1 PDF

SAIRY I.E.Pr. CIENTÍFICO

Física

1

SAIRY I.E.Pr. CIENTÍFICO

Análisis dimensional I DEFINICIÓN La medición en la física es fundamental, para ello es necesario establecer un conjunto de unidades convencionales para cada magnitud física, esto permite diferenciar una magnitud de otra. Magnitud: Todo aquello que puede ser medido. Medir: Consiste en comparar dos cantidades de una misma magnitud; donde una de ellas es la unidad patrón.

CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES POR SU ORIGEN

Magnitudes escalares:

• Magnitudes fundamentales • Magnitudes derivadas

Es aquella magnitud que queda definida solamente por un valor numérico y su unidad de medida. Ejemplo: Temperatura → 300 K

Magnitudes fundamentales:

Son aquellas magnitudes que convencionalmente, servirán como base para deducir las demás magnitudes físicas. Según el Sistema Internacional SI son:

MAGNITUD FÍSICA Longitud

metro

m

Tiempo

segundo

s

Masa

kilogramo

kg

Temperatura Intensidad de corriente Cantidad de sustancia Intensidad luminosa

kelvin

K

ampere

A

mol

mol

Candela

cd

UNIDAD

SÍMBOLO

Magnitudes derivadas:

Son aquellas magnitudes que se expresan en función de las magnitudes fundamentales. Entre las magnitudes derivadas tenemos la aceleración, fuerza, potencia, energía, carga eléctrica, etc.

POR SU NATURALEZA • Magnitudes escalares • Magnitudes vectoriales

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

Magnitudes vectoriales:

Es aquella magnitud que, además del valor numérico y una unidad, depende de una dirección. Ejemplo: Velocidad → 30 m/s hacia dirección el norte

Ecuación dimensional

Expresión matemática que nos permite establecer una magnitud física en función de las magnitudes fundamentales. Notación: Si B es una magnitud física su ecuación dimensional (E.D) es [B]. Según el SI las ecuaciones dimensionales son: • Para las magnitudes fundamentales

MAGNITUD Longitud

E.D. L

Tiempo Masa Temperatura Intensidad de corriente Cantidad de sustancia

T M q

I N

CUARTO

2

I. E. Pr. “Científico Sairy”

Física

R. D. R. N° 061-2013

• Para algunas magnitudes derivadas

MAGNITUD Área Volumen Velocidad Aceleración Fuerza Trabajo Energía Potencia Presión Calor Frecuencia

E.D.

L2 L3 LT–1 LT–2 MLT–2 ML2T–2 ML2T–2 ML2T–3 ML–1T–2 ML2T–2 T–1

Algunas propiedades de las E.D. que se usarán específicamente en este capítulo son: 1) [Número real] = 1 2) [xy] = [x][y]

3)  x  =  x   y  y      4) [cX] = c[X] (c: número real) 5) [Xn] = [X]n (n: número real) 6) [razón trigonométrica] = 1 7) Las constantes numéricas son adimensionales mas no así las constantes físicas. • [p] = 1 • Ley de la gravitación universal mm F = G 12 2 d

G: constante (física) de gravitación universal. = G 6.67 × 10−11

Luego:

Nm2 kg 2

∴ G  = M −1L3T−2

Trabajando en clase Integral 1. Determina la ecuación dimensional de la fuerza (F) si su valor se calcula mediante la siguiente fórmula: F = (masa) (aceleración) a) MLT–1 b) MLT–2 c) ML d) MT–2 e) LT–2 Solución: Desarrollando las ecuaciones dimensionales. [F] = [masa][aceleración]

−2 F  = (M)(LT )

∴ F  = MLT−2

2. Determina la ecuación dimensional de la presión P si se calcula mediante la siguiente fórmula: fuerza P= área –1 a) ML b) ML–1T–3 c) M–1LT–2 d) ML–1LT–2 e) ML

3. Determina la ecuación dimensional de la fuerza  centrípeta (Fcp ) si su valor se puede calcular aplicando la siguiente fórmula: Fcp =

(masa)(velocidad)2 radio

a) MLT–2 b) MT–2 c) ML–2 d) ML–1T–2 e) MLT2 4. Determina la ecuación dimensional de la energía cinética (Ek) si viene dada por la siguiente ecuación:

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

Ek =

(masa)(velocidad)2 2

a) MLT–1 b) T–1 c) ML2T–1 d) ML e) ML2T–2

CUARTO

3

I. E. Pr. “Científico Sairy” R. D. R. N° 061-2013

UNMSM 5. Determina la ecuación dimensional “Ce” si la cantidad de calor que se entrega a una sustancia, para incrementar su temperatura se calcula mediante la siguiente fórmula: = Q mCe∆T Si se sabe que: Q: calor m: masa Ce: calor específico ∆T: Variación de la temperatura L2T−2θ −1 a) L2θ −1 b) T − 2θ c) θ −1L2 d) 2 −2 e) L T Solución: Por teoría se sabe que calor y energía tienen la misma ecuación dimensional. = E  ML2T−2 Q  =

Siguiendo la fórmula: Q mCe∆T = = Q  m Ce  ∆T       

2 −2 ML = T M Ce  θ

Resolviendo:

Ce  L2T–2θ −1 =

6. Calcula la ecuación dimensional de “P”, si la siguiente ecuación dimensional es correcta: DFL P= m Dónde: D: densidad L: longitud F: fuerza m: masa a) MLT2 b) MLT 2 –1 c) ML T d) M e) ML–1T–2 7. Determina la ecuación dimensional de “a” a partir de la siguiente ecuación correcta: = mna 4VF cos(207°) Dónde: F: fuerza V: volumen m y n son masas a) ML4 b) ML–4 c) ML4T–2 d) L4T–2 –1 4 –2 e) M L T

Física

8. Calcula la ecuación dimensional de “K” si el valor de la energía cinética promedio de una molécula, cuando se trata de un gas ideal monoatómico, se calcula mediante la siguiente ecuación: 3 E k = KT 2 Dónde: K: constante de Boltzman T: temperatura absoluta 2 −2 −1 Mθ −1 a) ML T θ b) T − 2θ − 1 c) ML2θ −1 d) e) L2Mθ −1 Solución: Aplicando las ecuaciones dimensionales de cada término. 3 3  EK  =  KT  ⇒  EK  =  2  ⋅ K  ⋅ T   2  1

ML2T−2 = 1 ⋅  k  ⋅ θ

= ∴ K  ML2T−2 ⋅ θ −1

9. Determina la ecuación dimensional de «h» si el postulado de Max Planck señala que el valor de la energía de una onda electromagnética se calcula mediante la siguiente ecuación: E = hf Dónde: E: energía f: frecuencia h: constante de Planck a) MLT–1 b) ML–1T–1 –2 c) MLT d) M2L–1 2 –1 e) ML T 10. Calcula la ecuación dimensional de «R» si la ecuación universal de los gases ideales se define por: PV = nRT Dónde: P: presión V: volumen n: número de moles R: constante universal de los gases T: temperatura absoluta

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

a) ML2

b) Mθ −1T−2

c) ML2T−2N −1θ −1 d) θ −1N

e) MLθ −1

CUARTO

4

I. E. Pr. “Científico Sairy”

Física

R. D. R. N° 061-2013

11. Determina la ecuación dimensional del periodo si el periodo de un péndulo simple (S) se calcula mediante la siguiente fórmula: S = 2π ×

