1 Esfuerzo Simple (103 113)
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Descripción: RESISTENCIA...
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.- Determine el máximo peso W que pueden soportar los cables mostrados en la figura. Los esfuerzos en los cables AB y AC no deben exceder los 100 M Pa y 50 M Pa, respectivamente. Las áreas transversales de ambos son: 400 y 200
Para el cable AC.
Para el cable AB
σ σ
AB= 100M Pa
AC= 50M Pa
= 4 *10− = 200 = 2 *10−
AB = 400 AC
Primero se debe establecer las cargas axiales que que soportan los cables AB y AC mediante la fórmula del esfuerzo de tracción. Los cables mencionados anteriormente van a sufrir su frir un efecto mecánico de tracción, elongación, tensión, alargación la cual llega hasta un límite máximo de tensión para evitar la rotura o fractura.
Se analizara los cables en forma individual:
Con los datos proporcionados por el ejercicio datos se sabe que la barra AB está sometida a un esfuerzo simple en donde existe una carga longitudinal que soporta el cable AB. Además se requiere del área transversal o perpendicular a esta carga para así aplicar la fórmula de esfuerzo simple en el cable AB. Reemplazamos datos y obtenemos el valor de la carga en el cable AB.
σAB APABAB
.- Determine el máximo peso W que pueden soportar los cables mostrados en la figura. Los esfuerzos en los cables AB y AC no deben exceder los 100 M Pa y 50 M Pa, respectivamente. Las áreas transversales de ambos son: 400 y 200
Para el cable AC.
Para el cable AB
σ σ
AB= 100M Pa
AC= 50M Pa
= 4 *10− = 200 = 2 *10−
AB = 400 AC
Primero se debe establecer las cargas axiales que que soportan los cables AB y AC mediante la fórmula del esfuerzo de tracción. Los cables mencionados anteriormente van a sufrir su frir un efecto mecánico de tracción, elongación, tensión, alargación la cual llega hasta un límite máximo de tensión para evitar la rotura o fractura.
Se analizara los cables en forma individual:
Con los datos proporcionados por el ejercicio datos se sabe que la barra AB está sometida a un esfuerzo simple en donde existe una carga longitudinal que soporta el cable AB. Además se requiere del área transversal o perpendicular a esta carga para así aplicar la fórmula de esfuerzo simple en el cable AB. Reemplazamos datos y obtenemos el valor de la carga en el cable AB.
σAB APABAB
PAB− 100M 100M Pa 4 ∗10 PAB 100M Pa ∗ 4 ∗ 104 2
Área perpendicular de la barra AB
Al igual que el caso anterior el cable AC está sometida a un esfuerzo simple en donde existe una carga perpendicular al área transversal del cable
σAC APAC AC PAC 50M 50M Pa Pa 2 ∗10 − PAC 500M Pa ∗ 2 ∗ 10−
Área perpendicular de la barra AC
Establecemos las cargas en los cables AB y AC y graficamos
. en un plano
referencial matemático matemático x e y tomando como origen el punto A que es el punto punto de aplicación de las fuerzas.
Σ
Σ
Aplicamos las ecuaciones de la estática la cual consiste en F= 0 y M= 0.En esta caso aplicamos F= 0
Σ
ΣF= 0 ΣFx=0; ΣFy=0; El ejercicio solicita el valor de la carga W que está dirigido hacia el centro de la tierra por efecto de la gravedad y por el sistema de referencia matemático
Σ
establecido; entonces se necesita la sumatoria de fuerzas en y ( Fy= 0) porque es la ecuación donde se encuentra la incógnita (peso=W) a determinar.
Σ Fy= 0 –
Sen45*AC + Sen30*AB W = 0
–
Sen45*(10KN) + Sen30*(40KN) W = 0 W = 7.07KN + 20KN Por cálculos matemáticos el valor de la carga W es (+) pero en realidad se le considera negativa porque está dirigida hacia el centro de la tierra por efecto de la gravedad.
- Calcule para la armadura de la figura los esfuerzos producidos en los elementos DF, CE Y BD. El área transversal de cada elemento es 1200
. Indique
la tensión (T) o bien la compresión (C).
= 120 *10− = 1200 = 120 *10− = 1200 = 120 * 10−
DF = 1200 CE
BD
DF =?
CE =?
BD =?
σ σ σ
DF= ?
CE = ?
BD = ?
Se graficara la armadura en el espacio para poder visualizar las áreas transversales de cada una de las barras de estudio (barra DF, CE Y BD).
En este caso tenemos un sistema de equilibrio el cual está compuesto por diferentes cuerdas que van a estar tensionadas o comprimidas de acuerdo a las condiciones de equilibrio. Se necesita calcular las carga que se efectúa en las barras de segmento DF,
CE Y BD, por tanto se aplicara el método de secciones el cual consiste en partir, seccionar o dividir el sistema y aislar la sección de trabajo de la sección restante del sistema para luego mediante principios de la estática determinar el valor que le corresponde a cada la carga que se aplica sobre las barras.
Realizamos el diseño de nuestro D.C.L. el cual nos ayuda a visualizar las cargas que se encuentran en el sistema. Luego de esto revisemos las reacciones que generan los apoyos el sistema.
En
se encuentra un
el cual genera 2 reacciones como se visualiza en
el D.C.L. En se encuentra un
el cual genera una reacción perpendicular como
se genera en la figura. Entonces primero determinaremos el valor de las reacciones que se generan aplicando un momento en el apoyo fijo A ya que este presenta mayor número de reacciones.
Σ MA= 0 –
-4*(100KN) 7*(200KN) + 10 RFy = 0
–
-400 1400 = -10RFy 1800 = 10RFy
Luego realizamos una sumatoria de fuerzas para determinar las reacciones en el apoyo fijo A, tenemos dos reacciones que son RAx y RAy. La reacción RAx = 0 porque es la única fuerza en el eje matemático x.
