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RODRIGO RAFAEL RICARDO PAREDES ID. UAD14336SCH21792

ADVANCED MASS TRANSFER I

Advanced Placement Mast & Doct (SP) Master Chemical Engineering

ATLANTIC INTERNATIONAL UNIVERSITY HONOLULU, HAWAII DICIEMBRE 13 DE 2011

TABLA DE CONTENIDO

Pág. INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………….3 OBJETIVOS……………..………………………………………………………………..4 1. TEORIA DE LA PELICULA……………………………………….…………………5 1.1. FACTORES DE CORRECCIÓN EN LA TEORÍA DE LA PELÍCULA……….11 1.2. EJERCICIOS DE APLICACIÓN……………………….…………….…………..12 1.2.1. Evaporación rápida de un líquido puro………………….…………………,.12 1.2.2. Comportamiento del bulbo húmedo a altas velocidades de transferencia de materia……………………………………………………………………………………12 2. TEORIA DE PENETRACIÓN……………………………………………………….16 3. TEORIA DE CAPA LIMITE…………………………………………………………20 4. DIFUSIÓN CON REACCIÓN QUÍMICA……………………………………….…..24 4.1. DIFUSIÓN CON REACCIÓN QUÍMICA HETEROGÉNEA……………………24 4.1.2. Ejercicios de aplicación……………………..…………………………………27 5. DIFUSIÓN TURBULENTA…………………..……..………………….……………31 5.1 MODELADO MATEMÁTICO DE LA DIFUSIÓN TURBULENTA.…………….32 5.1.1. Modelado de Euler………………..……………………..……………………..32 5.1.2. Modelado de Lagrange………………..……………………………………….33 5.1.3. Solución a los modelados……………………..….…………………………..34 5.2.APLICACIONES…………………………………………………………………….35 6. COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE MASA………………….…………36 6.1. COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE MASA EN FLUJO LAMINAR..40 6.2. TRANSFERENCIA DE MASA EN LA INTERFASE…….…………………….41 6.3. EJERCICIO DE APLICACIÓN………………………………………………….47 7. DIFUSIÓN MOLECULAR EN FLUIDOS…………………….……………………48 7.1. DIFUSIÓN MOLECULAR…………………………………………………………50 7.2 DIFUSIÓN MOLECULAR EN ESTADO ESTACIONARIO EN FLUIDOS SIN MOVIMIENTO Y EN FLUJO LAMINAR…………….………………………….52 7.3 DIFUSIÓN MOLECULAR EN GASES…………………………………………..53 7.3.1 Difusión en estado estacionario de A a través del no difundente B……..53 7.3.2 Contradifusión equimolar en estado…………………………………………..54 7.3 DIFUSIÓN EN ESTADO ESTACIONARIO EN MEZCLAS DE MULTICOMPONENTES………………………………………………….………..56 1

7.4 DIFUSIVIDAD DE GASES………………………….……………………………..56 7.5. DIFUSIÓN MOLECULAR EN LÍQUIDOS……………………….………………58 7.5.1. Difusión en estado estacionario de A a través del no difundente B……..58 7.5.2. Contradifusión equimolar en estado estacionario………….…………………58 7.6. DIFUSIVIDAD DE LÍQUIDOS…………………………………………………….59 7.7 APLICACIONES DE LA DIFUSIÓN MOLECULAR…………………………….60 7.8 EJERCICIOS DE APLICACIÓN…………………..………………………………61 8. ECUACIONES DE CONSERVACIÓN………………………….………………….63 8.1. LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD………………………………………..…...63 8.2. LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO……………………………………………….65 8.3. LOS BALANCES MACROSCÓPICOS DE MATERIA…………………………69 8.3.1 El balance macroscópico de cantidad de movimiento……………………....71 8.3.2 El balance macroscópico de energía……………………………………………72 8.3.3 El balance macroscópico de energía mecánica……………………………….73 8.4 LAS ECUACIONES DE ENERGÍA………..……………………………………...73 8.5 EJERCICIOS DE APLICACIÓN………………………………………………….79 8.5.1 Balances macroscópicos…………………………………………………….….79 8.5.1.1 Utilización de los balances macroscópicos para resolver problemas de estado estacionario……………………………………………………………………..79 8.5.1.2 Utilización de los balances macroscópicos para la resolución de problemas de estado no estacionario…………………….……………………………………….81 8.5.2 Uso de las ecuaciones de variación en los problemas de transmisión de calor en estado estacionario…………………………………………………………………..83 9. ESTADO DEL ARTE…………………………………………………………………84 CONCLUSIÓN Y OPINIONES……………………………………………………….93 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS….………………………………………………94 ÍNDICE DE FIGURAS...........................................................................................100 ÍNDICE DE TABLAS...........................................................................................101

2

INTRODUCCIÓN

Se ha visto que cuando un fluido fluye a través de una superficie sólida, en condiciones en las cuales por lo general prevalece la turbulencia, hay una región inmediatamente contigua a la superficie en donde el flujo es predominantemente laminar. Al aumentar la distancia de la superficie, el carácter del flujo cambia de modo gradual y se vuelve cada vez más turbulento, hasta que en las zonas más externas del fluido, prevalecen completamente las condiciones de flujo turbulento. También se ha visto que la rapidez de transferencia de una sustancia disuelta a través del fluido dependerá necesariamente de la naturaleza del movimiento del fluido que prevalezca en las diferentes regiones. [Treybal, R. Operaciones de Transferencia de Masa. ISB 968- 6046 -34-8. Mc Graw Hill. 2 Edición] En la región turbulenta, las partículas del fluido ya no fluyen de forma ordenada, como en la subcapa laminar. Por lo contrario, porciones relativamente grandes del fluido, llamadas remolinos, se mueven con rapidez de una posición a otra; un componente apreciable de su velocidad se orienta perpendicularmente a la superficie a través de la cual está fluyendo el fluido. En estos remolinos existe material disuelto; por lo tanto, el movimiento de remolino contribuye apreciablemente al proceso de transferencia de masa. Puesto que el movimiento del remolino es rápido, la transferencia de masa en la región turbulenta también es rápida, mucho más que la resultante de la difusión molecular en la subcapa laminar. Debido al rápido movimiento de remolino, los gradientes de concentración en la región turbulenta serán menores que los que existen en la película. [Ross, T., Christina, R. Multicomponent Mass Transfer. John Wiley & Sons, Inc. 2 Edición] En el siguiente trabajo desarrollaremos detalladamente los fenómenos más importantes que ocurren en la interfase, así como los modelos matemáticos que contribuyen a su análisis y comprensión y de qué manera inciden en el desarrollo de nuevas tecnologías.

3

OBJETIVOS

GENERAL Estudiar y comprender los principales fenómenos que se desarrollan en la interfase liquido-gas.

ESPECIFICOS 

Describir las teorías de la penetración, capa limite, de la película y los modelos matemáticos correspondientes a cada una.



Ampliar los conocimientos adquiridos en transferencia de masa, a través de la investigación y la exploración de distintas fuentes bibliográficas referentes a esta temática.



Realizar un estado del arte con los adelantos científicos y desarrollos tecnológicos más relevantes logrados con la aplicación fenomenológica de la transferencia de masa en la ingeniería química.

4

1. TEORIA DE LA PELICULA Consideremos el caso de flujo estacionario que se indica en la Fig. 1.1 en el que una mezcla de dos fluidos circula horizontalmente a lo largo de una superficie plana, teniendo lugar una transferencia simultánea de caIor, materia y cantidad de movimiento. Se supone que la presión Py la velocidad ux, la temperatura T y la composición xA, dependen solamente de la distancia y medida desde la pared, y se hacen constantes cuando y es superior al correspondiente «espesor de película» 𝛿𝑣 , 𝛿𝑇 y 𝛿𝐴𝐵 . Se supone que el espesor de película es constante a lo largo de la pared e independiente de la velocidad de transferencia de materia. Se admite también que el flujo en la película es laminar, y que las propiedades de transporte u, k y c𝐷𝐴𝐵 son constantes. Se desprecian las reacciones químicas, la disipación viscosa y la emisión o absorción de energía radiante en el fluido.

Fig. 1.1 Flujo estacionario unidimensional a lo largo de una superficie plana. Para 𝜸 > 𝜹𝒗 , los perfiles se consideran constantes. 5

Se supone que se conocen las siguientes condiciones del sistema: Para y=0

𝑣𝑥 = 0

(1.1)

𝑇 = 𝑇0

(1.2)

𝑋𝐴 = 𝑋𝐴0 𝑁𝐴𝑦 𝑁𝐵𝑦

(1.3)

𝑁

= 𝑁𝐴0

(1.4)

𝐵0

Para 𝑦 = 8

𝑣𝑥 = 𝑣∞

(1.5)

Para 𝑦 = 𝛿𝑇

𝑇 = 𝑇∞

(1.6)

Para 𝑦 = 𝛿𝐴𝐵

𝑥𝐴 = 𝑥𝐴∞

(1.7)

Es decir, que se conocen los valores terminales de los tres perfiles, y además, la relación de las densidades de flujo molares en la pared. Se desea calcular los perfiles de velocidad, temperatura y composición, así como también las densidades de flujo de cantidad de movimiento, calor y materia, en las paredes. Después, veremos cómo se evalúa el espesor de película, de forma que los resultados pueden aplicarse a sistemas de interés práctico. Las ecuaciones de variación para este sistema pueden expresarse adecuadamente en función de las densidades de flujo de cantidad de movimiento, energía y materia, con relación a coordenadas estacionarias. A partir de las Ecs. 18.3-11 y 12 y 18.1- 10, y de las suposiciones de que P, vx, T y xA, dependen solamente de y, y se obtienen las siguientes ecuaciones: Movimiento Energía Continuidad

𝑑∅𝑦𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑒𝑣 𝑑𝑦 𝑑𝑁𝐴𝑣 𝑑𝑦

=0

=0

𝑑𝑁𝐵𝑣 𝑑𝑦

=0

=0

(𝑦 ≪ 𝛿𝑣 )

(1.8)

(𝑦 ≪ 𝛿𝑇 )

(1.9)

(𝑦 ≪ 𝛿𝐴𝐵 )

(1.10)

(𝑦 ≪ 𝛿𝐴𝐵 )

(1.11)

6

Integrando estas ecuaciones y evaluando ∅𝑦𝑥 , 𝑒𝑦 𝑦 𝑁𝐴𝑦 , a partir de las ecuaciones 18.3.8, 18.4.6 y 16.2.2, se obtiene para los mismos intervalos de y: Movimiento: Energía: Continuidad:

∅𝑦∞ = 𝜌𝑣𝑦 𝑣∞ − 𝜇

𝑑𝑣∞ 𝑑𝑦

= 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑇

̅̅̅̅ 𝑒𝑦 = 𝑁𝐴𝑦 ̅̅ 𝐻̅̅ 𝐴 + 𝑁𝐵𝑦 𝐻𝐵 − 𝐾 𝑑𝑦 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑁𝐴𝑦 = 𝑥𝐴 (𝑁𝐴𝑦 + 𝑁𝐵𝑣 ) − 𝑐𝐷𝐴𝐵

𝑑𝑥𝐴

= 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑑𝑦

(1.12) (1.13) (1.14)

𝑁𝐵𝑦 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (1.15)

En lo sucesivo, las densidades de flujo constantes NAy y NBy se representarán por NA0 y NB0. En el caso de que 𝛿𝑇 sea superior a 𝛿𝐴𝐵 , a falta de otra información, las densidades de flujo de NA0 y NB0 , se siguen considerando como constantes en todo el intervalo de las Ec. 1.8 y 1.9. Expresando las constantes en función de las densidades de flujo en la pared (hasta ahora desconocidas), se obtiene: Movimiento: Energía: Continuidad:

(𝑣𝑥 − 0)(𝑁𝐴0 𝑀𝐴 + 𝑁𝐵0 𝑀𝐵 ) − 𝜇

𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑦

(𝑇 − 𝑇0 )(𝑁𝐴0 ̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐴 + 𝑁𝐵0 ̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐵 ) − 𝑘 (𝑥𝐴 − 𝑥𝐴𝑂 )(𝑁𝐴0 + 𝑁𝐵0 ) − 𝑐𝐷𝐴𝐵

= 𝜏𝑦𝑥𝐼𝑦=0 ≡ −𝜏0

𝑑𝑇 𝑑𝑦

= 𝑞𝑣𝐼𝑣=0 ≡ 𝑞0

𝑑𝑥𝐴 𝑑𝑦

(1.16) (1.17)

= 𝐽𝐴𝑦𝑙𝑣=0 ≡ 𝑁𝐴0 − 𝑥𝐴0 (𝑁𝐴0 + 𝑁𝐵0 )

(1.18) ̂𝐴 y En estas expresiones, 𝜌𝑣𝑦 se ha evaluado a partir de datos experimentales, y 𝐻 ̂𝐵 están calculadas suponiendo que los calores específicos molares son 𝐻 constantes y que no hay calor de mezcla. Para hacer 𝜏0 positivo se adopta la convención habitual 𝜏𝑦𝑥 𝑙𝑦 = 0. Observese que para un determinado sistema las Ecs. 1.16 hasta 1.18 no contienen más magnitudes variables que vX, T, xA y la variable independiente y. Integrando las ecuaciones anteriores y aplicando las condiciones límite de las Ecs. 1.1 a 1.3 se obtienen las siguientes soluciones para los perfiles:

7

1+ 1+ 1+

(𝑣∞ −0)(𝑁𝐴0 𝑀𝐴 + 𝑁𝐵0 𝑀𝐵 ) 𝜏0

𝑦

= 𝑒𝑥𝑝((𝑁𝐴0 𝑀𝐴 + 𝑁𝐵0 𝑀𝐵 )) 𝜇

(𝑇−𝑇∞ )(𝑁𝐴0 ̅̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐴 + 𝑁𝐵0 𝐶𝑝𝐵 ) 𝑞0 (𝑥𝐴0 −𝑥𝐴0 )(𝑁𝐴0 + 𝑁𝐵0 ) 𝑁𝐴0−𝑥

𝐴0 (𝑁𝐴0 +𝑁𝐵0 )

(1.19)

𝑦

= 𝑒𝑥𝑝(𝑁𝐴0 ̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐴 + 𝑁𝐵0 𝐶𝑝𝐵 ) 𝑘

(1.20)

𝑦

= 𝑒𝑥𝑝(𝑁𝐴0 + 𝑁𝐵0 ) 𝑐𝐷

(1.21)

𝐴𝐵

Aplicando las condiciones de límite de las ecuaciones de la 1.5 hasta la 1.7, se obtienen las siguientes ecuaciones para las densidades de flujo 𝜏0 , 𝑞0 𝑦 𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 = 0:

1+ 1+ 1+

(𝑣∞ −0)(𝑁𝐴0 𝑀𝐴 + 𝑁𝐵0 𝑀𝐵 ) 𝜏0

= 𝑒𝑥𝑝((𝑁𝐴0 𝑀𝐴 + 𝑁𝐵0 𝑀𝐵 ))

(𝑇−𝑇∞ )(𝑁𝐴0 ̅̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐴 + 𝑁𝐵0 𝐶𝑝𝐵 ) 𝑞0 (𝑥𝐴0 −𝑥𝐴0 )(𝑁𝐴0 + 𝑁𝐵0 ) 𝑁𝐴0−𝑥

𝐴0 (𝑁𝐴0 +𝑁𝐵0 )

𝛿𝑣

(1.22)

𝜇

𝑑𝑇 = 𝑒𝑥𝑝(𝑁𝐴0 ̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐴 + 𝑁𝐵0 𝐶𝑝𝐵 ) 𝑘

(1.23)

𝛿

= 𝑒𝑥𝑝(𝑁𝐴0 + 𝑁𝐵0 ) 𝑐𝐷𝐴𝐵

(1.24)

𝐴𝐵

Una vez calculadas las densidades de flujo NAO, NBO, q0. Y 𝜏0 , se pueden obtener directamente los perfiles a partir de las Ecs. 1.19, 20, y 21. Para aplicar estos resultados a sistemas de interés práctico es preciso evaluar el espesor de película en función de magnitudes susceptibles de medida, y se eligen como tales los coeficientes de transferencia no corregidos Ji,, ℎ𝑙𝑜𝑐 y 𝐾𝑥𝑙𝑜𝑐 . Estos coeficientes son los valores límite de MS coeficientes locales de transferencia corregidos, cuando NA0 y NB0 tienden hacia cero: 𝑓𝑙𝑜𝑐 = 1 2

−𝜏0 𝜌𝑣∞ (0−𝑣∞ )

(1.25) 𝑞

0 ℎ𝑙𝑜𝑐 = (𝑇 −𝑇 0

𝑘𝑥,𝑙𝑜𝑐 =

∞)

𝑁𝐴0−𝑥

𝐴0 (𝑁𝐴0 +𝑁𝐵0 )

(𝑥𝐴0 −𝑥𝐴∞ )

(1.26) (1.27)

8

Las Ecs. 1.22, 23 y 24 pueden ahora expresarse en función de estos coeficientes locales corregidos: 1+

1+ 1+

(𝑣∞ −0)(𝑁𝐴0 𝑀𝐴 + 𝑁𝐵0 𝑀𝐵 ) 1 𝜌𝑣 (0−𝑣∞ ) 2 ∞

= 𝑒𝑥𝑝((𝑁𝐴0 𝑀𝐴 + 𝑁𝐵0 𝑀𝐵 ))

(𝑇−𝑇∞ )(𝑁𝐴0 ̅̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐴 + 𝑁𝐵0 𝐶𝑝𝐵 ) ℎ𝑙𝑜𝑐 (𝑁𝐴0 + 𝑁𝐵0 ) 𝑘𝑥,𝑙𝑜𝑐

𝛿𝑣 𝜇

𝑑𝑇 = 𝑒𝑥𝑝(𝑁𝐴0 ̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐴 + 𝑁𝐵0 𝐶𝑝𝐵 ) 𝑘 𝛿

= 𝑒𝑥𝑝(𝑁𝐴0 + 𝑁𝐵0 ) 𝑐𝐷𝐴𝐵

(1.28)

(1.29) (1.30)

𝐴𝐵

En el límite, cuando NA0 y NB0 tienden a cero, se obtienen las siguientes expresiones para los espesores de película

𝛿𝑣 1 𝜌𝑣 𝑓 2 ∞ 𝑙𝑜𝑐

=𝜇

(1.31) 1 ℎ𝑙𝑜𝑐

=

𝛿𝑣 𝜇

(1.32) 1

𝛿

𝑘𝑥,𝑙𝑜𝑐

= 𝑐𝐷𝐴𝐵

(1.33)

𝐴𝐵

Estos valores límite se pueden hallar fácilmente desarrollando en serie los segundos miembros de las Ecs. 1.28, 29 y 30. Substituyendo estas expresiones del espesor de película en las Ecs. 1.22, 23 y 24; se obtiene: 1+

1+ 1+

(𝑣∞ −0)(𝑁𝐴0 𝑀𝐴 + 𝑁𝐵0 𝑀𝐵 ) (𝜏0 )

= 𝑒𝑥𝑝

(𝑇−𝑇∞ )(𝑁𝐴0 ̅̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐴 + 𝑁𝐵0 𝐶𝑝𝐵 ) 40 (𝑥𝐴0 − 𝑥∞ ) 𝑁𝐴0 𝑁𝐴0 +𝑁𝐵0

= 𝑒𝑥𝑝

𝑁𝐴0 𝑀𝐴 +𝑁𝐵0 𝑀𝐵

= 𝑒𝑥𝑝

(𝑁𝐴0 + 𝑁𝐵0 ) 𝐾𝑥,𝑙𝑜𝑐

𝑓𝑙𝑜𝑐 (𝑁𝐴0 ̅̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐴 + 𝑁𝐵0 ̅̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐵 ) ℎ𝑙𝑜𝑐

(1.34)

(1.35) (1.36)

Estas ecuaciones representan los principales resultados de la teoría de película, e indican cómo varían con NA0 y NB0 los esfuerzos cortantes, Ias densidades de 9

flujo conductivo de energía, y la densidad de flujo de difusión en la pared. En este sencillo sistema de flujo, existe una evidente analogía de los efectos de la transferencia de la materia sobre las tres relaciones de densidad de flujo Aunque las ecuaciones anteriores, se han deducido para flujo laminar y propiedades físicas constantes, sus resultados resultan también útiles para flujo turbulento y propiedades físicas variables. [Bird, R., Stewart, W., Lightfoot, E. 1997. Fenomenos de Transporte: Un Estudio de los Fundamentos del Transporte de Materia, Energía y Cantidad de Movimiento]

A continuación para mayor facilidad vamos a definir las variables a dimensionales ∅, 𝑅, 𝜃 𝑦 ∏ que son de gran utilidad para resumir los resultados de las distintas teorías de transferencia de materia. Los términos a dimensionales del segundo miembro de la ecuación 1.34 hasta 1.36 se denominan factores de velocidad, los cuales al relacionarlos con las variables a dimensionales, arroja las siguientes expresiones matemáticas: ∅𝑣 =

𝑁𝐴0 𝑀𝐴 +𝑁𝐵0 𝑀𝐵 1 𝜌𝑣 𝑓 2 ∞ 𝑙𝑜𝑐

(1.37) ∅𝑇 =

𝑁𝐴0 ̅̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐴 +𝑁𝐵0 ̅̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐵 ℎ𝑙𝑜𝑐

(1.38) ∅𝐴𝐵 =

𝑁𝐴0 +𝑁𝐵0 𝑘𝑥,𝑙𝑜𝑐

(1.39) Los términos a dimensionales del primer miembro de las ecuaciones 1.34 hasta 1.36, se denominan relaciones de densidad de flujo R: 𝑅𝑣 =

𝑁𝐴0 𝑀𝐴 +𝑁𝐵0 𝑀𝐵 1 𝜌𝑣 𝑓 2 ∞ 𝑙𝑜𝑐

=

(𝑁𝐴0 𝑀𝐴 +𝑁𝐵0 𝑀𝐵) (𝑣∞ −0) 𝜏0

(1.40) 𝑅𝑇 =

𝑁𝐴0 ̅̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐴 +𝑁𝐵0 ̅̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐵

𝑅𝐴𝐵 =

ℎ𝑙𝑜𝑐 (𝑁𝐴0 + 𝑁𝐵0 ) 𝐾𝑥,𝑙𝑜𝑐

=

=

(𝑁𝐴0 ̅̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐴 +𝑁𝐵0 ̅̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐵 )(𝑇0 −𝑇∞ )

(𝑥𝐴0 − 𝑥∞ ) 𝑁𝐴0 𝑁𝐴0 +𝑁𝐵0

𝑞0

(1.41) (1.42)

10

Obsérvese que Rv, Rr y RAB son relaciones entre densidades de flujo de cantidad de movimiento, energía y materia, debidas al flujo global y las densidades de flujo por el transporte molecular en la interfase. Las ecuaciones 1.34 hasta 1.36 pueden expresarse ahora en una forma más compacta o: 𝑅 = 𝑒∅ − 1 (1.43) ∅ = 𝑙𝑛(1 + 𝑅) (1.44)

1.1 FACTORES DE CORRECCIÓN EN LA TEORÍA DE LA PELÍCULA Como su nombre lo indica, son usados para corregir el efecto de la transferencia de materia sobre los coeficientes de transferencia, vienen dados por las siguientes formulas: ∅𝑣 =

𝑓∅ 𝑓

=

∅𝑣 𝑅𝑣

(1.1.1) ∅𝑇 =

ℎ∅ 𝑓

∅

= 𝑅𝑇

𝑇

(1.1.2) 𝑘

∅

∅𝑣 = 𝑘𝑧 = 𝑅𝐴𝐵 𝑥

𝐴𝐵

(1.1.3) Los valores de estos factores de corrección que predicen las ecuaciones 1.43 y 1.44 expresadas anteriormente, de acuerdo con la teoría de la película, son ∅

𝜃 = 𝑒 ∅+1 (1.1.4) 𝜃=

𝑙𝑛(𝑅+1) 𝑅

(1.1.5) 11

Estas ecuaciones resultan convenientes para examinar el valor de las correcciones de transferencia de materia, mientras que las ecuaciones 1.43 y 1.44 conducen a resultados más directos para las densidades de flujo. Las anteriores deducciones están expresadas en función de las condiciones de la corriente 𝑣∞ , 𝑇∞ , 𝑥𝐴∞ , a una gran distancia de la superficie. Para conducciones cerradas, los resultados se aplican ordinariamente sin más que substituir las condiciones «globales» de la corriente, 𝑣𝑥𝑏 , 𝑇𝑏 , 𝑥𝐴𝑏 Esta substitución equivale a cortar cada perfil en el punto en que se alcanza el valor global, y de esta forma las correcciones de transferencia de materia pueden resultar demasiado bajas; sin embargo, no se dispone hasta ahora de una mejor interpretación de la teoría de película. La principal limitación de la teoría de película reside en la supuesta dependencia unidimensional de p, vx, T y xA. En general, resulta difícil valorar la utilidad de esta suposición, pero parece probable que los resultados serán al menos cualitativamente correctos para el flujo en conducciones cerradas con perfiles totalmente desarrollados. Puesto que se ha despreciado el gradiente de presión a lo largo de la pared, los resultados de 𝑓𝑙𝑜𝑐 no serán aplicables a flujos con resistencia de forma ni a flujos en los que el gradiente de presión en la película paralela a la pared sea responsable de una fracción considerable del esfuerzo cortante de pared. La suposición de que los espesores de película no se afectan por la transferencia de materia está en discusión, y solo se puede comprobar por experimentación o mediante métodos de cálculo más realistas. Las suposiciones de flujo laminar y propiedades de transporte constantes pueden suprimirse sin dar lugar a una gran complicación de los resultados. [Bird, R., Stewart, W., Lightfoot, E. 1997. Fenomenos de Transporte: Un Estudio de los Fundamentos del Transporte de Materia, Energía y Cantidad de Movimiento]

Se ha expuesto con detalle la teoría de película debido a su importancia histórica en la bibliografía de la transferencia de materia.

1.2 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.2.1. Evaporación rápida de un líquido puro

12

Un líquido A se evapora sobre una lámina porosa mojada que está sumergida en una corriente tangencial de un gas no condensable B. En un punto de la superficie, el coeficiente de transferencia de materia en la fase gaseosa 𝑘𝑥,𝑙𝑜𝑐 , evaluado para las propiedades medias del fluido, vale 0,5 kg-mol hr-1m-2 y la composición interfacial del gas es xA0 = 0,80. Estimar la velocidad local de evaporación. Puesto que B no condensa, NB0=0. Aplicando la ecuación 1.36 a la fase gaseosa se obtiene 𝑙𝑛 {1 +

0.80 − 0 𝑁𝐴0 + 0 }= 1.0 − 0.80 0.5

De donde: 𝑁𝐴0 = 0.5 ln{1 + 4.0} = 0.805 𝑘𝑔𝑚𝑜𝑙 ℎ𝑟 −1 𝑚−2 Mediante la teoría de la capa limite se obtiene una velocidad de evaporación considerablemente menor. Ahora podemos comparar este resultado utilizando la siguiente ecuación: 𝑁𝐴0 = 0.80(𝑁𝐴0 + 0) = 0.5(0.8 − 0.0) 𝑁 = 2.0 𝑘𝑔𝑚𝑜𝑙 ℎ𝑟 −1 𝑚−2 Este resultado es mucho más alto e indica que las correcciones de transferencia de materia son más importantes en este sistema. 1.2.2 Comportamiento del bulbo húmedo a altas velocidades de transferencia de materia El efecto de enfriamiento por evaporación desde una superficie mojada puede utilizarse para analizar ciertas mezclas gaseosas sencillas. Considérese, por ejemplo, el dispositivo de la siguiente figura, en el que una mezcla de un vapor condensable A y un gas no condensable B fluyen sobre dos termómetros. El bulbo de uno de los termómetros (el bulbo seco) está desnudo, mientras que el otro (el bulbo húmedo) se recubre con una muselina saturada con el líquido A. De forma continua asciende, por acción capilar a través de la muselina desde el depósito 13

inferior, el líquido A que está a la temperatura del bulbo húmedo. Deducir una expresión para la composición de la corriente gaseosa en función de las lecturas de los termómetros de bulbo seco y húmedo y aplicar un análisis para altas velocidades de transferencia de masa.

