1. Makalah Persamaan Dan Pertidaksamaan Logaritma

MAKALAH PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

 Diajukan untuk memenuhi memenuhi salah satu tugas mata kuliah kuliah Kapikta Selekta SMA 1 Dosen Pengampu : Drs.H . Zaenal Saeful, M.Pd : Ehda Farlina, M.Pd

Oleh: Kelompok 11 1. Sunarli

(1122050073)

2. Ahmad Ruslan

(1132050002)

3. Asry Erma Yunita

(1132050009)

4. Ayuni Khairiyyah

(1132050011)

5. Desi Ratnasari

(1132050015)

PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MIPA FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2016

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrahim Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT. atas rahmat dan karunia-Nya kami dapat menyusun makalah ini. Makalah ini membahas tentang persamaan dan  pertidaksamaan  pertidaksamaan logaritma logaritma beserta penyelesaianny penyelesaiannya. a. Tak lupa kami mengucapkan terima kasih kepada berbagai pihak yang telah membantu kami dalam penyusunan makalah ini. Diantaranya: 1.

Bapak Drs.H . Zaenal Saeful, M.Pd , selaku dosen mata kuliah Pembelajaran Matematika SMA/MA 1

2. Seluruh pihak yang tidak dapat kami sebutkan satu per satu namun tidak mengurangi rasa hormat kami Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Maka dari itu kritik dan saran yang membangun sangat kami harapkan demi penyempurnaan makalah selanjutnya agar lebih baik. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi yang membacanya.

Bandung, 29 September September 2016

Penyusun

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah Ilmu matematika sering disebut sebagai sentral ilmu pengetahuan atau  pusatnya ilmu pengetahuan karena matematika matematika digunakan, diterapkan, dan dibutuhkan untuk mendukung ilmu pengetahuan yang lain. Sebab banyak bidang bidang ilmu yang lain terikat terikat dengan ilmu ilmu matematika, seperti seperti bidang kedokteran, kedokteran,  biologi, fisika, lingkungan, forensik, astronomi, farmasi, f armasi, ilmu bahan, komputer, dan sebagainya. Berbagai bidang di atas juga tidak lepas dari peran matematika. Sehingga dapat dapat diartikan bahwa matematika matematika merupakan merupakan dasar dari ilmu dunia. Belakangan ini, ilmu matematika telah berkembang pesat. Bukan hanya sebatas hitung menghitung menggunakan skala statistik, nilai, angka-angka real, kalkulus dan peluang. Akan tetapi, perkembangan ilmu matematika juga terjadi didasarkan pada penalaran –  penalaran  penalaran yang logis atas sistem matematis. Penalaran yang dilakukan oleh para ahli matematik diperoleh atas realita kehidupan yang nyata yang dirasakan oleh manusia. Perkembangan dan aplikasi dan bagian matematik ini sangat dirasakan oleh manusia di berbagai kehidupan. Penalaran inilah dalam bahasa matematika sering disebut logika. Dari latar belakang masalah di atas maka penulis akan menyusun salah satu pembahasan matematika yaitu tentang persamaan logaritma, logarit ma, pertidaksamaan logaritma, aplikasi logaritma dalam kehidupan sehari-hari beserta contoh –  contoh  contoh soal dan jawabannya.. jawabannya..

B. Rumusan Masalah 1. Bagaimana sejarah logaritma? 2. Apa pengertian dan fungsi logaritma? 3. Apa saja sifat- sifat fungsi logaritma? 4. Bagaimana bentuk persamaan logaritma? 5. Bagaimana bentuk pertidaksamaan logaritma? 6. Bagaimana Bagaimana aplikasi logaritma dalam kehidupan sehari-sehari?

C. Tujuan Masalah 1. Dapat mengetahui sejarah logaritma 2. Dapat mengetahui pengertian dan fungsi logaritma 3. Dapat mengetahui sifat-saifat fungsi logaritma 4. Dapat mengetahui persamaan logaritma 5. Dapat mengetahui pertidaksamaan pertidaksamaan logaritma l ogaritma 6. Dapat mengetahui aplikasi logaritma dalam kehidupan sehari-sehari

BAB II

PEMBAHASAN A. Sejarah Logaritma

Logaritma ditemukan oleh John Napier yang lahir pada tahun 1550 di dekat Edinburgh, Skotlandia.Dia juga mendesain sebuah metode sederhana untuk perkalian dan  pembagian  pembagian yang dikenal sebagai tulang-tulang Napier.Ketika buku Napier tentang logaritma diterbitkan pada tahun 1614, hal ini amat mengagumkan para ilmuwan sebagaimana ditemukannya kalkulator di zaman modern. Dengan bantuan logaritma mereka dapat mengerjakan perkalian dan pembagian yang sulit dengan cara cepat dan mudah untuk pertama kalinya. Napier menghabiskan hidupnya mengutak-atik matematika.Ia meninggal pada tahun 1617 pada usia 67 tahun da dimakamkan di Edinburgh. Logaritma sendiri merupakan salah satu rumusan dalam matematika yang digunakan

untuk

menyederhanakan

perhitungan.

