1 - Aritmetica 3RO__IIB
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Aritmética
,
La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo ! " más tarde reformulada por #ermelo. El concepto de conjunto es intuitivo " se podría definir como una $colección de objetos$% así& se puede 'ablar de un conjunto de personas& ciudades& gafas& lapiceros o del conjunto de objetos que 'a" en un momento dado encima de una mesa. (n conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto.
CONJU CON JUNT NTOS OS
FECHA _____/______/ 2009
INTRODUCCION INTROD UCCION A CONJUNTOS CONJ UNTOS ACERTIJO
Curiosa Partida Tres jugadores convienen en que el que pierda una partida partida doblara doblara el dinero dinero que en ese momento momento tengan los otros dos. Después Después de haber perdido todos ellos una partida, cada jugador se retirara con 200 soles. ¿Cuánto dinero tenan al principio principio del juego!
RECONOCIENDO LOS CONJUNTOS MEDIANTE TUS HABILIDADES: ".
¿Cuánto ¿Cuántos s compa#er compa#eros os $ compa#e compa#eras ras de clase clase tiene usted! %%%%%%%%%%%%%%% 2. &n un part partid ido o de '(tb '(tbol ol norm normal al,, ¿cua ¿cuant ntos os jugadores, como má)imo, se encuentran en el campo de juego durante su desarrollo!..................................................
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*.
+a$ dos juec jueces es de lnea lnea $ un árbitr árbitro. o. ¿cuant ¿cuantas as personas en total intervienen en el partido de '(tbol!...................................................... -. ¿Cuán ¿Cuántos tos n(m n(mer eros os ha$ ha$ a aqu! aqu! ", -, /, 20 %%%%%%... /. ¿Cuánt ¿Cuántos os n(mero n(meros s naturale naturales s ha$ aqu! aqu! 20, 2", 22, 2*, *0 %%%%%%%%% . ¿Cuánt ¿Cuántos os n(mero n(meros s naturale naturales s ha$ aqu! aqu! 20, 2", 22,%*0 %%%%%%.. 1. ¿Cuántos ¿Cuántos n(meros n(meros naturales naturales impares impares ha$ aqu! aqu! ", 2, *,%,"2" %%%%%%%%%.. . ¿Cuánt ¿Cuántos os n(meros n(meros natur naturales ales pares pares ha$ aqu! aqu! "0","02."0*,%20- %%%%%. 3. ¿Cuán ¿Cuántos tos n(mer n(meros os natural naturales es ha$ aqu! aqu! 2, -, , ,%,20 %%%%. "0. ¿Cuántos ¿Cuántos n(meros n(meros naturales naturales ha$ aqu! *, /, 1, 3,%/"%%%%%%
NOCION DE CONJUNTO &s una colecci4n o agrupaci4n de objetos abstractos $ concretos que pueden o no tener una caracterstica com(n. &jemplos ". 2. *. -. /.
los n(me n(meros ros impa impares res meno menores res que que 1 %%%%%% %%%%%%%%% %%%%%% %%%%%% %%%%%% %%%%%% %%% %%%%%% %%%%%%%%% %%%%%% %%%%%% %%%%%% %%%%%% %%% %%%%%% %%%%%%%%% %%%%%% %%%%%% %%%%%% %%%%%% %%% %%%%%% %%%%%%%%% %%%%%% %%%%%% %%%%%% %%%%%% %%%
5ara representar por smbolos los conjuntos, conjuntos, los elem elemen ento tos s $ el hech hecho o de que que un elem elemen ento to
2 + * 2 ) ' & l e % $ # a m r A e a " a l ! a l e a i e m y a r a u c a n u a ( – 4 6 2 – 2 6 2 o i c r e m o C n ó r i J Á N A M A C e c y r B
Aritmética
2 pertene6ca a un conjunto tendremos en cuenta lo siguiente i.
ii.
b:
los co nj nju nt ntos se d es esignan con le tr tr as as ma$(sculas $ los elementos que 'orman el conj conjun unto to se desi design gnan an con con letr letras as min(sc min(scula ulas s $ se encier encierran ran entre entre llaves llaves,, separados por comas en todos los casos donde sea posible que esto ocurre cuando el conjunto esta e)presado por e)tensi4n. 7n conjunto esta e)presado por comp compre rens nsi4 i4n n si se da una propi propieda edad d caracterstica de todos $ cada uno de los elementos
denomina as al Dia!ra"a d% %$$'Eu#%r&' ?e denomina uso de 'iguras geométricas geométricas simples $ cerradas cerradas dentro de los cuales se ubican los elementos que pertenecen al conjunto $ 'uera los que no pertenecen &jemplo ".@Aepresentemos grá'icamente a los conjuntos 8 9 {1,2,3,4} $ > 9 { 3,4,5,6,7}
RELACIÓN DE PERTENENCIA ( ∈ )
) , 2 6 + 0 o n o & l e % $ n ó i n 3 a l o i a R e o a # o c l a ( + J ) J a r a u 1 a n a Y 0 e l l a C / A . E R E ! E C Y R B
&n todo conjunto e)isten elementos que pertenecen $ elementos que no pertenecen as tenemos &jemplos Dado el conjunto 8 9 { 0,",*, /} se observa 0 %8 "%8 2 %. 8 {1} %8
/%8 { 3,5} %. 8 1%8 -%8
REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN GRAICA DE UN CONJUNTO 7n conjunto también se puede representar mediante 'igura o esquemas. &sta representaci4n se utili6a para representar dos o más conjuntos, poniendo de mani'iesto la relaci4n e)istente entre ellos. Tenemos Tenemos las siguiente s representaciones a: Dia!ra"as #i$%a#%s&' &s la representaci4n de dos o más conjuntos utili6ando segmentos de recta. &ste diagrama se utili6a principalmente para representar la inclusi4n inclusi4n entre conjuntos, que se e)ponen en el proceso
c:
Dia!ra"a Dia!ra"a d% L%is Carro#&' &stos diagramas son similar similares es a los de Benn Benn , en este caso tiene tienen n como como pre' pre'ere erenc ncia ia la 'orm 'ormac aci4 i4n n de rectángulos rectángulos divididos por segmentos segmentos que son apropiados para representar conjuntos disjuntos que que no tien tienen en elem elemen ento tos s en com( com(n: n: o conjuntos con sus respectivos complementos. &stá considerado dentro del siguiente diagrama
Consideremos los conjuntos 8 9 ; 9 ;5eruanos= C 9 ;8rgentinos= D 9 ;>onaerenses= 7 9 ;?udamericanos= ?u representaci4n grá'ica será
DETERMINACION DE UN CONJUNTO Determ Determinar inar un conjunt conjunto o es indica indicarr o se#alar se#alar en 'orma precisa, los elementos que lo con'orman. 7n conjunto conjunto se puede determinar determinar por e)tensi4n $ por comprensi4n.
a) D%t%r"i$a*i+$ ,or %-t%$si+$&' 7n conjunto se dete determ rmin ina a por por e)te e)tens nsi4n i4n o por el modo modo Colegio BRYCE – !eregal
Aritmética e)plcito o enumerativo, individualmente sus elementos. &jemplo
nombrando
5 "3. D9 { +2H} 2 0. & 9 { ",*,/,1,3,""}
Determinar por e)tensi4n el nombre de / provincias del departamento de 8requipa 8 9 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%... %%%%%%%%%%%%%%%%%%%... Determinar, ahora el conjunto de n(meros primos dedos ci'ras. > 9 %%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
&n cada uno de los siguientes ejercicios decir si el elemento dado pertenece o no al conjunto 2". m))..* 22. 1))..*
*+, -- es letra de la palabra /ernando0 *+,-- es una de las 23 primeras letras de nuestro abecedario0 2*. 4 ).. 5 5 + ,-- es un numero natural0 2-. tr6bol )).7 7+ ,-- es palabra grave0 2/. 3&3289 )...: :+,-- es un numero entero0
.) D%t%r"i$a*i+$ ,or *o",r%$si+$ o /or"a *o$stru*ti0a&' ". ?i 7n conjunto se determina por comprensi4n o por el medio implcito o descriptivo, enunciando la propiedad com(n que caracteri6a a todos los elementos del conjunto considerado.
&jemplos 5ara el caso de > 9 { − 3,−2,−1,0,1,2} es por e)tensi4n 8hora por comprensi4n > 9 { x ∈ Ζ / − 4 < x ≤ 2}
AHORA RESUELVE EN TU HOGAR 8
= { ) E ) ∈ I ∧ " < ) < 0}
+allar
N(P(A)) 8. >. C. D. &.
