1 Mca TSTP

 

Mécanique des structures

Modélisation des liaisons

TS

Chapitre 1 - Modélisation des liaisons SOMMAIRE

 I - Définitions............................... Définitions...................................................... ............................................. ............................................ ............................................. ......................... .. 16   1°/ Solide réel et solide parfait. parfait. ...................................................................................................... ...................................................................................................... 16  2°/ Système Système matériel........................................................... matériel........................................................................................................................ ............................................................. 16 

 II - Modélisation des liaisons parfaites. parfaites. .......................... ................................................ ............................................. ................................. .......... 17   1°/ Définition d’une liaison parfaite. ............................................................................................. ............................................................................................. 17  2°/ Repère local associé associé au contact. ........................................................ ............................................................................................... ....................................... 17  3°/ Notion de degré de liberté......................................................................................................... liberté......................................................................................................... 17  4°/ Etude Etude des des liaisons parfaites. ..................................................................................................... ..................................................................................................... 18  4.1 - Liaison encastrement.......................................................... encastrement........................................................................................................................... ................................................................. 18  4.2 - Liaison pivot............................................................................................................................. pivot........................................................ ................................................................................ ........... 18  4.3 - Liaison glissière................................................................................................................................... glissière..................................................................................... .............................................. 18  4.4 - Liaison appui plan. ..................................................................... .............................................................................................................................. ......................................................... 19  4.5 - Liaison rotule. .................................................................... ..................................................................................................................................... ................................................................. 19  4.6 - Liaison linéique rectiligne. ................................................................ .................................................................................................................. .................................................. 19  4.7 - Liaison ponctuelle. .............................................................................................................................. ................................................................ .............................................................. 19 

5°/ Les trois trois liaisons usuelles en Génie Civil. ................................................................................ ................................................................................ 20 

Page 15/ 106

 

Mécanique des structures

Modélisation des liaisons

TS

I - DEFINITIONS. 1°/  Solide réel et solide parfait. Le solide réel est le solide tel qu’il apparaît réellement. Il possède une masse constante et un volume dont les limites varient lorsqu’il est soumis à des actions mécaniques, suivant une loi connue (le ressort) ou non connue à priori. En mécanique statique, nous utilisons un modèle idéalisé : le solide parfait. Pour considérer un solide comme parfait, nous devons faire certaines hypothèses. Le solide  parfait est : - Indéformable : sa masse est toujours constante, mais les limites de son volume ne varient pas quelles que soient les actions extérieures appliquées au solide (contre exemple : le ressort). Donc, la distance entre deux points quelconque d’un solide indéformable ne varie pas. - Homogène : les éléments constitutifs du matériau sont de même nature en tout point du solide et leur répartition est uniforme (contre exemple : le béton armé). - Isotrope : les propriétés physiques du matériau (notamment les propriétés mécaniques) sont les mêmes dans toutes les directions (contre exemple : le bois, sens  parallèle ou sens perpendiculaire aux fibres). - Géométriquement parfait : les surfaces sont considérées comme parfaitement lisses, les surfaces sont modélisées par des plans, des cylindres, des sphères,… Un solide réel peut être considéré comme parfait dans le cas où les déformations de ce solide sont très petites.

2°/  Système matériel. On appelle système matériel une quantité de matière, homogène ou non, dont la masse reste constante pendant son étude. Cette définition est indépendante de la notion de solide dont nous venons de parler et elle très générale, elle peut s’appliquer à beaucoup de choses. En effet, un système matériel peut être : - un solide, - plusieurs solides, - un morceau de solide, - une masse de fluide,... Ce qui est important en mécanique, c’est de bien choisir le système matériel. Une fois le système matériel choisi, il nous est possible de l’« isoler », ce qui revient à le définir de façon très précise, dans le but par exemple d’étudier son équilibre. Isoler un système matériel revient à diviser l’univers en deux parties : - d’une part, le système matériel, objet de notre étude, - d’autre part, l’extérieur, c’est-à-dire tout ce qui n’est pas le système considéré.

Page 16/ 106

 

Mécanique des structures

Modélisation des liaisons

TS

II - MODELISATION DES LIAISONS PARFAITES. Une liaison mécanique entre deux pièces (ou entre deux groupes de pièces) est un ensemble de dispositions constructives permettant à ces deux pièces d’avoir l’une par rapport à l’autre certaines libertés de mouvements et de permettre la transmission de certains efforts. Dans ce paragraphe, les deux solides en contacts sont supposés indéformable.

1°/  Définition d’une liaison parfaite. Une liaison parfaite est une liaison telle que : - les possibilités de mouvement relatifs sont obtenues à partir de surfaces de contact géométriquement parfaites qui ont entre elles un jeu de fonctionnement nul. - le contact de ces surfaces se fait sans adhérence. Une liaison parfaite est donc une liaison théorique.

