1-Prueba de Homogeneidad de Medias y de Varianza

Unidad I

Diseños de Experimentos Ing. Víctor Hugo Castro Tavares

Unidad 1

1.1 

Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

Introducción 

En los procesos prácticos o áreas de investigación del área ingenieril es común que tener que efectuar comparaciones entre dos muestras de medias aleatorias de una misma o diferente población bajo un parámetro de estudio. Esto implica la utilización de algún estadístico de prueba que nos permita definir sobre una hipótesis planteada de la forma . Sin embargo, también es necesario considerar las características de las muestras aleatorias, en función de su tamaño, variación y correspondencia de los elementos de una respecto a otra.

 

Diseños de Experimentos

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Unidad 1

Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

1.2 

Prueba de  Homogeneidad de Medias 

Esta es una de las aplicaciones más importantes de la distribución t  de Student (Dn  Student) por medio de la cual se comparan los resultados obtenidos en un experimento bajo una condición A con los resultados obtenidos con el mismo experimento bajo una condición B. D

n



 Distribución

Distribución t-Student

En probabilidad estadística, distribución t es Student  

y la de

una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Ésta es la base de la popular prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones. La distribución t  surge, en la mayoría de los estudios estadísticos prácticos, cuando la desviación típica de una población se desconoce y debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

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Unidad 1

Error o Significancia

Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza



Este parámetro lo fija a su criterio el investigador

El proceso de pruebas de homegeneidad de medias consiste en calcular un estadístico de prueba a partir de datos obtenidos en el experimento.

Estadístico de Prueba

Es el valor determinado a partir de la información muestral que se utiliza para determinar si se rechaza la hipótesis inicial

  

La formula para calcular el estadístico de prueba es:

| |  ̅  ̅      ( )  ( )    [    ]

    

Número de observaciones obtenidas en el experimento bajo las condiciones A Número de observaciones obtenidas en el experimento bajo las condiciones B

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Unidad 1

̅  

Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

Es la media aritmética de las observaciones obtenidas en el experimento bajo una condición A. Donde:

̅ ∑

̅ 

Es la media aritmética de las observaciones obtenidas en el experimento bajo una condición B

Varianza



∑  ̅ 

Es una medida de dispersión la cual nos sirve para determinar que tan buen representante es la media aritmética, es decir, mide la desviación que tienen las observaciones con respecto a la media.

̅  )   ∑(   

  

La varianza de las observaciones obtenidas bajo una condición A

 

La varianza de las observaciones obtenidas bajo una condición B

̅  )   ∑(   

Estadístico de Comparación

El valor del estadístico de comparación depende de la significancia y del tamaño del experimento

  

Diseños de Experimentos

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Unidad 1

Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

La forma de calcular el estadístico de comparación es:

  (  )

( ) ( )

Grados de Libertad de A Grados de Libertad de B

Regla de Desición Si el estadístico de prueba es mayor que el estadístico de comparación se rechaza la hipótesis inicial, también conocida como hipótesis nula. Si

 

se rechaza



Hipótesis

Es un supuesto formulado antes de realizar el experimento donde precisamente el resultado del experimento comprueba la hipótesis.

     

Diseños de Experimentos

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Unidad 1

Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

Región de aceptación de H     0 

Región de rechazo de H     0 

1-α α

TTabla

TC

La prueba de homogeneidad de medias no es tan concluyente es por ello que se debe realizar la prueba de homogeneidad de varianza para rectificar lo concluido.

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Unidad 1

1.3 

Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

Prueba de Homogeneidad de  Varianza 

Esta es una de las aplicaciones más importantes de la Distribución F  (Dn Fisher) en la cual utilizando los datos obtenidos en el experimento se calcula un estadístico de prueba. n

D  F



 Distribución Fisher

Distribución F-Fisher

Usada en teoría de probabilidad y estadística, la distribución F es una distribución de probabilidad continua.  También se la conoce como distribución F de Snedecor o como distribución F de Fisher-Snedecor. Una variable aleatoria de distribución F se construye como el siguiente cociente:

Donde 



U1 y U2 siguen una distribución ji-cuadrada con d1 y d2 grados de libertad respectivamente, y U1 y U2 son estadísticamente independientes.

