1 Programacion Lineal

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

MODELACIÓN

UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE SISTEMAS Investigación de Operaciones I

1. La empresa BOMBA S.A. fabrica y vende dos tipos de bombas hidráulicas:(1) la normal y (2) extra grande. El proceso asociado con la fabricación de las bombas implica tres actividades: ensamblado, pintura y prueba pruebass (contr (control ol de calida calidad). d).Los Los requer requerimi imient entos os de recurs recursos os para para ensamb ensamblaje laje,, pintur pintura a y prueba prueba se muestran en la tabla Nº 01. La contribución a las utilidades por la venta de una bomba normal es S/. 50, en tanto que la utilidad por una bomba extra grande es S/.75. existen disponibles por semana 4800 horas de tiempo de ensamblaje, 1980 de tiempo de pintura y 900 horas de tiempo de prueba. Las experiencias anteriores de venta señalan que la empresa puede esperar vender cuando menos 300 bombas normales y 180 de las extra grande por semana. A la empresa le gustaría determinar la cantidad de cada tipo de bomba que debe fabricar semanalmente con el objeto de maximizar sus utilidades. TABLA Nº 01 Requerimiento de manufactura (horas)

Tipo Normal Extra grande

Proceso de Manufactura (horas/unidad) Ensamble Pin Pintura Control de Calidad 3.6 1.6 0.6 4.8 1.8 0.6

Solución:

Tipo Normal Extra grande Disponible

Proceso de Manufactura (horas/unidad) Ensamble Pintura Prueba 3.6 1.6 0.6 4.8 1.8 0.6 4800 1980 900

Ganancia 50 75

Variables Variables de Decisión. Xi = Fabricación o producción de bombas del tipo tipo i (i: Normal y Extra grande) grande) a la semana. Función Objetivo. Máx. Z = 50X 1 + 75X2 Sujeto a: 3.6X1 + 4.8X2 ≤ 4800 1.6X1 + 1.8X2 ≤ 1980 0.6X1 + 0.6X2 ≤ 900 X1 ≥ 300 X2 ≥ 180 X1, X2 ≥ 0

2. La D & M POWER POWER,, fabr fabric ica a tres tres tipo tiposs de aisla aislado dore ress de uso uso indu indust stri rial al en compañ compañía íass de serv servici icios os electrónicos: aisladores de aplicación general, de aplicación especial y de alto voltaje. Cada producto pasa a través de tres operaciones de producción en la planta de la D & M: horneado, lavado-laminado y pulimiento. Solo existe disponible una máquina en cada una de las respectivas operaciones. La tasa de producción (en unidades por hora) para cada tipo de aislador, y en cada operación se muestran en tabla Nº 02. Los costos costos de las materia materiass primas primas asociad asociadas as con la fabric fabricaci ación ón de los aislado aisladores res son de S/.5 S/.5 (aplicación general), S/.6 (aplicación especial) y S/.10 (alto voltaje). Los costos por hora de las respectivas YONEL

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operaciones de producción son: S/. 250 (horneado), S/. 200 (lavado y laminado), y S/.100 (pulimiento). Los precios unitarios de venta son S/. 25.00, S/. 39.75 y S/.67.50 para los tres productores respectivamente. A la compañía le gustaría asignar el tiempo utilizado en las diferentes operaciones de manera que se maximicen las utilidades por hora. TABLA Nº 02 Tasas de producción: D & M POWER

Tipo de Aislador   Aplicación General  Aplicación Especial  Alto Voltaje

Proceso de Fabricación (unidades/hora) Horneado Lavado y la laminado Pulimiento 50 40 25 40 20 10 25 10 10

Solución:

Variables Variables de Decisión. Xi = Número de aislador del tipo i (i: 1, 2, 3) x hora a producirse.

Precio de Venta Costo de Materiales Costo del Proceso: Horneado Lav-Lam Pulido Total Costo Total Ganancia

 A.A. General 25 5 250/50 = 5 200/40 = 5 100/25 = 4 14 19 6

Tipo de Aislador  A. A. Especial 39.75 6 250/40 = 6.25 200/20 = 10 100/20 = 5 21.25 27.25 7.5

A. Alto Alto Voltaje 67.50 10 250/25 = 10 200/10 = 20 100/10 = 10 40 50 17.50

Función Objetivo. Máx. Z = 6X 1 + 7.5X2 + 17.50X3 Sujeto a: 0.02X1 + 0.025X2 + 0.04X3 ≤ 1 0.025X1 + 0.05X2 + 0.10X3 ≤ 1 0.02X1 + 0.10X2 + 0.10X3 ≤ 1 X1, X2, X3 ≥ 0 MUEBLES S DESK DESK compañ compañía, ía, un fabric fabricant ante e de mueble muebless de oficina oficina,, produc produce e dos tipos de muebles muebles de 3. MUEBLE escritorio: escritorio: ejecutivos ejecutivos y secretaria secretariales. les. La compañía compañía tiene dos plantas plantas en las que fabrica fabrica los escritorio escritorios. s. La planta 1, que es una planta planta antigua opera con doble turno 80 horas por semana. La planta 2, que es una planta más nueva y no opera a su capacidad total. Sin embargo, y dado que los administradores planean operar la segunda planta con base en un turno doble como el de la planta 1, se han encontrado operadores para que trabajen en los dos turnos. En esos momentos, cada turno de la planta 2 trabaja 25 horas por  semana. No se apaga ninguna prima adicional a los trabajadores del segundo turno, la tabla Nº 03 muestra el tiempo de producción (en horas por unidad) y los costos estándar (en soles por unidad) en cada planta. La compañía ha competido con éxito en el pasado asignado un precio de S/. 350 a los escritorios ejecut ejecutivos ivos.. Sin embarg embargo, o, parece parece que la compañ compañía ía tendrá tendrá que reduci reducirr el precio precio de los escrit escritori orios os secret secretari ariales ales a S/. 250 con el objeti objetivo vo de estar estar en posició posición n compet competiti itiva. va. La compañ compañía ía ha estado estado experimentando exceso de costos en las últimas ocho a diez semanas; por tanto, los administradores han YONEL

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fijado una restricción presupuestaria semanal sobre los costos de producción. El presupuesto semanal para la producción total de escritorios ejecutivos es de S/. 2000, en tanto que el presupuesto para los escritorios secretariales es de S/. 2200. A los administradores les gustaría determinar cuál es el número de cada clase de escritorios que deben fabricarse en cada planta con el objeto de maximizar las utilidades.

