1. Logicka kola i kombinacione mreze.pdf

1 Logička kola i kombinacione mreže

1.1 Logički nivoi i digitalni signali HIGH i LOW U računaru (ili, generalno, u bilo kom digitalnim sistemu) informacija se predstavlja u binarnom obliku. Jedan bit  informacije  informacije može da ima samo dve različite vrednosti, odnosno dva različita logička nivoa: nivoa: logičko 1, i logičko 0. U digitalnoj elektronici, logičkim nivoima odgovaraju dva naponska nivoa: visok (ili HIGH) i nizak (ili LOW). Veza između logičkih i naponskih nivoa se može uspostaviti na dva načina. U pozitivnoj U pozitivnoj logici , prisustvo visokog napona u nekoj tački predstavlja logičko 1, dok prisustvo niskog napona predstavlja logičko 0. U negativnoj logici , važi obrnuto, HIGH je 0, a LOW je 1. Ova  jednostavna konvencija omogućava da se iz domena Bulove algebre pređe u domen elektronike. Na ovaj način, omogućeno je da se prilikom projektovanja i analize digitalnih kola koristi aparat Bulove algebre i u najvećoj meri apstrahuje električna priroda gradivnih elemenata. Ipak, digitalna kola su elektronska kola i kao takva poseduju set električnih karakteristika, koje u krajnjoj instanci definišu ograničenja vezana za njihovu primenu. Vrednosti naponskih nivoa HIGH i LOW nisu univerzalne, već zavise od tipa digitalnog kola. Šta više, HIGH i LOW nisu samo dve diskretne vrednosti napona (npr.  za HIGH i  za LOW), već njima odgovaraju dva razdvojena naponska opsega (Sl. 1-1(a)). Konkretno, napon u opsegu od  do   se smatra niskim (LOW), a napon u opsegu od   do   smatra se visokim (HIGH). Pri tom važi  nedefinisanim  u smislu  . Napon u opsegu između   i   nije ni LOW ni HIGH, tj. smatra se nedefinisanim  logičkog nivoa i stoga ne bi trebalo da se dovodi na ulaze digitalnih kola. Napon iz nedefinisanog opsega ne može da ošteti digitalno kolo, ali budući da može biti tretiran od strane kola bilo kao  bilo kao , može da dovede do (logičke) greške u radu kola. Međutim, digitalno kolo može biti fizički oštećeno ako se neki njegov ulaz pobudi naponom koji je od manji   ili veći od maksimalno dopuštenog napona  , koji je tipično jednak naponu napajanja.

+5 



 



0



0    > 1

0



0

Imunost na šum Postojanje jasno razdvojenih i dovoljno širokih naponskih opsega LOW i HIGH je veoma bitno za otpornost digitalnih kola na šum. Šum je neželjena, sporadična i slučajna promena napona električnog signala, koja nastaje kako usled fizičkih pojava u samim elektronskim komponentama tako i pod uticajem elektromagnetnog zračenja iz okolnih elektronskih uređaja, mrežnog napajanja, atmosferskog pražnjenja itd. Za razliku od analognih elektronskih kola, koja ne mogu da naprave razliku između šuma i korisnog signala, digitalna elektronska kola poseduju izvesnu imunost  na   na šum. Ovo je ilustrovano na Sl. 1-1(b), koja pokazuje odziv invertora (logičko NE kolo) na ulazni signal

Digitalna elektronika

izobličen šumom. Sve dok je amplituda šuma mala, signala ostaje u oblasti HIGH i invertor reaguje kao da šuma nema. Međutim, ukoliko amplituda šuma postane dovoljno velika tako da nivo signala pređe u nedefinisanu oblast, invertor može interpretirati ovu fluktuaciju kao pomenu logičkog nivoa, što za posledicu ima pojavu kratkotrajnog impulsa na izlazu, odnosno pojavu logičke greške. Što su opsezi HIGH, LOW i nedefinisana oblast širi to je imunost digitalnog kola na šum veća. Međutim, proširenje naponskih opsega zahteva povećanje napon napajanja, što dovodi i do veće potrošnje energije, pa se stoga teži kompromisu.

(a)

(b) Sl. 1-1 (a) Naponski i logički nivoi (pozitivna logika); (b) imunost digitalnog kola na šum

Digitalni signali Digitalna elektronska kola se pobuđuju električnim signalima i generišu električne signale, kao uostalom i sva ostala elektronska kola, ali sa ograničenjem da napon signala na ulazu, izlazi i u bilo kojoj unutrašnjoj tački kola u bilo kom trenutku može biti samo HIGH ili LOW. Ovakvi signali se nazivaju digitalnim signalima. signalima. Digitalni signal se može razložiti na povorku impulsa, gde se pod impulsom smatra promena signala sa jednog na drugi, a onda, posle određenog vremena, nazad na polazni naponski nivo. Svaki impuls je omeđen dvema ivicama, pri čemu promena naponskog nivoa sa LOW na HIGH odgovara rastućoj , a prelaz sa HIGH na LOW opadajućoj   ivici. Na Sl. 1-2(a) je prikazan  pozitivan impuls, impuls, koji počinje rastućom ivicom, traje izvesno vreme i završava se opadajućom ivicom. Negativni impuls počine impuls počine opadajućom, a završava se rastućom ivicom (Sl. 1-2(b)). HIGH

Opadajuća ivica

Rastuća ivica

LOW

t0

t1

(a)

(b)

Sl. 1-2 Idealni impulsi: (a) pozitivan impuls; (b) negativan impuls

2

Digitalna elektronika

izobličen šumom. Sve dok je amplituda šuma mala, signala ostaje u oblasti HIGH i invertor reaguje kao da šuma nema. Međutim, ukoliko amplituda šuma postane dovoljno velika tako da nivo signala pređe u nedefinisanu oblast, invertor može interpretirati ovu fluktuaciju kao pomenu logičkog nivoa, što za posledicu ima pojavu kratkotrajnog impulsa na izlazu, odnosno pojavu logičke greške. Što su opsezi HIGH, LOW i nedefinisana oblast širi to je imunost digitalnog kola na šum veća. Međutim, proširenje naponskih opsega zahteva povećanje napon napajanja, što dovodi i do veće potrošnje energije, pa se stoga teži kompromisu.

(a)

(b) Sl. 1-1 (a) Naponski i logički nivoi (pozitivna logika); (b) imunost digitalnog kola na šum

Digitalni signali Digitalna elektronska kola se pobuđuju električnim signalima i generišu električne signale, kao uostalom i sva ostala elektronska kola, ali sa ograničenjem da napon signala na ulazu, izlazi i u bilo kojoj unutrašnjoj tački kola u bilo kom trenutku može biti samo HIGH ili LOW. Ovakvi signali se nazivaju digitalnim signalima. signalima. Digitalni signal se može razložiti na povorku impulsa, gde se pod impulsom smatra promena signala sa jednog na drugi, a onda, posle određenog vremena, nazad na polazni naponski nivo. Svaki impuls je omeđen dvema ivicama, pri čemu promena naponskog nivoa sa LOW na HIGH odgovara rastućoj , a prelaz sa HIGH na LOW opadajućoj   ivici. Na Sl. 1-2(a) je prikazan  pozitivan impuls, impuls, koji počinje rastućom ivicom, traje izvesno vreme i završava se opadajućom ivicom. Negativni impuls počine impuls počine opadajućom, a završava se rastućom ivicom (Sl. 1-2(b)). HIGH

Opadajuća ivica

Rastuća ivica

LOW

t0

t1

(a)

(b)

Sl. 1-2 Idealni impulsi: (a) pozitivan impuls; (b) negativan impuls

2

1. Logička kola i kombinacione mreže

Impulsi sa Sl. 1-2 su idealni zato što se promena nivoa dešava trenutno, tj. ivice ovih impulsa su strogo vertikalne. U stvarnosti, promena nivoa signala nikada nije trenutna, već uvek traje izvesno vreme. Takođe, promena naponskog nivoa je često praćena pojavom premašenja i prigušenih oscilacija, kao na Sl. 1-3. Sve ove pojave su posledica (parazitnih, tj. neželjenih) otpornosti, kapacitivnosti i induktivnosti prisutnih u samim digitalnim komponentama i na električnim vezama koje povezuju digitalne komponente.

Sl. 1-3 Karakteristike neidealnog (realnog) impulsa

Osnovni parametri realnih digitalnih impulsa su:

 10% 90%

Vreme uspona, uspona,   (engl. rise time), time), definiše se kao vreme koje je potrebno za promenu signala od  do  amplitude impulsa.



Vreme opadanja, opadanja,  (engl.  fall time), time), definiše se kao vreme potrebno za promenu signala od  do  amplitude impulsa.

90% 10%



Širina impulsa, impulsa,  , predstavlja meru trajanja impulsa i definiše se kao vreme između tačaka na  amplitude na rastućoj i opadajućoj ivici impulsa, kao što je naznačeno na Sl. 1-3.

50%

Digitalni signali mogu biti periodični i aperiodični. Periodični signal je onaj čiji se talasni oblik neprekidno ponavlja u vremenu. Interval ovog ponavljanja se zove  perioda signala  signala  i tipično se označava velikom slovom . Frekvencija periodičnog Frekvencija periodičnog signala jednaka je j e recipročnoj vrednosti periode,  i izražava se u hercima ( ). Aperiodični signal može biti razložen na impulse različite širine i sa različitim trajanjem vremenskih intervala između impulsa. Primeri obe vreste signala su prikazani na Sl. 1-4. Jedan bitan parametar periodičnog signala je  faktor ispune (eng. duty cycle), cycle), koji se



  = 1/



definiše kao količnik širine impulsa i periode izražen u procentima (Sl. 1-4(c)):

T

T

 =   100%

T

(a)

(b)

(c) Sl. 1-4 Primeri digitalnih signala: (a) periodični; (b) aperiodični; (c) periodični sa faktorom ispune 10%.

3

Digitalna elektronika

Taktni signal Digitalni sistem manipuliše binarnim informacijama koje su predstavljene talasnim oblikom digitalnih signala. Kada je digitalni signal na nivou HIGH, prisutno je binarno , kada je na nivou LOW, prisutna  je binarna . Svaki bit u sekvenci bitova sadržanih u digitalnom signalu zauzima jedan definisani vremenski period koji se zove bit-interval .

1

0

Kod većine digitalnih sistema, svi digitalni signali koji egzistiraju u sistemu sinhronizovani su sa jednim posebnim signalom koji se zove taktni signal , ili samo takt   (engl. clock ). ). Takt je periodični digitalni signal periode jednog bit-intervala. Drugim rečima, bit-interval je vremenski period između dve uzastopne rastuće (ili opadajuće) ivice taktnog signala. Taktni signal predstavlja vremensku referencu u okviru digitalnog sistema. Nivoi svih ostalih signala se mogu menjati samo u trenucima rastuće (ili opadajuće) ivice takta. Na Sl. 1-5 je prikazani taktni signal ( ) i još jedan signal ( ) koji je sinhronizovan sa taktnim signalom. Tokom svakog bit-intervala (kaže se i taktnog ciklusa), ciklusa), nivo signala  je konstantan, odnosno HIGH ili LOW. Ovi nivoi, zapravo, predstavljaju niz bitova, kao što je to naznačeno na Sl. 1-5. Grupa od nekoliko bitova može da prestavlja neku određenu binarnu informaciju, kao npr. broj ili slovo. Treba još jedanput naglasiti da taktni signal ne nosi nikakvu informaciju, već samo predstavlja globalnu vremensku referencu u odnosu na koju se formira, odnosno tumači informacioni sadržaj ostalih signala u datom digitalnom sistemu.



 

 

  

Sl. 1-5 Primer signala ( ) koji je sinhronizovan sa taktnim signalom (

)

Digitalni sistemi u kojima se taktni signal koristi na opisani način zovu se sinhroni (ili, taktovani ) digitalni sistemi . Osim sinhronih, postoje i asinhroni digitalni sistemi , koji ne poseduju taktni signal. Vremenski dijagram Vremenski dijagram je grafička reprezentacija uzajamnog odnosa dva ili više digitalnih signala. Uvidom u vremenski vremenski dijagram mogu se odrediti nivoi (HIGH ili LOW) svih signala u bilo kom vremenskom trenutku, kao i trenuci promene nivoa svakog signala relativno u odnosu na ostale signale. Sl. 1-6 je primer vremenskog dijagrama, koji prikazuje talasne oblike četiri digitalna signala. Iz ovog dijagrama se, na primer, može videti da su signali ,  i  istovremeno na nivou HIGH samo tokom sedmog taktnog ciklusa i da se na kraju ovog taktnog ciklusa svi oni, istovremeno, vraćaju nazad na nivo LOW. Na vremenskim dijagramima, vremenska osa se obično ne crta, ali se podrazumeva da vreme teče sleva udesno.

   

1

2

3

4

5

6

CLK A B C

Sl. 1-6 Primer vremenskog dijagrama

4

7

8

1. Logička kola i kombinacione mreže

Prenos podataka U digitalnoj elektronici, podatak, kao pojam, znači grupu bita koji zajedno predstavljaju neki tip informacije. U digitalnim sistemima često postoji potreba da se digitalni podaci prenose iz jednog u neki drugi deo sistema. Primera radi, numeričke vrednosti koje su u binarnom obliku zapamćene u memoriji računara moraju biti prenete u centralnu procesorsku jedinicu da bi se nad njima npr. obavilo sabiranje. Rezultat sabiranja se zatim može preneti monitoru radi prikaza ili se može vratiti nazad u memoriju. Kao što je to ilustrovano na Sl. 1-7, u digitalnim sistemima, binarni podaci se prenose na dva načina: serijski i paralelno. Serijski prenos podataka znači da se višebitni podatak prenosi iz jedne tačku u drugu bit po bit, preko  jedne prenosne linije. Ovaj način prenosa podataka je ilustrovan na Sl. 1-7(a). Tokom vremenskog intervala između trenutaka   i   prenosi se prvi bit, tokom intervala između   i   prenosi se drugi bit, itd. Za serijski prenos  bita potrebno je, naravno,  vremenskih intervala.

8

 

 

8

1 0 1 1 Predajna komponenta

0

Prijemna komponenta

0 1 0 t0 t1

(a)

(b)

Sl. 1-7 Prenos binarnih podataka: (a) serijski; (b) paralelni

Kada se binarni podatak prenosi u paralelnom obliku, tada se svi bitovi višebitnog podatka istovremeno prenose preko posebnih prenosnih linija. U ovakvom prenosnom sistemu postoji jedna linija za svaki bit, kao što se može videti na Sl. 1-7(b) na primeru 8-bitnog prenosa. Paralelni prenos 8bitnog podatka traje samo jedan vremenski interval, za razliku od 8 vremenskih intervala kod serijskog prenosa. Prednosti i mane serijskog i paralelnog prenosa podataka su očigledne. Serijski prenos zahteva samo  jednu prenosnu liniju, ali traje onoliko vremenskih intervala koliko ima bita u podatku koji se prenosi. S druge strane, za paralelni prenos je dovoljan samo jedan vremenski interval, ali zato je potrebno onoliko prenosnih linija koliko ima bita u podatku.

1.2 Kombinaciona i sekvencijalna digitalna kola Digitalno kolo se tipično predstavljaju u vidu „crne kutije“ sa određenim brojem ulazna i izlaza. Na primer, na Sl. 1-9(a) je prikazano digitalno kolo sa tri ulaza i jednim izlazom. Međutim, ova reprezentacija ne pokazuje šta kolo zapravo radi, odnosno kako reaguje na ulazne signale. Ako bi se na digitalno kolo gledalo kao na elektronsko kolo, što ono zapravo i jeste, onda bi njegova potpuna funkcionalna karakterizacija morala da sadrži obilje detalja, kao što je zavisnost izlaznog napona i 5

Digitalna elektronika

struje od napona na ulazima, impedansa ulaza i izlaza, zavisnost ulazne struje od napona na ulazu itd. Međutim, imajući u vidu da se ulazi digitalnog kola pobuđuju diskretnim vrednostima napona, LOW i HIGH, odnosno logičkim nivoima  i , i da kolo na svom izlazu generiše takođe diskretne vrednosti i , njegova „logička“ funkcija se može prestaviti u vidu tabele koja, uspostavljajući zavisnosti između logičkih nivoa na ulazu i logičkih nivoa na izlazu, u potpunosti ignoriše električni aspekt.