La distribución F aparece frecuentemente como la distribución nula de una prueba estadística, especialmente en el análisis de varianza. Véase el test F. La función de densidad de una F(d1, d2) viene dada por Diseños de Experimentos

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Unidad 1

Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

para todo número real x ≥ 0, donde d1 y d2 son enteros positivos, y B es la función beta. La función de distribución es

donde I es la función beta incompleta regularizada.

Estadístico de Prueba

Es el valor determinado a partir de la información muestral que se utiliza para determinar si se rechaza la hipótesis inicial

  

La fórmula para calcular el estadístico de prueba es:

            

Diseños de Experimentos

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Unidad 1

Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

Estadístico de Comparación

El valor del estadístico de comparación depende de la significancia y del tamaño del experimento

  

La forma de calcular el estadístico de comparación es:

     Regla de Decisión

Si el estadístico de prueba es mayor que el estadístico de comparación se rechaza la hipótesis inicial, también conocida como hipótesis nula. Si

 

se rechaza



Hipótesis

Es un supuesto formulado antes de realizar el experimento donde precisamente el resultado del experimento comprueba la hipótesis.

     

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Unidad 1

Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

Región de aceptación de H     0 

Región de rechazo de H     0 

1-α α

FTabla

FC

Contando con las dos pruebas de homogeneidad de medias y de varianza se puede dar una conclusión más precisa acerca del experimento.

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Unidad 1

Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

1.4  Observaciones de Homogeneidad de  Medias y de Varianza  Se representan 4 diferentes casos en donde la homogeneidad de media y varianza son variables. Medias

Varianzas

Homogéneas Homogéneas Heterogéneas

Heterogéneas Homogéneas Homogéneas

Heterogéneas

Heterogéneas

Observaciones Diferentes Iguales Diferentes Diferentes

La restricción de la prueba de Medias y de Varianza es que solo nos comparan resultados obtenidos bajo dos condiciones.

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Unidad 1

Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

Ejemplo  En un proceso para obtener ácido nítrico se utilizan ciertas condiciones en la reacción obteniéndose los siguientes resultados dados en % en peso. Por el método tradicional el cual llamaremos testigo  y condiciones B se obtuvieron los resultados siguientes: A

B(testigo)

34 34 36 36

26 26 27 28 28

Con un 5% de significancia podemos decir que el nuevo proceso para producir ácido nítrico es mejor que el tradicional.



Los datos obtenidos del experimento en las condiciones A y B se ordenan en una tabla de concentración de datos:

 ( ̅ ) ( ) ̅    (() )  (() )    ()  (( ) )  (() )  ∑  ∑  ∑(( ̅)) ∑(( ̅)) ̅  ̅     | |()  √   [()    ] A

B

34 34 36 36

26 26 27 28 28 = 135 =5 =27

= 140 =4 35

 = 4  3  1.3333

 = 4  4

 1

Diseños de Experimentos

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Unidad 1

Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza



El siguiente paso consiste en contrastar el estadístico de prueba con un estadístico de comparación donde el estadístico de comparación se tiene en tablas.

  Esta prueba nos conduce a concluir, dado que las medias son diferentes el nuevo proceso A es mayor que el proceso tradicional B. Sin embargo esta prueba no es concluyente. Es por ello que la prueba de homogeneidad de medias necesita del soporte de la prueba de homogeneidad de varianza. Aplicando la fórmula para calcular el estadístico de prueba de homogeneidad de varianza se obtiene:

         

El estadstico de prueba se contrasta con un estadístico calculado de tablas llamado “Estadístico de Comparación”. Consultando el valor de FTabla para los grados de libertad 3,4 se obtiene:

    Ya que el estadístico de prueba es menor que el estadístico de comparación se acepta la hipótesis inicial.