TABLA Nº 03 Tiempo (horas) y costos (soles): Muebles Desk Compañía

Tiempos de Producción (horas/unidad) Tipos de Escritorio Planta 1 Planta 2 Escritorios Ejecutivos 7.0 6.0 Escritorios Secretariales 4.0 5.0

Costo Estándar  (soles/unidad) Planta 1 Planta 2 250 260 200 180

Solución:

Tipo de Escritorio Ejecutivo Secretarial Tiempo Disponible (hrs/sem)

Tiempos de Producción (horas/unidad) Planta1 7 4 80

Costo Estándar  ($/unidad)

Planta 2 6 5 50

Planta 1 250 200

Planta 2 260 180

Precio Venta ($/unidad) 350 275

Presupuesto ($/semana) 2000 2200

Variables de Decisión. Xij = Escritorio del tipo i (i: 1, 2) a fabricarse por semana en la Planta j (j: 1, 2) i (1: Ejecutivo, 2: Secretarial)  j (1:Planta 1 , 2: Planta 2) Función Objetivo. Para la Función Objetivo, es necesario calcular la utilidad para cada uno de los escritorios, en la siguiente forma: Planta 1 Planta 2 Ejecutivo 350 - 250 = 100 350 – 260 = 90 Secretarial 275 - 200 = 75 275 – 180 = 95 Máx. Z = 100X11 + 9,000X12 + 7,500X21 + 9,500X22 Sujeto a: 1. Producción. Planta 1 7X11 + 4X21 ≤ 80 Planta 2 6X12 + 5X22 ≤ 50 2. Presupuesto. Ejecutivo 250X11 + 260X12 Secretarial 200X21 + 180X22

≤ 2000 ≤ 2200

3. No negatividad Xij ≥ 0

4. Una industria de muebles requiere de 350 barras de 2x4x20 cm. y de 200 barras de 2x3x20 cm. si dicha empresa dispone de barras cuyas dimensiones son 7x5x20 cm., cual deber ser el programa que debe seguir para minimizar desperdicios sabiendo que el máximo debe ser de 140 cm 3. YONEL

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MODELACIÓN

Solución:

20 20

20

4 5

3

2

2

7 3

3

2

3

4

3

2

2

2

3

4

2

 X 3

2

2

2

 X 2

No sirve

2

YONEL

2

2

2

2

2

4

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MODELACIÓN

3 4

2

3

3  X 1

No sirve

350 200

2x4x20 2x3x20 7x5x20 140cm3 = 7

Variables de Decisión. Xi = Cantidad de barras a obtener de acuerdo a la madera de corte i (i: 1, 2, 3). 2x4x20 2x3x20

X1 0 5

X2 1 4

X3 2 2

Función Objetivo. Máx. Z = 100X1 + 60X2 + 140X3 Sujeto a: 0X1 + X2 + X3 5X1 + 4X2 + 2X3 Xi

YONEL

≥

0

≤ 350 ≤ 200

i=1, 2, 3

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5. Un fabricante cuyo negocio es mezclar aguardiente, compra tres grados A, B y C. los combina de acuerdo a las recetas que especifican los porcentajes máximo y mínimo de los grados A y C en cada mezcla. Estos porcentajes se dan en la tabla Nº 1. TABLA Nº 1: ESPECIFICACIONES DE MEZCLAS Mezcla

Especificación

Super Fuerte

Precio por botella

No más del 60% de A No menos del 20% de C No más del 60% de C No menos del 15% de A No más de 50% de C

Fuerte Menos Fuerte

S/. 6.80 S/. 5.70 S/. 450

La provisión de los tres grados de aguardientes básicos, junto con sus costos se presente en la tabla Nº 2. TABLA Nº 2: DISPONIBILIDAD Y COSTOS DE AGUARDIENTE Aguardiente

Máxima cantidad disponible botellas por día

 A B C

2 000 2 500 1 200

Costo por botella

S/. 7.00 S/. 5.00 S/. 4.00

Indique como se obtiene la primera matriz en un modelo de programación lineal de una política de producción que haga máxima la ganancia. Solución:

Variables de Decisión. Xij = Cantidad de aguardiente del tipo i (i: A, B, C) utilizada en la mezcla (j: 1, 2) 1: Super fuerte 2: Fuerte X A1 = Cantidad de aguardiente del tipo A utilizado en el super fuerte XB1 = Cantidad de aguardiente del tipo B utilizado en el super fuerte XC1 = Cantidad de aguardiente del tipo C utilizado en el super fuerte X A2 = Cantidad de aguardiente del tipo A utilizado en el fuerte XB2 = Cantidad de aguardiente del tipo B utilizado en el fuerte XC2 = Cantidad de aguardiente del tipo C utilizado en el fuerte Ganancia = Pv – Costo Función Objetivo. Máx. Z = 6.80 (X A1 + XB1 + XC1) + 5.70 (X A2 + XB2 + XC2) – [7 (X A1 + X A2) + 5.0 (X B1 + XB2) + 4.0 (XC1 + XC2)] Sujeto a: Disponibilidad X A1 + X A2 XB1 + XB2 XC1 + XC2

≤ 2000 ≤ 2500 ≤ 1200

Especificaciones super fuerte X A1

YONEL

≥ 0.60(X A1 +

XB1 + XC1)

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XC1

≤ 0.20(

MODELACIÓN

X A1 + XB1 + XC1)