2°/  Repère local associé au contact. Pour décrire les contacts, on utilise un repère local associé au contact. Pour chaque cas, ce repère R(A, x , y, z ) est défini très clairement : - le point A est le centre géométrique de l’assemblage, - le vecteur x est porté par la normale au plan tangent commun ou par l’axe de symétrie de la liaison, - la base (x , y, z )  est orthonormée directe.  

3°/  Notion de degré de liberté. Considérons deux solides 1 et 2 liés et R(A, x , y, z )   le repère local associé à cette liaison.  Nous pouvons définir dans R les différentes possibilités de mouvements relatifs indépendants de 1/2 (ou de 2/1).

Dans l’espace, il y a 6 mouvements indépendants : - Tx, translation selon l’axe (A, x )

- R x, rotation autour de l’axe (A, x )  

- Ty, translation selon l’axe (A, y )

- R y, rotation autour de l’axe (A, y )  

- Tz, translation selon l’axe (A , z )  

- R z, rotation autour de l’axe (A, z )

   Définition : Le : Le nombre de degré de liberté d’une liaison est le nombre de mouvements relatifs indépendants que la liaison autorise entre les deux solides Ce nombre est au plus égal à 6. Quand le nombre de degrés de liberté est égal à 0, les deux solides sont en liaison complète ; on dit : liaison d’encastrement . Quand le nombre de degré de liberté est égal à 6, les deux solides n’ont aucune liaison ; on dit : liaison libre. Page 17/ 106

 

Mécanique des structures

Modélisation des liaisons

TS

4°/  Etude des liaisons parfaites. Parmi toutes les liaisons parfaites, intéressons nous à celles le plus souvent rencontrées en génie civil :

4.1 - Liaison encastrement.

Les surfaces de contact sont quelconques. Aucun mouvement relatif possible entre les deux solides. Le nombre de degrés de liberté est 0.

4.2 - Liaison pivot

Les surfaces de contact sont des surfaces de révolution complémentaires et non cylindriques. La rotation R x est autorisée. Le nombre de degrés de liberté est 1. Les 5 mouvements empêchés sont : Tx, Ty, Tz, R y et R z.

4.3 - Liaison glissière.

Les surfaces de contact sont des surfaces cylindriques complémentaires et non de révolution (fréquemment prismatiques). La translation Tx est autorisée. Le nombre de degrés de liberté est 1. Les 5 mouvements empêchés sont : T y, Tz, R x, R y et R z.

Page 18/ 106

 

Mécanique des structures

Modélisation des liaisons

TS

4.4 - Liaison appui plan.

Les surfaces de contact sont des surfaces planes (P la surface de contact). Deux translations Ty  et Tz sont autorisées et une rotation R x. Le nombre de degrés de liberté est 3. Les 3 mouvements empêchés sont : Tx, R y et R z.

4.5 - Liaison rotule.

Les surfaces de contacts sont des surfaces sphériques de même centre et de même rayon. Les trois rotations R x, R y et R z sont autorisées. Le nombre de degrés de liberté est 3. Les 3 mouvements empêchés sont Tx, Ty et Tz.

4.6 - Liaison linéique rectiligne. Contact entre la génératrice (A,  y ) du solide 1 et un plan (P) du solide 2. Deux translations Ty  et Tz  sont autorisées et deux rotations R x et R y. y. Le nombre de degrés de liberté est 4. Les 2 mouvements empêchés sont : T x et R z.

4.7 - Liaison ponctuelle. Le nombre de degrés de liberté est 5. Le mouvement Tx est empêché.

Contact entre le point A de la sphère 1 et le plan (P) du solide 2. Deux translations Ty  et Tz  sont autorisées et rotations R x, R y et R zz..

trois Page 19/ 106

 

Mécanique des structures

Modélisation des actions mécaniques

TS

5°/  Les trois liaisons usuelles en Génie Civil. En génie civil, les études se font dans le plan. Le repère local associé est R(A, x , y ) .   Dans le plan, il y a 3 mouvements indépendants : y R z - Tx, translation selon l’axe (A, x )   - Ty, translation selon l’axe (A, y )   - R z, rotation autour de l’axe (A, z )  

Ty

Tx

  A

x

Trois liaisons sont utilisées : l’encastrement, l’articulation et l’appui simple.

Liaison

Mouvement(s) autorisé(s)

Modélisation y

Encastrement

-

A x y

Articulation

A

x

R z  

Nombre de degrés de liberté

Mouvement(s) empêché(s)

0

Tx Ty R z

1

Tx Ty -

2

Ty -

2

Tx  -

y A

 

Tx R z  

x

Appui simple y

A

x

Ty R z  

 

Page 20/ 106