1. Manual PERT Revisado 190209

P E R T PLANIFICACIÓN, PROGRACIÓN Y CONTROL DE PROYECTOS

1. NOTAS HISTÓRICAS Cuando, hacia 1995, la marina de los Estados Unidos abordó la realización del ―Proyecto Polaris‖, los responsables del Gobierno se encontraron con que debían vencer no sólo las dificultades técnicas y científicas que el proyecto encerraba, sino las de coordinación y control de los enormes esfuerzos y recursos que exigía. Los procedimientos ―clásicos‖ de programación y control, (basados fundamentalmente en el diagrama de GANTT o de barras) se quedaban cortos ante la magnitud del problema. En efecto: existían más de 250 contratistas directos, más de 9000 subcontratistas, no se conocían los plazos de muchos trabajos puesto que nada similar se había realizado hasta entonces, etc. Con una mentalidad muy ―made in USA.‖, la Marina convocó un concurso llamando a las Universidades y Centros de Investigación, públicos o privados, para que ideasen un sistema por el que se pudiera programar y controlar la ejecución del proyecto. La casa ―Booz, Allen y Hamilton‖ ganó el concurso, presentando el sistema PERT (siglas de Program Evaluation and Review Technique) que constituyó un éxito desde el primer momento puesto que cinco años previstos inicialmente para la ejecución de ―Polaris‖ se consiguió, aplicando PERT, realizarlo en tres. Ante un resultado tan espectacular, el Gobierno de los Estados Unidos no pudo seguir manteniendo lo que hasta entonces había sido un secreto militar, y difundió, para bien de todos los principios y métodos del PERT. Diversos organismos e instituciones comenzaron a aplicarlo y a desarrollar mejoras en su aplicación a casos concretos. Cada uno de los que descubrían una mejora o una nueva aplicación se atribuía la paternidad de un ―nuevo‖ sistema. De ahí que, en poco tiempo, surgieran, además de PERT –Tiempos y de PERT- Costos, un conjunto de métodos tales como el CPM (Chritical Path Method), LESS (Least Cost Estimating Schduling) etc. En Francia, un grupo de ingenieros desarrolló un método similar, con algunas variantes, que lleva el nombre del coordinador del grupo, Bernard ROY. Hoy en día la industria emplea una ―amalgama‖ de todos estos métodos y mejoras aplicándolas con mayor o menor intensidad en cada caso concreto. La confusión creada en un principio por tanto nombre altisonante ha quedado superada ya que todos los utilizadores de estos sistemas se refieren a ellos generalmente como PERT y, con menos difusión, como CPM.

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2. EL PRO Y EL CONTRA DEL PERT En el plano internacional se está desarrollando una controversia que va adquiriendo caracteres de batalla, acerca del empleo del PERT y del planning a bandas. Uno dice: ―El planning a bandas sirve hasta 2 operaciones. ¿Por qué no para 150 ó 250?‖. Otro arguyó: ―Son muchas las empresas donde el instrumento corriente es el planning, y existen muchas grandes empresas donde aún hoy quedan secciones en que el PERT no tendría aplicación‖. Otros piensan que el que vale es el PERT y opinan que el planning a bandas es de los tiempos de Maricastaña. Travail et Methodes del mes de Diciembre del 1965 publica un trabajo de Mr. Alaerts, perteneciente a un Gabinete de Organización holandés, en el que se establece una comparación bastante bien hecha: Dice así: El Análisis: el método PERT permite establecer una separación entre el planning y el ordenamiento, así como poner de relieve la relación que existe entre las distintas operaciones. Operaciones críticas, márgenes, duración de la ejecución: la determinación de estas informaciones es automática en el PERT. Cuando el planning es complejo, resulta muy subjetivo y su determinación casi imposible. Coordinación: el lenguaje del PERT es más accesible a las personas poco conocedoras de la técnica del planning. No obstante, cuando el plan sea algo rígido, las bandas le aventajarán. Modificaciones: si se produce una modificación cualquiera en el proceso, habrá que prever las consecuencias que la misma pueda originar. El método PERT las indica claramente, mientras que la falta de relaciones en el gráfico de bandas dificulta el sacar conclusiones. Con las bandas, el encadenamiento de las operaciones apenas destaca y las urgencias no destacan en absoluto. Control: el gráfico de bandas, más práctico y acusando tiempos, ofrece mayor visión de conjunto y un control más cómodo de las desviaciones que se produce. Permite incluso apreciar las consecuencias de tales desviaciones, siempre que no sean demasiado grandes.

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Visión de conjunto: una buena visión de conjunto ofrece muchas ventajas cuando se trata de buscar variantes. El gráfico de bandas, con operaciones lógicamente agrupadas y unidas a la escala de tiempos, resulta más práctico que el PERT. Conversión: el planning PERT es fácilmente convertible en bandas. Lo contrario, en cambio, es imposible. El Sr. Alaerts termina sentando las siguientes conclusiones: ―El método PERT está más extendido que los otros métodos. En la práctica, las ventajas y desventajas resultan menos delimitadas. En los casos complejos, el método PERT le aventaja. Creemos que tal como están las cosas, una combinación de ambos métodos sería lo más adecuado. Sobre todo no olvidemos que todas estas técnicas constituyen un instrumento cuya rentabilidad depende siempre del espíritu creador que las anime‖.

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3. PRINCIPIOS - El tema es el estudio de la planificación de un trabajo divisible en partes elementales. Los resultados que se obtienen son tanto más valiosos cuanto más grande y complejo es el proyecto. - Hay que determinar todas las fases de las operaciones elementales que condicionan la duración del proyecto. - Conocer las relaciones de orden entre las partes elementales. - Estimación de la duración de cada parte elemental. - Sobre que tareas hay que actuar para acortar un plazo demasiado largo. - Cuál es la probabilidad de cumplir el plazo de ejecución impuesto. - El método PERT - Tiempo es un eficaz instrumento de control de la realización de un proyecto o una serie de actividades. - La red PERT ofrece a los niveles de dirección una visión de conjunto, completa en todas sus interdependencias, y de compensación rápida del programa previsto. - Por medio de las actualizaciones periódicas fija en cada instante la verdadera importancia, dentro del plan general de las actividades cumplidas y las que quedan pendientes hasta la terminación de la obra. - Establece sobre una base numérica las previsiones y tolerancias en cada actividad, así como su repercusión en el resto del conjunto. - Permite una simulación rápida de diversos ritmos de realización y, por medio del PERT - COST, la valoración real de los tiempos de demora y de los esfuerzos para compensarlos.

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4. VENTAJAS DEL PERT A) Como medio de planificación y programación - El proceso de dibujar el diagrama de flechas obliga a un análisis más profundo del orden de las tareas que en cualquier otro sistema. - Es el medio ideal para desentrañar todas las interrelaciones entre las distintas actividades. Sobre el GANT es fácil discutir las posibles omisiones y los distintos criterios respecto al orden de las actividades, y, a medida que se hace complejo e intervienen varias personas, es más difícil concatenarlas. - El movimiento de las holguras permite una planificación más económica y eficiente de los recursos disponibles. - Hace resaltar las partes del proyecto que exigen un tratamiento especial. - Cada uno sabe lo que tiene que hacer, por qué y cuándo, así como las repercusiones que tendrán sobre la totalidad del proyecto las desviaciones que a cada uno correspondan, respecto a lo programado. - Permite disponer de una representación del proyecto por medio de un grafo. B) Como medio de comunicación - Proporciona una descripción clara de las actividades que hay que emprender y de los sucesos que tienen que realizarse para alcanzar el objetivo final. - Se tiene una visión de conjunto del programa y saben la importancia que su propia participación y el cumplimiento de sus compromisos han de tener en el éxito del proyecto. - En cuanto a los proveedores el argumento más convincente para que revisen sus programas será el demostrarles que su actividad particular forma parte de un camino crítico con lo cual verán el efecto del retraso de su suministro en todo el proyecto. - Nos da el índice de probabilidades que tenemos de alcanzar un determinado resultado según lo previsto por el cálculo.

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- Nos da contestación a una serie de preguntas como: ¿Qué operaciones del proyecto determinan su duración? ¿Cuál es la duración mínima del proyecto? ¿Cómo se encuentra el proyecto en un momento determinado? ¿Sobre qué actividades hay que actuar para que se cumpla lo previsto? - La principal ventaja se encuentra en la fase de preparación que obliga a estructurar cada una de las tareas elementales descubriendo las incompatibilidades que podrían existir. Cada responsable adquiere una clara noción de la interdependencia de su parte en los trabajos con los de los demás.

