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GEOMETRÍA
5
Secundaria
Primer Bimestre
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Í nd i c e Capítulo 1. Triángulos Rectángulos Notables
Pág
7
2. Triángulos Capítulo 13 Capítulo 3. línea y Puntos Notables
21
Capítulo 29 4. Congruencia de Triángulos Capítulo 5. Aplicación de la congruencia de triángulos
35
Capítulo 41 6. Polígonos
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G eometría
CAPÍTULO
1
Triángulos Rectángulos Notables
Recordemos el triángulo rectángulo.
3)
B
a c
a
A
Catetos: a y b Hipotenusa: c a2 + b2 = c2 T. Pitágoras a + b = 90º
Además:
a
4)
1)
3k
30º
45º
a
76º
37º
a 17 4a
14º
5)
45º
a 5
7k
74º
53º/2 2a
a 2
a
k 2
5k
2)
a a
53º
2a
a 3 2)
C
2. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES APROXIMADOS
4k
60º
15º
H
AC 4
4a
1. PRINCIPALES TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES 1)
75º
b
b
Se cumple:
BH =
a
25k
24k
16º
45º 3) 2k k 2
6)
a 45º
Geometría - 5to. Secundaria
a 10 37º/2 3a
a
82º
5 2a 7a
7
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EJERCICIOS RESUELTOS 1. En la figura, calcule la distancia de “C” a AB si BC=8u. B 150º
A
ABE: AB = BE = 12 Finalmente: EC = BC - BE \ EC = 16 - 12 = 4u
C
Resolución:
H
4. En la figura, AD es bisectriz. Calcule “CD” si: BD = 2u.
x
B 30º 8 150º
A
ABC: 5a = 20 → a = 4 luego: AB = 3(4) = 12 BC = 4(4) = 16
60º
B D
C
BHC: notable de 30º y 60º \ x = 4u
30º
A
2. Calcule “AD” si: CD = 10u.
Resolución:
B
A 23º
º 4 30 30º
A 37º
B Resolución:
B
5. En la figura, AD = 8u. Calcule la proyección de BP sobre BC. B C
H
D
6 53º
8 10
37º
C
Trazamos la altura DH DHC notable de 37º y 53º: DH = 6u AHD notable de 30º y 60º \ x = 12u
30º
Resolución:
D B
8
A
E
45º
C B 3a=12
30º 30º
30º
B
Resolución:
P
A
3. Si: AC = 20u, calcule “EC”.
A
C
º
30º
30
x
A
30º
ADC: isósceles \ x = 4u
A 23º
x
ABD: notable de 30º y 60º AD = 4u
C
D
2 60º D
C
12
45º 5a=20
4a E 37º
C
60º
P'
8 3 60º 4 3 P 16 60º 8
8
C
60º
D
BAD: notable de 30º y 60º BD = 16u BPD: notable de 30º y 60º DP = 8u y BP = 8 3u BP'P: notable de 30º y 60º PP' = 4 3u \ BP' = 4 3 . 3 = 12u (BP' proyección de BP sobre BC) Geometría - 5to. Secundaria
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Resolviendo en clase 1 E n l a f i g u r a , AC = 1 2 y BN = 8. Calcule “q”.
3 Si: BC = 18, calcule la distancia desde e l v é r t i c e “ C ” h a s t a e l l a d o A B.
A q
B 120º 37º
B
A
C
N
Resolución:
C
Resolución:
Rpta:
Rpta:
2 Si: 4AD = 3BC, calcule “x”.
4 Calcule "x": 12
B
A
53º
10
D
30º
Resolución:
Rpta:
º 30
x
x
C Resolución:
Rpta: Geometría - 5to. Secundaria
9
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5 Si: CD = 11 2 y AB = 10, calcule “AD”.
6 En el cuadrilátero AB = 2, BC = 10 y CD = 4. Calcule “AD”.
A
C
53º
B
B
D
98º
45º
C
A
Resolución:
127º 143º
D
Resolución:
Rpta:
Rpta:
Ahora en tu cuaderno 7. En la figura, calcule “q”.
9. E n u n t r i á n g u l o A B C , s e u b i c a e l p u n t o D e n AC , t a l q u e : A D = 2 B C , m D B C = 1 5 º y m C = 30º. Calcule m A.
B M A
8º
135º q
C
8. Se tiene un triángulo ABC, de modo que m A = 37º, m C = 45º y AC=14. Calcule AB.
10
10. Se tiene un triángulo ABC, de modo que: 6AB = 5AC y m A = 7º. Calcule m C.
Geometría - 5to. Secundaria
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11. Se tiene el triángulo ABC, recto en B, en la región interior se ubica el punto P, de tal manera que: PB = PC y PA = BC. Calcule m PAB.
12. En un triángulo ABC se sabe que m A = 76º, m C = 23º y AB + BC = 28u. Calcule “AB”.
Para reforzar 1. En la figura, calcule “AE” si: EC = 6.
3. Calcule la longitud del cuadrado PQRS si el lado del triángulo equilátero mide 3 m. B
A
15º
Q
B
E
45º
A
C
a) 9 2 b) 6 2 d) 6 3
c) 9 e) 4 2
2. En la figura, AC = 20. Calcule “BH”.
a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 3
R
P
S
C
2(2 - 3) m 3(2 + 3) m 3(2 - 3) m 2(4 - 3) m 3(4 + 3) m
4. Calcule “BH” de la figura si: EC = 4 2. A
B 15º
45º
H A
N
30º
a) 5 2 b) 3 2 d) 4 2
Geometría - 5to. Secundaria
C
c) 5 2 /2 e) 5 3
B
H E
a) 1 b) 2 d) 1,5
45º
C c) 3 e) 2,5
11
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5. Calcule “AC” del gráfico si: AB = 4 y BC = 10.
