1 B - Matematica I - Herramientas+Matematicas+I+(ALGEBRA)

Herramientas Matemáticas 1 Lic. Nancy Stanecka

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Universidad Empresarial Siglo 21 Whitney International University System

Rector: Juan Carlos Rabbat Director de Operaciones de Whitney International University System: Nestor Ferraresi Decano de Educación Distribuida: Fernando Sastre Director de Tecnología: Jose Garello Directora Académica: Maria Belén Mendé Directora de Comunicación: Cristina Schwander Director de Marketing: Martin Vásquez Directora de Operaciones: Valeria Domínguez Secretaria de alumno: Maria Eugenia Scocco Coordinadora general: Elida Gimenez Procesamiento metodológico y didáctico: Olga Singeser Corrector de estilo gramatical: Rodolfo Bellomo Revisión Editorial: Diego Yorbandi y Mariana Vigo

Derechos Reservados Editorial: ISBN: Universidad Empresarial Siglo 21 Mons. Pablo Cabrera Km 8 ½. Camino a Pajas Blancas Córdoba, Argentina Impreso en Argentina

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Índice Presentación del tutor Carta al Alumno Orientación del Aprendizaje Fundamentación Objetivos Generales Programa de Contenidos Esquema Conceptual de la Asignatura Bibliografía Evaluación y Acreditación de la Asignatura

5 6 7 8 9 9 11 11 11

MÓDULO 1: Ecuaciones e Inecuaciones Lineales

15

Introducción Objetivos Específicos Esquema conceptual Desarrollo de los contenidos Ecuaciones Inecuaciones Autoevaluación Claves de Autoevaluación Referencias bibliográficas

15 15 16 16 16 23 28 34 39

MODULO 2: MATRICES Y VECTORES

43

Introducción Objetivos específicos Esquema conceptual del módulo Desarrollo de los contenidos Matrices Vectores Formas de representación de un sistema Autoevaluación Claves de autoevaluación Referencias bibliográficas

43 43 44 44 44 48 51 52 56 58

MODULO 3: Herramientas Matriciales

61

Introducción Objetivos específicos Esquema conceptual Desarrollo de los contenidos Determinante Matriz inversa Rango de una matriz Autoevaluación Claves de autoevaluación Referencias bibliográficas

61 61 62 62 62 65 69 71 74 77

MODULO 4: Métodos de Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales 81

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Introducción Objetivos específicos Esquema conceptual Desarrollo de los contenidos Sistemas de ecuaciones lineales Autoevaluación Claves de autoevaluación Referencias bibliográficas

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81 81 82 82 82 88 91 94

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Presentación del tutor Profesora Nancy Stanecka

Datos de la Tutora •

Licenciada en Matemática egresada de F.A.M.A.F. (Universidad Nacional Córdoba.)

•

Tesista del Magister de Estadística Aplicada de la U. N. C.

•

Profesora Adjunta por Concurso en la Facultad de Ciencias Económicas de la U. N. C. Asignada a Matemática I y Matemática II.

•

Integrante de equipo en proyectos de investigación acreditados.

•

Expositora en distintos congresos de Estadística

•

Coordinadora de Introducción a la Matemática del Ciclo de Nivelación de Ciencias Económicas (2005-2008).

•

Profesora Programática en Herramientas Matemáticas I y Herramientas Matemáticas IV en la Universidad Empresarial Siglo 21 en las modalidades presencial y a distancia.

•

Autora de materiales de estudio en la U.N.C. y en la U.E Siglo 21

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Carta al Alumno

Estimado alumno, Como docente tutor de la modalidad a distancia me es muy grato darle la bienvenida a esta asignatura. La educación a distancia es una modalidad de estudio seguramente diferente a la que Ud. ha desarrollado hasta hoy, pero igualmente efectiva cuando hay esfuerzo, tiempo y dedicación. Es importante tener presente que cada uno de nosotros sigue un recorrido propio en ésto de “aprender”, y por lo tanto nuestros tiempos de comprensión, desarrollo y asimilación también son distintos. Sin embargo en esta propuesta no estará solo, tendrá el apoyo permanente de tutores que lo apoyarán y lo guiarán, materiales de trabajo adecuados y el acceso a clases virtuales donde podrá participar activamente de los ejes fundamentales de cada módulo. Herramientas Matemáticas 1 contiene fundamentalmente elementos de Álgebra. Es una materia básica, herramental y a la vez formativa. La incorporación de esta asignatura en la carrera, que ha elegido, tiene como objetivo contribuir a la formación matemática básica de un estudiante universitario, es decir que, a través del conocimiento de elementos del Algebra Lineal se pretende brindar parte del marco teórico-práctico necesario para acceder a distintos conceptos, técnicas y métodos que se desarrollarán en materias subsiguientes. Además, la experiencia nos indica que la ejercitación, la correcta formalización lógico-simbólica de las ideas y la transferencia de los contenidos teóricos a situaciones problemáticas constituyen parte de la labor indispensable que se requiere para lograr cierta ductilidad en el manejo algebraico, pero lo más importante es que estos aspectos contribuyen al desarrollo estructural, lógico y crítico de cualquier estudiante en formación. Se pretende no sólo que asimile conceptos y técnicas de cálculo, sino también que aprenda a interrelacionar contenidos y en eso deseamos que Ud. ponga el máximo empeño. En tal sentido habrá que tener en cuenta lo siguiente: “El manejo algebraico se logra haciendo, pero previo al “hacer” hay que saber “cómo” hacerlo. Es decir que es indispensable tener conceptos claros para poder aplicarlos, por ello el conocimiento teórico es tan importante como la destreza en el cálculo y el análisis de los resultados ó conclusiones.” Comienza hoy una nueva etapa, es un nuevo desafío, una especie de viaje. En este viaje el lugar de destino lo eligió Ud. pero como en todo viaje puede que la ruta no sea del todo predecible. Seguramente tendrá una valija de ilusiones pero también una gran cantidad de preguntas y dudas. ¡No se preocupe! estaremos muy cerca suyo, a la distancia, para ayudarlo a transitar ese camino, algunas veces recto, otras sinuoso, con trayectos que requerirán más esfuerzo que otros, pero con su dedicación y nuestro apoyo arribará a la meta final. Por todo ello sólo me resta pedirle que nos exija y se exija mucho esfuerzo. Éxitos y comencemos.

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Orientación del Aprendizaje ¡Bienvenido! Comenzamos aquí el estudio de la asignatura Principios de Administración. Lo haremos por medio de este manual de estudio, en el cual usted encontrará todos los temas del programa. A su vez, usted podrá utilizar cualquiera de los libros mencionados en la Bibliografía Básica para la consulta de dichos temas. El método de estudio que le proponemos es el siguiente: •

Inicie la lectura de cada módulo por la Introducción y los Objetivos. Esto le proporcionará una visión global de lo que está a punto de estudiar. Luego observe y analice el Esquema Conceptual del módulo, le mostrará los conceptos fundamentales involucrados y sus relaciones.

•

Lleve a cabo la lectura completa de los temas da cada Módulo. Para que el estudio sea eficiente siga estos pasos:

1. Prelectura: realice una primera lectura exploratoria para captar las ideas fundamentales. 2. Preguntas: piense interrogantes frente a cada título de los temas del módulo. Si es necesario escríbalos. 3. Lectura: lea las secciones o temas del módulo detenidamente, con un propósito bien definido: buscar respuestas a las preguntas antes realizadas. 4. Registro de notas: tome nota por escrito y con sus propias palabras de los aspectos relevantes de cada tema. Esta actividad es la más importante ya que le permite fijar los conocimientos. 5. Repaso: luego de todos los pasos anteriores, es conveniente que realice una revisión completa de los temas del módulo. Tras la revisión, tome nota de los interrogantes que aún no ha podido esclarecer y envíelas por correo electrónico a su Tutor Virtual, quien las responderá. •

Elabore el Trabajo Práctico incluido en cada módulo. Esta actividad es obligatoria y una vez resuelta, la debe enviar por correo electrónico a su Tutor Virtual. El Trabajo Práctico nos permitirá evaluar su proceso de aprendizaje.

•

Al final de cada módulo, hay actividades de Auto-evaluación que le permitirán verificar su evolución en el proceso de aprendizaje. Todas las actividades de auto-evaluación tienen su clave de respuesta.

•

Con el estudio de todos los temas del presente Manual, la elaboración y envío de los Trabajos Prácticos y la comprobación de su conocimiento con la actividad de Auto-evaluación, usted podrá asistir a la Clase Satelital. Allí profundizará y asegurará el conocimiento del módulo.

•

Al finalizar la Clase tendrá una Examen Escrito individual. Allí usted demostrará los conocimientos aprendidos, y si ha seguido el plan de trabajo antes presentado, el resultado será óptimo. ¡Adelante!

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Fundamentación Como se dijo en la carta que leyó al comienzo, ésta es una materia básica, herramental y a la vez formativa. Básica porque contiene elementos matemáticos simples, que no pueden ser ignorados por el futuro profesional. Herramental pues sirve como conocimiento previo a diferentes métodos y técnicas, y es por sí sola una elemento importante en la esquematización de la toma de decisiones. Finalmente formativa porque es una de las primeras asignaturas que permite el desarrollo, la transferencia y la interrelación de contenidos, lógicos, simbólicos y conceptuales. Interesa no sólo que el estudiantes incorpore conceptos y principios teóricos sino fundamentalmente que desarrolle operaciones intelectuales del pensamiento lógico-matemático y habilidades para la resolución de problemas, que le serán de utilidad al transferirlas en estudios posteriores y sin dudas en la vida profesional y cotidiana. Las ecuaciones son muy importantes al momento de resolver problemas, y nuestra tarea en esta asignatura es aprender a trabajar con ellas y con las herramientas matemáticas más avanzadas para su resolución. Es habitual escuchar frases como las siguientes: “…el ingreso por retensiones a las exportaciones se incrementó un 50% con respecto al año anterior”, “el número de votos obtenidos por los tres partidos mayoritarios suma un millón”, etc. Planteos como éstos y otros darán origen al que es el tema central: la resolución de forma organizada de sistemas de ecuaciones lineales mediante el uso de una simple pero potente herramienta denominada “Matriz”. No obstante también se incorporarán elementos que nos permitan resolver inecuaciones. Así el estudio comenzará con un repaso de sistemas de ecuaciones e inecuaciones y de los métodos de resolución elementales vistos en el colegio secundario, pero poniendo especial énfasis en la interpretación gráfica y en planteos de distinta índole. A continuación se abordará un estudio exhaustivo de matrices y vectores. Trabajaremos con elementos relacionados con las matrices tales como determinantes, matrices inversas y rango, que nos permitirán lograr el objetivo de encontrar formas alternativas de resolución de sistemas de ecuaciones lineales como así también presentar el método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales más utilizado y de mayor potencial matemáticamente hablando, el método de Gauss-Jordan.

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Objetivos Generales Se pretende que el estudiante logre los siguientes objetivos: •

Profundizar el conocimiento de los métodos elementales de resolución de sistemas de ecuaciones lineales y sus aplicaciones.

•

Desarrollar habilidades para el planteo y la solución gráfica de problemas de optimización lineal con dos variables.

•

Lograr ductilidad en la operatoria matricial y vectorial.

•

Rescatar conceptos importantes vinculados a las matrices tales como determinante, rango y matriz inversa.

•

Aplicar el álgebra lineal en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

•

Desarrollar habilidades para el planteo y la solución de problemas cuya estructura responde a un sistema de ecuaciones lineales.

•

Reconocer el valor instrumental del Algebra Lineal.

Para hacer efectivos estos objetivos se sugiere el desarrollo de distintos tipos de ejercicios, complementando con los contenidos teóricos, relacionando conceptos y rescatando conclusiones. En ese marco se presentan aplicaciones sencillas, que tienden a amenizar el largo camino que implica contar con los elementos necesarios para que los conceptos sean presentados de manera formal. En las distintas áreas de trabajo, surgen situaciones que involucran incógnitas y que generan ecuaciones e inecuaciones, y el éxito de nuestro trabajo dependerá en principio de la traducción que hagamos al lenguaje matemático de dicho problema. Así, esta asignatura constituye un primer desafío en cuanto a la toma de decisiones con base a herramientas formales y avaladas universalmente. Desde una postura realista habrá que decir que estudiar no es fácil, se requiere dedicación, concentración y por ende esfuerzo, y esta asignatura necesita de todos estos elementos. Cada uno de nosotros es el hacedor de su propia realidad, detrás de cada logro hay trabajo y perseverancia. Ud. es el protagonista de su propio proceso de aprendizaje, nosotros le brindaremos todos los elementos para que pueda llegar a la meta.

Programa de Contenidos UNIDAD 1: ECUACIONES 1. Ecuaciones: concepto, clasificación, solución. 2. Ecuación lineal con dos incógnitas, representación gráfica de las soluciones. 3. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Concepto, solución gráfica. Clasificación. 4. Métodos de resolución convencionales. 5. Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas. 6. Aplicaciones prácticas. UNIDAD 2: MATRICES 1. Matrices: Definición, matrices especiales. 2. La matriz como representación de un problema económico

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3. Operaciones con matrices y sus propiedades. 4. Vectores. Concepto. Operaciones con vectores. 5. Dependencia e independencia lineal de vectores. UNIDAD 3: DETERMINANTES 1. Definición de determinante de una matriz 2. Cálculo de determinantes. Regla de Sarrus 3. Propiedades. Aplicaciones UNIDAD 4: MATRIZ INVERSA 1. Matriz inversa: Definición y Propiedades. 2. Operaciones elementales. Matrices elementales. Propiedad fundamental. 3. Matrices equivalentes. 4. Matriz escalonada y matriz reducida. 5. Cálculo de la inversa de una matriz. Método de Jordan. UNIDAD 5: RANGO DE UNA MATRIZ 1. Rango de una matriz: Definición. 2. Propiedades. 3. Cálculo del rango matricial UNIDAD 6: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1. Sistemas Lineales: Sistemas homogéneos y no homogéneos. 2. Soluciones de un sistema lineal. 3. Teorema de Equivalencia. 4. Teorema de ROUCHE-FROBENIUS. 5. Resolución de sistemas. Método de GAUSS-JORDAN. 6. Otros métodos de resolución: Método de la Inversa. Regla de Cramer. UNIDAD 7: INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Inecuaciones con una incógnita: concepto, solución gráfica. 2. Inecuaciones con dos incógnitas: concepto, solución gráfica. 3. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolución gráfica. 4. Optimización lineal. Características del problema de Programación Lineal. Método gráfico. 5. Aplicaciones.

Composición de los módulos semanales: MODULO 1: ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Comprende las unidades 1 y 7 del programa. MODULO 2: MATRICES Y VECTORES Corresponde a la unidad 2 del programa. MODULO 3: HERRAMIENTAS MATRICIALES Comprende las unidades 3,4 Y 5 del programa. MODULO 4: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES Corresponde la unidad 6 del programa.

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Esquema Conceptual de la Asignatura

Los sistemas pueden ser representados usando

ECUACIONES LINEALES (Unidad 1)

MATRICES (Unidad 2)

VECTORES (Unidad 2)

involucran Se vinculan en su forma de resolución analítica

DETERMINANTE (Unidad 3)

INVERSA (Unidad 4)

RANGO (Unidad 5)

generan

INECUACIONES (Unidad 7)

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES (Unidad 6)

Bibliografía BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: CHECA J.C.; “Algebra Lineal para economía y administración’; Ed. Eudecor; 1998.

BIBLIOGRAFÍA AMPLIATORIA: ANTON H.; “Introducción al Algebra Lineal” ; Ed. Limusa; 1998. AYRE F.; “Matrices- Teoría y Problemas”; Ed. Mc Graw Hill. 1969. GROSSMAN S. I.; “Algebra Lineal”; Ed. Mc Graw Hill. KLEIMAN A.: “Matrices”; Ed. Limusa. 1995.

Evaluación y Acreditación de la Asignatura Para la evaluación del aprendizaje y acreditación de la asignatura se consideran los siguientes items: a) Nota de preclase: esta nota resulta de las calificaciones que realiza el Tutor Virtual sobre los Trabajos Prácticos individuales realizados por los alumnos. b) Nota de parciales: que se administran en oportunidad de las clases satelitales. La sumatoria de las calificaciones de las notas de parciales dará el puntaje sobre el cual se valorará la nota obtenida por Exámenes parciales individuales.