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5. CAMPOS DE APLICACIÓN Tal como hemos visto, el PERT nació para resolver los problemas de planificación, programación y control del proyecto Polaris. Por tanto podrá aplicarse en aquellos asuntos que reúnan las características de aquel para el que fue creado. Más concretamente, ha de tratarse de: - Una ―fabricación‖ unitaria, o casi unitaria - De bastante complejidad - No hace falta conocer exactamente los tiempos que se invertirán en la realización de las fases elementales Según esto el PERT se ha empleado con éxito en la construcción de buques, rascacielos, autopistas, naves industriales; en la investigación de mercados, maniobras militares, estrategia publicitaria; lanzamiento de electrodomésticos, etc. Según una estadística americana entre sociedades privadas, el PERT es empleado en los siguientes campos: Investigación y Desarrollo ........................................................... 25% Proyecto de trabajos nuevos ....................................................... 24% Programa de utilización de ordenadores........................................ 12% Planificación del mantenimiento ................................................... 12% Preparación de ofertas................................................................ 12% Instalación de equipos complejos ................................................. 8% Reducción de costes ................................................................... 4% Varios ...................................................................................... 3%

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6. GRAFOS, SÍMBOLOS Y TERMINOLOGÍA UTILIZADA Vamos a mostrar con un ejemplo las diferencias entre una representación GANT y un grafo PERT referidos al mismo proceso (Fig. 6.1.) El proceso imaginado consta de 9 fases. Las fases A, B, C, D, E y F, pueden comenzar independientemente. Cuando se han concluido las A y B puede desarrollarse la D. Concluidos las C y D puede realizarse la G. Mientras tanto habrán concluido las E y F que habrán dado paso a la G; terminada esta, y la G, se acometerá la fase I con la que termina el proceso. Comparando ambas representaciones, observamos: GANTT

PERT

Fases: - Barras rectas - Horizontales - Longitud proporcional a la duración Relaciones: -Barras verticales

Fases: - Flechas rectas o curvas - Cualquier posición - Longitud independiente de la duración Relaciones: - Círculos numerados

Queda claro que, para ambos diagramas, es fundamental la descomposición del proyecto total en fases elementales, o trabajos parciales, o etapas diferentes, a desarrollar a lo largo del tiempo, y no solo esto, sino la relación que existe entre estas fases elementales que condiciona el que tengan que realizarse unas después de otras. Esta tarea de descomposición y condicionamiento se ampliará más adelante. En la terminología PERT se denomina ACTIVIDAD a cada una de estas fases, trabajos o tareas elementales que componen el programa, plan proceso, o proyecto total. Evidentemente, la realización de cada actividad consume un tiempo que se denomina DURACIÓN de la actividad correspondiente. La representación de una actividad es una flecha orientada en el sentido de progreso del trabajo (Fig. 6.2.), flecha que puede ser recta, curva o mixta, según resulta mejor para la claridad del grafo. El símbolo de una actividad es la letra ―a‖.

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A (11) B (6) D (6) C (14) G (5) E (3) F(4) H (8) I (6)

FIN

DIAGRAMA DE GANTT

2

A(11) B(6)

1

C(14)

4

G(5)

5

I(6)

6

FIN

E(3) F(14)

3

H(8)

GRAFO PERT

Fig. 6.1

9

En la realización de una actividad existen momentos clave, que representan la consecución de algún objetivo, total o parcial, de la actividad o del proceso total. Estos momentos reciben el nombre de ACONTECIMIENTOS o SUCESOS. A diferencia de las actividades, los acontecimientos no consumen tiempo: se producen en un determinado momento; son instantáneas; o no se han producido todavía o se han producido del todo. Los acontecimientos se representan mediante círculos, numerados para diferenciarlos convenientemente. Dado que, además del número de identificación, existen otros datos interesantes, es frecuente dividir el círculo en tres partes (Fig. 6.2.b.) reservándose la inferior para el número de identificación. En cada actividad existen dos acontecimientos fundamentales: el de comienzo y el de terminación. Por eso cada actividad (flecha) viene limitada por dos círculos. Al de comienzo concurren las actividades cuya terminación condiciona el comienzo de la que estudiamos y del acontecimiento final parten aquellos cuyo comienzo está condicionado por la terminación de la que estudiamos (Fig. 6.2.c.). Dado que una actividad (a) está condicionada a su acontecimiento inicial (i) y a su acontecimiento final (j), su denominación abreviada es a ij. Así una actividad que vaya del acontecimiento 23 al 38 será la a23,38. Es evidente la similitud del grafo PERT con una red. Por eso, en muchas ocasiones, a los acontecimientos se les suele llamar NUDOS o VÉRTICES. Caso de que alguna actividad tenga un acontecimiento intermedio destacable, no existe inconveniente en dividir la actividad en dos sub-actividades (antes de y después de) (Fig. 6.2.d.) con lo cual, en realidad, quedarán establecidas dos actividades en vez de una. En el trazado de la red (que desarrollaremos en el punto 7) debemos respetar siempre estas tres condiciones: - Cada acontecimiento debe estar representado por un único nudo. - Cada actividad debe estar representada por una única flecha. - Aunque dos, o más actividades pueden tener físicamente el mismo comienzo y la misma terminación, pues su realización puede ser paralela e independiente, no deben tenerlos gráficamente, pues coincidirían en su notación a ij, dando lugar a confusiones.

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a

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Número de identificación.

b Actividades condicionadas por la terminación

j i

Actividades que condicionan el comienzo

c

A2 A

Acontecimiento destacable A1

d Fig. 6.2. 11

En la práctica aparecen casos en que no pueden mantenerse estas condiciones. La dificultad se resuelve con la introducción de actividades y sucesos FICTICIOS (―dummy‖ en inglés) del modo siguiente: (Fig. 6.3.) El comienzo de la actividad 1 está condicionado a los sucesos A y B; su terminación produce el suceso C. La representación 6.3.a. implica que para la actividad 1 se requieren dos flechas. Se resuelve en la 6.3.b. introduciendo las actividades ficticias m y n de duración 0, y el suceso C´ se producirá, por tanto, al mismo tiempo que los A y B. Caso análogo sería el que una actividad (2), en su final, diese origen a dos acontecimientos, E y F (Fig. 6.3.c.) quedando el caso resuelto con la representación 6.3.d. gracias a la actividad ficticia (duración 0) p. Dos actividades (3 y 4) con los mismos acontecimientos iniciales y finales (G y H) aparecen ―confusamente‖ representadas en 6.3.e. y correctamente en 6.3.f. gracias al nudo ficticio I y a la actividad ficticia q (duración 0). 

CAMINO: es la sucesión de actividades que permite pasar de unos acontecimientos a otros sucesivos. En la figura 6.1. p.ej. 1, 4, 5, 6.



CIRCUITO: es un camino cuyo suceso final coincide con el inicial. Si la red ha sido bien trazada esto implica recorrer alguna actividad en sentido contrario al indicado por su flecha.



BUCLE: es una actividad cuyos acontecimientos inicial y final coinciden. Por todo lo que hemos expuesto, si esto acontece, se trata de algún error.

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A

A

1

1

B

1

C´ `

C B

a

C

b

2

E

2

E

D P

D 2

F F

c

d 3

H

3

G

H

G

4

4

q

I

e

f Fig. 6.3.

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7. TRAZADO DE LA RED Uno de los pilares sobre los que se asienta el éxito del PERT está en la realización de la red, o grafo, que permita ver claramente el encadenamiento lógico, cronológico y tecnológico de las diferentes fases, o actividades, de que consta el conjunto. Si el PERT facilita enormemente la previsión (pre - visión) de futuras situaciones es, en gran parte, debido a la claridad de visión que se obtiene del grafo que se haya preparado. De ahí la importancia que tiene el seguir cuidadosamente un método de ordenación de tareas cuyas etapas vamos a describir a continuación. Evidentemente el método se puede simplificar tanto como lo permita la simplicidad del proyecto. Nuestra experiencia indica que en proyectos sencillos (hasta 30 o 50 actividades) algunos pasos pueden suprimirse en la práctica dado que el analista puede llevar todos los datos ―in mente‖. Pero con productos de 100, 200 o más actividades la aplicación de una metodología se hace de todo punto necesaria. 7.1. Determinación del objetivo Antes de confeccionar cualquier red de flechas es necesario concretar el objetivo del proyecto, esto es, el último acontecimiento del diagrama, con el cual daremos por finalizados todos los trabajos. 7.2. Descomposición de actividades Se preparará una lista de las actividades a desarrollar para la consecución del objetivo. El grado de detalle al que haya que llegar depende del nivel al que se establezca la red y de la complejidad del plan. A nivel gerencia interesan solamente los rasgos generales, mientras que a nivel de responsables son necesarios todos los pasos intermedios. Puede comenzarse por una descomposición en macro – actividades para luego proseguir analizando cada una de estas en fases cada vez más elementales, teniendo en cuenta que el tiempo es el común denominador al que se reducen todos los otros parámetros de una actividad.