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Unidad 1

Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

Ejercicios  EJERCICIO 1 Los datos de refieren al incremento diario de peso de dos grupos de corderos alimentados con dos raciones diferentes, isoproteicas e isoenergéticas, peor donde la fuente proteica principal fue harina de soya y torta de girasol. Cabe aclarar que el número de elementos de los grupos fue diferente. Realice la prueba de homogeneidad de medias y de varianza a los datos proporcionados:  Aumento de peso (g/día) Harina de soya

Torta de girasol

218 224 235 241 222 241 237 229 234 241 236

194 201 216 218 199 185 210 216 204

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Unidad 1

Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

EJERCICIO 2 Analizando la producción de leche obtenida de nueve vacas en el segundo tercio de su lactancia, las cuales fueron sometidas a dos tipos de manejo; el primero de dos y el segundo de tres ordeñas al día. Haga una prueba de homogeneidad de medias y de varianza a los datos aportados: Número de Vacas 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Dos ordeñas (litros)

Tres Ordeñas (litros)

16.6 15.4 18.8 19.2 17.7 14.5 18.3 19.1 22.4

17.2 14.3 17.6 20.1 18.2 13.8 17.8 20.3 21.3

Diseños de Experimentos

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Unidad 1

Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

Tablas Distribución F-Fisher  Alfa = 0,05 1 1 161,45

2 199,5

3 215,71

4 224,58

5 230,16

Grados de libertad del numerador 6 7 8 9 10 233,99 236,77 238,88 240,54 241,88

20 248,02

60 252,2

100 253,04

10000 254,3

2

18,513

19

19,164

19,247

19,296

19,329

19,353

19,371

19,385

19,396

19,446

19,479

19,486

19,496

3 4

10,128 7,7086

9,5521 6,9443

9,2766 6,5914

9,1172 6,3882

9,0134 6,2561

8,9407 6,1631

8,8867 6,0942

8,8452 6,041

8,8123 5,9988

8,7855 5,9644

8,6602 5,8025

8,572 5,6878

8,5539 5,664

8,5267 5,6284

5 6

6,6079 5,9874

5,7861 5,1432

5,4094 4,7571

5,1922 4,5337

5,0503 4,3874

4,9503 4,2839

4,8759 4,2067

4,8183 4,1468

4,7725 4,099

4,7351 4,06

4,5581 3,8742

4,4314 3,7398

4,4051 3,7117

4,3654 3,6693

7

5,5915

4,7374

4,3468

4,1203

3,9715

3,866

3,7871

3,7257

3,6767

3,6365

3,4445

3,3043

3,2749

3,2302

8 9