ΣF y= 0 RAy – 100KN – 200KN +RFy= 0 RAy + RFy = 300 KN - RFy
–
RAy = 300 KN 180KN
Luego como se describió anteriormente aplicamos el método de las secciones para determinar la carga que soporta cada uno de las barras de estudio (Barra DF, CE Y BD) y posteriormente el esfuerzo simple que se produce sobre cada uno de las barras. Entonces diseñamos el D.C.L para cada nodo y procedemos al analisis para determinar las fuerzas que se producen sobre cada uno de los nodos.
Primero debemos realizar el analisis del triángulo CED y debemos determinar los ángulos agudos de este triángulo mediante trigonometría para luego usar en el equilibrio de Fuerzas en el nodo F.
Tangente Φ = Φ=
− (4/3)
Φ53.13
α 180 – Φ α 180 – 53.13 α 36.87
Realizamos el corte para seccionar al sistema y analizamos el nodo disponible usando las ecuaciones de la estática.
Entonces realizamos una sumatoria de fuerzas en el nodo F y aplicamos una sumatoria de fuerzas para determinar la fuerza en el cable DF y EF.
ΣF Fy= 0 RFy + DF*Sen53.13= 0
R. k DF = . DF =
ΣF Fx= 0
Tension Del cable FD
–
- EF FD*Cos53.13= 0 -EF = - (-225*Cos53.13) = 0 -EF = 224*Cos53.13
Luego ya conocemos la fuerza que soporta el cable DF y además se conoce el área transversal o perpendicular a la fuerza para determinar el esfuerzo en el cable DF.
σ
DF =
.
−
σDF =
σ
Esfuerzo de compresión (-) de la barra FD
En este caso tenemos que el valor del esfuerzo del cable DF es de signo negativo (-) por tanto se dice que las fuerzas perpendiculares al área están comprimiendo a la barra DF. Lo cual lo podemos visualizar en la siguiente gráfica.
En este caso tenemos solo fuerzas en el eje de referencia matemático por lo que debemos analizarla aplicando el principio de transmisibilidad que se sabe que el vector se transmite a lo largo de la línea de referencia.
Entonces diremos que la tensión de la barra EF es igual a la tensión del cable CE pero este actúa en sentido contrario por tanto su signo debe ser (-). Al igual que la carga de 200kN es de signo negativo por la gravedad que está siempre dirigida hacia el centro de la tierra y por el eje de referencia que estamos utilizando, y su fuerza o tensión de contradicción que es la de la barra ED que es de signo positivo. Ahora entonces aplicaremos ecuaciones de la estática que consiste en la sumatoria de fuerzas el cual lo vamos aplicar en el nodo E que es el punto de aplicación de todas las fuerzas y por ende ubicaremos el eje de referencia matemático.
ΣF Ey= 0 ED – 200KN= 0
ΣF Ex= 0 EF - CE=0
ED=200KN Fuerza de la barra la cual necesitamos para buscar la deformación del cable o barra CE Entonces ahora tenemos el área transversal a la carga de la barra que es de Área ACE=1200 mm² y la fuerza de la barra CE (CE=134.40K N) para así determinar la deformación de la misma.
σ
CE=
σ = . CE
Esfuerzo de tracción (+) de la barra CE.
En este caso tenemos que el valor del esfuerzo del cable CE es de signo positivo (+) por tanto se dice que las fuerzas perpendiculares al área están tensionando, traccionando, estirando, etc. Lo cual lo podemos visualizar en la siguiente gráfica.
Antes debemos determinar los ángulos que se forman entre las fuerzas BA-BC
η y entre las fuerzas BD-BC σ y forman dos triángulos ACB y CDB.
Tangente η = 4/6 η = − (4/6) η = 33.69
σ σ = − (3/2) σ = 56.31 Tangente = 4/6
Con los datos de los ángulos procedemos aplicar una sumatoria de fuerzas sobre el nodo B y determino las fuerzas que se generan en estas, así: Previamente se necesita la fuerza AC y AB por lo que utilizaremos el D.C.L. para determinar estas fuerzas y así determinar la fuerza que se necesita pata hallar la deformación en la barra o cable BD. Observemos el siguiente D.C.L y determinemos tanto la fuerza AC y AB.
ΣF A=0 ΣF Ay= 0 ; ΣF Ax= 0 Ray + AB*Sen56.3 = 0
−
AB= .
AB= -144.239KN
Del nodo B se desprenden 3 cables AB, BC y BD los cuales forman un sistema de equilibrio , por tanto debemos aplicar una sumatoria de fuerzas y de momentos los cuales nos ayudaran a encontrar el valor en módulo de cada una de las fuerzas.
ΣF B=0 ΣF Bx= 0
ΣF By= 0
AB*Sen33.6 + BD*Sen56.31 = 0 BD=
−.∗. .
Fuerza de la barra la cual necesitamos para buscar la deformación del cable o barra BD
Entonces ahora tenemos el área transversal a la carga de la barra que es de area ACE=1200 mm² y la fuerza de la barra BD (BD=-93.93k N) para así determinar la deformación de la misma.
Esfuerzo de compresión (-) de la barra BD.
σ
σ σ
−. BD= BD=
En este caso tenemos que el valor del esfuerzo del cable BD es de signo negativo (-) por tanto se dice que las fuerzas perpendiculares al área están comprimiéndose, enanizandose, etc. Lo cual lo podemos visualizar en la siguiente gráfica.
Determine, para la armadura de la figura las áreas transversales de las barras BE, BF y CF de modo que los esfuerzos no excedan de 100 MN/ 80 MN/
en tensión, ni de
en compresión. Para evitar el peligro de un pandeo, se especifica una
tensión reducida en la compresión.
