1º Sec CIME
March 2, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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BLOQUE 1
26
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Competencias que se favorecen: • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas ecientemente
Aprendizajes esperados
• Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa. • Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica.
EJES Sentido numérico y pensamiento algebraico
Forma, espacio y medida
Números y sistemas de numeración
Figuras y cuerpos
• Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.
• Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.
• Resolución de problemas de reparto proporcional.
• Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.
• Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.
Nociones de probabilidad
• Representa sucesiones de números o de guras a partir de una regla dada y viceversa
Problemas aditivos
Manejo de la información
Proporcionalidad y funciones
• Identicación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.
• Resolución y planteamiento de probl problema emass que que im pl iq ue n más de una operación de suma y resta de fracciones.
Patrones y ecuaciones • Construcción de sucesiones de números o de guras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que denen las rere glas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de guras. • Explicación del signicado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar.
Eje: Sentido Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
27
Sistema Decimal
•
Las fracciones y los decimales n ó i c CONTENIDO: a r Conversión de e fracciones m decimales y no u n decimales a e su escritura d decimal y s a viceversa. m e t s i s y s o r e
amos a iniciar con nuestro primer contenido de este ciclo escolar…en él trabajaremos con las fracciones y los decimales. Seguramente este tema no es nuevo para , pues lo estudiaste en primaria, pero ¿qué te parece si le damos un repaso?
V
Toma una regleta negra. ¿Cuánto vale? Ahora busca una regleta con la que puedas dividir la regleta negra en 7 partes iguales. ¿De qué color es esa regleta? Para representar fracciones con tus regletas, las colocarás de la siguiente manera: b b b n
m ú N TEMA
Las fracciones enen muchos usos. Uno de
La regleta que colocamos abajo, representa tu entero, y el color de la reregleta te indica en cuántas partes está dividido ese entero (denominador), y la candad de regletas blancas que colocas sobre ella te indica cuántas partes del entero estás considerando (numerador).
ellos es para representar una división a través de la siguiente notación:
a
b b b n
numerador
=
numerador denominador
Representa con regletas las siguientes fracciones:
ACTIVIDAD 1
denominador
3 7
b Donde a es el dividendo, llamado numerador en la fracción y b es el divisor, llamado denodenominador en la fracción.
En una fracción el denominador me indica en cuántas partes iguaiguales tengo dividida la unidad y el numerador me indica cuántas de ellas estoy tomando.
28
1
1 5
2
3 7
3
9 10
4
4 9
5
1 2
Números fraccionarios Como ya sabes, las fracciones están formadas por dos partes: el denominador, que es el que nos dice en cuántas partes está dividido el entero; y el numerador, que me indica cuántas de esas partes estamos considerando. La fracción 5 me indica que mi entero lo estoy dividiendo en 6 partes 6
iguales y de esas 6 partes estoy tomando 5.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Números y sistemas de numeración
•
Las fracciones además de un número, también representan un cociente, escribir como la división: división: así que 3 se puede escribir 5
0.6 5 3.0 0
El resultado de dividir 3 entre 5 es 0.6, lo que quiere decir que 0.6 es la representación en números decimales de 3/5. Los números decimales los podemos representar dividiendo en potencias de 10. Escribe la fracción correspondiente a cada una de las representaciones con regletas que te damos a connuación, escribe también la división y encuentra el valor en decimales de dicha fracción. Fracción
División
ACTIVIDAD 2
Resultado
A
R
a
c
V
r
V
Las fracciones decimales Se conoce como fracciones decimales a todas aquellas fracciones cuyo denominador es 10, 100, 1000, 10000, etc. Es decir son todas aquellas fracciones cuyo denominador es una potencia de 10. Por ejemplo la fracción:
N
3 = 10
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Números y sistemas sistemas de numeración numeración
•
Es una fracción decimal porque su denominador es 10. Si construyeras un tren del 100 con tus regletas naranjas y tomaras de esas 100 partes sólo, 3 tendrías: N
N
N
N
N
N
=
N
N
N
N
3
100 Y de igual forma si pudieras construir un tren del 1000 y así consecuvaconsecuva mente. ACTIVIDAD 3
Convierte a decimales las siguientes fracciones. 1
4 10
=
3
25 100
2
6 100
=
4
37 1000
=
5
45 100
=
=
Muy bien….esto ya lo habías trabajado en la primaria, ¿cierto? Vamos ahora a hacer un análisis de lo que sucede cuando trabajamos con fracciones decimales. Vamos a representar con regletas 7/10 y vamos vamos a encontrar su represen represen-tación en decimal:
= 7
N
0.7 10 70 0
10
= 7
10
Fracción decimal
= 0.7
• ¿Puedes encontrar alguna relación entre la representación en fracción y la representación en decimal? Observa Ob serva bien los datos que están involucrados en ambas representaciones. Regresa ahora a la acvidad 3 y analiza si encuentras relación entre las Regresa fracciones y su representación en decimales. • ¿Qué pasa con las candades? • ¿Qué pasa con el punto decimal? • ¿Hacia dónde se mueve el punto? • ¿Cuántos espacios? Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Números y sistemas de numeración •
a) b)
43 = 0 4 3 100
Movimos el punto decimal tantos espacios como ceros tenemos en el denominador
25 = 0 2 5 100
Como podrás ver y analizar, cuando tenemos fracciones decimales, no hace falta que hagas la división, basta con ubicar el punto decimal en el numerador de tu fracción y moverlo hacia la izquierda tantas veces como ceros haya en el denominador. Recuerda que si al mover el punto enes espacios vacíos, los debes de llenar con ceros. Llenamos los espacios vacíos con ceros
6 = 006 100
Movimos el punto decimal
ACTIVIDAD 4
Ahora es tu turno, convierte a notación decimal las siguientes fracciones: 1
2
=
3
87 = 1000
4
23 100
34 10
=
12 10000
5
=
6
45 100
=
27 100
=
7
57 10000
=
¡A jugar con punto el decimal! Así como ya vimos que las fracciones se pueden expresar también como un número decimal, todos los decimales enen una expresión en fracción. El siguiente cuadro muestra cómo quedan construídos los números cuando enen una parte entera y una parte fraccionaria. Millares
105
s a n e t n e C
104
s a n e c e D
Unidades
103
s e d a d i n U
102
s a n e t n e C
101
s a n e c e D
Milésimos
100
s e d a d i n U
1 10
s o m i c é D
1 102
s o m i s é t n e C
Millonésimos
Milmillonésimos
1 103
1 104
1 105
1 106
1 107
s o m i s é l i M
s o m i s é l i m z e i D
s o m i s é l i m n e i C
s o m i s é n o l l i M
s o m i s é n o l l i m z e i D
1 108 s o m i s é n o l l i m n e i C
1 109 s o m i s é n o l l i m l i M
9 4 7.5 6 0 4 La cifra 947. 5604 está formada con novecientos cuarenta y siete enteros, cinco mil seiscientos cuatro diezmilésimos. diezmilésimos. Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Números y sistemas de numeración
•
Si lo queremos expresar en notación desarrollada lo escribimos así: 4 6 4 6 5 947.5604 = 9 x 102 + 4 x 10 + 7 + 5 + 10 2 + 104 = 900 + 40 + 7 + 10 + 100 + 10000 10
Ahora que ya sabes cómo converr fracciones decimales y no decimales a números decimales, ¿podremos converr decimales a fracciones? Vamos a tomar el úlmo ejemplo que te dimos:
25 100
= 0.25 es decir: 0.25 =
25 100
• ¿Qué puedes hacer con el punto decimal para poder regresar esta rere presentación a una fracción? • ¿Cómo puedes reconstruir tu denominador? Analiza ahora los siguientes ejemplos: Construimos el denominador con 1 cero
Ej.. A Ej
04 = 4 10
Ej.. B Ej
Recorremos el punto 1 espacio
Ej. C Ej.
4 2 5 = 425 = 100
4
0035 =
Construímos el denominador con 3 ceros
35 1000
Recorremos el punto 3 espacios
25 100
Construímos el denominador con 2 ceros
Recorremos el punto 2 espacios
Es decir que para reconstruir un decimal a su representación en fracción, sólo enes que regresar el punto a donde estaba y armar tu denominador. ¡¡¡Importante!!! Cuando trabajes con fracciones y fracciones decimales, te recomendarecomenda mos que antes de converrlas a decimal simpliques la fracción lo más que puedas, así trabajarás con números más pequeños. De igual forma, cuando conviertas un decimal a fracción, simplica tu reresultado para trabajar con fracciones más sencillas. Por ejemplo:
0.5 = 5 = 1
Ej.. A Ej
2 8
=
1 4
= 0.25
Ej.. B Ej
Ej.. C Ej
5 25
=
1 5
= 0.2
Ej.. D 0.45 = Ej
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
2
10
45 100
=
9 20
Números y sistemas de numeración
•
Para ejercitar lo que hemos aprendido hasta ahora, completa la siguiente tabla: Fracción
¿Se puede simplicar?
Número decimal
ACTIVIDAD 5
Fracción decimal
6 9
0.028
3 4
3.45 3 7 9 12 67 1000 5 7 48 10
0.21 5 60 16 10
0.352 8 16
0.012
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido
¿Qué sabes de fracciones? n ó i c CONTENIDO: Representación a r e de números m fraccionarios y u decimales en la n e recta numérica a d partir de distin s tas informacioinformacio a m nes, analizando e las convencioconvencio t s nes de esta re i s presentación. y s o r e m ú ACTIVIDAD 1 N TEMA
D
urante la primaria trabajaste con fracciones muchas veces. AprenApren di diste ste a sumarlas, a restarlas, a compararlas para saber cuál era mayor que otra, sabes encontrar equivalencias para representar una misma fracción de diferentes formas, también aprendiste a simplisimplicarlas para trabajar con números más sencillos. En el tema anterior de este manual recordaste cómo pasar de fracción a decimal y viceversa.
Fracciones en la recta numérica Para la acvidad que vamos a desarrollar, necesitamos que cortes ras de papel de aproximadamente 1cm de ancho por 50 cm de largo. Esta acvidad se puede hacer también con listones o con serpennas de papel y se puede realizar en parejas.
1 0
Con una liga divide tu geoplano circular en medios. Coloca la punta de tu ra de papel en uno de los pivotes que ene liga y rodea todos los pivotes por fuera. A ese primer pivote que ene la liga márcalo con cero en el papa 1 pel, al segundo que ene liga márcalo con 2 y al punto en el que vuelves a llegar al primer pivote márcalo con 22 =1 (g. A) Fig. A
Tu ra de papel debe quedar así:
0
1 2
1
Quita la liga que dividió a tu geoplano en medios y divídelo ahora en tercios. Repite con otra ra 1 de papel lo que hiciste antes. Ahora marca el inicio con cero, el primer contacto con la liga con 3 , 3 2 el segundo con 3 y al nal de la ra con 3 = 1. Tu ra queda así:
0
1 3
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
2 3
1
Números y sistemas de numeración
•
Repite el proceso con ras que vas a dividir en cuartos, sextos y octavos respecvamente. Una vez que tengas todas las ras marcadas, pégalas en las hojas blancas de “Mi cuaderno de registro CIME” y haz que todos los ceros queden alineados de la siguiente forma:
1 2
0
1 3
0
0
2 3
1 4
1 6
0
0
1
1 8
2 4
2 6
2 8
1
3 4
3 6
3 8
1
4 6
4 8
5 8
5 6
6 8
1
7 8
1
Ahora responde a las siguientes preguntas: 1
2
• ¿Qué fracción ene más valor: 3 ó 2 ? 1
2
• ¿Qué fracción ene menor valor: 3 ó 6 ? Argumenta tu respuesta.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Números y sistemas de numeración
•
ACTIVIDAD 2
1
4
7
Uliza los signos ó = , para resolver los siguientes ejercicios:
1 2
2 3
3 4
3 6
3 6
2 4
ACTIVIDAD 3
2
5
8
5 6
7 8
6 8
4 6
1 8
1 6
3
6
9
2 4
4 8
2 6
3 8
1 4
2 8
Imagina ahora que nuestras ras de papel son segmentos de rectas nu nu-méricas y que dan más de una vuelta al geoplano circular circul ar de tal manera que quedan así:
0
1
2
Ahora fracciona los siguientes segmentos de recta numérica en las fracciones que se te indican: 1 En medios
0
1
2
1
2
1
2
2 En tercios
0 3 En cuartos
0
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Números y sistemas de numeración
•
4 En sextos
0
1
2
• ¿Qué estrategia ulizaste para fraccionarlas?, ¿cómo deben ser las fracfrac cioness entre cione entre sí? Comparte tus estrategias con tus compañeros y observa si alguna de esas estrategias te parece más sencilla que otra. ACTIVIDAD 4 En las siguientes semi rectas numéricas determina la ubicación de las fracciones que se indican, pero... se perdió la ubicación del cero, ¿nos ayudas a encontrarlo? Encuentra pripri mero el cero y después ubica las fracciones que pide cada ejercicio.
1 Ubicar 1 , 2 1 2 4
1
1
1 2
2 Ubicar 1 y 3 4 4
1 2
1
3 Ubicar 5 y 4 6 3
3 2
1 4 Ubicar 3 y 3 2 4
1
2
3
Comenta con tus compañeros las estrategias que ulizaron para ubicar el cero en las semi rectas que propusimos. Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Números y sistemas de numeración
•
ACTIVIDAD 5
En la siguiente recta numérica hay dos fracciones. ¿Consideras que entre esas dos fracciones sea posible ubicar alguna otra fracción? Ubica varias fracciones. ¿Cuántas ubicaste?
1 3
2 3
Compara tus fracciones con las de tus compañeros y observa si todos ubiubicaron las mismas, si son todas las que pueden ubicar y las estrategias que ulizaron para buscar más fracciones. ACTIVIDAD 6
En las siguientes semi rectas numéricas ubica al menos tres fracciones entre las que se te dan.
1
2 5
3 5
2
1 6
2 6
3 4 9
5 9
4
3 4
1
Compara las fracciones que ubicaste con las de tus compañeros.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Números y sistemas de numeración
•
Como verás, siempre es posible encontrar una fracción entre dos fracciones,, ésta es una propiedad muy importante fracciones i mportante de los números frac frac-cionarios y decimales. Se llama “densidad de las fracciones” y fracciones” y establece que el conjunto de números fraccionarios es muy denso, por lo que siempre existe la posibilidad de intercalar una fracción entre otras dos.
La propiedad de la densidad de fraccio-
La estructura de construcción del sistema decimal que trabajamos nos permite ubicar también los números en la recta numérica apoyándonos en la composición decimal. La unidad se divide en diez partes iguales llamadas décimos:
Los números decimales les son la representa-
0
nes establece que siemsiempre es posible encontrar una fracción adicional entre dos fracciones.
ción en potencias de 10 de la parte no entera de un número.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
El punto decimal es el signo matemáco que sirve para separar la parte entera de un número de su parte decimal.
Si tomamos cada uno de éstos décimos y los dividimos en 10 partes más, signica que nos caben 10 veces 10, = 10 x 10 = 10 2 = 100 partes de la unidad. Estas pequeñas partes se llaman centésimos centésimos..
0
Por ejemplo, ejemplo, en el número 3.1416, la parte entera es 3, y la parte decimal es 0.1416.
.01
.02
.03
.04
.05
.06
.07
.08
.09
.1
1 100
2 100
3 100
4 100
5 100
6 100
7 100
8 100
9 100
10 100
Sucesivamente podremos seguir dividiendo cada una de las partes que tengamos diez veces más para obtener milésimos, diezmilésimos...
=
1 10
En algunos países se acostumbra escribir una coma decimal en lugar del punto.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Números y sistemas de numeración
•
ACTIVIDAD 7
Vamos a trabajar ahora con los decimales en la recta numérica. Localiza en las siguientes rectas: * Los dos decimales que se te piden. * Dos números más, los que tú quieras entre los puntos A y B.
1 1.30
y 0.6
A 1
B 1.5
2
1.25 y 2.43
2
A 0
B
1
3 1.40
3
y 2.6
A
B
1.10
2.50
4 3.75
5 5.45
4
y 3.79
A
B
3.7
3.8
y 6.20
A
B
5
6.5
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Números y sistemas de numeración 6 0.85
y 1.02
0
•
A
B
1
2
¿Qué dificultades tuviste para resolver estos ejercicios? Intercambia tus comentarios con tus compañeros.
Hagamos ejercicios 1
Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones. Una vez que las hayas ordenado, ubícalas en la recta numérica e indica el valor de cada una en decimales: 4 , 3 , 1 y 5 (de menor a mayor). 8
7
0 2
9
2
.1
.9
1.00
1 10
9 10
1
Ubica tres números decimales entre 0.8 y 0.952.
3
En el entrenamiento del equipo de atlesmo de la escuela de Luis hay 6 corredores. El día de hoy se va a hacer una prueba para ver quién recorre más distancia en un minuto. Todos salen del mismo punto y al mismo empo; al completar el primer minuto se les tomará la distancia recorrida por cada uno. El siguiente cuadro muestra la distancia recorrida por cada uno en el primer minuto.
Corredor
Distancia recorrida
Rodrigo
3 de vuelta 4 2 de vuelta 4 3 de vuelta 5 2 de vuelta 5 4 de vuelta 6 1 de vuelta 3
Sanago Mariano Bernardo
En la recta numérica ubica la posición de cada uno de los corredores y después contesta lo que se te pide:
0
Daniel Carlos
1 Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Números y sistemas de numeración
•
• ¿Quién recorrió más distancia? • ¿Quién recorrió menos distancia? • Si conservaran esas posiciones, ¿quiénes ocuparán los primeros tres lugares de la carrera? • ¿Hay corredores que van empatados? empatados? Si Si sabemos sabemos que una vuelta a la pista mide 1 kilómetro, expresa en decimales la distancia que ha recorrido cada uno de los corredores. 4
En las tlapalerías los tornillos se venden de diferentes medidas exexpresadas en fracciones. Las más comunes son las de 1 pulgada, 5 de 8 2 pulgada y de 7 de pulgada. 16
Tr Traaza en tu cuaderno una recta numérica; representa en ella una pulgada y ubica la medida de los tres tornillos. • ¿Cuál de los tres tornillos es el más largo? • ¿Cuál es el más corto? aproxima más en tamaño al de 12 pulgada? • ¿Cuál de los dos tornillos, el de 5 o el de 7 se aproxima 8
16
• ¿A cuántos dieciseisavos diecisei savos equivalen 5 y 12 ? 8 9 de pulgada, ¿entre qué medidas de tornillos quedaría? • Un tornillo de 16 5
Fo Forma rma con tus compañeros equipos de 4 ó 5 integrantes y consigan 2 dados.
Ti Tiren ren los dados por turnos, primero un dado y después el otro. El número que caiga en el primer dado va a ser el numerador de la fracción y el número que caiga en el segundo dado va a ser el denominador. En un cuadro como el del ejemplo van a ir poniendo sus resultados. Al terminar la ronda, tracen una recta numérica calculando que todas las fracciones que obtuvieobtuvie ron quepan en ella y ubiquen la fracción de cada uno del equipo. Comparen las fracciones y determinen quién obtuvo la mayor, quién quedó en úlmo lugar y en qué lugares quedaron los demás. Una vez que determinen el lugar en que quedó cada quien, conviertan las fracciones que obtuvieobtuvieron a números decimales. Te ponemos un ejemplo: María ró con sus dados primero un 2 y después un 4, o sea que la frac ción que obtuvo es 24 . Luis ró con el primero un 3 y con el segundo un 5, la fracción de Luis es 35 y Manuel ró primero un 6 y después un 5, por lo que su fracción es 65 .
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Números y sistemas de numeración
•
Con esta información llenaron la siguiente tabla: Nombre
Fracción
Decimal
2 4 3 5 6 5
0.5
Lugar en que quedó 3o
0.6
2o
1.2
1o
María Luis Manuel
La recta numérica que construyeron quedó así: María
Luis
Manuel
0.5 0.6 2 4
0
1.2
3 5
6 5
1
2
Ahora hagan sus equipos, construyan sus tablas y comiencen su juego. Pueden hacer varias rondas de juego. Al terminar comenten con sus compañeros los resultados e intercambien su información. • ¿Cuál fue la fracción de menor valor que obtuvo el grupo en general? • ¿Y la mayor? Con esa información completa el siguiente cuadro de las posibles fracfrac ciones y decimales que pueden obtener con este juego para ver cuál es la fracción más pequeña, la más grande, y cuántas fracciones equivalentes hay. numerador denominador
1
2
3
1
1 = 1 1
2 = 2 1
3 = 3 1
4
5
6
2 3 4
3 = 1 3 4 = 0.66 6
5 6
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Recordando... s o v i t i d a s a m e l b o r P
CONTENIDO:
P
ara poder trabajar en este tema es muy importante que tengas claros varios conceptos de fracciones como son: la equivalencia entre fracciones, la suma y resta de fracciones, fracciones , cómo simplicar simplicar-las y las y cómo llegar a un denominador común. común.
Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.
Las fracciones unitarias Se conoce como fracciones unitarias a las fracciones cuyo numerador es 1 1 1 1, por ejemplo: 2 , 5 , 8 son fracciones unitarias. Los egipcios ulizaban las fracciones de una manera muy especial, pues
TEMA
Se dice que dos frac-
ciones son equivalentes si enen exactamente el mismo valor. Por ejemplo, ejemplo, las fracciones: 23 y 69 son equi equi-valentes.
Las fracciones unitarias son todas aquellas 1 fracciones cuyo1 ,numerador es uno: 2 18 , 1 , etc. 10
ACTIVIDAD 1
todas las fracciones que usaban tenían numerador 1. Algunas de ellas tenían una representación especial pero en general las representaban usando el mismo símbolo del número con un punto arriba. 1
Por ejemplo 10 se escribía
.
Cuando querían querían representar fracciones cuyo denominador fuera diferente de uno, buscaban la manera de representarla como la suma de fracfrac ciones unitarias. Esto aparentemente suena fácil, ¿no?... ¿quieres intenintentarlo? Puedes trabajar con un compañero o en equipos. Uliza tu geoplano para encontrar un entero que te ayude a calcular la suma de las fracciones que se te piden. Registra tus respuesta en las ho jas de registro registro para geoplano geoplano “Mi cuaderno de registro registro CIME”. CIME”. Debes de recurrir a todos los conocimientos que enes de fracciones.
Ex Expresa presa las siguientes fracciones como la suma de dos fracciones unitarias 1 1 1 diferentes (no se vale representar 2 = 4 + 4 ) :
El denominador común es un número
1
1 = 2
2
1 = 3
3
1 = 5
natural que es múlplo común de los denomi-
¿Que tal?, ¿fácil?... Comparte con tus compañeros tus soluciones y vean
nadores de varias fracciones dadas.
si sólo existe una solución o encontraron varias propuestas.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Problemas aditivos
•
Sumando y restando otras fracciones Como habíamos visto en la etapa propedéuca, también puedes resolver las fracciones encontranencontrando un denominador común. Si quieres sumar o restar dos fracciones cuyos denominadores no son equivalentes, debemos enen contrar un denominador que sea común a todos y además para ahorrarte trabajo, debes seleccioseleccio nar el menor de ellos. 1
1
Por Por ejemplo, si se suman: 5 + 7 , se determina un número que sea múlplo del 5 y del 7. Si to mas regletas amarillas y negras y haces un tren amarillo y uno negro, cuando los comparas verás que coinciden varias veces, pero la primera vez que coinciden es en el 35, por eso el múlplo más pequeño que es común a ambos, o mínimo común múlplo para 7 y 5, es 35. 35. Toma las regletas que usaste para llegar hasta el 35, esto es 7 regletas regl etas amarillas y 5 regletas reg letas negras. Con ellas vas a construir 2 rectángulos: uno negro y uno amarillo que nos da el tamaño de nuestro entero. Este entero se puede parr en 35 y sacamos la equivalencia de cada fracción a sumar.
1 = 5 35 7 5n = 5 veces 7 = 35 1 = 7 35 5
7a = 7 veces 5 = 35 1 = 5 35 7
1 = 7 35 5 1 + 1 = 7 5 7 + 5 = 12 35 35 35
Para restar fracciones, tendríamos que buscar un denominador común igual que en la suma y restaríamos los numeradores. Por ejemplo: 1 - 1 = 7 - 5 = 2 5 35 35 35 7 Como verás, ya sea con geoplano o con regletas, debemos encontrar un entero que puedas dividir al mismo empo en ambos denominadores. Cuando tengas que sumar más de dos fracciones, puedes encontrar el mínimo común múlplo entre los tres. En los primeros temas de este bloque vimos cómo se calculan los números decimales, los analizaanalizamos también como resultado de una fracción al realizar una división, y como representación de una fracción decimal:
3 = 3 entre 4 = 0.75 = 75 100 4 Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
•
Recuerda siempre, anantes de empezar a trabatraba jar cualquier cualquier opera operación ción con fracciones, analizar las fracciones para ver si puedes simplifcarlas o encontrar equivalenequivalen-
Problemas aditivos
Conocer todas estas opciones para trabajar los decimales nos ayudan a comparar números y a ubicarlos en la recta numérica. Vam Vamos ahora a resolver algunos problemas de fracciones, recuerda idencar bien tus datos, las operaciones que necesitas efectuar y simplica siempre lo más que puedas. puedas . En algunos de estos problemas deberás trabajar también con números decimales.
cias entre ellas.
Hagamos ejercicios 1 De toda el agua dulce que hay en nuestro planeta, 3 partes están en las capas de hielo de la 4 1 en la atmósfera. atmósfera. ¿Qué fracción constuye el resto Antárda y Groenlandia, 15 en ríos y lagos y 25
de los depósitos?
La enda de abarrotes de don Manuel compró10 kg de café sin tostar a $70.50 el kilo. Si al tostarse el café pierde 15 de su peso, ¿en cuánto se debe de vender el kilo de café tostado si don 2
Manuel quiere ganarle $10.00 a cada kilo? maestra ma estra le pidió a Mónica que pasara a resolver una suma de fracciones: 12 + 45 . Mónica dijo que el resultado era 57 . ¿Estás de acuerdo? ¿Por qué? Jusca tu respuesta. 3 La
Una costurera necesita 78 de metro de cinta para decorar una falda. Si compró una pieza de cinta de 8 metros y quiere hacer 4 faldas, ¿cuánta cinta va a ulizar? ¿Cuánta cinta le va a sobrar? 4
5 Luis enterró una estaca en el suelo suel o para de ahí amarrar unos cables. Si enterró 14 del largo total
de la estaca y la parte que se ve mide 1.5m, ¿cuánto mide la estaca completa?
6 En la la Ciudad de México se ha establecido una ruta turísca que recorre los sios más atracvos
de la ciudad en un autobús panorámico y se explica a los turistas lo más relevante de dichos sios. Como tú sabes la Ciudad Ciudad de México México ene problemas problemas de tráco tráco por lo que, en las la s horas ho ras más m ás difí d ifíci ci-les de transitar el autobús hace su recorrido en 2.5 horas. En las horas en que no hay tráfico, el recorrido se hace en 1 hora y 45 . ¿Cuál es la diferencia de tiempos que genera el tráfico pesado en el recorrido? José Antonio va a salir de viaje. Del dinero que lleva para su viaje piensa gastar 18 en hospe3 en alimentación y 14 para gasolina y gastos de carretera. ¿Qué parte de su dinero le va a dajes, 16 quedar para diversiones? 7
Ahora en equipos o parejas, inventen una situación que implique suma o resta de fracciones, otra en la que trabajes decimales y fracciones juntas y por úlmo, una en la que trabajen sólo con decimales. 8
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Búsqueda de patrones CONTENIDO:
a búsqueda de patrones consiste en encontrar alguna regla o diseño que se repite en un orden bien determinado. Los patrones pueden ser entre otros, geométricos o numéricos, numéricos, que son los que nos ininteresa estudiar. estudiar.
L
ACTIVIDAD 1
Con tus regletas rojas construye las siguientes guras y busca los patrones que se siguieron para su construcción.
Construye cuáles son las Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
3 siguientes guras de la sucesión.
Observa las guras y contesta las siguientes preguntas:
s Construcción de e n o sucesiones de i c números o de a guras a partir u de una regla c e dada en lengua y je común. s Formulación en e n lenguaje común o r de expresiones t a generales que P denen las rereglas de sucesiones con progre- TEMA sión aritmética o geométrica, de números y de guras.
• ¿La candad de regletas que necesitas para cada gura va creciendo o decreciendo? • ¿Cómo varía la candad de regletas de cada gura respecto a la gura anterior? anteriores? • ¿Y respecto a las dos guras anteriores? • ¿Qué diferencia existe en cuanto a la candad de regletas que usaste entre dos guras consecuvas? Con la información que obtuviste y analizando las guras que enes, completa el siguiente cuadro: Número la gurade
Candad de regletas necesarias
¿Cómo se formó la gura?
1 2 3 4 5 6 7 8
1 3 5
1+2 1 + 2 + 2 = 1 + 2(2)
9 10 15 20
Un patrón es una repeción de elementos que siguen todos una misma regla.
Si analizas lo realizado, cada gura está formada por la gura anterior más dos regletas rojas.
30 100
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Patrones ones y ecuaciones Patr
•
ACTIVIDAD 2
Observa ahora la siguiente sucesión y con tus regletas rojas construye las tres guras que siguen:
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Contesta ahora: • ¿Con cuántas regletas rojas se formó la gura 4? • ¿Cuántas necesitaste para la gura 5? • ¿Podrías calcular cuántas necesitas para la gura 10? • ¿De qué manera obtuviste los resultados de las preguntas anteriores? • ¿Podrías encontrar un patrón para construir las guras? Con los datos datos que has obtenido, completa el siguiente cuadro: Número de
Candad de
¿Cómo se formó
la gura 1 2 3 4 5 6
regletas necesarias 1 4 9
la gura? 1+3 1+3+5
Analiza y compara las respuestas con tus compañeros para ver qué hicieron, si hay diferencias en los resultados busquen por qué y lleguen a un acuerdo. ¿Alguna Alguna vez vez has visto los esquemas que se ulizan para bordar punto de cruz? están hechos en cuadrículas muy pequeñas y cada cuadrito que está dibujado indica el cuadrito que se va bordar en tela. Vamos Vamos ahora a observar bien los siguientes diseños, son dos secuencias diferentes. Construye la secuencia con tus regletas blancas para poderla analizar. Secuencia A
48
Fig. 1
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Fig. 2
Fig. 3
Patrones ones y ecuaciones Patr
•
Secuencia B
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 4
Completa el siguiente cuadro para la SECUENCIA A: Número de la gura
Cuadros bordados
1
4
2
8
¿Cómo se formó?
4+4
3 4 10 25 Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Patrones ones y ecuaciones Patr
•
Completa el siguiente cuadro para la SECUENCIA B: Número de la gura
Cuadros bordados
1
1
2
5
1+4
3
9
1 + 4 + 4 = 1 + 2 (4)
¿Cómo se formó?
4 10 25
Después de completar los cuadros, responde a las siguientes preguntas tanto para la secuencia A como para la secuencia B: • Si conoces el número de gura, ¿puedes encontrar la candad de cuacuadros bordados que ene? • Si a una gura le corresponde el número 100, ¿podrías encontrar una operación para saber el número de cuadros bordados que ene? • ¿Y para la gura 200? • Llamemos n al número que ocupa una gura en la secuencia. ¿Puedes encontrar una forma de expresar el número de cuadros bordados que ene? • Si sabemos que en la secuencia A la gura ene 320 cuadros bordados, ¿puedes saber qué número de gura le corresponde dentro de la secuencia? Llamamossucesión a la lista de números que siguen una determinada regla para calcular el siguiente término. Por ejemplo, la sucesión:
3, 8, 18, 38, 78, _ _ sigue la siguiente regla: «suma 1 al úlmo término de la sucesión y al resultado mulplí calo por dos».
50
• ¿Habrá en la secuencia B una gura que también tenga 320 cuadros bordados?, ¿por qué?
A connuación vamos a mostrarte colecciones de números que están oror denados y que cumplen con una regla. A estas colecciones les llamaremos sucesiones. En todas estas colecciones cada número ocupa un lugar al que llamarellamare mos término término y y lo representaremos con la letra n, y a la regla que ulizaulizamos para ir construyendo la sucesión le llamaremos patrón patrón.. Los puntos suspensivos al nal de una sucesión, indican que la sucesión
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Patrones y ecuaciones
•
puede connuar construyéndose. Bien, con esta información observa la siguiente sucesión 2,4,6,8,10,12,.. 2,4,6,8, 10,12,..... ... y responde: • ¿Cuántos términos de la sucesión te estamos mostrando? • ¿Cuál es el primer término de la sucesión?, ¿y el tercero? • ¿Qué caracteríscas enen sus términos? • ¿De qué manera puedes construir un término a parr del anterior? Observa la siguente tabla, vamos a denir cuál es la regla para encontrar cualquier término de la sucesión Término
Valor
1
2
2
4
2 + 2 = 2 (2)
3
6
2 + 2 + 2 = 3 (2)
4
8
2 + 2 + 2 + 2 = 4 (2)
5
10
2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5 (2)
6
12
Búsqueda de la regla
15 25 n
En este caso el patrón fue mulplicar el término de la sucesíon por dos, por lo que seguramente llegaste a la conclusión de que para el término n de la sucesión el patrón es 2n • ¿Cuál es la sucesión que se formaría con el patrón 3n ? • ¿Y si el patrón es 5n ? No todas las sucesiones empiezan a parr del 2, o del 1, a veces empiezan a parr de otro número.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
51
Patrones ones y ecuaciones Patr
•
Por ejemplo: 6, 8, 10.... El patrón es sumar dos, pero el primer término es 6 , el segundo es 6 + 2, el tercero es 6 + 2(2), el cuarto sería 6 + 3(2), y asi sucesivamente. Encuentra una relación entre el número de veces que sumas 2 y el térmitérmino de la sucesión: Para el término 2 aumentaste 1 vez dos, para el término 3 aumentaste 2 veces 2, para el término 4 aumentaste 3 veces 2, ¿cierto? • Para el término 15, ¿cuántas veces veces aumentarás 2? • Y para para el término n , ¿cuántas veces aumentarás 2? Generalizando este patrón tendremos que para cualquier término de la sucesión el patrón es 6 + 2 (n-1) ya que el primer término es seis y sólo aumentaremos (n-1) veces 2.
Hagamos ejercicios Completa ompleta el el siguiente cuadro en los casos en que se te da el patrón a seseguir.Construye guir .Construye la sucesión suce sión hasta el término término,, que es en los casos en que no se da el patrón. Encuéntralo y completa la sucesión. Patrón a seguir
Término Término Término Término Término Término Término Término Término 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2
4
6
2n - 1
14 7
12
23
34
45
3
8
13
18
20
11 89 43
4n + 2 3n - 1
Término 10
30 2
5
11
21
17 31
61
91
Al terminar de completar tu cuadro compáralo con los de tus compañeros y comenta los resultados. Si a alguien le quedó un patrón diferente al tuyo, analicen y veriquen si ambas opciones los llevan ll evan a la misma construcción. Al terminar el análisis cuadros haz equipo con un compañero, disediseñen un patrón a seguirdey los formen la sucesión correspondiente.
52
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Representando con letras n el tema anterior estuvimos trabajando con patrones de comportamiento de sucesiones numéricas. En estos patrones representamos con letras los datos que no conoconocemos y los ulizamos mucho más de lo que te imaginas... Vamos a trabajar en nuestros geoplanos.
E
Construye en tu geoplano un cuadrado como el siguiente:
CONTENIDO: Explicación del signicado signicado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números genegenerales con los que es posible operar.
s e n o i c a u c e y s e n o r t a P TEMA
Si queremos saber la medida del perímetro de esta gura sin ulizar las fórmulas que aprendiste en la primaria, ¿qué harías? ¿Podrías encontrar también el área? Ahora construye la siguiente gura:
El perímetro de una • ¿Puedes calcular la medida del perí metro y el área de la gura? Describe cómo calcular el perímetro y el área de las dos guras anteriores. Bien, ahora observa detenidamente la gura del siguiente geoplano.
A x F
El perímetro perímetro de una gura geométrica cerrada (como la circunferencia)
x B
gura geométrica es igual a la suma de las longitudes de sus lados. Y se mide en unidades lineales como u, cm, m, etc.
C D
es igualque a lalalongitud la línea delimita.de E
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Patrones ones y ecuaciones Patr
•
Área es la supercie que cubre un cuerpo o gura geométrica. Sus unidades se miden en unidades cuadradas como u², cm², m², etc.
