1 Analisis de Estructuras Isostaticas Planas

Enrique Ramírez Valverde

ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS

i. V.

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Cien tíficos j BENEMÉRITA UNIVERSIDAD ALIONÓME DE Pi E B L A

ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS PLANAS

Enrique Ramírez Valverde

BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA Dirección General de Fomento Editorial

BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA Enrique Dóger Guerrero

Rector Guillermo Nares Rodríguez Secretario General Rigoberto Bcnítez Trujillo Vicerrector de Extensión y Difusión de ¡a Cultura Víctor Espíndola Cabrera Director Editorial

Primera edición, 2000 ISBN: 968 863 426 3 ©Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Dirección General de Fomento Editorial Av. Juan de Palafox y Mendoza 406 Teléfono y fax 2 29 55 00 ext. 5768 Puebla, Pue. Impreso y hecho en México Printed and made in México

índice Capítulo I. Introducción. Análisis Cinemático de los Sistemas. Grado de Hiperestaticidad de una Estructura

9

1.1 Objeto y alcance del libro

9

1.2 Distintos tipos de sistemas 1.3 Análisis cinemático de los sistemas

13

1.4 Grado de hiperestaticidad de una estructura

20

Capítulo II. Análisis de armaduras

27

2.1 Definición 2.2 Análisis cinemático

27

2.3 Métodos de análisis estático de armaduras

29

2.4 Armaduras de configuración racional

42

Capítulo I I I . Líneas de influencia

47

3.1 Definición

47

3.2 Líneas de influencia en vigas

48

3.3 Líneas de influencia en armaduras

60

3.4 Utilización de las líneas de influencia

67

Capítulo IV. Arcos y pórticos isostáticos

81

4.1 Introducción

81

4.2 Análisis de arcos Inarticulados sometidos a cargas estáticas

4.3 Análisis de arcos inarticulados, con cargas móviles

92

4.4 Análisis de pórticos isostáticos

103

Capítulo V. Teoría de los desplazamientos

115

5.1 Introducción

115

5.2 Teoremas energéticos basados en el principio de trabajo virtual

126

5.3 Teoremas energéticos basados en el principio del trabajo virtual complementario

132

5.4 Teoremas de Reciprocidad

135

5.5 Cálculo de desplazamientos

137

Bibliografía

157

Capítulo I

Introducción. Análisis cinemático de los sistemas. Grado de hiperestaticidad de una estructura 1.1 Objeto y alcance del libro 1.1.1 Ubicación del análisis en el proceso de construcción de una estructura Antes de llegar a la construcción de una estructura, construcción que surge a partir de una necesidad, ya sea ésta social o particular, hay que dar una serie de pasos. Los más importantes son los siguientes: En primer lugar está el proyecto, en el que se trata de dar respuesta a las necesidades planteadas. A continuación hay que proceder al análisis de dicho proyecto. En esta etapa se calculan las acciones interiores, momentos Héctores, fuerzas cortantes, fuerzas axiales y otras que las solicitaciones (cargas, asentamientos de apoyos, efectos de temperatura, viento, sismo, etc.) originarán en la estructura. [9]

lü

INTRODUCCIÓN. ANÁLISIS CINEMÁTICO

Pero entre el proyecto y el análisis hay otro paso de suma importancia: en él se establece el esquema de análisis. Aquí se definen los elementos estructurales constituyentes, las cargas y otras solicitaciones que deba soportar la estructura, las características de los materiales con que se va a construir, las condiciones de apoyos y unión entre los elementos, etc. Una vez que se ha definido el esquema de análisis, se procede al análisis propiamente dicho de la estructura y posteriormente al diseño, etapa en la que se calculan las dimensiones que deben tener los elementos que forman la estructura, tomando en cuenta las propiedades de los materiales, necesidades arquitectónicas, etc. Finalmente se pasa a la construcción de la estructura.

1.1.2 Alcance del libro Atendiendo a la geometría de los elementos que forman una estructura, se dice que ésta está compuesta de elementos lineales, de superficie o de volumen. Son elementos lineales aquellos en los que una de las dimensiones (la longitud) es mucho mayor que las otras dos. Estos elementos tienen la ventaja de que para su análisis pueden representarse por su eje (caso de las vigas y columnas). Son elementos de superficie aquellos en los que dos de las dimensiones son mucho mayores que la tercera, como es e! caso de las placas y cascaras delgadas. En ellos el análisis puede realizarse representando al elemento por su plano medio, lo cual facilita el trabajo. Finalmente, en los elementos de volumen, las tres dimensiones son comparables y no puede hacerse ninguna simplificación, como es el caso de las losas de gran espesor. Atendiendo a las conexiones entre los elementos y a la unión del conjunto con la tierra, se puede hablar de estructuras isostáticas y de estructuras hiperestáticas. Una estructura es isostática cuando su análisis puede completarse con las ecuaciones de equilibrio de la estática y es hiperestática cuando para su análisis se requiere además de las ecuaciones de equilibrio, otro grupo de ecuaciones de deformación. En cuanto a los materiales que las constituyen, éstos pueden seguir la ley de Hooke, si la relación fuerza-desplazamiento es lineal (P = K - A ) o no seguir dicha ley. Afortunadamente la mayoría de los materiales que se utilizan en la construcción siguen, al menos dentro de ciertos límites, la mencionada ley. El tipo de análisis puede ser de primer o segundo orden. En el análisis de primer orden se supone que las deformaciones son lo suficientemente pe-

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS

11

quenas como para que las ecuaciones de equilibrio puedan plantearse como si el cuerpo no se hubiera deformado, en tanto que en el análisis de segundo orden esas ecuaciones hay que plantearlas tomando en cuenta la deformación de la estructura. Las fuerzas que actúan sobre las estructuras pueden ser concentradas (si su zona de actuación es pequeña en comparación de las dimensiones del elemento en que están aplicadas) o distribuidas en caso contrario. Ambas pueden ser fijas en el espacio o móviles (caso de los trenes, grúas viajeras, y otros). También pueden ser estáticas (que varían lentamente en el tiempo) o dinámicas, como es el caso de los sismos. Además, las estructuras pueden estar sometidas a otras solicitaciones como son los efectos de temperatura, asentamientos de apoyo, fenómenos de retracción, desajuste de elementos y otras. En lo que sigue nos ocuparemos del análisis de primer orden de estructuras isostáticas , compuestas de elementos lineales, fabricadas con materiales que siguen la ley de Hooke y sometidas a fuerzas concentradas o distribuidas, fijas o móviles, estáticas, así como a otras solicitaciones, como los efectos de variaciones de temperatura.

1.1.3 Hipótesis Las hipótesis que se introducen son: • El sólido es homogéneo, continuo e isótropo. • Es aplicable el principio de superposición, lo que implica que los tres grupos de ecuaciones deben ser lineales. >• La linealidad de las ecuaciones de equilibrio o linealidad estática exigen que las ecuaciones se planteen como si no hubiera deformaciones. > La linealidad de las ecuaciones de compatibilidad o linealidad cinemática exige que las relaciones entre deformaciones y movimientos sean de primer grado. lo que implica despreciar términos cuadráticos. ^ La linealidad del material implica que éste siga la ley de Hooke. es decir, que las relaciones tensiones-deformacioncs sean lineales. Además, si se descargan las acciones, no quedan deformaciones residuales. • Se considera válido el principio de Saint-Venant: En los puntos de un cuerpo sólido, suficientemente alejados de los sitiode aplicación de las cargas exteriores, las tensiones dependen muy poco de la forma precisa en que se materializan estas cargas.