σ σ
tensión= 100 MN/
compresión= 80 MN/
BE=? BF=? CF=?
Para observar el área de las barras (Barras BE, BF y CF) de trabajo realizamos un gráfico tridimensional dela armadura.
La unión de las barras forman figuras geométricas como los son los triángulos los cuales generan ángulos que intervienen en el proceso de la sumatoria de fuerzas o de momentos para posteriormente poder determinar el valor del as fuerzas en el eje de referencia matemático. En este caso necesitamos los án ulos formados or los vértices del trián ulo
Entonces aplicamos principio de trigonometría y hallamos el valor de los ángulos de los 2 triángulos.
Tangente β 8/6 ∮’’ = − (8/6) ∮’’= 53.13 Ángulo del triángulo BCG
Φ Φ= − (8/3) Φ= 69.4 Tangente = 8/3
Ángulo del triángulo BCF
Luego necesitamos las fuerzas que se ejecutan en las barras BE, BF y CF por lo que en la gráfica del problema le debemos realizar un corte seccionando el sistema y así facilitar el cálculo de las fuerzas solicitadas.
Ahora visualizaremos el D.C.L ya en un sistema de plano matemático (x, y) tras haberle realizado un corte b-
b’ usando el método de secciones y buscamos el punto
más adecuado para aplicar un momento. En este caso tenemos el nodo o punto F porque es el punto donde se encuentran más incógnitas, reduciendo así la búsqueda de esto al momento de aplicar una sumatoria de momentos.
∮
’’
Φ
Para este caso usamos el principio de la transmisibilidad que tiene como fundamento que una fuerza puede desplazarse a lo largo de su línea de acción. Obsérvese que la fuerza BE y EG están en la misma línea de acción por tanto son iguales en modulo.
Σ MF= 0 -50KN*(3m) + (BE*Cos53.13KN)*4m = 0 -150 + 2.40*BE = 0
BE= .
Fuerza en la barra BE
La fuerza BE tiene un ángulo de inclinación se lo puede descomponer en sus componentes de BEx y Bey, que posteriormente ayudan en la sumatoria de fuerzas para determinar las fuerzas restantes. Con esta descomposición se observa en el D.C.L anterior que EBy=EG y EBx=FG en modulo porque se encuentran en la misma línea de acción. EBy = EB * Sen
∮’’
EBx = EB * Sen
Φ
EBy = 62.49 *Sen53.13
EBx = 62.49 *Sen 62.49
EBy = 50 KN
EBx = 37.5 KN
Entonces volvemos a seccionar (c-
c’a la armadura y analizamos las fuerzas que se
producen en el nodo F. Representamos todas estas fuerzas en el plano sobre el nodo F y realizamos la sumatoria de fuerzas el cual nos ayudara a determinar las fuerzas sobre las barras BF y CF.
ΣF F=0 ΣF Fy = -40 -50 + EBy + FB*sen∮’ ΣF Fy = -40 -50 + 50 + FB*Sen69.4 0 = -40 -50 + 50 + FB*Sen69.4 FB*Sen69.4 = 40
Fuerza en la barra FB
ΣF Fx = -FC – EBx – FB*Cos∮ ΣF Fx = -FC – EBx – FB*Cos69.42 0 = -FC - 37.5 KN – 42.73*Cos69.4 FC = - 37.5 KN – 15.03KN Fuerza en la barra FC
Luego de encontrar las fuerzas en las 3 barras BE FB y CF se aplicara la fórmula del esfuerzo de cada barra. En este caso tenemos como incógnita el área transversal de cada barra y tenemos como datos que el esfuerzo en tensión (+) no excede 100 Pa y tampoco excede 80 Pa en compresión (-).Este efecto se observa en la siguiente gráfica:
Barra sometida a compresión sin exceder 80M Pa
Fuerzas de compresión
Barra sometida a tensión sin exceder 100M Pa
Fuerzas de tracción
Primero las fuerzas o cargas producen esfuerzos de tensión o compresión dependiendo de que signo tengan (compresión [-] tensión [+]). En este caso la fuerza en la barra CF es negativo por lo que se sabe que el esfuerzo va ser de compresión y no debe exceder los 80M Pa debido a que si supera este esfuerzo admisible el material va a tender al pandeo. σ
FC=
−. −. AFC=
σ
FC=
AFC=
80 MN/2 − 6.55 x
En el caso la fuerza en la barra BF y BE son positivos por tanto el esfuerzo es de tensión y no deben los 100M Pa porque si supera el esfuerzo admisible el material tiende a fracturarse.
σ σ σ
BF=
. . BF= BF=
100 MN/2 −
σ
. BE= . A BE= / −
σ
BE=
Todas las barras de la estructura articulada de la figura tienen una sección de 30 mm por 60 mm: determine la máxima carga P que puede aplicarse sin que los esfuerzos excedan a los fijados en el problema 105.
σ tensión = 100M Pa σ compresión = 80M Pa h = 60 b = 30
P=?
El ejercicio nos proporciona datos de la sección transversal de las barras que son de 2 lados diferentes, es decir son rectangulares. Determinaremos Determinaremos su área aplicando la fórmula del área del rectángulo que es la base multiplicado por la altura.
∗ ℎ 30 ∗ 60 1800 ²
En el grafico siguiente visualizamos tridimensionalmente las barras que forman un triángulo y observamos que la carga P actúa hacia el centro de la tierra y las reacciones que sufren ya que está apoyada sobre un apoyo fijo y un apoyo móvil.