Selain

untuk

penyederhanaan

 perhitungan, logaritma juga digunakan dalam berbagai disiplin ilmu, il mu, seperti menghitung  bunga bank, laju laju pertumbuhan bakteri,dan bakteri,dan umur umur fosil. B. Pengertian Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma adalah fungsi yang peubah bebasnya berupa bentuk logaritma. Fungsi logaritma logaritma merupakan merupakan invers dari eksponen. eksponen. Fungsi Fungsi logaritma f logaritma f dengan bilangan  pokok atau basisa basisadapat dituliskan dalam bentuk

 :  :  → log  log  atau atau y = f x = log  log, Dengan 1. x adalah peubah bebas, atau numerous dan berlaku sebagai daerah asal (domain) fungsi

∈

 f yaitu Df  =  = { x { x | x > 0, x 0, x  R}  R} 2. a adalah bilangan pokok atau basis logaritma dengan ketentuan a > 0 dan a ≠ 1

C. Grafik Fungsi Logaritma

Ditinjau dari bilangan pokoknya grafik fungsi logaritma y = f(x) = alog x dapat dikelompokan menjadi 2 macam yaitu : grafik fungsi logaritma dengan bilangan pokok

 > 1dan grafik fungsi logaritma dengan bilangan pokok 0 <  < 1 Untuk menggambar menggambar grafik atau kurva fungsi logaritma y = f(x) = alog x ditempuh prosedur sebagai berikut: a.

Buatlah tabel yang menunjukan relasi antara x dengan y = alog x

 b. Gambarkan Gambarkan setiap titik (x,y) yang diperoleh pada bidang kartesius c.

Hubungkan setiap titik (x,y) yang diperoleh dari langkah b dengan kurva. Sehingga diperoleh grafik atau kurfa fungsi logaritma y = f(x) = alog x

Ada dua cara dalam menggambarkan grafik fungsi logaritma yaitu dengan menggunakan grafik fungsi eksponen dan substitusi titik. a.

Menggunakan Menggunakan Grafik Fungsi Eksponen

Grafik fungsi y fungsi  y =  = a log x  log  x dapat  dapat diperoleh dari grafik fungsi inversnya yaitu y yaitu  y =  = a x. Untuk melukis grafik y grafik y =  = a log x  log x,, kurva y kurva y =  = a x dapat dicerminkan terhadap garis y garis y =  = x  x seperti  seperti contoh di bawah ini. Contoh:

Gambarkan Gambarkan grafik fungsi y fungsi y =  = 2 log x  log x dengan  dengan menggunakan grafik y grafik y =  = 2 x berikut.

Bila y Bila  y = 2 x dicerminkan terhadap garis  y =  x,  x, seperti tampak pada gambar di atas, maka hasil pencerminan dari dari y  y =  = 2 x adalah y  adalah y =  = 2 log x  log x..

Apabila disatukan maka bentuk gafiknya adalah sebagai berikut :

 b. Substitusi Titik Misalkan kita akan menggambar grafik dari f  dari f  (  ( x)  x) = 3 log x  log x untuk  untuk -3 ≤ y ≤ 3, y ϵ  Ɍ.

Untuk membantu kita dalam melukis grafik fungsi logaritma, mula-mula pili h nilai y nilai y yang  yang terletak pada selang yang diketahui, kemudian substitusikan ke  f  ( x)  x) untuk memperoleh nilai x nilai x..

 x

y= 3 log x  log x -3

-2

1 27

y

-1

1 9

1 3

0

1

2

3

1

3

9

27

Titik yang diperoleh dilukiskan pada diagram kartesius berupa titik (bulatan kecil). Titik tersebut dihubungkan sehingga membentuk kurva kurva f   ( x)  log x seperti  seperti gambar di bawah  f  (  x) = 3 log x ini.

Dari gambar di atas diperoleh bahwa:



Bila nilai x nilai x bertambah,  bertambah, maka nilai f  nilai f  (  ( x)  x) bertambah, dan bila x bila x berkurang  berkurang mendekati mendekati nol, nol , maka nilai f  nilai f  (  ( x)  x) juga semakin berkurang. berkurang.



