1 6 Dimensionnement d Une Poutre a Hauteur Variable

Exercice

6 Dimension-  nement  d’une  poutre à  hauteur  variable 

Délai pour le rendu : 02.02.2005

DONNÉES : J

DEMANDÉ :

Géometrie de la structure:

Voir dessin à l’échelle à la page suivante.

J

Charges : Action

Valeur caractéristique

Poids propre du béton armé

γ c

Neige

Coefficient de sécurité

= 25 kN/m3

1.35

qk = 2.5 kN/m2

1.5

1. Déterminer les valeurs de dimensionnement des charges ; 2. Déterminer et dessiner à l’échelle : - les diagrammes des efforts de réduction (M d, Vd) ; - la variation du bras de levier le long de la poutre ; - la variation de Md /z  /z le long de la la poutre. Tirer des conclusions sur la base des diagrammes dessinées, concernant l’endroit de l’effort maximal dans le tirant, et l’endroit où l’âme est libre d’effort tranchant ; 3. Dessiner à l’échelle le modèle du treillis et le champ de contraintes ; 4. Dimensionner, en tenant compte de l’inclinaison des efforts axiaux : - les étriers pour la reprise des déviations des efforts à mi-travée et sur appui ; - les étriers à droite et à gauche de la section d’appui; 5. Résoudre et dessiner à l’échelle les détails d’armature à mi-travée et sur appui ; 6. Énumérer les avantages et les désavantages de la structure considérée par rapport à une poutre à hauteur constante.

Le poids propre changeant le long de la poutre, on en déterminera des valeurs moyennes distinctes pour la poutre centrale et pour les porte-à-faux. Il est demandé de considérer la disposition des charges avec toutes les charges agissant sur toute la poutre.

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1 : 80

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Exercice

6 Dimensionnement d’une poutre à hauteur variable

Les diagrammes demandés sont représentés ci-dessous, avec l’indication des valeurs les plus importantes. La coordonnée x représente la position le long de la poutre, qui vaut 0 à l’extrémité gauche. x = 4 m correspond donc à l’appui.

Point1. POIDS PROPRE Les sections considérées pour déterminer les valeurs moyennes du poids propre sont : la section au bord libre de la poutre, la section sur appui et la section à mi-travée. À ces endroits la surface de la section vaut : Section Bord Appui Mi-travée

Aaile [m2] (4⋅0.2) = 0.8 0.8 0.8

Aâmes [m2] 0 2⋅(0.3⋅0.6) = 0.36 2⋅(0.3⋅1.2) = 0.72

Atot [m2] 0.8 1.16 1.52

Les valeurs caractéristiques moyennes du poids propre par unité de longueur valent donc :

Moment -600 -385 kNm -400

-200 0    ]   m    N    k    [

0

   M

20 0

25kN/m3 ⋅ (1.16+1.52)/2 m2 = 33.5 kN/m 25kN/m 3 ⋅ (0.8+1.16)/2 m2 = 24.5 kN/m

Travée centrale Porte-à-faux

2

4

6

8

10 x [m]

1.2 m

40 0

60 0

Et les valeurs de dimensionnement correspondantes :

699 kNm

80 0

Travée centrale Porte-à-faux

gd = 45.2 kN/m gd = 33.1 kN/m Effort tranchant

CHARGE UTILE

-300

qd = 1.5 ⋅ 2.5 kN/m2 ⋅ 4 m = 15 kN/m

-192 kN

-200 -100

Point 2.

0    ]    N    k    [    V

La combinaison de charge à considérer est la suivante :

2

4

0

6

8

10 x [m]

100 200 300 361 kN 400

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1.4

où on a fait l’hypothèse que h-d vaut 70 mm, en considérant un enrobage de 40 mm, des étriers de diamètre 10 mm et des armatures de diamètre 30 mm :

1.2

h – d = (40 + 10 + 15) mm < 70 mm

Bras de levier z(x) [m]

Un calcul plastique montrerait que une valeur de 70 mm est aussi une approximation sûre pour la demie hauteur de la zone plastique.

1 0.8

   ]   m    [   z

ENDROIT D’ EFFORT MAXIMAL DANS LA MEMBRURE

(1.16-0.66)m/6m

0.6

Ci-dessous on fait une comparaiso n entre le diagramme du moment M(x) et le diagramme de M(x)/z(x).