Las barras forman un triángulo ABC con diferentes ángulos, por tanto necesitamos ` establecer los ángulos que se generan entre las barras BA y el eje de referencia ( Ω) y la barra BC y el eje de referencia ( Δ). Para ello aplicamos principios de trigonometría que en este caso sería la ley de cosenos.
–
8² = 6² + 10² 2(6*10) Cos Ω
=
Δ
–
64 = 36 + 100 2(60) Cos Ω Ω
=
−( )
Δ
) −(
Ω
Nuestro eje de referencia está ubicado en el punto B porque es el punto de aplicación de las fuerzas por tanto la barra BA y BC tiene un ángulo de inclinación
–
que generan que las 2(8*10) fuerzas Cos se descompongan en sus componentes (x, y). D Debemos ebemos Δ 6²= 8² +10² determinar longitud de Cos el cual indica la componente en x de la fuerza en la barra Δ 36 = 64la+ 100 -2(80) BA y la diferencia entre (10-m) es la componente dela fuerza en X de la barra BC
Cos 36.87 =
Mediante el principio de la transmisibilidad la carga P se transmite a lo largo del eje de coordenadas Y. Por tanto si aplicamos aplicamos un momento en el punto A que es un apoyo fijo que genera dos reacciones podemos hallar el valor de la reacción en C que es una reacción paralela paralela a la carga P.
∑=0 (-6.4m)P + (10) Rcy = 0 Rcy = 0.64 P Para determinar las reacciones en el punto A debemos realizar una sumatoria de fuerzas de nuestro D.C.L y determinamos el valor de la reacción Ay y Ax.
∑ =0 ΣFx = 0
ΣFy = 0
Rax = 0
Ray + Rcy = P
–
Ray = P 0.64P Ray = 0.36 P Luego analizamos el nodo A y las fuerzas que se generan en este aplicando las ecuaciones de la estática que en este caso es la sumatoria de fuerzas. Para ello graficaremos el D.C.L. el cual nos ayudará a la resolución grafica de estas fuerzas.
ΣF A = 0 ΣF Ax = 0
ΣF Ay = 0
AC + AB*Cos36.87 = 0
RAy + AB*Sen36.87 = 0
AC = - AB*Cos36.87
RAy = - AB*Sen36.87
Ecuación de reemplazo 1 (E1)
También analizamos el nodo B y las fuerzas que se generan en este las ecuaciones de la estática como lo es la sumatoria de fuerzas. Visualizamos el D.C.L y las fuerzas sobre el punto o nodo B.
ΣF B 0 ΣF Bx 0 BC*Cos53.13 – BA*Cos36.87 = 0 BA =
∗. .
ΣF By = 0 -BA*Sen36.87 – BC*Sen53.13 = P - (0.75BC) *Sen36.87 – BC*Sen53.13 = P BC (-0.75BC*Sen36.87 – Sen53.13) = P BC (-1.25) = P
Ecuación de reemplazo 2 (E2)
Luego de encontrar las ecuaciones debemos reemplazar los BC y BA en las ecuaciones E1 y E2 para así encontrar el valor de la carga P, que soporta la armadura.
BA = 0.75 * BC
AC = - AB*Cos36.87
BA = 0.75 * (-0.8P)
AC = -(-0.6P) * Cos36.87
En este caso tenemos la fuerza negativa que se produce sobre la barra BA por lo que va a generar un esfuerzo negativo y se concluye que esta barra está en . Por tanto co mo anteriormente determinamos el área transversal y tenemos un esfuerzo de compresión que no debe exceder los 80M Pa aplicamos su fórmula correspondiente y despejamos el valor de P.
σ = σ *A= BA BA
BA
(80 *
10 Pa) * (1.8 * 10− = - 0.6P
La fuerza en la barra AC tiene un valor positivo (+), por lo que su esfuerzo sobre esta barra es de
. Igualmente se tiene el área transversal y un esfuerzo de tensión
que no debe exceder los 100M Pa .Aplicamos su fórmula correspondiente y despejamos el valor de P.
σ
AC=
A
σ (80 *
AC *A= AC
10 Pa) * (1.8 * 10− = 0.48P
También la barra BC tiene un valor negativo (-), por lo que su esfuerzo sobre esta barra es de
. Igualmente el área transversal y tenemos un esfuerzo
de tensión que no debe exceder los 80M Pa .Aplicamos su fórmula correspondiente des e amos el valor de P.
σ σ
BC=
AC *A= AC
(80 *
10 Pa) * (1.8 * 10− = - 0.8P
Una columna de hierro fundido (o Fundición) soporta una carga axial de comprensión de 250 KN. Determine su diámetro interior si el exterior es de 200 mm y el máximo esfuerzo no debe exceder de 50M Pa.
σ máx.= 50M Pa P= 250K N (compresión) Diámetro Exterior= De =200 mm = 0.2m Diámetro Interior = Di =? La columna de hierro soporta dos cargas que están comprimiendo a la columna, pero esta columna está compuesta por dos diámetros, un exterior y un interior. En la siguiente grafica visualizaremos la columna en forma tridimensional que mediante la lectura es la gráfica del ejercicico107.
Material: Hierro fundido
Las fuerzas axiales que actúan sobre la columna comprimen, enanizan por tanto las fuerzas sobre la columna actuarían de la siguiente manera.
El esfuerzo simple al que está sometido la columna es de compresión y tiene un valor de
σ máx. 50M Pa. La fuerza o carga perpendicular al área de A es de P=250 KN, por
lo que podemos aplicar la fórmula del esfuerzo simple que es y determinar el área total de la columna.
σ=
At=
. El área A hallada es el área total es decir el área transversal maciza de la columna de hierro fundido. Pero el ejercicio dice que la columna esta consta por un área interior y exterior creando una hipótesis que la columna puede ser hueca o maciza (no especifica el ejercicio).Entonces nuestro columna está compuesto de dos diámetros, un exterior y un interior. Con lo cual se establece la siguiente ecuación:
–
At= Ae Ai
Remplazando lo datos del área exterior e interior obtenemos la variable del diámetro interior la cual debemos despejar de la formula y hallar su valor.