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Un criterio para ver hasta dónde hemos de llegar en esta descomposición es el de la unidad de tiempo, o período de control, que hayamos escogido. Si, por ejemplo, tomamos como unidad la semana, controlando el ―avance de obra‖ una vez por semana, es improcedente en términos generales, tener en cuenta individualmente actividades de duración inferior a la semana. Tanto al objetivo, como a las actividades seleccionadas, hay que darles una denominación lo más breve y concreta posible, de forma que describa correctamente aquello de que se trata sin género de dudas. Esta denominación debe darse a conocer a todos los que integren el equipo de trabajo con objeto de que todo el mundo hable el mismo ―idioma‖. 7.3. Determinación de la secuencia Conocidas las actividades que integran el proyecto, es necesario saber su ordenación en el tiempo, relacionando unas con otras. Pueden hacerse un cuadro en que se anoten las inmediatamente anteriores y posteriores. Es importante tener en cuenta: 

Qué actividades deben estar terminadas para poder comenzar la actividad que analizamos.



Qué actividades no podrán comenzar hasta que termine la actividad que analizamos.



Qué actividades se pueden realizar al mismo tiempo que la que analizamos.

Esta ordenación de actividades debe basarse en razonamientos y motivos propios de la técnica y el método que pensamos aplicar. Para facilitar esta ordenación es muy conveniente precisar los acontecimientos que dan origen a las actividades y los que representan su terminación, asignándoles un código provisional. 7.4. La función ordinal La función ordinal ayuda extraordinariamente a establecer el orden de las actividades y acontecimientos dentro del grafo, configurando la estructura lógica del proyecto.

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La función ordinal permite establecer los niveles de dependencias de los diversos acontecimientos del proyecto. El nivel 0 está constituido por el acontecimiento inicial del proyecto. El nivel 1 está formado por aquellos acontecimientos que solamente dependen del 0. El nivel 2 lo forman los acontecimientos que deben estar precedidos de alguno del nivel 1. En general, el nivel N lo componen los acontecimientos cuyo inmediato anterior es el menos uno del nivel N-1 (Fig. 7.4.1.). Vamos a desarrollar, con un ejemplo, la forma de hallar la función ordinal. Suponemos que un proceso cuenta con los siguientes (codificados en el orden en que los hemos ido ―encontrando‖):

acontecimientos

A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R y S. Las actividades de que consta, visto cuál es su acontecimiento inicial y el final, son: AH, AJ; BA, BC, BF; CI, CK, CO; DB, DC; DE, DP; EF, EI; FA, FG, FH; GI; HG, HI; IQ; JI, JN; KJ, KL, KS; LM, LN; MR; NQ, NR; OJ, OL; PO; QS; RS; Con estos datos preparamos el cuadro de la figura 7.4.2. Primeramente se halla el cuadro de relaciones entre acontecimientos iniciales y finales (zona izquierda del cuadro) marcando con una X la casilla correspondiente a los acontecimientos de cada actividad (Actividad AH: A, comienzo, H, final, etc.)

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5

10

2

8 6

11

3

1

13

9 7

12

4

NIVEL 0

NIVEL 1

NIVEL 2

NIVEL 3

NIVEL 4

NIVEL 5

Fig. 7.4.1.

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Se suman horizontalmente las X y se anota el resultado en la columna ―op‖. Entre todos los sucesos, lógicamente habrá alguno que no sea ―fin‖ de ninguna actividad. Estos son virtualmente los orígenes del proceso y formarán el nivel 0. En nuestro caso el único que cumple esta condición es el D, cuya horizontal queda anulada. Recorremos ahora todas las actividades que parten de D. (Columna D en ―comienzo‖). Aparecen como ―finales‖ los B, C, E y P; los cuales aumentan un nivel y disminuyen en una unidad su total de operaciones, con lo que en el nivel 1 quedan como ―0‖, B, E y P. Estos se convierten ahora en comienzos para el nivel 2; sus finales correspondientes pasan este nivel disminuyendo una unidad y apareciendo nuevos ceros. Así sucesivamente se va progresando hasta que no queda ningún suceso sin estudiar; todas las horizontales aparecen rayadas. Una vez resuelto, tenemos los acontecimientos ordenados en forma progresiva y podemos construir la red. 7.5. Dibujo del grafo Emplearemos los símbolos que ya conocemos: flecha, círculo, flecha de trazos. Nos auxiliamos del resultado de la función ordinal para situar los nudos correspondientes a cada nivel en una misma vertical, más o menos separados para mayor claridad del dibujo. La claridad es fundamental en este tipo de grafos, dado que sobre ellos hay que anotar posteriormente varios datos fundamentales para el estudio. La red correspondiente al ejemplo que estamos desarrollando está representada en Fig. 7.5.1. Los nudos los hemos dividido en cuatro partes: en la superior aparece su código (letra) provisional con el que se les ha identificado hasta ahora; en la inferior el código numérico definitivo, que explicaremos a continuación, y a los lados aparecen cifras cuyo significado se aclarará más adelante.

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FUNCIÓN ORDINAL

S U C E S O F I N

A

B

A B C D E F G H x I J x K L M N O P Q R S

x

C

D

E

F

S UCES O COMIENZO G H I J K L M N

O

P

Q

R

x x x

x

x x

x x x x

x

x x

x

x x

x

x x

x x

x

x

x

x x x x

x x

x

x

x

S

op

1

2

3

2 1 2 0 1 2 2 2 5 3 1 2 1 2 2 1 2 2 3

1 0 1

1

0

0

0 1

0

4

1 1 3

NIVEL 4 5 6

7

8

9

10

0 0 1

0

0 0 0 0 0 1

0

0 1 0 2

0 1

0

Fig. 7.4.2.

19

B 3

A

2

10

26

2

4

5

0

7 I

18

41

16 4

5

11

K

5

20

9

3

1

9

F 17 17 6

34

0

J 30

31

11

9

9

28 4

6

50 18

M 39

Q 50

6

48 14

1

5

7

S 57 57 19

8

5

R

8

35

49 17

2 P

9

2

3 12

41 16

4 E

34

8

5

0

34 13

4 C

3

G

2

32 10

0

0

32

8

7

D

H

6

26

O 15

34 7

6

2 L 26

40 12

4

6

N 33

44 15

Fig. 7.5.1.

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7.6. Numeración de acontecimientos Los nudos representan los instantes de comienzo o terminación de las actividades, las cuales, como hemos visto, quedan definidas por estos acontecimientos. Es muy conveniente dar un código numérico a los nudos, puesto que sistematiza la labor de resolver la red. En el caso de utilizar un ordenador para esta resolución, la numeración de los nudos es absolutamente imprescindible. La única condición que se necesita, es la siguiente: Definida una actividad aij, por nudo inicial i y su final j, debe ser en cualquier caso i ó < que un intervalo dado. 2) Ligaduras acumulativas: a) Que la suma de las cantidades de un recurso de cierto tipo utilizadas por todas las actividades que se efectúan en un instante dado deben ser, a lo sumo, igual a la cantidad disponible en ese instante. Σ Rik ≤ Gk Limitan, en definitiva, el número de actividades que se pueden realizar simultáneamente. 3) Ligaduras disyuntivas: a) Que los intervalos de tiempo durante los cuales se efectúan dos actividades distintas no pueden tener ninguna parte en común (por utilizar el mismo equipo). Todo programa que satisfaga las ligaduras del problema se denomina: Programa Aceptable.

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Este programa busca los siguientes objetivos:

-

Duración total de la realización mínima Coste total del proyecto mínimo Utilización equilibrada de los recursos Eliminación de los tiempos muertos de los equipos Máxima seguridad de realización Coordinación en el espacio y el tiempo de los equipos

Existe un programa óptimo que puede satisfacer todas las exigencias pero a medida que se va complicando, el problema es más complejo y hay que llegar a algoritmos que nos den la solución más económica. Son procedimientos heurísticos que aplican los principios de Investigación Operativa, sin pretender llegar a los resultados óptimos pero si a los mejorados. Otro aspecto que debemos destacar es su carácter de ―modelos de control‖ de la ejecución de programas. Se ha previsto un calendario y un presupuesto, en cuanto tiempo y en cuanto coste. Saldrán desviaciones entre la previsión y la realidad. Las desviaciones al margen total tienen mucha importancia, y obligan a revisar el actuando sobre actividades futuras, haciéndolas más cortas las susceptibles de reducirse. Cuando las desviaciones son pequeñas no programa.

superiores programa que sean alteran el

Reflejaremos en un cuadro las distintas combinaciones de tiempo y coste que han ocasionado las distintas variantes del PERT, ya que tiempo y coste son dos elementos que varían en proporción inversa, pues si el tiempo es variable por decisión será a base de utilizar más o menos recursos, incrementando o reduciendo el coste dentro de unos márgenes.