Alonso ene que hacer un trabajo en equipo en casa de su compañero Francisco. Para llegar allá ene que pasar a buscar a sus compañeros BerBernardo, Carlos, Daniel y Eduardo, así llegarán todos juntos a casa de FrancisFrancisco para hacer el trabajo. Hemos marcado la ubicación de cada casa con la inicial del nombre del compañero que vive ahí. Si cada unidad lineal de tu geoplano corresponde a una cuadra, responde las siguientes preguntas: • ¿Cuántas cuadras tuvo que caminar Alonso para llegar a casa de Francisco? • ¿Cuántas cuadras caminó acompañado de Bernardo? • ¿Y acompañado de Bernardo, Daniel y Eduardo? • ¿Cuántas cuadras caminaron juntos Carlos y Eduardo para llegar a casa de Francisco? Al terminar el trabajo, Alonso debe regresar directo a su casa. construye en tu geoplano la ruta más directa de casa de Francisco a casa de Alonso ( recuerda que son cuadras y no puedes cruzar en forma diagonal). Representa lo que hiciste en una hoja de registro reclíneo de “Mi cuaderRepresenta cuaderno de registro CIME”. • ¿Habrá otras opciones de ruta para Alonso? Trázalas en las hojas de registro reclíneo de “Mi cuaderno de registro CIME”. Lo que hiciste al trazar la ruta de regreso de Alonso a su casa directamendirectamente de la casa de Francisco fué cerrar la gura y formar un polígono irreguirregu lar. El perímetro de la gura ya lo enes contando la candad de cuadras que caminó Alonso. ¿Puedes encontrar el número de cuadras que quedan encerradas en la ruta de Alonso? Considera cada unidad cuadrada como una cuadra.
ACTIVIDAD 1
Calcula el perímetro y el área de las siguientes guras. Explica con tus palabras cómo los calculaste sin aplicar una fórmula:
El cuadrado es un paralelogramo con todos sus lados y sus ángulos iguales. Sus ángulos son rectos y sus diagonales se cortan perpendicularmente.
1
2
El rectángulo es un es un paralelogramo que ene sus cuatro ángulos rectos.
Sentido numérico y pensamiento algebraic algebraico o Eje: Sentido Eje:
Perímetro:
Perímetro:
Área:
Área:
Patrones y ecuaciones
3
•
4
Perímetro:
Perímetro:
Área:
Área:
• ¿Podrías generalizar una fórmula que te ayude a encontrar el perímeperíme tro de un cuadrado o de un rectángulo? ¿Y una fórmula para encontrar el área del cuadrado y del rectángulo? Compara tus fórmulas con las de tus compañeros y comenten lo que obob tuvieron. ACTIVIDAD 2
Vamos Vamos a trabajar ahora con triángulos. Observa los triángulos que te prepre sentamos en los siguientes geoplanos. Recuerda que en el geoplano, todavía no hemos aprendido a sacar la medida de las diagonales, por lo que no podemos, por el momento, calcular perímetros. • ¿Puedes encontrar una forma de calcular las áreas de los triángulos?
1
2
Área:
3
Área:
Área:
es un Un triángulo polígono de tres lados.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Patrones nes y ecuaciones Patro
•
Con las fórmulas que has generalizado hasta ahora, ¿puedes calcular el área y perímetro de las siguientes guras? Si en alguna gura puedes encontrar sólo el área o sólo el perímetro por que te faltan datos, indícalo en el ejercicio.
1
2
6 cm
2 cm
6 cm a
6 cm
3
Perímetro:
Perímetro:
Área:
Área:
4
6 cm
5
b c
3 cm
5 cm c
a Perímetro:
Perímetro:
Perímetro:
Área:
Área:
Área:
Área y perímetro del triángulo:
c
d a b
P=b+c+d A= bxa 2
Como podrás darte cuenta, en algunos casos puedes calcular tanto el área como el perímetro y en otros casos no enes sucientes datos numéricos para calcularlos y enes que dejar el valor representado por una letra que llamamos literal. literal. De esta forma has aprendido a buscar por mismo la forma de enconencon trar áreas y perímetros de guras sin tener necesariamente una fórmufórmula memorizada. Las Las matemácas se expresan mediante un lenguaje simbólico especial, que se usa de común acuerdo. En este lenguaje usamos signos, letras (llamadas literales) y números para representar fórmulas representar fórmulas..
magnitud Se llama desconocida literal a una que o medida se rere presenta con una letra Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Tú yade conoces algunas fórmulas, otras, las has construido a base generalizar ejercicios.
Patrones Patrones y ecuaciones
•
Hagamos ejercicios Vamos a resolver algunos problemas. Podrás trabajarlos junto con un compañero y después en grupo revisar sus resultados. Recuerda que los datos que desconoces los puedes representar con literales. 1 Un agricultor desea comprar malla de alambre para cercar un terreno
donde va a sembrar hortalizas. Calcula el área del terreno y cuántos meme tros de malla de alambre necesita comprar si: a) Su Su terreno es rectangular y mide 28m de largo y 20m de ancho. a) b) Su Su terreno es un rectángulo de 35m por 24m. b) c) c) El El terreno es un cuadrado de 40m por lado. (Completa la tabla de la derecha)
Área del terreno a)
Metros de alambre
b) c)
Plantea ahora una fórmula que te ayude a calcular la candad de alambre en metros que necesita para cualquiera de los terrenos de los incisos a, b y c. 2 Ramón salió de vacaciones con su familia este verano y recorrieron varias ciudades por carre-
tera. Salieron de su casa en Toluca y visitaron primero Morelia en un recorrido de 290 km; de Morelia a Guanajuato recorrieron 240 km; de allí a Zacatecas hicieron un recorrido de 320 km; de Zacatecas fueron hacia Querétaro en un recorrido de 380 km y de ahí pareron a casa ubicada a 220 km de distancia. a) ¿Cómo puedes calcular la distancia que recorrieron? Supongamos que que no conoces la distancia que recorrieron de Morelia a Guanajuato, ¿cómo rereb) Supongamos presentarías la distancia total del viaje? c) Calcula la distancia recorrida, exprésala primero mediante una fórmula, representando cada ciudad con una literal. d) Encuentra una expresión que te permita representar el recorrido de la familia de Ramón, si des conocieras cuál es la distacia entre Zacatecas y Querétaro, y la de Querétaro a Toluca. e) Conociendo el total de km recorridos y todas las distancias, menos la distancia de Guanajuato a Zacatecas, ¿podrías encontrar una expresión que represente el recorrido? ¿Y podrías además encontrar la distancia que te falta? Argumenta Arg umenta tus respuestas con tus compañeros y tu profesor (a).
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Construyendo triángulos... de todos tamaños y formas s CONTENIDO: o p Trazo de r e u triángulos y c cuadriláteros y mediante el s uso del juego a r de geometría. u g i F
Primero, nuestro juego de geometría
I
mportansimo... probablemente ni te imagines cuán importante es. Debe de estar completo y es muy importante que conozcas para qué te va a servir cada una de las herramientas que lo componen: las es cuadras, el compás, la regla y el transportador. Vamos viendo...
TEMA
• La regla. Seguramente la has usado siempre desde la primaria: para hacer márgenes, para subrayar y que las líneas te queden derechas, para medir en cenmetros por un lado y en pulgadas por el otro. • La escuadra y el cartabón. ¿Te has puesto a analizar por qué enen esa forma? ¿sólo por que sí, o enen alguna razón de ser así? ObsérvaObsérvalas. Escribe las caracteríscas que ves en cada una de ellas de acuerdo a: * Su forma: * Sus ángulos:
C a r t a b ó n
* Sus medidas: • ¿Qué más podrías decir de ellas?
Escuadra
Las escuadras son importansimas y nos serán de gran ulidad.
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Figuras y cuerpos
•
• El compás. Seguramente lo has usado varias veces, incluso hasta en varias cosas para las que no fue diseñado. El compás no sólo nos sirve para trazar circunferencias, también nos sirve para marcar distancias iguales, para trazar arcos, segmentos de circunfecircunfe rencia, trasladar distancias, dividir segmentos en dos partes iguales, entre otras cosas. Pero algo sumamente importante con tu compás es que tenga una buena punta de apoyo, la que es como de aller. Que tenga una buena punlla de lápiz, bien alada para que tu trazo sea no y preciso y por úlmo es importansimo que esté bien calibrado. ¿Que signica eso? signica que cuando tú cierres tu compás las dos punpuntas queden al mismo nivel y no una más larga que otra, pues eso hace que tus trazos ya no tengan la precisión que requieres. • El transportador. Para medir y calcular ángulos los hay de dos pos. El transportador de medio círculo nos permite medir ángulos que van de o
o
o
0 a 180 y el de círculo completo nos permite medir ángulos desde 0 hasta 360o. En ambos casos es importante, como ya sabes, ubicar el cero en la línea de donde vas a empezar a medir el ángulo y la marca del transportador t ransportador que te indica donde nace la linea justo en el vérce del ángulo. En su momento le daremos un buen uso también.
Construye triángulos Construye Vamos a trabajar con regletas en la construcción de triángulos y cua driláteros. Con tus regletas podemos construir figuras geométricas considerando que el valor del lado de la figura queda constuido por los lados de las regletas que se tocan, te ponemos un ejemplo:
a
a
a
Bien, ahora que ya sabes cómo construir tus triángulos con regletas toma una regleta rosa, una verde oscuro y una amarilla y construye con ellas un triángulo. Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Figuras y cuerpos
•
• Compara tu triángulo con los de tus compañeros, ¿cuántos triángulos diferentes se formaron? • Haz lo mismo con las regletas azul, café y verde claro, ¿cuántos triángu los diferentes pudieron formar? • Y si tomas una regleta rosa, una naranja y una negra, ¿cuántos triángutriángu los diferentes se pueden formar? Compartan sus opiniones y jusquen con su profesor (a) sus respuestas. • ¿Por qué crees que sólo se puede formar un triángulo con cada combinación de regletas? Conserva tus tres triángulos armados y regístralos en las hojas de “Mi cuaderno de registro CIME” Observa bien tus registros y responde: De acuerdo la clasicación conoces de los triángulos por sus ánán•gulos y por susalados, ¿qué poque de triángulos formaste? • Toma ahora 3 regletas del mismo color, el que tú quieras. ¿Qué po de triángulo formaste?, ¿se puede formar un triángulo diferente a ése con la mismas tres regletas?, ¿por qué? • Y si tomas si tomas dos de un color y una de otro color, ¿qué po de triángulo se forma? Registra al menos un triángulo de cada uno en las hojas de cenmetro Registra cuadrado de “Mi cuaderno de registro CIME”. Ahora toma una regleta rosa, una café y una regleta de cualquier color, pero más grande que la rosa (de la amarilla a la naranja), elígelo tú. Compara tu triángulo con el de tus compañeros, ¿cuántos triángulos diferentes se pueden formar? Haz lo mismo con una regleta verde claro, una amarilla y una que sea igual o más grande que la azul, compara los triángulos que formaron tus compañeros, ¿cuántos triángulos diferentes se formaron? • ¿Por qué se formaron triángulos diferentes? Registra también los triángulos que tú formaste en las hojas de cen metro cuadrado de “Mi cuaderno de registro CIME” y obsérvalos muy bien….
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Figuras y cuerpos
•
• ¿De qué depende la medida del tercer lado? • ¿Qué parte del triángulo te indica de qué medida debes colocar la ter ter-cera regleta? Vamos a construir ahora 6 trenes que valgan 12 (diferentes 12 (diferentes al del ejemplo), pero cada tren puede llevar sólo tres regletas. Constrúyelos y regístralos en el siguiente espacio.
Ahora toma cada uno de los trenes y con las tres regletas que ene el tren construye un triángulo.
• ¿Pudiste construir un triángulo con cada uno de los trenes? • Si con alguno no pudiste hacer un triángulo, ¿puedes decir por qué? Comenta con tus compañeros las razones por las que crees que no pudieron construirse todos los triángulos. Toma una regleta café y haz una descomposición en la que cada tren tenga tres regletas y vuelve a construir triángulos con las regletas de cada tren. • ¿Pudiste formar algún triángulo?
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Figuras y cuerpos
•
Comenten entre ustedes y con su profesor (a) y concluyan qué caracteríscaracterísca deben cumplir las 3 regletas que elijas para que puedas construir un triángulo.
Y con los cuadriláteros, ¿qué podemos hacer? Toma ahora 4 regletas, dos amarillas y dos negras y forma un cuadrilátero con ellas. Comparte con tus compañeros y analiza, ¿cuántos cuadriláteros diferentes se pudieron construir? Registra los diferentes cuadriláteros que formaron analícenlos de acuerdo a la clasicación que ya conoces y escribe de qué cuadriláteros se trata. Elige Elige 4 regletas de un solo color, y construye un cuadrilátero. ¿Cuántos y cuáles pudiste construir? Regístralos en tu cuaderno de cenmetro cuadrado y escribe sus nombres. Haz lo mismo una vez más con cuatro regletas, todas de diferente tamaño. • ¿Y si tomas dos regletas verde claro, una rosa y una verde oscuro? Registra todas las guras que vas formando y de acuerdo a sus caracteríscaracterís cas, dales nombre.
Y ahora…¡construyamos con papel y lápiz! Como verás, tus regletas trabajaron como líneas rectas y nos ayudaron a construir de manera rápida muchísimas guras. Ahora vamos a construirconstruirlas en papel blanco con ayuda de tus herramientas de construcción. Es muy importante que recuerdes cómo trazábamos líneas paralelas, perperpendiculares y cómo trazábamos mediatrices y bisectrices. Si no lo recuerrecuer das, seguramente tu profesor (a) te irá indicando cómo. Materiales: tu escuadra, tu cartabón, tu compás, tu transportador y tu Materiales: cuaderno de cenmetro cuadrado. De acuerdo a lo que trabajamos con las regletas vimos que para construir un triángulo debemos tener datos sucientes, una opción es que nos den
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Figuras y cuerpos
•
las medidas de los tres lados y otra es que nos den la medida de dos lados y del ángulo que forman entre ellos. Vamos a mostrarte los trazos para construir un triángulo con ambas opciones. En las líneas que te ponemos a un lado de los trazos, describe con tus palabras lo que vas haciendo. Dados los siguientes datos, construye el triángulo correspondiente: 3 cm A
C 5 cm
B
C 6 cm
A
B
Paso 1
A
A
C
6 cm
B
Paso 2
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Figuras y cuerpos
•
3
A
6 cm
B
Paso 3
Paso 4
B
Paso 5
A
6 cm
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
B
5 cm
C
Figuras y cuerpos
•
Paso 6
3 cm
A
B
Paso 7
3 cm
5 cm
6 cm
A
B ¡Ya está!
Intercambia con tus compañeros la descripción de pasos que realizó cada quién. Junto con tu maestro, formalicen los pasos para la construcción de un triángulo dadas las medidas de sus lados. Ahora describe los siguientes pasos para construir un triángulo dados dos lados y el ángulo que forman entre ellos. Dados los siguientes datos: 5 cm A
B 4 cm
A
C CAB = 30o espacio y medida Eje: Forma, espacio Eje:
Figuras y cuerpos
•
Paso 1 A
5 cm
B
Paso 2 30o
A
5 cm
B
A
5 cm
B
Paso 3
B
Paso 4
A
4 cm
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
C
Figuras y cuerpos
•
Paso 5
C
30o 5 cm
A
B
Paso 6 C
30o A
5 cm
B
Intercambia con tus compañeros los pasos a seguir para construir un triángulo dadas las medidas de dos de sus lados y el ángulo que se forma entre ellos. Jusquen sus respuestas y formalicen.
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Figuras y cuerpos
•
Hagamos ejercicios Después de haber analizado y descrito los pasos a seguir, construye en tu cuaderno de cenmetro cuadrado los siguiente triángulos.
1 2
Lados 9 cm, 5 cm, 7 cm Lados 6 cm, cm, 8 cm, 10 cm
3
Lados 3 cm, cm, 4 cm, 5 cm
4
Lados 6 cm, cm, 7 cm, ángulo ángulo 50o
5
Lados 3 cm, 6 cm, ángulo 100o
Y después los cuadriláter cuadriláteros os Para que podamos construir cuadriláteros debemos de conocer su forma (cuadrado, rectángulo, rombo, romboide) y de acuerdo a ella, varían los datos que requerimos: ¿Qué datos requieres para construir: a
Un cuadrado? Un cuadrado?
b
Un rectángulo?
c
Un rombo?
d
Un romboide?
e f
Un trapecio? Un trapezoide?
Construye al menos uno de cada uno en “Mi cuaderno de registro CIME”. Ya sabes cómo trazar una línea, cómo medir un ángulo, cómo trasladar medidas con tu compás, cómo encontrar la mediatriz y el punto medio de una línea, cómo encontrar la bisectriz de un ángulo, y cómo encontrar el punto de intersección de dos líneas……..aprovecha todos estos conocimientos y con tus compañeros y tu maestro (a) vayan descubriendo y describiendo los pasos que se requieren para construir muchos triángulos más. Registra tus guras en las hojas de cenmetro cuadrado de “Mi cuacuaderno de registro CIME”.
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Más propiedades de los triángulos lo largo del estudio de la geometría has visto que los triángulos juegan un papel muy importante. importante. Su estudio es muy interesan interesante, te, pues enen muchas propiedades y caracteríscas que nos ayudan a resolver problemas diversos. Mientras más avances en tus estudios, verás más temas interesantes acer acer-ca de los triángulos.
A
CONTENIDO: Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo
En En el tema anterior trabajamos en la construcción de triángutriángu los--y analizamos cómo trazarlos según los datos que nos dan. los En primaria aprendiste a construirlos y a clasicarlos de acuerdo a la memedida de sus lados y a sus ángulos.
s o p r e u c y s a r u g i F TEMA
Pues bien, ahora vamos a conocer más caracteríscas de los triángulos.
Recordando lo importante: Las alturas… Para calcular el área de un triángulo, requieres encontrar su altura, ¿cierto? Como recordarás, la altura es la línea que va perpendicularmente desde el punto más alto del triángulo a la base (o la extensión de la base).
1
En los triángulos siguientes traza las tres alturas que puedes encontrar, girando tu triángulo para ubicar las tres posibles bases.
A
B
• ¿Puedes encontrar el punto donde se intersectan las tres alturas de los triángulos? Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Figuras y cuerpos
•
En un triángulo, la altura es la distancia medida perpendicularmente desde la base del triángulo hasta el vérce opuesto.
• ¿Qué diferencia encuentras entre el punto de intersección del triángulo A y del triángulo B?
Las bisectrices... Otra de las líneas importantes dentro de un triángulo son las
El ortocentro es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo.
bisectrices. Ya sabes trazar bisectrices, ¿verdad? En cada triángulo hay tres bisectrices, una para cada ángulo que forma el triángulo. En los siguientes triángulos traza las bisectrices bisectrice s de sus ángulos.
La bisectriz es la recta que divide a un ánguángu lo en dos ángulos de la misma medida. En otras palabras, la bibisectriz es el eje de sisi metría de un ángulo.
A
B
Busca el punto en el que se intersectan las bisectrices y responde: El incentro es el punto donde se intersectan las tres bisectrices de un triángulo.
• ¿Hay alguna diferencia entre el punto donde se cortan las bisectrices del triangulo A y el triángulo B?
Las mediat mediatrices… rices… Como recordarás: En un triángulo podemos encontrar tres mediatrices.
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio
Tú ya sabes trazar las mediatrices, asi que ahora traza las mediatrices de los siguientes triángulos.
El circuncentro es el punto donde se intersectan las tres mediatrices de un triángulo.
A
B
Busca el punto donde se intersectan las mediatrices y responde: • ¿Las mediatrices se cortan necesariamente dentro de la gura? Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Figuras y cuerpos
•
Las medianas…
La mediana de un triángulo es la recta
Traza las medianas de los siguientes triángulos.
A
que pasa por el punto medio de un lado y por el vérce opuesto.
B
* Encuentra el punto de intersección de las medianas. El baricentro es el centro de equilibrio de un triángulo. Si recortas el triántrián gulo y con una aguja pasas un hilo por el baricentro, el triángulo queda en equilibrio.
El baricentro de un triángulo es el punto donde se intersectan sus tres medianas.
En resumen… Ya tenemos las medianas, mediatrices, alturas y bisectrices de los dos triángulos que te propusimos. Analiza con tus compañeros y tu maestro (a) las líneas que trazaron en los triángulos y la información que puedan obtener de ellas. A estas rectas se les llama rectas notables y a los puntos de intersección que encontraste se les denomina puntos notables. notables. A connuación te damos varios triángulos para que repases lo que trabatraba jamos. Traza Traza las líneas que correspon corresponden den a cada cada triángulo y encuentr encuentraa el punto notable que les corresponde.
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Figuras y cuerpos
•
Las mediatrices mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado circuncentro circuncentro.. El circuncentro circuncentro de de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los vérvérces del triángulo.
Las bisectrices bisectrices de de los ángulos de un triángulo, se cortan en un punto llamado incentro incentro.. El incentro incentro de un triángulo es el centro de la circunferencia inscrita, que toca sólo en un punto cada lado del triángulo.
Las medianas medianas de un triángulo, se cortan en un punto llamado baricentro baricentro.. El baricentro baricentro es es el centro de gravedad del triángulo.
Las alturas alturas de de los lados de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado ortocentro ortocentro..
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Figuras y cuerpos
•
Pongámoslo en práctica Julián, Alejandro y Gustavo son tres amigos. Quieren reunirse en las tardes para ir a las canchas de futbol y jugar un rato. Están buscando cuál sería el punto de reunión que quede a la misma distancia de la casa de los tres. ¿Cuál de las líneas notables que hemos trabajado te sirve para encontrar dicho punto de reunión? 1
Gustavo
Alejandro Julián
En el espacio se encuentran tres astros. Si los 3 pesan lo mismo, ¿cuál sería el centro de gravedad entre ellos? 2
Con tus compañeros y tu maestro redacten situaciones en las que se puedan aplicar estos conocimientos en tu vida codiana. 3
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Eje:
Empecemos con un reto... s e CONTENIDO: n o i c Resolución de n problemas de u f reparto y proporcional d a d i l a n o i c r o p o r P TEMA
Personas a panar Costo por hora
E
n el cumpleaños de Mauricio, su mamá lo llevó a panar en la pista de hielo con con sus 9 mejores amigos. La mamá pagó en total $ 550.00 por una hora de panaje para Mauricio y sus amigos. Una jovencita que venía detrás de ellos en la la pagó $ 220. 00 para que pudieran panar por una hora ella y tres amigas. Después de la joven, en la la seguía un señor que preguntó cuánto coscos taba la hora de panaje. ¿Con los datos que enes, podrías tú decir cuánto cuesta la hora de papa naje en la pista? Cuando Mauricio se dio cuenta de que cada persona pedía diferentes preprecios a la cajera, le sugirió que construyera una tabla con el precio por hora de panaje de la siguiente forma:
1
2
3
4 220
5
6
7
8
9
10 550
Con los datos que enes, ¿puedes completar la tabla para ayudar a la cajera? • ¿Cómo organizas la información para conocer los datos faltantes en la tabla? • ¿Qué operaciones ulizaste para encontrar los datos faltantes?, comenta con tus compañeros qué hicieron ellos y cuáles son las operaciones que usaron. Ahora observa las siguientes tablas, analiza lo que pregunta cada una y completa los espacios faltantes.
Eje: Manejo de la información
Manejo de la información Eje: Manejo Eje:
Proporcionalidad Proporcionalidad y funciones
•
1 Un taxi cobra $6.00 por el servicio servici o más $5.00 por kilómetro recorrido: recorrido:
Kilómetros recorridos
0
1
Precio del recorrido
$6
$11
2
3
2 En la nevería venden los helados sencillos a:
Número de helados
3
Candad a pagar
$18
6
9
12
3 En una panadería hornean 10 pasteles al mismo empo a 175 o C
durante una hora, ¿Qué pasa si meto al horno: 1, 2, 3, 4 ? Pasteles hornéandose simultáneamente
1
Tiempo de horneado
1
2
3
4
4 Las cajas de litros de leche l eche enen 12 litros cada una:
Cajas de leche
3
5
8
10
Litros
5 Luisa ene que recortar 100 muñecas de papel para una esta. Recorta
12 muñecas en una hora. Tiempo
1
Muñecas que quedan por recortar
88
2
3
4
6 En una esta, la duración de cada una de las canciones que pone el DJ.
Número de canción Minutos que dura
1
2
3
4 min 3 min 5 min
4
Eje: Manejo de la información Eje: Manejo
Proporcionalidad idad y funciones Proporcional
•
7 Un coche avanza a una velocidad constante de 95 km/h.
Tiempo del recorrido
2h
1h
4h
3h
Distancia avanzada 8 Cuando Ana Luisa nació, su mamá tenía 24 años.
Edad de Ana Luisa
1 año 2 años 3 años 4 años
Edad de su mamá
25 años
Analiza con tus compañeros cómo completaron las tablas, y los resultados que obtuvieron. Observen si los datos de todos coinciden y si puede haber diferentes resultados en algunas tablas. Después, marca con una palomita en qué tablas se cumple que:
1
2
3
4
5
6
7
8
Una de las candades en la tabla cambia (aumenta o disminuye) y la otra candad no varía. Una de las candades de la tabla aumenta, su correspondiente también aumenta. Una de las candades de la tabla disminuye, su correspondiente disminuye. En cada una de las tablas, la diferencia o resta entre las candades de una misma columna es igual a la diferencia diferencia entre las candades de otra columna. Cuando una candad se mulplica por dos, o por 3 o por n, su correspondiente se mulplica por el mismo número.
Son muchas las formas en las que las candades de nuestras tablas pueden variar una respecto a otra.
• ¿Cómo varía el precio del recorrido en taxi, respecto al kilometr kilometraje aje que se recorre?
Eje: Manejo de la información Eje: Manejo
Proporcion Proporcionalidad alidad y funciones
•
• ¿Cómo varía el precio de los helados con respecto a la candad de helados que se compran? • ¿Cómo varía la candad de pasteles que puedo hornear simultáneamente respecto a las horas de horneado? • ¿Cómo varía la candad de cajas de leche respecto a los litros que hay en todas ellas? • ¿Cómo varía la candad de horas que Luisa ha estado recortando muñequitas, respecto a las que le quedan por recortar? • ¿Cómo varía el empo que dura una canción respecto al número de canción en la lista? • ¿Cómo varía el empo que un coche avanza a una velocidad constante respecto a los kilómetros que avanza? • ¿Cómo varía la edad que ene Ana Luisa respecto a la edad de su mamá? Vamos a analizar qué es lo que hacemos en cada tabla para encontrar la relación de cambio: +1
+1
+1
+1
0
1
2
3
6
11
16
21
+5
+5
+5
4
+5
De todas estas tablas, ¿cuáles crees que son directamente proporcionales? Coméntalo con tus compañeros. De las ocho tablas anteriores, ¿puedes enen contrar tres que sean directamente proporcionales? Explica tus razones. En la tabla 2, que habla de los helados se establece una relación entre los helados que se compran y el costo de ellos. Si compro tres helados y pago $18 pesos por ellos, es fácil deducir que cada helado me costó $6 pesos. El precio que voy a ir aumentando por cada hehe lado que compre es de $6.
Se dice que dos cancandades son directamente proporcionales proporcio nales cuando al mulplicar o dividir una de ellas por un número dado, la otra queda mulmulplicada o dividida por el mismo número. Cuando dos candades estánenproporcióndirecdirecta signica que al crecer una de las candades, la otra crece la misma cancandad de veces.
Manejo de la información Eje: Manejo Eje:
Proporcionalidad idad y funciones Proporcional
•
Al número que nos indica la candad de veveces que crece o decrece un número se le llama
factor de proporcionalidad
Al precio por helado, que es el que siempre va a ser igual y que mulplicamulplicamos por la candad de helados que compramos lo llamaremos factor de proporcionalidad proporci onalidad..
Imagina ahora que tomamos 2 columnas de la tabla 2.
3
6
$18
$36
Esta relación de proporcionalidad se puede también expresar en forma de fracción fracc ión y así no tendremos que estar trazando la tabla cada vez que quequeramos escribirla:
3 18
Se conoce como razón a la relación que hay enentre dos candades. La razón de dos númedos números a y b es el resultado que se obene al dividirdividirlos y se puede expresar en forma de fracción:
a = b
6 = 36
En matemáticas llamamos a este tipo de igualdades razones, razones, y y decimos que 3 es a 18 como 18 como 6 6 es a 36. 36 . Es decir que 3 helados son a $18 como 6 helados son a $36.
razon entre a y b
Buscando razones y sus proporciones Otra de las tablas que cumple con las condiciones de proporcionalidad es la tabla 4, en la que se establece una relación entre las cajas de leche y los litros que hay en ellas. Tomemos unos datos de la tabla:
1 12
2 = 24
• ¿Puedes encontrar el factor de proporcionalidad? ACTIVIDAD 1
1
3 = 5 36
¿Puedes completar las siguientes razones?
2
4 = 6 48
3
= 6 24 72
Eje: Manejo de la información Eje: Manejo
Proporcionalidad y funciones Proporcionalidad
•
Analiza las operaciones que ulizaste y trata de establecer una regla para resolver estas razones.
Hagamos ejercicios Con las reglas que ya generalizaron en tu grupo, resuelve los siguientes ejercicios: José trabaja en una fábrica de mermeladas y está encargado del almaalmacén. Es muy importante que esté pendiente de que no falten ingredientes cuando se va a elaborar mermelada de cualquier fruta para que la proproducción sea ópma y todo salga bien. Él sabe que para preparar mermemerme lada de frutas se ulizan 3 kg de azúcar por cada 6 kg de fruta. ¿Cuánta fruta ene que comprar para 2, 5, 10 y 25 kg de azúcar? 1
Puedes elaborar una tabla o buscar la forma que más fácil te parezca para encontrar las respuestas y después, contesta: a) ¿Existe un número que al mulplicarse por cualquier candad de kiloa) ¿Existe kilogramos de azúcar se obtengan los kilogramos de fruta correspondientes? b) ¿Cuál b) ¿Cuál es? c) ¿Cuántos kilogramos de fruta se necesitan por cada kilogramo de azúcar? c) ¿Cuántos d) d) ¿Qué relación encuentras entre el factor constante que idencaste en el inciso (a) y el número de kilogramos de fruta por cada kilogramo de azúcar? e) Uliza el factor constante para calcular los kilogramos de fruta necesae) Uliza necesa rios para 7, 18, 35, 42 y 64 kilogramos de azúcar. 7=
kg
35 =
kg
18 =
kg
42 =
kg
64 =
kg
En esa misma esa misma fábrica, se prepara también otra clase de mermelada que es más ligera y baja en e n azúcar y para eso hay que comprar 3 kg de azú azú-car por cada 9 kg de fruta. ¿Cuántos kilogramos de azúcar debe comprar José para 6, 15 y 27 kg de fruta? 6= kg 27 = kg 2
15 =
kg
Manejo de la información Eje: Manejo Eje:
Proporcionalidad idad y funciones Proporcional
•
kilo a) ¿Existe a) ¿Existe un número que al mulplicarse por cualquier candad de kilogramos de fruta se obtengan los kilogramos de azúcar correspondientes? b) ¿Cuál ¿Cuál es? b) c) ¿Cuántos kilogramos de azúcar se necesitan por cada kilogramo de fruta? c) ¿Cuántos d) ¿Qué d) ¿Qué relación encuentras entre el factor constante que idencaste en el inciso (a) y la candad de kilogramos de azúcar por cada kilogramo de fruta? e) Uliza Uliza el factor constante para calcular los kilogramos de azúcar nece e) sarios para 30, 48, 57 y 75 kg de fruta. 30 = 48 =
kg kg
57 =
kg
75 =
kg
La pipa que surte de agua la fábrica, se tarda 10 segundos en llenar un garrafón de 20 litros. ¿Cuánto tardará en llenar la cisterna si le caben 500 litros? 3
Para hacer las equetas para los frascos de mermelada, se requiere de una máquina especial que hace las impresiones de color en papel adheriadherible. El tamaño del papel es también especial y en cada pliego se imprimen cuatro equetas. ¿cuántos pliegos de papel, le van a pedir a José que sasa que del almacén si se enen que imprimir 200 equetas para mermelada de fresa?; y ¿cuántos pliegos se necesitan para imprimir 160 equetas 4
de mermelada de durazno?, para las equetas de mermelada de uva, le pidieron a José 130 pliegos de papel, ¿cuántas equetas van a imprimir? Ahora, en equipos de 3 compañeros busquen 4 situaciones de su enentorno en las que haya crecimiento proporcional y planteen un problema para cada una de ellas. Anota tus problemas en tu cuaderno y resuélvelos. 5
Manejo de la información Eje: Manejo Eje:
¡ A jugar !
O
rganícense en equipos de 4 compañeros y vamos a jugar el siguiente juego. Vamos a usar 2 monedas a las que les pegaremos un número 6 de un lado y del otro lado el número 0. Usaremos el tablero que a connuación te presentamos para poder jugar:
SUBTEMA: d a Nociones de d i probabilidad l a n o Conocimientos i c y habilidades: r o p identicación o r y práctica p de juegos de e azar sencillos d s y registro de e n los resultados. o i Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.
c o N
TEMA
Eje: Manejo Eje: Manejo de la información
Nociones de proporcionalidad
•
Cada integrante del equipo, por turnos lanza las monedas y avanza tantas casillas como indique la suma de las candades que salgan en sus monemonedas. Con una regleta de algún color irá marcando la casilla a la que llegan. Gana el primero que llega a la meta, aunque no caiga ahí exactamente. Antes de iniciar el juego: Comenta con tu equipo y responde a las siguientes preguntas antes de iniciar el juego. • ¿Crees que cualquiera de ustedes ene la misma probabilidad de ganar? • ¿Por qué? • ¿Crees que alguno de ustedes tenga alguna ventaja sobre los demás? • ¿Cuál es la probabilidad de que ganes tú? • ¿Cuál es la probabilidad de que gane alguno de tus compañeros? Ahora inicien el juego y cuando alguno de los 4 del equipo llegue a la meta revisen si sus predicciones fueron correctas y si no fue así, argumenten por qué. • ¿Tienen los 4 jugadores la misma probabilidad de ganar? • ¿Hubo alguno de ustedes con mayor o menor probabilidad de ganar? • ¿Por qué? Vamos a realizar ahora otro juego en parejas. Necesitamos 2 dados (si no enes, toma 2 regletas blancas y con un plumón marca puntos en sus caras del 1 al 6, como los dados) y 20 20 regletas rojas rojas que pondrán al centro de una mesa. El juego consiste en rar los dados por turnos y sumar los puntos de amam bos dados. Si la suma de los puntos es 2, 3, 4, 10, 11 ó 12, el jugador toma 1 regleta del centro y si la suma es 5, 6, 7, 8, 9 el jugador toma 2 regletas del centro. El juego termina cuando no hay regletas en el centro. Repitan el juego 3 veces, anotando los resultados que les salieron en cada turno y quién ganó nada. • ¿Te parecen justas las reglas del juego? • ¿Por qué? • ¿Tendrán ambos jugadores la misma probabilidad de ganar? ¿Por qué?
Manejo de la información Eje: Manejo Eje:
Nociones de proporcionalidad
•
• Si no te parecen justas, ¿cómo las cambiarías para que lo fueran? Probablemente te convenga completar la siguiente tabla para analizar si el juego es justo o no. DADO 1
1 2 O D A D
1
Suma
(1,1)
2
2
Suma
2
3
Suma
(3,2)
5
3 (2,4)
4
4
Suma
(4,3)
7
5
Suma
6
Suma
(6,6)
12
6
5 6 Observa la tabla y responde: ¿cuántas formas diferentes hay para que la suma... a
... sea 2 ?
d
... sea 5 ?
g
... sea 8 ?
j
... sea 11 11 ?
b
... sea 3 ?
e
... sea 6 ?
h
... sea 9 ?
k
... sea 12 12 ?
c
... sea 4 ?
f ...
i
... sea 10 10 ?
sea 7 ?
Modiquen las reglas del juego para que sea justo y juéguenlo y hagan las tablas correspondientes a sus reglas para que comprueben que el juego que inventaron es justo. Como verás, si comparas los dos juegos que realizaste, algunas veces las reglas son justas y otras no. Se dice que en un juego de azar,
si todos los eventos enen la misma
probabilidad de ocurrir son equiprobables , como lanzar una moneda al
aire, lanzar los dados y que caiga cualquier cara. Si las probabilidades de que un evento ocurra no son iguales, se dice que el evento no es equiprobable ; como lanzar un dardo a un disco que no está dividido en regiones iguales. Busca con tus compañeros y tu maestro eventos equiprobables y no equiequiprobables. Compárenlos y analícenlos.
Eje: Manejo de la información Eje: Manejo
Síntesis
•
Síntesis:
E
n este bloque has aprendido cosas muy interesantes y además muy úles que deberás tener presentes el resto del ciclo escolar pues son la base de muchos conceptos con los que trabajarás:
Los números fraccionarios: Las fracciones enen fracciones enen muchos usos. Una de ellas es la representación de una división a través de la siguiente notación:
a b
numerador denominador
Donde a es el dividendo, llamado numerador en la fracción y b es el divisor, llamado denominador en la fracción. En una fracción el denominador denominador me me indica en cuántas partes iguales tengo dividida la unidad y el numerador numerador me me indica cuántas de ellas estoy tomando. Se conoce como fracciones decimales a decimales a todas aquellas fracciones cuyo denominador es 10, 100, 1000, etc. Es decir, cuyo denominador es una potencia de 10. Los números decimales son decimales son la representación en potencias de 10 de la parte no entera de un número. El punto decimal es decimal es el signo matemáco que sirve para separar la parte entera de un número de su parte decimal. Una propiedad nueva de las fracciones que trabajaste en este bloque es la propiedad de la densidad de fracciones que fracciones que establece que siempre es posible encontrar una fracción adicional entre dos fracciones. f racciones.