Especificaciones fuerte XC2 X A1 Xij

≤ 0.60(X A2 + XB2 + XC2) ≥ 0.15( X A2 + XB2 + XC2) ≥

0,

i: A, B, C

j:1, 2

6. Una compañía fabrica dos clases de cinturones de piel. El cinturón A es de alta calidad, y el cinturón B es de Baja calidad. La ganancia respectiva por cinturón es de S/. 0.40 y S/. 0.30. cada cinturón de tipo A requiere el doble de tiempo que el que usa el de tipo B, y si todos los cinturones fueran de tipo B, la compañía podría fabricar 1000 día, el abastecimiento de piel es suficiente únicamente para 800 cinturones diarios (A y B combinados) el cinturón A requiere una hebilla elegante, de las que solamente se dispone 400 diarias. Se tiene únicamente 700 hebillas el día para el cinturón B. establezca las ecuaciones de programación lineal para el problema.

Solución: TABLA Nº 1: GANANCIA DE CINTURONES Y DISPONIBILIDAD DE CINTURONES Tipos de cinturón

Ganancia por cinturón

Disponibilidad de hebillas por día

 A B

0.4 0.3

400 700

Variables de decisión: Xi = Número de cinturones a producirse d el tipo i (i = A, B) al día Función Objetivo: Max (z) = 0.4X A + 0.3XB Restricciones sujeto a: 1. Tiempo t A = 2tB 2. Abastecimiento de cinturones 2X A + XB ≤ 1000 X A + XB ≤ 800 3. Disponibilidad de hebillas X A ≤ 400 XB ≤ 700 4. No negatividad Xi ≥ 0

7. METALESA fabrica un tipo especial de molde que debe contener cuando menos 20% de hierro forjado y 5% de plomo. La compañía tiene dos tipos de mineral a partir del cual puede fabricar los moldes. Los contenidos de hierro forjado y plomo (expresados en porcentaje por tonelada) de minerales son: Mineral Nº 1 Mineral Nº 2 YONEL

HIERRO FORJADO

PLOMO

60% 13%

10% 3% 7

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El costo por tonelada de mineral Nº 1 es de $260 y del Nº 2 es de $ 80. Formule un modelo de programación lineal que minimice el costo total de los moldes. Solución:

Mineral Nº 1

Variables de decisión:

Xi = Toneladas del mineral i (i = 1, 2) en el molde Mineral Nº 2 Función Objetivo: Min (z) = 260X1 + 80X2 Sujeto a: 0.6X1 + 0.13X2 ≥ 0.20 (X1 + X2) 0.10X1 + 0.03X2 ≥ 0.05 (X1 + X2) Nota: El problema tratado está mal definido.

8. Un fabricante de laminas metálicas recibe un pedido para producir 2000 laminas de tamaño 2' x 4' y 1000 laminas de tamaño 4'x7'. Se dispone de dos láminas estándar de tamaño 10' x 3000' y otra de 11' x 2000'. El personal del departamento de ingeniería decide que los tres siguientes patrones anteriores de corte son adecuados para satisfacer el pedido y minimizar el desperdicio. Formule el problema como un modelo de programación lineal. Patron Nº 2

Patron Nº 1

4'

4'

2'

7

2'

7'

2'

Patron Nº 3

4'

2'

YONEL

2'

2'

2'

2'

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MODELACIÓN

Solución:

Láminas 2’ * 4’ → 2000 4’ * 7’ → 1000 4’

10’ * 3000’ 11’ * 2000’

4’ 2’ Rollo 1

4’

7’

4’

2’ 2’ Rollo 2 7’

Variables de decisión: Xij = Número de patrones del tipo i (i = 1, 2, 3) utilizados en el rollo j (j = 1, 2) Función Objetivo: Min (z) = 4X11 + 0X31 + 0X22 + 4X32 Sujeto a: 1. Láminas 2’ * 4’ X11 + 5X31 + 2X22 + 5X32 ≥ 2000 2. Láminas 4’ * 7’ X11 + 0X31 + X22 + 0X32 ≥ 1000 3. Cantidad de patrones X11 + X31 ≤ 3000/4 X22 + X32 ≤ 2000/4 4. No negatividad Xij ≥ 0

9. El real hotel opera los 7 días a la semana. Las mucamas son contratadas para trabajar seis horas diarias. El contrato colectivo especifica que cada mucama debe trabajar 5 días consecutivos y descansar 2 días. Todas las mucamas reciben el mismo sueldo semanal. El real hotel requiere como mínimo las horas de servicio. YONEL

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MODELACIÓN

Lunes 150, Martes 200, Miércoles 400, Jueves 300, Viernes 700, Sábado 800 y Domingo 300. El administrador desea encontrar un plan de programación de empleos que satisfaga estos requerimientos y a un costo mínimo. Formule este problema como un modelo de programación lineal. Solución: L

Ma

Mi XL

J

V

S

D

L

Ma

Mi

J

V

XMa XMi X J XV XS XD XL

Variables de Decisión. Xi = Numero de mucamas que inician a trabajar el día i (i: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) por 5 días. 1: Lunes, 2: Martes, 3: Miércoles, 4: Jueves, 5: Viernes, 6: Sábado, 7: Domingo Función Objetivo. Min. Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 Sujeto a: X4 + X5 + X6 + X7 + X1 X5 + X6 + X7 + X1 + X2 X6 + X7 + X1 + X2 + X3 X7 + X1 + X2 + X3 + X4 X1 + X2 + X3 + X4 + X5 X2 + X3 + X4 + X5 + X6 X3 + X4 + X5 + X6 + X7

≥ 150/6 ≥ 200/6 ≥ 400/6 ≥ 300/6 ≥ 700/6 ≥ 800/6 ≥ 300/6

Xi ≥ 0 i=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

10.Panificadora Nacional decide (importar) y vender harina de trigo debido a la escasez que existe actualmente en el mercado nacional. Posee una bodega con capacidad de 50,000 sacos (de 50 Kg. Cada uno). El primero de octubre tenía un inventario inicial de 10,000 sacos y $ 200,000 disponibles. El precio estimado de harina de trigo por saco para el último trimestre es el siguiente: MES