01

1

X

Digitalno kolo

Y Z

F

(a)

0

X 0 0 0 0 1 1 1 1

Y 0 0 1 1 0 0 1 1

Z 0 1 0 1 0 1 0 1

F 0 0 0 1 0 1 1 1

(b)

(c)

Sl. 1-8 (a) reprezentacija digitalnog kola u vidu „crne kutije“; (b) tabela istinitosti kombinacionog kola sa tri

ulaza i jednim izlazom

Digitalno kolo čiji ulazi zavise isključivo od trenutnih vrednosti ulaza se naziva kombinacionim kolom. Funkcionalno ponašanje kombinacionog kola se može u potpunosti predstaviti tabelom istinitosti , u kojoj je za svaku kombinaciju ulaznih vrednosti navedena odgovarajuća vrednost na izlazu. Tabela sa Sl. 1-9(b) je primer tabela istinitosti digitalnog kombinacionog kola sa tri ulaza ,  i , i jednim izlazom, .

   



Gradivni elementi kombinacionih kola su logička kola. To su digitalna kola koja obavljaju elementarne logičke operacija, poput I, ILI i NE. Povezivanjem logičkih kola u tzv. kombinacione mreže može se realizovati bilo koja logička funkcija. Na Sl. 1-9(c) je prikazana kombinaciona mreža digitalnog kola čija  je funkcija definisana tabelom istinitosti sa Sl. 1-9(b). Primeri kombinacionih kola su: sabirač (kolo koje obavlja funkciju aritmetičkog sabiranja dva binarna broja), multiplekser (kolo koje na jedinstveni izlaz prosleđuje vrednost sa izabranog ulaza), dekoder (kolo koje transformišu podatak kodiran  jednim kôdom u isti taj podatak, ali kodiran nekim drugim kôdom), itd. Digitalna kola čiji izlaz zavisi ne samo od trenutne pobude ulaza već i od toga kakvom pobudom se delovalo na ulaze u prošlosti, naziva se sekvencijalnim kolom. Ovakva digitalna kola su karakteristična po tome što osim logičkih kola sadrže i memorijske elemente, koji imaju sposobnost da sačuvaju binarnu informaciju, tako da ona može biti iskorišćena u budućnosti za određivanje izlaza zajedno sa ulazima koji će u tom trenutku biti aktuelni. Osnovni memorijski elementi u digitalnoj elektronici su  flip-flopovi . To su jednostavni sklopovi koji imaju sposobnost memorisanja jednog bita informacije. Pomoću flip-flopova se konstruišu memorijski elementi većeg kapaciteta, kao što su različite vrste registara. Tipično sekvencijalno kolo je brojač . Na ulaz brojača se deluje impulsima, a na njegovom izlazu je dostupna informacija o broju registrovanih impulsa od početka brojanja (Sl. 1-9(a)). Za opis funkcionalnog ponašanja sekvencijalnih kola koristi se tabela stanja ili dijagram stanja. Na Sl. 1-9(b)  je prikazan dijagram stanja 3-bitnog brojača. Svaki krug (čvor) u ovom dijagramu odgovara jednom stanju brojača. Strelice ukazuju na sledeća stanja. Ako krene iz stanja , posle tri impulsa brojač će biti u stanju . Na Sl. 1-9(c) je prikazan logički dijagram (tj. unutrašnja struktura) 3-bitnog brojača. Ovo digitalno kolo sadrži  flip-flopa i jedno logičko kolo. Uočavamo da je ulaz brojača označen kao  – takt je obavezan signal svih sekvencijalnih digitalnih kola.

011



000

3

6

1. Logička kola i kombinacione mreže

000

001

111

010

110

011 101

(a)

100

(b)

(c)

Sl. 1-9 Brojač: (a) simbolička predstava u vidu „crne kutije“; (b) funkcionalna predstava u vidu dijagram stanja;

(c) logički dijagram 3-bitnog brojača Propagaciono kašnjenje

Na Sl. 1-10(a) je prikazan vremenski dijagram koji pokazuje odnos između ulaznog i izlaznog signala logičkog NE kola. Ovo kolo invertuje ulazni signal tako da uvek kada je nivo ulaznog signala 0, nivo izlaznog signala je 1, i obrnuto. Na vremenskom dijagramu vidimo da se rastuća ivica ulaznog i opadajuća ivica izlaznog signala javljaju u istom trenutku. Isto važi i za opadajuću ivicu ulaznog i rastuću ivica izlaznog signala. Momentalna promena nivoa izlaznog signala kao posledica promene nivoa ulaznog signala odlika je idealnog NE kola. U praksi, uvek postoji (veoma malo) kašnjenje između promene na ulazu i odgovarajuće promene na izlazu NE kola. Ovo kašnjenje se zove  propagaciono kašnjenje i odlika je ne samo NE kola već svih logičkih i generalno digitalnih kola. Na Sl. 1-10(b) je prikazan vremenski dijagram realnog NE kola. Propagaciono kašnjenje ovog kola iznosi  . Propagaciona kašnjenja savremenih logičkih kola su reda nanosekundi (  ) i manje.

10  

(a)



(b)

Sl. 1-10 Propagaciono kašnjenje: (a) idealnog NE kola; (b) realnog NE kola

1.3 Elementarna logička kola Tehnike za formalnu analizu i projektovanje digitalnih kola i sistema imaju svoje korene u radovima engleskog matematičara Džordža Bula. Godine 1854., on je formulisao algebarski sistem, danas poznat kao Bulova algebra, za izražavanje fundamentalnih zakona rezonovanja u simboličkom jeziku matematičke logike. Bulova algebra manipuliše iskazima koji mogu biti tačni ili netačni i definiše pravila na osnovu kojih je moguće utvrditi tačnost složenijih iskaza dobijenih kombinovanjem polaznih iskaza. U savremenim primenama Bulove algebre, iskazi „tačno“ i „netačno“ zamenjeni su zbog jednostavnosti prikazivanja logičkom nulom i logičkom jedinicom, odnosno, cifarskim simbolima  i .

01

U Bulovoj algebri definisane su tri osnovne operacije nad logičkim promenljivama. To su I operacija (engl. AND), koja se označava znakom „·“, ILI operacija (engl. OR), koja se označava znakom „+“ i NE operacija (engl. NOT) ili komplementiranje, koja se označava crticom iznad simbola promenljive. I i ILI

7

Digitalna elektronika

operacije se izvode nad najmanje dve promenljive, dok je NE operacija unarna i izvodi se nad jednom promenljivom. Digitalna elektronska kola koja realizuju logičke operacije nazivaju se logičkim kolima. NE Logičko NE (NOT) kolo, ili invertor , realizuje logičku operaciju negacije, tj. operaciju invertovanja (ili komplementiranja) logičkog nivoa. Invertor menja jedan logički nivo u drugi (suprotni). Kada se govori o bitovima, invertor menja  u  i obrnuto,  u . U algebarskoj notaciji, negacija se označava crtom iznad promenljive. Ako ulaz invertora označimo slovom , a izlaz slovom , tada važi:

1 0

0 1





 =  Prethodni izraz se čita kao: „  je jednako NE “, ili „  je jednako komplement “ ili „  je invertovano “. Na Sl. 1-11(a) je prikazana tabela istinitosti NE operacije, a na Sl. 1-11(b) logički simbol invertora. Glavni deo ovog simbola je kružić. Kružić ćemo često viđati u logičkim dijagramima kako je pridružen nekom ulazu ili izlazu digitalnog kola. Bez obzira na kontekst, kružić uvek znači „NE“.

a x = a

0 1

1 0

(a)

(b)

Sl. 1-11 Logičko NE kolo (invertor): (a) tabela istinitosti; (b) logički simbol

I Logičko I (AND) kolo može imati dva ili više ulaza i jedan izlaz. Na Sl. 1-12(a) je data tabela istinitosti, a na Sl. 1-12(b) je prikazan logički simbol dvoulaznog I kola. Iz tabele istinitosti se vidi da je izlaz jednak  samo ako su oba ulaza . Ako su oba ulaza , ili je jedan ulaz  a drugi , izlaz je . U analitičkom obliku, logička I operacija se zapisuje na sledeći način:

1

1

0

0

1

0

 = ∙ "∙"

U prethodnom izrazu, znak  predstavlja logičku I operaciju, a ne operaciju množenja, kako smo to navikli. Međutim, I operacija primenjena na logičke promenljive  i  daje isti rezultat kao i množenje brojeva  i , što se lako može proveriti pregledom tabele istinitosti. Zbog toga, za logičku I operaciju se ponekada koristi termin logički proizvod . Izraz  se čita kao „  je jednako  i “, što znači da će biti jednako samo ako su i  i  jednaki . (Izraz nikada  ne treba čitati: „  je  jednako  puta “!). Znak  se često izostavlja, tako da izraz  znači isto što i .

01

01





1



a 0 0 1 1

b 0 1 0 1



"∙"

 = ∙  1  = ∙  = 

     = ∙

x=a∙b 0 0 0 1

(a)

(b)

Sl. 1-12 Logičko I kolo: (a) tabela istinitosti; (b) logički simbol

Tabela istinitosti i simbol troulaznog I kolo prikazani su na Sl. 1-13(a) i (b). Bez obzira na broj ulaza, važi pravilo: izlaz logičkog I kola je  samo ako su svi ulazi ; barem jedna  na ulazu daje  na izlazu.

1

1

8

0

0

1. Logička kola i kombinacione mreže

a 0 0 0 0 1 1 1 1

b 0 0 1 1 0 0 1 1

x=a∙b∙c

c 0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0 0 1

(a)

(b)

Sl. 1-13 Troulazno logičko I kolo: (a) tabela istinitosti; (b) logički simbol Primer 1-1. Nacrtati talasni oblik izlaznog signala dvoulaznog logičkog I kola za ulazne signale date na Sl. 1-14.

 logičkog I kola je 1 samo onda kada su istovremeno oba ulaza  i   jednaka 1, a to je u intervalima  −   i  −  . U ostalim intervalima bar jedan od ulaza je 0 što uzrokuje da je izlaz 0. Treba primetiti da je dovoljno da je bar jedan ulaza I kola stalno 0, pa da izlaz takođe stalno bude 0, bez obzira na eventualne promene drugog ulaza. Rešenje: Rešenje je prikazano na Sl. 1-14 u crvenoj boji. Izlaz

Sl. 1-14 Vremenski dijagram I kola za jednu specifičnu pobudu ulaza

Primer 1-2. Nacrtati talasni oblik izlaznog signala dvoulaznog logičkog I kola za ulazne signale date na Sl. 1-15.

 = 1   samo kada su istovremeno oba ulaza  =  = 1, dobija se do talasni oblik signala   koji je nacrtan u crvenoj boji na Sl. 1-15. Treba primetiti da ako je  = 1 izlaz  prati promene ulaza . U ovom slučaju ulaz   se može posmatrati i kao kontrolni ulaz koji dozvoljava (  = 1 ) ili zabranjuje ( = 0) prenos ulaznog signal  na izlaz  . Rešenje:  Koristeći činjenicu da je izlaz

a b a b

x

x

Sl. 1-15 Logičko I kolo kao „gejt“ za signal



ILI Logičko ILI (OR) kolo može imati dva ili više ulaza i jedan izlaz. Na Sl. 1-16(a) je data tabela istinitosti, a na Sl. 1-16(b) je prikazan logički simbol dvoulaznog ILI kola. Iz tabele istinitosti se vidi da je izlaz samo ako su oba ulaza . Ako su oba ulaza , ili je jedan ulaz  a drugi , izlaz je .

0

1

1

U analitičkom obliku, logička ILI operacija se zapisuje na sledeći način:

9

0

1

0

Digitalna elektronika

 = + "+"

U prethodnom izrazu, znak  predstavlja logičku ILI operaciju, a ne operaciju sabiranja, kako smo to navikli. Za logičku operaciju ILI se ponekada koristi termin logički zbir . Izraz  se čita kao „  je jednako  ILI “, što znači da će  biti jednako 1 ako su samo  ili samo  ili i  i  jednaki 1.



   a 0 0 1 1



b 0 1 0 1

 =  +  



x = a+ b 0 1 1 1

(a)

(b)

Sl. 1-16 Logičko ILI kolo: (a) tabela istinitosti; (b) logički simbol

1  =++

1

I kod višeulaznih ILI kola je dovoljno da bar jedan ulaza bude   kako bi rezultat bio . Recimo, troulazno ILI kolo, prikazano na Sl. 1-17, za koje važi , imaće na izlazu  ako je barem  jedna 1-ca na ulazu. a 0 0 0 0 1 1 1 1

b 0 0 1 1 0 0 1 1

c 0 1 0 1 0 1 0 1

1

x =a+b+c 0 1 1 1 1 1 1 1

(a)

(b)

Sl. 1-17 Troulazno logičko ILI kolo: (a) tabela istinitosti; (b) logički simbol Primer 1-3. Nacrtati talasni oblik signala na izlazu dvoulaznog logičkog ILI kola na osnovu talasnih oblika signala

na njegovim ulazima koji su dati na Sl. 1-18.

0 samo kada su istovremeno oba ulaza  =  = 0, a to je u intervalima  −   i   −  . U toku ostalih intervala bar jedan od ulaza je 1 što je dovoljno da i izlaz bude 1. Treba primetiti da je dovoljno da je bar jedan ulaza ILI kola stalno 1, pa da izlaz takođe stalno bude 1, bez obzira na eventualne promene drugog ulaza. Rešenje: Rešenje je prikazano takođe na Sl. 1-18, ali u crvenoj boji. Izlaz logičkog ILI kola je

Sl. 1-18 Vremenski dijagram ILI kola za jednu specifičnu pobudu ulaza

Primer 1-4 Problem: Nacrtati talasni oblik signala na izlazu logičkog ILI kola na osnovu talasnih oblika signala na njegovim

ulazima koji su dati na Sl. 1-19.

10

1. Logička kola i kombinacione mreže Rešenje: Talasni oblik signala na izlazu ILI kola prikazan je kao treći signal na vremenskom dijagramu sa slike Sl.

  =1

1 0

 

0

1-19(a). Treba obratiti pažnju na vremenski trenutak t 1, kada se ulaz  menja sa  na  dok se ulaz  menja sa na . Pošto je pre trenutka   ulaz , a posle trenutka   ulaz , logički nivo izlaza ostaje nepromenjen, tj. . Međutim, kod realnih kola, istovremena promena dva ili više ulaza može da dovede do pojave gliča 1 na izlazu, što je naznačeno vertikalnom linijom u trenutka   u talasnom obliku izlaznog signala  na Sl. 1-19(a). Razlog za ovu pojavu leži u činjenici da se realni signal nikada ne može trenutno promeniti sa  na  ili obrnuto, već svaka promena traje neko kratko vreme. Tokom ove promene, signal neizbežno prolazi kroz nedefinisanu oblast (opseg napona između LOW i HIGH). U konkretnom primeru, budući da se promene oba signala,  i dešavaju skoro istovremeno, postoji vremenski interval kada su oba ova signala u nedefinisanoj oblasti (niti su  niti su ), kao što je prikazano na Sl. 1-19(b). Tokom ovog kratkog prelaznog perioda, izlaz logičkog kola je neodređen. Pojavljivanje gliča kao i njegova amplituda odnosno širina zavise od vremena uspona i vremena opadanja ulaznih signala i brzine samog logičkog kola.

1  =1



 =1

 



0 1



0

1

(a)

(c)

Sl. 1-19 (a) Vremenski dijagram za ilustraciju pojave „gliča“ na izlazu ILI kola; (b) „zumirani“ glič u trenutku t 1

1.4 Logički izrazi i kombinacione mreže Logički izrazi Logički izrazi se formiraju primenom osnovnih logičkih operacija (NE, I i ILI) na jednu ili više promenljivih ili konstanti. Najjednostavniji logički izrazi sadrže samo jednu konstantu ili promenljivu, kao npr. , , . Složeniji izrazi se formiraju kombinovanjem dva ili više jednostavnijih izraza pomoću operatora I, ILI i NE. Ispod su, primera radi, data dva logička izraza:

0  ̅

 +  ( + ) +  Izrazi, po potrebi, sadrže zagrade, kojima se definiše jednoznačni redosled po kome se primenjuju operacije. Ako su zagrade izostavljene, primenjuje se pravilo prioriteta operacija, po kome najviši prioritet ima NE, zatim I, a onda ILI. Tako, u prvom od dva logička izraza iznad ovog pasusa, prvo se određuje , zatim , pa tek onda .





 + 

1

Glič  (glitch) je trenutna, kratkotrajna, sporadična i nagla promena napona. Na isti način se definiše i pojam pik  (engl. spike). Ova dva pojma se obično koriste kao sinonimi, s tim što se u digitalnoj elektronici ponekad pravi razlika u smislu da se pojam glič vezuje za kratkotrajnu promenu napona koji je inače na visokom nivou (kao na Sl. 1-19(a)), dok je pik kratkotrajna promena napona koji je inače na niskom nivou.

