1. Introducción a la Ingeniería Sísmica

PF-3920 Introducción a la Ingeniería Sísmica

Instructor: Ing. Guillermo Santana, Ph.D. Miembro del Earthquake Engineering Research Institute

Posgrado en Ingeniería Civil Universidad de Costa Rica I Semestre 2011

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Texto preparado únicamente como respaldo al curso PF-39201 Introducción a la Ingeniería Sísmica impartido en el Programa de Posgrado en Ingeniería Civil de la Universidad de Costa Rica por el Prof. Guillermo Santana. Se utilizaron como base para la preparación de este documento el texto Geotechnical Earthquake Engineering del profesores S.L. Kramer y el Código Sismico de Costa Rica 2010. No se recomienda el uso de este texto para ninguna otra finalidad más que para la aquí establecida.

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Indice 2. SISMOLOGÍA .................................................. 5 2.1 Introducción.......................................................................................................................................... 5 2.2 Intensidad y Magnitud .......................................................................................................................... 6 Escala de Mercalli Modificada, versión 1956 ........................................................................................ 6 Magnitud de un sismo ............................................................................................................................ 7 Magnitud y energía ................................................................................................................................. 9 Relación Magnitud – frecuencia de ocurrencia .....................................................................................10 2.3 El caso de Costa Rica ..........................................................................................................................10 Geología Estructural ..............................................................................................................................10 Geotectónica ..........................................................................................................................................10 Sismología y Neotectónica ....................................................................................................................10 2.4 Referencias ..........................................................................................................................................12

3. MOVIMIENTO SÍSMICO FUERTE ................. 13 3.1 Introducción.........................................................................................................................................13 3.2 Medición del movimiento fuerte .........................................................................................................13 Sismógrafos ...........................................................................................................................................14 Recolección de datos y digitalización....................................................................................................16 Procesamiento de acelerogramas ...........................................................................................................17 Redes de acelerógrafos ..........................................................................................................................18 Acelerogramas .......................................................................................................................................19 3.3 Parámetros de medición del movimiento sísmico ...............................................................................19 Parámetros de amplitud .........................................................................................................................19 Parámetros de contenido de frecuencia .................................................................................................22 Duración ................................................................................................................................................29 Otros parámetros del movimiento sísmico ............................................................................................31 Resumen ................................................................................................................................................33 3.4 Estimación de Parámetros de Medición del Movimiento ....................................................................34 Efectos de distancia y magnitud ............................................................................................................34 Desarrollo de relaciones predictivas ......................................................................................................35 Estimación de Parámetros de Amplitud ................................................................................................37 Estimación de parámetros de Contenido de Frecuencias .......................................................................40 Estimación de la duración......................................................................................................................44 Estimación de otros parámetros .............................................................................................................44 Intensidades espectrales de aceleración y velocidad .............................................................................45 3.5 Variabilidad Espacial del Movimiento del Terreno .............................................................................46

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4. ANÁLISIS DE AMENAZA SÍSMICA ................ 67 4.1 Introducción.........................................................................................................................................67 4.2 Identificación y Evaluación de Fuentes Sísmicas ................................................................................67 Evidencia Geológica ..............................................................................................................................68 Evidencia tectónica ................................................................................................................................72 Sismicidad histórica...............................................................................................................................72 Sismicidad instrumental ........................................................................................................................72 4.3 Análisis Determinístico de Amenaza Sísmica (ADAS).......................................................................73 4.4 Análisis Probabilístico de Amenaza Sísmica (APAS) .........................................................................76 Caracterización de la Fuente Sismogénica ............................................................................................77 Relaciones predictivas ...........................................................................................................................82 Incertidumbre temporal .........................................................................................................................83 Cálculo de Probabilidades .....................................................................................................................85

APÉNDICE C. CONCEPTOS DE PROBABILIDAD ....................................................................... 107 C.1 Introducción ......................................................................................................................................107 C.2 Espacios muestrales y eventos ..........................................................................................................107 C.3 Axiomas básicos de probabilidades .................................................................................................108 C.4 Probabilidades de eventos .................................................................................................................109 C.5 Variables Aleatorias ..........................................................................................................................113 C.6 Valores esperados y desviaciones estándar .......................................................................................114 C.7 Distribuciones probabilísticas comúnes. ...........................................................................................115 C.7.1 Distribución uniforme ................................................................................................................115 C.7.2 Distribución normal ...................................................................................................................115 C.7.3 Distribución logarítmico-normal o lognormal ...........................................................................117

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2. SISMOLOGÍA 2.1 Introducción Se pueden producir sismos en los siguientes ambientes tectónicos: •

Zonas de subducción, correspondientes a los límites del choque entre dos placas tectónicas en los cuales una de las placas se desliza por encima de la otra; en este caso la placa inferior hace desaparecer el material que fue creado en las dorsales marinas. Los sismos que ocurren en las zonas de subducción, o entre los límites de dos placas, son llamados sismos interplaca.

•

Zona de Benioff de la placa subducida. Esto implica que este ambiente es complementario al de subducción anteriormente nombrado. Al subducirse la placa, penetra hacia el interior terrestre con una inclinación gobernada por las condiciones regionales; en general el buzamiento varía entre un mínimo de diez a quince grados, hasta un máximo superior a los cuarenta y cinco grados. La ocurrencia o no de volcanes asociados a la placa subducida parece depender en buena parte de su buzamiento.

•

Fallamientos geológicos activos en el interior de una placa tectónica. Las fallas desempeñan el papel de fusibles en los mecanismos tectónicos. En zonas de debilidad los esfuerzos tienden a liberarse de vez en cuando, generando sismos; este tipo de sismo es frecuente.

•

Actividad volcánica que en general produce sismos de baja magnitud, aunque en erupciones extraordinarias puede producir sismos cuya intensidad sea lo suficientemente elevada como para producir daños en construcciones cercanas al volcán. Actividad humana, como la explosión de bombas atómicas, grandes cargas de dinamita, o simplemente, el derrumbe de galerías remanentes de la actividad minera. También los embalses de agua para represas pueden generar sismos.

•

Hitos del progreso en la Sismología 1660 1760 1821 1828 1849 1857 1883 1885

1892 1897

Robert Hooke (Inglaterra) establece su ley: “Ut tensio sic vis.” John Michell (Inglaterra) reconoce que los terremotos se originan dentro de la tierra y que envian ondas elásticas a través del interior de la tierra. Louis Navier (Francia) deriva las ecuaciones diferenciales de la teoría de la elasticidad. Simeon-Denis Poisson (Francia) predice teóricamente la existencia de ondas elásticas longitudinales y transversales. George Gabriel Stokes (Inglaterra) concibe el primer modelo matemático de una fuente sísmica. Primer intento sistemático de aplicar principios físicos a los efectos sísmicos por parte de Robert Mallet (Irlanda). Se publica la escala de intensidad sísmica de Rossi-Forel. C. Somigliana (Italia) produce soluciones formales para las ecuaciones de Navier para una amplia clase de fuentes y condiones de frontera. Lord Rayleigh (Inglaterra) predice la exitenica de ondas elásticas superficiales. John Milne (Inglaterra) construye en el Japón un sismógrafo apropiado para uso mundial. Se establecen observatorios sismológicos en todo el globo para la medición de movimientos del terreno. Emil Wiechert (Alemania) conjetura sobre la presencia de un núcleo central fluido en la tierra. R. D. Oldham (Inglaterra) identifica los tres principales tipos de ondas sísmicas en sismogramas.

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1899 1901 1903 1904 1906 1907 1909

1914 1935 1936 1940 1952 1959

1960

1967 1970

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C.G. Knott (Inglaterra) deriva las ecuaciones generales para la reflexión y la refracción de ondas sísmicas planas en fronteras planas. Se funda el primer Instituto Geofísico en Gotinga, Alemania. A.E.H. Love (Inglaterra) desarrolla la teoría fundamental de fuentes puntuales en un espacio elástico infinito. Se funda la Asociación Sismológica Internacional. Horace Lamb (Inglaterra) da fundamento teórico para la propagación de ondas en medios estratificados R.D. Oldham (Inglaterra) establece la veracidad de la conjetura de Wiechert a partir de datos sísmicos. El Conde B. Galitzin (Rusia) desarrolla el sismógrafo electromagnético. Vito Volterra (Italia) publica su teoría de dislocación basado en la solución de Somigliana. A. Mohorovicic (Zagreb) descubre la discontinuidad entre la corteza y el manto y demuestr que la estructura de las capas externas de la tierra pueden ser deducidas a partir de los tiempos de viaje de las ondas sísmicas reflejadas. K. Zoeppritz y L. Geiger (Alemania) calculan velocidad de ondas longitudinales en el manto terráqueo. Beno Gutenberg (Alemania) mide el radio del núcleo de la tierra. H. Benioff (USA) inventa el sismógrafo de deformación unitaria lineal. I. Lehmann (Dinamarca) sugiere la existencia de un núcleo inerno sólido. Sir Harold Jeffreys (Inglaterra) y K.E. Bullen (Australia) publican tablas the tiempos de viaje para ondas sísmicas en la tierra. M. Ewing y F. Press (USA) desarrollan un sismógrafo de periodo largo. Ari Ben-Menahem (Israel) descubre que la liberación de energía en los terremotos se da a través de la ruptura que se propaga en la falla causativa. Deriva además la longitud de falla y la velocidad promedio de ruptura del terremoto del 22 de mayo de 1960 en Chile a partir del espectro de ondas sísmicas. Se establece por primera vez la existencia de oscilaciones libres de la tierra a partir del análisis de los registros de terremoto de Chile del 22 de mayo de 1960. C.L. Pekeris (Israel) y G. Backus y F. Gilbert (USA) determinan la partición rotacional de las oscilaciones libres. Patrones de sismicidad global y generación de terremotos ligados al movimiento de Placas. NASA (USA) pone un sismógrafo en la Luna.

2.2 Intensidad y Magnitud Escala de Mercalli Modificada, versión 1956 Por intesidad debe entenderse el efecto local que sobre diferentes sitios produce un mismo sismo. Es necesario observar la diferencia entre magnitud e intensidad. Magnitud es energía liberada mientras que intesidad es efecto. Para un sismo determinado habría una magnitud, mientras que intensidades habrá diferentes de acuerdo con la posición donde se evalúa y de la estimación de quien evalúa el efecto. Escalas para la evaluación de la intensidad existen posiblemente desde comienzos del siglo XVII; una de las primeras se debea De Poardi. En la actualidad la escala de intensidades más empleada es la de Mercalli-Cancani, modificada por Wood-Newman, razón por la cual se la llama escala de Mercalli modificada, escala MM. A continuación se presenta la escala según versión publicada por C.F. Richter en 1956. Grado

Calificació n

Descripción de efectos

I II

Despreciable Sensible

III

Ligero

IV

Moderado

V

Algo fuerte

No es sentido. Efectos marginales y de período largo1 de grandes terremotos. Es sentido por personas en reposo, situadas en los pisos superiores de edificios, o favorablemente ubicadas. Es sentido en el interior de las casas. Los objetos colgados oscilan. Las vibraciones son como las producidas por el paso de camiones livianos. Se puede estimar la duración. No se reconoce como un terremoto. Los objetos colgados oscilan. Se producen vibraciones como las provocadas por el paso de un camión pesado; o sacudidas como las provocadas por una pelota pesada que golpea las paredes. Los automóviles parados se mueven. Las ventanas, platos y puertas suenan. En el rango superior de este grado, crujen las paredes y los marcos de madera. Es sentido en el exterior de las viviendas. Se puede estimar la dirección del movimiento. Despierta a los dormidos. Los líquidos se revuelven o se vierten parcialmente. Pequeños objetos inestables se mueven o caen. Las puertas oscilan, se abren y se cierran. Las cortinas y los cuadros se mueven. Los relojes de péndulo se paran, se ponen en movimiento o cambian su ritmo.

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Fuerte

Es sentido por todos. Muchos se asustan y corren hacia afuera. Produce vacilación al caminar. Cristales, platos y vidrios se rompen. Adornos y libros caen de los estantes. Los cuadros caen de las paredes. Los muebles se mueven o vuelcan. Los repellos débiles o mampostería del tipo D se agrietan. Tañen campanas pequeñas (iglesias, escuelas). Los árboles y la maleza se mueven visiblemente o se les oye crujir. VII Muy fuerte Es difícil permanecer de pie. Es sentido también por los conductores de vehículos en movimiento. Los objetos colgados se estremecen. Los muebles se rompen. Se producen daños, incluso grietas, en la mampostería del tipo D. Las chimeneas débiles de las casas se rompen al nivel del techo. Se desprenden repellos o enlucidos, ladrillos sueltos, piedras, tejas y cornisas. También los pretiles no apuntalados y los ornamentos arquitectónicos. Se producen grietas en la mampostería del tipo C. Se producen olas en los lagos y el agua se enturbia de barro. Aparecen ciertos deslizamientos y hundimientos en los bancos de arena y gravas. Tañen las campanas grandes. Las zanjas de riego de concreto son dañados. VIII Destructor Dificultad en manejar los automóviles. Se producen daños y colapso parcial de la mampostería del tipo C. Se produce la caída de estucos (azulejos) y de algunas paredes de mampostería. Aparecen algunos daños en la mampostería del tipo B y ninguno en la del tipo A. Torsión o caída de chimeneas de fábricas, monumentos, torres y tanques elevados. Las casas de madera son desplazadas sobre los cimientos si no están empotradas; las paredes de relleno sin sujetar son expulsadas de sus apoyos. Los pilares podridos se rompen. Las ramas de los árboles se rompen. Se producen cambios en los caudales o temperaturas de los manantiales o pozos. Grietas en los terrenos saturados de humedad y en las laderas abruptas. IX Ruinoso Produce pánico general. La mampostería del tipo D es destruida; la mampostería del tipo C es fuertemente dañada, a veces con colapso completo; la mampostería del tipo B es seriamente dañada. Destrucciones generales en los cimientos si no están empotradas. Los marcos son dañados. Daños serios en reservorios. Aparecen grietas notables en el suelo. En las zonas aluviales se producen extrusiones de lodo y arena. Aparecen manantiales y cráteres de arena. X Desastroso La mayoría de las estructuras de mampostería y de marcos son destruidas con sus cimientos. Son destruidas algunas edificaciones de madera y puentes bien construidos. Se producen daños importantes en las represas, diques y muros de contención. Grandes deslizamientos de tierra. El agua es expulsada sobre los bordes de los canales, ríos, lagos, etc. La arena y el barro de las playas y terrenos planos se desplazan horizontalmente. Las vías férreas se doblan ligeramente. XI Desastroso Las vías férreas se doblan grandemente. Las tuberías subterráneas quedan totalmente fuera en extremo de servicio. XII Catastrófico La destrucción es casi total. Se desplazan grandes masas de roca. La topografía y el paisaje sufren alteraciones. Algunos objetos son lanzados al aire. 1 Mareos o náusea; pájaros o animales molestos o perturbados; se mecen árboles, edificaciones, líquidos, masas de agua; puertas se mecen levemente. Los candelabros oscilan. Todo esto podría ser observado aun cuando el movimiento no es perceptible. Clasificación de la mampostería propuesta por C.F. Richter. A. Mano de obra, mortero y diseño buenos; reforzada, especialmente en el sentido lateral, y unida con acero, concreto, etc.; diseñada para resistir fuerzas laterales. B. Mano de obra y mortero buenos; pero no diseñada para resistir fuerzas laterales. C. Mano de obra y mortero ordinarios; no tan débil como para que fallen las uniones en las esquinas, pero tampoco reforzada ni diseñada para resistir fuerzas laterales. D. Materiales débiles, como el adobe; mortero débil; mano de obra de calidad baja; débil horizontalmente.

Magnitud de un sismo En 1935, Richter elaboró una ‘escala de magnitud’ para los sismos, en la cual la magnitud M de un sismo se define como el logaritmo (en base 10) de la amplitud máxima A0 (medida en micrones; 1µ m = 10−4 cm ) trazada en un sismograma producido por un sismógrafo estándar de torsión de componente horizontal, ubicado a 100 km del epicentro. La reducción de las amplitudes observada a varias distancias con respecto a las amplitudes esperadas para la distancia estándar de 100 km se establece mediante tablas empíricas elaboradas bajo la suposición de que la razón de amplitudes máximas a dos distancias dadas es la misma para todos los sismos considerados e independiente del acimut. La escala se aplica directamente solo en el caso de terremotos someros.

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Se tiene

= M log A ( ∆ ) − log A0 ( ∆ ) en donde A es la amplitud máxima a una distancia ∆. La fórmula empírica de Richter para los sismos del sur de California es, aproximadamente,

log A0 = 5.12 − 2.56log ∆ con A0 en µm, ∆ en km y 10 < ∆ < 600 km. Sustituyendo esta última ecuación en la anterior y permitiendo la magnificación nominal del sismógrafo de Wood-Anderson se obtiene

= M log A + 2.56log ∆ − 1.67 en donde A es la amplitude del movimiento del terreno en µm. Richter aplicó su escala de magnitud a sismos registrados en una región de California a menos de 600 km del epicentro. Posteriormente, Richter y Gutenberg propusieron tablas empíricas adicionales mediante las cuales se podían usar observaciones hechas en estaciones distantes y en sismógrafos de otros tipos. Las tablas empíricas fueron ampliadas para cubrir terremotos de gran profundidad y para permitir que se hicieran estimaciones de magnitudes independientes a partir de observaciones de ondas de cuerpo y superficiales. De esta forma se define la magnitud de onda superficial MS, para terremotos someros como

= M S log A + α log ∆ + β

donde A es la amplitud máxima del movimiento del terreno para ondas superficiales de periodo de 20 seg. Valores representativos de α y β para la componente horizontal de las ondas Rayleigh en un evento somero son 1.66 y 1.82 respectivamente. Para terremotos profundos, esta magnitud no aplica y se deben definir magnitudes de ondas de cuerpo. La forma usada generalmente es = mb log ( A T ) + Q ( h, ∆ ) donde T es el periodo de la onda y Q es una función empírica de la profundidad focal, h y ∆. Una relación aproximada entre magnitudes mb para ondas P y MS es, para eventos someros,

m= 2.5 + 0.63M S b Las escalas de magnitud presentadas anteriormente parecen depender fuertemente de la frecuencia de la onda; en particular, MS tiende a un límite superior para grandes sismos. Por supuesto, la definición de MS puede ser ampliada a ondas de periodos mayores (por

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ejemplo, periodo de 100 seg). Sin embargo, recientemente, se ha definido la magnitud de momento MW para proveer una escala más uniforme. Kanamori ha propuesto

= M W 2 3log M 0 − 10.7 donde M0 es el momento sísmico del terremoto en dinas-cm. La magnitud de momento MW tiene las ventajas de que no se satura en la parte alta de la escala y tiene una base teórica mas sana que la de MS. Con las definiciones anteriores, el gran terremoto de Alaska de 1964 tiene los siguientes valores estimados: M S = 8.4 , M = 820 × 1027 dinas0 cm, M W = 9.2 . En la tabla siguiente se ilustran algunos otros valores. Momentos y magnitudes para algunos de los terremotos más grandes registrados Fecha 31 enero 1906 18 abril 1906 1 febrero 1938 15 agosto 1950 4 noviembre 1952 9 marzo 1957 22 mayo 1960 28 marzo 1964 4 febrero 1965

Región Ecuador California Banda Sea Assam Kamchatka Islas Aleutianas Chile Alaska Islas Aleutianas

MS 8.6 8.25 8.2 8.6 8.25 8.25 8.3 8.4 7.75

M0 ( ×1027 dina-cm ) 204 10 70 100 350 585 2000 820 125

MW 8.8 7.9 8.5 8.6 9.0 9.1 9.5 9.2 8.7

Comparación de las diferentes magnitudes con respecto a MW.

Magnitud y energía Gutenberg y Richter buscaron conectar la magnitud MS con la energía ES de un terremoto mediante la ecuación Ing. Guillermo Santana, Ph.D.

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aM S = log ( ES E0 ) y después de varias revisiones y considerando la relación entre mb y MS propusieron en 1956 la siguiente ecuación log= ES 11.8 + 1.5M S Båth, trabajando en forma independiente, obtuvo los mismos resultados. La fórmula de Gutenberg-Richter da E= 6.3 × 1011 y 1.4 × 1025 ergios para terremotos de S MS = 0 y 8.9, respectivamente. Por lo tanto, un incremento de una unidad en MS corresponde a un incremento de 32 veces en la energía. Las magnitudes negativas corresponden a los sismos más pequeños medidos instrumentalmente, 1.5 a los más pequeños percibidos, 3 a aquellos sentidos a distancias de hasta 20 km; 4.5 causan daño menor cerca del epicentro; los de 6 son destructivos en un área restringida; los de 7.5 constituyen el límite inferior de los grandes terremotos.

Relación Magnitud – frecuencia de ocurrencia Gutenberg y Richter desarrollaron relaciones empíricas para la frecuencia de ocurrencia de terremotos de diferentes magnitudes. Sea N es el número promedio de eventos por año para el cual la magnitud varía en un rango M ± ∆M . Ellos propusieron que la relación

log N= a − bM S se ajusta muy bien a los datos tanto globalmente como para regiones específicas. Por ejemplo, para todo el mundo, ellos propusieron para sismos someros que: a = 6.7 y b = 0.9 cuando MS > 6.0. La frecuencia para estos terremotos se reduce entonces por un factor cercano a 10 cuando la magnitud se disminuye en una unidad. El incremento de la frecuencia con la reducción de MS se queda corta en igualar la reducción de energía E. Por lo tanto, los grandes terremotos son los responsables de la mayoría de la energía sísmica liberada. El número de eventos por año que son lo suficientemente fuertes como para ser sentidos es del orden de 105, y el número total por año con mb > 4.0 puede alcanzar 20,000.

2.3 El caso de Costa Rica Geología Estructural Geotectónica Sismología y Neotectónica

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Temblores y Terremotos Importantes en la Historia Escrita de Costa Rica AÑO 1756

FECHA 14 julio

REGION EPICENTRAL No ubicada

MAGNITUD -

1822

7 mayo

Litoral caribeño

-

1827 1841 1842

3 abril 2 setiembre 21 marzo

-

1851

18 marzo

Guanacaste Cartago Sur de San José Norte de Alajuela y Heredia

EFECTOS Sentido con gran duración en Cartago Fuerte oleaje y muchos sismos sentidos en Barra de Matina Iglesia de Boruca arruinada, daños en Cartago Daños en la parroquia de Cartago Tsunami y licuefacción en Barra de Matina, daños en Cartago y San José Iglesia de Nicoya arruinada Primera destrucción de Cartago, 38 muertos Daños en Alajuelita y otras poblaciones de San José

1798

21 febrero

No ubicada

-

1803 1821

27 diciembre 10 abril

No ubicada No ubicada

-

-

Daños en Alajuela, Heredia y San José

1853

24 agosto

Cañas, Guanacaste

-

1853

8 setiembre

Guanacaste

-

1882

3 marzo

No ubicada

-

1888

30 diciembre

Fraijanes, Alajuela

-

1904

20 diciembre

No ubicada

7.8

1905

20 enero

Pacífico Central

-

1910

13 abril

Sureste de San José (Tablazo)

-

1910

4 mayo

Cartago

-

1911 1912

10 octubre 22 febrero

Guatuso de Alajuela Tres Ríos

-

1912

6 junio

Sarchí - Toro Amarillo

-

1916 1916 1916

27 febrero 24 abril 26 abril

Noroeste de Costa Rica Litoral caribeño Litoral caribeño

7.6 7.6 7.3

4 marzo

Orotina

7.0

Bagaces, Guanacaste No ubicada Entrada al Golfo de Nicoya Entrada al Golfo de Nicoya

6.5 7.3 6.8

1924 1935 1939 1939 1939

1 agosto 18 junio 21 diciembre 22 diciembre

Daños en Cañas, deslizamientos en la cordillera de Guanacaste Daños en Santa Cruz y Filadelfia Sentido en todo el país, daños en el Valle Central y en Puntarenas Destrucción en Fraijanes, daños en Alajuela, Heredia y San José, deslizamientos en las laderas del volcán Poás, 6 muertos Área de afectación se extendió más allá de los límites del país, aparentemente más fuerte en el litoral caribeño Sentido desde Nicaragua hasta Panamá, daños al sur de Puntarenas y en el Valle Central Daños en San José Segunda destrucción de Cartago, entre 400 y 700 muertos Deslizamientos y grietas en el suelo en zona epicentral Daños en Tres Ríos Daños en la zona de Sarchí y Toro Amarillo, deslizamientos, avalanchas, 7 muertos Daños en Santa Cruz Daños menores en Valle Central Pánico en el Valle Central Daños en toda la región occidental del Valle Central, más de 70 muertos Daños en Bagaces Daños en el Valle Central Daños en el Valle Central, 2 muertos Réplica del anterior Daños en la región fronteriza con Panamá y en el Valle Central Daños leves en Valle Central Daños en Puntarenas y Valle Central Destrucción en Paraíso y Orosi, daños en San José

1941

5 diciembre

Penfnsula de Osa

7.5

1948 1950 1951 1952 1952 1953 1955 1956 1957 1959 1962 1966 1973 1978 1978 1979 1983

19 noviembre 5 octubre 22 agosto 13 mayo 30 diciembre 7 enero 1 setiembre 19 julio 4 febrero 13 enero 12 marzo 9 abril 14 abril 22 agosto 23 agosto 1 julio 2 abril

Región central Península de Nicoya Sur de Cartago Oeste del Valle Central Noroeste de Volcán Irazú Limón Toro Amarillo-Zarcero

Pacífico Central Pacífico Sur Pacífico Central Tilarán Sámara Sámara Punta Burica Golfito

7.0 7.7 6.9 6.2 6.8 5.7 6.5 7.0 7.0 6.5 7.3

1983

3 julio

Pérez Zeledón

6.1

1989

26 febrero

Los Santos

4.7

1990

25 marzo

Entrada al Golfo de Nicoya

7.0

1990

mayo-junio

Puriscal

4.5 - 5.0

1990

22 diciembre

Puriscal

5.7

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11

Deslizamientos en faldas del Volcán Irazú, 21 muertos Daños en Limón Daños en Toro Amarillo y el norte de Alajuela, 10 muertos Intensidad VI en el Valle Central Intensidad VII en sector este del Valle Central Intensidad VI en sector este del Valle Central Intensidad V en Golfito y Coto 47 Intensidad VI en San Isidro Daños en Tilarán, deslizamientos, 23 muertos Intensidad IV en el Valle Central Réplica del anterior Intensidad VI en Paso Canoas Daños en Golfito, zona sur y Valle Central, 1 muerto Daños al norte de San Isidro, deslizamientos, 1 muerto Daños y deslizamientos en Acosta, San José Daños en Península de Nicoya, Puntarenas y Valle Central, 1 muerto Daños en Puriscal, deslizamientos en fila de Picagres Daños en el Valle Central, especialmente en el sector oeste (Alajuela, La Guácima, Atenas, Ciudad Colón, Turrúcares, Puriscal), 1 muerto

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1991

22 abril

Limón

7.5

1991

8 agosto

Los Santos

4.9

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Daños en todo el litoral caribeño desde Bocas del Toro, Panamá hasta Batán y Turrialba. Deslizamientos en la cordillera de Talamanca. Daños menores en el Valle Central. 50 muertos Daños en Frailes de Desamparados, San Pablo de León Cortés y Corralillo de Cartago

Fuentes: 1. González, Cleto. 2. 3.

Temblores, terremotos, inundaciones y erupciones volcánicas en Costa Rica, 1608-1910. Tipografía de Avelino Alsina, 1910. Miyamura, Setumi. Sismicidad de Costa Rica. Editorial Universidad de Costa Rica, 1980. Morales, Luis Diego. Los temblores sentidos en Costa Rica durante 1973-1983 y su relación con la sismicidad del país. Revista Geológica de América Central, No. 1, octubre 1984.

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3. MOVIMIENTO SÍSMICO FUERTE 3.1 Introducción La Tierra está lejos de ser inerte―vibra casi continuamente con períodos que van desde milisegundos hasta días y con amplitudes que van desde nanómetros hasta metros. La gran mayoría de estas vibraciones son tan débiles que no pueden ser precibidas o más aun, detectadas sin equipo de medición especial. Tal actividad microsísmica es de mucho más utilidad para los sismólogos que para los ingenieros. Los ingenieros sísmicos están interesados primordialmente en el movimiento sísmico fuerte (i.e., movimiento de suficiente fuerza como para afectar a la gente y a su entorno). La evaluación de los efectos de los terremotos en un sitio en particular requiere de maneras objetivas y cuantitativas de describir los movimientos sísmicos fuertes. Los movimientos producidos por los terremotos pueden ser bastante complicados. En un punto dado, pueden ser completamente descritos mediante traslación y rotación en tres componentes. En la práctica, las componentes rotacionales son usualmente ignorados; lo más comunmente medido son las tres componentes ortogonales de movimiento de traslación. Los registros típicos de movimiento del terreno, en este caso, los historiales de aceleraciones del terreno, como los mostrados en la figura 3-1, contienen enorme cantidad de información. Para expresar toda esta información en forma precisa, (i.e., reproducir cada uno de los tres componentes de manera exacta), se debe describir cada quiebre y vuelta del gráfico. El movimiento mostrado en la figura 3-1 fue determinado utilizando 2000 valores de aceleración medidos a intervalos de 0.02 segundos. Esta gran cantidad de información hace trabajosa la descripción precisa del movimiento del terreno. Afortunadamente, para describir el movimiento del terreno de manera adecuada para propósitos ingenieriles no es necesario reproducir cada historial exactamente. Sin embargo, sí es necesario poder describir aquellas características del movimiento del terreno que tienen significancia ingenieril e identificar un cierto número de parámetros del movimiento del terreno que reflejen esas características. Para propósitos ingenieriles, tres características del movimiento tienen importancia primordial: (1) la amplitud, (2) el contenido de frecuencias, y (3) la duración. Varios parámetros han sido propuestos, cada uno de los cuales provee información sobre una o varias de estas características. En la práctica, es usualmente necesario usar varios de estos parámetros para caracterizar adecuadamente el movimiento del terreno.