L g

Dónde: S: periodo L: longitud g: aceleración de la gravedad a) M b) L c) T–2 d) L–3 e) T UNI 12. La 3era ley de Kepler, aplicada al movimiento de un planeta que se mueve en una órbita circular, señala que el cuadrado del periodo del movimiento es igual al cubo del radio de la órbita multiplicado por una constante física. Determina la dimensión de dicha constante. UNI 2005-I a) L2T b) L–3T2 c) LT–2 d) L–2T e) L4T–2 Solución: Lo primero que tenemos que hacer es plantear la ecuación en función a los datos. Según los datos la ecuación propuesta por Kepler tiene la forma: S2 = XR3 Dónde: S. periodo del movimiento, y representa el mínimo tiempo que demora el planeta en completar una órbita circular. X: constante física R: radio de órbita

Aplicando las ecuaciones dimensionales para cada término de la igualdad se tiene:  S2  =  XR 3     

2

3

S  =  X  R  T2 =  X  L3

∴  X  = L− 3T2

13. La ley de Hooke señala que la fuerza que un resorte ejerce es igual a la longitud de su deformación multiplicada por una constante. Determina la ecuación dimensional de dicha constante. a) ML b) MT c) T–1L d) MLT–2 –2 e) MT 14. En la ecuación ap = P (r es densidad y P es presión) determina las dimensiones de la constante a. UNI 2003-II 2 –2 –1 a) L T b) LT c) LT d) L2T e) LMT–1 15. Calcula la ecuación dimensional y su respectiva unidad en el SI de “x”, si su valor se calcula aplicando la siguiente ecuación:

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

x= Dónde: Y y R: longitudes S: tiempo A: área a) LT c) L–1T2 e) LT–2

2π2Y 2R cos θ S2 A

b) LT2 d) L2T

CUARTO

5

2

SAIRY I.E.Pr. CIENTÍFICO

Análisis dimensional II DEFINICIÓN Siguiendo con el estudio del análisis dimensional, en este capítulo veremos cómo calcular las ecuaciones dimensionales de algunas ecuaciones físicas, aplicando para ello nuevas propiedades y principios.

PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES PARTE II 1. La ecuación dimensional de todo ángulo, razón trigonométrica y, en general, de toda cantidad adimensional es uno. •

1 sen(53°) =

•

 log(x) = 1

•

64°  =1

2. La ecuación dimensional del exponente de toda magnitud física es igual a uno. 2V H (fuerza) P

= 2N se cumple •  2V   P H  = 1   •

FV 9 3x

= 3 se cumple

 FV  = 1  3x 

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL (PHD) En toda ecuación dimensionalmente correcta, los términos que se suman o se restan deben tener la misma ecuación dimensional. Por ejemplo, si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta: A+B=C Entonces se debe cumplir que

= B  C   A  =

Ejemplo: Sabiendo que la siguiente expresión es dimensionalmente correcta: H = aF – bP

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

CUARTO

6

I. E. Pr. “Científico Sairy”

Física

R. D. R. N° 061-2013

Donde F: fuerza y P: presión. Indica la ecuación dimensional de a . b Del problema se cumple H  aF − bP  = Por el principio de homogeneidad

H  = aF   bP  =

= H  a=  F  b  P  a  MLT−2 =  b  ML−1T−2

a  ML−1T−2 =  b  MLT−2



a  − 2 L ∴ =  b 

Trabajando en clase Integral 1. Si A representa el área, ¿cuál es la ecuación dimensional de x? A log(30) =  56.x1/2    Solución:  1  A   log(30) = 56   x 2    1



L2.1 = 1.  x 2



2  x 2 = L

1

∴ x  = L4

2. Si P representa la presión, ¿cuál es la ecuación dimensional de Y? log(452) P 1/2 b) ML c) MT e) T1/2

5– Y 2= 36° a) M–1/2L1/2T d) M–1T1/2

3. Determina la ecuación dimensional de C si la siguiente ecuación es correcta: mS = 6V tan(3C / F) m: masa; S: tiempo; V: volumen y F: fuerza. a) ML b) LT–2 c) MLT–2 –1 d) LT e) MLT

4. Determina la ecuación dimensional de A/B, si se sabe que v: velocidad y t: tiempo y además la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta: A = veBt a) L–1 d) L

b) LT–1 e) LT

2

c) L2T

UNMSM 5. Siendo m: masa y v: rapidez. Determina x.y si la energía cinética viene dada por la siguiente ecuación: 1 E k = m x .v y 2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Solución: Aplicando las dimensiones en cada término 1  E k  =    m x   v y  2     x y 1  E k  =   m   v  2 ML2T−2 = 1.M x (LT−1)y

ML2T−2 = M x Ly T− y Igualando magnitudes M = Mx →x=1 L2 = Ly →y=2 ∴ x.y = 2

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

CUARTO

7

I. E. Pr. “Científico Sairy”

Física

R. D. R. N° 061-2013

6. Calcula el valor de xy en la siguiente expresión dimensionalmente correcta: v = π2 ax ty Dónde: v es rapidez, a es área y t es tiempo. a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

9. La ecuación A= F + B es dimensionalmente correcta. t Si F representa la fuerza y t el tiempo, calcula la dimensión de B. UNMSM 2013-II a) MLT–2 b) ML c) MLT d) MLT–3 e) LT–2

7. Calcula x – y si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta:

10. Calcula x2 + y si un cuerpo es abandonado desde una cierta altura h, luego de un intervalo de tiempo adquiere una rapidez v. Si la aceleración de la gravedad viene dada por 1 g = hxv y 2 a) –1 b) –2 c) –3 d) 3 e) 1

P = log(23).

my dt x

Si se sabe que P es la presión, d es la distancia, t es tiempo y m es masa. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

8. Calcula (x + 1)z si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta: Psen75° =85d x t z .m Si se sabe que: P: potencia d: distancia t: tiempo m: masa a) 27 d) 1/28

UNI b) 28 e) 1/29

c) 1/27

Solución: Aplicando la dimensionalidad a cada término. = °   85d x ⋅ t z ⋅ m  P ⋅ Sen75  

= Sen75°  85  d x   t z  ⋅ m  P        1



 a 2b x  11. En la ecuación H  y  senθ =  2c  dimensionalmente correcta, H es la altura, α es la rapidez, b es el radio y c es la aceleración. Determina x + y. UNMSM 2013-II a) 1 b) –1 c) –2 d) 0 e) 2

1

⇒ P =  d x  ⋅  t z  ⋅ m      Aplicando las propiedades del análisis dimensional.

x z = P  d   t  ⋅ m 

Reemplazando las ecuaciones a cada término. ML2 T–3 = Lx.Tz M Igualando exponentes se tiene: x=2 z = –3 Luego reemplazando en (x + 1)z 1 ∴ (x + 1)z = 27

12. Calcula  a  si la siguiente ecuación es correcta:  c  P= at 2 + cρ Dónde P es presión, t es tiempo y ρ es la densidad. a) MT–2 b) ML–3 c) MLT–2 –3 –2 3 –2 d) ML T e) L T Solución: Aplicando las E.D. para cada término  2  P=   at + cρ  Por el principio de homogeneidad se tiene 2 P =  at 2 = cρ  = P  a  = t  c  ρ    De esta manera se cumple 2