5,3176 5,1174

4,459 4,2565

4,0662 3,8625

3,8379 3,6331

3,6875 3,4817

3,5806 3,3738

3,5005 3,2927

3,4381 3,2296

3,3881 3,1789

3,3472 3,1373

3,1503 2,9365

3,0053 2,7872

2,9747 2,7556

2,9281 2,7072

10 11

4,9646 4,8443

4,1028 3,9823

3,7083 3,5874

3,478 3,3567

3,3258 3,2039

3,2172 3,0946

3,1355 3,0123

3,0717 2,948

3,0204 2,8962

2,9782 2,8536

2,774 2,6464

2,6211 2,4901

2,5884 2,4566

2,5384 2,405

12 13

4,7472 4,6672

3,8853 3,8056

3,4903 3,4105

3,2592 3,1791

3,1059 3,0254

2,9961 2,9153

2,9134 2,8321

2,8486 2,7669

2,7964 2,7144

2,7534 2,671

2,5436 2,4589

2,3842 2,2966

2,3498 2,2614

2,2967 2,207

14 15 16

4,6001 4,5431 4,494

3,7389 3,6823 3,6337

3,3439 3,2874 3,2389

3,1122 3,0556 3,0069

2,9582 2,9013 2,8524

2,8477 2,7905 2,7413

2,7642 2,7066 2,6572

2,6987 2,6408 2,5911

2,6458 2,5876 2,5377

2,6022 2,5437 2,4935

2,3879 2,3275 2,2756

2,2229 2,1601 2,1058

2,187 2,1234 2,0685

2,1313 2,0664 2,0102

17 18

4,4513 4,4139

3,5915 3,5546

3,1968 3,1599

2,9647 2,9277

2,81 2,7729

2,6987 2,6613

2,6143 2,5767

2,548 2,5102

2,4943 2,4563

2,4499 2,4117

2,2304 2,1906

2,0584 2,0166

2,0204 1,978

1,961 1,9175

19

4,3808

3,5219

3,1274

2,8951

2,7401

2,6283

2,5435

2,4768

2,4227

2,3779

2,1555

1,9795

1,9403

1,8787

20 21 22 23

4,3513 4,3248 4,3009 4,2793

3,4928 3,4668 3,4434 3,4221

3,0984 3,0725 3,0491 3,028

2,8661 2,8401 2,8167 2,7955

2,7109 2,6848 2,6613 2,64

2,599 2,5727 2,5491 2,5277

2,514 2,4876 2,4638 2,4422

2,4471 2,4205 2,3965 2,3748

2,3928 2,3661 2,3419 2,3201

2,3479 2,321 2,2967 2,2747

2,1242 2,096 2,0707 2,0476

1,9464 1,9165 1,8894 1,8648

1,9066 1,8761 1,8486 1,8234

1,8438 1,8124 1,7838 1,7577

24 25 26 27

4,2597 4,2417 4,2252 4,21

3,4028 3,3852 3,369 3,3541

3,0088 2,9912 2,9752 2,9603

2,7763 2,7587 2,7426 2,7278

2,6207 2,603 2,5868 2,5719

2,5082 2,4904 2,4741 2,4591

2,4226 2,4047 2,3883 2,3732

2,3551 2,3371 2,3205 2,3053

2,3002 2,2821 2,2655 2,2501

2,2547 2,2365 2,2197 2,2043

2,0267 2,0075 1,9898 1,9736

1,8424 1,8217 1,8027 1,7851

1,8005 1,7794 1,7599 1,7419

1,7338 1,7117 1,6913 1,6724

28

4,196

3,3404

2,9467

2,7141

2,5581

2,4453

2,3593

2,2913

2,236

2,19

1,9586

1,7689

1,7251

1,6548

29 30

4,183 4,1709

3,3277 3,3158

2,934 2,9223

2,7014 2,6896

2,5454 2,5336