3.2 Medición del movimiento fuerte La identificación y evaluación de los parámetros del movimiento fuerte requieren de la medición del movimiento del terreno cuando ocurren los sismos.

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Sismógrafos Aun cuando existe registro escrito sobre la ocurrencia de terremotos que datan del 780 AC y más atrás, las primeras mediciones precisas de movimientos fuertes fueron hechas en 1933 en Long Beach, California. La medición de los movimientos sísmicos fuertes ha avanzado mucho desde entonces, en particular en los últimos 20 años. Existen varios tipos de instrumentos para la medición del movimiento sísmico. Los sismógrafos son usados para medir movimientos relativamente débiles; los registros por ellos producidos se denominan sismogramas. Los movimientos fuertes son usualmente medidos por acelerógrafos y expresados usualmente en forma de acelerogramas. El tipo más simple de sismógrafo puede ser esquematizado como un sistema de un grado de libertad (S1GL) constituido por una masa, un amortiguador y un resorte, tal como se muestra en la figura 3-2. Un tambor rotatorio está conectado a la cubierta del sismógrafo con una aguja adherida a la masa. La masa a su vez está conectada a la cubierta por medio del amortiguador y del resorte, ambos colocados en paralelo. Como ni el resorte ni el amortiguador son rígidos, el movimiento de la masa será diferente al movimiento del terreno. El movimiento relativo de la masa con respecto al terreno será entonces registrado por la aguja como una traza sobre el tambor rotatorio. En general se pueden conectar tres dispositivos como los descritos de manera que registren el movimiento relativo en tres direcciones perpendiculares, dos horizontales y una vertical. Los sismógrafos pueden ser diseñados para medir diferentes características del movimiento del terreno. Para esto se debe considerar la respuesta dinámica de un sistema de un S1GL como el de la figura 3-2. Este sistema tiene una respuesta al movimiento dada por la siguiente ecuación: mu + cu + ku = −mug en donde u es la traza de desplazamiento registrada en el sismógrafo (el desplazamiento relativo entre el sismógrafo y el suelo) y ug es el desplazamiento del terreno. Si el desplazamiento del terreno es una función armónica simple con una frecuencia circular ωg, la razón de respuesta de desplazamiento (la razón entre la amplitud de la traza de desplazamiento y la amplitud del desplazamiento del terreno) será u ug

=

β2 (1 − β 2 ) 2 + (2ξβ ) 2

en donde β (= ω g ω 0 ) es la razón de sintonía o razón de resonancia, ω 0 (= k m ) es la frecuencia circular natural no amortiguada, y ξ = (c 2 km ) es la razón de amortiguamiento crítico. La figura 3-3a muestra como la razón de respuesta de desplazamiento varía con la frecuencia y el amortiguamiento. Para frecuencias del terreno superiores a la frecuencia natural del sismógrafo, la amplitud de la traza es igual a la amplitud del movimiento del terreno. La frecuencia más baja para la cual lo anterior es

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válido (dentro del rango de tolerancia aceptado) depende de la razón de amortiguamiento. Como la respuesta es constante y los ángulos de fase se mantienen para razones de amortiguamiento de 60%, los sismógrafos de desplazamiento de un S1GL son diseñados usualmente con razones de amortiguamiento en ese rango. De manera análoga, la razón de respuesta de aceleración (la razón entre la amplitud de la traza de desplazamiento y la amplitud de la aceleración del terreno) está dada por u ug

=

1

ω 02 (1 − β 2 ) 2 + (2ξβ ) 2

La variación de la razón de respuesta de aceleración con la frecuencia y el amortiguamiento se muestra en la figura 3-3b. La amplitud de la traza es proporcional a la amplitud de la aceleración del terreno para frecuencias mucho menores que la frecuencia natural del sismógrafo. Un sismógrafo con un amortiguamiento de 60% medirá con precisión aceleraciones del terreno con frecuencias de hasta 55% de su frecuencia natural. La mayoría de los sismógrafos de este tipo tienen frecuencias naturales de alrededor de 25 Hz con razones de amortiguamiento cercanas a 60%, y muestran respuesta plana (razón de respuesta de aceleración constante) para frecuencias de hasta 13 Hz aproximadamente. Se ve entonces que el mismo sistema físico puede actuar como un sismógrafo de desplazamiento y como un acelerógrafo. Se miden desplazamientos muy por encima y aceleraciones muy por debajo de la frecuencia natural del aparato. El sismógrafo WoodAnderson, usado por Karl Richter para definir la primera escala de magnitud, usaba una pequeña masa suspendida excéntricamente de un fino alambre torsional de tungsteno. Un espejo adherido al alambre permitía el registro óptico con un factor de magnificación del movimiento del terreno cercano a 3000. El amortiguamiento era provisto de manera electromagnética a 80% del crítico; el período natural amortiguado era de aproximadamente 0.8 segundos. En los sismógrafos modernos, un transductor electrónico usualmente denominado sismómetro es sensible al movimiento y produce una señal eléctrica analógica (continua) que es registrada para su posterior procesamiento. La mayoría de los acelerógrafos en uso actualmente son acelerómetros, i.e., transductores eléctricos que producen una salida de voltage proporcional a la aceleración del terreno. Existen diferentes tipos de acelerómetros. Los servo-acelerómetros (acelerómetros de balance de fuerza) usan una masa suspendida a la cual se le adhiere un transductor de desplazamiento. Cuando la cubierta es acelerada, la señal producida por el desplazamiento relativo entre la cubierta y la masa es usada para generar una fuerza restituyente que empuja la masa de vuelta a su posición de equilibrio. La fuerza de restitución es proporcional a la aceleración y puede ser medida electrónicamente. Los servo-acelerómetros pueden dar muy buena precisión sobre el rango de frecuencias de mayor interés para la ingeniería sísmica. Los acelerómetros piezoeléctricos usan una masa adherida a un material piezoeléctrico (usualmente cuarzo, turmalina o una cerámica ferroeléctrica) para medir las aceleraciones. El material piezoeléctrico actúa como el resorte de la figura 3-2; el

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amortiguamiento es usualmente despreciable. Cuando la masa es acelerada, la fuerza inercial producida deforma el material piezoeléctrico, lo cual genera una carga eléctrica en sus superficies. El voltage resultante es (si la constante dieléctrica no varía con la carga) proporcional a la aceleración. Como los materiales piezoeléctricos son muy rígidos, sus frecuencias naturales son muy altas, por lo tanto resultan particularmente útiles para mediciones de frecuencia alta. Sin embargo, su respuesta para bajas frecuencias puede ser influenciada fuertemente por características del sistema que tienden a distorsionar la señal. Los acelerómetros triaxiales, en los cuales se miden tres componentes ortogonales de aceleración con una misma base de tiempo, son bastante comunes. Algunos sismógrafos usan transductores de velocidad, o geófonos, adicionalmente o como alternativa a los acelerómetros. Sismógrafos, acelerógrafos y todo equipo auxiliar son protegidos por una cubierta como la que se muestra en la figura 3-4. Un componente adicional importante lo constituye un reloj de alta precisión, en particular cuando se mide más de un componente de movimiento o cuando el movimiento del terreno en un sitio está siendo comparado con otro. El sismoscopio es un instrumento relativamente barato. Los sismoscopios son péndulos cónicos (figura 3-5a) en el cual una aguja metálica adherida a una masa suspendida escribe un registro del movimiento del terreno sobre una placa de vidrio ahumado, produciendo un registro bidimensional del tipo mostrado en la figura 3-5b.

Recolección de datos y digitalización Los acelerógrafos tradicionales registran los movimientos electrónicamente en forma analógica sobre cinta magnética o sobre filme fotográfico. Estos instrumentos no registran en forma continua sino que se mantienen desactivados por largos períodos, hasta que son activados una vez superado un pequeño umbral de aceleración al inicio del movimiento sísmico. Como resultado, la vibración que precede al evento de activación no es registrada, produciendo de esa forma un errror denominado de línea base en el acelerograma. Los más recientes aparatos resuelven este problema a traves de grabar en forma continua por un lapso de tiempo predeterminado; después de transcurrido el cual se reinicia el proceso borrando el trazo anterior. De esta forma se garantiza la grabación de las vibraciones que anteceden al evento. Para utilizar los acelerogramas registrados analógicamente en cálculos ingenieriles, se hacía necesaria su digitalización. Esto fue fuente de considerables protocolos tendientes a minimizar los errores incurridos en el proceso de digitalización. De la digitalización manual se pasó a la digitalización semiautomática con la utilización de lentes con guías montados sobre mesas de digitalización. Actualmente es común la digitalización totalmente automatizada por medio de computadores con tazas de muestreo de 200 o más muestras por segundo. Adicionalmente, en años recientes los acelerógrafos digitales se han vuelto más acequibles y empiezan a ser de uso común. Aún cuando utilizan transductores

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analógicos, los instrumentos digitales convierten la señal analógica a forma digital en el sitio de emplazamiento. Estos registran movimientos del terreno continuamente con tazas de 200 a 1000 muestras por segundo con precisiones de 12 a 16 bits, pero guardando los datos únicamente cuando el umbral de aceleración es superado. La memoria de almacenamiento del instrumento guarda de 4 a 6 Mb de información, desde antes de que se inicie el movimiento sísmico hasta después de que finaliza, preservando la porción inicial que otrora se perdía. Se puede preveer que en un futuro cercano la mayoría de los acelerógrafos analógicos sean reemplazados por instrumentos digitales. En Costa Rica más de dos terceras partes del total de acelerógrafos son hoy día digitales.

Procesamiento de acelerogramas Los datos obtenidos de un acelerógrafo pueden contener errores provenientes de varias posibles fuentes, cada uno de los cuales debe ser cuidadosamente evaluado y corregido para producir un registro confiable del movimiento real del terreno. Los datos usualmente contienen ruido de fondo de diferentes fuentes. Los instrumentos de alta sensibilidad pueden registrar microsismos debidos al impacto de las olas del mar. Otro tipo de ruido puede ser producido por el tránsito vehicular, la actividad de construcción, viento (transmitido al suelo a traves de vibración en árboles, edificios, etc.), y aun cambios en la presión atmosférica. Obviamente, este rango de fuentes puede producir ruido no-sísmico tanto de bajas como en altas frecuencias. Para aislar el movimiento producido por el sismo, se debe eliminar o al menos suprimir el ruido de fondo. Todos los acelerógrafos tienen sus propias características de respuesta dinámica, o respuesta instrumental, que puede influir en el movimiento medido. Consecuentemente, la respuesta instrumental debe ser corregida como parte del procesamiento de los acelerogramas. La corrección es usualmente llevada a cabo modelando el instrumento mismo como un S1GL, desacoplando así la respuesta del instrumento de la del movimiento sísmico real. Para los instrumentos modernos con respuesta de frecuencia plana de hasta 12 o 13 Hz, la corrección instrumental solo es importante para frecuencias superiores al rango usual de interés ingenieril. Sin embargo, para acelerógrafos colocados en edificaciones (usualmente en el primer piso o en el sótano) o cercanos a los bastiones de represas o puentes, el movimiento registrado puede ser afectado en las frecuencias de interés por la respuesta de la estructura misma. Esto es válido también para instrumentos de campo libre (lejos de grandes edificaciones), aun cuando estos efectos resultan importantes únicamente para frecuencias relativamente altas cuando se utilizan estaciones acelerográficas con tipos de cubiertas normales. Se requiere de una corrección adicional para reducir el error en la medición del movimiento debido al retardo producido por el evento de activación en acelerógrafos analógicos. Si el acelerógrafo no se activa sino hasta después de superado un cierto nivel inicial prefijado, entonces el acelerograma completo tendrá un error igual al nivel de aceleración al instante de la activación. La integración de un acelerograma sin corregir producirá un error lineal en la velocidad y un error cuadrático en el desplazamiento. Por ejemplo, un error en la aceleración de 0.001g al inicio de un registro de 30 segundos produciría un desplazamiento permanente de 441 cm al final del movimiento. A la

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corrección de este tipo de errores se le denomina corrección de línea base. Inicialmente se llevaba a cabo sustrayéndole la parábola de mejor ajuste al acelerograma antes de integrar para velocidad y para desplazamiento. Actualmente se lleva a cabo mediante el filtrado de paso alto y técnicas modernas de procesamiento de datos. Los registros mostrados en la figura 3-1 fueron filtrados por ancho de banda para remover frecuencias inferiores a 0.08 Hz y frecuencias superiores a 23 Hz. El U.S. Geological Survey (USGS) distribuye programas computacionales para el procesamiento de acelerogramas.

Redes de acelerógrafos Los grandes terremotos producen movimiento sísmico con diferentes características en diferentes puntos de la superficie terrestre. La variación espacial del movimiento, tanto a escala mundial, regional o local, resulta importante tanto para la sismología como para la ingeniería sísmica. Para este efecto, la instalación de redes de acelerógrafos ha dado muy buenos resultados en la determinación de la variabilidad del movimiento sísmico. El principal componente en la integración de una red lo constituye la utilización de una medida de tiempo universal. Redes mundiales y regionales El entendimiento de los procesos tectónicos y de los terremotos mejoró enormemente con el establecimiento de la Red Mundial de Sismógrafos Normalizados (WSSN) en 1961. La WSSN implementada originalmente para responder a las necesidades de detección de pruebas de armas nucleares. Antes de 1961, las mediciones se llevaban a cabo con una serie de instrumentos no normalizados y operados por diferentes tipos de entidades. Las diferencias en las características de los instrumentos y en su operación misma tornaba la comparación de resultados en tareas difíciles. La normalización de instrumentos y procedimientos mejoró considerablemente la situación. Actualmente la WSSN está siendo reemplazada por la Red Global de Sismómetros Digitales (GDSN) y la Red Sismográfica Global (GSN). Esta última red es supervisada por un consorcio de instituciones de todo el mundo y cuenta adicionalmente con un conjunto de instrumentos portátiles que pueden ser instalados para detección de las réplicas posteriores a los grandes terremotos. Las redes regionales operan en los países grandes o bien en comunidades internacionales conformadas por grupos de países pequeños y medianos. En América Central se cuenta con una red regional supervisada por CEPREDENAC y conformada por las redes locales de cada uno de los países integrantes. Esta red regional incluye tanto sismógrafos como acelerógrafos. Redes locales y redes densas Las redes locales sirven un propósito más específico y permiten la obtención de datos que afectan áreas mucho más pequeñas. En Costa Rica existen varias redes de acelerógrafos (UCR, ICE, RECOPE) conformadas en una coalición con supervisión de la Comisión Nacional de Emergencias (CNE). Usualmente en la ingeniería sísmica se requiere

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información sobre la distribución espacial del movimiento sísmico a una escala mucho más pequeña que la de las redes regionales. Adicionalmente se requiere información sobre el movimiento debajo de la superficie del terreno. En estos casos, las redes densas permiten la obtención de este tipo de datos. En Japón, Taiwan y California se han instalado redes tridimensionales densas de manera que se cuenta con acelerómetros colocados en una superficie particular y también a diferentes profundidades. La figura 37 muestra la vista en planta del emplazamiento de la red SMART-1 cerca de Lotung, Taiwan. Esta red consiste de un acelerómetro central rodeado de tres anillos de 12 acelerómetros cada uno a radios de 200 m, 1 km y 2 km. Adicionalmente se instalaron acelerómetros a profundidades de hasta 47 m. En California, se cuenta entre otras con la red densa de El Centro, que consiste un una línea de 13 instrumentos colocados a lo largo de 45 km muy cerca de la frontera con México como se muestra en la figura 3-8.

Acelerogramas Se pueden obtener fácilmente acelerogramas de diferentes terremotos ocurridos en el mundo. Entre las fuentes más utilizadas se encuentra el USGS que publicó un disco compacto (Seekins et al., 1992) con más de 4000 acelerogramas no corregidos provenientes de sismos ocurridos en Norte y Centroamérica de 1933 a 1986. Adicionalmente, un gran número de bases de datos pueden ser accesados a través de internet. La figura 3-9 muestra un formato muy común. Entre ellos se encuentran, http://docinet3.consrv.ca.gov/csmip/, http://www.anss.org/, http://www.k-net.bosai.go.jp/, http://www.isesd.cv.ic.ac.uk/ESD/frameset.htm, y también http://www.cepredenac.org/08_cnc/casc/index.html.

3.3 Parámetros de medición del movimiento sísmico Los parámetros de medición del movimiento sísmico son esenciales para describir sus características más importantes de manera compacta y cuantitativa. Se han propuesto muchos parámetros para caracterizar la amplitud, el contenido de frecuencias y la duración del movimiento sísmico. Algunos describen solamente una de las características, mientras que otros pueden reflejar dos o tres. Debido a la complejidad de los terremotos, la identificación de un único parámetro que pueda describir con precisión todas las características del movimiento es considerada como imposible.

Parámetros de amplitud La manera más común de describir un movimiento sísmico es mediante el historial de la aceleración, obtenido directamente, o bien, con la velocidad y el desplazamiento obtenidos por integración, como se muestra en la figura 3-10. Se pueden notar el predominio de diferentes frecuencias para los diferentes registros. La aceleración muestra una gran cantidad de frecuencias altas. Sin embargo, debido al proceso de integración, la velocidad y el desplazamiento muestran dominio de frecuencias bajas.

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ACELERACIÓN MÁXIMA La medición de amplitud de un movimiento sísmico en particular más comunmente usada es la aceleración horizontal máxima del terreno también denominada aceleración horizontal pico (PHA). La PHA para un componente del movimiento dado es simplemente el mayor valor absoluto obtenido del acelerograma de ese componente. Adicionalmente, la resultante máxima de PHA puede ser obtenida a partir de la suma vectorial de los dos componentes horizontales. Las aceleraciones horizontales han sido usadas comúnmente para describir el movimiento sísmico debido a su relación natural con las fuerzas inerciales; en verdad, las fuerzas dinámicas más grandes inducidas en ciertos tipos de estructuras (i.e., estructuras muy rígidas) están estrechamente ligadas a la PHA. También es posible correlacionar la PHA con la intensidad sísmica. Aun cuando esta correlación está lejos de ser precisa, puede resultar muy útil para la estimación de la PHA cuando solo se dispone de información de intensidad, como es el caso de los terremotos ocurridos antes de que los acelerógrafos existieran (terremotos preinstrumentales). Se han propuesto una serie de relaciones aceleración–intensidad, algunas de las cuales se presentan en la figura 3-11. El uso de relaciones de aceleración–intensidad permite también la estimación de la variabilidad espacial de la PHA a partir de mapas de isosistas de terremotos históricos. Las aceleraciones verticales han recibido menos atención que las horizontales en ingeniería sísmica, primordialmente porque los márgenes de seguridad contra fuerzas estáticas verticales inducidas por la gravedad usualmente proveen resistencia adecuada ante las fuerzas dinámicas debidas a aceleración vertical durante un sismo. Para propósitos ingenieriles, la aceleración vertical máxima (PVA) es usualmente tomada como igual a dos tercios de la PHA (Newmark & Hall, 1982). Sin embargo, más recientemente se han observado razones PVA sobre PHA mucho mayores que dos tercios cerca de la fuente de terremotos de moderados a grandes y menos de dos tercios a largas distancias. La aceleración vertical máxima puede llegar a ser bastante grande; durante el terremoto de 1979 del Valle Imperial entre las fallas Imperial y Brawley la PVA llegó a ser de 1.74g. Los movimientos del terreno con valores altos de PHA son usualmente, pero no siempre, más destructivos que los movimientos con PHA bajos. Aceleraciones máximas muy altas que duran un tiempo muy pequeño tienden a producir muy poco daño en la mayoría de las estructuras. A pesar de que la aceleración máxima es un parámetro muy útil, no brinda ninguna información sobre el contenido de frecuencias o sobre la duración del movimiento; en consecuencia, debe ser complementado con información adicional para poder caracterizar el movimiento sísmico de manera más precisa. VELOCIDAD MÁXIMA La velocidad horizontal máxima (PHV) es otro parámetro útil para la caracterización de la amplitud del movimiento sísmico. Como la velocidad es menos sensible a los componentes de alta frecuencia del movimiento sísmico, según se puede constatar en la

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figura 3-10, para frecuencias intermedias la PHV caracteriza mejor la amplitud del movimiento sísmico que la PHA. Para estructuras o instalaciones que sean sensibles a solicitaciones en este rango intermedio (e.g., edificios altos o flexibles, puentes grandes, etc.), la PHV podría proveer una indicación mucho más precisa del potencial de daño que la PHA. La PHV también ha sido correlacionada con la intesidad sísmica (e.g., Trifunac & Brady, 1975a; Krinitsky & Chang, 1987). DESPLAZAMIENTO MÁXIMO Los desplazamientos máximos son generalmente asociados con los componentes de más baja frecuencia del movimiento sísmico. Sin embargo, son usualmente difíciles de determinar con precisión debido a errores generados durante el procesamiento de señal. Los errores se inducen en el filtrado y la integración de acelerogramas y también debido a ruido de período alto (Campbell, 1985; Joyner & Boore, 1988). Como resultado, el desplazamiento máximo es menos usado como medida de movimiento sísmico que la aceleración o la velocidad máximas. Ejemplo 3.1 Determinar la aceleración, la velocidad y el desplazamiento máximos para los componentes E-W de los registros de Gilroy No. 1 (roca) y Gilroy No. 2 (suelo). Solución: Los valores de amplitud máxima se pueden estimar gráficamente de la figura 3.9. Los valores máximos reales, basados en los datos utilizados en los gráficos de la figura 3.10 son: Parámetro Aceleración máxima Velocidad máxima Desplazamiento máximo

Gilroy No. 1 (roca) 0.442g 33.7 8.5

Gilroy No. 2 (suelo) 0.332g 39.2 13.3

OTROS PARÁMETROS DE AMPLITUD Aun cuando los parámetros presentados anteriormente son fácilmente determinables, solo describen amplitudes máximas de pulsos individuales dentro de la señal del movimiento sísmico. En algunos casos, el daño podría estar estrechamente relacionado con la amplitud máxima, pero en otros casos, para que el daño se haga presente, se podría requerir de varios pulsos consecutivos de alta amplitud. Newmark & Hall (1982) presentan el concepto de aceleracion efectiva como “aquella aceleración que está más relacionada con la respuesta estructural y con el potencial de daño del sismo. Es una función del tamaño del área sometida a solicitación, del contenido de frecuencias de la excitación, la cual depende de su cercanía a la fuente sísmica, y del peso, del empotramiento, del amortiguamiento y de la rigidez de la estructura y su fundación.” Algunos historiales son caracterizados mediante las amplitudes máximas en un único pulso cuando éstas resulten mucho mayores que las amplitudes de los demás pulsos. Un ejemplo de este caso es el registro de Stone Canyon mostrado en la figura 3-12a. Estos pulsos individuales usualmente ocurren a altas frecuencias y consecuentemente tienen

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poco efecto sobre estructuras con frecuencias naturales de oscilación bajas. En otras señales, tal como la del registro de Koyna de la figura 3-12b, se pueden observar varios pulsos de amplitud similar. Aceleración y velocidad máximas sostenidas: Nuttli (1979) uso picos más bajos del acelerograma para caracterizar movimiento fuerte del terreno definiendo una aceleración máxima sostenida para tres (o cinco) pulsos como el tercer (o quinto) valor (absoluto) más alto de aceleración en el registro. La velocidad máxima sostenida fue definida de manera similar. Aun cuando los valores de PHA de los registros del terremoto de Stone Canyon de 1972 y del terremoto de Koyna de 1967 (figura 3-12) son casi las mismas, una inspección visual rápida indica que sus aceleraciones máximas sostenidas (para tres o cinco pulsos) fueron muy diferentes. Para una estructura que requiriera de varios pulsos repetidos de movimiento fuerte para mostrar daño, el movimiento registrado en Koyna sería mucho más dañino que el registrado en Stone Canyon, aun cuando, ambos muestran una PHA similar. Para estos registros, la aceleración máxima sostenida sería un mejor indicador del potencial de daño que el PHA. Ejemplo 3.2 Determinar las aceleraciones y velocidades máximas sostenidas para tres y cinco ciclos para los componentes E-W de los registros de Gilroy No. 1 (roca) y Gilroy No. 2 (suelo). Solución: Los valores de aceleraciones y velocidades máximas sostenidas se pueden estimar gráficamente de la figura 3.10. Los valores máximos reales, basados en los datos utilizados en los gráficos de la figura 3.10 son: Parámetro Aceleración máxima sostenida Tres ciclos Cinco ciclos Velocidad máxima sostenida (cm/s) Tres ciclos Cinco ciclos

Gilroy No. 1 (roca)

Gilroy No. 2 (suelo)

0.434g 0.418g

0.312g 0.289g

31.6 29.9

38.4 38.2

Aceleración efectiva de diseño: El concepto de una aceleración efectiva de diseño, con diferentes definiciones, ha sido propuesto por al menos dos investigadores. Como los pulsos de aceleración alta a altas frecuencias inducen poca respuesta departe de la mayoría de las estructuras, Benjamin & Associates (1988) propusieron que se tomara una aceleración efectiva de diseño como la aceleración máxima remanente después de filtrar las aceleraciones por encima de 8 a 9 Hz. Anteriormente, Kennedy (1980) había propuesto que la aceleración efectiva de diseño fuera 25% mayor que la tercera aceleración máxima (absoluta) obtenida de un registro filtrado.