"/ " 2
2. Dado el conjunto
PRACTICANDO EN CLASE Determinar por e)tensi4n $ luego por comprensi4n cada uno de los siguientes conjuntos ". 2. *. -. /. . 1. . 3. "0.
. C. D. &. /. ?i
-2 "/ 1 */ -"
2 + * 2 ) ' & l e % $ # a m r A e a " a l ! a l e a i e m y a r a u c a n u a ( – 4 6 2 – 2 6 2 o i c r e m o C n ó r i J Á N A M A C e c y r B
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4 7 = { ) E ) ∈ I ∧ −" < ) < } 8
= { $ E $ ∈ I ∧ * < $ < 1}
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+allar 8C
8. >. C. D. &.
;2L *L 1= ;2= ;*= ;-= g
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS ACERTIJO 2 ##%$as3 2 "%dio ##%$as 4 2 0a*5as
. ?i
) +" = E ) ∈N∧1 < ) < 3 2 n >= En ∈N ∧ - < n < 2
8
) , 2 6 + 0 o n o & l e % $ n ó i n 3 a l o i a R e o a # o c l a ( + J ) J a r a u 1 a n a Y 0 e l l a C / A . E R E ! E C Y R B
+allar
8. >. C. D. &.
Tres hermanos recibieron 2" botellas iguales de una partida de vino, de las cuales 1 estaban llenas, otras 1 medio llenas $ las restantes 1 vacas. ¿Como repartirse las 2" botellas de modo que cada uno reciba el mismo numero de botellas $ la misma cantidad de vino sin destapar las botellas!
n 8)> :
NUMERO CARDINAL DE UN CONJUNTO
" 2 * 0
&l cardinal del conjunto 8, denotado por n8:, indica el n(mero de elementos que posee el conjunto 8. &jemplo
8 = { *L-L{ *} L0} Ondica cual es verdadero
1. ?i
Ondica el n(mero de elementos de los siguientes conjuntos
8. { *L -} ∈ 8 >. { -L 0} ∈ 8 C. { *} ∉ 8 D. - ∉ 8 &. { }
⊂8
P 8 9 ;aLbL;bLc==
→ n8: 9 *
P > 9 ;*L-L;/=L;*L-==
→ n>: 9 -
P C 9 ;pLaLrLaLdLa=
→ nC: 9 -
P D 9 ;)E)
∈ N ∧- , determinar a: &l numero de subconjuntos de >. b: &l numero de subconjuntos propios de >. ?oluci4n P +allamos el n(mero de elementos de 8. 8 tiene "02- 9 2"0 subconjuntos → n8: 9 "0 : 9 "0 Q * 9 1 a:
Numero de subconjuntos de > 219 "2 subconjuntos
b:
Numero de subconjuntos propios de > 21@ " 9 "21 subconjuntos propios
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>
⊃8
es subconjunto de si mismo. ∀ 8 8 ⊂ 8 c. &l conjunto vaco esta incluido en todo conjunto d. ?i un conjunto tiene JnK elementos entonces 2n subconjuntos e. ?i un conjunto tiene JnK elementos entonces 2n @" subconjuntos propios.
7&' I!ua#dad d% Co$8u$tos: ?e dice que dos conjuntos son iguales, si estos tienen los mismos elementos. Notaci4n matemática
↔ 8⊂>:∧>⊂ 8:
&jemplo ?ean los conjuntos 8 9 ;aLeLiLoLu= > 9 ;)E) es una vocal= tienen los mismos elementos. ∴ 8 9 >
?oluci4n
unitarios
4
8 9 >:
Determinar a: ?ubconjuntos de 8 b: ?ubconjuntos propios de 8
;ació
8>
b. Todo conjunto está incluido en si mismo o
8 ⊂ 8 L ∀ 8
a:
(
9&' Co$8u$tos Dis8u$tos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes. &jemplo ?ean los conjuntos. 8 9 ; )E) es numero par =L > 9 ; )E) es un numero impar = no tienen los mismos elementos por lo tanto son disjuntos.
&' Co$8u$to Pot%$*ia &l conjunto potencia de 8, denotado por 58: o 5ot8:, es el conjunto 'ormado por todos los subconjuntos de 8. &jemplo Dado el conjunto 8 9 ;aLbLc= . C. D. &.
8 $ > son equipolentes. D = { *,-,1,3} C = {",2,/} C $ D no son equipotentes.
PRACTICANDO EN CLASE
De un grupo de "00 alumnos -3 no llevan el curso de matemática $ /* no llevan 'iloso'a. ?i 21 alumnos no llevan ambos cursos, ¿Cuántos llevan e)actamente uno de tales cursos! 2 * -/ /2 -
1.
?e dispone de / tipos de vinos los cuales se combinan para obtener sabores di'erentes a los que $a se tienen.¿Cuantos nuevos sabores di'erentes se podran obtener!. Considerar que al combinar varios sabores distintos se usaron cantidades iguales de cada sabor 2/ 2 *2. "3 "/
.
De 12 alumnos de un instituto, * estudian en la ma#ana, */ en la tarde $ 2/ en la noche. ¿Cuántos alumnos estudian en solo dos turnos, si solo uno, estudia en los tres turnos! 20 22 22 *0
3.
De /0 estudiantes de un sal4nL *0 tienen libro de aritmética, -2 tienen libro de álgebra. ¿Cuántos tienen ambos libros, si de ellos no tienen ninguno de estos libros! "0 "/ "
8 9 ;a2 R 3L b R 2= > 9 ;@3L "0= ?i se sabe que 89 > Calcular a R b 3 @3 "0 @"0 ""
2. ?i los conjuntos C $ D son iguales C 9 ;2) R "L 2-2= D 9 ;*$ Q "L "02/= +allar la suma de elementos de & 9 ;nEn N ∧ $ M n M )=
∈
8. >. C. D. &.
2* 2*0 22 *"
*. ?i 8 9 ;2L *L *L *= > 9 ;*L )L )L )= 8 9 > +allar N 9 8 ∪ >
8. >. C. D.
;*L 2= ;2= ;*= ;"=
" 2 * / 1
.
". Dados
8. >. C. D. &.
∈ ∈ ∈
8 9 ; ) R " :E) IR ∧ ) M *0= > 9 ;) es par E ) 8= C 9 ;) Q n2E) >= Calcule el n(mero de elemento de C 8. " >. 2 C. D. " &. *
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Aritmética
)
2 c:. 1/ "2 d:. 2 "0. &ntre la in'ormaci4n sobre 200 turistas se sabe e:. 3 que - eran norteamericanos, eran . &n una 'iesta haban "20 personas *0 hombres europeos, 30 eran ingenieros, de estos (ltimos que no les gustaba JsalsaK, /0 eran mujeres que *0 eran norteamericanos $ * europeos. gustaban de esa m(sica. ?i el n(mero de ¿Cuántos turistas de los que no son europeos hombres que gustan de JsalsaK es la tercera no eran norteamericanos ni ingenieros! parte de las mujeres que no gustan de esta 2/ m(sica ¿8 cuantas les gusta la m(sica salsa! 2 a:. */ 21 b:. -/ 2 c:. /0 23 d:. 0 e:. 12
AHORA RESUELVE EN TU HOGAR
". De una grupo de 0 personas 21 lean la revista 8, pero no lean la revista >, 2 lean la revista > pero no la CL "3 lean la C pero no la 8 2 de las tres revistas mencionadas ¿Cuántos pre'eran otras revistas! a:. 3 b:. c:. * d:. e:. 2. De un total de -0 personas, "-0 hablan ingles, 30 hablan 'rancés $ 20 hablan solo castellano ¿Cuántos hablan solo 'rancés! a:. /0 b:. 0. c:. 10 d:. 0 e:. "-0 *. &n un sal4n de clase de 0 alumnos, se sabe que /* estudian 8lgebra $ - estudian 8ritmética. ¿Cuántos estudian ambos cursos! a:. "03 b:. * c:. /3 d:. 33 e :. N .8. -.
De un grupo de -00 postulantes se sabe que "0 no postulan a la 7NO, 2"0 no postulantes a la Cat4lica $ 0 no postulan a ninguna de estas dos universidades ¿Cuántos postulan a estas dos universidades! a:. 30 b:. "00 c: . ""0 d:. "20 e:. "*0
/.
8 una 'iesta asisten "00 parejasL /0 hombres usan anteojos ha$ tantas personas con anteojos, como mujeres que no los usan. ¿Cuántas mujeres no usan anteojos! a:. / b:. *
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1.