Garis x Garis x =  = 0 merupakan asimtot tegak.



Grafik fungsi logaritma y logaritma y =  = 3 log x  log x selalu  selalu naik untuk setiap x setiap x,, dengan kata lain fungsi y fungsi y =  = a log x  log xdengan dengan a > 1 merupakan fungsi naik.

Dengan demikian, dapat disimpulkan: Fungsi logaritma y  =  = a log x  dengan  dengan a > 1 merupakan fungsi monoton naik, sebab bila x 1 1 terhadap sumbu x sumbu x..



Grafik y Grafik y =  = a log x  log x dengan  dengan 0 < a < 1 dan y dan y =  = a log x  log x dengan  dengan a >1 berpotongan di titik (1, 0)



Jika x Jika x1 dan x  dan x2 adalah dua buah titik sembarang pada grafik dan x dan x2 > x  > x1, maka a log  x2 > a log x1 untuk a > 1 dan a log x  log x2 < a log x  log x1 untuk 0 < a < 1.



 y =  y = f   f  (  ( x)  x) a log x  log  x merupakan  merupakan fungsi naik untuk a > 1 dan merupakan fungsi turun untuk 0 < a < 1.

Mari kita mencermati beberapa contoh soal berikut i ni. Contoh 1 Gambarlah grafik dari y dari y =  = 2 log ( x  x –  1).  1).

Penyelesaian: Untuk mempermudah mempermudah perhitungan, mula-mula pilih pi lih nilai y nilai y yang  yang terletak di sumbu y sumbu y positif,  positif,  y =  y = 0 dan sumbu y sumbu y negatif  negatif misalnya nilai y nilai y pada  pada selang -3 ≤ y ≤ 3.

 Nilai y  Nilai y tersebut  tersebut kemudian disubstitusikan ke f  ke f  (  ( x).  x). Hasil dari substitusi titik dapat dituliskan pada tabel berikut.

Titik yang terdapat pada tabel dilukiskan pada diagram kartesius berupa titik (bulatan kecil). Titik tersebut dihubungkan sehingga membentuk kurva  y = 2  log ( x  x  –   1) seperti gambar di bawah ini.

Pada gambar di atas terlihat garis x garis x =  = 1 merupakan asimtot tegak. Contoh 2 Gambarlah grafik fungsi f  fungsi f  (  ( x)  x) = 13log x 13log x dan  dan g   g  (  ( x)  x) = (13) x .

Penyelesaian: Oleh karena f  karena  f  (  ( x)  x) = 13log x 13log  x adalah  adalah invers dari g  dari  g  (  ( x)  x) = (13) x , maka dari grafik g  grafik  g  (  ( x)  x) dapat diperoleh dari f  dari f  (  ( x)  x) dengan mencerminkan g  mencerminkan g  (  ( x)  x) terhadap garis y garis y =  = x  x.. Mula-mula gambarkan grafik f  grafik f  (  ( x)  x)

Untuk mempermudah mempermudah perhitungan, pilih nilai y nilai y yang  yang terletak di sumbu y sumbu y positif,  positif, y  y =  = 0 dan sumbu y sumbu y negatif.  negatif.  Nilai y  Nilai y tersebut  tersebut kemudian disubstitusikan ke f  ke f  (  ( x)  x) untuk memperoleh nilai x nilai x.. Dengan cara perhitungan yang sama dengan contoh-contoh sebelumnya diperoleh nilai ( x,  x,  y)  y) seperti pada tabel berikut.

 Nilai ( x,  x,  y)  y) yang ada pada tabel dilukiskan pada diagram kartesius berupa titik (bulatan kecil) kemudian dihubungkan sehingga membentuk kurva f  kurva f  (  ( x)  x) = 13log x 13log x.. Kurva f  Kurva f  (  ( x)  x) = 13log x 13log x kemudian  kemudian dicerminkan terhadap garis y garis y =  = x  x,, sehingga diperoleh kurva  g  (  ( x)  x) = (13) x seperti grafik di bawah ini.

Contoh : Tentukan domain dari fungsi f  fungsi f  (  ( x)  x) = log (3 –  4  4 x).  x).