12

INTRODUCCIÓN. ANÁLISIS CINEMÁTICO

1.2 Distintos tipos de sistemas Sistema: conjunto organizado de elementos lineales, de superficie o de volumen, o de ambos, que se suponen infinitamente rígidos.

1.2.1 Sistema cinemáticamente variable O---Q

Características cinemáticas: Hay desplazamientos relativos sin deformaciones (Fig. 1.1). Características estáticas: Acciones interiores indeterminadas si se aplican las ecuaciones de la estática.

Figura 1.1

1.2.2 Sistema crítico Características cinemáticas: Hay desplazamientos relativos pequeños, con deformaciones despreciables en la cinemática del priFigura2.1 , /tr -. . . mer orden (Hg. 2.1). Características estáticas: surgen tensiones infinitas si se aplica la estática del cuerpo indeformable. Conclusión: ni la cinemática del primer orden ni la estática del cuerpo indeformable pueden aplicarse en el análisis de estos sistemas.

1.2.3 Sistema cinemáticamente invariable o estructura Características cinemáticas: hay desplazamientos pequeños y deformaciones pequeñas no despreciables. Características estáticas: Se originan acciones interiores definidas y finitas. Usualmente el equilibrio puede plantearse, y se plantea, sin desplazamientos en el sistema.

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS

13

1.3 Análisis cinemático de los sistemas 1.3.1 Concepto de disco Se entiende por disco todo elemento (lineal, de superficie o de volumen), o conjunto de elementos, deí que se puede garantizar que es cinemáticamente invariable. (Véanse ejemplos en IsPfigura 3.1).

Figura 3.1

1.3.2 Tipos de unión o ligadura 1. Barras con articulación en ambos extremos. Evita un mo\o de un cuerpo respecto a otro y. por tanto, origina una reacción (Fig. 4.1. a y b).

=ü ; Ry*0 /TTTft

Figura 4.

14

INTRODUCCIÓN. ANÁLISIS CINEMÁTICO

2. Articulación cilindrica. Evita dos movimientos relativos \a dos reacciones (Fig. 5.1).

Ax=0 ; //////

Ay=0 ; Ry*0

[-"¡cura 5.1

3. Unión rígida. Hv ita tres movimientos relativos, y origina tres reaccione^ ( F i ü . 6.1).

Ax=Ay=Az=0 Rx*0 ; Ry*0 ;

f-igura 6.1

1.3.3 I m a r i a b i l i d a d cinemática de dos discos arados de libertad o movimientos posibles de un disco respecto a otro son tres. SfrtQdfe^pdura elimina un movimiento relativo, se necesitarán :5 para inmovilizar entre si los dos discos (Fig. 7.1). Articulación ficticia o centro instantáneo de rotación

Figura 7.1

ESTRUCTURAS Isos'i ÁTICAS PLANAS

15

Las tres ligaduras pueden proporcionarse mediante: Una barra más una articulación (real o ficticia) (Fig. 8.1. a). Tres barras (Fig. 7.1). Una unión rígida o empotramiento (Fig. 8.1. b).

/777T7

a)

b) Finura 8,1

Notas: t ) Las tres barras no deben ser paralelas ni concurrentes (Fig. 9.1, a). 2) La barra no debe pasar por la articulación (Fig. 9.1, b).

a)

b) Figura 9.1

Ejemplo. Demostrar la invariabilidad cinemática del triángulo. (Véase Fig. 10.1). Solución: ligadura El triangulo es cinemáticamente invariable

articulación N

Fieura 10.1

INTRODUCCIÓN. ANÁLISIS CINEMÁTICO

16

1.3.4 Invariabilidad de tres discos A partir de la invariabilidad cinemática del triángulo se concluye que se requieren tres articulaciones o seis ligaduras, para asegurar la invariabilidad cinemática de tres discos (Fig. 11.1). •vU

Figura 1 1 . 1

Nota: Las tres articulaciones no deben estar en línea recta, para no originar un sistema crítico (Fig. 12.1). -O

Figura 12.

1.3.5 Ejemplos Demostrar la invariabilidad cinemática del sistema de la Fig. 13.

Fisura 13.1

K \ ISUSTATICAS PLANAS

17

Solución: El disco I, el disco II y el disco Tierra están unidos entre sí mediante articulaciones no situadas en línea recta, y constituyen un aran disco A (Fig. 14.1). 1,2

f

Figura 1 4 . 1

El disco III se une al disco A mediante una articulación y una barra. Por lo tanto, el sistema es cinemáticamente invariable (Fig. 15.1).

barra

Figura 15.1 2. Hacer el análisis cinemático del sistema de la Fig. 16.1.

'T.

16.1

INTRODUCCIÓN. ANÁLISIS CINEMÁTICO

18

Solución: Los discos U 2 y Tierra están unidos entre sí por tres articulaciones: una real y dos ficticias, pero situadas en línea recta: el sistema es crítico (Fig. 17.1). Puede conseguirse la invariabilidad cinemática cambiando de posición el apoyo simple inferior y situándolo en la articulación derecha.

Figura 17.1 3. Hacer el análisis cinemático del sistema de la Fie. 18.

Figura 18.1 Solución:

El disco 1. el 2 \a Tierra están unidos por tres articulaciones ficticias: 2. T; 1, 2 y 1. T. Las tres quedan en línea recta y. por lo tanto, el sistema es critico (Fic Figura 7.3 b) Fuerza cortante: (Fig. 8.3):

p=i

1°) P a la izquierda de C:

i

v.=o Fjgura s

,

2°) P a la derecha de C:

P=l V. = P = 1 = const.

ir Figura 9.3

Si el empotramiento está en B, se obtiene sin dificultad la l.i. de la figura 9.3.

52

LÍNEAS Dt-INFLUENCIA

3.2.5 Transmisión indirecta de la carga En ocasiones ocurre que la carga no actúa directamente sobre el elemento que se está analizando, sino que se transmite a éste por medio de elementos secundarios (Fig. 10.3).

r

secundarios

iP

^secundarios

Entendemos, en este caso, por elemento principal, el que se sustente por sí mismo, y por elementos secundarios, los que requieren del principal, como apoyo, para garantizar su mvanabilidad cinemática. En la figura 10.3 son elementos principales la viga AB y el arco inarticulado ABC. siendo secundarios todos los demás elementos. Veamos cómo se construye la línea de influencia en estos casos: Sea la viga principal AB, y sobre ella una elemento secundario DE (Fig. 11.3). Supongamos que interesa la l.i. del momento en C. cuando la carga se mueve según la línea de puntos. PD

PE

P=l

/TTTft

'Lf

Figura 11.3

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS

53

VD Figura 11.3

Se construye la línea de influencia del momento en C como si no existiera el elemento secundario. En tanto la carga se mueve sobre la viga principal, será válida la línea de influencia que acabamos de trazar; es decir, la recta izquierda es válida desde el extremo del voladizo hasta el punto D. y la recta derecha desde E hasta el extremo del voladizo. Cuando la carga P=l pasa al elemento secundario DE, aquélla se puede descomponer en dos cargas estáticamente equivalentes que actúan en D y E. L. -z p _A P =—' v rE ~

L,

Por definición de l.i. debe cumplirse:

•y E La ecuación anterior corresponde a una línea recta, la cual puede ser trazada conociendo dos de sus puntos. Siz = O.M c = y D ; La siguiente puede ser una regla práctica para trazar la línea de influencia en estos casos; 1 . Se construye la linea de influencia deseada como si no existieran elementos secundarios. 2. Se definen las zonas válidas de dicha línea de influencia. 3. Se definen dos punto de "la recta de transmisión" o tramo de la línea de influencia que corresponde a la carga sobre el elemento secundario. En general, los dos puntos más convenientes corresponden a posiciones de la carga unitaria sobre los apoyos. 4. Se traza la recta de transmisión.