Parámetros de contenido de frecuencia Se requiere únicamente de análisis muy sencillos para mostrar que la respuesta dinámica de edificios, puentes, terraplenes o depósitos de suelo, es muy sensible a la frecuencia de

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excitación a la cual son solicitados. Los terremotos producen solicitaciones complicadas con componentes del movimiento que abarcan un amplio rango de frecuencias. El contenido de frecuencias describe como la amplitud de un movimiento sísmico se distribuye entre frecuencias diferentes. Como el contenido de frecuencia de un movimiento sísmico influye fuertemente sobre los efectos de ese movimiento, su caracterización no puede estar completa sin esta consideración. ESPECTROS DEL MOVIMIENTO DEL TERRENO Cualquier función periódica puede ser expresada mediante la Transformada de Fourier como la suma de una serie de términos armónicos simples de diferentes frecuencias, amplitudes y fases. Usando series de Fourier, una función periódica x(t), puede ser expresada como ∞

x (t ) = c0 + ∑ cn sin (ω n t + φn ) n =1

De esta forma, cn y n, son la amplitud y el ángulo de fase, respectivamente, de la nésima serie armónica de Fourier. La serie de Fourier provee una descripción completa del movimiento del terreno debido a que el movimiento puede ser recuperado completamente mediante la Transformada Inversa de Fourier. Espectros de Fourier: Un gráfico de la amplitud de Fourier versus la frecuencia [cn versus n] es denominado como espectro de amplitud de Fourier; un gráfico del ángulo de fase da el espectro de fase de Fourier. El espectro de amplitud de Fourier de un movimiento fuerte muestra como la amplitud del movimiento está distribuida con respecto a la frecuencia (o el período). Expresa el contenido de frecuencias del movimiento de manera muy clara. El espectro de amplitud de Fourier puede ser angosto o ancho. Un espectro angosto implica que el movimiento tiene una frecuencia dominante (o período), que puede producir un movimiento casi sinusoidal. Un espectro ancho corresponde a un movimiento con mayor contenido de frecuencias que produce un movimiento más cortado e irregular. Los espectros de amplitud de Fourier para los componentes E-W de los registros de Gilroy No. 1 y Gilroy No. 2 (suelo) se muestran en la figura 3-13. La forma entrecortada de los espectros es típica. Las formas de los espectros difieren bastante: el espectro de Gilroy No. 1 (roca) es más fuerte para los períodos bajos (o altas frecuencias) mientras que lo contrario es observado para el caso de Gilroy No. 2 (suelo). Se puede detectar una diferencia en el contenido de frecuencias mediante un examen minucioso de los registros en el dominio del tiempo (figura 3-1), sin embargo, la diferencia es mostrada en forma explícita mediante los espectros de amplitud de Fourier. Cuando los espectros de amplitud de Fourier de movimientos sísmicos reales son suavizados y graficados en escala logarítmica, sus formas características pueden ser vistas más fácilmente. Como se ilustra en la figura 3-14, las amplitudes de aceleración de Fourier tienden a ser más grandes en un rango de frecuencias intermedias limitado por la frecuencia esquinera fc en el extremo de frecuencias bajas y la frecuencia de corte fmax en

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el extremo de frecuencias altas. Se puede probar que la frecuencia esquinera es inversamente proporcional a la raíz cúbica del momento sísmico (Brune, 1970, 1971). Este resultado indica que los grandes terremotos producen movimientos que contienen frecuencias más bajas que los terremotos más pequeños. La frecuencia de corte aun no está muy bien caracterizada; ha sido definida tanto como un efecto de sitio-cercano (Hanks, 1982) y también como un efecto de fuente sísmica (Papageorgiou & Aki, 1983) y usualmente se le toma como una constante para una región geográfica determinada. Espectros de Potencia: El contenido de frecuencia de un movimiento sísmico puede también ser descrito mediante un espectro de potencia o función de densidad espectral de potencia. La función de densidad espectral de potencia sirve para describir el contenido de frecuencias del movimiento del terreno. Esta función también puede ser usada para estimar las propiedades estadísticas del movimiento del terreno y para calcular la respuesta estocástica usando técnicas de vibración aleatoria (Clough & Penzien, 1975; Vanmarcke, 1976; Yang, 1986). La intensidad total I0 de un movimiento sísmico de duración Td está dada, en el dominio del tiempo, por el área bajo la curva del cuadrado de las aceleraciones: Td

I 0 = ∫  a ( t )  dt 2

0

Usando el teorema de Parseval, la intensidad total puede ser expresada en el dominio de la frecuencia como: ω 1 N I 0 = ∫ cn2dω

π

0

π es la frecuencia Nyquist (la frecuencia más alta en la serie de Fourier). ∆t La intensidad promedio, λ0 , puede ser obtenida dividiendo la intensidad entre la duración donde ω N =

Td. T

= λ0

2 1 d 1 =  a ( t )  dt ∫ Td 0 π Td

ωN

∫ c dω 2 n

0

Nótese que la intensidad promedio es igual a la aceleración media cuadrática. La densidad espectral de potencia, G (ω ) , se define como:

λ0 =

ωN

∫ G (ω )dω 0

de donde podemos ver que, comparando las dos últimas ecuaciones:

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1 2 c π Td n Esta última ecuación muestra la estrecha relación entre la función de densidad espectral de potencia y el espectro de amplitudes de Fourier. La función de densidad espectral de potencia es usualmente normalizada con respecto a su área total: 1 G n (ω ) = G (ω ) G (ω ) =

λ0

en donde, como antes, λo es la aceleración media cuadrática. La función de densidad espectral de potencia es útil para caracterizar el sismo como un proceso aleatorio. La función en sí misma describe un proceso aleatorio estacionario (i.e., uno cuyos parámetros estadísticos no varían con el tiempo). Sin embargo, los acelerogramas reales usualmente muestran que la intensidad crece a un valor máximo en la etapa inicial del movimiento y luego se mantiene aproximadamente constante por un lapso de tiempo, y finalmente decrece hacia el final del movimiento. Tal comportamiento de proceso aleatorio no-estacionario se modela con la multiplicación de un historial estacionario por una función determinística de intensidad (e.g., Hou, 1968; Shinozuka, 1973; Saragoni & Hart, 1983). Los cambios en el contenido de frecuencias durante la ocurrencia del movimiento han sido descritos usando el enfoque de un espectro de potencia evolucionario (Priestley, 1965, 1967; Liu, 1970). Espectros de Respuesta: Este tercer tipo de espectros es usado extensivamente en ingeniería sísmica. Los espectros de respuesta describen la respuesta máxima de un S1GL ante una excitación dada, como una función de la frecuencia natural (período natural) y del amortiguamiento propios del sistema. La figura 3-15 muestra los espectros de respuesta para los registros de Gilroy No. 1 (roca) y Gilroy No. 2 (suelo). Los espectros de respuesta pueden ser graficados individualmente a escalas aritméticas, o pueden ser combinados en virtud de relaciones trigonométricas en gráficos tripartitos. Las formas de los espectros de respuesta típicos indican que los valores máximos de aceleración, velocidad y desplazamiento están asociados a rangos de frecuencia diferentes. Por eso se habla de los espectros como divididos en tres zonas, zona de dominio de la aceleración (frecuencias altas), zona de dominio de la velocidad (frecuencias intermedias), zona de dominio del desplazamiento (frecuencias bajas). Para sistemas con comportamiento lineal de fuerza-desplazamiento, los espectros de respuesta resultantes serán elásticos. Sin embargo, para muchas estructuras reales, los movimientos sísmicos pueden inducir a comportamiento inelástico. En estos casos, se pueden utilizar espectros de respuesta inelásticos, i.e, espectros de respuesta de sistemas con relaciones fuerza-desplazamiento no lineales. La figura 3-16 muestra los espectros inelásticos para aceleraciones y desplazamientos de fluencia para varios valores de factor de ductilidad = umax / uy. Se deben graficar espectros separadados para mostrar el desplazamiento total (elástico más plástico). De la figura 3-16 se puede ver que las aceleraciones espectrales decrecen conforme aumenta la ductilidad del sistema, pero los desplazamientos totales (elástico + plástico) crecen.

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Los espectros de respuesta reflejan las características del movimiento del terreno de manera indirecta, ya que son “filtrados” por la respuesta de un S1GL. Los valores espectrales son todos influidos por la amplitud, el contenido de frecuencias y en menor grado la duración del movimiento. La diferencia en los contenidos de frecuencia de los registros de Gilroy No. 1 (roca) y Gilroy No.2 (suelo) se ilustran claramente por la forma diferente de sus respectivos espectros de respuesta (figura 3-15). Es importante recordar que los espectros de respuesta representan únicamente las respuestas máximas de una colección de estructuras diferentes. Sin embargo, la respuesta de las estructuras es de gran importancia en ingeniería sísmica, y el espectro de respuesta ha mostrado ser una herramienta muy importante y útil para la caracterización del movimiento sísmico fuerte. PARÁMETROS ESPECTRALES Los tres tipos de espectros descritos hasta ahora pueden ser usados para caracterizar el movimiento sísmico fuerte. El espectro de amplitudes de Fourier y la densidad espectral de potencia junto con el espectro de fase, describen el movimiento sísmico enteramente. El espectro de respuesta no describe completamente el movimiento pero brinda información adicional valiosa en cuanto a sus efectos sobre estructuras. Sin embargo, cada uno de estos espectros requiere de muchos datos para ser expresados en forma completa. Por tal motivo, se han propuesto parámetros espectrales que extraen información importante de cada espectro. Período predominante: Un parámetro que brinda una representación útil, aunque un tanto parca, del contenido de frecuencias de un registro lo constituye el período predominante, Tp. Es el período de vibración correspondiente al valor máximo del espectro de amplitudes de Fourier. Para evitar la influencia indebida de picos individuales, es usual encontrarlo a partir del espectro suavizado. Aun cuando brinda información útil con respecto al contenido de frecuencias, es fácil ver que (figura 3-17) registros con contenidos de frecuencia muy diferentes pueden tener el mismo período predominante. Ejemplo 3.3 Determine los períodos predominantes para los componentes E-W de los acelerogramas de Gilroy No.1 (roca) y Gilroy No.2 (suelo). Solución Los espectros de amplitud de Fourier de la mayoría de los acelerogramas son muy variables en la cercanía del valor máximo, de manera que se requiere de algún tipo de simplificación para facilitar la identificación del período predominante. Esta simplificación se puede alcanzar graficando el espectro de amplitudes de Fourier como función de la frecuencia. Utilizando este procedimiento, se pueden indentificar los siguientes períodos predominantes, mostrados en la figura E3-3. Para Gilroy No. 1 (roca): Tp = 0.39 s. y para Gilroy No. 2 (suelo): Tp = 0.53s.

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Ancho de Banda: Sirve para medir la dispersión de las amplitudes espectrales alrededor del período predominante. El ancho de banda del espectro de amplitudes de Fourier se define como el rango de frecuencias sobre el cual un nivel predeterminado del espectro es excedido. Usualmente es medido al nivel donde la potencia del espectro alcanza la mitad de su valor máximo; esto corresponde a un nivel 1 2 veces el valor máximo del espectro de amplitud de Fourier. La forma irregular de los espectros de amplitud de Fourier individuales hace que sea difícil evaluar el ancho de banda. Es más fácil determinar el ancho de banda a partir del espectro suavizado. Frecuencia Central: La función de densidad espectral de potencia puede ser usada para estimar propiedades estadísticas del movimiento fuerte. Definiendo el n-ésimo momento espectral de un movimiento sísmico como

λn =

ωN

∫ ω G (ω ) d ω n

0

se puede entonces definir la frecuencia central (Vanmarcke, 1976) como Ω=

λ2 λo

La frecuencia central es una medida de la frecuencia en donde se concentra la densidad espectral de potencia. También puede usarse, en conjunto con la intensidad promedio y la duración, para calcular la aceleración pico mediana teórica: ΩT   ümax = 2λo ln  2.8 d  2π  

Factor de forma: El factor de forma (Vanmarcke, 1976) indica la dispersión de la función de densidad espectral de potencia alrededor de la frecuencia central:

δ=

1−

λ12 λ0λ2

El factor de forma siempre varía entre 0 y 1, en donde los valores más altos corresponden a anchos de banda mayores. Parámetros Kanai-Tajimi: Aun cuando las funciones de densidad espectral de potencia tengan individualmente formas altamente irregulares, el promedio de un conjunto de funciones normalizadas pertenecientes a movimientos sísmicos similares describe una forma suavizada característica. Kanai (1975) y Tajimi (1960) usando un número limitado de acelerogramas proponen la siguiente función de tres parámetros para modelar la densidad espectral de potencia:

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1 +  2ξ g (ω ω g ) G (ω ) = G0 2 1 − (ω ω )2  +  2ξ (ω ω ) 2 g g     g donde Go, ξg, ωg determinan la forma de la función (figura 3-18). 2

La respuesta de desplazamiento de un S1GL de frecuencia natural ωg y razón de amortiguamiento ξg a un movimiento basal de ruido blanco sería descrita por una función de densidad espectral de potencia de Kanai-Tajimi. Como tal, los componentes de alta frecuencia del movimiento de entrada se atenuarán, y los componentes de frecuencia en la vecindad de ωg se amplificarán. Valores típicos de los parámetros de Kanai-Tajimi para varias condiciones de sitio se describen en la Tabla 3-1: Tabla 3-1 Intensidad, frecuencia y amortiguamiento del terreno para varios sitios de emplazamiento Movimiento sísmico Horizontal

Vertical

Condiciones de Sitio Aluvional Aluvional sobre roca Roca Aluvional Aluvional sobre roca Roca

Número de registros 161 60 26 78 29 13

Intensidad, Go 0.102 0.078 0.070 0.080 0.072 0.053

Frecuencia, ωg 18.4 22.9 27.0 26.2 29.1 38.8

Amortiguamiento, ξg 0.34 0.30 0.34 0.46 0.46 0.46

RAZÓN ν max amax Como las velocidades pico y las aceleraciones pico están usualmente asociadas con movimientos de frecuencias diferentes, la razón ν max amax debería estar relacionada con el contenido de frecuencia del movimiento (Newmark, 1973; Seed et al. 1976; McGuire, 1978). Por ejemplo, para movimiento armónico simple de período T, ν max amax = T 2π . Para movimientos sísmicos que contienen muchas frecuencias, la cantidad 2π ( vmax a max ) puede interpretarse como el período de vibración de una onda armónica equivalente y de esta manera se obtiene una indicación de cuales períodos del movimiento son más significativos. Seed & Idriss (1982) sugieren los siguientes valores promedio representativos para diferentes condiciones de sitio de emplazamiento a distancias menores de 50 km de la fuente: Sitio de Emplazamiento

vmax/amax

Roca Suelo firme (< 60 m o 200 ft) Suelo firme profundo (> 60 m o 200 ft)

55 cm/s/g = .056 seg. 110 cm/s/g = .112 seg. 135 cm/s/g = .138 seg.

Los períodos correspondientes de oscilaciones armónicas equivalentes para roca, suelo firme y suelo firme profundo son 0.35 s, 0.70 s y 0.87 s, respectivamente, lo cual indica un salto hacia movimientos de períodos largos (bajas frecuencias) en depósitos de suelos más blandos.

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Ejemplo 3.4 Determine la razón vmax/amax para los componentes E-W de los acelerogramas de Gilroy No.1 (roca) y Gilroy No.2 (suelo). Compare los valores de 2π(vmax/amax) con los períodos predominantes de las sacudidas sísmicas. Solución: Basados los valores de vmax y amax obtenidos anteriormente,

ν max 33.7cm / s Gilroy No. = 1 (roca): = 0.078s amax 0.442(981cm / s ) ν 39.2cm / s Gilroy No. = 2 (suelo): max = 0.124 s amax 0.322(981cm / s ) El valor 2π(vmax/amax) es igual al período predominante del movimiento armónico simple equivalente. Para ver que tan bien corresponde con el período predominante de los acelerogramas de Gilroy No.1 (roca) y Gilroy No.2 (suelo), 2π

ν max

Gilroy No. 2 (suelo): 2π

ν max

Gilroy No. 1 (roca):

amax

amax

= 0.49 s

Tp = 0.39 s

= 0.78 s

Tp = 0.53 s

Aun cuando la razón vmax/amax ciertamente indica que el acelerograma de Gilroy No. 1 (roca) tiene un contenido de frecuencias más alto que el de Gilroy No. 2 (suelo), también es cierto que sobreestima los períodos predominantes de ambos. Debido a la naturaleza aproximada del período predominante y a la naturaleza estocástica tanto de vmax como de amax, no debemos esperar mucha coincidencia entre vmax/amax y el período predominante.

Duración Muchos procesos físicos, tales como degradación de la rigidez y de la resistencia de ciertos tipos de estructuras y el aumento de la presión de poro en arenas sueltas saturadas, son sensibles al número de reversiones de carga o esfuerzo que ocurren durante un terremoto. Un movimiento de poca duración podría no producir suficientes reversiones de carga como para llegar a constituir una respuesta destructiva en una estructura, aún cuando la amplitud del movimiento sea alta. Por otro lado, un movimiento con amplitud moderada pero de larga duración puede producir suficientes reversiones de carga que causen daño sustancial. La duración del movimiento sísmico está relacionada con el tiempo requerido para liberar la energía de deformación acumulada, mediante ruptura a lo largo de la falla. Conforme la longitud o el área de la ruptura crecen, crece también el tiempo requerido para la ruptura. Como resultado, crece también la duración del movimiento sísmico conforme crece la magnitud del terremoto. Aún cuando esta relación ha sido comprobada empíricamente por muchos años, los avances en el modelaje de los mecanismos focales

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(Hanks & McGuire, 1981) han brindado apoyo teórico a la aseveración de que la duración debe ser porporcional a la raíz cúbica del momento sísmico. Cuando ocurre ruptura bilateral (i.e., ruptura que se propaga en direcciones opuestas desde el foco), la duración del movimiento fuerte puede ser considerablemente más baja. Un acelerograma generalmente contiene todas las aceleraciones desde el instante en que empieza el sismo hasta el momento en que el movimiento ha regresado al nivel de ruido ambiental. Para propósitos ingenieriles, solo tiene interés la fase fuerte del acelerograma. Se han tomado diferentes enfoques ante el problema de evaluar la duración de la fase fuerte de un acelerograma. La duración enmarcada (Bolt, 1969) se define como el lapso de tiempo entre la primera y la última excedencia de un cierto umbral de aceleración (usualmente 0.05g). Otra definición de duración (Trifunac & Brady, 1975b) se basa en el intervalo de tiempo entre los puntos en los cuales el 5% y el 95% de la energía total han sido registrados. Otros (Boore, 1983) han tomado la duración como igual al período esquinero (i.e., el inverso de la frecuencia esquinera). La razón de cambio de la raíz media cuadrática (rms) de la aceleración acumulada también ha sido usada para evaluar la duración de la fase fuerte (McCann & Shah, 1979). Conceptos relacionados con la densidad espectral de potencia también pueden ser usados para definir la duración de la fase fuerte (Vanmarcke & Lai, 1977). Se han propuesto también otras definiciones de duración (Perez, 1974; Trifunac & Westermo, 1977). La duración enmarcada es la definición más empleada en ingeniería sísmica porque refleja implícitamente la intensidad de la vibración. La duración de la fase fuerte ha sido investigada mediante la interpretación de acelerogramas provenientes de terremotos de diferentes magnitudes. Usando un umbral de aceleración de 0.05g, Chang & Krinitzky (1977) estimaron las duraciones enmarcadas para emplazamiento en suelo y en roca a corta distancia epicentral (menos de 10 km) como se muestra en la Tabla 3-2. Tabla 3-2 Duración típica de sismos a distancias epicentrales menores a 10 km Duración (s.) Magnitud 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5

Roca

Suelo

4 6 8 11 16 22 31 43

8 12 16 23 32 45 62 86

La duración también ha sido expresada en términos de ciclos equivalentes de movimiento del terreno. Un enfoque basado en esta premisa fue propuesto para la evaluación del potencial de licuación (Seed et al., 1975). Se desarrolló el concepto de un número equivalente de ciclos de esfuerzos significativos para representar un historial irregular de esfuerzos cortantes como una serie de ciclos de esfuerzos armónicos. El número equivalente de ciclos de esfuerzo uniforme, mostrado en la Tabla 3-3, fue escogido como

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aquel capaz de causar aumento de la presión de poro equivalente a la de una variación real del historial de esfuerzo cortante a una amplitud de esfuerzo armónico de 65% del máximo esfuerzo cortante real. Tabla 3-3 Número equivalente de ciclos de esfuerzo uniforme Magnitud 5¼ 6 6¾ 7½ 8½

Número de ciclos significativos de esfuerzo 2-3 5 10 15 26

Ejemplo 3.5 Determine las duraciones enmarcadas de los componentes E-W de los acelerogramas de Gilroy No.1 (roca) y Gilroy No.2 (suelo). Solución: Basados en el umbral de aceleración de 0.05g, las duraciones acotadas pueden obtenerse gráficamente de los acelerogramas mostrados en la figura E3-5. Para Gilroy No. 1 (roca): Td = 9.8 s. y para Gilroy No. 2 (suelo): Td = 14.7s.

Otros parámetros del movimiento sísmico Los parámetros anteriores están relacionados principalmente con la amplitud, el contenido de frecuencias o la duración del movimiento sísmico. Como todas estas características son importantes, los parámetros que reflejen a más de una son muy útiles. En los párrafos a continuación se presentan un número de parámetros que reflejan dos o tres caracteristicas importantes del movimiento sismico. Aceleración (rms): (aceleración de raíz media cuadrática). Es un parámetro simple que incluye los efectos de amplitud y contenido de frecuencia del registro. Se define como: T

= arms

2 1 d =  a ( t )  dt ∫ Td 0

λ0

donde Td es la duración de la fase fuerte y λo es la intensidad promedio (o aceleración media cuadrática). Como la integral de esta ecuación no se ve influenciada por grandes aceleraciones de frecuencias altas (las cuales ocurren en un intervalo de tiempo muy breve) y porque está influida por la duración del movimiento, la aceleración rms puede ser muy útil para propósitos ingenieriles. Su valor sin embargo, es muy sensible al método usado para definir la duración de la fase fuerte del movimiento fuerte. Intensidad de Arias: Un parámetro muy cercano a la aceleración rms es la intesidad de Arias (Arias, 1970), definida como Ia =

π

∞

 a ( t )  2g ∫ 

2

dt

0

La intesidad de Arias tiene unidades de velocidad y usualmente se expresa en metros por segundo. Como es obtenida mediante integración sobre la duración completa en vez de

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sobre la duración de la fase fuerte, su valor es independiente del método usado para definir la duración del movimiento. Ejemplo 3.6 Determine la aceleración rms y la intensidad de Arias para los componentes E-W de los acelerogramas de Gilroy No.1 (roca) y Gilroy No.2 (suelo). Solución Integrando numéricamente los acelerogramas de Gilroy No.1 (roca) y Gilroy No.2 (suelo), las aceleraciones rms y las intensidades de Arias son: arms = 0.112g I a = 0.168 m/s, y Para Gilroy No. 1 (roca): para Gilroy No. 2 (suelo):

arms = 0.072g

I a = 0.123 m/s.

Intensidad característica: Se define como 0.5 I c = a1.5 rmsTd Está relacionada linealmente con el Indice de Daño Estructural debido a deformaciones máximas y energía histerética absorbida (Ang, 1990). Velocidad absoluta acumulativa: Area bajo la curva del valor absoluto del acelerograma: CAV =

Td

∫ a ( t ) dt 0

Se correlaciona bien con el potencial de daño estructural. Por ejemplo, un CAV de 0.30 g-s. (Obtenido después de filtrar frecuencias por encima de 10 Hz) corresponde a la cota inferior para un movimiento de MMI VII (Benjamín & Associates, 1988). Intensidad de espectro de respuesta: Como la mayoría de las estructuras tienen períodos fundamentales entre 0.1 y 2.5s, las ordenadas del espectro de respuesta en este rango de períodos deberían dar una indicación del potencial de respuesta de estas estructuras. Por lo tanto, se definió (Housner, 1959) la intensidad de espectro de respuesta como SI (ξ ) =

2.5

∫ PSV (ξ , T ) dT

0.1

(i.e., el área bajo el espectro de respuesta de pseudovelocidades entre 0.1 y 2.5s.) La intensidad de espectro de respuesta, como se indica, puede ser calculada para cualquier razón de amortiguamiento estructural. Captura aspectos importantes de la amplitud y del contenido de frecuencias (en el rango de importancia primaria para estructuras) en un único parámetro. Von Thun et al. (1988) designaron como intensidad del espectro de velocidad a la intensidad del espectro de respuesta para un amortiguamiento de 5%. Se ha establecido que la intensidad del espectro de velocidad resulta útil para la respuesta de represas de tierra y de enrocamiento, las cuales tienen usualmente periodos fundamentales de 0.6 a 2.0 s (Makdisi & Seed, 1978). Para caracterizar el movimiento sismico para el analisis de

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represas de concreto, las cuales usualmente tienen periodos fundamentales de menos de 0.5 s, Von Thun et al. (1988) propusieron la intensidad de aceleración espectral como el área bajo el espectro de respuesta de aceleración entre 0.1 y 0.5s: 0.5

= ASI

S (ξ ∫= a

0.05, T ) dT

0.1

Aceleración y velocidad máximas efectivas EPA y EPV: El Applied Technology Council (1978) definió dos factores mediante los cuales se pudiera normalizar los espectros de respuesta. La aceleración máxima efectiva (EPA) fue definida como el promedio de la aceleración espectral para el rango de períodos de 0.1 a 0.5 segundos, dividida por 2.5 (factor de amplificación usual para el espectro de 5% de amortiguamiento). La velocidad máxima efectiva (EPV) fue definida como la velocidad espectral promedio para T = 1s también dividida por 2.5. La figura 3-19 muestra en forma esquemática la determinación de EPA y EPV. El proceso de promediar las aceleraciones y velocidades espectrales minimiza la influencia de picos en el espectro de respuesta. Ambos valores han sido usados en la especificación de espectros suavizados de diseño empleados en códigos de construcción.

Resumen Se ha presentado una gran variedad de parámetros de medición del movimiento fuerte del terreno. Algunos describen únicamente la amplitud del movimiento, otros solamente el contenido de frecuencia o la duración. Algunos de estos parámetros son influenciados por dos o tres de estas importantes características del movimiento sísmico. La Tabla 3-4 indica cual característica influye más fuertemente en cada uno de los parámetros. Los análisis de amenaza sísmica y el desarrollo de movimientos sísmicos de diseño dependen en mucho de la caracterización del movimiento sísmico fuerte mediante los parámetros presentados. La caracterización mediante un único parámetro es apropiada en muy pocas ocasiones; usualmente se requiere del uso de varios parámetros para lograr la descripción adecuada de las características importantes del movimiento sísmico. Como los diferentes problemas de ingeniería son influenciados por características diferentes del movimiento sísmico, la significancia de los diferentes parámetros depende entonces de los tipos de problemas para los cuales se empleen.

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Tabla 3-4 Características del movimiento sísmico reflejadas significativamente en los diferentes parámetros de medición Características del movimiento sísmico Amplitud Contenido de frecuencias Duración     

Parámetro de medición del movimiento sísmico Aceleración máxima, PHA, PVA Velocidad máxima, PHV Aceleración máxima sostenida, SMA Aceleración efectiva de diseño, EDA Período predominante, Tp Ancho de banda Frecuencia central, Ω Factor de forma, δ Intensidad de espectro de potencia,



G0

Frecuencia del suelo, ω g





Amortiguamiento del suelo,

ξg



ν max amax Duración, Td Aceleración rms,

   

 

arms

Intensidad característica, Intensidad de Arias,

Ic

Ia

Velocidad cumulativa absoluta, CAV Intensidad de espectro de respuesta, SI(ξ) Intensidad de espectro de velocidad, VSI Intensidad de espectro de aceleración, ASI Aceleración máxima efectiva, EPA Velocidad máxima efectiva, EPV

















     

     



3.4 Estimación de Parámetros de Medición del Movimiento El diseño correcto de estructuras e instalaciones sismo-resistentes requiere de la estimación de los niveles de movimiento sísmico fuerte a los cuales aquellas se verán sometidas. Como el nivel de sacudida es más convenientemente descrito en términos de parámetros de medición del movimiento fuerte, es necesario entonces contar con metodologías para su estimación. Se utilizan relaciones predictivas para la descripción de estos parámetros. Estas relaciones son expresadas en términos de las variables que afectan más significativamente al parámetro deseado. Las relaciones predictivas juegan un papel muy importante en los análisis de amenaza sísmica usados para diseño sísmico.

Efectos de distancia y magnitud La mayor parte de la energía liberada mediante ruptura a lo largo de una falla toma la forma de ondas de esfuerzo. Como la cantidad de energía liberada en un sismo esta fuertemente relacionada con su magnitud, las características de las ondas de esfuerzo

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también estarán fuertemente ligadas a la magnitud. La figura 3-20 ilustra la influencia de la magnitud del sismo sobre las características reales del movimiento sísmico en el dominio del tiempo. Cada terremoto provenía esencialmente de la misma fuente, y cada acelerograma fue obtenido más o menos a la misma distancia de la fuente. Las variaciones en la amplitud, el contenido de frecuencias y la duración con la magnitud son evidentes. Conforme las ondas de esfuerzo se alejan de la fuente del sismo, se esparcen y son parcialmente absorbidas por los materiales en los que se propaga. Como resultado, la energía específica (energía por unidad de volumen) decrece conforme crece la distancia a la fuente. Como las características de las ondas de esfuerzo están fuertemente relacionadas con la energía específica, también lo estarán con la distancia. La distancia entre la fuente de un sismo y un sitio en particular puede ser interpretada de diversas formas. La figura 3-21 ilustra algunas de las mediciones de distancia más usadas. R1 y R2 son las distancias hipocentral y epicentral, que son las distancias más fáciles de determinar después de la ocurrencia de un sismo. Sin embargo, si la longitud de la ruptura de la falla es una fracción significativa de la distancia entre la falla y el sitio, la energía puede ser liberada más cerca del sitio, y R1 y R2 podrían no representar la “distancia efectiva” de manera precisa. R3 es la distancia a la zona de más alta liberación de energía. Como la ruptura de esta zona es probablemente responsable de producir las amplitudes pico del movimiento sísmico, entonces ésta representa la mejor medida de la distancia para las relaciones predictivas para amplitudes pico. Desafortunadamente su ubicación es difícil de determinar después del terremoto y casi imposible de predecir antes del terremoto. R4 es la distancia más cercana a la zona de ruptura (sin incluir sedimentos sobre roca) y R5 es la distancia más cercana a la proyección superficial de la ruptura de la falla. R4 y R5 han sido usadas extensivamente en relaciones predictivas.

Desarrollo de relaciones predictivas Y = f ( M , R, Pi ) donde M es magnitud R es la distancia al origen Pi son todas las variables adicionales a considerar Las relaciones predictivas se obtienen mediante análisis de regresión hechos sobre los registros de movimiento fuerte. Por tal motivo, cambian conforme se obtiene más información. La forma funcional de la relación predictiva es seleccionada para que refleje la mecánica del proceso de movimiento del terreno de la manera más precisa posible. Esto minimiza el número de coeficientes empíricos y permite mayor confiabilidad en la aplicación de la relación a condiciones (magnitudes y distancias) que estén representadas pobremente en la base de datos. Los formatos usuales para las relaciones predictivas están basadas en las siguientes observaciones:

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1.

Valores máximos de los parámetros del movimiento fuerte tienen una distribución aproximadamente logarítmica normal. Esto es, los logaritmos de los parámetros tienen una distribución normal. Como resultado, la regresión es usualmente llevada a cabo con el logaritmo de Y en vez de Y.

2.

La magnitud del sismo es usualmente definida como el logaritmo del valor máximo de algún parámetro. Consecuentemente, ln Y debe ser aproximadamente proporcional a M.

3.

La dispersión de las ondas de esfuerzo conforme se alejan de la fuente sísmica causa que las amplitudes de las ondas de esfuerzo (p y s) decrezcan como 1/R y las amplitudes de las ondas superficiales (Rayleigh) decrezcan como 1 R .