Fig. 1.2.2 Esquema de una instalación de los termómetros de bulbo seco y de bulbo húmedo

14

Para a simplificar, se supone que la velocidad del fluido es suficientemente elevada, de forma que las lecturas de los termómetros no vienen afectadas por la radiación ni la conducción de calor a lo largo de las varillas de los termómetros, pero no demasiado elevada para que el calentamiento por fricción sea insignificante.6 Estas suposiciones son, generalmente, satisfactorias para termómetros de vidrio y velocidades del gas de 10 a 30 m seg-l. Por consiguiente, la temperatura del bulbo seco es igual a la temperatura 𝑇∞ del gas que se acerca, y la temperatura del bulbo húmedo es idéntica a la temperatura T, de la parte exterior de la muselina. Planteando un balance de energía para una velocidad finita de transferencia de materia y para un punto situado sobre la muselina, se obtiene: 𝑁𝐴0 ∆𝐻𝐴,𝑣𝑎𝑝 = 0.5(𝑇∞ − 𝑇0 ) Multiplicando los dos miembros por

̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐴 ⁄ ̅ y teniendo en cuenta que ∆𝐻𝐴,𝑣𝑎𝑝 ℎ𝑙𝑜𝑐

NB0=0 resulta: 𝑅=

𝑁𝐴0 ̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐴 ̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐴 (𝑇∞ − 𝑇0 ) = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ℎ𝑙𝑜𝑐 ∆𝐻𝐴,𝑣𝑎𝑝

El segundo miembro de esta ecuación se puede calcular fácilmente si se conocen 𝑇0 , 𝑇∞ 𝑦 𝑝 . Si aplicamos la ecuación 1.44 para la transferencia de calor, siendo NB0= 0, se obtiene la siguiente expresión para la velocidad local de evaporación: 𝑁𝐴0 =

ℎ𝑙𝑜𝑐 ln(1 + 𝑅𝑇 ) ̅ 𝐶𝑝𝐴

Si aplicamos nuevamente la ecuación 1.44 pero en este caso para la difusión de A o B, y tomando nuevamente NB0= 0, se obtiene una segunda expresión para NA0 𝑁𝐴0 = 𝐾𝑧,𝑙𝑜𝑐 𝑙𝑛(1 + 𝑅𝐴𝐵 ) Igualando las dos expresiones de NA0 resulta: 𝑙𝑛(1 + 𝑅𝐴𝐵 )

ℎ𝑙𝑜𝑐 ln(1 + 𝑅𝑇 ) 𝐾𝑥,𝑙𝑜𝑐 ̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐴

Al introducir las expresiones de RAB y RT para este problema, se obtiene: 15

𝑙𝑛 (1 +

̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐴 (𝑇∞ − 𝑇0 ) 𝑥𝐴0 − 𝑥𝐴∞ ℎ𝑙𝑜𝑐 )= ln (1 + ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 1 − 𝑥𝐴0 𝐾𝑥,𝑙𝑜𝑐 ̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐴 ∆𝐻𝐴,𝑣𝑎𝑝

Esta ecuación indica que xA0 y T0 solamente pueden ser constantes en la ℎ ̅̅̅̅̅ superficie de la muselina si 𝑙𝑜𝑐⁄𝐾 𝐶𝑝𝐴 es constante y pos consiguiente, igual 𝑥𝑚,𝑙𝑜𝑐 ℎ ̅̅̅̅̅ a 𝑚⁄𝐾 𝐶 𝑝𝐴 . Para una mayor sencillez se supone en este caso que dicha 𝑥𝑚 constancia se cumple; tal suposición es especialmente satisfactoria para el sistema H2O-aire, para el que Pr y Sc son prácticamente iguales. Teniendo en cuenta estas suposiciones, la expresión anterior queda de la siguiente manera: 𝑙𝑛 (1 +

̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐴 (𝑇∞ − 𝑇0 ) 𝑥𝐴0 − 𝑥𝐴∞ ℎ𝑚 )= ln (1 + ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 1 − 𝑥𝐴0 𝐾𝑥𝑚 ̅̅̅̅̅ 𝐶𝑝𝐴 ∆𝐻𝐴,𝑣𝑎𝑝

Que se convierte exactamente en la expresión para realizar cálculos a altas velocidades de transferencia de masa. [Bird, R., Stewart, W., Lightfoot, E. 1997. Fenomenos de Transporte: Un Estudio de los Fundamentos del Transporte de Materia, Energía y Cantidad de Movimiento]

2. TEORIA DE PENETRACIÓN La teoría de penetración se utiliza para predecir la influencia de los coeficientes de transferencia de calor y materia sobre la velocidad de transferencia de materia. Esta teoría supone que el perfil de velocidad es plano junto a la interfase, y por lo tanto, es especialmente aplicable a la fase líquida en los sistemas gas-líquido. Higbiel aplicó por primera vez esta teoría a las operaciones de transferencia de materia, y posteriormente han aparecido en la literatura numerosas variantes. [Ross, T., Christina, R. Multicomponent Mass Transfer. John Wiley & Sons, Inc. 2 Edición] 16

En primer lugar discutiremos un caso en el que la teoría es prácticamente exacta, para ver después las modificaciones para otros sistemas de flujo. Consideremos el contacto de una corriente gaseosa de A y B con una película descendente de una mezcla líquida de A y B, tal como se indica en la siguiente figura:

Fig. 2.1 Difusión hacia el interior de la película líquida descendente, 𝑡𝑒𝑥𝑝 es el tiempo total de exposición de un elemento típico de volumen próximo a la superficie Se ha visto que, para flujo laminar sin ondulaciones, y cortos tiempos de exposición de la superficie del líquido, el proceso de difusión en la fase líquida penetra solo parcialmente dentro de la película descendente, y es análogo a la difusión no estacionaria en un fluido infinito en reposo. Este análisis es sólo valido para pequeñas velocidades de transferencia de materia y en ausencia de reacción química; aquí se amplía el análisis para altas velocidades de transferencia de materia, utilizando la solución de Amold.

17

Es importante tener en cuenta que la difusión en estado no estacionario que tiene lugar cuando una gran masa estacionaria del gas B puro se expone súbitamente a lo largo de la superficie plana z = 0, a un líquido A puro que no disuelve a B. Aquí se establece la solución en una forma más general para sistemas en los que 𝑁 ambas especies atraviesan la interfase con una determinada relación 𝐴0⁄𝑁 . 𝐵0 Las dos fases pueden contener inicialmente A y B. La solución se expresa para la región líquida o gaseosa z > 0, en la que la composición inicial es 𝑥𝐴∞ , y la composición de la interfase para t > 0 es constante e igual a 𝑥𝐴0 . Las propiedades c y 𝐷𝐴𝐵 se consideran constantes para z > 0. La velocidad instantánea de transferencia de materia viene dada implícitamente por la siguiente ecuación: 𝑥𝐴0 −𝑥𝐴∞ 𝑁𝐴0 −𝑥𝐴0 𝑁𝐴0 +𝑁𝐵0

= √𝜋(1 + 𝑒𝑟𝑓𝜑)𝜑𝑒𝑥𝑝𝜑 2

(2.1)

En la que 𝜑 es la velocidad adimensional de transferencia de materia que se representa por la siguiente ecuación: 𝜑=

𝑁𝐴0 +𝑁𝐵0 𝑐

√𝐷

𝑡 𝐴𝐵

(2.2) La ecuación 2.1 indica que 𝜑 es constante durante el proceso de difusión, y, por 1

consiguiente, 𝑁𝐴0 y 𝑁𝐵0 varían con 𝑡 ⁄2 . El perfil de concentración para z > 0 viene dado por la siguiente ecuación, la cual se obtiene substituyendo la composición adimensional X por: 𝑥 −𝑥

𝑋𝐴𝐵 = 𝑥 𝐴 −𝑥𝐴∞ = 1 − ∏ 𝐴𝐵 𝐴0

𝐴∞

(2.3) La coordenada adimensional 𝑍 = 𝑧⁄4𝐷 𝑡 siempre se va a mantener constante. 𝐴𝐵 El coeficiente local de transferencia de materia 𝑘𝑥,𝑙𝑜𝑐 , a una determinada distancia medida hacia abajo en la pared mojada, se define, de acuerdo con la siguiente ecuación:

18

𝑘𝑥,𝑙𝑜𝑐 =

𝑁𝐴0 −𝑥𝐴0 (𝑁𝐴0 +𝑁𝐵𝑂 ) 𝑥𝐴0 −𝑋𝐴∞

(2.4) Aquí se ha tomado ∆𝑥𝐴 = 𝑥𝐴0 − 𝑥𝐴∞ la composición del líquido a la entrada. Introduciendo la ecuación 2.4 en la ecuación 2.1 se obtiene la siguiente expresión: 𝑁𝐴0 +𝑁𝐵0 𝑘𝑥,𝑙𝑜𝑐

= √𝜋𝜑(1 + 𝑒𝑟𝑓𝜑)𝑒𝑥𝑝𝜑 2

(2.5)

Que en el límite de bajas velocidades de transferencia de materia se transforma en { lim 𝑘𝑥,𝑙𝑜𝑐 } = 𝑘𝑥,𝑙𝑜𝑐 = 𝜑→∞

𝑁𝐴0 +𝑁𝐵0 𝜑 √𝜋

(2.6)

Calculando el valor de v que interviene en esta ecuación a partir de la ecuación 2.1 se obtiene 𝐷

𝑘𝑥,𝑙𝑜𝑐 = 𝑐√𝜋𝑡𝐴𝐵

𝑙𝑜𝑐

(2.7) Que corresponde al resultado obtenido por Higbie para bajas velocidades de transferencia de materia. La variación de k& con la velocidad de transferencia de materia puede expresarse convenientemente en función de las magnitudes adimensionales que intervienen en la teoría de película: 𝑅𝐴𝐵 =

∅𝐴𝐵 =

𝑁𝐴0 +𝑁𝐵0 𝑘𝑥,𝑙𝑜𝑐

=

𝑥𝐴0 −𝑥𝐴∞

(2.8)

𝑁𝐴0 −𝑥𝐴0 𝑁𝐴0 +𝑁𝐵0

𝑁𝐴0 +𝑁𝐵0 𝑘𝑥,𝑙𝑜𝑐

(2.9) 𝜃𝐴𝐵 = 𝑘

𝑘𝑥 𝑥,𝑙𝑜𝑐

(2.10)

19

La relación de densidades de flujo 𝑅𝐴𝐵 es la misma del primer miembro de la ecuación 2.1. El factor de velocidad puede relacionarse con la densidad de flujo adimensional 𝜑 combinando las ecuaciones 2.6 y 2.9 ∅𝐴𝐵 = ∅√𝜋

(2.11)

La ecuación anterior puede expresarse en función de 𝑅𝐴𝐵 y ∅𝐴𝐵 con el fin de facilitar los cálculos de transferencia de materia. 𝑅 = ∅ (1 + 𝑒𝑟𝑓

∅ √𝜋

∅2

) 𝑒𝑥𝑝 (− )

Y el factor de corrección 𝜃𝐴𝐵 = 𝜃 ≈ (1 + 𝑒𝑟𝑓

∅ √

−1

) 𝜋

(2.12)

𝜋

𝑒𝑥𝑝 (−

∅2 𝜋

∅𝐴𝐵 ⁄𝑅 viene dado por: 𝐴𝐵

)

(2.13) Estas relaciones predicen una mayor variación de 𝑘𝑥,𝑙𝑜𝑐 con la velocidad de transferencia de materia que los resultados correspondientes de las ecuaciones 1.43 y 1.48 del tema anterior. ̅̅̅ Las ecuaciones 2.12 y 2.13 pueden servir para transmisión de calor si 𝑘, 𝜌, 𝐶 𝑝 , son constantes en todo el fluido e iguales para ambas especies. Puede obtenerse una solución aproximada para el caso de propiedades del fluido variables, definiendo 𝑅𝑇 𝑦 ∅ 𝑇 . También resulta muy útil establecer relaciones análogas entre las ecuaciones anteriores y la ecuación de transmisión de calor, obteniendo la siguiente expresión: ̅̅̅𝑝 √ ℎ = 𝜌𝐶 𝜋

𝛼

(2.14)

𝑡𝑙𝑜𝑐

Combinando esta ecuación con la 2.7 𝛼

̅̅̅𝑝 √ ℎ = 𝑘𝑥,𝑙𝑜𝑐 𝐶 𝐷

𝐴𝐵

(2.15)

Si hay ondulaciones o turbulencia en la película descendente, se puede utilizar también la teoría de penetración con carácter aproximado, suponiendo que las distintas partes de la superficie del líquido se renuevan de cuando en cuando con material fresco en virtud de algún proceso de mezcla. 20

La teoría de penetración se ha aplicado también a la absorción con reacción química. En la obra de Sherwood y Pigford se exponen numerosos ejemplos de este método. [Treybal, R. Operaciones de Transferencia de Masa. ISB 968- 6046 -34-8. Mc Graw Hill. 2 Edición]

3. TEORIA DE CAPA LIMITE

Fig. 3.1 Flujo tangencial a lo largo de una lamina plana afilada semi-infinita, con transferencia de materia hacia la corriente. La transición de flujo laminar a turbulento tiene lugar, generalmente, para valores del número de Reynolds 𝑣∞𝑥⁄ 5 𝑣del orden de 10 .

Este tipo de análisis en el cual el flujo se mantiene tangencial a lo largo de una lamina plana difiere de las teorías de película y penetración en que se consideran con detalle los perfiles bidimensionales de velocidad, ya que en estos se obtienen o los perfiles de velocidad, temperatura y composición para la transferencia 21

simultánea de cantidad de movimiento, calor y energía, en la capa laminar límite situada sobre una lámina plana. El análisis corresponde a una mezcla binaria con propiedades constantes del fluido y en ausencia de disipación viscosa o reacción química homogénea. Las soluciones son aplicables cuando la temperatura y la composición del fluido son constantes a lo largo de la superficie de la lámina y 𝑁 cuando 𝐴0⁄𝑁 es también constante. 𝐵0 Los perfiles de velocidad, temperatura y composición, que resultan vienen dados por la función sencilla

∏ = ∏(𝑛, ∆, 𝐾)

(3.1)

Que representa la variación de los perfiles ∏ 𝑣 , ∏ 𝑇 𝑦 ∏ 𝐴𝐵 con la coordenada de posición 𝑦 𝑣 𝑛 = ( ⁄2)√ ∞⁄𝑣𝑥 El grupo A de propiedades físicas (es decir, 1, Pr, o Sc), y la densidad de flujo de 2 𝑣 materia adimensional en la pared, 𝑛 = ( 𝑣𝑦0⁄𝑣∞ ) √ ∞𝑥⁄𝑣 En la figura anterior se representan gráficamente algunos ejemplos de estos perfiles. La deducción se ha hecho para NB = 0; sin embargo, los resultados son válidos para la transferencia de materia de A y B si K se evalúa en la forma que se ha indicado aquí anteriormente. [Bird, R., Stewart, W., Lightfoot, E. 1997. Fenomenos de Transporte: Un Estudio de los Fundamentos del Transporte de Materia, Energía y Cantidad de Movimiento]

Los coeficientes locales para la transferencia simultánea de cantidad de movimiento, calor y materia, se pueden obtener directamente a partir de las siguientes expresiones: ∏ ′(0, 1, 𝑘) 𝑣 𝜏𝑦𝑥𝑙𝑦=𝑜 = √ 𝜌𝑣∞ (0 − 𝑣∞ ) 2 𝑣∞𝑥

22

∏ ′(0, ⋀ 𝑇 , 𝑘) 𝑣 𝑞𝑦𝑙𝑦=𝑜 = √ ̅̅̅𝑝 𝑣∞ (𝑇0 − 𝑇∞ ) 2⋁𝑇 𝑣∞𝑥 𝜌𝐶 ∏ ′(0, ⋀ 𝐴𝐵 , 𝑘) 𝑣 𝐽𝐴𝑣𝑙𝑣=𝑜 = √ 𝐶𝑣∞ (𝑥𝐴0 − 𝑥𝐴∞ ) 2⋁𝑇 𝑣∞𝑥

Para la densidad de flujo de pared; las ecuaciones análogas que se obtienen son las siguientes: 𝑓𝑙𝑜𝑐 2

=

ℎ𝑙𝑜𝑐 ̅̅̅̅ 𝜌𝐶 𝑝 𝑣∞ 𝑘𝑥,𝑙𝑜𝑐 𝐶𝑣∞

1 ∏ ′(0,1,𝐾) 𝑣∞𝑥 − ⁄2

(

2

=

=

𝑣

)

(3.2)

1 ∏ ′(0,𝑃𝑟,𝐾) 𝑣∞𝑥 − ⁄2

(

2𝑃𝑟

𝑣

)

(3.3)

1 ∏ ′(0,𝑆𝑐,𝐾) 𝑣∞𝑥 − ⁄2 2𝑆𝑐

(

𝑣

)

(3.4)

Para mayor facilidad de utilización y también para compararlos con otras teorías de las correcciones de transferencia de materia, vamos a presentar estos resultados en función de los términos R, ∅, que intervienen en las teorías de película y penetración. Cuando las propiedades físicas de la mezcla son constantes e iguales para las especies A y B, las ecuaciones anteriores, se transforman en: 𝑅𝑣 =

𝜌𝑣𝑥0 𝑓 𝜌𝑣∞ ⁄2

𝑅𝑇 =

̅̅̅𝑝 𝑣𝑥0 𝜌𝐶 ℎ

𝑅𝐴𝐵 =

𝑐𝑣𝑥0 𝑘𝑧

Introduciendo las soluciones de capa límite para f, h y Kz se obtiene: 𝐾

𝑅𝑣 = ∏ ′(0,1,𝑘)

(3.5) 23

̅̅̅̅ 𝜌𝐶 𝑝 𝑣𝑥0

𝑅𝑇 = ∏ ′(0,⋀ 𝑇,𝑘) 𝐾𝑃𝑟

𝑅𝐴𝐵 = ∏ ′(0,𝑆𝑐,𝑘)

(3.6) (3.7)

Que pueden compendiarse en una única solución 𝐾𝐴

𝑅𝑣 = ∏ ′(0,⋀ 𝑇,𝑘)

(3.8)

Para evaluar ∅ basta simplemente con substituir f., h” y k de las Ecs. 3. 5, 6 y 7, por los valores correspondientes para K = 0; el resultado es 𝐾𝐴

∅ = ∏ ′(0,⋀, 0)

(3.9)

Y las correcciones de transferencia de materia para f, h y k, vienen dadas por las siguientes relaciones de las pendientes de perfil en la pared: ∅=

∏ ′(0,⋀, 𝐾) ∏ ′(0,⋀, 0)

(3.10) Obsérvese que las soluciones de capa límite presentan una variación con ⋀ que no existe en las demás soluciones; esto se debe a que en las teorías de penetración y película se ha suprimido el efecto del perfil-v, sobre los perfiles de temperatura y concentración. La teoría de película es la que predice el menor efecto de la transferencia de materia sobre los coeficientes de transferencia. La principal conclusión que se deduce de la comparación de estudios realizados anteriormente es que las correcciones de transferencia de materia dependen de la geometría del flujo y de las condiciones límite, de forma que cada teoría tiene un intervalo preferente de aplicación. Los resultados de capa límite obtenidos aquí son, evidentemente, preferibles para el flujo laminar a lo largo de superficies planas estacionarias y para la entrada de tubos, mientras que la teoría de penetración es, generalmente, la mejor para líquidos en la interfase gas-líquido. [Treybal, R. Operaciones de Transferencia de Masa. ISB 968- 6046 -34-8. Mc Graw Hill. 2 Edición]

24

4. DIFUSIÓN CON REACCIÓN QUÍMICA 4.1 DIFUSIÓN CON REACCIÓN QUÍMICA HETEROGÉNEA: Consideremos un reactor catalítico, tal como el que se indica en la siguiente figura, en el que se realiza la reacción de dimerización 2𝐴 → 𝐴2 . Un sistema de este grado de complejidad no puede describirse exactamente mediante un desarrollo teórico. Sin embargo, se puede obtener cierta información analizando un modelo altamente simplificado. [Bird, R., Stewart, W., Lightfoot, E. 1997. Fenomenos de Transporte: Un Estudio de los Fundamentos del Transporte de Materia, Energía y Cantidad de Movimiento]

Fig. 4.1.1. (a) Diagrama esquemático de un reactor catalítico en el que A se convierte en B.

25

(b) Representación idealizada (o «modelo») del problema de difusión en las proximidades de una partícula catalítica [o sea, ampliación de la región acotada con la línea de trazos en (a).] Si imaginamos que cada partícula catalítica está rodeada por una película gaseosa estancada a través de la cual difunde A para alcanzar la superficie del catalizador. (Véase Fig. 4.1.1b.) Supongamos que la reacción 2𝐴 → 𝐴2 se produce instantáneamente en la superficie catalítica, y que el producto A2 difunde después en sentido contrario a través de la película gaseosa hasta alcanzar la corriente turbulenta del gas que consta de A y A2. Se trata de encontrar una expresión para la velocidad local de conversión de A en A2, cuando se conocen el espesor efectivo de la película gaseosa 𝛿, y las composiciones globales 𝑥0𝐴 𝑦 𝑥𝐴20 de la corriente. Se supone que la película gaseosa es isotérmica, aunque para muchas reacciones catalíticas no se puede despreciar el calor que se genera en la reacción. Para el caso que se representa en la Fig. 4.1.1b, se mueve un mol de A2 en la dirección z negativa por cada dos moles de A que se mueven en la direcci6n z positiva, según se deduce de la estequiometria de la reacción. Por consiguiente, en estado estacionario, 1

𝑁𝐴2𝑥 = − 2 𝑁𝐴𝑧 (4.1.1) Para cualquier valor de z. Substituyendo esta relación en la siguiente ecuación: 𝑁𝐴𝑍 = −𝑐𝐷𝐴𝐵

𝜕𝑋𝐴 + 𝑋𝐴 (𝑁𝐴𝑍 + 𝑁𝐵𝑍 ) 𝜕𝑍

Y despejando 𝑁𝐴𝑍 , se obtiene:

𝑁𝐴𝑧 = −

𝑐𝐷𝐴𝐴2 𝑑𝑥𝐴 1 1− 𝑥𝐴 𝑑𝑧

(4.1.2)

2

Por lo tanto, mediante la ley de difusión y la estequiometria de la reacción, se ha obtenido una expresión para 𝑁𝐴𝑍 en función del gradiente de concentración. Se aplica ahora un balance de materia para la especie A a una delgada lámina de la película gaseosa de espesor, ∆𝑧 Este procedimiento es exactamente el mismo que 26

se ha utilizado para las ecuaciones anteriores y conduce de forma inmediata a la ecuación 𝑑𝑁𝐴𝑧 𝑑𝑧

=0

(4.1.3) Introduciendo en esta expresión el valor de NAz de la ecuación anterior, se obtiene (para 𝑐𝐷𝐴𝐴2 constante)

𝑑 𝑑𝑧

(

1

𝑑𝑥𝐴

1 1− 𝑥𝐴 2

𝑑𝑧

)=0

(4.1.4) Integrando dos veces con respecto a z, se llega a 1

−2 ln (1 − 2 𝑥𝐴 ) = 𝐶1 𝑧 + 𝐶2

(4.1.5)

Las constantes de integración se calculan utilizando las condiciones límite: Condiciones Limite 1: (4.1.6)

para z = 0

Condiciones Limite 2: (4.1.7)

para z= 𝛿

𝑥𝐴 = 𝑥𝐴0

𝑥𝐴 = 0

El resultado final para el perfil de concentración en la película gaseosa, es: 1

1−(𝑧⁄𝛿 )

1

(1 − 2 𝑥𝐴 ) = (1 − 2 𝑥𝐴0 )

(4.1.8)

Teniendo en cuenta esta relación, la ecuación 4.1.2 ahora para obtener la densidad de flujo molar a través de la película:

𝑁𝐴𝑧 = −

2𝑐𝐷𝐴𝐴2 𝛿

𝑙𝑛 (

1 1

1− 𝑥𝐴0 2

)

(4.1.9)

27

La magnitud 𝑁𝐴𝑧 puede interpretarse también como la velocidad de dimerización por unidad de área de la superficie catalítica. Este conocimiento puede combinarse con algún otro acerca del reactor catalítico esquematizado en la Fig. 4.1.1 con el fin de obtener información sobre la velocidad global de conversión en todo el reactor. Hay una cuestión que merece resaltarse. Aunque la reacción química tiene lugar de forma instantánea en la superficie catalítica, la conversión de A a A2 procede a velocidad finita debido a que los procesos de difusión están en serie con los de reacción. Por lo tanto, se dice que la conversión de A a A2 está controlada por la difusión. En este tratamiento se ha supuesto que la dimerización se produce instantáneamente en la superficie del catalizador. En el ejemplo que sigue, veremos cómo pueden tenerse en cuenta velocidades de reacción finitas en la superficie catalítica. [Treybal, R. Operaciones de Transferencia de Masa. ISB 9686046 -34-8. Mc Graw Hill. 2 Edición]

4.1.2 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 4.1.2.1 Difusión con Reacción Heterogénea Lenta Considerando la figura 4.1.1 cuando la reacción 2𝐴 → 𝐴2 no es instantánea en la superficie catalítica (para z =𝛿). En vez de esto, supone que la velocidad ‘con la que desaparece A en la superficie catalítica es proporcional a la concentración de A en dicha superficie: 𝑁𝐴𝑧 = 𝑘′′1 𝑐𝐴 = 𝑐𝑘′′1 𝑥𝐴 (4.1.10) En la que 𝑘′′1 es una constante de velocidad. Solución: Se procede exactamente igual que antes, excepto que la condición limite 2 de la ecuación 4.1.7 se substituye por: 𝑁

Condición Limite 2’: para z =𝛿 y 𝑥𝐴 = 𝑐𝑘′𝐴𝑧 siendo a su vez 𝑁𝐴𝑧 una constante para 1

el estado estacionario. Determinando las constantes de integración para las condiciones límite 1 y 2’, se llega a: 1

1 𝑁𝐴𝑧

𝑧⁄ 𝛿

(1 − 2 𝑥𝐴 ) = (1 − 2 𝑐𝑘′ ) 1

1

1−(𝑍⁄𝛿 )

(1 − 2 𝑥𝐴0 )

(4.1.11)

28

La ecuación anterior puede desarrollarse en serie mediante la fórmula de Taylor, despreciando todos los términos anteriores a excepción de 𝑁𝐴𝑧 . De esta manera se llega a la siguiente ecuación: 𝑁𝐴𝑧 =

𝐷 2𝑐 𝐴𝐴𝑧⁄𝛿 1 𝑙𝑛 ( 1 ) 𝐷 1− 𝑥𝐴0 1+( 𝐴𝐴𝑧⁄𝑘′′ 𝛿 ) 2 1

(4.1.12) Obteniéndose una vez más que mediante los cálculos anteriores se obtiene la velocidad de los procesos de reacción y difusión combinados

4.2 DIFUSIÓN CON REACCIÓN QUÍMICA HOMOGÉNEA: Considerando el sistema descrito en la siguiente figura

Fig. 4.2.1 Absorción con reacción química homogénea. En este caso el gas A se disuelve en el líquido B y difunde en la fase liquida. Al mismo tiempo que difunde, la substancia A sufre una reacción química irreversible

29

de primer orden: A + B →AB. Por lo tanto, el balance de materia (entrada - salida + producción = 0) toma la forma: 𝑁𝐴𝑧 𝑙𝑧 𝑆 − 𝑁𝐴𝑧 𝑙𝑧+∆𝑧 𝑆 − 𝑘′′′1 𝑐𝐴 𝑆∆𝑧 = 0

(4.2.1)

En la que 𝑘′′′1 es una constante de velocidad de primer orden para la descomposición química de A, y S es el área de la sección transversal de líquido. El producto 𝑘′′′1 𝑐𝐴 representa el número de moles de A que desaparecen por unidad de volumen y unidad de tiempo. Dividiendo la ecuación 4.2.1 por 𝑆∆𝑧 , y tomando el límite cuando ∆𝑧 tiende a cero, se obtiene: 𝑑𝑁𝐴𝑧

+ 𝑘′′′1 𝑐𝐴 = 0 (4.2.2) 𝑑𝑧

Si A y B están presentes a bajas concentraciones 𝑁𝐴𝑍 = −𝑐𝐷𝐴𝐵

𝜕𝑋𝐴 + 𝑋𝐴 (𝑁𝐴𝑍 + 𝑁𝐵𝑍 ) 𝜕𝑍

La ecuación anterior puede expresarse de la siguiente manera: 𝑁𝐴𝑍 = −𝐷𝐴𝐵 (4.2.3)