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c) Examen Final: en función de la asistencia al Centro de Apoyo Distante y de las calificaciones resultantes de la nota de preclase y las notas de parciales, se establece que los alumnos de condición Regular Preferente y Regular deberán realizar exámenes finales de materia (de 30 y 50 preguntas respectivamente), quedando promovido y eximido de examen final aquel alumno en cuyo desempeño se haya comprobado tanto la asistencia a clases como un rendimiento superior a nota seis en las instancias de evaluación. De lo precedente tenemos tres condiciones de alumnos:

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Asistencia a Clases

Nota de preclase

Nota de parciales

Examen final

Alumno promovido

75%

6ó+

6ó+

No rinde examen final

Alumno Regular Preferente

75%

4y5

4y5

Rinde examen final de 30 preguntas

Alumno Regular

-

4ó+

-

Rinde examen final de 50 preguntas

•

Alumno promocional: el cual debido a su alto nivel de rendimiento no deberá rendir el examen final de materia.

•

Alumno Regular Preferencial: es el alumno que habiendo cumplido con el requisito de asistencia no tuvo una calificación superior al 6 (seis) ya sea en las actividades preclases como en las evaluaciones individuales en los Centros Distantes, y por tanto debe rendir un examen final de 30 preguntas.

•

Alumno Regular: para obtener su condición de regularidad se le exige al alumno la aprobación con nota superior a 4 (cuatro) de las cuatro Trabajos Prácticos de los módulos. Este alumno, que no ha realizado los Exámenes de los módulos, deberá por tanto someterse a una evaluación más exhaustiva, realizando un examen final de 50 preguntas.

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Ecuaciones e Inecuaciones Lineales

Ecuaciones e Inecuaciones Lineales

MÓDULO 1

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Ecuaciones e Inecuaciones Lineales

MÓDULO 1: Ecuaciones e Inecuaciones Lineales

Introducción Este módulo comprende dos unidades del programa: la unidad 1 y la 7. Cualquiera sea la rama de la ciencia que se estudie, una palabra se incorpora de manera sutil, la palabra “incógnita”. Cuando en un problema concreto, que contiene incógnitas, se pueda describir algebraicamente la situación a través de lo que llamamos ecuación, será necesario aplicar las técnicas de resolución que nos permitan dar respuesta a esos problemas. En tal sentido veremos uno de los muchos modos de resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales y focalizaremos nuestro trabajo en el planteo de problemas. Comenzamos con ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales con un triple enfoque: algebraico, gráfico y aplicado, rescatando métodos y técnicas conocidas por los estudiantes. Es importante que en esta instancia logre superar las dificultades que implica despejar incógnitas, establecer la relación entre un sistema de ecuaciones y su visualización gráfica, cuando ello sea posible, y finalmente aprender a plantear los problemas. Este último item es quizás el mayor desafío del Módulo 1, ya que no es algo estructurado, no se puede estandarizar, plantear ecuaciones en cierta forma es un arte. Complementando a las ecuaciones también existen desigualdades que involucran incógnitas, a las que llamaremos inecuaciones. Comenzaremos con inecuaciones con una única incógnita y luego extenderemos el análisis a situaciones con dos incógnitas, en este último caso recurrimos a la resolución gráfica y con ello tendremos el marco visual necesario para introducir problemas aplicados en donde existen restricciones, éste es uno de los problemas que plantea la toma de decisiones y se conoce con el nombre de Optimización o Programación Lineal. Si bien muchos de los contenidos de este módulo son conocidos por el estudiante su extensión requiere de bastante tiempo dedicado a la ejercitación y comprensión de los distintos detalles.

Objetivos Específicos Al finalizar el módulo, usted estará en condiciones de alcanzar los siguientes objetivos: •

Diferenciar entre incógnitas y datos en un problema.

•

Traducir un problema que involucre incógnitas al lenguaje algebraico, es decir generar las ecuaciones y /o inecuaciones a partir de un caso, cuando esto sea factible.

•

Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de sustitución.

•

Interpretar gráficamente sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

•

Resolver inecuaciones lineales con una incógnita.

•

Resolver gráficamente sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

•

Encontrar la solución óptima a un problema de Optimización lineal con dos incógnitas.

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Ecuaciones e Inecuaciones Lineales

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Esquema conceptual En este módulo rescataremos el concepto de ecuación en particular y en primer lugar, ecuaciones lineales con una incógnita. A través de planteo de situaciones problemáticas, estudiaremos los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, su solución gráfica y clasificación. Luego resolveremos sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas usando el método de sustitución. Revisaremos el tema de inecuaciones con una y dos incógnitas a través de la resolución gráfica. Finalmente realizaremos aplicaciones a problemas. Observe este esquema, lo ayudará a entender la relación entre los contenidos principales a tratar en este módulo como así también muestra la conexión y orden lógico de tratamiento.

Planteos de Problemas que involucran incógnitas Puede requerir de

Ecuaciones lineales con una incógnita

ECUACIONES

INECUACIONES

incluye el estudio de:

+ Función Objetivo

Ecuación lineal con dos incógnitas

Sistemas de ecuaciones lineales

Problemas de Optimización Lineal

pueden ser resueltos por:

pueden ser resueltos por:

MÉTODOS ANALÍTICOS (Pasaje de términos y técnica de sustitución)

MÉTODOS GRÁFICOS

Desarrollo de los contenidos Ecuaciones Generalidades Las ecuaciones son igualdades entre expresiones algebraicas que se verifican para ciertos valores de las letras, a las cuales se denominan incógnitas. Ejemplos de ecuaciones:

x + 1 = 3 ; 2 x + 3 y - xy = z ; x 2 + 3 x - 4 = 0 ; 2

x + 4x = 1 y

Si bien hay distinto tipo de ecuaciones (con una incógnita, con dos incógnitas, con la incógnita elevada al cuadrado, etc.), en todos los casos se intenta buscar el valor de las incógnitas que satisfacen la igualdad.

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Ecuaciones e Inecuaciones Lineales

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Por ejemplo en el caso de la ecuación x + 1 = 3 podemos afirmar que x = 2 verifica la igualdad. Los valores que satisfacen la ecuación reciben el nombre de raíces o soluciones de la misma. ¿Cómo surgen las ecuaciones? Hace más de 3000 años el hombre intentaba resolver problemas y observó que su traducción al lenguaje de los símbolos posibilitaba su resolución. Muchos siglos después se llegó a la simbología actual y con el objetivo de encontrar respuesta a problemas de cierta naturaleza se intenta traducir el mismo al lenguaje matemático. Veamos como hacerlo, en una situación particular. El gerente de producción de una pequeña empresa dispone de un presupuesto de $8.000.- que desea destinar totalmente a la producción mensual, sabe que los gastos fijos ascienden a $500.- por mes y que el costo de fabricación de cada producto es $30.- Se pregunta, bajo estas condiciones, ¿cuántas unidades como máximo podrá producir por mes? •

El primer paso para resolver un problema es analizar detenidamente la situación, estableciendo cuáles son las incógnitas y cuáles son datos.

En nuestro caso la incógnita es “la cantidad de unidades a producir por mes”, la cual puede ser representada por la letra x. x : “cantidad de unidades a producir por mes” Los valores 30, 500 y 8.000 son datos, ahora debemos traducir al lenguaje algebraico lo que ellos representan. Como producir una unidad le cuesta $30, el costo de producción de “x” unidades será: 30 x Además existe un gasto fijo mensual de $500.-, independiente de las cantidades producidas, que deberemos agregar al gasto total. 30 x + 500 Si el gerente dispone de un presupuesto de $8.000.-, quiere decir que el gasto máximo que puede realizar en la producción es igual a $8.-000, así la situación planteada puede ser representada algebraicamente por la ecuación: 30 x + 500 = 8000 •

Hemos obtenido una ecuación, que debido a su estructura, se la denomina lineal.

Ecuaciones lineales con una incógnita Una ecuación lineal en una variable x es una ecuación donde la incógnita está elevada a la potencia 1, y en general puede escribirse en la forma:

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Ecuaciones e Inecuaciones Lineales

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a x + b = 0 donde a y b son constantes y a es distinta de cero. •

El proceso de encontrar las raíces se denomina resolver la ecuación.

La idea es transformar la ecuación, a través de operaciones algebraicas (como suma, resta, multiplicación, división, etc), en otra más simple de resolver, pero que admite las mismas raíces que la ecuación original. •

En tal sentido diremos que dos ecuaciones con las mismas incógnitas son equivalentes si y sólo si tienen las misma soluciones. ¿Cómo pasar de una ecuación a otra equivalente? Para ello podemos valernos de las siguientes operaciones algebraicas:

1) Sumar algebraicamente a ambos miembros de la igualdad la misma expresión. 2) Multiplicar ambos miembros de la igualdad por un mismo factor no nulo. Por ejemplo si queremos dar solución al problema planteado por el gerente de la empresa la ecuación a resolver es 30 x + 500 = 8000 Como el objetivo es encontrar el valor de x, parece razonable tratar de “aislar” de algún modo la variable en cuestión. Si sumamos a ambos miembros de la igualdad (-500) 30 x + 500 - 500 = 8000 - 500 obtenemos así una ecuación equivalente, más simple que la original, 30 x = 7500 pero aún no hemos encontrado la incógnita. Podemos entonces simplificar más la ecuación si multiplicamos ambos miembros por 1/30 1 1 30 x = 7500 30 30

de donde surge que x = 250 Así el gerente de la empresa podrá producir, de acuerdo a su presupuesto, 250 unidades mensuales. OBSERVACIÓN Por lo general el estudiante para encontrar el valor de x usa reglitas tales como: • “Lo que esta sumando en un miembro pasa restando al otro”, • “lo que esta multiplicando pasa dividiendo”. Estas reglitas no son incorrectas, pues en cierta medida constituyen una forma abreviada de las operaciones enunciadas, el problema está en la forma indiscriminada en que se las aplica. ¡Esté atento!

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Ecuaciones lineales con dos incógnitas No todos los problemas involucran una sola variable, puede que en el planteo surjan dos, tres o más incógnitas, y cuanto mayor es el número de ellas, mas complicada es la búsqueda de sus soluciones. •

Dentro de la gama de posibilidades que pueden darse, tenemos el caso de una ecuación lineal con dos incógnitas x e y , la cual tiene la siguiente estructura: ax+by=c

donde a, b y c son los parámetros de la ecuación con a y b distintos de cero. Ejemplifiquemos a través de un problema particular. Un criador de animales puede adquirir, para la alimentación de los mismos, dos tipos de productos A y B, ambos del mismo costo. Si sabe que el alimento A contiene 60 gr. de grasa por kg., mientras que el alimento B contiene 30 gr. por kg. ¿cómo debe combinar los alimentos si desea que el contenido de grasa sea 600 gramos? Llamemos “x” a la cantidad de alimento A en la mezcla, en kg. “y” a la cantidad de alimento B en la mezcla, en kg. El aporte de grasa del alimento A es de 60 gr/kg. entonces el aporte de grasa de x kg será: 60 x Análogamente el aporte de grasa del alimento B en y kg. será 30 y Dado que el aporte total debe ser de 600 gramos, la ecuación que describe la situación planteada será: 60 x + 30 y = 600 Estamos en presencia de una sola ecuación con dos incógnitas, veamos cuáles son las soluciones; Si x = 0 entonces y = 20 Si x = 5 entonces y = 10 Si x = 6,5 entonces y = 7 •

Cada una de ellas se denomina solución particular.

Así podríamos encontrar infinitas alternativas de mezcla de los alimentos que contengan un total de 600 gramos de grasa. •

La solución general, se obtiene despejando una de las variables en función de la otra, esto es despejando x en términos de y ó y en términos de x, En nuestro caso, despejemos y

60 x + 30 y = 600 Û

y=

600 - 6 x 30

Distribuyendo denominador, la solución general será:

y = 20 - 2 x cualquiera sea x

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Ecuaciones e Inecuaciones Lineales

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Visualización gráfica del conjunto solución: Los pares (x, y) que verifican la ecuación, se pueden graficar en un sistema de coordenadas cartesianas, ¿Qué forman?...Los pares que son solución se alinean formando una recta. Por ejemplo en el caso anterior se obtendría la siguiente solución gráfica

y 20 10 5

x

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas ¿Qué ocurriría si en el caso anterior agregamos una nueva restricción? Por ejemplo, que el criador de animales desee que la mezcla contenga exactamente 15 kg de alimento. Algebraicamente podemos expresar esta condición a través de la ecuación x + y = 15 es decir la cantidad de alimento de tipo A más la cantidad de alimento de tipo B debe ser igual a 15 kg. Tendremos pues que la solución del problema consistirá en encontrar los valores de x e y que satisfagan simultáneamente ambas ecuaciones. •

ìïïax = yf = 600 60+x by + 30 í ïïîcx + dyx=+ gy = 15

Esto es lo que se denomina un sistema de ecuaciones lineales, en este caso de dos ecuaciones con dos incógnitas. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas , tiene la estructura ìïïax + by = f í ïîïcx + dy = g donde a, b, c, d, e, f, g son constantes.

¿Cómo obtener el conjunto solución? Apliquemos el método por sustitución, el cual consiste en despejar de cualquiera de las ecuaciones, una de las incógnitas, por ejemplo de la segunda ecuación despejemos “y”. Así y = 15 - x verificará la segunda condición. Para que también verifique la primera condición, deberíamos sustituir el

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Ecuaciones e Inecuaciones Lineales

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valor de y en la primera ecuación por la expresión hallada anteriormente. Esto es, si teníamos 60 x + 30 y = 600 reemplazamos y , de donde resulta 60 x + 30 (15 - x) = 600 la cual es una ecuación de primer grado con una incógnita, cuya solución es x = 5: Pero para dar respuesta a nuestro interrogante también debemos encontrar el valor de y. Como vimos para que se verifique la segunda ecuación “y” debía ser igual a 15 - x , ahora dado que x = 5 , resulta el valor de y es 10. Así, la respuesta al problema planteado será: para que el criador de animales obtenga una mezcla de 15 kg. con un aporte de 600 gramos de grasa deberá usar 5 kg de alimento A y 10 kg de alimento B. También podemos especificar la solución, de una manera más algebraica diciendo que: “El par (x , y) = (5 , 10) es la solución del sistema.”

Visualización gráfica de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas Ahora agreguemos al gráfico anterior las soluciones de la segunda ecuación. Como nos interesa los valores de x y de y que verifiquen simultáneamente ambas ecuaciones, la solución al sistema estará dado por la intersección entre ambos conjuntos de soluciones, es decir por el punto de encuentro entre las dos rectas.

y 20

10 15

x

En este caso hemos encontrado una única solución a nuestro problema, pero esto no siempre ocurre. Veamos el siguiente sistema ïìï2 x + y = 10 ï í ïï3 x + 3 y = 15 2 îï

Despejemos y de la primera ecuación y = 10 - 2 x

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Ecuaciones e Inecuaciones Lineales

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sustituimos y en la segunda ecuación por su expresión equivalente y operamos, resultando: 0 x + 15 = 15 ¡Hemos obtenido una identidad! Esto significa que cualquiera sea el valor de x, verifica la ecuación propuesta. Toda vez que ello suceda diremos que el sistema es compatible indeterminado, compatible porque admite solución e indeterminado pues para cada valor de “x”, “y” asumirá el valor “10 - 2x”, como lo establecía la primera ecuación. Así la solución como par ordenado en este caso será: ( x , y ) = ( x , 10 - 2 x)

" x Î R se lee “Para todo x que pertenece a los reales” Finalmente consideremos el siguiente sistema, ïìï2 x + y = 10 ï í ïï3x + 3 y = 20 ïî 2

Es muy parecido al anterior, y los cálculos son bastantes similares Despejemos y de la primera ecuación y = 10 - 2 x sustituimos y en la segunda ecuación por su expresión equivalente y resolvemos. Realizando las operaciones indicadas, resulta 0 x + 15 = 20 ¡Llegamos a una proposición que es falsa! obviamente 15 no es igual a 20, esto significa que no existen valores de x e y que verifiquen simultáneamente las dos ecuaciones propuestas. Toda vez que ello suceda diremos que el sistema es incompatible, es decir no posee solución. •

Resumiendo un sistema de ecuaciones lineales será: Compatible determinado: cuando el sistema posea una única solución. Compatible indeterminado: cuando el sistema posea múltiples soluciones. Incompatible: cuando el sistema no admita solución.

Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas Si tenemos ecuaciones lineales con tres incógnitas se procede de manera similar teniendo en cuenta que nuestro conjunto solución, si existe, debe estar compuesto por ternas ordenadas. La idea básica es pasar de un sistema de tres ecuaciones a un sistema de dos ecuaciones y luego resolver como antes. Veamos cuáles son los pasos a seguir, insistiendo en el método de sustitución.

