односа: ab. Ако упоредимо бројеве 34 и 43, можемо утврдити да је број 34 мањи од броја 43, односно да је број 43 већи од броја 34.

За свака два различита природна броја можемо одредити који је од њих мањи, односно већи. Због овог својства кажемо: Скуп природних бројева је уређен скуп.

(Б) Између два несуседна природна броја постоје други природни бројеви чији се број може тачно одредити. Између бројева 5 и 12 постоји тачно 6 природних бројева: 6, 7, 8, 9, 10 и 11. Између бројева 27 и 42 постоји 14 природних бројева: 28, 29, 30, ..., 41. Између бројева 100 и 200 постоји 99 природних бројева итд.

25

уџбеник (В) Између неких природних бројева не постоји ниједан природан број, на пример: између 7 и 8, 89 и 90, 1 001 и 1 002 итд. Такви се бројеви називају узастопни природни бројеви. Било који природан број означимо са n. Пошто разлика свака два узастопна природна броја износи само један, његов узастопни природни број имаће облик n + 1. (Г) Сваки број из низа природних бројева, осим броја 1, има свог претходника. Претходник неког природног броја је број који је од њега мањи за један па се у низу јавља пре њега. Претходник броја 8 је број 7, броја 20 број 19, броја 10 000 број 9 999 итд. Претходник ма ког природног броја n, већег од 1, јесте број n-1. (Д) Сваки природан број има свог следбеника. То је број који је за један већи од датог природног броја. Следбеник броја 29 је број 30, броја 1 000 је 1 001, броја 999 999 број 1 000 000 итд. Следбеник ма ког природног броја n је број n+1. Према ознакама које смо користили за два последња својства, низ природних бројева можемо записати и овако: 1, 2, 3, 4, 5, ..., n - 1, n, n + 1, ... 1. 2.

Напиши скуп свих једноцифрених бројева. Колико елемената има тај скуп? Да ли су сви елементи тог скупа природни бројеви? Колико има природних бројева који се налазе између: 47 и 55 210 и 231 2 000 и 3 000 900 и 999

3.

Одреди скупове решења неједначина: 205 < х < 218 3 009 < а < 3 020 630 095 < б < 630 105

4.

Одреди скупове решења следећих неједначина: х < 57 а > 801 b < 1 053 c > 100 000 800 < х < 1 000

5.

26

Колико у скупу природних бројева укупно има: а) двоцифрених бројева

б) троцифрених бројева

в) четвороцифрених бројева

г) петоцифрених бројева

УРЕЂЕНОСТ СКУПА ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА - задаци 1.

2.

3.

4.

5.

Сваком члану низа природних бројева додај по 1. Напиши првих 8 бројева новог низа. То је низ бројева Напиши низ бројева који се добија из низа природних бројева ако се сваки његов члан: а) смањи за 1

;

б) повећа 3 пута

;

в) повећа за 100

;

Објасни како је из низа природних бројева добијен низ бројева: а) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...

;

б) 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...

;

в) 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, ...

;

Напиши на цртици колико природних бројева претходи броју: а) 59

;

б) 34 580

;

в) 762 008 001

Одреди скуп природних бројева који се налазе између бројева: а) 3 и 5;

б) 45 и 46;

в) 76 и 85;

г) 990 и 1001.

То су скупови: а)

6.

;

в)

;

г)

;

Колико се природних бројева налази између бројева: а) 58 и 89; Одговор: а)

7.

; б)

б) 298 и 945;

в) 882 и 1 000? ;

б)

;

в)

;

Колико у скупу природних бројева има више: а) двоцифрених бројева него једноцифрених; б) троцифрених бројева него двоцифрених;

27

уџбеник

БРОЈЕВНА ПОЛУПРАВА Посматрајмо полуправу Оk. O

E

A

B

C

D

1

2

3

4

5

k 6

7

На полуправи Оk означимо произвољну тачку Е. Тачки О придружимо број 0 (нула), а тачки Е број 1. Дуж ОЕ назива се јединична дуж или дуж којој је придружен мерни број 1. Шта је бројевна полуправа? То је свака полуправа која поред почетне тачке има још једну истакнуту тачку Е која с њом одређује јединичну дуж. Упоређивање дужи на бројевној полуправи можемо користити за упоређивање бројева. Преношењем јединичне дужи на полуправи Оk од тачке Е одређујемо тачке А, B, C, D, ... Пошто је дужина дужи ОА једнака 2, тачки А придружујемо број 2 итд. Свакој означеној тачки полуправе осим почетне тачке одговара један природан број. Због овог својства ова полуправа се зове бројевна полуправа.