𝑑𝑐𝐴 𝑑𝑍

Si sustituimos la ecuación anterior en la ecuación (4.2.2), se obtiene 𝑑 2 𝑐𝐴 −𝐷𝐴𝐵 + 𝑘′′′1 𝑐𝐴 = 0 𝑑𝑍 2 Que se resuelve con las siguientes condiciones limites: Condicion limite 1: (4.2.4) Condicion limite 2:

𝐶𝐴 = 𝐶𝐴0

para z = 0

para z = L

𝑁𝐴𝑍 = 0

Ó

𝑑𝑐𝐴 𝑑𝑍

=0

(4.2.5) La primera condición límite establece que la concentración en la superficie se mantiene a un valor fijo 𝐶𝐴0 . La segunda establece que A no difunde a través del

30

fondo del recipiente. La resolución de la ecuación 4.2.4 con estas condiciones límite, da: 𝑐𝐴 𝑐𝐵

=

cosh 𝑏1 [1−(𝑧⁄𝐿)]

(4.2.6)

cosh 𝑏1

𝑘′′′1 𝐿2⁄ 𝐷𝐴𝐵 . El perfil de concentración así obtenido se indica en la figura anterior. A partir de la ecuación 4.2.6 se puede obtener la concentración media de A, en la fase líquida: En la que 𝑏1 = √

1 cosh 𝑏1 ℶ 𝐿 𝑐 ⁄cosh 𝑏 ) 𝐶𝐴,𝑚𝑒𝑑 ∫0 ( 𝐴⁄𝑐𝐴0 )𝑑𝑧 ∫0 ( 1 = = 𝐿 1 𝐶𝐴0 ∫ 𝑑𝑧 ∫ 𝑑ℶ 0

0

𝐶𝐴,𝑚𝑒𝑑 𝐶𝐴0

sinh 𝑏1 ℶ 1 1 cosh 𝑏1 0

=𝑏

1

= 𝑏 tanh 𝑏1

(4.2.7)

1

En estas expresiones ℶ corresponde a [1 − (𝑧⁄𝐿)] La densidad del flujo molar de A en el plano z=0 puede calcularse a partir de la ecuación anterior: 𝑁𝐴𝑧𝑙𝑧=0 = −𝐷𝐴𝐵

𝑑𝑐𝐴

] = −𝐷𝐴𝐵 𝑐𝐴0 𝑑𝑧 𝑧=0

sinh 𝑏1 [1−(𝑧⁄𝐿)] cosh 𝑏1

𝑏

𝐷𝐴𝐵 𝑐𝐴0

(− 𝐿1 )| 𝑥=0 = + (

𝐿

) 𝑏1 tanh 𝑏1

(4.2.8)

𝑘′′′1 𝐿2⁄ 𝐷𝐴𝐵

En la que 𝑏1 = √

Suponiendo que el producto AB de la reacción química no interfiere la difusión de A a través de B. [Treybal, R. Operaciones de Transferencia de Masa. ISB 9686046 -34-8. Mc Graw Hill. 2 Edición]

31

5. DIFUSIÓN TURBULENTA

La aproximación del gradiente o difusión se utiliza extensamente para describir los flujos de transporte turbulento en función de las variables medias del flujo. Otros tipos de cierre están disponibles pero, en contraste con la aproximación del gradiente de difusión, son bastante complejos y se usan primordialmente en modelos complejos de computador de flujo y transporte. Los modelos cerrados más avanzados son necesarios cuando se consideran flujos que tienen altas irregularidades geométricas, que son transitorios tanto en las cantidades medidas como en las turbulentas y que están completamente acoplados en el sentido de que el calor o la masa pueden introducir en los flujos, estratificación o gradientes de densidad fuertes, alterando el patrón de flujo y circulación. [Treybal, R. Operaciones de Transferencia de Masa. ISB 968- 6046 -34-8. Mc Graw Hill. 2 Edición]

Esta colección de requerimientos para el uso de modelos cerrados turbulentos avanzados contiene descriptores para flujos geofísicos, y tales flujos y modelos de turbulencia complejos se tratan en cursos de ciencias atmosféricas, oceanografía e incluso en astrofísica. Por todo esto, la atención se centrará en flujos de ingeniería que son razonablemente permanentes y tienen una geometría uniforme. Para estos casos, la aproximación del gradiente de difusión es un cierre excelente. El cierre más simple, la difusividad de remolino constante, se considera en primer lugar. Antes de proceder a la difusión turbulenta, sin embargo, es útil reconsiderar el caso de la difusión molecular. Para un caso unidimensional, considerar una masa M de partículas que estén marcadas de tal manera que sus trayectorias se puedan seguir durante el tiempo. Teniendo en cuenta la siguiente figura en un tiempo igual a cero, la masa se deposita en el origen y la ecuación hará que el material se aleje del origen en todas las direcciones [Streeter, V., Wyle, B., Keith, W. Bedford. Editorial Mc. Graw Hill. Novena edición. Colombia]

32

Fig. 5.1 Esquema de difusión turbulenta respecto al tiempo. Por analogía con la ley de difusión de Fick: 𝐽𝐴𝑣 (𝑡) = −𝐷𝐴𝐵 (𝑡)

̅̅̅̅ 𝑑𝑐 𝐴 𝑑𝑦

(5.1)

En la que 𝐷𝐴𝐵 (𝑡) es la «difusividad turbulenta» o «difusividad de remolino». Debido a la analogía entre transferencia de calor y materia, se acostumbra admitir que: 𝐷𝐴𝐵 (𝑡)⁄ = 1 Siendo ∝(𝑡) la difusividad térmica de remolino. ∝(𝑡) 5.1 MODELADO MATEMÁTICO DE LA DIFUSIÓN TURBULENTA 5.1.1 MODELADO DE EULER: El enfoque de Euler para la difusión turbulenta se concentra en un volumen infinitesimal en un determinado espacio y tiempo en un marco de referencia fijo, en el que las propiedades físicas como la masa, la inercia y la temperatura se mide [Csanady, G. 1973. Turbulent diffusion in the environment. Gheophysics and astrophysics monographs. D. Reidel Publishing Company]. El modelo es útil porque las estadísticas de Euler pueden cuantificarse de manera coherente y ofrecer una gran aplicación a las reacciones químicas. De manera similar a los modelos moleculares, debe cumplir los mismos principios que la ecuación de continuidad de abajo, donde la advección de un elemento o especie se equilibra con su difusión, la generación de la reacción, y además de otras fuentes o puntos, y las ecuaciones de Navier-Stokes. [Bird, R., Stewart, W., Lightfoot, E. 1997. 33

Fenomenos de Transporte: Un Estudio de los Fundamentos del Transporte de Materia, Energía y Cantidad de Movimiento]

𝜕𝑐𝑖 𝜕𝑡

𝜕 2 𝑐𝑖

𝜕

+ 𝜕𝑥 (𝑢𝑗 , 𝑐𝑖 ) = 𝐷𝑖 𝜕𝑥 𝑗

𝑗 𝜕𝑥𝑗

+ 𝑅𝑖 (𝑐1 , … , 𝑐𝑁 , 𝑇) + 𝑆𝑖 (𝑥, 𝑡)

(5.1.1.1)

Donde C i = concentración de especies de interés, u j = velocidad t = tiempo, x j = dirección, D i = constante de difusión molecular, R i = tasa de c i genera reacción, S i = tasa de c i generados por la fuente. Como se puede ver, esto es muy similar a la modelización de la difusión molecular en el flujo de fluidos. Si se considera una especie inerte (sin reacción) sin fuentes y asumir la difusión molecular es insignificante, sólo los términos de advección en el lado izquierdo de la ecuación sobrevivir. La solución a este modelo parece trivial en un primer momento, sin embargo, hemos dejado de lado el componente aleatorio de la velocidad, más la velocidad media en u j = u + u j 'que se asocia típicamente con un comportamiento turbulento. A su vez, la solución de concentración para el modelo euleriano debe tener también un componente aleatorio c j = c + c j’. Esto se traduce en un problema de cierre de las variables infinitas y las ecuaciones y hace que sea imposible de resolver para una definida en la mencionada presunción. [Treybal, R. Operaciones de Transferencia de Masa. ISB 968- 6046 -34-8. Mc Graw Hill. 2 Edición]

Afortunadamente existe una aproximación de cierre en la introducción del concepto de Eddy difusividad y es aproximaciones estadísticas para la concentración de azar y componentes de la velocidad de la mezcla turbulenta. 〈𝑢′𝑗 , 𝑐′〉 = −𝐾𝑗𝑗

𝜕(𝑐) 𝜕𝑥𝑗

(5.1.1.2)

Donde K es la difusividad de Eddy [Pandis, S., Seinfeld, J. 2006. Atmospheric and physics: from air pollution to climate change.] Si sustituimos en la ecuación de continuidad y hacemos caso omiso de las reacciones, las fuentes, y los resultados de difusión molecular en la siguiente ecuación diferencial teniendo en cuenta sólo a la aproximación de difusión turbulenta en la difusión de Eddy:

34

𝜕𝑐𝑖 𝜕𝑡

+ 𝑢̅𝑗

𝜕(𝑐) 𝜕𝑥𝑗

𝜕

= 𝜕𝑥 (𝐾𝑗𝑗 𝑗

𝜕(𝑐) 𝜕𝑥𝑗

)

(5.1.1.3)

5.1.2. MODELADO DE LAGRANGE: El modelo lagrangiano de difusión turbulenta utiliza un marco de referencia en movimiento para seguir las trayectorias y los desplazamientos de las especies que se mueven y sigue las estadísticas de cada partícula individual [Csanady, G. 1973. Turbulent diffusion in the environment. Gheophysics and astrophysics monographs. D. Reidel Publishing Company]. En un principio, la partícula se encuentra en un lugar x '(x 1, x 2, x 3) en el tiempo t’. El movimiento de la partícula se describe por su probabilidad de existir en un elemento de volumen específico en el. [Treybal, R. Operaciones de Transferencia de Masa. ISB 968- 6046 -34-8. Mc Graw Hill. 2 Edición]

El tiempo t, que es descrita por Ψ (x 1, x 2, x 3, t) dx 1 dx 2 dx 3 = Ψ (x, t) d x que sigue a la función de densidad de probabilidad (pdf) de tal manera que: ∞

∞

Ψ(x, t) = ∫−∞

∫−∞

∞

∫−∞

Q(x, t; x ′ , t′)Ψ(x ′ , t′)dx ′

(5.1.2.1)

Donde la función Q es la densidad de partículas, probablemente para la transición. La concentración de partículas en una posición x y el tiempo t se puede calcular sumando las probabilidades de que el número de partículas observadas de la siguiente manera: 〈𝑐, 〈𝑥, 𝑡〉〉 = ∑𝑚 𝑖=1 Ψ𝑖 (𝑥, 𝑡)

(5.1.2.2)

Al realizar la evaluación en la integral, se obtiene la siguiente expresión: ∞

〈c(x, t)〉 = ∫−∞ ∞ ∫−∞

∞ ∫−∞

∞ ∫−∞

∞

∫−∞

∞

∫−∞

Q(x, t; x0 , t 0 )〈c0 , t 0 〉dx0 +

Q(x, t; x ′ , t′)S(x ′ , t′)dtdx ′

(5.1.2.3)

35

[Pandis, S., Seinfeld, J. 2006. Atmospheric and physics: from air pollution to climate change. ISBN 0-471-72017-8] Por lo tanto, se utiliza este enfoque para evaluar la posición y velocidad de las partículas en relación con sus vecinos y el medio ambiente, y se aproxima a las concentraciones de azar y las velocidades asociadas a la difusión turbulenta en las estadísticas de su movimiento.

5.1.3. SOLUCIÓN A LOS MODELADOS: La solución resultante para resolver las ecuaciones finales antes mencionados, tanto para los modelos de Euler y Lagrange para el análisis de las estadísticas de las especies en el flujo turbulento, tanto como resultado expresiones muy similares para el cálculo de la concentración media en un lugar de una fuente continua. Ambas soluciones de desarrollo de un penacho gaussiano y son prácticamente idénticos en el supuesto de que las variaciones en el X, Y, Z, están relacionados con la difusividad de Foucault. [Bird, R., Stewart, W., Lightfoot, E. 1997. Fenomenos de Transporte: Un Estudio de los Fundamentos del Transporte de Materia, Energía y Cantidad de Movimiento]

〈𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑧)〉 =

Donde 𝜎𝑦 2 =

𝑞 2𝜋𝜎𝑦 𝜎0

2𝐾𝑦𝑦 𝑥 ̅ 𝜇

𝑦2

𝑧2

𝑒𝑥𝑝 [− (𝜎 2 + 𝜎2 )] 𝑦

𝜎2 =

(5.1.3.1)

2𝐾∞ 𝑥 ̅ 𝜇

q = tasa de emisión de las especies, u = velocidad del viento, σ la dirección.

i

2

i = varianza de

Bajo diversas condiciones externas tales como el viento, σ i 2 i = varianza de la dirección. Bajo diversas condiciones externas tales como la velocidad de flujo direccional (viento) y las condiciones ambientales, las varianzas y difusividades de difusión turbulenta se mide y se utiliza para el cálculo de una buena estimación de la concentración en un punto específico de una fuente. Este modelo es muy útil en 36

ciencias de la atmósfera, sobre todo cuando se trata de concentraciones de contaminantes en la contaminación del aire que emanan de fuentes tales como las pilas de combustión, los ríos, o cadenas de automóviles en una carretera. [Pandis, S., Seinfeld, J. 2006. Atmospheric and physics: from air pollution to climate change. ISBN 0-471-72017-8]

5.2. APLICACIONES

Con el avance de modelado asistido por ordenador y la programación, los científicos han sido capaces de simular el flujo turbulento con el fin de comprender mejor la difusión turbulenta en la atmósfera y en los líquidos, obteniéndose los siguientes resultados: Actualmente en uso en los esfuerzos de investigación son las dos principales aplicaciones de forma no intrusiva. El primero es el plano fluorescencia inducida por láser (PLIF), que se utiliza para detectar concentraciones instantáneas de hasta un millón de puntos por segundo. Esta tecnología se puede combinar con la velocimetría de imagen de partículas (PIV), que detecta los datos de velocidad instantánea. Además de encontrar datos sobre la concentración y la velocidad, estas técnicas se pueden utilizar para deducir las correlaciones espaciales y los cambios en el medio ambiente. Como las habilidades y la tecnología informática se están expandiendo rápidamente, estos métodos también mejorará en gran medida, y más que probable que estar a la vanguardia de la investigación futura en el modelado de la difusión turbulenta. Aparte de estos esfuerzos, también ha habido avances en el trabajo de campo que se utilizó antes de los ordenadores disponibles. Monitoreo en tiempo real de la turbulencia, la velocidad y las corrientes para mezclar fluidos es ahora posible. Esta investigación ha resultado importante para el estudio de los ciclos de la mezcla de contaminantes en flujos turbulentos, especialmente para los suministros de agua potable. [Arima, T., Matsuura, Y. 2007. Computation of air flows and motion of environmental pollutants over complex geographical topographies. Journal of Computacional and Applied Mathematics (1): 187-196]

37

6. COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE MASA Se ha visto que cuando un fluido fluye a través de una superficie sólida, en condiciones en las cuales por lo general prevalece la turbulencia, hay una región inmediatamente contigua a la superficie en donde el flujo es predominantemente laminar. Al aumentar la distancia de la superficie, el carácter del flujo cambia de modo gradual y se vuelve cada vez más turbulento, hasta que en las zonas más externas del fluido, prevalecen completamente las condiciones de flujo turbulento. También se ha visto que la rapidez de transferencia de una sustancia disuelta a través del fluido dependerá necesariamente de la naturaleza del movimiento del fluido que prevalezca en las diferentes regiones.

Fig. 6.1. Muestra como disminuyen los gradientes de concentración cuando pasamos de la película región laminar a la región turbulenta. El mecanismo del proceso de flujo en que intervienen los movimientos de los remolinos en la región turbulenta no se ha entendido completamente. Sucede lo contrario con el mecanismo de la difusión molecular, al menos para gases, el cual se conoce bastante bien, puesto que puede describirse en función de una teoría cinética que proporciona resultados que están de acuerdo con los experimentales. [Treybal, R. Operaciones de Transferencia de Masa. ISB 968- 6046 -34-8. Mc Graw Hill. 2 Edición] 38

Por lo tanto, es natural que la rapidez de la transferencia de masa a través de varias regiones desde la superficie hasta la zona turbulenta, se trate de describir de la misma forma en que, por ser adecuados, se describe la difusión molecular. Tenemos: 𝑁𝐴 = 𝑁

𝑁𝐴 𝐴 +𝑁𝐵

𝐷𝐴𝐵 𝐶 𝑍

𝑁 /(𝑁 +𝑁 )− 𝑐

/𝑐

ln 𝑁𝐴/(𝑁𝐴+𝑁𝐵 )− 𝑐𝐴2 /𝑐 𝐴

𝐴

𝐵

𝐴1

(6.1)

La ecuación 6.1 es propia de la difusión molecular, en la cual reemplazamos

𝐷𝐴𝐵 𝐶 𝑍

por F que es un coeficiente de transferencia de masa para soluciones binarias. 𝑁𝐴 = 𝑁

𝑁𝐴 𝐴 +𝑁𝐵

𝑁 /(𝑁 +𝑁 )− 𝑐

/𝑐

𝐹 ln 𝑁𝐴/(𝑁𝐴+𝑁𝐵)− 𝑐𝐴2 /𝑐 𝐴

𝐴

𝐵

𝐴1

(6.2)

𝑐𝐴 /𝑐 concentración en fracción mol, 𝑥𝐴 para líquido, 𝑦𝐴 para gases; 𝑁 flux de transferencia de masa, relativo a una fase limite; 𝐷𝐴𝐵 difusividad o coeficiente de difusión de un componente A en solución B; z distancia en la dirección z. Es posible que no sea plana la superficie a través de la cual sucede la transferencia; si así sucede, la trayectoria de difusión en el fluido puede tener una sección transversal variable; en ese caso, N se define como el flux en la interfase de la fase, en donde la sustancia abandona o entra a la fase para la cual el coeficiente de transferencia de masa es F. 𝑁𝐴 es positiva cuando 𝑐𝐴1 está en el principio de la trayectoria de transferencia y 𝑐𝐴2 en el final. De cualquier forma, una de estas concentraciones se encontrará en el límite de la fase. La forma en que se defina la concentración de A en el fluido modificará el valor de F; generalmente se establece de forma arbitraria. Si la transferencia de masa ocurre entre un límite de fase y una gran cantidad de fluido no limitado, como cuando una gota de agua se va evaporando al mismo tiempo que va cayendo a través de un gran volumen de aire, la concentración de la sustancia que se difunde en el fluido se toma generalmente como el valor constante que se encuentra a grandes distancias del límite de la fase. Si el fluido se encuentra en una tubería cerrada, de tal forma que la concentración no es constante en ningún punto a lo largo de la trayectoria de transferencia, se utiliza la concentración promedio total 𝐶𝐴̅ , que se encuentra mezclando todos los fluidos que pasan por un punto dado. En la figura 2 en la que un líquido se evapora en el gas que fluye, la concentración 𝐶𝐴 del vapor en el gas varía continuamente de 𝐶𝐴1 , en la superficie del líquido, hasta el valor𝑧 = 𝑍. [Treybal, R. 39

Operaciones de Transferencia de Masa. ISB 968- 6046 -34-8. Mc Graw Hill. 2 Edición]

Fig 6.2.Transferencia de masa a un fluido confinado.

En este caso, 𝐶𝐴2 en la ecuacion 6.2 se toma, generalmente, como 𝐶𝐴̅ , definida por: 1

𝑠

𝐶𝐴̅ = 𝑢̅ 𝑆 ∫0 𝑢𝑥 𝐶𝐴 𝑑𝑆 𝑥

(6.3)

En donde: 𝑢𝑥 (𝑧) es la distribución de velocidad en el gas a través del tubo (el promedio temporal de U, en el caso de la turbulencia); 𝑢̅𝑥 , es la velocidad promedio total (flujo volumétrico/sección transversal de la tubería), y S es el área de la sección transversal de la tubería. La F de la ecuación (2) es un coeficiente de transferencia de masa local, definido para un lugar particular sobre la superficie límite de la fase. Puesto que el valor de F depende de la naturaleza del movimiento del fluido, que puede variar a lo largo de la superficie, algunas veces se utiliza un valor promedio de 𝐹𝑝𝑟 en la ecuación (2), con 𝐶𝐴1 y 𝐶𝐴2 constantes; así se toman en cuenta estas variaciones en F. En sistemas de varios componentes la interacción entre los componentes puede ser lo suficientemente importante para que no sea exacta la ecuación para el sistema binario. No obstante, la ecuación (2) puede servir como una aproximación adecuada, si se sustituye 𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 por ∑𝑛𝑖=1 𝑁𝑖 , en dónde n es el número de componentes. [Treybal, R. Operaciones de Transferencia de Masa. ISB 968- 6046 -34-8. Mc Graw Hill. 2 Edición]

40

Situaciones -Transferencia de A a través de B, que no se transfiere B [𝑁𝐵 = 0, 𝑁𝐴 /(𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 ) = 1] Para gases: 𝑁𝐴 = 𝑘𝐺 (𝑝̅𝐴1 − 𝑝̅𝐴2 ) = 𝑘𝑦 (𝑦𝐴1 − 𝑦𝐴2 ) = 𝑘𝑐 (𝑐𝐴1 − 𝑐𝐴2 ) Para líquidos: 𝑁𝐴 = 𝑘𝑥 (𝑥𝐴1 − 𝑥𝐴2 ) = 𝑘𝐿 (𝑐𝐴1 − 𝑐𝐴2 )

(6.4)

(6.5)

- Contradifusión equimolar [𝑁𝐴 = −𝑁𝐵 ] Para gases: 𝑁𝐴 = 𝑘′𝐺 (𝑝̅𝐴1 − 𝑝̅𝐴2 ) = 𝑘′𝑦 (𝑦𝐴1 − 𝑦𝐴2 ) = 𝑘′𝑐 (𝑐𝐴1 − 𝑐𝐴2 )

(6.6)

Para líquidos: 𝑁𝐴 = 𝑘′𝑥 (𝑥𝐴1 − 𝑥𝐴2 ) = 𝑘′𝐿 (𝑐𝐴1 − 𝑐𝐴2 )

(6.7)

𝑘𝑐 en la ecuación 6.4 puede considerarse como un reemplazo de 𝐷𝐴𝐵 /𝑧 en la integración de la ecuación 6.8; el término de flujo total de la ecuación 6.9 se ignora al igualarla a 𝑁𝐴 . Por lo tanto, los coeficientes de las ecuaciones 6.4 y 6.5 son generalmente útiles solo para rapideces de transferencia de masa bajas. Los valores medidos bajo un nivel de rapidez de transferencia deben convertirse a F, a fin de utilizarlos con la ecuación 6.2, antes de aplicarlos a otra. Para obtener la relación entre F y las k, se tiene que para los gases, F reemplaza a ecuación 6.10, y que 𝑘𝐺 reemplaza a 𝐽𝐴 = −𝐷𝐴𝐵

𝜕𝑐𝐴 𝜕𝑧

= −𝑐𝐷𝐴𝐵

𝑁𝐴 = (𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 ) 𝑁𝐴 = 𝑁

𝑁𝐴 𝐴 +𝑁𝐵

𝑐𝐴 𝑐

𝐷𝐴𝐵 𝑝𝑡 𝑅𝑇𝑧

𝐷𝐴𝐵 𝑝𝑡 𝑅𝑇𝑧 𝑝̅ 𝐵,𝑀

𝜕𝑥𝐴

𝜕𝑐𝐴

[𝑁 /(𝑁 +𝑁 )]𝑝 −𝑝̅ 𝐴

en la

en la ecuación 6.11.

(6.9)

𝜕𝑧

ln [𝑁𝐴/(𝑁𝐴+𝑁𝐵 )]𝑝𝑡−𝑝̅ 𝐴2 𝐴

𝑅𝑇𝑧

(6.8)

𝜕𝑥

− 𝐷𝐴𝐵

𝐷𝐴𝐵 𝑝𝑡

𝐵

𝑡

𝐴2

(6.10)

41

𝐷

𝑁𝐴 = 𝑅𝑇𝐴𝐵 𝑝̅

𝑝𝑡

𝑧 𝐵,𝑀

(𝑝̅𝐴1 − 𝑝̅𝐴2 )

(6.11)

Así se obtuvieron las siguientes conversiones: Para gases: 𝐹 = 𝑘𝐺 𝑝̅𝐵,𝑀 = 𝑘𝑦

𝑝̅ 𝐵,𝑀 𝑝𝑡

= 𝑘𝑐

𝑝̅ 𝐵,𝑀 𝑅𝑇

𝑘𝑦

𝑝

= 𝑀 = 𝑘′𝐺 𝑝𝑡 = 𝑘′𝑦 = 𝑘′𝑐 𝑅𝑇𝑡 = 𝑘′𝑐 (6.12) 𝐵

Para líquidos: 𝑝

𝐹 = 𝑘𝑥 𝑥𝐵,𝑀 = 𝑘𝐿 𝑥𝐵,𝑀 𝑐 = 𝑘´𝐿 𝑐 = 𝑘´𝐿 𝑀 = 𝑘´𝑥

(6.13)

6.1. COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE MASA EN FLUJO LAMINAR En el flujo laminar parece no necesitarse los coeficientes de transferencia de masa, ya que predomina la difusión molecular. Sin embargo es importante mantener una uniformidad respecto al método de trabajo tanto en el flujo laminar como en el flujo turbulento. Los coeficientes de transferencia de masa pueden calcularse siempre y cuando puedan describirse las condiciones de flujo y los modelos matemáticos se puedan resolver. Concretamente en la realidad muy poco se dan estas condiciones, sin embargo vamos a ilustrar unos casos sencillos para tenerla en cuenta en el flujo turbulento. TRANSFERENCIA DE MASA DE UN GAS A UNA PELÍCULA LÍQUIDA DESCENDENTE Fig 6.1.1 Película descendente de líquido

42

La figura 6.1.1 muestra un líquido en una película delgada en flujo laminar, líquido que desciende en una superficie lisa vertical mientras es expuesto a un gas A, que se disuelve en el líquido. El líquido contiene una concentración uniforme de 𝑐𝐴0 , en la parte superior. En la superficie del líquido, la concentración del gas disuelto es 𝑐𝐴,𝑖 en equilibrio con la presión de A en la fase gaseosa. Puesto que 𝑐𝐴,𝑖 > 𝑐𝐴0, el gas se disuelve en el líquido. Se debe obtener el coeficiente de transferencia de masa 𝑘𝐿 , para calcular la cantidad de gas disuelto después de que el líquido recorra en su descenso la distancia L. [Treybal, R. Operaciones de Transferencia de Masa. ISB 968- 6046 -34-8. Mc Graw Hill. 2 Edición]

Se logra usando simultáneamente la ecuación de continuidad para el componente A, ecuación 6.1.14, y la ecuación que describe el movimiento del líquido, es decir, mediante las ecuaciones de Navier-Stokes. La solución simultánea de este formidable conjunto de ecuaciones diferenciales parciales sólo es posible de resolver cuando se han realizado varias simplificaciones. Respecto del propósito actual, se supondrá lo siguiente: 1. No hay reacción química, 𝑅𝐴 de la ecuación 6.1.14 = 0. 2. Las condiciones no cambian en la dirección x (perpendicular al plano del papel, figura 6.2.1) Todas las derivadas con respecto a x de la ecuación 6.1.14= 0. 3. Prevalecen las condiciones de estado estacionario

𝜕𝑐𝐴 𝜕𝜃

= 0.