2,4324 2,4205

2,3463 2,3343

2,2782 2,2662

2,2229 2,2107

2,1768 2,1646

1,9446 1,9317

1,7537 1,7396

1,7096 1,695

1,6384 1,623

40 50

4,0847 4,0343

3,2317 3,1826

2,8387 2,79

2,606 2,5572

2,4495 2,4004

2,3359 2,2864

2,249 2,1992

2,1802 2,1299

2,124 2,0733

2,0773 2,0261

1,8389 1,7841

1,6373 1,5757

1,5892 1,5249

1,5098 1,4392

60 70 80

4,0012 3,9778 3,9604

3,1504 3,1277 3,1108

2,7581 2,7355 2,7188

2,5252 2,5027 2,4859

2,3683 2,3456 2,3287

2,2541 2,2312 2,2142

2,1665 2,1435 2,1263

2,097 2,0737 2,0564

2,0401 2,0166 1,9991

1,9926 1,9689 1,9512

1,748 1,7223 1,7032

1,5343 1,5046 1,4821

1,4814 1,4498 1,4259

1,3903 1,354 1,3259

90 100

3,9469 3,9362

3,0977 3,0873

2,7058 2,6955

2,4729 2,4626

2,3157 2,3053

2,2011 2,1906

2,1131 2,1025

2,043 2,0323

1,9856 1,9748

1,9376 1,9267

1,6883 1,6764

1,4645 1,4504

1,407 1,3917

1,3032 1,2845

200 300

3,8884 3,8726

3,0411 3,0258

2,6498 2,6347

2,4168 2,4017

2,2592 2,2441

2,1441 2,1288

2,0556 2,0402

1,9849 1,9693

1,9269 1,9112

1,8783 1,8623

1,6233 1,6057

1,3856 1,3634

1,3206 1,2958

1,1903 1,1521

400 500 600

3,8648 3,8601 3,857

3,0183 3,0138 3,0107

2,6272 2,6227 2,6198

2,3943 2,3898 2,3868

2,2366 2,232 2,229

2,1212 2,1167 2,1137

2,0325 2,0279 2,0248

1,9616 1,9569 1,9538

1,9033 1,8986 1,8955

1,8544 1,8496 1,8465

1,5969 1,5916 1,5881

1,3522 1,3455 1,341

1,2831 1,2753 1,2701

1,1303 1,1159 1,1055

700 800 900

3,8548 3,8531 3,8518

3,0086 3,007 3,0057

2,6176 2,616 2,6148

2,3847 2,3831 2,3818

2,2269 2,2253 2,224

2,1115 2,1099 2,1086

2,0226 2,021 2,0197

1,9516 1,95 1,9487

1,8932 1,8916 1,8903

1,8442 1,8425 1,8412

1,5856 1,5837 1,5822

1,3377 1,3353 1,3334

1,2664 1,2635 1,2613

1,0976 1,0912 1,0861

1000 1500

3,8508 3,8477

3,0047 3,0017

2,6138 2,6108

2,3808 2,3779

2,2231 2,2201

2,1076 2,1046

2,0187 2,0157

1,9476 1,9446

1,8892 1,8861

1,8402 1,837

1,5811 1,5775

1,3318 1,3273

1,2596 1,2542

1,0818 1,0675

2000 10000

3,8461 3,8424

3,0002 2,9966

2,6094 2,6058

2,3764 2,3728

2,2186 2,215

2,1031 2,0995

2,0142 2,0105

1,943 1,9393

1,8846 1,8808

1,8354 1,8316

1,5758 1,5716

1,325 1,3194

1,2516 1,2451

1,0593 1,0334

Diseños de Experimentos

17

Unidad 1 Alfa =0.01

Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza Grados de libertad del numerador