• P  = a   t 

→ a  = ML−1T−4



• P  = c  ρ 

ML−1T−2 = a  T2 ML−1T−2 = c  ML−3

→ c  = L2T−2 Como nos piden  a  , entonces  c   a  =  a   a  ML−1T−4 = 2 −2  c   c   c  LT a ML−3T−2 ∴   = c

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

CUARTO

8

I. E. Pr. “Científico Sairy”

Física

R. D. R. N° 061-2013

13. Calcula  x  se sabe que F es fuerza, H es altura  2 x  y v es rapidez si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta: Y = F + 1/2H×v2. a) LT–1 b) L3T–3 c) L3T–1 2 –2 3 –2 d) L T e) L T 14. Si la expresión siguiente es dimensionalmente correcta, ¿cuál es la ecuación dimensional A y α respectivamente? 1 2 1 3 = d At + αt 2 6 Si: d: distancia t: tiempo a) LT ; L–2 b) LT–1 ; LT–2 c) L ; T –2 2 d) T ; L e) LT–2 ; LT–3

15. Se ha determinado que la velocidad de un fluido se puede expresar por la ecuación: 1





2 2Pm = + 2BY  v  A  

Donde Pm es la presión manométrica del fluido e “Y” es la altura del nivel del fluido. Si la ecuación es dimensionalmente correcta, las magnitudes físicas de A y B, respectivamente, son: UNI 2011-11 a) Densidad y aceleración b) Densidad y velocidad c) Presión y densidad d) Fuerza y densidad e) Presión y fuerza

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

CUARTO

9

3

SAIRY I.E.Pr. CIENTÍFICO

Análisis vectorial I DEFINICIÓN En nuestra vida diaria, las rectas direccionales (flechas) son muy importantes pues nos informan hacia dónde ir cuando no conocemos un determinado destino. En física la importancia de direccionar algunas magnitudes permite una mejor comprensión del fenómeno. Por ejemplo, si decimos que un carro se acerca con una velocidad de 20m/s uno no sabe, en principio, en qué dirección viaja el carro. En contraste a ello, si se dijera que se acerca un carro a la derecha de la persona, en este caso la persona tendrá una mejor información. Aquellas magnitudes físicas que dependen de una dirección se denominan magnitudes vectoriales, y a cada una de ellas se le representa mediante un VECTOR.

VECTOR Herramienta matemática que se utiliza para representar magnitudes vectoriales. Se representa gráficamente mediante un segmento de recta orientado (flecha). Representación:



Notación: A : vector A

Elementos de un vector

NOTA: • El módulo de un vector también se puede denotar solamente con la letra (sin  la flecha) Sea A el vector, el módulo de un vector se denota:  A =A

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

CUARTO

10

I. E. Pr. “Científico Sairy”

Física

R. D. R. N° 061-2013

• Un vector puede ubicarse en cualquier punto de su línea de acción e incluso puede trasladarse a líneas de acción paralelas sin que se altere su módulo ni su dirección.

• Método del paralelogramo • Descomposición rectangular

Vectores paralelos





Para dos vectores paralelos A y B cuyos módulos son A y B, existen dos casos para obtener una resultante.

Resultante de vectores

1er Caso:

Es el resultado (RESULTANTE) que se obtiene de un conjunto de vectores mediante una operación vectorial.

2do Caso: Existen diferentes métodos para obtener dicha resultante, entre ellos tenemos: • Vectores paralelos • Método del polígono

MÉTODO DEL POLÍGONO Si se tiene tres vectores dispuestos de la siguiente manera:

Dónde: Lo primero que tenemos que hacer es ordenar a los vectores uno detrás de otro

   

R = A+B+C

¡Esta suma es vectorial no escalar!

Observación: Si al colocar los vectores uno a continuación del otro, se obtiene un polígono cerrado; la resultante es nula.

Entonces:



El vector resultante R se traza como se muestra a continuación



AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

CUARTO

11

I. E. Pr. “Científico Sairy”

Física

R. D. R. N° 061-2013

Trabajando en clase Integral

Solución: A partir del gráfico mostrado primero operamos los vecto-

1. Calcula   el  módulo de D = 2A + 3B − C si se tiene   tres  vectores paralelos A , B y C donde:    = A 3u; = B 5u; = C 4u

 

a) 5 u c) 15 u e) 30 u

b) 10 u d) 20 u

3. Determina 

res A y B





el



módulo



de

Como se muestra en la figura anterior, el vector resultante de    A y B es igual al vector C .

R = 2A + 3B + C a) 25 u c) 16 u e) 30 u

b) 20u d) 10 u











= A 4u, = B 3u = C 6u



Solución: 1er caso



sabiendo que:

a) 2 u c) 6 u e) 9 u

b) 7 u d) 8 u



4. Determina el módulo de

   

2do caso



R = A − B − C, sabiendo que:









= A 6u, = B 5u, = C 4u

Luego como los dos vectores son iguales se suman, obteniéndose como resultante.





R = 2C

6. Determina el vector resultante en el siguiente gráfico.





El vector C cambió de dirección por el negativo que le afecta. Luego, a partir del segundo caso operamos los vectores utilizando la propiedad de los vectores paralelos.

a) 1 u c) 3 u e) 5 u

UNMSM

15u Los tres vectores se suman puesto que están en una misma dirección.  ∴D = 25u

b) 2 u d) 4 u

5. Calcula el vector resultante en el siguiente gráfico.

 



3D a) 4D b)



c) D d) 2D e) 0 7. Determina el vector resultante.

  b) 3C  c) 3A  d) 4C  a) 2C

2. Calcula el  módulo   de R = A +B−C Considere:    = A 5u, = B 6u, = C 4u

    2B c) 3A d)  a) 2A b) 2C e) A

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

e) 3B

CUARTO

12

I. E. Pr. “Científico Sairy” R. D. R. N° 061-2013

8. En la figura,      A= B= C= D y E= F . Determina el vector resultante de los vectores mostrados. UNMSM 2009-II







a) B b) A c) D d) 0 e) 2A Solución: Del gráfico observamos      que los vectores B,C , D, E, F forman un polígono cerrado por lo cual se anulan.

Entonces, el módulo de la resultante será



R = 8cm + 8cm + 8cm = 24cm



a) a d) 0

Luegoel único vector que queda es A .

 



b) 2c e) 2d



c) 3d

11. La resultante máxima de dos vectores mide 16 cm y su mínima resultante mide 6 cm. Calcula el módulo del vector menor tamaño. 12. Indica el módulo de la resultante.

13. Indica el módulo de la resultante.

a) 10 cm c) 4 cm e) 21 cm

b) 14 cm d) 8 cm

14. Si el módulo de la resultante del sistema mostrado es de 6 unidades, ¿cuál es el modulo del vector A? a) 8 cm c) 4 cm e) 24 cm



Física

b) 16 cm d) 2 cm

Solución: A partir del gráfico se observa que podemos obtener la resultante de dos grupos de vectores.

∴R = A 9. Calcula la resultante.

a) 1 u c) 3 u e) 5 u

b) 2 u d) 4 u

15. Calcula el módulo de la resultante. Luego, reemplazando la resultante de estos conjuntos de vectores.



a) 2d d) 4D





b) 2e c) 3c e) 0

10. Calcula la resultante a partir del siguiente gráfico.

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

a) 9 m c) 4 m e) 18 m

b) 3 m d) 9 2m

CUARTO

13

4

SAIRY I.E.Pr. CIENTÍFICO

Análisis vectorial II DEFINICIÓN Existen métodos algebraicos para poder determinar la resultante de un conjunto de vectores. En este capítulo vamos a estudiar dos métodos prácticos y técnicos, con el objetivo de obtener una resultante de un conjunto de vectores.