4. La rapidez de absorción del gas es muy pequeña. Esto significa que𝑢𝑧 en la ecuación (2.17), debida a la difusión de A, es esencialmente cero. 5. La difusión de A en la dirección 𝑦 , es despreciable en comparación con el movimiento descendente de A debido al flujo total. Por lo tanto, 𝐷𝐴𝐵

𝜕 2 𝑐𝐴 𝜕𝑦 2

=0

6. Las propiedades físicas (𝐷𝐴𝐵 , 𝜚, 𝜇) son constantes. Ecuación de continuidad para el componente A 𝑢𝑥

𝜕𝑐𝐴 𝜕𝑥

+ 𝑢𝑦

𝜕𝑐𝐴 𝜕𝑦

+ 𝑢𝑧

𝜕𝑐𝐴 𝜕𝑧

+

𝜕𝑐𝐴 𝜕𝜃

𝜕2 𝑐

= 𝐷𝐴𝐵 ( 𝜕𝑥 2𝐴 +

𝜕 2 𝑐𝐴 𝜕𝑦 2

+

𝜕 2 𝑐𝐴 𝜕𝑧 2

) + 𝑅𝐴 (6.1.14)

Entonces, la ecuación 6.1.14 se reduce a 𝑢𝑦

𝜕𝑐𝐴 𝜕𝑦

= 𝐷𝐴𝐵

𝜕 2 𝑐𝐴 𝜕𝑧 2

(6.1.15)

43

La cual establece que cualquier A agregada al líquido descendente en cualquier punto z, sobre un incremento en y, llega ahí mediante difusión en la dirección z.

Las ecuaciones de movimiento en estas condiciones se reduce a: 𝜇

𝑑2 𝑢𝑦 𝑑𝑧 2

+ 𝜌𝑔 = 0

(6.1.16)

Se conoce bien la solución de la ecuación (6.1.16) en las condiciones de 𝑢𝑦 = 0, en 𝑧 = 𝛿, y de 𝑑𝑢𝑦 /𝑑𝑧 = 0 en 𝑧 = 0 . 𝑢𝑦 =

𝜌𝑔𝛿 2 2𝜇

𝑧 2

3

𝑧 2

[1 − (𝛿) ] = 2 𝑢̅𝑦 [1 − (𝛿) ]

(6.1.17)

En donde 𝑢̅𝑦 es la velocidad promedio total. Entonces, el espesor de la película es 𝛿=(

̅𝑦 𝜇 1/2 3𝑢 𝜌𝑔

)

3𝜇Γ 1/3

= (𝜌2 𝑔)

(6.1.18)

En donde Γ es la rapidez de masa del flujo del líquido por unidad de espesor de la película en la dirección x. Sustituyendo la ecuación 6.1.17 en la 6.15. 3

𝑧 2 𝜕𝑐𝐴 𝜕𝑦

𝑢̅ [1 − (𝛿) ] 2 𝑦

= 𝐷𝐴𝐵

𝜕 2 𝑐𝐴 𝜕𝑧 2

(6.1.19)

Que se resuelve con las siguientes condiciones: 1. En 𝑧 = 0 , 𝑐𝐴 = 𝑐𝐴,𝑖 , para todos los valores de 𝑦. 2. En 𝑧 = 𝛿, 𝜕𝑐𝐴 /𝜕𝑧 = 0 para todos los valores de 𝑦, puesto que no hay difusión en la pared sólida. 3. En 𝑦 = 0, 𝑐𝐴 = 𝑐𝐴0 para todos los valores de z. Se obtiene para la solución una expresión general (una serie infinita) que da 𝑐𝐴 para cualquier 𝑧 y 𝑦 ; se proporciona de esta forma una distribución de concentración 𝑐𝐴 (𝑧) en y = L. La 𝑐̅𝐴,𝐿 promedio total en 𝑦 = 𝐿 puede encontrarse en la forma de la ecuación 6.3. El resultado es: 𝑐𝐴,𝑖 −𝑐̅𝐴,𝐿 𝑐𝐴,𝑖 −𝑐𝐴0

= 0.7857𝑒 −5.1213𝜂 + 0.1001𝑒 −39.318𝜂 + 0.03599𝑒 −105.64𝜂 + ⋯ (6.1.20)

44

En donde 𝜂 = 2𝐷𝐴𝐵 𝐿/3𝛿 2 𝑢̅𝑦 Por tanto, la rapidez total de absorción es 𝑢̅𝑦 𝛿(𝑐̅𝐴,𝐿 − 𝑐𝐴0 ) por unidad de espesor de la película líquida. Alternativamente para obtener un coeficiente de transferencia de masa local para el caso del flujo total despreciable en la dirección 𝑧 (𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 = 0) , se puede combinar con la ecuación 6.5; recuérdese empero que los coeficientes de transferencia de masa utilizan fluxes en la interfase (𝑧 = 0). 𝜕𝑐

𝑁𝐴 = −𝐷𝐴𝐵 ( 𝜕𝑧𝐴)

𝑧=0

= 𝑘𝐿 (𝑐𝐴,𝑖 − 𝑐̅𝐴,𝐿 )

(6.1.21)

Sin embargo, en este caso, debido a la naturaleza de la serie que describe 𝑐𝐴 la derivada no está definida en 𝑧 = 0. Por tanto, es mejor trabajar con un coeficiente promedio para la superficie líquido-gas completa. La rapidez con la cual A es arrastrada por el líquido en cualquier 𝑦, por unidad de espesor en la dirección 𝑥, es 𝑢̅𝑦 𝛿𝑐̅𝐴 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠/𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 . Por lo tanto, para una distancia 𝑑𝑦 , por unidad de espesor, la rapidez de absorción del soluto es, en 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠/𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜. 𝑢̅𝑦 𝛿𝑑𝑐̅𝐴 = 𝑘𝐿 (𝑐𝐴,𝑖 − 𝑐̅𝐴 )𝑑𝑦 𝑐̅ =𝑐̅

𝑢̅𝑦 𝛿 ∫𝑐̅ 𝐴=𝑐 𝐴,𝐿 𝐴

𝑘𝐿,𝑝𝑟 =

̅𝑦 𝛿 𝑢 𝐿

𝐴0

𝑐

𝑑𝑐̅𝐴 𝑐𝐴,𝑖 −𝑐𝐴

(6.1.22) 𝐿

𝐿

= ∫0 𝑘𝐿 𝑑𝑦 = 𝑘𝐿,𝑝𝑟 ∫0 𝑑𝑦

(6.1.23)

−𝑐

ln 𝑐 𝐴,𝑖−𝑐̅ 𝐴0

(6.1.24)

𝐴,𝐿

𝐴,𝑖

La cual define el coeficiente promedio. Ahora bien, para rapideces bajas de flujo o largos tiempos de contacto del líquido con el gas (generalmente para números de Reynolds para películas 𝑅𝑒 = 4Γ/𝜇 menores de 100), solo se necesita utilizar el primer término de la serie de la ecuación 6.20. Sustituyendo en la ecuación 6.1.24. 𝑘𝐿,𝑝𝑟 = 𝑘𝐿,𝑎𝑣 𝛿 𝐷𝐴𝐵

̅𝑦 𝛿 𝑢 𝐿

ln

= 𝑆ℎ𝑎𝑣 ≈ 3.41

𝑒 5.1213𝜂 0.7857

=

̅𝑦 𝛿 𝑢 𝐿

(0.241 + 5.1213) ≈ 3.41

𝐷𝐴𝐵 𝛿

(6.1.25) (6.1.26)

En donde Sh representa el número de Sherwood, la transferencia de masa análoga al número de Nusselt para transferencia de calor.

45

Un desarrollo similar para números de Reynolds grandes o tiempo de contacto pequeño lleva a: 6𝐷

Γ 1/2

𝐴𝐵 𝑘𝐿,𝑝𝑟 = ( 𝜋𝜌𝛿𝐿 )

(6.1.27) 1/2

3 𝛿

𝑆ℎ = (2𝜋 𝐿 𝑅𝑒 𝑆𝑐)

(6.1.28)

El producto 𝑅𝑒𝑆𝑐 es el número de Péclet, 𝑃𝑒. Estas 𝑘𝐿 promedio pueden utilizarse para calcular la rapidez de absorción total. Por lo tanto, el flux promedio 𝑁𝐴,𝑝𝑟 para la superficie completa gas-líquido, por unidad de espesor, es la diferencia entre la rapidez de flujo de A en el líquido en 𝑦 = 𝐿 y en 𝑦 = 0, dividida entre la superficie líquida. Esto puede utilizarse con alguna diferencia de concentración promedio. 𝑁𝐴,𝑝𝑟 =

̅𝑦 𝛿 𝑢 𝐿

(𝑐̅𝐴,𝐿 − 𝑐𝐴0 ) = 𝑘𝐿,𝑝𝑟 (𝑐𝐴,𝑖 − 𝑐̅𝐴 )𝑀

(6.1.29)

La sustitución de 𝑘𝐿,𝑝𝑟 en la ecuación 6.1.24 muestra que es necesario el promedio logarítmico de la diferencia en la parte superior e inferior de la película. (𝑐

(𝑐𝐴,𝑖 − 𝑐̅𝐴 )𝑀 = ln[(𝑐𝐴,𝑖

−𝑐𝐴0 )− (𝑐𝐴,𝑖 −𝑐̅𝐴𝐿 )

𝐴,𝑖 −𝑐𝐴0 )/ (𝑐𝐴,𝑖 −𝑐̅𝐴𝐿 )]

(6.1.30)

Los datos experimentales muestran que la 𝑘𝐿,𝑝𝑟 obtenida puede ser bastante mayor que los valores teóricos, aun para rapideces de transferencia de masa bajas, debido a agitaciones y ondas no consideradas en el análisis, que se forman en valores de Re, que se inician aproximadamente a 25. Las ecuaciones se aplican para 𝑅𝑒 superiores a 1200, si se eliminan las agitaciones mediante la adición de agentes humectantes. La absorción rápida, como en el caso de gases muy solubles, produce valores importantes de u, esto causa mayores discrepancias, debido a la alteración del perfil de velocidad en la película. También puede alterarse el perfil de velocidad por el flujo del gas, de tal forma que aun en el caso más sencillo, cuando los dos fluidos se mueven, 𝑘𝐿 depende de las dos rapideces de flujo. [Treybal, R. Operaciones de Transferencia de Masa. ISB 9686046 -34-8. Mc Graw Hill. 2 Edición]

46

6.2. TRANSFERENCIA DE MASA EN LA INTERFASE

Considerando la posibilidad de transferencia de masa a través del límite de la fase en la siguiente figura:

Fig.6.2.1.Perfiles de fracción molar en la región cercana a la interfaz de transferencia de masa durante la interfase.

Debemos tener la continuidad de los flujos de A a través de la interfaz, mediante la siguiente ecuación 𝑁𝑖 𝑥 = 𝑁𝑖 𝑦 = 𝑁𝑖 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. Podemos expresar estos flujos en términos de las fuerzas impulsoras de la transferencia de masa a cada lado de la interfaz: (𝑁) = 𝑐𝑡 𝐿 [𝐾𝐿 ](𝑥 𝐿 − 𝑥 𝐼 ) + 𝑁𝑡 (𝑥 𝐿 ) = 𝑐𝑡 𝐿 [𝛽 𝐿 ][𝐾𝐿 ](𝑥 𝐿 − 𝑥 𝐼 )

(6.2.1)

(𝑁) = 𝑐𝑡 𝑉 [𝐾𝑉 ](𝑦 𝐼 − 𝑦 𝑉 ) + 𝑁𝑡 (𝑦 𝑉 ) = 𝑐𝑡 𝑉 [𝛽 𝑉 ][𝐾𝑉 ](𝑥 𝐼 − 𝑥 𝑉 ) (6.2.2)

47

Como se señaló anteriormente, se supone que la interfaz de las dos fases está en equilibrio entre sí. Las composiciones de ambos lados de la interfaz, por lo tanto, se relacionan así: 𝑦𝑖 𝐼 = 𝐾𝑖 𝑥𝑖 𝐼 𝑖 = 1, 2, … . , 𝑛 (6.2.3) A veces será útil linealizar la relación de equilibrio líquido-vapor para la interfaz en el rango de composiciones obtenidas en el paso de la mayor parte de las condiciones de interfaz. [Bird, R., Stewart, W., Lightfoot, E. 1997. Fenomenos de Transporte: Un Estudio de los Fundamentos del Transporte de Materia, Energía y Cantidad de Movimiento]

(𝑦 𝐼 ) = [𝑀](𝑥 𝐼 ) + (𝑏)

(6.2.4)

Donde [M] es la matriz de las constantes de equilibrio con los elementos 𝑀𝑖𝑗 =

𝜕𝑦𝑖 ´∗ ⁄𝜕𝑥 𝑗

𝑖, 𝑗 = 1, 2, … . . 𝑛 − 1

(6.2.3)

Donde 𝑦𝑖 ´∗ es la fracción molar de un vapor en equilibrio con un líquido de composición 𝑥𝑖 es una matriz columna de "intercepto". Para evaluar [M] hay que diferenciar el modelo de equilibrio líquido-vapor con respecto a la composición. Si las relaciones de equilibrio líquido vapor están dadas por: 𝐾𝑖 = 𝛾𝑖 𝑃𝑖 𝑠 /𝑃 (6.2.4) Entonces se puede demostrar que la matriz [M] se da simplemente por [𝑀] = [𝐾][𝑇]

(6.2.5)

Donde [K] la matriz de ISA en diagonal con los elementos que son las relaciones de equilibrio (los primeros n-1 de ellos y [T] es la matriz de factores termodinámicos definido por la ecuación (𝑁) = [𝛽𝐼 ][𝐽𝐼 ] = 𝐶𝑡 [𝛽𝐼 ][𝐾𝐼 ](∆𝑋)

48

6.3 EJERCICIO DE APLICACIÓN 6.3.1. Calcular la rapidez de absorción de CO2 en una película de agua descendente sobre una pared vertical de 1 m de longitud a un gasto de 0.05 𝑘𝑔/𝑠 por metro de espesor a 25°C. El gas es CO2 puro a 1 atm std. Inicialmente, el agua esta esencialmente libre de CO2. Solución: Propiedades a 25°C Solubilidad del CO2 en agua es 𝑐𝐴,𝑖 = 0.0336 𝑘𝑚𝑜𝑙/𝑚3 ,𝐷𝐴𝐵 = 1.96 (10−9 )𝑚2 /𝑠 Densidad de la solución 𝜌 = 998 𝑘𝑔/𝑚3 , 𝜇 = 8.94 (10−4 )𝑘𝑔/𝑚𝑠 , Γ = 0.05 𝑘𝑔/𝑚. 𝑠 𝐿 = 1𝑚 1/3

3𝜇Γ 1/3 3(8.94 × 10−4 )(0.05) 𝛿=( 2 ) =[ ] (998)2 (9.807) 𝜌 𝑔 𝑅𝑒 =

= 2.396 × 10−4 𝑚

4Γ 4(0.05) = = 203 𝜇 8.94 × 10−4

Como el Reynolds es de flujo laminar se aplica la ecuación 6.27 6𝐷

Γ 1/2

𝐴𝐵 𝑘𝐿,𝑝𝑟 = ( 𝜋𝜌𝛿𝐿 )

Τ

6(1.96×10−9 )(0.05)

1/2

[𝜋(998)(2.396×10−4 )(1)]

= 2.798 × 10−5 𝑘𝑚𝑜𝑙/𝑚2 . 𝑠(𝑘𝑚𝑜𝑙/𝑚3 )

0.05

𝑢̅𝑦 = 𝜌𝛿 = 998(2.396×10−4 ) = 0.209 𝑚/𝑠 En la parte superior, 𝑐𝐴,𝑖 − 𝑐̅𝐴 = 𝑐𝐴,𝑖 − 𝑐𝐴0 = 𝑐𝐴,𝑖 = 0.0336 𝑘𝑚𝑜𝑙/𝑚3 En el fondo, 𝑐𝐴,𝑖 − 𝑐̅𝐴,𝐿 = 0.0336 − 𝑐̅𝐴,𝐿 𝑘𝑚𝑜𝑙/𝑚3 El flux de absorción está dado por las ecuaciones (29) y (30) 0.209(2.396 × 10−4 )𝑐̅𝐴𝐿 =

(2.798×10−5 )[0.0336− (0.0336−𝑐̅𝐴𝐿 )] ln[0.0336/ (0.0336−𝑐̅𝐴𝐿 )]

Por tanto 𝑐̅𝐴𝐿 = 0.01438 𝑘𝑚𝑜𝑙/𝑚3

49

Se calcula que la rapidez de absorción es 𝑢̅𝑦 (𝑐̅𝐴,𝐿 − 𝑐𝐴0 ) = 0.209 (2.396 × 10−4 )(0.01438 − 0) = 7.2 × 10−7 𝑘𝑚𝑜𝑙/𝑠 𝑚 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟

7. DIFUSIÓN MOLECULAR EN FLUIDOS

En la difusión molecular se trabaja con el movimiento de las moléculas individuales a través de una sustancia debido a su energía térmica. La teoría cinética de los gases proporciona una forma de imaginar lo que sucede; de hecho, esta teoría fue rápidamente aceptada gracias a la adecuada descripción en términos cuantitativos del fenómeno difusional. De acuerdo con una teoría cinética simplificada, se puede imaginar que una molécula viaja en línea recta con una velocidad uniforme, que choca con otra molécula y que entonces su velocidad cambia tanto en magnitud como en dirección. La distancia promedio que viaja la molécula entre cada choque es su trayectoria libre promedio; su velocidad promedio depende de la temperatura. Como la molécula viaja en una trayectoria en zigzag, la distancia neta en la dirección en la cual se mueve durante cierto tiempo -rapidez de difusión-, sólo es una pequeña fracción de la longitud de su trayectoria real. Por esta razón, la rapidez de difusión es muy pequeña, aunque podría aumentar con un descenso de presión, que reduciría el número de choques y un incremento de temperatura, que aumentaría la velocidad molecular. [Bird, R., Stewart, W., Lightfoot, E. 1997. Fenomenos de Transporte: Un Estudio de los Fundamentos del Transporte de Materia, Energía y Cantidad de Movimiento] La importancia de la barrera que presenta la colisión molecular frente al movimiento difusional es profunda. Así, por ejemplo, mediante la teoría cinética se puede calcular que la rapidez de evaporación del agua a 25 “C en el vacío es aproximadamente 3.3 kg/s m2 de la interfase del agua. Sin embargo, cuando se coloca una capa de aire estancado a 1 atm de presión y 0.1 mm de espesor sobre la interfase del agua, se reduce la rapidez por un factor de aproximadamente 600. Este mismo proceso general predomina también en el estado líquido; empero, como la concentración molecular es considerablemente más grande, la rapidez de difusión es menor que en los gases. [Treybal, R. Operaciones de Transferencia de Masa. ISB 968- 6046 -34-8. Mc Graw Hill. 2 Edición]

50

El fenómeno de la difusión molecular conduce finalmente a una concentración completamente uniforme de sustancias a través de una solución que inicialmente pudo haber sido no uniforme. Así, por ejemplo, si se coloca una gota de solución de sulfato de cobre azul en un vaso con agua, el sulfato de cobre se reparte al final en todo el líquido. Con el tiempo, el color azul se vuelve uniforme en cualquier parte de la solución y no hay cambios subsecuentes. Sin embargo, al principio debe distinguirse entre la difusión molecular, que es un proceso lento, y el mezclado más rápido que puede lograrse mediante agitación mecánica y por movimiento de convección del fluido. Por ejemplo un tanque de 1.5 m de diámetro en el cual se ha colocado una solución salina a una profundidad de 0.75 m. Supóngase que se ha colocado una capa de 0.75 m de agua pura sobre la salmuera, de tal forma que en ningún momento se disturbe esta última solución. Si el contenido del tanque no se perturba, la sal, por difusión molecular, permeara completamente el líquido, y finalmente llegara a tener la mitad de la concentración que tenía en la salmuera original. Pero el proceso es muy lento; puede calcularse que concentración de sal en la parte superior del líquido será del 87.5% de su valor final después de 10 años y del 99% de su valor final después de 28 años. Por otra parte, se ha demostrado que un agitador sencillo que gire en el tanque a 22 rpm alcanzará la uniformidad total en aproximadamente 60 seg. La agitación mecánica ha producido el rápido movimiento de grandes masas de fluido, o remolinos, característicos del flujo turbulento, que acarrean la sal consigo. [Treybal, R. Operaciones de Transferencia de Masa. ISB 968- 6046 -34-8. Mc Graw Hill. 2 Edición] Este método de transferencia de soluto se conoce como difusión de remolino o turbulenta, por oposición a la difusión molecular. Evidentemente, dentro de cada remolino, por pequeño que sea, la uniformidad se alcanza por difusión molecular, que es el último proceso. Se ve entonces qué la difusión molecular es el mecanismo de transferencia de masa en fluidos estancados o en fluidos que se están moviendo únicamente mediante flujo laminar, aun cuando siempre está presente hasta en el fl4jo turbulento muy intenso. [Treybal, R. Operaciones de Transferencia de Masa. ISB 968- 6046 -34-8. Mc Graw Hill. 2 Edición] En un sistema de dos fases que no está en el equilibrio -por ejemplo, en una capa de amoniaco y aire como solución gaseosa en contacto con una capa de agua líquida, también sucede una alteración espontánea mediante difusión molecular, que conduce finalmente a todo el sistema a un estado de equilibrio en donde la alteración se detiene. Al final, se puede observar que la concentración de cualquiera de los componentes es la misma a través de toda una fase, aunque no es necesariamente la misma en las dos fases. Por tanto, la concentración de 51

amoniaco será uniforme a través de todo el líquido y uniforme, con un valor diferente, en todo el gas. Por otra parte, el potencial químico del amoniaco (o su actividad, si se utiliza el mismo estado de referencia), depende en forma diferente de la concentración, en las dos fases y será uniforme en cualquier parte del sistema en el equilibrio esta uniformidad es la que ha detenido el proceso difusivo. En conclusión, la fuerza motriz real para la difusión es la actividad o potencial químico y no la concentración. En sistemas de varias fases, generalmente se trata con procesos de difusión en cada una de las fases por separado y dentro de una fase generalmente son descritos en función de lo que se observa más fácilmente, esto es, de los cambios de concentración. [Treybal, R. Operaciones de Transferencia de Masa. ISB 968- 6046 -34-8. Mc Graw Hill. 2 Edición]

7.1. DIFUSIÓN MOLECULAR Cuando una solución es completamente uniforme con respecto a la concentración de sus componentes, no ocurre ninguna alteración; en cambio, si no es uniforme, la solución alcanzará espontáneamente la uniformidad por difusión, ya que las sustancias se moverán de un punto de concentración elevada a otro de baja concentración. La rapidez con la cual un soluto se mueve en cualquier punto y en cualquier dirección dependerá, por tanto, del gradiente de concentración en ese punto y esa dirección. Para describir cuantitativamente este proceso, se necesita una medida apropiada de la rapidez de transferencia. La rapidez de transferencia puede describirse adecuadamente en función del flujo molar, o 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠/(𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜)(á𝑟𝑒𝑎) , ya que el k se mide en una dirección normal a la difusión. Sin embargo, aunque una solución no uniforme sólo contenga dos componentes, éstos deberían difundirse, si se quiere alcanzar la uniformidad. Surge entonces la necesidad de utilizar dos fluxes para describir el movimiento de un componente: 𝑁, el flux relacionado con un lugar fijo en el espacio, y 𝐽, el flux de un compuesto con relación a la velocidad molar promedio de todos los componentes. El primero es importante al aplicarse al diseño de equipo; el segundo es característico de la naturaleza del componente. Por ejemplo, un pescador estaría más interesado en la rapidez con la cual nada un pez en contra de la corriente para alcanzar el anzuelo (análogo a N); la velocidad del pez con relación a la del arroyo (análogo a J) es característica de la habilidad natatoria del pez. [Treybal, R. Operaciones de Transferencia de Masa. ISB 968- 6046 -34-8. Mc Graw Hill. 2 Edición]

52

Así, la difusividad, o coeficiente de difusión, 𝐷𝐴𝐵 de un componente A en solución en B, que es una medida de la movilidad de difusión, se define como la relación de su flux 𝐽𝐴 y su gradiente de concentración. 𝐽𝐴 = −𝐷𝐴𝐵

𝜕𝑐𝐴 𝜕𝑧

= −𝑐𝐷𝐴𝐵

𝜕𝑥𝐴 𝜕𝑥

(7.1.1)

Es la primera ley de Fick, en este caso para la dirección z. El signo negativo hace hincapié que la difusión ocurre en el sentido del decremento en concentración. La difusividad es una característica de un componente y de su entorno (temperatura, presión, concentración, ya sea en solución liquida, gaseosa o sólida y la naturaleza de los otros componentes). Considérese la caja de la figura 1.1, que está separada en dos partes mediante la partición P. En la sección I se coloca 1 kg de agua (A) y en la sección II 1 kg de etanol (B) (las densidades de los líquidos son diferentes y la partición está colocada de tal forma que la profundidad de los líquidos en cada sección sea la misma.

Fig 7.1.1 Difusión en una solución binaria I Kg

II kmol

Kg

kmol

100

2.17

Inicialmente H2O

100

5.55

EtOH

Finalmente H2O

44.08

2.45

55.92

3.10

EtOH

44.08

0.96

55.92

1.21

53

Total:

88.16

3.41

111.84

4.31

Se elimina cuidadosamente la partición, permitiendo que suceda la difusión de los líquidos. Cuando se detenga la difusión, la concentración será uniforme: en toda la caja habrá 50% de masa de cada componente. Se indican en la figura las masas y moles de cada componente en las dos regiones. Es claro que aunque el agua se difundió hacia la derecha y el etanol hacia la izquierda, hubo un movimiento neto de masa hacia la derecha, de tal forma que si la caja se hubiese equilibrado inicialmente sobre el filo de un cuchillo, al final del proceso se hubiese inclinado hacia la derecha. Si se toma como positiva esa dirección hacia la derecha, entonces el flux 𝑁𝐴 de A con relación a la posición fija P sería positivo y el flux 𝑁𝐵 de B sería negativo. Por condición del estado estacionario, el flux neto es: 𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 = 𝑁 (7.1.2) El movimiento de A está formado por dos partes: la resultante del movimiento total N y la fracción 𝑥𝐴 de N, que es A y la resultante de la difusión 𝐽𝐴 : 𝑁𝐴 = 𝑁𝑥𝐴 + 𝐽𝐴 (71.3) 𝑁𝐴 = (𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 )

𝑐𝐴 𝑐

− 𝐷𝐴𝐵

𝜕𝑐𝐴 𝜕𝑧

(7.1.4)

El homólogo de la ecuación (7.1.4) para B es 𝑁𝐵 = (𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 )

𝑐𝐵 𝑐

− 𝐷𝐵𝐴

𝜕𝑐𝐵 𝜕𝑧

(7.1.5)

Sumando estos resultados se tiene: −𝐷𝐴𝐵

𝜕𝑐𝐴 𝜕𝑧

= 𝐷𝐵𝐴

𝜕𝑐𝐵 𝜕𝑧

(7.1.6)

En todo lo anterior se ha considerado la difusión en un solo sentido; no obstante, para gradientes de concentración general y fluxes difusionales, deben considerarse todos los sentidos; por ello, existen los homólogos de las ecuaciones (7.1.1) a (7.1.6) en los tres sentidos en el sistema de coordenadas cartesianas. En algunos sólidos, la difusividad 𝐷𝐴𝐵 también puede ser sensible a la dirección, aun cuando no lo es en fluidos, los cuales son soluciones verdaderas.