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13. CUADRO DE LAS FAMILIAS PERT

PERT – TIME

PERT - COST

DURACIÓN

COSTE

VARIANTES DEL PERT

Constante

Creciente, o

PERT – TIME constante

Aleatoria

Independiente

Constante

Constante y explícito

PERT – COST (tesorería)

Variable (en función del coste)

Variable

C. P. M.

Constante Variable

Constante e implícito Variable e implícito

PERT – TIME aleatoria

Ordenamiento RAMPAS

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14. APLICACIÓN A LA TESORERÍA En este caso se limita a planificar los pagos según el orden o las fechas en que se realizarán los acontecimientos, ya que tenemos duración constante y coste constante y conocido, luego no tenemos posibilidad de jugar con una ni con otro. Supongamos este pequeño PERT de una construcción en el que en cada uno viene señalado el tiempo de su realización y el coste total.

A

2

D

1

4 B

C

3

Identificación A B C D

CONCEPTO Aprovisionamiento Proyecto Estudio Construcción

Tiempo meses 2 1 3 8

De Febrero Enero Febrero Mayo

A Marzo Enero Abril Diciembre Total

COSTE 10.000.000 2.000.000 6.000.000 20.000.000 38.000.000

Duración total = 1 año Coste total = 38.000.000

40

No nos queda más que hacer el planning de caja según las fechas de realización de los pagos. 38 36 34 32 30

D

28 26 24 22 20 18 16

C

14 12 10

B

D

8 6

A

A

4 2

C B E

F

M

A

M

J

J

A

S

O

N

D

que nos da la curva de tesorería y los márgenes con los que podríamos jugar en caso de que algún nudo tuviese distinto tiempo de llegada y salida.

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15. PROBLEMAS ACUMULATIVOS 15.0. Fundamento. Empleo óptimo de recursos limitados Preocupación principal = utilización eficiente de los recursos de que dispone, en orden a optimizar un programa. La disponibilidad de recursos es un factor esencial de la fijación de objetivos, de la planificación y del control del progreso del Proyecto. La dirección se orienta hacia la correcta y eficiente distribución para alcanzar los objetivos de la mejor forma posible, y una de las aplicaciones del PERT es la que tiene por objeto determinar el programa de coste mínimo entre todos los programas factibles. La primera aplicación del PERT no incluía los recursos. Su interés estaba basado en la defensa y estrategia militar. El objetivo principal era la duración (sin límite en recursos). El aspecto industrial es con recursos limitados y con un coste que es la variable fundamental. El PERT - TIME ofrece una información muy útil, pero el aspecto de duración no es suficiente. Las consideraciones referentes a los recursos se hallan implícitos en la estimación de la duración de las actividades. La definición de las actividades implica que implícita o explícitamente se tenga en cuenta los recursos que van a utilizarse en su realización. El PERT, con el establecimiento del (o de los) camino crítico, ha permitido:

-

Localizar las operaciones clave que dominan el desarrollo de un programa.

-

La fecha media de realización. Los intervalos de flotamiento. Los márgenes libres de las operaciones.

Todo esto nos ha puesto en evidencia la:

-

Elasticidad de los acontecimientos no críticos. Los retrasos que se pueden tolerar en su puesta en práctica.

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15.1. Planteamiento general de los problemas acumulativos Cada actividad ―i‖ del proyecto requiere un cierto tiempo para realizarse y en cada momento se están desarrollando unas actividades; cada actividad puede asociarse a una función del tiempo (que indica el momento concreto en que estamos o en que se encuentra una actividad). Si hacemos yik (θ) nos indicará las necesidades del recurso k que se presenta en la actividad i en cada instante. La función yik depende, no sólo de θ, sino también de la fecha de la iniciación de la actividad ti y de su duración di, que nos dará más concentrada o más dilatada la carga de recursos necesarios para esta actividad.

Nivel del recurso

Fase principal Preparación ti

Acabado di

ti + di

La representación de la curva de carga de recursos puede ser de este u otro tipo (por ejemplo lo marcado a rayas), pero, de todas formas, para θ < ti no hay utilización de recursos (Yik (θ) = 0) y también para θ> ti + di. Aumentando el número de recursos, di disminuirá, lo que explica que Rik es función de di. Por tanto tenemos la función total Rik = Yik (θi; ti; di) que nos dice que los recursos a emplear en una actividad son función del momento, de la fecha de comienzo y de la duración. De aquí se deducen las necesidades globales del recurso K en función del tiempo. u K = K ( θi; t1; t2...........tn; d1; d2............dn) = ∑ θ ik i La curva representativa de Rk en función de θ es la curva de carga del recurso k en el programa definido por t1, t2, tn, d1, d2.......dn.

43

Las restricciones o limitaciones existentes sobre las curvas Rk constituyen las ligaduras acumulativas; por ejemplo, que las disponibilidades han de ser mayores para un tiempo dado Rk (θ) ≥ , Rk (θi1, t2, t........, tn, d1, d2..........dn). Cada una de las alternativas o estrategias nos da una Rk (θ) distinta, y cada una de ellas presenta los problemas acumulativos consiguientes. Los problemas acumulativos que se pueden presentar tomando como base la afectación de recursos son: a) Cuando la afectación se hace antes que el programa. Hay que buscar un programa que satisfaga las exigencias de las disponibilidades con que contamos. 1º) Conocidas las disponibilidades, hay que hallar un programa compatible que nos realice el proyecto en el menor tiempo posible. 2º) Obtener un programa que salve las ligaduras y que nos dé unas curvas de carga lo más equilibrado posible de acuerdo con un cierto criterio. b) Conocidas:

-

Ligaduras potenciales Disponibilidad de recursos La relación entre duraciones de actividades La necesidad de recursos de las mismas

Obtener: Un programa y una afectación que optimicen una variable

 - duración  - utilización de recursos  - el mínimo coste

En general, si se varía el número de unidades de los diferentes recursos que precisa una actividad, su duración variará. A cada distribución de los recursos entre las actividades del proyecto, corresponderá un conjunto de duraciones que conducirán a una determinada duración total. Entonces el problema que se nos plantea es el de la distribución óptima. Las dificultades teóricas que presenta este problema son muy grandes y se han propuesto diversos algoritmos heurísticos que nos acercan a la solución.

44

16. C.P.M. – OPTIMIZACIÓN DE LA FUNCIÓN ECONÓMICA DE LOS COSTES A) Introducción El objeto de este apartado es el de mostrar cómo es posible, bajo ciertas condiciones, optimizar un programa. Una de las aplicaciones más interesantes del PERT es la que tiene por objeto determinar el programa de coste mínimo entre todos los programas factibles. El PERT, con el establecimiento del (o de los) camino crítico, ha permitido localizar las operaciones clave que gobiernan el desarrollo de un programa y, en particular, su fecha media de realización. Los intervalos de flotamiento y los márgenes libres de las operaciones han puesto en evidencia la elasticidad de los acontecimientos no críticos y los retrasos que se pueden tolerar en su puesta en práctica. En general, los tiempos operatorios, ya sean determinados o aleatorios, varían en función del coste de la operación. Hay que estimar bien los costes de acuerdo con los recursos con que se cuenta. La aceleración de una tarea se traduce generalmente en un aumento del coste. Pero no son tan sólo dichos costes los que hay que tener en cuenta. Existen, por ejemplo, los costos originados por retrasos en la ejecución del proyecto. Hay que identificar a tiempo aquellas tareas, así como otros costos extraordinarios y no previstos a la hora de hacer el programa, y que pueden surgir durante la realización del proyecto. También deben estimarse los costes de los recursos que se prevén emplear en cada actividad o grupo de actividades que dependen de cada unidad de operación que haya hecho las estimaciones de tiempos, sin sobrecarga ni inactividades, que son factores que elevarían el coste. Es conveniente llevar un gráfico de comparación de los costes programados con los reales, según el tiempo transcurrido y según el trabajo realizado.

45

A B C D E F G H I J K L

Excavación foso del tanque Tanque recibido Foso terminado Caldera fuel recibida Caldera antigua desmontada Pasar tubos Caldera fuel colocada Tanque colocado Suministro fuel Colocar tubos a tanque Preparar caldera y demás para pruebas Probar y regular

Final .

ACTIVIDAD

Comienzo .