11

Digitalna elektronika

Za logički izraz koji je sačinjen isključivo od sabranih produktnih članova kaže se da je oblika zbir proizvoda, ili SOP (Sum of Products). Slično, logički izraz je oblika proizvod-suma, ili POS (Product of Sums) ako je sačinjen isključivo od pomnoženih zbirnih članova. Ispod su dati primeri SOP i POS izraza:

 +  +  POS: ( +  + )( + ) SOP:

Za logički izraz se kaže da je oblika nestandardne forme ukoliko ne može da se podvede pod SOP ili POS oblik, kao npr. .

( + ̅ ( +̅)) + 

Pod pojmom literal  podrazumeva se promenljiva ili komplement promenljive. Na primer, logički izraz  sadrži dve promenljive,  i , i četiri literala, , ,  i . Broj literala u nekom logičkom izrazu uvek je za jedan veći od broja I i ILI operatora. Ovo pravilo važi za sve logičke izraze, bez obzira na njihov oblik (SOP, POS ili nestandardna forma). Iz tog razloga broj literala se često koristi kao mera složenosti logičkog izraza.

 + 

   



Kombinacione mreže Svaki logički izraz se može realizovati u obliku kombinacione mreže, koja se formira povezivanjem logičkih kola na način kako to diktira logički izraz. Ukoliko se koriste samo NE, I i ILI, logička kola, takvu mrežu zovemo I-ILI kombinacionom mrežom. Na primer, za realizaciju kombinacione mreže na osnovu izraza , potrebno je samo jedno troulazno logičko I kolo. Za realizaciju kombinacione mreže na osnovu izraza , potrebno je jedno dvoulazno ILI kolo i jedan invertor na jednom od dva ulaza. Ovo jednostavno rezonovanje se lako može uopštiti na realizaciju kombinacionih mreža na osnovu logičkih izraza proizvoljne složenosti.

 =∙∙

 =  + 

Pretpostavimo da je potrebno konstruisati kombinacionu mrežu koje će realizovati logičku funkciju zadatu SOP izrazom . S obzirom da dati izraz predstavlja logički zbir tri logička proizvoda, jasno je da će nam biti potrebna tri I kola za tri logička proizvoda i jedno troulazno ILI kolo za logičko sumiranje logičkih proizvoda. Takođe, potrebna su i dva invertora za  i . Rezultujuća mreža je prikazana na Sl. 1-20.

 + ̅ + 

 ̅

Sl. 1-20 Kombinaciona mreža za logički izraz

+  + 

 + )( + ) 

Na Sl. 1-21 je prikazana kombinaciona mreža koje realizuje logički izraz ( . S obzirom da dati izraz predstavlja logički proizvod logičkih suma, potrebna su dva dvoulazna ILI kola (za logičke sume) i jedno dvoulazno I kolo (za logički proizvod). Potreban je i jedan invertor za .

12

1. Logička kola i kombinacione mreže

Sl. 1-21 Kombinaciona mreža za logički izraz

( + )( + )

Na Sl. 1-22 je prikazana kombinaciona mreža koja je realizovana na osnovu logičkog izraza u nestandardnoj formi . Konstrukcija ove kombinacione mreže prati prioritete operacija u samom logičkom izrazu. Prvo se realizuje izraz u malim zagradama , za koji nam je potrebno jedno dvoulazno ILI kolo. Sledi logički proizvod između (  i promenljive  korišćenjem  jednog dvoulaznog I kola. Nakon toga sve treba invertovati, a potom korišćenjem jednog dvoulaznog

 + ( + )

 + )

( + )

+





ILI kola doći do logičkog zbira izraza  i promenljive . Realizacija zadatog logičkog izraza završava se korišćenjem jednog 2-ulaznog I kola pomoću kojeg se realizuje logički proizvod izraza  i promenljive .

[ + ( + )]



Sl. 1-22 Kombinaciona mreža za logički izraz

 + )  + (

U suštini, logički izrazi i kombinacione mreže su dva načina predstavljanja logičkih funkcija. Logički izraz je algebarski, a kombinaciona mreža strukturni način reprezentacije. Ove dve reprezentacije su ekvivalentne, u smislu da se svaki logički izraz može konvertovati u tačno jednu kombinacionu mrežu i da svakoj kombinacionoj mreži odgovara tačno jedan logički izraz. Logički izrazi su pogodni za algebarske manipulacije. S druge strane, dijagram kombinacione mreže je osnova za fizičku realizaciju digitalnog kola budući da pokazuje koja logička kola su potrebna i kako iz treba povezati. Izvođenje logičkog izraza na osnovu kombinacione mreže je podjednako lako kao i konverzija logičkog izraza u kombinacionu mrežu. Nekoliko primera izvođenja logičkog izraza na osnovu poznate kombinacione mreže dato je na vežbama. Broj nivoa kombinacione mreže Osnovna osobina kombinacionih mreža jeste nepostojanje povratnih veza, tj. u kombinacionoj mreži signali se uvek prenose od ulaza ka izlazu, tako da se nikada ne dešava da neko logičko kolo svojim izlazom neposredno ili posredno utiče na svoj ulaz. Ova osobina direktno proističe iz osobine logičke funkcije, gde su promenljive strogo podeljene na jednu izlaznu promenljivu, koja se piše s leve strane znaka dodele i jednu ili više ulaznih promenljivih, koje se pišu s desne strane znaka dodele i povezuju logičkim operatorima I, ILI i NE. S obzirom da u kombinacionoj mreži ne postoje povratne veze, moguće je sva logička kola, koja čine datu mrežu, rasporediti u nivoe. Logička kola čiji su svi ulazi povezani na primarne ulaze kombinacione mreže (tj. pobuđuju se isključivo ulaznim promenljivama) čine novo . Logičko kolo

1

13

Digitalna elektronika



 >1

pripada nivou , gde je , ukoliko je barem jedan njegov ulaz povezan sa izlazom logičkog kola sa nivoa . Za ilustraciju videti Sl. 1-23.

−1

z = (a·b + c)·((d + e) + f·g) + h

a b

Nivo 1

f g

c d e

Nivo 2

Nivo 3 h Nivo 4 z Sl. 1-23 Određivanje nivoa kombinacione mreže

Kombinacione mreže realizovane na osnovu SOP izraza, poput mreže sa Sl. 1-20, uvek imaju samo dva nivoa. U prvom nivou su I kola koja realizuju produktne članove, a u drugom nivou ILI kolo koje sumira produktne članove iz prvog nivoa. Ovakve mreže se zovu dvonivovske I-ILI kombinacione mreže. Strogo govoreći, postoji i treći nivo, koji čine ulazni invertori, ali se ovaj nivo obično ne broji zbog toga što su ulazne promenljive, u mnogim slučajevima, dostupne ne samo u pravom već i u komplementarnom obliku. Analogno tome, logičkim izrazima POS oblika odgovaraju dvonivovske ILI-I kombinacione mreže, poput mreže sa Sl. 1-21. Prvi nivo sadrži onoliko ILI kola koliko u POS izrazu ima zbirnih članova, dok drugi nivo sadrži jedno I kolo za logičko množenje svih zbirnih članova. Za kombinacione mreže sa više od dva nivoa se koristi pojam višenivovska mreža. Takve mreže nastaju na osnovu logičkih izraza nestandardne forme. Propagaciono kašnjenje kombinacione mreže Kao i za logička kola, propagaciono kašnjenje kombinacione mreže se definiše kao vreme koje protekne od trenutka promene ulaza do trenutka odgovarajuće promene na izlazu. Da bi izvršila uticaj na izlaz kombinacione mreže, promena koja se desi na nekom od primarnih ulaza mora da se prenese kroz više nadovezanih logičkih kola od kojih svako unosi izvesno propagaciono kašnjenje. U zavisnosti od strukture kombinacione mreže i propagacionog kašnjenja pojedinačnih logičkih kola, promene koje potiču od nekih primarnih ulaza stižu brže do izlaza od promena koje potiču od nekih drugih ulaza. Za karakterizaciju propagacionog kašnjenja kombinacione mreže od interesa je maksimalno propagaciono kašnjenje od bilo kog primarnog ulaza do izlaza. Razmotrimo kombinacionu mrežu sa Sl. 1-24(a). Za svako logičko kolo u ovoj mreži navedeno je propagaciono kašnjenje. Tako, propagaciono kašnjenje invertora je , dvoulaznog I i ILI kola , i troulaznog I kola . Pošto se svaki primarni ulaz razgranava ka dva logička kola, u ovoj kombinacionoj mreži postoji ukupno  putanja od ulaza do izlaza. U tabeli sa Sl. 1-24(b), navedene su sve putanja. Za svaku putanju proračunato je propagaciono kašnjenje kao zbir propagacionih kašnjenja logičkih kola kroz koja putanja prolazi. Kao što se može videti, najduže kašnjenje postoji duž putanje koja povezuje ulaz  sa izlazom  preko logičkih kola označenih sa , ,  i , i iznosi .

1 

2.8 



2.4 

6

 

145 7 14

8.2 

1. Logička kola i kombinacione mreže

Putanja a–4–5–7–f a–2–6–7–f

Propagaciono kašnjenje 7.2 ns 6.2 ns

b – 1– 4 –5 –7 –f

8.2 ns

b–6–7–f c–5–7–f c–3–6–7–f

5.2 ns 4.8 ns 6.2 ns

(a)

(b)

Sl. 1-24 Primer određivanja propagacionog kašnjenja kombinacione mreže: (a) kombinaciona mreža; (b) tabela

putanja

Postoji korelacija između broja nivoa i propagacionog kašnjenja kombinacione mreže. Što je broj nivoa kombinacione mreže veći to će i njeno propagaciono kašnjenje biti veće. Ako kombinaciona mreža ima   nivoa, tada u mreži postoji bar jedna putanja koja prolazi kroz   logičkih kola. Ako pretpostavimo da sva logička kola imaju isto propagaciono kašnjenje, , propagaciono kašnjenje nivovske kombinacione mreže biće  .











1.5 Osnovni identiteti Bulove algebre T1a

∙0=0

T1b

 +1 = 1

T2a

∙1=

T2b

 +0 = 

T3a

∙ = 

T3b

 + = 

T4a

 ∙  = 0  = 

T4b

 +  = 1

T5

a

a

Sl. 1-25 Osnovni identiteti Bulove algebre (teoreme jedne promenljive)

U tabeli na Sl. 1-25 navedene su osnovni identiteti Bulove algebre. Svi ovi identiteti se odnose na

1 – 4

 jednu logičku promenljivu i osnovne logičke operacije: I, ILI i NE. Identiteti   su dati u parovima. U svakom paru, prvi identitet se odnosi na logičku I, a druga na logičku ILI operaciju. Za identitete iz istog para se kaže da su dualni , zato što se zamenom operacije I operacijom ILI, kao i zamenom konstante  konstantom  u prvom identitetu dobija drugi identitet u istom paru. U tabeli sa Sl. 1-25, svaki identitet je dat u algebarskom obliku i ilustrovan odgovarajućim logičkim dijagramom.

1

0

Identiteti Bulove algebre se mogu lako dokazati postupkom koji se zove savršena indukcija, a koji se svodi na proveru istinitosti tvrđena za sve moguće kombinacije vrednosti ulaznih promenljivih. Za svaki identitet iz tabele sa Sl. 1-25 postoje samo dve mogućnosti,  je  ili  je . Tako, za , identitet  postaje , a za  postaje . Oba ishoda su tačna imajući u vidu tabelu istinitosti logičkog I kola (Sl. 1-12). Treba naglasiti da identiteti važe i kada se promenljiva  zameni logičkim izrazom koji sadrži više promenljivih. Na primer, izraz  se svodi na , što je evidentno na osnovu  posle smene .

0

1 

0∙0 =0

 =1

4

1∙0 =0

 = 

15

 0  1 1−5

 =0

( )

Digitalna elektronika

1 −

Identiteti Bulove algebre su bitni prilikom pojednostavljenja logičkih izraza. U suštini, identiteti ilustruju slučajeve kada je logičko kolo, I ili ILI, praktično višak, jer se može zameniti bilo konstantom,  ili , bilo ulaznom promenljivom, . Na primer identitet   kaže da ako u nekom logičkom izrazu naiđemo na  treba ostaviti samo . Na taj način, gubi se jedan operator , pa time i izraz postaje jednostavniji. Ili, gledano na drugačiji način, ako u nekoj kombinacionoj mreži uočimo ILI kolo sa kratko-spojenim ulazima, to logičko kolo se može izbaciti iz mreže i zameniti prostom vezom između ulaza i izlaza. Identitet  je zakon dvojne negacije, koji dovodi do eliminacije dva redno povezana invertora.

4

0 1



+



3

+

5

Komutativnost, asocijativnost i distributivnost T6a T7a T8a

 ∙ =  ∙  () = () ( + ) =  + 

T6b T7b T8b

 +  =  +  + ( + ) = ( + )+   + = ( +)( + )

komutativnost

asocijativnost distributivnost

Sl. 1-26 Osnovni identiteti više promenljivih (komutativnost, asocijativnost i distributivnost)

Sledeća grupa Bulovih identiteta (Sl. 1-26) se odnosi na logičke izraze koji sadrže dve ili više promenljivih. Identitet  je zakon komutativnosti , koji kaže da redosled po kome se I (ILI) operacija primenjuje na ulazne promenljive nije bitan jer je rezultat isti. Ovo praktično znači da su ulazi dvoulaznog logičkog I (ILI) kola međusobno ravnopravni i da je svejedno kako će ulazne promenljive biti raspoređene po ulazima kola (Sl. 1-27).

6

Sl. 1-27 Zakon komutativnosti

7

Identitet  je zakon asocijativnosti , koji kaže da redosled po kome se primenjuju I (ILI) operacije u logičkom proizvodu (zbiru) tri ili više promenljivih nije od značaja. Zato se u logičkom proizvodu (zbiru) zagrade i ne pišu. Ovo pravilo važi bez obzira na broj promenljivih u logičkom proizvodu (zbiru). Na primer, strogo gledano, izraz   je neodređen jer nije jasno po kom redosledu treba primeniti I operaciju. Neke od mogućnosti su: ,  i . Shodno zakonu asocijativnosti, rezultat će biti isti bez obzira na redosled primene operatora I. Prevedno na domen logičkih kola, to znači da se logička I funkcija četiri promenljive može realizovati na bilo koji od načina sa Sl. 1-28.

∙∙∙

(()) (()) ()()

Sl. 1-28 Ilustracija zakona asocijativnosti

8

Identitet  je zakon distributivnosti  operacije I prema operaciji ILI. Ovo pravilo je analogno onom iz klasične algebre koje koristimo kada želimo da se oslobodimo zagrada, ili kada želimo da zajednički član izvučemo ispred zagrade. Teorema  je zakon distributivnosti operacije ILI prema operaciji I.

8

16

1. Logička kola i kombinacione mreže

Primetimo da ovo pravilo ne važi u klasičnoj algebri. Na Sl. 1-29 je data grafička interpretacija zakona distributivnosti.

(a)

(b)

Sl. 1-29 Zakon distributivnosti: (a) distributivnost I prema ILI; (b) distributivnost ILI prema I

1.6 NI, NILI, XOR i XNOR

2

Broj različitih logičkih funkcija  promenljivih iznosi  . To znači da su operacije I i ILI samo dve od   mogućih logičkih funkcija dve promenljive. Ne postoji tehnološki razlog zašto se bilo koja od preostalih   funkcija ne bi realizovala u obliku logičkog kola i koristila za konstrukciju složenijih kombinacionih mreža. Ipak, osim već predstavljenih I i ILI, praktični značaj imaju još samo sledeće četiri operacije: NI, NILI, isključivo ILI (XOR) i isključivo NILI (NXOR).



16

14

NI

0

1

0

1

Izlaz logičkog NI (NAND) kolo je  samo ako su svi ulazi . Ako je bar jedan ulaz , izlaz je . Tabela istinitosti i simbol dvolulaznog NI kolo su dati na Sl. 1-30(a) i (b). Treba primetiti da je simbol NI kola sličan simbolu I kola i da je jedina razlika kružić na izlazu. Ovim kružićem je naglašeno da je NI operacija suprotna I operaciji u smislu izlaznog nivoa: za svaku ulaznu kombinaciju za koju I daje , NI daje , i obrnuto. Zbog ove osobine, NI kolo se može predstaviti rednom vezom I kola i invertora, kao što je prikazano na Sl. 1-30(c). U analitičkom obliku, logička NI operacija se zapisuje na sledeći način:

0

1

 =  ∙  Kao i I, NI logičko kolo može imati više od dva ulaza. a 0 0 1 1

b 0 1 0 1

x = a ∙ b 1 1 1 0

(a)

(b)

(c)

Sl. 1-30 Logičko NI kolo: (a) tabela istinitosti; (b) logički simbol; (c) ekvivalentno kolo

NILI Tabela istinitosti i simbol dvoulaznog NILI (NOR) kola prikazani su na Sl. 1-31(a) i (b). Izlaz NILI kola je  samo ako su svi ulazi . Ako je bar jedan ulaz , izlaz je . Simbol NILI kola sličan je simbolu ILI kola, a jedina razlika je kružić na izlazu. Ovim kružićem je naglašeno da je NILI operacija suprotna ILI operaciji u smislu izlaznog nivoa: za svaku ulaznu kombinaciju za koju I daje , NILI daje , i obrnuto. Zbog ove osobine, NILI kolo se može predstaviti rednom vezom ILI kola i invertora, kao što je prikazano na Sl. 1-31(c). U analitičkom obliku, logička NILI operacija se zapisuje na sledeći način:

1

0

1

0

0

 =  +  Kao i ILI, NILI logičko kolo može imati više od dva ulaza. 17

1

Digitalna elektronika

a 0 0 1 1

b 0 1 0 1

x = a+ b 1 0 0 0

(a)

(b)

(c)

Sl. 1-31 Logičko NILI kolo: (a) tabela istinitosti; (b) logički simbol; (c) ekvivalentno kolo Primer 1-5 Za zadate talasne oblike ulaznih signala

logičkog Ni i NILI kola, prikazanih na Sl. 1-32(a).