54

7.2 DIFUSIÓN MOLECULAR EN ESTADO ESTACIONARIO EN FLUIDOS SIN MOVIMIENTO Y EN FLUJO LAMINAR Si la ecuación (7.1.4) se aplica al caso de la difusión en el sentido 𝑧 únicamente, con 𝑁𝐴 y 𝑁𝐵 constantes (estado estacionario), las variables se separan fácilmente y si 𝐷𝐴𝐵 es constante, se puede integrar 𝑐𝐴2

−𝑑𝑐

𝐴1

𝑁𝐴 𝑐−𝑐𝐴 (𝑁𝐴 +𝑁𝐵 )

∫𝑐

𝑧2

1

= 𝑐𝐷

𝐴𝐵

∫𝑧1 𝑑𝑧 (7.2.7)

En donde el 1 indica el principio de la trayectoria de difusión (𝑐𝐴 elevado) y el 2 el final de la trayectoria de difusión (𝑐𝐴 bajo). Sea 𝑧2 − 𝑧1 = 𝑧 1

(𝑁 +𝑁 )

𝑁 𝑐−𝑐

𝑁𝐴 +𝑁𝐵

𝑧

ln 𝑁𝐴𝑐−𝑐𝐴2 (𝑁𝐴+𝑁𝐵 ) = 𝑐𝐷 𝐴

O 𝑁𝐴 = 𝑁

𝐴1

𝑁𝐴

𝐴

𝑐𝐷𝐴𝐵

𝐴 +𝑁𝐵

𝑧

𝐵

𝐴𝐵

(7.2.8)

𝑁 /(𝑁 +𝑁 )− 𝑐

/𝑐

ln 𝑁𝐴/(𝑁𝐴+𝑁𝐵 )− 𝑐𝐴2 /𝑐 (7.2.9) 𝐴

𝐴

𝐵

𝐴1

7.3 DIFUSIÓN MOLECULAR EN GASES Cuando se puede aplicar la ley de los gases ideales, la ecuación (7.2.8) puede escribirse de manera más adecuada para su uso con gases. Entonces 𝑐𝐴 𝑐

=

𝑝̅ 𝐴 𝑝𝑡

= 𝑦𝐴 (7.3.10)

En donde 𝑝̅𝐴 =presión parcial del componente A 𝑝𝑡 = 𝑝resión total 𝑦𝐴 = 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑚𝑜𝑙𝑎𝑟 Además 𝑛

𝑝

𝑐 = 𝑉 = 𝑅𝑇𝑡 (7.3.11) De tal forma que la ecuación (7.2.9) se convierte en 𝑁𝐴 = 𝑁

𝑁𝐴

𝐷𝐴𝐵 𝑝𝑡

𝐴 +𝑁𝐵 𝑅𝑇𝑧

𝑁 /(𝑁 +𝑁 )𝑝 − 𝑝̅

ln 𝑁𝐴/(𝑁𝐴+𝑁𝐵 )𝑝𝑡− 𝑝̅ 𝐴2 (7.3.12) 𝐴

𝐴

𝐵

𝑡

𝐴1

55

O 𝑁𝐴 = 𝑁

𝑁𝐴

𝐷𝐴𝐵 𝑝𝑡

𝐴 +𝑁𝐵

𝑅𝑇𝑧

𝑁 /(𝑁 +𝑁 ) −𝑦

ln 𝑁𝐴/(𝑁𝐴+𝑁𝐵 )− 𝑦𝐴2 (7.2.13) 𝐴

𝐴

𝐵

𝐴1

Para utilizar estas ecuaciones, debe conocerse la relación entre 𝑁𝐴 y 𝑁𝐵 . Ésta generalmente se fija con la estequiometria de una reacción química o por razones de entalpia. En el caso de las operaciones puramente separacionales, se presentan con frecuencia dos casos. [Treybal, R. Operaciones de Transferencia de Masa. ISB 968- 6046 -34-8. Mc Graw Hill. 2 Edición] 7.3.1 Difusión en estado estacionario de A a través del no difundente B: Esto puede suceder, por ejemplo, si se fuera a absorber amoniaco (A) del aire (B) en agua. Puesto que el aire no se disuelve apreciablemente en agua y si no se toma en cuenta la evaporación del agua, en la fase gaseosa sólo se difunde el amoniaco. Entonces 𝑁𝐵 = 0, 𝑁𝐴 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝑁 Por lo tanto 𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 = 1 𝐴

Y la ecuación (7.3.12) se transforma en 𝑁𝐴 =

𝐷𝐴𝐵 𝑝𝑡 𝑅𝑇𝑧

𝑝 − 𝑝̅

ln 𝑝𝑡− 𝑝̅ 𝐴2 (7.3.1.14) 𝑡

𝐴1

Puesto 𝑝𝑡 − 𝑝̅𝐴2 = 𝑝̅𝐵2 , 𝑝𝑡 − 𝑝̅𝐴1 = 𝑝̅𝐵1 , 𝑝̅𝐴1 − 𝑝̅𝐴2 = 𝑝̅𝐵2 − 𝑝̅𝐵1 𝑁𝐴 =

𝐷𝐴𝐵 𝑝𝑡 𝑝̅ 𝐴1 − 𝑝̅ 𝐴2 𝑅𝑇𝑧 𝑝̅ 𝐵2 −𝑝̅𝐵1

𝑝̅

ln 𝑝̅ 𝐵2 (7.3.1.15) 𝐵1

Sea 𝑝̅ 𝐵2 −𝑝̅ 𝐵1 ln 𝑝̅ 𝐵2 /𝑝̅ 𝐵1

= 𝑝̅𝐵,𝑀 (7.3.1.16)

Entonces 𝐷𝐴𝐵 𝑝𝑡 (𝑝̅𝐴1 − 𝑝̅𝐴2 ) 𝑁𝐴 = 𝑅𝑇𝑧𝑝̅ 𝐵,𝑀

(7.3.1.17)

Esta ecuación se muestra gráficamente en la figura 7.3.1.2. La sustancia A se difunde debido a su gradiente de concentración − 𝑑𝑝/𝑑𝑧. La sustancia B también se difunde con relación a la velocidad molar promedio con un flux 𝐽𝐵 que depende de −𝑑𝑝̅𝐵,𝑀 /𝑑𝑧, pero al igual que un pez que nada a contracorriente a la misma velocidad que el agua que fluye con la corriente, 𝑁𝐴 = 0 relativo a un lugar fijo en el espacio.

56

Fig 7.3.1.2 Difusión de A a través de B estancado.

7.3.2 Contradifusión equimolar en estado estacionario Esta es una situación que se presenta con frecuencia en las operaciones de destilación. 𝑁𝐴 = −𝑁𝐵 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. La ecuación (7.3.12) no está determinada, pero se puede utilizar la ecuación (1.4), que para gases se transforma en 𝑝̅

𝑁𝐴 = (𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 ) 𝑝𝐴 − 𝑡

𝐷𝐴𝐵 𝑑𝑝̅ 𝐴 𝑝𝑡

𝑑𝑧

(7.3.2.18)

O para este caso 𝑁𝐴 = −

𝐷𝐴𝐵 𝑑𝑝̅ 𝐴 𝑅𝑇 𝑑𝑧

𝑧

(7.3.2.19) 𝑝̅

𝐷

2 𝐴2 𝐴𝐵 ∫𝑧 𝑑𝑧 = − 𝑅𝑇𝑁 ∫𝑝̅ 𝑑𝑝̅𝐴 (7.3.2.20) 1

𝐴

𝐷

𝐴1

𝐴𝐵 (𝑝̅𝐴1 − 𝑝̅𝐴2 ) 𝑁𝐴 = − 𝑅𝑇𝑧

(7.3.2.21)

Esto se muestra de forma gráfica en la siguiente figura

57

Fig. 7.3.2.3 Contradifusión Equimolar

7.3 DIFUSIÓN EN ESTADO ESTACIONARIO EN MEZCLAS DE MULTICOMPONENTES Las expresiones para la difusión en sistemas de multicomponentes se vuelven muy complicadas, pero con frecuencia se pueden manejar utilizando una difusividad efectiva en la ecuación (1.16), en donde la difusividad efectiva de un componente puede obtenerse a partir de sus difusividades binarias con cada uno de los otros componentes. Así, en la ecuación (1.16), 𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 puede reemplazar por ∑𝑛𝑖=𝐴 𝑁𝑖 en donde 𝑁𝑖 es positivo si la difusión es en la misma dirección que 𝐴 y negativo si es en la dirección opuesta; 𝐷𝐴𝐵 puede reemplazarse por la 𝐷𝐴,𝑚 efectiva. 𝐷𝐴,𝑚 =

𝑁𝐴 −𝑦𝐴 ∑𝑛 𝑖=𝐴 𝑁𝑖

1 (𝑦 𝑁 −𝑦𝐴 𝑁𝑖 ) 𝐷𝐴𝑖 𝑖 𝐴

∑𝑛 𝑖=𝐴

(7.3.22)

Los 𝐷𝐴,𝑖 son las difusividades binarias. Esto indica que 𝐷𝐴,𝑚 puede variar considerablemente de uno de los lados de la trayectoria de difusión al otro; empero, generalmente se puede suponer una variación lineal con la distancia, 58

para realizar cálculos prácticos. Una situación bastante común es que todas las 𝑁 excepto 𝑁𝐴 sean cero, es decir cuando todos los componentes excepto uno, estén estancados, Entonces, la ecuación (7.3.22) se transforma 𝐷𝐴,𝑚 =

1−𝑦𝐴 𝑦𝑖 ∑𝑛 𝑖=𝐵

𝐷𝐴𝑖

=

1 ∑𝑛 𝑖=𝐵

𝑦′𝑖 𝐷𝐴𝑖

(7.3.23)

En donde 𝑦′𝑖 la fracción mol del componente 𝑖, libre de A.

7.4 DIFUSIVIDAD DE GASES

La difusividad, o coeficiente de difusión, D, es una propiedad del sistema que depende de la temperatura, presión y de la naturaleza de los componentes. Una teoría cinética avanzad predice que en mezclas binarias será pequeño el efecto debido a la composición. Sus dimensiones pueden establecerse a partir de su definición, ecuación (7.1), y éstas son 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 2 /𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 . La mayoria de los valores que aparecen en la bibliografía sobre 𝐷 están expresados en c𝑚2 / 𝑠; las dimensiones en el SI son 𝑚2 /𝑠. Las expresiones para calcular D cuando no se cuenta con datos experimentales, están basadas en la teoría cinética de los gases. Se recomienda la modificación de Wilke-Lee del método de Hirschfelder-Bird-Spotz para mezclas de gases no polares o de un gas polar con un no polar. [Treybal, R. Operaciones de Transferencia de Masa. ISB 968- 6046 -34-8. Mc Graw Hill. 2 Edición]

1 1 1 1 + )𝑇 3/2 √ + 𝑀𝐴 𝑀𝐵 𝑀𝐴 𝑀𝐵 𝑘𝑇 ) 𝑝𝑡 (𝑟𝐴𝐵 )2 𝑓( 𝜀𝐴𝐵

10−4 (1.084−0.249√

𝐷𝐴𝐵 =

(7.4.24)

En donde 𝐷𝐴𝐵 = 𝐷𝑖𝑓𝑢𝑠𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑, 𝑚2 /𝑠 𝑇 = 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎, 𝐾 𝑀𝐴 , 𝑀𝐵 = 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝐴 𝑦 𝐵, 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑘𝑔/𝑘𝑚𝑜𝑙 𝑝𝑡 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎, 𝑁/𝑚2

59

𝑟𝐴𝐵 = 𝑆𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑙 𝑐ℎ𝑜𝑞𝑢𝑒, 𝑛𝑚 = (𝑟𝐴 + 𝑟𝐵 )/2 𝜀𝐴𝐵 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑘 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐵𝑜𝑙𝑡𝑧𝑚𝑎𝑛𝑛 𝑓(𝑘𝑇/𝜀𝐴𝐵 ) = 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐ℎ𝑜𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 7.4.4 Los valores de 𝑟 𝑦 𝜀, pueden calcularse a partir de otras propiedades de los gases, como la viscosidad. Si es necesario, pueden calcularse empíricamente para cada componente 𝑟 = 1.18𝑣 1/3 (7.4.25) 𝜀 𝑘

= 1.21𝑇𝑏 (7.4.26)

En donde 𝑣 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝑜 𝑚𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑏𝑢𝑙𝑙𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙, 𝑚3 / 𝑘𝑚𝑜𝑙, y 𝑇𝑏 = 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑏𝑢𝑙𝑙𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙, 𝐾.

Fig 7.4.4 Función de choque para la difusión

7.5. DIFUSIÓN MOLECULAR EN LÍQUIDOS

Si se quiere integrar la ecuación (7.1.4) para escribirla en la forma de la ecuación (7.2.9), debe suponerse que 𝐷𝐴𝐵 y 𝑐 son constantes. Esto es adecuado para mezclas gaseosas binarias, pero no lo es en el caso de líquidos, ya que pueden variar considerablemente con la concentración. No obstante, en vista del escaso 60

conocimiento de las 𝐷, se acostumbra utilizar la ecuación (7.2.9), junto con una 𝑐 promedio y el mejor promedio que se tenga de 𝐷𝐴𝐵 . La ecuación (1.9) también se escribe convenientemente como 𝑁𝐴 = 𝑁

𝑁𝐴

𝐷𝐴𝐵

𝐴 +𝑁𝐵 𝑧

𝑁 /(𝑁 +𝑁 )− 𝑥

𝜌

(𝑀)

𝑎𝑣

ln 𝑁𝐴/(𝑁𝐴+𝑁𝐵 )− 𝑥𝐴2 (7.5.27) 𝐴

𝐴

𝐵

𝐴1

En donde 𝜌 y 𝑀 son la densidad de la solución y el peso molecular, respectivamente. Como en el caso de los gases, debe establecerse el valor de 𝑁𝐴 𝑁𝐴 +𝑁𝐵

para las circunstancias prevalecientes. Para los casos que aparecen más

frecuentemente, se tiene, como para los gases:

7.5.1. Difusión en estado estacionario de A a través del no difundente B.𝑁𝐴 = cons, 𝑁𝐵 = 0 𝐷

𝜌

𝑁𝐴 = 𝑧 𝑥𝐴𝐵 (𝑀) 𝐵𝑀

𝑎𝑣

( 𝑥𝐴1 − 𝑥𝐴2 ) (7.5.1.28) 𝑥

En donde 𝑥𝐵𝑀 = ln(𝑥𝐵2

−𝑥𝐵1

𝐵2 /𝑥𝐵1 )

(7.5.1.29)

7.5.2. Contradifusión equimolar en estado estacionario. 𝑁𝐴 = −𝑁𝐵 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝑁𝐴 =

𝐷𝐴𝐵 𝑧

(𝑐𝐴1 − 𝑐𝐴2 ) =

𝐷𝐴𝐵 𝑧

𝜌

(𝑀)

𝑎𝑣

( 𝑥𝐴1 − 𝑥𝐴2 ) (7.5.2.30)

[Treybal, R. Operaciones de Transferencia de Masa. ISB 968- 6046 -34-8. Mc Graw Hill. 2 Edición]

7.6. DIFUSIVIDAD DE LÍQUIDOS

Las dimensiones para la difusividad en líquidos son las mismas que para la difusividad de gases; 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 2 /𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜. Sin embargo, diferencia del caso de los gases, la difusividad varía apreciablemente con la concentración. Como no existe una teoría válida completa sobre la estructura de los líquidos, en ausencia de datos, no pueden hacerse cálculos exactos de la difusividad, los cuales sí eran posibles respecto a los gases. [Treybal, R. Operaciones de Transferencia de Masa. ISB 968- 6046 -34-8. Mc Graw Hill. 2 Edición]

61

Para soluciones diluidas de no electrolitos, se recomienda la correlación empírica de Wilke y Chang 𝐷°𝐴𝐵 =

(117.3×10−18 )(𝜑𝑀𝐵 )0.5 𝑇 𝜇𝑣°𝐴

(7.6.31)

En donde 𝐷𝐴𝐵 = 𝐷𝑖𝑓𝑢𝑠𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐴 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑙𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐵, 𝑚2 /𝑠 𝑀𝐵 = 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑘𝑔/𝑚𝑜𝑙 𝑇 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎, 𝐾 𝜇 = 𝑉𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛, 𝑘𝑔/𝑚 . 𝑠 𝑉𝐴 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑚𝑜𝑙𝑎1 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑏𝑢𝑙𝑙𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙, 𝑚3/𝑘𝑚𝑜𝑙 = 0.0756 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝜑 = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖𝑏𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒 = 2.26 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒 = 1.9 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑡𝑎𝑛𝑜𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒 = 1.5 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑒𝑡𝑎𝑛𝑜𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒 = 1.0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑏𝑒𝑛𝑐𝑒𝑛𝑜 𝑦 é𝑡𝑒𝑟 𝑒𝑡í𝑙𝑖𝑐𝑜. El valor de 𝑣𝐴 puede ser el valor verdadero, o si es necesario, calculado. El factor de asociación para un disolvente puede calcularse sólo cuando se han medido experimentalmente las difusividades en ese disolvente. Existe también cierta duda de que la ecuaci6n (7.6.31) sirva para manejar disolventes de viscosidad muy 𝑘𝑔

elevada, digamos 0.1 𝑚 . 𝑠 (100 𝑐𝑝) o más. La difusividad en soluciones concentradas difieren de la de soluciones diluidas debido a cambios en la viscosidad con la concentración y también debido a cambios en el grado de no idealidad de la solución. 𝑑 log 𝛾

𝐷𝐴 𝜇 = (𝐷°𝐵𝐴 𝜇𝐴 )𝑥𝐴 (𝐷°𝐴𝐵 𝜇𝐵 )𝐵 (1 + 𝑑 log 𝑥𝐴 ) (7.6.32) 𝐴

En donde 𝐷°𝐴𝐵 = difusividad de A a dilución infinita en B y 𝐷°𝐵𝐴 = difusividad de B a dilución infinita en A . El coeficiente de actividad 𝛾𝐴 puede obtenerse, normalmente, a partir de los datos de equilibrio vapor-líquido como la relación (a presiones ordinarias) entre las presiones parciales real a ideal de A en el vapor en equilibrio con un líquido de concentración 𝑥𝐴 . 62

y la derivada

𝑑 log 𝛾𝐴 𝑑 log 𝑥𝐴

puede obtenerse gráficamente como la pendiente de una

gráfica de log 𝛾𝐴 𝑉𝑆 log 𝑥𝐴 . En el caso de electrolitos fuertes disueltos en agua, la rapidez de difusión es la de los iones individuales, que se mueven más rápidamente que las grandes moléculas no disociadas, aun cuando los iones cargados positiva y negativamente deben moverse con la misma rapidez con el fin de mantener la neutralidad eléctrica de la solución.

7.7 APLICACIONES DE LA DIFUSIÓN MOLECULAR

Mientras que el flux relativo a la velocidad molar promedio 𝐽 siempre significa transferir hacia abajo de un gradiente de concentración, no siempre sucede lo mismo con el flux N. Por ejemplo, considérese la disolución de un cristal de sal hidratada como 𝑁𝑎2 𝐶𝑂3 . 10𝐻2 𝑂 en agua pura a 20°𝐶. La solución en contacto con la superficie cristalina contiene 𝑁𝑎2 𝐶𝑂3 y 𝐻2 𝑂 a una concentración que corresponde a la solubilidad del 𝑁𝑎2 𝐶𝑂3 , en 𝐻2 𝑂 , o 0.0353 fracción mol de 𝑁𝑎2 𝐶𝑂3, 0.9647 fracción mol de agua. Para el 𝑁𝑎2 𝐶𝑂3, la transferencia es desde la superficie cristalina a una concentración de 0.0353; hacia una con 0 fracción mal de 𝑁𝑎2 𝐶𝑂3en el líquido total. Pero el agua de cristalización que se disuelve debe transferirse hacia afuera en la relación de 10 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝐻2 𝑂/𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑁𝑎2 𝐶𝑂3, desde una concentración en la superficie cristalina de 0.9647 hasta 1.0 fracción mol en el líquido total, o transferir hacia arriba de un gradiente de concentración. Así lo confirma la aplicación de la ecuación (7.5.27). Por supuesto, las expresiones desarrolladas para la rapidez de transferencia de masa en condiciones en que la difusión molecular define el mecanismo de la transferencia de masa (fluidos estancados o en flujo laminar), también son directamente aplicables y por ello muy usados, en medición experimental de las difusividades. En las aplicaciones prácticas de las operaciones de transferencia de masa, los fluidos están siempre en movimiento, aun en los procesos por lotes; por tanto, no hay fluidos estancados. Aunque a veces los fluidos en movimiento están totalmente bajo el régimen de flujo laminar, con más frecuencia el movimiento es turbulento. Si el fluido está en contacto con una superficie sólida, en donde la velocidad del fluido es cero, existirá una región predominantemente en flujo laminar adyacente a la superficie. Por tanto, la transferencia de masa debe, por lo 63

común, sucede a través de una región laminar; aquí, la velocidad depende de la difusión molecular. Cuando dos fluidos inmiscibles en movimiento están en contacto y hay transferencia de masa entre ellos, puede no existir una región laminar, aun en la interfase entre los fluidos. En situaciones prácticas similares, se acostumbra describir el flux de transferencia de masa en función de los coeficientes de transferencia de masa. [Treybal, R. Operaciones de Transferencia de Masa. ISB 968- 6046 -34-8. Mc Graw Hill. 2 Edición]

7.8 EJERCICIOS DE APLICACIÓN

7.8.1. Se está difundiendo oxígeno (A) a través de monóxido de carbono (B) en condiciones de estado estacionario, con el monóxido de carbono sin difundirse. La 𝑁

presión total es 1(105 ) 𝑚2 y la temperatura es 0°𝐶. La presión parcial de oxígeno en dos planos separados por 2.0 𝑚𝑚 es, respectivamente, 13000 y 6500 𝑁/𝑚2. La difusividad para la mezcla es 1.87(10−5 )𝑚2 /𝑠. Calcular la rapidez de difusion del oxigeno en 𝑘𝑚𝑜𝑙/𝑠 a traves de cada metro cuadrado de los dos planos. SOLUCIÓN Se aplica la ecuación (7.3.1.17) 𝑁

𝑚

𝐷𝐴𝐵 = 1.87(10−5 )𝑚2 /𝑠 , 𝑝𝑡 = 105 𝑚2 , 𝑧 = 0.002 𝑚, 𝑅 = 8314 𝑁. 𝑘𝑚𝑜𝑙 . 𝐾 , 𝑇 = 273𝐾 , 𝑝̅𝐴1 = 13(103 ), 𝑝̅𝐵1 = 87(103 ), 𝑝̅𝐴2 = 6500, 𝑝̅𝐵2 = 93.5(103 ), todas en 𝑁/𝑚2

𝑝̅

𝑝̅𝐵,𝑀 = ln 𝐵𝑝̅2

−𝑝̅𝐵1

𝐵2 /𝑝̅ 𝐵1

𝑁𝐴 =

=

(87−93.5)(103 ) ln(87/93.5)

= 90200 𝑁/𝑚2

(1.87 × 10−5 )(105 )(13 − 6.5)(103 ) 𝐷𝐴𝐵 𝑝𝑡 (𝑝̅𝐴1 − 𝑝̅𝐴2 ) = 𝑅𝑇𝑧𝑝̅𝐵,𝑀 8314(273)(0.002)(90.2 × 103 )

= 2.97 × 10−5 𝑘𝑚𝑜𝑙/𝑚2 . 𝑠

7.8.2 .Calcular la rapidez de difusión del ácido acético (A) a través de una película de agua, no difusiva, de 1 𝑚𝑚 de espesor a 17 °𝐶, cuando las concentraciones en 64

los lados opuestos de la película son, respectivamente, 9 y 3% en peso de Ácido. La difusividad del ácido acético en la solución es 0.95(10−9 ) 𝑚2 /𝑠. [Bird, R., Stewart, W., Lightfoot, E. 1997. Fenomenos de Transporte: Un Estudio de los Fundamentos del Transporte de Materia, Energía y Cantidad de Movimiento] SOLUCIÓN Se aplica la ecuación (7.5.1.28). 𝑧 = 0.001𝑚 , 𝑀𝐴 = 60.03 , 𝑀𝐵 = 18.02 a 17 °𝐶, la densidad de la solución al 9% es 1012 𝑘𝑔/𝑚3. Por lo tanto 𝑁𝐴 = 𝑥𝐴1 =

0.09 ) 60.03 0.09 0.91 ( )+( ) 60.03 18.02

(

𝐷𝐴𝐵 𝜌 ( ) ( 𝑥 − 𝑥𝐴2 ) 𝑧 𝑥𝐵𝑀 𝑀 𝑎𝑣 𝐴1

= 0.0288 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑜𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑐𝑒𝑡𝑖𝑐𝑜

𝑥𝐴1 = 1 − 0.0288 = 0.9712 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑜𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 1

𝑀 = 0.0520 = 19.21 𝑘𝑔/𝑘𝑚𝑜𝑙

𝜌

1012

= 19.21 = 52.7 𝑘𝑚𝑜𝑙/𝑚3 𝑀

En la misma forma, la densidad de la solución al 3% es 1003.2 𝑘𝑔/𝑚3 , 𝑥𝐴2 = 0.0092 , 𝑥𝐵2 = 0.9908 , 𝑀 = 18.40 y 𝜌/𝑀 = 54.5. (𝜌) 𝑀 𝑎𝑣

=

52.1+54.5 2

= 53.6 𝑘𝑚𝑜𝑙/𝑚3

0.9908−0.9712

𝑥𝐵2 = ln(0.9908/0.9712)

Ecuación (7.5.1.28) 0.95×10^−9

𝑁𝐴 = 0.001(0.980) 53.6( 0.0288 − 0.0092) = 1.018 × 10−6 𝑘𝑚𝑜𝑙/𝑚2 . 𝑠 3. Calcular la difusividad del manitol, 𝐶6 𝐻14 𝑂6 en solución diluida en agua a 20 °𝐶. Comparar con el valor observado, 0.56(10−9 )𝑚2 /𝑠. SOLUCIÓN 𝑣𝐴 = 0.0148(6) + 0.0037(14) + 0.0074(6) = 0.185 Para el agua como disolvente, 𝜑 = 2.26, 𝑀𝐵 = 18.02, 𝑇 = 293 𝐾. Para soluciones diluidas, puede tomarse la viscosidad como la del agua, 0.001005 𝑘𝑔/𝑚 . 𝑠. Ecuación (7.6.31) 𝐷°𝐴𝐵 = 𝐷°𝐴𝐵 =

(117.3×10−18 )(𝜑𝑀𝐵 )0.5 𝑇 𝜇𝑣°𝐴 (117.3×10−18 )[2.26(18.02)]0.5 (293) 0.001005(0.185)0.6

= 0.601 × 10−9 𝑚2 /𝑠

65

8. ECUACIONES DE CONSERVACIÓN 8.1. LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

Esta ecuación sé deduce aplicando un balance de materia a un elemento estacionario de volumen ∆𝑥∆𝑦∆𝑧, a través del que está circulando el fluido (Fig. 8.1.1): 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 { }={ }−{ } 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎 (8.1.1)

Fig 8.1.1 Región de volumen ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 en el espacio, a través de la cual está circulando un fluido. Se considera el par de caras perpendiculares al eje 𝑥. La velocidad de entrada de materia a través de la cara 𝑥 es (𝜌𝑢𝑥 )|𝑥 ∆𝑦∆𝑧, y la velocidad de salida de materia través de la cara 𝑥 + ∆𝑥 es (𝜌𝑢𝑥 )𝑥+∆𝑥 ∆𝑦∆𝑧 dx.. Para los otros dos pares de caras 66

pueden escribirse expresiones análogas. La velocidad de acumulación de materia 𝜕𝜌

en el elemento de volumen es (∆𝑥∆𝑦∆𝑧) ( 𝜕𝑡 ). El balance de materia queda por tanto. 𝜕𝜌

(∆𝑥∆𝑦∆𝑧) ( ) = ∆𝑦∆𝑧[(𝜌𝑢𝑥 )|𝑥 − (𝜌𝑢𝑥 )|𝑥+∆𝑥 ]∆𝑥∆𝑧 [(𝜌𝑢𝑦 )| − (𝜌𝑢𝑦 )| ]+ 𝜕𝑡 𝑦 𝑦+∆𝑦 ∆𝑥∆𝑦[(𝜌𝑢𝑧 )|𝑧 − (𝜌𝑢𝑧 )|𝑧+∆𝑧 ]

(8.1.2)

Dividiendo toda la ecuación por ( ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 ), y tomando límites cuando estas dimensiones tienden a cero, se tiene: 𝜕𝜌 𝜕𝑡

𝜕

𝜕

𝜕

= − (𝜕𝑥 𝜌𝑢𝑥 + 𝜕𝑦 𝜌𝑢𝑦 + 𝜕𝑧 𝜌𝑢𝑧 ) (8.1.3)

Esta es la ecuación de continuidad, que describe la variación de la densidad para un punto fijo, como consecuencia de las variaciones del vector de velocidad másica 𝜌𝑢. La Ec(2.3) puede escribirse en una forma más conveniente utilizando notación vectorial: 𝜕𝜌 𝜕𝑡

= −(∇. 𝜌𝑢) (8.1.4)

El vector 𝜌𝑢 es la densidad de flujo de materia y su divergencia tiene un significado sencillo: representa la velocidad neta con que disminuye la densidad de flujo de materia por unidad de volumen. Por lo tanto, la Ec. (8.1.4) establece simplemente que la velocidad con que aumenta la densidad en el interior de un pequeño elemento de volumen fijo en el espacio, es igual a la velocidad neta de entrada de densidad de flujo de materia en el elemento dividida por su volumen. Generalmente, es preferible modificar la ecuación2.3, efectuando la diferenciación Que está indicada y reuniendo todas las derivadas de 𝜌 , en el primer miembro: 𝜕𝜌 𝜕𝑡

𝜕𝜌

𝜕𝜌

𝜕𝜌

𝜕𝑢

+ 𝜕𝑥 𝑢𝑥 + 𝜕𝑦 𝑢𝑦 + 𝜕𝑧 𝑢𝑧 = −𝜌 ( 𝜕𝑥𝑥 +

𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑦

+

𝜕𝑢𝑧 𝜕𝑧

) (8.1.5)

El primer miembro de la Ec. 8.5 es la derivada substancial de la densidad, es decir, la derivada con respecto al tiempo para un recorrido que sigue el movimiento del fluido. De acuerdo con esto, la Ec.8.5 puede expresarse abreviadamente en esta forma: 𝐷𝜌 𝐷𝑡 𝐷𝑐 𝐷𝑡

= −𝜌(∇. 𝑢) (8.1.6) =

𝜕𝑐 𝜕𝑡

𝜕𝑐

𝜕𝑐

𝜕𝑐

+ 𝜕𝑥 𝑢𝑥 + 𝜕𝑦 𝑢𝑦 + 𝜕𝑧 𝑢𝑧 (8.1.7)

67

En la que el operador 𝐷/𝐷𝑡 esta definido por la Ec. 8.1.7 La ecuación de continuidad, expuesta en esta forma, describe la velocidad de variación de la densidad, tal como la ve un observador que flota con el fluido. Esta ecuación es sencillamente una formulación de la conservación de la materia. Es preciso señalar que la deducción puede efectuarse igualmente para un elemento de volumen de una forma arbitraria cualquiera, y no está por lo tanto restringida para el caso del elemento paralepipédico que se ha presentado aquí.