Octubre Noviembre YONEL

PRECIO DE COMPRA ($)

PRECIO DE VENTA ($)

28 30

31 32 10

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MODELACIÓN

Diciembre

29

30

La harina de trigo se entrega en el mes de compra y no puede ser vendida hasta el mes siguiente. La compra y venta se hace estrictamente al contado contra entrega. La Panificadora Nacional Desea tener un inventario final de 20,000 sacos el terminar el trimestre como precaución a una posible escasez al inicio del próximo año. El gerente le solicita a usted el programa óptimo de compra y venta para el trimestre. Solución:

Io = 10000 Io = 200000

I1 D1

I2 D2

I3 D3

Variables de decisión: Yi = Cantidad de sacos de trigo a vender en el mes i (i: 1, 2, 3) Xi = Cantidad de sacos de trigo a comprar en el mes i (i: 1, 2, 3) 1: Octubre, 2: Noviembre, 3: Diciembre Función Objetivo. Máx. Z = 31Y1 + 32Y2 + 30Y3 - 28X1 - 30X2 - 29X3 Sujeto a: Inventario I1 = 10000+X1 - Y1 I2 = I1 + X2 - Y2 20000 ≤ I2 + X3 - Y3 Disponibilidad del dinero D1 = 200000+31Y1 - 28X1 D2 = D1 + 32Y2 - 30X2 D3 = D2 + 30Y3 - 29X3 Y1 ≤ 10000 Y2 ≤ I 1 Y3 ≤ I 3 I1 ≤ 50000 I2 ≤ 50000 I3 ≤ 50000 Xi ≥ 0;

i: 1, 2, 3

11.La compañía XYZ produce tornillos y clavos. La materia prima para los tornillos cuesta S/. 2 por unidad, mientras que la materia prima para el clavo cuesta S/. 2.50. Un clavo requiere dos horas de mano de obra en el departamento Nº 1 y tres en el departamento Nº 2, mientras que un tornillo requiere 4 horas en el departamento Nº 1 y 2 horas en departamento Nº 2, el jornal por hora en ambos departamentos es de S/.2. Si ambos productos se venden a S/. 18, y el número de horas de mano de obra disponibles por semana en los departamentos son de 160 y 180 respectivamente. Expresar el problema propuesto como un programa lineal, tal que maximice las utilidades. Solución:

Tipo Departamento Departamento Nº 1 YONEL

Tornillo 4

Clavo 2

Mano de Obra 160 11

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Departamento Nº 2

MODELACIÓN

2

3

180

Variables de Decisión. Xi = Numero de i (i: 1, 2) x semana 1: Tornillo, 2: Clavo Costo de los Tornillos 6x2 + 2 = 14 Utilidad = 18 – 14 = 4 Costo de los Tornillos 5x2 + 2.5 = 12.5 Utilidad = 18 – 12.5 = 5.5 Función Objetivo. Máx. Z = 4X1 + 5.5X2 Sujeto a: 4X1 + 2X2 2X1 + 3X2

≤ ≤

160 180

X1, X2 ≥ 0

12. A un estudiante de Ingeniería de Industrial se le pidió que entretuviese a un visitante de su empresa durante 90 minutos. El pensó que sería una excelente idea que el huésped se emborrache. Se le dio al estudiante S/. 50, además sabia que al visitante le gustaba mezclar sus tragos, pero que siempre bebía menos de 8 vasos de Cerveza, 10 Ginebras, 12 Whiskys y 24 Martinis. El tiempo que empleaba para beber  era 15 minutos por cada vaso de cerveza, 6 minutos por cada vaso de ginebra, 7 y 4 minutos por cada vaso de Whisky y Martini. Los precios de la bebida eran: Cerveza S/. 1 el vaso, Ginebra S/. 2 el vaso, Whisky S/. 2 el vaso, Martini S/. 4 el vaso. El estudiante pensaba que el objetivo era maximizar el consumo alcohólico durante los 90 minutos que tenía que entender a su huésped. Logro que un amigo químico le diese el contenido alcohólico de las bebidas en forma cuantitativa, siendo las unidades alcohólicas por un vaso de cerveza, Ginebra, Whisky y Martini, 17, 15, 16 y 7 por vaso respectivamente. El visitante siempre bebía un mínimo de 2 Whiskys. ¿Cómo resolvió el estudiante el problema? Solución:

Variables de Decisión. Xi = Numero de vaso del tipo i (i: 1, 2, 3, 4) 1: Cerveza 2: Ginebra 3: Whisky 4: Martini Función Objetivo. Máx. Z = 17X1 + 15X2 + 16X3 + 7X4 Sujeto a: X1 + 2X2 + 2X3 + 4X4 ≤ 50 X1 ≤8 YONEL

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X2

MODELACIÓN

10 X3 ≤ 12 15X1 + 6X2 + 7X3 + 4X4 ≤ 9 ≤

X1, X2, X3, X4, ≥ 0

13.Nestle Company está desarrollando una nueva barra de mantequilla de cacahuate y chocolate. El dulce debe tener al menos 5 gramos de proteínas por onza de mezcla pero no más de 5 gramos de carbohidratos y 3 gramos de grasas saturadas. Desarrolle un programa lineal para determinar la cantidad de cada ingrediente por utilizar que satisfaga los requerimientos nutricionales a un costo total mínimo, basándose en los siguientes datos: MANTEQUILLA DE CACAHUATE (por onza)

CHOCOLATE

4.0 2.5 2.0 $ 0.10

0.8 1.0 0.5 $ 0.18

Proteínas (gr.) Carbohidratos (gr.) Grasas saturadas (gr.) Costo por onza

Solución:

Variables de Decisión. Xi = Onza de i (i: 1, 2) utilizado en una onza de mezcla 1: Mantequilla de cacahuate 2: Chocolate Función Objetivo. Máx. Z = 0.10X 1 + 0.18X2 Sujeto a: 4X1 + 0.8X2 ≥ 5 2.5X1 + X2 ≤ 5(X1 + X2) 2.0X1 + 0.5X2 ≤ 3(X1 + X2) X1, X2 ≥ 0

14.La Ferguson Ingeniería S.A. fabrica válvulas de aguja, válvulas de globo y ensambla un módulo que consta de un bloque maquinado y dos válvulas de agujas. Recientemente ha obtenido un contrato para ensamblar 200 módulos. El contrato estipula que por cada módulo que deje de entregar la Ferguson tiene que pagar una multa de $ 20. El mercado para las válvulas, aguja y globo se presenta óptimo ya que la demanda de estos dos productos es bastante grande. La ganancia por unidad por cada tipo de producto es como sigue: Válvula aguja Válvula globo Módulo

YONEL

$ 10.00 $ 20.00 $ 60.00

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MODELACIÓN

La Ferguson tiene limitaciones de tiempo tanto en el Departamento de Maquinaria asi como en los Departamentos de Inspección, Prueba y ensamble.

TIEMPO REQUERIDO EN EL DEPARTAMENTO DE MAQUINARIA (Minutos por unidad) MAQUINA

Torno Fresadora

VALVULA AGUJA

VALVULA GLOBO

BLOQUE MAQUINADO

TIEMPO DISPONIBLE (minutos/semana)

10 5

15 5

25 10

25,000 15,000

TIEMPO REQUERIDO (Minutos por unidad) MAQUINA

VALVULA AGUJA

VALVULA GLOBO

MODULO

TIEMPO DISPONIBLE (minutos/semana)

Inspección Ensamblaje Prueba

5 -

5 5 5

10 10 20

45,000 45,000 45,000

Solución:

Válvula aguja Válvula globo Módulo

$ 10.00 $ 20.00 $ 60.00

Variables de Decisión. Xi = Cantidad de productos del tipo i (i: 1, 2, 3) a fabricarse a la semana. 1: Válvula aguja 2: Válvula globo 3: Módulo Función Objetivo. Máx. Z = 10X1 + 20X2 + 60X3 Sujeto a: 10X1 + 15X2 + (25 + 2x10)X3 5X1 + 5X2 + 10X3 ≤ 15000 5X1 + 5X2 + 10X3 ≤ 45000 5X2 + 10X3 ≤ 45000 5X2 + 20X3 ≤ 45000 X3 ≥ 300

≤ 25000

X1, X2, X3 ≥ 0

15.Un fabricante de muebles desea determinar cuántas mesas, sillas, escritorios y libreros debe fabricar para optimizar el uso de los recursos disponibles. En estos productos se utilizar dos tipos de madera diferente y tiene en existencia 1500 pies del primer tipo y 1000 pies del segundo tipo, para hacer el trabajo total cuenta con 800 horas hombre. Su pronóstico de ventas mas sus órdenes pendientes de entrega hacen necesario fabricar no más de 40 mesas, 130 sillas, 30 escritorios y 10 libreros. Cada mesa, silla, escritorio y librero requieren 5, 1, 9 y 12 pies respectivamente del primer tipo de madera, 2, 3, 4 y 1 pies del segundo tipo de madera. Una mesa

YONEL

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MODELACIÓN

requiere 3 horas/hombre para ser fabricada, una silla requiere de 2 horas/hombre, 5 horas/hombre un escritorio y 10 horas/hombre el librero. Solución:

Tipo Muebles Mesas Sillas Escritorios Libreros Existencia (pies)

Madera 1 5 1 9 12 1500

Madera 2 2 3 4 1 1000

Horas/Hombre 3 2 5 10 800

Utilidad 12 5 15 10

Variables de decisión: Xi = Cantidad i (1, 2, 3, 4). Función Objetivo. Máx. Z = 12X1 + 5X2 + 15X3 + 10X4 Sujeto a: 5X1 + X2 + 9X3 + 12X4 ≤ 1500 2X1 + 3X2 + 4X3 + X4 ≤ 1000 3X1 + 2X2 + 5X3 + 10X4 ≤ 800 Xi ≥ 0;

i: 1, 2, 3, 4

16.PETROPERU comercializa gasolina de dos grados: la extra y la normal. Cada gasolina debe satisfacer  ciertas especificaciones, tales como la presión máxima de vapor aceptable y el octanaje mínimo. Los requerimientos de manufactura para las gasolinas y el precio por barril se muestran en siguiente cuadro: Especificaciones de manufactura y precio por barril: PETROPERU Gasolina

Normal Extra

Octanaje mínimo (%)

Presión máxima de vapor   (Kg./cm3)

80 100

Precio venta (barril)

9 6

S/. 21 S/. 24

Se atizan tres tipos de gasolinas para fabricar las gasolinas normal y extra. Las características de las gasolinas base se muestran en el siguiente cuadro: Características de la gasolina base: PETROPERU Gasolina base

Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3

Octanaje

108 90 73

Presión de vapor

4 10 5

Disponibilidad máxima

32,000 20,000 38,000

Costo por barril

S/. 22 S/. 20 S/. 19

PETROPERU se ha comprometido con un comprador a proporcionarle 30,000 barriles de gasolina regular  por semana. No se tiene compromisos con respecto a la gasolina extra. A la compañía le gustaría determinar el plan de manufactura para las dos clases de gasolina que maximice las utilidades

YONEL

15

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

MODELACIÓN

Solución:

Consideraciones: 1. Se utilizan tres tipos de gasolina base de las cuales se conoce: el octanaje, presión de vapor, disponibilidad y costo por barril. 2. Para fabricar dos tipos de gasolina a comercializar y que deben cumplir ciertas especificaciones. Definición de las variables: Xij = Numero de barriles de gasolina base tipo i (i: 1, 2, 3) que se utiliza para fabricar gasolina j (j: N, E) por  semana. Función Objetivo. Máx. Z = 21(X 1N + X2N + X3N) + 24(X1E + X2E + X3E) - [22(X 1N + X1E) + 20(X2N + X2E) + 19(X3N + X3E)] Sujeto a: Octanaje Normal: 108X1N + 90X2N +73X3N ≥ 80(X1N + X2N + X3N) Extra: 108X1E + 90X2E + 73X3E ≥ 100(X1E + X2E + X3E) Presión de vapor: Normal: 4 X1N + 10X2N + 5 X3N ≤ 9(X1N + X2N + X3N) Extra: 4 X1E + 10X2E + 5 X3E ≤ 6(X1E + X2E + X3E) Disponibilidad de gasolina base: Tipo1: X1N + X1E ≤ 32 000 Tipo2: X2N + X2E ≤ 20 000 Tipo3: X3N + X3E ≤ 38 000 De demanda de gasolina normal: X1N + X2N + X3N ≥ 30 000 No negatividad: Xij ≥ 0; i: Tipo 1, Tipo 2, Tipo 3

j: N, E

17.TAGASAKI S.A. fabrica dos tipos de alimentos balanceados, recibe un pedido especial de 200 TN de una mezcla de proteínas y carbohidratos, la mezcla debe contener a lo más 40% de proteínas y por lo menos 30%de carbohidratos, el costo de cada TN de proteínas es de S/. 3 de cada TN de carbohidratos es de 8, determinar la mezcla óptima. Solución:

Variables de Decisión. Xi = Cantidad de toneladas de i (i: 1, 2) en la semana 1: Proteínas 2: Carbohidratos Función Objetivo. Min. Z = 3X1 + 8X2 Sujeto a: X1 + X2 YONEL

=

200 16

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

X1 X2

≤ ≤

MODELACIÓN

0.40 (X1 + X2) 0.30 (X1 + X2)

X1, X2 ≥ 0

18.La Confederación Agraria del Centro está formada por tres comunidades. La planeación global se hace en su oficina de coordinación técnica. En la actualidad se están planeando la producción agrícola para el año próximo. La producción agrícola está limitada tanto por la extensión de terreno disponible para irrigación como por la cantidad de agua quela Comisión de aguas (una oficina del gobierno regional) asigna para irrigarlo. La siguiente tabla contiene los datos. Datos de recursos para la Confederación Agraria del Centro Comunidad

Terreno disponible (acres)

Asignación de agua (pies-acre)

1 2 3

400 600 300

600 800 375

El tipo de cosecha apropiada para la región incluye remolacha, algodón y sorgo, y estas son precisamente las tres que se están estudiando para la estación venidera. Las cosechas difieren primordialmente en su rendimiento neto esperado por acre y en su consumo de agua. Además, el Ministerio de Agricultura ha establecido una cantidad máxima de acres que la Confederación puede dedicar a estas cosechas. En la siguiente tabla se muestran esas cantidades. Datos de cosechas para la Confederación Agraria del Centro Cosecha

Cantidad Máxima (acres)

Consumo de agua (pies- acres/acre)

Rendimiento neto (soles/acre)

600 500 325

3 2 1

1000 750 250

Remolacha  Algodón Sorgo

Debido a la disponibilidad limitada de agua para irrigación, la Confederación no podrá usar todo el terreno irrigable para las cosechas de la próxima temporada. Para asegurar la equidad entre las comunidades, han acordado que cada comunidad sembrara la misma proporción de sus tierras irrigables disponibles. Por  ejemplo, si la comunidad 1 siembra 200 de sus 400 acres disponibles, entonces la comunidad 2 debe sembrar 300 de sus 600 acres, mientras que la comunidad 3 sembraría 150 acres de los 300 que tiene. Cualquier combinación de estas cosechas se puede sembrar en cualquiera de las comunidades. El trabajo que se enfrenta la oficina de coordinación técnica consiste en planear cuántos acres deben asignarse a cada tipo de cosecha en cada comunidad, cumpliendo con las restricciones dadas. El objetivo es maximizar el rendimiento neto total para la Confederación del Centro. Solución:

Definición de variables: Xij = cantidad (acres) de cosecha i (1, 2, 3) en la comunidad j (1, 2 , 3) i (1: Remolacha, 2: Algodón, 3: Sorgo)  j (1: comunidad 1, 2: comunidad 2, 3: comunidad 3) Función Objetivo: Max. Z = 1000 (X11 + X12 + X13) + 750 (X21 + X22 + X23) + 250 (X31 + X32 + X33) Sujeto a: Terreno disponible:

YONEL

17

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

MODELACIÓN

X11 + X21 + X31 ≤ 400 X12 + X22 + X32 ≤ 600 X13 + X23 + X33 ≤ 300 Cantidad máxima en la cosecha: X12 + X12 + X13 ≤ 600 X21 + X22 + X23 ≤ 500 X31 + X32 + X33 ≤ 325 Consumo de agua: 3X11 + 2X21 + X31 ≤ 600 3X12 + 2X22 + X32 ≤ 800 3X13 + 2X23 + X33 ≤ 375 Condición: (X11 + X21 + X31)/400 = (X12 + X22 + X32)/600 (X11 + X21 + X31)/400 = (X13 + X23 + X33)/300 No negatividad: Xij ≥ 0