Penyelesaian:

Untuk menentukan domain (daerah asal) dari fungsi f  fungsi  f  (  ( x)  x) = log (3 –  4  4 x),  x), kita memerlukan syarat numerus logaritma, yaitu:

3  4 > 0 ↔ 4 > 3 ↔  >  Jadi, domain ( D f ) dari fungsi f  fungsi f  (  ( x)  x) = log (3 –  4  4 x)  x) adalah:

{⃓  <    ,  ∈  Contoh : Gambarlah sketsa grafik grafik fungsi dari fungsi logaritma berikut :

 =  x 1/2

Jawab :

 =  dan  =  x untuk nilai-nilai terterntu : 1/2



   = 

x

-3

-2

-1

0

y

8

4

2

1



 =  x

1

2

3

1 2

1 4

1 8

1 21

1 42

1 83

1/2

x

8

4

2

1

y

-3

-2

-1

0

Adapun grafiknya adalah sebagai berikut :

 perhatikan grafik grafik

 =  x, sifat-sifatnya adalah sebagai berikut : 1/2

1. Selalu disebelah kanan sumbu y, yang berarti terdefinisi hanya untuk x>0 2. Memotong sumbu sumbu x hanya di titik (1,0)

 x <

3. Monoton turun, yang berarti jika x1>x2>0 maka 1/2

1/2

log x0

4. Mempunyai Mempunyai asimtot tegak yaitu x = 0 atau sumbu y.

 Sifat Fungsi Logaritma D. Sifat  –  Sifat

Sifat –  sifat  sifat fungsi fungsi logaritma y = f(x) = alog x dengan bilangan pokok 0<

 >1

 < 1 sebagai berikut 1. Domain fungsi  adalah  = {| > 0   ∈  } atau   =   =  0,0,∞∞ } atau   = R 2. Range fungsi   adalah   = {| ∈ } 0, ∞ 3. Range   kontinu pada 0,∞ 4. Fungsi  monoton naik untuk  > 1 5. Fungsi  monoton turun untuk 0 <  < 1 6. Jika  > 1 maka nilai log x positif untuk  > 1  dan negatif untuk 0 <  < 1 7. Jika 0 <  < 1  maka nilai log x positif untuk 0 <  < 1    > 1 a

a

8.  Nilai alog x tidak didefinisikan untuk x yang tidak positif

log x

9. Fungsi logaritma selalu memotong sumbu sumbu x dititik dititi k (1,0) dengan kata lain a

=0↔=1 10. alog x = 1 jika dan hanya jika

 =

11. sumbu y asimtot tegak

 

12. f ungsi  merupakan fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu

log x untuk  > 1 dengan fungsi logaritma y = log x dan untuk 0 <  < 1 dengan fungsi logaritmanya logaritmanya log   adalah setangkup 

13. grafik fungsi logaritma y = a

a

simetris terhadap sumbu x. Contoh soal :

∞, ∞, ∞ →  dengan   : 3  1

1. Carilah invers fungsi eksponen f : ( Jawab :

 =    = 3  1 Pindahkan   , maka diperoleh  = 3  1 3 =  = 1 log 3  = log   1 2y = log   1  y = log   1  − =  log   1 Jadi   −  3

3

3

3

3

 y adalah peubah tak bebas, dan berlaku sebagai daerah hasil ( range ) fungsi, yaitu R f f =    = {

∈

 y |  y  R}.  R}.

E. Persamaan Logaritma Persamaan logaritma adalah persamaan yang variabelnya sebagai numerus atau sebagai  bilangan pokok dari suatu logaritma. logaritma. Perhatikan contoh berikut ini :



log + log2 log2 1  1 = 1

merupakan persamaan logaritma logarit ma yang numerusnya

memuat variabel x.



log4 + log  = 0 merupakan persamaan logaritma logari tma yang numerusnya memuat

5

5

variabel y.

2

Ada beberapa bentuk persamaan persamaan logaritma logaritma ini, diantaranya : a)

  =   jika log = log ,  > 0, maka maka    = m. a

a

a

a

Contoh soal :

log 2= 4

Tentukan penyelesaian 2 Jawab :

log 2 log 2 x – 2 2

=4

2

=2

log2

4

= 24

x

= 18

log 2= 4 adalah x = 18

 jadi, penyelesaian penyelesaian 2

b)

 =   jika log = log , a > 0, a ≠ 1,    > 0, dan   ) > 0 maka    =   ). a

a

a

a

Contoh soal :

log10x 2 = log16x8

Tentukan penyelesaian 7

7

Jawab :

log10x2  = log16x8

7

7

10x + 2 = 16x  8 10x  16x

 6x

=  10

x

=

 