1

1 4052,2

2 4999,3

3 5403,5

4 5624,3

5 5764

6 5859

7 5928,3

8 5981

9 6022,4

10 6055,9

20 6208,7

60 6313

100 6333,9

10000 6365,6

2 3

98,502 34,116

99 30,816

99,164 29,457

99,251 28,71

99,302 28,237

99,331 27,911

99,357 27,671

99,375 27,489

99,39 27,345

99,397 27,228

99,448 26,69

99,484 26,316

99,491 26,241

99,499 26,126

4

21,198

18

16,694

15,977

15,522

15,207

14,976

14,799

14,659

14,546

14,019

13,652

13,577

13,464

5 6 7 8

16,258 13,745 12,246 11,259

13,274 10,925 9,5465 8,6491

12,06 9,7796 8,4513 7,591

11,392 9,1484 7,8467 7,0061

10,967 8,7459 7,4604 6,6318

10,672 8,466 7,1914 6,3707

10,456 8,26 6,9929 6,1776

10,289 8,1017 6,8401 6,0288

10,158 7,976 6,7188 5,9106

10,051 7,8742 6,6201 5,8143

9,5527 7,3958 6,1555 5,3591

9,202 7,0568 5,8236 5,0316

9,13 6,9867 5,7546 4,9633

9,0215 6,8811 5,6506 4,8599

9 10

10,562 10,044

8,0215 7,5595

6,992 6,5523

6,4221 5,9944

6,0569 5,6364

5,8018 5,3858

5,6128 5,2001

5,4671 5,0567

5,3511 4,9424

5,2565 4,8491

4,808 4,4054

4,4831 4,0819

4,415 4,0137

4,3116 3,91

11

9,6461

7,2057

6,2167

5,6683

5,316

5,0692

4,886

4,7445

4,6315

4,5393

4,099

3,7761

3,7077

3,6035

12 13 14

9,3303 9,0738 8,8617

6,9266 6,7009 6,5149

5,9525 5,7394 5,5639

5,4119 5,2053 5,0354

5,0644 4,8616 4,695

4,8205 4,6203 4,4558

4,6395 4,441 4,2779

4,4994 4,3021 4,14

4,3875 4,1911 4,0297

4,2961 4,1003 3,9394

3,8584 3,6646 3,5052

3,5355 3,3413 3,1813

3,4668 3,2723 3,1118

3,3619 3,1665 3,0051

15 16

8,6832 8,5309

6,3588 6,2263

5,417 5,2922

4,8932 4,7726

4,5556 4,4374

4,3183 4,2016

4,1416 4,0259

4,0044 3,8896

3,8948 3,7804

3,8049 3,6909

3,3719 3,2587

3,0471 2,933

2,9772 2,8627

2,8695 2,7539

17 18

8,3998 8,2855

6,1121 6,0129

5,185 5,0919

4,6689 4,579

4,336 4,2479

4,1015 4,0146

3,9267 3,8406

3,7909 3,7054

3,6823 3,5971

3,5931 3,5081

3,1615 3,0771

2,8348 2,7493

2,7639 2,6779

2,6542 2,5671

19 20

8,185 8,096

5,9259 5,849

5,0103 4,9382

4,5002 4,4307

4,1708 4,1027

3,9386 3,8714

3,7653 3,6987

3,6305 3,5644

3,5225 3,4567

3,4338 3,3682

3,0031 2,9377

2,6742 2,6077

2,6023 2,5353

2,4905 2,4224

21

8,0166

5,7804

4,874

4,3688

4,0421

3,8117

3,6396

3,5056

3,3982

3,3098

2,8795

2,5484

2,4755

2,3615

22 23

7,9453 7,8811

5,719 5,6637

4,8166 4,7648

4,3134 4,2635

3,988 3,9392

3,7583 3,7102

3,5866 3,539

3,453 3,4057

3,3458 3,2986

3,2576 3,2106

2,8274 2,7805

2,4951 2,4471

2,4218 2,3732

2,3067 2,2571

24 25

7,8229 7,7698

5,6136 5,568

4,7181 4,6755

4,2185 4,1774

3,8951 3,855

3,6667 3,6272

3,4959 3,4568

3,3629 3,3239

3,256 3,2172

3,1681 3,1294

2,738 2,6993

2,4035 2,3637

2,3291 2,2888

2,2119 2,1706

26 27

7,7213 7,6767

5,5263 5,4881

4,6365 4,6009

4,14 4,1056

3,8183 3,7847

3,5911 3,558

3,421 3,3882

3,2884 3,2558

3,1818 3,1494

3,0941 3,0618

2,664 2,6316

2,3273 2,2938

2,2519 2,218

2,1327 2,0978

28 29 30