LÍNEAS DF. INFLUENCIA

54

3.2.6 Ejemplos Ejemplo 1. Construir las líneas de influencia del momento flector y la fuerza cortante en las secciones C\ C2; C2 está justo bajo el apoyo del elemento secundario. La carga se mueve según indica la linea de trazos (Fig. 12.3). /7/&7 %7ffJ

•=

D, l.

"^^^jjjIJJiJ^

D, l.i. Vr.

bj/L

> l.i. Mr-

I>> l.i. Vr? fiza)

l.i.

Figura 12.3

VC2

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS . Solución: a) l.i. del MCI, (Fig- 12 - 3 ) : Se construye la l.i. como si no existiera el elemento secundario. De esta línea de influencia, sólo es válida la parte de la recta izquierda marcada con trazo continuo, pues la carga sólo se mueve en el tramo de la viga principal que corresponde a la parte mencionada. Cuando la carga pasa al elemento secundario, es necesario definir dos puntos para poder trazar la recta de transmisión correspondiente. En general, estos dos puntos se obtienen para posiciones de la carga sobre los apoyos del elemento secundario. Así, si P=l está sobre el apoyo E, toda la carga se transmite por dicho apoyo a la viga principal, a la izquierda de C. y el valor de M^] estará dado por la ordenada medida bajo E. en la recta izquierda; es decir, es válido el punto E] sobre la recta izquierda. Si P=l está sobre el apoyo D. toda la carga se transmite a tierra y el momento en C\á nulo; o sea. la ordenada de la línea de influencia debe ser cero. Por tanto, es válido el punto D]. Uniendo D\ E\e obtiene la recta de transmisión, que se prolonga a la izquierda de E] hasta donde termina el voladizo. La zona rayada es la que indica la línea de influencia definitiva. En forma similar se obtienen las demás líneas de influencia. Sólo hay que hacer una salvedad con ía J.j. de la fuerza cortante en C?La sección C? coincide con el apoyo E. en el que lógicamente debe aparecer una reacción cuando la carga está sobre el elemento secundario, transmitiéndose parte de la carga a la viga principal por ese punto. Por otro lado, como se sabe, el diagrama de la fuerza cortante sufre una discontinuidad donde actúa una carga concentrada, quedando la fuerza cortante definida sólo para una sección infinitamente próxima por la derecha y para una sección infinitamente próxima por la izquierda, ambas respecto al punto de aplicación de la carga. Por lo anterior, será necesario construir dos líneas de influencia de la fuerza cortante en C2: una para la sección infinitamente próxima por la derecha y otra para la infinitamente próxima por la izquierda. Cuando C> está infinitamente próxima por la izquierda, la carga que se transmite por I pasa a la derecha y el punto £2 pertenece a la recta derecha. Cuando C 2 está infinitamente próxima por la derecha, el punto H2 pertenece a la recta izquierda.

LÍNKAS oh: INFLUENCIA

56

Ejemplo 2. Construir las líneas de influencia de indicado en la figura 13.3.

M(^2- MD y Vrj para el sistema

I /WíV

2'Sec. Hi

l'Sec

U MCI

'ízq

l.ÍMc2

l.iM D

dci

h,

ESTRUCTURAS Isosi ÁTICAS PLANAS

57

Solución: La diferencia respecto al ejemplo anterior, estriba en que ahora tenemos dos elementos secundarios, EF y GH; uno de ellos, el EF, es principal respecto al otro, pues no requiere de él para sustentarse. El procedimiento que hay que seguir, será en todo similar al indicado anteriormente: primero, se construye la linea de influencia como si noexistiera ningún elemento secundario; a continuación se consideran las modificaciones introducidas por el primer elemento secundario, el EF; y, por último, se analizan los cambios que produce el elemento GH. De nuevo conviene destacar el hecho de que para la fuerza cortante en D será necesario construir dos líneas de influencia, por la discontinuidad que introduce la carga concentrada del apoyo. Ejemplo 3. Construir las lineas de influencia de M\ Mg para el sistema de la figura 14."1 C

D

G . . . -

\

.

!

.

//fw'

S7&7

bf

Di. ff».

l.iM*

Figura 14.3

58

LÍNI.AS DI INFLUENCIA

.i. Mí El

Sec.

Figura 14.3

Solución: En este caso, la viga principal está constituida por el elemento CDEF. y el resto del sistema, en su totalidad, por elementos secundarios. Al construir la línea de influencia de Mg debe observarse que. cuando la carga se mueve de C a D, se transmite al elemento interior, a través del elemento rígido, como una carga más un momento. Este momento introduce una discontinuidad similar a la que introduce la carga concentrada en el diagrama de tuerza cortante, y será necesario analizar, respecto de B. una sección infinitamente próxima por la derecha y otra infinitamente próxima por la izquierda.

3.2.7 Aplicación a vigas continuas isostáticas El sistema adopta, en ocasiones, la forma indicada en la figura 15.3. Las líneas de influencia en estos casos se obtienen en modo semejante al visto anteriormente, si primero se sustituye el sistema dado por otro compuesto de elementos principales y secundarios, de acuerdo con la definición dada en la sección 315. H

D

B

-

S??ff7

a)

D •

G /7&77

b) Figura 15.3

H SJ7W

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS Así. en la viga continua de la figura 15.3. a), son principales los tramos BCDE y FGH, y son secundarios (se apoyan en los principales) los tramos AB y EF. de acuerdo con esto, el sistema dado puede representarse por el esquema de la figura 15.3, b), y en éste se pueden construir las líneas de influencia, tal como se indicó en la sección 315. Ejemplo: Construir las líneas de influencia de M j . M2 y M3. en la viea de la figura 16.3. .A B C D E F /7fy7

X^7

?

/Tfy?

D

A-

X^

/7¿fr>

/7fy7

E' G

C'

U.MI

i.M2

E'

D'

Figura 16.3

LÍNP.AS DF INFLUENCIA

60

3.3 Líneas de influencia en armaduras 3.3.1 Líneas de influencia de las reacciones de los apoyos. Las reacciones de apoyo son independientes de que el sistema apoyado sea una viga o una armadura, por consiguiente, las líneas de influencia de las reacciones serán idénticas en ambos casos (Fig. 17.3).

U.

l.i. RB Figura 17.3

3.3.2 Líneas de influencia de las acciones de las barras Son dos los métodos que generalmente se utilizan para construir las líneas de influencia de las acciones en las barras: el método de las secciones y el método de los nudos, cada uno derivado del correspondiente método de la estática para el análisis de armaduras bajo cargas estáticas.