Полуправа нема краја, па на њој има места за сваки природан број. Придружујући природним бројевима неке одређене тачке полуправе, скуп природних бројева приказујемо помоћу тачака полуправе.

1.

На слици је приказана бројевна полуправа. Одреди скуп бројева који одговарају тачкама: А, B, C, D, К и М. O

E 1

2.

3.

A

K

C

B

D

2

Нацртај бројевну полуправу са јединичном дужи од 15 mm, па на њој у скупу N0 означи сва решења неједначине х < 7.

Место Р удаљено је од Београда 100 km, место К - 70 km, место В - 40 km, место С - 30 km, место Т - 150 km и место М - 110 km. Састави шему положаја ових места на бројевној полуправи ако јединичној дужи од 1cm одговара растојање од 10 km. O

28

M

k

УПОРЕЂИВАЊЕ БРОЈЕВА. БРОЈЕВНА ПОЛУПРАВА 1.

2.

3.

4.

Поређај следеће бројеве од најмањег до највећег броја: 437 845; 24 065 491; 2 436 448; 2 633 559; 24 065 422.

Поређај наведене бројеве од највећег до најмањег броја: 250 806; 3 050 200; 230 077 420; 6 703 090 580; 70 358 000 400.

Напиши највећи и најмањи шестоцифрени број чије су све цифре различите. Највећи је:

;

најмањи је:

;

Коју цифру треба написати уместо слова а да би се добила тачна неједнакост. а) 87 < а1; б) 4а > а4;

б) 2а > 27; д) 2а3 < 3а2;

в) 357 > 3а8; ђ) 853 9а0 < 854 082?

Напиши скуп вредности слова а за сваки пример:

5.

а)

;

б)

;

в)

;

г)

;

д)

;

ђ)

;

Напиши природне бројеве који припадају тачкама А, B, C, D, Е и F на бројевној полуправи. A 0

6.

500 000

C

D

E

F

2 000 000

На бројевној полуправи означи сва решења неједначина 5 < х < 12 у скупу N. Напиши скуп решења дате неједначине.

0

7.

B

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Нацртај у свесци бројевну полуправу и означи на њој бројеве: а) 2, 5, 6 и 7 ако је јединична дуж 2 cm; б) 1, 3, 4 и 5 ако је јединична дуж 2 cm 5 mm. 29

ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ 1.

Прочитај следеће бројеве, па их напиши речима: 47 005 900 090

2.

Цифрама 8, 2, 0, 3, 5 и 7 напиши највећи и најмањи шестоцифрени број користећи сваку од тих цифара само једанпут у истом броју. Највећи број је:

3.

4.

.

.

Напиши пет првих и пет последњих шестоцифрених бројева. Пет првих:

.

Пет последњих:

.

У таблицу са назначеним класама упиши бројеве: пет милијарди десет милиона три; два милиона петсто три хиљаде шесто двадесет један; једанаест милијарди осамсто милиона десет хиљада; сто хиљада деветсто тридесет пет; триста петнаест милиона триста двадесет и седам. Милијарде С

5.

Најмањи број је:

Д

Милиони Ј

С

Д

Хиљаде Ј

С

Д

Јединице Ј

С

Д

Написати у облику збира производа (једноцифреног броја и декадне јединице) бројеве: 35 796 432 502 731 804 002 7 896 217 864 101

6.

30

Ј

Зашто се следећи низ бројева не може назвати низом природних бројева: а) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...; б) 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...; в) 2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7, 10, 9, 12, 11, 14, 13, ...; г) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 23, 25, ...?

7.

На бројевној полуправи означити решења неједначине х b ), тада разлика (а – b) ∈N; (2) када је а = b, тада је а – b = 0, а – b∉N, јер 0∉N; (3) када је а < b, тада је ( а – b )∉N. Операција одузимања није увек изводљива у скупу N јер за а, b∈N, постоји разлика а - b која не припада скупу N ( а - b )∉N. 68

разред

4. 3.

Заокружи бројеве које можеш одузети од броја 975 тако да њихова разлика буде природан број 435 0

4.