9. De la figura, calcule “AE” si: BC = 20.
B
A
127º
E
A
C
a) 41 d) 4 41
b) 2 41 e) 5 41
B
c) 3 41
6. Calcule el lado del cuadrado PQRS si: AC = 40. B Q
8º 8º
37º
a) 2 b) 3 d) 5
P
R 15º
S
C A
a) 6 b) 8 d) 14
c) 10 e) 12
7. La figura se muestra tres cuadrados consecutivos. Calcule “x”. B
Q
R
C
x A
c) 4 e) 8
10. En la figura, calcule la medida del ángulo “x” si AM = MC. B
A
C
P
S
a) 100º b) 120º d) 145º
D c) 135º e) 150º
30º
x 15º
M
C
a) 15º b) 20º d) 45º
c) 30º e) 37º
11. En un D ABC, m A = 15º y m AB = 8, calcula AC. a) 16 b) 8 2 d) 15
C = 30º. Si
c) 24 e) 8 3
12. En la figura, BC = 6 y CD = 3 3. Calcule AB. B
8. Se tiene un cuadrado ABCD, sobre AC se ubica un punto E, tal que AE = 7EC. Calcule m ∠ CBE. a) 8º b) 10º d) 15º
12
c) 12º e) 18º
120º A
30º
a) 15 b) 10 d) 30
C 150º D c) 15 3 e) 20
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G eometría
CAPÍTULO
2
Triángulos
OBJETIVOS: a Emplear adecuadamente las propiedades de los triángulos de acuerdo a las condiciones. a Establecer la diferencia que existe entre las líneas notables asociadas al triángulo. a Identificar y reconocer los triángulos congruentes según los casos que se van a plantear.
INTRODUCCIÓN
ÁNGULOS DETERMINADOS
El hombre de la prehistoria aplicó algunos conocimientos geométricos al construir sus lanzas dándoles formas puntiagudas (triangulares) para poder lograr mayor facilidad en la caza.
B
y β
Un conocimiento más profundo y ordenado del triángulo lo tuvieron los egipcios en la construcción de las pirámides, llegando a establecer la noción de igualdad de forma y tamaño. Posteriormente serían usados para establecer medidas angulares y distancias, por ejemplo, el ancho de un río, la altura de las pirámides, etc.
x α A m m
θ z
C
internos: α, β, θ externos: x, y, z s s
DEFINICIÓN El triángulo es la figura geométrica formada por la unión de tres puntos no colineales mediante segmentos.
Nota El perímetro (2p) es la suma de las medidas de sus lados.
B
a A
C
b
2p = a + b + c
c
ELEMENTOS Vértices : A, B y C Lados : AB, BC y AC Notación : ∆ ABC Geometría - 5to. Secundaria
CLASIFICACIÓN Los triángulos son clasificados de acuerdo a las medidas de sus ángulos y por la longitud de sus lados.
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Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS
SEGÚN LA LONGITUD DE SUS LADOS
Triángulo Rectángulo
Triángulo Escaleno
Es aquel que tiene un ángulo recto.
Es aquel cuyos lados tienen medidas diferentes.
B
B a
c A
m β
α
β = 90º
C
b
a
c A
Catetos : AB y BC Hipotenusa : AC
b
a≠b≠c
C
AB ≠ BC ≠ AC
Triángulo Isósceles
Nota
Es aquel que tiene dos lados de igual medida. B
Pitágoras en su teorema utilizó la siguiente relación: b 2 = a 2+ c 2
A
b
b
α
α
AB = BC
C
Triángulo Oblicuángulo
Cuando el ángulo no mide 90º.
Triángulo Equilátero
Es aquel que tiene sus tres lados de igual medida. Triángulo Acutángulo
B
Es aquel que tiene sus ángulos internos agudos. b
B β
0º < α < 90º 0º < β < 90º
α
θ
A
A
60º
b 60º
60º b
AB = BC = AC C
0º < θ < 90º C
PROPIEDADES TEOREMA 1
Triángulo Obtusángulo
En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos internos es igual a 180º.
Es aquel que tiene un ángulo obtuso. A
β 90º < α < 180º
α
θ
α B
14
C
α + β + θ = 180º Geometría - 5to. Secundaria
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TEOREMA 2
PROPIEDADES ADICIONALES
En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es igual a la medida de los ángulos internos no adyacentes a él.
I. PROPIEDAD DEL CUADRILÁTERO CÓNCAVO β
β x
α
x
α
x=α+β
θ
x=α+β+θ
TEOREMA 3 En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos externos es igual a 360º.
II. PROPIEDAD DE LA MARIPOSA x
θ
x z
y
α
y
α+θ=x+y x + y + z = 360º III. PROPIEDAD DEL PESCADO
TEOREMA 4
x
En todo triángulo, al lado de mayor longitud se le opone el ángulo de mayor medida y viceversa.
β
Si:
α
a>b ⇔ α>β
x+y=α+β
b
a β
y
α IV. PROPIEDAD DEL PUNTO INTERIOR
TEOREMA 5 En todo triángulo, la longitud de un lado es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos, pero menor que la suma de los mismos.
B
B
P a
c A
b b-c