ESTRU TURAS ISÜSTATICAS PLANAS

61

l.i. 03 (carga por abajo)

I.i. V3 (carga por abajo)

Telar

l.i. V3 (carga por arriba)

3d/r l.i. 05 (carga por abajoí l.i. [5 (carga por abajo)

I

LÍNEAS DI-: INFLUENCIA

02

A) Método de las secciones. La base del método es dar una sección que corte el elemento cuya línea de influencia se quiere calcular; como veremos, ésta se construye a partir del equilibrio de cada una de las partes de la armadura seccionada. Sea por ejemplo la armadura de la Fig. 18.3 para la que se van a construir las líneas de influencia indicadas: a) Línea de influencia de la fuerza axial en 03 (suponiendo que la carga se mueve por abajo). Damos la sección 1.1 y analizamos los dos casos: 1°) P a la izquierda de C: Conviene examinar el equilibrio de la parte derecha:

D- -sena + R B =0;.*.D3 =-

- • R B (r.izquierda) sena 2°) P a la derecha de C: Hacemos el cuerpo libre de la parte izquierda: a

1 Di

R A - D, • sena = O 1 R . (r.derecha) sena

RA

Cuando la carga se mueve entre C y D la transmisión es un línea recta. Obsérvese que las rectas izquierda y derecha son paralelas y por lo tanto se cortan en el infinito, bajo el punto de Ritter del elemento 03. Puede demostrarse que siempre, ambas rectas se cortan bajo el punto de Ritter correspondiente al elemento analizado, b) Linea de influencia de V3 (si la carga se mueve por abajo): Se da la sección 2.2 y se plantea el equilibrio de los cuerpos libres. l ü ) P a la izquierda de C: Se analiza el cuerpo libre de la derecha.

R B = Vj (r. izquierda) RB

1-S I RUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS

63

2°) P a la derecha de D: Analizamos el cuerpo libre de la izquierda.

V- = -R

(r. derecha)

A

Como siempre, ambas rectas se cortan bajo el punto de Ritter (en este caso en el infinito) y la transmisión es una línea recta. c) Línea de influencia de V3 (si la carga se mueve por arriba): Sirve la misma sección 2.2, pero la recta de transmisión será EF. 1°) P a la izquierda de E: Analizamos el cuerpo libre de la derecha, que es el mismo que se utilizó para P a la izquierda de C: .-. V 3 = R B 2") P a la derecha de F: Analizamos el cuerpo libre de la izquierda (ver P a la derecha de D):

V, = -R B Como se ve, la línea de influencia de es muy parecida en ambos casos (carga por abajo o carga por arriba) variando la transmisión. d) Linea de influencia de 05 (carga por abajo): La sección 3.3. que es la conveniente, cae en la zona del voladizo y conviene analizar en ambos casos, (carga a la izquierda de B y carga a la derecha de G) el cuerpo libre a la derecha de la sección, pues en el cuerpo libre a la izquierda intervienen R.\ Rg. además de 05. quedando por lo tanto, expresada la línea de influencia de ésta en función de las dos reacciones. Conviene, así, proceder como se indica: D P a la izquierda de B: Analizamos la parte derecha:

MR I ) 5 -0. D s -O

Rü5

(r.-izquierda).

, 90°

2°) P a la derecha de G: analizamos también la parte derecha: Rl5

r

'

~

(r. derecha)

LÍNHAS DE INFLUENCIA

64

e) Línea de influencia de ¡5 (carga por abajo). Sirve la misma sección 3.3 y el razonamiento es en todo análogo al caso anterior, variando sólo el punto de Ritter: 1°) P a la izquierda de B: IMR I 5 =0 I5 -d = 0 I. =0 (rect.izq.) 2 tl ) P a l a derecha de G: ZMR I 5 =0 _z fz = 0. I 5 = 0 - ' s = - ¿ jz = d, I 5 = . (rect. der.) Nótese cómo ambas rectas (izquierda y derecha) se cortan bajo el punto de Ritter del elemento 15. B) Método de los nudos. La construcción de las líneas de influencia por el método de los nudos, se basa en el estudio del equilibrio de un nudo al que esté conectado el elemento analizado. Sea por ejemplo, construir las líneas de influencia indicadas para la armadura de la figura 19.3.

.i.V 3

U. V5 Figura 19.3

ESTRI v i i :RAS Isos TATICAS PLANAS

(ó

Solución: 1°) Línea de influencia de V3 (la carga se mueve por abajo). Se da una sección, como la 1-1 que aisle al nudo A, cuyo equilibrio se analiza para tres distintas posiciones de la carga unitaria P=l. a) P a la izquierda de F:

l

RA

b) P a la derecha de ( :

(recta derecha»

RA

c) Pen A:

V3

P=l

-I: v3=o

l

En este caso habrá dos rectas de transmisión, que corresponden al desplazamiento de F hacia A y de A hacia C, respectivamente. 2") Línea de influencia de V5 (la carga se mueve por abajo). Mediante la sección 2-2 se aisla al nudo D. y luego se procede al análisis de su equilibrio para tres posiciones de P. a) P a la izquierda de C: V5 V"5=0 (recta izquierda).

D

bí P a la derecha de E: V5 5=0 (recta derecha).

D

LÍNEAS on INFLUENCIA

66

c) P en el nudo D: V5 |p=l h.

V 5 =l.

La línea de influencia se completa trazando las dos rectas de trasmisión CD y DE. En general, este método es menos útil que el método de las secciones, ya que, casi siempre, las líneas de influencia quedan expresadas en función de las correspondientes a otros elementos de la armadura. En ocasiones conviene aplicar los dos métodos en la solución de un problema, sobre todo cuando una línea de influencia queda expresada en función de otras. Ejemplo. Construir la línea de influencia de V3, para la armadura de la figura 20.3.

l.i. V¿ (Carga por abajo). i.i. V2 (Carga por arriba).

\.

(Carga por abajo).

.i. V3 (Carga por arriba). Figura 20.3

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS

67

Solución: Haciendo el análisis, bien por el método de los nudos, bien por el de las secciones, de cualquier modo ía fuerza axial en V3 queda expresada en función de la tuerza axial en algún otro elemento de la armadura. Dando, por ejemplo, la sección 1-1, y si la carga va por abajo, consideraremos las posiciones siguientes: 1°) P a la izquierda de M. Analizando el equilibrio de la parte de la armadura situada a la derecha de la sección indicada: V3=RB-V: 2°) P a la derecha de N. Analizando el equilibrio de la parte a la izquierda de la misma sección 1-1: V3 = - R A - V 2 = -R A (Pero V?=0, cuando P está a la derecha de N). En el primer caso, o sea, cuando P se encuentra a la derecha de M, V3 es función de la correspondiente reacción de apoyo y de V2- por lo que será necesario disponer de las líneas de influencia de Rg y \2- La de ésta última se obtiene fácilmente por el método de los nudos, y luego se procede a la superposición indicada por la ecuación deducida para dicho primer caso. Si la carga va por arriba, el análisis se simplifica, pues no hay posibilidad de situar la carga a la izquierda de S, y bastará considerar P a la derecha de T. Analizando, pues, el equilibrio de la parte izquierda: v. = - R , que puede construirse de inmediato.