PERT TIEMPOS

O P R Q T U U S V V W X

R S S T U V W V X W X Y

COMIENZOS

O P Q R

F I N A L E S

O P Q R X S T U V W X Y

S

T

U

NIVELES

V W X

I

II

III IV V VI VII

0 0 0 X

X X X X

1

0

2

1

1

0

1 X X

X X

X X

0 0

2

0

2

1

2 1

0 1

0 0

NIVELES

I

II

III

IV

V

VII

I

O A

C R

P

VI

S

H

B

V E

D

T

J

W

K

X

L

Y

F U

G

Q

46

Pij P1,2 P1,3 P1,4 P2,3 P2,5 P2,6 P3,4 P3,6 P3,8 P3,9 P4,7 P4,8 P4,11 P5,9 P6,7 P6,8 P6,9 P7,11 P8,7 P8,9 P8,10 P8,11 P9,10 P10,12 P11,10 P11,12

Kij

Dij 7 12 7 3 8 5 7 9 5 9 8 7 6 3 4 2 7 3 6 4 4 11 4 10 5 15

Margen libre

tij 10 15 10 6 13 7 9 12 8 10 11 12 8 4 7 7 8 6 9 5 6 15 6 14 8 18

8 13 9 4 9 6 7 10 6 9 10 9 6 3 5 3 8 4 8 4 5 13 5 13 6 17

0 0 11 1 0 9 0 0 10 11 7 0 16 13 9 3 2 1 0 0 14 0 0 0 0 2

pij (en p) 6.000 20.000 2.000 8.000 1.000 4.000 3.000 2.000 4.000 25.000 8.000 3.000 4.000 10.000 2.000 3.000 12.000 3.000 10.000 8.000 2.000 7.000 3.000 6.000 2.000 2.000

cij 100 1.200 200 300 600 150 200 100 200 150 250 600 150 450 150 300 800 150 200 400 300 1.000 400 900 300 500

47

B) Consideraciones generales Cada actividad requiere un cierto tiempo para su terminación y ese tiempo puede variar entre dos cotas impuestas por consideraciones técnicas o económicas. El tiempo operatorio Dij corresponde a una duración normal de la operación con los recursos disponibles normales al establecer la duración y el costo consiguiente es mínimo. El tiempo de la operación Kij corresponde, por el contrario, a la duración de la operación cuando esta se acelera al máximo, y el costo correspondiente es máximo porque se intensifica la aplicación de los recursos. Llamando Pij al coste de la operación Pij con una duración tij, podemos admitir que pij = f = (tij) es una curva de tiempo semejante a la figura:

Pi

P. máx.

P. mín.

ti di

ti

DN

El costo crece a medida que tij decrece hasta un tope máximo dij, más allá del cual no se puede realizar el trabajo. Un programa en el que las duraciones son todas normales se llama ―programa normal‖. Por el contrario será ―programa acelerado‖ cuando para todas las actividades se toman los tiempos dij. La pendiente de la curva nos dará la variación del coste por unidad de variación en la duración de la actividad. Ocurre a veces que hay que reducir la duración total del programa y, entonces, hay que acudir a las operaciones críticas porque ellas son las que originan reducción en la duración total del proyecto. Al reducir alguna actividad crítica se llegarán a eliminar las holguras en otros acontecimientos y aparecerá otro camino crítico y siguiendo aplicando este método, llegamos finalmente a una red crítica.

48

Hay que intentar que sea mínimo el aumento del costo en todos estos pasos; por tanto, deberán seleccionarse aquellas actividades críticas que supongan la menor variación en coste por unidad de tiempo, es decir, aquellas cuya pendiente, que el incremento del coste marginal, sea menor. No obstante, hay unos costes indirectos que aumentan a medida que se alarga la duración de la actividad, tales como amortizaciones, intereses, gastos fijos. El coste total sería la suma de los dos costes y, como en realidad el coste que interesa hacer mínimo es el total, la duración óptima del proyecto, o bien de una actividad sería donde se hace mínima esta curva, que coincidirá con el punto de cruce de la línea de costes directos con la de los indirectos.

49

17. DISMINUCIÓN DEL COSTE TOTAL DE UN PROGRAMA 1º Actuando sobre operaciones no críticas Consideraremos un conjunto de trabajos en el que los tiempos operatorios han sido elegidos de modo que dij = tij = Dij El camino crítico de la duración de realización de un programa. El costo total del programa así establecido es la suma de los costos de todas las operaciones P = pij Para disminuir el costo total del programa, manteniendo la misma duración de ejecución, será preciso disminuir los márgenes libres de las operaciones no críticas dentro de los límites impuestos por las ligaduras, con lo que al aumentar su tiempo operatorio, disminuye el costo. Al anular los márgenes libres de todas las operaciones que formen un camino no crítico, convierten a esta en un segundo camino crítico. Supondremos que el aumento de costos es proporcional a la disminución de los tiempos operatorios, lo que equivale a suponer que la curva se reduce, para cada operación, a segmentos rectilíneos.

50

Pij

P1,2 P1,3 P1,4 P2,3 P2,5 P2,6 P3,4 P3,6 P3,8 P3,9 P4,7 P4,8 P4,11 P5,9 P6,7 P6,8 P6,9 P7,11 P8,7 P8,9 P8,10 P8,11 P9,10 P10,12 P11,10 P11,12

Kij

Dij

7 12 7 3 8 5 7 9 5 9 8 7 6 3 4 2 7 3 6 4 4 11 4 10 5 15

Margen Libre

tij

10 15 10 6 13 7 9 12 8 10 11 12 8 4 7 7 8 6 9 5 6 15 6 14 8 18

8 13 9 4 9 6 7 10 6 9 10 9 6 3 5 3 8 4 8 4 5 13 5 13 6 17

0 0 11 1 0 9 0 0 10 11 7 0 16 13 9 3 2 1 0 0 14 0 10 0 0 2

pij (en p)

6.000 20.000 2.000 8.000 1.000 4.000 3.000 2.000 4.000 25.000 8.000 3.000 4.000 10.000 2.000 3.000 12.000 3.000 10.000 8.000 2.000 7.000 3.000 5.000 2.000 2.000

cij

100 1.200 200 300 600 150 200 100 200 150 250 600 150 450 150 300 800 150 200 400 300 1.000 400 900 300 500

Los coeficientes de proporcionalidad Cij vienen en la columna final de la tabla y son los costes marginales de cada operación, o la inclinación de la recta. Se han hecho figurar igualmente los tiempos operatorios tij correspondientes al programa no mejorado, los márgenes libres y los costos pij de cada operación. El programa primitivo es el de la figura (24.1.) Las cifras entre paréntesis representan los márgenes libres de las operaciones. La duración de realización de este proyecto es de 61 semanas y su coste total, obtenido sumando los costes operatorios indicados en la 6ª columna de la tabla (24.1.) es de 160.000 ptas.

51

La mejora inmediata que se impone a simple vista es aumentar los tiempos operatorios de las operaciones no críticas, y ello, teniendo en cuenta para cada operación el valor Dij y el del margen libre correspondiente. Así, no se puede alargar el tiempo operatorio de P1,2 por ser 0 su margen libre. Lo mismo para P1,3 . Por el contrario, siendo 11 el margen libre de P14 se puede alargar su duración que pasará a ser de 10 semanas.

17

5 9(10)

3(13) 23

8

6(9)

2

33

8(2)

6

3(3) 8(10)

4(1)

9 9(11)

10(0)

4(0) 29

0

13(10)

1

6(10)

3 7(10)

9(11)

13

5(10)

48

10 5(14)

13(10)

8

5(9)

13(0) 8(0)

11

12

6(0)

61

17(2)

9(10) 42

6(16)

4

4(1) 20

10(7)

7 37

P2,3 tiene un margen libre 1, y siendo D2,3 = 6, la duración de P2,3 podrá ser alargada y será de 5 semanas. P2,5 teniendo un margen libre nulo, no puede ser alargada. P2,6 teniendo un margen libre igual a 9 y siendo D2,6 igual a 6, su duración podrá ser alargada y pasará a ser de 7 semanas, etc. Los nuevos tiempos operatorios de las operaciones no críticas serán: t1,2 t1,3 t1,4 t2,3 t2,5 t2,6 t3,4 t3,6 t3,8

= = = = = = = = =

8 13 10 5 9 7 7 10 8

t3,9 = 10 t4,7 = 11 t4,8 = 9 t4,11 = 8 t5,9 = 4 t6,7 = 7 t6,8 = 6 t6,9 = 8 t7,11 = 5

t8,7 = 8 t8,9 = 4 t8,10 = 6 t8,11 = 13 t9,10 = 6 t10,12 = 13 t11,10 = 6 t11,12 = 18