Suma y resta de números fraccionarios y decimales: Cuando estamos trabajando fracciones, se dice que dos fracciones son equivalent equivalentes es si enen exactamente el mismo valor. Por Por ejemplo, las fracciones fracciones:: 23 y 69 son equivalentes. Se llaman fracciones unitarias a unitarias a todas aquellas fracciones f racciones cuyo numerad numerador or es uno: 1
1
1
2 , 18 , 10 , etc. Se conoce como denominador común un común un número natural que es múlplo común de los denominadores denominador es de varias fracciones dadas.
Sucesiones numéricas Se llama sucesión sucesión a a la lista de números que siguen una determin determinada ada regla para calcular el siguiente término. Los términos de una sucesión siguen todos un mismo patrón, es decir que todos siguen una misma regla.
Síntesis • Bloque 1
Síntesis
•
Fórmulas para áreas y perímetros de figuras: En las fórmulas fórmulas de área y perímetro de guras geométricas que conoces, como el cuacua drado, el rectángulo o el triángulo, se representan por medio de letras todas aquellas medidas o datos datos que desconoces, a estas letras se les conoce como literales literales (del (del lan litera = letra).
Construcción de triángulos y sus líneas importantes: Co Como mo viste en viste en este bloque para que sea facble construir un triángulo se requiere que la suma de las medidas de sus lados más cortos, sea mayor que la medida del lado más largo. En los triángulos, podemos trazar varias líneas importantes que enen caracteríscas muy interesantes: La altura es la distancia medida perpendicular perpendicularmente mente desde la base del triángulo hasta el vérce opuesto. Se llama ortocentro ortocentro al al punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo. Tenemos bisectriz bisectriz que que es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos de la misma medida. En otras palabras, la bisectriz es el eje de simetría de un ángulo. Como viste en este bloque, el incentro es el punto donde se intersectan las tres bisectrices de un triángulo. Otra línea importante es la mediatriz mediatriz que que es la línea que pasa por el punto medio de cada uno de los lados del triángulo. Construiste el circuncentro circuncentro es es el punto donde se intersectan las tres mediatrices de un triángulo. Por úlmo analizamos la mediana mediana de de un triángulo que es la recta que pasa por el punto medio de un lado y por el vérce opuesto. Es el baricentro baricentro de de un triángulo el punto donde se intersectan sus tres medianas.
Relaciones de proporcionalidad: Dos candades son directamente proporcionales cuando proporcionales cuando al mulplicar o dividir una de ellas por un número dado, la otra queda mulplicada o dividida por el mismo número. Al número que nos indica cuántas veces crecen o decrecen ambas candades se le conoce como factor de proporci proporcionalidad. onalidad. A la relación que hay entre dichas candades se le conoce como razón como razón.. Cuando dos razones son equivalentes, decimos que entre ellas existe una proporción proporción.. Por medio del producto cruzado o regla de tres podemos calcular un valor desconocido en una proporción directa, dados los otros tres valores.
Juegos de Juegos de azar Se dice que un juego de azar es equiprobable si todos los eventos enen la misma proprobabilidad de ocurrir. Si las probabilidades de que ocurra un evento no son iguales, entonces el evento es no equiprobable.
Síntesis • Bloque 1
Evaluación
•
Evaluación Escribe tu respuesta en esta hoja. Realiza tus trazos y operaciones en una hoja aparte. 1 Realiza las siguientes conversiones: I Convierte las siguientes fracciones a decimal:
a)
2 = 3
6 4
b)
=
7 = 12
c)
II Convierte ahora ahora de decimal a fracción. Simplica a su más mínima expresión.
a)
1.48
0.82
b)
=
c)
=
0.92
=
2 Ubica las siguientes fracciones y decimales en la recta numérica, pero primero ubica la posición del cero: 7 16
a.
b.
1 4
c.
7 8
d. 1.56
1
e. 1.81
2
3 Ulizando el concepto de “densidad de fracciones y números decimales”, decimales”, encuentra una fracción o un decimal entre:
a)
7 16
y
7 8
=
b)
0
y
1 4
=
c)
1.56
y 1.81
=
4 De una pieza de listón se cortaron varios trozos. Uno de 1 1 m, otro de 2 3 m y 5 4 5 uno más de 6 m. Si la pieza tenía 15 m de listón, ¿cuánto listón se cortó? ¿Cuánto 8 listón sobró? 5 Fíjate en la regla general que se te da y construye la serie que se te pide. (Da al menos 5 términos de la serie) I 2n + 5
II 3n - 1
6 Se ene un terreno irregular cuyos lados miden miden 12m, 28m, 36m y 48m. Si se cobra cobra-ron $ 31,000 por construir una barda alrededor de todo el terreno, ¿cuál fue el costo por metro de dicha barda?
Evaluación • Bloque 1
Evaluación
•
7 Construye un triángulo triángulo cuyos lados midan 8 cm, 3 cm y 2 cm. a) ¿Se puede construir el triángulo? Jusca tu rrespuesta. espuesta. 8 Con tus escuadras y tu compás construye los triángulos siguientes: a) Un triángulo cuyos lados midan, 3cm, 4 cm y 5 cm. b) ¿Se puede construir el triángulo? Jusca tu respuesta. 9 Relaciona ambas columnas: (a) Altura de un triángulo
( ) Es la línea que divide al ángulo en dos partes iguales
(b) Incentro ( ) Es la línea perpendicular a la recta que pasa por su punto medio
(c) Mediana de un triángulo (d) Ortocentro
( ) Es el punt punto o en el que se inter intersectan sectan las alturas de un triángulo
(e) Baricentro
( ) Es la recta que se tr traza aza desde el punto medio de un lado del triángulo hasta el vérce opuesto
(f) Mediatriz de una recta (g) Bisectriz de un ángulo
( ) Es el punto donde se cortan las tres mediatrices de un triángulo
(h) Circuncentro
( ) Es el punto donde se cortan las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo. ( ) Línea que va perpendicularmente del punto más alto de un triángulo a la base, o la extensión de la base ( ) Es el punt punto o donde se intersectan las tr tres es medianas de un triángulo
10 La abuelita de María compró dulces en el mercado. La bolsa ene 180 dulces que quiere reparr proporcionalmente entre sus tres nietas de acuerdo a la edad de cada una. Si María ene 9 años y sus primas Ana y Luisa enen 6 y 9 años respecvame respecvamente, nte, ¿cuántos dulces le tocarán a cada una? María
dulces.
Ana
dulces.
Luisa
11 Ahora formen 9 equipos con los compañeros del salón y hagan un sorteo de los 8 apartados de este bloque. Cada equipo, elabore un problema, ejercicio o situación didácca del apartado que les tocó y resuélvanlo. Muéstrenlo al profesor(a) para que lo revise, tanto el planteamiento del ejercicio como la solución.
12 Cada equipo, comparta al grupo el ejercici ejercicio o que elaboraron para que se resuelva resuelva de forma grupal. Compartan las diferentes estrategias de solución que uliza cada uno para resolver los ejercicios planteados por tus compañeros de clase.
dulces.
Evaluación • Bloque 1
BLOQUE 2
88
Competencias que se favorecen: Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas ecientemente
EJES Aprendizajes esperados
• Resuelve problemas utiutilizando el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. • Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Forma, espacio y medida
Manejo de la información
Números y sistemas de numeración
Figuras y cuerpos
Proporcionalidad y funciones
• Formulación de los criterios de divisibilidad divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos. • Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
triángulos y cuadriláteros.
Problemas aditivos • Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.
Problemas multiplicativos • Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.
• Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.
Medida • Justicación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de guras.
• Identicación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Los números de primera ó n i c a r e m u n e d s a m e t s i s y s o r
CONTENIDOS: Formulación de criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos.
e m ú N TEMA
El número entero m es múlplo del número entero a si puede expresarse como: m = a(k),, donde k es otro a(k) número entero. Por ejemplo, el número 12 es mulplo de 3 porque 12 = 3(4)
"Tienes que saber que existen números, absolutamente normales, que se pueden dividir; dividir; y luego están están los otros, aquellos aquellos con los que que eso no funciofunciona. Yo los prefero. ¿Y sabes por qué? Porque son números n úmeros de primera. Los matemácos llevan mil años rompiéndose la cabeza con ellos. Son unos
números maravillosos…” Tomado de “El diablo de los números”
Hans Magnus Enzensberger Editorial Siruela hp://www.librosmara hp://www .librosmaravillosos.com/eldiab villosos.com/eldiablodelosnumeros/ lodelosnumeros/
amos a trabajar con tus regletas en equipos de cinco compañeros. Construyan con sus regletas naranja un tren del 100. Debajo de él, construyan un tren con sus regletas rojas. Como puedes observar el tren de las regletas rojas avanza de 2 en 2, ¿cierto? Connúa aquí la serie del 2 que construiste con regletas rojas:
V
2, 4, 6, 8
Ahora respondan:
• ¿Pueden encontrar alguna caracterísca que compartan estos números? • ¿Observas algo en la terminación de cada uno de ellos? • ¿Coinciden algunas de las terminaciones? Enlista a connuación las posibles terminaciones que pueden tener los
Dados los números enteros a, b, c que cumplen a plen a = b (c), (c), decimos que los números números b y c son divisores del número a. Por ejemplo, divisores divisores el 2número y el 5 son del 10, porque 10 = 2(5).
númeross de la serie del 2:______________________________________ número 2:______________________________________ • Si tuvieras un número mayor a 100, ¿cómo podrías saber si forma parte de la serie del 2? A todos los números que encontraste se les conoce como múlplos del 2,
es decir son todos aquellos que resultan de mulplicar el 2 por algún otro número. Esto implica que todos ellos son divisibles entre 2, es decir que el 2 es divisor de todos ellos.
89
90
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Números y sistemas de numeración
•
Construyan ahora un tren debajo de su tren de regletas rojas, pero que sea verde claro y enlisten todos los números que encontraron en la serie del 3:
• ¿Encuentran alguna coincidencia en las terminaciones de cada uno de los números que están dentro de la serie del 3? Analicen cada uno de estos números y observen si se podría generalizar una forma de encontrar los números mayores que 100 que están dentro de la serie. A todos estos números que encontraste construyendo tu serie de 3, se les conoce como múlplos de 3, y resultan de mulplicar por algún número el 3. De igual forma, todos ellos se pueden dividir entre 3, por lo tanto el 3 es divisor de todos ellos. Hagamos lo mismo pero ahora con un tren amarillo y construye la serie: 5, 10, 15,
A connuación te ponemos una tablita, en ella tacha con rojo todos los números que están en la serie de 2, con verde los que están en la serie del 3 y con amarillo los que están en la serie del 5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 11 12 13
14 15 16
17 18
19 20
21
22 23
24 25 26
27 28
29 30
31
32 33
34
35 36
37
38
39
40
41
42 43
44
45 46
47
48
49
50
51
52 53
54 55 56
57 58
59 60
61 61 62 63
64 65 66
67 68
69 70
71
74
72 73
75 76
81 81 82 83
84 85 86
91
94
9 2 93
95 96
77
78
79
80
87 88
89 90
98
99 100
97
A esta tabla se le llama la Criba de Eratóstenes.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Números y sistemas de numeración
•
Eratóstenes fue un matemáco griego que vivió de 275 a 195 a. de C. La Criba de Eratóstenes es un procedimiento por el cual se puede encon trar la lista de todos los números primos menores a un número natural dado n. El procedimiento consiste en ir eliminando los múlplos de 2, 3, etc., excepto el primer múlplo (2, 3, etc.), hasta obtener una lista de números que no se han eliminado y por tanto son primos, al no tener más de dos divisores. • ¿Cuáles son los números con los que iniciaste cada una de las series? primo es Un número primo Un número
un número natural que ene exactamente dos divisores. Por ejemplo, el número 2 es primo, pues sus únicos divisores son 1 y 2. El número 9 no es un número primo, pues ene 3 divisores: 1, 3, y 9. Los primeros 20 números primos son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71
• ¿Entre qué números puedes dividir el 2 y obtener cómo resultado un número entero? • ¿Y el 3? • ¿Y el 5? A estos números se les conoce como números primos o de primera, que
son los que inician cada serie numérica y que sólo pueden dividirse entre sí mismos y entre el uno. Ahora con color azul, encuentra en la Criba de Eratóstenes, todos los números que son los primeros de las series, o sea los números primos. • ¿Qué números primos encontraste? Analiza ahora el resto de los números que te quedan sin si n tachar en la Criba de Eratóstenes y analiza entre qué números se pueden dividir. A todos estos números que son el resultado de mulplicaciones y que se
pueden dividir entre números diferentes a sí mismos y al uno, se les llama números compuestos.
Criterios de divisibilidad son las reglas bilidad
¿Cómo sé si puedo dividirlo?
que nos ayudan a determinar si un número se divide entre otro sin hacer la división directamente.
A connuación redacta los criterios cri terios que ulizaste para saber si un número se puede dividir entre 2, entre 3 y entre 5:
Un número se divide: divide:
• Entre 2 si la úlma ci fra del número es par. • Entre 3 si la suma de sus cifras es un múl plo de 3. • Entre 5 si termina en 5 ó en 0.
Para saber si puedes dividir un número entre 3, te vamos a dar un truco. Suma todos los dígitos que forman el número, si el resultado de la suma es divisible entre 3, entonces el número es divisible entre 3. Observa: El 12 es divisible entre 3 porque 1 + 2 = 3, que es divisible entre 3.
91
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Números y sistemas de numeración •
Probemos con otro: 138 es divisible entre 3 porque 1+3+8= 12
y como 12 sí es divisible entre 3, entonces el 128 es divisible entre 3.
Hagamos ejercicios A connuación te damos varios números para que analices si son divisibles entre 2, 3 y 5 aplicando los criterios que ya conoces.
27
159
1030
35
173
4572
89
375
6750
90
555
9872
119
569
45987
Ulizando las cifras 3, 5, 9, 1, 8 encuentra todos los números que puedas construir que sean divisibles en entre 3 y 5 • ¿Alguno de ellos es divisible entre 3 y 2? • ¿Y entre 2 y 5? • ¿Puedes encontrar un número que esté entre el 1000 y 1100 y que sea divisible entre 2, 3 y 5? Ahora entre ustedes, dicten números tan grandes como quieran y en-
cuentren si son divisibles entre 2, 3 y 5. Compartan los más interesantes con sus compañeros.
Se llama número compuesto a todo número natural que ene más de dos divisores. Por ejemplo, el número 9 es compuesto, porque sus son: 1, 3,divisores y 9. El número 5 no es un número compuesto, pues solamente ene dos divisores. El único número natural par que no es com puesto es el número 2.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
El más pequeño... o el más grande n ó i c a r e m u n e d s a m e t s i s y s o r e m ú N TEMA
CONTENIDO:
E
Resolución de problemas que impliquen el cálculo de máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
En el tema anterior trabajamos con los múlplos y también con los divisores. Ahora vamos a trabajar con un concepto muy interesante que también ya manejabas desde la primaria. Sólo que ahora, ana lizaremos su aplicación.
El más pequeño de varios... Construye dos trenes del 30, uno con regletas rojas y otro con regletas verde claro. Los trenes te deben haber quedado así:
r
r v
r v
r
r v
r v
r
r v
r v
r
r v
r v
r
r v
r v
Visualiza bien tus trenes y marca con tu lápiz, las veces que los trenes coinciden. Completa la serie, indicando los valores en los que coinciden los trenes:
6, 12 , __ , __ , __ , __ A estos números que encontraste se les llama múlplos comunes de 2 y
de 3, ya que son múlplos tanto del 2 como del 3. Si tus trenes midieran más de 30, ¿cuáles crees que serían los siguientes cinco múlplos comunes de 2 y 3? Observa todos los múlplos comunes del 2 y del 3 y responde: • ¿Cuál es el múlplo de menor valor de todos los múlplos comunes del 2 y el 3? Hagamos ahora un tren del 40 que sea rosa y otro que sea amarillo.
• ¿Puedes idencar los múlplos comunes del 4 y del 5? Si tus trenes fueran más largos, por ejemplo hasta el 100, ¿podrías iden car los múlplos comunes del 4 y del 5? • ¿Cuál es el menor de los múlplos comunes del 4 y del 5?
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Números y sistemas de numeración •
A estos números que acabamos de encontrar se les llama mínimo común
múlplo.
El mínimo común múlplo de dos o más números es el más pequeño de los múlplos comunes de dichos números. Si te pidieran el m.c.m de más números lo que enes que hacer es construir un tren por cada uno de los números y encontrar el mínimo de sus múlplos comunes.
Dados varios números enteros, su mínimo común múlplo (m.c.m.) es el
menor número entero posivo que es múlplo de todos ellos.
Algoritmo por factorización del m.c.m Veamos cuál es el procedimiento para obtener el mínimo común múlplo. Por ejemplo, obtengamos el mínimo común múlplo de 20, 18 y 30. Si alguno ene mitad, hay que obtenerla. Es importante que obtengas la mitad de todos los que la tengan. En este caso, los 3 números enen mitad. Connúa sacando mitades hasta que ninguno la tenga. Observa que en este paso sólo el 10 ene mitad; se obene su mitad y los demás números pasan abajo iguales. Hay que sacar después la tercera parte si es posible y el procedimiento se connúa hasta que queden sólo unos del lado izquierdo de tu factorización.
20 18 30 10 9 15
2
20 18 30 10 9 15 5 9 15
2 2
20 18 30 10 9 15 5 9 15 5 3 5 5 1 5 1 1 1
2 2 3 3
2x2x3x3x5=
5
22 x 32 x 5
m.c.m. = 180
Finalmente, basta que mulpliques los números que quedaron a la derecha; en este caso, son 2 x 2 x 3 x 3 x 5= 180 será el m.c.m. de 20, 18 y 30.
Ahora el más grande…que me sirve para todos Toma una regleta rosa, una verde oscuro y otra naranja. Debajo de cada una de ellas construye todos los trenes de regletas del mismo color que puedas. Estos trenes te indican los divisores exactos de cada uno de tus trenes. Registra tus trenes a connuación:
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Números y sistemas de numeración
•
1
R
2
3
V
N
¿Cuáles son los divisores exactos de: • La regleta rosa? • De la verde oscuro? • De la naranja? • Bien, si tuviéramos que elegir un divisor común a estos tres números, ¿cuál sería?
El máximo común divisor (M.C.D) de varios
números es el número entero más grande por el cual todos los números son divisibles. El máximo común divisor de los números a y b se denota por: M.C.D. (a, b).
Hagamos ejemplo. Construyeotro ahora un tren del 18 y otro del 27 y encuentra, con tus regletas todos los divisores exactos del 18 y del 27 ¿Cuáles son los divisores exactos de: • Tu tren del 18? • Y de tu tren del 27? • ¿Cuáles son los divisores exactos comunes para ambos números? • ¿Cuál es el más grande de los divisores comunes de ambos números? Bien….a este número se le conoce como máximo común divisor, es decir el más grande de los divisores comunes de un número.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Números y sistemas de numeración •
Algoritmo por factorización del M.C.D. Para calcular el M.C.D. (4, 12,20) vamos simplicando sacando mitad, tercera parte, etc., hasta que no se puedan simplicar más. 4
2
12 6
20 10
2 2
Mitad (a los 3 números) Mitad (a los 3 números)
1
3
5 5 1
3
Tercera parte (sólo al 3)
5
Quinta parte (sólo al 5)
1
Mulplicamos los números entre los que se dividen los números 4, 12 y 20 simultáneamente: El M.C.D. (4, 12,20) es: 2 x 2 = 4 Observa que no mulplicamos ni por 3 ni por 5 porque no dividen a los
tres números 4, 12 y 20 simultáneamente. Ahora con lo que acabas de aprender completa la tabla. Máximo común divisor (M.C.D)
3, 9 2, 5, 10 20, 18, 30 15, 30 24, 32 7, 14, 21 2, 4, 8 10, 15 3, 6, 9 8, 9 12, 44 16, 30 3, 5, 6
Mínimo común múlplo (m.c.m)
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Números y sistemas de numeración
•
Hagamos ejercicios Vamos a poner en prácca lo aprendido en este tema. Te mostraremos situaciones didáccas para resolver. Analiza bien qué es lo que requieres, si calcular el m.c.m. o el M.C.D. Ana ene dos trozos de cinta uno de 36m y otro de 48m. Quiere cor tarlos en tramos iguales y de la mayor longitud posible para hacer unos moños. ¿De qué medida le conviene cortar cada tramo? ¿Cuántos tramos de cada color le van a quedar? 1
2 Tres
aviones salen del mismo aeropuerto con desno a diferentes ciudades. Uno sale cada 10 días, otro cada 8 días y el tercero sale cada 20 días. Si salen juntos del aeropuerto el 1° de mayo, ¿cuándo serán las tres siguientes fechas en las que volverán a coincidir? 3 Javier
ene que cortar tres varillas en tramos de 4 cm de largo sin que le sobre nada. Si sus varillas miden 20 cm, 24 cm y 30 cm de largo. ¿Crees que eligió la medida adecuada para cortarlas? Jusca tu respuesta. 4 Jack, la mascota de Macarena, está enfermo y Paola que es veterinaria, veterinar ia,
le mandó tres medicamentos. Uno lo debe tomar cada 6 horas, otro cada 8 horas y otro cada 4 horas. Si los tomó todos juntos a las 12 horas. ¿A qué hora volverá a tomar todos juntos otra vez? 5 En
el galgódromo se organiza una carrera. Tres perros salen simultá neamente de la línea de salida. El primero tarda 11 segundos en dar la vuelta completa al circuito, el segundo tarda 10 segundos y el tercero tar da 12 segundos. ¿En cuántos segundos volverán a pasar los tres simultáneamente por la línea de meta? ¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno? 6 Liz
compró bolsas de dulces: una ene 80 dulces, otra ene 75 y la úlma ene 60. Quiere reparrlos en bolsitas de dulces para regalarlos regalarlos en la esta de su hijo. ¿Cuál es la mayor candad de dulces que puede poner en cada bolsita y cuántas bolsitas le saldrán? 7 Daniela sembró ores en el jardín. Los Lo s rosales orean cada 3 meses, las
margaritas cada 4 meses y la violetas cada 2 meses. Si hoy están oreando todas, ¿en cuántos meses volverán a orear simultáneamente? Comenten con el profesor(a) y con otros compañeros cuáles situaciones
de su vida codiana se pueden resolver con estas estrategias.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Vamos a aplicar lo que has aprendido
H
asta ahora has trabajado con fracciones decimales y no decimales, decimal es, ya vimos cómo converr fracciones a decimales y viceversa, tam bién realizamos sumas y restas de fracciones. ¿Qué te parece si ahora resolvemos algunos ejercicios en los que combinemos todo esto que has aprendido? Hagamos ejercicios: 1 Chrisan
necesita unos tornillos de 5/8, 9/16 y de 3/4 de pulgada de largo. Tiene todos los tornillos revueltos en una caja y no sabe de qué medida son. Sólo ene una cinta métrica con una escala en cenmetros y recuerda que una pulgada equivale a 2.54 cm. ¿Puedes ayudar a Chrisan a calcular la medida en cenmetros de cada uno de los tornillos que necesita? 2 En una
orquesta hay 60 músicos. De éstos 30 tocan el violín, 8 tocan el contrabajo, 10 tocan el violonchelo y 12 tocan las violas. Encuentra qué fracción de la orquesta representa cada instrumento. Expresa cada una de las fracciones en su forma más simplicada, en decimal y en fracción decimal. 3 Para
hacer unos moños, María compró 10 metros de listón rojo y 10 metros de listón verde. Del listón rojo debe cortar 32 tramos iguales y del verde debe 35 decimal tramos. en Indícale Maríade la cortar fracción el decimal y lacortar fracción la quea debe el simplicada, listón de cada color. pintar una pared de su cuarto, Macarena quiere mezclar pintura. Tiene 4/5 de litro de pintura roja, ¾ de litro de pintura amarilla y 0.825 litros de pintura blanca. ¿Podrá mezclar la pintura en un recipiente que ene 2.5 litros de capacidad? 4 Para
5 Jorge le debe a su papá $179.50 y ayer le pagó $42 ¾ de lo que le debe.
¿Cuánto le queda a Jorge por pagar? 6 Mariano uliza la cuarta parte de su día en ir a la escuela, una doceava parte del día en su entrenamiento entrenami ento de futbol y una octava parte del día sale a jugar con sus vecinos. ¿Qué parte del día le sobra para otras acvidades?
s o v Resolución i t de problemas i d aditivos en los a s que se combi a nan números m fraccionarios l e y decimales b o r en diferentes P contextos,
CONTENIDO:
empleando algoritmos con- TEMA vencionales.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Problemas aditivos
•
7 En una fábrica de telas, se arman rollos de 200 m de tela para la venta
al mayoreo. Si un obrero enrolló los primeros 46 3/8 de la tela, el segundo 98.75 m y el tercero 39.15m ¿cuántos metros faltan por enrollar? 8 Mi
papá me dió dinero para comprar en la cooperava de la escuela. Perdí 1/8 del dinero antes de salir al recreo, y le presté a un compañero la quinta parte del que me dió mi papá. ¿Qué parte del dinero me quedó? 9 Ana
ene una pieza de tela de 25.5 m. Sus hijas, Mónica y Andrea quieren hacerse unas blusas y le cortan a la pieza de tela 2 ¾ m de tela cada una. Si Ana uliza 3.20 m en una falda, ¿cuántos metros de tela le sobraron? 10 Ramón
corre los 100 metros planos en un empo de 15 3/8 segundos. Si quiere lograr correrlos en 12.20 segundos, ¿cuánto ene que bajar su empo? 11 La
a Soledad fue al mercado y compró 1 75/100 kg de peras, 2.250 kg
de manzanas y 3 4/5 kg de manzanas. ¿Cuántos kilos de fruta compró en total? Expresa tu resultado en decimal y en fracción. 12 Se
requiere colocar una cerca alrededor de un terreno que ene 2 km de perímetro. Si se van a colocar 300 postes de apoyo para la malla, ¿qué distancia queda entre cada poste? 13 Elabora
tres situaciones que se resuelvan por medio de fracciones.
14 Intercambia
las situaciones que creaste con tus compañeros y resuél-
vanlas. 15 Compartan
con el grupo y con su profesor(a) las situaciones que les parezcan más interesantes.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
¿Cuánto hay y cuánto me toca?
E
n el campamento de verano al que asisó Rodrigo, el desayuno con sisa en jugo de naranja, leche y algún guisado. Durante todo el campamento, el trabajo se realizó en equipos de 5 compañeros. El úlmo día, para que no sobrara comida, se reparó la comida de manera equitava entre todos los equipos de trabajo. Los compañeros de equipo Rodrigo son Sanago, Mariano, Carlos y Diego. Rodrigo reparó por partes iguales entre los integrantes del equipo el jugo, la leche y el guisado que les dieron y a cada uno le tocó 34 de vaso de leración de guisado. ¿Cuánto ¿Cuánto jugo de naranja y 1 14 de ración che, 13 de vaso de jugo jugo,, cuánta jugo cuánta leche leche y cuánto cuánto guisado guisado le tocó tocó a cada cada equipo? equipo?
CONTENIDO: Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usales.
Una vez que ya habían repardo su desayuno, el coordinador les avisó que ese día les tocaba invitarlo a él a desayunar a su mesa, así que entre todos debían comparr con el coordinador el desayuno. ¿cuánto jugo, guisado y leche les va a tocar ahora tomando en cuenta al coordinador?
TEMA
• ¿Qué operaciones debes hacer para resolver la primera parte del problema? • ¿Qué operaciones debes hacer para resolver la segunda parte del problema?
Multiplicación de fracciones Cuando queremos hacer una mulplicación de números enteros por ejemplo 2 x 7, lo que tenemos que hacer es reper 2 veces el 7. también lo podemos verbalizar como el doble de 7. Es decir: el doble de 7 = 2 veces 7 = 2 x 7 = 14 Si queremos mulplicar 3 x 4, tenemos que reper 3 veces el 4 o encontrar el triple de 4. O sea que el triple de 4 = 3 veces 4 = 3 x 4. Pero... ¿qué pasa si queremos mulplicar una fracción por un entero? En el lado reclíneo de tu geoplano, traza una gura que puedas parr en dos partes iguales. Regístrala y pinta de cualquier color 12 .
s o v i t a c i l p i t l u m s a m e l b o r P
1 2
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
multiplicativos os Problemas multiplicativ
•
1 Ahora busca el doble de 2 . ¿Qué te dió? 1 1 1 2 El doble de 2 = 2 veces 2 = 2 x 2 = 2 = 1
1 2 2 veces 12 = 2 x 2 = 2 = 1
Busquemos ahora el triple de 41 . Traza en tu geoplano un entero que te sirva para resolver este ejercicio.
¿En cuántas partes debes de poder parr tu entero? Registra tu gura en las hojas de registro de "Mi cuaderno de registro CIME", resuelve la operación y describe los pasos que seguiste para resolverlo.
Hagamos ejercicios Resuelve los siguientes ejercicios. Recuerda que debes encontrar un entero
del tamaño adecuado para dividirlo y después hacer la mulplicación. Puedes apoyarte de tu geoplano, o en tu cuaderno de cenmetro cuadrado.
1
Tres Tres veces
3 x
4
1 3
1 =
1 x3=
Cinco veces
1 10
3
1 = 5 x 10
3
La cuarta parte de 3
4
2
5
Dos veces
1 6
2 x 1 = 6
Cinco sextas de 1
5 x1= 6
¿Y la fracción de la fracción? Paola y sus amigas fueron a la esta de cumpleaños de Macarena. Como llegaron tarde, ya habían pardo el pastel y quedaba sólo la mitad. La mamá de Macarena les dijo: “de la mitad del pastel, pueden comerse la mitad”.. ¿Qué parte del pastel les tocó a Paola y sus amigas? mitad” 1
Compara tus resultados con tus compañeros y expliquen qué hicieron cada uno para encontrarlos.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
multiplicativoss Problemas multiplicativo
•
En este caso tenemos una fracción de la fracción. Vamos a representarlo de manera gráca con nuestro geoplano. 1 1 1 1 “La mitad de la mitad” = 2 de 2 = 2 x 2
1
La mitad del pastel = 2
... Y de la mitad sólo tomo la mitad
1
1
1
= 2 x 2 = 4 ¡Claro! Tengo
1
4 del pastel.
La mamá de José Pablo y Lorena ene un terreno. Lo quiere reparr entre sus dos hijos para que que construyan sus casas. ¿Qué parte del terreno les toca a cada uno? 2
José Pablo quiere fraccionar de una vez la parte de terreno que le toca entre sus tres hijos, ¿qué parte del terreno total le toca a cada uno de los hijos de José Pablo? Lorena ene dos hijos y quiere fraccionar el terreno entre ellos, ¿qué parte del total del terreno tendrán los hijos de Lorena? El hijo mayor de Lorena quiere saber si su terreno es más grande o más pequeño que el del hijo mayor de José Pablo, ¿puedes mostrarle cuál es mayor? Representa en las hojas de cenmetro cuadrado o de registro reclíneo de "Mi cuaderno de registro CIME", la parte de terreno que le toca a cada quién.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
multiplicativoss Problemas multiplicativo
•
Doblando papel... Para hacer un trabajo, la maestra de geograa le entregó a cada equipo
una hoja de papel. A cada equipo le tocó la hoja de diferente color. Los equipos son de tres compañeros, por lo que la maestra dio la siguiente instrucción: “Dividan la hoja de tal forma que a cada quien le toque la tercera parte, y de esa parte, corten la mitad”. • ¿De qué tamaño quedó la parte que cortaron? ¿Cuánto es la mitad de un tercio? La mulplicación de fracciones se puede hacer también con un trozo de papel.
Dobla tu papel en tres partes:
Toma 1 de esas 3 partes ( 13 ) y dóblala a la mitad.
Pinta esa mitad de algún color. color.
Ahora desdobla tu papel: • ¿Qué parte del total de tu hoja quedó pintado?
1 2 1 2
de de
1 3
1 2 ¡Exacto!
1 3
1 = 1 6 3
Dobla tu papel en tres partes: Ulizando cualquier estrategia resuelve los siguientes ejercicios: 1
1
2
?
• ¿Cuánto es 12 de
3
?
• ¿Cuánto es 12 de 25 ?
• ¿Cuánto es 25 de
3 4
?
• ¿Cuánto es
3 de 4
Observa muy bien las siguientes guras y responde: ¿qué mulplicación se muestra en cada ilustración? 5 n e o d i d i v i D
Dividido en 2
5 n e o d i d i
3 n e o d i d i v i D
v i D
Dividido en 4
Dividido en 9
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Problemas multiplicativos
Comenta tus resultados con tus compañeros e intercambien las estrategias que usaron para resolverlos. Junto con tu maestro (a) generalicen la forma de resolverlos. Primero, ¡simplica!
La mulplicación de
fracciones consiste en obtener una fracción de otra.
a c
x
b d
=
•
ab
• ¿Cuál será tu algoritmo de la mulplicación?
cd
Vamos a embotellar El próximo n de semana se va a organizar una esta en la escuela de Mariana se recaudarán fondos para la graduación de los alumnos de tercero de secundaria. A Mariana y sus amigas les tocó el puesto de aguas frescas y decidieron venderla embotellada. Consiguieron botellas de diferentes ta maños, así podrán ofrecer varios sabores de agua y varios precios. Además las compraron de un plásco que se recicla, así que le devolverán $1 a cada uno de los clientes que regrese la botella. Bien... los garrafones que consiguieron para ir preparando el agua son de varias medidas también. Mariana ene un garrafón de 4 litros de capacidad y va a llenar botellas de 1 litro. • ¿Qué ene que hacer?, ¿cuál es la operación con la que puede resolver este problema? Así es: 4 litros entre 1 litro nos da para llenar 4 botellas: 4 entre 1 = 4 Vuelve a preparar agua en su garrafón de 4 litros pero ahora va a llenar 1 botellas de 2 litro:
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
4÷
1 = 2
?
Convirtamos los 4 litros en medios litros. (“4 entre botellas de 12 litro”) O también: 4 = 8 (fracciones equivalentes)
1 2 Ahora: 8 ÷ 1 = 2 2
Como ya tenemos todo medido en medios litros, tenemos que:
8 2
÷
1 2 = 8 2
1 2 = 16 2 = 8 botellas de medio litro.
Podemos llenar entonces 8 botellas.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
multiplicativos os Problemas multiplicativ
•
• ¿Cuántas botellas de 14 de litro podemos llenar con los 4 litros del garrafón de Mariana?
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
...
4÷
1 = 4
?
• ¿Cuántos cuartos de litro hay en 4 litros? 4 = 16 1 4
Así es, caben 16 cuartos de litro.
Entonces: 4 ÷ 1 = 16 ÷ 1 1 4 4 4
Como ya tenemos todo medido en cuartos, entonces:
16 4
÷
1 = 16 = 4 1
16
Se llenan 16 botellas de cuarto de litro.
Beatriz, una de las amigas de Mariana que le va a ayudar a preparar agua por lo que ella va va a llenar las fresca, consiguió un envase de 34 de litro, por botellas más pequeñas, que son para los niños. • ¿Cuánta ¿Cuántass botellas de 18 de litro podrá llenar con
1 8
1 8
1 8
1 8
1 8
1 8
3 4
de litro?
...
Completa lo que se te pregunta: • ¿Qué operación enes qué hacer? • ¿Cuántos octavos de litro hay en 1 3 Entonces, 4 ÷ 8 =
¡Bien! Se llenaron
8
÷
8
=
3 4
?
=
3 4
=
8
botellas
botellas de octavo de litro.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
multiplicativos os Problemas multiplicativ
•
1
Beatriz también llenará las botellas de 12 de litro. En el espacio que te dejamos realiza tu diseño de lo que vas a reparr.
La división de fracciones consiste en en-
contrar las veces que una fracción está contenida en otra.
÷ b = ad a c d cb 1
• ¿Cuántas botellas de 12 de litro se pueden llenar con
3 4
de litro?
3
También consiguieron unas botellas de 10 de capacidad y esas, las quiere llenar Marcela con una jarra de 2 litros y 12 , es decir de 52 . 3 • ¿Cuántas botellas de 10 de litro se llenarán con una jarra de 52 litros?
Entonces:
3
3
3
10
10
10
5 2
...
÷
3 =
10
10
÷
Se llenan 8 botellas y
= 25 = 10 3
8 13
1
3 de otra botella.