3.4 Utilización de las líneas de influencia 3.4.1 Caso de cargas concentradas fijas Pl,

A

?2,

P,,

Pn,

1 . r "i" "i

Figura 21.3

Sean una viga ABC (Fig. 21.3) y la línea de influencia de la fuerza cortante en C. Si sobre la viga actúa un sistema de cargas Pl, P2, .... P¡, .... Pn fijas, la fuerza cortante en C valdrá, de acuerdo con la propia definición de línea de influencia.

68

LÍNEAS DH INFLUENCIA V3 = -P, - Y, + P: - Y, + ...P, - Y, + ...P,, - Yn = SP, - Y,

3.4.2 Caso de cargas distribuidas fijas sobre la viga actúa una carga distribuida en el tramo ab (Fig. 22.3). se obtiene:

q d/ /'

13

-4

/-a

i V = (q(z)dz-Y b

/=b

Siq(z) = const.

Y m Figura 22.3

3.4.3 Caso de momento puro fijo

A

B

-f

M

Si sobre la viga actúa un momento fijo (Fig. 23,3), el mismo puede sustituirse por dos fuerzas iguales y de sentido contrario, de modo que se cumpla. P=

Según la sección 330:

Figura 23.3

Az f z + — - f z ---=M

M Az

Az

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS

69

Es decir, la acción considerada se calcula como el producto del momento por la pendiente de la línea de influencia en el punto de aplicación del momento.

3.4.4 Caso de cargas móviles. Determinación de la posición más peligrosa Se entiende por posición más peligrosa de la carga, aquélla en que se produce el máximo valor de la acción que se está analizando. l ) S i se trata de una carga única concentrada, la posición más peligrosa será la que coincida con la ordenada máxima de la línea de influencia. 2) Si se trata de un tren de cargas, es decir, de un sistema, tal que las distancias entre las mismas permanecen fijas, para determinar la posición más peligrosa conviene establecer previamente los siguientes teoremas. a) Teorema sobre los tramos rectos de la línea de influencia Sea un tren de cargas P j , ?2 Pj Pp X 'a Mnea de influencia S de una acción cualquiera (Fig. 24.3).

"i

. 1

I

d-

"I l.i.S.

O

~ —• ~~ "

"

Figura 24.3

S = Z P , -Y,

LÍNEAS DE INFLUENCIA

70

Pero Por otro lado.

Y, = Z j - t g a /. S = SP¡ - Z , -tgct-tga-SP, - Z , IP, -Z, = R - Z R

.-.S-R-Y, Cuando la linea de influencia es una recta, puede sustituirse el sistema de cargas dado, por su resultante y efectuarse los cálculos que se deseen multiplicando dicha resultante por la ordenada correspondiente en la línea de influencia. b) Teorema sobre la línea de influencia quebrada Cuando la línea de influencia es quebrada, para que la posición sea peligrosa debe cumplirse primero que al menos una de las cargas esté situada sobre alguno de sus vértices. Sea una línea de influencia quebrada, correspondiente a una acción cualquiera S (Fig. 25.3). Supongamos que en la posición I. al menos una de las cargas, la P,, por ejemplo, está sobre un vértice y que. además, esta posición corresponde a lo que hemos definido como posición peligrosa. Pl, .

_ii

P2,

-

f_t

Pj,

.

f-i

P4,

,

i_y

Pn

-

Pn

ti

Ax

l^x T

Figura 25.3 Si. como decimos, la posición es crítica o peligrosa, debe cumplirse: Dando al tren de cargas un desplazamiento Ax hacia la derecha, la variación de S valdrá: i j i Ay, = Ax • tga .'. AS = Ax • SP, • tg a Pero AS < O , pues la posición es peligrosa, y:

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS

71

Ax > O , pues es el desplazamiento es en sentido positivo. .'. SPj - t g c t < 0 (1) Si se da ahora un desplazamiento Ax hacia la izquierda, a partir de la posición I. se tiene: AS = SP, - Ay, Ay¡ = A x - t g a ,

Pero AS < O y Ax < O :. SP, - t g a > 0 (2) Para que se cumplan í 1) y (2) se necesita que al menos una P esté sobre un vértice de la linea de influencia. La posición peligrosa ocurre cuando una de las cargas está sobre un vértice y se cumplen las condiciones ( 1 ) y (2). En general, habrá varias posiciones peligrosas y será necesario comparar los valores de S para cada una de ellas. Ejemplo. Calcular la posición más peligrosa del tren de cargas de la Fig. 26.3. para la línea de influencia que se indica. 3.5 tn. c/u 3 tn c/u

r~ \

3

-

4

5

1 1 I i 1 .

_J

6

_ _

í \ i^

8

tn. c/u

_1

Figura 26.3 -0.25

) I L* . ^«J

4.5

8.(xr

9

72

LÍNFAS DF INFLUENCIA

Solución: Supongamos que el tren entra por la derecha. Mientras las cargas estén a la derecha de b, todas las tgcti < 0 . h y SR - t g a , < 0 . 1=1 Analicemos la posición correspondiente a la carga & sobre el vértice b, (Fig.27.3). h

6

a 4.8

2.2

3.2 0.8 Figura 27.3

Desplazando 3) a un Ax hacia la derecha de b: I R • t g a , = 2 - 3 . 5 - - - 3 - 3 . 5 - 1 - 2 - 3 - - = ~ - a un Ax hacia la izquierda de b: IP, - t g a , -3 -3.5-- - 2 - 3 . 5 - - - 2 - 3 - - = - > 0 . 8 16 8 8 Por tanto, la posición analizada es una posición peligrosa. Analicemos a continuación ® sobre b (Fig. 28.3). h

S

1

,-)

2

0

-— 3.2 ~ 1.6*t~U

3

r.

4

c>

n

1 )H*- UffT* l.d*T 24

Figura 28.3 Dando un Ax hacia la derecha de b:

6o

9 o

.8

n

--v H o

3.8^

J^J 7

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS

73

SP - t g a , = 3 - 3 . 5 - - - 2 - 3 . 5 - -1 - 2 - 3 - - = ->0. ¡-i ' 8 16 8 8 (D sobre b no es una posición crítica o peligrosa. De modo similar se procede con 0. 16

16

(D sobre b es otra posición peligrosa. El análisis se completa examinando posiciones de las cargas bajo el otro vértice, c. de la línea de influencia y siguiendo después el mismo proceso, pero con el tren entrando por la izquierda. Para diseñar, hay que calcular los valores de S para todas las posiciones peligrosas y tomar el mayor de dichos valores.

3.4.5 Caso particular de línea de influencia triangular Los cálculos anteriores se simplifican mucho cuando la línea de influencia considerada es triangular (Fig. 30.3). Para averiguar si la situación de una carga cualquiera P sobre el vértice constituye una posición peligrosa: 1) Demos a PC un Ax hacia la derecha:

74

LINEAS DE INFLUENCIA R, - t g a , + P, - t g a , + R 0 - t g a : < 0

h h tga, - , tga, = a L-a Pc - h

R D -h

0 R , - L + Pt L - ( R , + P c + R n ) a > O a

R , + P, > R

(2)

De acuerdo con lo anterior, para que una posición dada sea peligrosa, en el caso particular de línea de influencia triangular, se necesita que una de las cargas esté sobre el vértice y que se cumplan las condiciones ( 1 ) y (2). Ejemplo. Calcular el momento flector máximo en C, producido por el tren de cargas indicado (Fig. 31.3).