52

Los nuevos tiempos operatorios han sido subrayados. El grado del nuevo programa será el de la figura 24.2. Algunos márgenes libres han sido anulados y han aparecido nuevos caminos críticos. Los caminos críticos son: ( ( ( ( ( ( ( (

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,

2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3,

3, 6, 3, 4, 3, 6, 3, 4,

6, 8, 4, 8, 6, 8, 4, 8,

8, 11, 10, 12 ) 11, 10, 12 ) 8, 11, 10, 12 ) 11, 10, 12 ) 8, 7, 11, 10, 12 ) 7, 11, 10, 12 ) 8, 7, 11, 10, 12 ) 7, 11, 10, 12 )

Los nuevos márgenes libres de la figura 24.2. están escritos entre paréntesis. La economía realizada en cada operación se ha obtenido multiplicando Cij por el incremento que ha sufrido la duración de la operación. 17

5 9(0)

4(12) 23

8

2

7(8)

33

8(2)

6

6(0) 8(0)

5(0)

9 10(10)

10(0)

4(0) 29

0

1

13(0)

8(8)

3 7(0)

10(10)

13

6(9)

48

10 6(13)

13(0)

8

7(7)

13(0) 8(0)

11

12

6(0) 18(1)

9(0) 42

8(14)

4

5(0) 20

11(6)

7 37

Economía realizada en P1,4 = 200; en P2,3 = 300; en P2,6 = 150 ; en P3,8 = 200 x 2 = 400; en P3,9 = 150; en P4,7 = 150 x 2 = 300; en P5,9 = 400; en P6,7 = 150 x 2 = 300; en P6,8 = 300 x 3 = 900; en P7,11 = 150; en P8,10 = 300; en P9,10 = 400; en P11,12 = 500.

53

61

El ahorro total es la suma de las economías realizadas en cada operación, o sea: 4.700 pts.; el coste total del nuevo programa de la figura 24.2. es: 160.000 - 4.700 = 155.300 ptas. No se debe pensar que se ha alcanzado el óptimo para una duración de realización de 61 semanas. Los desarrollos precedentes han querido demostrar cómo las informaciones que da el método PERT, permiten mejorar un programa alargando, siempre que ello sea posible, las operaciones no críticas. 2º Aceleración de un programa con el mínimo coste Para disminuir la duración total de un programa es preciso disminuir la duración de una operación crítica. Si elegimos la operación crítica, que para una misma disminución de tiempo, provoca el mínimo aumento de coste, habremos acelerado el programa con el mínimo aumento de coste; habremos acelerado el programa con el mínimo gasto. Supondremos un programa inicial ―normal‖ establecido como indica el grafo y cuadro siguientes, con un presupuesto de 350 millones de ptas. Se indica igualmente las duraciones y costes correspondientes al programa ―acelerado‖ en que la duración de todas las operaciones se ha reducido al mínimo compatible con los imperativos técnicos.

10

3 4

f

6

c

24

b

4 0

1

a

4

e

34

5

2 g

10

i

3

6

37

10

d h

7 12

4 20

54

Tarea a b c d e f g h i

Programa Normal Programa Acelerado Duración Costo Duración Costo Costo de la probable probable probable probable aceleración ( meses ) ( millones ) por mes 4 5 2 15 5 6 11 5 30 19 4 3 2 11 4 12 150 9 180 10 10 10 8 20 5 24 147 19 212 13 7 18 6 30 12 10 4 7 25 7 3 2 2 5 3 350 528

Si pretendemos reducir en 9 meses la duración total de la ejecución, hay que reducir la duración de las tareas críticas a, b, f, e, i. Es precisamente la reducción de 1. mes de i la que costaría más barata (3 millones) puesto que la reducción de las otras cuesta, 5, 19 y 13 millones respectivamente. No es necesario acelerar las tareas no críticas, se gastaría dinero sin obtener ningún beneficio. La actividad i, según se ve en el cuadro, ya no se puede reducir más. Si tratamos de ganar otro más la reducción de un mes de ―a‖ nos dará el coste menos caro. Después, siguiendo el mismo camino, reduciríamos la f, pero al reducir esta actividad de 21 a 20 meses, aparecen dos nuevas actividades críticas, e y h. Si se quiere ganar otro mes podemos conseguirlo por uno de los siguientes procedimientos Ganar 1 mes en f:

Coste 13

Ganar 1 mes en e:

Coste 5 —————— Total 18

Ganar 1 mes en b:

Coste 19

Como se ve es más económico reducir las dos actividades f y e porque nos cuesta 1 millón menos que la otra.

55

En resumen, la elección podrá hacerse recaer en uno de los programas que vienen indicados en la siguiente tabla. Duración del programa 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28

meses ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ―

Duración de las operaciones

(meses)

Coste (millones de ptas.)

a

b

c

d

e

f

g

h

i

350 353 358 363 376 389 402 415 433 452

4 4 3 2 2 2 2 2 2 2

6 6 6 6 6 6 6 6 6 5

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

10 10 10 10 10 10 10 10 9 9

24 24 24 24 23 22 21 20 19 19

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

3 2 2 2 2 2 2 2 2 2

18. ALGORÍTMO DE FULKERSON Cuando nos encontramos en una red crítica todo se reduce a buscar la alternativa de coste mínimo en caso de tener que disminuir la duración del programa. Hay que encontrar las actividades que, al reducirlas, originen el menor incremento de coste. Cuando existen pocas actividades en el PERT se puede hacer fácilmente por combinaciones matemáticas, pero cuando hay muchas actividades es difícil encontrarlas y, entonces, se recurre al algoritmo de FULKERSON. En un sencillo PERT vamos a ver el procedimiento a seguir. Las actividades vienen identificadas por las letras mayúsculas, y los números indican el coste marginal de reducción de cada actividad; teniendo en cuenta que nos encontramos ante una red crítica, con lo que todas las actividades son críticas.

A3

c E5

a C2

B4

D1

d

b F2

56

El algoritmo comienza suponiendo que entra un flujo de dinero por el punto a, o interesa que ese flujo sea máximo en todos los caminos. Hay que determinar el flujo del dinero en cada uno de los caminos y ver las limitaciones que existen, pues según el camino que elijamos se da paso a una cantidad distinta. En cada nudo hay que hacer el razonamiento para seguir adelante. En un primer análisis vemos que el mejor parece ser BF porque ya B da paso a un flujo de 4, más que el A y la siguiente actividad mejor es la F porque da paso a un flujo de 2. Ahora bien, en el nudo C nos encontramos con dos afluencias: la del A y la del B y tenemos que elegir la que mayores posibilidades traiga a ese punto. En el nudo d elegimos la que mayores posibilidades traiga, que es la actividad E. Como a esta le llega tres de la actividad A, al punto d llega de la 3. En cambio, por la actividad F solamente llega 2, con lo que ya podemos determinar el camino de flujo máximo, que es AE. Recorriendo el camino inverso tendremos el flujo mínimo al restar a los valores teóricos los valores que ha logrado el flujo máximo. Así tenemos que el flujo máximo llevaba 3 al punto d, luego para la actividad E el flujo mínimo es de 5-3=2, y para la A será 3-3=0. Los demás valores quedan igual porque por ellos no ha pasado el flujo máximo. Con estos nuevos valores repetimos el gráfico.

A0

c E2

a C2

B4

D1

d

b F2

57

Repitiendo el mismo razonamiento tenemos que, al llegar al punto C, el punto viene limitado a 1, y por el otro camino llega 2 al punto d con lo que podemos elegir el nuevo camino de flujo máximo: B F. Reduciendo este flujo máximo de valor de los arcos tenemos: B=2

F=0

Volviendo a repetir el grafo con estos valores obtenemos otro nuevo camino de flujo máximo, y al hacer el flujo mínimo obtenemos los valores C=1

D=0

A0

c E1

a C1

B2

D0

d

b F0

Con esto obtenemos el grafo de flujo saturado, dándonos un corte de coste de las actividades Ao, Bo, Fo, y no podemos seguir aplicando iteraciones. Se demuestra que las actividades que constituyen limitación son las de coste mínimo, por lo tanto sobre las que hay que actuar en caso de necesidad de reducción. Comparando el aumento de coste marginal al disminuir en una semana cada una de las actividades de limitación del flujo, con el incremento de ganancia que obtenemos al adelantar la fecha de entrega, veremos la conveniencia o inconveniencia de tomar la decisión. En todo caso nos puede servir para saber el incremento de coste que supone el tener que tomar una decisión de este tipo por cualquier motivo que sea. El objetivo es obtener el máximo beneficio marginal en una alternativa o soportar la mínima pérdida marginal.