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Ecuaciones e Inecuaciones Lineales

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Consideremos el sistema: ïìï2 x - y + 3 z = 3 ï í x - z = -2 ïï ïîï x + y + z = 6

El primer paso es despejar una de las incógnitas de cualquiera de las ecuaciones, en nuestro caso conviene despejar x de la segunda ecuación. x=-2+z Sustituimos el valor de x por la expresión anterior, en las ecuaciones restantes ìïï2 ( - 2 + z ) - y + z = 3 í ïïî( - 2 + z ) + y + z = 6

Operamos algebraicamente en cada ecuación, obteniendo un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ìïï- y + 3 z = 7 í ïïî y + 2 z = 8

Resolviendo como antes resulta que y = 2 y z = 3 , pero para encontrar el valor de la solución, falta hallar el valor de x. Como esta variable había sido despejada anteriormente: x=-2+z Reemplazamos z por 3, de donde surge que x=1 Así nuestro sistema es compatible determinado, siendo su única solución la terna (x, y , z ) = (1 , 2, 3) Al igual que en el caso de dos ecuaciones con dos incógnitas se podría haber presentado una situación de indeterminación o incompatibilidad. En todos los casos los resultados pueden ser verificados a través de su reemplazo en las ecuaciones originales, este es un punto en que no nos detendremos, pero que sugerimos como forma de autoevaluación.

Inecuaciones Inecuaciones con una incógnita

• • • •

Analicemos las siguientes expresiones: El número de inscriptos no llega a 40. Se deben imprimir por lo menos 600 copias. El total de empleados no pasa de 55. El porcentaje de deserción es superior al 30%.

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Ecuaciones e Inecuaciones Lineales

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¿Las podremos expresar matemáticamente? La respuesta es sí. Si llamamos x al número de inscriptos, podemos simbolizar la primera expresión como x < 40 Si llamamos y a la cantidad de copias a imprimir tendremos y ≥ 600 Si llamamos z a la cantidad de empleados surge que z ≤ 55 Finalmente, llamando w al porcentaje de deserción se tiene que w > 30 Como vemos estas y otras relaciones, mucho más complejas, se pueden expresar matemáticamente como desigualdades que involucran incógnitas, en tales casos decimos que estamos en presencia de inecuaciones. Formalmente Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas que se verifica para algunos valores de sus letras, a las que denominamos incógnitas. El objetivo es encontrar el conjunto de valores de las incógnitas que verifican la desigualdad, este conjunto se denomina SOLUCIÓN DE LA INECUACIÓN. Ejemplifiquemos este último concepto: 1) Si x pertenece a los números naturales y x < 5 , entonces el conjunto solución de esta inecuación es: S = { 1, 2, 3, 4 } 2) Si x pertenece a los números enteros y x < 5 , entonces el conjunto solución de esta inecuación es: S = {. . . −1, 0 , 1 , 2, 3, 4 } 3) Si x pertenece a los reales y x < 5 , entonces el conjunto solución ya no puede ser expresado por enumeración de sus elementos sino que debe recurrirse a la notación por intervalos: S=( ∞,5) De estos ejemplos surge una primera observación: “En la resolución de una inecuación es fundamental el conocimiento del conjunto de referencia” Concentraremos nuestra atención en las inecuaciones definidas sobre el conjunto de los reales. Para avanzar sobre el tema revisemos algunas propiedades de las desigualdades:

Propiedades de las desigualdades Propiedad 1: Si a ambos miembros de una desigualdad se agrega la misma cantidad, el sentido de la desigualdad no cambia. 4 < 7 è 4 + 2 6  2.8 > 2.6 8 > 6  1/2 . 8 > 1/2 . 6 Propiedad 3: Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la misma cantidad negativa, el sentido de la desigualdad se invierte. 8 > 6  −2 . 8 < − 2 . 6 8 > 6  −1/2 . 8 < −1/2 . 6 Estas propiedades nos servirán para encontrar el conjunto solución de cualquier inecuación, efectivamente con ellas podemos transformar inecuaciones de aspecto complicado en inecuaciones simples. Veamos como hacerlo a través de ejemplos. Estas propiedades nos servirán para encontrar el conjunto solución de cualquier inecuación, efectivamente con ellas podemos transformar inecuaciones de aspecto complicado en inecuaciones simples. Veamos como hacerlo a través de ejemplos. Ejemplo 1: Sea la inecuación x − 3 < 5 Queremos los valores de x que la verifiquen entonces debemos dejar sola la x en el primer miembro, para ello debe eliminarse el (−3), por lo tanto podemos sumar a ambos miembros el valor 3 x −3 + 3 < 5 + 3 x (-3) 2 x > -6 Gráficamente:

( -6 En cuanto a la mecánica de resolución de inecuaciones es muy similar a la de ecuaciones con la salvedad de que hay un caso en el cambia el sentido de la desigualdad. ¿Cuál es ese caso?. La respuesta está en este mismo texto.

Inecuaciones lineales con dos incógnitas Una inecuación lineal con 2 incógnitas es aquella que responde a algunas de las siguientes estructuras: 1) ax + by + c ≥ 0 2) ax + by + c > 0 3) ax + by + c ≤ 0 4) ax + by + c < 0 En todos los casos el conjunto solución será un semiplano, es decir que el conjunto solución puede ser representado como pares (x, y) en un sistema de ejes cartesianos. Así como cuando teníamos una sola incógnita, despejábamos “x”, tomábamos de referencia un punto y luego establecíamos si eran los que estaban a la derecha ó a la izquierda de ese punto, ahora vamos a despejar “y”, tomaremos de referencia la recta que surge de igualar “y” al segundo miembro de la inecuación y luego estableceremos si son los puntos que están por encima ó por debajo de esa recta. Veamos como hacerlo en un ejemplo. Sea la siguiente inecuación: 4 x – 2 y ≥ 6 Para despejar “y” pasamos 4x al segundo miembro

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–2y≥ 6–4x El (–2) está multiplicando pasa dividiendo, pero por ser negativo cambia el sentido de la desigualdad. y ≤ (6 – 4 x ) / (–2) Aplicando propiedad distributiva resulta y ≤ –3 + 2 x Volviendo al objetivo que era encontrar los pares (x, y) que satisfacen la inecuación, resulta que podemos usar de referencia la recta “y = –3 + 2x” Para graficar la recta basta encontrar dos puntos que pertenezcan a ella, es decir dos pares (x, y) que verifiquen la ecuación. Por ejemplo: Si x = 0  y = –3 Si x = 3/2  y= 0

Graficamos la recta que pasa por esos dos puntos

Luego seleccionamos el semiplano formado por todos los puntos que verifican la inecuación.

(3/2, 0)

(0, -3)

(3/2, 0)

(0, -3)

¿Qué ocurre si tenemos un conjunto de inecuaciones? En tal caso diremos que estamos en presencia de un sistema de inecuaciones y la solución será aquella región del plano que satisfaga simultáneamente todas las inecuaciones, gráficamente sería la intersección de las respectivas soluciones. Por ejemplo: 4 x – 2 y ≥ 6 (1) 3 x + y ≥ 2 (2) En el ejemplo anterior encontramos la región solución a la primera inecuación, falta ver cuál es la solución a la segunda. Nuevamente despejamos “y” y≥ 2–3x Graficamos la recta en el mismo sistema de coordenadas cartesianas y encontramos la región común a ambas (zona rayada), esa es la solución del sistema.

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2

(1)

3/2

-3

x

(2) (2) semiplano superior a esta recta.

Como aplicación revise el tema Solución Gráfica de un Problema de Programación Lineal a partir del texto de la bibliografía base.

Autoevaluación Actividad 1: Resuelva las siguientes ecuaciones lineales: (verifique el resultado obtenido)

x 2

a)

2x - 3 =

b)

x=

x -1 +2 2

c)

1+

x -3 = -2 4

d)

2 x - 3 = -( x + 3) + x

Actividad 2: Plantee y resuelva los siguientes problemas. a. Un automovilista recorre 764 km en tres etapas; en la segunda el recorrido es 124 km más que en la primera, y en la tercera el 20% más que en la primera. ¿Cuántos km recorrió en la primera etapa? b. Los administradores de una compañía disponen de los siguientes datos con respecto a determinado producto: Precio unitario de venta $20.-, Costos variables por unidad $15.-, Costos fijos totales $600.000.- En base a esta información desean saber el total de unidades que deben venderse para que la empresa obtenga una utilidad de $100.000.-

Actividad 3: Analice como resulta la visualización gráfica de un sistema de dos ecua-

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ciones lineales con dos incógnitas, en los casos compatible indeterminado e incompatible, estableciendo claramente sus conclusiones.

Actividad 4: Si “x” e “y” representan cantidades a fabricar de dos productos A y B respectivamente indique, frente a cada planteo particular cuál de las afirmaciones es falsa. a. “Debemos producir el triple de A que de B”, se puede expresar matemáticamente como x = 3y. b. “Debemos producir el un 15% menos de B que de A”, se puede expresar matemáticamente como y = x – 0,15 x. c. “La producción de A debe ser 20 unidades superior a la de B”, se puede expresar matemáticamente como x = 20y d. “La producción de B debe representar el doble del total producido”, se puede expresar matemáticamente como y = 2 x + 2y e. “Debemos producir 9 unidades de A por cada dos unidades de B”, se puede expresar matemáticamente como 2x = 9y

Actividad 5: Indique la alternativa correcta. Se tienen dos números naturales. Si se divide el mayor de esos números por el menor se obtiene 3 de cociente y 1 de resto. Si se divide, en cambio, el mayor por el menor aumentado en una unidad, el cociente es 2 y el resto es 3. Para determinar cuáles son esos números es necesario resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales, donde x es el mayor de los números e y es el menor. A)

x = 3y +1   x = 2( y + 1) + 3 B)

 y = 3x + 1   y = 2( y + 1) C)

x  y = 3y +1    x = 2( y + 1) + 3  ( y + 1) D)

x = 3y   x = 2( y + 1) E) Ninguna de las alternativas anteriores es correcta.

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Actividad 6: Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones e interprete gráficamente la situación. a) x + 3 y = −2 −2x − 4 y = -6 b) 2 x = 6 − y 6 x + 3 y = 10 c) 1/2 x + 3 y = 1 6 y − 2 = −x

Actividad 7: Plantee y resuelva los siguientes problemas: a. En una clase de Diseño el total de alumnos, varones y mujeres, es de 52. Si el número de alumnos varones es siete más que el doble de mujeres, ¿cuántas mujeres y cuántos varones hay? b. Dos Agrónomos han recorrido distintas distancias. La suma de las distancias recorridas por ambos es igual a 11/2 de su diferencia. Además el que recorrió la mayor de las distancias supera en 2000 km. a la recorrida por el otro. ¿Cuantos kilómetros recorrió cada uno de ellos?

Actividad 8: Resuelva y clasifique los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. a)

-x+ y +z=1 -x+3z=4 - 2 x + y = -4 z + 5

c)

y +z=1 3x+ y +2z=1 3x+2y+3z=2

b)

2 x - 3 y = -1 2 x - 2 y - z = -2 x+ y -2=0

d)

-x+ y +z=0 -2x+2y =0 3 x + y + 2 z = -4

Actividad 9: Plantee y resuelva los siguientes problemas: a) La ganancia de una empresa es de $14.600. La misma se distribuye entre tres socios.El segundo socio recibió el 10% menos que el primero y el tercero 3/4 partes más que lo que recibió el primero. ¿Cuánto recibió cada uno.? b) De 1350 alumnos que cursaron Álgebra se informó que el número de alumnos regulares supera al de libres en 100 y que la suma de ambos supera en 50 al número de promocionados. ¿Cuántos alumnos resultaron libres, cuántos regulares y cuántos promocionados? c) En un estadio hay presentes 3.500 personas, las cuales han abonado dis-

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tinto importe de acuerdo a su ubicación en tres sectores; $10 por la Platea A, $ 5 por la Platea B y $2 por la Popular. Además se nos informó que en la Popular hay un 50% más de personas que en la Platea B. Si la recaudación total fue de $18.000 ¿Cuántas personas había en cada sector? d) Un Problema de producción. Una compañía elabora tres productos cada una de los cuales debe ser procesado en tres departamentos. La Tabla 1 resume el requerimiento de las horas de mano de obra y las unidades de materia prima de cada unidad de producto. Se dispone mensualmente de 1500 horas de mano de obra y 3800 unidades de materia prima. Si se desea una combinación de los tres productos que totalice 500 unidades, determine si existe esta combinación de manera que agote la disponibilidad de los insumos. Tabla 1 INSUMOS

PROD. A

PROD. B

PROD. C

HORAS DE MANO DE OBRA

3

2

4

UNIDADES DE MATERIA PRIMA

10

8

6

e) Un Problema de Mezcla. Una nutricionista está planeando una dieta diaria que consiste en tres tipos de alimento. Conoce el aporte de vitaminas, hierro y proteínas de cada uno de los alimentos, los cuales se dan en la Tabla 2. Por experiencia sabe que la dieta completa debe contener 52 unidades de vitamina, 56 unidades de hierro y 34 unidades de proteínas. Determine si existe alguna combinación de los tres alimentos que pueda satisfacer exactamente los requerimientos mínimos de vitaminas, hierro y proteínas. Tabla 2 Tipo de alimento

Vitaminas

Hierro

Proteínas

1

4

2

1

2

6

8

6

3

3

4

2

f) Un inversor tiene $500.000 para invertir en tres tipos de negocios. Se espera que el primer tipo de negocio le redituará un 15% de ganancias el segundo un 10% y el tercero un 18%. La meta del inversionista es lograr un promedio del 15% entre las tres inversiones. Además la inversión en el tercer negocio debe ser del 40% del total. ¿Cuál es la alternativa que permite lograr todos estos objetivos? g) Se posee un presupuesto de $ 200.- que se quiere destinar totalmente a publicidad. La misma se puede desarrollar por tres medios: TV, radio y avisos en periódicos. El costo de cada aviso en TV es de $5, en radio de $3 y en periódico de $1. El número total de avisos debe ser de 64 y se quiere llegar a una audiencia de 7000 personas. Los medios de divulgación nos han proporcionado los siguientes datos: Cada aviso en TV llega a una audiencia de 200 personas, cada aviso de radio a 60 y cada aviso en periódico a una audiencia de 50 personas. Calcular el número de avisos publicitarios que debemos hacer en cada medio.

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Actividad 10: En cada uno de los siguientes ítems señale la alternativa correcta. I) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

2 x + 2 y − z = 0  x + 2 y + 2z = 0  x − 3z = 0  ¿Cuál de las siguientes ternas (x, y, z) constituye una solución particular del sistema?

a. b. c. d. e.

(−1, 0, 2) (−1, 1, 0) (3, −5/2 , 1) (−2, 1, 0) (−5, 3 , −4)

II) Resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

3 x + z = 0  x + 2 y + 2z = 1  x − 3z = 0 

Se puede afirmar que el valor de la incógnita “y” es:

a. b. c. d. e.

−1 1 3 0 1/2

Actividad 11: Resuelva las siguientes inecuaciones:

a. 2 + 3 x < x − 4 x b. − 5 + > 3 − 2 x 2 c.

x −1 ≤ 2− x 2 

d. 4 x −



e.

1 x  < −1 2 2

x − 1 1 − 3x ≥ 3 2

Actividad 12: Encuentre la solución a los siguientes sistemas de inecuaciones: a) 2 y + 4 x ≤ 3 2y+x≥ 3

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b) y + 2 x ≤ 3 -2 y – 4 x ≤ -8 c) - y - 2 x ≤ 4 2y - x ≤2 x ≤ 1 d) x ≥ y + 2 y≥ x+1

Actividad 13: En cada uno de los siguientes problemas, se pide: a) Defina las variables del problema. b) Plantee el problema. (no resuelva) I) La Toy company esta planeando su programa de producción para navidad; en particular quiere saber cuántos juguetes de moda y cuántos juguetes clásicos debe producir. Un clásico lleva 10 horas de moldeo más 6 horas de maquinaria; mientras que uno de moda ocupa 5 horas de moldeo y 7 horas de maquinaria. El beneficio de un clásico es de $8 y el de uno de moda es de $6. Si se disponen de 40 horas de tiempo de moldeo y 32 horas de maquinaria, ¿cuántos juguetes de cada tipo se deben fabricar para maximizar beneficios? II) Se ha decidido invertir hasta $ 1.500 en la fabricación de circuitos impresos, de los cuales se pueden elaborar dos modelos para la utilización en un equipo electrónico. El costo de producir cada uno de los modelos es de $2 y $3 respectivamente. Para su fabricación se requiere el uso de una maquinaria especial para el dibujo y la limpieza de los mismos, de la cual se dispone sólo de 30 hs. El tiempo de utilización de la maquinaria para cada circuito del modelo 1 es de 6 minutos y para el modelo 2 de 5 minutos. Se ha establecido que la demanda conjunta de los circuitos es por lo menos de 300 unidades y del total del presupuesto disponible, a lo sumo el 10% deber  corresponder al gasto en el modelo 1. Se desea encontrar las cantidades de cada modelo a elaborar para minimizar los costos.