4 0.2 0.005 4 0.02 ∗ 0.2 ∗ 0.02 ∗ 0.2 √ 0.0336
Diámetro interior de la columna de hierro fundido
Calcule el diámetro exterior de un tirante tubular de acero que debe soportar una fuerza de tensión de 500k N con un esfuerzo máximo de 140MN/m 2: Suponga que el espesor de las paredes es una décima parte del diámetro exterior.
P = 500k N (Tensión)
σ = 140M Pa Diámetro Externo =?
Los tirantes tubulares son materiales utilizados en la industria y construcción por lo que se puede realizarle a este material un estiramiento, es decir se le realiza un efecto de elongación, tracción, etc. mediante dos fuerzas axiales que actúan sobre el lado más longo o largo del tirante. Esto se observa en la siguiente figura.
Luego visualizaremos la vista superior del tirante tubular y determinaremos la dimensión del diámetro exterior e interior .Debemos tomar en cuenta que las paredes del tirante tienen un ESPESOR (E), Que debemos tomar en cuenta para determinar el diámetro exterior e interior.
De este D.C.L podemos encontrar ecuaciones que ayuden a determinar los diámetros exterior e interior. De Diámetro Exterior (El diámetro exterior es 1 porque el enunciado no habla de décimas Di Diámetro interior (Sabemos que el diámetro De es el total, pero se conoce que el espesor de la pared cilíndrica es de una décima por lo tanto
E
Espesor de las paredes del tirante tubular que es 1 decima (1/10 0.1) por
tanto se establece la siguiente ecuación
Entonces tenemos el valor de la fuerza o carga axial de tracción que se aplica sobre el tirante tubular y el esfuerzo que producen estas carga por tanto podemos usar la ecuación de la deformación simple y hallar el valor del área transversal total que es perpendicular al carga P, de la siguiente manera:
σ
Despejamos A
At = 140M
. ˉ
Área de toda la superficie del tirante tubular
Luego establecemos la ecuación del área total que es la diferencia entre el área exterior y el área interior como se demuestra en la siguiente ecuación:
Ae Ai Mediante geometría y fórmulas de figuras planas se conoce que el área de un círculo es:
² 4
4 Reemplazo los datos obtenidos anteriormente y determino el área exterior del tirante tubular.
2 0.82 3.571 10ˉ
4
0.2827
3.5714 10− . De² =
. .
√ √0.01263 . . Diámetro exterior del tirante tubular
En la figura se muestra parte del tren de aterrizaje de una avioneta. Determine el esfuerzo de compresión en el tornapunta AB producido al aterrizar por una reacción del terreno R=20KN, AB forma un ángulo de 53.1 o con BC.
σ
AB=? (compresión [-])
R = 20 KN (En el terreno) Diámetro Interno = Di = 30mm = 0.03m Diámetro Externo = De = 40mm = 0.04m < = 53.1o (Entre tornapunta AB y BC)
Para entender la gráfica tridimensional del aterrizaje del avión debemos entender que cuando el avión se asienta sobre el tren de aterrizaje va a producir un esfuerzo de compresión sobre el contrapunto (-) debido a que el avión produce una fuerza sobre esta. A la vez el tornapunto genera una fuerza que se transmite al punto R que está sobre la tierra.
Debemos determinar el esfuerzo de compresión en el tornapunto, pero este está conformado por un tirante tubular que tiene un diámetro externo y un interno. Además están sujetas en los, puntos A y B los cuales van a producir distintas reacciones.
A continuación visualizaremos la sección transversal de la AB la cual tiene un diámetro externo De
un diámetro interno Di
Entonces establecemos la fórmula para así hallar el área total de la sección transversal o perpendicular a la fuerza o carga que comprime al tornapunto así:
² 4 4 0.03 0.04 4 . −
Área perpendicular a la fuerza de com resión sobre el
Ahora para aplicar la fórmula de esfuerzo que soporta el tornapunto debemos determinar la carga o la fuerza AB del tiente tubular
Para ello se debe hallar las fuerzas y reacciones que se generan en el sistema para luego aplicar las ecuaciones de la estática y determinar cada una de estas cargas. Ubicaremos el eje de referencia matemático en el punto C que es el punto de aplicación de la mayoría de fuerzas para aplicar momentos y reducir el número de variables desconocidas
Ahora la fuerza en el tornapunto es la fuerza AB por tanto mediante el D.C.L por tanto lo más óptimo es aplicar una sumatoria de momentos porque tenemos distancia y fuerzas paralelas a estas. En este caso debemos aplicar una sumatoria de momentos en el apoyo C.
∑0 ;
0 ∑0;
∑0
En este caso solo analizaremos el momento que se produce en (y) para así determinar la fuerza o carga AB que se descompone tanto en el eje matemático x e y.
0 0 = -R*(0.650m) + AB*Sen 53.1*(0.45mm) 20KN*(0.65m) = AB*Sen 53.1*(0.45mm)
20∗0.65 Sen53.1∗0.45m
Carga de compresión en el tornapunto AB
Entonces con los datos tanto de la carga AB (tornapunto) y el área perpendicular a esta fuerza entonces podemos determinar el esfuerzo de compresión que se da por el aterriza e del avión.
σ AB = AB
σ
σ
AB =
=
36125.350N 5.497 104 2
.