Una forma especial muy importante de la ecuación de continuidad, que se utilizará posteriormente, es la correspondiente a un fluido de densidad constante, para el que el fluido es incompresible. [Bird, R., Stewart, W., Lightfoot, E. 1997. Fenomenos de Transporte: Un Estudio de los Fundamentos del Transporte de Materia, Energía y Cantidad de Movimiento] (∇. 𝑢) = 0 (8.1.8) Aunque en realidad ningún fluido es totalmente incompresible, en la práctica se puede admitir con mucha frecuencia que la densidad es constante, con lo que se obtiene una considerable simplificación, sin cometer casi error. Obsérvese que para que la Ec. 8.8 sea válida, sólo es necesario que 𝜌 permanezca constante para un elemento de fluido que se mueva a lo largo de una línea de corriente, es decir, que 𝐷𝜌/𝐷𝑡 sea cero.

8.2. LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO

Para un elemento de volumen ∆𝑥∆𝑦∆𝑧, se puede escribir el siguiente balance de cantidad de movimiento: 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 { }={ }−{ }+{ } (8.2.9) 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

68

Fig. 8.2.2 Elemento de volumen ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 en el que se señala con flechas la dirección en que se transporta el componente x de la cantidad de movimiento a través de las superficies. Además de tener en cuenta el comportamiento no estacionario, se permitirá al fluido que se mueva en una dirección arbitraria a través de las seis caras del elemento de volumen. Es preciso resaltar que la Ec. 8.2.9 es la ecuación de un vector, con componentes para cada una de las tres direcciones coordenadas, 𝑥, 𝑦 y 𝑧. Para mayor sencillez, se comenzara considerando el componente 𝑥 de cada uno de los términos de la Ec. 8.2.9; los componentes 𝑦 y 𝑧 se pueden obtener por analogía. Se considerara en primer lugar las velocidades de flujo del componente 𝑥 de la cantidad de movimiento que entra y sale del elemento de volumen que se indica en la Fig. 8.2.2 La cantidad de movimiento entra y sale del elemento de volumen en virtud de dos mecanismos: por convección (es decir, debido al flujo global del fluido) y por transporte molecular (o sea, a causa de los gradientes de velocidad). [Bird, R., Stewart, W., Lightfoot, E. 1997. Fenomenos de Transporte: Un Estudio de los Fundamentos del Transporte de Materia, Energía y Cantidad de Movimiento] La velocidad con la que entra por convección el componente 𝑥 de la cantidad de movimiento por la cara situada en 𝑥 es 𝜌𝑢𝑥 𝑢𝑦 |𝑥 ∆𝑦∆𝑧 , y la velocidad con la que sale por 𝑥 + ∆𝑥 es 𝜌𝑢𝑥 𝑢𝑥 |𝑥+∆𝑥 ∆𝑦∆𝑧 . La velocidad a la que entra por 𝑦 es 69

𝜌𝑢𝑥 𝑢𝑥 |𝑦 ∆𝑥∆𝑧 Para las demás caras se puede escribir expresiones similares. Vemos, por tanto, que es preciso considerar el flujo convectivo de la cantidad de movimiento 𝑥 , a través de las seis caras, y que el flujo convectivo neto, de la cantidad de movimiento 𝑥, en el elemento de volumen, es: ∆𝑦∆𝑧(𝜌𝑢𝑥 𝑢𝑥 |𝑥 − 𝜌𝑢𝑥 𝑢𝑥 |𝑥+∆𝑥 ) + ∆𝑥∆𝑧(𝜌𝑢𝑦 𝑢𝑥 |𝑦 − 𝜌𝑢𝑦 𝑢𝑥 |𝑦+∆𝑦 ) + ∆𝑥∆𝑦(𝜌𝑢𝑧 𝑢𝑥 |𝑧 − 𝜌𝑢𝑧 𝑢𝑥 |𝑧+∆𝑧 ) (8.2.10)

De igual forma, la velocidad con la que el componente 𝑥 de la cantidad de movimiento entra por transporte molecular por la cara situada en 𝑥 es 𝜏𝑥𝑥 |𝑥 ∆𝑦∆𝑧 y la con la que sale por 𝑥 + ∆𝑥 es 𝜏𝑥𝑥 |𝑥+∆𝑥 ∆𝑦∆𝑧 La velocidad con que entra por 𝑦 es 𝜏𝑥𝑦 |𝑦 ∆𝑥∆𝑧 para las otras tres caras se pueden obtener expresiones similares (Fig, 8.2.1). Téngase en cuenta que 𝜏𝑦𝑥 es la densidad de flujo de cantidad de movimiento 𝑥 a través de una cara perpendicular al eje y. Sumando estas seis contribuciones, se obtiene ∆𝑦∆𝑧(𝜏𝑥𝑥 |𝑥 − 𝜏𝑥𝑥 |𝑥+∆𝑥 ) + ∆𝑥∆𝑧 (𝜏𝑦𝑥 |𝑦 − 𝜏𝑦𝑥 |𝑦+∆𝑦 ) + ∆𝑥∆𝑦(𝜏𝑧𝑥 |𝑧 − 𝜏𝑧𝑥 |𝑧+∆𝑧 ) (8.2.11) Obsérvese que, de igual forma que antes, estas densidades de flujo de cantidad de movimiento pueden considerarse como esfuerzos. Por lo tanto, 𝜏𝑥𝑥 es el esfuerzo normal que actúa sobre la cara 𝑥, y 𝜏𝑦𝑥 es el esfuerzo tangencial (o cortante) que actúa sobre la cara 𝑦 en la dirección 𝑥 , y que resulta como consecuencia de las fuerzas viscosas. [Bird, R., Stewart, W., Lightfoot, E. 1997. Fenomenos de Transporte: Un Estudio de los Fundamentos del Transporte de Materia, Energía y Cantidad de Movimiento] En la mayor parte de los casos, las únicas fuerzas importantes serán las procedentes de la presión del fluido p y la fuerza gravitacional por unidad de masa La resultante de estas fuerzas en la dirección 𝑥 será, evidentemente ∆𝑦∆𝑧(𝑝|𝑥 − 𝑝|𝑥+∆𝑥 ) + 𝜌𝑔𝑥 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 (8.2.12) La presión de un fluido en movimiento está definida por la ecuación de estado 𝑝 = 𝑝 (𝑝, 𝑇), y es una magnitud escalar. Finalmente, la velocidad de acumulación de cantidad de movimiento 𝑥 en el elemento es ∆𝑥∆𝑦∆𝑧(𝜕𝜌𝑢𝑥 |𝜕𝑡) Sustituimos ahora las anteriores expresiones en la Ec. 8.2.9. Dividiendo toda la ecuación que resulta por ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 y tomando el límite 70

cuando ∆𝑥, ∆𝑦 y ∆𝑧 tienden a cero, se obtiene el componente 𝑥 de la ecuación de movimiento: 𝜕 𝜕𝑡

𝜕

𝜕

𝜕

𝜕

𝜕

𝜕

𝜕𝑝

𝜌𝑢𝑥 = − (𝜕𝑥 𝜌𝑢𝑥 𝑢𝑥 + 𝜕𝑦 𝜌𝑢𝑦 𝑢𝑥 + 𝜕𝑧 𝜌𝑢𝑧 𝑢𝑥 ) − (𝜕𝑥 𝜏𝑥𝑥 + 𝜕𝑦 𝜏𝑦𝑥 + 𝜕𝑧 𝜏𝑧𝑥 ) −

𝜕𝑥

+ 𝜌𝑔𝑥

(8.2.13) Los componentes 𝑦 y 𝑧, que pueden obtenerse de una forma análoga, son: 𝜕

𝜕

𝜕

𝜕

𝜕

𝜕

𝜕

𝜌𝑢𝑦 = − (𝜕𝑥 𝜌𝑢𝑥 𝑢𝑦 + 𝜕𝑦 𝜌𝑢𝑦 𝑢𝑦 + 𝜕𝑧 𝜌𝑢𝑧 𝑢𝑦 ) − (𝜕𝑥 𝜏𝑥𝑦 + 𝜕𝑦 𝜏𝑦𝑦 + 𝜕𝑧 𝜏𝑧𝑦 ) − 𝜕𝑡

𝜕𝑝 𝜕𝑦

+ 𝜌𝑔𝑦

(8.2.14) 𝜕 𝜕𝑡

𝜕

𝜕

𝜕

𝜕

𝜕

𝜕

𝜌𝑢𝑧 = − (𝜕𝑥 𝜌𝑢𝑥 𝑢𝑧 + 𝜕𝑦 𝜌𝑢𝑦 𝑢𝑧 + 𝜕𝑧 𝜌𝑢𝑧 𝑢𝑧 ) − (𝜕𝑥 𝜏𝑥𝑧 + 𝜕𝑦 𝜏𝑦𝑧 + 𝜕𝑧 𝜏𝑧𝑧 ) −

𝜕𝑝 𝜕𝑧

+ 𝜌𝑔𝑧

(8.2.15)

Las magnitudes 𝜌𝑢𝑥 , 𝜌𝑢𝑦 , 𝜌𝑢𝑧 son los componentes del vector velocidad másica 𝜌𝑢; de igual forma 𝑔𝑥 ,𝑔𝑦 , 𝑔𝑧 son los componentes de la aceleración gravitacional 𝑔. Por otra parte

𝜕𝑝 𝜕𝑥

𝜕𝑝

𝜕𝑝

, 𝜕𝑦 , 𝜕𝑧 son los componentes de un vector ∇𝑝, denominado

gradiente de p. Los términos 𝜌𝑢𝑥 𝑢𝑧 , 𝜌𝑢𝑦 𝑢𝑧 , 𝜌𝑢𝑧 𝑢𝑧 etc., son los nueve componentes de la densidad de flujo convectivo de cantidad de movimiento 𝜌𝑢𝑢 , que es el producto diádico de 𝜌𝑢 y 𝑢 . Análogamente, 𝜏𝑥𝑧 , 𝜏𝑦𝑧 , 𝜏𝑧𝑧 etc., son los nueve componentes de 𝜏, que es el tensor esfuerzo. Como las Ecs. 8.2.13, 8.2.14, y 8.2.15 ocupan mucho espacio, es conveniente combinarlas con el fin de obtener la sencilla ecuación vectorial:

𝜕 𝜕𝑡

𝜌𝑢 =

(8.2.16) Velocidad de aumento de cantidad de movimiento por unidad de volumen

−[∇. 𝜌𝑢𝑢] Velocidad de ganancia de cantidad de movimiento por convección por unidad de volumen

− ∇𝑝 Fuerza de presión que actúa sobre el elemento por unidad de volumen

− [∇. 𝜏] Velocidad de ganancia de cantidad de movimiento por transporte viscoso por unidad de volumen

+ 𝜌𝑔 Fuerza de gravitación que actúa sobre el elemento por unidad de volumen

Se debe tener en cuenta que [∇. 𝜌𝑢𝑢] y [∇. 𝜏] no son divergencias simples, debido a la naturaleza tensorial de 𝜌𝑢𝑢 y 𝜏. La magnitud [∇. 𝜌𝑢𝑢]representa la velocidad 71

de pérdida de cantidad de movimiento (un vector) por unidad de volumen debido al flujo del fluido. La Ec. 8.2.13 puede reordenarse, con ayuda de la ecuación de continuidad, para obtener: 𝜌

𝐷𝑢𝑥 𝐷𝑡

=−

𝜕𝑝

𝜕𝜏𝑥𝑥

−( 𝜕𝑥

𝜕𝑥

+

𝜕𝜏𝑦𝑥 𝜕𝑦

+

𝜕𝜏𝑧𝑥 𝜕𝑧

) + 𝜌𝑔𝑥 (8.2.17)

Para los componentes 𝑦 y 𝑧 pueden obtenerse expresiones análogas. Sumando vectorialmente los tres componentes, se llega a: 𝐷𝑢

𝜌 𝐷𝑡 = Masa por unidad de volumen multiplicada por aceleración

−∇𝑝 Fuerza de presión sobre el elemento por unidad de volumen

− [∇. 𝜏]

+ 𝜌𝑔

(8.2.18)

Fuerza gravitacional sobre el elemento por unidad de volumen

Fuerza viscosa sobre el elemento por unidad de volumen

La ecuación de movimiento, expresada en esta forma, establece que un pequeño elemento de volumen que se mueve con el fluido es acelerado por las fuerzas que actúan sobre él. En otras palabras, es una expresión de la segunda ley de Newton, según la cual, 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑥 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 Vemos, por lo tanto, que el balance de cantidad de movimiento es totalmente equivalente a la segunda ley de Newton del movimiento. Obsérvese que las dos formas de la ecuación de movimiento que se dan en las Ecs. 8.2.16 y 8.2.18, corresponden a las dos formas de la ecuación de continuidad de las Ecs. 8.1.4 y 8.1.6. En cada caso, la primera forma representa un balance aplicado a un elemento de volumen fijo en el espacio, ‘y la segunda es una descripción de las variaciones que tienen lugar en un elemento que sigue el movimiento del fluido. Es necesario tener en cuenta que las Ecs. 8.2.13 .a 8.2.18 son válidas para cualquier medio continuo. [Bird, R., Stewart, W., Lightfoot, E. 1997. Fenomenos de Transporte: Un Estudio de los Fundamentos del Transporte de Materia, Energía y Cantidad de Movimiento]

8.3. LOS BALANCES MACROSCÓPICOS DE MATERIA

La ley de conservación de la materia de la especie química i en un sistema macroscópico de flujo como el descrito, establece 𝑑 𝑑𝑡

(𝑚)

𝑚𝑖,𝑡𝑜𝑡 = −∆𝑤𝑖 + 𝑤𝑖

+ 𝑟𝑖 𝑡𝑜𝑡

𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑛

(8.3.19)

72

En esta ecuación, 𝑚𝑖,𝑡𝑜𝑡 es la masa total de 𝑖 existente en el sistema en un instante. Y ∆𝑤𝑖 = 𝑤𝑖2 − 𝑤𝑖1= 𝜌𝑖2𝑆2 −𝜌𝑖1 𝑆1 es la diferencia entre la velocidad (𝑚)

de flujo de material de la especie 𝑖 en los planos 1 y 2. El término 𝑤𝑖 representa la velocidad de flujo de materia de la especie 𝑖 a través de las superficies (𝑚)

limitantes del sistema debido a la transferencia de materia. Obsérvese que 𝑤𝑖 es positivo cuando se adiciona materia al sistema, de la misma forma que 𝑄 se considera positivo cuando se adiciona calor al sistema. Finalmente, el símbolo 𝑟𝑖 𝑡𝑜𝑡 representa la velocidad de producción de la especie 𝑖 debido a la existencia de reacciones homogéneas o heterogéneas en el sistema. [Bird, R., Stewart, W., Lightfoot, E. 1997. Fenomenos de Transporte: Un Estudio de los Fundamentos del Transporte de Materia, Energía y Cantidad de Movimiento] Si se suman las n ecuaciones correspondientes a la Ec. 8.3.19, se obtiene 𝑑

𝑚𝑡𝑜𝑡 = −∆𝑤 + 𝑤 (𝑚) (8.3.20)

𝑑𝑡

(𝑚) En la que 𝑤 (𝑚) = ∑𝑛𝑖=1 𝑤𝑖 , a la vez que se ha aplicado la ley de la conservación la materia expresada en la forma ∑𝑛𝑖=1 𝑟𝑖,𝑡𝑜𝑡 = 0

La Ec. 8.2.18 puede expresarse también en unidades molares: 𝑑

𝑀𝑖,𝑡𝑜𝑡 = −∆𝑊𝑖 + 𝑊𝑖

𝑑𝑡

(𝑚)

+ 𝑅𝑖 𝑡𝑜𝑡 (𝑚)

Las magnitudes 𝑚𝑖,𝑡𝑜𝑡 , 𝑟𝑖 𝑡𝑜𝑡 , 𝑤𝑖

𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑛

(8.3.21)

pueden expresarse como integrales:

𝑚𝑖,𝑡𝑜𝑡 = ∫𝑉 𝜌𝑖 𝑑𝑉 (8.3.19a) 𝑟𝑖 𝑡𝑜𝑡 = ∫𝑉 𝑟𝑖 𝑑𝑉 (8.3.19b) (𝑚)

𝑤𝑖

= ∫𝑆(𝑚)(𝑛. 𝜌𝑖 𝑢𝑖 )𝑑𝑆 (8.3.19c)

Siendo 𝑛 el vector unitario normal dirigido hacia fuera, y 𝑆 (𝑚) la porción de superficie límite sobre la que tiene lugar la transferencia de materia. En la (𝑚)

definición de 𝑤𝑖 se ha supuesto que la superficie de transferencia 𝑆 (𝑚) es estacionaria. Si esta superficie se mueve, se substituye 𝑢𝑖 , por la velocidad local del fluido relativa a la superficie.

73

Fig. 8.3.3 Formas según las cuales puede entrar o salir materia a través de las superficies limitantes: (a) el ácido benzoico entra en el sistema por disolución de la pared; (b) el vapor de agua entra en el sistema, definido como la fase gaseosa, por evaporación, y el vapor de amoniaco sale por absorción; (c) el oxígeno entra en el sistema por transpiración a través de una pared porosa En esta expresión, las letras mayúsculas representan los símbolos molares equivalentes a las minúsculas de la Ec. 8.3.19 Sumando la Ec. 8.3.21 para todas las especies 𝑖 se obtiene. 𝑑 𝑑𝑡

𝑀𝑡𝑜𝑡 = −∆𝑊 + 𝑊 (𝑚) + ∑𝑛𝑖=1 𝑅𝑖 𝑡𝑜𝑡

(8.3.22)

Obsérvese que, en general, el último término no es cero debido a que el número total de moles no es conservativo. Las Ecs. 8.3.19 a 8.3.22 constituyen el punto de 74

partida para la descripción cuantitativa de numerosos sistemas. Su forma para estado estacionario es la base de los balances de materia o estequiometria industrial. La Ec. 8.3.19 ó 22, en su forma correspondiente ha estado no estacionario, constituyen la base para el estudio del comportamiento no estacionario de los aparatos de mezcla y de los reactores químicos agitados, en los que la concentración puede considerarse satisfactoriamente uniforme en todo el recipiente. La Ec. 8.3.19 8.3.22 se aplica también a los aparatos de transferencia de materia en marcha continua; para ello, se acostumbra a expresar la Ec. 8.3.19 8.3.22 aplicada a un elemento diferencial del sistema. La diferencial (𝑚)

(𝑚)

𝑑𝑤𝑖 𝑜 𝑑𝑊𝑖 pueden expresarse en función de una diferencia local de fracción molar y un coeficiente local de transferencia de masa. [Bird, R., Stewart, W., Lightfoot, E. 1997. Fenomenos de Transporte: Un Estudio de los Fundamentos del Transporte de Materia, Energía y Cantidad de Movimiento]

8.3.1 EL BALANCE MACROSCÓPICO DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

El planteamiento de la ley de conservación de la cantidad de movimiento para una mezcla de fluidos, cuya única fuerza externa que actúa sobre las especies es debida a la gravedad, es 〈𝑢2 〉

𝑑

𝑃 = −∆ ( 〈𝑢〉 𝑊 + 𝑝𝑆) + 𝐹 (𝑚) − 𝐹 + 𝑚𝑡𝑜𝑡 𝑔 (8.3.1.23) 𝑑𝑡 𝐹 (𝑚) que corresponde a la entrada neta de cantidad de movimiento en el sistema debido a la transferencia de materia a través de la superficie limitante: En la práctica, para la mayor parte de los procesos de transferencia de materia, este término es tan pequeño que puede despreciarse. La fuerza 𝐹 de la Ec. 4.5 se calcula utilizando el factor de fricción 𝑓 . en la forma que se ha definido en la Ec. 4.6. 𝐹𝑘𝑧 =

𝑓 . 𝐴𝜌𝑉 2 2

(8.3.1.24)

Donde 𝐹𝑘𝑧 la fuerza que ejerce el fluido sobre la interfase en la dirección del flujo principal. 8.3.2 EL BALANCE MACROSCÓPICO DE ENERGÍA La ley de conservación de la energía para una mezcla de fluidos se expresa de la siguiente forma: 75

3

̂ + 𝑝𝑉̂ + 1 〈𝑢 〉 + 𝜙) 𝑤] + 𝑄 (𝑚) + 𝑄 − 𝑊 (8.3.2.25) 𝐸 = −∆ [(𝑈 𝑑𝑡 𝑡𝑜𝑡 2 〈𝑢〉 𝑑

El término 𝑄 (𝑚) este término tiene en cuenta la adición de energía al sistema como consecuencia de la transferencia de materia a través de la superficie que lo limita. Obsérvese que 𝑄 es la velocidad de transmisión de calor por conduccion a través de las superficies limitantes. Si existe transferencia de materia hay que utilizar el coeficiente de transmisión de calor por conducción definido en la Ec. 8.3.2.26 El término 𝑄 (𝑚) puede tener una importancia considerable, especialmente en el caso de que la materia que entre en el sistema a través de la superficie que lo limita este a temperatura mucho más alta o mucho más baja que la del fluido en el interior del sistema de flujo, o si reaccionan químicamente en él. 𝑄 = ℎ. 𝐴Δ𝑇 (8.3.2.26) Cuando se producen reacciones químicas se puede desprender o absorber una cantidad considerable de calor. Este calor de reacción se tiene automáticamente en cuenta al calcular las entalpias de las corrientes de entrada y salida. En numerosas aplicaciones, en las que las velocidades de transferencia de energía a través de la superficie son funciones de la posición, es más conveniente expresar la Ec. 8.3.2.25 aplicada a un elemento diferencial del sistema de flujo. De esta forma, el incremento de calor adicionado, 𝑑𝑄 , se puede expresar en función de un coeficiente local de transmisión de calor ℎ. , corregido para tener en cuenta los procesos de transferencia de materia que tienen lugar. [Bird, R., Stewart, W., Lightfoot, E. 1997. Fenomenos de Transporte: Un Estudio de los Fundamentos del Transporte de Materia, Energía y Cantidad de Movimiento]

8.3.3 EL BALANCE MACROSCÓPICO DE ENERGÍA MECÁNICA El balance de energía mecánica o ecuación de Bernuolli, para una mezcla reaccionante de fluidos con transferencia de materia a través de las superficies limitantes, no puede expresarse en forma sencilla para un caso general. Por esta razón, se restringe al caso de fluidos de densidad constante 𝜌. Para estos fluidos, el balance de energía mecánica es: 𝑑 𝑑𝑡

1 〈𝑢3 〉 2 〈𝑢〉

(𝐾𝑡𝑜𝑡 + 𝜙𝑡𝑜𝑡 ) = −∆ [(

𝑝

+ 𝜙 + 𝜌) 𝑤] + 𝐵 (𝑚) − 𝑊 − 𝐸 (8.3.3.27)

Término 𝐵 (𝑚) , que representa la energía que se comunica al sistema de flujo debido a los procesos de transferencia de materia; en este término se incluyen la energía cinética y potencial comunicadas al sistema, así como también el trabajo

76

realizado contra la presión del sistema para forzar la introducción del fluido a través de las paredes del mismo. 8.4 LAS ECUACIONES DE ENERGÍA Se parte, como antes, de un elemento estacionario de volumen a través del cual fluye un líquido puro; se escribe después la ley de la conservación de la energía para el fluido contenido en el interior de este elemento de volumen en un determinado instante. 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 { }={ }−{ }+ 𝑐𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑐𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑛𝑒𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑛𝑒𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 { } − 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 (8.4.28) 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 { 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 } Éste es el primer principio de termodinámica. Expresado para un sistema abierto no estacionario. En realidad esta exposición del primer principio no es completa puesto que no se incluyen otras formas de energía y transporte de energía, tales como nuclear, radiactiva y electromagnética. En la Ec. 8.4.28 la energía cinética corresponde a la energía relacionada con el movimiento observable del fluido (por ejemplo,

1 2

𝜌𝑢2 tomando como base la

unidad de volumen). La energía interna corresponde a la energía relacionada con los movimientos fortuitos de traslación e internos de las moléculas más, la energía de interacción entre las moléculas; es decir, que la energía interna depende de la temperatura local y de la densidad del fluido. La energía potencial del fluido no aparece de forma explícita en la Ec. 8.4.28 ya que aparece incluida en el término de trabajo. [Bird, R., Stewart, W., Lightfoot, E. 1997. Fenomenos de Transporte: Un Estudio de los Fundamentos del Transporte de Materia, Energía y Cantidad de Movimiento]

77

Fig. 8.4.4 Elemento de volumen ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 en el que se señala con flechas la dirección en que se transporta el componente x de la cantidad de movimiento a través de las superficies. Escribimos ahora la Ec. 8.4.28 para el elemento de volumen ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 . (8.4.28) La velocidad de acumulación de energía cinética e interna en el interior de ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 es: 𝜕

1

̂ + 𝜌𝑢2 ) (8.4.29) ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 𝜕𝑡 (𝜌𝑈 2 Siendo 𝑈 la energía interna por unidad de masa de fluido contenido en el elemento y 𝑢 la velocidad local del fluido. La velocidad neta de entrada de energía interna y cinética en el elemento por convección es 1

1

1

̂ + 𝜌𝑢2 )|𝑥 − 𝑢𝑥 (𝜌𝑈 ̂ + 𝜌𝑢2 )|𝑥+∆𝑥 } + ∆𝑥∆𝑧 {𝑢𝑦 (𝜌𝑈 ̂ + 𝜌𝑢2 )|𝑦 − ∆𝑦∆𝑧 {𝑢𝑥 (𝜌𝑈 2 2 2 1

1

1

̂ + 𝜌𝑢2 )|𝑦+∆𝑦 } + ∆𝑥∆𝑦 {𝑢𝑧 (𝜌𝑈 ̂ + 𝜌𝑢2 )|𝑧 − 𝑢𝑧 (𝜌𝑈 ̂ + 𝜌𝑢2 )|𝑧+∆𝑧 } 𝑢𝑦 (𝜌𝑈 2 2 2

(8.4.30)