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 21 tn. c/u

1

2

3

4

5

L1_1_LJ

18tn. c/u

18 tn. o/u

6

8

7

LJ

t- 1.6—' i.6~r i.ó*1* 1.6-r—3.a ~*~ 1.6^

4.r

9

U_

-r i.6~í

18.00— Figura 31.3

3

1

tgct, = - , tga : = 4 4 R T =177 tn. Solución: 1) El tren entra por la derecha. a) J sobre el vértice quedan fuera de la viga. R ' , = 1 4 1 t n . . R'. -=141 4 -- =35.25 tn. L 18 R , = 0 < 3 5 . 2 5 . R , ^P c = 2 1 < 3 5 . 2 5 .'. (D sobre el vértice no corresponde a una posición peligrosa. b) (3) sobre el vértice; © queda fuera de la viga. R' T =159tn., RV- =\59-4-- =39.75 tn. L 18 R , - 4 2 > 3 9 . 7 5 . R , + Pc =63 >39.75 /. (D sobre el vértice tampoco corresponde a una posición peligrosa. En las dos últimas igualdades puede observarse que los miembros de la i/quierda resultaron, ambos, mayores que los de la derecha. Cuando se avanza de derecha a izquierda, esto quiere decir que fue pasada una posición peligrosa y que es necesario retroceder. c) ® sobre el vértice; (D y © fuera de la viga.

70

LÍNl : AS 1)1 l\

R 1 , = 141tiu

I I'HNCIA

- R ' , . =35.25 tn.

R , = 2 5 < 3 5 . 2 5 , R, + Pc =42 r - m + l - senh - ;=H 1 + K • f

1V

*)

m — 1

La componente vertical de la reacción de apoyo se determina por la proyección de la fuerza N m ¿ x sobre el eje vertical. V

=

NnúxSena;,rr

= ^ ' tg Ct arr

f ( L V = H- -Ksenh! Km-1 V 2 c) Con carga radial (Fig. 15.4): •• •.

d

r~ *

l.i.Mf

a)

10 , y en ellos las

tensiones normales se pueden determinar por: N M N M o = —+ A WK A W. siendo. a, b. las caras externa e interna del arco (Fig. 25.4).

c

1

c

^

1

1

J_...

1 k. i *S ¿tí" T

ha

hb 1

b Figura 25.4

Las tensiones máximas en a y b, cuando la solicitación sea un tren de cargas móvil, no serán fácilmente calculables, pues las posiciones que

101

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS

hacen máxima la fuerza axial y el momento flector no coinciden, lo que obliga a proceder por tanteos. En vez de trabajar con el momento flector, respecto al centroide de la sección, conviene trabajar con el momento nuclear. El momento nuclear se define como el momento de las tuerzas que están a la izquierda (a la derecha) de una sección, respecto al extremo superior e inferior del núcleo central de dicha sección. Sea R la resultante de las fuerzas que están a la izquierda de una sección. y N y V sus componentes según los ejes normal y tangencial, respectivamente.

OM

La componente N puede trasladarse al punto "i" (extremo inferior del núcleo central de la sección transversal del arco), (Fig. 26.4). siendo: M, = N ( e + K) La componente N aplicada en "i" origina un diagrama de tensiones triangular, con valor máximo en la cara "b", en tanto que M, da lugar a tracciones en la cara "b" y compresiones en "a". M De acuerdo con la figura 26.4: o.¿ = O + En forma similar puede obtenerse, crb aplicando N en "s":oh =

ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTÁTICOS

102

De este modo se logra, expresar las tensiones en el trasdós y en el intradós del arco en función de una sola variable: MÍ y Ms, respectivamente^La posición de las cargas que haga máxima o mínimas estas tensiones, será la misma que haga máximos (o mínimos) MÍ y Ms, por lo que será necesario construir las líneas de influencia de estos momentos. Las líneas de influencia de los momentos nucleares se construyen por las mismas reglas que las líneas de influencia del momento central, con la sola diferencia de que las rectas izquierda y media se cortarán por debajo del correspondiente punto nuclear, extendiéndose sus partes útiles hasta la vertical que pasa por el punto central de la sección (Fig. 27.4).

Para ver dónde colocar las cargas para obtener los valores máximos (o mínimos) deseados, basta recordar que: oa está relacionado con Mt y a^ está relacionado con Ms y, además, la convención de signos de resistencia de materiales para el momento flector:

D

D

M>0 Así. en la misma figura 27.4, para obtener: Tracción máxima en "b", habrá que cargar 1-2 Compresión máxima en "b". habrá que cargar 2-3

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS PLANAS

103

Tracción máxima en "a", habrá que cargar 2'-3' Compresión máxima en "a", habrá que cargar 1 '-2'

4.4 Análisis de pórticos isostáticos 4.4.1 Gráficos de M, V y N, para cargas fijas Estudiaremos este párrafo mediante la solución de algunos ejemplos. Ejemplo 1. Construir los gráficos de M, V y N del pórtico de la figura 28.4. q=3t/m E

lili

í.

a

¡II!

G

D

4.0 12 tn.

F

4.0 A

* '2.0 T

>7

-4

4.0

^

J

Bv

Figura > -

1°) A partir del cuerpo libre del sistema completo, se calculan las reacciones de apoyo que sean fácilmente calculables: En este caso: SM A -0; 3 - 6 - l - 1 2 - 4 + 8 - B v -O 48-18 15 .. B v = - = — tn. 8 4 87

E F = 0 : A - 3 - 6 - — -O .-. A = tn. 4 4 Las reacciones Ax y Bx no pueden calcularse a partir del cuerpo libre general. 2°) Se pasa al análisis de cada una de las partes constitutivas del pórtico. Aquí vale aclarar que conviene separar el pórtico por sus articulaciones y analizar el equilibrio, primeramente, de aquellas partes donde aparezcan menos incógnitas.

ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTÁTICOS

104

Una vez resuelto el equilibrio de cada pane, la construcción de los gráficos es inmediata. a) Cuerpo libre ACG (Figura 29.4). En él aparecen sólo tres incógnitas y por lo tanto puede resolverse completamente: 3t/m

=0; 8 A + 3 - 6 - 3 -

87

_87-54_33 A „ —— tn. 8 8

8.0

¡_ 2.0 I

4.Q

IF =0; /. G = —tn. 8

|

Figura 29.4

SM A =0;

33

8

- 8 - 3 - 6 - l + 4Gy =0;

-33^18 -15 .. u v =— - = - -tu. 4 4 El signo menos indica, como siempre en estos problemas, que el sentido supuesto para Gy es incorrecto y debe ser hacia abajo. Queda todavía una ecuación. IF, = 0 . que es conveniente utilizar con fines de comprobación: SF =0;

87

15

4

4

- 6 - 3 =0

A continuación puede precederse a la construcción de los gráficos para esta parte del pórtico, figura 30.4. 33