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

 

Se tienen dos vectores A y B como se muestra en la figura:

Luego, se traza la resultante partiendo del origen común de los vectores hasta la unión de las rectas paralelas de los vectores originarios.

θ Para utilizar este método los vectores tienen que unirse por sus orígenes formando un ángulo θ, para ello se tienen que desplazar paralelamente de sus posiciones originales.



R : vector resultante Donde su módulo se calcula aplicando la siguiente ecuación:



θ

CASOS ESPECIALES

R=



Para calcular el módulo la resultante (R) de dos   vectores A y B

 2  2

 

A + B + 2 A B COSθ

Nota: Cuando los vectores forman 90° también podemos hacer uso de los triángulos rectángulos.

• Si θ= 90°

 

• Si se tiene dos vectores A y B de módulos iguales a un valor “k” y el ángulo θ formarlo por ellos es igual a 60°.

 

Dónde: = R

2

A +B

2



AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

R = 3k

CUARTO

14

I. E. Pr. “Científico Sairy”

Física

R. D. R. N° 061-2013

 

• Si se tienen dos vectores A y B de módulos iguales a un valor “k”, y el ángulo q formado por ellos es igual a 120°. R = 7k







R=k

• Si se tienen dos vectores A = k y B = 2k además el ángulo q formado por ellos es igual a 60°.

 

• Si  se tienen  dos vectores A y B de módulos A = 3k y B = 5k . Además el ángulo q formado por ellos es igual a 60°.

R = 7k

DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR Para este caso ubicaremos al vector en un sistema de coordenadas cartesianas x – y.

Se cumple además que el módulo de un vector se puede calcular a partir del valor de sus componentes, en nuestro caso sería:



= A



2



A x + Ay

2

Nota: Los componentes de un vector se pueden calcular utilizando también los triángulos notables.

Luego, desde el origen del vector se trazan las componentes rectangulares tal como señala la siguiente figura:

θ

Dónde:  A  x : Vector componente abscisa. A y : Vector componente ordenada. Los módulos de las componentes se calculan de la siguiente manera:  = A x A cos θ



= A x Asenθ

Ejemplo: Calcula el módulo de las componentes rectangulares  del vector V de módulo 8 2u. u

Lo primero que hacemos es trazar las líneas paralelas a los ejes, luego se trazan los componentes vectoriales, anulando al vector origen V.

A partir del triángulo notable 45° – 45° (triángulo sombreado en la gráfica) se obtiene el módulo de las componentes:   ∴ Vx = 8u ; V y = 8u

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

CUARTO

15

I. E. Pr. “Científico Sairy”

Física

R. D. R. N° 061-2013

Trabajando en clase Integral 1. Si dos vectores de módulos 6 cm y 10 cm forman un ángulo de 60° tal como se muestra en la figura, calcula el módulo del vector resultante. 10 cm a) 6 cm b) 10 cm c) 14 cm d) 12 cm e) 8 cm Solución: Aplicando el caso práctico.

4. Calcula el módulo del vector resultante.

a) 1 u d) 4 u

7. Calcula el módulo del vector resultante.

10u b) 2 u c) 3 u e) 5 u

a) 1 u c) 3 u e) 5 u

UNMSM 5. Calcula el módulo del vector resultante.

b) 2 u d) 4 u

8. Si la siguiente figura se muestra un conjunto de vectores, calcula el módulo del vector resultante.

a) 3 3u b) 6 3u 18 3u c) 9 3u d) e) 9 u

Del sistema de vectores



Luego el módulo de la resultante es R = 7.(2cm) ∴ R = 14cm

2. Se tiene dos vectores de módulos 2 cm y 4 cm los cuales forman un ángulo de 60°, calcula el módulo del vector resultante.

3. Si dos vectores de módulos 300 cm y 500 cm forman 60°, calcula el módulo de la resultante.

a) 100 cm c) 700 cm e) 500 cm

b) 200 cm d) 180 cm

c) 3a 3 e) a





d)

3

Solución: Primero operamos los vectores de módulos 2a.

Luego, aplicando el caso práctico

a) 2 7cm b) 7cm c) 14 cm d) 4 cm e) 5cm

Solución: Lo primero que tenemos que es trasladar los vectores hasta juntarlos.

2a 3 a) a 3 b)

Teniendo en cuenta el caso anterior, obtenemos de manera práctica el módulo de la resultante. ∴R = 9 3u

6. Calcula el módulo del vector resultante.

a) 10 u c) 50 u e) 90 u

b) 30 u d) 70 u

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072



Luego nos queda Como los vectores son opuestos, los restamos. ⇒R = 2a 3 − a = 3 a 3 Por lo tanto la resultante es: ∴R= a 3

9. Si la máxima resultante de dos vectores mide 21 cm y su mínima mide 3 cm, ¿cuál será el módulo de la resultante cuando los vectores forman 90°? a) 5 cm b) 10 cm c) 15 cm d) 20 cm e) 25 cm

CUARTO

16

I. E. Pr. “Científico Sairy”

Física

R. D. R. N° 061-2013

10. Calcula el módulo y la dirección de las componentes rectangula res del vector V de módulo 25 u. v

a) 1 u c) 3 u e) 5 u

b) 2 u d) 4 u

Solución: Primero descomponemos al vector de módulo 13 2u.

a) 20 u(↑) b) 10 u(↑) 15 u(→) 5 u (→) c) 30 u (↑) d) 60 u (↑) 40 u (→) 80 u (→) e) 15 u (↑) 20 u (→) 11. Calcula la suma de los componentes  rectangulares del vector T de módulo 250 u.

201u a) 200u b) 206u c) 202u d) e) 205u 14. Calcula el módulo del vector resultante. u



Luego sumamos los vectores en cada eje.



u

T

a) 5u b) 2 5u

a) 300 u b) 400 u c) 500 u d) 310 u e) 410 u



Ahora aplicando el teorema de Pitágoras a vectores se obtiene.

c) 3 5u

d)

7u

e) 8u 15. Calcula el módulo del vector resultante.

UNI 12. Calcula el módulo del vector resultante. R 42 + 32 = ∴R= 5u 13. Calcula el módulo del vector resultante.

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

a) 4 cm b) 5 cm c) 9 cm d) 13 cm e) 19 cm

CUARTO

17

5

SAIRY I.E.Pr. CIENTÍFICO

Características físicas del movimiento DEFINICIÓN Si nos hacemos la pregunta: ¿Qué cosas se mueven? Seguramente responderíamos de muchas maneras: Un automóvil que viaja hacia una dirección; una hoja agitada por el viento; una pelota que es pateada por un futbolista; un atleta que corre hacia una meta; un electrón que vibra en su entorno; la Tierra que gira alrededor del Sol. Como sabemos es fácil poder tener una interpretación de todo lo que se mueve, pero a los físicos y/o científicos no solo les importa la idea de movimiento sino también las características de dicho movimiento; es decir respecto a quien se mueven, desde dónde parten, a dónde llegan, cuál es el camino que sigue en un intervalo de tiempo. Todos estas incógnitas se pueden estudiar y conocer a partir de ciertas definiciones que serán parte de nuestro estudio en este capítulo.