4.

El área sobre la cual ocurre la ruptura de falla crece conforme mayor sea la magnitud del sismo. Como resultado, algunas de las ondas que producen movimiento fuerte en un sitio arriban desde una distancia R, y otras arriban desde distancias mayores. La distancia efectiva es entonces mayor que R por un monto que se hace más grande conforme más grande sea la magnitud.

5.

Parte de la energía acarreada por las ondas de esfuerzo es absorbida por los materiales en los que viajan (amortiguamiento del material). Este amortiguamiento del material causa que las amplitudes del movimiento del terreno disminuyan exponencialmente con R.

6.

Parámetro de movimiento sísmico pueden ser influidos por características de fuente (e.g., tipo de falla) o de sitio (e.g. roca, suelo firme, aluvión, etc.).

Combinando éstas observaciones, una relación predictiva típica podría tener la siguiente forma:

  Y =C1 + C2 M + C3 M C4 + C5 ln   R + C6 exp(C7 M )  + C8 R + f ( fuente) + f ( sitio) ln          1  3  5 6 2 4  σ ln Y = C9 1 − FZ ( z*) z* (ln Y * −ln Y ) σ ln Y = El término σ lnY describe la incertidumbre en el valor del parámetro de movimiento sísmico dado por la relación predictiva. Estadísticamente, representa una estimación de la desviación estándard de ln Y para la magnitud y distancia de interés. Hasta muy recientemente, los valores σ lnY han sido definidos como constantes. Sin embargo, relaciones predictivas propuestas recientemente indican valores σ lnY que varían con la magnitud. Para una magnitud dada, entonces, la probabilidad de que el parámetro de

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movimiento sísmico exceda un valor Y* sería 1 − FZ ( z*) , donde FZ ( z*) es el valor de la

= z* (ln Y * −ln Y ) σ ln Y . función de distribución cumulativa estándard en Cuando se usan relaciones predictivas, es muy importante saber cómo se definen parámetros tales como magnitud M y distancia R para usarlos en forma consistente. Es importante reconocer que relaciones predictivas diferentes usualmente provienen de bancos de datos diferentes. Para hacer predicciones razonables de parámetros del movimiento sísmico, es requisito usar una relación predictiva basada en datos consistentes con las condiciones pertinentes.

Estimación de Parámetros de Amplitud Las relaciones predictivas de parámetros que decrecen conforme aumenta la distancia (tales como aceleración y velocidad máximas) son denominadas usualmente como relaciones de atenuación. ACELERACIÓN MÁXIMA Como la aceleración máxima es el parámetro más frecuentemente utilizado, se han propuesto muchas relaciones de atenuación de la aceleración máxima. Todas son más apropiadas para condiciones similares a las presentes en los bancos de datos para los cuales fueron desarrolladas. Estas relaciones se han ido refinando conforme han aumentado los datos disponibles. Campbell (1981): Para sitios a menos de 50 km de la zona de ruptura en terremotos de magnitud 5.0 hasta 7.7, con datos de todo el mundo

= PHA 0.0159 exp(0.868M )[ R + 0.0606 exp(0.700 M )]−1.09 M = ML para magnitudes < 6 y MS para magnitudes > 6 R4 = Menor distancia a la ruptura de falla (km)

σ ln PHA = 0.37

Esta es una relación relativamente simple, que representaba el estado del conocimiento en 1981. La aceleración pico se considera únicamente como función de R4 y de M y σln PHA es constante. Campbell & Bozorgnia (1994): Para 4.7 < Mw < 8.1 y sitios ≤ 60 km de ruptura sísmica.

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ln PHA ( g ) = −3.512 + .904 M w − 1.328ln R42 + 0.149 exp ( 0.647 M w ) 

2

+ (1.125 − 0.112 ln R4 − 0.0957 M w ) F + ( 0.440 − 0.171ln R4 ) S SR + ( 0.405 − 0.222 ln R4 ) S HR 0.889 − 0.0691M M ≤ 7.4 0.38 M > 7.4

σ ln PHA = 

R4 = Menor distancia a ruptura sísmica (≤ 60 km) con valores mínimos de: R4 = 7.3 para M = 5.0 R4 = 5.8 para M = 5.5 R4 = 3.5 para M = 6.0 R4 = 3.0 para M = 6.5 F = Parámetro de fuente sísmica, 0 para corrimiento lateral, 1 para inversa, oblicua o tipo thrust. SSR = 1 sitios en roca blanda (depósito sedimentarios de era Terciaria). SHR = 1 sitios en roca (principalmente depósitos sedimentarios más viejos, roca metamórfica y roca cristalina). SSR = SHR = 0 para sitios aluvionales. La relación propuesta en 1994, basada en más información, es claramente más específica (y más complicada) que la propuesta en 1981. La incorporación de términos adicionales para fuente sísmica y sitio de emplazamiento es típica del refinamiento de las relaciones predictivas que ha acontecido en los últimos años. Boore et al. (1993): Para sitios ≤ 100 km de la zona de ruptura, 5.0 < Mw < 7.7. log PHA( g ) = b1 + b2 ( M w − 6) + b3 ( M w − 6) 2 + b4 R + b5 log R + b6GB + b7GC

donde R = d 2 + h 2 d = R5 = menor distancia a la proyección de la falla sobre la superficie (km). 0 para sitio clase A  GB = 1 para sitio clase B 0 para sitio clase C 

0 para sitio clase A  GC = 0 para sitio clase B 1 para sitio clase C 

Las diferentes clases definidas para cada sitio con base en la velocidad promedio de onda cortante en los primeros 30 m (100 ft) de profundidad se definen de acuerdo a la siguiente tabla: Tabla 3-5 Clasificación de sitio de emplazamiento para Relación de Atenuación de Boore et al. (1993). Clase de sitio

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ν s en primeros 30 m (100 ft)

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A B C

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> 750 m/s (2500 ft/s) 360 – 750 m/s (1200 – 2500 ft/s) 180 – 360 m/s (600 – 1200 ft/s)

Los coeficientes para la relación de atenuación de Boore propuestos consideran dos diferentes medidas de la aceleración máxima: el componente orientado aleatoriamente y el componente horizontal mayor (el primero considera dos registros horizontales ortogonales en un sitio como eventos separados y el segundo considera solo el mayor de los dos). Tabla 3-6 Coeficientes para Relación de Atenuación de Boore et al. (1993) Componente

Aleatorio Mayor

b1

b2

b3

b4

b5

b6

b7

h

σ log PHA

-0.105 -0.038

0.229 0.216

0.0 0.0

0.0 0.0

-0.778 -0.777

0.162 0.158

0.251 0.254

5.57 5.48

0.230 0.205

Toro et al. (1997): Como la corteza continental de Norteamérica oriental es más fuerte y está más intacta que la corteza occidental, las aceleraciones máximas tienden a ser mayores. Para la región central del continente, Toro et al. (1997) proponen la siguiente relación de atenuación para aceleración máxima horizontal en roca:  R  ln PHA( g )= 2.20 + 0.81( M w − 6) − 1.27 ln Rm + 0.11max  ln m , 0  − 0.0021Rm  100 

σ ln= PHA

σ M2 + σ R2

donde Rm = R 2 + 9.3 2 R = menor distancia horizontal a ruptura sísmica (km).

σM = 0.36 + 0.07( M w − 6)

para R < 5 km 0.54  σR = 0.54 − 0.0227 ( R − 5 ) para 5 km ≤ R ≤ 20 km 0.20 para R > 20 km  Youngs et al. (1997): Terremotos en zona de subducción ocurren generalmente a mayores profundidades hipocentrales que los de falla de transformación. Consecuentemente, las ondas sísmicas que emanan de estos sismos siguen trayectorias diferentes a los provenientes de fallas de transformación. Youngs et al. (1997) con registros en roca de 100 terremotos y simulaciones numéricas para sismos de Mw ≥ 8 proponen una relación de atenuación para subducción en sitio de roca:

ln PHA( g ) = 0.2418 + 1.414 M w − 2.552 ln [ R4 + 1.7818exp(0.554 M w )] + 0.00607 H + 0.3846Z T

σ ln = 1.45 − 0.1M w PHA Ing. Guillermo Santana, Ph.D.

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donde R4 = menor distancia a la zona de ruptura (km) H = profundidad

0 para eventos interfase. ZT =  1 para eventos intraplaca. Para ver las 4 relaciones presentadas, ver figura 3-22 VELOCIDAD MÁXIMA La aplicación de análisis de regresión sobre los bancos de datos de PHV ha dado como resultado un número de relaciones útiles describir la atenuación de ese parámetro. Joyner & Boore (1988): Usaron registros de movimiento fuerte para magnitudes de momento, Mw, entre 5.0 y 7.7 para proponer la siguiente relación: log PHV (cm / s ) = j1 + j2 ( M − 6) + j3 ( M − 6) 2 + j4 log R + j5 R + j6

= R

ro2 + j72

ro = distancia más corta del sitio a la proyección vertical de la ruptura de falla (km). Tabla 3-7 Coeficientes para Relación de Atenuación de Velocidad Horizontal Máxima de Joyner & Boore (1988). Componente

Aleatorio Mayor

j1

j2

j3

j4

j5

j6

j7

σ log PHV

2.09 2.17

0.49 0.49

0.0 0.0

-1.0 -1.0

-0.0026 -0.0026

0.17 0.17

4.0 4.0

0.33 0.33

Estimación de parámetros de Contenido de Frecuencias Los grandes terremotos producen movimientos del terreno mayores y de períodos más largos que los terremotos pequeños; en consecuencia, el contenido de frecuencias de un movimiento sísmico está relacionado con la magnitud del terremoto. Conforme las ondas sísmicas se alejan de una falla, sus componentes de alta frecuencia se dispersan y se absorben más rápidamente que los componentes de baja frecuencia. Como resultado, el contenido de frecuencia cambia también con la distancia. PERÍODO PREDOMINANTE Un aspecto del cambio en contenido de frecuencia con la distancia involucra el cambio del pico del espectro de Amplitud de Fourier hacia frecuencias más bajas (o períodos más altos). Como resultado, el período predominante se incrementa conforme crece la distancia, tal y como se ve en la figura 3.23. Ing. Guillermo Santana, Ph.D.

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Ejemplo 3.7 Determine el período predominante que se habría esperado para el movimiento registrado en el sitio en roca Gilroy No. 1.Estimar los valores que serían observados en sitios en roca y en suelo ubicados a 40 km de la fuente sísmica de un terremoto M = 6 cercano al epicentro del terremoto (M = 7.1) de Loma Prieta de 1989. Solución El movimiento registrado en roca en la estación Gilroy No. 1 fue obtenido a una distancia epicentral de 21.8 km del terremoto de Loma Prieta (M = 7.1). De la figura 3-23, el período predominante anticipado sería de 0.33 s. Como se determinó en un ejemplo anterior, el período predominante real del registro de la estación Gilroy No.1 fue de 0.39 s. ESPECTRO DE AMPLITUD DE FOURIER Las ordenadas del espectro de Amplitud de Fourier pueden ser estimadas empíricamente mediante regresión sobre ordenadas espectrales reales provenientes de registros de movimiento fuerte (e.g. Trifunac, 1976; McGuire et al., 1984; Tribunac & Lee, 1987; Castro et al., 1990). Además, se puede calibrar un modelo de fuente, trayectoria y comportamiento en el sitio para predecir los espectros de amplitud de Fourier. Basado en la solución de Brune (1970, 1971) para el corrimiento instantáneo de una superficie de ruptura circular, las amplitudes de Fourier para un evento de lejano a una distancia R pueden ser expresadas (McGuire & Hanks, 1980; Boore, 1983) como:  f2 1 A ( f ) = CM o  1 − ( f f c ) 1 + ( f f )8 max 

  exp(−π fR Q( f )ν s )  R 

donde fc = frecuencia esquinera (ver figura 3-14), fmax = frecuencia de corte (ver figura 3-14), Q(f) = factor cualitativo dependiente de la frecuencia (inversamente proporcional a la razón de amortiguamiento de la roca), y Rθφ FV C= 4πρ vS3 donde Rθφ ≈ .55 refleja el patrón de radiación, F = 2 refleja el efecto de superficie libre, V = 2 2 refleja la partición de la energía en dos componentes horizontales, ρ = densidad de la roca a lo largo de la superficie de ruptura, y ν s = velocidad de onda cortante para roca. Si fmax se supone constante para una región geográfica dada (valores entre 15 Hz y 40 Hz son típicos para la costa Pacífica y el este de Norteamérica respectivamente), entonces los espectros para diferentes terremotos son funciones del momento sísmico, Mo, y de fc, los cuales se pueden ser relacionados mediante (Brune, 1970, 1971) la siguiente expresión:

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 ∆σ  = f c 4.9 ×10 vs    Mo  6

donde ν s = velocidad de onda cortante para roca, en km/s, Mo = momento sísmico en dina-cm, ∆σ = parámetro de esfuerzo o caída de esfuerzo σ, en bars (en USA se usan comúnmente 50 bars para la costa oeste y 100 bars para la costa este). La figura 3-24a muestra como varían con la magnitud los espectros de amplitud de Fourier estimados con la ecuación para A( f ) . Se debe notar la gran influencia que tiene la magnitud sobre la amplitud y sobre el contenido de frecuencias del movimiento. Conforme se incrementa la magnitud, el ancho de banda se incrementa y la frecuencia esquinera decrece, lo cual implica que ocurrirá más movimiento de bajas frecuencias (períodos altos). En la figura 3-24b se muestran los acelerogramas generados con los espectros de la ecuación para A( f ) para eventos de magnitudes 4 y 7. El parámetro de esfuerzo y el momento sísmico son comúnmente utilizados para especificar el espectro fuente, dado por la expresión en paréntesis cuadrado de la ecuación para A( f ) . El último producto en la ecuación mencionada es el operador de trayectoria, el cual describe la atenuación de amplitudes de Fourier conforme la energía se aleja del sitio. Es posible también añadir a la ecuación para A( f ) una expresión que describa los efectos de la respuesta del suelo (un operador de sitio), si se considerara necesario para incluir los efectos en la cercanía de la superficie. La respuesta de depósitos de suelo durante la ocurrencia de terremotos será tratada en detalle más adelante. Como la ecuación para A( f ) está fundamentada en la mecánica de la ruptura en la fuente y en la propagación de ondas, ofrece ventajas significativas con respecto a métodos netamente empíricos para magnitudes y distancias para las cuales hay pocos o ningún dato disponible. RAZÓN ν max amax La razón vmax/amax está relacionada con la magnitud y la distancia, por lo cual representa una medida del contenido de frecuencia del movimiento del terreno. Esta relación ha sido estudiada por varios investigadores cuyos resultados son resumidos por McGuire (1978) quien propuso las relaciones entre magnitud y distancia mostradas en la siguiente tabla:

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Tabla 3-8 Dependencia de la razón ν max amax con la magnitud y el desplazamiento* Condiciones de sitio de emplazamiento Roca

Dependencia de magnitud

Dependencia de distancia

e0.40M e0.15M

R 0.12 R 0.23

Suelo

* La razón ν max amax es proporcional a éstas relaciones de dependencia. Ejemplo 3.8 Estimar los valores que serían observados en sitios en roca y en suelo ubicados a 40 km de la fuente sísmica de un terremoto M = 6 cercano al epicentro del terremoto (M = 7.1) de Loma Prieta de 1989. Solución Usando los valores de los registros de los sitios Gilroy No. 1 (roca) y Gilroy No. 2 (suelo), y recordando que esos sitios estaban ubicados a 21.8 km y a 22.8 km, respectivamente, del epicentro del terremoto (M = 7.1) de Loma Prieta de 1989, se tiene Sitio de emplazamiento en roca:

ν max e(0.40)(6) 400.12 0.054 s ≈ 0.078s (0.40)(7.1) = amax e 21.80.12

Sitio de emplazamiento en suelo:

ν max e(0.15)(6) 400.23 0.120 s ≈ 0.124 s (0.15)(7.1) = amax e 22.80.23

ORDENADAS DEL ESPECTRO DE RESPUESTA La importancia de los espectros de respuesta en la ingeniería sísmica ha hecho que se desarrollen metodologías para su estimación directa. Por muchos años la forma de todos los espectros de respuesta para una determinada clase de sitio de emplazamiento fue considerada como idéntica. Se generaron espectros de diseño mediante la mayorización de formas espectrales normalizadas mediante algún parámetro del movimiento del terreno, usualmente, PHA, la aceleración horizontal máxima. Conforme hubo mayor disponibilidad de registros del movimiento fuerte, se reconoció la dependencia de las formas espectrales con la magnitud. La figura 3-25 muestra los espectros calculados a partir de los acelerogramas mostrados en la figura 3-20. Las diferencias en las formas espectrales a diferentes magnitudes es evidente, particularmente en el rango de períodos largos. Esta diferencia en las formas espectrales a diferentes magnitudes fue tomada en cuenta, al menos parcialmente, usando PHA, PHV y desplazamiento máximo para mayorizar espectros de diseño en diferentes rangos de frecuencia (Newmark & Hall, 1978, 1982). Mas recientemente, se han propuesto relaciones predictivas para ordenadas espectrales para varios períodos de osciladores fundamentadas en análisis de regresión (e.g., Joyner & Boore, 1982, 1988; Crouse, 1991; Boore et al., 1993). Por ejemplo, Boore et al. (1993) determinaron valores de coeficientes que cuando son usados con la ecuación log PHA(g), predicen velocidades seudoespectrales para

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osciladores de diferentes períodos naturales. Estas relaciones de atenuación, cuyos coeficientes se presentan en las tablas 3-9 y 3-10, son aplicables a las mismas condiciones que las relaciones de la ecuación log PHA(g). Estos coeficientes generan espectros de respuesta suavizados como los de la figura 3-26. Aun cuando los espectros de respuesta suavizados están limitados a períodos de hasta 2 segundos, sus formas generales son similares a las de espectros reales.

Estimación de la duración La duración del movimiento sísmico fuerte aumenta conforme aumenta la magnitud del terremoto. Sin embargo, la manera en que la duración del movimiento fuerte varía con la distancia depende de como se defina aquella. Dado que las amplitudes de la aceleración disminuyen con la distancia, duraciones basadas en niveles de aceleración absolutos, como la duración acotada, deberían disminuir con la distancia. A cierta distancia, todas las aceleraciones estarán debajo del umbral y la duración acotada será cero. Esto fue confirmado por Page et al. (1972) y por Chang & Krinitzky (1977), como se puede ver en la figura 3-27. Las duraciones basadas en niveles relativos de aceleración (e.g. Trifunac & Brady, 1975; Dobry et al., 1978) aumentan con la distancia y pueden alcanzar grandes valores aún cuando las amplitudes de aceleración sean pequeñas. Para propósitos ingenieriles, la duración acotada parece proveer la indicación más razonable de la influencia de la duración en el daño potencial.

Estimación de otros parámetros Los parámetros que reflejan más de una característica importante del movimiento sísmico fuerte posiblemente tendrán mayor uso en el futuro. Sin embargo, para la mayoría se cuenta únicamente con una gama limitada de datos utilizables para el desarrollo de relaciones predictivas. Aceleración RMS Hanks & McGuire (1981) utilizaron una base de datos de terremotos californianos con magnitudes locales de 4.0 a 7.0 para desarrollar una relación de atenuación para la aceleración rms para distancias hipocentrales de 10 a 100 km (6.2 a 62 mi.):

a rms = 0.119

f max f c R

donde fmax = frecuencia de corte, fc = frecuencia esquinera, y R = distancia hipocentral, en km. Kavazanjian et.al. (1985) usaron la definición de duración propuesta por Vanmarcke & Lai (1980) con un banco de datos de 83 registros de aceleración provenientes de 18 terremotos:

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 0.966 0.255  arms =0.472 + 0.268M w + 0.129 log  2 +  − 0.1167 R R   R donde R = menor distancia a ruptura de falla y restringido a Mw > 5, R < 110 km (68 mi.), profundidades de ruptura de menos de 30 km (19 mi.), y espesor de suelo mayor o igual a 10 m (33 ft). Intensidad de Arias Campbell & Duke (1974) usando sismos de California para distancias entre 15 y 110 km (9 y 68 mi.) y eventos de magnitudes de 4.5 a 8.5.

I a ( m s ) = 313

exp( M s ( 0.33M s − 1.47 ) S R 3.79

0.57 R 0.46  1.02 R 0.51 donde S =  0.81 0.37 R 0.56 R 0.74 

roca basal. roca sedimentaria. aluvión ≤ 60 ft espesor. aluvión > 60 ft espesor.

R = distancia al centro de liberación de energía, en km. Wilson (1993) analizó registros de California y propuso una relación de atenuación basada en la intensidad de Arias:

log I a (m / s ) = M w − 2 log R − kR − 3.990 + 0.365(1 − P) R D 2 + h2 donde = D = distancia mínima horizontal a la proyección vertical del plano de falla, h = factor de corrección (= 7.5 km (4.7 mi.) por defecto), k = coeficiente de absorción anelástica (= 0 por defecto), y P = probabilidad de excedencia.

Intensidades espectrales de aceleración y velocidad Van Thun et al. (1988) usaron 30 registros, obtenidos principalmente en afloramientos de roca en costa pacífica de USA y de Italia, para desarrollar relaciones de atenuación para intensidades espectrales de aceleración y velocidad que se muestran en la figura 3-28. Los grandes terremotos que ocurren en estos lugares son usualmente acompañados de fallamiento superficial. Es recomendable hacer uso de estas leyes de atenuación únicamente para áreas con condiciones tectónicas similares.

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3.5 Variabilidad Espacial del Movimiento del Terreno Se ha considerado hasta ahora la variación espacial del movimiento del terreno a escala regional. La variación también se presenta a escala local, y ésta puede ser importante para ciertos tipos de estructuras. La dimensión más grande de muchas de las estructuras es usualmente lo suficientemente pequeña como para que el movimiento del terreno en un extremo sea virtualmente el mismo que en el otro extremo. Sin embargo, para puentes y tuberías que se extienden a lo largo de distancias considerables, pueden ocurrir movimientos diferentes debajo de las diferentes partes de la estructura. En tales casos, la variación espacial local (o incoherencia) del movimiento del terreno puede aportar una influencia significativa sobre la respuesta de la estructura. La incoherencia espacial puede ser causada por un número de diferentes factores. Uno de ellos es el efecto de la onda viajera o del paso de onda, en el cual ondas no verticales llegan a diferentes puntos de la superficie del terreno en diferentes instantes, produciendo un salto de tiempo entre los movimientos en esos puntos. La figura 3-29a presenta una esquematización del arribo de un frente de ondas a tres diferentes sitios. Una causa de la incoherencia en el campo cercano es el efecto de fuente extendida, en la cual, diferencias entre la geometría de la fuente y la de los sitios de emplazamiento producen desfaces diferentes y, consecuentemente, diferencias en el movimiento en cada sitio, como se muestra en la figura 3-29b. Finalmente, se pueden producir incoherencias por efectos en la trayectoria del rayo causados por la dispersión (reflexión, retracción, etc.) que las ondas sufren a lo largo de su trayectoria debido a heterogeneidades presentes en la ruta de paso, como se muestra en la figura 3-29c. La similitud entre movimientos del terreno en diversas localidades puede ser descrita tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia. Considere dos puntos j y k para los cuales se registran acelerogramas aj(t) y ak(t). La similitud de los movimientos puede ser descrita en el dominio del tiempo por la covarianza cruzada.

= C jk (τ )

N

∑ a ( t )a ( t + τ ) i =1

j

i

k

i

Donde τ es un incremento de tiempo y N es el número de muestras en el tiempo. La autocovarianza Cjj (o Ckk), se obtiene analizando la covarianza de un acelerograma respecto a sí mismo. El valor máximo de autocovarianza será, obviamente, correpondiente al valor τ = 0. La similitud de los movimientos en el dominio de la frecuencia puede describirse mediante la coherencia.

γ jk (ω ) =

S jk (ω ) S jj (ω ) S kk (ω )

Donde el espectro-cruzado suavizado, Sjk(ω), es la transformada de Fourier de la covarianza cruzada y los autoespectros, Sjj(ω) y Skk(ω), son las transformadas de Fourier de las autocovarianzas, Cjj( τ ) y Ckk( τ ). La coherencia describe la correlación positiva o Ing. Guillermo Santana, Ph.D.

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negativa entre las amplitudes y los ángulos de fase de las dos series en el tiempo para cada una sus frecuencias componentes. Un valor de uno indica coherencia total (o correlación perfecta), mientras que un valor de cero indica incoherencia completa (o ninguna correlación). El módulo de coherencia (la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las partes real e imaginaria) se denomina la coherencia retrasada. Esta coherencia retrasada no se ve influida por el paso de una onda proveniente de una fuente puntual debido a que el paso de esta onda introduce únicamente un cambio de fase para cada frecuencia. Registros de movimiento del terreno obtenidos en redes locales densas muestran que la coherencia decrece con el incremento de la distancia entre puntos de medición y con incremento de la frecuencia, como se puede apreciar en la figura 3-30. Funciones de coherencia medidas con redes locales densas en California y Japón son similares a las obtenidas de la red SMART-1. Esto sugiere que podrían ser aplicables también en otras áreas también, aunque la investigación en este tema no se ha agotado (Abrahamson, 1991). Se han propuesto funciones de coherencia analíticas suavizadas (coherencia como una función de la distancia de separación y la frecuencia) que simulan las tendencias más significativas de las mediciones hechas (Haricharan & Vanmarcke, 1986; Luco & Wong, 1986; Hao et al., 1989; Abrahamson et al., 1991).

Ing. Guillermo Santana, Ph.D.

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Tabla 3-9 Coeficientes suavizados para relaciones predictivas para componente horizontal mayor de PSV con 5% de razón de amortiguamiento T

b1

b2

b3

b4

b5

b6

b7

h

σlogPHA

0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30 0.32 0.34 0.36 0.38 0.40 0.42 0.44 0.46 0.48 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00

1.700 1.777 1.837 1.886 1.925 1.956 1.982 2.002 2.019 2.032 2.042 2.056 2.064 2.067 2.066 2.063 2.058 2.052 2.045 2.038 2.029 2.021 2.013 2.004 1.996 1.988 1.968 1.949 1.932 1.917 1.903 1.891 1.881 1.872 1.864 1.858 1.849 1.844 1.842 1.844 1.849 1.857 1.866 1.878 1.891 1.905

0.321 0.320 0.320 0.321 0.322 0.323 0.325 0.326 0.328 0.330 0.332 0.336 0.341 0.345 0.349 0.354 0.358 0.362 0.366 0.369 0.373 0.377 0.380 0.383 0.386 0.390 0.397 0.404 0.410 0.416 0.422 0.427 0.432 0.436 0.440 0.444 0.452 0.458 0.464 0.469 0.474 0.478 0.482 0.485 0.488 0.491

-0.104 -0.110 -0.113 -0.116 -0.117 -0.117 -0.117 -0.117 -0.115 -0.114 -0.112 -0.109 -0.105 -0.101 -0.096 -0.092 -0.088 -0.083 -0.079 -0.076 -0.072 -0.068 -0.065 -0.061 -0.058 -0.055 -0.048 -0.042 -0.037 -0.033 -0.029 -0.025 -0.022 -0.020 -0.018 -0.016 -0.014 -0.013 -0.012 -0.013 -0.014 -0.016 -0.019 -0.022 -0.025 -0.028

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

-0.921 -0.929 -0.934 -0.938 -0.939 -0.939 -0.939 -0.938 -0.936 -0.934 -0.931 -0.926 -0.920 -0.914 -0.908 -0.902 -0.897 -0.891 -0.886 -0.881 -0.876 -0.871 -0.867 -0.863 -0.859 -0.856 -0.848 -0.842 -0.837 -0.833 -0.830 -0.827 -0.826 -0.825 -0.825 -0.825 -0.828 -0.832 -0.837 -0.843 -0.851 -0.859 -0.868 -0.878 -0.888 -0.898

0.039 0.065 0.087 0.106 0.123 0.137 0.149 0.159 0.169 0.177 0.185 0.198 0.208 0.217 0.224 0.231 0.236 0.241 0.245 0.249 0.252 0.255 0.258 0.261 0.263 0.265 0.270 0.275 0.279 0.283 0.287 0.290 0.294 0.297 0.301 0.305 0.312 0.319 0.326 0.334 0.341 0.349 0.357 0.365 0.373 0.381

0.128 0.150 0.169 0.187 0.203 0.217 0.230 0.242 0.254 0.264 0.274 0.291 0.306 0.320 0.333 0.344 0.354 0.363 0.372 0.380 0.388 0.395 0.401 0.407 0.413 0.418 0.430 0.441 0.451 0.459 0.467 0.474 0.481 0.486 0.492 0.497 0.506 0.514 0.521 0.527 0.533 0.538 0.543 0.547 0.551 0.554

6.18 6.57 6.82 6.99 7.09 7.13 7.13 7.10 7.05 6.98 6.90 6.70 6.48 6.25 6.02 5.79 5.57 5.35 5.14 4.94 4.75 4.58 4.41 4.26 4.11 3.97 3.67 3.43 3.23 3.08 2.97 2.89 2.85 2.83 2.84 2.87 3.00 3.19 3.44 3.74 4.08 4.46 4.86 5.29 5.74 6.21

0.194 0.194 0.193 0.193 0.193 0.194 0.194 0.195 0.195 0.196 0.196 0.198 0.199 0.201 0.202 0.204 0.205 0.206 0.208 0.209 0.211 0.213 0.213 0.215 0.216 0.217 0.221 0.223 0.226 0.229 0.232 0.234 0.237 0.240 0.242 0.245 0.249 0.254 0.258 0.262 0.267 0.270 0.274 0.279 0.283 0.287

Ing. Guillermo Santana, Ph.D.