58

19. PROBLEMAS DISYUNTIVOS Hemos definido las ligaduras disyuntivas como aquellas que imponen que dos actividades no pueden tener en el tiempo ninguna parte común. Se debe a que ambas utilizan la misma máquina o el mismo elemento. La utilización alternativa de los elementos en las actividades conduce a un problema combinatorio. La herramienta matemática actual en este campo es poco eficiente, pero el desarrollo que están teniendo hace abrigar grandes esperanzas de logros importantes en los próximos años. Cuando el problema es poco disyuntivo es posible enumerar todas las posibilidades, pero cuando el problema es complejo es gran número de ligaduras de este tipo y la enumeración es prácticamente imposible. Cada ligadura plantea problemas de alternativas que crecen rápidamente, por lo que frecuentemente el método de enumeración no resulta factible. 19.0. Planteamiento del Problema disyuntivo Puede enunciarse:

-

En un taller que conste de m máquinas (o grupos de máquinas o procesos)

-

Deben elaborarse n piezas (o lote de piezas)

-

Cada pieza debe pasar por cada máquina en un cierto orden, impuesto por las condiciones tecnológicas. El tiempo total de ocupación de cada máquina es conocido

Objetivo Determinar el orden en que las n piezas deben en cada máquina a fin de que la ocupación total del tema sea mínima. Este problema corresponde a la categoría de los de

ORDENACIÓN .

59

Entre los métodos empleados para solucionar este problema está el de PROGRAMACIÓN LINEAL.

Los métodos basados en la exploración dirigida nos han llevado a métodos heurísticos, susceptibles de proporcionar rápidamente soluciones suficientemente cercanas al óptimo. 19.1. Algoritmo de Jonson Jonson descubrió un algoritmo que conduce al óptimo para el caso m = 2. La sencillez de este algoritmo permitirá abrigar esperanzas de que pudiesen resolverse los demás casos tal vez con un poco más de complejidad. Los estudios efectuados no han permitido comprobar tal hipótesis. Sean A y B las dos máquinas que deben elaborar en n piezas, denominemos A1, A2...........An, B1, B2, Bn los tiempos de ocupación de cada máquina por cada pieza. El algoritmo es el siguiente:

-

Se determina el número de las Ai y Bi. Si hay varios se elige uno de ellos.

-

Se el número elegido es una Ai la pieza i se sitúa en cabeza, si es una Bi se sitúa en la cola.

-

Se tacha los tiempos Ai y Bi, y con el resto de piezas se continua en la misma forma.

Veamos un ejemplo: Máquina A Pieza Pieza Pieza Pieza Pieza Pieza Pieza Pieza

1 2 3 4 5 6 7 8

11 16 3 5 14 9 4 13

Máquina B 6 2 8 1 7 10 15 12

El mínimo es 1h. que corresponde a la pieza, 4, como es un tiempo Bi esta pieza se sitúa la última. El mínimo de los tiempos que quedan es 2h. que corresponde a la pieza 2, esta se coloca en la cola, será la penúltima. El siguiente número es 3h. en la pieza 3. esta pieza será la primera, etc.

60

El orden que determinamos así será: 3–7–6–8–5–1–2–4

Pieza 3

Pieza 7

Pieza 6

Pieza 8

Pieza 5

Pieza 1

Pieza 2

Pieza 4

Máquina A Máquina B

0–3 3 – 11

3–7 11 - 26

7 – 16 16 – 29 29 – 43 43 – 54 54 – 70 70 – 75 26 –36 36 – 48 48 – 55 55 – 61 70 – 72 75 – 76

Espera de la pieza

0

4

10

7

5

1

0

0

27

Espera de la máq. B.

3

0

0

0

0

0

9

3

15

Son necesarias 76 horas para realizar todas las piezas, estando inactiva la máquina A durante 1 hora (la última) y la B durante 15. El procedimiento se generaliza al caso de 3 máquinas A, B y C, en tiempos de ocupación Ai, Bi y Ci, si: a) Considerando solamente dos máquinas el orden encontrado para A B es el mismo que para B C. b) Si min. A1 > máx. Bj o bien máx. Bj < min. Ci. En este caso pueden considerarse dos máquinas ficticias M y N con duración de ocupación Mi = Ai + Bi Ni = Bi + C1 El orden óptimo para M N coincide con el buscado para A, B y C.

61

Veamos el siguiente ejemplo:

Máquina A

Máquina B

Máquina C

Máq. Fict. M

Máq. Fict. N

Pieza 1

7

5

14

12

19

Pieza 2

9

6

13

15

19

Pieza 3

9

5

8

14

13

Pieza 4

4

3

6

7

9

Pieza 5

9

6

14

15

20

Pieza 6

8

3

10

11

13

Pieza 7

15

4

6

19

10

Pieza 8

6

6

7

11

13

Estamos en el caso b) pues máx.

Bi = 6

mín.

Ci = 6

El orden óptimo es de 4–6–1–8–5–2–3–7

Pieza 4

Pieza 6

Pieza 1

Pieza 8

Pieza 5

Pieza 2

Pieza 3

Pieza 7

0–4 4–7 7 – 13

4 – 12 12 – 15 15 – 25

12 – 19 19 – 24 25 – 39

19 – 25 25 – 31 39 – 46

25 – 34 34 – 40 46 – 60

34 – 43 43 – 49 60 - 73

43 – 52 52 – 57 73 - 81

52 – 67 67 – 71 81 - 87

Espera de la pieza en AB

0

0

0

0

0

0

0

0

Espera de la pieza en BC

0

0

1

8

6

11

16

10

Espera de la máquina B

4

5

4

1

3

3

3

10

Espera de la máquina C

7

2

0

0

0

0

0

0

Máquina A Máquina B Máquina C

62

La ocupación total del sistema es de 87 horas, y los tiempos ciertos de las máquinas son: Máquina A Máquina B Máquina C

: 20 horas : 49 horas : 9 horas

Métodos heurísticos Vamos a describir a continuación unos métodos heurísticos aplicables al caso m ≥ 3. Adoptando la regla FIFO o una parecida lo único que deberemos determinar es el orden inicial de paso por la primera máquina. Para ello, calcularemos uno índices correspondientes a cada una de las piezas. Sea Aij el tiempo de ocupación de la máquina j por la pieza i. Definimos S1i y S2i mediante: S1i = (m-1) ai2 + (m-2) ai2 + ….. + aim-1 S2i = ai2 + 2ai3 + ….. + (m-1) ain Regla 3.

(Trapecio) Ordenamos las piezas aplicando el algoritmo de Jonson a S2i – S1i

Regla 2.

(Palmer) Ordenamos las piezas según los valores decrecientes S2i – S1i

Puesto que ambas reglas se basan en idénticos índices podemos aplicarlas las dos y elegir la mejor solución. Veamos el siguiente ejemplo:

Máquina A Máquina B Máquina C Pieza 1 Pieza 2 Pieza 3 Pieza 4 Pieza 5 Pieza 6 Pieza 7 Pieza 8

9 7 6 8 20 10 7 2

13 7 4 3 7 2 10 8

6 20 8 10 2 13 7 5

S1

S2

S1 - S 2

31 21 16 19 47 22 24 12

25 47 20 23 11 28 24 18

-6 26 4 4 -36 6 0 6

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Las órdenes determinadas son las siguientes. Mediante la regla de los trapecios: 8–3–4–2–6–7–1–5 y mediante la de Palmer 2 – (6 – 8) – (3 – 4) – 7 – 1 – 5 Al primero corresponde un tiempo global de ocupación de 81 horas (que coincide con el óptimo) y al segundo de 85 horas. De estas dos reglas no hay ninguna que sea uniformemente mejor que la otra. Podríamos indicar ejemplos en los que la de Palmer proporciona tiempos mejores que la de los Trapecios.

