1. Probabilitas

By. Lisma Ningsih Lisma Ningsih,, SKM, MKM

Pendahuluan  Keputusan didalam statistik merupakan peluang (probabilitas) probabilitas) yang diyakini benar  dan  juga memberikan peluang untuk tidak benar 

Konsep -  - Konsep Konsep Probabilitas  1.

Pandangan Klasik/ intuitif  Probabilitas/peluang adalah harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan bahwa suatu peristiwa terjadi, diantara keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi 2. Pandangan Empiris /Probabilitas Relatif  Probabilitas berdasarkan observasi, pengalaman atau kejadian (peristiwa) yang telah terjadi 3. Pandangan Subyektif  Probabilitas ditentukan oleh yang membuat pernyataan

UNSUR-UNSUR PROBABILITAS •

•

•

Ruang Sampel Adalah himpunan elemen-elemennya merupakan hasil yang mungkin terjadi dari suatu eksperimen/percobaan Titik Sampel Adalah elemen yang ada didalam suatu ruangan sampel Peristiwa/Kejadian/Event Adalah himpunan bagian dari suatu ruang sampel

Eksperimen : Proses pengumpulan data tentang suatu fenomena yang menunjukkan adanya variasi didalam hasil

AZAS PERHITUNGAN PROBABILITAS •

0≤ P≥1

•

P (E) = X/N HUKUM PERTAMBAHAN  A. Kejadian Mutually Exclusive • Satu peristiwa terjadi akan meniadakan peristiwa yang lain untuk terjadi (saling meniadakan) P(A U B) = P(A) + P(B) Contoh : 1. Permukaan sebuah koin 2. Permukaan dadu 3. Kelahiran anak laki atau perempuan pada seorang ibu dengan kehamilan tunggal

•

AZAS PERHITUNGAN PROBABILITAS

B. Kejadian Non Mutually Exclusive • Dua atau lebih peristiwa dapat terjadi bersamasama (tetapi tidak selalu bersama) P(A U B) = P(A) + P(B)  – P (A ∩ B) Contoh : 1. Penarikan kartu as dan berlian 2. Seorang laki-laki dan dokter 

AZAS PERHITUNGAN PROBABILITAS •

HUKUM PERKALIAN  –

Peristiwa bebas (independent) : dua peristiwa dikatakan bebas/independen apabila kejadian atau ketidakjadian suatu peristiwa tidak mempengaruhi peristiwa lain P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

 –

Peristiwa tidak bebas (peristiwa bersyarat): dua peristiwa dikatakan bersyarat apabila kejadian atau ketidakjadian suatu peristiwa akan berpengaruh terhadap peristiwa lain P(A ∩ B) = P(A) x P(B|A)

PERMUTASI DAN KOMBINASI •

Dalil-dalil Probabilitas Tree Diagram (Diagram Pohon)

H H

T T

H

T

Dalil I : Kalau suatu langkah dari suatu experimen menghasilkan k hasil yang berbeda dan langkah kedua menghasilkan m yang berbeda maka kedua langkah experimen akan menghasilkan k x m hasil Contoh : Seorang mahasiswa untuk sampai di gerbang UI Depok dapat dgn 3 cara (bus, kereta, angkot) dari gerbang UI sampai ke fakultas ada 4 cara (jalan kaki, bus kuning, ojek, numpang dgn mobil teman). Maka berapa cara seorang mahasiswa akan sampai di fakultas ?

Dalil II : Permutasi (Urutan Dipentingkan) Cara atau tehnik mengambil sampel dengan memperhatikan urutan n! n Pr  (n r )! P = Jumlah Permutasi n = Banyaknya objek r = Jumlah anggota pasangan ! = Faktorial Dalil III : Kombinasi (Urutan Tidak Dipentingkan) Cara atau tehnik mengambil sampel dengan tanpa memperhatikan urutan 



nCr 

n!



r !( n

C = Jumlah Kombinasi



r )!

Contoh Soal dan Penyelesaian •

•

Ada tiga cara efektif untuk pengobatan pasien Ca (kanker) yakni bedah (B), radiasi (penyinaran=P) dan kemoterafi (obat=O). Ada berapa carakah dapat diobati seseorang yang menderita Ca kalau kepada masing-masing pasien hanya dua macam terafi yang bisa diberikan. Untuk kasus ini urutan dipentingkan, sehingga penyelesaiannya sebagai berikut: n

Pr 

3 P 2

!

n 

(n

)!

r 

3! 

3 x 2 x1 



6

(3 2)! 1 Jadi jumlah cara yang dapat dilaksanakan adalah : BP, BO, PB, PO, OB dan OP 

•



Contoh Soal dan Penyelesaian •

•

Dari 4 mahasiswa S2 (A,B,C dan D) dipilih 2 mahasiswa untuk di berangkatkan ke daerah bencana. Berapa banyak pasangan kombinasi! Urutan tidak dipentingkan, sehingga penyelesaiannya sebagai berikut: nCr 

4C 2 •

n! 

r !( n



r )!