,   nacrtati



talasne oblike izlaza  i  troulaznog

0

Rešenje: Kao i I, NI kolo može imati više od dva ulaza. Izlaz NI kola sa slike Sl. 1-32 je  samo ako su sva tri ulaza

1. Za 1 na izlazu dovoljna je samo jedna 0  na ulazu. U skladu sa tom činjenicom dolazi se do talasnog oblika izlaza  . Treba napomenuti da se do talasnog oblika izlaznog signala   može doći i tako što bi se prvo odredio talasni oblik za operaciju I, a onda invertovao. Izlaz troulaznog NILI kola je 1 samo ako su sva tri ulaza 0, dok je za bar jednu 1 na ulazima uvek 0. a b a b c

x

c x

y

y

Sl. 1-32 Vremenski dijagram za jednu specifičnu pobudu troulaznog NI i NILI kola

 XOR Tabela istinitosti logičkog kola „isključivo ILI“ prikazana je na Sl. 1-33(a), dok je na Sl. 1-33(b) prikazan logički simbol. Pregledom tabele istinitosti može se uočiti da se isključivo ILI kolo razlikuje od ILI kola po tome što daje  za slučaj . Imajući u vidu ovu razliku, rezultat isključivo ILI operacije je samo ako je tačno jedan ulaz . Moguća je i sledeća interpretacija: za različite vrednosti ulaza, isključivo ILI kolo daje , dok za iste ulaze daje . Uz to, ako se ulazi interpretiraju kao brojne vrednosti,  i , isključivo ILI operacija je identična aritmetičkoj funkciji „suma po modulu “, tj. .

0

1

01 ( + )mod2

a 0 0 1 1

b 0 1 0 1

==1 1

1

0

2

x = a⊕ b 0 1 1 0

(a)

(b)

Sl. 1-33 Logičko isključivo ILI (XOR) kolo: (a) tabela istinitosti; (b) logički simbol

U logičkim izrazima, XOR operacija se označava simbolom „

⊕“:

 = ⊕ Na osnovu tabele istinitosti sa Sl. 1-33(a) može se uočiti da važi:

 =  ⊕  =  +  18

=

1. Logička kola i kombinacione mreže

 XNOR Tabela istinitosti i logički simbol Isključivo NILI (XNOR) 2 kola prikazani su na Sl. 1-34(a) i (b). a 0 0 1 1

b 0 1 0 1

x = a⊕ b 1 0 0 1

(a)

(b)

Sl. 1-34 Logičko isključivo NILI (XNOR) kolo: (a) tabela istinitosti; (b) logički simbol; (c) ekvivalentno kolo

Kružić na izlazu naglašava da je operacija XNOR suprotna operaciji XOR u smislu izlaznog nivoa. Zbog ove osobine, XNOR kolo se može predstaviti rednom vezom XOR kola i invertora, kao što je prikazano na Sl. 1-34(c). U analitičkom obliku, logička isključivo NILI operacija se zapisuje na sledeći način:

 =  ⊕  Na osnovu tabele istinitosti sa Sl. 1-34(a) može se uočiti da važi:

 =  ⊕  =  +  S obzirom da za  =  , važi  = 1 , a za  ≠   važi  = 0 , XNOR kolo se naziva i logičko kolo ekvivalencije ili koincidencije, a u literaturi se analitički zapisuje i kao

 = ⊙ Logička XOR i XNOR kola postoje samo u varijanti sa dva ulaza.

 



Primer 1-6 Za zadate talasne oblike ulaznih signala ,  i  nacrtati talasne oblike izlaza  i  XOR i XNOR kola sa

Sl. 1-35.

1





1

Rešenje: Izlaz XOR kola ima vrednost  kada je samo  ili samo  jednako , tj. za različite logičke nivoe ulaza

.



0



i   Za jednake logičke nivoe na ulazu, izlaz  ima vrednost . S obzirom da je XNOR operacija suprotna XOR operaciji, za istu pobudu ulaza, izlaz XNOR kola biće invertovan u odnosu na izlaz XOR kola.

Sl. 1-35 Vremenski dijagram za jednu specifičnu pobudu XOR i XNOR kola

1.7 De Morganova teorema T9a

 +  =  ∙  

T9b

 ∙  =  + 

Sl. 1-36 De Morganova teorema 2

  Zbog bolje preglednosti, umesto pojmova “isključivo ILI ” i “isključivo NILI” u daljem tekstu biće korišćene skraćenice XOR i XNOR.

19

Digitalna elektronika

De Morganova teorema je verovatno najčešće korišćen identitet Bulove algebre. Kao i većina ostalih identiteta Bulove algebre, i de Morganova teorema dolazi u dva dualna oblika navedena u tabeli sa Sl. 1-36. De Morganova teorema kaže da je komplement logičkog zbira jednak logičkom proizvodu komplemenata promenljivih ( ), odnosno, da je komplement logičkog proizvoda jednak logičkom zbiru komplementiranih promenljivih ( ). Primenjeno na logička kola, to znači da je ILI kolo sa invertovanim ulazima, identično I kolu sa invertovanim izlazom, tj. NI kolu (Sl. 1-37(a)). Slično, logičko I kolo sa invertovanim ulazima identično je ILI kolu sa invertovanim izlazom, tj. NILI kolu (Sl. 1-37(b)). Često, kod crtanja logičkih dijagrama, invertor se zamenjuje kružićem koji se pridružuje ulazu ili izlazu logičkog kola, što nas dovodi do alternativnih simbola za NILI i NI logička kola (Sl. 1-37(c)).

9

9

(a)

(b)

≡

≡ (c)

Sl. 1-37 Interpretacija de Morganove teoreme: (a) NI kolo je ekvivalentno ILI kolu sa invertovanim ulazima; (b)

NILI kolo je ekvivalentno I kolu sa invertovanim ulazima; (c) alternativni simboli NI i NILI kola.

De Morganova teorema, kao i ostali identiteti Bulove algebre, važi i kada se promenljive  zamene složenijim izrazima. Na primer, primenimo de Morganovu teoremu na izraz

9

 i  u 9 i  + :

 +  =  ∙ ̅ Za prethodnu transformaciju iskorišćena je 9 uz smenu  →   i  → . Rezultujući izraz može dodatno da se pojednostavi ako se na  primeni 9:  ∙ ̅ = (̅ + )̅ Primetimo da je u dobijenom izrazu komplement primenjen samo na pojedinačne promenljive. Primenom zakona distributivnosti dolazimo do alternativnog izraza sa istom osobinom:

(̅ +)̅ = ̅ ̅ + ̅ De Morganova teorema sa može primeniti i na izraze sa tri i više promenljivih. Na primer, za slučaj logičkog zbira (proizvoda) de Morganova teorema dobija oblik:

 +  +  =  ∙  ∙ ̅  ∙  ∙  =  +  + ̅ ( + )( + ). Rešenje: Primenom 9 nakon uvođenja smene  → ( +  ) i  → ( + )  dobijamo: Primer 1-7 Primenom de Morganove teoreme komplementirati logički izraz

20

1. Logička kola i kombinacione mreže

( +)( + ) = (  + ) + ( + ) De Morganova teorema se ponovo može primeniti na oba člana dobijenog izraza:

( + ) + ( + ) = (  )̅ + ̅( ) U dobijenom izrazu još uvek postoje članovi,    i   , na koje se može primeniti de Morganova teorema: (  )̅+̅ (  ) = (̅ + )̅ + ̅ ( + ̅) Uočimo da su u rezultujućem izrazu komplementi primenjeni samo na pojedinačne promenljive. Iz tog razloga dalja primena de Morganove teoreme više nije moguća. Međutim, oslobađanjem od zagrada, izraz se može pojednostaviti na oblik .

̅ ̅ + ̅+ ̅

Primer 1-8 Transformisati kombinacionu mrežu sa Sl. 1-38 primenom de Morganove teoreme

Sl. 1-38 Kombinaciona mreža za ilustraciju transformacije NI u ILI logičko kolo Rešenje: Data kombinaciona mreža realizuje funkciju

na:

 , koja se primenom de Morganove teoreme svodi  = ̅

 =  +  +  Izvedenom izrazu odgovara kombinaciona mreža:

Uočimo da se polazna kombinaciona mreže može direktno konvertovati u rezultujuću mrežu primenom pravila za konverziju NI kola u ILI kolo, po kome je NI kolo ekvivalentno ILI kolu sa invertovanim ulazima. Ova konverzija dovodi do pojave invertora na ulazima  i  i gubitka invertora na ulazu :



a b c

x



a

≡

x

b c

a

≡

b c

x

1.8 Univerzalnost NI i NILI logičkih kola Logički izrazi se formiraju primenom tri osnovne logičke operacije, I, ILI i NE. To znači da se bilo koja logička funkcija može realizovati povezivanjem tri osnovna logička kola, I kola, ILI kola i invertora. Zbog toga se kaže da operacije (I, ILI, NE) čine univerzalni skup logičkih operacija. Međutim, ovaj skup univerzalnih operacija nije jedinstven, već postoje i druge kombinacije logičkih operacija koje poseduju osobinu univerzalnosti. Na primer, NI operacija, sama za sebe, predstavlja univerzalni skup logičkih operacija. Drugim rečima, korišćenjem samo  NI kola može se realizovati bilo koja logička funkcija. Ovo tvrđenje se lako dokazuje budući da se svaka od tri elementarne logičke operacije može izraziti preko NI operacije, kao što je to pokazano na Sl. 1-39.

21

Digitalna elektronika

Sl. 1-39 Pravila konverzije između logičkih NI kola i elementarnih logičkih kola

Pravila za konverziju između NI kola i elementarnih logičkih kola su jednostavna. Logičko NI kolo sa

 =  ∙  = . Imajući u vidu  =  ∙  =  ∙ , NI kolo sa invertovanim izlazom ekvivalentno je I kolu. Shodno de Morganovoj teoremi,  ∙  =  + , NI kolo sa invertovanim ulazima je isto što i ILI kolo. spojenim ulazima postaje invertor, s obzirom da važi

NILI operacija, sama za sebe, takođe predstavlja univerzalni skup logičkih operacija. Na Sl. 1-40 je prikazan skup pravila za konverziju između NILI kola i osnovnih logičkih kola.

Sl. 1-40 Pravila konverzije između logičkih NILI kola i osnovnih logičkih kola

Homogene kombinacione mreže Pošto se bilo koja elementarna logička operacija može izraziti pomoću NI operacije, bilo koja kombinaciona mreža se može konstruisati upotrebom samo NI kola. Isto važi i za logička NILI kola. Kombinaciona mreža koja sadrži samo NI (NILI) kola se zove homogena kombinaciona mreže, budući da sadrži samo logička kola istog tipa. Univerzalnost NI i NILI operacija omogućava da se svaka kombinaciona mreža koja sadrži I, ILI i NE kola konvertuje u homogenu kombinacionu mrežu NI, odnosno NILI kola. Postupak konverzije predstavljen je u sledećem primeru. Primer 1-9 Logički izraz

( + )( + )

realizovati u obliku I-ILI mreže, a zatim dobijenu kombinacionu

mrežu transformisati u homogenu mrežu: a) NI kola, b) NILI kola. Rešenje: Logičkom izrazu

( + )(̅ +  ) odgovara I-ILI kombinaciona mreža:

22

1. Logička kola i kombinacione mreže

a) Ako se pravila konverzije između logičkih NI kola i osnovnih logičkih kola (Sl. 1-39) primene na svako logičko kolo u prethodno dobijenoj kombinacionoj mreži, dobija se sledeća kombinaciona mreža:

Radi bolje preglednosti, nije izvršena konverzija invertora, već se podrazumeva da svaki invertor u transformisanoj mreži zapravo predstavlja dvoulazno NI kolo sa kratko-spojenim ulazima. Na osnovu teoreme  može se izvršiti eliminacija dva redno povezana invertora i tako doći do kombinacione mreže:

5

b) Za konverziju u homogenu kombinacionu mrežu NILI kola potrebno je primeniti pravila konverzije iz tabele sa Sl. 1-40. Tako se dolazi do sledeće kombinacione mreže:

I u ovom slučaju, radi bolje preglednosti, nije izvršena konverzija invertora. Eliminacijom parova redno povezanih invertora dolazi se do konačnog oblika homogene kombinacione mreže sa NILI kolima:

23

Digitalna elektronika

1.9  Algebarske manipulacije Koristeći identitet Bulove algebre moguće je nad logičkim izrazima vršiti razne algebarske manipulacije. Ovim manipulacijama može se izraz uprostiti ili doći do oblika kojim se postiže efikasnija implementacija u smislu upotrebe manjeg broja logičkih kola. Koliko će uspešna biti algebarska manipulacija logičkim izrazima zavisi od poznavanja identiteta Bulove algebre, od iskustva u njihovoj primeni kao i od domišljatosti samog projektanta. Pojednostavljenje logičkih izraza U tabeli sa Sl. 1-41 navedeno je još nekoliko zakona Bulove algebre koji su korisni prilikom pojednostavljenja logičkih izraza. T10a T11a T12a T13a

( + ) =   +  =   +  =  +   +  +  =  + 

T10b T11b T12b T13b

 +  =  ( + ) +  =  ( + ) =  ( + )( + )( + ) = ( + )( + )

apsorpcija sažimanje eliminacija konsenzus

Sl. 1-41 Teoreme uprošćavanja

10 ( +)  +    + ( + )( + )

Shodno zakonu apsorpcije , izraz (ili izraz ), koji je eventualno deo nekog složenijeg izraza, svodi se na . Kaže se da je promenljiva  apsorbovala promenljivu . Primenom zakona sažimanja, , izraz (ili izraz ) se svodi, takođe, na samo jednu promenljivu, . Nakon izvršenih apsorpcija i sažimanja, polazni izraz postaje jednostavniji, što znači da će za njegovu realizaciju biti potreban manji broj logičkih kola. Složenost logičkog izraza se može izraziti brojem I i ILI operatora koje sadrži. Primenom apsorpcije broj operatora u polaznom izrazu se smanjuje za 2, a primenom zakona sažimanja za 3 operatora. Sličan efekat se postiže primenom zakon eliminacije i konsenzusa,  i . Eliminacija smanjuje broj operatora za 1, a konsenzus za 2.



11



12 13

Naredni primer ilustruje postupak pojednostavljenja logičkog izraza:

 +( + ) + ( +) Primenom zakona distributivnosti, član ( + )  postaje  +  . Član ( + ) se primenom zakona apsorpcije ( 10). Dakle, polazni izlaz postaje:  + +  + Član  apsorbuje sve produktne članove koji sadrže promenljivu  (10):  + 24

svodi na



1. Logička kola i kombinacione mreže

Na Sl. 1-42(a) je prikazana realizacija polaznog logičkog izraza, dok je na Sl. 1-42(b) prikazana realizacija uprošćenog oblika istog izraza. Kao što se može primetiti, broj logičkih kola se znatno smanjuje kada se logički izraz uprosti. U osnovnom obliku potrebno je 5 logičkih kola dok su svega 2 logička kola dovoljna za realizaciju uprošćenog oblika.

a c b

ac+b

(a) (b) Sl. 1-42 Ilustracija efekta uprošćavanja logičkog izraza na složenost kombinacione mreže: (a) pre uprošćavanja; (b) posle uprošćavanja Primer 1-10 Primenom algebarskih manipulacija pojednostaviti kombinacionu mrežu sa Sl. 1-43.