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Tabla 3-10 Coeficientes suavizados para relaciones predictivas para componente horizontal aleatorio de PSV con 5% de razón de amortiguamiento T

b1

b2

b3

b4

b5

b6

b7

h

σlogPHA

0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30 0.32 0.34 0.36 0.38 0.40 0.42 0.44 0.46 0.48 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00

1.653 1.725 1.782 1.828 1.864 1.892 1.915 1.933 1.948 1.959 1.967 1.978 1.982 1.982 1.979 1.974 1.967 1.959 1.950 1.940 1.930 1.920 1.910 1.900 1.890 1.881 1.857 1.835 1.815 1.797 1.781 1.766 1.753 1.742 1.732 1.724 1.710 1.701 1.696 1.695 1.696 1.700 1.706 1.715 1.725 1.737

0.327 0.318 0.313 0.309 0.307 0.305 0.305 0.305 0.306 0.308 0.309 0.313 0.318 0.323 0.329 0.334 0.340 0.345 0.350 0.356 0.361 0.365 0.370 0.375 0.379 0.384 0.394 0.403 0.411 0.418 0.425 0.431 0.437 0.442 0.446 0.450 0.457 0.462 0.466 0.469 0.471 0.472 0.473 0.472 0.472 0.471

-0.098 -0.100 -0.101 -0.101 -0.100 -0.099 -0.098 -0.096 -0.094 -0.092 -0.090 -0.086 -0.082 -0.078 -0.073 -0.070 -0.066 -0.062 -0 059 -0.055 -0.052 -0.049 -0.047 -0.044 -0.042 -0.039 -0.034 -0.030 -0.026 -0.023 -0.020 -0.018 -0.016 -0.015 -0.014 -0.014 -0.013 -0.014 -0.015 -0.017 -0.019 -0.022 -0.025 -0.029 -0.032 -0.037

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

-0.934 -0.937 -0.939 -0939 -0.938 -0.937 -0.935 -0.933 -0.930 -0.927 -0.924 -0.918 -0.912 -0.906 -0.899 -0.893 -0.888 -0.882 -0.877 -0.872 -0.867 -0.862 -0.858 -0.854 -0.850 -0.846 -0.837 -0.830 -0.823 -0.818 -0.813 -0.809 -0.805 -0.802 -0.800 -0.798 -0.795 -0.794 -0.793 -0.794 -0.796 -0.798 -0.801 -0.804 -0.808 -0.812

0.046 0.071 0.093 0.111 0.127 0.140 0.153 0.163 0.173 0.182 0.190 0.203 0.214 0.224 0.232 0.239 0.245 0.251 0.256 0.260 0.264 0.267 0.271 0.273 0.276 0.279 0.284 0.289 0.293 0.297 0.300 0.303 0.306 0.309 0.312 0.314 0.319 0.324 0.328 0.333 0.338 0.342 0.347 0.351 0.356 0.360

0.136 0.156 0.174 0.191 0.206 0.221 0.234 0.246 0.258 0.269 0.279 0.297 0.314 0.329 0.343 0.356 0.367 0.378 0.387 0.396 0.405 0.413 0.420 0.427 0.433 0.439 0.452 0.464 0.474 0.483 0.490 0.497 0.503 0.508 0.513 0.517 0.523 0.528 0.532 0.535 0.537 0.538 0.539 0.539 0.538 0.537

6.27 6.65 6.91 7.08 7.18 7.23 7.24 7.21 7.16 7.10 7.02 6.83 6.62 6.39 6.17 5.94 5.72 5.50 5.30 5.10 4.91 4.74 4.57 4.41 4.26 4.13 3.82 3.57 3.36 3.20 3.07 2.98 2.92 2.89 2.88 2.90 2.99 3.14 3.36 3.62 3.92 4.26 4.62 5.01 5.42 5.85

0.208 0.208 0.208 0.209 0.209 0.211 0.211 0.212 0.213 0.215 0.215 0.218 0.220 0.222 0.225 0.226 0.228 0.230 0.232 0.235 0.236 0.238 0.239 0.241 0.243 0.244 0.248 0.251 0.254 0.257 0.259 0.261 0.264 0.266 0.268 0.270 0.274 0.277 0.280 0.283 0.285 0.286 0.289 0.290 0.292 0.293

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Figura 3-1 Acelerogramas registrados en dos estaciones en Gilroy, California durante el terremoto de Loma Prieta en 1989. El instrumento de la estación Gilroy No. 1 estaba ubicado en un afloramiento de roca de arenisca Franciscana, mientras que la estación Gilroy No. 2 estaba sobre un depósito de suelo aluvional firme de 165 m (540 ft) de profundidad. Estas estaciones estaban localizadas a 21.8 km (13.5 mi.) y 22.8 km (14.2 mi.) del epicentro respectivamente.

Figura 3-2 Tipo de sismógrafo simple compuesto de masa, resorte y amortiguador. La cubierta está conectada firmemente al terreno. Cuando el terreno se mueve, la aguja marca una traza sobre el tambor rotatorio que registra el desplazamiento relativo entre la masa y el terreno.

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Figura 3-3 (a) Razón de respuesta de desplazamiento y (b) razón de respuesta de aceleración ( ωo = 1 rad/s) para un S1GL sometido a un movimiento basal armónico simple.

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Figura 3-4 (a) Acelerógrafo digital (energía solar, resolución de 16 bits, 250 muestras/s., reloj GPS y modem celular) instalado en una bóveda de concreto reforzado, y (b) instalación completa con cobertor de aislamiento y panel solar. (Cortería de Terra Technology Corp., Redmond, Washington)

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Figura 3-5 (a) Sismoscopio del tipo Wilmot en el cual una aguja fija inscribe el registro de movimiento relativo sobre una placa de vidrio ahumado contada sobre el sismoscopio suspendido; (b) registro de sismoscopio. (Tomado de Newmark & Rosenblueth, 1971.)

Figura 3-6 Ubicación de estaciones acelerográficas en America Central y sur de México. También se muestran los epicentros de terremotos registrados por esas estaciones (Tomado de Estudio NORSAR, 1994.)

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Figura 3-7 Configuración original de la red SMART-1 en Lotung, Taiwan.

Figura 3-8 Red El Centro en California del sur. La red diferencial El Centro está ubicada cerca de la Estación No. 9.

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CORRECTED ACCELEROGRAM 47379-S2602-89291.01 CHAN 1: 90 DEG FROM UNCORRECTED ACCELEROGRAM DATA PROCESSED: 1/31/90, CDMG QL89A379 SANTA CRUZ MTNS (LOMA PRIETA) EARTHQUAKE OCTOBER 17, 1989 17:04 PDT (ORIGIN(USGS): 10/18/89, 00:04:02.2 GMT) 47379-S2602-89291.01 TRIGGER TIME: 10/18/89, 00:04:23.9 GMT STATION NO. 47379 36.973N, 121.572W SMA-1 S/N 2602 GILROY #1 - GAVILAN COLLEGE, WATER TANK CHAN 1: 90 DEG SANTA CRUZ MTNS (LOMA PRIETA) EARTHQUAKE OCTOBER 17, 1989 17:04 PDT HYPOCENTER(USGS): 37.037N, 121.883W, H=18KM. ML=7.0(BRK). MS=7.1(NEIS) INSTR PERIOD = .0395 SEC, DAMPING = .600, SENSITIVITY = 1.81 CM/G. RECORD LENGTH = 39.980 SEC. UNCOR MAX = .485 G, AT 4.223 SEC. RMS ACCEL OF (UNCOR) RECORD = .053 G. ACCELEROGRAM BANDPASS FILTERED WITH RAMPS AT .080- .160 AND 23.00-25.00 CYC/SEC 2000 POINTS OF INSTRUMENT- AND BASELINE-CORRECTED ACCEL, VELOC AND DISPL DATA AT EQUALLY-SPACED INTERVALS OF .020 SEC. PEAK ACCELERATION = 433.616 CM/SEC/SEC AT 3.920 SEC. PEAK VELOCITY = -33.837 CM/SEC AT 3.780 SEC. PEAK DISPLACEMENT = 6.323 CM AT 3.640 SEC. INITIAL VELOCITY = -.673 CM/SEC; INITIAL DISPLACEMENT = 1.313 CM SANTA CRUZ MTNS (LOMA PRIETA) EARTHQUAKE OCTOBER 17, 1989 17:04 PDT 47379-S2602-89291.01 GILROY #1 - GAVILAN COLLEGE, WATER TANK CHAN 1: 90 DEG 1 1 1 3 3 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 90 8026 40 39 71 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8026 8026 2000 4 10 10 0 0 71 84 10 10 0 2000 0 2000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .040 .600 39.996 .053 .100 1.810 .485 4.223 25.300 50.000 2.762 50.000 4.983 .066 3.677 5.181 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 98.067 .005 39.996 158.965 .000 .000 25.000 2.000 39.980 .020 .160 .080 .000 3.920 433.616 3.780 -33.837 3.640 6.323 -.673 .160 23.000 .200 .200 1.313 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 2000 POINTS OF ACCEL DATA EQUALLY SPACED AT .020 SEC. (UNITS: CM/SEC/SEC) -20.541 -10.198 12.480 .831 -11.385 2.348 .772 -2.575 -2.715 -1.435 -3.404 -9.306 10.711 .109 -8.977 -.495 10.054 -6.537 -10.167 2.486 4.442 3.554 .283 1.666 -7.948 10.210 21.702 14.108 -10.063 -23.459 -6.739 4.025 16.853 11.604 -12.744 -4.642 7.074 6.683 -5.426 -3.598 3.896 -17.755 -33.425 -6.764 5.206 -.322 3.644 -.816 -13.996 6.224 16.627 -17.072 -4.124 22.965 -23.256 -33.035 36.794 16.307 -7.979 -34.729 18.142 43.163 3.443 -1.367

Figura 3-9 Evento, tamaño e información del registro que precede los datos de aceleración para la Estación Gilroy No. 1 (roca).

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Figura 3-10 Variación con el tiempo de la aceleración, la velocidad y el desplazamiento para los componentes E-W de los registros de movimiento fuerte obtenidos en Gilroy No. 1 (roca) y Gilroy No. 2 (suelo). Las velocidades y los desplazamientos fueron obtenidos mediante integración de los registros de aceleración mostrados en la figura 3-1 usando la regla del trapecio. Nótese que la estación Gilroy No. 1 experimentó aceleraciones más altas, pero la estación Gilroy No. 2 experimentó velocidades y desplazamientos más altos.

Figura 3-11 Diferentes propuestas de relaciones entre PHA y MMI. (Tomado de Trifunac & Brady, 1975a.)

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Figura 3-12 Acelerogramas pertenecientes a (a) registro del sismo de Stone Canyon (M = 4.6, 1972) y (b) registro longitudinal del sismo de Koyna (M = 6.5, 1967). Las escalas de tiempo y aceleración son idénticas para ambos registros. Los valores de aceleración máxima son muy similares, ilustrándose de esta forma la desventaja de utilizar un único parámetro para representar el movimiento producido por un terremoto.

Figura 3-13 Espectros de amplitudes de Fourier para los componentes E-W de los registros de Gilroy No. 1 (roca) y Gilroy No. 2 (suelo). Los espectros fueron obtenidos con transformada discrete de Fourier y consecuentemente tienen unidades de velocidad.

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Figura 3-14 Forma idealizada de un espectro de amplitudes de Fourier suavizado mostrando la frecuencia esquinera, fc, y la frecuencia de corte, fmax.

Figura 3-15 Espectros de respuesta (5% de amortiguamiento) obtenidos con los acelerogramas de las estaciones Gilroy No. 1 (roca) y Gilroy No. 2 (suelo). Los contenidos de frecuencia de ambos registros se reflejan en los espectros de respuesta. Por ejemplo, el registro de Gilroy 1 muestra aceleraciones espectrales más altas para períodos cortos y menores aceleraciones espectrales para períodos largos que el registro de Gilroy 2. El alto contenido de períodos largos del registro de Gilroy 2 produce velocidades y desplazamientos espectrales más altos que los del registro de Gilroy 1.

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Figura 3-16 Espectros de respuesta inelásticos para el componente N-S del registro de El Centro del terremoto de Imperial Valley de 1940. Solo se muestra la parte elástica del desplazamiento. Las aceleraciones espectrales son correctas, mas no así las velocidades espectrales. (Tomado de Newmark & Hall, 1982.)

Figura 3-17 Dos espectros de amplitudes de Fourier hipotéticos con el mismo período predominante pero con contenidos de frecuencia muy diferentes. La curva superior describe un movimiento de banda ancha y la curva inferior uno de banda angosta.

Figura 3-18 Forma de la función de densidad espectral de potencia de Kanai-Tajimi.

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Figura 3-19 Determinación de la aceleración efectiva y de la velocidad efectiva a partir del espectro de respuesta. (Tomado de ATC-3-06, 1978.)

Figura 3-20 Acelerogramas de seis terremotos en la costa pacífica de México. Cada acelerograma fue medido a una distancia epicentral similar. El registro de M=8.1 (Michoacán 1985) continua por 25 segundos más.

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Figura 3-21 Diferentes mediciones de la distancia usada para relaciones predictivas de sacudida fuerte del terreno. (Tomado de Shakal & Bernreuter, 1981.)

Figura 3-22 Variación de la aceleración máxima horizontal con la distancia para terremotos de M=5.5, M=6.5 y M=7.5 de acuerdo a varias relaciones de atenuación: (a) Campbell & Bozorgnia (1994), para roca suave y falla de corrimiento lateral; (b) Boore et al. (1993), para sitio clase B; (c) Toro et al. (1994); y (d) Youngs et al. (1988), para eventos intraplaca.

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Figura 3-23 Variación del período predominante en afloramientos de roca con respecto a la magnitud y a la distancia. (Tomado de Seed et al., 1969.)

Figura 3-24 (a) Variación del espectro de amplitud de Fourier a R = 10 km para diferentes magnitudes; (b) acelerogramas generados a partir de espectros para M = 4 y M = 7. (Tomado de Boore, 1983.)

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Figura 3-25 Espectros de respuesta de acelerogramas de la figura 3-20.

Figura 3-26 Espectros de respuesta para el componente aleatorio del movimiento del terreno en un sitio clase B a una distancia R = 10 km según la relación predictiva de Boore et al. (1993): (a) espectros de pseudovelocidad, (b) espectros de pseudoaceleración calculados a partir de las pseudovelocidades.

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Figura 3-27 Variación de la duración acotada (umbral de 0.05g) con la magnitud y la distancia epicentral: (a) sitio de roca; (b) sitio de suelo. (Tomado de Chang & Krinitzky, 1977.)

Figura 3-28 Atenuación de (a) intensidad espectral de aceleración y (b) intensidad espectral de velocidad. (Tomado de Von Thun et al., 1988.)

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Figura 3-29 Fuentes de movimiento sísmico incoherente: (a) efecto de onda causa que frente de onda inclinado llegue a los puntos 1, 2 y 3 en diferentes instantes; (b) efecto de fuente extendida causa que ondas debidas a rupturas en A y B lleguen a los puntos 1 y 2 en diferentes instantes; (c) dispersión de ondas por heterogeneidades causa que ondas diferentes lleguen a sitios diferentes en instantes también diferentes. (Tomado de Abrahamson, 1991.)

Figura 3-30 Medición del decrecimiento de la coherencia con el aumento de la frecuencia y la distancia de separación para un evento de M = 6.9 a una distancia hipocentral de 30.6 km y a una distancia epicentral de 116.6 km de la red densa SMART-1 en Lotung, Taiwan. (Tomado de Haricharan & Vanmarcke, 1986.)

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Figura E3-3 Espectros de amplitud de Fourier inicial y simplificado para Gilroy No.1 (a) (roca) y Gilroy No. 2 (b) (suelo).

Figura E3-5 Duración enmarcada para acelerogramas del terremoto de Loma Prieta.

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4. ANÁLISIS DE AMENAZA SÍSMICA 4.1 Introducción En América Central, y en particular en Costa Rica, la amenaza a las actividades humanas proveniente de los terremotos requiere de cuidadosa consideración en el diseño de edificios y otras obras. El objetivo del diseño sismo-resistente es producir una estructura o cualquier otra obra que pueda resistir un cierto nivel de excitación sin sufrir daño excesivo. Ese nivel de excitación se describe como un movimiento sísmico de diseño, el cual puede ser caracterizado mediante parámetros del movimiento sísmico de diseño. La especificación de estos parámetros es uno de los más difíciles y a la vez más importantes problemas de la ingeniería sísmica. Mucha de la dificultad en la especificación del movimiento sísmico de diseño estriba en su inevitable dependencia en decisiones subjetivas que deben ser tomadas con información incompleta e incierta. Estas decisiones giran fundamentalmente en torno a la definición del límite entre daño aceptable, daño inaceptable, e incertidumbre en el tamaño, fecha, hora y ubicación de futuros terremotos. Si se acepta muy poco daño, se debe diseñar para un nivel relativamente alto de excitación sísmica. Si se aceptan niveles de daño superiores, se pueden considerar entonces niveles menores de excitación de diseño y por lo tanto el diseño resultante será menos costoso. Obviamente, hay ventajas y desventajas entre el costo a corto plazo de brindar diseño sismo-resistente y el costo potencial a largo plazo de daños inducidos por terremotos (que para muchas estructuras podrían nunca ocurrir). Los análisis de amenaza sísmica envuelven la estimación cuantitativa de la peligrosidad de los movimientos del terreno en un sitio en particular. Las amenazas sísmicas pueden ser analizadas determinísticamente, como cuando se supone un escenario de terremoto en particular, o probabilísticamente, como cuando se consideran explícitamente las incertidumbres en el tamaño, la ubicación, la fecha y la hora de ocurrencia del terremoto. Aun cuando el análisis de amenaza sísmica representa una parte crítica en la estimación de los movimientos sísmicos de diseño, no es la única parte que interviene. En las siguientes páginas se presentan los diferentes métodos utilizados en el análisis de la amenaza sísmica; el problema más amplio de movimientos sísmicos de diseño será tratado más adelante.

4.2 Identificación y Evaluación de Fuentes Sísmicas Para evaluar la amenaza sísmica en un sitio o región en particular, se deben identificar todas las posibles fuentes de actividad sísmica y su potencial para generar movimiento sísmico fuerte a futuro. La identificación de fuentes sísmicas requiere trabajo detectivesco; se deben observar e interpretar claves de la naturaleza, algunas de ellas obvias y otras muy oscuras.

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La disponibilidad de sismógrafos modernos y de redes sismográficas ha hecho conveniente la observación e interpretación de los terremotos recientes. La ocurrencia de un gran terremoto es ahora registrada por cientos de sismógrafos alrededor del mundo. En pocas horas, los sismólogos están en capacidad de determinar su magnitud, ubicar su superficie de ruptura e inclusive evaluar sus parámetros focales. En este siglo es virtualmente imposible que un terremoto significativo en cualquier parte del mundo pase sin ser detectado. La capacidad actual de identificar y localizar todas las fuentes sismogénicas es un desarrollo relativamente reciente, particularmente cuando se compara con la escala de tiempo en la cual ocurren usualmente los grandes terremotos. El hecho de que no se hayan registrado movimientos fuertes en un área en particular no es garantía de que no hayan ocurrido en el pasado o de que no vayan a ocurrir en el futuro. En ausencia de registros sísmicos instrumentales, se deben descubrir otras evidencias de actividad sísmica. Estas pueden tomar la forma de evidencias geológicas o tectónicas, o de sismicidad histórica (preinstrumental).

Evidencia Geológica La teoría de tectónica de placas nos asegura que la ocurrencia de terremotos está escrita en el registro geológico, principalmente en forma de desfaces, o desplazamientos relativos, de varios estratos. Al estudio del registro geológico de actividad sísmica pasada se le denomina paleosismología (Wallace, 1981). En algunas partes del mundo, este registro geológico es fácilmente accesible y fácilmente interpretable por un geólogo sísmico entrenado. En otras localidades, empero, el registro geológico puede ser muy complejo o puede estar oculto bajo gruesas capas de sedimentos recientes que no han sido desplazados por la actividad sísmica. La identificación de fuentes sismogénicas a partir de la evidencia geológica es una parte vital, aun cuando a veces difícil, del análisis de la amenaza sísmica. La búsqueda de la evidencia geológica de fuentes sismogénicas se centra en la identificación de fallas. Hay disponibles para el geólogo una variedad de herramientas y técnicas, incluyendo la revisión bibliográfica; la interpretación de fotografía aérea y de imágenes de sensores remotos (fotografía infrarroja); el reconocimiento de campo incluyendo documentación de trincheras (Figura 4.1); las perforaciones y fosas de prueba; y las técnicas geofísicas. Los criterios de identificación de fallas se pueden encontrar en textos de geología estructural, geología de campo y geomorfología (Adair, 1979). Reiter (1990) propone la siguiente lista de características que indican fallamiento: 1.

2.

Superficies de fractura e indicadores de fracturamiento observables directamente. Estos incluyen disrupción de la superficie del terreno y evidencia del movimiento y molienda de ambos lados de la falla. Indicadores geológicos mapeables. Estos incluyen la yuxtaposición de materiales disímiles, estratos faltantes o repetidos y estratos o estructuras truncadas.

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Indicadores topográficos y geomorfológicos (formaciones superficiales) (Figura 4.2). Estos incluyen escarpes topográficos o facetas triangulares en serranías, desface de arroyos y desagües, inclinación o cambios en elevación de terrazas o líneas costeras, empozamientos en depresiones y gradientes anómalos en arroyos. Rasgos geológicos secundarios. Estos incluyen cambios abruptos de tabla de aguas, gradientes y composición química, alineamiento de nacientes de agua, o de ventanas volcánicas y la presencia de aguas termales. Lineamientos en imágenes de sensores remotos. Estos pueden ser causados por la topografía, la vegetación o los contrastes de tonos. Indicadores geofísicos de fallamiento subsuperficial. Estos incluyen gradientes lineales pronunciados de gravedad o magnetismo, diferencias en velocidad de onda sísmica y desface en los horizontes de reflección. Indicadores geodésicos. Estos incluyen movimientos de fallas detectados en levantamientos geodésicos como volcamiento o cambio de distancia entre puntos fijos (Península de Nicoya, Costa Rica).

ACTIVIDAD EN FALLAS La sola presencia de una falla no indica la probabilidad de un terremoto futuro. La noción de actividad de falla es importante y ha sido un tema de mucha discusión y controversia a lo largo de los años. Aun cuando hay consenso general respecto al uso de los términos falla activa para describir una falla que plantea una amenaza de terremoto inmediata y falla inactiva para describir una en la cual no es probable que se repita la actividad sísmica anterior, no hay consenso sobre como la actividad de falla debería ser evaluada. La definición formal de la actividad de falla es importante porque generalmente determina requisitos legales para investigaciones especiales o para disposiciones de diseño especiales. Sin embargo, existen grandes variaciones en los criterios para actividad de falla en las definiciones usadas comúnmente. Slemmons and McKinney (1977), por ejemplo, encontraron 31 diferentes definiciones del término falla activa. La mayoría estaban basados en el lapso de tiempo desde el más reciente movimiento de la falla. La División de Geología y Minas de California define una falla activa como una que ha producido un desplazamiento superficial durante el Holoceno (aproximadamente los últimos 10,000 años). Para presas, el Cuerpo de Ingenieros del Ejército de USA ha usado un lapso de tiempo de 35,000 años, y la Oficina de Reclamaciones de ese mismo país ha usado 100,000 años (Idriss, 1985). La Comisión de Regulación Nuclear de USA (Code of Federal Regulations, 1978) ha usado el término falla capaz (en vez de activa) para aquellas que exhiben: 1. movimiento en o cerca de la superficie al menos una vez en los últimos 35,000 años o movimiento de una naturaleza recurrente en los últimos 500,000 años; 2. macrosismicidad instrumental determinada con registros de suficiente precisión para demostrar un relación directa con la falla; o

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3. una relación estructural con una falla capaz, de acuerdo con las características (1) o (2) arriba, tal que se pueda anticipar razonablemente que el movimiento en una va acompañado del movimiento en la otra. En realidad, la especificación de actividad de falla para lapsos de tiempo dados no es muy realista (Cluff et al., 1972; Cluff & Cluff, 1984); las fallas no se vuelven repentinamente inactivas en el 10,000ésimo o 35,000 ésimo aniversario de su último movimiento. Más bien, la actividad de falla es relativa y puede cambiar según pasa de estado inactivo a activo a lo largo del tiempo geológico. Cluff & Cluff (1984) sugieren seis clases (y cinco subclases) de actividad de falla basadas en características tales como tasa de deslizamiento, deslizamiento por evento, longitud de ruptura, tamaño del terremoto e intervalo de recurrencia. Enfoques de este tipo ofrecen un marco más satisfactorio para la caracterización de la actividad de falla pero pueden ser difíciles de instrumentalizar en los ambientes políticos o económicos en los cuales se conducen muchos de los análisis de amenaza sísmica. INDICADORES DE MAGNITUD La evidencia geológica puede también ser usada para estimar la magnitud de eventos pasados mediante la correlación de las características de las deformaciones observadas con las magnitudes conocidas de eventos registrados. El estudio de los terremotos mundiales ha mostrado que las fallas no sufren ruptura en toda su longitud o área durante cada evento particular. Más bien, segmentos de falla individuales con fronteras controladas por características físicas (Schwartz & Coppersmith, 1986; Schwartz, 1988) se rompen en forma repetida. La longitud de ruptura, el área de ruptura y el desplazamiento en la falla pueden ser evaluados con investigaciones geológicas de campo posterremoto. La correlación de la magnitud con tales variables involucra una regresión en un conjunto limitado de datos y produce una estimación del valor esperado de la magnitud. La incertidumbre en estas estimaciones, que puede ser considerable, debe ser tomada en cuenta. La longitud de ruptura de la falla es usada generalmente para estimar la magnitud del terremoto. Muchos estudios han ilustrado la naturaleza general de la relación entre longitud de ruptura de la falla y la magnitud (e.g. Tocher, 1958; Bonilla & Buchanan, 1970; Mark & Bonilla, 1977; Slemmons, 1977, 1982; Acharaya, 1979; Chen, 1984; Bonilla et al. 1984; Wells & Coppersmith, 1994). La estimación de la magnitud basada en la longitud de ruptura de la falla no toma en cuenta las variaciones en el ancho de la superficie de ruptura; los métodos usados se ajustan mejor a casos en los cuales la superficie de ruptura es angosta, aproximadamente menor que 20 km (Bonilla et al., 1984). Obviamente, tampoco son útiles para los casos en que la ruptura no se extiende hasta la superficie del terreno. El área de ruptura de la falla, en virtud de su relación con el momento sísmico, aparecería como relacionada más estrechamente con la magnitud que la longitud de ruptura de la falla por sí sola. Más aún, en fallas de ancho mayor que 20 km, las magnitudes están más correlacionadas con el área de ruptura de la falla que con ningún otro parámetro (Wyss, 1979; Wells & Coppersmith, 1994). Aun cuando para evaluar el momento sísmico se usa el desplazamiento promedio de la falla, la poca

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disponibilidad de mediciones de desplazamiento de fallas sobre la ruptura superficial completa hace que su determinación sea imposible. En vez de esto, se han correlacionado las magnitudes con los desplazamientos máximos superficiales (Slemmons, 1982; Wells & Coppersmith, 1994). Relaciones empíricas basadas en análisis estadísticos de los datos de sismicidad mundial se presentan en la Tabla 4-1 y en la Figura 4.3. Las relaciones de la Tabla 4-1 pueden ser usadas para predecir los valores medios de las variables dependientes (Mw, log L, log A y log D); las desviaciones estándar de las variables dependientes pueden ser usadas para calcular otros valores además de los valores medios. Tabla 4-1 Relaciones empíricas entre magnitud de momento, Mw, longitud de ruptura superficial, L (km), área de ruptura, A (km2) y desplazamiento superficial máximo, D (m) Movimiento # Relación Relación σ Mw σ log L, A,D de falla Transcurrente

eventos 43

Inversa

19

Normal

15

Todas

M = 5.16 + 1.12 log L w M = 5.00 + 1.22 log L w

0.28 0.34

77

M = 4.86 + 1.32 log L w 5.08 + 1.16log L M = w

Transcurrente

83

Inversa

43

Normal

22

Todas

148

Transcurrente

43

1

21

Normal

16

Todas

80

Inversa

log L 0.74 M w − 3.55 = = log L 0.63M w − 2.86

0.23 0.21

0.28

= log L 0.50 M w − 2.01 log L 0.69 M w − 3.22 =

3.98 + 1.02 log A M = w

0.23

log A 0.90 M w − 3.42 =

0.22

M = 4.33 + 0.90log A w M = 3.93 + 1.02 log A w M = 4.07 + 0.98log A w

0.25

0.26

0.24

log A 0.98M w − 3.99 = = log A 0.82 M w − 2.87 log A 0.91M w − 3.49 =

M = 6.81 + 0.78log D w M = 6.52 + 0.44 log D w 6.61 + 0.71log D M = w M = 6.69 + 0.74 log D w

0.29

log D 1.03M w − 7.03 =

0.34

0.52

log D 0.29 M w − 1.84 =

0.42

0.34

log D 0.89 M w − 5.90 =

0.38

0.40

log D 0.82 M w − 5.46 =

0.42

0.28

0.25

0.20 0.22

0.22 0.24

Fuente: Wells & Coppersmith (1994). 1 Las relaciones de regresión no son estadísticamente significativas para un nivel de 95% de probabilidad (notar la inconsistencia de los coeficientes de regresión y las desviaciones estándar)

Ejemplo 4.1 Calcular la probabilidad de que un terremoto de magnitud de momento 7.0 en la falla de San Andrés en California, USA, pueda causar una ruptura superficial de más de 100 km. Solución: Se sabe que la falla de San Andrés en California produce movimiento transcurrente. De la Tabla 4-1, la longitud media de ruptura superficial para un terremoto Mw = 7.0 sería calculada como log= L 0.74 M w − 3.55 = 0.74 ( 7.0 ) − 3.55 = 1.63 Luego, el valor medio o esperado de L está dado por 1.63 = L 10 = 42.7 km La variación normal estándar para una ruptura superficial de 100 km de largo sería:

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log100 − log 42.7 = 1.32 0.28 De la tabla C-1, la probabilidad de que la longitud de ruptura superficial excediera 100 km es 0.0934 o 9.34%. = z

Evidencia tectónica La tectónica de placas y la teoría de rebote elástico nos dicen que los terremotos ocurren para liberar energía de deformación que se acumula conforme las placas se mueven entre ellas. La tasa de movimiento, por lo tanto, debería estar relacionada con la tasa de acumulación de energía de deformación y también con la tasa de liberación de energía de deformación (Smith, 1976; Woodward-Clyde Consultants, 1979; Idriss, 1985). Para grandes zonas de subducción, Ruff & Kanamori (1980) relacionaron magnitud máxima a la tasa de convergencia y la edad de la losa subducida ambas de acuerdo con

Mw = −0.0089T + 0.134V + 7.96 en donde T es la edad en millones de años y V es la tasa de convergencia en cm/año. Heaton y Kanamori (1984) usaron esta relación para sugerir que la zona de subducción de Cascadia en la costa de Oregon, Washington y Columbia Británica (USA y Canadá) podría ser capaz de generar grandes terremotos de magnitud superior a 8 (Figura 4.4). Posteriormente, se descubrieron evidencias geológicas e históricas de grandes terremotos a lo largo de las costas de Washington y Oregon, USA (e.g., Atwater, 1987; Atwater et al., 1987).