Como podrás observar la división de fracciones es, al igual que la división de números enteros decimales, un reparto. Toda división es un reparto. Lo que estas haciendo es converr co nverr lo que vas a reparr a una fracci fracción ón que tenga el mismo denominador que el recipiente en el que vas a reparr y así puedes ver cuántas veces cabe una candad en otra. Al igual que en la suma, la resta y la mulplicación estás usando un denominador común. Vamos a analizar todas las divisiones que hemos hecho, coméntalas con tus compañeros, analícenlas analíce nlas junto con el profesor(a) y pónganse de acuerdo en una forma de resolver la división de fracciones:
1 =
1
4 entre 1 =
3
4 entre
2
3 entre 1 = 8 4
4
5 entre 3 = 2 10
4
1 = 2
5
4 entre
6
3 entre 1 = 4 12
• ¿Puedes hacer divisiones que no tengan un común denominador?
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Problemas multiplicativos
•
Hagamos ejercicios Ya analizamos qué estas haciendo en realidad cuando mulplicas fracciones por fracciones y
también qué estas haciendo cuando divides fracciones entre fracciones. A connuación te presentamos una serie de ejercicios. Léelos con calma, analiza qué es lo que se requiere hacer para encontrar la solución, si se requiere mulplicación o división de fracciones, jusca tu tu decisión y resuélvelos. resuélvelos. Compara Compara con tus compañero compañeross tus respuesta respuestas. s. 1 Una empresa contrató empo de radio para anunciar sus productos. Si cada anuncio dura 3 de minuto y la empresa pagó 36 minutos de empo al día, ¿cuántas veces se va a escuchar el 4
anuncio de la empresa en un día?
recipiente ene agua hasta los 45 de su capacidad. Si se le quita la mitad del agua que conene, ¿qué fracción de la capacidad total del recipiente falta por llenarse? 2 Un
3 En un testamento se ordena dividir un terreno en tres partes. 4 7 de la supercie total del terreno. La segunda debe de ser igual a
La primera parte debe tener la mitad de la primera. ¿Qué
fracción del terreno representa la tercera parte? 4 En
la esta de cumpleaños de Macarena se reparó el pastel entre los invitados de tal forma que sobró 16 de pastel. Sus primas Soa y Marcela llegaron tarde a la esta y cuando vieron que todavía había pastel dijeron: “Nos comeremos la mitad cada quien”. ¿Qué parte del pastel querían comerse Soa y Marcela? Cuando ya lo iban a parr, la mamá de Macarena les dijo: “esperen, no lo partan, porque yo no he comido pastel y quiero que me compartan comp artan un pedazo” pedazo”.. ¿Qué parte del pastel le l e tocó a cada una de las primas de Macarena? A César le gusta mucho leer, y para las vacaciones decidió ir a la biblioteca y tomar 5 libros prestados. Si cada día lee 23 de libro, ¿Cuántos días tardará en leer los 5 libros que sacó de la 5
biblioteca? 6 Para la
esta de su hermano, Mónica y Andrea deben hacer bolsitas de dulces. Si su mamá 1 de kilo. ¿cuántas bolsitas les compró 2 12 kilos de chocolates ( 52 kilos) para hacer bolsitas de 10 de chocolates les saldrán? 7 Mi
reloj se retrasa 1 minuto cada
8 Marina
quiere reparr
3 4
3 4
de hora. ¿cuánto se retrasará en 24 horas?
partes de su pastel entre seis invitados. ¿cuánto le toca a cada uno?
Inventa dos problemas, uno de mulplicación de fracciones y otro de división de fracciones. Busca que la redacción sea correcta para que puedas detectar si se requiere mulplicar o dividir. Compártelos con tus compañeros y resuelvan algunos en el pizarrón. 9
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Geometría por aquí y por allá n todo lo que nos rodea podemos encontrar siempre muchísimas cosas que nos llevan a la geometría. Observa bien, el lugar en el que estas sentado en este momento y busca cosas que te lleven a la geometría... ¿Verdad que hay innidad? Cuadrados, rectángulos, círculos, circunferencias, triángulos, etc., etc... la lista es interminable. Además si comentas con tus compañeros esto, te darás cuenta de que ellos observaron geometría en algunas cosas que tu no habías visto. La geometría es fascinante, en el bloque anterior trabajamos con triángulos y cuadriláteros, es parte de la geometría y tuviste la oportunidad tanto de trazar las guras que te proponíamos, como la de crear tus propias
E
guras. En este bloque vamos a dar un paso importante dentro de la geometría, porque vamos a construir muchas cosas que sabemos que te van a gustar.
Conozcamos la mediatriz Construye en tu geoplano la siguiente línea:
De acuerdo a la denición de perpendicular que ya conoces, ¿cuántas líneas perpendiculares a esa línea puedes encontrar? Construye las siguientes líneas en tu geoplano
y traza 3 perpendiculares a cada línea.
1
2
3
CONTENIDOS: Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo
s o p r e u c y s a r u g i F TEMA
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Figuras y cuerpos
•
4
¿Pudiste marcar perpendiculares a todas las lí -
neas en tu geoplano? Observa muy bien las líneas perpendiculares que marcaste en los 5 geoplanos anteriores y elige una: la que pasa exactamente por el punto medio de la línea original. Márcala de un color diferente. En los siguientes geoplanos, traza únicamente la perpendicular que pasa por el punto medio de la línea. 1
2
3 B A
A
A
B B
4
Estas rectas que encontraste, pasan por el punto medio de los segmentos de recta que habíamos cons truido en los geoplanos y además son perpendicula res a ella.
B
• ¿Sabes cómo se llaman estas rectas? A
Probablemente pienses que en el geoplano, apoyándote en las ligas, sea fácil encontrar y trazar este po de rectas... ¿Podrás hacerlo en una hoja en blanco? Recuerda que puedes ayudarte de tus escuadras, regla, transportador y compás si es necesario. 1
2
3
B A
A
B
B
A Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Figuras y cuerpos
•
Comenta con tus compañeros qué hicieron para encontrar la línea que pasa perpendicularmente por el punto medio de cada segmento. Anali cen cuál de todos los métodos que usaron es el más conable y lleguen a un acuerdo.
¿Cómo se traza? A connuación, verás unos dibujos, obsérvalos muy bien y trata de describir qué es lo que se hace en cada uno de ellos:
Paso 1
1
A
B
Paso 2
2
A
B Paso 3
3
A
B
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Figuras y cuerpos
•
Paso 4
3
A
B
Paso 5
A
B
Paso 6
A
B
Observa las caracteríscas de la línea que trazaste: La mediatriz de un
segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.
• ¿Pasa por el punto medio del segmento AB? • ¿Es perpendicular al segmento AB?
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Figuras y cuerpos
•
Y ahora te presentamos a la bisectriz Vamos a trabajar ahora con tu geoplano circular. ¿Recuerdas cuántos pivotes ene en la circunferencia externa? ... y si divi dimos los 360o de la circunferencia entre el número de pivotes, ¿cuántos grados hay de pivote a pivote? En tu geoplano circular, construye el siguiente ángulo:
A
• ¿Cuánto mide el ángulo A? • ¿Puedes construir una línea que te divida exactamente al ángulo A en dos partes iguales? • ¿Cuánto mide cada uno de los ángulo en los que quedó dividido el ángulo A? Ahora haz lo mismo con los ángulos que te mostramos a connuación,
primero constrúyelos en tu geoplano y responde las preguntas: 1
2
B
3
C
D
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Figuras y cuerpos
•
4
• ¿Cuánto miden los ángulos B, C, D y E, respecvamente?
• ¿Puedes construir una línea que los divida exactamente en dos partes iguales? E
• ¿Cuánto miden los ángulos que obtuviste al parr B, C, D y E?
Observa muy bien ahora los ángulos que te presentamos en los siguientes geoplanos.
1
2
G
3
H
J
• ¿Cuánto miden los ángulos G, H, y J? • ¿Puedes construir en tu geoplano, con otra liga, una línea que te divida a esos ángulos en dos partes iguales? • ¿Por qué? Como verás, tu geoplano te facilita muchas cosas, pero llega un momento en el que no puede ayudarte a resolver otras. Para eso, contamos con tus escuadras, tu compás y tu transportador. Aquí te presentamos los mismos ángulos que tenías en tu geoplano, pero fuera de él. Con tu transportador verica veric a que midan lo mismo que los que tenías en el geoplano.
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Figuras y cuerpos
G
H
•
J
• ¿Puedes ahora construir una línea que te divida cada uno de los ángulos ángulo s en dos partes iguales?, • ¿Cuánto miden los ángulos en que quedaron divididos los ángulos G, H, y J? Comenta con tus compañeros cómo encontraste la línea que divide a la
mitad el ángulo y cómo encontraste la medida de los nuevos ángulos. Analicen las estrategias que cada quien usó y vean cuál es la que les pare ce más sencilla y prácca.
¿Cómo la trazamos? Vamos a trazar, con las estrategias que usaron, una línea que divida al ángulo K en dos partes iguales. • ¿Pudieron parrla con las estrategias que habían acordado usar? Observa bien lo que a connuación te presentamos y describe lo que se hace K
en cada paso.
Paso 1
B
A
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Figuras y cuerpos
•
Paso 2
2
B
AA
C
Paso 3
3
B
A
C C
Paso 4
4
A
B
C
C Eje: Forma, espacio y medida
Figuras y cuerpos
•
Paso 5
B
A
C
Observa las caracteríscas de la lÍnea que trazaste. ¿Divide al ángulo en dos partes iguales?
Hagamos ejercicios: 1 Co nstruye
un segmento de recta AB, del tamaño que quieras y sobre él construye su mediatriz. Elige un punto de la mediatriz, el que quieras y une ese punto con una línea hacia haci a A y otra hacia B. ¿Qué gura formaste?, ¿qué po de triángulo es? Si eliges otro punto en la mediatriz y formas otro triángulo, ¿ene las mismas caracteríscas que el anterior? Compara tus triángulos con los de tus compañeros y verica si todos obtuvieron el mismo po de triángulo. • ¿Por qué crees que suceda esto? Coméntalo con tu maestro (a) y tus compañeros. Dibuja un segmento CD y traza su mediatriz. ¿puedes construir un rom bo con estas líneas? Comenta con tus compañeros qué hiciste para construirlo. ¿cuántos rombos podrías construir sobre esta misma mediatriz? 2
Sabemos que en un cuadrilátero, las diagonales son líneas lí neas que unen un vérce con el vérce opuesto. En tu geoplano, construye 2 cuadriláteros, los que quieras y verica si sus diagonales coinciden con las bisectrices de sus ángulos. ¿hay algún cuadrilátero en el que esto no se cumpla? 3
En el tema anterior aprendiste que el punto donde se unen las bisectrices de un triángulo se llama incentro. Constr Construye uye tres triáng triángu ulos diferentes, del po que quieras, construye las bisectrices de sus ángu los y encuentra el incentro de cada uno de tus triángulos. 4
El incentro de un triángulo es el centro de la circunferencia que está ins crita en el trángulo, ¿puedes trazarla?
La bisectriz es la rec-
ta que divide a un án gulo en dos ángulos de la misma medida. En otras palabras, la bisectriz es el eje de simetría de un ángulo.
crita en el trángulo, ¿puedes trazarla? Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Los cuadrados, rectángulos y triángulos CONTENIDO:
a Justicación d i d de las fórmulas e de perímetro M y área de TEMA
polígonos regulares, con apoyo en la construcción y transformación de guras.
E
n la etapa propedéuca de tu libro trabajamos con el cálculo cálc ulo de áreas. Conforme hemos ido trabajando en tu libro, hemos visto que en el geoplano podemos encontrar muchas cosas.
Para encontrar el área de guras, tenemos dos opciones: 1. Encerrar nuestra gura en una más grande de la que podemos sacar fá -
cilmente el área y de ahí eliminar las áreas que no necesitamos. Este po de áreas son las que llamamos áreas por exceso, porque nos excedemos en el área que queremos encontrar y eliminamos o restamos el excedente. O bien: 2. Cortar la gura por dentro, en guras que ya conocemos y sumar el área:
1
2
Áreas de exceso
Corta internamente la figura en triángulos y paralelogramos
A = (4 x 4) - (áreas de exceso)
que conozcas.
A=
A=
Ejercita estas dos formas de encontrar el área y verás que puedes encontrar el área de cualquier polígono irregular por dicil que parezca. El rombo es un cuadri-
látero que ene sus 4 lados de la misma me dida. Podemos encontrar su área calculando la mitad del producto de sus diagonales.
A = Dd 2
¿Qué pasa con los rombos? Calcula por exceso el área del siguiente rombo.
3
• ¿En qué gura te convino encerrar el rombo?
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Medida
•
2u
Sabemos que el rombo ene dos diagonales, ¿podrías comparar los lados del rectángulo que encierra a tu gura con las diagonales del rombo?
D
4u d
Así es, la diagonal más larga del rombo, o diagonal mayor (que representaremos con D) es igual al lado más largo del rectángulo. La diagonal pequeña, o diagonal menor (que representaremos con d) es igual al lado más corto del rectángulo. • ¿Cómo encontraste el área del rectángulo? rectángulo ocupa el rombo? rombo? • ¿Qué área del rectángulo • ¿Cómo podrías escribir una fórmula para para encontrar encontrar el área de un rombo? Comparte con tus compañeros tus ideas y jusca tus respuestas. Construye tres rombos de diferentes medidas e intercámbialos con tus compañeros, encuentren el área de los rombos que te dieron y pasen a resolver algunos en el pizarrón.
Ahora los paralelogramos y los trapecios Con los conocimientos que enes ahora puedes diseñar tus propias fórmulas para encontrar el área de diferentes guras. De hecho, como po drás darte cuenta, ya no enes que memorizar tantas fórmulas, simple-
Un paralelogramo es
un cuadrilátero que ene dos pares de lados opuestos paralelos.
mente observas la gura y determinas la manera más fácil de encontrar sus áreas. Ahora trabajaremos con los paralegramos. Uliza tu cuaderno de cen metro cuadrado. Construye los siguientes paralelogramos y busca la manera de encontrar su área.
1
2
ACTIVIDAD 1
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Medida
•
En este caso podemos ulizar la opción de recortar las guras y buscar la manera de construir con los recortes que hagas, una gura conocida. • ¿Pueden encontrar una fórmula entre todos para encontrar el área del paralelogramo? Inténtenlo con varios paralelogramos a ver si para todos les resulta la fórmula que sugieren. ¿Te acuerdas cuántos pos de trapecios hay y sus nombres? Los trapecios también los trabajaremos en tu cuaderno de cenmetro cuadrado y si quieres, también puedes recortarlos para buscar alterna vas de solución. ACTIVIDAD 2
Primero, en tu geoplano haz las guras del geoplano 1 y analízalas. • ¿Qué encontraste?
El trapecio es un cuadri-
látero con un par de lados paralelos. Si se considera al lado paralelo con mayor longitud como su base mayor (B), el lado paralelo conmenorlongitud como su base menor (b) y la altura del trapecio (a) como la dist distancia ancia en-
Encuentra el área de los trapecios y junto con tus compañeros y tu maestro encuentren una fórmula general para ellos.
1
2
3
4
tre las dos bases enton-
ces podemos encontrar el área del trapecio con la fórmula:
A = (B + b) (a) 2
Ya conocías las formulas para encontrar el área de los cuadrados, rec tángulos y triángulos. A través de esas fórmulas has sacado tus propias conclusiones para encontrar el área de los rombos, los paraleogramos y los trapecios. Ahora vamos con...
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Medida
•
Los polígonos regulares
1
Como el área del poligono regular de tres lados (triángulo equilátero) y el de cuatro lados (cuadrado) ya las conoces, vamos a buscar la for ma de encontrar el área de polígonos de cinco lados o más.
2.25 cm
2.6 cm
• ¿Recuerdas qué gura es la base de los polígonos? Considerando eso, busca el área de los polígonos 1 y 2 con los datos
que se te dan.
2
2 cm 2.4 cm
La base de los polígonos son los triángulos, ¿te acuerdas que en el
tema anterior aprendimos a construirlos a base de triángulos isósceles? Pues considerando que todos los polígonos están formados por trián gulos, podemos sacar el área de uno de ellos y mulplicarla por el número de triángulos que ene tu polígono. Si tomáramos todos los triángulos de un hexágono y los colocáramos sobre una misma linea tendríamos lo siguiente:
m c 3
3 cm
• ¿Podríamos sacar el área del rectángulo y quitar lo que no sirve?
gular, el apotema es el segmento que va desde el centro del polígo-
• ¿Cuánto le quitarías?
• ¿Podrías encontrar una fórmula? • Si el área de uno de los triángulos es 10 u 2, ¿podrías calcular el área del hexágono? • Si el triángulo ene 4.6 cm de base y 4 cm de altura, ¿cuál es el área del hexágono?, ¿y su perímetro? Formen parejas entre tus compañeros.
ACTIVIDAD 3
Cada pareja construya un polígono de los lados que quieran y encuentren los datos que necesitan para sacar el área y perímetro de su polí gono. Intercambien sus polígonos con otros equipos para resolverlos. Si enen dudas, asesórense con su profesor (a).
En un polígono re-
no al punto medio de uno de sus lados.
El área de cualquier
polígono regular es la mitad del perímetro de la gura mulplicado por la apotema (la apotema es el equivalente a la altura del triángulo).
A=
(P) (a) 2
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Y ahora... ¿Cómo lo repartimos? s e CONTENIDOS: n o Identicación i c y resolución de n situaciones de u f proporciona y lidad directa d del tipo "valor a d faltante" en i l contex a diversos contex n tos, con factofacto o i res constantes c r o fraccionarios. p o r P TEMA
E
En el bloque anterior establecieron tus compañeros y tú, métodos propios para encontrar los valores faltantes en relaciones directamente proporcionales. Ulicen esos procesos para resolver el siguiente problema: Varios amigos, decidieron comprar un boleto para una rifa. El boleto costaba $10 así que sacaron las monedas que tenían y cooperaron así: Mauricio puso $2, Jorge $3 y Alex $5. Tuvieron la fortuna de ganar $1,000 y ahora están buscando la forma de reparrse el dinero en partes directamente proporcionales a lo que cada uno aportó para comprar el boleto. ¿ Puedes ayudarles? Describe el proceso proces o para encontrar cuánto dinero le toca a Mauricio, cuánto a Jorge y cuánto a Alex. 1
Vamos ahora a suponer que el boleto les hubiera costado $40 y las aportaciones aport aciones hubiera hubieran n sido así: así: Mauricio Mauricio $12, Jorge Jorge $8 y Alex $15. El premio sigue siendo de $1,000. ¿cuánto hubiera ganado cada quien, si el reparto del premio vuelve a ser proporcional? 2
Mauricio =
Jorge =
Alex =
¿Quién tiene la razón? ¿la tendrá la fracción? Como ya vimos, una razón es la relación que existe entre dos candades. En el primer problema de este tema vimos que Mauricio pagó $2 de los $10 que costó el boleto. Entonces la razón es que $ 2 es a $10. También se 2 . puede representa con una fracción 10 Para encontrar la parte del premio que le toca a Mauricio, debemos debe mos encontrar otra razón que sea proporcional a la que ya tenemos:
Parte de Mauricio
2
?
De un total de
10
1000
Manejo de la información Eje: Manejo Eje:
Proporcion Proporcionalidad alidad y funciones
•
Entonces, ahora hay que buscar la proporción adecuada para que la igual dad de cumpla.
2 10
=
Cuando dos razones
son equivalentes, decimos que entre ellas existe una proporción.
1000 Una
Esta proporción debe de cumplir la regla de los productos cruzados que trabajaste en primaria: 10(?) = 2(1000) Para encontrar el valor faltante basta con que dividamos todo entre 10:
? =
proporción
es
una igualdad entre dos razones:
3 6 = 4 8
2(1000) 10
La parte proporcional del premio que le toca a Mauricio es de $200 Producto cruzado o
A este procedimiento que permite encontrar el valor faltante en una rela ción directamente proporcional al aplicar la propiedad de los productos
regla de tres es un método que sirve para cal-
cruzados se le conoce como regla de tres.
cular un valor descono-
• ¿Puedes encontrar otro procedimiento?
Hagamos ejercicios Los testamentos son documentos que las personas rman, en donde se
establece cómo quieren reparr sus propiedades, dinero o cualquier po de pertenecias cuando fallezcan. Estos documentos se rman siempre ante un notario y en presencia de al menos dos tesgos. Esta semana un notario ene que dar lectura a varios testamentos en los que se establecen que:
cido de una proporción directa, dados los otros tres valores. Por ejemplo, para cal-
cular el valor de x en:
x 3 = 7 21 Hacemos
3X7 x = 21 = 1 Entonces
1 Una herencia de $105,000 se debe reparr entre cuatro hermanos que
enen 3, 5, 2 y 4 hijos respecvamente, respec vamente, en forma directamente proporcional al número de hijos. ¿Cuánto le corresponde a cada hermano? Al que ene 2 hijos = Al que ene 3 hijos = Al que ene 4 hijos = Al que ene 5 hijos =
1 3 = 7 21
Eje: Manejo de la información Eje: Manejo
Proporcionalidad dad y funciones Proporcionali
•
2 Un granjero
deja un terreno de 950 m2 para que se reparta entre sus dos hijos con la condición de que el terreno del mayor de sus hijos sea 2 menor. ¿cuánto mide el terreno que le queda a 3 partes del terreno del menor. cada hijo? 3 Cierta candad de dinero se debe de reparr entre tres hermanos para
que puedan sembrar en sus terrenos. El dinero será repardo proporcionalmente de acuerdo a la supercie a sembrar. Los terrenos son de 3, 2 y 5 hectáreas. Al hermano que ene el terreno de 3 hectáreas le corresponden $48,000. ¿Cuánto le corresponde a los demás hermanos y cuál es la candad de dinero total que hay que reparr? Hermano de 2 has =
Hermano de 5 has =
Candad de dinero total a reparr = 4 Un abuelo espuló
reparr $36,000 entre todos sus nietos. Su hijo Ju-
lio ene 3 hijos, su hija Lucía ene 2 hijos y el menor, Javier ene 2 hijos. ¿cuánto dinero le dará el notario a Javier para sus hijos? 5 Cuatro
amigos ganaron un premio de $15,000 en un sorteo y se lo re pareron proporcionalmente a lo que cada uno aportó para la compra del boleto que costó $100. Al primero le tocaron $2,100, al segundo $5,700, al tercero $3,300 y al cuarto el resto de los $15,000. ¿Cuánto aportó cada amigo para la compra del boleto? Amigo 1 =
Amigo 3 =
Amigo 2 =
Amigo 4 =
6 En un negocio
los socios aportan cierto capital y en base a esa apor tación se reparten las ulidades. Si un socio dió $15,000 y otro $60,000 al constuir la empresa, ¿cuánto les tocará a cada uno de los $12,000 que se obtuvieron de ulidades en el mes de agosto? Socio de $ 15,000 = Socio de $ 60,000 =
Crea tus propias situaciones Ahora que ya estuviste trabajando con situaciones de reparto proporcional,
haz equipo con dos compañeros e inventen treslas situaciones las que se pueda aplicar reparto proporcional. Una vez que terminen,en muéstrenlas a su profesor (a) y a sus compañeros para que las resuelvan.
Eje: Manejo Eje: Manejo de la información
Síntesis
•
Síntesis:
A
hora ya terminaste los temas correspondientes al bloque 2. Te presentamos la síntesis con la que de manera rápida podras encontrar deniciones y conceptos, tanto para tu repaso bimestral como para reforzar cualquier contenido que re quieras.
Números primos, compuestos, múltiplos y divisores. Un número primo es un número natural que ene exactamente dos divisores.
Por ejemplo, el número 2 es primo, pues sus únicos divisores son 1 y 2. El número 9 no es un número primo, pues ene 3 divisores: 1, 3, y 9. Los primeros 20 números primos son los siguiente siguientes: s: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 Se llama número compuesto a todo número natural que ene más de dos divisores.
Por ejemplo, el número 9 es compuesto, porque sus divisores son: 1, 3, y 9. El número 5 no es un número compuesto, pues solamente ene dos divisores. El único número natural par que no es compuesto es el número 2. El número entero m es múlplo del número entero a si puede expresarse como:
m = a (k), (k), donde k es es otro número entero. Por ejemplo, el número 12 es múlplo de 3, porque 12 = 3(4) Dados los números enteros a, b, c que c que cumplen a = b (c), (c), decimos que los números b y c
son divisores del número a. Por ejemplo, el 2 y el 5 son divisores del número 10, porque 10 = 2(5). Los criterios de divisibilidad son las reglas que nos ayudan a determinar si un número se
divide entre otro sin hacer la división directamente. Un número se divide: • entre 2 si la úlma cifra del número es par. • entre 3 si la suma de sus cifras es un múlplo de 3. • entre 5 si termina en 5 ó en 0.
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo Dados varios números enteros, su mínimo común múlplo (m.c.m.) es el menor número
entero posivo que es múlplo de todos ellos. El máximo común divisor (M.C.D) de varios números es el número entero más grande
por el cual todos los números son divisibles. El máximo común divisor de los números a y b se denota por: M.C.D. (a, ( a, b). b).
Multiplicación y división de números fraccionarios Con fracciones también podemos realizar operaciones de mulplicación y división. La mulplicación de fracciones consiste en obtener una fracción de otra.
a
x
b
=
ab
c
d
cd Síntesis • Bloque 2
Síntesis
•
La división de fracciones consiste en encontrar las veces que una fracción está conteni -
da en otra. a b ad = ÷ c d cb Para resolver una mulplicación con decimales basta con mulplicar los factores sin con-
siderar el punto decimal y colocar el decimal en el resultado, de tal manera que tenga el mismo número de cifras que la suma de las cifras de los decimales en los factores.
Mediatriz y bisectriz: Se conoce como mediatriz de un segmento a la recta perpendicular al segmento que
pasa por su punto medio. La bisectriz de un ángulo es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos de la misma medida. En otras palabras, la bisectriz es el eje de simetría de un ángulo.
Justificación de fórmulas para la obtención obtención de áreas: Se conoce como paralelogramo a todo cuadrilátero que ene dos pares de lados opues -
tos paralelos. Los paralelogramos son: el cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide. El rombo es un cuadrilátero paralelogramo que ene sus 4 lados de la misma medida. Podemos encontrar su área calculando la mitad del producto de sus diagonales.
A = Dd 2 Los cuadriláteros que no son paralelogramos pueden ser trapecios si enen sólo un par
de lados paralelos y trapezoides cuando no enen lados paralelos. En los trapecios se considera al lado paralelo con mayor longitud como su base mayor (B), el lado paralelo con menor longitu longitud d como su base menor (b) y la altura del trapecio (a) como la distancia entre las dos bases enton entonces ces podemos encontr encontrar ar el área del trapecio con la fórmula: A = (B + b) (a) 2 En un polígono regular regular,, el apotema es el segmento que va del centro del polígono al
punto medio de uno de sus lados. El área de cualquier polígono regular es la mitad del perímetro de la gura mulplicado por la apotema (el apotema es el equivalent equivalentee a la altura del triángulo).
Proporcionali Proporcionalidad dad y funciones Cuando dos razones son equivalentes , decimos que entre ellas existe una proporción. Una proporción es una igualdad entre dos razones: 3 = 6 4
8
Pr Producto oducto cruzado o regla de tres es un método que sirve para calcular un valor descono -
cido de una proporción directa, dados los otros tres valores. Por e jemplo, para para calcular el val valor or de x en: x 3 = 7
Hacemos
21 3 X7 x = = 1 21
Entonces :
1 3 = 7 21
Síntesis • Bloque 2
Evaluación
•
Evaluación Escribe tu respuesta en esta hoja. Realiza tus trazos y operaciones en una hoja aparte. Idenca qué operaciones enes que realizar realizar.. 1 Se quieren cortar 3 tramos de listón de 30, 45 y 60 m de largo respecvamente, de
tal forma que todos los tramos queden iguales y sean los más largos posible. ¿De cuántos metros conviene cortar cada tramo? 2 En una fábrica se debe limpiar el ltro de las máquinas. Una máquina requiere
mantenimiento cada 3 meses, otra cada 6 meses y la úlma cada 2 meses. Si hoy se dio mantenimiento mantenimiento a las 3 máquinas, ¿cuándo se volverá a dar mantenimiento simultáneamente a las 3 máquinas? 3 Encuentra tres números que sean divisibles entre:
a) 2 y 5
b) 3 y 5
c) 2 y 3
4 ¿Cómo se puede saber cuando un número es divisible ...
a) ...entre 2 ?
b) ...entre 3 ?
c) ... entre 5 ?
5 Describe con tus palabras la diferencia entre un número primo y un número compuesto. 6 Si un garrafón conene 5 2 de agua y se vaciar vaciaráá en botellas de 3 de litro, ¿cuántas 4
3
botellas podrán llenarse?
7 De una caja de detergente de 3 de kg se empleó 3 de kg. ¿Cuánto detergente 4
quedó en la caja? 8 Un rectángulo mide
su perímetro?
3 4
7
6 m de largo por 7 m. de ancho. ¿Cuánto miden su área y
9 Dene con tus propias palabras:
a) Mediatriz
b) Bisectriz
10 Construye un ángulo de menos de 90�, el que tú quieras y traza su bisectriz.
Describe brevemente los pasos que seguiste. 11 Traza un segmento de recta y sobre ella traza una mediatriz. Describe brevemente
los pasos que seguiste. 12 Ahora forme formen n 7 equipos con los compañeros del salón y hagan un sorteo de los 7
apartados de este bloque. Cada equipo, elabore un problema, ejercicio o situación didácca del apartado que les tocó y resuélvanlo. Muéstrenlo al profesor(a) para que revise, tanto el planteamiento del ejercicio como la solución. 14 Cada equipo, comparta al grupo el ejercicio que elaboraron para que se resuelva de
forma grupal. Compartan las diferentes estrategias de solución que uliza cada uno para
resolver los ejercicios planteados por los compañeros de clase. Evaluación • Bloque 2
BLOQUE 3
128
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido
Competencias que se favorecen: Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas ecientemente
EJES Aprendizajes esperados
• Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con fracciones y númenúmeros decimales. • Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x + a = b; ax = b y ax + b = c, c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Forma, espacio y medida
Manejo de la información
Problemas multiplicativos
Figuras y cuerpos
Proporcionalidad y funciones
• Resolución de problemas que impliquen la multiplicaci multiplicación ón de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.
• Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo
• Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores
• Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.
central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.
constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.
Patrones y ecuaciones
Medida
de las fórmulas para calcucalcu-
• Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma
• Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares.
lar el perímetro y el área de
x + a = b; ax = b; ax + b = c,
• Resuelve problemas que implican el cálculo de cualquiera de las variables
triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Explica la relación que existe entre el perímetro y el área de las guras.
Nociones de probabilidad • Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su vericación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.
utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.
Análisis y representación de datos • Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Si multiplico... ¿mi resultado es mayor o menor? s o v i t a c i l p i t l u m s a m e l b o r P TEMA
CONTENIDO: Resolución de problemas que implican la multiplicación de númenúmeros decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.
Realiza las operaciones necesarias para completar la siguiente tabla: Primer factor
r o t c a f o d n u g e S
x
1.25
4.8
1/1 =1
2.4567
0.234
0.008
5.123
23.2398
1/2 1/2 ==0. 0.5 5 1/3 1/3 ==0. 0.33 33
10 12.5 25.289 100 304.289
Vamos a considerar a los números de la hilera superior como tu primer factor en cada producto, los de la columna izquierda como tu segundo factor. • ¿En qué casos el producto obtenido es mayor que los factores? • ¿En qué casos el producto obtenido es menor que el primer factor? • ¿De qué depende que el resultado de un producto sea mayor o menor a sus factores? • ¿Qué caracteríscas debe tener un factor para hacer que el resultado sea mayor o menor que el otro factor? Mulplica 0.2 x 0.5 y responde: ¿el producto que obtuviste es mayor o menor que los factores?, ¿puedes explicar por qué?
129
130
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido
Problemas multiplicativ multiplicativos os
•
Ahora realiza las siguientes mulplicaciones:
x
1000
100
0.001 0.0001
Para resolver una
• ¿Qué es lo que sucede cuando mulplicas por diferentes potencias de 10?
mulplicación con dedecimales basta con mulplicar los factores sin considerar el punto decimal y colocar el decimal en el resultado, de tal manera que tenga el mismo número de cifras que la suma de las cifras de los decimales en los factores factores..
4.8 12.25
1/1 =1
10
1
0.1
0.01
1/2 ==0 0.5 1/3 ==0. 0.33 33
3567.2 0.475 1.009
• Si mulplicas por 1, 10, 100, 1000....¿qué sucede con el punto decimal? • Si mulplicas por 0.1, 0.01, 0.001....¿qué sucede con el punto decimal? Resuelve los siguiente problemas y verica veri ca si lo que has venido analizan analizan-do hasta ahora se cumple: 1
Calcula el área de un rectángulo que ene las siguientes medidas: Largo (metros)
Ancho (metros)
1.5
1.2
0.8
0.5
0.25
0.1
0.01
3.1
2.5
1.22
1.5
0.9
0.7
0.6
Área (m 2) 2 Cada 100 grs. de pan blanco te aporta 3.5 grs. de bra.
Gramos de pan
50
Gramos
100
150
25
200
230
3.5
de bra
3 El pan integral te aporta 7.5 grs. de bra por cada 100 grs.
Gramos de pan integral Gramos de bra
30
50
100 7.5
75
200
220
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
multiplicativos vos Problemas multiplicati
•
4 Un corredor tarda 0.8 minutos en dar la vuelta completa a la pista de carreras
Vueltas a la pista Tiempo (minutos)
2
4
1
0.5
0.25
0.375
0.8
• ¿Que sucede cuando mulplicas una candad por un número decimal mayor que 1? Explica tu respuesta • ¿Qué sucede cuando mulplicas una candad por un número decimal menor que 1? Explica tu respuesta.
Hagamos ejercicios: Los abogados cobran sus servicios por hora de trabajo. Si un abogado cobra $ 630 la hora de trabajo, ¿cuánto cobrará por atender un problema que le llevó 6.75 horas? 1
2 El papá de Fernanda es hojalatero. Cuando compra las placas de acero, las coloca una encima
de otra para que no se maltraten. Le ha pedido a Fernanda que le calcule la altura que tendrán las placas que recibirá esta tarde: doce placas de acero de 0.8 cm de espesor, 7 placas de 2.4 cm, 18 placas de 1.75 cm y 23 placas de 0.85 cm de espesor. ¿Qué altura ene el montón de placas? 3 El piso de la cocina de casa de Daniela y Mariano mide 3.30 metros de largo por 2.70 metros de
ancho. Su mamá quiere cubrir el piso con mosaicos cuadrados de 0.30 metros de lado. ¿Cuántos mosaicos se necesitan para cubrir el piso? 4 Si los Si los mosaicos que quiere comprar la mamá de Daniela vienen empacados en cajas de 30 pie -
zas, ¿cuántas cajas deberá comprar para que no le falte mosaico? ¿ le quedarán mosaicos sueltos para guardarlos por si se rompe alguno? 5 Si Si la la caja de mosaicos cuesta $232.95,
¿Cuánto le costará cubrir el piso de la cocina? 6 El azulejero que quiere contratar la mamá de Daniela y Mariano para que instale el azulejo en la cocina cobra $136.50 por metro cuadrado. ¿cuánto cobrará por instalar el azulejo de la cocina? El litro El litro de gasolina cuesta $7.72 el litro. El coche de Paola necesita 40 litros de gasolina para llenarse. ¿cuánto debe pagar Paola para que le llenen el tanque? 7
8 El precio
de la gasolina aumenta cada mes $0.03 , ¿cuánto le costará a Paola llenar su tanque el próximo mes? ¿ y dentro de 3 meses? 9 Lorena trabaja en una papelería. Hoy le llegaron 24 paquetes de 28 lapiceros cada uno. Si pagó
$6,552 por todos los lapiceros y quiere ganar $1.25 por lapicero, ¿en cuánto debe vender cada pieza? Si quisiera ganarle a cada pieza $3.50, ¿en cuánto debe venderlos? 10 Decidió nalmente vender en $15 cada lapicero, ¿cuánto le gana a cada uno?, ¿cuánto ganará
131
de la venta total de los lapiceros? 132
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido
¿Dónde ponemos el punto? n este tema vamos a trabajar con las divisiones de números decimales. Antes que nada vamos a recordar qué es lo que estás haciendo cuando divides.
E
Te vamos a pedir que en los ejercicios e jercicios qu quee vamos a trabajar dentro de este tema no ulices la calculadora. Irma
ene $115.50 pesos que quiere reparr entre sus dos hijos, Daniela y Mariano. ¿Cuánto dinero le tocará tocará a cada uno?