Sl. 1-43 Rešenje: Prvo treba izvesti logički izraz koji realizuje data kombinaciona mreža. Zatim treba algebarskim

manipulacijama pojednostaviti izvedeni izraz i konačno, nacrtati kombinacionu mrežu na osnovu pojednostavljenog izraza. Kombinacionoj mreži sa Sl. 1-43 odgovara logički izraz:

+

 + ( +  + )

Izraz u zagradama se svodi na . To je zato što se deo ovog izraz sažimanja. Dakle, polazni izraz je sada u obliku: .

 + ( + )

 +  svodi na  nakon primene zakona

Nakon oslobađanja od zagrada (primena teoreme distributivnosti) dobijamo:

 +  +   +



Od dela izraza  ostaje samo  nakon primene zakona apsorpcije, dok se Na taj način dolazimo do pojednostavljenog oblika:

 redukuje na samo jedno .

=+ Za realizaciju ovog izraza dovoljno je samo jedno ILI kolo.

+

Do izlaza  se može doći u samo jednom koraku jer se deo polaznog izraza zakona apsorpcije ( ).

10

( +  + ) svodi na  zbog

Svođenje na SOP i POS oblik  Jedna tipična primena algebarskih manipulacija tiče se prevođenja logičkih izraza u SOP ili POS oblik. Prilikom ovih transformacija najčešće se koristi zakon distributivnosti. Na primer, neka je potrebno izraz iz nestandardnog prevesti u SOP oblik. Do SOP izraza dolazimo u jednom koraku, primenom zakona distributivnosti operacije I prema operaciji ILI na članove  i :

( + ) + 

 + + 25

( + ) 

Digitalna elektronika

Prevođenje istog izraza u POS oblik je zahtevnije, jer je potrebno više puta primeniti zakon distributivnosti operacije ILI prema operaciji I:

( + ) +  = (( + ) + )(( + ) + ) = ( +  + )( + )( + ) ( +  + )( +)( + ) Izvedeni SOP i POS izrazi su (funkcionalno) ekvivalentni s obzirom da su dobijeni transformacijom istog polaznog izraza. Uprkos tome, ove dve forme se značajno razlikuju po složenosti: SOP izraz sadrži , a POS čak  literala. Za neke druge primere, SOP forma bi mogla da bude složenija od POS forme, dok bi opet za neke primere ove dve forme mogle da budu približno iste složenosti – ne postoji univerzalno pravilo.

8

14

Primer 1-11 Logički izraz

  ̅ + ̅  +  prevesti u POS oblik.

Rešenje: Prilikom prevođenja u POS (ili SOP), osim primene zakona distributivnosti, potrebno je ispitati i

mogućnosti za eventualna pojednostavljenja. Tok transformacije je dat ispod. U prvom koraku, primenom zakona distributivnosti na prvi i treći član stvoreni su uslovi da se na izraz u formiranoj zagradi primeni zakon eliminacije, čime se izraz svodi na . U drugom koraku, primenjen je zakon distributivnosti operacije ILI prema I između izraza , koji se tretira kao jedna promenljiva i izraza , koji se tretira kao produktni član od dve promenljive. U trećem koraku, na izraz u levoj zagradi se primenjuje eliminacija, a na izraz u desnoj zagradi distributivnost ILI prema I između promenljive  i člana . U četvrtom koraku, zbirni član  se briše jer je identički jednak  budući da sadrži  i .

  ̅ + 

  ̅ + 

  ̅ + 

   ̅ +     ̅

  ̅ +  + 

  ̅ + ̅  +  = = = = = Primer 1-12 Logički izraz

̅ 

1   ̅ +  + ̅   ̅ +  + ̅  (  ̅ +  + ̅)(  ̅ +  + )   ̅ +  + ̅ ( + )  ̅ +  +    ̅ +  + ( + )

1 2 3 4 5

( +  + ̅ )( +  + )( +   ̅) prevesti u SOP oblik.

Rešenje: Direktan postupak bi bio da se logičkim množenjem oslobodimo zagrada, a onda među dobijenim

produktnim članovima tražimo mogućnosti za eventualna pojednostavljenja:

( +  + ̅)( + ̅ + )( +   ̅) = = = = = =

( +  + ̅+  + ̅ +  + ̅ + ̅̅+ ̅)( +   ̅) ( +  +  +  + ̅+  + ̅ + ̅ + ̅ )( +   ̅) ( +  +  +  + ̅+  + ̅ + ̅ + ̅ )( +   ̅) ( +  + ̅ )( +   ̅)  +   ̅ +  +   ̅ + ̅  + ̅   ̅  +   ̅ + ̅  + ̅   ̅

Brži postupak je da se prvo ispita mogućnost primene zakona distributivnosti operacije ILI prema operaciji I. Dakle, među zbirnim članovima polaznog izraza treba tražiti one koji imaju zajedničke delove koji bi mogli da igraju ulogu promenljive  u identitetu: . Tako nešto nalazimo u prva dva zbirna člana polaznog izraza, jer oba sadrže . Dakle, u prvom koraku, prvo smenom ,  i , a onda i primenom zakona distributivnosti, smanjujemo broj „zagrada“ sa tri na dve. U drugom koraku, preostaje da se logičkim množenjem oslobodimo zagrada. Treba uočiti da su iz konačnog SOP izraza izostavljeni produktni članovi koji nastaju logičkim množenjem  i  budući da je rezultat ovog množenja logička 0.



 + ̅

  +  = ( + )( + )

 ( +   ̅) ( +  + ̅)( + ̅ + )( +   ̅) = ( + ̅ + )( +   ̅) =  +   ̅ + ̅  + ̅   ̅ 26

 →  + ̅  →   → 

1. Logička kola i kombinacione mreže

Komplementiranje logičkih izraza Svaki logički izraz se može prevesti u komplementarni oblik uzastopnom primenom de Morganove teoreme. Kao što je već pomenuto, de Morganova teorema važi za proizvoljan broj promenljivih, kao što je to dato u tabeli sa Sl. 1-44 –  i .

14 14

T14a

 ∙  ∙ … ∙  =̅  + ̅  + ⋯+ ̅ 

 +  + ⋯ +  = ̅  ∙ ̅  ∙ …∙ ̅ 

T14b

Generalizovana de Morganova teorema

(,,… ,+,∙, )̅ = (̅ ,̅ ,…̅  ,∙,+, ̅)

T15

uopštenje de Morganove teoreme

Sl. 1-44 Generalizovana de Morganova teorema

14 14

 ,…,

Kao i za bilo koji identitet Bulove algebre, identiteti  i  važe i kada se promenljive   zamene složenijim izrazima proizvoljnog oblika. Ako se pod komplementom u  nalazi izraz POS oblika (tj. svako  u je jedan zbirni član), tada će rezultat komplementiranja biti suma komplementiranih zbirnih članova. Ako se na svaki zbirni član ponovo primeni de Morganova teorema, dolazimo do izraza u SOP obliku, čiji produktni članovi sadrže iste promenljive kao odgovarajući zbirni članovi u polaznom izrazi, ali u komplementarnom obliku. Na primer, neka je potrebno odrediti komplement POS izraza . Postupak je sledeći:

 14

14

( + + )(  ̅ + )( +̅ + ) ( + + )(  ̅ +)( + ̅ + ) = ( +  + )(  ̅ + )( + ̅ +  ) = ̅ + ̅ + ̅

Slično važi i za komplementiranje SOP izraza. Na primer, odredimo komplement SOP izraza :

 +   ̅

 +

 +  +   ̅ =  +   +    ̅ = ( + )̅+  ̅( +  + ) Dakle, umesto da dva puta uzastopno primenjujemo de Morganovu teoremu, komplement SOP izraza možemo izvesti tako što ćemo svaki njegov produktni član pretvoriti u jedan zbirni član sa komplementiranim promenljivama. Ili, drugim rečima, komplement POS (ili SOP) izraza se nalazi tako što se u polaznom izrazu komplementiraju sve promenljive, svaki operator „+“ zameni operatorom „“ i svaki operator „ “ zameni operatorom „+“. Interesantno je to da prethodno pravilo za komplementiranje važi ne samo za SOP i POS izraze već i za izraze proizvoljnog oblika. Ovo opšte pravilo je pokriveno generalizovanom de Morganovom teoremom ( ). U ovoj teoremi,  predstavlja proizvoljan logički izraz koji sadrži     promenljivih i operatore I, ILI i NE. Komplement takvog izraza jednak je izrazu identičnog oblika, ali sa komplementiranim promenljiva i zamenjenim operatorima I i ILI.



15

( , ,… ,+,∙, ̅)

Primer 1-13 Komplementirati logički izraz:

 +  + ( +   ̅).

Rešenje: Ovaj problem rešićemo na dva načina: prvo uzastopnom primenom de Morganove teoreme, a onda

primenom generalizovane de Morganove teoreme. Postupak komplementiranja uzastopnom promenom de Morganove teoreme se sastoji iz sledećih koraka:

27

Digitalna elektronika

 +  + ( +   ̅) = = =

  +   ̅)  ∙     ∙( ( + )( + ̅ )( +   +   ̅) ( + )( + ̅ )( + )

Do istog rezultata možemo doći primenom generalizovane de Morganove teoreme i to samo u jednom koraku:

 ∙  +  ∙  +  ∙ ( +   ̅) ( + ) ∙ ( + ̅) ∙ ( +  ∙ )

Primer 1-14 Komplementirati logički izraz:

 + ( + ) .

Rešenje: Uzastopnom primenom de Morganove teoreme dobijamo:

 + (̅+ ) =  ∙ (̅  + ) = ( + (̅ + ) ) = ( + ) Prilikom primene generalizovane de Morganove teoreme treba biti obazrivi ako su u polaznom izrazu izostavljene zagrade zbog primene konvencije o prethođenju operatora. Na primer, ako bi se na zadati izraz direktno primenila generalizovana de Morganova teorema, dobilo bi se pogrešan rezultat:

 + ∙(̅ + ) =  ∙  + (̅∙ ) =  ∙  + ̅ ∙  Greška nastaje zato što promena „+“ u „ “, i obrnuto, dovodi do promene prioriteta, odnosno podrazumevanog redosleda izvršenja operacija. Iz to razloga, polazni izraz treba proširiti zagradama pre primene generalizovane de Morganove teoreme:

 + ( ∙ (̅+  ))  ∙ ( +  ∙   ̅) Pojednostavljenje SOP i POS izraza Na primeru SOP izraza, razmotrićemo još jedanput algebarske postupke za pojednostavljenje logičkih izraza.

  +  = ) moguće je dva produktna člana u

Sažimanje članova. Primenom zakona sažimanja ( SOP izrazu svesti na jedan, kao u sledećem primeru:

̅  ̅ +   ̅ =   ̅ Dva produktna člana na koja se primenjuju zakon sažimanja moraju da sadrže iste promenljive od kojih se tačno jedna pojavljuje bez komplementa u jednom i sa komplementom u drugom članu. To  je slučaj sa promenljivom  u prethodnom primeru.

 S obzirom da važi  +  = , bilo koji produktni član u SOP izrazu se može umnožiti u više primeraka, a onda kombinovati sa dva ili više drugih produktnih članova radi sažimanja, kao u sledećem primeru:

 +  +  =  +  + +  =  28

1. Logička kola i kombinacione mreže

  +  = 

 Apsorbovanje članova. Radi primene zakona apsorpcije ( ), treba tražiti kraći član koji je u potpunosti sadržan u jednom ili više dužih članova, a onda eliminisati sve duže članove. Na primer, u izrazu:

 +  +  =  kraći član,  , je apsorbovao duže,  i , u kojima je u potpunosti sadržan. SOP izraz je mogao da sadrži i neke druge produktne članove koji sadrže član  . Svi oni bi bili apsorbovani članom   u

 jednom potezu.

  +  =  +  ̅

Eliminacija literala. Zakon eliminacije, , omogućava da se iz pojedinih produktnih članova odstrane redundantni literali. Ako u SOP izrazu postoji produktni član od samo jednog literala , tada se iz preostalih produktnih članova eliminiše   (tamo gde postoji). Radi primene teoreme eliminacije, često je potrebno faktorizovati deo SOP izraza, kao u sledećem primeru:



 + ̅  ̅ +  ̅  = = = = = =

( + ̅   ̅) +  ̅ ( + ̅   ̅) +  ̅  + ̅  ̅ +  ̅ ( +   ̅) +̅   ̅  +   ̅ +̅  ̅  +   ̅ +̅  ̅

Primena konsenzusa. Zakon o konsenzusu može biti veoma efikasan u uprošćavanju logičkih izraza. Međutim, uslovi za primenu ovog zakona se ujedno i najteže uočavaju. Shodno zakonu o konsenzusu, u izrazu oblika , član je redundantan i može se eliminisati. Kaže se da predstavlja konsenzus između  i . Dakle, konsenzus postoji između para produktnih članova takvih da se izvesna promenljiva u jednom članu pojavljuje sa komplementom, a u drugom bez komplementa. Konsenzus se formira logičkim množenjem polaznih produktnih članova uz izostavljanje izabrane promenljive i njenog komplementa. Na primer, konsenzus članova  i  je član .

  +  +      



 ̅

()(̅) =  ̅

 

̅



U sledećem SOP izrazu, član   je konsenzus članova  i . Takođe, član  je konsenzus članova  i . Ako postoje, konsenzusni članovi su redundantni i mogu se eliminisati iz logičkog izraza.

 ̅

  +  + ̅ +    +  =    +  + ̅   

U nekim slučajevima, korisno je logički izraz proširiti konsenzusnim članom ukoliko će to omogućiti primenu nekog drugog identiteta za uprošćavanje. Razmotrimo logički izraz:

 +  +  ̅ +̅   ̅ Između članova  i   ̅ postoji konsenzus u obliku   ̅ . Član   ̅  ne postoji u polaznom izrazu, ali zato postoji član ̅   ̅ koji sadrži   ̅. Ideja je dakle da se član   ̅  doda izrazu, a onda upotrebi za apsorpciju člana ̅   ̅. Nakon apsorpcije, iz izraza se izbacuje   ̅ budući da je ionako veštački dodat:  +  +  ̅ +̅   ̅  =  +  +  ̅ +   ̅ + ̅   ̅ 29

Digitalna elektronika

=  +  +  ̅ +   ̅ =  +  +  ̅ Na kraju, treba napomenuti da za uprošćavanje POS izraza važe ista pravila, ali uz primenu dualnih oblika korišćenih identiteta i zakona. Faktorizacija Faktorizacija je postupak kojim se logički izraz iz standardne forme (SOP ili POS) transformiše u nestandardnu formu. Faktorizacija logičkog izraza znači uvođenje zagrada primenom zakona distributivnosti. Na primer, izraz  se može transformisati u oblik  – kaže se da je izraz faktorizovan po promenljivoj . Sledeći niz algebarskih transformacija ilustruje postupak faktorizacije SOP izraza:



 + 

( + )

 +  + = ( + + ) = ( +( + )) U prvom koraku, izraz je faktorizovan po promenljivoj . Pošto je sadržana u sva tri pruduktna člana, promenljiva   se izvlači ispred zagrade u kojoj ostaju produktni članovi, ali sada bez . U drugom koraku, faktorizacija obuhvata drugi i treći produktni član u zagradi i obavlja po promenljivoj .

(a) (b) Sl. 1-45 Ilustracija efekta faktorizacije SOP izraza: (a) kombinaciona mreža na osnovu SOP izraza; (b) kombinaciona mreža nakon faktorizacije

Na Sl. 1-45 su prikazane kombinacione mreže koje realizuju polazni SOP izraz i faktorizovani izraz. Faktorizacija, generalno, smanjuje složenost logičkog izraza, mereno brojem literala. U konkretnom primeru, polazni SOP izraz sadrži , a faktorizovani samo  literala. Kao što vidimo, obe mreže sadrže po četiri I i ILI logička kola. Pri tom, u faktorizovanoj mreži, sva I i ILI logička kola su dvoulazna, dok u SOP mreži postoje tri troulazana i jedno dvoulazno logičko kolo. Broj ulaza je bitan faktor koji određuje složenost (cenu) logičkog kola. Imajući to u vidu, može se reći da je faktorizovana mreža  jednostavnija od SOP mreže.

8

5

Dobra strana SOP i POS kombinacionih mreža je malo propagaciono kašnjenje zbog samo dva nivoa logičkih kola. S druge strane, foktorizacija povećava broja nivoa kombinacione mreže. Za razliku od SOP izraza čiji produktni članovi mogu da se izračunaju istovremeno (u paraleli) tj. u prvom nivou dovnivovske I-ILI kombinacione mreže, a onda logički saberu, faktorizacija uvodi sekvencijalnost u proces izračunavanja logičkog izraza. U konkretnom primeru, prvo se izračunava , zatim se dobijeni rezultat logički množi sa , onda sabira sa  i konačno množi sa . Što je broj nivoa veći, to je i propagaciono kašnjenje kombinacione mreže veće. Dakle, cena koja se plaća za smanjenje složenosti faktorizacijom SOP izraza je povećanje propagacionog kašnjenja.