33 1 000

6.

7.

5

980

Реши изразе чија је вредност природан број, а прецртај оне изразе у којима се операција одузимања не може извршити. а) 1212 + 303, в) 705 – 706; д) 491 – 398; е) 2 531 – 2 629;

5.

999

б) 2 000 – 3 000; г) 3 490 + 221; ђ) 1 999 – 1999; ж) 24 + 1 068.

Напиши скуп решења за дате изразе тако да разлика буде природан број. 202 – а

а ∈{

95 – x

x ∈{

44 – b

b ∈{

4 400 – y

z ∈{

Најмањи природан број који може бити разлика два природна броја је број

.

Највећи природан број који може бити збир два природна броја је број Који је највећи број који можеш одузети од неког броја m тако да разлика буде природан број?

.

Да ли је сваки збир бројева из скупа парних природних бројева (Np) опет паран природни број? Наведи још примера: 2 + 2 = 4 ∈Np 24 + 20 = 44 ∈Np

8.

Да ли је сваки збир бројева из скупа непарних природних бројева (Nn) опет непаран природни број? Наведи примере:

69

уџбеник

ЗАМЕНА МЕСТА САБИРАКА Научили сте да сабирате бројеве. Неке особине сабирања сте раније уочили. Овде ћемо још једанпут указати на њих. Сабирањем смо израчунали да у одељењу IV разреда у којем има 16 девојчица и 15 дечака, има 31 ученик. Овде би требало нагласити да је свеједно да ли се рачуна 16 + 15 или 15 + 16. Збирови 16 + 15 и 15 + 16 су једнаки: 16 +15 = 15 + 16. Провери тачност следећих једнакости: а) 75 + 35 = 35 + 75; б) 485 + 115 = 115 + 485; в) 10 073 + 927 = 927 + 10 073. За било која два природна броја а и b, збир а + b једнак је збиру b + а, и важи: а+b=b+а Ова особина сабирања зове се замена места сабирака за два броја а и b. 1.

Најпре израчунај збир, па тачност резултата провери применом својства замене места сабирака: а) 17 850 и 8 642;

2.

4.

5.

70

в) 856 941 и 71 803.

Одреди, без рачунања, решење једначине: а) 30 854 + x = 583 085 + 30 854; х=

3.

б) 120 843 и 83 025;

б) x + 205 987 = 205 987 + 90 579. х=

Одреди збир бројева 232 561 и 4 789. Провери тачност резултата применом својства замене места сабирака. Одреди збир највећег петоцифреног и највећег троцифреног броја. Провери тачност добијеног резултата. Удаљеност Земље од Месеца је 379 000 km, а удаљеност Земље од Сунца је за 149 621 000 km већа. Одреди удаљеност Земље од Сунца.

ЗАМЕНА МЕСТА САБИРАКА задаци 0

100 200 300 400 500 600 700 800

500+200=700 200+500=700 500+200=200+500

1.

Израчунај: 123 856 + 9 =

;

527 384 + 78 =

;

9 + 123 856 = ; 78 + 527 384 = Сабирцима смо променили места. Упореди добијене збирове.

;

Шта закључујеш? 2.

Израчунај писмено: 325 439 + 8 + 71

3.

Користећи знакове >, , , , односно b, а > n, b > n, разлика се неће променити. a–b=r a>b (a+n)–(b+n)=r (a–n)–(b–n)=r a > b, a > n, b > n 3.

Попуни празна места у табели и провери непроменљивост разлике. a

b

3 570 2 765 7 349 88

n

a-b

500

2 500

975

2 500

2 486

2 500

a-n

b-n

(a-n)-(b-n)

НЕПРОМЕНЉИВОСТ РАЗЛИКЕ задаци 1.

2.

Израчунавањем разлике, односно збира, попуни празна поља. a

b

a-b

x

a+x

b+x

(a+x)-(b+x)

327

17

310

15

327 + 15

17 + 15

310

35 411

38

37

40 000

24

46

a

b

a-b

x

a+x

b+x

(a+x)-(b+x)

124

24

100

10

124 - 10

24 - 10

100

5 274

92

87

63 005

67

49

Применом сталности разлике у неким задацима се брже и лакше одређују разлике. Усмено одузимање бројева 5 750 – 3 250 можемо олакшати на следећи начин: 5 750 – 3 250 = (5 750–250) –(3 250–250)=5 500 – 3 000 = 2 500. Слично решавај следеће задатке: а) 9 050 – 4 970 =

б) 875 – 389 =

25 840 – 16 900 = 3.