Sismicidad histórica También se pueden indentificar fuentes sísmicas a partir de los registros históricos (preinstrumentales) de sismicidad. El registro histórico escrito se extiende unos cuantos siglos en América Central; en Japón y en el Oriente Medio se extiende por unos 2,000 años y hasta 3,000 años en China (Ambraseys, 1971, 1978; Allen, 1975; Bolt, 1988). Crónicas históricas de los efectos del movimiento sísmico pueden ser usadas para confirmar la ocurrencia de terremotos en el pasado y para estimar la distribución geográfica de su intensidad. Cuando hay suficientes datos disponibles, la intensidad máxima puede ser determinada y usada para estimar la ubicación del epicentro del terremoto y la magnitud del evento. Aun cuando la precisión de las localizaciones propuestas de esta manera depende fuertemente de la densidad de población y de la tasa de recurrencia de los terremotos, un patrón geográfico de epicentros históricos provee una fuerte evidencia de la existencia de una zona sismogénica. Como los registros históricos están datados, también pueden usarse para evaluar la tasa de recurrencia de terremotos, o sismicidad, en áreas específicas.

Sismicidad instrumental Durante los últimos 90 a 100 años, han ocurrido anualmente en el mundo aproximadamente 10 eventos de M S > 7 (Kanamori, 1988). Los registros instrumentales

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de grandes terremotos han estado disponibles desde más o menos 1900, aun cuando muchos de antes de 1960 están incompletos o son de calidad dudosa. Sin embargo, los registros instrumentales representan la mejor información disponible para la identificación y evaluación de las fuentes sismogénicas. Su limitación más significativa es el corto periodo de tiempo, comparado con el lapso de tiempo promedio entre los grandes terremotos, para el cual están disponibles. De nuevo, la distribución de los epicentros o hipocentros localizados instrumentalmente indica la existencia de fuentes sismogénicas. El análisis de réplicas también puede ayudar en la delimitación de zonas sismogénicas.

4.3 Análisis Determinístico de Amenaza Sísmica (ADAS) En los primeros años de la ingeniería sísmica era predominante el uso de análisis determinístico de amenaza sísmica (ADAS). El ADAS requiere del desarrollo de un escenario sísmico particular sobre el cual se basa la evaluación de una amenaza de movimiento del terreno. El escenario consiste en la postulación de la ocurrencia de un terremoto de un tamaño determinado y con una ubicación específica. Un ADAS puede ser descrito como el proceso de cuatro pasos (Reiter, 1990) siguiente: 1. Identificación y caracterización de todas las fuentes (sismogénicas) capaces de producir movimientos sísmicos significativos en el sitio. Caracterización de fuente incluye definición de la geometría de cada fuente (la zona sismogénica) y el potencial sísmico. 2. Selección de un parámetro de distancia de fuente a sitio para cada zona sismogénica. En la mayoría de los ADAS se selecciona la distancia más corta entre la zona sismogénica y el sitio de interés. La distancia puede ser expresada como una distancia epicentral o hipocentral, dependiendo de la medida de distancia en la relación predictiva usada en el siguiente paso. 3. Selección del terremoto de control (i.e., el terremoto que se anticipa producirá el nivel más alto de excitación) en el sitio, generalmente expresado en términos de algún parámetro del movimiento sísmico. La selección se hace comparando los niveles de excitación producidos por los terremotos (identificados en el paso 1) que se supone ocurrirán a las distancias identificadas en el paso 2. El terremoto de control es descrito en términos de su tamaño (usualmente expresado como magnitud) y distancia al sitio. 4. La amenaza en el sitio es definida usualmente en términos del movimiento del terreno producido en el sitio por el terremoto de control. Sus características son usualmente descritas por uno o más parámetros del movimiento sísmico obtenidos a partir de relaciones predictivas como las descritas en el capítulo 3. Para caracterizar la amenaza sísmica se usan comúnmente la aceleración horizontal máxima, la velocidad horizontal máxima y las ordenadas del espectro de respuesta.

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El procedimiento de ADAS se muestra esquemáticamente en la figura 4-5. Expresado en cuatro pasos compactos, el ADAS aparenta ser un procedimiento muy simple, y en muchos aspectos lo es. Cuando se aplica a estructuras cuya falla podría tener consecuencias catastróficas, tal como las plantas nucleares o las grandes represas, el ADAS provee un marco directo para la evaluación de movimientos extremos (el peor caso). Sin embargo, no produce ninguna información sobre la probabilidad de ocurrencia del terremoto de control, la probabilidad del mismo de ocurrir con la ubicación supuesta, el nivel de excitación a esperar durante un período de tiempo finito (tal como la vida útil de la estructura o instalación en particular), o los efectos de las incertidumbres en los diferentes pasos necesarios para calcular las características del movimiento sísmico resultante. Tal vez más importante, el ADAS involucra decisiones subjetivas, particularmente concernientes al potencial sísmico (paso 1), que puede necesitar de la destreza y opinión combinada de sismólogos, geólogos, ingenieros, analistas de riesgo, economistas, cientistas sociales y autoridades gubernamentales. El amplio rango de disciplinas y metas divergentes de tales profesionales puede causar dificultad en alcanzar el consenso sobre el potencial sísmico. A lo largo de los años se han usado muchos términos para describir el potencial sísmico; entre ellos el terremoto máximo creíble (MCE), el terremoto de diseño (DBE), el terremoto de seguridad de interrupción (SSE), el terremoto máximo probable (MPE), el terremoto de seguridad de operación (OBE), y el terremoto de evaluación de seguridad sísmica. El MCE, por ejemplo, se define usualmente como el terremoto máximo que parece capaz de ocurrir bajo un marco tectónico conocido. El DBE y el SSE son usualmente definidos esencialmente de la misma manera. El MPE ha sido definido como el máximo terremoto histórico y también como el máximo terremoto posible en un intervalo de 100 años. Muchos ADAS han usado un enfoque bipartito evaluando las amenazas para el MCE y el MPE ambos (o bien el SSE y el OBE). Divergencias sobre la definición y el uso de estos términos han forzado a posponer y aun a cancelar la construcción de algunos grandes proyectos. Ejemplo 4.2 El sitio mostrado en la figura E4-2 está próximo a tres fuentes sismogénicas presentadas como zonas 1, 2 y 3. Usando el análisis determinístico de amenaza sísmica, calcule la aceleración horizontal máxima. Solución: Tomado el sitio como el origen de coordenadas de un sistema x, y, se pueden medir las coordenadas de las fronteras o bordes de cada fuente sismogénica (en paréntesis). La zona sismogénica 1 es una fuente lineal de 111 km de largo que puede producir una magnitud máxima de 7.3 en cualquier punto a lo largo de su longitud. La zona sismogénica 2 es una fuente rectangular de 4800 km2 capaz de generar un terremoto de magnitud 7.7 en cualquier punto dentro de sus fronteras. La fuente 3 es una fuente puntual que puede producir una magnitud máxima de 5.0. Siguiendo el procedimiento de cuatro pasos descrito arriba:

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1. El enunciado del problema provee la ubicación y la magnitud máxima de cada zona sismogénica. En un ADAS real, ésta es en general una tarea extremadamente compleja y difícil. 2. La distancia de la fuente al sitio puede ser representada mediante la distancia mínima entre el sitio y cualquier parte de cada zona sismogénica. De esta forma, las distancias son: Zona sismogénica 1 2 3

Distancia R (km) 23.7 25.0 60.0

3. Si el nivel de amenaza se supone como bien representado mediante la aceleración pico horizontal, se puede usar una relación de atenuación apropiada para seleccionar el terremoto de control. Usando la relación de Cornell et al. 1 (1979), desarrollada con eventos de M = 3.0 hasta 7.7 a distancias de 20 a 200 km en la costa oeste de USA, log PHA(gals) = 6.74 + 0.859 M − 1.80ln ( R + 25) los valores de PHA generados para cada zona sismogénica serían: Zona sismogénica 1 2 3

M

R (km)

PHA

7.3 7.7 5.0

23.7 25.0 60.0

0.42g 0.57g 0.02g

Con base en lo anterior, el evento de la zona sismogénica 2 sería seleccionado como el terremoto de control. 4. La amenaza resultante sería tomada como aquella que resulta de un terremoto de magnitud 7.7 ocurriendo a una distancia de 25.0 km. Este movimiento produciría una aceleracion pico de 0.57g; otros parámetros del movimiento sísmico pueden ser obtenidos ulitilizando las relaciones predictivas descritas en el capítulo 3. En la literatura de los últimos 10 años se pueden encontrar ADAS realizados para diferentes regiones en Costa Rica. En particular se puede revisar la Evaluación del Impacto Ingenieril de un Terremoto en la Península de Nicoya, (Santana et al., 1998) en donde se plantea una distribución de aceleraciones máximas del terreno para un área de estudio que contiene la península de Nicoya, según se puede ver la figura E4-2a. La distribución espacial de aceleraciones se logró mediante el uso de las relaciones predictivas de Young et al (1997) distribuidas espacialmente mediante el uso de mapas geológicos y de suelos de escala 1:200,000 con ayuda del programa ArcInfo.

1

Se usa la relación de atenuación de Cornell por ser simple aun cuando está desactualizada.

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4.4 Análisis Probabilístico de Amenaza Sísmica (APAS) Durante los últimos 20 o 30 años el uso de conceptos probabilísticos ha permitido identificar, cuantificar y combinar de una manera explícita y racional las incertidumbres en el tamaño, ubicación y tasa de repetición de los sismos y en la variación en las características del movimiento sísmico dentro de la evaluación de la amenaza sísmica. El análisis probabilístico de la amenza sísmica (APAS) provee un marco en el cual estas incertidumbres pueden ser contextualizadas para producir una mejor evaluación de la amenaza sísmica. Para entender los conceptos y la mecánica de los APAS, se requiere estar familiarizado con la terminología y los conceptos básicos de la teoría de probabilidad. El APAS descrito aquí es similar en muchos aspectos a los métodos establecidos por Cornell (1968) y Algermissen et al. (1982). El APAS puede también ser descrito en cuatro pasos (Reiter, 1990), cada uno de los cuales guarda un cierto grado de similitud con los pasos descritos para el ADAS, como se ilustra en la figura 4-6. 1.

Identificación y caracterización de las fuentes sismogénicas incluyendo la distribución probabilística de las ubicaciones de la potencial ruptura dentro de la fuente. (En la mayoría de los casos, se asigna una distribución uniforme de probabilidades, i.e., el sismo puede ocurrir en cualquier parte de la fuente). Estas distribuciones son posteriormente combinadas con la geometría de la falla para obtener la correspondiente distribución de probabilidades de la distancia de la fuente al sitio. En el enfoque determinístico (ADAS) implícitamente se considera una probabilidad unitaria de ocurrencia en los puntos de cada fuente más cercana al sitio y cero en cualquier otro lugar.

2.

Determinar la sismicidad o distribución temporal de la repetición de sismos. Se usa la relación de recurrencia, la cual especifica la tasa promedio a la cual un sismo de determinado tamaño será excedido, para caracterizar la sismicidad de cada fuente. La relación de recurrencia puede contener el sismo máximo, pero no se limita a la consideración de ese sismo únicamente, como sí sucede en el ADAS.

3.

Se debe determinar, mediante el uso de relaciones predictivas, el movimiento sísmico en el sitio de interés producido por sismos de cualquier tamaño posible que ocurran en cualquier punto posible en cada fuente. En el APAS también se considera la incertidumbre intrínseca de la relación predictiva.

4.

Finalmente, se combinan las incertidumbres en tamaño y ubicación del sismo y en la predicción del parámetro de movimiento sísmico para obtener la probabilidad de que el parámetro de movimiento sísmico sea excedido durante una ventana de tiempo en particular.

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El funcionamiento apropiado del APAS necesita de la atención cuidadosa a los problemas de caracterización de fuente sísmica y de predicción del parámetro de movimiento sísmico y también a la mecánica de los cálculos probabilísticos.

Caracterización de la Fuente Sismogénica La caracterización de una fuente sísmica requiere de la consideración de las características espaciales de la fuente y de la distribución de sismos dentro de la fuente, de la distribución del tamaño de sismos de cada fuente y de la distribución de sismos en el tiempo. Cada una de estas características tiene algún grado de incertidumbre. INCERTIDUMBRE ESPACIAL Fuente puntual: Sismos volcánicos (son pequeños). Fuentes bidimensionales: Planos de falla bien definidos en donde sismos pueden ocurrir en muchas ubicaciones diferentes. Fuentes tridimensionales: Mecanismos no muy claramente definidos o fallamiento extensivo que no permite diferenciar fallas individuales. Para propósitos del APAS las fuentes se pueden simplificar considerando geometría de fuente y del sitio de interés, como se muestra en la figura 4-7. Usualmente se considera a los sismos como distribuidos uniformemente dentro de una fuente particular, i.e., el sismo puede ocurrir con igual expectativa en cualquier ubicación dentro de la zona. Esto se puede variar si existe suficiente información. Distribución uniforme dentro de la fuente no se traduce a distribución uniforme de distancia de fuente a sitio. La incertidumbre en la distancia de fuente a sitio puede representarse como una función de densidad de probabilidades. Para una fuente puntual (ver figura 4-8a) la distancia R es conocida e igual a rs; por lo tanto la probabilidad de que R = rs se supone igual a 1 y la probabilidad de que R ≠ rs igual a cero. Otros casos no son tan simples. Para una fuente lineal (ver Figura 4-8b), la probabilidad de que un sismo ocurra en un pequeño segmento de la falla entre L = l y L = l + dl es la misma que la probabilidad de que ocurra entre R= r y R= r + dr ; esto es: f L ( l ) dl = f R ( r ) dr donde f L ( l ) dl y f R ( r ) dr son las funciones de densidad de probabilidades para las variables L y R, respectivamente. Por lo tanto:

fR ( r ) = fL (l )

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dl dr

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Si suponemos que los sismos tienen una distribución uniforme a lo largo de la falla, 2 2 entonces f L ( l ) = 1 L f . Como l= , la función de densidad de probabilidades de r 2 − rmin R será: fR (r) =

r 2 L f r − rmin 2

Para zonas fuente de geometrías más complicadas es más fácil evaluar fR (r) por métodos númericos en vez de analíticos. Por ejemplo, la fuente irregular mostrada en la figura 48c, puede ser dividida en un número grande de elementos de igual área. Se puede construir un histograma que aproxime a fR (r) tabulando los valores de R que corresponden al centro de cada elemento. En la discusión anterior se está suponiendo que toda la energía es liberada en el hipocentro del terremoto. Sin embargo, la energía es liberada más bien sobre la superficie de ruptura completa, algunas partes de la cual pueden estar mucho más cercanas al sitio. Der Kiureghian y Ang (1977) notaron que la superficie de ruptura de grandes terremotos con hipocentros distantes puede liberar energía en puntos mucho más próximos al sitio. Ellos desarrollaron métodos para considerar dimensiones de superficie de ruptura en el APAS. El terremoto de Limón de 1991 presenta un posible caso de aplicación de esta metodología. INCERTIDUMBRE DE TAMAÑO Una vez que se ha identificado y caracterizado una fuente sismogénica, la atención del analista de amenaza sísmica es dirigida a la evaluación de los tamaños de los sismos que se puede esperar que produzca la fuente. Toda fuente tiene un tamaño de sismo máximo que no puede ser excedido; puede ser grande para unos y pequeño para otros. En general la fuente producirá sismos de diferentes tamaños hasta el sismo máximo, los pequeños ocurrirán más frecuentemente que los grandes. La energía de deformación unitaria acumulada puede ser liberada en forma asísmica o en forma de terremotos. Suponiendo que toda la energía de deformación es liberada por terremotos de magnitudes de 5.5 a 9.0 y que el desplazamiento promedio de la falla es un medio del desplazamiento superficial máximo, Slemmons (1982) mostró como la tasa de movimiento estaba relacionada a la magnitud del terremoto y al intervalo de recurrencia (Figura 4.9). La distribución de tamaños de sismos en un período dado de tiempo se denomina Ley de Recurrencia (o de repetición). Una suposición básica del APAS es que la ley de recurrencia obtenida a partir de observaciones pasadas es apropiada para la predicción de sismicidad futura. Ley de Recurrencia de Gutenberg-Richter (1944). Tomaron datos de terremotos del sur de California y los organizaron de acuerdo al número de sismos que excedían diferentes magnitudes durante un intervalo de tiempo. Así, definen la tasa media anual de excedencia λm de un sismo magnitud m, dividiendo el número de excedencias para cada magnitud entre el intervalo de tiempo. Como es de esperar, esta tasa anual es mayor para sismos de menor magnitud que para los de mayor magnitud. El inverso de la tasa

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anual de excedencia para una magnitud dada es usualmente denominado el período de retorno de los sismos que exceden esa magnitud. Esta relación tomada en forma logarítmica de λm vrs magnitud resultó ser lineal para los sismos del sur de California. La Ley de Gutenberg-Richter resultante es (figura 4-10a)

log λm= a − bm donde λm es la tasa annual media de excedencia de la magnitud m, 10a es el número medio anual de sismos de magnitud mayor o igual que cero, y b (el valor de b) describe la verosimilitud relativa de terremotos grandes y pequeños. La ley de Gutenberg-Richter se ilustra esquemáticamente en la Figura 4.10a. Conforme el valor b se incrementa, el número de terremotos de gran magnitud decrece comparado con aquellos de más baja magnitud. La ley de Gutenberg-Richter no está limitada al uso de magnitud como descriptor del tamaño de un terremoto; también se ha usado la intensidad espectral. En la Figura 4.10b se muestran datos mundiales de recurrencia. Ejemplo 4.3 Usando la figura 4-10b, calcule el período de retorno de un terremoto de M = 8 en el cinturón Circumpacífico y otro en el cinturón Alpino. Solución: Para una magnitud de 8, la figura indica que los cinturones Circumpacífico y Alpino tienen tasas medias anuales de excedencia de 1.76 por año y 0.31 por año, respectivamente. Por tanto, los períodos de retorno correspondients son Cicumpacífico:

T= R

Alpino:

T= R

1 =

1 = 0.6 años 1.76 año

1 =

1 = 3.2 años 0.31 año

λm λm

Los parámetros a y b se obtienen usualmente mediante regresiones en catálogos de sismicidad de la zona fuente de interés. A menos de que la zona fuente sea muy activa, el catálogo puede ser relativamente exiguo. Como usualmente se requiere el uso de eventos instrumentales e históricos, el catálogo puede incluir datos de magnitud (posiblemente basada en diferentes escalas) e intensidad ambos, haciendo necesaria la conversión de una medida de tamaño a otra. En algunas áreas, el registro de sismicidad puede estar distorsionado por la presencia de eventos dependientes tales como réplicas o premonitores (Merz y Cornell, 1973). Aún cuando este tipo de eventos pueden causar daños, un APAS está dirigido a evaluar la amenaza proveniente de liberaciones de energía discretas e independientes. Por lo tanto, los eventos dependientes deben ser removidos del catálogo de sismicidad y sus efectos considerados en un análisis aparte. Se debe considerar también la completitud del catálogo. El registro histórico es usualmente más completo para eventos grandes que para eventos pequeños; los sismos pequeños pueden pasar desapercibidos por una variedad de razones físicas o demográficas. Ajustar

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una línea recta tal como la sugerida por la ley Gutenberg-Richter a traves de datos de recurrencia en los cuales la tasa media de excedenica de sismos pequeños es subestimada tenderá a horizontalizar la línea. Como resultado, la tasa media real para sismos pequeños es subpredecida y la tasa media para sismos grandes sera sobre predecida. Se han propuesto diferentes métodos (Stepp, 1972; Weichert, 1980; EPRI, 1986) para corregir catálogos incompletos. Leyes Gutenberg–Richter acotadas. Las relaciones de recurrencia de GutenbergRichter también pueden ser expresadas como a −bm = = λm 10 exp(α − β m)

en donde α = 2.303a y β = 2.303b. La ecuación anterior muestra que la ley de Gutenberg–Richter implica que las magnitudes de los terremotos están distribuidas exponencialmente. La relación básica de Gutenberg-Richter cubre un rango infinito de magnitudes, desde – ∞ hasta + ∞. Para propósitos ingenieriles, los efectos de terremotos muy pequeños son de poco interés y es común despreciar aquellos que no son capaces de causar daño significativo. Si se define un sismo m0 por debajo del cual no esperamos daño, se tiene

λm = ν exp[− β (m − m0 )]

m > m0

ν exp(α − β m0 ) . En la mayoría de los APAS, el umbral de magnitud inferior = en donde se define para valores entre 4.0 y 5.0 en vista de que magnitudes menores que esos en rara ocasión causan daños significativos. La distribución de probabilidades de la magnitud resultante para la ley de Gutenberg-Richter acotada inferiormente puede ser expresada en términos de la función de distribución acumulada (CDF): λm − λm = 1 − e− β ( m−m ) λm

FM (m) = P[ M < m | M > m0 ] = 0

0

0

o de la función de densidad de probabilidades (PDF):

f M ( m) =

d FM (m) β e − β ( m − m0 ) = dm

En el otro extremo de la escala de magnitud, la ley de Gutenberg-Richter predice tasas medias de excedencia diferentes de cero para magnitudes infinitas. Esto implica, por ejemplo, que de acuerdo con esta ley, el Cinturón Circumpacífico (figura 4-10b), produciría un terremoto de magnitud 10 a una tasa anual de excedencia aproximada de 0.02 por año (un período de retorno de 50 años), aun cuando sismos de ese tamaño nunca han sido observados. Todas las fuentes sismogénicas tienen asociadas a ellas alguna magnitud máxima mmax. Si esta magnitud es conocida o puede ser estimada, entonces la tasa media anual de excedencia puede expresarse (McGuire y Arabasz,1990) como

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λm = ν

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exp[− β (m − m0 )] − exp[− β (mmax − m0 )] 1 − exp[− β (mmax − m0 )]

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m0 ≤ m ≤ mmax

La ecuación de la ley de recurrencia acotada se muestra en la figura 4-11a para condiciones de tasa de sismicidad constante (i.e., tasa media anual de excedencia de m0 constante). Una interpretación alternativa, basada en una tasa constante de liberación de momento sísmico (y por lo tanto de energía), produce las curvas de recurrencia de la figura 4-11b. En el modelo de tasa de momento constante, incrementar la magnitud máxima requiere una disminución substancial en la tasa media anual de excedencia de eventos de magnitudes bajas para tomar en cuenta la energía extra liberada por los grandes terremotos. Como el momento sísmico es proporcional a la cantidad de desplazamiento que ocurre en un terremoto, la tasa de momento es proporcional a la tasa de desplazamiento. Por lo tanto, el modelo de tasa constante de momento es equivalente al modelo de tasa de desplazamiento constante y puede user usado cuando la tasa de desplazamiento es considerada constante. Las CDF y PDF para la ley de Gutemberg-Richter acotada inferior y superiormente pueden ser expresadas como: ) P [ M < m | mo ≤ m ≤ mmax= FM (m= ]

f M ( m) =

1 − exp [ − β (m − mo ) ]

1 − exp  − β ( mmax − mo ) 

β exp[− β (m − m0 )] 1 − exp[− β (mmax − m0 )]

Leyes de Recurrencia para Terremoto Característico. La ley de Gutemberg-Richter fue deducida para un conjunto de datos regionales que incluían muchas diferentes fuentes sismogénicas. Como los APAS son usualmente realizados para sitios específicos en vez de para grandes regiones, las características de generación de sismos en fallas individuales toma más importancia. Se ha cuestionado recientemente la validez de la ley de Gutemberg-Richter para representar el comportamiento de una fuente específica (Schwartz y Coppersmith, 1984; Schwartz, 1988). Estudios de paleosismicidad indican que puntos individuales en fallas y segmentos de fallas tienden a moverse aproximadamente la misma distancia en cada terremoto. Se deduce de allí que fallas individuales generan repetidamente terremotos de magnitud similar (diferiendo aproximadamente medio punto de magnitud) conocidos como terremotos característicos. Con la datación de los sismos característicos, se puede estimar la tasa de recurrencia histórica. La evidencia geológica es que los sismos característicos ocurren con mayor frecuencia que la implicada por Gutenberg-Richter. El resultado es una Ley de Recurrencia más compleja, gobernada por sismicidad en un lado y geología en otro, como se muestra en la figura 4-12.

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Youngs y Coppersmith (1985) desarrollaron una función de densidad magnitudfrecuencia generalizada que combinaba una distribución de magnitud exponencial para bajas magnitudes con una distribución uniforme en el entorno del terremoto característico. La figura 4-13 muestra las relaciones de recurrencia derivadas con el modelo de Youngs y Coppersmith y el modelo de Gutemberg-Richter acotado, suponiendo los mismos mmax, valor b, y tasa de desplazamiento. El modelo de terremoto característico predice tasas de excedencia más altas para magnitudes cercanas a la magnitud del terremoto característico y tasas más bajas para magnitudes bajas. Otros modelos han sido desarrollados por Wesnorsky et al. (1984) y Wu et al. (1995). Otras leyes de recurrencia. Otras leyes de recurrencia han sido propuestas. Merz y Cornell (1973) usaron una expresión cuadrática para describir la tasa media anual a la cual los terremotos de magnitud superior a m0 y menor a mmax eran excedidos. Shah et al. (1975) usaron una ley de recurrencia bilineal en una evaluación del riesgo sísmico para Nicaragua, también aplicado en el resto de Centroamérica. En otro enfoque, la ley de Gutemberg-Richter fue modificada tomando como base el momento sísmico y el desplazamiento de la falla (Lommitz-Adler y Lommitz, 1979).