30



+

1. Logička kola i kombinacione mreže

1.10 Sinteza kombinacionih mreža Polazna tačka projektovanja kombinacionog, kao i bilo kog drugog tipa digitalnog, ili čak elektronskog kola ili sistema je  funkcionalna specifikacija. Specifikaciju možemo razumeti kao projektni zadatak, kojim se definiše funkcija kola/sistema koji treba projektovati. Funkcionalna specifikacija može biti dostupna u različitim oblicima, npr. u obliku neformalnog teksta kojim se opisuje šta kolo treba da radi, matematičke formule, relacionog izraza i sl. Na primer, u sledećem pasusu je data funkcionalna specifikacija jednog jednostavnog kombinacionog kola.

 

„Kombinaciono kolo ima tri ulaza i jedan izlaz, kao što je prikazano na Sl. 1-46(a). Ulazi ,  i predstavljaju bitove binarnog broja . Ulaz   odgovara bitu najveće, a ulaz  bitu najmanje težine. Izlaz kola treba da bude  ako  ako  , odnosno  .“

    = 1  ≥ 011

  < 011

  = 0

a 0 0 0 0 1 1 1 1 (a)

b 0 0 1 1 0 0 1 1

c 0 1 0 1 0 1 0 1

f 0 0 0 1 1 1 1 1

(b)

Sl. 1-46 Kombinaciono kolo i tabela istinitosti

U prvom koraku projektovanja, funkcionalna specifikacija se prevodi u logičku funkciju, koja će na formalni načina da predstavi zavisnost izlaza od ulaza. Logičku funkciju je najlakše predstaviti u obliku tabele istinitosti. Na Sl. 1-46(a) je prikazana tabela istinitosti koja definiše logičku funkciju  prema datoj specifikaciji.

 

Međutim, tabela istinitosti, samo po sebi, ne govori ništa o tome kako treba povezati logička kola u kombinacionu mrežu koja će realizovati datu funkciju. Iz tog razloga, sledeći korak u procesu projektovanja je izvođenje logičkog izraza na osnovu tabele istinitosti. To se radi tako što se u tabeli istinitosti uočavaju sve kombinacije ulaznih promenljivih za koje funkcija ima vrednost  i svaka takva kombinacija prevodi u jedna produktni član. Svaki od ovih produktnih članova sadržaće sve promenljive. Pri tome, promenljiva ulazi u produktni član bez komplementa ako u odgovarajućoj kombinaciji ima vrednost , odnosno ulazi sa komplementom, ako ima vrednost . Logičkim sabiranjem, na ovaj način formiranih produktnih članova, dobija se traženi logički izraz u SOP obliku. Logički izraz kombinacionog kola sa Sl. 1-46 je oblika:

1

1

0

  =  + ̅ +  + ̅ + 

1-1

 

Izvedeni logički izraz ima pet produktnih članova zato što u koloni za vrednost funkcije  u tabeli istinitosti postoji pet 1-ca. Produktni član je izveden na osnovu binarne kombinacije . Vrednost ovog produktnog člana biće  samo ako važi  i ; za sve ostale kombinacije vrednosti promenljivih ,  i , odnosno za bilo koju ulaznu kombinaciju osim , njegova vrednost će biti . Slično, produktni član  je  samo za ulaznu kombinaciju ,  je samo za , samo za  i konačno   ima vrednost 1 samo za ulaznu kombinaciju . Na ovaj način, svaki produktni član „pokriva“ tačno jednu 1-cu, a svi zajedno pokrivaju sve 1-ce funkcije . Za bilo koju

0

110

1   ̅ 1 



31

 =0  =  = 1 011 100  1 111

011

101  ̅

 

Digitalna elektronika

kombinaciju vrednosti promenljivih za koju ne postoji produktni član u izvedenom SOP izrazu, vrednost logičkog izraza, kao i vrednost funkcije, biće jednaka .

0

U sledećem koraku, izvedeni logički izraz treba pojednostaviti, ako je to moguće. U konkretnom slučaju, postupak uprošćavanja bi mogao da teče na sledeći način:

 + ̅ +  + ̅ +  = = = =

 + ( + ̅ ) + ( + ̅ )  +  +   +   + 

Na osnovu uprošćenog POS izraza sledi dvonivovska I-ILI kombinaciona mreža sa Sl. 1-47.

Sl. 1-47 I-ILI kombinaciona mreža kola sa Sl. 1-46

Iskusniji projektant bi u konkretnom slučaju pokušao da preskoči korak izvođenja polaznog SOP izraza, tako što bi probao da direktno na osnovu tabele istinitosti izvede što jednostavniji logički izraz. Ako pažljivije pogledamo tabelu istinitosti funkcije , lako možemo uočiti da uvek kada je , funkcija ima vrednost . Dakle, produktni član od samo jedne promenljive, , bio bi dovoljan da pokrije četiri 1-ce funkcije . Ostaje još jedna 1-ca, za ulaznu kombinaciju , koja se pokriva dodatnim produktnim članom . Dakle, . Primenom zakona eliminacije dobijamo .

1

 + 

 

 



  =  + 

 011

 =1

  = 0

Alternativa opisnom postupku je da se logički izraz umesto na osnovu 1-ca, izvodi na osnovu  u koloni za vrednost funkcije u tabeli istinitosti. Rezultat ovog postupka je logički izraz u POS obliku. Za svaku  u koloni za vrednost funkcije formira se jedan zbirni član. U svakom zbirnom članu učestvuju sve promenljive i to tako da promenljiva koja u odgovarajućoj binarnoj kombinaciji ima vrednost  u zbirni član ulazi bez, a promenljiva koja ima vrednost  ulazi sa komplementom. Funkcija  definisana tabelom istinitosti sa Sl. 1-46(b) ima vrednost  za tri kombinacije ulaznih promenljivih: ,  i . Binarnoj kombinaciji   odgovara zbirni član . Ovaj član imaće vrednost  samo ako važi . Za bilo koju drugu kombinaciju vrednosti promenljivih, njegova vrednost će biti . Slično, kombinacija   odgovara zbirni član . U ovom zbirnom članu samo je promenljiva  navedena sa komplementom. To je zato što u kombinaciji  samo  ima vrednost . Kada je  i , vrednost zbirnog člana  će biti . Konačno, ulazna kombinacija se pokriva zbirnim članom . Logičkim množenjem formiranih zbirnih članova dobijamo logički izraz funkcije  u POS obliku:

0

1 0 ( + +) ( + +̅ ) 001 ( + +̅ ) 0

0   000 001 0

010 000 ===0 1 001   1 ==0  =1 010 ( +  + )   1-2   = ( +  + )( +  + ̅ ) ( + + ) Izvedeni izraz ima vrednost 0  samo ako vrednosti promenljivih ,  i    čine jednu od kombinacija 000, 001 ili 010. Za sve ostale kombinacije njihovih vrednosti,  je 1 zato što su u tom slučaju vrednosti sva tri zbirna člana jednaka 1. Izvedeni POS izraza se može pojednostaviti na sledeći način: ( + +)( + +̅ ) ( +  + ) = ( + )( +  + ) =  +( + ) 32

1. Logička kola i kombinacione mreže

=  +  = ( + )( + ) Na osnovu uprošćenog POS izraza sledi dvonivovska I-ILI kombinaciona mreža sa Sl. 1-48.

Sl. 1-48 ILI-I kombinaciona mreža kola sa Sl. 1-46

U narednim sekcijama, opisani postupak sinteze kombinacionih mreža je formalizovan i uopšten. 1.10.1 Logičke funkcije



 (, , ..., ), se definiše kao preslikavanje:  : {0,1}  → {0,1} Elementi skupa {0,1}  su uređene -torke: ( ,  , ...,  ), gde su  , = 1, promenljive u skupu {0,1}. Ove uređene -torke nazivamo vektorima ili slogovima. Njih ima ukupno 2, a funkcija  svakoj -torki pridružuje 0 ili 1. Logička funkcija   se može zadati u obliku tabele istinitosti, čiji je opšti oblik prikazan na Sl. 1-49. Logička funkcija  promenljivih,

Svaki slog (druga kolona) u tabeli istinitosti se može interpretirati kao binarni broj. Kada se ovaj binarni broj konvertuje u decimalni broj dobijamo decimalni indeks konkretnog sloga (prva kolona). Uobičajeno je da se u tabeli istinitosti slogovi navode u prirodnom redosledu, tj. u rastućem redosledu njihovih decimalnih indeksa. Tabela istinitosti logičke funkcije se može u potpunosti odrediti zadavanjem skupa decimalnih indeksa slogova na kojima funkcija ima vrednost  ili . Te skupove označavaćemo redom sa () i ().

 

1 0

   

Decimalni indeks 0 1 2 . . .

2 − 2 2  − 1

 

…

0 0 0

… … …

0 0 0

. . . 1 1

1 1

… …

   ( , , ..., ) 0 0  (0, 0,…,0,0) 0 1  (0, 0,…,0,1) 1 0  (0, 0,…,1,0) . . .

1 1

0 1

 (1, 1,…,1,0)  (1, 1,…,1,1)

Sl. 1-49 Opšti oblik tabele istinitosti

Vrednosti logičke funkcije na slogovima formiraju vektor istinitosti ,  . Vektor istinitosti je niz od  binarnih vrednosti, pri čemu svaka konkretna kombinacija ovih vrednosti potpuno definiše jednu

 





logičku funkciju. Odatle sledi da broj različitih logičkih funkcija  promenljivih iznosi



Primer 1-15 Za logičku funkciju  zadatu tabelom istinitosti

Decimalni

    (,, ) 33

2

2 .

Digitalna elektronika

indeks 0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

1 0 0 1 1 1 0 1

odrediti: (a) skupove decimalnih indeksa (b) vektor istinitosti

 .

  ()  i  ()

Rešenje:

 ()  = (1,2,6) i  ()  = (0,3,4,5,7) Vektor istinitosti   = (1,0,0,1,1,1,0,1)

(a) Traženi decimalni indeksi su (b)

   i  zadatih:

Primer 1-16 Odrediti tabele istinitosti funkcija 3 promenljive ,

 (,,) =  + ̅ , (b) skupom decimalnih indeksa ()  = (1,3,4,6), (c) skupom decimalnih indeksa ℎ()  = (0,1,5). Rešenje: Funkcija   ima vrednost 1 na svim slogovima gde je  = 1  ili  =  = 0 . Na slogovima koji ne zadovoljavaju ovaj uslov, vrednost funkcije    je 0. Funkcija  ima vrednost 1 na svim slogovima čiji su decimalni indeksni navedeni u skupu () dok na preostalim slogovima ima vrednost 0. Skup ℎ() sadrži decimalne indekse slogova na kojima funkcija ℎ ima vrednost 0; na preostalim slogovima, funkcija ℎ ima vrednost 1. (a) algebarskim izrazom

0 1 2 3 4 5 6 7

x

y

z

f(x, y, z)

g(x, y, z)

h(x, y, z)

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

1 0 0 0 1 1 1 1

0 1 0 1 1 0 1 0

0 0 1 1 1 0 1 1

1.10.2 Mintermi i kanonički SOP

Svaki produktni član u logičkom izrazu 1-1 se zove minterm, ili potpuni proizvod . U opštem slučaju, minterm od   promenljivih je produktni član od   literala u kome se svaka promenljiva pojavljuje tačno jedanput, bilo u pravom bilo u komplementarnom obliku. U tabeli sa Sl. 1-50 su navedeni svi mintermi od tri promenljive. Minterm ima vrednost samo za jednu kombinaciju vrednosti promenljivih i to onu u kojoj sve promenljive koje se u mintermu pojavljuju bez komplementa imaju vrednost , a sve one koje se u mintermu pojavljaju sa komplementom imaju vrednost . Mintermi se često zapisuju u skraćenom obliku, kao  , gde je  decimalni indeks odgovarajućeg sloga u tabeli istinitosti. Na primer,     je  ,     je  itd. Pošto u tabeli istinitosti postoji   slogova, broj različitih minterma od  promenljivih je, takođe,  .





1

1



̅ ̅ ̅  ̅ ̅    2

34



0

2

1. Logička kola i kombinacione mreže

   0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

Minterm

m = xxx m = xxx m = xx x m = xx x m = xxx m = xxx m = xx x m = xx x

0 1 0 1 0 1 0 1

Maksterm

M  = x + x + x M = x + x + x M  = x + x + x M  = x + x + x M  = x + x + x M  = x + x + x M  = x + x + x M  = x + x + x

Sl. 1-50 Mintermi i makstermi od tri promenljive

Bilo koja logička funkcija  promenljivih se može predstaviti u obliku zbira svih   minterma, u kome  je svaki minterm pomnožen vrednošću funkcije na odgovarajućem slogu. Na primer, za funkciju definisanu tabelom istinitosti sa Sl. 1-46(b), to izgleda ovako:



2

 (, , ) = 0 ∙  + 0 ∙  + 0 ∙  + 1 ∙  + 1 ∙  + 1 ∙  + 1 ∙  + 1 ∙  Odnosno, nakon eliminacije 0-članova i brisanja konstanti 1:  (, ,) =  +  +  +  + 

1-3

Za logički SOP izraz koji je izveden neposredno na osnovu tabele istinitosti (tj. onaj u kome je svaki produktni član minterm), kaže se da je oblika kanoničkog zbira proizvoda (kanonički SOP). Reč „kanonički“ znači jedinstven, što sugeriše na to da za bilo koju logičku funkciju postoji samo jedan kanonički SOP izraz. U nekim slučajevima je moguće na dobijeni kanonički izraz primeniti algebarske manipulacije i tako doći do jednostavnijeg izraza SOP oblika. Kanonički SOP izraz 1-3 se može napisati u decimalnoj notaciji:

 (, , ) =  (3,4,5,6,7) Simbol za sumiranje označava ILI operaciju nad mintermima čiji su indeksi navedeni u zagradama. Promenljive koje su navedene u zagradama nakon predstavljaju promenljive koje se u istom redosledu javljaju u mintermima kada su oni napisani u obliku produktnih članova. Uočimo da je skup navedenih indeksa identičan skupu decimalnih indeksa (). Dakle, važi:

 

   (,,) = ( ())

Nije teško uočiti da važi:

   ̅(,,) = ( ()) Odnosno, zbir minterma za slogove na kojima funkcija   ima vrednost 0, predstavlja izraz kanoničkog SOP oblika za funkciju   ̅. 1.10.3 Makstermi i kanonički POS

Svaki zbirni član u logičkom izrazu 1-2 se zove maksterm, ili potpuni zbir . U opštem slučaju, maksterm od  promenljivih je zbirni član od  literala u kome se svaka promenljiva pojavljuje tačno jedanput, bilo u pravom bilo u komplementarnom obliku. U tabeli sa Sl. 1-50 su navedeni svi makstermi od tri promenljive. Maksterm ima vrednost  samo za jednu kombinaciju vrednosti promenljivih i to onu





0

35

Digitalna elektronika

0

kod koje sve promenljive koje u makstermu učestvuju bez komplementa imaju vrednost , a sve one koje u makstermu učestvuju sa komplementom imaju vrednost . Makstermi se takođe zapisuju u skraćenom obliku, kao  , gde je decimalni indeks odgovarajućeg sloga u tabeli istinitosti. Na primer,     je ,     je itd.

1

  (  +   +  )  (  +   + ̅ ) 

Bilo koja logička funkcija se može predstaviti u obliku proizvoda maksterma, odnosno u obliku kanoničkog POS izraza. Ako funkcija  ima vrednost  na slogu  u tabeli istinitosti, tada   mora biti prisutan u kanoničkom POS izrazu funkcije , zato što je    jedini od svih   maksterma koji ima vrednost  na ovom slogu. U kanoničkom POS izrazu, makstermi su logički pomnoženi, tako da ako za neku kombinaciju vrednosti promenljivih jedan od njih ima vrednost , tada i celokupan izraz ima vrednost . S obzirom da su makstermi i  u tabeli istinitosti u odnosu jedan-prema-jedan, za svaku logičku funkciju postoji samo jedan kanonički POS. Izraz 1-2 je primer kanoničkog POS izraza funkcije tri promenljive. Ovaj izraz se može napisati u obliku:

 

0 0

0

 





2



0

0

 (, , ) =  Korišćenjem decimalne notacije, kanonički POS izraz funkcije  se predstavlja na sledeći način:  (,,) = (0,2,3,7)

1-4

 označava operaciju logičkog proizvoda. Skup navedenih indeksa identičan je skupu decimalnih indeksa  (). Dakle, važi: gde simbol

 (,,) = ( ()) Nije teško zaključiti da će izraz za komplement funkcije  , oblika kanoničkog POS-a, sadržati sve preostale maksterme, tj. one koji se ne pojavljuju u izrazu za funkciju  :    ̅(,,) = (1,4,5,6) Odnosno,

   ̅(,,) = ( ()) Primer 1-17 Popuniti tabelu istinitosti logičke funkcije

 (,,,) =   +  + 

Rešenje: Postavljeni zadatak može se rešiti na poznati način: direktnim popunjavanjem tabele istinitosti

izračunatim vrednostima funkcije za sve moguće kombinacije vrednosti promenljivih. Međutim, s obzirom da funkcija ima 4 promenljive, broj binarnih kombinacija za koje bismo morali da računamo vrednost funkcije iznosi , što može biti dugotrajan posao. Zato ćemo do rešenja doći na drugačiji način: polazni izraz koji je SOP oblika proširićemo na oblik kanoničkog SOP-a, a zatim ćemo na osnovu dobijenih minterma odrediti decimalne indekse slogova na kojima funkcija ima vrednost .