&n una O.&. "3 gustan de matemática, "1 gustan de geogra'a, "" gustan de historia, "2 de matemática $ geogra'a, 1 de historia $ matemáticaL / de geogra'a e historia $ 2 ¿Cuántos llevan historia $ no matemática! a:. " b:. * c:. d:. 2 e :. N .8 .
2 + * 2 ) ' & l e % $ # a m r A e . &n la edici4n de un libro han resultado "20 libros a " con 'allas, tales como libros con 'allas de l a papelL *2 libros con 'allas de impresi4n, -0 libros ! a con 'allas de compaginaci4nL / tienen solo 'allas l e de papel e impresi4nL "1 libros tienen 'allas impresi4n $ compaginaci4n pero no de papelL "3 a i tienen 'allas de compaginaci4n $ papel solamenteL - libros tienen * 'allas. ¿Cuántas e m tienen 'allas de compaginaci4n por lo menos! y a a:. *3 r b:. 20 a u c:. / c d:. *2 a n e:. 3 u a ( – 3. &n una 7niversidad se tienen / jugadores de los cuales * juegan '(tbolL "/ básquetbolL 20 4 6 béisbol $ * juegan los tres deportes. ¿Cuántos 2 – jugadores juegan solo dos de los tres deporte s! 2 6 a:. * 2 b:. o i c c:. 3 r e d:. / m o e:. "0 C n "0. &n un colegio "00 alumnos han rendido * ó r i e)ámenes. De ellos -0 aprobaron el primeroL *3 J aprobaron el segundo $ - el tercer e)amen. Á 8probaron "0 los tres e)ámenesL 2" no N A aprobaron e)amenL 3 aprobaron los dos M primeros pero no el terceroL "3 no aprobaron los A C 2 primeros e)ámenes, pero si el tercero. Calcular e c cuantos aprobaron por lo menos 2 e)ámenes. y r a:. 23 B
b:. c:. d:. e :.
" *2 " N .8 .
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+
FECHA _____/______/ 2009 CLASES DE CONJUNTOS ACERTIJO La Torr% %$ %# Cuadrado
) , 2 6 + 0 o n o & l e % $ n ó i n 3 a l o i a R e o a # o c l a ( + J ) J a r a u 1 a n a Y 0 e l l a C / A . E R E ! E C Y R B
Sorme una matri6 cuadrada de * ) *, usando los n(meros del " al 3 sin repetirlos, tal que una torre de ajedre6 puede recorrer pasando de 'orma continua de cada digito a su siguiente, de " a 3, $ en la que la tercera 'ila sea la suma de las otras dos. 9;$,V,m,p= c 9;$,m= WWWWWW8 c: CWWWWWW8 e: >WWWWWW> b: CWWWWWW> d: >WWWWWWC ': ∅ WWWWWWC
& Co$8u$to I$/i$ito &s el conjunto con ilimitada cantidad de elementos. 5or lo general se determinan por comprensi4n. &jemplo 9 ; )E) es una estrella del 'irmamento=
;& Co$8u$to U$i0%rsa# &s un conjunto re'erencial que contiene a todos los elementos de una situaci4n particular $ se denota por 7. &jemplo De los conjuntos numéricos, el conjunto de los n(meros complejos representa al universo de los n(meros.
PRACTICANDO EN CLASE Ondicar si los ?iguientes conjuntos son vacos, unitarios, 'initos o in'initos
"1: ?i 9;) ) es mes del a#o=, indicar cuales de las siguientes conjuntos están incluidos en 8 9;)) es mes de vacaciones escolares= > 9;)) es da santo= C 9;)) es mes de 200/ das= D 9;)) es mes de *0 das= & 9;1 de 8gosto= ": Dados los conjuntos 8 9 ;8,&,O,H,7= > 9 ;)) es vocal de la palabra d: >WWWWWWC ': ∅ WWWWWWC
AHORA RESUELVE EN TU HOGAR ".
2.
*.
-.
/.
&n una encuesta acerca del consumo de bebidas se obtuvo la siguiente in'ormaci4n Toman guaraná $ pasteurina "E* de los que solo toman pasteuri6a $ X de los que toman guaraná Toman otras bebidas di'erentes tantos como los que toman s4lo una bebida delas mencionadas l os e ncu est ad os ' ue ro n - 3/ ?i personas, entonces los que solo toman una bebida pasteuri6a o guaraná: son "2/ 22/ -/0 /2* -
*00 cursan matemática, 200 contabilidad $ 2/0 economa. ?i "-0 cursan matemática $ economa, 30 matemática $ contabilidad, /0 contabilidad $ economa. ¿Cuántos cursan las tres materias! 20 *0 -0 /0 0
. De un grupo de personas se sabe que el 1"Y no leen la revista 8, el 1Y no leen la revista >, el 2- Y leen la revista 8 o la revista > pero no las dos a la ve6 ¿Fué porcentaje leen las dos revistas! ¿Fué porcentaje no leen las dos revistas! "3Y L /1Y "*Y L 0Y 20Y L 0Y *2Y L 1Y N8. De un g rupo de //pe rsonas 2 / ha bla n castellano, *2 quechua ** inglés $ / los tres &n el -to. rado de una O.&. estudian "20 idiomas. K, es el conjunto 'ormado por los elementos que pertenecen a J8K $ pertenecen a J>K. Notaci4n matemática 8 ∩ > 9;9;)E)
8∩>
8∩> 9 8
9&'Di/%r%$*ia o Co",#%"%$to R%#ati0o: A > B ) , 2 6 + 0 o n o & l e % $ n ó i n 3 a l o i a R e o a # o c l a ( + J ) J a r a u 1 a n a Y 0 e l l a C / A . E R E ! E C Y R B
&l conjunto J8 menos >K, es el conjunto 'ormado por los elementos de J8K que no están en J>K. Notaci4n matemática
&l conjunto J8 por >K, es el conjunto 'ormado por los pares ordenados aLb:, donde la primera componente JaK es elemento de 8 $ la segunda componente JbK es elemento de >. Notaci4n matemática 8)> 9;aLb: E a∈ 8∧b∈>= &jemplos ?ean los conjuntos 8 ) >. 8 9;-L/L= > 9;*L"= +allar el conjunto 8 ) >. ?oluci4n +allamos los elementos de 8 ) >. 8 9;-L/L/= > 9;*L"= 9;)E) ∈ 8 ∧ ) ∉ >= rá'icamente
8)> 9;-L*:,-L":,/L*:,/L":,L*:,L":=
OBSERACIONES: O. &l n(mero de elementos del conjunto 8)>, es igual al producto del n(mero de elementos de 8 por el n(mero de elementos de >. N8 ) >: 9 na: . n>:
8Q>
8Q>
8@>98
; A / &l conjunto JComplementoK de J8K, es el conjunto 'ormado por los elementos del universo que no están en 8. Notaci4n matemática
&'Co",#%"%$to d% A :A ? A* ? A ?@?
A
C
= { x / x ∈ ∪ ∧ x ∉ A}
rá'icamente
A
OO.&l conjunto 8 ) > es di'erente del conjunto > ) 8, a menos que 8 $ > sean iguales.
C
8 Z > ≠ > Z 8
LEYES Y PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS 6& IDEMPOTENCIA: 8 ∪ 8 9 8 8 ∩ 8 9 8 7& Co$"utati0a: 8 ∪> 9 > ∪ 8 8 ∩ > 9 > ∩ 8 8 ∆ > 9 > ∆ 8 9& Aso*iati0a:
;&' Di/%r%$*ia Si"tri*a: A O. 8∆> 98 Q >: 7 > Q 8: OO. 8∆> 98 ∪>: @ > ∩ 8: rá'icamente
B
8 7 >: ∪C 9 8 ∪ > ∪ C: 8 ∩ >: ∩ C 98 ∩ > ∩ C: 8 ∆ >: ∆ C 9 8 ∆ > ∆ C:
& Distri.uti0a: 8 ∪ > ∩ C: 9 8 ∪ >: ∩ 8 ∪ C: 8 ∩ > ∪ 8: 9 8 ∩ >: ∪ 8 ∩ >:
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Aritmética ;& E#%"%$to N%utro: 8 ∪ 7 9 7 8 ∩ 7 9 8 8 ∪ ∅ 9 8 8 ∩ ∅ 9 ∅ :[ 9 8[ ∩ >[ 8 ∩ >:[ 9 8[ ∪ >[
+allar "0 / ""
& Di/%r%$*ia d% Co$8u$tos: 8 Q > 98 ∩ >[
8 9 ;-L L "0L "2= > 9 ;*L 1L 3L "0=
(
)
(
n A ∪ B + n A ∩ B
-. ?i 8 = ) ∈ N E 2 <
*) − "
)
< / Ondicar el conjunto por e)tensi4n a :. ; "L 2= b :. ; 2L *= c :. ; *L -= d :. ; 2L -= e :. N .8 .