Relaciones predictivas Las relaciones predictivas son casi siempre obtenidas empíricamente mediante regresión de mínimos cuadrados aplicado a un conjunto particular de datos paramétricos de movimiento sísmico. La dispersión en los datos es inevitable a pesar del uso de esquemas de ponderación basados en la calidad de la información. La dispersión es una consecuencia de la aleatoriedad en la mecánica de la ruptura y de la variabilidad y heterogeneidad de la fuente, la trayectoria y las condiciones del sitio. La dispersión puede ser cuantificada mediante límites de confiabilidad (Campbell, 1985) o mediante el uso de la desviación estándar del parámetro a estimar, calculado como el logaritmo (natural) de ese valor. Esta gran incertidumbre debe ser considerada en el cálculo de la amenaza sísmica. La figura 4-14 muestra la probabilidad de que un parámetro del movimiento del terreno Y en particular exceda un cierto valor, y*, para un terremoto de una magnitud dada, m, ocurriendo a una distancia dada, r. En términos probabilísticos, esto se puede expresar como

P[Y > y* | m, r ] = 1 − FY ( y*) donde FY (y) es el valor de la función CDF de Y en m y r. El valor de FY (y) depende de la distribución probabilística usada para representar Y. En general, los parámetros de movimiento del terreno son tomados como representados por una distribución logarítmica normal (i.e., el logaritmo del parámetro tiene una distribución normal). Sin embargo, la naturaleza no acotada de esa distribución puede asignar una probabilidad diferente de cero a valores irreales del parámetro de movimiento del terreno. Por ejemplo, una relación de atenuación de PHA hipotética que predice un valor medio de PHA de 0.5g con σlny = 0.5 implicaría una probabilidad de 0.06% de que PHA pudiera exceder un valor de 2.5g. El uso de distribuciones que imponen una cota superior para Y han sido estudiados por Kulkarni et al. (1979), Bender (1984) y Zemell (1984).

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Ejemplo 4.4 Usando la relación predictiva de Campbell y Bozorgnia (1994) dada anteriormente, calcular la probabilidad de que un terremoto de Mw =7 en una falla transcurrente pueda provocar una aceleración horizontal pico mayor que 0.40g en un sitio de roca blanda a 15 km del punto más cercano a la superficie de ruptura. Solución. Para la ecuación referida, se tiene que F = 0 y SHR = 0 y SSR = 1, por lo tanto la media del logaritmo natural de la aceleración horizontal pico está dada por

ln PHA ( g ) = −3.512 + 0.904 M w − 1.328ln R 2 + 0.149 exp ( 0.647 M w ) 

2

+ ( 0.440 − 0.171ln R ) S SR = −3.512 + 0.904 ( 7 ) − 1.328ln 152 + 0.149 exp ( 0.647 × 7 ) 

2

+ 0.440 − 0.171ln15 = −1.032 −1.032 = e= 0.356g . Entonces, de la sección C.7.2 del Apéndice C, la De donde que PHA variable estándar normal z es

z =

ln PHA − ln PHA ln ( 0.40 ) − ln ( 0.356 ) = = 0.2875 σ ln PHA 0.4053

De la Tabla C-1,

Fz ( 0.2875) = P [ z > 0.2875] = P [ PHA > 0.40g ] = 0.613 Por lo tanto la probabilidad buscada es P [ PHA > 0.40g | M = 7.0, R = 15 km ] = 0.613

Incertidumbre temporal Para calcular la probabilidad de varias amenazas ocurriendo en un período de tiempo dado, se debe considerar la distribución de la ocurrencia de terremotos con respecto al tiempo. Desde hace mucho se ha considerado que los terremotos ocurren aleatoriamente en el tiempo. De hecho, el examen de los registros de sismicidad disponibles revela poca evidencia de patrones temporales en la recurrencia de los sismos (una vez descartadas las réplicas). La suposición de ocurrencia aleatoria permite el uso de modelos probabilísticos sencillos, pero es inconsistente con las implicaciones de la teoría de rebote elástico. MODELO DE POISSON La ocurrencia de terremotos en el tiempo es comúnmente descrita mediante un modelo de Poisson. El modelo de Poisson provee un marco simplificado para evaluar las probabilidades de eventos que siguen un proceso de Poisson, uno que brinda valores de una variable aleatoria describiendo el número de ocurrencias de un evento en particular durante un intervalo de tiempo dado o en una región espacial específica. Como los APAS tratan con incertidumbres temporales, las aplicaciones espaciales del modelo de Poisson no se serán consideradas. Los procesos de Poisson tienen las siguientes características:

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1. Independencia. El número de incidentes en un intervalo de tiempo dado es independiente del número de incidentes en cualquier otro intervalo. 2. Estacionaridad. La probabilidad de que ocurra un incidente en un intervalo de tiempo muy pequeño es proporcional al tamaño del intervalo de tiempo dado. 3. No multiplicidad. La probabilidad de dos o más sucesos en un intervalo de tiempo muy pequeño es despreciable. Estas propiedades indican que los eventos de un processo de Poisson ocurren de manera aleatoria, carecen de “memoria” en el tiempo, el tamaño, o la ubicación de cualquier evento predecesor. Para un proceso de Poisson, la probabilidad de una variable aleatoria N, que representa el número de ocurrencias de un evento en particular durante un intervalo de tiempo está dada por

P[ N= n= ]

µ n e− µ n!

(4-14)

donde μ es el número promedio de ocurrencias del evento en ese intervalo de tiempo. El tiempo entre eventos en un proceso de Poisson obedece a una distribución exponencial. Para caracterizar la distribución en el tiempo de la recurrencia de terremotos para propósitos de un APAS, la probabilidad de Poisson se expresa usualmente como

P[ N= n= ]

(λ t ) n e − λ t n!

(4-15)

donde λ es la tasa media de ocurrencia del evento y t es el intervalo de tiempo en cuestión. Nótese que la probabilidad de ocurrencia de al menos un evento en un intervalo de tiempo t está dado por

P[ N ≥ 1] = P[ N = 1] +  + P[ N = ∞] = 1 − P[ N = 0] = 1 − e − λt

(4-16)

Cuando el evento de interés es la excedencia de cierta magnitud de un terremoto, el modelo de Poisson puede ser combinado con una ley de recurrencia pertinente para predecir la probabilidad de al menos una excedencia en un intervalo de t años mediante la expresión

P[ N ≥ 1] =1 − e − λmt

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(4-17)

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OTROS MODELOS La teoría del rebote elástico sugiere que la ocurrencia de terremotos en una falla o en un segmento de falla en particular no debería ser independiente de la sismicidad anterior. Si los terremotos ocurren para liberar la energía de deformación que se acumula a lo largo de períodos de tiempo prolongados, la ocurrencia de grandes terremotos debería reducir substancialmente la posibilidad de otro gran terremoto independiente (de la misma fuente) ocurriendo poco tiempo después. Si los terremotos son precipitados cuando el esfuerzo en una falla alcanza un cierto valor límite, la posibilidad de ocurrencia debería depender del tiempo, tamaño y ubicación de los eventos precedentes. Se han propuesto diversos modelos que toman en cuenta la sismicidad previa (Anagnos & Kiremidjian, 1988). Los modelos de Poisson no homogéneos (e.g., Vere-Jones & Ozaki, 1982) permiten que la tasa media de excedencia anual varíe con el tiempo. Los modelos de renovación (Esteva, 1970; Hagiwara, 1974; Savy et al., 1980; Kiremidjian & Anagnos, 1984; Cornell & Winterstein, 1986) usan distribuciones de tiempo de arribo diferentes a las exponenciales (implicadas por el modelo homogéneo de Poisson) para permitir una tasa de amenaza creciente en el tiempo a partir del último evento; las distribuciones más comúnes son la distribución gamma y la distribución Weibull. APLICABILIDAD DE LOS MODELOS Investigaciones sobre la aplicabilidad de los modelos Poissonianos y los no Poissonianos (Cornell & Winterstein, 1986) han mostrado que el modelo de Poisson es útil para análisis de riesgo sísmico excepto cuando la amenaza sísmica está dominada por una única fuente para la cual el intervalo de tiempo desde el último evento significativo es mayor que el tiempo promedio entre eventos y cuando la fuente muestra un fuerte comportamiento de “tiempo característico.” Por ésta y otras razones relacionadas con la simplicidad, facilidad de uso, y carencia de suficientes datos para respaldar modelos más sofisticados, el modelo de Poisson es el más ampliamente usado en APAS contemporáneo.

Cálculo de Probabilidades Los resultados de un APAS pueden ser expresados de muchas formas distintas. Todos encierran algún nivel de cálculos probabilísticos para combinar las incertidumbres en tamaño, ubicación, frecuencia y otros efectos para la estimación de la amenza sísmica. Un enfoque común envuelve el desarrollo de curvas de amenaza sísmica, las cuales indican la probabilidad anual de excedencia de diferentes valores de un parámetro de movimiento del terreno escogido. Las curvas de amenaza sísmica pueden ser usadas para calcular la probabilidad de excedencia de un parámetro predeterminado durante un período de tiempo específico.

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CURVAS DE AMENAZA SÍSMICA Las curvas de amenaza sísmica pueden ser obtenidas para zonas sismogénicas individuales y combinadas para expresar la amenaza agregada en un sitio en particular. El concepto básico de los cálculos requeridos para desarrollar las curvas de amenaza sísmica es bastante sencillo. La probabilidad de exceder un valor particular, y*, de un parámetro del movimiento sísmico Y, es calculada para un posible terremoto en una posible fuente y luego multiplicado por la probabilidad de que ese terremoto de esa magnitud en particular pueda ocurrir en esa ubicación en particular. El proceso es entonces repetido para todas las posibles magnitudes y ubicaciones sumando las probabilidades de cada uno. Para un evento sísmico dado, la probabilidad de que un parámetro del movimiento del terreno Y exceda un cierto valor y* puede ser calculada usando el teorema de las probabilidades totales, esto es,   P [Y > y *] = P Y > y* | X  P  X  =





∫ P Y > y* | X  f ( X ) dx x

(4-18)

 donde X es un vector de variables aleatorias que inciden en Y. En la mayoría de los  casos, los componentes de X se limitan a la magnitud, M, y la distancia, R. Suponiendo que M y R son independientes, la probabilidad de excedencia puede ser expresada como

P[Y > y*]=

∫∫ P[Y > y* | m, r ] f

M

(m) f R (r )dmdr

(4-19)

donde P[Y > y* | m, r ] es obtenida de las relaciones predictivas y fM(m) y fR(r) son las funciones de densidad probabilística para magnitud y distancia, respectivamente. Si el sitio en estudio está en una región con NS fuentes sismogénicas potenciales, cada una de las cuales tiene una tasa media de excedencia de umbral de magnitud, νi[= exp(αi − βim0)], la tasa media total de excedencia para la región estará dada por

= λ y*

NS

∑ν ∫∫ P[Y > y* | m, r ] f i =1

i

Mi

(m) f Ri (r )dmdr

(4-20)

Los componentes individuales de la ecuación anterior son, para casi todos los casos realistas de APAS, tan complicados que no permiten la evaluación analítica de las integrales. La integración numérica, mediante diversas técnicas, es entonces necesaria. Un enfoque que se puede utilizar consiste en dividir los posibles rangos de magnitud y distancia en segmentos NM y NR, respectivamente. La tasa media de excedencia puede entonces ser estimada mediante

= λ y*

NS NM NR

∑∑∑ν P[Y > y* | m , r ] f

k 1 =i 1 =j 1 =

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i

j

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k

Mi

(m j ) f Ri (rk )∆m∆r

(4-21)

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donde m j = m0 + ( j − 0.5)(mmax − m0 ) N M , rk = rmin + (k − 0.5)(rmax − rmin ) N R ,

∆= m (mmax − m0 ) N m , y ∆= r (rmax − rmin ) N R . Esto es equivalente a suponer que cada fuente es capaz de generar únicamente NM terremotos diferentes de magnitud mj, a solo NR diferentes distancias rk de la fuente al sitio. Esta ecuación es entonces equivalente a NS NM NR

λ y* ≈ ∑∑∑ν i P[Y > y* | m j , rk ]P[ M = m j ]P[ R = rk ]

(4-22)

=i 1 =j 1 = k 1

La precisión de la integración numérica aproximada descrita en la ecuación anterior se incrementa conforme se incrementan NM y NR. Métodos más refinados de integración numérica proveerán mejor precisión para los mismos valores de NM y NR. Ejemplo 4.5 Los procedimientos básicos de un APAS típico pueden ser ilustrados para un sitio como el mostrado en la figura E4-2 si se conocen las relaciones de recurrencia para cada fuente sismogénica. Suponiendo que las sismicidades de las respectivas fuentes están dadas por

Fuente sismogénica 2:

log λ= 4.4 − 1.0M m log λ= 3.5 − 0.8M m

Fuente sismogénica 3:

log λ= 2.7 − 1.2M m

Fuente sismogénica 1:

se puede llevar a cabo un APAS con los cuatro pasos descritos anteriormente: 1. El enunciado del problema provee la ubicación, geometría y magnitud máxima de cada fuente sismogénica. La distribución de distancias de fuente a sitio también debe ser caracterizada. Para limitar el número de cálculos necesarios para este sencillo ejemplo, se caracterizarán las distribuciones de fuente a sitio mediante histogramas aproximados. Considerese primero la fuente 1. Es sencillo probar que la distancia de fuente a sitio más corta posible será de 23.72 km y que la distancia más grande posible será 90.12 km. Se puede dividir el rango total en 10 intervalos de distancia de longitud (90.12 km − 23.72 km)/10 = 6.64 km. Si se divide la fuente sismogénica en un número grande de segmentos de igual longitud, se puede caracterizar la distribución de distancias de fuente a sitio determinando cuantos segmentos caen dentro de cada intervalo de distancia. Para 1000 segmentos, el histograma normalizado de distancia fuente a sitio resultante es el que se muestra en la figura E4-5a. Las ordenadas del histograma normalizado representan la frecuencia relativa que sería igual a la probabilidad si se hubiese usado un número infinito de segmentos, pero que en este caso es una aproximación a esa probabilidad. La probabilidad de que la distancia de fuente a sitio esté entre 23.72 y 30.36 km (o aproximadamente igual al punto medio en ese rango, 27.04 km) es aproximadamente 0.336. Para la fuente sismogénica 2, el rango de fuente a sitio de 25 a 125 km puede ser dividido en

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10 intervalos de 10 km de longitud; dividiendo la fuente bidimensional en 2500 elementos de igual área, se obtiene el histograma normalizado mostrado en la figura E4-5b. Como solo hay una distancia de fuente a sitio posible, obtener el histograma normalizado para la fuente sismogénica 3 es un asunto trivial. 2. La distribución temporal de recurrencia de terremotos puede ser caracterizada usando las relaciones de recurrencia dadas en el enunciado. Suponiendo que terremotos de magnitud menor que 4.0 no contribuyen a la amenaza sísmica, las tasas medias de excedencia de eventos de magnitud 4.0 para cada fuente sismogénica son 4.4 −1.0(4.0) Fuente sismogénica 1: = ν 1 10 = 2.512 3.5 − 0.8(4.0) Fuente sismogénica 2: = 1.995 ν 2 10 = 2.7 −1.2(4.0) Fuente sismogénica 3: = ν 2 10 = 0.008

dando un resultante νtotal = 4.515. Para cada fuente sismogénica, la probabilidad de que la magnitud esté dentro de un intervalo entre una cota inferior ml y una cota superior mu esta dada por < m < mu ] P[ml =

M = mu

∫

M = ml

 m + mu  f M (m)dm ≈ f M  l  ( mu − ml ) 2  

donde fM(m) está dado en la ecuación (4-12). Si NM = 10, el intervalo de menor magnitud para la fuente sismogénica 1 será desde M = 4.0 hasta M = 4.33. La probabilidad de que la magnitud pudiera caer dentro del intervalo sería

P[4.0 < M < 4.33] ≈

2.303e −2.303(4.165− 4.0) (4.33 − 4.0) = 0.522 1 − e −2.303(7.3− 4.0)

Las probabilidades de diversas magnitudes para cada fuente sismogénica son mostradas en las figuras 4-5d a f. 3. Para comparar los resultados de este APAS con los del ADAS del ejemplo anterior, se puede usar la misma relación predictiva: esto es, la relación propuesta por Cornell et al. (1979): ln PHA(gals) = 6.74 + 0.859 M − 1.80 ln (R + 25). La incertidumbre en esta relación está expresada mediante la desviación estándard σlny = 0.57. 4. Finalmente, se calcula la amenaza sísmica total como la suma de las contribuciones de cada posible combinación de distancia de fuente a sitio y magnitud del sismo en cada una de las tres fuentes sismogénicas. Primero, se considera la fuente sismogénica 1. Para el intervalo de menor magnitud (j = 1),

P[ M = m= p[ M = 4.165] = 0.522 l]

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tal como se calculó en el paso 2. Para el intervalo de menor distancia (k = 1),

P[ R = rl=] P[ R = 27.04km=] 0.336 tal como se calculó en el paso 1. Esta combinación de magnitud y distancia indica un valor esperado de ln PHA de ln PHA = 3.204

Ahora se pueden calcular las probabilidades de que diferentes niveles de aceleraciones pico objetivo sean excedidas. Para a* = 0.01g (9.81 gales), la variable normal estandard correspondiente es

z* =

ln a * − ln PHA

σ ln y

=

ln(9.81) − 3.204 = −1.63 0.57

Entonces la probabilidad de que la aceleración pico sea mayor que 0.01g, usando la Tabla C-1, es

] P[ z* > −1.63] P[ PHA > 0.01g |= M 4.165, = R 27.04km = = 1 − P[ z* < −1.63] 1 Fz (−1.63) =− = 0.9484 La tasa anual de excedencia de una aceleración pico de 0.01g causada por un terremoto de magnitud 4.165 a una distancia de 27.04 km en la fuente sismogénica (dado que un terremoto de M > m0 ocurra en la fuente sismogénica 1) será

λ0.01g =ν 1 P[ PHA > 0.01g | M =4.165, R =27.04]P[ M =4.165]P[ R =27.04] = 2.512 (0.9484) (0.522) (0.336) = 0.4181 Si los cálculos anteriores se repiten para las otras 99 posibles combinaciones de magnitud y distancia para la fuente sismogénica 1, las contribuciones de cada uno serán las presentadas en la siguiente tabla.

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Magnitude 4.165 4.495 4.825 5.155 5.485 5.815 6.145 6.475 6.805 7.135

27.04 0.4181 0.2027 0.0957 0.0452 0.0212 0.0099 0.0045 0.0023 0.0011 0.0005

33.68 0.1501 0.0753 0.0363 0.0172 0.0081 0.0037 0.0018 0.0009 0.0004 0.0002

40.32 0.0805 0.0424 0.0209 0.0100 0.0047 0.0022 0.0010 0.0005 0.0003 0.0001

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Distancia (km) 46.96 53.60 0.0676 0.0559 0.0376 0.0331 0.1092 0.0177 0.0093 0.0088 0.0045 0.0042 0.0021 0.0020 0.0010 0.0010 0.0005 0.0005 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001

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60.24 0.0456 0.0289 0.0162 0.0084 0.0041 0.0019 0.0010 0.0005 0.0002 0.0001

66.88 0.0369 0.0250 0.0148 0.0079 0.0040 0.0019 0.0009 0.0005 0.0002 0.0001

73.52 0.0293 0.0213 0.0134 0.0074 0.0038 0.0018 0.0009 0.0004 0.0002 0.0001

80.16 0.0231 0.0181 0.0120 0.0070 0.0037 0.0018 0.0009 0.0004 0.0002 0.0001

86.80 0.0179 0.0149 0.0106 0.0065 0.0035 0.0018 0.0009 0 0004 0.0002 0.0001

La sumatoria de todas estas contribuciones indica que la tasa media anual a la cual una aceleración de 0.01g será excedida por un terremoto en la fuente sismogénica 1 será de 1.923. Repitiendo todos estos cálculos para las otras dos fuentes sismogénicas resulta en tasas de excedencia de 1.016 para la fuente sismogénica 2 y 0.005 para la fuente sismogénica 3. Consecuentemente, la probabilidad de que una aceleración objetivo de 0.01g sea excedida por un terremoto de M > m0 en cualquiera de las tres fuentes sismogénicas será 1.923 + 1.016 + 0.005 = 2.944. Esto implica un período de retorno de 0.34 años para esta baja aceleración. Mediante la repetición de este proceso para diferentes aceleraciones objetivo, se obtienen las curvas de amenaza sísmica mostradas en la figura E4-5. PERÍODOS FINITOS DE TIEMPO La curvas de amenaza sísmica pueden ser fácilmente combinadas con el modelo de Poisson para estimar probabilidades de excedencia in intervalos de tiempo finitos. De la ecuación (4-17), la probabilidad de excedencia de y* en un intervalo de tiempo T es

P[YT > y*] = 1− e

− λ y*T

(4-23)

Ejemplo 4.6 Retomando el ejemplo anterior, la probabilidad de que una aceleración de 0.10g puede ser excedida en un período de 30 años sería P[PHA > 0.10g en 30 años] = 1 − e

− λ y*T

= 1 − e − (0.0822)(30) = 0.915 = 91.5%

Generalmente es necesario calcular el valor de un parámetro de movimiento sísmico correspondiente a una probabilidad de excedencia particular en un período de tiempo dado. Por ejemplo, el nivel de aceleración que tiene una probabilidad de excedencia de 10% en un período de 50 años sería una tal que su tasa anual de excedencia, obtenida a partir de la ecuación (4-23), es

ln(1 − P[YT > y*]) ln(1 − 0.1) λ y* = − = − = 0.00211 T 50

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De la curva de amenaza sísmica para todas las fuentes sismogénicas de la figura 4-5g, ese nivel de aceleración sería aproximadamente de 0.63g. Estos tipos de análisis se han llevado a cabo para un gran número de áreas sísmicamente activas en el mundo. En particular, para Costa Rica, se han hecho este tipo de estudios tanto para proyectos específicos de gran importancia como también para el país entero (Mortgart et al., 1977; Laporte et al., 1994). Conforme el tiempo de exposición, T, aumenta, la probabilidad de excedencia del valor del parámetro de movimiento del terreno evaluado también aumenta. Similarmente, el valor del parámetro con una probabilidad de excedencia en particular se incrementa conforme se incrementa el tiempo de exposición. La figura 4-15 muestra la aceleración pico con una probabilidad de excedencia de 10% para un grupo de centros metropolitanos en U.S.A. Mapas de amenaza sísmica, tal como el que se presenta en la figura 4-16, han sido generados para expresar en los códigos sísmicos la sismicidad relativa de diferentes regiones. DESAGREGACIÓN Los procedimientos para APAS descritos anteriormente permiten el cálculo de la tasa media anual de excedencia para un sitio en particular basado en el riesgo acumulado debido a potenciales terremotos de diferentes magnitudes ocurriendo a diferentes distancias de fuente a sitio. Por lo tanto, la tasa de excedencia calculada en un APAS no está asociada con ninguna magnitud ni distancia de fuente a sitio en particular. Sin embargo, en algunos casos podría resultar útil estimar la magnitud más probable y/o la distancia de fuente a sitio más probable. Estos valores pueden ser usados, por ejemplo, para seleccionar acelerogramas existentes (registrados en terremotos de magnitud similar a distancia de fuente a sitio similar) para análisis de respuesta en el tiempo de edificaciones. Este proceso de desagregación requiere que la tasa media anual de excedencia sea expresada como una función de la magnitud y/o de la distancia. Computacionalmente esto requiere simplemente de la remoción de términos en la sumatoria de la ecuación 4-22. Por ejemplo, la tasa media anual de excedencia puede ser expresada como una función de la magnitud mediante NS NR

λ y* ( m j = rk ] ) ≈ P[ M m j ]∑∑ν i P[Y > y* | m = j , rk ]P[ R =i 1 = k 1

De manera similar, la tasa media anual de excedencia puede ser expresada como una función de la distancia de fuente a sitio mediante

λ y* (rk= ) ≈ P[ R rk ]∑∑ν i P[Y > y* | m j ,= rk ]P[ M m j ] Finalmente, es posible calcular la tasa media anual de excedencia como función tanto de la magnitud como de la distancia de fuente a sitio, i.e.

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λ y* (m j , rk ) ≈ P[ M= m j ]P[ R= rk ]∑ν i P[Y > y* | m j , rk ] MÉTODOS DE ÁRBOL LÓGICO Los cálculos probabilísticos descritos anteriormente permiten la consideración sistemática de la incertidumbre en los valores de los parámetros de un modelo de amenaza sísmica en particular. En algunos casos, sin embargo, las mejores escogencias para elementos del modelo de amenaza sísmica en sí podrían no ser claras. El uso de árboles lógicos (Power et al., 1981; Kulkarni et al., 1984; Coppersmith & Youngs, 1986) provee un marco conveniente para el tratamiento explícito del modelo de incertidumbre. El enfoque de árbol lógico permite el uso de modelos alternos, a cada uno de los cuales se asigna un factor de ponderación que es interpretado como la probabilidad relativa de que el modelo sea correcto. Consiste de una serie de nodos, que representan puntos en los cuales se especifican los modelos y las ramas que representan los diferentes modelos especificados en cada nodo. La suma de las probabilidades de todas las ramas conectadas a un nodo en particular debe ser 1. El árbol lógico mostrado en la figura permite incertidumbre en la selección de modelos para atenuación, distribución de magnitud, y magnitud máxima a considerar. En este árbol lógico, la atenuación de acuerdo con los modelos de Campbell & Bozorgnia (1994) y Boore et al. (1993) se consideran igualmente verosímiles, por lo tanto, a cada uno se le asigna una probabilidad relativa de 0.5. Procediendo al siguiente nivel nodal, la distribución de magnitudes de Gutenberg–Richter es considerada como 50% más probable que la distribución de terremoto característico. En el último nivel nodal, se asignan probabilidades relativas diferentes a la magnitud máxima. Este árbol lógico termina con un total de 223 = 12 (no. de atenuaciones  no. de distribuciones de magnitud  no. de magnitudes máximas) ramas. La probabilidad relativa de la combinación de modelos y/o parámetros implicada por cada rama terminal está dada por el producto de la probabilidad de la rama terminal y todas las ramas anteriores conducentes a ella. Por lo tanto la probabilidad relativa de la combinación del modelo de atenuación de Campbell, la distribución de magnitud de Gutenberg-Richter y la magnitud máxima de 7.5 es 0.5  0.6  0.3 = 0.09. La suma de las probabilidades relativas de las ramas terminales o de aquellas en cualquier nivel previo es igual a 1. Para usar el árbol lógico, se realiza un APAS para las combinaciones de modelos y/o parámetros asociados con cada rama terminal. El resultado de cada análisis es ponderado por la probabilidad relativa de su combinación de ramas, con el resultado final tomado como la suma de los resultados ponderados individuales. Es fácil ver que el esfuerzo computacional crece rápidamente con un incremento en el número de nodos y ramas. Los parámetros que pueden ser caracterizados mediante distribuciones continuas (e.g., la magnitud máxima) resultan difíciles de tratar en árboles lógicos sin recurrir a un número grande de ramas. Sin embargo, el árbol lógico es una herramienta muy útil para el análisis de amenaza sísmica.

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Figura 4–1 Registro de trinchera a través de la falla de Wasatch cerca de Kaysville, Utah. Las unidades coluviales 3A, 4A/4B/S2, y 6A son tres depósitos separados. Cada uno resultó de la erosión producida por un sismo con falla superficial. (Tomado de Swan et al., 1980; Schwartz, 1988.)

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Figura 4–2 Terreno típico en la vecindad de una falla (a) que muestra indicadores topográficos y geomórficos de fallamiento (Tomado de Wesson et al., 1975.) y (b) una vista aérea del terreno a lo largo de la falla de San Andrés, California en la zona de Carrizo (Fotografía de Robert Wallace, USGS.)

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Figura 4–3 Dispersión inherentes en las bases de datos de las cuales se desarrollaron las correlaciones presentadas en la Tabla 4–1. (Tomado de Wells & Coppersmith, 1994.)

Figura 4–4 Relación entre la magnitud, edad y tasa de convergencia en zonas de subducción. Las diagonales corresponden a la ecuación 4-1. Los puntos representan terremotos ocurridos. (Tomado de Heaton & Kanamori, 1984.)

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Figura 4–5 Cuatro pasos de un análisis determinístico de amenaza sísmica (ADAS).

Figura 4–6 Cuatro pasos de un análisis probabilístico de amenaza sísmica (APAS).

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Figura 4–7 Ejemplos de diferentes geometrías de fuentes: (a) falla pequeña modelada como fuente puntual; (b) falla superficial que puede ser modelada como fuente lineal; (c) fuente sismogénica tridimensional.

Figura 4–8 Ejemplos de variaciones de distancias de fuente a sitio para diferentes geometrías de fuente. La forma del la distribución probabilística puede ser visualizada considerando las porciones relativas de las fuentes que caen entre una serie de círculos (o esferas para problemas tridimensionales) con diferencias iguales en el radio.

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Figura 4–9 Efecto de la tasa de desplazamiento de la falla y la magnitud sísmica sobre el período de retorno. (Tomado de Slemmons, 1982.)

Figura 4–10 (a) Ley de recurrencia de Gutenberg-Richter, mostrando el significado de los parámetros a y b; (b) aplicación de la ley a datos de sismicidad mundial. (Tomado de Esteva, L., 1970.)

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Figura 4–11 Leyes de recurrencia de Gutenberg-Richter para m0 = 4 y mmax = 6, 7 y 8 restringidos a (a) tasa constante de sismicidad y (b) tasa constante de momento. (Tomado de Youngs & Coppersmith, 1985.)

Figura 4–12 Inconsistencia de tasa media anual promedio determinada a partir de datos sismológicos y datos geológicos. (Tomado de Youngs & Coppersmith, 1985.)