16

1

 

Dati izraz za funkciju   sastoji se iz tri produktna člana, od kojih je samo treći minterm. Prvom produktnom članu nedostaje jedna promenljiva,  , a drugom dve,   i  , da bi i oni bili mintermi. Znači, da bismo dobili izraz u kanoničkom obliku potrebno je prvi produktni član pomnožiti sa   , a drugi sa    :



 

̅ )

(  + ̅ )

 (, ,, ) = ( + ̅  )̅  + ( + ̅ )̅  ( + ̅  ) + ̅ ̅   36

(  + ̅ )(  +

1. Logička kola i kombinacione mreže nakon obavljenih množenja dobijamo:

 ( ,,,) =   ̅  +  ̅ ̅  +  ̅   + ̅ ̅   + ̅  ̅  + ̅ ̅  ̅  + ̅  ̅  nakon sažimanja identičnih produktnih članova, dobijamo:

 ( ,,,) =  ̅  +  ̅ ̅  + ̅   + ̅ ̅   + ̅  ̅  + ̅  ̅ ̅  =  +  +  +  +  +  Dakle, funkciju  možemo predstaviti u obliku:   ()  = (2,3,9,10,11,13) Tabela istinitosti za funkciju četiri promenljive ima 16  vrsta. Dobijeni skup decimalnih indeksa   () ukazuje u koje vrste tabele istinitosti treba upisati 1.    

Primer 1-18 Odrediti kanoničke SOP i POS izraze za funkcije  i  na osnovu tabele istinitosti:

Decimalni indeks 0 1 2 3 4 5 6 7

    (,, ) 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 1 1 0 1 1 1

Rešenje:  Na osnovu tabele istinitosti, sve decimalne indekse možemo grupisati u dva skupa:

  ()  =

(2,3,5,6,7) i  () = (0,1,4). Prvi skup odgovara slogovima na kojima funkcija  ima vrednost 1, a drugi slogovima na kojima funkcija  ima vrednost 0. Kanonički SOP izraz funkcije  sadrži sve minterme iz skupa   () :  ( ,,) = (2,3,5,6,7) = ̅   ̅  + ̅  + ̅   +  ̅  +  Kanonički SOP izraz funkcije   ̅ sadrži sve minterme iz skupa  () :    ̅( , ,) =  (0,1,4) = ̅  ̅ ̅  + ̅  ̅   +  ̅  ̅    sadrži sve maksterme iz skupa  () :  ( ,,) =  (0,1,4) =( +  + )( +  + ̅  )(̅ +  +  ) Kanonički POS funkcije   ̅ sadrži sve maksterme iz skupa  () :    ̅( , ,) =  (2,3,5,6,7) = ( + ̅  + )( + ̅  + ̅ )(̅ +  + ̅ )( + ̅  +  )(̅ + ̅  + ̅  ) Kanonički POS funkcije

1.10.4 Karnoove mape

Karnoova mapa predstavlja grafičku metodu za pojednostavljenje logičkih izraza. Primenom ove metode moguće je izvesti najjednostavniji (tj. minimalni) logički izraz oblika SOP ili POS date logičke 37

Digitalna elektronika

funkcije. Zato se pri korišćenju Karnoovih mapa umesto pojma pojednostavljenje, koristi pojam minimizacija logičkih funkcija. Karnoova mapa je slična tabeli istinitosti jer sadrži vrednosti funkcije za sve kombinacije ulaznih promenljivih. Za razliku od tabele istinitosti, koja je organizovana po vrstama i kolonama, Karnoova mapa je organizovana u vidu dvodimenzionalnog polja ćelija, gde svaka ćelija odgovara jednom slogu tabele istinitosti. Zahvaljujući specifičnom rasporedu ćelija u Karnoovoj mapi, minimizacija logičke funkcije se svodi na pravilno grupisanje odgovarajućih ćelija. Broj ćelija u Karnoovoj mapi jednak je broju vrsta tabele istinitosti logičke funkcije. Za funkciju  promenljive broj ćelija je  , dok je za funkciju   promenljive broj ćelija  . U opštem slučaju, Karnoova  mapa za funkciju promenljivih sadrži ćelija. Karnoove mape se najčešće koriste za „ručnu“ minimizaciju logičkih funkcija  ili  promenljive. Minimizacija funkcija dve promenljive je trivijalna, dok za  i više promenljivih, ovaj metoda prerasta u dugotrajan postupak podložan lakom pravljenju grešaka. Za minimizaciju logičkih funkcija pet i više promenljivih koriste se računarski programi.

2  = 8

4



5

2  = 16

2

3 4

3

Karnoova mapa za dve promenljive Na Sl. 1-51(a) je prikazan lokacija minterma u Karnoovoj mapi za dve promenljive. Kolone Karnoove mape su označene vrednostima promenljive , dok su vrste označene vrednostima promenljive . Ćelija u gornjem levom uglu Karnoove mape odgovara slogu tabele istinitosti, odnosno mintermu  . Slično, ćelija u gornjem desnom uglu odgovara mintermu  , odnosno slogu . Na Sl. 1-51(b) date su dve alternativne grafičke reprezentacije funkcije dve promenljive: u vidu tabele istinitosti i u vidu Karnoove mape. Izvođenje kanoničkog SOP logičkog izraza na osnovu Karnoove mape je podjednako lako kao i na osnovu tabele istinitosti. Za svaku ćeliju koja sadrži 1 pišemo jedan minterm; promenljive koje u toj ćeliji imaju vrednost  u mintermu se pišu sa komplementom, dok se one sa vrednošću pišu bez komplementa. Primer izvođenja kanoničkog SOP izraza na osnovu Karnoove mape je dat na Sl. 1-51(c).



“00”



a

b

f

m0

0

0

1

1

m1

0

1

0

1

0

m2

1

0

1

1

1

m3

1

1

1

b

0

0

0



“10”

0

1

a



(a)

f = ab + ab + ab (b)

(c)

Sl. 1-51 Karnoova mapa za logičke funkcije dve promenljive: (a) lokacija minterma u Karnoovoj mapi; (b)

Karnoova mapa za jednu konkretnu logičku funkciju; (c) izvođenje kanoničkog SOP izraza na osnovu Karnoove mape

Osnovna osobina Karnoove mape je da se susedne  ćelije razlikuju po vrednosti samo jedne promenljive. Tako, dve ćelije u istoj vrsti Karnoove mape sa Sl. 1-51 razlikuju se po vrednosti promenljive , dok se dve ćelije u istoj koloni razlikuju po vrednosti promenljive . Ova osobina Karnoove mape je ključna za minimizaciju, jer omogućava da se na svake dve susedne ćelije koje sadrže  primeni zakon sažimanja. Posmatrajmo ćelije u levoj koloni Karnoove mape sa Sl. 1-51(b). Gornjoj ćeliji odgovara minterm , a donjoj minterm . Logičkim sabiranjem ova dva minterma gubi se promenljiva , zato što važi: . Ova činjenica je naglašena na Sl. 1-52(a) uokviravanjem 1-ca iz prve kolone. Uokvirene 1-ce čine jedno polje, a svakom polju odgovara jedan logički proizvod u kome učestvuju samo one promenljive koje imaju istu vrednost u svim ćelijama tog polja. Dakle, umesto da eksplicitno primenjujemo zakon sažimanja, dovoljno je da u Karnoovoj mapi





1





 +  = 

38



1. Logička kola i kombinacione mreže

grupišemo 1-ce u polja i za svako polje napišemo odgovarajući logički proizvod. Na Sl. 1-52(a) je prikazan samo jedan od nekoliko način grupisanja 1-ca u Karnoovoj mapi. Još jedan način je prikazan na Sl. 1-52(b), gde su grupisane dve jedinice iz donje vrste, dok je  iz ćelije u gornjem levom uglu ostala sama. Svakom načinu grupisanja odgovara drugačiji SOP izraz.

1

f = ab + a

f = b + ab (a)

f = b + a

(b)

(c)

Sl. 1-52 Izvođenje SOP izraza na osnovu Karnoove mape

Polja grupisanih jedinca mogu da se preklapaju, kao na Sl. 1-52(c) gde je ćelija iz donjeg levog ugla uključena u dva polja. Princip izvođenja SOP izraza ostaje isti: „vertikalnoj“ grupi odgovara logički proizvod , a „horizontalnoj“ proizvod , što daje SOP izraz oblika: .



  =  + 



Preklapanje uokvirenih polja je dopušteno zbog činjenice da to što je ćelije već uključena u neku grupu ne znači da je njen minterm „potrošen“ i da se više ne može koristiti za formiranje nekih drugih grupa. Ovo tvrđenje se lako može potvrditi na primeru funkcije  sa Sl. 1-52(c), sledećim izvođenjem:

 

  =  +  +  =  +  +  +  =  +  Shodno identitetu  + =  , svaki produktni član u SOP izrazu može da se umnoži proizvoljan broj puta, a da to ne izazove promenu logičke funkcije. U gornjem izvođenju, umnožen je minterm  . Jedan primerak ovog minterma je iskorišćen za sažimanje sa mintermom  , a drugu za sažimanje sa mintermom . Iako trivijalni, prethodni primeri ukazuju na sledeće dve bitne osobine Karnoove mape: 1) što je polje uokvirenih jedinica veće to je odgovarajući logički proizvod jednostavniji (sadrži manji broj promenljivih), i 2) preklapanje uokvirenih polja je korisno jer omogućava da se formiraju veća polja. Karnoova mapa za tri promenljive Na Sl. 1-53(a) je prikazan odnos između tabele istinitosti i Karnoove mape za funkcije tri promenljive. Svakoj kombinaciji vrednosti promenljivih  i odgovara jedna kolona, dok svakoj vrednosti promenljive   odgovara jedna vrsta. Treba obratiti pažnju na redosled binarnih oznaka kolona: , , ,  (a ne , , , , kako bi se možda moglo očekivati). Ovakav redosled je neophodan kako bi se obezbedilo da se ćelije iz druge i treće kolone razlikuju po vrednosti tačno jedne promenljive. Takođe, treba uočiti da se i ćelije iz prve i četvrte kolone razlikuju po vrednosti jedne promenljive, tj. promenljive . Zbog toga se ove dve kolone smatraju susednim, uprkos tome što se njihove stranice ne dodiruju.

01 11 10



 

00 01 10 11

00



Na Sl. 1-53(b) su date tabela istinitosti i Karnoova mapa jedne konkretne funkcije tri promenljive. Karnoova mapa služi kao osnova za izvođenje SOP izraza. U težnji da SOP izraz bude što jednostavniji, neophodno je 1-ce u Karnoovoj mapi pokriti što manjim brojem, što većih polja, s ograničenjem da veličina polja može biti samo stepen dvojke. U konkretnom slučaju, lako se uočava da su za 39

Digitalna elektronika

pokrivanje 1-ca dovoljna dva polja. Prvom polju, koje pokriva 1-ce u gornjoj vrsti, odgovara produktni član , a drugom, koje pokriva dve 1-ce iz donje vrste, odgovara produktni član . Dakle, funkcija se može analitički predstaviti u obliku SOP izraza: . Izvedeni izraz je ujedno i minimalni SOP izraz date funkcije budući da svaki drugačiji način pokrivanja 1-ca u Karnoovoj mapi pravi veći broj složenijih produktnih članova.



̅

  =  + ̅

a b c

a b c

f

0

0

0

m0

0

0

0

0

0

0

1

m1

0

0

1

0

0

1

0

m2

0

1

0

1

0

1

1

m3

0

1

1

1

1

0

0

m4

1

0

0

1

1

0

1

m5

1

0

1

0

1

1

0

m6

1

1

0

1

1

1

1

m7

1

1

1

0

(a)

f = ab + ac

(b)

Sl. 1-53 Karnoova mapa za logičke funkcije tri promenljive: (a) lokacija minterma u Karnoovoj mapi; (b)

izvođenje kanoničkog SOP izraza na osnovu Karnoove mape

U Karnoovoj mapi za tri promenljive moguće je grupisati ćelije u polja veličine jedne, dve ili četiri ćelije, kojima redom odgovaraju produktni članovi od tri, dve i jedne promenljive. Na primer, u Karnoovoj mapi sa Sl. 1-54, sve 1-ce iz gornje vrste pokrivene su jednim poljem dimenzija . Jedina promenljiva koja ne menja svoju vrednost u ćelijama ovog polja je promenljiva , a pošto je njena vrednost , rezultujući produktni član je . Najbolji način za pokrivanje jedine preostale 1-ce u ćeliji u donjem desnom uglu mape je da se ona udruži sa ćelijom iznad, što daje produktni član .

0





a b c

f

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

0

14

̅

f = a + bc

Sl. 1-54 Primer izvođenja minimalnog SOP izraza u Karnoovoj mapi za tri promenljive

Karnoova mapa za četiri promenljive

16

4

4

Karnoova mapa za funkcije četiri promenljive sadrži  ćelija raspoređenih u  vrste i  kolone. Na Sl. 1-55 se može videti struktura ove mape i raspored minterma u mapi. Dvobitno označavanje koje je korišćeno za kolone u mapi za tri promenljive sada se koristi i za označavanje vrsta. U Karnoovoj mapi za četiri promenljive, osobina susedstva dodatno važi za prvu i četvrtu vrstu, kao i za prvu i četvrtu kolonu.

40

1. Logička kola i kombinacione mreže

Sl. 1-55 Karnoova mapa za funkciju četiri promenljive

  „01“

Na Sl. 1-56 su data četiri primera funkcije četiri promenljive. U Karnoovoj mapi funkcije  uočavamo grupu od četiri 1-ce u susednim ćelijama u vrstama  i . Budući da za sve ćelije iz ove grupe važi  i , odgovarajući produktni član je oblika . Preostale dve 1-ce u vrsti  mogu se pokriti poljem dimenzija  kome odgovara produktni član . Dakle, minimalni SOP izraz funkcije  glasi:

 =1  =0

„11“ „10“   ̅ 

12

 

  =   ̅ + 

 

24

Funkcija sadrži grupu od 8 1-ca koje se mogu pokriti jednim polje dimenzija . S obzirom da za sve ćelije iz ove grupe važi , odgovarajući produktni član je oblika . Preostale dve 1-ce iz vrste  pokrivene su poljem dimenzija  koje zahvata i dve već pokrivene 1-ce iz vrste . Na ovaj način, dobijen je još jedan produktni član, . Da su dve 1-ce iz vrste  pokrivene poljem dimenzija , rezultujući produktni član bi imao tri promenljive, . Dakle, 1-ce u Karnoovoj mapi treba pokriti što većim poljima (kako bi produktni članovi bili što jednostavniji) bez obzira na eventualna preklapanja polja.

 =1

„01“ 12

cd ab 00 00 0

22

01

11

10

0

0

0



 „01“



cd ab 00 00 0

„11“

01

11

10

0

0

0

01

0

0

1

1

01

0

0

1

1

11

1

0

0

1

11

1

1

1

1

10

1

0

0

1

10

1

1

1

1

f 1  = ad + abc cd ab 00 00 1

f 2  = a + bc

01

11

10

0

0

1

cd ab 00 00 1

01

11

10

1

1

0

01

0

0

0

0

01

1

1

1

0

11

1

1

1

0

11

0

0

1

1

10

1

1

0

1

10

0

0

1

1

cd f 4  = ac + ad + ili ad

f 3  = bd + ac + abd

Sl. 1-56 Primeri Karnoovih mapa za funkciju četiri promenljive

41

Digitalna elektronika

S obzirom da su u Karnoovoj mapi za četiri promenljive susedne prva i poslednja vrsta, kao i prva i poslednja kolona, sledi da četiri ćelije u uglovima mape međusobno susedne. Ova osobina je iskorišćena prilikom izvođenja minimalnog SOP izraza funkcije  . Rezultujući produktni član je . Osim grupe 1-ca u uglovima, u ovoj mapi postoje još četiri 1-ce koje treba pokriti. Optimalno pokrivanje se može videti na Sl. 1-56.