8 Q > 9 >[ Q 8[
& A.sor*i+$: 8 ∪ 8 ∩ >: 9 8 8 ∩ 8 ∪ >: 9 8 "0. Nu"%ro Cardi$a# d% #a U$i+$ d% Co$8u$tos ?on dos resultados notables O. 5ara dos conjuntos n8 ∪ >: 9 n>: Q n8 ∩ >: OO. 5ara tres conjuntos N8∪>∪C: 9 n8:Rn>:RnC:@n8∩>:@ n>∩C:@8∩C:@n8∩>∩C:
PRACTICANDO EN CLASE
/. ?i 8 9 ;2L *L -L 1L = > a:. ;*L L = b:. ;2L L = c:. ;2L -L = d:. ;*L -L /= e:. ;*L /L =
> 9 ;2L -L L 1=
. ?ean 8 9 ;"L /L 1L L 3= C 9 ;"L = D 9 ;" L 3L 1=
+allar 8 \
> 9 ;"L /L L 3=
".@Dados los conjuntos 8 9 ;",2,*,-= > 9 ;2,*,-,/=
C 9 ;-,/= $ D 9 ;",/=
2.@Determinar cada uno de los siguientes conjuntos a: 8 ∪ >
b: 8 ∩ >
c: C ∪ D
d: > ∩ D
e: > ∪ D
': D ∪ C: ∪>
g: 8 ∪ >: ∪ C ∪ D
h: 8 ∩ >:
i: 8 ∪ >:
j: 8 ∩ C ∪ D:
∩ 8 ∪ C:
∪ C ∩ D:
( 8∆> ) −D +allar ( 8∆C ) − ( >∆D) ∩ a:. b:. c:. d:. e:.
;0= ; ]= ] 0 @2
1 . ?ea n 8 9 ;)E) es n^ natural divisor de "2= > 9 ;)E) es n^ natural divisor de "= C 9 ;)E) es n^ natural divisor de "= Calcular ( 8 − > ) ∩ ( > − C )
AHORA RESUELVE EN TU HOGAR ". ?i A = x ∈ Z / x a:. b:. c:. d:. e:. 2.
2
− x − 2 = 0 hallar n8:
" 2 * /
?i A = { ( 2 x − 3) / 5 ≤ x ≤ 9; x ∈ Z } hallar n8:
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a:. b:. c:. d:. e:.
0 " * ] ;"=
. ?i 9 ;L ;1=L ;L 1=L = ¿Cuántas proposiciones son verdaderas! _ ;1= _ 1_ 3 ⊂
2 + * 2 ) ' & l e % $ # a m r A e a " a l ! a l e a i e m y a r a u c a n u a ( – 4 6 2 – 2 6 2 o i c r e m o C n ó r i J Á N A M A C e c y r B
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,2
) , 2 6 + 0 o n o & l e % $ n ó i n 3 a l o i a R e o a # o c l a ( + J ) J a r a u 1 a n a Y 0 e l l a C / A . E R E ! E C Y R B
;= ⊂ ;;1== ⊂ ;L 1= _ ; ;1=L = ⊂ ;= ⊂ ]_ a:. 1 b:. / c:. d:. e:. 3 3. Dado el conjunto 8 9 ;;2L *=L ;-=L -L ; ]== ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas! O. * _ 8 OB ] ⊂ 8 OO ;-L -= ⊂ 8 B ;2L -= ⊂ 8 OOO ] _ 8 a:. 2 b:. * c:. d:. / e:. "0.Dados los conjuntos
A = { x ∈ Z / ( x 2 − x − 6 )( x − 4 ) = 0}
B = { x ∈ Z / x ∈ [ − 1;3]} Calcule n8: R n >: a:. b:. / c:. d:. 1 e:.
". 5ara los conjuntos " " 5 = 2L L*L 2 * " F = E ) ∈ NL) < - ) . 2 L * C. D.
&. ;"L 2L *= 2. Dados los conjuntos 8 9 ;"L ;"L2=L 2= > 9 ;;2=L "L ;"L 2== C = ( A ∪ B ) − ( A ∩ B) ¿Cuántos subconjuntos tiene C! 8. 2 >. C. D. " &. *2
*. Dados los conjuntos
∈
7 9 ;)E) I ∧ @ - M ) M = 8 9 ;2) Q 3E) N ∧ * M ) M = > 9 ;*) R "E) I ∧ @" M ) M 2=
FECHA _____/______/ 2009 INICIANDO LA SOLUCION DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS SOBRE CONJUNTOS ACERTIJO La Pa#o"a 4 #os Tr%$%s Dos trenes avan6an en direcciones contrarias por vas contiguas uno a 10, $ el otro, a /0 Uil4metros por hora. ?iempre sobrevolando las vas, una paloma vuela de la locomotora del primer tren al segundo, nada mas da media vuelta $ regresa a la del primero, $ as va volando de locomotora en locomotora. ?abiendo que vuela a 0 Uil4metros por hora $ que cuando inicio su vaivén la distancia entre ambas locomotoras era de 0 Uil4metros ¿Cuántos Uil4metros habrá recorrido la paloma cuando los dos trenes se encuentran! 8$uda ¿Cuánto tiempo ha estado volando la paloma.
PRACTICANDO EN CLASE
∈ ∈
+allar el numero de elementos de
8. >. C. D. &.
( A ∪ B )
C
" 2 * /
-. Dados los conjuntos 7 9 ;"L 2L *L -L /L = 8 9 ;"L *L /= > 9 ;2L -L = C 9 ;"L -= &ntonces ( A ∪ C ) 8. ;"L 2L -L = >. g C. 7 D. ;2L -L = &. N.8.
C
∩ B es igual al
/. ?e dan ? 9 ;rL sL tL u= F 9 ;rL sL )L $= 5 9 ;rL tL vL )= Colegio BRYCE – !eregal
Aritmética
,5
+allar S ∩ ( P ∪ Q )
8. >. C. D. &.
2/ *1
;sL t= ;r= ;rL sL t= ;rL t= ;t=
. Dados los conjuntos
∈ NL ) M "0= ∈ & E ) es par= > 9 ;) ∈ & E ) 9 3 ∨ ) ≠ 3=
& 9 ;) 8 9 ;)
0
: es "1 22 "3 2" "/
8. >. C. D. &.
1. ?i
∈ N E ) M "1= ∈ 1 E ) R ) 90= ∈ N E ) 9 -)=
8 9 ;) > 9 ;) C 9 ;)
2
2
*
+allar n( A ∪ B ∪ C ) / 3 1
8. >. C. D. &.
AHORA RESUELVE EN TU HOGAR ".
Dado el conjunto unitario 8 9 ; a R b L a R 2b Q * L "2 = Calcular a2 R b2 0 1"030 *3
2.
*.
-. Durante todas las noches del mes Hctubre, ?oledad escucha m(sica o lee un libro. ?i escucha m(sica 2" noches $ lee un libro "/ noches. ¿Cuántas noches escucha m(sica$lee un libro simultáneamente! / * "0 /.
De un grupo de "00 estudiantes, -3 no llevan el curso de atemática $ /* no siguen el curso de 8dministraci4n. ?i 21 alumnos no siguen atemRatica ni 8dministraci4n. ¿Cuántos alumnos llevan e)actamente uno de tales cursos! 8. -1 >. -* C. -2 D. - &. -/
FECHA _____/______/ 2009 RESOLVIENDO PROBLEMAS Y EJERCICIOS SOBRE CONJUNTOS ACERTIJO a&
Diana reali6a un viaje mensual durante todo el ¿Cuál es el menor numero que, dividido por 2,*,-,/ a#o a Oca o Tacna. ?i viajes 'ueron a Oca $ "" $ da respectivamente los restos ",2,*,- $ /! viajes a Tacna. ¿Cuántos meses visit4 a los dos lugares! MANERAS PARA RESOLER PROBLEMAS SOBRE CONJUNTOS 1 &n este tipo de problemas lo primero que se / debe de hacer es gra'icar los conjuntos mediante los diagramas de Benn, en el son tales que n8∪> :9*0L siguiente orden n ( 8 − > ) = "2 n ( > − 8 ) = "0 . $ +allar @ 5rimero el conjunto universal n ( 8 ) + n ( >) @ &n seguida los conjuntos disjuntos 22 @ 9 ;-L /L = C 9 ;"L *L /= 8. ;"L 2L -= >. ;"L *= C. ;/= D. ;2L -L = &. ;"L 2L *=
". 8 $ > son dos conjuntos tales que n 8 ∪ > 9 " L n 8 ∩ >: 9 1 n8: R * 9 n>: ¿Cuántos subconjuntos propios tiene 8 @ >! a:. 0 b:. - c:. d:. * e:. 2 2. +allar el numero de elementos de > ?i 8 9
-. Del ra'ico
{ x / x ∈ Z ∧ x ∈} {
}
> 9 ( ) + / ) E $ ∈ I ∧ ( $ + "/ ) ∈ 8
A
: >. > @ 8: C. 8 ∩ >: D. > ∩ 8C : &. +a$ dos correctas
a:. b:. c:. d:. e:.