39

33

l!li!|iiríTÍTT":l !. -. V ' f* A—

c, ficr t—

-J

X

'I 5

15

4

4

ÍC 33 8

[J

, A

V Figura 30.4

N

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS

105

Tramo AC: El momento flector varía linealmente de O en A, a un máximo en C: M r = —8 = 3 3 t - m 8 fraccionando las fibras de la izquierda, y en esa parte dibujamos el diagrama. 33 La fuerza cortante, vale -- t y se mantiene constante en toda la longio

tud. El signo de esta fuerza cortante es negativo, pues gira en sentido contrario al reloj respecto a cualquier sección de AC. La fuerza axial vale — t , es de compresión y se mantiene constante. Tramo EC: La ecuación del momento flector para cualquier sección es: M = 3— , variando de cero a un máximo para x=2: 2 Mr = - - = 61 - m 2 este momento tracciona las fibras superiores. La fuerza cortante vale: V = q • x y varía de cero a un máximo para x=2: V =6tn. Esta fuerza cortante es negativa, pues también gira en sentido contrario al reloj respecto a cualquier sección del tramo EC. La fuerza axial es nula en todo el tramo. Tramo CG: En este tramo, el análisis es más fácil con las fuerzas a la derecha de una sección genérica 1-1: La ecuación del momento flector es: 15 3x 2 M = — x + - . variando de cero a un máximo para x=4 4 2

Mr = — 4 + 3 - = 3 9 t - m 4 2 este momento tracciona las fibras superiores. Debe comprobarse el equilibrio del nudo C: 39-33-6 = 0 La fuerza cortante vale:

^

106

ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTÁTICOS

V = - + 3x , y varia de cero a un máximo para x=4:

15 63 Vr = - + 3 • 4 = — t - m 4 4 Esta fuerza cortante es positiva pues gira en sentido del reloj respecto a una sección genérica 1-1. La fuerza axial vale: Nc :

- tn.. es de compresión y se mantiene constante en toda la longitud o

CE. Debe comprobarse también el equilibrio del nudo C para las fuerzas actuantes en él: 6 33 d-

63

8

4 T~ a) Cuerpo libre GDB (Fig. 31.4): •i^ v^ —»T yL.N _ 8

D

15_ L

.

y [2 F

En él sólo aparece una incógnita Bx y puede calcularse inmediatamente: VT~ n IF -0: B x =12-

y»

33

=

63 ^

tn.

15 4

Figura 3 1.4

A continuación se construyen los gráficos para esta parte del pórtico. figura 32.4. Tramo BF: El momento flector vale, para cualquier sección: M = — y . variando de cero a un máximo para: y=4: M , = — t - m traccionando las fibras interiores. 2 La fuerza cortante vale: V = - tn.. se mantiene constante hasta F y es negativa.

ES TRUC riJRAS ISOSl ÁTICAS PLANAS

107

0

0

15 4

33 8 D

G

33 8

B V Figura 32.4

N

La fuerza axial es de tracción y vale: N = — tn., manteniéndose constante hasta F. 4 Tramo FD: El momento flector en una sección genérica del tramo vale: M = - ( 4 + y ) - 1 2 y , variando de: o

63 y = 0: M f = — t - m a 2 y J

= 4; M n = — ( 4 - 4 ) - 4 S = 15m. U

o

*

O

La fuerza cenante vale: V - — + 12 = -" tn.. manteniéndose constante de F a D. 8 8 Debe observarse que ocurre un "salto" en el diagrama de fuerza cortante, en el punto de aplicación de la carga concentrada; la magnitud de este "salto" es justamente el valor de la carga. La fuerza axial vale: 15 N r = — tn.. se mantiene constante y es de tracción. 4 Tramo GD: El análisis de este tramo conviene hacerlo con las tuerzas situadas a la izquierda de la sección genérica. La ecuación del momento flector es:

108

ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTÁTICOS

M = — x , variando de cero a un máximo para: 4 x=4; M D = —4 = 15 t - m , traccionando las fibras inferiores. Nuevamente conviene comprobar el equilibrio del nudo D: * 15 D 15-15 = 15 La fuerza cortante vale: V = — tn., se mantiene constante hasta D, y es positiva. 4 La fuerza axial es de compresión y vale: N = — tn.. manteniéndose constante hasta D. 4 Debe comprobarse también el equilibrio del nudo D para las fuerzas actuantes en él: 33 8

15 4

IF=0; 15

'

4

El problema se finaliza construyendo los diagramas definitivos sobre el esquema del pórtico (Fig. 33.4). 33 8

15 ^niEMOpiniME 1

c I 87 V

N

Figura 33.4

Ejemplo 2. Construir los gráficos de M, V y N para el pórtico de la figura 34.4

•áF

109

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS

1°) Reacciones de apoyo: Del cuerpo libre del sistema completo, la única reacción fácilmente calculable es

A x =2-4s8tn. Las demás reacciones se calcularán posteriormente, al analizar las partes componentes de la estructura. 10 tn. i

S 4.0

D

Et 4.0

2t/m

A

B

&&?

tí

Figura 34.4

2°) Cuerpos libres y análisis de los componentes: conviene empezar por los cuerpos libres donde aparezcan menos incógnitas, a) Cuerpo libre CS: La carga de 10 tn. puede considerarse en este cuerpo libre o en el SFD (pero sólo una vez). La consideraremos en el SFD.

c

, = 0: C v =0

vi

i Sy

/. S > =0

IFX =0; C x =

M=V=0

N

Figura 35.4

b) Cuerpo libre SFD:

/.El diagrama de M y el de V son nulos.

El de N lo construimos cuando calculemos Cx (Fig. 35*4).

110

ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTATICOS

5=SX ¿

F ZF y =0;

.'. D, = 1 0 t n . t

IM D =0; Sx = - -=5tn. 4 IFX =0; D, = 5tn.

stnicüirmín

"l V

¿>zb?l N

Figura 41.4

4.4.2 Líneas de influencia en pórticos isostáticos Las líneas de influencia del momento flector. la fuerza cortante y la fuerza axial en pórticos isostáticos sencillos (una luz y un nivel), se construyen en base a los mismos principios que las correspondientes lineas de influencia en los arcos inarticulados. Puede emplearse, por lo tanto, el método analítico o mejor aún el método gráfico visto en 42. En la figura 42.4 se han construido algunas de estas líneas a título de ejemplo.

114

ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTATICOS

ti

l.i. VK

Figura 42-4

Capítulo V

Teoría de los desplazamientos 5.1 Introducción 5.1.1 Generalidades El estudio de los desplazamientos de las estructuras es indispensable para: a) Cuantifícar la rigidez de la estructura y poder diseñar ésta por el segundo estado límite (limitación de las deformaciones). b) Confrontar los desplazamientos teóricos y experimentales. c) Calcular los sistemas hiperestáticos, puesto que las ecuaciones necesarias para el análisis de estos sistemas, además de las proporcionadas por la Estática, se establecen a partir de condiciones impuestas a los desplazamientos.