  ̅

 

Vodeći se jednostavnim pravilima pokrivanja 1-ca u Karnoovoj mapi, u svim prethodnim primerima, dolazili smo uvek do jedinstvenog minimalnog SOP izraz. Funkcija    je primer koji pokazuje da u nekim slučajevima može da postoji više od jednog minimalnog SOP izraza. Dve grupe od po četiri 1-ca u gornjem levom i donjem desnom uglu mape pokrivene su poljima dimenzija , kojima odgovaraju produktni članovi  i . Za preostale dve 1-ce postoji tri opcije. Prva opcija je da se ovde dve 1-ce uokvire poljem dimenzija . Na taj način bismo dobili produktni član od promenljive, . Međutim, pošto težimo što jednostavnijem izrazu, racionalnije je da se ove dve 1ce udruže sa okolnim već pokrivenim jedinicama. Jedna mogućnost je polje dimenzija  koje dodatno obuhvata dve 1-ce iz vrste  (što daje produktni član ), dok je druga mogućnost polje dimenzija  koje pokriva i dve preostale 1-ce u koloni  (što daje produktni član ). Pošto oba ova pokrivanja daju produktni član od  promenljive ona su ravnopravna u pogledu složenosti.

 

22

̅ 

21



3

„01“ 2

41

22



„11“



Karnoova mapa za nepotpuno definisane logičke funkcije Nepotpuno definisana logička funkcija je ona kod koje ne postoji definisana vrednost za svaku kombinaciju ulaznih promenljivih. Na Sl. 1-57 je data tabela istinitosti jedne takve funkcije tri promenljive. U vektoru istinitosti nepotpuno definisane funkcije, pored binarnih vrednosti,  i , figuriše i znak . Ovim znakom se označavaju slogovi za koje izlazna vrednost funkcije nije definisana. Na primer, funkcija sa Sl. 1-57 nije definisana za slogove  i . Nepotpuno definisane funkcije se  javljaju prilikom specifikacije kombinacionih digitalnih kola kod kojih se unapred zna da se pojedine binarne kombinacije nikada neće pojaviti na njihovom ulazu. U tom smislu, se tumači kao „proizvoljna vrednost“, tj. kao „  ili “. U engleskoj literaturi za   se koristi pojam „don’t care“. Značenje je sledeće: Za binarnu kombinaciju koja je označena znakom , kolo može da generiše na izlaz bilo  bilo , budući da se ta binarna kombinacija ionako nikada neće pojaviti na ulazu kola. Ova „proizvoljnost“ u specifikaciji se može iskoristiti da bi se dobio što jednostavniji izraz date logičke funkcije. Princip je se u Karnoovoj mapi svako  promeni na  ili  i to tako da se postigne što bolje grupisanje 1-ca. U primeru sa Sl. 1-57, najbolje je da se  u ćeliji  promeni na 1, a  u ćeliji  na , jer to omogućava da se tri 1-ce u donjoj vrsti pokriju samo jednim poljem dimenzija .

01

 

011 100

0 1

0

 

1

 

 

0

a b c

f

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

X

1

0

0

X

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0 1 100

f= a

Sl. 1-57 Nepotpuno definisana funkcija

42

 

 

  011 14

1. Logička kola i kombinacione mreže

Primer 1-19 BCD kôd je 4-bitni kôd za binarno predstavljanje decimalnih cifara. U ovom kôdu, decimalne cifre,

0,1,..,9  se predstavljaju binarnim brojevima 0000,0001,...,1001. U BCD kôdu postoji 6  neiskorišćenih 4bitnih kombinacija: 1010,1011,1100,1101,1110  i 1111. Pretpostavimo da je potrebno projektovati kolo koje prepoznaje da li je decimalna cifra veća od 6. Na ulaz tog kola bi se dovodio BCD kôd cifre, a kolo bi generisalo 1 ako cifra pripada skupu {7,8 ,9}, odnosno 0 ako cifra pripada skupu {0,1 ,2,3,4,5,6}. Na Sl. 1-58 je data tabela istinitosti odgovarajuće logičke funkcije. Sve binarne kombinacije koje ne pripadaju BCD kôdu su označene znakom   u vektoru istinitosti budući da se ni jedna od njih nikada neće pojaviti na ulazu ovog kola. Na istoj slici vidimo kako je izvršeno grupisanje u Karnoovoj mapi.   -ovi su omogućili da se dve 1-ce iz poslednje vrste pokriju poljem dimenzija 24 kome odgovara produktni član od sam jedne promenljive. Takođe i 1-ca u ćeliji 0111 je obuhvaćena poljem 21 koje zahvata i jedno dodatno . Kada se proizvoljne vrednosti ne bi koristile u minimizaciji, SOP izraz funkcije  bi bio značajno složeniji: za pokrivanje dve 1-ce iz poslednje vrste bio bi potreban produktni član od 3 promenljive, a za pokrivanje usamljene 1-ce iz ćelije 0111 produktni član od čak 4 promenljive.

cifra

b3 b2 b1 b0

f

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

2

0

0

1

0

0

3

0

0

1

1

0

4

0

1

0

0

0

5

0

1

0

1

0

6

0

1

1

0

0

7

0

1

1

1

1

8

1

0

0

0

1

9

1

0

0

1

1

-

1

0

1

0

X

-

1

0

1

1

X

-

1

1

0

0

X

-

1

1

0

1

X

-

1

1

1

0

X

-

1

1

1

1

X

b1b0 b3b2 00

01

11

10

00

0

0

0

0

01

0

0

1

0

11

X

X

X

X

10

1

1

X

X

f = b3 + b2 b1 b0

Sl. 1-58 Primer nepotpuno definisane funkcije

1.11 Hazardi Propagaciono kašnjenje je jedan od ključnih parametar realnih logičkih kola i kombinacionih mreža. Svaka promena logičkog nivoa jednog ili više ulaza kombinacione mreže izaziva proces postepene promene nivoa na izlazima logičkih kola sve do samog izlaza mreže. Kažemo da je tokom ove propagacije ulazne promene mreža u prelaznom režime – promenjen je ulaz, ali se ta promena još uvek nije manifestovala na izlazu. Propagaciono kašnjenje kombinacione mreže je zapravo jednako maksimalnom trajanju prelaznog režima. Po isteku prelaznog režima, na izlazu mreže je garantovano prisutan nivo koji odgovara novoj ulaznoj pobudi. Međutim, kod nekih kombinacionih mreža postoji mogućnost da se tokom prelaznog režima izlaz promeni više puta pre nego što se uspostavi konačni nivo. Za ovakve kombinacione mreže se kaže da su hazardne, odnosno da poseduju hazard .

(a)

(b)

Sl. 1-59 Ilustracija hazardne situacije u kombinacionoj mreži: (a) pre promene ulaza; (b) posle promene ulaza.

43

Digitalna elektronika

Na Sl. 1-59 je data ilustracija kombinacione mreže sa hazardom. Ova slika prikazuje kombinacionu mrežu sa  ulaza i jednim izlazom. Od svih logičkih kola u ovoj mreži prikazano je samo jedno i to ono preko kojeg se formira izlaz celokupne mreže. Izdvojen je jedan ulaz, označen sa  . Struktura mreže  je takva da između ulaza   i oba ulaza izlaznog ILI kola,  i , postoje putanje (što znači da   utiče na oba ulaza ILI kola). Propagaciona kašnjenja duž ovih putanja iznose  i  . Analizira se situacija kada se na ulazu menja samo   i to sa  na . Na Sl. 1-59(a) je prikazano stanje pre promene, gde se vidi da je za   jedan ulaz ILI kola , a drugi . Na Sl. 1-59(b) je prikazano stanje posle promene – vidi se da su za  nivoi na ulazima ILI kola promenjeni, ali pošto je i dalje jedan od ulaza , izlaz ILI kola je ostao nepromenjen, tj. . Međutim, šta se dešava tokom prelaznog režima? Pošto se promena ulaza  propagira različitim putanjama do tačaka  i , i pošto propagaciona kašnjenja duž ovih putanja mogu da se razlikuju, može se desiti da se prvo  promeni sa  na , pa tek posle toga  sa   na 1 (  ). U ovakvoj situaciji, postoji vremenski period trajanja   –  kada su na oba ulaza ILI kolo prisutne , što privremeno postavlja generisan je glič. Treba primetiti da pri istoj po budi, glič ne bi bio generisan da važi  , ili da je struktura mreže takva da promena ulaza   utiče samo na nivo u tački , ali ne i na nivo u tački , itd. Dakle, hazard ne znači da će se glič generisati pri svakoj pobudi ulaza ili u svakoj realizaciji konkretne kombinacione mreže, već da je struktura mreže takva da ostavlja mogućnost za pojavu gliča.





 =0

1

1 0   − 





 0 1  =1  =0   = 1   = 1   0   <  



 

  

0



  > 

  = 0 

Vrste hazarda Glič koji nastaje u kombinacionoj mreži sa Sl. 1-59 odgovara statičkom 1-hazardu. Statički hazard znači da za datu kombinacionu mrežu poznate strukture postoji određena kombinacija propagacionih kašnjenja logičkih kola i određena pobuda ulaza pri kojoj se nivo na izlazu nakratko menja iako bi trebalo da ostane nepromenjen. „1-hazard“ znači da je neželjena promena oblika negativnog impulsa, odnosno nastaje onda kada bi izlaz trebalo da ostane na visokom logičkom nivou (Sl. 1-60(a)). Slično tome, statički 0-hazard   je neželjena kratkotrajna promena nivoa izlaza oblika pozitivnog impulsa (Sl. 1-60(b)).

(a)

(b)

(c)

Sl. 1-60 Vrste hazarda: (a) statički 1-hazard; (b) statički 0-hazard; (c) dinamički hazard

0 1

1

Za slučaj kada je ulazna promena takva da treba da izazove promenu nivoa izlaza sa  na  (ili sa  na ), definiše se drugačija vrsta hazarda. Ako je promena izlaza praćena kratkotrajnim oscilacijama, za kombinacionu mrežu se kaže da poseduje dinamički hazard (Sl. 1-60(c)). Preduslov za pojavu dinamičkog hazarda je da u mreži postoje bar tri putanje između nekog ulaza i izlaza.

0

Statički hazardi

  =   =   = 1

Na Sl. 1-61(a) je prikazana kombinaciona mreža sa statičkim hazardom. Neka je    . Pri ovakvoj pobudi ulaza, izlaz je . Neka se sada   promeni sa  na . Izlaz bi trebalo da zadrži vrednost . Međutim, ako se u obzir uzme propagaciono kašnjenje, na izlazu se tokom prelaznog režima generiše glič. Razlog leži u invertoru zbog kojeg promena ulaza    stiže do tačke  kasnije nego do tačke .

  = 1 

  = 1



44

1 0 



1. Logička kola i kombinacione mreže

x2x3 x1 00 0 1

01

11

1

1 1

10 x1x3 1

x1x2 x2x3

(a)

(b)

Sl. 1-61 Statički hazard – detekcija i eliminacija: (a) kombinaciona mreža sa hazardom; (b) Karnoova mapa; (c)

kombinaciona mreža bez hazarda

Statički 1-hazardi u dvonivoskim I-ILI kombinacionim mrežama se mogu pronaći i eliminisati uz pomoć Karnoove mape, na sledeći način. Kombinaciono kolo sa Sl. 1-61(a) realizuje logičku funkciju:

  =  +  =  + ̅ Odgovarajuća Karnoova mapa je prikazana na istoj Sl. 1-61(a). Mogućnost za pojavu gliča nastaje pri ulaznoj pobudu koja dovodi do promene vrednosti oba produktna člana i to takve da se jedan produktni član menja sa  na , a drugog sa  na . Pošto svakom produktnom članu odgovara jedno polje uokvirenih 1-ca u Karnoovoj mapi, hazardne ulazne promene su one koje dovode do prelaza sa 1-ce u jednom polju na 1-cu u nekom drugom polju. Pošto se menja samo jedan ulaz, novom izlazu može da odgovara samo susedna ćelija u Karnoovoj mapi. Dakle, uslov za postojanje hazarda u dvonivovskoj I-ILI mreži je da u Karnoovoj mapi postoje parovi susednih 1-ca koji nisu obuhvaćeni istim poljem, odnosno istim produktnim članom.

0 1

1 0

1-Hazardi u dvonivovskoj I-ILI kombinacionoj mreži se eliminiše proširenjem SOP izraza dodatnim (redundantnim) produktnim članovima (I kolima) koji će pokriti sve hazardne parove jedinica u Karnoovoj mapi. U konkretnom primeru dovoljan je jedan dodatni produktni član, kao što je prikazano na Sl. 1-61(b). Sa ovim proširenjem, funkcija   kola sa Sl. 1-61(a) će biti realizovana na osnovu izraza:

 

  =  + ̅ +  Sada, promena ulaza   sa 1 na 0 više ne utiče na izlaz  , i to upravo zbog produktnog člana   , koji pri   =   = 1 ima vrednost 1, bez obzira na vrednost ulaza  . Rezultujuća kombinaciona mreža bez hazarda prikazana je takođe na Sl. 1-61(b).

  ̅ 

Interesantno je uočiti da je dodatni produktni član zapravo konsenzus između   i   . Ne samo u konkretnom primeru, već generalno, hazardi se eliminišu proširenjem kombinacione mreže konsezusnim produktnim članovima. Princip detekcije i eliminacije 0-hazarda u dvonivovskoj ILI-I kombinacionoj mreži je u osnovi isti. Na Sl. 1-62(a) je prikazana kombinaciona mreža sa nekoliko 0-hazarda. POS izraz za funkciju ovog kola je:

  = ( + )(̅  + ̅ )(̅  +  + ̅ ) 45

Digitalna elektronika

U odgovarajućoj Karnoovoj mapi (Sl. 1-62(b)) uočavamo četiri para susednih 0 koje nisu pokrivene istim poljem, kao što je to naznačeno strelicama. Svakom od ovih parova odgovara jedan 0-hazard. Na primer, mogućnost pojave pika na izlazu mreže postoji kada se pri    i   ulaz  menja sa  na . Pošto pre promene samo zbirni član    ima vrednost , a posle promene, vrednost  ima samo član    , može se desiti da tokom prelaznog režima oba ova zbirna člana, za momenat, imaju vrednost .

0 1 0

(  +  )

(̅  +   + ̅ ) 1

  =   = 0   = 1 0



0

0-Hazardi se eliminišu pokrivanjem hazardnih parova novim poljima u Karnoovoj mapi. U konkretnom primeru, potrebna su tri dodatna polja, kao što je prikazano na Sl. 1-62(c). Na taj način se dolazi do POS izraza:

  = ( + )(̅  + ̅ )(̅  +  + ̅ )( + ̅ )( +  + ̅ )(̅  + ̅  + ̅ ) Dakle, za eliminaciju 0-hazarda, kombinacionu mrežu sa Sl. 1-62(a) bi trebalo nadograditi trima ILI kolima i jednim invertorom.

(a)

(b)

(c)

Sl. 1-62 Detekcija i eliminacija 0-hazarda u dvonivovskoj ILI-I kombinacionoj mreži : (a) kombinaciona mreža sa

hazardom; (b) Karnoova mapa sa indikacijom hazardnih parova 0; (c) Karnoova mapa za kombinacionu mrežu bez hazarda

1.12 Vodič za učenje3 1.

Kako se u digitalnoj elektronici predstavljaju logičke vrednosti 0 i 1? Naponski opsezi LOW i HIGH. Imunost digitalnih kola na šum. 2. Digitalni signali. Parametri realnih digitalnih signala. Periodični i aperiodični digitalni signali. Taktni signal. 3. Serijski i paralelni prenos podataka. 4. Kombinaciona i sekvencijalna digitalna kola. 5. Propagaciono kašnjenje. 6. Logička kola. NE, I, ILI, NI, NILI, XOR i XNOR. Funkcija, tabela istinitosti, algebarski zapis. 7. Logički izrazi. Izrazi oblika SOP, POS i slobodna forma. Crtanje logičkog dijagrama na osnovu logičkog izraza i izvođenje logičkog izraza na osnovu logičkog dijagrama kombinacione mreže. 8. Određivanje broja nivoa i propagacionog kašnjenja kombinacione mreže. 9. Identiteti Bulove algebre T1 – T5, komutativnost, asocijativnost i distributivnost. Interpretacija i primena. 10. De Morganova teorema.

3

  Pitanja koja su ovde data treba da vam posluže da lakše savladate gradivo. Ovo nije konačna lista ˝ispitnih pitanja˝, što ne isključuje mogućnost da neka od ovih pitanja dobijete na ispitu.

46