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Figura 4–13 Comparación de leyes de recurrencia de Gutenberg-Richter acotadas y los modelos de terremoto característico. (Tomado de Youngs & Coppersmith, 1985.)

Figura 4–14 Ilustración automática de probabilidad condicional de exceder un valor en particular de parámetro de movimiento del terreno para una magnitud y distancia dadas.

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Figura 4–15 Aceleración pico horizontal en roca con 10% de probabilidad de excedencia sobre varios períodos de exposición para 14 áreas en Norteamérica. (Tomado de NEHRP, 1993.)

Figura 4–16 Contornos de aceleración horizontal en roca (expresado como un porcentaje de la gravedad) con 10% de excedencia en 50 años.

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Figura 4–17 Arbol lógico simple para incorporar incertidumbre en el modelo.

Figura E4–2.

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Figura E4–2a. Distribución de PHA para suelo y roca en la Península de Nicoya. (Tomado de Santana et al. 1998.)

Figura E4–5a, b y c. Aproximaciones a las distribuciones de distancia de fuente a sitio para fuentes 1, 2 y 3.

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Figura E4–5d, e y f. Aproximaciones a las distribuciones de magnitud para las fuentes 1, 2 y 3.

Figura E4–5g. Curvas de amenaza sísmica para fuentes sismogénicas 1, 2 y 3 y curva de amenaza sísmica total correspondiente a todas las fuentes.

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Tabla 4-2 Probabilidades de Excedencia PE (%) Periodo de retorno

Periodo de retorno (redondeado)

Edificios

Puentes

Represas

¿?

50 años de vida útil

75 años de vida útil

100 años de vida útil

250 años de vida útil

475 500 10.0 14.6 19.0 975 1000 5.0 7.4 9.7 1975 2000 2.5 3.7 4.9 2475 2500 2.0 3.0 4.0 4975 5000 1.0 1.5 2.0 9975 10000 0.5 0.75 1.0 Tomado de Seismological Research Letters, Vol. 67, No. 3, Mayo/Junio 1998 pag. 6. Contribución de Asadour Hadjian.

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40.9 22.6 11.9 9.6 4.9 2.5

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APÉNDICE C. CONCEPTOS DE PROBABILIDAD C.1 Introducción Los problemas de la ingeniería sísmica geotécnica están plagados de incertidumbre. Para un sitio en particular, la solicitación inducida por un terremoto depende del tamaño y la ubicación del sismo—ninguno de los cuales puede predecirse con certeza. Debido a la inherente variabilidad de los suelos y a inevitables limitaciones en la exploración de las condiciones de subsuelo, la resistencia del suelo a esa carga no se conoce con certeza. Cuando ambas, carga y resistencia son inciertas, los efectos resultantes son también inciertos. Una serie de análisis de ingeniería sísmica geotécnica intentan cuantificar la incertidumbre en varios parámetros de entrada para un problema en particular, y a partir de ésto, intentan calcular la incertidumbre resultante en la salida. En este apéndice se presenta una breve introducción a algunos conceptos básicos de probabilidad y se describen algunas distribuciones de probabilidad que son usadas en el texto principal de estos apuntes. Para una descripción más detallada se pueden consultar Benjamín & Cornell (1970), Ang & Tang (1975, 1984) y Harr (1978).

C.2 Espacios muestrales y eventos La teoría de probabilidad trata con los resultados de procesos que son usualmente descritos en un sentido general como experimentos. El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se denomina espacio muestral, y cada resultado de un experimento se denomina punto muestral. El espacio muestral por lo tanto consiste de todos los posibles puntos muestrales. El espacio muestral puede ser continuo, en cuyo caso el número de puntos muestrales es infinito, o puede ser discreto, como cuando el número de puntos muestrales es finito y calculable. Un evento es un subconjunto del espacio muestral, y por lo tanto representa un conjunto de puntos muestrales. Un evento simple consiste de un único punto muestral, y un evento compuesto consiste de más de un punto muestral. Si Ω representa un espacio muestral y A representa un evento, el evento complementario, A , es el conjunto de todos los puntos muestrales en Ω que no están en A. Las interrelaciones entre conjuntos pueden ser ilustradas de manera conveniente mediante diagramas de Venn. En la Figura C.1 el espacio muestral es representado por el rectángulo Ω y el evento A por el círculo. Así, A es un subconjunto de Ω. El evento complementario A corresponde a la parte del rectángulo ubicada fuera del círculo. Como no hay puntos muestrales en A y A , la φ ). De forma similar, todos intersección de A y A es el conjunto vacío, φ, (i.e., A ∩ A = los puntos muestrales están ya sea en A o en A , de manera que la unión de A y A es Ω

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(i.e., A ∪ A = Ω ). Se dice que dos eventos, A y B son mutuamente excluyentes si no φ ). comparten puntos muestrales (i.e. A ∩ B =

Figura C.1 Diagrama de Venn ilustrando el evento A en el espacio muestral Ω.

Ejemplo C.1 Considere el diagrama de Venn para los tres eventos, A, B y C que se muestran en la Figura EC.1

Figura EC.1

A∩ B

regiones= 1y4 A ∩ B regiones 3 y 7

B ∪C

regiones 1, 2,= 3, 4, 5 y 6 ( A ∪ B) ∩ C

= A∩ B ∩C

región 1

= A∩ B ∩C

regiones 1, 2 y 3 región 8

C.3 Axiomas básicos de probabilidades Se puede asignar una medida probabilística, P, a cada punto muestral o conjunto de puntos muestrales en un espacio muestral. La probabilidad de un evento A se denota mediante el símbolo P[A]. La teoría de probabilidad esta basada en los siguientes tres axiomas básicos. Axioma 1. La probabilidad de un evento se representa mediante un número mayor o igual que cero pero menor o igual que 1:

0 ≤ P [ A] ≤ 1 Axioma 2.

La probabilidad de un evento igual al espacio muestral Ω es 1:

P [Ω] =1

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Axioma 3. La probabilidad de un evento que representa la unión de dos eventos mutuamente excluyentes es igual a la suma de las probabilidades de los eventos:

P [ A ∪ B= ] P [ A] + P [ B ] Estos axiomas pueden ser usados para desarrollar las reglas y teoremas que comprenden la teoría matemática de probabilidades.

C.4 Probabilidades de eventos Las probabilidades son usualmente caracterizadas en términos de frecuencias relativas de ocurrencia. Si la existencia de un contenido de agua mayor que el contenido de agua óptimo en un relleno compactado es considerada como un evento, la probabilidad de ese evento puede ser estimada determinando la frecuencia relativa de las mediciones del contenido de agua que excede el contenido óptimo. Si el número total de mediciones de contenido de agua es pequeño, la frecuencia relativa solo puede aproximar la probabilidad real, pero conforme el número de mediciones sea mayor, la frecuencia relativa se aproximará a la probabilidad real. Sin embargo, este punto de vista frecuencial no es muy útil para situaciones en las cuales no se puede repetir un experimento. En tales casos, las probabilidades pueden ser vistas como verosimilitudes relativas (o grados de confianza), como en la probabilidad de que una falla recién descubierta sea capaz de producir magnitudes máximas de 7.0 o 7.5. La última interpretación se presta para una evaluación subjetiva de la probabilidad. Independientemente de cómo sean interpretadas las probabilidades, los axiomas básicos permiten la elaboración de proposiciones sobre las probabilidades de ocurrencia de eventos sencillos o múltiples. Estas pueden ser visualizadas con ayuda de diagramas de Venn dibujados de manera que el área del rectángulo que representa al espacio muestral Ω es 1 y las áreas de todos los eventos dentro del espacio son iguales a sus probabilidades. Considere los eventos no excluyentes A y B de la Figura C.2. El evento A ∩ B (que significa que ambos A y B ocurren) es representado por la región achurada en la Figura C.2a; P [ A ∩ B ] está dada por el área de la región achurada. El evento A ∪ B (que significa que ocurren A o B) se representa por la región achurada de la Figura C.2b; P [ A ∪ B ] está dada por el área de la región achurada, o bien

P [ A ∪ B= ] P [ A] + P [ B ] − P [ A ∩ B ] En muchas instancias, la probabilidad de un evento depende de la ocurrencia de otro evento. La probabilidad condicional del evento A dada la ocurrencia del evento B se denota P [ A | B ] y se define (para P [ B > 0] ) como

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P [ A | B] =

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P [ A ∩ B] P [ B]

Figura C.2 Diagramas de Venn para eventos A y B en el espacio muestral Ω. (a) El conjunto A ∩ B está representado por la zona achurada; si el área de Ω es 1, P [ A ∩ B ] es igual al área achurada. (b) El conjunto A ∪ B está dado por el área achurada; P [ A ∩ B ] es igual al área achurada.

La probabilidad condicional se visualiza fácilmente con un diagrama de Venn (Figura C.2a) como la razón del área de A ∩ B sobre el área de B. El evento es estadísticamente independiente del evento B si la ocurrencia de B no afecta la probabilidad de ocurrencia de A; esto es,

P [ A | B ] = P [ A] También se puede decir que la probabilidad de que ambos A y B ocurran, esta dada por

P [ A ∩ B] = P [ A | B] P [ B] la cual si A y B son estadísticamente independientes, se torna

P [ A ∩ B] = P [ A] P [ B ] Este resultado es conocido como la regla de multiplicación y puede ser estendida a eventos múltiples mutuamente independientes A, B, C,…, N como

P [ A ∩ B ∩ C ∩ ∩ N ] = P [ A] P [ B ] P [C ] P [ N ] La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia conjunta de eventos estadísticamente independientes es igual al producto de las probabilidades individuales. Ejemplo C.2 Considere lanzar un único dado como un experimento. Entonces el espacio muestral resultante Ω ={1, 2,3, 4,5,6} , es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento. Sean los siguientes tres eventos definidos como

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A = {1}

(un lanzamiento produce un 1)

B = {1,3,5}

(un lanzamiento produce un impar)

C = {4,5,6}

(un lanzamiento produce un número mayor que 3)

Defina los conjuntos A ∩ B , A ∪ B y B ∪ C y calcule sus probabilidades. Solución El conjunto A ∩ B incluye todos los resultados que están en A y B ambos (i.e., A∩ B = {1} ). El conjunto A ∪ B incluye todos los resultados que están en A o en B (i.e.,

A∪ B = {1,3,5} ). El conjunto B ∪ C incluye todos los resultados que están en B o en C (i.e., B ∪ C = {1,3, 4,5,6} ). Las probabilidades de cada conjunto pueden ser calculadas como 1 1 P[ A∩ B = ] P [ A | B ] P [ B=] ( 13 ) ( = 2) 6 P [ A ∪ B ] =P [ A] + P [ B ] − P [ A ∩ B ] =16 + 12 − 16 =12 P [ B ∪ C ] =P [ B ] + P [C ] − P [ B ∩ C ] =12 + 12 − 16 =65

Ejemplo C.3 Cien pruebas de compactación fueron realizadas en las etapas iniciales de la construcción de una presa de tierra. Los resultados se presentan en términos del número de pruebas que satisfizo las especificaciones para compactación relativa mínima y para contenido de agua de compactación según la siguiente tabla.

Contenido de agua Aceptable No aceptable

Compactación relativa Aceptable No aceptable 80 10 6 4

Suponer que el desempeño del contratista en el futuro será el mismo que en las primeras 100 pruebas y que el material de relleno no cambia. Estimar la probabilidad de que la especificación de compactación relativa sea satisfecha en la próxima prueba. Estimar aquella probabilidad para el caso en el cual la especificación del contenido de agua no sea satisfecha. Solución Definir dos eventos R y W tales que R = especificación de compactación relativa satisfecha W = especificación de contenido de agua satisfecha De la tabla, la probabilidad de que ambas especificaciones, la compactación relativa y el 80 100 . contenido de agua, sean satisfechas se puede estimar como P [W ∩ R ] = Entonces la probabilidad de que la especificación para compactación relativa sea satisfecha en la próxima prueba si se satisface la especificación de contenido de agua es la probabilidad condicional P [ R | W ] , la cual se puede calcular como P [W ∩ R ] 80 100 80 = = = 0.889 P [W ] 80 100 + 10 100 90 La probabilidad de que la especificación para compactación relativa sea satisfecha dado que la especificación para contenido de agua no lo sea se puede estimar como P [ R | W= ]

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P  R | W= 

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P W ∩ R  6 100 6 = = = 0.600 P W  6 100 + 4 100 10

Para un conjunto de eventos, B1 , B2 , , BN que son mutuamente excluyentes

(B ∩ B i

j

= φ , ∀i ≠ j ) pero colectivamente exhaustivos ( B1 ∪ B2 ∪  ∪ BN = Ω ) , como el

que se muestra en el diagrama de Venn de la Figura C.3, la probabilidad de otro evento A puede ser expresada como

P [ A] = P [ A ∩ B1 ] + P [ A ∩ B2 ] +  + P [ A ∩ BN ] El lado derecho de la ecuación se puede expresar en términos de probabilida condicional Como

P [ A] P [ A | B1 ] P [ B1 ] + P [ A | B2 ] P [ B2 ] +  + P [ A | BN ] P [ BN ] = N

= ∑ P [ A | Bi ] P [ Bi ] i =1

que se conoce como el teorema de las probabilidades totales. El teorema de las probabilidades totales forma la columna vertebral de los cálculos de probabilidad requeridos para los análisis probabilísticos de amenaza sísmica.

Figura C.3 Intersección del evento A con los eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos Bi.

Ejemplo C.4 Un ingeniero estructural ha determinado que una estructura colapsará en un terremoto que produce una aceleración pico de 0.3g. Las probabilidades de que un terremoto dado en alguna de las fallas A, B o C sea lo suficientemente fuerte para causar que la estructura colapse son 0.5, 0.2 y 0.1 respectivamente. Las probabilidades de que tal terremoto ocurra en la fallas A, B o C durante la vida del edificio son 0.01, 0.05 y 0.10 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que la estructura colapse en un terremoto? Solución Definir los siguientes eventos como A = la estructura colapsa en un terremoto D1 = un terremoto capaz de destruir la estructura ocurre en la falla A D2 = un terremoto capaz de destruir la estructura ocurre en la falla B D3 = un terremoto capaz de destruir la estructura ocurre en la falla C Entonces la probabilidad de que la estructura colapse en un terremoto está dada por

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P [ A] = P [ A | D1 ] P [ D1 ] + P [ A | D2 ] P [ D2 ] + P [ A | D3 ] P [ D3 ] = ( 0.5)( 0.01) + ( 0.2 )( 0.05) + ( 0.1)( 0.10 ) = 0.025

C.5 Variables Aleatorias Todos los campos de la ciencia y la ingeniería intentan describir numerosas cantidades o fenómenos con valores numéricos. En la mayoría de los casos, el valor numérico preciso no puede ser predicho por adelantado de un proceso o experimento de interés. En tales casos, se describe a la cantidad o fenómeno mediante una variable aleatoria. La variable aleatoria se usa para describir un evento en un espacio muestral en términos cuantitativos. Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor dentro de uno o más intervalos. Debido a que una variable aleatoria continua puede tomar cualquiera de un infinito número de valores, la probabilidad de que tome un valor en específico es 1 ∞ =0 . La distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua puede también describirse mediante su función de densidad de probabilidad o PDF, f X ( x ) , que debe satisfacer las siguientes condiciones

fX ( x) ≥ 0

∫

∞

−∞

para todo x

f X ( x ) dx = 1

P [ a ≤ X ≤ b] = ∫ f X ( x ) dx b

a

De acuerdo con estas condiciones, el área bajo la PDF entre los valores a y b representa la probabilidad de que la variable aleatoria pueda también ser descrita por medio de su función de distribución acumulada (CDF), dada por

FX ( x )= P [ X ≤ x = ]

∫

x

−∞

f X ( x ) dx

Por lo tanto, la probabilidad de que una variable aleatoria, X, caiga entre dos valores a y b es

P [a ≤ X ≤ = b] FX ( b ) − FX ( a ) Obviamente, PDF y CDF están estrechamente relacionadas—una se puede obtener de la otra mediante integración o diferenciación. La PDF y la CDF de una distribución probabilística típica se muestran en la figura C.4. Considerando el teorema de probabilidad total y la definición de la PDF, la probabilidad de que una variable aleatoria Y tenga un valor y dado que la variable aleatoria X esté entre dos valores, a y b, puede ser expresada como

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P [Y = y ] = P [Y = y | a ≤ X ≤ x2 ] P [ x1 ≤ X ≤ x2 ] =

∫ P [Y =

y | a ≤ X ≤ x2 ] f X ( x ) dx

b

a

Figura C.4 (a) PDF para una variable aleatoria, X. La probabilidad de que X < a está dada por el área bajo la curva PDF a la izquierda de a. (b) CDF para la misma variable aleatoria. La probabilidad de que X < a está dada por el valor de CDF en X = a.

C.6 Valores esperados y desviaciones estándar La incertidumbre de una variable aleatoria generalmente puede ser caracterizada con precisión suficiente mediante unos pocos parámetros estadísticos. La media, o valor esperado, de una variable aleatoria continua, X, está dada por ∞

x = ∫ xf X ( x ) dx −∞

La media es una medición muy útil de la tendencia central de la variable aleatoria. Por sí misma, sin embargo, no describe adecuadamente la forma de la PDF. La dispersión de la variable aleatoria con respecto a la media también es muy importante. Esta dispersión es caracterizada usualmente mediante la varianza

= σ x2

∞

∫ (x − x) −∞

2

f X ( x ) dx

y la desviación estándar

σ x = σ x2 Ambos parámetros reflejan que tanto la variable aleatoria se dispersa de la media. Debido a que sus unidades son las mismas que las de la variable aleatoria, la desviación estándar es comúnmente más usada que la varianza. Esta característica también permite expresar a la dispersión en forma adimensional mediante el coeficiente de variación muestral

COVx =

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σx x

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La media y la desviación estándar (o la media y el coeficiente de variación) van muy lejos en la descripción de la variable aleatoria. Muchas distribuciones probabilísticas sencillas, incluyendo aquellas más usadas en ingeniería sísmica, quedan completamente descritas con estos dos parámetros. Otras distribuciones pueden requerir parámetros adicionales para caracterizar su simetría, límites u otras propiedades.

C.7 Distribuciones probabilísticas comúnes. Los resultados de experimentos estadísticos usualmente exhiben el mismo tipo general de comportamiento. Como resultado, las variables aleatorias asociadas con esos experimentos pueden describirse esencialmente mediante la misma PDF. Existen muchas funciones de densidad probabilística pero se requiere solo de unas cuantas para los análisis de ingeniería sísmica descritos en estos apuntes.

C.7.1 Distribución uniforme La distribución probabilística más sencilla es aquella en la cual todos los posibles valores de la variable aleatoria igualmente verosímiles. Tal variable aleatoria se describe mediante una distribución uniforme. La PDF para una variable aleatoria continua, X, que está distribuida uniformemente entre dos valores a y b es

= fX ( x)

0

para x ≤ a

1 b−a 0

para a < x ≤ b para x > b

La PDF y la CDF para una distribución uniforme se ilustran en la figura C.5.

Figura C.5 Distribución uniforme: (a) Función de densidad de probabilidades; (b) función de distribución acumulada.

C.7.2 Distribución normal La distribución de probabilidades más usada en estadística es la distribución normal (o distribución Gaussiana). Su PDF, que se grafica como la curva en forma de campana que se muestra en la Figura C.6a, describe conjuntos de datos producidos por una gran

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variedad de procesos físicos. La distribución normal se define completamente con dos parámetros: la media y la desviación estándar. Matemáticamente, la PDF de una variable aleatoria de distribución normal X con la media x y la desviación estándar σ x está dada por  1  x − x 2  1 exp  −  fX ( x) =   2πσ x  2  σ x   La PDF y la CDF para una distribución normal se muestran en la Figura C.6. En la Figura C.7 se muestran ejemplos de PDFs normales para variables aleatorias con medias y desviaciones estándar diferentes.

Figura C.6 Distribución normal: (a) Función de densidad de probabilidades; (b) función de distribución acumulada.

Figura C.7 Distribuciones normales para (a) dos variables aleatorias, X1 y X2, con diferentes medias pero la misma desviación estándar y (b) dos variables aleatorias, X3 y X4 con la misma media pero diferentes desviaciones estándar.

La integración de la PDF de una distribución normal no genera una expresión simple de la CDF, de manera que los valores de la CDF normal son usualmente expresados en forma tabular. La forma más eficiente de expresar la CDF normal es en términos de la variable normal estándar, Z, que puede ser calculada para cualquier variable aleatoria, X, usando la transformación X −x Z=

σx

z Siempre que X tenga un valor, x, su valor correspondiente de Z será =

(x − x) σx .

De

esta forma, la media de Z es z = 0 y la desviación estándar es σ x = 1 . La Tabla C-1 presenta valores de la CDF normal estándar.

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Ejemplo C.5 = = y σ x 40 , calcular Dada una variable aleatoria normalmente distribuida, X, con x 270 la probabilidad de que (a) X < 300, (b) X > 350 y (c) 200 < X < 240. Solución (a) Para X = 300, X − x 300 − 270 = Z = = 0.75 40 σx Por lo tanto, P [ X < 300] = P [ Z < 0.75] = Fz ( 0.75) =− 1 Fz ( −0.75) =− 1 0.2266 = 0.7734 (b) Para X = 350, X − x 350 − 270 = = 2.0 Z = 40 σx Por lo tanto, P [ X > 350] = P [ Z > 2.0] =− 1 Fz ( −2.0 ) = 0.0228 (b) Para X = 200, X − x 200 − 270 = = −1.75 Z= 40 σx Para X = 240, X − x 240 − 270 = = −0.75 Z= 40 σx Por lo tanto, P [ 200 < X < 240= ] P [ −1.75 < Z < −0.75=] Fz ( −0.75) − Fz ( −1.75)

= 0.2266 − 0.0401 = 0.1865

C.7.3 Distribución logarítmico-normal o lognormal Algunos problemas, particularmente aquellos que involucran parámetros de movimiento sísmico, se formulan en términos del logaritmo de un parámetro en vez del parámetro mismo. Si X es una variable aleatoria, entonces Y = ln X es también una variable aleatoria. Si Y es distribuida normalmente, entonces X es distribuida lognormalmente. En otras palabras, una variable aleatoria es distribuida lognormalmente si su logarimo es distribuido normalmente. La PDF de la variable aleatoria X distribuida lognormalmente esta dada por  1  ln x − ln x 2  1 fX ( x) exp  −  =   x 2πσ ln x  2  σ ln x   La forma de la distribución lognormal se muestra en la figura C.8. Nótese que la PDF no es simétrica y que asigna una probabilidad de cero a los valores negativos de la variable aleatoria. Estas características pueden ser muy útiles para algunas variables aleatorias [la distribución normal, por ejemplo, asigna probabilidades diferentes de cero para valores desde −∞ hasta + ∞ ; cuando se aplica a una variable aleatoria tal como la densidad del

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suelo, ésta puede asignar alguna probabilidad (supuestamente pequeña) de que el suelo tenga densidad negativa].

Figura C.8 Dos representaciones de la distribución lognormal. (a) Debido a que el logaritmo de una variable aleatoria, X, distribuida lognormalmente, es distribuido normalmente, la función de densidad de probabilidades de ln X es una curva de campana. (b) La función de densidad de probabilidades de X misma no tiene valores negativos y tampoco es simétrica.

Los valores de la CDF de la distribución lognormal son obtenidos de la Tabla C-1, usando la transformación modificada ln X − ln x Z=

σ ln x

Ejemplo C.6 Una variable aleatoria, X, es distribuida lognormalmente con ln x 5= y σ ln x 1.2 . = Calcular (a) la probabilidad de que X < 100, y (b) el valor de X que tiene un 10% de probabilidad de ser excedido. Solución (a) Para X = 100, ln X − ln x ln100 − 5 Z= = = −0.33 1.2 σ ln x De la Tabla C-1, P [ X < 100= ] P [ Z < −0.33=] Fz ( −0.33=) 0.3707 (b) De la Tabla C-1, el valor de Z que tendría una probabilidad de excedencia de 10% es 1.282 [i.e., FZ (1.282 ) = 0.90 ]. De esta forma, se tiene que ln= X Zσ ln x + ln= x

5 (1.282 )(1.2 ) +=

6.54

o bien,= X e= 691 6.54

Ing. Guillermo Santana, Ph.D.

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07/09/2011

POSGRADO EN INGENIERÍA CIVIL

PF-3920

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA

Tabla C-1 Valores de la CDF de la distribución normal estándar, Fz ( z ) =− 1 Fz ( − z ) Z

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

-3.4

0.0003

0.0003

0.0003

0.0003

0.0003

0.0003

0.0003

0.0003

0.0003

0.0002

-3.3

0.0005

0.0005

0.0005

0.0004

0.0004

0.0004

0.0004

0.0004

0.0004

0.0003

-3.2

0.0007

0.0007

0.0006

0.0006

0.0006

0.0006

0.0005

0.0005

0.0005

0.0005

-3.1

0.0010

0.0009

0.0009

0.0009

0.0008

0.0008

0.0008

0.0008

0.0007

0.0007

-3.0

0.0013

0.0013

0.0013

0.0012

0.0012

0.0011

0.0011

0.0011

0.0010

0.0010

-2.9

0.0019

0.0018

0.0017

0.0017

0.0016

0.0016

0.0015

0.0015

0.0014

0.0014

-2.8

0.0026

0.0025

0.0024

0.0023

0.0023

0.0022

0.0021

0.0021

0.0020

0.0019

-2.7

0.0035

0.0034

0.0033

0.0032

0.0031

0.0030

0.0029

0.0028

0.0027

0.0026

-2.6

0.0047

0.0045

0.0044

0.0043

0.0041

0.0040

0.0039

0.0038

0.0037

0.0036

-2.5

0.0062

0.0060

0.0059

0.0057

0.0055

0.0054

0.0052

0.0051

0.0049

0.0048

-2.4

0.0082

0.0080

0.0078

0.0075

0.0073

0.0071

0.0069

0.0068

0.0066

0.0064

-2.3

0.0107

0.0104

0.0102

0.0099

0.0096

0.0094

0.0091

0.0089

0.0087

0.0084

-2.2

0.0139

0.0136

0.0132

0.0129

0.0125

0.0122

0.0119

0.0116

0.0113

0.0110

-2.1

0.0179

0.0174

0.0170

0.0166

0.0162

0.0158

0.0154

0.0150

0.0146

0.0143

-2.0

0.0228

0.0222

0.0217

0.0212

0.0207

0.0202

0.0197

0.0192

0.0188

0.0183

-1.9

0.0287

0.0281

0.0274

0.0268

0.0262

0.0256

0.0250

0.0244

0.0239

0.0233

-1.8

0.0359

0.0352

0.0344

0.0336

0.0329

0.0322

0.0314

0.0304

0.0301

0.0294

-1.7

0.0446

0.0436

0.0427

0.0418

0.0409

0.0401

0.0392

0.0384

0.0375

0.0367

-1.6

0.0548

0.0537

0.0526

0.0516

0.0505

0.0495

0.0485

0.0475

0.0465

0.0455

-1.5

0.0668

0.0655

0.0643

0.0630

0.0618

0.0606

0.0594

0.0582

0.0571

0.0559

-1.4

0.0808

0.0793

0.0778

0.0764

0.0749

0.0735

0.0722

0.0708

0.0694

0.0681

-1.3

0.0968

0.0951

0.0934

0.0918

0.0901

0.0885

0.0859

0.0853

0.0838

0.0823

-1.2

0.1151

0.1131

0.1112

0.1093

0.1075

0.1056

0.1038

0.1020

0.1003

0.0985

-1.1

0.1357

0.1335

0.1314

0.1292

0.1271

0.1251

0.1230

0.1210

0.1190

0.1170

-1.0

0.1587

0.1562

0.1539

0.1515

0.1492

0.1469

0.1446

0.1423

0.1401

0.1379

-0.9

0.1841

0.1814

0.1788

0.1762

0.1736

0.1711

0.1685

0.1660

0.1635

0.1611

-0.8

0.2119

0.2090

0.2061

0.2033

0.2005

0.1977

0.1949

0.1922

0.1894

0.1867

-0.7

0.2420

0.2389

0.2358

0.2327

0.2296

0.2266

0.2236

0.2206

0.2177

0.2148

-0.6

0.2743

0.2709

0.2676

0.2643

0.2611

0.2578

0.2546

0.2514

0.2483

0.2451

-0.5

0.3085

0.3050

0.3015

0.2981

0.2946

0.2912

0.2877

0.2843

0.2810

0.2776

-0.4

0.3446

0.3409

0.3372

0.3336

0.3300

0.3264

0.3228

0.3192

0.3156

0.3121

-0.3

0.3821

0.3783

0.3745

0.3707

0.3669

0.3632

0.3594

0.3557

0.3520

0.3483

-0.2

0.4207

0.4168

0.4129

0.4090

0.4052

0.4013

0.3974

0.3936

0.3897

0.3859

-0.1

0.4602

0.4562

0.4522

0.4483

0.4443

0.4404

0.4365

0.4325

0.4286

0.4247

0.0

0.5000

0.4960

0.4920

0.4880

0.4840

0.4801

0.4761

0.4721

0.4681

0.4641

Ing. Guillermo Santana, Ph.D.

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07/09/2011