64

20. ASIGNACIÓN DE RECURSOS Problema Que haya muchas cosas a hacer y no haya recursos disponibles para hacer cada una de ellas de la manera más efectiva, de tal forma que se maximicen los beneficios o se minimicen los costes mediante una correcta asignación de recursos a actividades. El hecho de que algunas cosas tengan que hacerse en forma que sea menos buena que la mejor, significa que surgen costos de oportunidad y sugiere que uno de los sistemas para encontrar la imaginación mejor será minimizar dichos costos de oportunidad. El planteamiento del problema de asignaciones constituye una aplicación del modelo de ―Programación lineal‖. Las limitaciones pueden tomar la forma de cantidades mínimas (o máximas) prescritas, debidas a limitaciones de maquinaria, espacio, de dinero o cualquier otro orden. Problemas de asignación de Labores

-

Minimización de costes Aplicación práctica aproximada de la programación lineal

Fundamento

-

Las labores, entre un grupo de máquinas, cada una de las cuales realiza cualquiera de las labores pero con distinta eficiencia, tienen que llevarse a cabo simultáneamente

-

Se conoce el costo que comparte dedicar una máquina determinada a cada labor específica

-

Problema: asignar las labores a las máquinas de forma que se minimice el costo total

Procedimiento

-

Supongamos un taller que produce 5 labores y tiene 5 máquinas que pueden hacer todas las labores con costes distintos

-

Se puede presentar en una matriz conveniente

65

MÁQUINA LABOR

1

2

3

4

5

A B C D E

430 320 295 270 245

440 340 300 290 240

465 350 330 310 265

480 375 320 275 280

490 380 320 280 250

donde cada cifra indica el coste de hacer una labor en una máquina. No se puede proceder simplemente asignando la labor A a la máquina que la haga a menor costo, la labor B a la que se haga más barata, etc. Normalmente son varias las labores que una máquina puede ejecutar más barato que cualquiera de las otras, y sólo se le puede asignar una labor (en nuestro caso Maq. 1) Para determinar cuál es la asignación con costo mínimo, intentando todas las combinaciones posibles, calculando el coste de las mismas y escogiendo la más barata. Este procedimiento no es factible ya que:

-

En este caso hay 120 asignaciones posibles En 10 labores y 10 máquinas – 3.500.000 asignaciones posibles En 15 labores y 15 máquinas – 1.300.000.000.000 asignaciones pos.

Necesitamos algún otro procedimiento o algoritmo sencillo que nos permita localizar rápidamente la asignación óptima. Dicho algoritmo existe y se basa en el concepto económico de costo de oportunidad. “Costo de oportunidad” Son los costos extra que resultan cuando hemos escogido una estrategia que no es el coste mínimo correspondiente al estado que realmente se produce.

66

Es el costo oculto que resulta cuando al utilizar nuestros recursos no les sacamos el mejor provecho posible. Es la diferencia entre lo que logramos con una estrategia y lo que hubiésemos podido lograr, lo que supone el costo de oportunidad de esa estrategia. La verdad es que es difícil conocer cual es la estrategia mejor. Surgen los costos de oportunidad por el hecho de que podría asignar una labor distinta a una máquina. “Costo de oportunidad de labor” Porque una misma máquina puede verse asignada de labores diferentes, v.g. en el ejemplo si asignamos la labor A a la máquina 1, la diferencia entre lo que esta cuesta (430) y lo que nos costaría la más barata (E=245) = 185, que es el coste de oportunidad de labor. “Coste de oportunidad de máquina” Porque son varias las máquinas que se podrían asignar a una labor, v.g. si en el ejemplo asignamos la actividad B a la máquina 5=(380), lo podríamos haber hecho por (320) en la máquina 1, luego este coste es (60). La matriz de costes de oportunidad de labor se obtiene restando a las cifras que aparecen en cada columna, el coste más bajo de los que figuran en ella. La matriz de costes de oportunidad de máquina se obtiene restando de todas las cantidades que aparecen anotadas en una misma hilera el costo más bajo de los que figuran en ella. Así, en el caso puesto, tenemos: Costos de oportunidad de labor LABOR

1

2

3

4

5

A B C D E

185 75 50 25 0

200 100 60 50 0

200 85 65 45 0

205 100 45 0 5

240 130 70 30 0

67

A continuación, basándonos directamente en la matriz que acabamos de obtener obtenemos la matriz de costos de oportunidad de máquina, restando de los asientos de cada hilera el coste más pequeño que aparece en la misma, de esta forma tenemos los dos costos implícitos. Costos de oportunidad de máquina LABOR

1

2

3

4

5

A B C D E

0 0 5 25 0

15 25 15 50 0

15 10 20 45 0

20 25 0 0 5

55 55 25 30 0

El coste de oportunidad de labor tiene, al menos, un cero en cada columna, y el de máquina uno en cada hilera. Cuando obtenemos un costo de oportunidad conjunta cero por fila y columna (por ejemplo cuando la diagonal de la matriz de ceros) se le asigna la labor a cada máquina que le corresponde y no hay problema puesto que no podemos hacer nada mejor que tener un coste de oportunidad cero, pero este caso se da muy pocas veces, y hay complicación, como en el caso indicado, que sería conveniente que la máquina 1 hiciera las tres labores A B E, pero no puede hacer más que una. Se necesita que haya ceros dispuestos en la matriz de tal manera que no haya dos situados en la misma hilera ni en la misma columna, y haya otras que no tengan ninguno. Procedimiento Lo más que podremos utilizar será un cero por hilera y columna. El elegir un cero elimina la posibilidad de escoger cualquier cero de la misma hilera o columna.

68

Como tenemos hileras o columnas en las que no habrá ceros, las aislamos y nos queda, (quitando las columnas 1 y 4, y la hilera E).

A B C D

2

3

5

15 25 15 50

15 10 20 45

55 55 25 30

El objetivo es cambiar los ceros sacándolos de la hilera o columna en la que aparecen repetidos. El menor costo posible implicado en un desplazamiento así, sería si se le mudara para sustituir la cantidad no cero más pequeña de la matriz de hileras y columnas sin ceros. En nuestro caso es la cifra 10 de la columna (3 , B) De esta forma el menor costo de oportunidad posible implicado al escoger cualquiera de los ceros de otras hileras o columnas, sería llevar un cero a (3 , B) que costaría (10). Por lo tanto sumaremos este costo de oportunidad (10) a cada uno de los puntos en los que había ceros, excepto en los puntos de cruce de hileras y columnas con ceros, en nuestro caso la columna 1 y 4, con la hilera E en (E , 1) y en (E , 4). Por qué esta excepción a los puntos de cruce?. Porque si los relacionamos obligamos al cambio de dos ceros, uno de la hilera E y otro de la columna 1. Esto costará, cuando menos, el doble del cargo mínimo general, dándonos 10 x 2 = 20, coste doble que 10 sacrificado.

A B C D E

1

2

3

4

5

10 10 15 35 20

15 25 15 50 10

15 10 20 45 10

30 35 10 10 25

55 55 25 30 10

donde se han sumado 10 a todos los valores de las filas y columnas que tenían ceros, excepto en los cruces que se le ha sumado (20).

69

Si obtenemos otra vez la matriz de costes de labor y de máquina sacamos

A B C D E

1

2

3

4

5

0 0 5 25 10

5 15 5 40 0

5 0 10 35 0

20 25 0 0 15

45 45 15 20 0

Los ceros que obtenemos están en las columnas 1, 3 y 4 y en la hilera E. Por lo tanto, el problema todavía no está resuelto. El valor más pequeño que no figura en ninguna de dichas columnas ni en la hilera E es (5) que se halla en (A , 2) y (C , 2). Las columnas 1, 3 y 4 se cruzan con la hilera E en E1, E3 y E4, de manera que, adelantando camino, procederemos a sumar 5 a los valores de dichos lugares. Luego restaremos (5) de todos los valores de la matriz que no se hallen ni en las columnas 1, 3 y 4 ni en la hilera E, y esto nos dará

A B C D E

1

2

3

4

5

0 0 5 25 10

0 10 0 35 0

5 0 10 35 5

20 25 0 0 20

40 40 10 15 0

Asignación A---------B---------C---------D --------E ----------

1 2 3 4 5

----------- 430 ----------- 300 ----------- 300 ----------- 275 ----------- 250 ————— 1605 —————

70

El hecho de que el coste total de oportunidad sea cero, garantiza que no pueden haber otras asignaciones con un costo menor que esto. Con en poco de práctica el cálculo se hace rápido. Cuando las matrices son grandes  ordenadores. Las economías son tanto mayores cuanto mayor la matriz. Todo el procedimiento puede reducirse a: 1) Determinar la matriz de costos de oportunidad de labor, restando de cada uno de los asientos de cada columna el valor de la misma que sea más pequeño. 2) Determinar la matriz de costos totales de oportunidad restando de todos los asientos de cada hilera de la matriz de costos de oportunidad de labor el valor más pequeño de la misma hilera. 3) Determinar el menor número de hileras y/o columnas que comprenden todos los ceros que figuran en la matriz de costos totales de oportunidad. Si este número es igual al número de hileras, el problema está resuelto, y no ha de hacerse más que escoger las asignaciones de entre los ceros. 4) Si el problema no queda aún resuelto en el paso 3, entonces hay que encontrar el valor más pequeño de la matriz que no figure en las hileras y/o columnas que contienen ceros. Este valor hay que sumarlo a los valores de todas las intersecciones de hileras y columnas que contengan ceros, y se les resta de todos los valores de la matriz que no se hallen en alguna de las hileras y/o columnas que contienen ceros. 5) Repítase el proceso hasta llegar a una solución de acuerdo con el paso 3.

    

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