4! 

2!( 4



4! 2)!



2! x 2!



6

Jadi kombinasi pasangan tersebut adalah : AB, AC, AD, BC, BD dan CD

DISTRIBUSI PROBABILITAS

Kunci aplikasi probabilitas dalam statistik adalah memperkirakan terjadinya peluang/probabilitas yang dihubungkan dengan terjadinya peristiwa tersebut dalam beberapa keadaan.

Macam-Macam Distribusi Probabilitas •

•

•

•

•

•

•

Distribusi Binomial (Bernaulli) Distribusi Poisson Distribusi Normal (Gauss) Distribusi Student Distribusi Chi Square Distribusi Fisher dll

DISTRIBUSI BINOMIAL •

•

•

•

Menggambarkan fenomena dua hasil atau outcome. Contoh : peluang sukses dan gagal, sehat dan sakit, setuju dan tidak setuju, laki-laki dan perempuan. Penemu distribusi binomial adalah James Bernaulli Syarat : –

–

–

–

Jumlah trial merupakan bilangan bulat Setiap eksperimen mempunyai dua outcome (hasil) Peluang sukses sama setiap eksperimen Setiap eksperimen independen satu sama lain.

Formula  P ( X   x) 

n! 

 x!(n  x)!

 x

 p (1  p) 

n  x 



x : banyaknya sukses yang diinginkan (bilangan random) n : jumlah trial p : peluang sukses dalam satu kali trial

Contoh soal •

Diketahui bahwa 10% dari masyarakat paling tidak satu kali pernah sakit dalam satu tahun. Jika diambil secara acak sebanyak 6 orang, dapatkanlah probabilitasnya dari mereka sakit dalam tahun itu: a. Semuanya b. Tepat 3 orang

Penyelesaian a.

P(x=6)  x

 



6



 P 

6!



6

6!(6  6)!

 x 0,1

(1  0,1) 6



6

1 x 0,000001 x1 0,000001

Jadi probabilitas semuanya sakit dalam tahun itu adalah sebesar 0,000001 b. P(x=3)  x



3



 P 



6! 3!(6





20 x 0,001 x 0,729



0,01458

3)!

0,13 (1  0,1) 6



3

DISTRIBUSI POISSON •

•

Dipakai untuk menentukan peluang suatu kejadian  yang jarang terjadi tetapi mengenai populasi yang luas atau area yang luas dan juga berhubungan dengan waktu. Contoh : Kejadian seseorang akan meninggal karena shock pada waktu disuntik dengan vaksin meningitis 0,0005. Peluang pasien sakit gigi meninggal –

–

Formula   e  x

 p ( x)





 

 x!

e = Konstanta = 2,71828

    



np

= nilai rata-rata

  e  x





 x!

 

Contoh Soal •

Probabilitas untuk terjadinya shok pada saat imunisasi dengan vaksinasi meningitis adalah 0,0005. Kalau di suatu kota jumlah orang yang akan dilakukan vaksinasi sebanyak 4.000, hitung peluang tepat tiga orang akan terjadi shok!

Penyelesaian  



  p ( x 

  



np

3)

0,1804



2 

3

4000 x 0,0005  x 2,71828

3 x 2 x1



2



2

DISTRIBUSI NORMAL

•

DISTRIBUSI NORMAL (GAUSS)  –  –  –  –  –  –

Paling banyak dipakai dalam analisis statistik Symetris Seperti Lonceng Titik belok µ ± σ Luas = Probability = 1 Untuk dapat menentukan probabilitas didalam kurva normal umum, maka nilai yang akan dicari ditransformasikan dulu kenilai kurva normal standar  melalui Z (deviasi relatif)

Formula 

 x  z 



 



 z 

 x 

  

    

= Rata-rata di populasi = Standar deviasi di populasi

 x S 



 x

S 

= Rata-rata di sampel = Standar deviasi di sampel

Contoh Soal Suatu penelitian dilakukan seorang dokter kebidanan untuk meneliti kadar haemoglobin ibu hamil. Untuk penelitian ini telah diambil sebanyak 50 bumil dan didapatkan rata-rata kadar Hb 9,5 gr/dl,dengan simpangan baku 4,5 gr/dl. a. Hitunglah probabilitas akan mendapatkan seorang bumil yang diambil dari 50 orang tersebut mempunyai Hb >12 gr/dl b. Hitunglah probabilitas akan mendapatkan seorang bumil yang diambil dari 50 orang tersebut mempunyai Hb < 8 gr/dl

Penyelesaian 

 z 

 x



 x



S  

12



9,5

4,5 

0,56



lihat tabel z



P=0,2123

P(z>0,56) = 0,5 0,2123 = 0,2877 Jadi probabilitas akan mendapatkan seorang bumil yang mempunyai Hb > 12 gr/dl adalah sebesar 0,2877 –

Terima Kasih