Esfuerzo en el tornapunto AB (tensión)
Un tubo de acero se encuentra rígidamente sujeto por un perno de aluminio y por otro de bronce, tal como se muestra en la figura. Las cargas axiales se aplican en los puntos indicados. Calcule el máximo valor de P que no exceda un esfuerzo de 80M Pa en el aluminio; de 150M Pa en el acero; o de 100M Pa en el bronce.
P=?
80M
150M
100M
200
400
500
P
3P
2P
Los tubos por lo general son de sección transversal redonda. Obsérvese tridimensional el sistema de tubos que tienen sección o área transversal variable.
Se analizara por separado cada uno de los tubos que presentan diferentes materiales es decir usaremos la teoría de secciones del sistema el cual consiste en dividir al cuerpo en partes y aplicarles las ecuaciones de la estática desde un punto inicial hasta donde haya un cambio de carga y al final cumplir con la condicion de equilibrio.
Analizaremos el sistema compuesto de tres tubos desde el lado izquierdo hacia el derecho; realizaremos un corte imaginario al sistema de tubos quedándonos solo con lo que está por el lado izquierdo del corte que es lo del aluminio ya que este tiene menos cargas sobre este.
Corte al Sistema de tubos
Sección de aluminio cortada
Entonces la fuerza P esta accionando sobre el tubo de aluminio pero una fuerza externa sobre este tubo va a estar reaccionado y se transforma en la Pmax que se aplica sobre el tubo de aluminio. Entonces se deduce que P=Pmax.
Ahora el ejercicio nos proporcionado el esfuerzo máximo sobre el tubo de aluminio y el área perpendicular a la carga P podemos aplicar la fórmula del esfuerzo que soporta este tubo teniendo como incógnita P.
σ P = σ * P = 80M Pa *
0.0002
Carga sobre el Tubo de Aluminio
El valor máximo de P (Pmax) respecto al aluminio es de -16k N, debido a que esta se dirige de derecha a izquierda y se visualiza que las dos cargas están comprimiendo al tubo. De igual manera realizamos un segundo corte al sistema de tubos y observamos que las fuerzas que están en la izquierda por el principio de transmisibilidad se desplazan a lo largo de su línea de acción y actúan como se observa en las siguientes graficas
Ahora también los datos del problema nos proporciona el esfuerzo que se realiza sobre el tubo de acero por tanto podemos aplicar su fórmula para determinar la fuerza P y posteriormente usar esta fuerza P para hallar la carga máxima. σ=
σ∗A P = 150M Pa * 0.0004 Carga en el tubo de acero
En este caso debemos realizar una sumatoria de cargas o fuerzas que están aplicadas sobre el tubo de acero y así determinar el P máximo que se aplica en este.
-3P + P = 0 P = 2P
P = KN
Pmax. Del acero (tension)
Realizamos el analisis de la última zona de analisis. En este caso tenemos un Pmax en tensión (+) porque como se observa en la figura las flechas de las fuerzas o cargas se están dirigiendo en un mismo sentido.
En este caso tenemos un Pmax en tensión (+) porque como se observa en la figura las flechas de las fuerzas o cargas se están dirigiendo en un mismo sentido.
El ejercicio nos proporciona el esfuerzo que se realiza sobre el tubo de bronce por tanto podemos aplicar su fórmula para determinar la fuerza P y posteriormente usar esta fuerza P para hallar la carga máxima en el tubo de cobre.
σ= σ∗A P = 100M Pa * 0.0005 Carga de tensión (+) en el tubo de bronce
En este caso también debemos realizar una sumatoria de cargas o fuerzas que están aplicadas sobre el tubo de acero y así determinar el P máximo que se aplica en este tubo de bronce. Además este tubo soporta todas las cargas que se transmiten a lo largo de la línea de acción. P -3P - 2P + P = 0 P = 4P
P = k N
Carga o fuerza máxima (P máx) que soporta el tubo de cobre
M= 150 [kg] W=M.g 150[kg].9.81[m/s²]=1471.5 [N] F1=2K [N]
∅DC=10[mm]⟶0,01 [m] ⊥ en el cable CD
Figura P-11 1 Diagrama en 3D de la estructura en donde se muestra los datos mencionados en el enunciado
Para comenzar el análisis debemos aclarar que la barra homogénea AB se considera como un o sea que no presenta deformación alguna, esta barra está siendo atacada por estas cargas en un cuerpo rígido se presenta como consideradas también como cargas malas pudiendo ser una tensión transmitida por un cable, el peso de una barra y reacciones creadas en los apoyos.
AB al ser homogénea su va a coincidir con el de la barra que para la solución se toma como si fuera un rectángulo perfecto; el punto es ese punto el en donde también se colocara la resultante de la sumatoria de los pesos [ (masa de la barra) [Kg] constante de gravedad[m/s²]=[N]
DCL 111
Se sobreentiende que el sistema o estructura se encuentra en equilibrio entonces procedemos a aplicar las para que se encuentran aplicadas en la barra:
⃗ ∑ + ∑ + ∑ ⃗ 0
0 0 ⃗ 0
La sumatoria de fuerzas enésimas que atacan a cuerpo crea una f la cual genera un efecto similar a las actuantes en el cuerpo,
⃗ ∑ + ∑ + ∑ ⃗=0 0 ′ 0 ⃗ 0
Las fuerzas momentos, pero explicando fuerzas generan
accionadas en el cuerpo también generan Primero comenzaremos , al sumar un numero enésimo de si y solo si estas pasan entonces las fuerzas aplicadas al cuerpo generan momentos en pocas palabras hacen girar al cuer o, ero no lo des lazan. Entonces aplicamos el valor del cable CD.