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO Las personas ven que el carro y el piloto están en movimiento, mientras que para el piloto, el carro y él se encuentran quietos y sus alrededores son los que se mueven.  Vector posición(r ):Es aquel vector que se traza desde el origen del sistema de coordenadas hasta el punto donde se encuentran el móvil en un instante determinado. Móvil: es aquel cuerpo que se mueve, sin considerar sus dimensiones. Sistema de referencia: Es aquel lugar del espacio en donde se ubica un observador en forma real o imaginaria para analizar y describir el movimiento en el tiempo. Para describir el fenómeno del movimiento mecánico es necesario la presencia de un sistema de coordenadas (sistema cartesiano) y un reloj. Observación: El sistema de referencia es relativo.

 ro : vector posición inicial.  rf : vector posición final. Trayectoria: Es la línea formada por las sucesivas posiciones por las que pasa un móvil.  Desplazamiento(D): Es aquel vector que nos indica el cambio de posición del móvil, y se gráfica desde el punto inicial hasta el punto final de su trayectoria. Al módulo del desplazamiento se le suele llamar también distancia. Recorrido (e): Representa la medida de la trayectoria.

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

CUARTO

18

I. E. Pr. “Científico Sairy”

Física

R. D. R. N° 061-2013

Trabajando en clase Integral

a) 6m; 4m c) 8m; 11m e) 14m; 10m

1. Si el móvil se mueve de A hacia B, calcula su recorrido y el módulo del desplazamiento, respectivamente.

b) 7; 10m d) 0; 0

4. Si el móvil se mueve de A hacia B, calcula su recorrido y módulo del desplazamiento, respectivamente.

4m



a) 7m; 5m d) 0; 3m

b) 1m; 2m e) 3m; 5m

c) 4m; 3m

Solución: Si el recorrido es la longitud por donde pasa el móvil, entonces: e =4m + 3m = 7m El desplazamiento D es aquel vector que une el punto inicial con el final:

a) 12m; 3m c) 15m; 12m e) 16m; 13m

b) 16m; 12m d) 12m; 12m UNMSM

5. Si al móvil que se mueve sobre una pista horizontal se le asocia el eje de coordenadas x, calcula su recorrido cuando se mueve desde A hasta C.



Luego; el módulo del desplazamiento se calcula aplicando la propiedad de los triángulos rectán gulos (37° y 53°) D = 5m

2. Si el móvil se mueve de A hacia B, calcula su recorrido y módulo de desplazamiento, respectivamente.

a) 4m; 8m d) 8m; 4m

b) 16m; 4m e) 4m; 16m

c) 20m; 4m

3. Teniendo en cuenta la trayectoria seguida por el móvil en la figura, calcula el recorrido y el módulo de desplazamiento, respectivamente.

a) 10 cm c) 14 cm e) 12 cm

b) 9 cm d) 2 cm

Solución: Primero calculamos la distancia de A hacia B.



Luego calculamos la distancia que recorre el móvil de “B” hacia “C”.



Finalmente, la distancia total recorrida por el móvil será la suma de las distancias. d T = d1 + d2 = 7cm + 5cm



∴ dT = 12cm

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

CUARTO

19

I. E. Pr. “Científico Sairy”

Física

R. D. R. N° 061-2013

6. Si en la figura se muestra a un movil que se mueve sobre una pista horizontal al cual se le asocia el eje de coordenadas x, determina su recorrido y módulo del desplazamiento respectivamente cuando se mueve desde A hacia D.

a) 21m; 5m c) 23m; 4m e) 25m; 3m

b) 22m; 6m d) 24m; 7m

7. Si la figura muestra un movil que se mueve sobre una pista horizontal y se le asocia el eje de coordenadas x, determina su recorrido y módulo del desplazamiento cuando se mueve desde T hacia F.

a) 2cm; 1cm c) 10cm; 0 cm e) 16cm; 2cm

Distancia recorrida d2 = 40 – 10 ⇒ D2 = 30cm Luego, la distancia recorrida en el trayecto x 0 → c y c → x 0 es:



d R = d1 + d2 = 30cm + 30cm



∴ dR = 60cm



Para calcular el desplazamiento hacemos uso de su definición la cual señala que el móvil cambia su posición; como el móvil al final de su movimiento vuelve a su punto inicial entonces su desplazamiento es cero.

9. Si un atleta se mueve sobre una pista horizontal al cual se le asocia el eje de coordenadas x, calcula el recorrido del atleta cuando se mueve desde A hacia C.

b) 14cm; 0cm d) 12cm; 4 cm

8. Si al móvil que se mueve sobre una pista horizontal se le asocia el eje de coordenadas x, calcula su recorrido y módulo del desplazamiento cuando se mueve desde P hasta C y regresa al mismo punto P.



a) 20cm; 0 b) 40cm; 0 c) 60cm; 0 d) 80cm; 0 e) 100cm; 0 Solución: Primero calculamos el recorrido; para ello analicemos el movimiento. De x 0 → c Distancia recorrida d1 = 40 – 10 ⇒ D1 = 30 cm



De c → x 0





a) 1 cm c) 4 cm e) 6 cm

b) 2 cm d) 5 cm

10. Si la figura muestra un móvil que se mueve sobre una pista horizontal al cual se le asocia el eje de coordenadas x, calcula su recorrido cuando se mueve desde A hasta B.

a) 10 m c) 30 m e) 15 m

b) 20 m d) 5 m

11. Si la figura muestra un móvil que se mueve a partir de la posición inicial -8cm hasta llegar a su posición final de +8cm, calcula su recorrido y módulo de desplazamiento respectivamente desde donde parte hasta donde llega.

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

a) 6 cm; 16 cm b) 40 cm; 12 cm c) 22 cm; 14 cm d) 20 cm; 15 cm e) 24 cm; 16 cm

CUARTO

20

I. E. Pr. “Científico Sairy” R. D. R. N° 061-2013

Física

UNI 12. Si la figura muestra la trayectoria de un móvil especificado en un sistema de coordenadas cartesianas X-Y, calcula su recorrido y módulo del desplazamiento respectivamente, cuando se mueve desde F hasta K.

a) 12 cm; 4 cm c) 5 cm; 12 cm e) 12 cm; 12 cm

b) 12 cm; 15 cm d) 4 cm; 4 cm

a) 16 cm; 16 cm c) 18 cm; 10 cm e) 8 cm; 8 cm

14. Si la figura muestra el movimiento de un móvil desde el punto A hasta B en un sistema de coordenadas X – Y, calcula su recorrido y módulo del desplazamiento, respectivamente.

Solución: El recorrido es la suma de las distancias en cada segmento de la trayectoria. a) 4 cm; 5 cm c) 8 cm; 5 cm e) 10 cm; 10 cm



b) 17 cm; 16 cm d) 16 cm; 8 cm

Luego, el recorrido será: 4cm + 4cm + 4cm ∴ e = 12cm Además el módulo del desplazamiento será la longitud del vector que une el punto inicial (F) y elpunto final (k).  | d =| 8 − 4 ∴| d |= 4cm

b) 7 cm; 5 cm d) 4 cm; 10 cm

15. Si la figura muestra el movimiento de un móvil desde el punto T hasta B en un sistema de coordenadas X – Y, determina su recorrido y módulo del desplazamiento, respectivamente.