=  8 2

  > 0, dan  ) > 0  (   (106 ) = 10 10 (106 )  2 = 100 6 2 12 = 112 = 100  6 6 6  (106 ) = 16 16 (106 )  8      =   =     

sekarang selidiki apakah

 

Karena untuk x =

,

   > 0, dan   ) > 0, maka x =    merupakan

 penyelesaian.  penyelesaian.

log10x2  = log log16 16xx 8  8 adalah x = 

Jadi, penyelesaian 7

c)

7

     =    jika  log =  logℎ,   > 0,   ) > 0, ℎ  ) > 0, dan  ≠ 1, maka  ) = ℎ  ). (x)  f (x)

 f(x )

 f(x)

 f(x)

Contoh soal :

log 1 = log4 log4 10  10.....

Tentukan himpunan penyelesaian penyelesaian x-3

x-3

Jawab :

log log  1= log log4 10  10

x-3

x-3

x+1

= 4x + 10

x  4x

= 10  1

-3x

=9

x

= -3

sekarang selidiki apakah dan

ℎ ) > 0

  > 0,  ≠ 1,  ) > 0

 f(-3) =  f(-3) = -3  3 = -6 < 0  g(x) =  g(x) = -3 -3 + 1 = -2 < 0

  < 0 maka x = -3 bukan penyelesaian. log4 10  10 adalah Ø Jadi, himpunan penyelesaian dari log 1  = log4 oleh karena untuk x = -3

x-3

x-3

F. Pertidaksamaan Logaritma Pada pembahasan sebelumnya, kalian telah mengetahui sifat  –   sifat fungsi logaritma, yaitu sebagai berikut :



  = log merupakan fungsi naik. Artinya untuk setiap setiap x , x ∈ ℝ berlaku x < x  jika dan hanya jika a

untuk a > 1, fungsi

1

,

2

1

2

f(x1) < f(x2).



  = log merupakan fungsi turun. Artinya, untuk setiap setiap x , x ∈ ℝ  berlaku x < x  jika dan a

Untuk 0 < a < 1, fungsi

1

2

1

2

hanya jika f(x1) > f(x2). Sifat –  sifat  sifat ini berguna untuk menyelesaikan menyelesaikan pertidaksamaan pertidaksamaan logaritma. Contoh soal :

log 5 > 0

Tentukan himpunan penyelesaian 3 Jawab :

log 5 > 0 log 5 > log1

3

3

3

x + 5 > 1 ............................. ............................. karena a > 1, maka maka fungsi naik x > -4  perhatikan pula bahwa numerusnya numerusnya harus lebih lebih dari nol, berarti berarti x + 5 > 0. Di dapat x > -5

log 5 > 0 adalah HP = { x x > -5 atau x > -

 jadi himpunan penyelesaian penyelesaian 3 4,x

∈ ℝ }

1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma berikut

log - log3 log   

log log  3 log  3 = log =

=

  3

3( x  –  3)

= x

3x  –  9

=x

2x

= 9

 x

=

 

 jadi himpunan penyelesaian penyelesaiannya nya adalah x adalah x =  =

2.

logx2 logx2 – 2x  4 = logx  4

2

2

x2 – 2x + 4 x2 – 2x-x + 4-4

=x+4 =0

x2 – 3x = 0 x(x –  3)  3) = 0 x = 0 atau x = 3 Selidiki apakah f(x) apakah f(x)  0 dan g(x) dan g(x)  0  f(0)

= x2 –  2x  2x + 4 = 02 –  2.0  2.0 + 4 = 4 (4  0 )

 g(0)

=x+4 =0+4 =4

 f(3)

= x2 –  2x  2x + 4 = 32 –  2.3  2.3 + 4 = 7 (7  0 )

 g(3)

=x+4 =3+4 =7

Jadi penyeleaiannya x = 0 dan x = 3 3. Tentukan penyelesaiaan penyelesaiaan dari 81x+2 = 3x+2

 

34(x+2) = 3x+2 4(x+2) = x + 2 4x + 8 = x + 2 4x –  x  x = 2 –  8  8 3x = -6 X = -2 Jadi penyelesaian penyelesaian 81x+2 = 3x+2 adalah x = -2

= 7292-4x

4. tentukanlah penyelesaian penyelesaian dari 9 91 3(2-4x)

=1

6 – 12x

=1

-12x

= 1 –  6  6

-12x

= -5

x= Jadi penyelesaian penyelesaian

= 93(2-4x)

 

9 = 7292-4x adalah x =

5. Tentukan penyelesaian dari 4 x+5

=2

22(x+5)

=2

2(x + 5)