1 370 – 830 =

Татјана и Дејан су замислили по два броја. Разлика бројева које је замислила Татјана је x, а y је разлика бројева које је замислио Дејан. а) Ако умањеник и умањилац разлике бројева, које је замислила Татјана, повећамо за 15 782, добија се разлика 4 795. б) Ако умањеник и умањилац разлике бројева, које је замислио Дејан, умањимо за 5 999, добија се разлика 62 453. Колика је разлика бројева које је замислила Татјана? Колика је разлика бројева које је замислио Дејан? Татјана:

4.

Дејан:

Разлика два броја је 4 850. Колика ће разлика бити, ако се: а) умањеник повећа за 300; б) умањилац смањи за 350; в) умањеник смањи за 200, а умањилац повећа за 200; г) умањеник и умањилац повећају за 150?

89

ПРИМЕНА СВОЈСТАВА ОДУЗИМАЊА 1.

2.

3.

4.

Израчунај на најлакши начин: 8 497 + 907 = 9 305 – 309 + 309 = 17 865 – 865 – 8 000 =

68 543 – (68 000 + 457) = 3 836 + (2 164 – 768) = 97 532 – (97 000 – 468) =

Израчунај усмено на најлакши начин: а) 156 – 87 – 56 =

б) 847 – 548 – 287=

в) 92 – 67 – 23 =

г) 214 – 87 – 113 =

Користећи истовремену промену умањеника и умањиоца, израчунај на најлакши начин: а) 25 684 – 17 998

б) 8 647 – 5 847

в) 46 598 – 25 600

г) 24 667 – 22 592

Обави назначене операције на најлакши начин (користећи промену разлике у зависности од промене умањеника или умањиоца). а) 6 265 – (1 358 + 1 465)

б) 2 350 – (1 250 – 1 064)

в) 5 473 – (2 598 – 1 127)

г) 2 854 – (1 155 – 1 089)

Израчунај на најлакши начин и објасни поступак који си применио. 5.

6.

7.

90

а) 1 326 + (674 – 387)

б) 1 241 – (841 – 576)

в) 2 489 + (1 724 – 489)

г) 1 942 – (1 523 – 1 058)

Израчунај на најпростији начин и објасни поступак: а) 1 583 – (694 – 306)

б) 2 362 – (1 362 + 839)

в) 4 221 – (793 + 2 221)

г) 50 000 – (26 891 + 23 109)

Израчунај на најлакши начин: а) 854 – 268 – 454

б) 378 + 959 – 459

в) 2 676 - 1 587 + 324

г) 687 + 813 - 494

4.

разред

ЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ (А) Решимо дате једначине тако да решења припадају скупу природних бројева. Ако је x + 75 = 100, онда је x = 100 – 75. x = 25. Решење је: 25.

x + 521 = 794 x + 521 - 521 = 794 - 521 x = 273

(Б) Решимо једначину: x + 755 = 32 235. + 755

x + 755 = 32 235, x = 32 235 – 755. x = 31 480. Решење је 31 480.

1.

2.

x

32 235 - 755

Реши једначине: а) x + 1 370 = 5 420

б) 845 + x = 2 232

x=

x=

x=

x=

Провера:

Провера:

Реши једначине: а) 3 452 + x = 5 217 + 369 б) x + ( 20 015 + 1 397 ) = 30 000 в) ( 654 + x ) + 2 903 = 11 285

3.

Који број треба додати броју 1 294 да би збир био 4 311? 91

уџбеник 4.

а) x – 45 = 55, x = 55 + 45. x = 100. Решење је 100. б) x – 451 = 628 x – 451 + 451 = 628 + 451 x = 1 079

5.

75 – x = 25, x = 75 – 25. x = 50. Решење је 50. Решимо једначину 49 765 – x = 985. x 49 765 – x = 985, x = 49 765 – 985. x = 48 780

49 765 -

Решење је: 48 780.

6.

92

985

Реши једначине: а) x – 24 815 = 8 333

б) 8 226 – x = 3 884

x=

x=

x=

x=

Провера:

Провера:

7.