7,6357 7,5977 7,5624

5,4529 5,4205 5,3903

4,5681 4,5378 4,5097

4,074 4,0449 4,0179

3,7539 3,7254 3,699

3,5276 3,4995 3,4735

3,3581 3,3303 3,3045

3,2259 3,1982 3,1726

3,1195 3,092 3,0665

3,032 3,0045 2,9791

2,6018 2,5742 2,5487

2,2629 2,2344 2,2079

2,1867 2,1577 2,1307

2,0655 2,0355 2,0075

40 50 60

7,3142 7,1706 7,0771

5,1785 5,0566 4,9774

4,3126 4,1994 4,1259

3,8283 3,7195 3,6491

3,5138 3,4077 3,3389

3,291 3,1864 3,1187

3,1238 3,0202 2,953

2,993 2,89 2,8233

2,8876 2,785 2,7185

2,8005 2,6981 2,6318

2,3689 2,2652 2,1978

2,0194 1,909 1,8363

1,9383 1,8248 1,7493

1,8061 1,6847 1,6023

70 80 90

7,0114 6,9626 6,9251

4,9218 4,8807 4,8491

4,0744 4,0363 4,0069

3,5997 3,5631 3,535

3,2907 3,2551 3,2276

3,0712 3,0361 3,0091

2,906 2,8713 2,8445

2,7765 2,742 2,7154

2,6719 2,6374 2,6109

2,5852 2,5508 2,5243

2,1504 2,1153 2,0882

1,7846 1,7459 1,7158

1,6954 1,6548 1,6231

1,5422 1,496 1,4593

100

6,8953

4,8239

3,9837

3,5127

3,2059

2,9877

2,8233

2,6943

2,5898

2,5033

2,0666

1,6918

1,5977

1,4292

200 300 400

6,7633 6,7201 6,6987

4,7128 4,6766 4,6586

3,881 3,8475 3,8309

3,4143 3,3822 3,3664

3,11 3,0787 3,0632

2,8933 2,8625 2,8472

2,7298 2,6993 2,6842

2,6012 2,5709 2,5559

2,4971 2,4668 2,4518

2,4106 2,3804 2,3654

1,9713 1,9401 1,9245

1,5833 1,5468 1,5285

1,4811 1,441 1,4207

1,2812 1,2228 1,19

500 600

6,6858 6,6773

4,6479 4,6407

3,821 3,8144

3,3569 3,3506

3,054 3,0478

2,8381 2,8321

2,6751 2,6691

2,5469 2,5409

2,4429 2,4369

2,3565 2,3505

1,9152 1,9091

1,5174 1,5101

1,4084 1,4001

1,1684 1,1529

700 800

6,6713 6,6667

4,6356 4,6318

3,8097 3,8062

3,346 3,3427

3,0434 3,0402

2,8278 2,8245

2,6648 2,6617

2,5367 2,5335

2,4327 2,4295

2,3463 2,3431

1,9047 1,9013

1,5048 1,5008

1,3942 1,3897

1,1411 1,1318

900

6,6631

4,6288

3,8034

3,3401

3,0376

2,822

2,6592

2,531

2,427

2,3406

1,8988

1,4978

1,3863

1,1242

1000 1500 2000 10000

6,6603 6,6518 6,6476 6,6374

4,6264 4,6193 4,6158 4,6073

3,8012 3,7947 3,7914 3,7836

3,338 3,3317 3,3286 3,321

3,0356 3,0294 3,0264 3,0191

2,82 2,814 2,811 2,8038

2,6572 2,6512 2,6482 2,6411

2,529 2,5231 2,5201 2,513

2,425 2,4191 2,4162 2,4091

2,3386 2,3327 2,3298 2,3227

1,8967 1,8906 1,8875 1,8802

1,4953 1,4879 1,4842 1,4752

1,3835 1,3751 1,3708 1,3606

1,1178 1,0969 1,085 1,0476

Diseños de Experimentos

18

Unidad 1

Pruebas de homogeneidad de medias y de varianza

Tablas Distribución t-Student  Tabla distribución t de Student 

3,45

1 0,500 0,516 0,532 0,547 0,563 0,578 0,593 0,607 0,621 0,635 0,648 0,660 0,672 0,683 0,694 0,705 0,715 0,724 0,733 0,742 0,750 0,758 0,765 0,772 0,779 0,785 0,791 0,797 0,803 0,808 0,813 0,818 0,822 0,827 0,831 0,835 0,839 0,842 0,846 0,849 0,852 0,856 0,859 0,861 0,864 0,867 0,869 0,872 0,874 0,877 0,879 0,881 0,883 0,885 0,887 0,889 0,891 0,893 0,894 0,896 0,898 0,899 0,901 0,902 0,904 0,905 0,906 0,908 0,909 0,910