0.4 (0.66-0.06)m/4m

0.2

M(x) [kNm]

0

M(x)/z(x) [kN]

x [m] 0

2

4

6

8

10

-600

-600

-400

-400

M(x) / z(x) -200

-800

-200 0

-600

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0 x [m]

-400 20 0

M max (x=10m)

-200

   )   x    (   z    /    )   x    (    M

0

2

4

6

8

10

40 0

40 0

x [m]

0

60 0

M/z ma x (9 m;577 kN)

200

60 0

M/z max (x=9m) 80 0

400 600

80 0

On peut constater que, pour une poutre à hauteur variable et à cause du changement de bras de levier le long de la poutre, la section d’effort maximal dans le tirant (M/z maximal) ne correspond en général pas à celle où M(X) est maximal.

800

Note - le bras de levier a été déterminé en mettant : z = h – 2 ⋅ 0.07 m

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20 0

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Pour une poutre à hauteur constante, par contre, le deux diagrammes auraient la même allure : le point d’effort axial maximal correspondrait au point de moment maximal. ENDROIT D’ EFFORT TRANCHANT NUL DANS L’ ÂME Un cas analogue au cas d’étude est traité dans : A. Muttoni, J. Schwartz « Design of concrete structures with stress fields », paragraphe 2.3.4.

⎫ = M / z  ⎪⎪  NC = NT / cos ( β ) ⎬ ⎪ Vaile = NC  ⋅ sin ( β ) ⎪ ⎭  NT 

L’inclinaison des efforts axiaux fournit une composante d’effort vertical qui augmente ou diminue l’effort tranchant dans l’âme.

⇒

V aile

=

 M   z 

⋅ tan ( β )

Ici β est l’angle d’inclinaison de l’effort de compression. Le résultat de la comparaison est présenté ci-dessous sous forme graphique (on a représenté moitié travée centrale : x compris entre 4 et 10 m). [kN] -150 V aile -50

4

5

6

7

8

9

10 x [m]

50 V âme = V tot - V aile 150

250

350

Á un certain endroit le long de la poutre, la composante verticale dans l’aile peut être tellement grande qu’elle arrive à reprendre tout l’effort tranchant : à cet endroit l’âme de la poutre serait donc libre d’effort tranchant ; selon le modèle du treillis, il n’y aurait pas besoin de disposer des montants tendus à cet endroit. Pour déterminer le point où cela se vérifie, on considère le diagramme de l’effort tranchant et l’on compare avec le diagramme de Vaile, qu’on détermine selon les relations suivantes (voir les figures cidessus et à droite):

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x=9m

V TOT (diagramme de l'effort tranchant de la poutre isostatique)

450

On voit donc que : 1 – le point où Vaile = VTOT se trouve environ à x = 9 mètres, l’endroit où M(x)/z(x) est maximale (voir diagramme correspondante à la page 2);

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2 – pour x > 9 m, la composante verticale de la compression dépasse la valeur de l’effort tranchant agissant : on à donc une inversion du signe de l’effort tranchant dans l’âme qui correspond, pour le modèle du treillis, à une inversion d’inclinaison des diagonales comprimées.

tan ( β ) =

(1.26 − 0.66)m 6m

= 0.1

La composante verticale de N c vaut donc :  FV − N c

= 554.8kN ⋅ 0.1 = 55.5kN 

Les deux efforts de compression (droite et gauche) doivent être considérés. On à donc besoin d’une surface d’armature verticale qui vaut :  A sw

Point 3.

=

T  f   sd 

=

2 ⋅55.5 ⋅1000 N  500/1.15 N / mm 2

= 2 ⋅127.7 mm2 = 255.4mm2

Les esquisses du modèle de treillis et des champs de contraintes sont donnés en annexe.

et que l’on peut reprendre soit avec 2 étriers φ 10 (314 mm2) soit avec 4 étriers 8 (402 mm2) à disposer dans les deux âmes de la poutre. La deuxième solution permet de mieux repartir la zone de déviation des efforts.

Point 4.

REPRISE DE LA DÉVIATION DE LA TRACTION SUR APPUI

REPRISE DE LA DÉVIATION DE LA TRACTION À MI-TRAVÉE CENTRALE

L’équilibre du nœud considère est esquissé ci-dessous :

L’équilibre du nœud considère est esquissé ci-dessous :

Sur la section à mi-travée le moment vaut 699 kNm ; pour un bras de levier estimé en 1.26 m, l’effort de traction dans l’armature inférieure vaut 554.8 kN. L’inclinaison de la compression en tête est égale à :

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Le moment vaut -385 kNm qui correspond, pour un bras de levier de 0.66m, à un effort axial égal à 583 kN. L’angle β est le même que dans le cas précédent. On obtient donc :