Од замишљеног броја Јелена је одузела 75 342 па је добила разлику 6 898. Који број је Јелена замислила?

8.

Када је од броја 225 438 Мира одузела број који је замислила, добила је разлику 69 888. Који је број Мира замислила?

ЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ - задаци 1.

2.

Одреди скуп решења једначина: а) x – 7 856 = 19 344

б) 128 435 –x = 9 785

в) x+ 6 854 = 21 554

Дату једначину реши користећи слике:

x

x + 19 815 – 67 204 = 42 711

19 815 +

+ 19 815

- 67 204

67 204

x -

42 711

3.

4.

Одреди решења датих једначина (ради у свесци).

42 711

а) x + 42 577 – 65 816 = 56 901; б) x – 61 109 – 14 211 = 12 406; в) 45 504 + x = 32 391 – 16 081 + 22 231 + 23 084; г) 3 432 786 – x = 2 510 008; д) 21 411 – 10 081 – x = 11 216 + 22 604 + 19 898. а) Одреди број који са бројем 32 677 даје збир 56 901. б) Одреди број од ког треба одузети 231 056 да се добије разлика 176 688. в) Одреди умањилац ако је умањеник 211 058, а разлика 29 478.

5.

Применом својства здруживања сабирака и коришћењем датих слика одреди решење једначине x + ( x+ 7 475 ) = 22 567.

x 2 · 7 475

·2

+

+ 7 475

x 22 567

22 567 93

РЕШАВАЊЕ ЈЕДНАЧИНА СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ 1.

2.

Реши у свесци једначине. а) x + 2 308 = 7 629 в) x + 568 = 1 260 д) 2 789 – x = 1 234 е) 3 367 – x = 2 209

б) 23 540 + x = 92 036 г) 16 815 + x = 34 003 ђ) x – 8 234 = 2 609 ж) x – 4 401 = 2 389

Помоћу једначина реши следеће задатке. а) Из расадника је однето 7 450 садница, а остало је 3 320. Колико је у расаднику било укупно садница? б) На градилишту је било 2 250 врећа цемента. Када су радови завршени, остало је 380 врећа. Колико је врећа цемента употребљено на том градилишту? в) За куповину папира у школи је утрошено 24 800 динара. За те намене је остало још 3 700 динара. Колико је школа имала новца за куповину папира?

+ 516 3.

Одреди решења једначина:

x

1 211

а) x + 516 = 1 211 - 516

x= x= а) x - 1 408 = 3 592 в) x + 6 329 = 8 240 4.

5.

6.

7.

94

Решење: ; ;

б) x - 1 384 = 1 219 + 3 518

;

г) x - 2 065 = 2 650 + 5 285

.

Одреди решења једначина: а) 7 940 105 = x + 239 000

б) x – 1 900 197 = 298 308.

Одреди број који је за толико већи од 658 за колико је 6 280 већи од 4 520.

Одреди број који је мањи од 25 432 за толико за колико је број 658 мањи од 1 024.

Одреди број који треба одузети од 846 915 тако да њихова разлика буде 48 625.

4.

разред

НЕЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ (А) Решите дате неједначине тако да решења припадају скупу N. x + 25 < 75 x < 75 – 25 x < 50 или x ∈ { 1, 2, 3, ..., 49 } Скуп решења је { 1, 2, 3, ..., 49 }. x – 15 < 16 x < 16 + 15 x < 31 или x∈ { 30, 29, ..., 15 } Скуп решења је: { 30, 29, ..., 15 }. (Б) Одредимо скуп решења датих неједначина: а) x + 7 538 < 8 638 ( Решења тражимо у скупу N. ) x + 7 538 < 8 638, x < 8 638 – 7 538. x < 1 100 Скуп решења је { 1, 2, 3, ..., 1 099 }.

б) x – 259 > 9 999 (Решења тражимо у скупу {1, 2, ..., 10 260 }. x – 259 > 9 999, x > 9 000 + 259. x > 10 258 Скуп решења је {10 259, 10 260, ...}. в) 42 583 – x < 7 983 (Решења тражимо у скупу {1, 2, ..., 34 601}. 42 583 – x < 7 983, x > 42 583 – 7 983, x > 34 600 Скуп решења је { 34 601, 34 602, ...}.