=1

2x + 10

=1

2x x Jadi penyelesaian penyelesaian

 

= 1 –  10  10 = -9

dari 4x+5 = 2 adalah x = -9

G. APLIKASI DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI Sebelum ada kalkulator elektronik, logaritma digunakan sepanjang waktu untuk melakukan perhitungan eksponensial. eksponensial. Jadi para ilmuwan il muwan dan insinyur dari semua  jenis memanfaatkan memanfaatkan sering menggunakan. menggunakan. Misalnya, jika Anda ingin menemukan menemukan 4 pangkat 3.5, Anda akan menggunakan fakta bahwa:

4 ^ (3.5) = 10 Log ^ [4 ^ 3.5] = 10 ^ (3.5 * log (4))

Anda melihat log (4) dalam tabel log Anda, kalikan dengan 3,5, kemudian gunakan tabel log untuk menemukan antilog pada (10 pangkat jawaban Anda). Hari ini, kita biasanya membiarkan kalkulator melakukan pekerjaan itu, tapi  bahkan kalkulator menggunakan menggunakan fakta-fakta seperti ini untuk melakukan melakukan komputasi. Saya telah membaca bahwa penggunaan logaritma membuat begitu  banyak hal hal mungkin mungkin bahwa itu adalah salah satu kontribusi kontribusi utama utama dari matematika matematika ke dunia ilmu pengetahuan. Misalnya, sebelum ada logaritma, para astronom merasa

kesulitan

dengan

penjumlahan

ataupun

perkalian

yang

begitu

 besar. Dengan munculnya penggunaan logaritma, perkalian ataupun perpangkatan perpangkatan yang besar menjadi hal yang sederhana. Dalam kehidupan nyata, logaritma sangat diperlukan

bagi

ilmu

pengetahuan.

Dalam

sejarah

ilmu

pengetahuan,

 pengembangan  pengembangan tabel logaritma dan penggunaannya merupakan merupakan prestasi yang luar  biasa. Para astronom masih menggunakan skala logaritmik untuk sumbu grafik dan diagram. Penggunaan logaritma yang paling jelas adalah pada penghitungan skala Richter untuk gempa bumi dan desibel. Logaritma juga diaplikasikan dalam  penghitungan frekuensi frekuensi musik. Penggunaan lain fungsi logaritma adalah dalam bidang biologi, yaitu untuk mengukur laju pertumbuhan penduduk, antropologi, dan keuangan (untuk menghitung bunga majemuk). majemuk).

H. LATIHAN SOAL

∞, ∞, ∞ →  dengan : 4 log (3 –  x)  x) Carilah himpunan penyelesaian dari log     = log 12 2

1. Carilah invers fungsi eksponen f : ( 2.

8

3. Carilah himpunan penyelesaian dari log

8

−  = -1 +

4. Carilah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan logaritma berikut 2log

  2  23 = log   2  23 3

5.

Tentukan himpunan dari pertidaksamaan pertidaksamaan log

6.

5

  4  4 ≤ log log 5  10 10

log 3x + 5 < 5log 35

7.

3

log (2x + 3) > 3log 15

8.

2

9.

2

log (6x + 2) < 2log (x + 27) log (5x –  14)  14) < 6

10. 4log (2x2 + 24) > 4log (x2 + 10x) 11.

x+1

log (2x –  3)  3) < x+1log (x + 5)

12.

2x-5

log (x2 + 5x) > 2x-5log (4x + 12)

13. 5log 3x + 5 < 5log 35 14. 3log (2x + 3) > 3log 15 15. 2log (6x + 2) < 2log (x + 27) 16. 2log (5x –  14)  14) < 6 17. 4log (2x2 + 24) > 4log (x2 + 10x) 18.

x+1

log (2x –  3)  3) < x+1log (x + 5)

19.

2x-5

log (x2 + 5x) > 2x-5log (4x + 12)

Jawaban:

1. (

∞, ∞, ∞ →  dengan : 4 log (3 –  x)  x) + 1 2

y =g(x) = 4 2log (3 –  x)  x) + 1 tukarkan x dan y x = 4 2log (3 –  x)  x) + 1 x –  1  1 = 4 2log (3 –  x)  x) + 1

 

  1 = log (3 –  y)  y) 2

2    1 1 = 3 –  y y

y=3 jadi

2.

 

2   1

− = 3  2    1

   = log 12     = 12    - 12 = 0   4−3) =0  = 4 atau x = 3 8

log

8

−  = -1 + −  = log  log +  −  =  + 

3. log

10x -10 = 3x + 18 7x = 28 x=4

4.