2 0,500 0,518 0,535 0,553 0,570 0,587 0,604 0,620 0,636 0,652 0,667 0,681 0,695 0,709 0,722 0,734 0,746 0,758 0,768 0,779 0,789 0,798 0,807 0,815 0,823 0,831 0,838 0,845 0,852 0,858 0,864 0,869 0,875 0,880 0,884 0,889 0,893 0,897 0,901 0,905 0,908 0,912 0,915 0,918 0,921 0,923 0,926 0,928 0,931 0,933 0,935 0,937 0,939 0,941 0,943 0,945 0,946 0,948 0,949 0,951 0,952 0,954 0,955 0,956 0,957 0,958 0,960 0,961 0,962 0,963

4 0,500 0,519 0,537 0,556 0,574 0,593 0,610 0,628 0,645 0,662 0,678 0,694 0,710 0,724 0,739 0,753 0,766 0,778 0,790 0,802 0,813 0,824 0,833 0,843 0,852 0,860 0,868 0,876 0,883 0,890 0,896 0,902 0,908 0,913 0,918 0,922 0,927 0,931 0,935 0,939 0,942 0,945 0,948 0,951 0,954 0,956 0,959 0,961 0,963 0,965 0,967 0,968 0,970 0,972 0,973 0,974 0,976 0,977 0,978 0,979 0,980 0,981 0,982 0,983 0,984 0,984 0,985 0,986 0,986 0,987

5 0,500 0,519 0,538 0,557 0,575 0,594 0,612 0,630 0,647 0,664 0,681 0,697 0,713 0,728 0,742 0,756 0,770 0,783 0,795 0,807 0,818 0,829 0,839 0,849 0,858 0,867 0,875 0,883 0,890 0,897 0,903 0,909 0,915 0,920 0,925 0,930 0,934 0,938 0,942 0,946 0,949 0,952 0,955 0,958 0,960 0,963 0,965 0,967 0,969 0,971 0,973 0,974 0,976 0,977 0,979 0,980 0,981 0,982 0,983 0,984 0,985 0,986 0,987 0,987 0,988 0,989 0,989 0,990 0,990 0,991

6 0,500 0,519 0,538 0,557 0,576 0,595 0,613 0,631 0,648 0,666 0,683 0,699 0,715 0,730 0,745 0,759 0,773 0,786 0,799 0,811 0,822 0,833 0,843 0,853 0,862 0,871 0,879 0,887 0,894 0,901 0,908 0,914 0,920 0,925 0,930 0,935 0,939 0,943 0,947 0,950 0,954 0,957 0,960 0,962 0,965 0,967 0,969 0,971 0,973 0,975 0,977 0,978 0,980 0,981 0,982 0,983 0,984 0,985 0,986 0,987 0,988 0,989 0,989 0,990 0,991 0,991 0,992 0,992 0,993 0,993

7 0,500 0,519 0,538 0,558 0,576 0,595 0,614 0,632 0,649 0,667 0,684 0,700 0,716 0,732 0,747 0,761 0,775 0,788 0,801 0,813 0,825 0,836 0,846 0,856 0,865 0,874 0,883 0,890 0,898 0,905 0,911 0,917 0,923 0,929 0,934 0,938 0,943 0,947 0,950 0,954 0,957 0,960 0,963 0,966 0,968 0,970 0,973 0,974 0,976 0,978 0,980 0,981 0,982 0,984 0,985 0,986 0,987 0,988 0,989 0,989 0,990 0,991 0,991 0,992 0,992 0,993 0,993 0,994 0,994 0,995

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9 0,500 0,519 0,539 0,558 0,577 0,596 0,615 0,633 0,651 0,668 0,685 0,702 0,718 0,734 0,749 0,764 0,778 0,791 0,804 0,817 0,828 0,839 0,850 0,860 0,870 0,879 0,887 0,895 0,902 0,910 0,916 0,922 0,928 0,933 0,938 0,943 0,947 0,951 0,955 0,959 0,962 0,965 0,967 0,970 0,972 0,974 0,977 0,978 0,980 0,982 0,983 0,984 0,986 0,987 0,988 0,989 0,990 0,990 0,991 0,992 0,993 0,993 0,994 0,994 0,995 0,995 0,995 0,996 0,996 0,996

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Diseños de Experimentos

50

19