Actividad 14: Considere un problema de Optimización lineal con dos variables, cuya región factible se representa gráfica y algebraicamente como sigue:

y (1)

Restricciones:

(2)

(1) y  (3)

1 xb4 3

(2) 2 y  2 x b 6 (3) 2 y 2 x b 2 x

x≥0

y≥0

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Suponiendo que el óptimo se alcanza en “ “ , encuentre los valores que maximizan la función objetivo.

Claves de Autoevaluación  Actividad 1: a) b) c) d)

x=2 x= 3  x= -9  x= 0

A continuación se muestra una posible forma de resolución a los apartados b y d: x -1 b) x= +2

2

aplicamos común denominador 2



x=

x -1 + 4 2

multiplicamos ambos miembros por 2  y simplificamos  2x=x+3 2x–x=3 x = 3           c)

1+

x -3 = -2 4

4 + x -3

4

= -2

x+1 = -8  x = -9

Actividad 2:   a) Planteo: Sea  x = distancia recorrida por el automovilista en la primer etapa.  x+ ( x+ 124) + (x + 0,2 x) = 764  Rta: Recorrió en la primera etapa 200 km.  b) Planteo: Sea  x =cantidad de producto a vender  20 x – (15 x + 600.000) = 100.000  Rta: Deberán venderse 140.000 unidades de producto para que la empresa obtenga una utilidad de $100.000  

Actividad 3:  En el caso de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas,

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compatible indeterminado gráficamente se puede observar dos rectas superpuestas (coincidentes para todo valor de x e y). Mientras que en el caso de un sistema incompatible, se visualizan dos rectas paralelas no coincidentes.  

Actividad 4: Opción C) es falsa.

Actividad 5:  Opción A) es correcta.                                                                                           

Actividad 6:   a) Sistema compatible determinado.  x=1  y = -1 . Su gráfica consiste en dos rectas que se cortan en el punto (1,-1). b) Sistema incompatible. No posee solución. Su gráfica consiste en dos rectas paralelas c) Sistema compatible indeterminado. Solución general: x = -6 y +  2,  y Î R. Su gráfica consiste en dos rectas idénticas. 

Actividad 7: a)  Planteo: Siendo x = cantidad de mujeres  y = cantidad de varones 

 x + y = 52   y = 2x + 7 Rta:  x = 15   y = 37  b) Planteo:

11   x + y = ( x − y) 2   x = y + 2000 Rta: Los agrónomos recorrieron 6.500 Km. y 4.500 Km. respectivamente.

Actividad 8: a) Sistema compatible Indeterminado  x = 3 z - 4;  y= -3 + 2 z ;  z Î R b) Sistema compatible Determinado x = 1; y = 1; z = 2 c) Sistema compatible Indeterminado x = -z / 3; y = 1-z; z Î R d) Sistema compatible Determinado x = -1; y = -1; z = 0 

Actividad 9:   a) x: cantidad de dinero que recibió el primer socio; y: cantidad de dinero que recibió el segundo socio; z: cantidad de dinero que recibió el tercer socio Rta: x = 4000; y = 3600, z = 7000  b) x: cantidad de alumnos regulares; y: cantidad de alumnos libres; z: cantidad de alumnos promocionados

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Rta: x = 400;  y = 300; z = 650  c) A = 1000; B = 1000; P = 1500  d) Planteo del Problema de producción. En primer lugar nos preguntamos ¿cuáles son las incógnitas? Definamos: x = cantidad a elaborar del producto A y = cantidad a elaborar del producto B z = cantidad a elaborar del producto C  En base a  la tabla  de datos el producto A requiere de 3 unidades de MO, es decir que si producimos x unidades de A,  vamos  a necesitar “3 x” horas de MO. De la misma manera una unidad de producto B requiere 2 horas de MO por lo cual el total de horas necesarias para producir B será “2y” finalmente para producir C requerimos en total “4z” Por lo tanto, lo que utilicemos para la producción de A, B y C será “3x + 2y+ 4z” Esto debe  totalizar la cantidad de horas que disponemos, es decir debe ser igual a 1500. De allí surge la primera ecuación:  3 x + 2 y+ 4 z = 1500  Con respecto a la materia prima el razonamiento es idéntico,  por lo cual  surge la segunda ecuación:   10 x +8 y +6z= 3800  Finalmente como se quiere totalizar 500 unidades, lo que se produzca de A más lo que se produzca de B más lo que se produzca de C debe dar 500 de donde surge la ecuación:  x + y + z = 500.  Resolviendo este sistema resulta: x =100 ; y = 200;  z = 200  e) Planteo del Problema de Mezcla. ¿Cuáles son las incógnitas? ¿ y cuáles los datos? Las incógnitas son: Cantidades de alimentos de cada que tipo habrá que combinar para lograr los requerimientos establecidos. Digamos x, y,  z. En cuanto a los datos: tenemos los aportes de vitaminas , hierro y proteínas de cada alimento como así también los requerimientos de ellos en la dieta.  ¿Cómo se relacionan las incógnitas y los datos? Hay 3 tres restricciones, de vitaminas de hierro y de proteínas que deben verificarse. Cada alimento de tipo 1 aporta 4 unidades de vitaminas, entonces x unidades de alimento1 aportará 4x unidades de vitaminas. Cada alimento de tipo 2 aporta 6 unidades de vitaminas, entonces y unidades de alimento2 aportará 6y unidades de vitaminas. Cada alimento de tipo 3 aporta 3 unidades de vitaminas, entonces z unidades de alimento3 aportará 3z unidades de vitaminas. Entonces el total de vitaminas que aportarán x, y, z será  4x + 6y + 3z , pero este aporte debe ser de 52 unidades en total, por lo tanto se tiene la ecuación  4 x + 6 y +3 z = 52  ¡De la misma manera se pueden obtener las otras dos ecuaciones! Lo que

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genera el siguiente planteo. ( la resolución queda a cargo del estudiante como así también su verificación)  x = cantidad de alimento 1 a introducir en la mezcla.   y = cantidad de alimento 2 a introducir en la mezcla. z = cantidad de alimento 3 a introducir en la mezcla.  Planteo:     

4 x + 6 y + 3 z = 52  2 x + 8 y + 4 z = 56  x + 6 y + 2 z = 34 

          

Rta:  x = 4; y = 3 ; z = 6  f) x = cantidad de dinero a invertir en la opción 1 y = cantidad de dinero a invertir en la opción 2 z = cantidad de dinero a invertir en la opción 3  Planteo:                                                               x +x 6+ y0,1+y3+z 0,18 = 52 40,15 z = 75.000       2 x + 8 y + 4 z = 56 z  = 0,4 (x + y +z)       x + 6x + y y++ 2z = z 500.000  = 34



Rta: x= 180.000 ;  y = 120.000 ; z = 200.000  g) x = cantidad de avisos a realizar por T.V. y = cantidad de avisos a realizar por radio z = cantidad de avisos a realizar en periódicos  Planteo:                                                                    52 4 x 5+ x6 +y 3+y 3+zz == 200  = 56 2 x + x8 +y y++4z z= 64  200 x + 60 y + 50 z 7.000  x + 6 y + 2 z ==34



Rta: x= 24 ;  y= 20 ; z= 20

Actividad 10: En cada uno de los siguientes ítems señale la alternativa correcta.  I) Opción C II) Opción E

Actividad 11: a) x < -3             b) x > c) x ≤

16           5

5          3

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2 7 5 e) x ≥ 11 d)  x <

Actividad 12: 

a)

b)

c)

d)

Actividad 13: Planteos:   I)     x: cantidad de juguetes clásicos a producir para la próxima navidad. y: cantidad de juguetes de moda a producir para la próxima navidad  max(z) = 8x +6y s.a

410x x++6 5yy +≤ 340z = 52  6 x + 7 y ≤  32 2 x + 8 yx≥+04 z = 56  x + 6 y y≥ 2 z = 34 + 0  

II) x: cantidad de circuitos impresos a fabricar del modelo 1. y: cantidad de circuitos impresos a fabricar del modelo 2  min(z) = 2x +3 y

4 x + 6 y + 3 z = 52  2 x + 8 y + 4 z = 56  x + 6 y + 2 z = 34  2 x +3 y ≤ 1500 6 x+5 y ≤ 1800 2x ≤ 150

x + y ≥ 300 x≥0

y ≥ 0 

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Ecuaciones e Inecuaciones Lineales

Actividad 14:  El punto O tiene coordenadas x = 1 y = 2

Referencias bibliográficas 1. BUDNICK F.; “Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales”. McGraw_Hill. 2. CHECA J.C.; “Algebra para economía y administración”; Ed.; Capítulo 7 páginas 307-339

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Matrices y Vectores

MÓDULO 2

Educación Distribuida

Matrices y Vectores

MODULO 2: MATRICES Y VECTORES

Introducción Este módulo coincide con la unidad 2 del programa. Comenzamos con la introducción de una nueva herramienta matemática conocida con el nombre de matriz, rescatando su simbología, notación, clasificación de acuerdo a su estructura que implica para el estudiante apropiarse de nuevos nombres. Además se definen las operaciones básicas entre matrices y sus propiedades. A continuación se incorpora el concepto de vector y operaciones con vectores. En este punto hay que tener mucho cuidado pues si bien los conceptos de matrices y vectores son sencillos, el estudio detallado, la simbología y la formalización que implican las combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal de vectores requiere de la integración entre precisión, mecánica y razonamiento. Para poder aplicar en situaciones prácticas este módulo se necesitan más elementos que serán completados en los módulos siguientes. No obstante se presentan aplicaciones muy sencillas que amenizarán el difícil, pero indispensable trayecto de lo formal. En esta etapa usted debe lograr superar las dificultades de la simbología, afianzar la notación e incorporar las nuevas herramientas que serán utilizadas en el resto de la materia. Además de la ejercitación que sin duda es un el modo de apropiarse de gran parte de la operatoria matemática, se debe lograr una captación más amplia de los contenidos a través de la conceptualización y la comprensión; ésto implica una ida y vuelta desde y hacia la teoría, pasando por la ejercitación. En la búsqueda de formas simples de describir situaciones matemáticas, económicas, físicas, administrativas, etc. se creó la estructura matricial, la que siendo básicamente un arreglo rectangular de números, ha permitido estructurar procesos de cálculo y a la vez hacerlos viables computacionalmente. En esta unidad definiremos conceptos, implementaremos simbología y operatoria de trabajo ligadas a las matrices y a los vectores. Es necesario familiarizarse con la notación respetando formatos, tipo de letras, subíndices, etc. ya que ellos hacen al lenguaje matemático universalmente aceptado y porque además en capítulos subsiguientes deberemos rescatar aspectos relacionados con los mismos.

Objetivos específicos Al finalizar el módulo, usted estará en condiciones de alcanzar los siguientes objetivos: •

Operar con matrices y vectores.

•

Reconocer los distintos tipos de matrices.

•

Interpretar simbólicamente los elementos de una matriz o de un vector.

•

Verificar formalmente la dependencia ó independencia lineal de vectores.

•

Analizar en base a propiedades la dependencia ó independencia lineal de vectores.

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Esquema conceptual del módulo En este módulo nos encontramos con temas como matrices, matrices con características especiales, definiremos operaciones con matrices y sus propiedades para luego incorporar el concepto de vectores donde las definiciones, las propiedades y las reglas de trabajo son precisas, es muy importante fortalecer paso a paso el trabajo con cada uno de ellos. Observe este esquema, lo ayudará a entender la relación entre los contenidos principales a tratar en esta unidad como así también muestra la conexión y orden lógico de tratamiento.

Suma Matricial

MATRICES

cuyas operaciones

incluye

Notación

Producto por un escalar

Producto Matricial Matrices especiale

admiten

Propiedades

Suma Vectorial cuyas operaciones Producto por un escalar

VECTORES involucra los conceptos de

Independencia y Dependencia

Desarrollo de los contenidos Matrices Una matriz de orden “mxn” es un arreglo rectangular de números (usualmente números reales) dispuestos en m filas y n columnas, los cuales se encierran entre corchetes. En general se denotan con letras mayúsculas. Por ejemplo:

é7 2 5 ù ú A= ê êë 3 1 -1úû

en este caso A es una matriz cuyo orden es 2x3. Cada elemento de la matriz se denota en forma genérica aij (donde i indica la fila donde está el elemento y j indica la columna)

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De esta manera podemos establecer la estructura general de una matriz de orden mxn como:

é a11 ê êa Amxn = êê 21 ê  êa ë m1

a12 a22  am 2

 a1n ù ú  a2 n ú ú   úú  amn úû

Otra notación que se suele utilizar es: A = [ aij ]mxn

Matrices especiales Cuando el número de filas es igual al número de columnas se dice que la matriz es cuadrada ó de orden n . En tal caso los elementos que están en los lugares a11, a22, ....., ann constituyen lo que se denomina diagonal principal de la matriz (es decir aquellos aij donde i=j) Ejemplo: -3 1 2 C= 0 4 1 -1 2 0 Diagonal Principal Matriz nula: es aquella matriz de cualquier orden cuyos elementos son todos iguales a cero. Se suele denotar φ Ejemplo:

é 0 0 0ù é 0 0ù ê ú ê ú ê ú f3 x 3 = 0 0 0 f3 x 2 = ê0 0ú ê ú ê ú ê 0 0 0ú ê 0 0ú ë û ë û Matriz triangular superior: es aquella matriz cuadrada donde los elementos que están por debajo de la diagonal principal son ceros. Ejemplo:

é-2 3 2 ù ê ú T3 x 3 = ê 0 1 5 ú ê ú ê 0 0 -1ú ë û Defina matriz triangular inferior. Matriz diagonal: es aquella matriz cuadrada donde los elementos que no están en la diagonal principal son ceros. Ejemplo:

é ê ê2 0 ê D3 x 3 = ê 0 -1 ê ê ê0 0 êë

ù ú 0ú ú 0ú ú 1ú ú 3 úû

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Matriz Escalar: es aquella matriz diagonal en la diagonal principal son iguales entre sí. Ejemplo: é2 0 ê E3 x 3 = ê 0 2 ê ê0 0 ë

donde los elementos que están

0ù ú 0ú ú 2úû

Matriz Identidad: es aquella matriz diagonal donde los elementos que están en la diagonal principal son todos iguales a 1. Se denota con la letra I. Ejemplo: é 1 0 0 0ù é 1 0 0ù ê ú ê ú ê 0 1 0 0ú ú I 3 = ê 0 1 0ú I4 = ê ê ú ê 0 0 1 0ú ê 0 0 1ú ê ú ë û ê 0 0 0 1ú ë û

Operaciones con matrices Suma matricial: Dadas dos matrices del mismo orden, la matriz suma será otra matriz del mismo orden que las dadas cuyos elementos resurgen de la suma de los respectivos elementos de las matrices dadas.

1) 2) 3) 4)

Propiedades de la suma matricial: Asociativa (A + B) + C = A + (B + C) Conmutativa A+ B = B +A Elemento Neutro A + φ = A Elemento simétrico u opuesto A + (-A) = φ

Producto de un escalar por una matriz: El producto de un escalar por una matriz es otra matriz del mismo orden que la dada cuyos coeficientes surgen del producto del escalar por los respectivos elementos de la matriz.

1) 2) 3) 4)

Propiedades: Asociativa para el producto de escalares. (αβ)Α = α(βΑ) Distributiva con respecto a la suma de matrices. α (Α+ B) = αΑ + αB Distributiva con respecto a la suma de escalares. (α+β)Α = αΑ+βA Escalar 1 es el neutro. 1. A = A Producto matricial:

Dadas dos matrices, Amxp y Bpxn la matriz producto será una matriz Cmxn , tal que cada elemento cij de C se obtiene como la suma de los productos de los coeficientes de la fila i de A por los respectivos coeficientes de la columna j de B. p

En símbolos A x B = C , donde cij =

∑a k =1

ik

.b

kj

, para i=1, . . ., m j= 1, . . . , n

Se deduce que: 1) Para que dos matrices se puedan multiplicar el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz.