95

уџбеник В) Решаваћемо једначине и неједначине, користећи при томе дефиниције и особине операција сабирања и одузимања. Решења ћемо тражити у скупу N. Ако је x + а = b, онда је Ако је x – а = b, онда је Ако је а – x = b, онда је Ако је x + а > b, онда је Ако је x + а < b, онда је Ако је x – а > b, онда је Ако је x – а < b, онда је Ако је а – x > b, онда је Ако је а – x < b, онда је 1.

x = b – а. x = b + а. x = а – b. x > b – а. x < b – а. x > b + а. x < b + а. x < а – b. x > а – b.

У скупу 1, 2, ..., 1 110 одреди решења неједначина: а) 75 845 + x < 76 945

;

б) x + 45 375 < 46 473 2.

3.

.

Одреди скуп решења неједначина: а) x – 5 648 < 17 862,

б) 45 875 – x > 44 975,

x – 458 < 17 862

125 603 – x > 124 698.

Одреди скуп решења неједначина датих у следећој табели.

неједначина

12 568 + x < 13 756

скуп решења

4.

96

Одреди решења датих неједначина у скупу N. а) 5 456 + x < 21 445; б) x + 7 345 > 104; в) x + 6 595 < 25 405; г) 105 – x > 75 689; д) x + 59 997 < 6 · 104; ђ) 3 · 104 – x > 29 996.

9 687 - x < 499

РЕШАВАЊЕ НЕЈЕДНАЧИНА СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ 1.

Напиши скупове решења неједначина: а) x – 300 < 20 б) x – 180 > 400 в) x – 1 200 < 1 800 г) 4 000 + x > 6 000 За које се вредности променљиве добија тачна неједнакост: (1) 1 110 + x > 3x;

2.

3.

(2) 6 690 + y > 6 690;

(3) x + x < 2.

У скупу природних бројева до 1 000 000 реши неједначине: а) x + 8 756 >8 803

;

б)x – 38 759 > 1 216

;

в) 32 506 + x < 52 409

;

г) 643 090 – x < 83 511

;

д) x – 3 025 < 1

;

ђ) x – 3 025 > 1

;

Постави неједначину, па реши следеће задатке. а) На једној парцели има 560 садница. Колико садница може бити на другој парцели ако на обе има мање од 600 садница? б) Колико је Влада могао да има сличица кошаркаша ако је залепио у албум 170, а у кутији му је остало мање од 120 сличица? в) Нина је замислила неки број, па кад га је смањила за 160, добила је број већи од 40. Који је број Нина могла да замисли?

4.

Одреди скупове решења неједначина у скупу природних бројева: а) в) x + 170 < 240 180 - x < 173

б)

а + 19 < 31

г)

x - 2 456 < 8

97

ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ 1.

2.

3.

Реши једначине: а) x + 97 003 = 134 200;

б) 8 025 + x = 73 090.

Реши једначине: а) x – 65 372 = 95

;

б) 158 030 – x = 48 205

;

в) 93 000 – x = 48

;

г) x – 205 842 = 5 680

.

Одреди непознати умањилац x ако је: а) умањеник 84 470, а разлика 14 034; б) разлика 320 080, а умањеник 500 803.

4.

5.

6.

Одреди x тако да се добију тачне једнакости: а) 3 158 + x = 7 498;

б) x + 86 851 = 311 249.

Одреди x тако да се добију тачне једнакости: а) x – 30 034 = 70 012;

б) 76 702 – x = 37 290.

Састави једначину и одреди њено решење. а) Ком броју треба додати број 1 111 да би се добио број 9 000? б) Од ког броја треба одузети 24 849 да би се добио број 2 304? в) Који број треба додати броју 809 да би се добио број 1 718? г) Који број треба одузети од броја 31000 да би се добио број 8 080?

98

7.

Напиши следеће реченице у облику једначина, па те једначине затим реши: а) Број 45 049 је већи за x од 880; б) Непознати број y је већи за 984 од броја 7 007; в) Број а је мањи од 4 590 за 2 940; г) Број 1 040 је мањи за b од 13 450.

8.

9.

Одреди решење једначине и провери тачност решења: а) x + x = 24;

б) 45 = а + а + а;

в) 5 – b = b + 1;

г) 24 + m = 36 – m;

д) x + x = x + 5;

ђ) y + y = y.

На основу следећих реченица састави једначине, па их затим реши: а) Одреди број који је за толико већи од 769 за колико је 7 390 веће од 5 630. б) Одреди број који је за толико мањи од 36 543 за колико је број 769 мањи од 2 135.