B
* 2 /
*.
?i
8
⊂ >,
?impli'icar
{ ( > ∪ 8 ) ∩ ( >′ ∩C) ∪ 8 ′} ∪ >′ a:. >: b:. ( B ) ′ c:. 8: ′
d:. ( A) e :. N .8 .
/. , 8 ∪ > : ∩ C 9 ] simpli'icar ` 8 Q > ∩ C:[ ∪ ` 8 ∪ C : Q 8 ∩ > : [ a:. > Colegio BRYCE – !eregal
Aritmética b:. c:. d:. e:.
,(
>[ 8 8[ C
e:. "2
AUTOEVALUACION 1
/. ?i 7 9 ;a, b, c, d, e= 8 ∪ > 9 ;a, b, c, d= a:. ;a, b= b:. ;a, b, c= c:. ;a, b, c, d= d:. ;a, b, c, d, e= e :. N .8 .
".
?ean 8 9 ;a ∈ N E a es impar= > 9 ;b ∈ N E b es par= $ A 9 ;a,b: ∈ 8 ) > E aRb primo menor que "0= Calcule n A : a: b: "0 c: d: 1 e:
2.
?i 8 9 ;a ∈ I E " 9 ;b ∈ N E * ≤ b ≤ 3= A 9 ;a,b: ∈ 8 ) > E * ≤ a : Q 8 @ >: a:. b:. c:. d:. e:.
;"L 2L *L -= ; "L 2L -L /L = ;"L 2L -L 1L 3= ;2L *L -L /L = ;"L *L /L 1L =
1.
8
Dados
= { ) ∈ Z E ) 2 − *) + 2 = 0}
> = { ) ∈ I E ) 2 − /) + = 0}
+allar a:. ] b:. " c:. 2 d:. * e:. -
(
n A∆ B
)
2 . ?i 8 = { ) ∈ Z E ) − /) + = 0} $
> = { ) ∈ I E ) 2 − -)
+ * = 0}
+allar 58 ∪ > : a:. b:. c:. d:. e:.
"0 "2
3. 8 $ > son conjuntos tales que n8: Rn>: 9 * L n 8 ∩ > : 9 1- Calcular n 8 ∆ >: a:. */ b:. 2 c:. // d:. / e:. 3 "0.Dados los conjuntos 5 = { $ E $ = n2 − ",n ∈ I, − * < n ≤ /}
{
}
A = 62 E 6 + " = m,m ∈ N,m ≤ - Ondicar
n ( 5 ) + n ( A) − n5 ∩ A: a:. b:. c:. d:.
/ "0
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2 + * 2 ) ' & l e % $ # a m r A e a " a l *. ?ean 8 9;2,*,-,/= $ > 9;*,,1,"0= ! +alle nA: ?i a l A 9 ;),$: ∈ 8 ) > E J)K divide a J$K e)actamente= e a: a i b: / e c: 1 m y d: a r e: * a -. ?ea 8 9 ;*,-,/,=, cual de las siguientes u c a relaciones de'inidas en 8 es de equivalencia. n u a 8: A" 9 ;*,-: L /,: L ,/: L -,*: L /,/:= ( – >: A2 9 ;) , $: E ) > $= 4 6 C: A* 9 ;*,/: L -,* L /,*:= 2 – D: A- 9 ;*,/: L -,* L /,*: L /,/: L ,*: L ,-: L 2 ,:= 6 2 &: A/ 9 ;;) ,$: E ) R $ 9 par= o i c r /. &n una caja se tienen "0 es'eras iguales e numeradas del " al "0. ?i se e)traen una por m o una $ al a6ar. ¿Cuántas habrá que e)traer como C n mnimo para estar seguros de haber obtenido * ó r i es'eras con n(meros consecutivos! J Á N a: 3 A b: / M A c: C d: 1 e c e: y r B
CLAE DE RESPUESTAS 6 7 9
AUTOEVALUACIÓN 2
;
Aritmética
,6 ". Dado el conjunto universal 7 9 ;) E ) ∈ N, 0 . " 00 C. 2 000 D. 2 -00 &. 2 00
*.
&n una pe#a criolla se tienen *2 artista de los cuales " son bailarinas, " cantantes, "2 bailan $ cantan. ¿Cuantos artistas ni cantan ni bailan! 8. "0 >. "/ C. 20 D. 2/ &. *0
-.
&n un hospital se observa que una de las sa la s t od as m en os e l - 0Y t ie ne n l a en'ermedad J8K todos menos el /0Y tiene la en'ermedad J>K el "0Y no tiene ninguna de estas 2 en'ermedades ¿Fué porcentaje tiene 8 $ >! 8. 2/Y >. "/Y C. 20Y D. "0Y &. *2Y
-.
9
FECHA _____/______/ 2009
2. Dados los conjuntos C 9 ;) ∈ I E @ dos conjuntos tales que n( A ∪ B ) = n ( A) = 4 n ( A∆ B ) = 10
n>: 9 "2 +allar n( A ∪ B )
8. >. C. D. &.
- " " 2
1. ?i 8 $ > son dos conjuntos incluidos en el 7 ) , 2 6 + 0 o n o & l e % $ n ó i n 3 a l o i a R e o a # o c l a ( + J ) J a r a u 1 a n a Y 0 e l l a C / A . E R E ! E C Y R B
tales que n8: 9 "2 n>: 9 "
*. De 0 personas encuestadas sobre el uso de cigarrillos se ha obtenido que 20 mujeres no 'uman $ de los encuestados -- son varones ¿Cuántas de las encuestadas 'uman cigarrillos! a:. " b:. " c:. 20 d:. 22 e:. 2-.
n( A ∩ B C ) = 17
+allar n ( A∆B )
8. >. C. D. &.
" 20 2* "1 "
FECHA _____/______/ 2009 SEGUIMOS RESOLVIENDO PROBLEMAS CON MUCHO ENTUSIASMO PRACTICANDO EN CLASE ". &n una asamblea de 0 integrantes de un club, /0 son estudiantes, -1 trabajan $ - no trabajan ni estudian ¿Cuántos trabajan $ estudian! a:. 2" b:. -" c:. *2 d:. - e:. /0 2. &n un aeropuerto se dispone a viajar un grupo de personas de las cuales se observa que -0 mujeres viajan al e)tranjero, *1 hombres viajan a provincias, 2 casados viajan al e)tranjero, -/ solteros viajan a provincias, ha$ -2 hombres casados ¿Cuántas mujeres solteras viajan a
D e l o s " 0 0 e st ud ia nt es d e u n s al 4n 1 0 aprobaron matemáticas 0 aprobaron historia $ 1 aprobaron comunicaci4n. ?i 30 aprobaron e)actamente 2 cursos, ¿Cuántos aprobaron * cursos! a:. 3 b:. "" c:. "* d:. "/ e:. "3
/. &ntre los habitantes de un distrito se ha reali6ado una encuesta sobre quienes poseen ciertos arte'actos $ se ha obtenido los siguientes datos 0Y tienen televisor, 30Y tienen radio, 0Y tienen cocinas a gas, 2Y no tiene ninguno de los arte'actos anteriores, //Y tienen los tres arte'actos. ¿Fué porcentaje de los encuestados posee solo uno de estos arte'actos! a:. "2 b:. "/ c:. 2" d:. *2 e:. " . 5ara los ingresantes a la 'acultad de ciencias de la 7niversidad de Ongeniera se ha implementado tres cursos complementarios de Ongles, Srancés $ 8lemán. &n ingles ha$ 2- inscritos, en 'rancés 20 $ en alemán ". Trece se han inscrito en más de un curso $ *- en un solo curso. ¿Cuántos han decidido estudiar los tres idiomas! a:. "0 b:. 2 c:. / d:. e:. 1.