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2) La matriz resultante será una matriz con tantas filas como la primera y con tantas columnas como la segunda. OBSERVACIÓN: Las siguientes expresiones del producto son equivalentes AxB= A . B = AB Ejemplo: Sean A y B como siguen:

 −1 3 2  A=   0 1 −2 

 4 3 B =  1 1   −1 0 

analizando los órdenes de las matrices involucradas podemos concluir que son conformables para el producto y que además la matriz resultante será de orden 2x2. Veamos como operar con ellas en forma esquemática: Recordemos que cada cij se obtiene de la suma de los productos de los elementos de la fila i de A con los correspondientes elementos de la columna j de B. Observe la forma en que se obtienen los elementos de la matriz C en este ejemplo particular. Para obtener el elemento c11 se debe operar la fila 1 de A con la columna 1 de B

 4 3  −1 3 2     c11 c12    0 1 −2  .  1 1  = c    −1 0   21 c22     4 3  −1 3 2    (−1).4 + 3.1 + 2.(−1) (−1).3 + 3.1 + 2.0   0 1 −2  .  1 1  =  0.4 + 1.1 + (−2).(−1) 0.3 + 1.1 + (−2).0     −1 0    Observe los cálculos restantes, se puede deducir para obtener el elemento c12 se debe operar la fila 1 de A con la columna 2 de B para obtener el elemento c21 se debe operar la fila 2 de A con la columna 1 de B y finalmente para obtener el elemento c22 se debe operar la fila 2 de A con la columna 2 de B. Obtenemos la matriz producto A.B

1) 2) 3) 4)

 −3 0  =   3 1

Propiedades: Asociativa (A x B) x C = A x (B x C) Distributiva con respecto a la suma de matrices. A x (B + C) = A x B + A x C Elemento absorbente. A x φ = φ Multiplicar una matriz A por la matriz identidad, adecuada, a izquierda ó a derecha da por resultado la matriz A. OBSERVACIONES

1) El producto matricial No es conmutativo (en general, AxB ≠ B x A) 2) A x B = A x C ⇒ B=C 3) A x B = φ ⇒ A = φ ó B = φ Busque ejemplos de 1), 2) y 3)

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Matriz transpuesta: Dada una matriz A de orden mxn, su transpuesta es una matriz de orden nxm la que se denota A’ y se obtiene ubicando las respectivas filas de A como columnas de A’. Formalmente el elemento aij de A será el elemento a’ji de A’. Ejemplo:

 1 0 1 2 − 3   A=  ⇒ A′ =  2 5  0 5 10  − 3 10  Propiedades de la transpuesta: 1) La transpuesta de la transpuesta es igual a la matriz original. En símbolos (A’ )’ = A 2) La transpuesta de la suma es igual a la suma de las transpuestas. En símbolos (A + B)’ = A’ + B’ 3) La transpuesta de un escalar por una matriz es igual al escalar por la transpuesta de la matriz. En símbolos ( α A )’ = α. A’ 4) La transpuesta del producto es igual al producto de las transpuestas en orden invertido. En símbolos (A x B)’ = B’ x A’

Vectores Un vector de orden “n” , es un conjunto de n elementos ordenados, los cuales se encierran entre paréntesis ó corchetes. Por ejemplo: V= ( -1, 3, 0) es un vector de orden tres.

é3ù W = ê ú es un vector de orden dos. êë5úû

Como vemos estos se pueden expresar en forma horizontal (vector fila) o en forma vertical (vector columna). Cada elemento se denomina componente, y debido a que se trata de un conjunto ordenado de elementos, podemos referirnos a ellas de la siguiente manera: V= ( -1, 3, 0) Primera componente Tercera componente Segunda componente El vector que tiene todas sus componentes iguales a cero se denomina vector nulo y se simboliza ∅. Una notación general para los vectores de n componentes es la siguiente: V= (x1, x2, . . . , xn )

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ó

 x1    V =  x2       xn 

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OBSERVACIÓN: Haciendo uso de una visión matricial un vector fila de orden n, puede ser pensado como una matriz de una fila y n columnas es decir una matriz de orden 1xn ¿Cómo puede ser pensado un vector columna? Dada esta observación las operaciones definidas entre matrices y sus propiedades son válidas al trabajar con vectores. a) ¿Cuál es la condición para que dos vectores se puedan sumar? b) A partir de la definición de suma matricial, defina suma vectorial . Establezca sus propiedades. A partir de la definición de producto de un escalar por una matriz, defina el producto de un escalar por un vector. Establezca sus propiedades.

Combinación lineal de vectores Una combinación lineal de vectores es una suma de productos de escalares por vectores. Así diremos que el vector V es combinación lineal de los vectores V1,V2, ... ,Vk si existen escalares α1 , α2 , ... ,αk tales que: V = α1 V1 + α2 V2+ . . . + αk Vk

Independencia y dependencia lineal de vectores Un conjunto de vectores { V1, V2, . . . , Vk } se dirá Linealmente Independiente (L.I.) si : α1 V1 + α2 V2+ . . . + αk Vk = ∅  α1 = α2= . . . = αk = 0 En palabras “Un conjunto de vectores se dirá Linealmente Independientes si la única forma de expresar al vector nulo como combinación lineal de los vectores dados es con todos los escalares iguales a cero” • Un conjunto de vectores { V1, V2, . . . , Vk } se dirá Linealmente Dependiente (L.D.) si α1 V1 + α2 V2+ . . . + αk Vk = ∅ para al menos un αi ≠ 0 Exprese con palabras esta definición. Por ejemplo consideremos el siguiente conjunto de vectores y determinemos si ellos son L.I ó L.D;

2 − 1    ;    3   2   Planteamos la combinación lineal

 2 − 1 0 α1   + α 2   =   3   2  0  2α 1  − 1α 2  0 3α  +  2α  = 0  1  2    2α 1 − α 2  0 3α + 2α  = 0   2  1

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Igualando componente a componente resulta el siguiente sistema de ecuaciones

ì 2a1 - a2 = 0 ï ï í ï 3 ï î a1 + 2a2 = 0 Si resolvemos este sistema observamos que α1 = 0 ; α2= 0 con lo cual los vectores dados son L.I. Otro ejemplo: Consideremos el siguiente conjunto de vectores:

 2  − 1    ;      − 4  2   Planteamos la combinación lineal

 2 α1   + α 2  − 4

− 1 0  2  = 0     

 2α 1  − 1α 2  0 − 4α  +  2α  = 0 1   2    2α 1 − α 2  0 − 4α + 2α  = 0   1 2  Resolviendo observamos que el sistema tiene infinitas soluciones por lo tanto el conjunto de vectores dados es Linealmente Dependiente. Si busca en los textos de la bibliografía básica, los teoremas sobre independencia y dependencia lineal, arribará a las siguientes conclusiones: 1. Dos ó mas vectores son Linealmente Dependientes si y sólo si al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros. 2. Todo conjunto que contenga un subconjunto Linealmente Dependientes es Linealmente Dependiente. 3. Todo subconjunto de un conjunto Linealmente Independientes. es Linealmente Independiente. 4. El vector nulo es Linealmente Dependiente. Por lo tanto todo conjunto que contenga al vector nulo es Linealmente Dependiente 5. Un conjunto con más de n vectores de n componentes es Linealmente Dependiente. 6. Un único vector distinto del nulo es Linealmente Independiente. 7. Si en un conjunto de vectores (donde el nulo no este incluido) es tal que cada uno de ellos tiene más ceros que el anterior el conjunto es Linealmente Independiente. A modo de aplicación de estas nuevas herramientas y cómo un anticipo de lo que será el módulo 4 describamos formas de representación matricial y vectorial de un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas puede ser expre-

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sado en forma general como:

ïìïa11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn = b1 ïï ïía21 x1 + a22 x2 +  + a2 n xn = b2 ïï     ïï ïïîam1 x1 + am 2 x2 +  + amn xn = bm donde xj representa la incógnita “j” para j = 1, . . . ,n aij indica el coeficiente en la ecuación “i “ que acompaña a la incógnita “xj”, para i= 1, . ,m j= 1, . . ., n bi indica el término independiente de la i-ésima ecuación.

Formas de representación de un sistema Dado un sistema de ecuaciones lineales es posible su representación en forma matricial y vectorial.

Forma matricial de un sistema:

é a11 ê ê a21 ê ê  ê êa ë m1

a12 a22  am 2

 a1n ù ú  a2 n ú ú   úú  amn úû

é x1 ù é b1 ù ê ú ê ú ê x2 ú êb ú ê ú = ê 2ú êú êú ê ú ê ú êx ú êb ú ë nû ë mû

o en notación abreviada AX=B Donde A es la matriz de los coeficientes del sistema , X es el vector de incógnitas y B es el vector de términos independientes.

Forma vectorial del sistema Asimismo podemos representar un sistema de ecuaciones como una combinación lineal de vectores. El sistema anterior puede ser expresado como:

é a1n ù éb1 ù é a11 ù é a12 ù ê ú ê ú ê ú ê ú ê a ú êb ú ê a21 ú ê a22 ú x1 êê úú + x2 êê úú +  + xn êê 2 n úú = êê 2 úú ê  ú ê ú ê  ú ê  ú ê a ú êb ú êa ú êa ú ëê m1 ûú ëê m 2 ûú ëê mn ûú ëê m ûú También podemos definir La matriz ampliada del sistema como aquella que surge de agregar el vector de términos independientes a la matriz de coeficientes del sistema. La denotaremos A|B . En general

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é a11 ê êa A B = êê 21 ê  êa ëê m1

a12 a22  am 2

 a1n b1 ù ú  a2 n b2 úú    úú  amn bm úûú

Ejemplifiquemos las distintas formas de representación matricial: Consideremos el sistema:

ìï2 x1 + x2 + x3 = -1 ïï ï x1 - 2 x2 = -3 ïí ïï-x1 + x2 + x3 = 2 ïï ïïî4 x1 + 2 x2 + 2 x3 = -2 Forma matricial

é2 1 ê ê 1 -2 ê ê-1 1 ê ê4 2 ë

1ù ú 0ú ú 1úú 2úû

é-1ù ê ú é x1 ù ê-3ú ê ú êx ú = ê ú ê 2ú ê 2ú ê ú êx ú ë 3û ê-2ú ë û

Forma vectorial

é 2ù é 1ù é 1 ù é-1ù ê ú ê ú ê ú ê ú ê 1 ú ê-2ú ê 0 ú ê-3ú x1 ê ú + x2 ê ú + x3 ê ú = ê ú ê -1ú ê 1ú ê 1ú ê 2 ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê4 ú ê2 ú ê 2ú ê-2ú ë û ë û ë û ë û Matriz ampliada

é2 ê ê1 A B=ê ê-1 ê ê4 ë

1 1 -1ù ú 2 0 -3ú ú 1 1 2 úú 2 2 -2úû

Autoevaluación Actividad 1 Considere las siguientes matrices: é 2 -1ù ú D=ê êë 0 1 úû

é-1 0ù ú E=ê êë 3 2úû

é2 0ù ú F=ê êë-1 -3úû

Obtenga: a) D + E

b) E − F

c) D + 3 F d) E - F + D

e) La combinación lineal k1 D + k2 E + k3 F siendo k1 = −1; k2= 1/2 ; k3 = 2

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Actividad 2

é 2 -1ù ê ú Dadas las matrices: A = ê 0 1 ú ê ú ê ú ë 4 -3û

é1 -1 0ù ê ú B = ê 3 2 2ú ê ú ê ú ë1 -1 4û

é2ù ê ú C = ê-1ú ê ú ê0ú ë û

Obtenga: a) A’ x B b) B x A c) C’ x B d) C’ x 2B e) A’ x B x C f) (B + B’) x A

Actividad 3 a) ¿Qué condiciones son necesarias para efectuar la suma y el producto matricial respectivamente? b) Determine los valores de los subíndices i, j, k, m, p, q, t, r para que la siguiente expresión matricial tenga sentido: A5xi B3xj - Ckxm D4xp + Ftx2 = Hqxr

Actividad 4 Sean las matrices

 −2 A=  −4

1 4 

 − 2 3 B=   − 8 − 1

obtenga el resultado de A + (2B + ∅) − B , siendo ∅ la matriz nula.

Actividad 5 Sean las matrices

 −2 A=  −4

1 4 

 − 2 3 B=   − 8 − 1

I2 = matriz identidad

Indique cual de las siguientes matrices representa el resultado de efectuar la siguiente operación matricial A + 2 B - 3 ( B x I):

 −4 A)  12

− 2 5

0 B)  4

− 2 5 

C)  0 4 

− 2 − 5 

D)  −4 − 2   −12 5    E)  −4 4   −12 3  

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Actividad 6 Si A representa la matriz de insumos, donde cada fila corresponde a los insumos necesarios para la producción de cada artículo y P representa los precios de los respectivos insumos tal como sigue:

 p1   p 2 P=       pn  Entonces para obtener el costo total de cada artículo la operación matricial adecuada es: a) A .P b) P . A c) P’. A d) A. P’ e) Todas las opciones son incorrectas

Actividad 7 Identifique la alternativa correcta. Una matriz se llama triangular inferior cuando: a) los elementos de la diagonal son nulos y los que están por debajo de la diagonal son distintos de cero; b) los elementos de la diagonal son unos; c) los elementos que están por debajo de la diagonal son todos distintos entre sí. d) todos los elementos que están por encima de la diagonal son nulos; e) todos los elementos de la diagonal son iguales entre sí.

Actividad 8 Si A es de orden 3x5 y B es de orden 4x3, efectuando el producto entre ellas en el único orden posible se obtiene una matriz C de orden: a) 3x3

b) 3x5

c) 4x3

d) 4x5

e) 5x4

Actividad 9 Dados los vectores: V1 = (-1, -2) ; V2 = ( -2, 1) ; V3 = (0,3) Obtener: a) V1 + V2 b) V3 - V1 c) 3 V2 f) 2 V1 - V2 + 3 V3 g) 2 V1 - ( V2 + 3 V3 )

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d) V3 - 2 V2

e) V1 + V2 + V3

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Actividad 10 Si V1 = (1, −2, 1); V2 = (1, −4, 1) y V3 = (−1, 3, −1) el resultado de la operación V1 − (− V2 + 2 V3) es: a) 0

b) ( 2, −4 , 2)

c) (0, 0, 0)

d) (0, 8, 0)

e) (4, −12, 4)

Actividad 11 Siendo V, W, U vectores k y c escalares, cuál de las siguientes afirmaciones es falsa: a) b) c) d) e)

(k + c) V = k V + c V Si V − W = U ==> W = V − U (k.c)V= (kV). (cV) k (V + W) = k V + k W V+W=W+V

Actividad 12 Siendo V1 = (1, 2) ; V2 = (1, 3) , k1 = 2 ; k2 = -2/3. Obtenga la combinación lineal: k1 V1 + k2 V2

Actividad 13 Determine la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores. a) [ 1, 5] ; [ 1, 0] b) c) [ 1, 3] ; [ 3, 0] ; [0,1] d) e) [ 3, 0, 1] ; [ 1, 3, 4] ; [1, 0, 0] f) g) [ 3, 0, 1] ; [ 1, 3, 4] ; [1, 0, 0]; [1, 1, 1] h) i) [0, 0, 0, 0] j) k) [1, 0, 0] ; [0, 1, 0] l) m) [1, 2, 0] ; [-1, 1, 0] ; [0, 3, 0] n) ñ) [-1, 2, 0 ,3] ; [-1,-2, 0, 0], ; [0, 0, 1, 0]; [0, 0, 0, 1]

[1, 2] ; [2, 4] [ 3, 0, 1] ; [ 1, 3, 4] [ 3, 0, 1] ; [ 1, 3, 4] ; [6, 0, 2] [ 3, 0, 1] ; [ 1, 3, 4] ; [0, 0, 0] [1, 1, 1] [1, 0, 0] ; [0, 1, 0] ; [0, 0, 1] [-1, 2, 0 ,3] ; [-1,-2, 0, 0]

Actividad 14 Completar las siguientes afirmaciones: a) Si dos o más vectores son linealmente dependientes entonces .................. ...............................……….de ellos se expresa como combinación lineal del resto. b) Un conjunto de vectores serán linealmente...................................... si y sólo si el vector nulo se expresa como combinación de ellos con todos los escalares iguales a cero. c) Dos o más vectores son linealmente ...................................... si y sólo si el vector nulo se expresa como combinación de ellos con al menos uno de los escalares distinto de cero.

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Actividad 15 Determine cuál de los siguientes conjuntos de vectores es Linealmente independiente. a) b) c) d) e)

{ (1, 1) ; (0 ,1); (0, 0)} { (-2, 3) ; (2, 0)} { (0, 0, 0) } { (-2, 0, 0) ; (1, 0, 1) ; (-1, 0, 1) } { (5, 0, 0) ; (4, -1, 0) ; (1, 1, 0) }

Actividad 16 Establezca la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones. a) Todo conjunto que contiene un subconjunto L.D. es L.D. b) Todo subconjunto de un conjunto de vectores L.I. es L.I.