10.

На основу датих реченица састави једначине, па их реши: а) Одреди број који је за толико већи од 3 476 за колико је 794 мање од 2 640. б) Одреди број који је за толико мањи од 759 за колико је број 3 467 већи од броја 3 294.

11.

Напиши скуп решења неједначина: а) 10 < x < 100

;

в) 3 481 > x > 1 205 12.

13.

б) 158 < x < 837 ;

г) 110 101 > x > 90 909

; .

Састави неједначину чији се скуп решења састоји из бројева који су: а) мањи од 111; в) већи од 6 060;

б) већи од 222; г) мањи од 900 900.

Одреди скуп решења неједначина: а) x + 3 < 11; г) x + 30 < 45;

б) x - 7 < 15; д) x - 25 < 40;

в) 10 < x - 19; ђ) 40 < 85 -x. 99

14.

Образуј скуп решења неједначина: а) x + 580 < 585;

б) 806 – x > 800;

в) 1 632 > 1 625 + x;

г) 30 400 < 30 408 – x;

д) 2 386 < 2 380 + x;

ђ) 45 000 < x – 45 000.

Одреди скуп решења неједначина: 15.

;

б) 20 < c + 20 < 23

;

в) 191 < x + 3 < 201

;

г) 55 < x + 10 < 58

.

16.

Ако један замишљен број умањимо за 11, добијамо број који је мањи од 40. Одреди број који је могао да буде замишљен.

17.

У једној корпици је било нешто ораха. Када је узето 96 ораха, остало је мање од 15 ораха. Колико је ораха првобитно било у корпици?

18.

100

а) 300 + x < 306

Дечак је имао 20 кликера па је x кликера дао своме другу. Одреди колико је кликера: а) дечак могао дати другу;

б) могло остати код дечака?

19.

У једном хотелу било је 1 900 гостију и известан број радника. Укупно је у хотелу било мање од 2 150 људи. Колико је радника могло да ради у том хотелу?

20.

Петар је замислио неки број. Када је од њега одузео збир бројева 4 204 и 2 941. Добио је број који је мањи од 206. Који број је Петар могао да замисли?

21.

Када збиру бројева 938 и 4 585 додаш разлику бројева 5 667 и непознатог броја, збир ће бити мањи од 9 700. Одреди непознати број.

ЗАДАЦИ ОБЈЕКТИВНОГ ТИПА за годишње самопроверавање знања ученика Датум

1.

Могућ број бодова

а) Напиши цифрама: највећи седмоцифрени број б) Напиши број који је представљен изразом: 5 · 105 + 4 · 102 + 3 · 10 + 2 = в) Напиши цифрама број: осамдесет хиљада осамдесет

2.

а) Напиши низ непарних природних бројева

б) Напиши најмањи парни природан број

в) Допуни реченицу: претходник броја n (n ≠ 1) је

3.

Попуни: 3 km2 = =

4.

hа = dm2 =

а=

m2

cm2

Са 25 плочица може се покрити квадрат чија је површина 1m2. Колико је таквих плочица потребно да би се покрио квадрат површине 54 m2?

101

5.

6.

У једнакости m – n = r m је

;

n је

;

r је

.

а) Израчунај збир ако су сабирци 317 057 и 275 168.

б) Израчунај разлику бројева ако је умањилац 157 187, а умањеник 335 065

7.

Израчунај површину: а) квадрата странице 3m 50 cm б) правоугаоника чија је дужина једне странице 7 cm, а обим му је 38 cm

8.

а) Коју особину сабирања представља дати израз? а+(b+c)=(а+b)+c б) Применом оба својства сабирања на најједноставнији начин израчунај вредност израза: 4 385 + 76 402 + 5 635

9.

Реши једначине: а) x – 33 475 = 109 253 б) 445 355 + x = 953 002

10.

а) Отац је старији од мајке за 6 година, а од кћерке за 27 година. Колико година је кћерка млађа од мајке? б) При сабирању неколико бројева ученик је направио следеће грешке: у једном сабирку цифру јединица 3 заменио је са 8, цифру десетица 5 са 7 и цифру стотина 2 са 6. Како и за колико је он променио тачан збир?

ОСТВАРЕНО БОДОВА

102

ОЦЕНА