  2  23 = log   2  23    2 2  23 =   2   2 2  24 = 0 2

3

log

1

(x + 4)(x –  6)  6) Jadi hp nya adalah

{4,6}

  4 4 4  4 ≤ log 5 10  10 4 4  4 > 0 log    4   2  > 0  ∈ , ,  ≠ 2 2 5  10 > 0

5. log

x > -2

  4  4 ≤ log 5 10  10    4  4 ≤ 5 10 log

     6 ≤ 0   3   2 ≤ 0 2 ≤  ≤ 3   ℎ  {| |  2 <  ≤ 3}3} 6.

5

log 3x + 5 < 5log 35

Syarat nilai bilangan pada logaritma 3x + 5 > 0 atau x > -5/3 ..... (1) 3x + 5 < 35 3x < 30 x < 10 10 ....(2) Jadi dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian -5/3 < x < 10.

7.

3

log (2x + 3) > 3log 15

Syarat nilai bilangan pada logaritma 2x + 3 > 0 atau x > -3/2 ..... (1) Perbandingan nilai pada logaritma l ogaritma 2x + 3 > 15 2x > 12 x > 6 ....(2) Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian x > 6.

8.

2

log (6x + 2) < 2log (x + 27)

Syarat nilai bilangan pada logaritma: 6x + 2 > 0, maka x > -1/3 .... (1) x + 27 > 0, maka x > -27 ..... (2) Perbandingan nilai pada logaritma l ogaritma 6x + 2 < x + 27 6x –  x  x < 27 –  2  2 5x < 25 x < 5 ..... (3) Jadi, dari (1), (2),dan (3) diperoleh penyelesaian penyelesaian -1/3 < x < 5

9.

2

log (5x –  16)  16) < 6

Syarat nilai bilangan pada logaritma:

5x –  16  16 > 0, maka x > 16/5 .... (1) Perbandingan nilai pada logaritma l ogaritma 2

log (5x –  16)  16) < 2log 26

2

log (5x –  16)  16) < 2log 64 5x – 16 < 64 5x < 80 x < 16 . . . . (2)

Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian 16/5 < x < 16.

10. 4log (2x2 + 24) > 4log (x2 + 10x) Syarat nilai pada logaritma. 2x2 + 24 > 0 (definit positif). positif). Jadi, berlaku berlaku untuk setiap x . . . (1) x2 + 10x > 0, maka x < -10 atau x > 0 . . . . (2) Perbandingan nilai pada logaritma l ogaritma (2x2 + 24) > (x2 + 10x) 2x2 - x2 - 10x + 24 > 0 x2 - 10x + 24 > 0 (x –  4)(x  4)(x –  6)  6) > x < 4 atau x > 6 ....(3) Jadi, dari (1), (2), dan (3) diperoleh penyelesaian x < -10 atau x > 6.

11. .

x+1

log (2x –  3)  3) < x+1log (x + 5)

Syarat nilai pada bilangan x+1>0 Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0 -5

. . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma l ogaritma (2x –  3)   3) > (x + 5) 2x - x > 5 + 3 x> 8

...(4)

Dari pertidaksamaa pertidaksamaan n (1), (2), (3) dam (4), tidak ada irisan Penyelesaian: Untuk x+1>1 atau x > 0 . . . (1) Syarat nilai pada logaritma. 2x – 3 > 0, maka x>3/2

. . . (2)

x + 5 > 0, maka x > -5

. . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma (2x –  3)   3) < (x + 5) 2x - x < 5 + 3 x< 8

...(4)

Dari pertidaksamaan pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 3/2 0 Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0 0

. . . (2)

4x + 12 > 0, maka x > -3

. . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma (x2 + 5x) < (4x + 12) x2 + 5x - 4x - 12 < 0 x2 + x - 12 < 0 (x + 4)(x - 3) < 0 -4 < x < 3

. . . . . (4)

Dari pertidaksamaan pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 5/2 < x < 3. Untuk 2x-5 > 1 atau x > 3

. . . (1)

Syarat nilai pada logaritma. x2 + 5x > 0, maka x < -5 -5 atau x > 0

. . . (2)

4x - 12 > 0, maka x > 3

. . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma (x2 + 5x) > (4x + 12) x2 + 5x - 4x - 12 > 0 x2 + x - 12 > 0 (x + 4)(x - 3) > 0 x 3

. . . . . (4)

Dari pertidaksamaan pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu x > 3.

Jika, kedua penyelesaian digabungkan digabungkan maka diperoleh penyelesaian penyelesaian x > 5/2 dan x =/ 3.