13. Si la figura muestra la trayectoria de un móvil especificado en un sistema de coordenadas cartesianas X-Y, calcula su recorrido y el módulo del desplazamiento, respectivamente, cuando se mueve desde D hasta G.

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

a) 50 cm; 2cm b) 4 cm; 2 2cm c) 5 cm; 5 cm d) 2 2cm; 4 cm e) 16 cm; 8 2cm

CUARTO

21

6

SAIRY I.E.Pr. CIENTÍFICO

Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U) DEFINICIÓN Es el movimiento en el cual una partícula se mueve con velocidad constante. Al mantener la velocidad constante el móvil se desplaza en línea recta en una sola dirección, recorriendo distancias iguales en intervalos de tiempos iguales. La siguiente figura es un ejemplo de un M.R.U.

velocidad constante. Para el caso del M.R.U. podemos calcular la distancia recorrida mediante la aplicación de la siguiente fórmula.

Del gráfico se deduce lo siguiente: • El cociente entre el espacio recorrido y el respectivo intervalo de tiempo siempre se mantiene constante. • La dirección del movimiento siempre es constante. • Como, por definición, la rapidez (valor de la velocidad) se calcula dividiendo el espacio recorrido entre el intervalo de tiempo; se concluye que la rapidez en un M.R.U. siempre se mantiene constante.

Donde: (las unidades en el SI) V = velocidad (m/s) d = distancia (m) t = tiempo (s)

Por ejemplo:

2m = constante 1s ∴V = 2m / s = V

Si se añade a la rapidez una dirección, se obtiene una

d = V.t o también

La ecuación se puede aplicar solo teniendo en cuenta las siguientes equivalencias: d v t m m/s s km km / h h Donde: Tiempo: 1h = 60 minutos 1h = 3600s

EQUIVALENCIA DE VELOCIDADES Para transformar de km/h a m/s se cumple:

Para transformar de m/s a km/h se cumple: m 18 km = . s 5 h

km 5 m = . h 18 s Ejemplo: 30× 18 =108km 5 h

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

Observación: La rapidez del sonido es aproximadamente 340m/s, y generalmente se considera su movimiento en línea recta.

CUARTO

143

I. E. Pr. “Científico Sairy”

Física

R. D. R. N° 061-2013

Movimiento simultáneo Tiempo de encuentro (te)

te =

Tiempo de alcance (ta)

ta =

d VA + VB

d VA − VB

Trabajando en clase Integral

UNMSM

1. Si un ciclista desarrolla un MRU con velocidad constante de módulo 36km/h, ¿cuántos metros recorre en 10s? a) 100m b) 200m c) 300m d) 400m e) 500m Solución: Graficando:

5. Si en la figura muestra a dos estudiantes que parten simultáneamente y desarrollan un M.R.U., calcula el tiempo de alcance en segundos.

Primero convertimos las unidades de la rapidez para homogenizar las unidades de tiempo y distancia.



a) 1s b) 2s c) 3s d) 4s e) 5s Solución: Primero, homogenizamos la rapidez para poder operar correctamente. 5 ⇒= VB 72km / h ×= 20m / s 18

km 5 × = 10m / s h 18 Luego, aplicamos la fórmula d = v.t. Reemplazamos los datos d = 10.10 = 100 m ⇒= V 36



2. Si un ciclista se mueve con velocidad constante de módulo 54km/h, ¿qué distancia (en m) recorrerá los primeros 60s? a) 300m b) 600m c) 900m d) 500m e) 30m 3. Si un auto que desarrolla un M.R.U. recorre 2,4km en 80s, calcula su rapidez en m/s. a) 10m/s b) 20m/s c) 30m/s d) 40m/s e) 50m/s

Entonces



Luego aplicamos la fórmula de tiempo de alcance.



∴ tA = 4s

tA =

80 Vmayor − Vmenor

6. Si el gráfico muestra a dos móviles que parten simultáneamente y experimentan M.R.U., calcula el tiempo de encuentro en segundos.

4. Si un motociclista recorrió una distancia de 144km con velocidad constante de módulo 40m/s, calcula el tiempo (en h) que demoró en recorrer dicha distancia. a) 1h b) 2h c) 3h d) 4h e) 5h

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

a) 10s d) 40s

b) 20s e) 50s

c) 30s

CUARTO

144

I. E. Pr. “Científico Sairy” R. D. R. N° 061-2013

7. Si dos atletas parten juntos en la misma dirección con velocidades constantes de módulos 4m/s y 6m/s, ¿qué distancia (en m) los separará luego de 1 minuto de estar corriendo? a) 100m b) 110m c) 120m d) 130m e) 140m 8. Dos personas (“A” y “B”) separadas 80m, corren al encuentro con M.R.U. a velocidades de módulos 4m/s y 6m/s, respectivamente. Al producirse el encuentro, ¿cuál será la diferencia de las distancias recorridas por los dos móviles en metros? a) 11m b) 12m c) 13m d) 14m e) 16m Solución: Graficando



11. Un automovilista realiza un movimiento rectilíneo uniforme de su casa a su trabajo, llegando a las 11:30h. Si triplicará la velocidad, llegaría a la 9:30h, ¿a qué hora salió de su casa? UNMSM 2001 - I a) 8:00h b) 8:10h c) 8:20h d) 8:40h e) 8:30h UNI 12. Un tren de 100m de longitud viaja a velocidad constante de módulo 20m/s, ¿qué tiempo (en s) demorará en cruzar completamente un túnel recto de 200m? a) 5s b) 10s c) 15s d) 20s e) 25s Solución: Graficando:

dA: Distancia recorrida por A dB : Distancia recorrida por B ? Nos piden d B − d A = Primero calculamos el tiempo de encuentro: 80 = tE →= t 8s 4+6



Física

Luego como los móviles desarrollan un M.R.U. se tiene que las distancias son: d= = 32 m A v A .t= E 4.8 ⇒ dB = 48 m Finalmente, la diferencia d B − d A ⇒ 48 − 32 ∴ d B − d A = 16m

9. Javier, un joven estudiante, desea saber a qué distancia se encuentra el cerro más próximo. Si para lo cual emite un grito y luego de 4s escucha el eco de su grito, ¿a qué distancia se encuentra del cerro? (Considera que el sonido se propaga con velocidad constante de módulo 340m/s) a) 600m b) 660m c) 680m d) 540m e) 1000m 10. Un tren viaja en línea recta de un ciudad “A” a otra “B” en 4 horas, con una rapidez contante de 60m/h, ¿cuántas horas demorará en regresar si lo hace con una rapidez constante de 80km/h? a) 1h b) 2h c) 3h d) 4h e) 5h

Para que el tren cruce el túnel tiene que pasar completamente (como se observa en el gráfico), por lo cuál el tren habrá recorrido una distancia igual a 300m. = d 300 = Vtren .t 300 = 20.t  ∴ t =15s 13. Un tren de 200m viaja a velocidad constante de módulo 40m/s, qué tiempo (en s) demorará en cruzar completamente un túnel recto de 600m? a) 10s b) 20s c) 30s d) 40s e) 50s 14. ¿Cuántos segundos tardará un pájaro, que vuela con velocidad constante de módulo 30m/s, en cruzarse completamente con un tren de 400m de longitud que viaja a velocidad constante de módulo 20m/s en dirección contraria? a) 2s b) 4s c) 6s d) 8s e) 10s 15. Dos móviles parten simultáneamente desde un mismo punto y en la misma dirección hacia un poste situado a 100m de distancia. Si los móviles tienen velocidades constantes de módulos 7m/s y 3m/s, ¿luego de qué tiempo (en s) equidistarán del poste? a) 10s b) 20s c) 30s d) 40s e) 50s

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

CUARTO

145

7

SAIRY I.E.Pr. CIENTÍFICO

Movimiento Rectílineo Uniformemente Variado (M.R.U.V)

DEFINICIÓN Un cuerpo o partícula tiene M.R.U.V. si al desplazarse lo hace describiendo una trayectoria recta con aceleración constante. Definición de la aceleración Magnitud física vectorial que mide la variación de la velocidad en un intervalo de tiempo.