19.La NORI & LEET CO., una de las mayores productoras de acero del mundo occidental, está localizada en la ciudad de Steeltown y es la única empresa grande de la localidad. Steeltown ha crecido y prosperado  junto con la compañía, que de momento emplea a cerca de 50.000 residentes. La actitud de los residentes ha sido siempre favorable a la compañía; sin embargo, esta actitud está cambiando, ya que la contaminación no controlada del aire debida a los altos hornos de la planta está en camino de arruinar la apariencia de la ciudad y de poner en peligro la salud de sus habitantes. Como resultado, después de una revuelta de los accionistas se eligió un nuevo consejo directivo más responsable. Los nuevos directores han decidido seguir políticas de responsabilidad social y realizar  consultas con las autoridades de la ciudad y con grupos de ciudadanos para tomar medidas respecto a la contaminación ambiental. Juntos han establecido estándares rigurosos de calidad del aire para la ciudad de Steeltown. Los tres tipos principales de contaminantes son partículas de materia, óxidos de azufre e hidrocarburos. Los nuevos estándares requieren que la compañía reduzca su emisión anual de estos contaminantes en las siguientes cantidades presentadas en la tabla Nº I. El consejo directivo ha dado instrucciones a la gerencia para que el personal de ingeniera determine como lograr estas reducciones en la forma más económica. La fabricación de acero tiene 2 fuentes principales de contaminación, los altos hornos para fabricar el arrabio y los hornos de hogar abierto para transformar el hierro en acero. En ambos casos, los ingenieros determinaron que los métodos de abatimiento más efectivos son: 1) aumentar la altura de las chimeneas, 2) usar filtros (incluyendo trampas de gas) en las chimeneas y 3) incluir limpiadores de alto grado en los combustibles de los hornos. Todos estos métodos tienen limitaciones tecnológicas en cuanto al nivel en que pueden usarse (por ejemplo, un incremento factible máximo en la altura de las chimeneas), pero también existe una gran flexibilidad para usar el método en cualquier nivel fraccionario de su límite tecnológico. Tabla Nº I Estándares de aire limpio para Nori & Leets Co.

Contaminantes Partículas Óxidos de azufre Hidrocarburos YONEL

Reducción requerida en la tasa de emisión anual (millones de libras) 60 150 125 18

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

MODELACIÓN

La tabla II se muestra la cantidad de emisión (en millones de libras anuales) que se puede eliminar de cada tipo de horno usando el método de abatimiento al máximo límite tecnológico. Para fines de análisis, se supone que cada método se puede usar a un nivel menor para lograr cualquier fracción en las reducciones de las tasas de emisión mostradas en la tabla. Además, para cualquiera de los hornos, el uso simultáneo de otro método no afecta de manera significativa la reducción de emisiones que alcanza cada uno de ellos. Tabla Nº II Reducción en la tasa de emisión (millones de libras por año) con el uso máximo factible del método de abatimiento para Nori & Leets Co. Contamínate

Partículas Óxidos de azufre Hidrocarburos

Chimeneas más altas Altos Hornos de Hornos Hogar abierto

12 35 37

9 42 53

Filtros Altos Hornos de Hornos Hogar abierto

25 18 28

20 31 24

Mejores combustibles Altos Hornos de Hornos Hogar abierto

17 56 19

13 49 20

Después de obtener estos datos, quedó claro que ningún método por si solo podría lograr las reducciones requeridas. Por otro lado, la combinación de los tres métodos a toda su capacidad (lo que sería demasiado caro si se quiere que los productos sigan siendo competitivos en precio) resulta mucho mayor de lo que se pide. Por todo esto, la conclusión de los ingenieros fue que tendrían que usar alguna combinación de métodos, tal vez con capacidades fraccionarias, con base en sus costos relativos. Lo que es más, debido a las diferencias los altos hornos y los hornos de hogar abi erto, es probable que la combinación sea diferente para cada tipo de horno. Se llevó a cabo análisis para estimar el costo total anual de cada método de abatimiento. El coste total anual de un método incluye el aumento en los gastos de operación y mantenimiento, al igual que la reducción en los ingresos debida a cualquier pérdida de eficiencia en el proceso de producción que pudiera resultar por el uso del correspondiente método. El otro coste importante que se debe tener en cuenta es el capital inicial requerido para instalar el método. Para hacer que este coste único fuera conmensurable con los costes anuales, se usó el valor del dinero en el tiempo para calcular el gasto anual (sobre el tiempo esperado de vida del método) que será equivalente a este coste fijo inicial. El análisis proporcionó estimaciones de los costos anuales totales (en millones de dólares) dados en la tabla Nº III, en que se incurren al usar los métodos a toda su capacidad de abatimiento. También se determinó que el costo de un método que se utiliza a un nivel menor es esencialmente proporcional a la capacidad fraccional de la capacidad de abatimiento dada en la tabla Nº II que se logra. Entonces, para cualquier fracción lograda, el costo anual seria en esencia la fracción de la cantidad correspondiente en la tabla Nº III. En este momento, todo está listo para desarrollar el marco general del plan de la compañía para disminuir. Solución:

Definición de variables de decisión: Xij = fracción por año del método i (1, 2, 3) utilizado en el tipo de horno j (1, 2) i (1: Partículas, 2: Óxidos de Azufre, 3: Hidrocarburos)  j (1: Altos hornos, 2: Hornos de hogar abierto) Función Objetivo:

Min. Z = 8X11 + 10X12 + 7X21 + 6X22 + 11X31 + 9X32

Sujeto a: 12X11 + 9X12 + 25X21 + 20X22 + 17X31 + 13X32 ≥ 60 35X11 + 42X12 + 18X21 + 31X22 + 56X31 +49X32 ≥ 150 37X11 + 53X12 + 28X21 + 24X22 + 19X31 + 20X32 ≥ 125

YONEL

19

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

MODELACIÓN

X11 + X12 + X21 + X22 + X31 + X32 Xij ≥ 0

≤

1

20.La Dumont Company, fabricante de equipos de pruebas, tiene tres departamentos principales para la manufactura de sus modelos S-000 y S-2000. Las capacidades mensuales son las siguientes: Requerimientos Unitarios de Tiempo (Horas) Modelo S-1000 Modelo S-2000