La velocidad neta de entrada de energía por conducción es ∆𝑦∆𝑧{𝑞𝑥 |𝑥 − 𝑞𝑥 |𝑥+∆𝑥 } + ∆𝑥∆𝑧 {𝑞𝑦 |𝑦 − 𝑞𝑦 |𝑦+∆𝑦 } + ∆𝑥∆𝑦{𝑞𝑧 |𝑧 − 𝑞𝑧 |𝑧+∆𝑧 } (8.4.31) Siendo 𝑞𝑥 , 𝑞𝑦 , 𝑞𝑧 , los componentes 𝑥, 𝑦, 𝑧, del vector densidad de flujo de calor 𝑞. El trabajo realizado por el elemento de fluido contra los alrededores consta de dos partes: el trabajo contra las fuerzas de volumen (por ejemplo, gravedad) y el 78

trabajo contra las fuerzas de superficie (por ejemplo, fuerzas viscosas y de presión). Tenemos que, (𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜) = (𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎) × (𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎) , y que (𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜) = (𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎) × (𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎). La velocidad de producción de trabajo contra los tres componentes de la fuerza de gravitación por unidad de masa, 𝑔, es. −𝜌∆𝑥∆𝑦∆𝑧(𝑢𝑥 𝑔𝑥 + 𝑢𝑦 𝑔𝑦 + 𝑢𝑧 𝑔𝑧 ) (8.4.32) El signo menos se debe a que el trabajo se realiza contra la gravedad, siendo 𝑢 y 𝑔 opuestos. La velocidad de producción de trabajo contra la presión estática p en las seis caras de ∆𝑥∆𝑦∆𝑧, es ∆𝑦∆𝑧{(𝑝𝑢𝑥 )|𝑥+∆𝑥 − (𝑝𝑢𝑥 )|𝑥 } + ∆𝑥∆𝑧 {(𝑝𝑢𝑦 )|𝑦+∆𝑦 − (𝑝𝑢𝑦 )|𝑦 } + ∆𝑥∆𝑦{(𝑝𝑢𝑧 )|𝑧+∆𝑧 − (𝑝𝑢𝑧 )|𝑧 } (8.4.33) Análogamente, la velocidad de producción de trabajo contra las fuerzas viscosas es ∆𝑦∆𝑧 {(𝜏𝑥𝑥 𝑢𝑥 + 𝜏𝑥𝑦 𝑢𝑦 + 𝜏𝑥𝑧 𝑢𝑧 )|𝑥+∆𝑥 − (𝜏𝑥𝑥 𝑢𝑥 + 𝜏𝑥𝑦 𝑢𝑦 + 𝜏𝑥𝑧 𝑢𝑧 )|𝑥 } + ∆𝑥∆𝑧 {(𝜏𝑦𝑥 𝑢𝑥 + 𝜏𝑦𝑦 𝑢𝑦 + 𝜏𝑦𝑧 𝑢𝑧 )|𝑦+∆𝑦 − (𝜏𝑦𝑥 𝑢𝑥 + 𝜏𝑦𝑦 𝑢𝑦 + 𝜏𝑦𝑧 𝑢𝑧 )|𝑦 } + ∆𝑥∆𝑦 {(𝜏𝑧𝑥 𝑢𝑥 + 𝜏𝑧𝑦 𝑢𝑦 + 𝜏𝑧𝑧 𝑢𝑧 )|𝑧+∆𝑧 − (𝜏𝑧𝑥 𝑢𝑥 + 𝜏𝑧𝑦 𝑢𝑦 + 𝜏𝑧𝑧 𝑢𝑧 )| } (8.4.34) 𝑧

Sustituimos ahora las expresiones anteriores en la Ec. 8.4.28 y dividimos toda la ecuación por ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 . Tomando el límite de la expresión que resulta cuando ∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧 tienden a cero, se obtiene una forma de la ecuación de energía: 𝜕 𝜕𝑡

̂ + 1 𝜌𝑢2 ) = − ( 𝜕 𝑢𝑥 (𝜌𝑈 ̂ + 1 𝜌𝑢2 ) + 𝜕 𝑢𝑦 (𝜌𝑈 ̂ + 1 𝜌𝑢2 ) + 𝜕 𝑢𝑧 (𝜌𝑈 ̂+ (𝜌𝑈 2 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧

1

𝜕𝑞

𝜌𝑢2 )) − ( 𝜕𝑥𝑥 + 2

𝜕𝑞𝑦 𝜕𝑦

𝜕

+

𝜕𝑞𝑧

𝜕

𝜕

𝜕

) + 𝜌(𝑢𝑥 𝑔𝑥 + 𝑢𝑦 𝑔𝑦 + 𝑢𝑧 𝑔𝑧 ) − (𝜕𝑥 𝑝𝑢𝑥 + 𝜕𝑦 𝑝𝑢𝑦 + 𝜕𝑧 𝑝𝑢𝑧 ) − 𝜕𝑧 𝜕

𝜕

(𝜕𝑥 (𝜏𝑥𝑥 𝑢𝑥 + 𝜏𝑥𝑦 𝑢𝑦 + 𝜏𝑥𝑧 𝑢𝑧 ) + 𝜕𝑦 (𝜏𝑦𝑥 𝑢𝑥 + 𝜏𝑦𝑦 𝑢𝑦 + 𝜏𝑦𝑧 𝑢𝑧 ) + 𝜕𝑧 (𝜏𝑧𝑥 𝑢𝑥 + 𝜏𝑧𝑦 𝑢𝑦 + 𝜏𝑧𝑧 𝑢𝑧 ))

(8.4.35)

Esta ecuación puede expresarse en una forma más compacta empleando la notación vectorial-tensorial. 𝜕 𝜕𝑡

̂ + 1 𝑢2 ) = − (∇. 𝜌𝑢 (𝑈 ̂ + 1 𝑢2 )) − (∇. 𝑞) + 𝜌(𝑢. 𝑔) − (∇. 𝑝𝑢) − (∇. [𝜏𝑢]) 𝜌 (𝑈 2 2

(8.4.36) Velocidad de ganancia de energía por unidad de volumen

Velocidad de entrada de energía por unidad de volumen debido a la convección

Velocidad de entrada de energía por unidad de volumen por conducción

Velocidad de trabajo comunicado al fluido por unidad de volumen por la gravedad

Velocidad de trabajo comunicado al fluido por unidad de volumen por la presión

Velocidad de trabajo comunicado al fluido por unidad de79 volumen por la viscosidad

Es conveniente ahora reordenar la ecuación de energía con ayuda de las ecuaciones de movimiento y continuidad. Efectuamos las diferenciaciones indicadas en el primer miembro de la Ec. 8.4.36, y de la contribución convectiva, para obtener: 𝜕 ̂ + 1 𝑢2 ) + (∇. 𝑢 (𝑈 ̂ + 1 𝑢2 ))] + (𝑈 ̂ + 1 𝑢2 ) [𝜕𝜌 + (∇. 𝜌𝑢)] = −(∇. 𝑞) + 𝜌(𝑢. 𝑔) − [𝜕𝑡 (𝑈 2 2 2 𝜕𝑡

(∇. 𝑝𝑢) − (∇. [𝜏𝑢]) (8.4.37) El primer término del primer miembro de la Ec. 8.4.37 es la densidad local del ̂ + 1 𝑢2 ) . Como puede fluido multiplicada por la derivada substancial de (𝑈 2 observarse, con ayuda de la ecuación de continuidad el segundo término es cero. Por tanto, se puede escribir: 𝐷 ̂ + 1 𝑢2 ) = −(∇. 𝑞) + 𝜌(𝑢. 𝑔) − (∇. 𝑝𝑢) − (∇. [𝜏𝑢]) (8.4.38) 𝜌 𝐷𝑡 (𝑈 2

La Ec. 8.4.36 describe los intercambios de energía en un fluido desde el punto de vista de un observador estacionario, y la Ec. 8.4.37 describe dichos cambios tal como serían vistos por un observador que se moviese con el fluido. ̂ y 1 𝑢2 . La Ec. 8.4.38 es una ecuación de variación para la suma de 𝑈 2 1

Tenemos la siguiente ecuación de variación para 2 𝑢2 : 𝐷

1

𝜌 𝐷𝑡 (2 𝑢2 ) = −(∇. 𝑝𝑢) − 𝑝(−∇. 𝑢) − (∇. [𝜏. 𝑢]) − (−τ: ∇𝑢) + 𝜌(𝑢. 𝑔) (8.4.39) Restando la Ec. 5.12 de la Ec. 5.11 se obtiene una ecuación de variación: ̂ 𝐷𝑈

𝜌 𝐷𝑡 = Velocidad de ganancia de energía interna por unidad de volumen

−(∇. 𝑞) Velocidad de entrada de energía interna por unidad de volumen debido a la conducción

− 𝑝(∇. 𝑢) Velocidad reversible de aumento de energía interna por unidad de volumen debido a la compresión

− (τ: ∇𝑢) (8.4.40) Velocidad irreversible de aumento de energía interna por unidad de volumen debido a la disipación viscosa

Por analogía con la ecuación de energía mecánica, la Ec. 8.4.40 puede denominarse ecuación de energía calorífica. Generalmente, esta ecuación resulta

80

más conveniente para operar en transmisión de calor que la ecuación completa de energía. Es interesante comparar las ecuaciones de energía mecánica y energía calorífica, Ecs. 8.4.39 y 8.4.40. Obsérvese que solo los términos 𝑝(∇. 𝑢) y (τ: ∇𝑢) son comunes a ambas ecuaciones, y que además intervienen con signos opuestos. Por consiguiente, estos términos describen la interconversión de energía mecánica y calorífica. El término 𝑝(∇. 𝑢) puede ser positivo o negativo, según que el fluido se expansione o se comprima; por lo tanto, representa una forma reversible de intercambio. En cambio el término (−τ: ∇𝑢) es siempre positivo y representa por consiguiente, una forma irreversible de degradación de energía mecánica a energía calorífica. Tenemos la energía potencialΦ. Si la fuerza externa 𝑔 se expresa en función del gradiente de una función escalar (por ejemplo,𝑔 = −∇Φ), resulta. 𝜌(𝑢. 𝑔) = −𝜌(𝑢. ∇Φ) = −𝜌

𝐷Φ 𝐷𝑡

+𝜌

𝜕Φ 𝜕𝑡

(8.4.41)

Si Φ es independiente del tiempo, el ultimo termino desaparece, y la Ec. 8.4.38 se transforma en 𝐷 ̂ + Φ + 1 𝑢2 ) = −(∇. 𝑞) + 𝜌(𝑢. 𝑔) − (∇. 𝑝𝑢) − (∇. [𝜏𝑢]) 𝜌 𝐷𝑡 (𝑈 2

(8.4.42)

̂ + Φ + 1 𝑢2 , que denominamos Ésta es una ecuación de variación para 𝐸 = 𝑈 2 energía total. Para problemas terrestres en los que no intervienen más fuerzas que las de gravedad, Φ es independiente del tiempo y la Ec. 8.4.42 es válida. Para la mayor parte de las aplicaciones ingenieriles es conveniente expresar la ecuación de energía calorífica (Ec. 8.4.40) en función de la temperatura y del calor especifico del fluido en vez de la energía interna. Ahora la ecuación en estos ̂ puede considerarse como términos, teniendo en cuenta que la energía interna 𝑈 una función de 𝑉̂ y 𝑇. ̂

̂

̂

̂ = (𝜕𝑈) 𝑑𝑉̂ + (𝜕𝑈) 𝑑𝑇 = [−𝑝 + 𝑇 (𝜕𝑈) ] 𝑑𝑉̂ + 𝐶𝑣 𝑑𝑇 (8.4.43) 𝑑𝑈 ̂ 𝜕𝑉 𝜕𝑇 𝜕𝑇 ̂ 𝑉

𝑇

̂ 𝑉

En esta expresión 𝐶𝑣 , es el calor específico a volumen constante por unidad de masa. ̂ , será: Por tanto, el producto de 𝜌 por la derivada substancial de 𝑈 ̂ 𝐷𝑈

̂ 𝐷𝑉

𝜕𝑝

𝐷𝑇

𝜌 𝐷𝑡 = [−𝑝 + 𝑇 (𝜕𝑇) ] 𝜌 𝐷𝑡 + 𝜌𝐶𝑣 𝐷𝑡 ̂ 𝑉

(8.4.44)

81

Teniendo en cuenta la ecuación de continuidad, el término 𝜌(𝐷𝑉̂ /𝐷𝑡) puede transformarse de la siguiente forma: ̂ 𝐷𝑉

𝐷

1

1 𝐷𝜌

𝜌 𝐷𝑡 = 𝜌 𝐷𝑡 (𝜌) = − 𝜌 𝐷𝑡 = (∇. 𝑢) (8.4.45)

Sustituyendo la Ec. 8.4.45 en la Ec. 8.4.44,y la Ec. 8.4.44 en la Ec. 8.4.40, se obtiene: 𝜌𝐶𝑣

𝐷𝑇 𝐷𝑡

𝜕𝑝

= −(∇. 𝑞) − 𝑇 ( ) (∇. 𝑢) − (𝜏: ∇𝑢) (8.4.46) 𝜕𝑇 𝑉 ̂

Que es la ecuación de energía en función de la temperatura del fluido T. Esta ecuación es tan general como la Ec. 8.4.36, pero es una forma más útil para calcular los perfiles de temperatura. EI resto de esta sección se dedica a las formas simplificadas de esta eeuaei6n que tienen mayor aplicación práctica. La primera simplificación de la Ec. 8.4.36 se obtiene expresando 𝑞 en función de los gradientes de temperatura y 𝜏 en función de los gradientes de velocidad según esto, para un fluido newtoniano de conductividad calorífica constante, la Ec. 8.4.46 resulta. 𝐷𝑇

𝜕𝑝

𝜌𝐶𝑣 𝐷𝑡 = 𝑘∇2 𝑇 − 𝑇 (𝜕𝑇) (∇. 𝑢) + 𝜇Φ𝑣 (8.4.47) 𝜌

Esta ecuación establece que la temperatura de un elemento móvil de fluido varia debido a: (a) conducción de calor, (b) efectos de expansión, y (c) calentamiento viscoso. La magnitud Φ𝑣 se denomina función de disipación, y su forma en coordenadas rectangulares es 𝜕𝑢𝑦 2

2

𝜕𝑢

𝜕𝑢

2

𝜕𝑢𝑦

Φ𝑣 = 2 [( 𝜕𝑥𝑥 ) + ( 𝜕𝑦 ) + ( 𝜕𝑧𝑧 ) ] + ( 𝜕𝑥 + 2 𝜕𝑢𝑥

( + 3 𝜕𝑥

𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑦

+

𝜕𝑢𝑧 2 𝜕𝑧

)

𝜕𝑢𝑥 2

𝜕𝑢

) + ( 𝜕𝑦𝑧 + 𝜕𝑦

𝜕𝑢𝑦 2

𝜕𝑢

) + ( 𝜕𝑧𝑥 + 𝜕𝑧

𝜕𝑢𝑧 2 𝜕𝑥

) −

(8.4.48)

La Ec. 8.4.47 puede utilizarse también para fluidos newtonianos generalizados sustituyendo 𝜂 por 𝜇 tenemos una simplificación de la ecuación de energía que es muy utilizada. En ella se omitirá el término de disipación viscosa, y también se supondrá que la conductividad calorífica es constante. 𝜕𝑝

- Para un gas ideal (𝜕𝑇) = 𝑝/𝑇 = p/T, y se obtiene 82

𝐷𝑇

𝜌𝐶𝑣 𝐷𝑡 = 𝑘∇2 𝑇 − 𝑝(∇. 𝑢) (8.4.49)

8.5 EJERCICIOS DE APLICACIÓN

8.5.1 BALANCES MACROSCOPICOS

8.5.1.1 UTILIZACIÓN DE LOS BALANCES MACROSCÓPICOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE ESTADO ESTACIONARIO 8.5.1.1.1. Balance de energía en un convertidor de dióxido de azufre Los gases procedentes de un quemador de azufre pasan a un convertidor, en el que el dióxido de azufre presente se oxida catalíticamente a trióxido de azufre, de 1 acuerdo con la reacción 𝑆𝑂2 + 2 𝑂2 = 𝑆𝑂3 ¿Qué cantidad de calor debe de eliminarse del convertidor, por hora, con el fin de obtener una conversión del 95 % del 𝑆𝑂2 en las condiciones que se indican en la Fig. 4.1 Supóngase que el convertidor es suficientemente grande, de forma que los gases que salen de él estén en equilibrio termodinámico entre sí, es decir, que las presiones parciales de los gases a la salida cumplen la condición de equilibrio. 𝐾𝑝 =

𝑃𝑆𝑂3 1/2 2

𝑃𝑆𝑂2 𝑃𝑂

(1)

Los valores aproximados de 𝐾𝑝 para esta reacción son los siguientes: T, K 600 700 800 900 𝐾𝑝 , atm−1/2

9500

880

69.5

9.8

SOLUCIÓN. Es conveniente dividir el problema en dos partes: aplicar primeramente el balance de materia y la expresión de equilibrio para hallar la temperatura de salida, y utilizar después el balance de energía para determinar la cantidad de calor que es preciso eliminar. a. Determinación de 𝑇2 : Se comienza por escribir el balance macroscópico de materia.

83

Fig 8.5.1.1.5 Oxidación catalítica del dióxido de azufre Para los distintos constituyentes de las dos corrientes, expresado en la forma: 𝑊12 = 𝑊𝑖1 + 𝑅𝑖,𝑡𝑜𝑡 (2) Por otra parte, teniendo en cuenta las dos relaciones estequiometricas 𝑅𝑆𝑂2,𝑡𝑜𝑡 = −𝑅𝑆𝑂3,𝑡𝑜𝑡 (3) 1

𝑅𝑂2 ,𝑡𝑜𝑡 = 2 𝑅𝑆𝑂2 ,𝑡𝑜𝑡 (4) De esta forma se obtienen las velocidades molares de flujo a través de la superficie . 𝑊2,𝑆𝑂2 = 7.80 − (0.95)(7.80) = 0.39 𝑘𝑔. 𝑚𝑜𝑙 ℎ𝑟 −1 (5) 𝑊2,𝑆𝑂3 = 0 − (0.95)(7.80) = 7.41 𝑘𝑔. 𝑚𝑜𝑙 ℎ𝑟 −1 (6) 𝑊2,𝑂2 = 10.8 − 1/2(0.95)(7.80) = 07.09 𝑘𝑔. 𝑚𝑜𝑙 ℎ𝑟 −1 (7) 𝑊2,𝑁3 = 𝑊1,𝑁3 = 81.40 𝑘𝑔. 𝑚𝑜𝑙 ℎ𝑟 −1 (8) 𝑊2 = = 96.29 𝑘𝑔. 𝑚𝑜𝑙 ℎ𝑟 −1 (9) Substituyendo los valores numéricos en la expresión de equilibrio, Ec. 1, se obtiene: 𝐾𝑝 =

(7.41/96.29) = 70 𝑎𝑡𝑚−1 (0.39/96.29)(7.06/96.29)1/2

De acuerdo con los datos que se han indicado para el equilibrio, este valor de 𝐾𝑝 corresponde a una temperatura de salida 𝑇2 de, aproximadamente, 525 °C. b. Cálculo de la cantidad de calor que es preciso eliminar., las variaciones de energía cinética y potencial son en este caso despreciables en comparación con las variaciones .de entalpia. Para las condiciones de este ejemplo puede suponerse que los gases se comportan como ideales. Según esto, para cada 84

̅𝑖 = 𝐻 ̅𝑖 (𝑇)Por lo tanto, el balance macroscópico de energía, Ec. constituyente, 𝐻 4.7, ‘se puede expresar así: ̅𝑖 )1 − ∑𝑛𝑖=1(𝑊𝑖 𝐻 ̅𝑖 )2 (11) −𝑄 = ∑𝑛𝑖=1(𝑊𝑖 𝐻 Para los constituyentes individuales, tendremos ̅𝑖 = 𝐻 ̅𝑖 𝑜 + (𝑐̃𝑝𝑖 ) (𝑇 − 𝑇 𝑜 ) (12) 𝐻 𝑚𝑒𝑑 𝑜

̅𝑖 la entalpia standard de formación de la especie i a partir de sus Siendo 𝐻 elementos a la temperatura de referencia de entalpia 𝑇 𝑜 , y (𝑐̃𝑝𝑖 )𝑚𝑒𝑑 el calor específico medio de las especies entre 𝑇 𝑦 𝑇 𝑜 .Para las condiciones de este problema se pueden utilizar los siguientes valores numéricos de estas propiedades físicas las dos últimas columnas se han obtenido a partir de la Ec.12:

̅𝑖 𝑜 𝐻

(𝑐̃𝑝𝑖 )𝑚𝑒𝑑

(𝑐𝑎𝑙 𝑔. 𝑚𝑜𝑙 −1 )

[𝑐𝑎𝑙(𝑚𝑜𝑙. 𝑔)−1 °𝐶 −1 ]

̅𝑖 )1 (𝑊𝑖 𝐻

̅𝑖 )2 (𝑊𝑖 𝐻

(𝐾𝑐𝑎𝑙 ℎ𝑟 −1 ) (𝐾𝑐𝑎𝑙 ℎ𝑟 −1 )

Componente

a 25°C

440°C

525°C

𝑆𝑂2

-70.960

11.05

11.25

-517.720

-25.480

𝑆𝑂3

-94.450

-

15.88

0

-641.040

𝑂2

0

7.45

7.54

33.390

26.730

𝑁2

0

7.12

7.17

240.520

291.820

-243.810

-347.970

Total

Substituyendo estos valores en la Ec. 11 se obtiene la velocidad con la que es preciso eliminar el calor: −𝑄 = −243.810 − (−347.970)

(13)

= 104.160 𝐾𝑐𝑎𝑙 ℎ𝑟 −1

85

8.5.1.2 UTILIZACIÓN DE LOS BALANCES MACROSCÓPICOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ESTADO NO ESTACIONARIO 8.5.1.2.2 Puesta en marcha de un reactor químico Se desea producir una substancia 𝐵 a partir de una materia prima 𝐴 en un reactor químico de volumen 𝑉 que está equipado con un sistema que mantiene una perfecta agitación. La formación de 𝐴 es reversible, y las reacciones directa e inversa pueden considerarse de primer orden. Además, 𝐵 sufre una descomposición irreversible de primer orden para formar un compuesto 𝐶. Las reacciones químicas que tienen lugar pueden representarse de esta forma. k1B’’’ A

k1c’’’ B

C

(1)

En el instante cero se introduce en el reactor, inicialmente vacío, una solución de 𝐴 de concentración 𝑐𝐴0 con una velocidad volumétrica de flujo constante 𝑄. Deducir una expresión de la cantidad de 𝐵 existente en el interior del reactor en el momento en que se llena hasta su capacidad total 𝑉, suponiendo que la solución de alimentación no contiene 𝐵 y que no hay variación de las propiedades del fluido. Solución. Se comienza por expresar los balances macroscópicos de materia en estado no estacionario para las especies 𝐴 y 𝐵, que en unidades molares son 𝑑𝑀𝐴 𝑑𝑡 𝑑𝑀𝐵 𝑑𝑡

,,, ,,, = 𝑄𝑐𝐴0 − 𝑘1𝐵 𝑀𝐴 + 𝑘1𝐴 𝑀𝐵 (2)

,,, ,,, ,,, )𝑀𝐵 + 𝑘1𝐵 = −(𝑘1𝐴 + 𝑘1𝐶 𝑀𝐴 (3)

Diferenciando la Ec. 3 con respecto al tiempo, se obtiene 𝑑2 𝑀𝐵 𝑑𝑡 2

,,, ,,, ) = −(𝑘1𝐴 + 𝑘1𝐶

𝑑𝑀𝐵 𝑑𝑡

,,, + 𝑘1𝐵

𝑑𝑀𝐴 𝑑𝑡

(4)

Poniendo en vez de 𝑑𝑀𝐴 /𝑑𝑡 el segundo miembro de la Ec.2, y combinando la expresión que resulta con la Ec. 3 se obtiene una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden de 𝑀𝐵 en función del tiempo: 𝑑2 𝑀𝐵 𝑑𝑡 2

,,, ,,, ,,, ) + (𝑘1𝐴 + 𝑘1𝐵 + 𝑘1𝐶

𝑑𝑀𝐵 𝑑𝑡

,,, + 𝑘1𝐵

𝑑𝑀𝐴 𝑑𝑡

,,, ,,, ,,, + 𝑘1𝐵 𝑘1𝐶 𝑀𝐵 − 𝑘1𝐵 𝑄𝑐𝐴0 = 0 (5)

Esta ecuación se resuelve con las siguientes condiciones iniciales: C.I. para t=0 𝑀𝐵 = 0 (6) 𝑑𝑀𝐵 C.I. para t=0 =0 (7) 𝑑𝑡 Efectuando la integración se obtiene: 86

𝑀𝐵 =

𝑄𝑐𝐴0 ,,, 𝑘1𝐶

(1 + 𝑆

𝑆−

+ −𝑆−

𝑒 𝑠+𝑡 − 𝑆

𝑆−

+ −𝑆−

𝑒 𝑠−𝑡 ) (8)

Siendo 𝑆± =

1 ,,, ,,, ,,, ,,, ,,, ,,, 2 ,,, ,,, ) ± √(𝑘1𝐴 [−(𝑘1𝐴 + 𝑘1𝐵 + 𝑘1𝐶 + 𝑘1𝐵 𝑘1𝐶 ) − 4𝑘1𝐵 𝑘1𝐶 ] 2

Las Ecs. 6,8 y 9 expresan la masa total de 𝐵 existente en el reactor en función del tiempo hasta el momento en que está totalmente lleno. [Bird, R., Stewart, W., Lightfoot, E. 1997. Fenomenos de Transporte: Un Estudio de los Fundamentos del Transporte de Materia, Energía y Cantidad de Movimiento]

8.5.2 USO DE LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN EN LOS PROBLEMAS DE TRANSMISIÓN DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO 8.5.2.3 Procesos adiabáticos sin fricción para un gas ideal Desarrollar ecuaciones para la relación de la presión local a la densidad o temperatura en una corriente de un gas ideal, en la que la densidad de flujo de cantidad de movimiento 𝜏 y la densidad de flujo de calor 𝑞 son despreciables. Solución. Para las condiciones supuestas, la ecuación de energía puede escribirse así ̂ 𝜕 ln 𝑉

𝐷𝑇

𝐷𝑝

𝜌𝐶𝑣 𝐷𝑡 = (𝜕 ln 𝑇 ) . 𝐷𝑡 (1) 𝑣

̂ 𝜕 ln 𝑉

Pero como para un gas ideal (𝜕 ln 𝑇 ) = 1 , para un elemento móvil del fluido 𝑣

tendremos. 𝑑𝑝 𝑑𝑇

= 𝜌𝐶𝑣 (2)

Utilizando de nuevo la ley del gas ideal se puede escribir 𝑑𝑝 𝑑𝑇

=

𝜌𝐶𝑣 𝑀 𝑅𝑇

(3)

En la que M es el peso molecular del gas. Definiendo 𝛾 = 𝐶𝑣 ⁄𝐶𝑣′ se llega a 𝑑 ln 𝑝 𝑑 ln 𝑇

𝛾

= 𝛾−1 (4)

Que integrada para 𝛾 constante, se obtiene 𝑝(𝛾−1)/𝛾 𝑇 −1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 87

Teniendo en cuenta esta deducción, se puede advertir que se obtiene la misma solución para los procesos de flujo o no flujo y estado estacionario o no estacionario; además, no es necesaria ninguna suposición con respecto al trabajo realizado por el gas. Por tanto, el resultado es muy útil y es importante recordarlo. Sin embargo, deberá tenerse en cuenta que el despreciar 𝑞 y 𝜏 equivale a suponer un comportamiento adiabático reversible. [Bird, R., Stewart, W., Lightfoot, E. 1997. Fenomenos de Transporte: Un Estudio de los Fundamentos del Transporte de Materia, Energía y Cantidad de Movimiento]