 V o : Velocidad inicial Vf : Velocidad final t: Intervalo de tiempo La unidad de la aceleración en el S.I. es m s2

   Vf − Vo a= t

TIPOS DE MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN a) Movimiento acelerado

Es aquel en donde la aceleración actúa a favor de la velocidad, de modo que el módulo de la velocidad aumenta a través del tiempo.

Vi

a

b) Movimiento desacelerado

Vf

Se le llama también movimiento retardado y es aquel en donde la aceleración actúa en contra de la velocidad, provocando que ésta disminuya su valor a medida que transcurre el tiempo.

Vi

Vf

a

DEFINICIÓN DE ACELERACIÓN CONSTANTE La aceleración de un cuerpo es constante si su módulo y su dirección permanecen iguales en todo momento. Una aceleración constante produce cambios iguales en la velocidad durante intervalos de tiempo también iguales En el M.R.U.V. la aceleración es constante, y en todo momento es colineal con la velocidad, tal como se puede apreciar en la figura.

Como la aceleración es colineal a la velocidad se puede utilizar la siguiente fórmula escalar para calcular el módulo de la aceleración: V − Vi a= f t Luego, tomando los datos de la figura anterior, se obtiene el valor de la aceleración del móvil: 10 − 5 15 − 10 = a = = 1 1

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

m 5 m s 5= = 1s s2

CUARTO

constante

25

I. E. Pr. “Científico Sairy” R. D. R. N° 061-2013

Física

ECUACIONES DEL M.R.U.V.

Símbolo Vo Vf a t d

Magnitud física Módulo de la velocidad inicial (rapidez inicial) Módulo de la velocidad final (rapidez final) Módulo de la aceleración Intervalo de tiempo Distancia recorrida

Unidad (SI) m/s m/s m/s2 s m

V= f Vo ± at

 V + Vo  d= f t 2   1 2 = d Vot ± at 2 2 2 V= V0 ± 2ad f En las ecuaciones se cumple: – Se toma el signo (+) si el movimiento es acelerado. – Se toma el signo (-) si el movimiento es frenado o desacelerado.

Trabajando en clase Integral 1. Si un carro que sigue un M.R.U.V. parte con rapidez de 15m/s y una aceleración constante de módulo 3m/s2, calcula su rapidez (en m/s) luego de 6s. a) 31m/s b) 32m/s c) 33m/s d) 34m/s e) 35m/s Solución: Graficamos:



Luego, aplicando la fórmula V= f Vo ± at Se toma el signo (+) pues el carro acelera. Reemplazando los datos se tiene: Vf = 15 + 3.6 ∴ Vf = 33 m/s

2. Si un móvil que experimenta un M.R.U.V. parte con una rapidez de 2m/s y una aceleración de módulo 4m/s2, calcula el tiempo (en s) necesario para que su rapidez sea 14m/s. a) 1s b) 2s c) 3s d) 4s e) 5s 3. Si una particular que desarrolla un M.R.U.V. parte con una rapidez de 36km/h y una aceleración de módulo 6m/s2, ¿cuál será el módulo de la velocidad (en m/s) que tendrá luego de 5s? a) 10m/s b) 20m/s c) 30m/s d) 40m/s e) 50m/s 4. Si un móvil, que experimenta un M.R.U.V., aumenta su rapidez de 36km/h a 144km/h en 5s, ¿cuál es el módulo de su aceleración en m/s2? a) 2m/s2 b) 3m/s2 2 c) 6m/s d) 10m/s2 2 e) 12m/s

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

CUARTO

26

I. E. Pr. “Científico Sairy”

Física

R. D. R. N° 061-2013

UNMSM 5. Si un auto, que desarrolla un M.R.U.V, parte con una rapidez de 4m/s y una aceleración de módulo 8m/s2, calcula la distancia (en m) que recorrerá en 5s. a) 100m b) 120m c) 140m d) 160m e) 50m

Solución: Graficando el problema:

Solución:

Graficando el problema planteado



Luego, aplicando la fórmula de distancia:  V + Vf = d  o 2 



Una fórmula para calcular, la distancia sería mediante la fórmula:  V + Vf  d= o  t …………….(1) 2   Pero antes calculamos la Vf: V= f Vo ± at Tomando el signo (+) y reemplazando los datos: VF =4 + 8.5 ⇒ VF =44m / s Luego, reemplazamos el valor de Vf en (1)  4 + 44  .5 ⇒d=  2    ∴ d = 120m

6. Si un camión, que desarrolla un M.R.U.V., parte con una rapidez de 10m/s y una aceleración de módulo 2m/s2, calcula la distancia (en m) que recorrerá en 20s. a) 10m b) 600m c) 50m d) 500m e) 60m 7. Si un atleta, que desarrolla un M.R.U.V., parte del reposo con una aceleración de módulo 4m/s2, ¿cuántos metros recorre en los 6 primeros segundos? a) 24m b) 64m c) 72m d) 50m e) 60m 8. Calcula la distancia (en m) que recorre un móvil que parte con una rapidez de 5m/s, si logra triplicar su rapidez en 6s. (Considera que el móvil experimenta un M.R.U.V.) a) 20m b) 40m c) 60m d) 80m e) 100m

 × t 

Reemplazando los datos del problema:

5 + 15  = d  ×6  2  ∴d = 60m 9. Un automóvil se desplaza en línea recta con una velocidad de módulo 72km/h. Si se le aplica los frenos de manera que desacelera uniformemente durante 10s hasta detenerse, ¿qué distancia (en m) recorre en ese tiempo? a) 100m b) 200m c) 300m d) 400m e) 500m 10. Si un automóvil reduce su rapidez de 108km/h a 72km/h en un recorrido de 10m con un movimiento rectilíneo uniformemente retardado, ¿cuál fue el módulo de su desaceleración? a) 21m/s2 b) 22m/s2 c) 24m/s2 d) 26m/s2 e) 25m/s2 11. Si un auto parte del reposo y se mueve rectilíneamente con aceleración constante de 6m/s2, determina la distancia recorrida entre el 2° y 4° segundo. UNMSM 2003 - II a) 12m b) 72m c) 24m d) 36m e) 48m

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

CUARTO

27

I. E. Pr. “Científico Sairy” R. D. R. N° 061-2013

UNI 12. Un auto parte del reposo y acelera uniformemente a razón de 4m/s2 durante 10s, luego con la velocidad adquirida se desplaza durante 5s. Si todo el movimiento se produjo en una misma dirección, calcula cuántos metros recorrió el auto en los 15s. a) 100m b) 200m c) 300m d) 400m e) 500m





Física

⇒ d T =d1 + d2 d= T 200 + 200

Solución: Graficando el problema:

∴ dT = 400m 13. Un móvil parte del reposo con aceleración contante de módulo 6m/s2 durante 4s; luego con la velocidad adquirida se desplaza durante 5s más. Calcula cuántos metros recorrió en los 9s. a) 168m b) 160m c) 120m d) 48m e) 58m

Primero calculamos el valor de Vf mediante la fórmula V= F Vo ± at Reemplazamos los valores con el signo (+) VF= 0 + 4.10 ⇒ VF = 40m / s

14. Un automovilista que lleva una velocidad de módulo 30m/s aplica los frenos y desacelera uniformemente hasta quedar detenido. Si en el frenado recorre una distancia recta de 50m, ¿cuál fue el módulo de su aceleración (en m/s2) y qué tiempo (en s) utilizó en deternerse? 10 a) 1; 10 b) 1; 20 c) 9; 5 3 6 15 d) 1; e) 8; 15s 2

Luego, calculamos la distancia en los dos tramos:  0 + 40  5 MRUV ⇒ d1 =   .10 = 200m  2  MRU ⇒ d2 = 40.5 = 200m Por último nos piden recorrido total:

15. Si un carro inicia su movimiento desde el reposo y luego de 10s posee una rapidez de 40m/s, determina que rapidez (en m/s) tendrá después de 12s de haber iniciado su movimiento. (considera que el carro experimenta un M.R.U.V) a) 480m/s b) 58m/s c) 68m/s d) 48m/s e) 64m/s

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

CUARTO

28

8

SAIRY I.E.Pr. CIENTÍFICO

Repaso Trabajando en clase 1. Determina la ecuación dimensional de la fuerza (F) si su valor se calcula mediante la fórmula: F = (Densidad).(Volumen).(Aceleración) a) MLT b) MLT–2 c) LT–2 d) ML2T e) M2T–2 2. Determina la ecuación dimensional del tiempo si su valor se calcula mediante la siguiente fórmula. t= a) M d) ML

( Dis tan cia ) (Rapidez)

b) L e) BT

c) T

3. Calcula la ecuación dimensional de la rapidez si su valor se calcula mediante la siguiente fórmula. V= a) ML d) LT–1

Calcula (x – y)Z, sabiendo que: P: potencia L: lomgitud d: densidad V: volúmen t: tiempo a: aceleración a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

    7. Calcula el módulo de D = A + 3B − C si en la siguiente se muestran  tres vectores  paralelos   figura  = A 4u = ; B 7u = ; C 4u: A , B y C donde:

( tiempo ) . ( Fuerza ) b) MLT–2 e) LT–2

c) ML–1

P1 = 356.F x .A y Donde P: Presión, F: Fuerza y A: Área a) 4 b) –1 c) 1/5 d) 5 e) 6

5. Calcula x + y si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta: mV y tx Se sabe que F: fuerza, v: velocidad, m: masa y t: Tiempo a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 F=





( Cantidad de trabajo )

4. Calcula el valor de xy en la siguiente expresión dimensionalmente correcta:

P = d.V x .a . t –z .Ly

6. Dada la siguiente expresión dimensionalmente correcta

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

a) 21u c) 23u e) 20u 8. Determina el do en cuenta tran vectores   = A 32u; = B a) 58 u d) 8 u

b) 22u d) 29u     módulo de T = 2A + B − C tenienque en la siguiente figura se mues   paralelos donde: A, B y C donde  5u; = C 9u .    A ↑↓ B ↓ C b) 68 u c) 78 u e) 88 u

    9. Calcula el módulo de E = 2A + 3B − C, si en la siguiente paralelos  tres vectores     figura semuestran = A 3N; = B 5N; = C 4N A, B y C donde:

a) 13 N d) 23 N

b) 16 N e) 22 N

c) 10 N

CUARTO

29

I. E. Pr. “Científico Sairy” R. D. R. N° 061-2013

10. Calcula el modulo del vector resultante si los vectores de módulos 9cm y 15cm forman un ángulo de 60°.

a) 21s c) 23s e) 25s

Física b) 22s d) 24s

15. Del sistema de vectores, calcula el vector resultante. a) 21 cm c) 17 cm e) 31 cm

b) 20 cm d) 7 cm   a) A b) −A   c) D d) 3A  e) −D

11. Calcula el modulo del vector resultante a partir de la siguiente figura:

a) 19u

b) 20u

c) 20 3u

d) 19 3u

e) 9 3u 12. Calcula el módulo del vector resultante.

a) 5N

b) 6 29N

c) 29N e) 0

d) 5 29N

13. Determina el tiempo de encuentro en segundos en el siguiente gráfico:

a) 10 s c) 30 s e) 50 s

b) 20 s d) 40 s

14. Calcula el tiempo de alcance en segundos en el siguiente gráfico. 144 km/h

16. Si un auto que sigue un M.R.U.V. parte desde el reposo, con una aceleración de módulo 4m/s2, calcula la rapidez en m/s luego de 6s. a) 20m/s b) 34m/s c) 24m/s d) 4m/s e) 38m/s 17. Si un móvil, que experimenta un M.R.U.V., aumenta su rapidez de 72km/h a 144km/h en 4s, ¿cuál es el módulo de la aceleración en m/s2? a) 1m/s2 b) 2m/s2 2 c) 3m/s d) 4m/s2 2 e) 5m/s 18. Calcula la distancia (en m) que recorre un móvil que parte con 4m/s, si logra cuadriplicar su rapidez en 5s. (considera que el móvil experimenta un M.R.U.V.) a) 10 m b) 20 m c) 30 m d) 40 m e) 50 m 19. Un móvil parte del reposo y acelera uniformemente a razón de 6m/s2 durante 20s, luego, con la velocidad adquirida, se desplaza durante 10s. Si todo el movimiento se produjo en una dirección, calcular cuántos metros recorrió el móvil en los 30s. a) 1800 m b) 800 m c) 900 m d) 2400 m e) 2800 m

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

CUARTO

30

I. E. Pr. “Científico Sairy”

Física

R. D. R. N° 061-2013

20. Si la figura muestra un móvil, que se mueve sobre una pista horizontal, al cual se le asocia el eje de coordenadas x, determina el recorrido y el módulo del desplazamiento del móvil, respectivamente, cuando se mueve desde A hasta B.

A a) 35 cm, 3 cm c) 4 cm, 20 cm e) 20 cm, 6 cm

B b) 20 cm, 2 cm d) 30 cm, 1 cm

Claves 1.

b

8.

b

15.

b

2.

c

9.

a

16.

c

3.

d

10.

a

17.

e

4.

b

11.

d

18.

e

5.

b

12.

d

19.

d

6.

a

13.

b

20.

a

7.

d

14.

e

Bibliografía 1. 2. 3. 4. 5.

Física universitaria – Sears, Zemansky, Young y Freedman-undecima -edición Física teoría y problemas –Walter Pérez Terrel-Editorial San Marcos Análisis dimensional – Análisis vectorial Carlos Jiménez – Fondo editorial Rodo Análisis dimensional y vectores – Antonio Motalvo.correa-lumbreras editores Física para la ciencia y la tecnología –Paul A Tipler - 5ta edición-editorial Reverte

AV. Las Américas Mz. “A” Lt. 19 (Ref. Espalda del terminal sur) San Juan Bautista – Ayacucho, Cel. 934483072

CUARTO

31