• ¿Qué operación debes hacer?
s o v i Resolución de t a c problemas que i l impliquen la p i t división de l u números decidecimales en distin- m s tos contextos a utilizando el m e algoritmo l convencional. b o r P
CONTENIDO:
• ¿Qué es lo que estás haciendo cuando divides? TEMA
La división puede verse como un reparto y se puede expresar matemámatemá camente de varias formas:
115.5 entre 2 = 2 115.5
= 115.5 2
La división ene varias partes cuyos nombres debes recordar para poder trabajar este tema. Galera Cociente 57.75 Divisor Dividendo 2 115.50
2 15 115 10 0
Residuo
Describe con tus palabras cada una de las partes de la división: Dividendo: Divisor: Cociente: Residuo:
Galera: Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
multiplicativos os Problemas multiplicativ
•
Cuando dividimos con números decimales se pueden presentar tres casos: Divisió n de un decimal entre un número natural * División * División de un decimal entre otro decimal * División de un natural entre un decimal En la primaria aprendiste cómo resolver las divisiones en estos tres casos, ¿recuerdas? Si en el divisor tenemos un número decimal, deci mal, tenemos que buscar la mane mane-ra de que se convierta en un número natural mulplicando por potencias de diez, diez, tanto el dividendo cómo el divisor. (moviendo el punto o aumenaumentando ceros). Si sólo enes decimal en el dividendo, entonces lo único que enes que hacer es subirlo en la misma posición al cociente para que tu resultado sea correcto. Ejemplo: Si queremos dividir 0.2457 entre 0.9, tenemos que:
0.2457 x 10 0.2457 = = 0.9 x 10 0.9
2.457 9
Si queremos dividir 111.8 entre 5.24:
111.8 5.24
=
111.8 x 100 = 5.24 x 100
11180 524
Es muy importante que también sepas expresar la división de forma inversa es decir, que “reconstruyas” el número que dividiste y lo expreses como una mulplicación. ACTIVIDAD 1
Realiza las siguientes divisiones y una vez resueltas completa la expresión que “reconstruye” tu división. 1
35 98.7
2.82 x
2
42 1589.28
42 x
3
9.82 1473
= 98.7 = 1589.28 x 9.82 =
Pero si tenemos residuo en la división, ¿cómo lo expresamos? Hay que tomar en cuenta la posición del residuo respecto al dividendo para saber si el residuo pertenece a las unidades, decenas, centenas o bien pertenece a los decimales y ubicar el punto decimal en el residuo de manera
133
correcta. 134
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido
Problemas multiplicativ multiplicativos os
•
Hagamos algunos ejemplos: ejemplos:
1
265.2 23 6101.3 150 2 1121 063 17
23 x 265.2 +
= 6101.3
¿Dónde debes colocar el punto decimal en el residuo?
residuo
2
12 68.7
12 x
+
= 68.7
3
7.6 0.1008
7.6 x
+
= 0.1008
4
5.2 11.8
5.2 x
+
= 11.8
5
0.3 177.7
0.3 x
+
= 177.7
Comenta con tus compañeros los resultados de tus operaciones. Ahora que ya recordamos las partes de la división y que conocemos conoc emos el proproceso de reversibilidad para reconstruir el número que dividimos, vamos a resolver algunos ejercicios.
Hagamos ejercicios: 1 Resuelve l as siguientes divisiones y reconstrúyel reconstrúyelas as para obtener el número que dividiste. Recuerda encontrar cuál es el residuo real de
acuerdo a los decimales que que enes en el cociente.
a
742.5 ÷ 34
d
9862 ÷ 51
g
6453.7 ÷ 5.2
b
9176.3 ÷ 35
e
674 ÷ 0.062
h
1026.6 ÷ 2.25
c
762.6 ÷ 43
f
713 ÷ 8.7
i
9.65 ÷ 0.68
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
multiplicativos os Problemas multiplicativ
•
Encuentra cinco divisiones diferentes diferentes en las que el cociente te de igual a 4.82 y que su residuo sea cero. 2
Encuentra entre qué numero enes que dividir 154.08 para que el cocociente sea 42.8. 3
Paloma compró en el mercado una bolsa de manzanas que pesa pe sa 2.07 kg. Si cada manzana pesa 0.23 kg, ¿cuántas manzanas hay en la bolsa? 4
Renata quiere comprar refrescos para su esta de cumpleaños. En la enda de la esquina le venden 6 refrescos de un litro por $49.50 y en el supermercado hay una promoción y en la compra de 6 refrescos de un litro por $66.40 le regalan dos refrescos más. ¿Le conviene aprovechar la oferta del supermercado? 5
6
Ipanema, la hermana de Renata le dice que no compre así los refrescos,
que en la Central de abastos vio dos ofertas: en una ofrecen 4 botellas de litro y medio por $87, la otra oferta ofrece 1 botella de 750 ml por $12. • ¿Cuánto vale el litro de refresco en cada una de las ofertas? • ¿Cuál de las 4 ofertas le conviene más? (considerando también las dos ofertas del problema 6) Pilar compró para su despensa un paquete que conene 5 bolsas de dulces. Si el paquete paquete pesa 1.265 kg, kg , ¿cuánto pesa cada bolsa de dulces? 7
Ahora es tu turno, plantea problemas con los siguientes datos.
Plantea un problema que se pueda resolver con una división en la que el resultado sea 3.4 8
Plantea un problema que se pueda resolver con una división en la que el dividendo sea 1143.28 9
135
136
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido
Hagamos disfraces...
E
n la etapa propedéuca de tu libro, trabajamos con los disfraces, ¿recuerdas? Los disfraces son diferentes formas de representar un número de tal manera que a simple vista vi sta no lo podamos reconocer.
Rep resenta con tus regletas los siguientes disfraces y encuentra qué número está disfrazado en tu representación. 1
2r + 4v + 5b =
2
2A – c + 2V =
3
5b + N – 3r =
4
1 1 2 de c + 4 de R =
Hay ocasiones en las que nos dicen qué número está disfrazado, pero se nos perdió parte del disfraz. Supongamos que disfrazamos al número 14, pero que se nos perdió una parte de su disfraz: Tenemos que 2r +
+ 2v= N + R
Representemos esto con regletas:
N r
Si 2r +
R
r
v
v
+ 2v = N + R
Entonces 2( ) +
+ 2( ) = 10 + 4 +
+
= 14
Para obtener el valor que falta, ¿qué vamos a hacer? Busca una regleta que llene ese espacio vacío en tu representación.
CONTENIDO:
s e n o i c a u c e y s e n o r t a P
Resolución de problemas que impliquen implique n el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números TEMA naturales, decimales o fracciofraccionarios.
• ¿Qué regleta fué? Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Patrones nes y ecuaciones Patro
•
Representa con regletas los siguientes disfraces y encuentra el valor faltante: 1
3N + 3b +
= 40
2
6V + a2 +
= 56
3
1 de 9N + 6
= 30
Recuerda que para toda operación siempre hay una operación inversa que deshace la operación que hiciste. • ¿Cuál es la operación que deshace la suma? • ¿Cuál es la operación que te deshace la resta? En el tema 7 del bloque 1 de este libro, trabajamos con proporcionalidad, y veíamos que para encontrar el número que falta en una proporción ulizábamos los productos cruzados. ACTIVIDAD 1
Una ecuación es una
igualdad que conene candades desconocidesconocidas, por ejemplo:
En los ejercicios siguientes encuentra el valor faltante en las siguientes proporciones.
1
8 = 72 189
2
30 = 8 120
3
= 13 96 104
4
1 = 4 16
Con base en la forma en que resolviste estos ejercicios, ulizando produc tos cruzados, ¿puedes deducir entonces cuál es la operación opuesta a la división? • Y entonces, entonces, ¿cuál es la operación que deshace la mulplicación?
x + 6 = 20 Ya habíamos hablado también cuando trabajamos en juscación de fórfórmulas, que a estos valores que desconoces y que estamos estamos representando con podemos asignarle una letra, a la que llamamos literal, y así no tenemos que estar trazando en cada paso de nuestra operación. Así por ejemplo si tenemos un disfraz o equivalencia:
137
8c + 138
= 100
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido
Patro Patrones nes y ecuaciones
•
Lo podemos representar como 8c + x = 100 100 Un poco más sencillo, ¿no? Ahora para resolverlo, debes sustuir el valor de la regleta café dentro de tu operación: 8(8) + x = 100
La incógnita es el sím-
bolo literal cuyo valor se desconoce. Generalmente se denotan a la incógnita usando las úlúlmas letras del alfabeto:
64 + x = 100 Y así encontramos fácilmente el valor de x
t, u, v, x, y, z.
Se dice Se dice que encontramos la “solución” a la ecuación cuando a través de aplicar las operaciones inversas adecuadas dentro de la operación, enen contramos el valor de la incógnita, de tal forma que si sustuyes el valor que encontraste en la ecuación, la igualdad se cumple. cumple.
Una literal es una magnitud o medida desconocida que se representa con una letra
Creando y diseñando Fíjate muy bien en las siguientes situaciones que se te plantean. Completa la tabla con los datos que se te piden de acuerdo a cada situación para que puedas construir una ecuación que la resuelva. Número
de lados
Situación problemáca Nombre
A un número le sumé 2 y el resultado fué 17
A un número le resté 17 y el resultado fué 23 A un número le sumé 5 y luego le resté 20. El resultado fué 50 A un número lo mulpliqué por 2 y le sumé 7. El resultado fué 21 A un número lo mulpliqué por 3 y le resté 9. El resultado fué 9 A un numero lo mulpliqué por 8 y le resté 48. El resultado fué 0
Ecuación
¿De qué número
se trata?
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Patrones nes y ecuaciones Patro
•
Ahora vamos a hacerlo al revés, te damos la ecuación y tú nos dices la situación problemática: problemática: 1
3x + 9 = 42
2
x + 13 -25 = 28
3
6x – 11= 37 Vamos a trabajar en parejas. Júntate con un compañero y plantéale una si tuación problemáca similar a las que hemos estado trabajando para que él establezca la ecuación y encuentre el resultado. Analiza la ecuación que planteó tu compañero para ver si interpretó correctamente lo que le planplan teaste. Tomen turnos para dictar la situación problemáca y escribir la ecuación.
Mantengamos el equilibrio de nuestra balanza Seguramente alguna vez has visto una balanza. Hay de muchos pos, tamatama ños y modelos. La balanza que nos interesa en esta ocasión es la balanza de plallos que consiste en dos plallos que cuelgan paralelamente de dos brazos. Para que una balanza se mantenga en equilibrio debe de tener en ambos plallos objetos que pesen lo mismo, de lo contrario, el plallo que ene más peso se va hacia abajo, perdiendo el equilibrio de la balanza. Las ecuaciones que construiste, están en equilibrio y el signo de la igualdad es la que te marca el punto de equilibrio. Esto es que lo que enes de un lado del signo de igual, vale o pesa lo mismo que el otro lado. Por ejemplo: 3 + 8 = 11 11 Signica que en un plato enes 3 + 8 y que del otro lado enes 11. Ambos platos ene el mismo peso, así que lo que hagamos en un plato, lo debemos hacer en el otro para no desequilibrar la balanza. Supongamos que en una balanza tenemos colocados tres números en un plato y dos en otro, y que la balanza se manene en equilibrio. Llena los espacios en blanco de la siguiente suma para que la balanza se mantenga en equilibrio.
+
+
=
+
Hay varias respuestas para para esta situación, todas ellas correctas siempre y
139
cuando se mantenga el equilibrio. 140
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido
Patrones ones y ecuaciones Patr
•
Pero... ¿y si tengo incógnitas? Pero... Para trabajar en esta acvidad vamos a construir tus regletas incógnita. En un trozo de cartulina (puede ser cartoncillo, papel de colores o fomi) traza ras de 1 cm de ancho por el largo que tú quieras (pero que no se pase de 10 cm). Recorta tus ras, pues te van a servir para representar la incógnita (x, y o cualquier otra) a parr de ahora. Ahora vas a ulizar una hoja de cenmetro cuadrado de “Mi cuaderno de registro CIME”, como si fuera un plato de tu balanza. Así que si te juntas con un compañero, podemos tener los dos platos y podremos empezar a trabajar. Recuerda…….el secreto de todo está en el equilibrio…..no lo pierdas de vista. Equilibrio
Representa con tus regletas
x
x+4=8
R
c
=
Si quitas una regleta rosa de un plato, ¿qué enes que hacer en el otro para que la balanza quede equilibrada?
x
R
R
=
x+4-4= 8-4
R
Quitamos 4 de cada lado Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
•
Patrones es y ecuaciones Patron
x
R
=
x = 4 Comprobamos: x + 4 = 8 4 + 4 = 8 Resolvamos otro ejemplo:
8 + 2x = 18
c
N
x x
c
=
¿Pasa algo si quitas 8 de cada lado?
8 + 2x -8 = 18 - 8 2x = 10 N
x x
=
¿Podemos dividir lo que hay en cada lado de la igualdad en dos partes iguales?
2x
10
141
2 142
2
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Patrones ones y ecuaciones Patr
x x
•
a a
=
x = 5 Comprobamos: 8 + 2x
= 18 8+2 2(5) (5) = 18 8 + 10 = 18
Hagamos ejercicios Resuelve los siguientes ejercicios. Si es necesario, uliza tus regletas para representar las
ecuaciones y resolverlas. 1 3x
= 12
2
x +6 = 8
3
2x + 7 = 15
4 28
+ x = 75
5 90
= x – 26
Escribe la ecuación que corresponde según el planteamiento del ejercicio:
La edad de Paulina es de 14 años. Su hermanita Luna es 6 años menor que ella. ¿Qué edad ene Luna? 1
La La suma suma de las edades de Mónica y Andrea es 20. Si Andrea ene 10 años, ¿qué edad ene Mónica? 2
Lo que sucede es que Mónica y Andrea son gemelas, por eso enen la misma edad, pero si sumamos la edad de Mónica Móni ca con la de Andrea y con la de su hermanito hermani to César, entre los tres suman 26 años. ¿Qué edad ene César? 3
Ana Ana compró un terreno rectangular de 74 m 2, si sabemos que el largo del terreno es 13 m mayor que el ancho, ¿cuánto mide de largo y de ancho el terreno? 4
5
la suma de tres números enteros consecuvos es 9, ¿cuáles son esos números?
6
La suma de tres números pares consecuvos es 18, ¿cuáles son los números?
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Muchos lados CONTENIDO: s o p r e u c y s a r u g i F
Construcción de polígonos regularess a partir regulare de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la TEMA circunferencia
E
n este tema trabajaremos con muchas guras que construiremos en tu geoplano circular. Recuerda que si requieres registrar alguno de los ejercicios, puedes ulizar las hojas de registro circular de “Mi cuaderno de registro CIME”.
Toma tu geoplano circular y construye un triángulo colocando uno de sus vérvérces en el pivote central. ¿Cuánto mide el ángulo que se forma en el pivote central? Regístralo en el geoplano A y nosotros construiremos una gura similar a la tuya en el geoplano B, pero deben quedar diferentes.
y el polígono inscrito en ella.
Geoplano A
Geoplano B
El vérce es el punto
caracterísco de una gura geométrica donde se intersectan dos lados o varias (dos o más) aristas.
A
A=
A = 45o
Ya sabes que los ángulos internos de un triángulo suman 180 o, así que como el triángulo es isósceles, y conocemos uno de sus ángulos podemos encontrar la medida de los otros ángulos que lo forman (lo trabajamos cuando vimos ejes de simetría)
143
144
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Figuras y cuerpos Geoplano C
•
Geoplano D
A B B
A =
B =
A = 45o
B = 67.5o
Ahora, apoyándote en uno de los lados del triángulo D, construye otro, pero de diferente tamaño. Geoplano E
Geoplano F
C A B B
C =
C = 90o
Vuelve a medir sus ángulos. Geoplano G
Geoplano H
D
C D
A
B B
C =
D =
C = 90o
D = 45o Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Figuras y cuerpos
•
Un polígono es una gura plana cerrada delimitada por segmentos de recta que no se cortan entre ellos. Cada uno de los segmentos de recta es un lado del polígono y el punto donde se intersectan dos lados consecuvos del polígono se llama vérce.
Connúa Connúa construyendo triángulos hasta que completes la circunferencia y te haya quedado una gura cerrada. En cada triángulo, ve marcando cuánto miden sus ángulos. Geoplano I
Geoplano J G
D
G I F
C D B
A B
Mide tus ángulos:
L
M
A = 45o
I
H
K
J
M
K
B = 67.5o
C = 90o
D = 45o
F = 60o
G = 60o
H = 30
I = 75o
J = 75
o
o
L = 60
o
K = 52.5o M = 60o
La gura cerrada que te quedó formada se llama polígono polígono.. La palabra polígono viene del griego poli (muchos) (muchos) gonos (ángulos). O sea muchos ángulos, ¿te parece una forma apropiada para nombrar la gura? Polígonos hay muchos en la naturaleza, toda gura cerrada formada por varios lados rectos y varios ángulos se llama polígono. ACTIVIDAD 1
En tu geoplano coloca ligas como se indica en los siguiente geoplanos, construye los polígonos correspondientes correspondientes y calcula llaa medida de sus ángulos.
1
2 Mide tus ángulos:
Mide tus ángulos:
A= E
D
A
B
A=
B=
C
C=
D
C D=
B
B= A
E
C= D=
145
E=
146
E=
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Figuras y cuerpos 3
•
Mide tus ángulos: A = B= E D C F A B
C= D=
El ángulo central en una circunferencia, es aquel que ene su vérvérce en el centro de la circunferencia y cuyos lados son dos radios.
E= F =
Los ángulos internos Se llama ángulo central de central de un polígono al ángulo que forma cada uno de sus lados con el centro de la circunferencia en la que está inscrito. Se llama ángulo interno al interno al que se forma en cada uno de los vérces del polígono y es la suma de los ángulos de los triángulos cuyos vérces se unen en ese punto. Ángulos centrales: D E B
C A
B
A = 75o C = 60o Ángulo de los triángulos: B = 52.5o D = 60o Ángulo interno: B+ D E= = 52.5o + 60o = 112.5o
En cada uno de los polígonos con los que estuvimos trabajando desde el principio unidad, marca con un color los ángulos centrales y con otro colorde losesta ángulos internos. Calcula la medida de todos los ángulos internos. En los siguientes geoplanos calcula los ángulos centrales y los ángulos internos de cada polígono. 1
Ángulos:
de un polígono son los que se forman en cada uno de los vérces del polígono.
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Figuras y cuerpos
•
2
Ángulos:
Hasta aquí hemos estado construyendo polígonos, pero irregulares, es decir que enen sus lados y sus ángulos internos de diferentes medidas.
Observa muy bien los polígonos que has construido y vamos a ubicar sus partes:
Cuando un polígono ene todos sus lados y todos sus ángulos iguales se llama polígono regular. Es decir, un polígono es regular si es equilátero y equiángulo a la vez.
Coloca los nombres de cada una de las partes del polígono donde corresponde. Ángulo interno:
Lado:
Ángulo central:
Vérce:
Muchos lados... pero todos iguales Los polígonos que construías en la primaria, son los polígonos regulares, sus lados y sus ángulos internos son iguales. Se dice que un polígono es regular si es equilátero (que todos sus lados son iguales), equiangular ( si todos sus ángulos son iguales). También se dice que es cíclico si todos sus vérces están sobre una circun-
147
148
Eje: Forma, espacio y medida Eje: Forma,
Figuras y cuerpos
•
ferencia...precisamente estos pos de polígonos son los que construías en la primaria. • ¿Recuerdas cómo los construías?
Vamos a trabajar en tu geoplano y construir todosene los polígonos regulares que se puedan hacer encircular él. Como tu geoplano 24 pivopivo tes, los polígonos regulares son los que corresponden a los divisores del 24, pues de otra forma el polígono sería irregular. Comienza a trabajarlos, regístralos en las hojas de registro circular de “Mi cuaderno de registro CIME” y responde en cada caso lo que se te indica en la siguiente tabla.
Nombre
Número
de lados
Número de triángulos que se forman dentro
Medida del ángulo central
Nombre
Triángulo equilátero
4.8 Cuadrado Hexágono Octágono Dodecágono Ikosakaitetrágono
24
Estos son los polígonos regulares que puedes hacer en tu geoplano, pero hay muchos polígonos regulares que NO puedes hacer en él porque los pivotes no se adaptan al número de lados: pentágono, heptágono, eneáeneá gono o nonágono y muchos más.... Fíjate bien en los polígonos que construimos, ¿qué fué lo primero que hicimos?, ¿qué ángulo fué el primero que medimos? Pues vamos a tratar de seguir los mismos pasos y construir un poligono de diez lados, te parece?, se llama decágono. Su ángulo central es de 360o / 10 = 36o Te vamos poniendo los pasos y tú los vas describiendo:
Medida del ángulo interno
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
•
Figuras y cuerpos
Paso 1
36o
Paso 2
36o
Paso 3
36o
Paso 4
36o
Paso 5
149
150
Eje: Forma, espacio y medida Eje: Forma,
Figuras y cuerpos
•
Te placamos algo interesante: El polígono con menor número de lados es el triángulo. triángulo. Ya habíamos dicho que la palabra polígono vieviene del griego y que signica poli (muchos) (muchos) gonos (ángulos).
Pero jate en el cuadro que te mostramos a conconnuación para que veas cómo cómo se llaman los polígonos de 3 hasta 19 lados. Para saber cómo se llama un polígono de más de 20 lados hasta 99 lados, te damos las raíces griegas y tú construyes el nombre: cuentas el número de lados, combinas los prejos de decena y unidades unidos con la raíz kai y la terminación gono: Un polígono de 30 lados se llama triacontágono, mientras que el de 63 lados se llama hexaconhexacontakaitrígono. ¡Parece trabalenguas!
Decenas
20 30 40 50
IcosaTriacontaTetracontaPentaconta-
60 70 80 90
HexacontaHeptacontaOctacontaEneaconta-
y
- kai -
Unidades
1 2 3 4 5
- hená - dí - trí - tetrá - pentá -
6 7 8 9
- hexá - heptá - octá - eneá -
Nú Núm mero de lados
Nom No mbre del polígono
3 4 5
Triángulo Cuadrilátero Pentágono
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Hexágono Heptágono Octágono Eneágono o Nonágono Decágono Endecágono Dodecágono Triskaidecágono Tetradecágono Pentadecágono Hexadecágono Heptadecágono Octadecágono Eneadecágono
Terminación
- gono-
Al polígono de 100 lados se le llama hectágono...
Así que ahora ya sabes los nombres de todos los polígonos hasta 100 lados. No todos los nombres de los polígonos que empleamos siguen la regla. Ej: el triángulo y el cuadrilátero. • ¿Cómo crees que deberían llamarse el triángulo y el cuadrilátero siguiendo la rregla egla antes mencionada? El simple nombre de un polígono nos da información sobre el número de ángulos que ene, pero, siempre decimos que un pentágono es una gura de cinco lados, que un hexágono es una de seis lados y, en general, que un polígono es una gura de muchos lados y no estamos diciendo ninguna menra. • ¿Crees que en todos los polígonos el número de lados coincide con el número de ángulos?
• ¿Por qué crees que ocurre así? Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
“Maestro, ¿y esto para qué me va a servir?” CONTENIDO:
a Resolución d i de problemas d e que impliquen M calcular el TEMA
perímetro y el área de polígonos regulares.
S
eguramente varias veces le has preguntado a tus maestros de matematemácas que para qué te va a servir lo que te están enseñando. En este tema vamos a encontrar usos y aplicaciones de lo que hasta ahora has venido aprendiendo. aprendiendo. Los ejercicios y problemas los puedes resolver tú solo o en equipos, ustedes decídanlo, lo importante es que conozcan las diferentes aplicaciones de lo que has aprendido. Comencemos…
Hagamos ejercicios El siguiente geoplano geoplano te muestra muestra el diseño de un vitral. vitral. Calcula el área de cada uno de los triángulos y trapecios que encuentres en él. 1
H
2 Si cada u2 de tu geoplano equivale a 4m2 de vidrio, ¿Cuántos meme-
tros cuadrados de vidrio requiere cada gura?
G
E A
B
C
D
F
Colorea el vitral como se te pide: los triángulos A y D de rojo, los triángulos B y C de azul, los trapecios H y F de amarillo y los trapecios G y E de naranja. De acuerdo al color de cada vidrio, cuántos metros cuadrados se rere quieren comprar de cada color para poder construir el vitral? 3
4 Los Los pigmentos con los que se pinta el vidrio, varían su precio de acuerdo
al color. Hay colores que son más caros que otros. El costo del vidrio templado que se requiere para este este vitral es de $300 m2 en azul, $335 en amarillo, $372 en naranja y $ 402 en rojo. ¿cuánto hay que inverr en vidrio de cada color para el vitral?, ¿cuánto hay que inverr en total para hacer el vitral?
151
152
Eje: Forma, espacio y medida Eje: Forma,
Medida
•
5 La La constructora constructora para para la que trabaja Jorge ene a la venta los siguientes terrenos. terrenos. Como el fraccionafracciona-
miento quiere conservar lo más posible de áreas verdes, en cada uno de los terrenos se marca con un área sombreada lo que está permido construir.
a
b
c
d
e
Calcula en cada uno de los terrenos, el área total. El área que se debe de dejar como reserva natural y el área perper mida para construir. Como todos los terrenos requieren ser bardeados, calcula la medida de las bardas. 6
7 Si cada cm de tu gura equivale a 8.5 m en el terreno calcula tamb también ién el área y el perimetro de cada
gura en metros. 8 El metro lineal de barda cuesta $ 672 y el metro cuadrado cuadrado de terreno cuesta $1200. Calcula el costo de cada terreno.
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
•
Medida
En el acceso del fraccionamiento Jorge propone que se construya una fuente con la siguiente forma. 9
El área sombreada es la que ocupará la fuente y el resto jardín. Calcula el área terre terrenodel queterreno se debetendrá de dejar en la entrada paradel la fuente y el jardín.
10 Si el metro cuadrado de pasto en rollo cuesta $57, calcula el costo del paspas-
to que rodeará la fuente.
Ramón construyó en su jardín un cuarto especial para guardar las cosas que no usa mucho en su casa como las herramientas, las bicicletas, adornos de temporada, etc. Lo quiere pintar, pero necesita calcular cuánta pintura necesita. Como lo construyó al fondo de su terreno, la forma del cuarto es un poco especial. 11
3m
Fondo Lateral
Lateral 3m 4m 5m
Frente
Calcula cuántos m2 enen las paredes laterales, la pared de fondo y la de frenfrente para calcular la supercie que hay que pintar. Si cada galón de pintura le rinde aproximadamente 8m2 , ¿cuántos galones necesita comprar para que la pintura le alcance?
153
154
Eje: Forma, espacio y medida Eje: Forma,
Medida
•
Ahora es tu turno Vamos ahora a ver que tu diseñes tres problemas, puedes trabajar en parejas o en equipos si así lo desean para que después compar compartan sus problemas con sus compañeros. 12 El diagrama que ves en el geoplano de la l a derecha, es de un te te--
rreno. Redacta un problema problema en el que involucres qué se va a hacer en el terreno y tengas que calcular su área.
13 Redacta un problema donde tengas que trazar un paralelogramo, el que
tú quieras y calcula su área y perímetro. 14 Construye un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 12 y 16 cm y en
base a él inventa un problema.
Construye un rombo cuya diagonal mayor mida 2.5 cm y su diagonal menor mida 2 cm. Una vez que lo hayas construido calcula su área y su perímetro. 15
Redacta una situación problemáca en la que involucres la gura del ejercicio 15, tomando en cuenta tanto su área como su perímetro. 16
17 Un terreno de forma rectangular ene un área de 1400 m 2. Si sabemos
que uno de sus lados mide 130 m de largo, ¿cuánto mide el otro lado?
18 Calcula el perímetro del terreno del ejercicio anterior. anterior.
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
¡No queda al tamaño! s e n o i c n u f y d a d i l a n o i c r o p o P r
CONTENIDO: Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.
A
la abuela Elia le regalaron una foto de todos sus nietos. Su hija Ana le regaló un marco muy grande para que pusiera ahí la foto. Llevaron la foto con el fotógrafo fotógrafo para para que se la ampliara al doble de tamaño. Si la foto original mide 9 cm por 12 cm, ¿de que tamaño quedará una vez que esté ampliada?
TEMA
Cuando llegó a su casa con la ampliación, se dió cuenta de que era demasiado grande para el marmarco en el que la quería poner y quiso recortarla, pero si la recortaba, tres de sus nietecitos quedarían fuera y la idea no le gustó. Cuando el abuelo Guillermo, su esposo que es ingeniero vió la foto y el marco, le dijo: “ No te preocupes, Elia, vamos con el fotógrafo y le pediremos ahora que a esta nueva fotograa le haga una reducción de 5/6”. Cuando llegaron a casa con la reducción se dieron cuenta que así, la foto quedaba perfecta en el marco. • ¿Cuánto mide de ancho la úlma fotograa? • ¿Cuánto mide de largo?
155
156
Eje: Manejo de la información Eje: Manejo
Proporcionalidad alidad y funciones Proporcion
•
La abuela Elia le pregunta a su esposo: “Guillermo, ¿qué debí de haberle pedido desde el principio al fotógrafo para que la foto quedara bien en el marco?” • ¿Cuál es la proporcionalidad de la foto que está ahor ahoraa en el marco respecto a la foto original?
Todos queremos hacer lo mismo.... Cuando Gaby, la hija de la abuela Elia vio la foto le dijo: “ ¡Que bien quedó la foto en el marco, marco, mamá!, ¿cómo le hiciste? Yo tengo varias fotos que quiero poner en marcos pero nunca me quedan bien al tamaño”. “No sé, hija” - respondió Elia - “el que me ayudó a hacerlo fue tu papá. Trae tus fotos y vamos a preguntarle”. Gaby llevó una de sus fotos a su papá y le dijo: “ Mira papá esta foto de mis hijos, no sé qué tamaño debo pedirle al fotógrafo, para que quede en este marco”. La foto La foto original mide 20 cm por 10 cm y Gaby la había llevado con el fotó grafo para que le sacara una una ampliación a 6/5 de sus medidas medidas originales, per pero o no quedó en el marco. A la segunda fotograa, le mandó a hacer otra ampliación a 4/3 de su tamaño y tampoco quedó bien. El abuelo Guillermo le sugiere a Gaby que ahora, a la tercera foto le haga una reducción a 5/8 y que seguramente quedará muy bien en el marco. Vamos a llenar un cuadro con todo lo que se le ha hecho a la foto:
Foto Foto original Primera copia
Escala
Segunda copia
6/5 4/3
Tercera copia
5/8
Largo
Ancho
20
10
Finalmente la foto ya quedó en el marco. • ¿Qué tenía que haberle hecho Gaby a la foto foto original para que desde un principio quedara del tamaño adecuado?
Eje: Manejo de la información Eje: Manejo
•
Proporcionalidad Proporciona lidad y funciones
¿Qué hacemos para que alcance para todos? Paola está de visita con su abuela Tere y mañana quiere desayunar panquecitos hechos en casa. En Paola la enda de abarrotes venden una harina preparada para panquecitos, así que Paola irá a comprar los ingredientes. En la caja de los panquecitos vienen escritos los ingredientes necesarios y las candades en una tabla como la siguiente. Candad
Harina preparada
Leche
Huevo
Mantequilla
6 panquecitos
1 taza
3/4 de taza
1 pieza
1 cucharada
12 panquecitos
2 tazas
1 y 1/2 tazas
2 piezas
2 cucharadas
24 panquecitos
4 tazas
3 tazas
4 piezas
4 cucharadas
De acuerdo a esta información Paola debe de comprar los ingredientes. Paola quiere preparar más panquecitos de los que indica la receta, pero como no sabe cuántos quiere preparar, su abuela Tere le propone que haga otra tabla como la de la caja y así calcule los ingredientes ingredi entes para varias candades: Candad
Harina preparada
Leche
Huevo
Mantequilla
30 panquecitos 18 panquecitos 48 panquecitos
• ¿Qué factor de proporcionalidad ulizaste en cada caso? Comenta los resultados que obtuviste con todos tus compañeros, argumenta tus resultados.
¿Podemos hacerlo en un solo paso? 1 Otra foto mide 10 cm de largo por 6 cm de ancho. Si se amplía al triple y después se reduce la mitad, ¿de que tamaño queda? Tenemos un triángulo de 3cm, 4cm y 5cm de lado. Se reprodujo primero a una escala de 2/3 y a ese nuevo triángulo, se reprodujo a una escala de 1/3. Si hubiéramos hubié ramos querido llegar directamente a éste úlmo triángulo, ¿qué escala deberíamos haber aplicado al primer triángulo? 2
Tenemos un triángulo rectángulo de 3.3 cm, 4.3 cm y 5.42 cm por lado. Construye el triángulo y amplicalo dos veces consecuvas con un factor de proporcionalidad de 3/2. Calcula Calcul a el área y el perímetro del triángulo original y las dos amplicaciones. 3
A=
A1 =
A2 =
157
P= 158
P1=
P2 =
Eje: Manejo de la información Eje: Manejo
¿Qué crees que salga?
V
amos a realizar estas acvidades en parejas. Tomen una bolsa de tela o de plásco que sea oscura, es decir que no puedan ver lo que hay dentro de ella. Tomen diez regletas negras y diez regletas café y métanlas en la bolsa. Por turnos, cada uno de ustedes saquen una regleta sin ver el color, al azar y registren en la siguiente tabla de qué color salió la regleta. Devuelvan la regleta que sacaron a la bolsa y vuelvan a hacer lo mismo hasta que hayan registrado 15 resultados. Anota una X en el espacio correspondiente a cada resultado: Tabla 1:
CONTENIDO: Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su vericación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.
d a d i l i b a b o r p e d s e n o i c o N TEMA
Extracción número
1
2
3
4
5
6
7
8
Regleta café
Regleta negra
Extracción número
9 10 11 12 13 14 15
Regleta café
Regleta negra Vamos ahora a comparr nuestra tabla con cuatro parejas más de compacompa ñeros de tal manera que con los datos de tu equipo y los de las parejas que vas a comparr se pueda llenar la siguiente tabla: Tabla 2:
Número
Equipo
de intentos
1 2
15 15
3
15
Regleta café
Regleta negra
4 5
15 15 Manejo Eje: Eje: Manejo Manejo de de la la información información Eje: Manejo Eje:
•
Los experimentos aleatorios son aquellos que tras reperreperse varias veces bajo idéncas condiciones, no es posible predecir el resultado. También se conoce como fenófenó meno aleatorio aleatorio..
El espacio muestral de un evento aleatorio consiste en el conjunto de todos los posibles resultados de ese evento, de tal forma que a cada resultado le corresponda un elemento o punto del espacio muestral y a cada elemento del espacio muestral le corresponda un resultado.
Nociones de probabilidad
A este po de acvidades les llamamos experiencias o experimentos
aleatorios, ya que no podemos saber cuál será el resultado nal, pero sí aleatorios, podemos denir cuál será el resultado posible. Registrar toda esta información en tablas tablas como las que acabas de llenar, nos puede ser muy úl para obtener cierta información. • ¿Cuál es el espacio muestral de la acvidad que acabas de realizar? Dentro de nuestro espacio muestral existen sólo dos opciones: que salga una regleta negra o que salga una regleta café. A los elementos que están dentro de nuestro espacio muestral y que cumplen con una condición que se desee obtener se les llama resultados favorables . Si yo quiero que me salga una regleta café, de todo mi espacio muestral, sólo puedo obtener un resultado favorable: café. Pero si me da igual de qué color salga mi regleta, entonces tengo dos resultados favorables: café y negra. De acuerdo a lo que vimos en el tema anterior, anterior, ¿puedes obtener obtener la fre fre-cuencia absoluta del experimento que realizaste en pareja? (tabla 1) • ¿Y la frecuencia relava para la regleta café?, ¿y para la regleta negra? Encuentra también la frecuencia absoluta y las frecuencias relavas de la tabla que llenaste con los demás equipos. (Tabla 2)
Sacamos ahora de dos en dos Volvamos a trabajar en parejas y con la misma bolsa de regletas cafés y negras. Vamos a cambiar ahora la dinámica y vamos a sacar dos regletas en cada turno, pero no las sacaremos juntas, sino una primero y otra después. El espacio muestral de este experimento ya no va a ser el mismo, ya que tendremos dos regletas que pueden quedar representadas en una tabla, en la que registraremos las posibles opciones: En la columna ubica la primera regleta que sacas y en la la la segunda: Tabla 3:
Regleta Negra
Negra
Café
159 159
Café 160
Eje: Manejo de la información Eje: Manejo
Nociones de probabilidad
•
Completa la tabla y encontrarás las posibles combinaciones combinac iones de regletas que denen tu espacio muestral. • ¿Cuántas ¿Cuántas opciones ene ahora tu espacio muestral? muestral? • ¿Cuáles son? Realiza Realiza ahora el experimento sacando dos regletas, una primero, otra después y llena la tabla Tabla 4: Experimento
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
negra - negra negra - café café - negra café - café
Con los datos de la tabla que llenaste encuentra la frecuencia absoluta y las frecuencias relavas para cada combinación de regletas.