&n una gran empresa consultora trabajan "00 empleados, entre contadores, economistas e ingenieros. -/ de ellos tienen una $ solo una de las pro'esiones. De los contadores, 2/ son economistas $ 21 son ingenieros. Treinta $ tres
Colegio BRYCE – !eregal
Aritmética son economistas e ingenieros. ¿Cuántos de los re'eridos empleados tienen tres pro'esiones! a:. 20 b:. / c:. "0 d:. "/ e:. *0
AHORA RESUELVE EN TU HOGAR n( A ∪ B ) 9 /1L n( A ∩ B ) 9 23 L n( B − A ) 9 "1 +allar n>: @ n8: 8. * >. C. / D. &.
". ?i
2. 8 una 'iesta han ingresado /"2 personas todas están bailando menos2 caballeros $ "0 damas. ¿Cuántas damas ha$ en la reuni4n! 8. 2-1 >. "-1 C. 2** D. -1&. 2/
, . 7na persona come huevos o tocino en el desa$uno cada ma#ana durante el mes de abril. ?i come tocino 2/ ma#anas $ huevos " ma#anas. ¿Cuántas ma#anas come huevo $ tocino! 8. " >. "" C. "* D. "2 &. /
1. De un conjunto de -- alumnos se sabe que
Todos aquellos que pre'ieren matemática pre'ieren también lenguaje. . 2-Y C. /1Y D. 23Y &. **Y
-. &n un instituto de investigaci4n trabajan 1 personas de estas -1 conocen el idioma inglesL */Y el alemán $ 2* ambos idiomas. ¿Cuántas personas en el instituto no conocen el ingles ni el alemán! 8. / >. C. 1 D. &. 3
/. De los 0 alumnos que componen un sal4n de clases *2 juegan '(tbol $ 2/ juegan básquet. ¿Cuántos juegan e)clusivamente un deporte si "0 no practican ninguno! 8. -* >. -/ C. -1 D. *" &. *3
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?i n8 ∪ >: 9 g n8 ∪ >: 9 " n8 ∩ > ∩ C: 9 2 n8: 9 "0 nC: 9 3 n>: 9 "2 Determinar el n(mero de elementos del área sombreada. 8. 3 >. "0 C. "" D. "2 &. "*
3. De *2 personas que practican básquet o vole$ se sabe que el numero de mujeres que practican solo básquet es menor en que las personas que practican ambos deportes $ además es la cuarta parte de los hombres que practican solo vole$. ?i los hombres que practican solo básquet son tantos como los que practican solo vole$L hallar la má)ima cantidad de personas que practican solo básquet. 8. >.
2 + * 2 ) ' & l e % $ # a m r A e a " a l ! a l e a i e m y a r a u c a n u a ( – 4 6 2 – 2 6 2 o i c r e m o C n ó r i J Á N A M A C e c y r B
Aritmética
2*
especialidades ¿Cuántos se inscribieron en ambas disciplinas! 8. 20 >. 2/ C. *0 D. */ &. -0
C. "0 D. "2 &. "-
FECHA _____/______/ 2009 CONTINUANDO CON LA RESOLUCION DE PROBLEMAS SOBRE CONJUNTOS PRACTICANDO EN CLASE ".
) , 2 6 + 0 o n o & l e % $ n ó i n 3 a l o i a R e o a # o c l a ( + J ) J a r a u 1 a n a Y 0 e l l a C / A . E R E ! E C Y R B
&)presar el conjunto 8 9 { *0,-/,/-,0*,12} por comprensi4n )E) 9 3 2 2 R n :L 0 ) - L n I )E) 9 3 2 2 R n :L 0 ) - L n I )E) 9 3 2 2 R n :L 0 ) 2 L n I )E) 9 3 2 2 R n :L * ) / L n I N8
2.
&n un avi4n viajan "20 personas, de las cuales @ . ** C. -1 D. /" &. 23
*. &n un barrio donde ha$ 23 personas, " compran en el mercado, "/ en la bodega " en el supermercadoL / en los dos (ltimos sitios (nicamente, en los dos primeros, en los dos primeros $ 1 en el primero $ ultimo (nicamente. ¿Cuál es el n(mero de personas que compran solamente en el mercado! 8. 2 >. * C. D. / &.
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Aritmética -. "0 personas 'ueron encuestados sobre el con su mo de tre s p rod uctos 8, > $ C obteniéndose esta in'ormaci4n ""0 pre'ieren 8L "20 pre'ieren >L "*0 pre'ieren CL pre'ieren 8 $ CL 1 pre'ieren 8 $ >L 30 pre'ieren > $ CL /2 pre'ieren los tres productos. ¿Cuántos no pre'ieren ninguno de estos productos! 8. 2 >. 22 C. "* D. "&.
2, 3.
Carlos come huevos $Eo tocino en el desa$uno cada ma#ana durante el mes de mar6o, si comi4 "1 ma#anas huevos $ 22 ma#anas tocinos ¿Cuántas ma#anas comi4 huevos $ tocinos! 8. / >. C. 1 D. &. 3
"0. &n una empresa laboran 0 cho'eres de los cuales * tienen tarjetas de crédito, 2 . *2 cabe6a $ la pierna. ?i "20 'ueron soldados $ C. 2/ ninguno queda ileso. ¿Cuántos 'ueron heridos D. 2 en la tres partes! &. *0 8. 22 >. 2* C. 2D. 2 &. 21
. &n una muestra recogida a 200 turistas se determino la siguiente - eran norteamericanos eran europeos $ 30 eran ingenierosL de estos (ltimos *0 eran norteamericanos $ * europeos. ¿Cuántos de los que no son europeos, no eran norteamericanos ni ingenieros! 8. 22 >. 2C. 2 D. 2/ &. 2* 1.
De un grupo de 2 trabajadores, 2/ laboran en la 'abrica 8, ** trabajan en la 'abrica >, -0 laboran en la 'abrica C $ 1 trabajadores están contratados en las tres 'abricas ¿Cuántas personas trabajan en dos de estas 'abricas solamente! 8. 20 >. 22 C. 2D. 2 &. 2
.
& n u na r eu ni 4n d e l 4g ico @m at em át ic os asistieron *0 l4gicos $ *00 matemáticos, ?i "20 personas 'ueron l4gico Q matemáticos ¿Cuántas personas asistieron! 8. /00 >. 0 C. -0 D. /0 &. N.8.
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2 + * 2 ) ' & l e % $ # a m r A e a " a l ! a l e DIERENTES TECNICAS EN LA SOLUCION DE a i CONJUNTOS e m y ACERTIJO a r .& a u cUd. es a Taxista n u Omagine que 7d. ta)ista. ?u ta)i es amarillo $ a ( negro, $ $a tiene siete a#os. 7na de las – escobillas del parabrisas esta rotaL el 4 6 carburador necesita una puesta a punto. 2 – 8unque en el deposito de combustible caben 2 6 cincuenta litros, solo esta a unos tres cuartos de 2 o su capacidad. ¿Fué tiene el ta)ista! i c r e m o PRACTICANDO EN CL ASE C n ó r ". . C. D. &.
""0 "-0 "*0 "20 "/0
Aritmética
22 2. Dado el siguiente conjunto 8 9 ; "L 2L ; 2L a= L ; 2L "L b== ?e#ale cual de las siguientes proposiciones es verdadera 8. 2 ; 2L a= >. " ; 2L " L b= C . ; 2= 8 D. ; 2L a = 8 & . ; 2L a= ; 2L "L b=
∈ ∈ ∈
∈ ∈
) , 2 6 + 0 o n o & l e % $ n ó i n 3 a l o i a R e o a # o c l a ( + J ) J a r a u 1 a n a Y 0 e l l a C / A . E R E ! E C Y R B
*. ?i 8 ti ene " subconju ntos, > tien e subconjuntos $ 8 ∪ >: tiene *2 subconjuntos. ¿Cuántos subconjuntos tiene 8 ∩ > :! 8. No se puede conocer >. " C. 2 D. &. -. 7na persona toma $ogurt $Eo leche en desa$uno cada semana durante el mes de enero. ?i toma leche 2/ ma#anas $ $ogurt " ma#anas. ¿Cuántas ma#anas tomo $ogurt $ leche! 8. *2 >. -* C. "/ D. "2 &. 20 /.