Horas disponibles en el presente

Dpto. de estructura principal 4.0 2.0 1,600 Dpto. de alambrado eléctrico 2.5 1.0 1,200 Dpto. de ensamble 4.5 1.5 1,600 La contribución del modelo S-1000 es de S/.40 por unidad y del modelo S-2000 es de S/.10 por unidad. Suponiendo que la compañía puede vender cualquier cantidad de esos productos, debido a condiciones favorables de mercado, determínese la salida óptima para cada modelo, la contribución mas alta posible para el presente mes, y el tiempo sobrante en los tres departamentos. Solución:

Definición de variables de decisión: Xi = unidades por mes del modelo i (1, 2) i (1: Modelo S-1000, 2: Modelo S-2000) Función Objetivo: Max. Z = 40X 1 + 10X2 Sujeto a: Horas disponibles al mes para el Dpto. de Estructura Principal 4X1 + 2X2 ≤ 1600 Horas disponibles al mes para el Dpto. de Alambrado Eléctrico 2.5X1 + X2 ≤ 1200 Horas disponibles al mes para el Dpto. de Ensamble 4.5X1 + 1.5X2 ≤ 1600 No negatividad Xi ≥ 0

21.Una empresa siderúrgica produce tres tiposde rollos, cada uno hecho de diferente aleación. La grafica de procesos se ve en la figura mostrad. El problema consiste en determinar las cantidades de cada aleación que debe producirse, dentro de las limitaciones del volumen de vents y de las capacidades de las maquinas, para hacer máxima las ganancias. Los datos sobre capacidades y ganancias se presentan en las siguientes tablas: TABLA Nº 01 Máquina

Nº de Máquinas

Turno de 8 horas por semana

Tiempo ociosos %

Caja de recocido Recocido continuo Molinos continuos

4 1 1

21 20 12

5 10 0

TABLA Nº 02

YONEL

20

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

MODELACIÓN

 Aleación

Operación

1

Caja de recocido Molinos continuos (1) Recocido continuo Molinos continuos (2)

Velocidad de Potencial de Ganancia máquina ventas tonelada 28 Hrs/10 Tons 1250 Tons por mes S/. 25 50’ por min. 20’ por min. 25’ por min.

2

Caja de recocido Recocido continuo Molinos continuos

35Hrs/10 Tons 20’ por min. 25’ por min

250 Tons por mes

S/. 35

3

Recocido Continuo Molinos continuos

16’ por min. 20’ por min

1500 Tons por mes

S/. 40

por  

Los rollos de cada aleación son de 400 pies de largo y pesan 4 toneladas. Establezca la función obejtivo y las restricciones, de las cuales pueda obtenerse una solución a través del método simple x del problema del fabricante 22. Un fabricante puede producir en una planta dada; acondicionadores de aire o refrigeradores. Los

componentes principales de cada uno de estos artículos son la unidad mecánica y el gabinete. En cada uno de los casos estos componentes se hacen en los mismos departamentos, y estos tienen capacidades limitadas. Sin embargo los acondicionadores de aire y los refrigeradores se ensamblan en departamentos separados. Las capacidades de los varios departamentos para un periodo de trabajo dado se muestran en la siguiente tabla: CAPACIDADES DE LOS DEPARTAMENTOS PARA LA FABRICACION Y ENSAMBLE DE COMPONENTES DE ACONDICIONADORES DE AIRE Y DE REFRIGERADORES

DEPARTAMENTO Unidades mecánicas Gabinetes Ensamble

ACONDICIONADORES 125 200 150

REFRIGERADORES 100 50 120

La utilidad incremental obtenida en la venta de cada acondicionador de aire es de $50 y de cada refrigerador es de $75. ¿Qué combinación de acondicionadores de aire y de refrigeradores se debe programar, de acuerdo a las instalaciones disponibles, a fin de maximiza las utilidades? Solución:

Definición de variables de decisión: Xi = Numero de unidades del tipo i (i: A, R) a fabricarse.  A: Acondicionadores, R: Refrigeradores X1/2

X1/2 X2/2

Unidades Mecánicas

X1/2 X2/2

YONEL

X1=cantidad de X1/2

Ensamblaje

X2/2 Gabinetes

X2=cantidad de Ensamble

X /2

21

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

MODELACIÓN

Función Objetivo:

Max. Z = 50X1 + 75X2

Sujeto a: X1 125 X1 200



X2 100



X2 50

X1

1



1

 150

X2 X1 , X 2





 120

0

23. Bata Manufacturing Company fabrica tres productores: A, B y C. los analistas financieros de la compañía

han informado a los administradores que se deben recuperar S/.2,000 de costos fijos asociados con inversiones de capital y gastos generales para que la compañía alcance el punto de equilibrio. Los administradores de Bata desearían determinar la cantidad de cada uno de los productores que se deben fabricar para que, cuando la empresa llegue al punto de equilibrio, la suma de los costos variables de producción sea mínima. Los precios de los tres productores son S/. 12.00, S/. 10.00 y S/.6.00, respectivamente. Los costos variables asociados con los productores son S/.10.00, S/.8.50 y S/.5.00. Los pedidos atrasados que se tie3nen para los tres productores son: A=300 unidades, B=250 unidades y C=1000 unidades. Deben atenderse todos los pedidos atrasados antes de atender pedidos nuevos. Formule como un problema de programación lineal.

Solución:

 A (S/ ) 12 10 300

Productos

Precios Costos Variable Pedidos Atrasados

B (S/ ) 10 8.5 250

C (S/ ) 6 5 1000

Variables de decisión: Xi = Numero de productos del tipo i (i: 1, 2, 3) que deben fabricarse durante el mes.  A= 1; B= 2; C=3 Función Objetivo. Máx. Z = 10X1 + 8.5X2 + 5X3 Sujeto a: (12 - 10) X1 + (10 - 8.5) X 2 + (6 - 5) X3 ≥ 2000 X1 ≥ 300 X2 ≥ 250 X3 ≥ 1000 Xi ≥ 0; YONEL

i: A, B, C 22

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

YONEL

MODELACIÓN

23