¿Qué probabilidad hay? En esta ocasión vamos a trabajar de manera individual aunque también pueden trabajar en parejas. Divide tu geoplano Didacta circular circul ar en seis partes iguales como se te mues mues-tra y numéralas del 1 al 6. (No pintes tu geoplano, coloca una equeta o un papelito con cinta para que no se mueva).
6 5 4
1
3
2
Eje: Manejo de la información Eje: Manejo
Nociones de probabilidad
•
Ahora toma una regleta blanca o un dado y lánzala sobre tu geoplano para ver en qué numero cae. • Al lanzar la regleta, ¿cuántos posibles resultados enes? • Entonces, ¿cuál es tu espacio muestral? Empieza a hacer lanzamientos y registra en la siguiente tabla el resultado de 20 lanzamientos. Establece la frecuencia absoluta y las frecuencias relavas de cada número. TIROS Resultado
1
2
3
4
5
6 7 8
9
10
11
12
13
14
15
1 2 3 4 5 6
* Frecuencia absoluta: * Frecuencias relavas: La probabilidad es
una forma de medir la posibilidad de que un evento ocurra.
En el caso de la ruleta que hiciste ¿cuántos son los posibles resultados que te ofrece tu espacio muestral? Signica entonces que tenemos 6 casos posibles de resultado. • ¿Cuántos posibles resultados favorables hay para para cada número?
Se llama frecuencia absoluta al número de
veces que aparece un vavalor en un intervalo dado en una tabla de datos. Con las frecuencias de los diferentes intervalos de los datos se elabora la tabla de frecuencias.
La probabilidad probabilidad es una de las ramas más importantes de las matemácas y se le han encontrado muchas aplicaciones en la ciencia, en la economía y en el comercio. Como muchas veces no es posible examinar todos los comportamientos que va a tener una determinada situación, se eligen unas cuantas y se establecen como muestra. En el caso de nuestra ruleta, todos los números enen igual posibilidad de ocurrir entonces tenemos que la probabilidad de que un evento ocurra es la razón que existe entre el número de resultados favorables y el número
161
de resultados posibles.
162
Eje: Manejo de la información Eje: Manejo
Nociones de probabilidad
•
Es decir: Resultados favorables del evento x Resultados posibles
P (x) =
De acuerdo con esto responde:
La frecuencia relava
regleta caiga en el 6? • ¿Qué probabilidad hay de que la regleta
es la relación que existe
• ¿Que probabilidad hay de que caiga en 3 ó 4?
entrey un especí co la evento frecuencia ab-absoluta.
• ¿Que probabilidad hay de que no caiga un 5? • ¿Qué probabilidad hay de que el resultado sea menor que 4? • ¿Que probabilidad hay de que el resultado sea mayor o igual que 3? • ¿Qué probabilidad hay de que el resultado sea un número par? • ¿Qué probabilidad hay de que el resultado sea un número impar?
Hagamos ejercicios: En una mesa hay vasos con agua de sabor, sólo que no puedes ver el sabor que hay en cada uno. Sabemos que hay 5 vasos con limonada, 10 vasos con naranjada, 7 vasos con agua de piña y 2 con agua de sandía. Si tomas un vaso al azar, qué probabilidad hay de que... 1
a
Sea de sandía.
b
Sea limonada.
c
Tengas una naranjada.
d
Tu agua sea de piña.
Tres amigos están jugando con un dado. Si lo lanzan y sale s ale 1 ó 2 gana Andrés, si sale 3, 4 ó 5 gana Claudia y si sale 6 gana Clara. 2
a
¿Qué probabilidad probabilidad hay de que gane gane Clara?
c
b
¿Y de que gane Claudia?
d
¿Y de que gane Andrés?
¿Por qué enen diferentes probabilidades de ganar?
3
Si lanzas dos monedas al aire, ¿cuál ¿cuál es la probabilidad de sacar dos águilas águilas??
4
Si lanzas sólo una moneda al aire, ¿cuál es la probabilidad de que caiga águila?
5
Si ras dos dados qué probabilidad hay de que la suma de su caras nos dé 12?
En una fábrica de piezas para celular, el encargado de control de calidad ha encontrado 12 piezas dañadas en un paquete de 2000. ¿Cuál es la probabilidad de que salga una pieza dañada? 6
7
En equipos de tres, busquen tres situaciones diferentes en las que entre en juego la probabili -
dad. Descríbanlas, encuentren el espacio muestral, la probabilidad de que cada uno de los eventos descritos ocurra. Eje: Manejo de la información Eje: Manejo
¿Cuánta información puede haber en una tabla? s CONTENIDO: o t Lectura y a d comunicación e de información d mediante el n uso de tablas ó i c de frecuencia a absoluta y t n relativa. e s e r p e r y s i s i l á n A TEMA
L
as tablas son una herramienta muy úl que se usa cuando queremos ordenar información y darla a conocer de tal forma que sea fácil enencontrar los datos que requiera quien va a interpretar la información. Vamos a analizar la siguiente tabla:
Las religiones en el mundo Número de miembros de las mayores religiones del mundo en el año 2000, comparado con el del año 1900, y porcentajes respecto a la población munmun dial total: Año 1900
Año 2000
Millones
Población total
Millones
1619
100%
6055
100%
Crisanos
558
34.5%
1999
33%
Musulmanes
200
12.3%
1188
19.6%
Hindúes
203
12.5%
881
13.4%
Budistas
127
7.8%
360
5.9%
Religiones Indígenas
117
7.3%
228
3.8%
12
0.8%
14
0.2%
Nuevas Religiones
6
0.4%
102
1.7%
No creyentes
3
0.2%
778
12.7%
Judíos
Fuente: BARRETT, D.B.; KURIAN, G.T., JOHNSON, T.M., World Crisan Encyclopedia, 2nd Ed., Oxford, Oxford University Press, 2001, 2 Vols. Annual Stascal Table on Global Mission, en: Internaonal Bullen of Missionary Research, 1998-2002
hp://lanoamericana.org/2003/textos/castellano/Damen.htm
163
164
Eje: Manejo Eje: Manejo de la información
Análisis y representación de datos
•
Observa bien la tabla, analiza la información y después responde las siguientes preguntas: • ¿Qué analiza la tabla? • ¿Cuántas religiones están dentro de la estadísca? • ¿Qué periodo de empo hay entre los datos que se analizan? • ¿Qué incremento de población mundial hubo en ese periodo? • ¿Qué religión aumentó más sus porcentajes de adeptos? • ¿Alguna religión perdió seguidores? • ¿Qué porcentaje de la población mundial no seguía ninguna religión en 1900?, ¿y en 2000? Encuentra algunos datos más que puedas encontrar en esta tabla; analicen las posibles respuestas y con tus compañeros y maestro (a) analicen toda la información que puedan obtener de la tabla. En las tablas estadíscas se habla de frecue frecuencias ncias. Al número de veces que ocurre un suceso o el número de personas que intervienen se le llama frecue frecuencia ncia absoluta. Cuando esta frecuencia absoluta se relaciona con un evento especíco, se establece una relación entre el número de veces que ocurre el evento o el número de personas involucradas y la frecuencia absoluta. A esta frecuenfrecuencia se le llama frec frecuenc uencia ia relava relava y se puede representar en fracción, en decimal o en porcentaje. En la tabla que ya analizaste, ¿qué datos te dan las frecuencias absolutas? ¿Y las relavas? Analícenlas y coméntenlas entre los compañeros y su maestro (a).
Ahora es tu turno… A connuación tedatos damos tabla a la que le faltan datos, complétalos basándote en loste dat os queuna enes:
Eje: Manejo de la información Eje: Manejo
•
Análisis y representación de datos
Se llaman variables estadíscas a las ca-
Los crisanos en América Lana
racteríscas o propiepropiedades que poseen determinados grupos de personas u objetos que
Año 1900
queremos conocer o estudiar.
Población total
65
Crisanos Católicos
62 59
Protestantes
Las variables estadíscas cas pueden ser cuantavas si los indicadores
se expresan con númenúmeros como edad, peso, calicaciones, o variables cualitavas si los indicadores se expresan mediante rasgos o caracteríscas especiales, como equipos de futbol, programas de televisión, estudiantes de una escuela, alimentos, etc.
Año 2000
100%
519
100%
90.1%
481 461
92.75% 88.8%
14%
46
9.3%
Anglicanos
0.7
1.1%
1
Ortodoxos
0.7
1.1%
0.5
0.03
0.1%
0.003
0.0%
Iglesias independientes Crisanos marginales Evangelicales Pentecostales / Carismácos Aliados doblemente
0.1% 7.7%
6
1.3%
40.3
0.7 0.01
0.0%
141
0.3
0.4%
80
27%
Fuente: BARRETT, D.B.; KURIAN, G.T., JOHNSON, T.M., World Crisan Encyclopedia, 2nd Ed., Oxford,
Oxford University Press, 2001, 2 Vols. Annual Stascal Table on Global Mission, en: Internaonal Bullen of Missionary Research, 1998-2002 hp://lanoamericana.org/2003/textos/castellano/Damen.htm
Llenando tablas con la información dada Ya vimos que en algunas ocasiones puedes tener una tabla y de ahí leer la información que necesitas, en otras, las tablas están incompletas pero enes los elementos y conocimientos sucientes para llenarlas y ahora vamos a ver qué pasa cuando enes información y debes construir una tabla. A un grupo de estudiantes se les preguntó cuál era su pasaempo fafa vorito y la respuesta fué: a 82 estudiantes les gusta hacer deporte, el 20% preere escuchar música, 130/500 les gusta ver tele, al 0.3 del total les gusta navegar en internet, a 24 estudiantes les gusta chatear y el resto manifestó que le gusta visitar los museos. 1
Con Con estalainformación construye una tablacomo en la en quedecimal cada una defracción. las ac vidades expreses tanto en porcentaje, y en
165
Dene bien cuál es la frecuencia absoluta.
166
Eje: Manejo de la información Eje: Manejo
Síntesis
•
Síntesis: erminaste el bloque 3 de tu libro! Esto significa que cada vez estás más cerca de completar tus aprendizajes esperados para este ciclo escolar.
¡T
En este bloque aprendiste varias cosas importantes. Te damos un resumen.
Multiplicación y división de números decimales: Para resolver una mulplicación con decimales basta con mulplicar los factores sin considerar el punto decimal y colocar el decimal en el resultado, de tal manera que tenga el mismo número de cifras que la suma de las cifras de los decimales en los factores.
Para poder dividir números decimales, Para decimales, debemos de buscar la manera de que el divisor sea un número natural, es decir mulplicamos tanto dividendo como divisor por poten poten-cias de diez hasta lograr que el divisor ya no sea decimal. Esto equivale a ir recorriendo el punto decimal hacia la derecha o completando con ceros para lograr que el divisor sea un número natural.
Ecuaciones de primer grado: Una ecuación es una igualdad una igualdad que que conene candades desconocidas, por ejemplo: x + + 6 = 20 La incógnita es el símbolo literal cuyo valor se desconoce. Generalmente se denota a la incógnita usando las úlmas letras del alfabeto: t, u, v, x, y, z. Una literal literal es es una magnitud o medida desconocida que se representa con una letra.
Construcción ción de polígonos regulares Construc Para poder construir un polígono regular debes regular debes recordar que el vérce es el punto caracterísco de una gura geométrica donde se intersectan dos lados. Si lo que tenemos es un cuerpo geométrico entonces el vérce es el punto el punto en en el que se intersectan varias (dos o más) aristas. a ristas. Se dene como polígono a una gura plana cerrada delimitada por segmentos de recta que no se cortan entre ellos. Cada uno de los segmentos de recta es un lado del polígono y el punto donde se intersectan dos lados consecuvos del polígono se llama vérce. El ángulo central en central en una circunferencia, es aquél que ene su vérce en el centro de la circunferencia circunfer encia y cuyos lados son dos radios. Los ángulos internos de internos de un polígono son los que se forman en cada uno de los vérces del polígono. Cuando un polígono ene todos sus lados y todos sus ángulos iguales se llama polígono
regular.. Es decir, un polígono es regular si es equilátero y equiángulo a la vez. regular
Síntesis • Bloque 3
•
Síntesis
Proporcionalidad: Una escala es la relación de semejanza semejanza entre entre la magnitud de un objeto y su representarepresenta ción gráca. La escala escala es es la razón que indica el número de veces que se ha magnicado la represenrepresentación gráca de una gura para su manejo más cómodo.
Probabilidad: Un experimento aleatorio es aleatorio es aquél que tras reperse varias veces bajo idéncas concondiciones, es imposible predecir el resultado. También se conoce como fenómeno aleaalea torio. El espacio muestral de muestral de un evento aleatorio consiste en el conjunto de todos los posibles resultados de ese evento, de tal forma que a cada resultado le corresponda un elemento o punto del espacio muestral muestral y a cada elemento del espacio muestral le corresponda un resultado. La probabilidad es una forma de medir la posibilidad de que un evento ocurra.
Presentación de información en tablas y gráficas: Se llama frecuencia absoluta al número de veces que aparece un valor en un intervalo dado en una tabla de datos. Con las frecuencias de los diferentes intervalos de los datos se elabora la tabla de frecuencias. La frecuencia relava es la relación que existe entre un evento especíco y la frecuencia absoluta. La variable estadísca es el conjunto de caracteríscas o propiedades que posee deterdeter minado grupo de personas u objetos que queremos conocer o estudiar. Las variables estadíscas pueden ser cuantavas si los indicadores se expresan con números como edad, peso, calicaciones, o variables cualitavas si los indicadores se exexpresan mediante rasgos o caracteríscas especiales como equipos de futbol, programas de televisión, estudiantes de una escuela, alimentos, etc.
167
168
Síntesis • Bloque 3
Evaluación
•
Evaluación Escribe tu respuesta en esta hoja. Realiza tus trazos y operaciones en una hoja aparte. 1 Al hacer pruebas con cintas eláscas se observó que podían alarg alargarse arse hasta 4.4 veces su longitud original. Una de estas ligas al ser alargada al máximo alcanzó una longitud de 13.86 metros. ¿Cuál es su longitud normal? 2 Resuelve y reconstruye las siguientes divisiones:
a) 354.28 ÷ 12.2 =
b) 76.7202 ÷ .89 =
c) 15.31 ÷ .8.18 =
12.2 x
.89 .89 x
.8.18 x
= 354.28
= 76.7202
= 15.31
3 Cuando a un número lo mulplico por 7 y le resto 8, obtengo 6. Encuentra el valor del número.
4 Cuando a un número lo divido entre 4 y le resto 11, obtengo 14. ¿Cuál es ese número? 5 El área de un triángulo es 88 cm 2 y la altura 11 cm, ¿cuánto mide la base? 6 Encuentra el valor de la incógnita para que cada una de las siguiente siguientess igualdades sea correcta
a) x + 54 =79 d) 4x 4x + 2 = 10
x= x=
b) 71b = 177.5 b=
c) 7x 7x -5 = 15
x=
e) 17x + 2x = 19 x=
7 Si uno de los lados de un rectángulo es 15 cm más largo que el otro y su perímetro mide 48 cm, ¿cuál es su área? á rea? 8 Lety ene que cortar unos rectángulos de 12 cm por 8 cm. Tiene una cartulina de 1064 cm2 de supercie. Si el ancho de la cartulina es de 28 cm, ¿cuántos rectángulos le saldrán? ¿Le sobra cartulina? 9 Si se lanzan dos dados, ¿qué es más probable, obtener una suma de 9 o una suma de 4? Jusca tu respuest respuesta. a. 10 Ahora formen 8 equipos con los compañeros del salón y hagan un sorteo del los 8 apartados de este bloque. Cada equipo, elabore un problema, ejercicio o situación didácca del apartado que les tocó y resuélvan resuélvanlo. lo. Muéstrenlo al profesor(a) para que lo revise, tanto el planteamiento del ejercicio como la solución. 11 Cada equipo, comparta al grupo el ejercicio que elaboraron para que se resuelva de forma grupal. Compartan las
diferentes estrategias de solución que uliza cada uno para resolver los ejercicios planteados por los compañeros de clase.
Evaluación • Bloque 3
BLOQUE 4
169
170170
Competencias que se favorecen: • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas ecientemente
EJES Aprendizajes esperados
• Construye círculos y polígonos regulares que cumplan con ciertas condiciones establecidas. • Lee información presentada en grácas de barras y circulares. Utiliza estos tipos de grácas para comunicar información.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Forma, espacio y medida
Manejo de la información
Números y sistemas de numeración
Figuras y cuerpos
Proporcionalidad y funciones
• Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.
• Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas.
Medida • Justicación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráca y algebraicamente). Explicitación del número π (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.
• Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios. • Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.
Nociones de probabilidad • Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para vericar los resultados.
Análisis y representación de datos • Lectura de información representada en grácas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráca más adecuada.
171 171
Sistema Decimal
•
¿Cuánto debo y cuánto tengo? n ó i c a r e m u n e d s a m e t s i s y s
CONTENIDO: Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.
S
upongamos que enes $10 pesos y gastas $4 en un dulce. ¿Cuánto enes ahora? Con los $6 pesos que te quedan quieres comprar un refresco pero vale $7. No te alcanza, ¿verdad? ¿Qué puedes hacer? Una opción es pedir prestado. Pues bien, en la enda donde normalmente compras, ya te conocen bien por -
que llevas comprando ahí mucho empo y Don Paco, el dueño, te propone que siempre que necesites algo, aunque no tengas dinero, te puede ar. Entonces, ahora sí puedes comprar tu refresco y le debes a Don Paco $1. Tu papá, al enterarse, te dio $15, y te dijo que le pagaras a Don Paco.
o r e m ú N
• ¿Cuánto dinero te quedó?
TEMA
Vamos a hacer varios ejercicios de este po, te decimos cuánto enes,
cuánto gastas y tú respondes si te queda dinero o si debes y cuánto. ¿De acuerdo?
Tienes ($)
Gastas ($)
15
9
12
25
9
20
10
8
25
18
3
14
Me queda o debo:
172172 Eje: Sentido Eje: Sentido
numérico y pensamiento algebraico
Números y sistemas de numeración
•
En una hoja de cenmetro cuadrado de “Mi cuaderno de registro CIME”, marca la mitad de una hoja con una línea horizontal. En la parte de arriba vamos a poner lo que tengas y en la hoja de abajo lo que gastes o debas.
Tienes
Gastas o debes
a
Representa en tu tablero: Tienes $4 y gastas $2.
Tienes
R r Gastas o debes
• ¿Qué regleta es más grande? • ¿Por cuánto es más grande? Entonces, el resultado es que enes $ 2. b
Ahora enes $6 y gastas $8.
Tienes
V c
ACTIVIDAD 1
Gastas o debes
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
•
Números y sistemas de numeración
• ¿Cuánto te queda? c
Representa ahora: ¿Qué pasa si debes $4 y pagas $10?
Tienes
N R Gastas o debes
• ¿Te queda dinero o no? • ¿Cuánto? Vamos a ahorrar empo y espacio al darte los ejercicios y entonces en tu tablero le daremos un valor posivo a lo que enes (+) y un valor negavo a lo que gastas o debes (-). ACTIVIDAD 2
Representa ahora las siguientes candades en el tablero: a
+8
-4=
(+)) (+ c R
( -) • ¿Qué candad es más grande? • ¿Por cuánto? • Entonces, ¿tu resultado es posivo o negavo?
173
• ¿Cómo representas el resultado con signo?
174174 Eje: Sentido Eje: Sentido
numérico y pensamiento algebraico
Números y sistemas de numeración
•
Encuentra el valor de las siguientes candades a
+9
- 12 =
b
-18
c
h
-15
+ 16 =
+ 12 =
i
+12
- 12 =
-15
+ 19 =
j
-5+4
=
d
+10
+3=
k
+5-4
=
e
+25
-8=
l
-5-4
=
f
+8
- 15 =
m
g
-8
-6=
+5+4
=
Si observas con atención los ejercicios anteriores, podrás responder Las siguientes preguntas:
• ¿Qué pasa con el número y el signo del resultado cuando en la opera ción los números enen signos iguales? • ¿Qué pasa con el número y el signo del resultado cuando en la opera ción los números enen signos diferentes? • ¿Qué pasa con el número y el signo del resultado cuando en la opera ción el número es el mismo pero con signos diferentes? • ¿Podrías aplicar la propiedad conmutava y obtener el mismo resultado? Aquí debes de recordar que el signo es parte del número pues es el que te indica si su valor es posivo o negavo, así que todo número debe de ir acompañado de un signo. Por costumbre y por principio de economía un número que no ene signo antes de él es un número posivo, así lo has hecho siempre, por ejemplo si escribes el número 3, se considera como +3 Ahora, ¿podrías resolver el siguiente ejercicio? Usa tu tablero para poder ir representando cada una de las candades
que vas sumando o restando.
ACTIVIDAD 3
+ 8 - 10 + 3 - 4 + 5 - 8 = Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
•
Números y sistemas de numeración
Podríamos darle la siguiente interpretación al ejercicio anterior: Tengo $8, gasto $10, gano $3, gasto $4, gano $5 y por úlmo gasto $8. Me queda -6, quiere decir que debo $6.
Tendría que pedir prestado. De esta misma forma podrías resolver los siguientes ejercicios, una vez más, puedes auxiliarte de tu tablero si lo requieres e ir construyendo tus propias estrategias de resolución. a
+8-5-6-3+7-1 +8-5-6-3+7-10 0
b
-4+5-6+3+4+8-9-10
c
10-2-3-4-2+1 =
d
+1-2+10-3-4+1-2+10-3-4-2 2
e
=
=
+3-2+12-20+32-15
f
72-8+3-4+2-4 72-8+3-4+2-4+6 +6
g
12-3+4-2+6 =
h
15+20-5
i
50-5-16-2+12 50-5-16-2+12-6 -6
j
3+4+5-5-4-3 =
k
l
=
=
=
=
23-21+12+10
=
=
-23+21-12-10 =
Comparte con tus compañeros las diferentes estrategias que ulizaste para resolver estos ejercicios. El hombre, al ir evolucionando y ante su necesidad de contar y medir ulizó primero los números naturales. Después requirió medir partes de algo y ulizó los números fraccionarios y decimales. También hay situaciones
en las que se requiere contar en un doble sendo como ganar y perder, subir y bajar, ir a la derecha o a la izquierda, y muchas más para esto se crea un lenguaje matemáco de números con signo donde el signo posi -
175
vo (+) representa subir, ganar, ir a la derecha, aumentar, y el signo nega vo (-) indica perder, perder, bajar, retroceder, disminuir. 176176 Eje: Sentido Eje: Sentido
numérico y pensamiento algebraico
Números y sistemas de numeración
•
Hay muchas situaciones en las que se aplican estos números en un termómetro tenemos temperaturas sobre cero (+) o bajo cero (-). El nivel del mar se considera el nivel cero, de tal manera que todo lo que no está cubierto por agua, como las islas y los connentes, está sobre el nivel del mar (+) y lo que está debajo del agua, está bajo el nivel del mar (-).
Los números que son iguales pero de signo contrario se llaman números opuestos o simétricos.
Los anguos chinos hacían sus cálculos con varillas negras cuando indi caban ganancias y con rojas cuando indicaban pérdidas. Actualmente los contadores escriben en sus libros cifras en negro cuando son ganancias o ingresos a la empresa y cifras en rojo cuando son pagos o pérdidas.
El opuesto o simétrico del número a es el número -a. El adjevo «opuesto» viene del he-
Cuando se dice que en una empresa está en “números rojos” signica que algo está fallando pues no hay ganancias y todo se ha ido en pérdidas
a y -a -a están están a la misma
cho de que en la recta numérica, los números distancia del origen, solo que en lados opuestos.
y deudas.
A los número que llevan el signo (+) se les llama números posivos y a los que llevan el signo (-) se les llama negavos. Y decimos que el opuesto de 3 es -3 y que el opuesto de -4 es 4.
Con tu maestro plantea situaciones diferentes en las que se apliquen los números con signo y hagan algunos ejemplos numéricos de ellas.
Para la suma, el elemento inverso de a es -a, porque a + (-a) = 0 y 0 y el elemento neutro es a, el cero, porque a + 0 = a, para todo a en los números reales.
Al terminar concluyan:
• Si tengo dos número del mismo signo, ¿qué signo ene el resultado?, ¿cómo obtengo el valor numérico del resultado? • Si tengo números con diferente signo, ¿qué signo ene mi resultado? ¿Cómo obtengo el valor numérico del resultado?
Si quieres sumar dos números con el mismo signo, debes de respetar el signo y sumar los valores absolutos de ambos números. Si quieres sumar sumar dos
números de diferente signo debes de dejar el signo del mayor y restar los valores absolutos de ambos números.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Sentido Eje:
Jugando con círculos y circunferencias s o p r e u c y s a r u g i F TEMA
CONTENIDO: Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas.
* Toma una hoja de papel blanco de “Mi cuaderno de registro CIME”. * Marca un punto en cualquier parte de tu hoja, pero que no te quede
cerca de las orillas y asígnale la letra A
•A
* Ahora traza una circunferencia con tu compás que pase por la letra A y
marca con un punto el centro de la circunferencia, asígnale la letra O. * Une con una línea el centro de la circunferencia que trazaste y el punto A.
• ¿Cómo se llama esa línea? • ¿Puedes dar una denición para ella? * Analiza ahora la circunferencia que trazaste y jate si podrías trazar más
circunferencias que pasen por el mismo punto A.
• ¿Cuántas circunferencias se pueden trazar? Compara las circunferencias que tú trazaste con las que han trazado tus compañeros. * Traza los radios de las circunferencias que trazaste.
• ¿Son necesariamente iguales o pueden ser diferentes? • ¿Puedes decir cuántas circunferencias pasan por un punto? • ¿Puedes denir la medida de su radio?
177
178178 Eje: Eje:
Forma, e espacio spacio y medida
Figuras y cuerpos
•
Comenta con tus compañeros qué pueden concluir del diseño que hicieron y de las caracteríscas del punto A, las circunferencias que trazaste y los radios de todas ellas. Uliza la parte de atrás de tu hoja para hacer un diseño con circunferencias ulizando las propiedades que acabas de encontrar.
Veamos ahora qué pasa si tengo dos puntos Vamos ahora a trabajar con el geoplano Didacta circular y las hojas de
registro circular de “Mi cuaderno de registro CIME”. * Coloca una liga alrededor de la circunferencia grande y elije dos pivotes
que sean parte de ella. * Llamaremos A y B a estos pivotes. Con una liga, traza una línea que una
A con B y regístrala.
• ¿Recuerdas cómo se llama esta línea? • ¿Qué caracteríscas ene? * Connúa trazando varias cuerdas como la que ya encontraste entre A y
B apoyándote en los diferentes pivotes en tu geoplano y busca cuál es la más grande de todas las cuerdas que puedas encontrar. Regístralas
espacio y medida Eje: Forma, espacio Eje:
Figuras y cuerpos
•
El radio es la distancia del centro de una circunferencia a cualquiera de sus puntos.
• ¿Qué caracterísca especial ene la cuerda más larga que encontraste? • ¿Cómo se llama esta gura? Ya encontramos hasta ahora tres líneas que ya conocías: A
Una cuerda es un segmento de recta que ene sus puntos extremos sobre la misma circunferencia.
A
B
Cuerda
Radio
El diámetro de una circunferencia es la cuerda más larga que se le puede dibujar. En otras palabras, el diámetro es el segmento de recta que ene sus extremos sobre la circunferencia y pasa por el centro de ella.
A
D
C
I
H
G F
A
o
B
B E
Cuerdas
Diámetro
Imagínate ahora que se te ha perdido el centro de la circunferencia y debes buscar líneas de apoyo que te ayuden a encontrarlo. * Con ligas en tu geoplano elige dos puntos A y B que pertenezcan a la
circunferencia (que no sean del diámetro) y encuentra el centro de la circunferencia. * Busca diferentes líneas que te puedan servir de apoyo de entre las que
ya has trabajado: cuerdas, mediatrices, bisectrices, etc., pero recuerda que como no sabes dónde está el centro, no puedes apoyarte en él.
Una vez que hayas encontrado las líneas trázalas en el siguiente geoplano:
179
Eje: 180180 Eje:
Forma, e espacio spacio y medida
Figuras y cuerpos
•
Seguramente encontraste que el centro de tu circunferencia está en la mediatriz de la cuerda que trazas de A a B, así:
A
El centro de una gura es el punto de simetría de la misma.
•C
•C
En las guras mostra-
das, C es el centro.
B
• En el geoplano podrás encontrar el centro fácilmente, pero ¿qué pasa si lo trazamos en papel blanco? * Trazamos un segmento de recta AB. * Trazamos su mediatriz. * Ahora encuentra en la mediatriz el centro de la circunferencia que pasa
por AB (aprendiste a trazarlas en el tema 4 del bloque 2).
A
B * Ahora sí, encuentra la circunferencia que pasa por el punto A y el punto B, si
sabemos que ene su centro en la mediatriz de la cuerda c uerda AB Compara tu respuesta con tus compañeros a ver si todos encontraron la misma circunferencia.
• ¿Cuántas circunferencias de diferente tamaño encontraron que pasan por los puntos A y B? • ¿Cómo va variando el tamaño de la circunferencia a medida que te acercas
o te alejas de la cuerda AB? circunferencia más pequeña que puedes trazar? • ¿Cuál es la circunferencia espacio y medida Eje: Forma, espacio Eje:
•
Figuras y cuerpos
• ¿Y la más grande? circunferencia ¿qué pasa con • A medida que vas aumentando el radio de la circunferencia la cuerda AB? Saquen en grupo conclusiones y anótenlas en el siguiente espacio:
que pase por tres puntos? ¿Qué pasa si ahora queremos que Ya vimos que podemos hacer pasar una innidad de circunferencias por un punto dado, así como por dos puntos dados. También vimos que los centros de las circunferencias que pasan por dos puntos se encuentran en la mediatriz de la cuerda que los une. • Pero… ¿qué pasa si te pedimos ahora que encuentres una circunferencia que pase por tres puntos dados? Vamos a apoyarnos en el geoplano, ya vimos que no nos cubre todas las opciones de respuesta pero te puede servir como apoyo para encontrar posibles soluciones sin tener que hacer muchos trazos pues sólo enes que poner y quitar ligas. A
C
B
Juega con las cuerdas entre los puntos, las mediatrices de esas cuerdas y comparte tus ideas con tus compañeros a ver si llegan a una conclusión. Escriban las posibles opciones de solución y después tracen tres puntos
181
en una hoja de papel y conrmen si las opciones que encontraron en el geoplano sirven o no para encontrar la respuesta.
182182 Eje: Eje:
Forma, e espacio spacio y medida
Figuras y cuerpos
•
Si ya sabemos que el centro de una circunferencia está en la mediatriz de cualquiera de sus cuerdas que no pasa por el centro, ¿que crees que suce da si buscamos las mediatrices que se forman con las tres cuerdas que se forman con los tres puntos que tenemos? A connuación te describimos un proceso, nosotros te ponemos los trazos y tú vas describiendo con tus palabras cada paso.
1
A
Paso 1
B C
2
A
Paso 2
B C
3
A
Paso 3
B
C
espacio y medida Eje: Forma, espacio Eje:
•
Figuras y cuerpos
Paso 4
4
A
B C
Paso 5
5
A
B C
Hagamos ejercicios 1 En el rancho de Ana quieren construir un corral circular para que salgan
a pastar los borregos. Hay tres estacas en el campo y quieren usarlas como parte del corral. Ayúdale al capataz a trazar la circunferencia del corral. Estaca A
Estaca C
183
Estaca B
184184 Eje: Eje:
Forma, e espacio spacio y medida
Figuras y cuerpos
•
2 En
el campamento de verano al que asiseron Daniela y Mariano, hay tres cabañas que enen muy poca luz. El encargado quiere poner un farol que ilumine por igual a las tres cabañas. Haz los trazos que consideres ne cesarios para ubicar el punto exacto donde debe estar el farol.
3 En
la escuela de Daniel y Bernardo, enen una cancha de basquetbol.
La escuela ha organizado un torneo entre las escuelas de la colonia y nece sitan volver a pintar las líneas de la cancha. La circunferencia central está tan despintada que sólo se puede reconocer un tramo de ella. Ayuda a Daniel y Bernardo Be rnardo a trazar nuevamente la circunferencia a parr del pedazo que queda pintado.
4 Formen equipos de tres compañeros y redacten dos situaciones en las
que se puede aplicar lo que has aprendido acerca de los trazos de las cir cunferencias que pasan por uno, dos o tres puntos denidos. Comparte tus ejercicios con tu maestro y tus compañeros
espacio y medida Eje: Forma, espacio Eje:
Números decimales: decimales: Ejercicios y problemas
•
Alrededor, alrededor... a CONTENIDO: d i d Justicación e de la fórmula M para calcular la longitud TEMA de la circunferencia y el área del círculo (gráca y algebraicamente). Explicitación del número π
T
oma un trozo de cordón o de hilo grueso, amárralo a cualquiera de los pivotes de tu geoplano circular y mídelo todo alrededor. Marca el cordón en el punto donde llega al pivote donde iniciaste.
a
Amarra la punta de tu cordón a un pivote.
b
Mide la circunferencia
(pi) como razón entrelala longitud de la circunferencia y el diámetro.
y marca la medida.
185
Compara la medida que tomaste con el diámetro de la circunferencia. • ¿Cuántas veces cabe?
186 186
Eje: Forma, espacio y medida Eje: Forma,
Medida
•
Haz equipo con 3 compañeros y consigan 5 objetos de forma circular y hagan lo mismo: tomen la medida de la circunferencia y compárenlo con
el diámetro y veriquen cuántas veces cabe. Ahora midan en cenmetros tanto la circunferencia circunferencia de los objetos y el diámetro y con esa información llenen la siguiente tabla: Círculo
Medida del diámetro
Longitud de la circunferencia
Longitud de la circunferencia entre el diámetro
La circunferencia circunferencia es el conjunto de puntos del plano que están a la misma distancia de un pun-
to jo C que es el centro de la circunferencia. La distancia del centro
de la circunferencia a cualquiera de sus puntos se llama radio (r)
1
C i i r r c
u n
f
2
•
e
r
e
n c i a
3
4
5
¿Hay alguna semejanza entre los resultados que obtuvieron en la úlma columna? Cuando trabajaste en primaria con la fórmula del perímetro de la circunferencia ulizabas un número constante llamado “pi” que se representa con el símbolo “ ” y cuyo valor es 3.1416 p para ara uso general. es la razón que existe entre la longitud de la circunferencia y su diámetro y es una de las constantes matemácas más famosa. Desde la época de los babilonios se sabía que una rueda, al dar una vuelta completa, avanzaba tres veces la longitud de su diámetro y un poco más, lo que correspondía a .
Arquímedes (278 a. de C.) realizó un procedimiento para poder calcular el valor de a base de inscribir y circunscribir polígonos regulares e ir dupli duplicando el número de lados, iniciando con el hexágono regular hasta llegar
A la circunferencia no le podemos medir el área, pues es una línea curva, pero sí po demos calcular su longitud (perímetro): Perímetro = 2 r = d
a un polígono de 96 lados. Concluyó que la circunferencia de un circulo1 es igual a tres veces su diámetro más una parte de éste que es menor a 7 y 10 mayor que 71
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Medida
•
ACTIVIDAD 1
Mide el diámetro de los siguientes círculos y calcula su perímetro . 1
Diámetro: d = 1
Circunferencia: C1 = 2
Diámetro: d2 = Circunferencia: C2 =
3
4
Diámetro: d3 =
Diámetro: d4 =
Circunferencia: C3 =
Circunferencia: C4 =
5
187
Diámetro: d5 = Circunferencia: C5 = 188
Eje: Forma, espacio y medida Eje: Forma,
Medida
•
Ahora divide el diámetro del círculo 1 entre el diámetro de círculo 2, y haz lo mismo con los perímetros, llena la siguiente tabla: Raz azó ón entr tre e lo loss diá diám metros
Raz azó ón en enttre la lass cir circu cun nferenci cias as
d1 / d2 =
C1 / C2 =
d2 / d3 =
C2 / C3 =
d3 / d4 =
C3 / C4 =
d4 / d5 =
C4 / C5 =
d1 / d4 =
C1 / C4 =
• ¿Qué relación encuentras entre la forma en que aumentas el diámetro con la forma en que aumenta la circunferencia?
Y el área... Vamos a trabajar nuevamente con tu geoplano Didacta circular circul ar.. Con una liga marca la circunferencia grande completa y con otra liga marca el radio. Sobre este radio construye un cuadrado y regístralo.
El círculo es el área que queda delimitada
por una circunferencia. C i r c u
n
•
e
f
Círculo
r2
r
e
n c i a
Podemos decir decir que el
círculo es el conjunto de puntos que están
a una menor distancia r de un punto jo C, llamado centro. La distancia r se llama radio de la circunferencia circunferencia..
Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Medida
•
Durante la primaria trabajaste mucho con la fórmula de área del círculo: Podemos calcular el área del círculo usando la fórmula:
Ac =
r2
Es decir, que el área de un círculo es igual a 3.1416 veces su radio cuadrado. 2
Área = r
r2
r2
2
r O sea que en el círculo debemos meter tres cuadrados que miden por lado el equivalente al radio y un poquito más (.1416) • ¿De qué manera puedes hacer esto? Te ponemos a continuación una circunferencia trazada dentro de una cuadrícula, ¿puedes comprobar que los tres cuadrados cabrían en la circunferencia? circunfer encia? Considera que hay una parte del círculo que no se ha cubierto y que hay parte de los cuadrados que están fuera del círculo.
189
190
Eje: Forma, espacio y medida Eje: Forma,
PÁGINA RECORTABLE
Otra opción de poder visualizar esto es con tu geoplano:
191
192
Medida
•
Divide tu geoplano geoplano en 24 partes partes iguales ulizando los pivotes. Colorea los veincuatroavos de dos colores diferentes alternándolos.
Una vez que ya los coloreaste, córtalos uno por uno y arma con ellos un romboide como el que sigue:
Si quedaron 12 partes de la circunferencia de un color y 12 partes de otro color, entonces tenemos media circunferencia de cada color, o sea que las medidas de tu romboide son:
r
P=
r d = (2r) ( )
Si lo dividimos en 2 partes, tenemos que a cada lado del rectángulo le corresponde r y la altura del romboide es equivalente al radio. Entonces el área del rectángulo es:
A= b (a) A = ( r ) (r) 2
A=
r
, que es igual al área del círculo.
Con estos ejercicios hemos juscado y comprendido las fórmulas de la circunferencia y del círculo que ya has venido usando por mucho empo. Forma, espacio y medida Eje: Forma, Eje:
Ahora vamos a trabajar con la proporcionalidad s CONTENIDO: e n o Análisis de la i c regla de tres, n empleando u f valores ente y ros o fraccio d narios. a d i l a n o i c r o p o P r TEMA
E
n el tema anterior aplicamos muchos de tus conocimientos pero nos enfocamos al círculo y a la circunferencia. Seguiremos ulizando tus conocimientos pero ahora vamos a trabajar con aplicación de proporcionalidad. Puedes trabajar en parejas y ulizar los métodos que ya hemos venido trabajando.
Hagamos ejercicios: Sebasán y Paulina viven en Cozumel, una hermosa isla en el estado de Quintan Roo, rodeada por el Mar Caribe. El punto del connente más cercano a Cozumel, es Playa del Carmen, así que cuando quieren ir a erra rme, deben tomar un barco. El barco hace un recorrido de 45 minutos, si el estado del empo está en condiciones ópmas. Para ir a visitar a sus amigos que viven en Bacalar, Sebasán y Paulina deben ir en autobús desde Playa del Carmen hasta Bacalar recorriendo las siguientes distancias: 1
De:
A:
Kilómetros
Playa del Carmen Tulum
61
Tulum
Carrillo Puerto
111
Carrillo Puerto
Cafetal
69
Cafetal
Pedro Antonio
11
Pedro Antonio de los Santos
de los Santos
Bacalar
36
Total:
Tiempo
193
Fuente: http://aplicaciones4.sct.gob.mx/sibuac_internet/ControllerUI?action=cmdEscogeRuta
194194
Manejo de la información Eje: Manejo Eje:
Proporcionalidad y funciones Proporcionalidad
•
El autobús en el que viajan va a una velocidad promedio de 90 km/hr. Llena la tabla calculando los empos parciales de cada tramo, el empo total y el kilometraje total del recorrido. Andrea, la mamá de Sebasán y Paulina, no quiere que sus hijos viajen solos de noche, así que les pidió que calculen sus empos de tal manera que lleguen a la central camionera de Bacalar a más tardar a las 5:00 pm. Calcula a qué hora deben salir de Cozumel para llegar a la hora convenida a Bacalar. 2 Ulizando los mismos mis mos datos del problema anterior, construye una tabla
con el consumo de combusble que se haría en el recorrido considerando que, si Paulina y Sebasán deciden hacer su recorrido en auto, el auto les rinde 11 kilómetros por litro. 3 Mariel
está organizando la graduación de Ximena. Para recaudar fon -
dos van a rifar un reproductor de blue-ray. El costo de los boletos es de 2 x $45. Ayúdale a Mariel a completar la siguiente tabla para saber cuánto debe cobrar: e s d o t . l e o o N b
2
o i $ c e n r e P
45
3
5
7
9
12
17
Mauricio, Juan Pablo y Sergio, son tres hermanos que quieren juntar dinero para poder irse de vacaciones en el verano. Van a pintar la sala de su casa y Susana, su mamá, les ofreció pagarles $2 520 por pintarla. Cuando terminaron de pintar y les pagaron comenzaron a discur cómo reparrse el dinero pues no todos habían trabajado lo mismo. Mauricio había trabajado 3 horas, Juan pablo 5 horas y Sergio 6. Si deci den reparr proporcionalmente el dinero, ¿cuánto le toca a cada uno? 4
5
21
32
A Clara le gusta mucho leer. En la escuela le dejaron leer un libro que ene 120 páginas. Si lee 30 páginas del libro en 55 minutos, ¿cuánto tar dará en leer el libro completo?
Manejo de la información Eje: Manejo Eje:
¿Crece o decrece? s e n o i c n u f y d a d i l a n o i c r o p o r P
CONTENIDO: Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.
Vamos a trabajar nuevamente en parejas, con tus regletas, resolvere mos varios ejercicios. 1 Vamos
a jugar a la “casa de cambio”. Uno de ustedes será el cajero y otro el cliente. La regla de cambio será que por cada regleta rosa que lleve a cambiar el cliente (o su equivalente en blancas u otro color), el cajero le entregará 2 regletas negras o su equivalente. • ¿Cuánto recibirá el cliente que lleva 2 regletas amarillas a cambiar? • ¿Y si lleva a cambiar una regleta verde obscuro?
TEMA
• ¿Y una regleta roja? • ¿Y si lleva juntas una amarilla con una verde claro? Con la información que enes completa la siguiente tabla:
Regleta que lleva:
r
R
v
2R
2a
N+r N+R 2c
2 2n
Regletas que recibe:
2 Construye ahora la misma tabla, pero con la equivalencia numérica de
las regletas. Regleta que lleva:
2 Regletas que recibe:
2
2A
4a
6a
195
196196 Eje: Manejo Eje: Manejo
de la información
Proporcional Proporcionalidad idad y funciones
•
• ¿Qué sucede con el número de grupos cuando aumentamos la candad de regletas en cada grupo? • ¿Qué sucede con el número de grupos al disminuír la candad de regletas en cada grupo? Observa el comportamiento de los datos de la tabla del primer ejercicio y la tabla del segundo ejercicio:
• ¿Varían de alguna forma los datos de ambas tablas? • ¿En qué son diferentes? Como podrás recordar: La variación proporcional es una relación que se establece entre dos candades, de tal manera que a cada variación de la primera candad corresponde una variación de la segunda candad.
Esta variación proporcional es directa cuando a un cambio de una de las magnitudes en un sendo, la otra varía también en el mismo sendo. La proporcionalidad es inversa cuando a un cambio de una de las magnitudes en un sendo, la otra varía en sendo inverso.
• ¿Cómo es la variación proporciona proporcionall en el ejercicio 1? • ¿Podrás establecer el factor constante y la expresión algebraica que relaciona las variables ? • ¿Es directa o inversa?
Hagamos ejercicios A connuación te presentamos varias situaciones.
Para cada una de ellas, construye una tabla de variación que represen te la situación. a
b
Determina el factor de proporcionalidad y la expresión algebraica que
relaciona las variables. c
La variación proporcional es una relación que se establece entre dos candades en las que al variar una, varía también la otra.
Cuando dos canda-
des des están en proporción de manera que al crecer una de las candades, la otra crece la misma candad de veces, entonces las candades están en proporción directa. Por ejemplo, ejemplo, cuando aumenta el número de
horas trabajadas, aumenta el número de minutos trabajados.
Cuando dos candades están en propor-
ción de manera que al crecer una de las candades, la otra decrece la misma candad de veces, entonces las candades están en pro-
porción inversa. Por ejemplo, ejemplo, cuando
varias personas van a pintar una pared, si las personas trabajan al mismo ritmo y no se estorban, al aumentar el número de personas, el empo que requieren para pintar la pared dis-
minuye.
Establece si la variación es directa o inversamente proporcional. 1 Si el precio de 20 cajas de galletas es de $ 216, ¿cuál es el precio de 25
cajas de galletas? Manejo de la información Eje: Manejo Eje:
•
Proporcionalidad dad y funciones Proporcionali
Un rectángulo ene 60 cm2 de área. Si aumentamos su base, ¿qué pasa con la altura si el área no cambia? 2
3 ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado de longitud
, si
vale 2, 4, 6, 8
y 10 cm?
4 ¿Cuál es la base y la altura de un rectángulo, si el área se manene en
48 cm2 ?
5 Un
automóvil recorre 11.5 km por litro. ¿Cuántos litros consumirá si recorre 200 km? ¿Y 500 km?
6 Con $ 898.00 se compraron 20 m de tela. ¿Con cuánto dinero se com -
prarán 45 m de la misma tela?
7 Si viajamos a 75 km / h, llegamos a la ciudad cercana en 2 hrs. ¿Cuánto
tardaremos si viajamos a 100 km / h ? ¿Y a 125?
8 En un campamento se compró comida para alimentar a 75 muchachos
durante 60 días. ¿Para cuántos días alcanzará la comida, si faltaron 15 muchachos al campamento? 9 Con un compañero busca 2 situaciones,una directa y otra inversamen -
te proporcional y redacta un problema. Intercambia sus problemas con otra pareja de compañeros, resuélvanlos y comenten sus conclusiones con el profesor (a).
197
198198 Eje: Manejo Eje: Manejo
de la información
¿De cuántas maneras podré hacerlo?
T
oma una regleta roja, una rosa y una amarilla. ¿De cuántas maneras diferentes puedes acomodarlas en línea? haz una lista con las combinaciones y coméntalas con tus compañeros.
• ¿Alguien ene menos combinaciones que tú? ¿por qué? • ¿Alguien ene más combinaciones que tú? ¿por qué? Vamos a tomar sólo las regletas roja y rosa. ¿De cuántas maneras diferen tes puedes acomodarlas? Sólo enes dos opciones, ¿no? Si colocas la regleta roja primero, sólo te queda la rosa para colocar después. Y si colocas la regleta rosa primero, sólo te queda la regleta roja para colocar después.
r
R
R
r Fig. 1
• ¿Sabes por qué algunos de ustedes tuvieron más o menos combinacio nes en la lista del primer ejercicio cuando trabajaron con las regletas roja, rosa y amarilla? Probablemente porque no llevaron un esquema o un orden para ver las opciones de acomodo.
En muchas situaciones de las que se te plantean, hacer un dibujo o construir una tabla o un diagrama donde representes lo que se te pide, te puede ayudar a encontrar soluciones.
CONTENIDO: d a d i
Resolución de l i problemas de b a conteo b o mediante r p diversos e procedimientos. d Búsqueda s e de recursos n para vericar i o los resultados. c
o N TEMA
Manejo de la información Eje: Manejo Eje:
•
En matemácas un diagrama es una repre-
sentación gráca de la relación entre varios ob jeto jetoss ma mate temá mác cos os.. Un diagrama de árbol e árbol ess
una gráca en la que se muestra la relación entre varios componentes. El siguiente ejemplo es un diagrama de árbol: Raiz
Padre Madre Hijo
Nociones de probabilidad
• ¿Qué po de diagrama o tabla puedes construir para encontrar de forma ordenada las opciones de acomodo de las regletas sin que te falte ninguna? Supongamos que tomas primero la regleta roja, entonces para la segunda opción, puedes tomar la regleta rosa o la amarilla. Si tomas la rosa, sólo te queda para la tercera opción la regleta amarilla, pero si tomas la amarilla para la segunda opción, te queda la rosa como tercera opción. Este arre glo nos indica que si iniciamos con la regleta roja, tenemos dos opciones: Primera.- roja, rosa y amarilla. Segunda.- roja, amarilla y rosa. Connúa construyendo las demás opciones hasta que hayas iniciado con todos los colores. Completa el siguiente diagrama y al nal cuenta la candad de combinaciones que salieron.
Hija
Opción 1
Opción 2
R
Opción 3
a
rRa
r a
R
ra R R
R
R a a
a Ahora sí, enes la certeza de que no te faltó ninguna combinación. A este po de arreglos le llamamos diagrama de árbol y nos sirve para contar ordenadamente las combinaciones que resultaron de nuestras opciones con las regletas. Además nos ayuda a asegurarnos de que no deja -
199
mos ninguna combinación sin contar. Se llama así por que de cada rama salen ramas nuevas, como si fueran ramas de un árbol.
200
Manejo de la información Eje: Manejo Eje:
Nociones de probabilidad
•
Fíjate muy bien en lo que hicimos:
3 x
=
x
¿Cuántas
¿Cuántas
¿Cuántas
regletas tengo1?para la opción
melaquedan opción para 2?
melaquedan opción para 3?
Total de de combinaciones
Supongamos que ahora queremos ver cuántas parejas podemos hacer con las regletas de tal manera que la primera regleta tenga un valor impar (blanca, verde claro, amarilla, amaril la, negra y azul) y la segunda tenga un valor pa parr (roja, rosa, verde oscuro, café y naranja). • ¿Cuántas posibles combinaciones puedes formar? Realiza un diagrama o una tabla con la que puedas facilitar el cálculo de las posibles combinaciones.
Comenta con tus compañeros cuántas posibles combinaciones encontra ron ellos y observen si todos encontraron las mismas posibilidades. Si no es así, invesguen por qué no coinciden y traten de buscar la mejor alternava para hacer este conteo.
Un arreglo rectangular es un modelo gráco a base de las y columnas que te permite visualizar de manera rápida los posibles resultados en una combinación de opciones.
Otra de las herramientas que se pueden usar en este po de ejercicios de conteo es el arreglo rectangular o arreglo cartesiano. Este po de arreglos te sirven cuando enes que tomar dos decisiones. En la primera columna colocas los elementos que enes para tomar una primera decisión y en el primer renglón colocas las opciones para una segunda elección. Observa la siguiente tabla y complétala.
REGLETAS
roja
rosa
blanca
blanca, roja
blanca, rosa
verde claro
verde claro, roja
verde claro, rosa
amarillo negro
verde oscuro
café
blanca,
blanca, café
verde oscuro
amarillo, verde oscuro
naranja blanca,
naranja
azul
Eje: Manejo de la información Eje: Manejo
•
Nociones de probabilidad
Responde de acuerdo a los datos de la tabla: para la segun• ¿Cuántas opciones enes para una primera decisión? ¿Y para da decisión? • ¿Cuántas posibles combinaciones de tener primero una regleta con valor impar y después una regleta con valor par? ¿Encuentras alguna rela ción entre el número de opciones en las decisiones y la candad de combinaciones posibles? Ya conoces al menos dos formas de ordenar los datos para ver las opcio nes de solución que se han planteado. Si entre tus compañeros han surgido más propuestas, analícenlas con tu profesor (a) y veriquen qué tan facbles son.
Hagamos ejercicios Pongamos en prácca lo que has aprendido. Resuelve los siguientes siguie ntes ejerci-
cios ulizando cualquiera de los métodos que hemos trabajado. Compara resultados y métodos ulizados. 1 Mariana ene una esta hoy en la noche, pero es muy indecisa. Sacó de su cajón de ropa 3 blusas y 4 faldas. De cuántas maneras disntas podrá combinarlas para la esta? Determina cuántos números de dos cifras, sin repeción de cifras, pueden escribirse con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5. Cuando tengas las diferen tes combinaciones contesta: • ¿Cuántas de esas cifras empiezan con 2? 2
• ¿Cuántas son pares? • ¿Cuántas son mayores que 25? • ¿Cuántas son múlplos de 5? 3 Ahora encuentra cuántos números de tres cifras sin repeción pueden
formarse con el 1, 2, 3, 4, 5, y 6 4 En
un restaurante se sirven comidas corridas que constan de: sopa, plato fuerte y postre. El menú para el día de hoy es el siguiente. Fonda Doña Laura
Menú:
201
• Sopa de:
• Plato fuerte:
• Postre:
Fideos
Pollo a la parrilla Bistec en salsa verde Calabazas rellenas de queso
Gelana de mango Pié de piña
Verduras
202202 Eje: Manejo Eje: Manejo
de la información
Nociones de probabilidad
•
• ¿De cuántas formas formas puede un cliente seleccionar una comida completa? • ¿En cuántas de estas comidas no se incluye carne? • ¿Si un cliente no quiere postre, cuántas opciones diferentes de menú ene? 5 José, Luis, Juan y Javier quedaron de verse en la cancha de basquetbol
para jugar un rato en la tarde. Cada uno viene de diferente lugar. Encuentra todos los ordenamientos posibles en que pudieron haber llegado los muchachos a la cancha. Suponiendo que Juan llegó primero, determina los ordenamientos en que pudieron haber llegado sus tres amigos. Para formar un comité de organización de la kermés de la escuela, se eligen tres estudiantes entre Lorena, Paola, Diego, Soa, Sebasán y Andrés. 6
• ¿Cuántos comités disntos se pueden formar? • ¿Cuántos de esos comités pueden formarse sólo con mujeres? • ¿Cuántos pueden formarse sólo con hombres? En la escuela de Pedro se imparten 4 talleres diferentes: mecánica, contabilidad, computación y electricidad. También hay tres acvidades deporvas: futbol, basquetbol y atlesmo. Si cada alumno ene que llevar una acvidad deporva y un taller, ¿cuántas posibles combinaciones se pueden registrar? 7
8 ¿De cuántas formas diferentes se pueden
ordenar las 5 vocales?
9 Beatriz invitó a
sus amigas Lourdes y Lorena a su casa. Tiene una silla, un banco y un taburete para sentarse a placar con ellas. ¿De cuántas maneras disntas pueden sentarse a placar las tres amigas? 10 Plantea una
situación en la que puedas aplicar un diagrama de árbol y otra que puedas resolver con un arreglo rectangular, diferentes a las ya expuestas en los ejercicios anteriores. Compártelas con tu profesor (a) y tus compañeros.
Eje: Manejo de la información Eje: Manejo
Interpretando la información s CONTENIDO: o t a Lectura de d e información d representada n en grácas ó i de barras y c a circulares, t n provenientes e de diarios o s e r revistas y de p otras fuentes. e r Comunicación y i s i l á n A TEMA
de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráca más adecuada.
L
as tablas son una herramienta muy úl que se usa cuando queremos
ordenar información y darla a conocer de tal forma que sea fácil encontrar los datos que requiera quien va a interpretar la información. Vamos a iniciar con una gráca sencilla. El Instuto Nacional para la Educación del Adulto, en su página de Internet, nos da la siguiente información acerca del número de adultos que han sido atendidos por la instución en el estado de Oaxaca, de enero a sepembre del 2009. Educación de Adultos en Oaxaca
Enero - sepembre 2009 40000
35000 s a t l u d a s a n o s r e p e d o r e m ú N
30000
25000 20000
15000 10000
5000 0
Alfabezación
Primaria
Fuente: hp://www.inea.gob.mx/
hp://200.77.230.29:8080/Numeros/
Secundaria
203
204204 Eje: Manejo Eje: Manejo
de la información
Análisis y representación de datos
•
Observa la gráca y responde: Una gráca o diagrama
• ¿Cuántos adultos adultos están siendo atendidos atendidos aproximadamente aproximadamente en el programa de alfabezación?
de barras es la forma de graficar datos que facilitan la comparación entre dis-
atendidos en el programa de educación primaria? • ¿Cuántos están siendo atendidos
tintos ción. grupos de informa-
• ¿Cuántos están siendo atendidos en el programa de secundaria? • ¿Cuántos están atendidos en total? • ¿Qué otra información puedes dar acerca de la educación para el adulto en el estado de Oaxaca analizando la gráca? Vamos a analizar otra gráca de barras:
En esta gráca te presentamos los resultados de la prueba Enlace 2009. Los resultados pertenecen a la Educación Media Superior, a nivel nacio nal en habilidades matemácas. Resultados ENLACE 2009
Educación Media Superior, habilidades matemácas 400,000
350,000 s e t n a i d u t s e e d o r e m ú N
300,000
250,000 200,000
150,000 100,000
50,000 0
Insuciente
Elemental
Bueno
Excelente
Fuente: hp://enlace. hp://enlace.sep.gob.mx/m sep.gob.mx/ms/docs/stat s/docs/stats/EMS/nvl/NVL_HM s/EMS/nvl/NVL_HM.pdf .pdf
Ahora no vamos a darte las preguntas, te vas a juntar en equipos, analizar la gráca y elaborar 5 preguntas que se puedan responder con la informa-
El diagrama de barras barras muestra cuantitativamente a través de barras hori-
zontales o vercales del mismo grosor con alturas proporcionales a las candades que se están representando.
ción de la gráca. Al terminar intercambia tus preguntas con otro equipo y respondan las preguntas que les tocaron. Eje: Manejo de la información Eje: Manejo
Análisis y representación de datos
•
Construyendo gráficas de barras… A connuación te presentamos una tabla con los resultados del medallero de la Olimpiada Nacional 2009. Te presentamos sólo los resultados obtenidos por los estados que ocupa ron los 10 primeros lugares. Posición
Endad
Oro
Plata
Bronce
TOTAL
1
Jalisco
331
291
277
899
2
Nuevo León
245
207
258
710
3
Baja California
194
186
178
558
4
Sonora
125
93
107
325
5
Yucatán
76
96
110
282
6
D.F.
69
68
109
246
7
México
66
90
99
255
8
Chihuahua
60
74
79
213
9
Guanajuato
45
57
70
172
Veracruz
44
27
65
136
10
Fuente: hp://www.deporte.gob.mx/eventos/on2009/resultados/base_medallas_02.asp
Vamos a dividir al grupo en 4 equipos. Cada equipo va a construir una gráca, un equipo hará la gráca de barras de las medallas de bronce de cada equipo, otro de los resultados de las medallas de plata, otro equipo de las de oro y otro del total de medallas por estado. Deben elegir la escala que les conviene poner para construir sus grácas. Elaboren sus gracas en un papel grande o una cartulina para que se pue dan poner en el salón y todos las puedan ver y comparar. Al terminar sus grácas, elaboren 5 preguntas de la información que arro ja la gráca gráca para para que las responda respondan n los demás equipos al observarla. observarla. Cuando hayan terminado las cuatro grácas, todos juntos, hagan una
205
comparación entre ellas.
206206 Eje: Manejo Eje: Manejo
de la información
Análisis y representación de datos
•
También podemos po demos hacer gráficas circulares Las grácas circulares nos permiten trabajar porcentajes y para poder comparar un porcentaje con otro, es muy importante saber la candad en las se basan poder interpretarlas adecuadamente. Paraque poder hacerpara grácas circulares se requiere dividir el círculo en partes que representan los porcentajes. Vamos a trabajar en tu geoplano circular.
15o
Sabemos que el círculo ene 360 o. Para hacer una gráca circular conside ramos 360o como el 100%. Si nuestro geoplano ene 24 pivotes, dividimos el 100% entre 24 para en contrar qué porcentaje le corresponde a cada distancia entre pivotes.
100/24= 4.166 Esto signica que a cada espacio del pivote le asignaremos un 4.166%.
Observa la siguiente gráca en la que se representa el porcentaje de gastos dentro de una ocina. Analízala y calcula el porcentaje que le corresponde a cada zona:
d c
e a
Las grácas circulares
conocidas también como diagrama de sectores sirven para comparar datos en base a un total. Gene-
ralmente se le dibuja en forma de pastel y representa la información en porcentajes.
b
Eje: Manejo de la información Eje: Manejo
Análisis y representación de datos
•
Anota los datos que obtuviste: a
Nómina e impuestos__ impuestos_______________________ _______________________ __
b
Renta y servicios____________________________ servicios____________________________
c
Viácos___________________________________
d
Papelería__________________________________
e
Otros gastos_______________________________
Cuando las grácas no las construimos en el geoplano, entonces debemos trazar con compás y transportador el área que represente cada porcentaje. Los porcentajes de las gracas circulares se calculan con regla de tres, considerando que 360o es equivalente al 100%.
Por ejemplo: ¿A cuántos grados corresponde el 25%? * Establece tu regla de tres: * Encuentra el valor faltante:
Traza lo que corresponde al 25% con tu compás y transportador. ACTIVIDAD 1
Vamos a construir ahora una gráca circular con los datos de la tabla de re-
sultados de la Olimpiada Nacional 2009 pero ulizando sólo el resultado de los primeros cinco estados. Trabajen en los mismos equipos que trabajaron la acvidad anterior y cons truyan sus grácas circulares. Recuerda que van a tener que denir cuál es la frecuencia absoluta para que sea el 100% y de ahí ir sacando los porcentajes relavos.
207
Comparen las grácas de barras con las circulares y analicen qué datos son más fáciles de interpretar en una y en otra así como qué ventajas y desven tajas ven en ambas. 208208 Eje: Manejo Eje: Manejo
de la información
Síntesis
•
Síntesis: connuación te damos la síntesis para el bloque 4, para que recuerdes los con ceptos más importantes con los que trabajamos en este bloque. Es importante
A
que los leas y los recuerdes pues los ulizarás a lo largo de tu formación secundaria.
Números con signo: Los números que son iguales pero de signo contrario se llaman números opuestos o si -
métricos El opuesto o simétrico del número a es el número -a. El adjevo «opuesto» viene del he cho de que en la recta numérica, los números a y -a están a la misma distancia del origen, solo que en lados opuestos.
Para la suma, el elemento inverso de a es -a, porque a + (-a) = 0 y el elemento neutro es el cero, porque a + 0 = a, para todo a en los números reales. Si queremos sumar dos números con el mismo signo, debemos de respetar el signo y sumar los valores absolutos de ambos números. Si queremos sumar dos números de diferente signo debemos de dejar el signo del mayor y restar los valores absolutos de ambos números.
Círculo y circunferencia: El radio es la distancia del centro de una circunferencia a cualquiera de sus puntos. Una cuerda es un segmento de recta que ene sus puntos extremos sobre la misma
circunferencia. El diámetro de una circunferencia es la cuerda más larga que se le puede dibujar. En
otras palabras, el diámetro es el segmento de recta que ene sus extremos sobre la circunferencia circunfe rencia y pasa por el centro de ella. El centro de una gura es el punto de simetría de la misma. En las guras mostradas, C es el centro.
•C
•C
La circunferencia es el conjunto de puntos del plano que están a la misma distancia de un punto jo C que es el centro de la circunferencia. La distancia del centro de la circunferencia a cualquiera de sus puntos se llama radio (r) A la circunferencia no le podemos medir el área, pues es un segmento de línea curva, pero sí podemos calcular su longitud (perímetro):
C i
r
c u
•
n
e
f
r
e
n c i a
Perímetro = 2 r = d
Síntesis • Bloque 4
Síntesis
•
C i
El círculo es el área que queda delimitada por una circunferencia.
r
c
u
•
n
e
f
Círculo
r
e
n c i a
Podemos decir que el círculo es el conjunto de puntos que están a una menor distancia r de
un punto jo C, llamado centro. La distancia r se se llama radio del círculo. Para calcular el área del círculo se usa la fórmula:
Área = r2
Proporcionalidad idad directa, inversa y sus representaciones: Proporcional Una relación funcional se puede representar de diferentes formas: una tabla, una gráca
o una expresión algebraica. La variación proporcional es una relación que se establece entre dos candades en las que al variar una, varía también la otra. Cuando dos candades están en proporción de manera que al crecer una de las candades, la otra crece la misma candad de veces, entonces las candades están en proporción directa. Cuando dos candades están en proporción de manera que al crecer una de las candades, la otra decrece la misma candad de veces, entonces las candades están en proporción inversa.
Diagramas: En matemácas se ulizan diagramas para representar grácamente la rrelación elación entre
varios objetos matemácos. Un diagrama de árbol es una gráca en la que se muestra la relación entre varios com ponentes y un arreglo rectangular es un modelo gráco a base de las y columnas que
te permite visualizar de manera rápida los posibles resultados en una combinación de opciones. Una gráca o diagrama de barras es la forma de gracar datos que facilita la compara-
ción entre disntos grupos de información. El diagrama de barras muestra cuantavamente a través de barras horizontales o ver cales de mismo grosor con alturas proporcionales a las candades que se están repre sentando. Las grácas circulares conocidas también como diagrama de sectores sirven para compa -
rar datos en base a un total. Generalmente se le dibuja en forma de pastel y representa
209
la información en porcentajes.
210 210
Síntesis • Bloque 4
Evaluación
•
Evaluación Escribe tu respuesta en esta hoja. Realiza tus trazos y operaciones en una hoja aparte. 1 Obtén el resultado en cada una de las siguientes operaciones
a) - 33 - 48 =
b) - 33 + 48 =
c) - 33 - 48 =
d) + 33 + 48 =
2 ¿En cuál de las operaciones anteriores el resultado es menor? 3 Si abres tu compás a 7 cm y trazas un círculo círculo::
a) ¿Cuánto medir mediráá la circunfer circunferencia? encia? b) ¿Cuál será el área del cír círculo culo trazado? 4 Jorge es ciclista y ene una bicicleta cuyas llantas enen 65 cm de diámetro.
¿Cuántas vueltas dará una rueda de su bicicleta en un recorrido de un kilómetro? 5 En la siguiente tabla se muestra el cobro bimestral en función de consumo de energía
eléctrica. Llena los espacios vacíos con el valor correcto. Puedes usar tu calculadora. Consumo (kwh)
Cobro bimestral ($)
786
982.50
578 400
500
615 926.52 1500.5 12 cm
6 La imagen de la derecha muestra un disco DVD. Su diámetro es de 12 cm.
El oricio central ene un diámetro de 15 mm. Como sabrás, sólo la parte plateada sirve para almacenar información y en
15 mm
los dvd’s existe una franja con grosor de 9 mm en la que no existe recubrimiento plateado.
a) ¿Cuál es el área total del dvd dvd?? b) ¿Cuál es eell área qu quee cubre la supercie plateada? 7 Representa mediante un diagrama de árbol las diferentes combinaciones de ropa
que puede llevar Lourdes a la esta, si ene 3 faldas, 4 blusas y 2 pares de zapatos. 8 Ahora formen 7 equipos con los compañeros del salón y hagan un sorteo de los 7
apartados de este bloque. Cada equipo, elabore un problema, ejercicio o situación didácca del apartado que les tocó y resuélvanlo. Muéstrenlo al profesor(a) para que lo revise, tanto el planteamiento
9 mm
del ejercicio como la solución. 9 Cada equipo, comparta al grupo el ejercicio que elaboraron para que se resuelva de
forma grupal. Compartan las diferentes estrategias de solución que uliza cada uno para resolver los ejercicios planteados por sus compañeros de clase. Evaluación • Bloque 4
BLOQUE 5
211
212
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Competencias que se favorecen: Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas ecientemente
EJES Aprendizajes esperados
• Resuelve problemas aditivos que implican el uso de números enteros,
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas aditivos
fraccionarios o decimales positivos y negativos.
• Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.
• Resuelve problemas que impliquen el cálculo de la
Problemas multiplicativos
raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales. • Resuelve problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna o externa es un número fracciofraccio nario.
• Uso de la notación cientíca para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas. • Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.
Patrones y ecuaciones Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética.
Forma, espacio y medida
Medida Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.
Manejo de la información
Proporcionalidad y funciones Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico 213 213
A jugar con números y sus signos s o v i t i d a s a m e l b o r P
Hagamos ejercicios
CONTENIDO: Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.
1 Diego juega futbol americano en el equipo de su facultad en la UNAM.
En la primera oportunidad, en un juego su equipo avanzó 14 yd, en la se-
gunda perdió 3, en la tercera avanzó 18 y en la úlma oportunidad perdió 4. ¿Cuántas yardas logró avanzar el equipo? 2 Marina y Fernanda están jugando cartas. De un juego
de baraja clásico
sacaron los comodines y las cartas que enen letras (J, Q, R) de tal manera que se quedaron sólo con las cartas que están numeradas del 1 al 10. Se reparten las cartas y el juego consiste en poner 2 cartas sobre la mesa y
TEMA
sumar su valor, sólo que si la carta es negra el valor es posivo y si es roja, el valor es negavo. El que obtenga un valor mayor en cada parda gana un punto. Completa las tablas. Gana
Fernanda
Marina
1
-4
+6
=
1
+8
-2
=
2
+7
-5
=
2
+7
-7
=
3
+9
+6
=
-2
=
19
4
-8
=
14
=
6
o
N a d t r a P
Mar.
3 4
+9
Fer.
o
5
+6
-2
=
6
-4
+10
=
7
-5
8 9 10
+2
N a d t r a P
5
=
6
=
=
-12
7
+8
=
-1
8
-2
=
9
=
-8
10
-7
=
-13
+9
=
3
+4
=
6
=
-10
3 Representa los siguientes ejercicios con una operación de acuerdo a lo que se te pide, conside -
rando que en un edicio se idencan con + los pisos de la torre y con los del sótano. Un elevadorista tuvo una jornada de trabajo en la que inició en:
214
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas aditivos
•
a
La planta baja (piso 0) y subió al piso 5.
b
En ese piso subió una señora que le pidió ir tres pisos más arriba.
c
De ahí bajó 9 pisos. ¿A dónde llegó?
d
Del sótano 1 le pidieron ir al sótano 6. ¿Cuánto tuvo que bajar?
e
Si de ahí subió 8 pisos, ¿a dónde llegó?
f
Alguien en el piso 12 pidió el elevador. ¿Cuántos pisos ene qué subir para ir a darle servicio?
g
Si el señor del piso 12 quiere bajar al sótano 2 a recoger su coche, ¿cuántos pisos debe bajar?
h
Ahora el elevadorista quiere ir a buscar un almuerzo a la planta baja (piso 0). ¿Qué debe hacer?
En una ciudad se registran varias temperaturas durante el año. Si la temperatura mínima del año fue de - 8o C y la máxima fue de 36o C, ¿cuál es la diferencia entre las temperaturas extremas de la ciudad? 4
5 Un
deln nada a una profundidad de 5m en el mar. En un helicóptero que está a 19 m sobre el
nivel del mar, un camarógrafo lma un video del deln. ¿Qué distancia hay entre el camarógrafo y el deln? Cuando la NASA lanza un cohete al espacio, la turbina que lo impulsa se desprende a cierta altura y cae al mar. Un cohete desprendió su turbina cuando alcanzó una altura de 3,800 m sobre sob re el nivel niv el del d el mar. m ar. Si la 6
turbina alcanzó una profundidad de 800 metros bajo el mar, ¿qué distancia recorrió la turbina? 7 En un
cuadrado mágico, la suma de las vercales, las horizontales y las diagonales debe dar el
mismo resultado. Completa los siguientes cuadrados mágicos para que se cumplan las condiciones con las cifras
que se te dan. La suma de las vercales, horizontales y diagonales vale 0. c
b
a
-4 0
6 2 -3
Coloca 4, -2, 3, -1, 1
3 0 Coloca -9, -6, -3, 9, 12, 15
13 1 - 11 Coloca 17, 9, 5, -3,-7, -15
8 Con tus compañeros plantea dos
problemas que involucren números con signo, intercámbien-
los entre ustedes y resuélvanlos.
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico 215215
Los aviones y las torres s CONTENIDO: o v Uso de la notanota i t ción cientíca a c para realizar i l p cálculos en los i t l que intervie u nen cantidades m muy grandes o s a muy pequeñas. m e l b o r
E
n la etapa propedéuca de tu libro estuvimos trabajando con los aviones para representar los productos, ¿recuerdas?
Para representar 6 (4) cruzamos una regleta V y una R como si
fueran un avión:
V (R) = 6 (4) = 24
P
Cuando los productos enen
TEMA
más de dos factores iguales, les llamamos torres.
(r) (r) (r) = 2 (2) (2)
Con una regleta de algún color busca qué altura ene la torre. • ¿Cuál fue? Entonces podemos representar:
=
(r) (r) (r)
=
r3
Exponente Base
Una potencia es el re-
sultado de mulplicar un número (la base) por sí mismo varias veces. base
exponente
Representa con tus regletas las siguientes torres y encuentra su altura. Da el resultado con notación en exponentes. 1
4 (4) (4) =
4
5 (5) (5) (5) =
23 = 8
2
3 (3) (3) =
3
6 (6) =
3
2 =2x2x2=8
216
5
8 (8) (8) (8) (8) =
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas multiplicativo multiplicativoss
•
¿Qué hacemos con números con valor muy grande? Todo esto que hasta ahora hemos hecho nos va a ser muy úl para poder expresar números con valores muy grandes de manera simplicada. Dado que nuestro sistema es decimal (base 10), podemos representar los números como un desarrollo de potencias de diez. Te ponemos un ejemplo: Representa con tus regletas el número 4,200.