Claves de autoevaluación  Actividad 1 é1 -1ù ú a) D + E = ê êë3 3 úû

é-3 0ù ú b) E - F = ê êë 4 5úû

é-1 -1ù ú d) E - F + D = ê êë 4 6 úû

é 8 -1ù ú c) D - 3F = ê êë-3 -8úû

é 3 ù ê 1ú 1 ê 2 ú e) -D + E + 2 F = ê ú 1 2 ê ú -6 ú êúû ëê 2

Actividad 2 6 −6 16  a) A’ x B =   5 0 14 

d) C’ x 2B = [−2 −8 −4]

 2 −2  b) B x A = 14 −7  18 −14  18 e) A’ x B x C=   10 

Actividad 3

c) C’ x B = [−1 −4 −2]

 8 −3  f) (B + B’) x A=  8 −1    34 −24 

a) Para efectuar la suma matricial, las matrices deben ser del mismo orden y para efectuar el producto el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz. b) i = 3, j = 2, k = 5, m = 4, p = 2, q = 5, t = 5, r = 2

Actividad 4  −4 A + (2B + ∅) − B = A + B =   −12

Actividad 5 Opción b)

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4 3

Matrices y Vectores

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Actividad 6 Opción a)

Actividad 7 Opción d)

Actividad 8 Opción d)

Actividad 9 a) V1 + V2 = (-3, -1) e) V1 + V2 + V3 = (-3, 2)

b) V3 - V1= (1, 5)

c) 3 V2 =(-6, 3)

f) 2 V1 - V2 + 3 V3 = (0, 4)

d) V3 - 2 V2 = (4, 1)

g) 2 V1 - ( V2 + 3 V3 )= (0, -14)

Actividad 10 Opción c)

Actividad 11 Opción c) es falsa

Actividad 12 2 V1 + (-2/3) V2 = (4/3, 2)

Actividad 13 a) Linealmente Independiente c) Linealmente Dependiente e) Linealmente Independiente g) Linealmente Dependiente i) Linealmente Dependiente k) Linealmente Independiente m) Linealmente Dependiente ñ) Linealmente Independiente.

b) Linealmente Dependiente d) Linealmente Independiente f) Linealmente Dependiente h) Linealmente Dependiente j) Linealmente Independientes l) Linealmente Independiente n) Linealmente Independiente

Actividad 14 a) Si dos o más vectores son linealmente dependientes entonces al menos uno de ellos se expresa como combinación lineal del resto. b) Un conjunto de vectores serán linealmente independientes si y sólo si el vector nulo se expresa como combinación de ellos con todos los escalares iguales a cero. c) Dos o más vectores son linealmente dependientes si y sólo si el vector nulo se expresa como combinación de ellos con al menos uno de los escalares distinto de cero.

57

Matrices y Vectores

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Actividad 15 Opción b)

Actividad 16 a) Verdadera b) Verdadera

Referencias bibliográficas 1. CHECA J.C.; “Algebra para economía y administración”; Ed.; Capítulo 2 y 3 páginas 31-43 y 97-120

Bibliografía Ampliatoria: 1. ANTON H. ; ”Introducción al Algebra Lineal” . Ed. Limusa; 1998. 2. AYRE F. “Matrices- Teoría y Problemas”. Ed. Mc Graw Hill. 1969. 3. GROSSMAN S. I. “Algebra Lineal”. Ed. Mc Graw Hill.

58

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MÓDULO 3

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MODULO 3: Herramientas Matriciales

Introducción En este módulo consideraremos los contenidos de las unidades 3, 4 y 5 del programa, que abarca una serie de conceptos asociados a matrices, ellos son: determinante, matriz inversa y rango de una matriz. Los incorporaremos a través de sus definiciones, destacaremos sus propiedades, formas de cálculo y vínculos existentes entre estos elementos y los demás temas del programa. En particular, estos ¿conceptos? se utilizarán en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de forma matricial, que es el objetivo final de la asignatura. Una de las características más interesantes de las matrices cuadradas, es decir de aquellas que tienen el mismo número de filas que de columnas, es lo que se conoce con el nombre de Determinante. El estudio de los determinantes en nuestro caso será básico, la profundidad y el grado de aplicación que se podría alcanzar va más allá de nuestros objetivos, sobre todo en desarrollos teóricos, pero es indispensable que como alumno universitario se tenga conocimiento de su existencia. La matriz inversa es otra herramienta matricial de aplicación en economía, estadística, física etc. Si bien es posible obtener la matriz inversa a través del uso de determinantes, insistiremos en el método de Jordan, introduciendo previamente lo que denominamos Operaciones Elementales por filas; ésto nos permitirá lograr la habilidad de cálculo necesaria para abordar las unidades siguientes. La aplicación de propiedades también será de interés. Finalmente otra característica matricial que permite analizar los sistemas de ecuaciones Lineales es “el rango de una matriz”. Su definición requiere y se vincula a temas vistos anteriormente tales como independencia lineal y operaciones elementales por filas.

Objetivos específicos Al finalizar el módulo, usted estará en condiciones de alcanzar los siguientes objetivos: •

Calcular determinantes de matrices de orden 2 y de orden 3.

•

Aplicar propiedades que le permitan obtener el determinante de matrices de mayor orden.

•

Establecer la existencia ó no de la matriz inversa a partir del cálculo de su determinante.

•

Realizar operaciones elementales por filas sobre una matriz.

•

Aplicar las operaciones elementales con el objetivo de encontrar la matriz inversa.

•

Calcular el rango de una matriz a partir del escalonamiento de la misma.

•

Realizar operaciones elementales por filas sobre una matriz con objetivos determinados (escalonar y/o reducir una matriz).

•

Aplicar propiedades de rango.

61

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Esquema conceptual Asociadas a ciertas matrices, daremos los conceptos de determinante, matriz inversa y rango, especificaremos la forma de cálculo de cada una de estas herramientas matriciales y sus propiedades. Observe este esquema, lo ayudará a entender la relación entre los contenidos principales a tratar en esta unidad como así también muestra la conexión y orden lógico de tratamiento.

MATRICES CUADRADAS

MATRICES DE CUALQUIER

admiten

admiten

DETERMINAN

no nulo

Matriz regular

RANGO

posee

INVERSA

incluye  Definición  Forma de cálculo  Propiedades

Desarrollo de los contenidos Determinante Asociada a cada matriz cuadrada A existe un número real al cual se denomina determinante de A y se simboliza  A .

Definición formal de determinante “El determinante de una matriz A de orden n es el número que surge de la suma de n! términos. Cada término se obtiene como el producto de cierto signo por n factores, donde los factores son elementos de A de manera tal que ellos pertenecen a filas distintas y columnas distintas y el signo será más ó menos, según la permutación de los segundos subíndices sea par o impar.” Veamos como se obtiene el determinante en los casos particulares de una matriz de orden 2 y una matriz de orden 3

62

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Cálculo del determinante de una matriz 2x2: a11 a12

Sea A =



a21 a22

 A = a11 . a22 − a12 . a21

Es decir que el determinante para el caso de una matriz de orden 2 se obtiene como la resta entre el producto de los elementos de la diagonal principal y el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Ejemplo: 2 –3 Si A =   A = 2 . 8 – (–3) . 5 = 31 5 8

Cálculo del determinante de una matriz 3x3. Sea la matriz a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 El cálculo del determinante se realiza a través de la siguiente fórmula:



A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 Ejemplo:

Si A =

2 -3 1 1 0 2   A = 2 .0.1 + (-3) .2 .5 + 1.1.8 – 1.0.5 – (-3) .1.1 – 2.2.8 = -51 5 8 1

Observar que para calcular el determinante se hacen todos los productos posibles de tres elementos que se encuentren en filas y columnas diferentes y luego se suman los tres primeros y se restan los tres productos restantes Este mismo cálculo se puede efectuar a través de una regla práctica que se conoce con el nombre de Regla de Sarrus. El cálculo de determinantes de matrices de mayor orden puede resultar complicado por ello se recurre al uso de propiedades, algunas de las cuales se presentan a continuación.

Propiedades de los determinantes: 1) Si se intercambian dos líneas paralelas el determinante cambia de signo pero no de valor absoluto. Ejemplo: 2

-3

5

8

  A = 31

Si A =

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Intercambiemos las dos columnas de A obteniendo una matriz: -3 B= 8

2   B =-31

5

Observemos que efectivamente la propiedad se verifica. 2) Si se multiplica una línea de una matriz por una constante el determinante queda multiplicado por dicha constante. Ej.: Multipliquemos por 3 la primera fila de la matriz A del ejemplo anterior obteniendo una matriz 6

-9   C = 48 – (-45) = 93 esto es la constante 3 por el det. de A

C= 5

8

3) Si se adiciona a una línea una constante por otra paralela el determinante no se modifica. 4) El determinante de la transpuesta de una matriz es igual al determinante de la matriz original En símbolos:  A'  =  A  5) El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de las respectivas matrices factores. En símbolos: A . B =  A  .  B  6) El determinante de una constante por una matriz es igual a la constante elevada al orden de la matriz por el determinante de la matriz. En símbolos:  k A = kn  A  para todo k ≠0 , siendo n el orden de A. 7) El determinante de una matriz triangular ó de una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. En particular el determinante de la matriz identidad es igual a 1. I= 1 8) El determinante de una matriz es cero si y sólo si sus líneas paralelas (filas ó columnas) constituyen un conjunto de vectores L.D. En particular el determinante de una matriz será cero: a) Si la matriz tiene una línea nula. b) Si la matriz tiene dos líneas proporcionales. c) Si una línea de una matriz resulta de la combinación lineal de líneas paralelas. OBSERVACIÓN En general el determinante de la suma de matrices no es igual a la suma de los determinantes.

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Matriz inversa Operaciones Elementales Por Filas •

Sobre una matriz se pueden realizar tres tipos de operaciones muy importantes que preservan ciertas características de la matriz y que permiten obtener información útil a la hora de resolver ecuaciones, como veremos más adelante. Las operaciones elementales por filas son: 1) Intercambio de dos filas. 2) Multiplicación de una fila por una constante no nula. 3) Adición a una fila de una constante por otra fila. Ejemplos

 1 3 Sea A = − 1 0    − 2 4  − 2 4 1) Si en A intercambiamos la 1ª fila con la 3ª fila obtenemos B= − 1 0   1 3   1 3 2) Si en A multiplicamos la 2ª fila por 3 obtenemos C= − 3 0  − 2 4 3) Si multiplicamos la 1ª fila de A por 2 y se la sumamos a la 3ª fila obtene

 1 3 -mos D=  −1 0     0 10 Las matrices obtenidas no son iguales a la matriz A pero si son equivalentes por filas a la matriz A. Formalmente: Dos matrices se dicen equivalentes por filas si una se obtiene a partir de la otra, a través de una cantidad finita de operaciones elementales por filas. En el ejemplo anterior A ∼ B ; A∼ C ; A ∼ D Se puede demostrar que esta relación de equivalencia es transitiva, es decir Si A ∼ B y B ∼ C entonces A ∼ C Si las operaciones elementales se efectúan sobre una matriz identidad la matriz resultante recibe el nombre de matriz elemental. Diremos entonces

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que: Una matriz elemental es aquella que surge de la matriz identidad a partir de una operación elemental por filas. Aquí presentamos algunos ejemplos: Partiendo de la identidad de orden 3

1 0 0 I3 =  0 1 0    0 0 1

1 0 0 1) Intercambiando 2ª con 3ª obtenemos la matriz elemental E1= 0 0 1 0 1 0 2) Multiplicando la 2ª fila por (–2 ) obtenemos la matriz elemental

1 0 0  E2= 0 − 2 0 0 0 1  3) Sumando a la 1ª fila de la I, la 2ª fila previamente multiplicada por (–2)

1 − 2 0 obtenemos la matriz elemental E3= 0 1 0  0 0 1  Propiedad fundamental de las matrices elementales: Si se realiza una operación elemental sobre una matriz Amxn, obteniendo una matriz Cmxn y se realiza la misma operación elemental sobre la matriz identidad de orden m (I) obteniendo una matriz E de orden m entonces E . A = C. Esta propiedad servirá para justificar uno de los métodos que se usan en la obtención de lo que se conoce con el nombre de matriz inversa.

Matriz inversa Sea A una matriz cuadrada tal que existe una matriz B que cumple que A.B=B.A=I, entonces diremos que A es inversible y que B es la matriz inversa de A. La matriz inversa se simboliza A-1.

 1 1 1 / 2 − 1 / 2 -1 Ejemplo: Dada la matriz A =   su matriz inversa es A = 1 / 2 1 / 2  − 1 1     OBSERVACIÓN Si multiplicamos A por A-1 obtendremos la matriz Identidad Para que exista la matriz inversa de una matriz A, se debe cumplir que el determinante de A sea distinto de cero, en tal caso se dice que A es no singular. Proposición: Si A tiene inversa entonces su inversa es única.

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Método de Jordan (para obtener la inversa de una matriz) Se basa en utilizar en forma reiterada la propiedad fundamental de las matrices elementales. La obtención de la matriz inversa se logra aplicando operaciones elementales por filas sobre la matriz que resulta de agregar a la matriz A la matriz identidad del mismo orden. Se intenta transformar la matriz A en la identidad.

 1 1 Ejemplo: Veamos como obtener la matriz inversa de A =   − 1 1 Partimos de la matriz A a la cual le agregamos a derecha la matriz identidad

1 −1

1 1

1 0

0 1

Sumemos la primera fila a la segunda, para así obtener la primera columna de la identidad.

1 0

1 2

1 1

0 1

Multipliquemos la segunda fila por 1/2.

1 0

1 1

1 1/ 2

0 1/ 2

Multiplicamos la segunda fila por (-1) y se la sumamos a la primera fila.

1 0

1/ 2 − 1/ 2 1/ 2 1/ 2

0 1 I

A-1

Hemos obtenido así la matriz inversa de la matriz dada. Otro ejemplo: Calcular la matriz inversa de la siguiente matriz.

A=

2 1 3

2 -1 1

2 0 4

Al igual que en el caso de una matriz de orden 2, se parte de una matriz A ampliándola con la matriz identidad del mismo orden y se realizan operaciones elementales sobre toda esa matriz ampliada hasta obtener como equivalente a la matriz A a la identidad. 2 A | I= 1 3

2 -1 1

2 0 4

1 0 0

0 1 0

0 0 1

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Si se desea transformar A en la identidad el primer paso es buscar que el “a11= 2” se transforme en 1. Para lograr un 1 en el primer elemento diagonal, podemos intercambiar filas (también podríamos haber multiplicado por ½ , eso es una decisión personal )

1 2 3

-1 2 1

0 2 4

0 1 0

1 0 0

0 0 1

A este primer elemento igual a 1 se lo suele denominar elemento pivote y la fila donde el se encuentra fila pivote. Pero como queremos llegar a la identidad . . . Por debajo del 1 pivote, debe haber ceros. Para lograr que el 2 que está por debajo del pivote se transforme en cero, podemos multiplicar la primer fila por (–2) y sumarla a la fila 2.

1 0 3

-1 4 1

0 2 4

0 1 0

1 -2 0

0 0 1

De la misma manera para lograr que el 3 se transforme en cero, podemos multiplicar la primera fila por (–3) y sumarla a la fila 3.

1 0 0

-1 4 4

0 2 4

0 1 0

1 -2 -3

0 0 1

Ahora habrá que obtener la segunda columna de la identidad. Ud. puede tomar distintos caminos en este caso es más simple primero hacer 0 el a32= 4 . Para ello multiplicamos la segunda fila por (-1) y se la sumamos a la tercera fila.

1 0 0

-1 4 0

0 2 2

0 1 -1

1 -2 -1

0 0 1

El cuatro que está sobre la diagonal se puede transformar en 1 si multiplicamos la segunda fila por 1/4.

1 0 0

-1 0 0 1 1 1/2 1 /4 -2/4 0 2 -1 -1

0 0 1

A continuación deberíamos lograr que el (-1) se transforme en cero, para ello sumemos la segunda fila a la primera.

1 0 0

0 1 0

1/2 1/2 2

1/4 1/2 1/4 -2/4 -1 -1

0 0 1

Hemos logrado la segunda columna de la identidad, por lo tanto debemos obtener la tercera columna.

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¿Cómo hacemos para transformar el 2 en un 1? La única alternativa eficiente es multiplicar la tercera fila por 1/2.

1 0 0

0 1/2 1/4 1/2 0 1 1/2 1/4 -2/4 0 0 1 -1/2 -1/2 1/2

Para obtener los ceros ¿qué operación elemental usamos?.......la tercera operación elemental, que en este punto consiste en multiplicar la fila pivote por (-1/2) y sumarla a la fila que queremos modificar. Si multiplicamos la tercera fila por (-1/2) y se la sumamos a la primera fila obtenemos

1 0 0

0 1 0

0 2/4 3/4 -1/4 1/2 1/4 -2/4 0 1 -1/2 -1/2 1/2

Si multiplicamos la tercera fila por (-1/2) y se la sumamos a la segunda fila obtenemos

1 0 0

0 1 0

0 0 1

2/4 3/4 -1/4 2/4 -1/4 -1/4 -1/2 -1/2 1/2

OBSERVACIÓN Como hemos transformado A en la identidad, la matriz del lado derecho es A-1 2/4 3/4 -1/4 Conclusión:

A-1 = 2/4 -1/4 -1/4



-1/2 -1/2 1/2

Propiedades de la matriz inversa 1) La matriz inversa de la inversa de una matriz es igual a la matriz original. 2) La inversa de la transpuesta es igual a la transpuesta de la inversa. 3) La inversa de un producto de matrices inversibles es igual al producto de las inversas en orden invertido. 4) La inversa de una constante por una matriz, es igual a la inversa de la constante por la inversa de la matriz. 5) la inversa de una matriz diagonal es otra matriz diagonal cuyos elementos son los correspondientes inversos de la matriz original.