en los respectivos ejes para encontrar
⃗ + + ⃗ 0 0 ⃗ + ⃗ 0 [1] 0 ⃗ + ⃗ 2⃗ 0
⃗ + ⃗ 21471,50 ⃗ + ⃗ 3471,50 [2] ⃗ 0 0=0 [3] Tenemos
⃗ , ⃗ , ⃗ , ⃗
[1] y [2] pero tenemos aun de este sistema
Recurrimos a la
con respecto a un punto, ahora Por conveniencia debemos escoger el porque el punto que nosotros escogemos hacemos que sea nuestro en ese instante si así lo podemos llamar y sabemos que cuando . Entonces ara este e ercicio esco emos el unto
∑ 0 sentido anti horario Positivo y horario negativo 2 . 6 + . 3 .30 en donde TDCy TDC.sin θ ⃗ no genera Cálculo del ángulo θ momento en el punto A debido tan a su línea de acción pasa por tan 43 este unto tan− 43 53.13° 2 . 6 + 1471,5. 3 .sin53.13°.30 12 + 4414,5 2,40 0 2,40 12 +4414,5 2,40 16414,5 16414,5 2,40 Tensión del cable CD 6839,375 en tracción o tensión TDC=6,84K [N]
Entonces ahora para calcular el debemos establecer el siempre la que se encuentra
generada por el primero , el área de estudio en el esfuerzo simple es .
⃗TDC
Entonces tenemos seccionamos al cable y para una mejor compresión lo graficamos en donde podremos ver el área de estudio que en este caso es la .
Seccionamos una parte del cable CD
Ahora calculamos el valor del área de estudio que es la sección transversal del cable como ya se mencionó como tenemos que su es igual a , la sección trasversal del cable se asemeja a una circunferencia entonces la tomamos con tal, aplicamos la .
.
. 4 Calculamos el área de la sección trasversal del cable CD
. 4
. 0,01 4 ,−
Área transversal del cable CD perpendicular a la car a
Ahora ya podemos calcular el esfuerzo simple del cable CD en donde se aplica la fuerza TDC.
Formula de Esfuerzo simple.
⊥ La fuerza F1=TDC=P cuando es un esfuerzo simple.
⊥
6,84K N ⊥ , ⊥ 87133757,96 [] ⊥ 87,13
Esfuerzo ejercido por el cable CD en
⊥=50M [Pa] en el cable BC 0 A=100[mm²]⟶110− 0 Wmax del cilindro
Figura P-112
Diagrama en 3D de la estructura en donde se muestra los datos mencionados en el enunciado
Para comenzar el análisis debemos aclarar que la barra homogénea AB se considera como un o sea que no presenta deformación alguna, esta barra está siendo atacada por estas cargas en un cuerpo rígido se presenta como consideradas también como cargas malas pudiendo ser una tensión transmitida por un cable, el peso de una barra y reacciones creadas en los apoyos.
Primero buscamos encontrar las incógnitas de las cargas aplicadas a la barra AB, esta barra se encuentra y su solución con se torna difícil para ello hacemos algo sencillo pero que nos ayudara a la solución y encontrar las incógnitas de una manera más sencilla. Al de de nos ahorramos trabajo ¿de qué forma? Ya que la mayoría de las cargas se encuentran paralelamente a los nuevos ejes como podemos observar en el Diagrama de cuerpo libre (DCL) del sistema
DCL 11 2 (1)
En el diagrama de cuerpo libre se puede observar las diferentes cargas en donde se representa como la tensión del cable BC, se consideraría el peso pero como dato nos dice que despreciemos el peso y como que es generada por apoyo en el perno en el punto y la reacción que genera al rozar el cilindro y la barra en el punto esta será perpendicular a la barra AB y paralela al nuevo eje debido a que es una superficie lisa y esta genera una a esta superficie.
Se sobreentiende que el sistema se encuentra en equilibrio entonces procedemos a aplicar las para que se encuentran aplicadas en la barra:
⃗ ∑′+ ∑′ + ∑′⃗ 0 ′0 ′ 0 ′⃗ 0
La sumatoria de fuerzas enésimas que atacan a cuerpo crea una f la cual genera un efecto similar a las actuantes en el cuerpo.
⃗ ∑′+ ∑′ + ∑′⃗=0 ′0 ′ 0 ′⃗ 0
Las fuerzas momentos, pero explicando fuerzas generan
accionadas en el cuerpo también generan Primero comenzaremos , al sumar un numero enésimo de si y solo si estas pasan entonces las fuerzas aplicadas al cuerpo generan momentos en pocas palabras hacen girar al cuerpo, pero no lo desplazan.
Entonces aplicamos para encontrar la .
con la ayuda de los
⃗
No podemos aplicar ( Recurrimos a la
en sus ejes porque se trabaja con ) y solo generaríamos con respecto a un punto, ahora Por conveniencia debemos escoger el porque el punto que nosotros escogemos hacemos que sea en ese instante si así lo podemos llamar y sabemos que cuando .