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 FV − N c

= 583k  N ⋅ 0.1 = 58.3kN 

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Cette fois la déviation est à reprendre sur un côté seulement, car la membrure supérieure du porte-à-faux est horizontale :  A sw

=

T  f   sd 

=

58.3 ⋅ 1000 N  500/1.15 N / mm 2

Á gauche de l’appui la tangente de l’angle d’inclinaison de la traction, égale à l’inclinaison de la travée centrale, est donné par la relation:

= 134mm 2

tan ( β  sx ) =

⇓ 2 étriers

(1.26 − 0.66) m 6m

= 0.1

A droite de l’appui l’inclinaison corresponde à celle de l’aile inférieure du porte-à-faux :

8 = 201 mm2

ÉTRIERS À CÔTÉ DES APPUIS

tan ( β dx ) =

(0.66 − 0.06) m 4m

= 0.15

Solution graphique

En annexe on donne la solution graphique de ce point. Dans un cas de ce type, une solution graphique est très utile parce qu’elle permit de tenir en compte automatiquement de la géométrie de la structure et de visualiser toutes les contributions relevants, sans la nécessité de dériver au niveau analytique les relations géométriques dont on a besoin.

En considérant tout d’abord les efforts de réduction à droite de l’appui, déterminés au point 2, et un angle d’inclinaison des bielles égale à 45 degrés, on peut décrire l’équilibre de la partie droite du coin :

Solution analytique

Le nœud d’appui droit est esquissé ci-dessous, avec les deux forces qui doivent être reprises par les étriers et la longueur du bras de levier sur appui.

⎧∑ M  A = 0... ⎪ 0.66 0.76 ⎞ 0.66 ⎛ ⎪... 385 − 192 ⋅ ( + 0.10) + 48.1 ⋅ 0.76 ⋅ ⎜ 0.43 − ⎟ − NcH ⋅ 0.66 + N cV ⋅  2 = 0 ⎪ 2 2 ⎠ ⎝ ⎪ ⎨ NcV = NcH ⋅ tg (α ) = N cH ⋅  0.15 ⎪ ⎪ ⎪∑ Fv = 192 kN − 48.1kN / m ⋅ 0.76 m − N cV  = 0 ⎪ ⎩

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On obtient:

⇓

= 498.391kN  = 74.759kN   N  sd dx = 80.685

⎧∑ M  B = 0... ⎪ 0.365 0.83 0.73 ⎞ 0.73 ⎪... 385 − 361 ⋅ ( + 0.10) + 60.2 ⋅ 0.83 ⋅ ⎛⎜ − ⎟ −  NcH ⋅ 0.73 + N cV ⋅  2 = 0 ⎪ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎪ ⎨ NcV = NcH ⋅ tg (α ) = N cH ⋅  0.10 ⎪ ⎪ ⎪∑ Fv = 361kN − 60.2 kN / m ⋅ 0.83m + N cV  = 0 ⎪ ⎩

 N cH   N cV 

En considérant une longueur de 0.66 mètres, on a donc besoin de :  A sw

=

80.7 kN  0.66m

⋅

1 434 N / mm 2

= 281mm2 / m

⇓

= 316.702kN   N cV  = 31.67 k  N   N sd dx = 342.7 kN   N cH 

tous les mètres. Un taux d’armature très petit serait suffisant. On choisit quand même de disposer des étriers de diamètre 10 mm tous les 200 mm, pour satisfaire aussi les exigences d’armature minimale. Pour l’équilibre du coin gauche on suit la même démarche, en considérant que l’effort tranchant vaut 361kN, que la charge agissante vaut 60.2 kN/m et que la pente de la travée centrale, égale à l’inclinaison de l’effort de traction, est donnée par :

Et on dispose encore des étriers 10 s 200.

Point 5. Les esquisses des détails d’armature sont donnés en annex.

Point 6.

tan ( β  sx ) = 0.1

AVANTAGES -

Meilleur exploitation du matériel ; Moins de béton -> moins de poids propre -> charges plus petites ; Relation M/z plus homogène le long de la poutre ; Réduction de l’effort tranchant dans l’âme (porte-à-faux) ; Meilleur évacuation de l’eau ; Meilleur esthétique.

DÉSAVANTAGES

À gauche de l’appui, quand même, la composante verticale de l’effort axial de traction a un effet défavorable sur l’effort tranchant, étant donné que les deux ont direction opposée.

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-

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Construction moins aisée; Nécessité de disposer des armatures verticale supplémentaires à mi-travée et aux appuis ; augmentation de l’effort tranchant dans l’âme (travée centrale) ; Disposition propre des détails d’armature.

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Champs de contraintes et modèle de treillis

Détail des armatures

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