R
N
v
N
r
4 (N3) 4 (103)
2 (N2) 2 (102)
Base 10
Base 10
r
En ocasiones hace falta manejar números con valor muy grande o con valor muy pequeño como las distancias astronómicas o las medidas de un microbio.
Para ello las potencias de 10 nos serán muy úles. Representa en potencias de 10: 1
100 =
4
100,000 =
2
1000 =
5
1’000,000 =
3
10,000 =
6
1000 000 000 000 =
Pues bien, ahora vamos a desglosar los números para que se puedan representar en potencias de 10:
• Si tenemos 358 000, ¿lo podríamos representar como 358 x 1000? Es decir: 358 000 = 358 x 1000
= 358 x 103
• ¿Estás de acuerdo?
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
multiplicativoss Problemas multiplicativo
•
Representa en potencias de 10 las siguientes cantidades: 1
4’520,000 =
4
478,000 =
2
3,500 =
5
250 =
3
27,200 =
La notación cienca es una forma de escribir números muy grandes o muy pequeños. La forma de escribir un núme-
ro en notación cienca se basa en la primera cifra del número, inme-
diatamente después el punto decimal y algunas otras cifras del número complementando con el número 10 elevado a una potencia igual al número de cifras que queda recorrido el punto decimal a la izquierda.
Esta forma de representar los números en potencias de 10 se llama notación cienca. Seguro la habrás visto ya en tu calculadora. Se sabe que en promedio, la distancia de Urano al Sol es de 2 873 000 000 Km.
¿Puedes expresar esta distancia en notación cienca? La distancia de la Tierra al Sol es de alrededor de 150 000 000 Km y la luz del Sol viaja aproximadamente a 300 000 Km/s.
• ¿Puedes escribir ambas cifras en notación cienca? encontrar, usando la notación cienca c ienca y las leyes de los • ¿Puedes encontrar, expo nentes, cuánto tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra?
¿Qué hacemos con los números con valor muy pequeño? Primero convierte a fracción las siguientes candades: 1
0.1 =
3
0.001 =
2
0.01 =
4
0.0001 =
Las fracciones decimales también pueden representarse como potencias de 10:
1 = 1 100 10 2 Representa en potencias de 10 las siguientes candades: a
1 = 10
b
1 = 1000
217
1 = 10,000
c
218
d
1 = 100,000
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
multiplicativos os Problemas multiplicativ
•
De igual forma que trabajamos con números con valor muy grande, podemos trabajar con números con valor muy pequeño y representarlos con potencias de
10, sólo que negavas, tal como lo aprendiste cuando trabajamos las leyes de los los exponentes:
.25 = 25 x 10 -2 .000095 = 95 x 10 -6 En general, para cifras muy grandes se recorre el punto decimal hacia la izquierda y se cuentan los lugares que se recorren hasta dejar una sola cifra entera . El número de lugares recorridos es el exponente de 10.
9 000 000 = 9 x 10 6 Se recorre el punto 6 lugares hacia la izquierda.
Para las candades muy pequeñas se procede de manera similar, sólo que el punto se recorre a la derecha hasta tener un número entero y el exponente
es negavo:
.000009 = 9 x 10 -6 Se recorre el punto 6 lugares a la derecha.
Hagamos ejercicios Convierte a notación científica y viceversa: 1
365 000 000 000 =
2
0. 00000021 =
3
57 x 10 -2 =
4
9 x 10 10 =
5
0.00004528 =
6
Una molécula que mide 1.07 x 10 -19 g =
7
La masa de la atmósfera 5
8
El río Usumacinta mide 854
x 1021 g = 000 m =
Como verás hay muchas cosas en la naturaleza que enen dimensiones grandísimas o pequeñísimas, busca en algunos libros de ciencias (sica, química, biología) medidas que estén en esta notación cienca y com pártelas con tus compañeros. Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Vamos a recordar recordar... ... s CONTENIDO: o v i t Resolución de a c problemas que i l impliquen el p i cálculo de la t l raíz cuadrada u m (diferentes s métodos) a y la potencia m e de exponente l natural de b o números r P naturales y decimales. TEMA
E
n la etapa propedéutica de tu libro trabajamos con números cuadrados y cúbicos, ¿recuerdas?
Se dice que un número es un número cuadrado cuando con el podemos construir un cuadrado exacto. Por ejemplo: toma 9 regletas blancas y construye un cuadrado. ¿Se puede?
• ¿Cuánto mide por lado? Entonces podemos decir que el 9 es un número cuadrado porque con el puedo construir un cuadrado que mide 3 por lado.
V V
3
V 3 La raíz es el número
= 3 veces 3 = 3 x 3 = 9
que mulplicado un número de veces indicado, resulta igual a otro valor dado. Por ejemplo, la raíz cúbi-
ca (el índice es 3) de 27 es 3, porque 33 = 27. La raíz quinta de 32 es 2, porque 25 = 32. La raíz cuadrada se denota con el signo de radical:
Este cuadrado, entonces ene una raíz. Se llama raíz al número que da
sustento al cuadrado del 9 y 9 y que además lo conene por todos lados. Es como en las plantas, lo que da sustento y alimenta a una planta es su raíz, ¿no? Pues entonces imagina que lo que da sustento a un cuadrado
del 9 es su base, que además la ene por todos sus lados. Entonces tenemos que: 3
y las raíces de mayor or-
3 2 = 9
219
Entonces: den con un índice que
9 = 3
3
indica la raíz enésima: n
220
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas multiplicati multiplicativos vos
•
También sabemos que el 9 ene un solo factor: el tres y que el producto 9 se obene de mulplicar 3 veces 3 lo que, con regletas se representa así:
v
• Si quisiéramos encontrar la altura de esta torre de regletas verde claro, ¿qué regleta me indica la altura de la torre? Es decir que mi torre ene una altura de dos. Entonces puedo representar
v
mi producto 9 como una torre de regletas verde claro con una altura de 2: Es decir que es una regleta verde claro elevada a una altura de dos.
3x 3
v
32
r Elevado a una altura 2
Base 3
Hagamos otro ejemplo. Toma 8 regletas blancas y construye un cubo.
Si quisiéramos hacer un cubo del mismo tamaño pero con regletas de algún
color, ¿de qué color sería mi cubo? r
• ¿Qué tuviste que hacer primero para poder hacer un cubo de regletas rojas? • Claro, una base. ¿De qué medidas?
r
Eso signica que tu base mide 2 x 2.
r
• Y ¿cuántas veces encimaste esa base para para poder tener el cubo? O sea que tu cubo sería 2
2 veces 2=
x 2 x 2.
Igual que en el cuadrado, el cubo también ene una raíz, en este caso: • ¿Qué número sosene y da soporte al cubo del 8 por donde quiera que lo veas? Así es… el 2. representamos el producto 2 x 2 x 2 en forma de torre con tus regle• Si representamos tas, ¿cómo quedaría?
• Y si quiero encontrar una regleta que me indique la altura de esa torre, ¿qué regleta me sirve?
r r r
Entonces el cubo de 8 lo puedo representar representar como:
r r r
=
r
v
=
3
Elevado a una altura 3
2x 2
2 Base 2
Es decir que tengo una base de 2 para mi torre y la elevo a una altura de 3.
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
multiplicativoss Problemas multiplicativo
•
ACTIVIDAD 1
Representa las siguientes operaciones con tus regletas en forma de torre, en forma de potencia y de forma numérica donde expreses cuánto mide la base de cada una de las torres y cuál es su altura. a
3
x 3 x 3 x 3=
b
6
x6 x 6=
c
5
x5x5x5x5x5=
d
7
x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7=
La potencia es el re-
sultado de mulplicar
un número (la base) por sí mismo varias veces. El exponente es el número que indica cuántas veces se mulplicará la base. exponente base
5
2 = 32 potencia
25 = 2x2x2x2x2= 32
Podemos abreviar las mulplicaciones de factores iguales expresando éste factor como una potencia.
6 x 6 x 6 x 6 = 6 4 Donde el 6 es la base (la medida de la base de nuestra torre) y 4 es en exponente (la altura a la que estamos elevando la base) y se lee “seis a la cuarta potencia”.
Todo número eleva-
ACTIVIDAD 2
do a una potencia 0 es igual a la unidad:
20 = 1 n0 = 1
Indica cuál es la base y cuál el exponente y calcula las potencias:
a
24=
c
33=
b
63=
d
72=
Expresa de manera exponencial los siguientes problemas y resuélvelos. Puedes usar tu calculadora.
Hagamos ejercicios 1 En
un cine hay 34 las de 34 butacas cada una. ¿Cuántas butacas ene el cine?
2 En
un camión se transportan 15 cajas grandes que conenen a su vez 15 cajas pequeñas que conenen 15 bolsas con 15 paletas cada una. a
¿Cuántas cajas pequeñas hay en el camión?
b
¿Cuántas bolsas de paletas lleva el camión?
c
¿Cuántas paletas en total se están transportando?
221
3 Cuenta una historia egipcia que en
una aldea había 7 chozas y que en cada choza había 7 gatos. Cada gato había matado 7 ratones que se habían comido 7 granos de cebada cada uno. Si cada grano de cebada habría dado 7 medidas de cebada, responde: 222
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraic algebraico o
Problemas multiplicati multiplicativos vos
•
a
¿Cuántos gatos había?
b
¿Cuántos ratones mataron?
c
¿Cuántos granos se habían comido los ratones en total?
d
Si lo ratones no se hubieran comido los granos, ¿cuántas medidas de cebada se hubieran
logrado con ellos?
Construyamos cuadrados Vamos a llenar esta tabla con el valor de
Colo lorr de de la la reg regle leta ta Me Medi dida da del del lado lado Co
los cuadrados que puedes hacer con tus regletas por que nos va a servir para calcular cuadrados de otros números que no son exactos.
Blanca
1
1x1=1
Roja
2
2x2=4
Si te pedimos que calcules la raíz de
Verde claro
cualquier número de los que construiste, la puedes encontrar porque es un número exacto.
Rosa
• ¿Pero, qué pasa si te pedimos que encuentres la raíz del 55?
Valo lorr de del cua cuadr drad ado o
Amarillo
Verde oscuro Negro
Para esto tenemos que hacer un cálculo por aproximación.
Café
• Entre qué números cuadrados de los Azul
que conoces está el 55?
49
55
Naranja
64
Si saco raíz a los tres:
49
55
64
7
55
8
Esto signica que la raíz de 55 es un número que está entre 7 y 8. Entre el cuadrado de 7 (49) y el de 8 (64) hay 15 números. Por lo tanto, en la mitad (7.5) estaría el .5, pero con el 55 son 49 + 6. No llega a la mitad.
.5, pero con el 55 son 49
6. No llega a la mitad.
aproximación? • ¿Cuánto crees que pueda ser su aproximación? * Vamos a buscar una aproximación más cercana…..por ejemplo 7.5 2 * Calculamos (7.5) = 56.25
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
multiplicativoss Problemas multiplicativo
•
7
Como el resultado es mayor que 55, entonces tenemos que:
55
7.5
* Vamos ahora a calcular qué pasa con otro número que esté entre 7 y 7.5, pues sabemos que q ue entre esas cifras está nuestra raíz. ¿Te parece si lo intentamos con 7.4? • ¿Te
7.4
(7.4)2 = 54.76
55
7.5
¿Ves?...ya te aproximaste bastante, el chiste es ir encerrando o acotando el intervalo para aproxi marte al valor más cercano, cercano, tan cercano como tú quieras o el ejercicio te lo pida. ACTIVIDAD 3
a
20 =
Calcula por aproximación la raíz de los siguientes números. b
90 =
c
120 =
d
72 =
e
12 =
Hagamos ejercicios 1 La Familia de Mauricio compró un terreno cuadrado de 197 m 2, pero desconocen la medida de
sus lados. A Mauricio y sus hermanos les gusta correr alrededor del terreno. Si la úlma vez que fueron le dieron 5 vueltas corriendo, ¿qué distancia corrieron en total? 2 Paulina sabe que el pao de su casa, que ene forma cuadrada ene 40m 2 de supercie. Quiere
poner alrededor de todo el pao una jardinera de ores. En el invernadero le dijeron que para que las ores tengan suciente espacio para orear se recomienda poner 6 ores en cada metro lineal de la jardinera. ¿Cuántas ores debe comprar paulina para su jardinera? 3 Macarena
necesita enmarcar una de sus pinturas de acuarela en un marco cuadrado muy pequeño, que mide 9.16 cm por lado. Tiene tres pinturas de forma cuadrada que le gustaría poner ahí, una ene 85.19 cm2 de supercie, otra ene 82.81 cm2 y otra 84.82 cm2. ¿Cuál de las tres pinturas se ajusta más a la medida del marco? 4 Javier
colocará una malla alrededor de cierto espacio para hacerle una jaula a su mapache. Si el mapache requiere un espacio de 10.36 m 2 aproximadamente y la jaula será cuadrada, ¿cuánta
malla necesita comprar Javier? 5 Andrea trabaja en un hípico y le gusta cuidar mucho much o a los caballos. Da
equinoterapia a niños con
223
capacidades diferentes por las tardes. Quiere construir un espacio especial para que troten los ca ballos y descansen después de las terapias. Si quiere un espacio cuadrado de 130 m2 de supercie, ¿cuánto debe medir por lado el espacio?
224
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraic algebraico o
Más sucesiones...
E
En el bloque 1 de tu libro, trabajamos con la construcción de sucesiones de números y figuras a partir de una regla dada da da en len-
guaje común. Vamos ahora a trabajar un poco más en ese tema.
Si es necesario revisa lo que ya trabajaste para poder continuar continuar..
Recordando...
CONTENIDO: Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética.
Como podrás recordar un patrón es una repeción de elementos que si guen todos una misma regla.
Con tus regletas, trabaja con el siguiente patrón y connúalo hasta construir al menos ocho términos y regístralos en las hojas de cenmetro cua -
s e n o i c a u c e y s e n o r t a P TEMA
drado de “Mi Cuaderno de registro CIME”:
r
b
r
r
b
b
r
r
r
b b b
Razón es la relación de cambio con la cual una candad varía con respecto de otra.
Encuentra el valor numérico de cada uno de los términos del patrón que construiste: 3, 6, 9, __, __, __, __, __,… Lo que acabas de construir con este patrón es una sucesión. Llamamos sucesión a la lista de números que siguen un determinado patrón o regla
Una progresión aritméca es la lista de
con la que puedes encontrar el siguiente término. A la diferencia constante que encuentras entre un término y otro se le
números que enen la
llama razón.
propiedad que cuales-
quiera dos consecuvos enen una diferencia
• ¿Cuál es el patrón que seguiste en la construcción de la sucesión anterior?
constante.
En álgebra a estas sucesiones les llamamos progresiones. Las progresio-
lista se denota por a1 y la diferencia constante o razón por d . Podemos calcular el enésimo término an de la progresión usando la
nes pueden ser aritmécas o geométricas. En las progresiones aritmécas cada término después de primero se ob ene sumándole al término anterior una candad constante a la que lla-
El primer término de la
mamos razón o diferencia.
En cambio, en las progresiones geométricas cada término después del pri mero se obene mulplicando el término anterior por la razón.
fórmula: an = a1 + d (n -1)
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
•
Patrones Patro nes y ecuaciones
Las progresiones aritméticas
Una progresión geométrica es la lista
Con la progresión que construiste llena la siguiente tabla, nosotros te damos los primeros elementos y vamos a tratar de construir la regla de la progresión:
de números que enen la propiedad que cualesquiera dos consecu-
vos enen una razón
constante. Es decir, si dividimos ai +1 /ai = r para para cualesquiera dos térmi-
Término
Valor
Búsqueda de la regla
1
3
2+1
nos consecuvos de la
2
6
(2+1)+ (2+1)= 2(2+1)
El primer término de la
3
9
2(2+1)+(2+1)=3(2+1)
lista se denota por a1 y la razón constante por r.
4
progresión.
5 6 7 8 9 10
Como podrás observar, lo que hiciste fue agregar (2 + 1) a cada uno de los términos de la progresión para encontrar el término siguiente. Entonces la razón de esta progresión es (2+1) = 3 Te invitamos ahora a construir otra vez la tabla pero dando símbolos alge-
braicos a cada uno de los términos. Llamaremos a a cada término y con el subíndice que le daremos indicaremos el lugar que le corresponde dentro de la progresión: Lugar
dentro de la
Razón d
Búsqueda de la regla
Construcción algebraica
(2+1)= 3
a1
3
3+3
a1 + d
3
3 + 2(3)
a1 + 2d
a4
3
3 + 3(3)
a1 + 3d
a5
3
Término
Valor
1
a1
3
2
a2
6
3
a3
9
4 5
progresión
a1 + 4d
225
1
226
6
a6
3
a1 + 5d
7
a7
3
a1 + 6d
8
a8
3
a1 + 7d
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Patrones Patro nes y ecuaciones
•
¿Podrás connuar la tabla tabla para otros ttérminos érminos de la misma sucesión? Vamos a intentarlo: Lugar
dentro de la
Término
Valor
progresión
12
Razón d
a12
Búsqueda de la regla
Construcción algebraica
a + 11d
3
1
19
3
25
3
47
3
n
3
an
Intercambia con tus compañeros y tu
la razón
profesor(a) las diferentes herramientas y los diferentes caminos que cada uno ulizó para poder generalizar la fórmula del enésimo término de una sucesión. Como podrás ver cada término es igual al primer término de la progresión más la razón por la candad de términos anteriores
an = a1 + d ( n-1) El enésimo término El primer término de una progresión
la candad de términos anteriores
al que estamos buscando.
¡Felicidades! Con esta fórmula que construiste puedes encontrar cualquier término de la progresión.
Hagamos ejercicios Con la fórmula que acabas de encontrar llena la siguiente tabla, en los úlmos renglones propon gan ustedes la progresión y compártanla con sus compañeros: Progresión
Razón
4, 7, 10...
3
1er término
Término a encontrar
Fórmula an = a1 + (n - 1) d
a15
a15 = a1 + (15 - 1) d
5, 10, 15...
a12
3, 10, 17...
a63
1, 3, 5, 7...
a12
15, 19, 23...
a8
31, 38, 45...
a15
Resultado
6
a1 = 2
a9
2
a1 = 20
a25 a10 a15 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
¿En qué podemos aplicar lo aprendido? CONTENIDO:
V
a Uso de las d i fórmulas para d e calcular el M perímetro y TEMA
amos ahora a aplicar lo que hasta ahora hemos aprendido.
Ya tenemos la juscación de varias fórmulas, ya sabemos cómo es-
tán construidas, así que ahora, manos a la obra y vamos vamos a darles uso y aplicación… ¿te parece?
el área del círculo en la resolución de problemas.
Hagamos ejercicios Mónica y Andrea quieren hacer unos círculos de fomi para decorar su salón de clase. La placa que consiguieron de fomi mide 60 cm por 40 cm y 1
quieren sacar 6 círculos de cada placa:
• ¿Cuál será el el diámetro de cada círculo? • ¿Qué supercie supercie ene cada círculo? • ¿Qué supercie de fomi fomi será el área de los seis círculos? círculos? • ¿Qué supercie del del fomi se va a desperdiciar? desperdiciar?
2 César, el hermano
de Mónica y Andrea les sugiere que para que los círculos se vean más bonitos
les pongan alrededor una cinta de un color que contraste, y ellas estuvieron de acuerdo.
• ¿Cuánta cinta se ulizará para cada circunferencia? circunferencias? erencias? • ¿Cuánta cinta necesitan comprar para cubrir las seis circunf 3 So ene una perrita chihuahua que se llama Napi. Cuando la sacan al jardín,
para que no se escape la enen que amarrar a un árbol que está justo en el centro del pao. Si el pao ene forma cuadrada y mide 16 m 2, calcula cuánto ene que medir la cuerda con la que So debe de amarrar a Napi al árbol para que pueda recorrer la máxima distancia y no se aburra.
227
4 María Fernanda, la mamá de So no está muy contenta de que dejen a Napi amarrada en el pao
por que le va a rascar la erra a las macetas. Calcula cuál es el espacio que queda libre en las esquinas, a las que Napi no puede llegar para que María Fernanda ponga sus macetas.
228
Eje: Forma, espacio y medida
Medida
•
A Gustavo, el papá de So, no le convence que quede tan poco espacio libre para las macetas y le pide a So que corte la cuerda de Napi. Gustavo quiere que queden aproximadamente 5 m 2 libres para las macetas y así Napi tendrá 11m2 libres para jugar. ¿Cuánto debe cortar So la cuerda de Napi 5
para que su papá quede conforme con el espacio libre para las macetas? 6 En el centro de un jardín cuadrado, hay una fuente de forma circular. La supercie del jardín mide
3600 m2. La fuente ene un diámetro de 20 metros y alrededor de ella hay un camino de piedras para
poder caminar sin maltratar el pasto que ene 1.5 m de ancho y el resto de la supercie está cubierto de pasto.
Calcula: Calcul a: ¿Qué superf superficie icie del jardín ocupa la fuente? ¿Qué superficie superfic ie está cubiert cubiertaa por por el el cami camino no de piedras y qué supercie queda cubierta de pasto? 7 A connuación
te damos tres guras. Redacta una situación como las que hemos trabajado en la que se puedan ulizar cada una de las guras involucrando tanto área como perímetro en cada uno de ellos.
a
b
13 m
13 m 32 m
c
10 m
26 m
21 m
Resuelvan en el pizarrón algunos de los problemas que redactaron.
Eje: Forma, espacio y medida
¡Vamos a construir...cubos! s e CONTENIDO: n o i c Resolución de n problemas de u proporcionalidad f y múltiple. d a d i l a n o i c r o p o r P TEMA
E
n el bloque anterior trabajamos proporcionalidad y sus factores, algunos directos y otros inversos. Recuerda que al inicio de la acvidad teníamos unos cuadrados, cuadrados, de los cuales c uales encontramos encontramos el factor de proporcionalidad, ya fuese directo o inverso. Esto lo hacíamos con dos cantidades, ahora trabajaremos con más cantidades, más magnitudes . Así pues, la proporcionalidad no sólo se da entre dos variables, se puede dar entre tres o más.
1
Con el menor número posible de regletas construye un cubo color rojo.
a
¿Cuánto mide el área de la base?
b
¿Cuánto miden las aristas?
c
¿Qué forma geométrica enen las bases?
d
¿Cuál es su volumen? r
Con el menor número posible de regletas construye un cubo verde claro.
2
a
¿Cuánto mide el área área de la base?
b
¿Cuánto miden las aristas?
c
¿Qué forma geométrica enen las bases?
d
¿Cuál es su volumen?
229
v
230
Eje: Manejo de la información
Proporcionalidad lidad y funciones Proporciona
•
Y ahora con el menor número posible de regletas construye un cubo color rosa.
a
¿Cuánto mide el el área área de la base?
b
¿Cuánto miden las aristas?
¿Qué forma geométrica enen las bases? c
d
¿Cuál es su volumen?
Rv
v
Completa la siguiente tabla, de ser necesario usa tus regletas y trabaja en equipos:
Medida de las aristas del cubo (cm)
Área de las caras (cm2)
Volumen del cubo (cm3)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 En este ejercicio como te das cuenta la medida de las aristas: El ancho, largo y alto de cada cubo,
siempre es la misma.
Cuando cambia la medida de la arista, cambia el área de las caras y también cambia el volumen de los cubos. Eje: Manejo de la información
•
Proporcionalidad Proporcionali dad y funciones
4
Contesta las siguientes preguntas. Recuerda que hablamos de cubos:
a
¿Qué pasa si duplicas la medida de la arista? ¿Se duplica la medida de las caras?
b
¿Qué pasa si duplicas la medida de la arista? ¿Se duplica el volumen?
c
Si duplicas la medida a una arista, ¿las demás aristas cambian?
d
Escribe: ¿cuál sería el cubo correspondiente si aplicamos el factor factor de proporcionali proporcionalidad dad de al segundo cubo de la tabla en sus aristas?
e
Escribe: ¿cuál sería el cubo correspondiente si aplicamos el factor de proporciona proporcionalidad lidad de
al décimo cubo de la tabla en sus aristas?
4 2
1 2
Te das cuenta que al no cambiar las medidas de ninguna arista se sigue un patrón de cambio muy
denido. Veamos qué pasa si variamos algunas aristas y mantenemos otras más.
Vamos con los prismas rectangulares Sabes calcular el volumen de un prisma con base rectagular:
= Largo l x a x h donde: a = Ancho V = l
h = Alto
1
ACTIVIDAD 3
Así que ahora con base en la siguiente tabla analizaremos la infomación.
Puedes construir estos prismas con tus regletas:
Alto
Ancho
Largo
Volumen
a
¿Cuáles son los datos que cambian?
b
¿Cuál será el factor factor de proporcionaproporcionao
1
1
3
3
9
2
1
3
4
12
3
1
3
5
15
4
1
3
6
18
5
1
3
7
21
o
lidad entre el 1 y 4 prisma? c ¿Cambia el volumen con con el factor de proporcionalidad? ¿Tienen ¿Tienen el mismo, o diferente factor de proporcionalidad el 1o y 4o prisma en su volumen? d
¿Se puede aplicar un mismo factor factor de proporcionalidad a todas las medidas? e
231
2
Construye con tus regletas dos prismas del color y medida que quieras y completa las siguien-
tes tablas, en la primera deberás mantener jo el largo y ancho del prisma y variar la altura. En la segunda tabla mantén constante alto y largo y varía lo ancho.
232
Eje: Manejo de la información
Proporcionalidad dad y funciones Proporcionali
Alto
a
Ancho
Largo
Volumen
•
Alto
Ancho
Largo
Volumen
Si varías el factor factor de proporcionalidad proporcionalidad en un dato, ¿varía el volumen de la misma forma?
¿Qué pasaría si aplicas el mismo factor de proporcionalidad en todos los datos? ¿Cambia el volumen en la misma proporción? b
Proporcionalidad múltiple Consideremos el volumen de un prisma como “v”, lo ancho como “ a”, lo lago como l enton ces v = a · l · h , así que: “l ” y lo alto como “ h”, entonces l
El volumen será diferente v 1 si el ancho no se modica, la altura tampoco y lo largo sí cambia l 1. 1
El volumen será diferente d iferente v2 si el ancho no se modifica, lo largo tampoco y la altura sí cambia h 1. 2
Proporcionalidad múlple. Si una magnitud es directamente proporcional a otras magnitudes, entonces
el producto de éstas, también será directamente proporcional a la primera.
El volumen será diferente v 3 si la altura no se modifica, lo largo tampoco y el ancho sí cambia a 1. 3
3 cm
Así que todo esto se puede escribir de la siguiente manera:
v v1
=
• h • a l • h • a l 1 1 1
Variando Va riando medidas medida s 8 cm
Observa la gura 1. Construye una tabla donde registres los resultados de las siguientes preguntas.
2 cm Figura 1
Responde: ¿Qué pasa con el volumen del prisma si una de sus dimen siones se duplica?
-
¿Qué sucede con el volumen del prisma si una de sus dimensiones se duplica y otra se triplica? Eje: Manejo de la información
•
Proporcionalidad Proporcion alidad y funciones
¿Qué sucede con el volumen si las tres dimensiones se duplican? Para el mismo problema explica: ¿Qué sucede si... d
...Se duplica el ancho?
e
...Se duplica el ancho y triplica lo largo?
f
...Se triplican las 3 dimensiones: ancho, largo y alto?
¿Puedes explicar con tus palabras, cuáles son las dimensiones que
cambian y qué proporcionalidad enen comparándolo con el volumen?
Hagamos ejercicios
En una fábrica se elaboran cajas de cartón. Se pueden fabricar de cualquier medida, forma o tamaño sobre pedido, dependiendo desde luego de la m mercancía ercancía que se quiera empacar. empacar. 1
Un cliente importante le entregó al gerente una hoja con los diferentes diseños para que le presupuestaran costos. En la hoja aparecen los siguientes datos:
Encuentra el volumen de las cajas y anótalos en la columna correspondiente y responde: a
Comparando las cajas 1 y 2, ¿en cuál caja y dimensión aumentó la medida?
¿En qué proporción aumentó? ¿Cuál es el volumen de la caja 2? ¿En qué proporción es más grande que la caja 1? b
Comparando las cajas 3 y 1, ¿en cuál caja y dimensión aumentar aumentaron on las medidas?
¿En qué proporción? c
¿Cuántas veces veces cabe el volumen de la caja caja 1 en el volumen de la caja 3 3? ?
d
En la caja 4 las tres dimensiones aumentaron al doble en relación a la caja 1, ¿Cuánta ¿Cuántass veces veces
233
aumentó el volumen de de la caja 4 en comparación comparación con la caja 1? En la caja 5 las 3 dimensiones aumentaron al triple, ¿Cuántas veces veces cabe el volumen de la caja 1 en la caja 5? e
f
234
¿Cuáles son las cajas que están están fabricadas a escala?
Eje: Manejo de la información
Síntesis
•
Síntesis: legamos al nal del bloque 5 y con él, también llegamos al nal de tu primer año de secundaria. Vamos a darte ahora un resumen de lo que trabajamos en éste úlmo
L
bloque para que tengas, como en los bloques anteriores, un resumen de lo que trabajaste en el bimestre.
Potencias, raíces y leyes de los exponentes: Una potencia es el resultado de mulplicar un número (la base) por sí mismo varias veces. base
exponente
23 = 8
23 = 2 x 2 x 2 = 8
Cualquier base elevada a una potencia negava negava es igual a la unidad entre la base a la
misma potencia pero posiva.
1 = a- m m a
Notación científica: Se conoce como notación cienca cienca a la forma de escribir números con valor muy grande o muy pequeño.
Para poder escribir un número en notación cienca nos basamos en la primera cifra del número, inmediatamente después el punto decimal y algunas otras cifras del número complementando con el número 10 elevado a una potencia igual al número de cifras que queda recorrido el punto decimal a la izquierda.
La raíz es el número que mulplicado un número de veces indicado, resulta igual a otro valor dado.
Por ejemplo, la raíz cúbica (el índice es 3) de 27 es 3, porque 33 = 27. La raíz quinta de 32 es 2, porque 25 = 32. La raíz cuadrada se denota con el signo de radical: y las raíces de mayor orden con un índice que indica la raíz enésima. n
La potencia es el resultado de mulplicar un número (la base) por sí mismo varias veces.
El exponente es el número que indica cuántas veces se mulplicará la base. exponente base
25 = 32
25 = 2x2x2x2x2= 32
potencia
Síntesis • Bloque 5
•
Síntesis
Progresiones: Razón es la relación de cambio con la cual una candad varía con respecto de otra.
Una progresión aritméca es aritméca es la lista de números que enen la propiedad que cualesquiera dos
consecuvos enen una diferencia constante. El primer término de la lista se denota por a1 y la diferencia constante o razón por d . Podemos calcular el enésimo término an de la progresión usando la fórmula: an = a1 + d (n -1)
Una progresión geométrica es la lista de números que enen la propiedad que cualesquiera
dos consecuvos enen una razón constante. Es decir, si dividimos ai +1 /ai = r para para cualesquiera dos términos consecuvos de la progresión. El primer término de la lista se denota por a1 y la razón constante por r. Para encontrar el enésimo término de una progresion geométrica, podemos usar la fórmula: la razón
an = a1 + d ( n-1) El enésimo término
El primer término
la candad de términos anteriores
de una progresión
Proporcionalidad Cuando dos razones son equivalentes, decimos que entre ellas existe una proporción. Una proporción es una igualdad entre dos razones.
Cuando dos candades están en proporción directa signica directa signica que al crecer una de las candades, la otra crece la misma candad de veces. A este número que nos indica la candad de veces que crece o decrece un número se le llama factor de proporcionalidad
Cuando dos candades están en proporción de manera que al crecer una de las can dades, la otra decrece la misma candad de veces, entonces las candades están en proporción inversa Existe proporc proporcionalidad ionalidad múlple si una magnitud es directamente proporcional a otras
magnitudes, entonces el producto de éstas, también será directamente proporcional a la primera.
235
236 236
Síntesis • Bloque 5
Evaluación
•
Evaluación Escribe tu respuesta en esta hoja. Realiza tus trazos y operaciones en una hoja aparte. 1 Resuelve las siguientes operaciones:
a) +(-4+12)-(-14+4)= b) 10-(4-2+8)-(8-12)= c) (22-12)-(-18+6)=
2 En la comunidad en la que vive María, se registraron registraron las temperaturas temperaturas más bajas de
cada mes. La tabla de temperaturas mínimas es la siguiente:
Responde las siguientes preguntas: ¿Cuál es la diferencia de temperaturas entre mayo y junio? ¿Cuál es la diferencia de temperaturas entre enero y febrero?
¿Qué mes del año fue el más frio? ¿Qué mes del año fue el más caluroso? ¿Cuál Es la diferencia de temperaturas entre el mes más caluroso y el más frio?
3 Representa en notación cienca y viceversa:
a) 392 000 000 000 000 =
b) 0.0000012 =
c) d)
9 x 108 = 1.09 x 10 -4 =
4 Encuentra por aproximación las siguientes raíces:
a)
438
b)
654
5 Luis ene un trozo de madera de forma cuadrada que mide .38 m por lado. ¿Cuál es
la supercie de la madera?
1236 6 Se quiere poner una barda alrededor de un terreno de 597 m2. ¿Cuánto c) medirá la barda?
7 Encuentra una fórmula para encontrar el enésimo término de las progresiones:
a) 5, 8, 11, 14 ... b) 1, 5, 9, 13...
c) 21, 23, 25, 27...
Evaluación • Bloque 5
•
Evaluación
8 Luis ene una caja que mide 3 dm de largo 2 dm de ancho y 4 dm de alto. Ana ene una caja que ene un volumen de 30 dm3 y sólo una de las medidas de su caja es diferente a las medidas de la caja de Luis. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja de Ana? ¿Hay un crecimiento crecimient o proporcional entre ambas cajas?
9 ¿Cuál es el área de la parte sombreada de la siguiente gura, si el radio del semi círculo mide un metro? Jusquen su respuesta.
10 En el comedor de mi casa tenemos una mesa de madera de forma cuadrada, como
se muestra en la gura, queremos darle forma circular para evitar que mi hermanito se lasme con las esquinas al pasar.
75 cm a) ¿Qué área de la mesa se va a ulizar? b) ¿Cuál es el área de la mesa que no se va a ulizar?
11 Calcula el área sombreada en el siguiente círculo sabiendo que su diámetro es de
3.46 cm.
237
238
Evaluación
• Bloque 5
Bibliografía • Argón Bohórquez, Misael; Benítez López, René; Valiente banderas, Sanago; Diccionario de Matemácas; Matemácas; México, editorial Patria, 2005 • Cabenne, Nora; Didácca de las Matemácas, ¿cómo aprender?, ¿cómo enseñar? ; Buenos Aires, Editorial Bonum, 2006
• Cerón Ayala, Antonio; Diccionario Matemáco y Formulario; México, Formulario; México, Editorial Progreso, 2004
• Chevallard, Y; Bosch, M y Gascón; Estudiar matemácas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje; aprendizaje; México, SEP-CE-Horsori, SEP-CE-Horsori, 1998. Colección de la Biblioteca para la Actualización del Maestro y del Normalista.
• De la Peña, J.A. Álgebra J.A. Álgebra en todas todas partes partes;; México, SEP-FCE-Conacyt, 1999 • Diccionario Esencial Matemáco; México, Matemáco; México, Editorial Larousse, 2007 • E ducación ducación básica, Secundaria. Matemácas, Programa de estudios 2011 . Guía para el Maestro; México, Secretaria de Educación pública, 2011 • Márquez Elías Miguel Ángel; Eudave Muñoz, Daniel; Matemácas 1; 1; México, Ríos de Tinta, 2009 • Rosas Cabal, Javier; Diccionario de Matemácas; Matemácas; México, Editoress Mexicanos unidos, S.A., 2010 Editore
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• Guérrez Espinosa, Francisco J.; Notas Básicas de Matemácas Construcvas con Geoplano y Regletas; Regletas; Guadalajara, CIME, S.C., 2009 • Guérrez Espinosa, Francisco J.; Bloques de Información. Libro de Matemácas con geoplano Didacta y regletas regletas;; Guadalajara, CIME, S.C., 2009 Diccionario en Internet
Para deniciones de conceptos matemácos:
hp://www.aprendematemacas.org.mx/obras/DICM.pdf Recursos de internet: hp://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matemacas/recdidacco.html hp://www.cimeac.com
hp://www.sepiensa.org.mx hp://www.aprendematemacas.org.mx hp://www.amc.unam.mx/programas
239
n agradecimiento especial a todas las personas que hicieron este proyecto realidad. A todos aquellos que me han brindado un apoyo especial en
todo momento.
A Jorge, Paola, Diego y Macarena… por estar siempre presentes. A Francisco Guérrez Espinosa… mi maestro. Al Centro de Invesgación de Modelos Educavos, SC… por su gran apoyo. A todos los alumnos y maestros… por permirme entrar en sus aulas. 240
241
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