Rango de una matriz El rango de una matriz A está dado por el número máximo de líneas paralelas linealmente independientes que posee la matriz. Se simboliza r(A).

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Dado que la definición de rango habla de líneas paralelas linealmente independientes, se puede considerar el rango fila (cuando se cuenta el número máximo de filas L.I.) ó del rango columna (cuando se cuenta el número máximo de columnas L.I) en cualquier caso se demuestra que el rango fila es igual al rango columna. Por ejemplo:

1 − 2 − 8 0 Si A = 0 1 4 0  observando las filas podemos establecer que la primera   0 0  0 0 y la segunda son L.I., mientras que la tercera es nula, con lo cual el rango fila es 2. Si analizamos las columnas, la primera columna y la segunda son L.I. pero la tercera es múltiplo de la segunda y la cuarta es nula, así el rango columna es 2. Hay situaciones donde encontrar a simple vista el rango de una matriz no es sencillo, pero afortunadamente se tiene el siguiente resultado (muy importante)

Proposición: Matrices equivalentes por filas tienen el mismo rango. La idea es partir de la matriz a la cual se le quiere calcular el rango y a través de operaciones elementales encontrar una matriz equivalente por filas en donde el cálculo del rango sea simple. Esto ocurre cuando la matriz está escalonada. Una matriz se dirá escalonada por filas si : •

El primer elemento no nulo de cada fila es 1.

•

Cada fila no nula tiene más ceros a izquierda que la anterior.

•

Si hay filas nulas, éstas se ubican como últimas filas.

Como consecuencia del teorema y de la definición de matriz escalonada por filas se puede afirmar que: “El rango de una matriz es igual al número de filas no nulas de su correspondiente matriz escalonada por filas” Veamos un ejemplo

1 − 2 − 8 0  Sea A = 2 1 4 0    3 − 1 − 4 0 Realicemos operaciones elementales por filas hasta escalonar la matriz, así obtenemos la matriz B

1 − 2 − 8 0 B = 0 1 4 0    0 0 0 0  Vemos que el número de filas no nulas de la matriz escalonada B es 2 y como B es equivalente por filas a A concluimos que el r(A) = r(B)= 2

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Otro concepto que será útil más adelante es el de matriz escalonada reducida por filas. Una matriz se dirá escalonada reducida por filas si : •

El primer elemento no nulo de cada fila es 1.

•

Cada fila no nula tiene más ceros a izquierda que la anterior.

•

Todos los elementos que están por encima y por debajo de ese primer elemento no nulo son ceros.

•

Si hay filas nulas, éstas se ubican como últimas filas.

Autoevaluación Actividad 1 Calcule el determinante de las siguientes matrices

1 −1 0  A =  0 1 2   4 −3 4   2 −1 D=  0 1 

 2 −1 0  2 2 3   B = 1 3 2  C =  −1 −1 −3 1 −1 4   0 1 0   −1 4  E=   3 2

2 5 F =   −1 −3

Actividad 2 Con las matrices de la actividad 1 calcule los siguientes determinantes aplicando todas las propiedades posibles. a) 2 A b) A.B  c) F' d) D. D' e) 3 (A −- B) f) 100 (A + C)

Actividad 3 Calcule el determinante de las siguientes matrices (Aplique propiedades)

0 0 0 0 A= 0 −2  1 3

0 2 1 3  5 1  5 4

 −1 0  B=0  0 

0 4

0 0 0 0  0 −5 0   1 0 0 5 

0 0 0 2  0 1 1 3  C= 0 −2 −2 −6    1 3 5 4 

5 0 D= 7  1

0 0 2 0 1 3  0 5 1  0 5 4

Actividad 4 Si el determinante de cierta matriz A de orden 4x4 es 5; indique cuál será  el determinante de la matriz que se obtiene a partir de A realizando cada uno de los siguientes cambios: a) B se obtiene intercambiando dos filas de A. b) C se obtiene multiplicando una fila de A por 1/3. c) D se obtiene restando a la primera fila de A, la segunda fila multiplicada por 2.

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Actividad 5 Encuentre el valor de k para que el determinante de la siguiente matriz sea DISTINTO DE CERO:

 1 2 0 R =  −2 1 5   1 k 3

Actividad 6 Sabiendo que A y B son dos matrices de orden 3 con  A  = −2  B  = −3 ¿cuál es el valor del determinante de la matriz (−2 A B)?

Actividad 7 Encuentre, si existe, la inversa de cada una de las siguientes matrices.

 2 −1 A=  0 1 

 −1 4  B=   1 −4  1 −1 0  E =  0 1 2   4 −3 4 

 2 −5 C=   −1 −3

 1 5  D =  3 2   −1 0 

 2 −1 0  F = 1 0 1  1 −1 4 

Actividad 8 Dada la matriz A=

0 1 -3 3 2 4 0 2 k

¿Cuál debe ser el valor de k para que A no tenga inversa?

Actividad 9 Exprese en símbolos las propiedades de la matriz inversa.

Actividad 10 ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones, en general, son verdaderas y cuáles falsas? a) A. A = A , con Α≠ 0 ⇒ A = I b) Si B y C son inversas de A entonces B = C. c) A. A′= I d) La inversa de una matriz diagonal es otra matriz diagonal. e) La inversa de una matriz, si existe, es única. f) La inversa de la inversa es igual a la matriz original.

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g) La inversa de una matriz triangular superior es otra matriz triangular superior. h) La inversa de la transpuesta es igual a la transpuesta de la inversa.

Actividad 11 Establezca la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones a) Matrices equivalentes por filas tienen el mismo rango. b) Matrices equivalentes por filas tienen el mismo determinante.

Actividad 12 Determine el rango de cada una de las siguientes matrices escalonadas:

1 0 A= 0  0

0 −2 3 1 0 0  0 1 0  0 0 1

1 0 B= 0  0

1 2 0 1 3 8  0 0 0  0 0 0

1 − 2 − 8  0 1 4    C = 0 0 0    0 0 0  0 0 0 

Actividad 13 1 − 2 − 8  2 1 4    Sea C = 3 − 1 − 4    2 1 4  0 − 1 − 4

escalone por filas y verifique que su rango es 2.

Actividad 14 Revise en la bibliografía cuáles son las propiedades del rango de una matriz.

Actividad 15 Si A es una matriz de mxn , B otra matriz , ¿cuál de las siguientes expresiones simbólicas es verdadera y cuál es falsa? a) r(A.B) ≤ mín

{r(A), r(B)}

b) r(A) ≤ mín m, n c) A ∼ B ⇒ r(A) = r(B) d) r(A . A′ ) = r(A). r(A′ ) e) Si I es la matriz identidad de orden n, entonces r (I ) = n. f) Matrices equivalentes por filas tienen la misma inversa. g) Si se multiplica A por su inversa obtiene la matriz identidad. h) Dos matrices de distinto orden NO pueden ser equivalentes por filas. i) Matrices equivalentes por filas tiene la misma matriz reducida escalonada por filas.

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Claves de autoevaluación Actividad 1 D = 2

E = -14

F = -1

A = 2

B = 30

C = 3

Actividad 2 a) 2 A  = 16

b) A.B = 60

e) 3 (A − B) = 0

c) F' = -1

d) D. D'= 4

f) 100 (A + C) = 0

Actividad 3 A = -4 Si se realizan dos intercambios de filas se puede obtener una matriz triangular cuyo determinante es (-4) B = 4 Como se trata de una matriz diagonal su determinantes se obtiene multiplicando los elementos de la diagonal principal. C  = 0

Posee dos filas proporcionales.

D  = 0

Posee una columna nula.

Actividad 4 a) det(B) = -5 b) det(C) = -5/3 c) det(D) = 5

Actividad 5 Si dejamos indicado el cálculo del determinante de R , resulta:  R = 3 + 10 -5 k +12 Veamos para qué valor de k el determinante es igual a cero: 3 + 10 -5 k +12 = 0  k = 5 Por lo tanto el determinante de R será distinto de cero para todo k ≠ 5

Actividad 6  (−2 A B) = −48

Actividad 7 1 A−1 =  2  0

74

1 2 ;  1

B −1 no existe;

5   3  11 11  C −1 =   − 1 − 2   11 11 

D −1 no existe

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 5 2  −1 E =4 2  1  −2 −  2

 −1  −1 1  2

 1  5  3 F = −  5  − 1  5

;

4 5 8 5 1 5

1 −  5  2 −  5  1 5 

Actividad 8 k = -6

Actividad 9 1) La matriz inversa de la inversa de una matriz es igual a la matriz original. −1 En símbolos: (A−1 ) = A 2) La inversa de la transpuesta es igual a la transpuesta de la inversa. −1 ' En símbolos: (A' ) = (A−1 ) 3) La inversa de un producto de matrices inversibles es igual al producto de las inversas en orden invertido. −1 En símbolos: ( A.B ) = B −1. A−1 4) La inversa de una constante por una matriz, es igual a la inversa de la constante por la inversa de la matriz. −1 En símbolos: (kA ) = k −1. A−1 5) La inversa de una matriz diagonal es otra matriz diagonal cuyos elementos son los correspondientes inversos de la matriz original. En símbolos:

 d1 0 A=   0

0  0 d 2  0  con A ≠ 0     0  dn 

⇒

 d1−1  0 A−1 =      0

0  0   d 2 −1  0       0  d n −1 

6) El determinante de la matriz inversa es igual al recíproco del determinante de la matriz. 1 En símbolos: A−1 = A

Actividad 10 a) b) c) d) e) f) g) h)

Verdadera Verdadera Falsa Verdadera Verdadera Verdadera Verdadera Verdadera

Actividad 11 a) Verdadera b) Falsa

75

Herramientas Matriciales

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Actividad 12 r(A)= 4 ; r(B)= 2 ; r(C) = 2

1 − 2 − 8  0 1 4    Forma escalonada por filas de C =  0 0 0  Se observa que posee dos   0 0 0 0 0 0  filas no nulas por lo tanto r(C) = 2

Actividad 13

Actividad 14 PROPIEDADES DEL RANGO: 1) El rango de una matriz es menor ó igual que el menor entre el número de filas y el número de columnas, que la misma posee. En símbolos: r(Amxn) ≤ mín{m, n} 2) El rango de una constante distinta de cero por una matriz es igual al rango de la matriz. En símbolos: r( k A) = r(A) ∀ k ≠ 0 Nota: El símbolo ∀ significa “para todo” 3) El rango de A es igual al de su transpuesta. En símbolos: r( A’) = r(A) 4) El rango de la identidad de orden “n” ó de cualquier matriz no singular de orden n, es igual a n. (en tal caso se suele decir que la matriz tiene rango máximo) En símbolos: Anxn , A ≠ 0 ⇒ r(A) = n 5) El rango de la matriz nula es cero. En símbolos: r( ∅) = 0 6) El rango del producto entre dos matrices es menor ó igual al menor de los rangos de las matrices factores. En símbolos: r(AxB) ≤ mín{r(A), r(B)} 7) El rango del producto de dos matrices cuando una de ellas es no singular es igual al rango de la otra matriz. En símbolos: Sean A y B matrices tales que A ≠ 0 ⇒ Ó alternativamente: Sean A y B matrices tales que B ≠ 0 ⇒

76

r(AxB) = r(B) r(AxB) = r(A)

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Herramientas Matriciales

Actividad 15 a) Verdadera b) Verdadera c) Verdadera d) Falsa e) Verdadera f) Falsa g) Verdadera h) Verdadera i) Verdadera

Referencias bibliográficas 1. CHECA J.C.; “Algebra para economía y administración”; Capítulos 4 y 5.

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Herramientas Matriciales

Métodos de Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

MÓDULO 4

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Métodos de Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

MODULO 4: Métodos de Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Introducción Hemos llegado módulo 4. Para su comprensión se requiere el conocimiento adecuado de los temas vistos en los módulos anteriores. Con distintas técnicas se pretende lograr un único objetivo general: resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando herramientas matriciales. Los métodos de resolución que veremos son: la Regla de Cramer, el Método de la Inversa y el Método de Gauss-Jordan. Por su parte la Regla de Cramer y el método de la Inversa son sólo aplicables a sistemas de ecuaciones lineales con igual cantidad de ecuaciones que de incógnitas y para su implementación se necesitará saber calcular determinantes o matrices inversas, dependiendo del método que se decida aplicar. En el caso del Método de Gauss- Jordan partimos de un sistema de ecuaciones, lo expresamos en su forma matricial, lógicamente usamos matrices y vectores. A través de las operaciones elementales por filas y usando las propiedades de equivalencia transformamos el sistema de ecuaciones original en un sistema mucho más simple de analizar pero equivalente. En este punto se realiza el denominado análisis de rangos que permite clasificar al sistema en cuanto a su compatibilidad. En particular el método de Gauss-Jordan permite resolver sistemas de cualquier cantidad de ecuaciones y de incógnitas. Es necesario que antes de iniciar este módulo sea capaz de definir con sus propias palabras los siguientes conceptos: •

Matriz de coeficientes.

•

Vector de incógnitas

•

Vector de términos independientes.

•

Matriz ampliada.

•

Matriz reducida

Veremos que a partir de la forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales, podemos obtener determinantes y aplicar la regla de Cramer o bien usar la matriz inversa para resolver sistemas cuadrados para el mismo fin. Luego estudiaremos el método general de eliminación conocido con el nombre de método de Gauss-Jordan.

Objetivos específicos Al finalizar el módulo, usted estará en condiciones de alcanzar los siguientes objetivos: •

Resolver sistemas de ecuaciones lineales de una forma organizada y estructurada.

•

Resolver sistemas usando la Regla de Cramer, el método de la Inversa y el método de Gauss-Jordan

•

Clasificar un sistema en homogéneo y no homogéneo

•

Establecer conclusiones válidas con respecto a la compatibilidad de un sis-

81

Métodos de Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Educación Distribuida

tema. •

Distinguir entre distintos tipos de soluciones.

•

Utilizar estas técnicas en problemas de aplicación práctica.

Esquema conceptual Observe este esquema, lo ayudará a entender la relación entre los contenidos principales a tratar en este módulo como así también muestra la conexión y orden lógico de tratamiento.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES admiten

Forma Matricial

Clasificación de los sistemas

implica

induce

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN MATRICIAL

en

Homogéneos

No homogéneos

Los cuales son

REGLA DE CRAMER

MÉTODO DE LA INVERSA

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

basada en

basado en

basado en

DETERMINANTE

INVERSA

OPERACIONES ELEMENTALES

permiten aplicar

TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS

Desarrollo de los contenidos Sistemas de ecuaciones lineales Recordemos que todo sistema de ecuaciones se puede expresar en su forma matricial AX= B, donde A es la matriz de coeficientes del sistema, X el

82

Métodos de Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

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vector de incógnitas y B es el vector de términos independientes. Así un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas puede ser expresado en forma general como: a11 x1 + a12 x2 + .... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + .... + a2n xn = b2 am1 x1 + am2 x2 + .... + amn xn = bm donde xj representa la incógnita “j” para j = 1, . . . ,n aij indica el coeficiente en la ecuación “i “ que acompaña a la incógnita “xj” , para i= 1, . ,m j= 1, . . ., n bi indica el término independiente de la i-ésima ecuación. Asociado a dicho sistema como sigue: é a11 ê ê a21 ê ê  ê êa ë m1

tenemos su representación en forma matricial

a12 a22  am 2

 a1n ù ú  a2 n ú ú   úú  amn úû

é x1 ù é b1 ù ê ú ê ú ê x2 ú êb ú ê ú = ê 2ú êú êú ê ú ê ú êx ú êb ú ë nû ë mû

o en notación abreviada AX=B Una solución del sistema es un conjunto de valores de x1 , x2 , . . . xn que satisface simultáneamente todas las ecuaciones. Dos sistemas se dirán equivalentes cuando tengan exactamente las mismas soluciones. Antes de desarrollar los métodos de resolución, recordemos como se clasifican los sistemas de ecuaciones lineales:

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ACUERDO AL TIPO DE SOLUCIÓN: DETERMINADO (Solución única)

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

COMPATIBLE (Cuando tiene solución) INDETERMINADO (infinitas soluciones) INCOMPATIBLE (Cuando no tiene solución)

OBSERVACIÓN Los primeros dos métodos de resolución matricial que veremos sólo se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones lineales con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas.