5.1.2 Diferencia entre desplazamiento y deformación Un desplazamiento se define como un cambio de posición en tanto que una deformación además del cambio de posición, implica un cambio de forma del eje del elemento tal como se indica en la figura 1.5. [115]

116

TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS Desplazamiento

Desplazamiento

Deformación Figura 1.5

5.1.3 Notación Tanto los desplazamientos lineales como los angulares se designarán con A y un doble índice: el primero indica el punto y dirección del desplazamiento y el segundo, la causa (una fuerza, un gradiente de temperatura, etc.) que lo origina (Fig. 2.5;

m

Figura 2.5

Si la causa que origina el desplazamiento es una fuerza unitaria (Pm=l), el desplazamiento se indicará con "5" y los dos subíndices indicados anteriormente. Así, si Pm-l

5.1.4 Hipótesis Las únicas hipótesis de que se parte son: 1) Los materiales que constituyen la estructura siguen la ley de Hooke (Fig. 3.5). P i P=K-A

Figura 3.5

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS

117

2) Los sistemas son tales que se deforman linealmente, es decir, se les puede aplicar el principio de independencia de acción de las fuerzas. En estos sistemas, cualquier desplazamiento A¿, debido a vanas fuerzas Pj, ... Pn, en una dirección dada, es función lineal de estas fuerzas: A,=5,, . p ] + 5 j 2 . p 2 + . . . + 8 i n . p n *

donde 5 ]K = —— es el desplazamiento unitario debido a la fuerza PK *\) Las cargas se aplican lentamente, es decir, no hay problemas de impac

5.1.5 Trabajo real de las fuerzas externas El trabajo real de las fuerzas externas se define como el que éstas realizan en los desplazamientos producidos por ellas mismas. Las fuerzas externas deformando la estructura (Fig. 4.5) realizan un trabajo positivo. Este trabajo se transforma totalmente en energía potencial de deformación, acumulada por la estructura durante su deformación. Las acciones interiores, durante la carga de la estructura, se oponen a la deformación del cuerpo y realizan un trabajo negativo. Durante la descarga, las fuerzas externas realizan un trabajo negativo, y las acciones interiores, haciendo volver la estructura al estado inicial indeformado, realizan un trabajo positivo, con lo que se consume la energía potencial de deformación. Por lo tanto, el trabajo de las fuerzas internas es igual, pero de signo contrario, al trabajo de las externas y a la energía potencial de deformación, contada desde el estado inicial. T=-V=U Siendo: T = trabajo de las fuerzas externas. V = trabajo de las acciones interiores. U = energía potencial de deformación. Veamos cuánto vale el trabajo real de una fuerza externa P: I dP

Figura 4.5

TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS

118

Aplicamos primero P que, al deformar la estructura, origina un desplazamiento A del punto de aplicación "m". Al incrementar P en un diferencial dP el desplazamiento A se incrementa en un dA, teniendo lugar un trabajo elemental dT que vale: dT = (P + dP)dA - P • dA si se desprecian los diferenciales de orden superior. El trabajo total, cuando el desplazamiento final sea Amm, se calcula como la suma de los trabajos elementales: /Amm

/Amm

/\

La presencia del 1/2 se justifica por la aplicación lenta de las cargas. Si el material es elástico, el trabajo es igual al área bajo la recta en el gráfico P-A (Fig. 5.5).

P

Figura 5.5

Si el material no sigue la ley de Hooke (Fig. 6.5), puede definirse un trabajo complementario T*, que no tiene significado físico, tal que:

T* = Pra At

-

airan

P - d A = fA-dP

Este trabajo complementario es, lógicamente, distinto del trabajo real T: (Amm

T= P-dA

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS

119

5.1.6 Energía de deformación y energía complementaria de deformación Supóngase una relación tensióndeformación no lineal como la de la figura 7.5. La integral bajo la curva OA representa la densidad de energía de deformación:

u

U0 =

U0

La energía total de deformación almacenada en el elemento se obtiene integrando la densidad de energía de deformación en todo el volumen del mismo:

•

ec Figura 7.5

\)

U0 = El área comprendida dentro de la curva OA y el eje c representa la densidad de la energía complementaria de deformación U0 y se calcula:

(3.5) A partir de esta ecuación puede calcularse la energía complementaria de deformación U :

U

• • í: í

sdo dV

Para los reticulados y en general expresar la energía de deformación Como se sabe, esta energía para el Hooke, los elementos sean de poca está dada por: 2EA —

(4.5)

para las estructuras lineales, conviene en función de las acciones interiores. caso en que el material siga la ley de curvatura y la estructura sea espacial,

v? ds.

2GA

, _v[_ ds _ 'l^ y 2GA M:

2EL

2EL

2GJ

ds

(5.5)

TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS

120

siendo: N, la fuerza axial en la sección. Vx, Vy, las fuerzas cortantes según los ejes x, y, respectivamente. u,x, jj.y, coeficientes de distribución de las tensiones tangenciales. Mx, My, momentos flectores, según los ejes x, y, respectivamente. Mz, momento torsor. A. área de la sección transversal. Ix, Iy, momentos principales de segundo orden, de la sección transversal. J, momento polar de inercia. E, G, módulos de elasticidad y de Young, respectivamente. Como ejemplo de la forma en que se obtiene la expresión anterior, se calculará la energía de deformación debida a la fuerza cortante Vy. Considérese un elemento de longitud ds (Figura 8.5).

i *

~-

Tfxy

h t Vy

Sá

• "r i Figura 8.5

La energía de deformación elemental debida a la fuerza cortante puede expresarse en función de las tensiones tangenciales: I r 1 r T -dA =- f T x x y x v d A = - Í T X V 2 JA x> xy 2 JA sy G

(6.5)

pues. "xy xy í XV

las tensiones tangenciales cuando no hay carga sobre la superficie de la barra valen:

I.b

(7.5)

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS

121

siendo: Vy, la fuerza cortante en la sección. S, el momento de primer orden, respecto al eje x centroidal, de la parte de la sección transversal que queda por arriba o por debajo de la fibra donde se calcula la tensión i. b, el ancho de la sección transversal donde se calcula t. I x , el momento de segundo orden, respecto al eje x, de la sección transversal. Sustituyendo en (6.5):

1 r V;-S : 2 *K f~-GIT x2 •i_b 2

V2 "1 i/"1 A

2GA

siendo:

un factor que toma en cuenta la distribución no uniforme de la tensión tangencial en la sección transversal. La energía de deformación en todo el elemento de longitud L valdrá: U=

-v

y 2GA Si la estructura es plana la ecuación (5.5) se reduce a tres términos:

U = S Í í'lds+lf — ds + z f u . y ^ds (10.5) ¿2EA J 2EI 1 y 2GA Como se sabe la importancia de estos (términos, d^ el cálculo de la energía potencial de deformación, varía con el tipo de estructura: En pórticos sin tensores y en arcos en los que la relación de la luz a la flecha sea menor o igual a cinco, domina el efecto del momento flector. En armaduras, el único efecto a considerar es el de la fuerza axial. En pórticos con tensores, en problemas de temperatura y en arcos con relación de luz a flecha mayor que cinco, son dominantes los efectos del momento flector y de la fuerza axial. Por último, en algunos arcos y vigas en las que la altura es comparable a la longitud, (viga pared o muro de cortante), hay que considerar los tres efectos.

122

TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS

5.1.7 Trabajo real de las fuerzas externas en función de las acciones interiores M, V y N Sea la viga de la figura 9.5, de la que extraemos un elemento de longitud "ds" y calculemos el trabajo dado por el momento flector M, la fuerza cortante V y la fuerza axial N, al pasar la carga de un valor P a otro P+dP. PjhiP

Figura 9.5 1) Trabajo dado por M (Fig. 10.5):

dTM=ÍM-dM

_ds j__M p ' p El M

"2"

El

Figura 10.5 2) Trabajo dado por N (Fig. 11.5): dTN = - N - A d s 2 N-ds EA Ads

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T ' Figura 11.5

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T~

" 2 Í EA

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS

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3) Trabajo dado por V (Fig. 12.5):

lidA

fj

|v -