&n una pe#a criolla trabajan *2 artistas. De estos, " bailan, 2/ cantan $ "2 cantan $ bailan. &l n(mero de artistas que no cantan ni bailan es 8. >. / C. 2 D. " &. *
. &n una encuesta a 0 personas se recogi4 la siguiente in'ormaci4n 1 personas consumen el producto 8 $ > pero no CL personas consumen el producto > $ C pero no 8L * personas consumen el producto 8 $ C pero no >L /0 personas consumen al menos uno de estos productos $ "" personas consumen el producto 8 $ >. ¿Cuántas personas consumen solamente un producto! 8. *>. *3 C. 2* D. *0 &. "0
AHORA RESUELVE EN TU HOGAR ". &n una escuela de "*/ alumnos, 30 practican '(tbol, // básquetbol $ 1/ nataci4n. ?i 20 alumnos practican los tres deportes $ "0 no
practican ninguno. ¿Cuántos alumnos practican un deporte $ solo uno! 8. /0 >. // C. 0 D. 10 &. / 2. +a$ tres estaciones de radio, 8, >, $ C que pueden ser recibidas en una ciudad de *000 'amilias. ?e obtuvo la siguiente in'ormaci4n "00 'amilias escuchan la estaci4n * 8 "100 'amilias escuchan la estaci4n * > "200 'amilias escuchan la estaci4n * C "2/0 'amilias escuchan las * estaciones 8 $ > 1 00 ' ami li as e sc uc ha n l as * estaciones 8 $ C 00 ' ami li as e sc uc ha n l as * estaciones > $ C 2 00 ' ami li as e sc uc ha n l as * estaciones 8, > $ C ¿Cuál es el n(mero de 'amilias que no escuchan a 8 pero escuchan > 4 C! 8. "200 >. 00 C. /0 D. -00 &. //0 *.
&n una ciudad de "0 000 habitantes adultos, el 10Y de los adultos escuchan radio, el -0Y lee los peri4dicos $ el "0Y ve la televisi4n. &ntre los que escuchan la radio, el *0Y lee los peri4dicos $ el -Y ve televisi4n. &l 30Y de los que ven televisi4n lee los peri4dicos. G solo el 2Y de la poblaci4n total adulta lee peri4dicos, ve televisi4n $ escucha radio. ?e pide ¿Cuántos habitantes no escuchan radio, no * leen peri4dico ni ven la televisi4n! ¿Cuántos habitantes leen peri4dicos * solamente!
8. "00L"200 >. "0 000L " C. 320L "/ D. /00L -0 &. "000L "00 -. De // alumnos que estudian en una universidad se obtuvo la siguiente in'ormaci4n *2 alumnos estudian el curso A 22 alumnsos estudian el curso B -/ alumnos estudian el curso C "0 alumnos estudian los tres curso ¿Cuántos alumnos estudian simultanemente dos curos! 8 22 Colegio BRYCE – !eregal
Aritmética > C D &
25
2" 2/ 2* 2-
ACERTIJO Midiendo con Varas
C D & .
PRACTICANDO EN CL ASE DIVIERTETE RESOLVIENDO ".
5ara dos conjuntos comparables donde uno de ellos tiene * elementos mas que el otro, se cumple que la suma de los cardinales de sus conjuntos potencia es /1. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene la uni4n de ellos! 8 > C D &
1.
""/ 2 20 *20 2--
/"2 /20 -/0 20 -00
&l conjunto 8 tiene * elementos menos que el conjunto >, que por cierto posee 1" subconjuntos mas que 8. ¿Cuál es el má)imo numero de elementos de 8 ∪ >: 8 > C D &
2.
5ara dos conjuntos comparables donde uno de ellos tiene tres elementos más que el otro, se cumple que la suma de los cardinales de sus conjuntos potencias es /1. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene la uni4n de ellos! 8. /"" >. "/ C. *" D. "01 &. 2//
*.
Dados los conjuntos A ? B ? C $ los siguientes datos n( AxB ) = 84 L n( BxC ) = 98 $
/ 2" 20 2* "2
. ?e tiene * conjuntos 8, > $ C cu$os n(meros cardinales son consecutivos, además
n( A) + n( C ) = 26 Calcular el n(mero subconjuntos propios de > 8. "^2* >. "21 C. /"" D. *" &. *
n[58:] R n[5>:] R n[5C:] 9 - +alla el numero de elementos que pueda tener como má)imo el conjunto potencial de 8 ∪ > ∪ C: 8 > C D &
/ 22" /""2 "0
FECHA _____/______/ 2009 COMPLEMENTANDO LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON LA DIERENTES TECNICAS Colegio BRYCE - Camaná
Cierto n(mero de medallas de Hro, 5lata $ >ronce es distribuidos entre "00 atletas en un 'estival deportivo. ?e sabe que -/ atletas reciben medallas de Hro, -/ reciben medallas de 5lata, 0 reciben de >ronce, "/ reciben medallas de Hro como 5lata, 2/ atletas reciben medallas de 5lata $ >ronce, 20 reciben medallas de Hro $ >ronce. / reciben de Hro, 5lata $ >ronce. ¿Cuántos atletas no reciben medallas! 8. * >. C. D. / &. "1
de
-.
De /0 personas se sabe / mujeres tienen ojos negros, " mujeres no tienen ojos negros, "mujeres no tienen ojos a6ules, "0 hombres no tienen ojos a6ules o negros. ¿Cuántos hombres tienen ojos negros o a6ules! 8. "0 >. "* C. "3 D. 2" &. "/
/.
&n un sal4n de clases de 10 alumnos todos ellos con 2/ a#os cumplidos o más: "0 varones tienen 2/ a#os, 2/ varones no tienen 2 a#os,
2 + * 2 ) ' & l e % $ # a m r A e a " a l ! a l e a i e m y a r a u c a n u a ( – 4 6 2 – 2 6 2 o i c r e m o C n ó r i J Á N A M A C e c y r B
Aritmética
24 " varones no tienen 2/ a#os $ "- mujeres no tienen 2/ a#os no 2 a#os. ¿Cuántas mujeres tienen 2/ 4 2 a#os! 8. "0 >. "2 C. " D. "/ &. 20
AHORA RESUELVE EN TU HOGAR
) , 2 6 + 0 o n o & l e % $ n ó i n 3 a l o i a R e o a # o c l a ( + J ) J a r a u 1 a n a Y 0 e l l a C / A . E R E ! E C Y R B
". De una muestra recogida de 200 transe(ntes se determino lo siguiente 0 eran mudos, 10 eran cantantes callejeros $ 30 eran ciegosL de estos (ltimos, 20 eran mudos $ *0 eran cantantes callejeros. ¿Cuántos de los que no son cantantes callejeros no eran mudos ni ciegos! 8. *0 >. */ C. -0 D. -/ &. 0 2. De un grupo de 3/ deportistas se observo que "/ son atletas, que practican el '(tbol $ * nataci4n. /2 son atletas * // son nadadores. * Todos los 'utbolistas son atletas $ "2 son * deportistas que s4lo practican el atletismo "/ deportistas no practican ninguno de los * deportes mencionados. ¿Cuántos deportistas son atletas $ nadadores, pero no 'utbolistas!. 8. >. C. D. &.
"0 "2 22 *2 -2
*. &n un Congreso Onternacional de edicina, se d eb at i4 e l pr ob le ma d e l a &u ta na si a planteándose una moci4n. ""/ europeos votaron a 'avor de la moci4n, 1/ cardi4logos votaron el contra, 0 europeos votaron en contra, 0 cardi4logos votaron a 'avor. ?i el n(mero de cardi4logos europeos e)cede en *0 al n(mero de americanos de otras especialidades $ no hubo abstenciones. ¿Cuántos médicos participaron en el congreso! 8. 2"0 >. **0 C. 2 10 D. 2 -0 &. *00
-.
8 un matrimonio asistieron "/0 personas, el n(mero de hombres es el doble del n(mero de mujeres. De los hombres 2* no usan reloj pero si tiene terno $ -2 tienen reloj. De las mujeresL las que no usan mini'alda son tantas como los hombres que no usan terno ni reloj $ tienen mini $ reloj. ¿Cuántas mujeres usan mini'alda pero no reloj! 8. >. 1 C. D. / &. 3
/. &n un centro de idiomas ha$ 10 alumnos, * estudian ingles, * 'rancés, *- alemán $ *- ruso. 2/ ingles $ 'rancés, "1 alemán e ingles $ ruso, 22 'rancés $ alemán, 2" 'rancés $ ruso. "0 ingles, alemán $ ruso. "* 'rancés, alemán $ ruso $ " hablan los cuatro idiomas. ¿Cuántos no estudian ninguno de los cuatro idiomas mencionados! 8. / >. C. 1 D. &.