83

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Regla de Cramer Cuando la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales tiene determinante distinto de cero es posible encontrar el valor de cada una de las incógnitas a través del cálculo de un cociente de determinantes, esto es lo que se conoce como Regla de Cramer. Consideremos la notación anterior, si nuestro objetivo es obtener la j-esima incógnita, esto es xj y siendo Axj la matriz que surge de reemplazar la columna j de la matriz de coeficientes por el vector de términos independientes, entonces:

xj =

A xj A

Ejemplo: Resolvamos por la Regla de Cramer el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x + y = 8  − x + y = 2 En este caso la forma matricial (A X = B) del sistema es:

 1  −1 

1   x  8  = 1  y   2 

Calculemos el determinante de la matriz de coeficientes del sistema: A= 1 − (−1) = 2 Como este determinante es distinto de cero, la Regla de Cramer es aplicable. Para obtener el valor de cada una de las incógnitas, realizamos los siguientes cálculos: 8 1 A 2 1 6 x = x ⇒ x= ⇒ x= ⇒ x=3 A 2 2

y =

Ay A

⇒

1 8 −1 2 y= 2

⇒

y=

10 ⇒ 2

y =5

3  5 

Así el vector solución del sistema es X =  

Método de la inversa Si AX = B es un sistema de ecuaciones lineales tal que A es de orden n e inversible entonces X = A-1B. Observar: este método es aplicable únicamente cuando existe la matriz inversa. Ejemplo: Resolvamos por el método de la inversa el sistema de ecuaciones lineales planteado en el ejemplo anterior:

x + y = 8  − x + y = 2

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 1  −1

Siendo la matriz de coeficientes del sistema A = 

1 y recordando 1

que en el módulo 3 calculamos la inversa de esta matriz, la cual resultó ser:

1 / 2 − 1 / 2 A-1 =   1 / 2 1 / 2  para resolver el sistema bastará con realizar el producto matricial entre la inversa de A y el vector de términos independientes. El cálculo es el siguiente:

(1/ 2 )8 + (−1/ 2 )2  1/ 2 − 1/ 2  8  3  X= ⋅  ⇒ X =   ⇒X=   1/ 2 1/ 2   2  5  (1/ 2 )8 + (1/ 2 )2  Ahora veamos los conceptos preliminares a la aplicación del método de Gauss-Jordan. La matriz ampliada del sistema surge de agregar el vector de términos independientes a la matriz de coeficientes del sistema. La denotaremos A|B . En general

é a11 ê êa A B = êê 21 ê  êa ëê m1

a12 a22  am 2

 a1n b1 ù ú  a2 n b2 úú    úú  amn bm úûú

Teorema de Rouche-Frobenius: Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas será compatible si y sólo si el rango de la matriz de coeficientes del sistema es igual al rango de la matriz ampliada correspondiente. El siguiente teorema nos da la condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible. Corolario: Si un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es compatible este tendrá solución única si y sólo si el rango de la matriz de coeficientes del sistema es igual al número de incógnitas. Estas conclusiones se pueden esquematizar como sigue:

DETERMINADO r(A) = r(A|B) = n

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

COMPATIBLE r(A) = r(A|B) INDETERMINADO r(A) = r(A|B) < n INCOMPATIBLE r(A) < r(A|B)

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Método de Gauss-Jordan Partiendo de la matriz ampliada y mediante operaciones elementales por filas sobre dicha matriz, se busca la matriz escalonada reducida de A, con ello se obtiene la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones equivalente al original pero cuya resolución es prácticamente inmediata y cuya caracterización en cuanto al tipo de soluciones resulta de aplicar el Teorema de Rouche-Frobenius. Veamos como aplicar el método de Gauss-Jordan en un problema de índole económico. EJEMPLO 1 En cierta oficina de gobierno se nos informa que existe una partida de $40.000que se debe destinar totalmente a tres tipos de subsidios para familias de bajos ingresos cuyos montos son de $100, $200 y $300, respectivamente. Dada la finalidad social de la iniciativa, se impone que el número de subsidios de $100 representen un tercio de la suma del número de subsidios de $200 y $300. Finalmente se establece que es indispensable que se otorguen en total 200 subsidios ¿cuántos subsidios de cada tipo se deberán otorgar? Siendo x = cantidad de subsidios de $100 a otorgar y = cantidad de subsidios de $200 a otorgar z = cantidad de subsidios de $300 a otorgar El sistema resultante está dado por

100 x + 200 y + 300 z = 40.000 x = 1/3 (y + z) x + y + z = 200

Efectuamos el correspondiente pasaje de términos. Se obtiene el sistema ordenado: 100 x + 200 y + 300 z = 40.000 3x– y– z=0 x + y + z = 200 Partimos de la matriz ampliada del sistema y operamos por filas hasta obtener la matriz escalonada reducida de A. 100 3 1

200 300 40.000 -1 -1 0 1 1 200

1 0 0

0 1 0

-1 2 4

0 200 200

1 3 1

2 -1 1

3 -1 1

400 0 200

1 0 0

0 1 0

-1 2 1

0 200 50

1 0 0

2 3 -7 -10 -1 -2

400 -1200 -200

1 0 0

0 1 0

0 0 1

50 100 50

1 0 0

2 3 1 2 -7 -10

400 200 -1200

r(A) = 3 r(A/B) = 3

Como r(A) = r(AB) = n el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO

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50 SOLUCIÓN: x = 50; y = 100 ; z = 50 ó X = 100 50 Ahora bien, en la resolución de sistemas de ecuaciones se puede llegar a distintas estructuras de matrices reducidas, por ejemplo EJEMPLO 2 Sea el sistema 100 x + 200 y + 300 z = 40.000 x + y + z = 200 Planteando la matriz ampliada y a través de operaciones elementales por filas se llega a la siguiente matriz ampliada 100 1

200 300 40.000 1 1 200

1 1

2 1

3 1

400 200

1 0

2 -1

3 -2

400 -200

1 0

0 1

-1 2

0 200

Partimos de la matriz ampliada del sistema y operamos por hasta obtener la matriz escalonada reducida de A.

r(A) = 2 r(A/B) = 2 < n = 3

sistema compatible indeterminado

EJEMPLO 3

2 x + 3 y + z + w =100 x + y + z = 30 x + 2 y + w = 50

2 1 1

3 1 2

1 1 0

1 0 1

100 30 50

1 1 2

1 2 3

1 0 1

0 1 1

30 50 100

1 0 0

1 1 0

1 0 -1 1 0 0

30 20 20

1 0 0

0 1 0

2 -1 -1 1 0 0

10 20 20

r(A) = 2 r(A/B) = 3 Como r(A) < r(AB) el sistema es INCOMPATIBLE Sistema homogéneo: es aquel en el cual el vector de términos independientes es el vector nulo.

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En símbolos AX = φ Los sistemas homogéneos son siempre compatibles. ¿Por qué?. En caso de ser compatibles determinados la única solución es el vector nulo. Esta se denomina solución trivial. En caso de ser compatibles indeterminados, ¿tienen la solución trivial? Comparación final: Sin temor a equivocarnos, dado lo restrictivo de la regla de Cramer y el método de la inversa, podemos establecer que el método de mayor importancia, por su practicidad y su uso sin restricciones, es el Método de Gauss-Jordan.

Autoevaluación Actividad 1 En los siguientes sistemas: a) Encuentre la forma matricial del sistema. Identifique la matriz de coeficientes el vector de incógnitas y el vector de términos independientes. b) Resuelva ambos usando la Regla de Cramer y el Método de la Inversa. A)

–2x+y–5=0 2x–4y=–1

B)

– x+y + z =0 2x–2y=–1 3x + z =4

Actividad 2 Si es posible la aplicación del método de la Inversa o de la Regla de Cramer, ¿qué se puede afirmar sobre la compatibilidad del sistema de ecuaciones?

Actividad 3 Siendo la forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales

3 4   x   4  5 − 2   y  =  −1      Aplique la regla de Cramer, para obtener la solución del sistema.

Actividad 4 Plantee y resuelva el siguiente problema utilizando la Regla de Cramer y el Método de la Matriz Inversa. Una compañía produce tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras y sillones reclinables. Cada uno requiere de madera, plástico y aluminio. Los requerimientos técnicos de producción son los siguientes: Cada silla utiliza, 1 unidad de madera, 1 unidad de plástico y 2 unidades de aluminio. Cada mecedora utiliza, 1 unidad de madera, 1 unidad de plástico y 3 unidades de aluminio.

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Por último cada sillón utiliza, 1 unidad de madera, 2 unidades de plástico y 5 unidades de aluminio. La compañía tiene en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1500 unidades de aluminio. Si se quiere utilizar todos los insumos ¿cuántas sillas, mecedoras y sillones debe fabricar?

Actividad 5 Encuentre la matriz ampliada del siguiente sistema de ecuaciones lineales y resuelva por el método de Gauss-Jordan.

– x+y + z =0 2x–2y=–1 3x + z =4

Actividad 6 Seleccione la alternativa correcta. Dado un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas, AX=B , tal que r(A) = r(A|B) , entonces el sistema es: a) compatible determinado o compatible indeterminado. b) no se puede contestar por falta de datos. c) compatible determinado. d) compatible indeterminado. e) incompatible.

Actividad 7 Seleccione la alternativa correcta. En un sistema de ecuaciones lineales del tipo AX= B a) b) c) d) e)

Si Si Si Si Si

r(A)< r(A|B) el sistema es incompatible. r(A)= r(A|B) el sistema es compatible determinado. r(A)= r(A|B) el sistema es incompatible. r(A)< r(A|B) el sistema es compatible indeterminado. r(A)< r(A|B) el sistema es compatible determinado.

Actividad 8 En tres sistemas de ecuaciones lineales, se aplicó el método de GaussJordan a las correspondientes matrices ampliadas de cada sistema, obteniendo las matrices equivalentes por filas que figuran a continuación:

é1 ê ê0 A) ê ê0 ê ê0 ëê

0 1 0 0

0 0 1 0

1ù ú -1úú 0 úú 0 úûú

é1 ê ê0 B) êê ê0 ê0 ëê

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0ù ú 1 -1úú 1 0 úú 0 0 úûú

é1 ê ê0 C) ê ê0 ê ê0 ëê

0 1 0 0

2ù ú 0úú 1úú 0úûú

En cada caso indique: a) el número de ecuaciones y de incógnitas que tenía el sistema original, b) realice el correspondiente análisis de rangos, c) clasifique al sistema , d) indique cuál es la solución, cuando exista.

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Actividad 9 Seleccione la alternativa correcta.

Sea

1 0 AB =  0  0

0 −2 0  1 3 0  0 0 0  0 0 0

la matriz ampliada reducida de un sistema de ecuaciones lineales, se puede afirmar que el sistema: a) Es compatible determinado con única solución la trivial. b) Es compatible determinado con única solución (2, -3, 0) c) Es compatible indeterminado con solución (0, 0, z) , para todo z real. d) Es compatible indeterminado con solución (2, -3, z) , para todo z real. e) Es compatible indeterminado con solución (2z, -3z, z) , para todo z real.

Actividad 10 Seleccione la alternativa correcta. Si la siguiente es la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales luego de haber efectuado algunas operaciones elementales por fila:

4  0 A/ B =  0 0 

1 1 2 1 0 1 0 0

  5  0  0  1

Podemos establecer que: a) El sistema es incompatible pues r(A) >r(A/B) b) El sistema es compatible determinado pues r(A) = r(A/B)= número de ecuaciones. c) El sistema es compatible indeterminado pues r(A) = r(A/B)< número de ecuaciones. d) El sistema es compatible determinado pues r(A) = r(A/B)= número de incógnitas. e) El sistema es compatible indeterminado pues r(A) = r(A/B)< número de incógnitas.

Actividad 11 Indique para qué valor/es de k el siguiente sistema es incompatible.

2 x + 4 y = k   x + 2y = 4 a) únicamente para k= 4 b) únicamente para k= 8

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c) para todo k ≠ 4 d) para ningún valor de k e) para todo k ≠ 8

Actividad 12 a) ¿Cuándo se dice que un sistema es homogéneo y cual es su principal característica? b) Revise en el módulo 2 en qué tema fue necesaria la resolución de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos.

Actividad 13 Dado un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas del tipo AX=∅, tal que r(A) < n ¿qué se puede concluir con respecto a la compatibilidad del sistema?

Actividad 14 Luego de realizar algunas operaciones elementales por filas sobre la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales se obtuvo:

A╎B =

1 0 0

0 1 0

2╎ 0 1╎ 2 k╎ 0

establezca como es este sistema si k es cero ó k es distinto de cero.

Actividad 15 Sea AX= B un sistema de ecuaciones lineales compatible. Considere los vectores columnas de A: (A1, A2,…. An) y también el vector B. En este contexto, establezca si el conjunto de vectores: { A1, A2,…. An , B} constituyen un conjunto de vectores Linealmente independientes o Linealmente dependientes.

Claves de autoevaluación Actividad 1 a) Forma matricial

1   x   5  −2 A)     =   B)  2 − 4   y   −1

 −1 1 1   x   0   2 −2 0   y  =  −1      0 1   z   4   3

b) Solución a los sistemas

A)

 x   −19 6   y =  − 4 3     

 x  3 2  B)  y  =  2   z   −1 2 

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Actividad 2 Cuando el determinante de la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales es distinto de cero se puede obtener la única solución a través del método de la Inversa o de la Regla de Cramer, por lo tanto en estos casos el sistema será compatible determinado.

Actividad 3 En primer lugar calculemos el determinante de la matriz de coeficientes

A=

3 4 = −26 5 −2

Luego para obtener cada una de las incógnitas efectuamos el cociente entre el determinante la matriz que surge de reemplazar la columna asociada a la incógnita que se desea calcular por el vector de términos independientes y el determinantes de la matriz de coeficientes del sistema.

4 4 −1 − 2 −4 2 = = x= ; −26 13 A Siendo entonces la solución del sistema:

y=

 x   2 /13   y  =  23/ 26     

Actividad 4 Planteo: x: cantidad de sillas a fabricar y: cantidad de mecedoras a fabricar z: cantidad de sillones a fabricar

 x + y + z = 400   x + y + 2 z = 600 2 x + 3 y + 5 z = 1500  Rta: x = 100 ; y =100 ; z = 200

Actividad 5 −1 1 1 0    A B =  2 −2 0 −1  3 0 1 4 

Actividad 6 Opción a)

Actividad 7 Opción a)

92

3 4 5 − 1 −23 23 = = −26 26 A

 x  3 2      Solución:  y  =  2   z   −1 2 

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Actividad 8 A) El sistema original tenía 4 ecuaciones y 3 incógnitas. Dado que r(A)= r(A/B) = 3 = número de incógnitas, el sistema es compatible determinado. La solución es x = 1; y = -1, z = 0 B) El sistema original tenía 4 ecuaciones y 4 incógnitas. Dado que r(A)= r(A/B) = 3 < número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado. La solución general se puede expresar x = -w ; y = -1-w ; z = -w con w cualquier número real. C) El sistema original tenía 4 ecuaciones y 2 incógnitas. Dado que r(A) = 2 < r(A/B) = 3 el sistema es incompatible. No existe solución.

Actividad 9 Opción e) Se puede afirmar que el sistema es compatible indeterminado con solución (2z, -3z, z) , para todo z real.

Actividad 10 Opción d) El sistema es compatible determinado pues r(A) = r(A/B)= número de incógnitas.

Actividad 11 Opción e)

Actividad 12 a) Un sistema es homogéneo cuando el vector de términos independientes es el vector nulo. Los sistemas homogéneos son siempre compatibles. b) Se está en presencia de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos al plantear la definición formal de independencia y dependencia lineal de vectores.

Actividad 13 Si se tiene un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas del tipo AX=∅, tal que r(A) < n como r(A) =r(A|B) por ser el sistema homogéneo y en este caso particular menor al número de incógnitas, se puede concluir que el sistema es compatible indeterminado

Actividad 14 Si k = 0 el sistema es compatible indeterminado. Si k ≠ 0 el sistema es compatible determinado.

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Actividad 15 Dado que el sistema AX= B posee solución, existen escalares: x1, x2, …xn tales que B se puede expresar como combinación lineal de (A1, A2,…. An), por lo tanto si el conjunto de vectores: { A1, A2,…, An , B} constituyen un conjunto de vectores Linealmente dependientes.

Referencias bibliográficas 1. CHECA J.C.; “Algebra para economía y administración”; Ed.;Capítulo 6.

Bibliografía ampliatoria: 1. ANTON H. ; ”Introducción al Algebra Lineal” ; Ed. Limusa; 1998. 2. AYRE F. “Matrices- Teoría y Problemas”. Ed. Mc Graw Hill. 1969. 3. GROSSMAN S. I. “Algebra Lineal” . Ed. Mc Graw Hill.

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