13.

5

log 3x + 5 < 5log 35

Syarat nilai bilangan pada logaritma logaritma 3x + 5 > 0 atau x > -5/3 ..... (1) 3x + 5 < 35 3x < 30 x < 10 ....(2) Jadi dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian -5/3 < x < 10.

14.

3

log (2x + 3) > 3log 15

Syarat nilai bilangan pada logaritma logaritma 2x + 3 > 0 atau x > -3/2 ..... (1) Perbandingan nilai pada logaritma 2x + 3 > 15 2x > 12 x > 6 ....(2) Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian x > 6.

15. 2log (6x + 2) < 2log (x + 27) Syarat nilai bilangan pada logaritma: 6x + 2 > 0, maka x > -1/3 .... (1) x + 27 > 0, maka x > -27 ..... (2) Perbandingan nilai pada logaritma 6x + 2 < x + 27

 6x –  x  x < 27 –  2  2 5x < 25 x < 5 ..... (3) Jadi, dari (1), (2),dan (3) diperoleh penyelesaian penyelesaian -1/3 < x < 5

16. 2log (5x –  16)  16) < 6 Syarat nilai bilangan pada logaritma: 5x –  16  16 > 0, maka x > 16/ 5 .... (1) Perbandingan nilai pada logaritma 2

log (5x –  16)  16) < 2log 26

2

log (5x –  16)  16) < 2log 64 5x – 16 < 64 5x < 80 x < 16 . . . . (2)

Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian penyelesaian 16/5 < x < 16.

17. 4log (2x2 + 24) > 4log (x2 + 10x) Syarat nilai pada logaritma. 2x2 + 24 > 0 (definit (definit positif). Jadi, berlaku berlaku untuk setiap x . . . (1) x2 + 10x > 0, maka x < -10 atau x > 0 . . . . (2) Perbandingan nilai pada logaritma (2x2 + 24) > (x2 + 10x) 2x2 - x2 - 10x + 24 > 0 x2 - 10x + 24 > 0 (x –  4)(x  4)(x –  6)  6) > x < 4 atau x > 6 ....(3)

Jadi, dari (1), (2), dan (3) diperoleh penyelesaian x < -10 atau x > 6.

18.

x+1

log (2x –  3)  3) < x+1log (x + 5)

Syarat nilai pada bilangan x+1>0 Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0 -5

. . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma (2x –  3)   3) > (x + 5) 2x - x > 5 + 3 x> 8

...(4)

Dari pertidaksamaan pertidaksamaan (1), (2), (3) dam (4), tidak ada irisan penyelesaian.

Untuk x+1>1 atau x > 0 . . . (1) Syarat nilai pada logaritma. 2x – 3 > 0, maka x>3/2

. . . (2)

x + 5 > 0, maka x > -5

. . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma (2x –  3)   3) < (x + 5) 2x - x < 5 + 3 x< 8

...(4)

Dari pertidaksamaan pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 3/2 0 Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0 0

. . . (2)

4x + 12 > 0, maka x > -3

. . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma

(x2 + 5x) < (4x + 12) x2 + 5x - 4x - 12 < 0 x2 + x - 12 < 0 (x + 4)(x - 3) < 0 -4 < x < 3

. . . . . (4)

Dari pertidaksamaan pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian penyelesaian yaitu 5/2 < x < 3.

Untuk 2x-5 > 1 atau x > 3

. . . (1)

Syarat nilai pada logaritma. x2 + 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0

. . . (2)

4x - 12 > 0, maka x > 3

. . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma (x2 + 5x) > (4x + 12) x2 + 5x - 4x - 12 > 0 x2 + x - 12 > 0 (x + 4)(x - 3) > 0 x 3

. . . . (4)

Dari pertidaksamaan pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian penyelesaian yaitu x > 3. Jika, kedua  penyelesaian  penyelesaian digabungkan digabungkan maka diperoleh penyelesaian penyelesaian x > 5/2 dan x =3. =3.

Daftar Pustaka : H.F.S, Cecep Anwar. 2008. Matematika 2008. Matematika Aplikasi. Aplikasi. Jakarta:  Jakarta: PT. Mutiara Bangsa  Noormandiri, B.K dan Sucipto Endar, 2004. Matematika 2004.  Matematika SMA Untuk Kelas X . Jakarta: Erlangga Andi. 2003. Metode 2003. Metode Smart Smart Solution Matematika. Yogyakarta: Matematika. Yogyakarta: Primagama