FECHA _____/______/ 2009 CULMINANDO TALLER SOBRE PROBLEMAS DE CONJUNTOS ACERTIJOS EL JUEGO DE LOS APLAUSOS &n un juego in'antil se nombran todos los n(meros de " al "00 $ se aplaude cuando se nombra un m(ltiplo de 3 o un n(mero terminado en 3. ¿Cuantas veces se aplaude durante el juego!
PRACTICANDO EN CL ASE ". 0 alumnos rinden un e)amen que consta de tres partes $se sabe que • "0 aprobaron s4lo la primera parte • 20 aprobaron la primera parte • 2/ aprobaron la segunda parte • 2" aprobaron la tercera parte
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aprobaron la segunda parte $ la tercera parte pero no la primera • 1 aprobaron las dos primera parte • * aprobaron las tres partes ¿Cuántos desaprobaron las tres partes. 8. "" >. "0 C. "D. "2 &. "* 2. 7na reuni4n social se observa que ha$ tantos varones que bailan pero no estudian ingles como mujeres que ni bailan ni estudian ingles, siendo esta cantidad tres unidades ma$or que la cantidad de mujeres que no estudian ingles pero si bailan, que coincide con la cantidad de mujeres que no bailan pero si estudian ingles. 8demás, se sabe que ha$ tantas mujeres que bailan como estudiantes de inglés. ?i -/ varones no estudian ingles, *1 mujeres tampoco estudian dicho idioma $ /* varones estudian inglés o bailan, ¿Cuántas personas asistieron! 8. 200 >. "00 C. " /0 D. " -0 & . N .8 . *. , C $ D, tales que *
n[ ( B ∪ C ) − D ] ≤ 0
*
n[ A × ( B ∪ C ∪ D ) ] = 70
*
5 × n( B ∪ C )
/. De */ personas, "0 son ingenieros o industriales, pero no comerciantesL "/ son industriales o comerciantes pero no ingenierosL "" son ingenieros $ comerciantes pero no industrialesL son ingeniero, comerciantes e industrialesL 2 son solo comerciantesL * son ingenieros e industriales, pero no comerciantes. ?i no ha$ ninguno que solo sea ingeniero, ¿Cuántos no desempe#an ninguna de las tres ocupaciones! 8. 2 >. * C. D. / &. "
AHORA RESUELVE EN TU HOGAR ". &n un departamento de control de calidad de un producto se consideran tres de'ectos, A, B $ C, como los más importantes. ?e anali6an 200 productos con el siguiente resultado * / productos presentan el de'ecto A * 12 productos presentan el de'ecto B productos poseen e)actamente un * "00 de'ecto productos presentan e)actamente tres * "0 de'ectos ¿Cuántas tienen solo dos de'ectos! 8. -0 >. /0 C. 0 D. *0 &. -/
= n( D )
Calcule n[ A × ( B ∪ C ) ] 8. >. C. D. &.
2(
"* "3 " "-1
-. . 12 C. 10 D. 0 &. 2
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2. De *2 personas que practican básquet o vole$, se sabe que el numero de mujeres que practican solo básquet es menor en que el numero de personas que practican ambos deportes, $ es la cuarta parte de numero de hombres que practican solo vole$. Calcule la má)ima cantidad de personas que practican solo básquet. 8. "3 >. 20 C. 2" D. "1 &. 2/ *. 7n total de 30 alumnos dio * e)ámenes para aprobar un curso $ se observa que los que aprobaron solo un e)amen representan el quntuplo de los que aprobaron los * e)ámenes $ los que aprobaron solo 2 e)ámenes resultan el triple de los que desaprobaron los * e)ámenes. ?i el n(mero de los que desaprobaron los * e)ámenes es igual al n(mero de los que aprobaron los * e)ámenes, ¿Cuántos aprobaron el curso! Considere que para aprobarlo es necesario que aprueben por los menos 2 e)ámenes.
2 + * 2 ) ' & l e % $ # a m r A e a " a l ! a l e a i e m y a r a u c a n u a ( – 4 6 2 – 2 6 2 o i c r e m o C n ó r i J Á N A M A C e c y r B
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26 8. >. C. D. &.
) , 2 6 + 0 o n o & l e % $ n ó i n 3 a l o i a R e o a # o c l a ( + J ) J a r a u 1 a n a Y 0 e l l a C / A . E R E ! E C Y R B
- Determinar 8 ∪ > $ 8 ∩ > 8 9 ;) ) es natural $ / M ) M "0= $ > 9 ;) ) es natural $ " l4gica $ los 'undamentos de ambas, la teora de C / conjuntos permitira por un lado la 'unci4n logstica D 2 de las matemáticas, pero por otro lado la teora de & conjuntos mirada como parte de las matemáticas, pero por otro lado la teora de conjuntos mirada CLAE DE RESPUESTAS como parte de las matemáticas proporciona el metalenguaje, el conte)to o sustrato de las teoras 6 7 9 ; l4gicas. Sinalmente puede ser completamente e)presada en un lenguaje de primer orden, sus a)iomas $ teoremas constitu$en una teora de primer orden a la que pueden aplicarse los LECTURA N! 1 resultados generales que se aplican a cualquier teora de primer orden a la que pueden aplicarse los INTRODUCCIÓN HISTÓRICA SOBRE resultados generales que se aplican a cualquier CONJUNTO S teora de primer orden. &n el primer perodo de su e)istencia, la teora de &n el presente capitulo, ubicado en el marco de los conjuntos es debida enteramente a eorg Cantor estudios preliminares planteados en los prospectos universitarios, presentaremos $ desarrollaremos una "-/ Q "3":. &l inicio del desarrollo abstracto de la teora intuitiva de conjuntos, dejando para teora de conjuntos hi6o que esta nueva rama de la publicaciones posteriores los m(ltiples aspectos que matemática. &l concepto de in'inito 'ue tratado por recorre nuestro análisis. Ien4n de &lea $ sus célebres paradojas. >ol6ano de'endi4 el concepto de conjunto in'inito $ pudo dar LECTURA N! 2 ejemplos de c4mo los elementos de un conjunto in'inito se colocaban en correspondencia uno a uno EL VECTORCITO ROJO Y LA MATRI" ERO" con elementos de su propios subconjuntos. Cantor public4 varios artculos entre "1 $ "1" sobre &rase una ve6 un vectorcito que viva con su 'amilia teora de n(meros de gran calidad. No obstante generadora en su casita, B. &ra un vectorcito mu$ nada indicaba que su autor cambiaria el curso de la joven, pues apenas acababa de cumplir un m4dulo. matemática. Tena el sobrenombre de Bectorcito Aojo por ser 8l empe6ar Cantor a trabajar con series una 'erviente admiradora de . Aussell demostrara que la teora de gra'os por el camino, $a sabes que ha$ que cuidar conjuntos era inconsciente $ cuestionara la el entorno.f de'inici4n de conjunto de la teora de cantor. 5ero, @fNo te preocupes, mamá.f, $ dicho esto, se orient4 pronto la teora a)iomática de ?érmelo "30: $ hacia la casa de su abuelita. re'inamientos de esta por SraenUel "322:, ?Uolem Bectorcito Aojo se mova alegremente a través del bosque +omB,:, pues pensaba que la matri6 Colegio BRYCE - Camaná
2 + * 2 ) ' & l e % $ # a m r A e a " a l ! a l e a i e m y a r a u c a n u a ( – 4 6 2 – 2 6 2 o i c r e m o C n ó r i J Á N A M A C e c y r B
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deba de rondar mu$ lejos, por lo menos en el quinto D. -* isomor'ismo, cuando de repente, algo salt4 detrás &. ** de una 'unci4n $ se plant4 delante de Bectorcito Aojo. Bectorcito le reconoci4 era la matri6 de la que 2. De los residentes de un edi'icio se ha observado la haba hablado su mamá. 5areca mu$, mu$ 'uerte que 23 de ellos trabajan $ / son mujeres, de las coloquialmente hablando, la matri6 estaba cuales "2 estudian pero no trabajan. De los cuadrada: $ la miraba con maldad. varones, *2 trabajan o estudian $ 2" no trabajan @f¿Donde vas, Bectorcito Aojo!.f ni estudian. ¿Cuántas mujeres no estudian ni @fBo$ a llevarle estas coordenadas a mi abuelita.f, trabajan, si * varones no trabajan! dijo ella muerta de miedo. 8. "3 @f¿e dejas probar alguna! +ace tiempo que no >. 2 como nada desde que me echaron de
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