⃗,, ⃗ ⃗
en x’ e y’,
nuestro “
Entonces para este ejercicio escogemos el punto
∑ 0 sentido anti horario Positivo y horario negativo ⃗ ′)10 0 ⃗ )4 + ( ( ⃗ ′= ⃗ .sin En donde Calculo del ángulo θ cos ℎ cos cos− 35 53,13 ° ⃗ .sin53,13°)10 0 ⃗ )4 + ( ( ⃗ )4 + (0.8 ⃗)10 0 ( ⃗ + 8 ⃗ 0 [1] 4 No interesa los valores de las reacciones en , por otra parte, interesa los valores de la reacción en el punto porque esta es la que relaciona directamente con el esa fue la principal razón de utilizar el punto
⃗
Se puede ver aquí que intervienen los valores de y la tensión del cable , pero ¿De dónde se saca el valor de la tensión del cable BC? Recordamos que como dato tenemos que el cable soporta un esfuerzo de 50M [Pa] como en esta unidad estamos tratando de solo esfuerzo simple nos limitamos a ello, recordamos que: El esfuerzo simple es igual a:
⊥
⊥ Esfuerzo Simple= 50M [Pa] Lo que queremos buscar sección transversal del cable=área perpendicular a la carga
⟶110− 0
100[mm²]
Entonces buscamos
⊥ ⊥. 5010 11042 5000 5 Ahora TBC reemplazamos en la ecuación [1] para obtener
Tensión del cable BC
⃗
4 ⃗ + 8 ⃗ 0 ⃗ + 8 5 0 4 4 ⃗ 8 5 4 ⃗ 40 ⃗ 40 4 ⃗ 10 Esto quiere decir que tanto como para
como para la reacción en E
Ahora si se puede concluir que el cable BC trabaja con un
⃗ de
⃗
Una vez conocido la este dato es imprescindible para el cálculo del , pasamos a graficar el segundo diagrama de cuerpo libre el cual consiste en el cilindro y sus cargas que la accionan
DCL 11 3 (2)
Primero señalamos el sistema de referencia con el cual trabajaremos, en esta parte del ejercicio utilizamos el dado a su facilidad (horizontal (x +) y gravedad (y+)). En cuanto a las cargas que se encuentran accionadas tenemos de las que solo es el peso del cilindro y de la cual era producida al estar en contacto el con la barra como se puede observar en el del ejercicio el sentido de la se dirige ahora el sentido opuesto o sea es debido que cumple la de acción y reacción es producida por el contacto del cilindro con la pared, tanto y son a la superficie que en estos casos son la barra AB y la pared respectivamente.
⃗
⃗
⃗
⃗ ⃗ “
⃗
entonces las líneas de acción tanto de
⃗ y ⃗
⃗ ⃗
Con lo mencionado anteriormente podemos decir que y son y se mueven en sus y para solucionar debemos llevarlas a ambas al para hacer . Por ultimo tenemos por geometría tenemos lo siguiente: Al sumar los ángulos
53,13°
++90° forman un ángulo llano en donde:
(ángulo ya calculado en la primera parte del ejercicio)
180°90° 180°90°53,13° 36,87° Entonces aplicamos
Donde
⃗ ⃗ .cos
:
0 ⃗ ⃗ 0
⃗ ⃗ .cos0 ⃗ ⃗ .cos36,87°0 ⃗ 0,8 ⃗ 0 [2] 0 ⃗ ⃗ 0 ⃗ .sin y ⃗ 10 Donde ⃗ ⃗ .sin ⃗ 0 ⃗ 0 10 .sin36,87° ⃗ 10 .sin36,87° ⃗ 10 .sin36,87° ⃗ 6
El peso máximo del cilindro cuando adopte esa posición y con un esfuerzo de 50M Pa
=1000 [Kg] =. 1000.9,81 / =9810 ⟶410−
A=400[mm²]
Figura P-11 3
⊥=100M [Pa] ⊥=50M [Pa] La magnitud de la carga La distancia
Diagrama en 3D de la estructura en donde se muestra los datos mencionados en el enunciado
Para comenzar el análisis debemos aclarar que la barra homogénea AB se considera como un o sea que no presenta deformación alguna, esta barra está siendo atacada por estas cargas en un cuerpo rígido se presenta como consideradas también como cargas malas pudiendo ser una tensión transmitida por un cable, el peso de una barra y reacciones creadas en los apoyos.
al ser homogénea su va a coincidir con el de la barra que para la solución se toma como si fuera un rectángulo perfecto; el punto es ese punto el en donde también se colocara la resultante de la sumatoria de los pesos [ (masa de la barra) [Kg] constante de gravedad[m/s²]=[N]
DCL 11 3
Cabe mencionar que el sistema referencial utilizado es el (x +) Eje longitudinal (y+) Eje de la gravedad. En el diagrama de cuerpo libre se puede observar las diferentes cargas en donde se representa como la tensión del cable y , el peso de la barra la situamos en la de esta y por ultimo tenemos la carga que está a una distancia con respecto al punto Antes de pasar a la aplicación de las tensiones de los cables AC y BD:
podemos calcular las
⃗ El esfuerzo simple es igual a:
⊥
⊥ Esfuerzo Simple= 100M [Pa] Lo que queremos buscar
²
⟶
sección transversal del cable=área perpendicular a la carga
−
⊥ ⊥. 10010 41042 40000
Tensión del cable AC
40
⃗ El esfuerzo simple es igual a:
⊥
⊥ Esfuerzo Simple= 50M [Pa] Lo que queremos buscar
²
⟶
sección transversal del cable=área perpendicular a la carga
−
⊥ ⊥. 5010 41042 20000 20
Tensión del cable AC
Ahora bien, se sobreentiende que el sistema se encuentra en equilibrio entonces procedemos a aplicar las para que se encuentran aplicadas en la barra:
⃗ ∑ + ∑ + ∑ ⃗ 0
0 0 ⃗ 0
La sumatoria de fuerzas enésimas que atacan a cuerpo crea una f la cual genera un efecto similar a las actuantes en el cuerpo.
⃗ ∑ + ∑ + ∑ ⃗=0 0 0 ⃗ 0
Las fuerzas
accionadas en el cuerpo también generan momentos, pero Primero comenzaremos explicando , al sumar un numero enésimo de fuerzas generan si y solo si estas pasan entonces las fuerzas aplicadas al cuerpo generan momentos en pocas palabras hacen girar al cuerpo, pero no lo desplazan.
0 ⃗ + ⃗ ⃗ ⃗ 0 ⃗ 9810 Como sabemos que ⃗ 40 , ⃗ 20 , ⃗ + ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ + ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 40 + 20 9810 Valor de la ⃗ 50190 magnitud ⃗ 50,19
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