9. ESTADO DEL ARTE

Fletcher (2010) analizó la relación existente entre la teoría de película y la tecnología de los semiconductores que a menudo tienen un funcionamiento similar a dicha teoría, la cual se lleva en películas delgadas aplicadas sobre la superficie y en algunos casos, estas películas pueden auto-organizarse en grupos, anillos o patrones en espiral durante procesos de recocidos. La teoría de la película permite predecir la estabilidad o la inestabilidad de las películas en los materiales semiconductores, ya que depende de la transferencia de masa superficial y la energía libre en la interfase. Esta información es utilizada en las técnicas de ensamblaje y se constituye como un modelo teórico para predecir la evolución de los patrones de bandas circular por difusión. Kwon y Park (2010) estudiaron la inestabilidad dinámica de una película de gel, haciendo uso del modelo de teoría de la película, así como la distribución de los factores de alivio para disminuir el estrés en la superficie. Las escalas de longitud de cada etapa de estudio se realizaron linealmente con el espesor de la película, obteniéndose comportamientos que indican que la transferencia de masa va a definir claramente las características y propiedades de la película y por ende la posibilidad de ruptura de la misma. Nikolov y colaboradores (2010) realizaron un análisis del proceso de transferencia de masa aplicada a la teoría de la película de los líquidos que contienen nanopartículas (nanofluidos) para determinar el comportamiento frente a la difusión de sólidos en líquidos sin nanopartículas. Los experimentos realizados demostraron que los procesos difusivos de nanofluidos en superficies solidas es mayor en comparación con la difusión de fluidos. Sin embargo, para que la 88

difusión de nanofluidos sea mejor observada, se hace necesario el análisis de la película presente en el sistema y un análisis complejo de la naturaleza de las interacciones entre las partículas del fluido, para determinar la estabilidad de la película. Nedeltchev y colaboradores (2007) trabajaron en un nuevo término de corrección a la teoría clásica de la penetración que se aplicó con éxito a distintos datos obtenidos a partir de burbujas formadas en columnas operadas en régimen homogéneo a distintas presiones. El factor de corrección obtenido es una función tanto de la correlación 𝐾𝐿𝑎 conocida en la literatura con las dimensiones y densidad del gas. En total fueron cerca de 18 líquidos puros orgánicos, 14 mezclas de líquidos y cerca de 263 puntos experimentales para determinar el error relativo, el tiempo de contacto del gas con los líquidos y así establecer que tan efectiva es la nueva corrección de la teoría clásica de de la penetración. Van y colaboradores (2007) estudiaron la relación existente entre la transferencia de masa en líquidos y la teoría de la película. Sin embargo, algunos sistemas se caracterizan por la ausencia de líquidos, un ejemplo de esto es la absorción en una columna equipada con elementos de embalaje estructurados. El modelo de penetración se modificó ligeramente, de modo que pueda describir los sistemas sin carga líquida. Se realizó una comparación entre los resultados obtenidos con el modelo modificado y los resultados que se obtendrían al aplicar la teoría de la penetración original para sistemas con líquidos. Tanto la absorción física y la absorción acompañada por reacción química fueron investigados, lo que les permitió concluir que la teoría de la penetración original se puede aplicar a sistemas sin carga liquida, siempre y cuando la capa de liquido sea de un espesor relativamente alto para la aplicación del modelo. Tabla 1. Eficiencia de transferencia de masa en comparación con el sistema de carga líquida para la absorción física. 𝑛𝑑𝑝𝑒𝑛 𝑛𝑑𝑝𝑒𝑛/2 𝑛𝑑𝑝𝑒𝑛/4 𝑛𝑑𝑝𝑒𝑛/8 𝑛𝑑𝑝𝑒𝑛/18 1.00 0.82 0.44 0.22 0.11 Los únicos parámetros que influyen en los resultados presentados en la tabla anterior, son la presencia de una reacción química y la forma del perfil de velocidad. Anderson y Orphal (2008) analizaron los supuestos y las limitaciones de la teoría de la penetración. La limitación más obvia es que, estrictamente dicha teoría sólo se aplica a los materiales hidrodinámicos, es decir, tanto el proyectil y el blanco no tienen fuerza. Sin embargo, para casi todos los casos de interés, la penetración no 89

depende de fuerzas materiales, incluso a velocidades muy altas. En consecuencia, los efectos del proyectil y la fuerza del blanco en la física de penetración han sido estudiados por muchos investigadores, y versiones modificadas de las desviaciones hidrodinámicas de la teoría se han propuesto. Mientras que la resistencia del material es una razón importante para las desviaciones, no es el único. Otros supuestos subyacentes son el estado de equilibrio y el comportamiento de incompresibilidad. En esta investigación se presentaron nuevos resultados de la simulación numérica que examina y cuantifica las desviaciones de la teoría debido a la comprensibilidad de varias combinaciones de los materiales de interés como en función de la velocidad de impacto. El-Amin y Kanayama (2009) estudiaron las fugas de hidrógeno en un espacio parcialmente abierto con una pared de techo, aplicando el modelo de la capa límite. Esta capa límite se dividía en dos regiones, la región de estancamiento y la región de conservación de masa, por ello se estudiaron diversas simetrías del sistema, ya sea simetría de tipo axial, plana, etc. Además estudiaron el comportamiento de los flujos en los puntos de estancamiento de la capa límite, obteniendo como resultado que el flujo en las regiones formadas, es tratado como un flujo de tipo Hiemenz y que la variación de la concentración dará un enfoque distinto a la teoría y conociendo los valores de las concentraciones y los flujos es posible realizar cálculos de espesor de la capa y puntos alejados de esta. Kievsky y colaboradores (2008) describieron un método para estudiar la difusión del colorante rodamina 6G en nanocanales de sílice. Las dinámicas de las moléculas dentro de los nanocanales solo se encuentran desde el cambio de la concentración de colorante en la solución con el tiempo. Fue observada una disminución de 108 en el coeficiente de difusión del colorante en relación con el agua, en comparación con otros estudios realizados en moléculas de colorantes, el método que se presenta no necesita de fluorescencia de las moléculas que se difunden. Tabla 2 Parámetros de ajuste para los coeficientes de difusión.

R6G en agua R6G en pH 1

𝜌(𝑡 = 0)10−6 𝑀

⋀0

D(nm2/s)

5.2

2.0

6.0

9.5

No. De moléculas iniciales.

2.9

Distancia promedio inicial entre moléculas (nm) 30

9.8

6

780

160

90

R6G EtOH R6G CTACl

en

0.5

20

0.49

3

1600

en

11

6.6

40

9

540

Hickey y colaboradores (2006) obtuvieron una expresión de campo para el coeficiente de difusión efectiva de una molécula en un medio de dos fases que consisten en un hidrogel con grandes cantidades de gel libre de inclusiones, en términos de los coeficientes de difusión homogénea en el gel y en el disolvente. Al comparar los cálculos, encontraron que la expresión desarrollada por ellos, proporcionaba una aproximación muy exacta del coeficiente de difusión efectivo, en un amplio rango de concentración del gel y la fracción de volumen relativo de las dos fases. Por otra parte, extendieron el modelo para manejar las variaciones especiales de la viscosidad, lo que permitió tratar los casos en los cuales la viscosidad del disolvente en sí no es homogéneo, proporcionando bases sólidas para el modelado y diseño de sistemas de varias fases para aplicaciones específicas. Briner y colaboradores (1997) investigaron la difusión de las moléculas de monóxido de carbono en la superficie del cobre en un rango de temperatura entre 42 y 53 grados Kelvin. La energía de activación para el movimiento térmico fue determinada directamente por imágenes individuales de los desplazamientos moleculares con la ayuda de un microscopio de efecto túnel, descubriéndose que las interacciones entre las moléculas de monóxido de carbono dan lugar a la formación de dímeros y por consiguiente cadena más largas. Las cadenas productos de la difusión del monóxido de carbono crecen mucho más rápidamente que las moléculas aisladas. Con la ayuda de modelos matemáticos usados comúnmente en la difusión se logró establecer que un factor de gran importancia para la eficiencia en la formación de cadenas es la ley de Arrhenius. Zhang y Wang (2011) simularon la dinámica de la difusión molecular de la interfase de Ni/Al por el método EAM, el problema de cómo la temperatura afecta a la interfase de Ni/Al fue uno de los principales aspectos a discutir, así como el comportamiento dinámico de la difusión en interfaces a altas temperaturas. El estudio fue de gran utilidad para la comprensión del origen del fenómeno de la difusión molecular. Cienfuegos y colaboradores (2010) estudiaron la posibilidad de crear un modelo no lineal que sirva como enfoque alternativo sirva para la parametrización del oleaje, incluyendo los efectos de la conservación de masa y ecuaciones de 91

momento desarrolladas respecto a las ondas regulares formadas y los experimentos de aislamiento de las mismas, con el fin de mejorar la altura de las olas y por ende, los parámetros del modelo. Kattelans y Heinrichs (2009) para los problemas de Stokes de mínimos cuadrados encontraron que tienen la gran ventaja que no requieren la estabilización y la interpolación de orden igual se puede utilizar. La desventaja de los mínimos cuadrados por el Método de Elementos Finitos (LSFEM) y de los mínimos cuadrados por el Método de los Elementos espectral (LSSEM) es que presentan mal desempeño con respecto a la conservación de la masa para los problemas de flujo interno, donde el LSSEM compensa esto con una conservación superior de impulso, para ello trataron de disminuir la influencia de la conservación de masa en los problemas de flujos presentados mediante el uso de las ecuaciones de Stokes. Sandino y Castrillon (2010) formularon la ecuación de conservación de masa y la ecuación de Navier-Stokes para un fluido ideal en el marco de la relatividad especial. Para tal efecto, se postularan una ley del movimiento y un tensor de energía-momento. En los resultados obtenidos aparecieron términos adicionales a los que se presentan en tales ecuaciones en su versión clásica, en especial en la ecuación de Navier Stokes, la cual posee un término proporcional que supondría la no conservación de la cantidad de movimiento a nivel local. Sin embargo, desde la relación entre masa y energía relativista, dicho término se interpretó como un flujo de momento causado por la presión sobre el fluido en movimiento, restaurando de esta forma el principio de conservación de masa y de momento. Finalmente, se mostraron a través de un análisis grafico las diferencias en el comportamiento de un fluido ideal incompresible en el caso clásico y en el caso relativista. Tabak y Tal (2004) propusieron modelos simples para la diffusion turbulenta como herramientas conceptuales que impliquen mezclas de flujos estratificados, permitiendo desarrollar una nueva medida de la mezcla y así se demuestre que bajo un proceso de agitación, los flujos presentes en la difusión turbulenta están sujetos a limitaciones globales de tipo dinámico. Prakash y colaboradores (2010) estudiaron los efectos de la difusión con reacción química en un flujo viscoso incompresible, la temperatura y la difusión de la masa realizó teniendo en cuenta las características de una reacción química de primer orden. Ecuaciones diferenciales fueron utilizadas para la solución de las ecuaciones matemáticas obtenidas, así como diversos parámetros tales como la 92

misma reacción química, la difusión, campo magnético, perfil de velocidad, de concentración, cambios de temperatura, obteniendo como resultado un análisis con una gran concordancia a los problemas de la vida real. Kossay y Ahmady (2011) desarrollaron un procedimiento analítico para determinar los factores que afectan los coeficientes de transferencia de masa del oxigeno mediante un análisis dimensional muy preciso con un factor de correlación de alrededor del 98.889%, lo cual permitió indicar que los principales grupos que controlan la transferencia de masa en el oxigeno son el numero de Reynolds, el número de Froude, la relación del diámetro de las burbujas , la relación entre la profundidad del tanque y la longitud de las burbujas mientras aumenta significativamente el caudal del oxigeno, la cual puede ser aumentada por la disminución del diámetro de las burbujas en el sistema. Tabla 3 Rangos de parámetros usados en la solución inicial. 1 2 3 4 5 6 7

8 9

10 11

12

Parámetros Longitud de tanque (L) Ancho del tanque(B) Profundidad del tanque(H) Sumersión de aireador (h) Descarga de aire en la zona de deposito (I) Descarga en el aire (Q) Ancho de difusores/Ancho del tanque (W d/B) Inmersión/Profundidad del agua (h/H) Masa volumétrica del coeficiente de transferencia de las burbujas (KLa) Diámetro medio de las burbujas(d0) Profundidad del agua/longitud del tanque (H/L) Superficie total de difusores/área de

Unidades. M

Rango. 2.50-10.46

M M

1.00-2.83 1.50-7.01

M

0.45-6.40

m3aire/m2hr

5.12-114

m3/hr

26.0-737.064

m/m

0.25-0.98

m/m

0.118-0.964

min-1

0.036-1.77

M

0.0025-0.011

m/m

0.378-1.201

m/m2

0.10-0.897 93

13 14

depósito (Ad/Az) Número de Sherwood (L2 x KLa/D) Numero de Reynolds ((Q x 𝜌)/L x µ)

(m2/seg)/(m2/seg) 0.0131-0.938 (kg/seg)/(kg/seg)

0.00750.3588

Franceschi y colaboradores (2010) determinaron los coeficientes de transferencia de materia y de energía presentes en el proceso de secado por contacto con una superficie caliente de textiles delgados. Se usaron cuatro textiles de diferentes densidades y datos experimentales del proceso de secado. Se determinaron los coeficientes para evaluar el comportamiento de cada tipo de material textil en función de la temperatura del secador cilíndrico. Los materiales textiles presentan densidades entre 144 y 230g/m2, y el comportamiento de los coeficientes de transferencia con respecto a la temperatura del cilindro, tienen similitud para los textiles con densidad menor a 200g/m2 presentando mayores valores del coeficiente de transferencia de energía y menores de transferencia de materia en comparación con los de mayor densidad. Kamisli (2010) en este estudio los tipos de Madera utilizados en Turquía, como el pino, haya, chopo y nogal fueron secados en un secador de bandejas a temperatura constante y velocidad de secado. Los resultados dado el estudio fueron obtenidos a partir del valor promedio de cinco muestras, a las que se le calcularon la humedad, la velocidad de secado y los coeficientes de transferencia de masa, observándose que estos dos últimos disminuyeron con el tiempo de secado ya que dependen del contenido de humedad presente en la madera, los resultados mostraron que la madera blanda tiene un coeficiente de transferencia de masa relativamente mayor al coeficiente de las maderas duras. Devakumar y colaboradores (2010) utilizaron una columna de burbujas agitada con un reactor agitado que promueve el tiempo de residencia dentro del mismo, por tratarse de un área de transferencia de masa grande y así facilitar los cálculos de los coeficientes de transferencia de masa en las fases deseadas. Estas columnas pueden funcionar con un flujo continuo y en las zonas donde la transferencia de masa es mayor en flujo contra corriente con un posible bajo costo de inversión. El trabajo se enfocó en mostrar el efecto de parámetros tales como la relación altura diámetro, el caudal del gas y la velocidad de agitación en los coeficientes de transferencia de masa en la columna de burbujas con reactor agitado

94

Amano (2008) para el cultivo de células de mamíferos, consiguió un suministro continuo de oxígeno y a su vez la extracción de dióxido de carbono, debido a la baja solubilidad del oxígeno y la acumulación excesiva de dióxido de carbono. Además, aspectos como el flujo presente en el sistema y las características de la transferencia de masa en el recipiente de cultivo resultaba extremadamente difícil de controlar. Un método para superar esto y proporcionando la optimización racional fue la solución de los fluidos y las ecuaciones de transporte masivo mediante simulación numérica. Para desarrollar este programa de simulación, fue de gran importancia conocer los coeficientes de transferencia de masa de las especies gaseosas presentes en el tanque de cultivo. En este estudio los coeficientes de transferencia de masa del oxígeno fueron medidos utilizando un vaso con un rociador e impulsores. Con el fin de investigar la formulación de los coeficientes de transferencia de masa, las estadísticas de flujos turbulentos se calcularon con un código CFD para todos los casos, y las expresiones de los coeficientes de transferencia de masa se establecen en función de los mismos. Hasta ahora, la expresión de Kawase es conocido en este campo. Esta expresión se convierte en una única función de la energía de disipación. No coincide con el hecho de que el coeficiente convencional experimental de transferencia de masa es proporcional 0,5 de la velocidad de rotación del impulsor, concluyéndose que l coeficiente de transferencia de masa nuevo depende tanto de la tasa de disipación de energía y el flujo turbulento de energía k. Sivalingam y colaboradores (2011) analizaron las características de la transferencia de masa en una corriente de fluidización con 3 fases, en función de los coeficientes de transferencia de masa y el número de Sherwood con ayuda del método Box-Behnken. Después de alcanzar el estado de equilibrio, fue registrada la altura del lecho fluidizado y las lecturas manométricas se registraron para la estimación de caída de presión. El mencionado procedimiento se repitió para cuatro diferentes velocidades de líquido en un lecho fluidizado. Y el coeficiente de transferencia de masa de varios tamaños de partícula con las tasas de flujo específico de líquido y los caudales de gas fue estudiado.

Ochoa y Ayala (2005) estudiaron la transferencia de masa en el proceso de deshidratación osmótica a presión atmosférica con un modelado desde el punto de vista fenomenológico utilizando generalmente el modelo de crank que consiste en una solución de la ley de Fick. Las demás alternativas que existen para modelar el proceso de deshidratación osmótica, corresponden a modelos empíricos. Algunos de estos modelos se desarrollaron a partir de ajustes polinomios y otros, a partir 95

de los balances de masa y de las relaciones entre las variables del proceso. Para procesos que involucran presiones de vacío, la transferencia de masa se representó principalmente con el modelo del mecanismo hidrodinámico. El objetivo del trabajo fue presentar los modelos matemáticos más utilizados para simular el proceso de deshidratación osmótica, haciendo un análisis crítico de los mismos. Tabla 4 valores de difusividad efectiva para agua y solidos

Alvis y colaboradores (2009) analizaron la transferencia de calor y materia durante el freído de trozos de ñame en aceite de soya a 140, 160, 180°C. Los coeficientes de transferencia de calor y materia fueron determinados a partir de las gráficas de las relaciones adimensionales de temperatura y concentración de humedad versus tiempo. Los coeficientes de transferencia de calor y materia se incrementaron al aumentar la temperatura del aceite. Para la variedad de ñame llamada Pico de Botella, la pérdida de humedad durante el freído por inmersión a distintos tiempos disminuyó con el aumento de la temperatura del aceite. Se encontraron valores del 96

coeficiente de difusión de humedad de 1.95, 2.59 y 3.24 x 10-9 m2/s, para las tres temperaturas de freído estudiadas. Tabla 5 Valores del número de Biot y el coeficiente de transferencia de calor en función de la temperatura del aceite.

Tabla 6 Valores del número de Biot, coeficiente de transferencia de masa Difusividad de la humedad en función de la temperatura del aceite.

Shashikala y Ranganatha (2008) examinaron la influencia de la reacción química heterogénea en el coeficiente de transferencia, el coeficiente de convección, y el coeficiente difusivo que se plantean en el estudio de la dispersión en un flujo. Los resultados muestran que el coeficiente de dispersión asintóticamente alcanza un estado estacionario después de un momento crítico. Este momento crítico, disminuye a medida que aumenta la absorción de la pared. El problema es de gran aplicabilidad en la biomecánica, como el transporte a través de una membrana semipermeable, en las industrias de la liberación de los residuos en el medio ambiente, en el transporte de petróleo crudo, y en la cromatografía. Tabla 7 Valores de a = Umax para diferentes valores del parámetro 𝜂∗ no newtoniano 𝜂∗ 1.0

A 1.5

1.8 0.87 2.6 0.6 97

Horvatha y colaboradores (2007) realizaron un análisis teórico de la cinética de transferencia de masa basado en el método de las variables de similitud de un liquido-liquido en flujo contracorriente. Los resultados numéricos obtenidos para la tasa de transferencia de masa (número de Sherwood) en el caso de una capa limite laminar con una interfase plana se compararon con resultados análogos para un flujo en contracorriente, para poder determinar la relación entre la transferencia de masa y la disipación de energía en la capa limite. Las ventajas de trabajar con flujo contracorriente es que genera menos pérdidas de energía en comparación con otros tipos de flujos. Los resultados obtenidos permitieron determinar la disipación de la energía en la capa límite y compararlo con el valor correspondiente en el caso de un flujo contracorriente, lo que facilitó establecer el papel importante que juega la cinética de la transferencia de masa y la relación con la disipación de la energía. Boyd y colaboradores (2008) demostraron que cuando una pequeña cantidad de calor se añade cerca de un líquido en interfaz con el vapor de una burbuja, la interfase de transferencia de masa a través de la burbuja puede ocurrir de una manera controlada, con sólo un ligero cambio en la temperatura del fluido. Este método recibe el nombre de Transferencia de Masa de Asistencia en la Interfase (Baim), el cual se puede aplicar a la interfase en procesos de separaciones químicas, por ejemplo, la destilación simple, sin la necesidad de altas temperaturas, el vacío o enfriamiento activo. A cualquier fuente de calor localizado se podría utilizar el método Baim con una técnica totalmente óptica que hace uso de la resonancia de plasmón en una serie de estructuras a nanoescala de metal que se incorporan en un canal para producir un calentamiento local del fluido cuando es iluminado por un laser fijo de baja potencia. En el artículo se presentó un método para alcanzar la Transferencia de Masa en la Interfase, a temperatura y presión ambiente y sin la necesidad de refrigeración activa para la recuperación completa de los vapores

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CONCLUSIÓN Y OPINIONES La transferencia de masa es una de las ramas de la ingeniería química más importantes ya que comprende gran variedad de fenómenos tanto físicos como químicos, así, como procesos y situaciones que van desde la parte micro y macroscópica pasando por los flujos laminar y turbulento que son de gran interés en la aplicación de los principales procesos y operaciones unitarias necesarias en la industria, como son la destilación, absorción, secado. En el anterior trabajo, se comprobó el papel de la transferencia de masa en el avance de nuevas tecnologías a nivel espacial, mecánico, bioquímico, ambiental, entre otras. Así como en el desarrollo económico, social y cultural, de la sociedad a través del conocimiento científico, aplicando la tecnología y los fenómenos de transferencia de materia, a la invención de nuevos productos y al mejoramiento de los procesos productivos de nuestra industria, con la investigación a nivel de laboratorio e industrial, mancomunadamente las universidades, los centros tecnológicos y la empresa privada. Los fenómenos de transporte como sabemos tienen lugar en aquellos procesos, conocidos como procesos de transferencia, en los cuales se establece el movimiento de una propiedad, ya sea masa, momentum o energía en una o varias direcciones dependiendo de la fuerza denominada impulsora. Los fenómenos de transferencia de masa a mi parecer son los más importantes que se pueden presentar en la ingeniería química, ya que debemos de considerar que la mayoría de los procesos químicos requieren en el inicio la purificación de las materias primas o la separación final de los productos y subproductos, por lo cual se hace necesario el uso de estos procesos de transferencia de masa. Es importante destacar que uno de los momentos clave de la transferencia de masa, fue el desarrollo de diversas teorías que faciliten el entendimiento de estos a escala de interfase, como lo son la teoría de la película, de la capa limite y de la penetración que facilitan el desarrollo de problemas fluidodinamicos bidimensionales, hecho que ha contribuido al desarrollo de nuevas tecnologías y estudios. 99

Respecto a esto, a nivel mundial numerosos estudios y avances tecnológicos en el campo de la hidráulica, bioingeniería, industria farmacéutica en la absorción de los medicamentos en el cuerpo, así como los procesos de absorción de vitaminas (bioquímica), han usado como fundamento para su desarrollo los fenómenos de transferencia de masa, así como en Latinoamérica donde cabe resaltar países como Brasil y México, cuyas universidades más importantes (Universidad de Sao Paulo y Universidad Nacional Autónoma de México) aplican estos fundamentos a los productos típicos de cada país. Esto mismo sucede a nivel nacional, donde se han realizado estudios con productos típicos como el ñame, realizados por la Universidad de Córdoba, Universidad del Valle y Universidad del Tolima, hecho que demuestra la importancia que tiene la transferencia de masa en el desarrollo de la agroindustria colombiana y en otros países del mundo. La ingeniería química abarca una gran diversidad de campos y enfoques distintos, entre los cuales se destaca notablemente la transferencia de masa y energía; desde el punto de vista macro es decir a escala industrial, hasta la parte micro es decir a nivel de laboratorio con investigaciones científicas y desarrollo de nuevos productos y servicios, siendo muy importante para la innovación y la transformación de Colombia en una potencia emergente de Latinoamérica, superando poco a poco la brecha tecnológica y de conocimiento con los países más desarrollados. Vemos que con el pasar de los años nuestro país aumenta marcadamente la publicación y divulgación de artículos científicos, relacionados con la transferencia de masa, especialmente para la conservación de alimentos a través de la deshidratación osmótica [universidad del valle, Ochoa y Ayala (2005)] de frutas tropicales como el mango, la papaya, el melón, etc. Como también en la agroindustria con el estudio de la transferencia de masa y energía en la fritura de diversos tubérculos [Universidad de Cordoba, Alvis y colaboradores (2009)]. Debemos aprovechar la enorme capacidad agrícola y la gran biodiversidad colombiana, para convertirla en un foco generador de conocimiento científico, de desarrollo social, cultural e industrial, utilizando los conocimientos en transferencia de masa e investigando en distintas fuentes. Todo esto para optimizar los procesos a escala industrial, reduciendo en lo máximo posible los costos en la producción y fabricación e innovando a su vez, buscando mejorar la competitividad y el desarrollo de nuestro país. Viendo todo lo anterior nos damos cuenta que la transferencia de masa no solo es importante en la ingeniería química, sino también en la agroindustria, en la parte alimentaria, así como en el desarrollo social y tecnológico de un país, siendo 100

importante la unión o el trabajo interdisciplinario de diversas disciplinas o profesiones, alcanzando así importantes y extraordinarios resultados.

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ÍNDICE DE FIGURAS Pág. Figura 1.1 Flujo estacionario unidimensional a lo largo de una superficie plana……………………………………………………………………………..………..5 Figura 1.2.2 Esquema de una instalación de los termómetros de bulbo seco y de bulbo húmedo................................................................................................13 Figura 2.1 Difusión hacia el interior de la película líquida descendente……….16 Figura 3.1 Flujo tangencial a lo largo de una lámina plana afilada semi-infinita.......………………………………………………………………………...20 Figura 4.1.1 (a) Diagrama esquemático de un reactor catalítico en el que A se convierte en B. (b) Representación idealizada (o «modelo») del problema de difusión en las proximidades de una partícula catalítica.........................................24 Figura 4.2.1 Absorción con reacción química homogénea..............................28 Figura 5.1 Esquema de difusión turbulenta respecto al tiempo.......................31 Figura 6.1 Muestra como disminuyen los gradientes de concentración cuando pasamos de la película región laminar a la región turbulenta....................36 Figura 6.2 Transferencia de masa a un fluido confinado.......................................38 Figura 6.1.1 Película descendente de líquido........................................................40 Figura 6.2.1 Perfiles de fracción molar en la región cercana a la interfaz de transferencia de masa durante la interfase........................................................45 Figura 7.1.1 Difusión en una solución binaria........................................................51 Figura 7.3.1.2 Difusión de A a través de B estancado...........................................54 Figura 7.3.2.3 Contradifusión Equimolar................................................................55 Figura 7.4.4 Función de choque para la difusión...................................................57 Figura 8.1.1 Región de volumen ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 en el espacio, a través de la cual está circulando un fluido.........................................................................................63 Figura 8.2.2 Elemento de volumen ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 en el que se señala con flechas la dirección en que se transporta el componente x de la cantidad de movimiento a través de las superficies...............................................................................65 Figura 8.3.3 Formas según las cuales puede entrar o salir materia a través de las superficies limitantes...............................................................................................70 Figura 8.4.4 Elemento de volumen ∆x∆y∆z en el que se señala con flechas la dirección en que se transporta el componente x de la cantidad de movimiento a través de las superficies................................................................................74 Figura 8.5.1.1.5 Oxidación catalítica del dióxido de azufre....................................79

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ÍNDICE DE TABLAS Pág. Tabla 1 Eficiencia de transferencia de masa en comparación con el sistema de carga líquida para la absorción física.............................................................84 Tabla 2 Parámetros de ajuste para los coeficientes de difusión...........................85 Tabla 3 Rangos de parámetros usados en la solución inicial................................88 Tabla 4 valores de difusividad efectiva para agua y solidos..................................90 Tabla 5 Valores del número de Biot y el coeficiente de transferencia de calor en función de la temperatura del aceite......................................................................91 Tabla 6 Valores del número de Biot, coeficiente de transferencia de masa Difusividad de la humedad en función de la temperatura del aceite......................91 Tabla 7 Valores de a = Umax para diferentes valores del parámetro 𝜂∗ no newtoniano..............................................................................................................91

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