1.5. Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CALKINI

Nombre de la asignatura: Algebra Lineal Carrera: Ingeniería en Sistemas Computacionales Clave: ACF-0903 Hrs. teoría - Hrs. práctica - Créditos: 3 - 2 - 5 EN EL ESTADO DE CAMPECHE

TEMARIO

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RAMIRO JOSE GONZALEZ HORTA A r q u i t e c t o

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Números Complejos. 1.1 Definición y origen de los números complejos. 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos. 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo. 1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo. 1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo. 1.6 Ecuaciones polinómicas.

Arq. Ramiro González Horta. Febrero 2011

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Números Complejos. 1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

UNA APLICACIÓN DE LA FÓRMULA DE MOIVRE La fórmula de Moivre permite obtener de forma sencilla fórmulas trigonométricas que expresan el seno y el coseno de un ángulo múltiple en función del seno y coseno del ángulo simple. Para ello no hay más que tener en cuenta la propia fórmula de Moivre

y el desarrollo del binomio de Newton

De este modo si, por ejemplo, queremos obtener una fórmula para en función del seno y del coseno de , bastará con considerar por un lado la fórmula de Moivre

y por otro el desarrollo del cubo

Si igualamos ahora las partes reales de ambos desarrollos tenemos

Igualando las partes imaginarias obtenemos además, sin ningún esfuerzo adicional una expresión para

RAÍCES N-ÉSIMAS DE UN NÚMERO COMPLEJO Estudiemos ahora las potencias con exponente racional de un número complejo. Dado

Si

, sea

, puesto que

Por tanto,

, para un número natural p.

, es decir, , y además,

, para

. , o sea,

.

De todos estos valores sólo p consecutivos son distintos, el resto resulta ser repetición sucesiva de valores ya obtenidos. Por tanto, un número complejo tiene siempre p raíces p-ésimas distintas

, para

.

Se puede observar que las p raíces pésimas tienen todas el mismo módulo, y sus argumentos se diferencian en cada uno del siguiente, esto es, las raíces p-ésimas se encuentran en los vértices de un polígono regular de p lados incrito en la circunferencia de centro 0 y radio

.

Como ejemplo, en la siguiente gráfica podemos ver las raíces quintas de

Puede verse lo mismo en la siguiente animación:

Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

Potencia. Sea z = rx un número complejo en forma polar. Para calcular su potencia n-ésima, bastará con multiplicarlo por sí mismo n veces, con lo que se obtiene: zn = z·z·..(n veces)..·z = (rx)·(rx)·..(n veces)..·(rx) = (r·r·..(n veces)..·r)x+x+..(n veces)..+x = (rn)n·x Es decir,

(rx)n = (rn)n·x Si escribimos el número z en forma trigonométrica obtenemos: z = r·(cos x + i·sen x) ==> zn = rn·(cos x + i·sen x)n = rn·(cos n·x + i·sen n·x) De donde: cos(n·x) + i·sen(n·x) = (cos x + i·sen x)n expresión que recibe el nombre de fórmula de Moivre. Como aplicación de esta fórmula podemos obtener las razones trigonométricas seno y coseno de múltiplos de un ángulo conocidas las razones trigonométricas del ángulo.

Ejemplo: Conocidos cos x y sen x , calculemos cos 4x y sen 4x : cos 4x + i·sen 4x = (cos x + i·sen x)4 = (40)·cos4x + (41)·cos3x·i·sen x + (42)·cos2x·i2·sen2x + (43)·cos x·i3·sen3x + (44)i4·sen4x = cos4x + 4·i·cos3x·sen x - 6·cos2x·sen2x - 4·i·cos x·sen3x + sen4x = (cos4x - 6·cos2·sen2x + sen4x) + (4·cos3x·sen x - 4·cos x·sen3x)·i Como dos complejos son iguales si y sólo si lo son sus partes reales así como sus partes imaginarias, tenemos que: cos 4x = cos4x - 6·cos2x·sen2x + sen4x sen 4x = 4·cos3x·sen x - 4·cos x·sen3x

Raíz n-ésima de un núnero complejo.

Raíz n-ésima. Sea z = rx un número complejo. Calculemos su raíz n-ésima. Ésta va a ser un número complejo w = sy de forma que wn = (sy)n = rx. Es decir: sn = r s = r1/n n (s )n·y = rx ==> ==> n·y = x + 2·k·pi , con k C Z y = (x + 2·k·pi)/n , con k C Z Cualquiera de los números complejos que se obtienen de sy al variar k en Z es una raíz nésima de z.

Teorema. Todo numero complejo z tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas.

Demostración. Sea z = rx un número complejo. Hemos dicho que sy es una raíz n-ésima de z, siendo s = r1/n e y = (x + 2·k·pi)/n , con k C Z. Si llamamos wk = sy , cuando k C {0,1,2,...,n-1}, obtenemos exactamente n raíces n-ésimas

de z distintas. Veamos que cualquier otra raíz coincide con una de estas xk. Sea t C Z, t distinto de 0,1,2,...,n-1. Entonces, por el algoritmo de la división euclídea es: t = p·n + r, con 0