1-0 Preliminares - Indd - Tello Portillo, Juan Pablo

July 21, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A

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Introducción a las señales y sistemas

Introducción a las señales y sistemas

Tello Portillo Juan Pablo Tello

Área metropolitana de Barranquilla (Colombia) , , 2017

Tello Portillo, Juan Pablo. Introducción a las señales de sistemas / Juan Pablo Tello Portillo. -- Barranquilla, Colombia : Editorial Universidad Universidad del Norte, 2017. 151 páginas : ilustraciones ; 24 cm.

Incluye referencias bibliográcas.

ISBN ISBN 978-958-741-803-3 978-958-741-804-0 (impreso) (PDF) 1. Teoría de las señales (Telecomunicaciones). 2. Series de Fourier. 3. Transformaciones de Laplace. I. Tít. (CO-BrUNB 621.3822 T277 ed. 23)

Vigilada Mineducación www.uninorte.edu.co

Km vía a Puerto Colombia, A.A. 1569 A.A. Área5,metropolitana de Barranquilla (Colombia) © Universidad del Norte, 2017 Juan Pablo Tello Tello Portillo

Coordinación editorial Zoila Sotomayor O. Diagramación Juan Pablo Tello Tello Portillo Diseño de portada Joaquín Camargo Valle Valle Corrección de textos Nury Ruiz Bárcenas

Impreso y hecho en Colombia

Xpress Estudio Gráco y Digital (Bogotá) Printed and made in Colombia

© Reservados todos los derechos. Queda prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por

cualquier medio reprográco, fónico o informático, así como su transmisión por cualquier medio mecánico o electrónico, fotocopias, microlm, ofset , , mimeográco mimeográco u otros sin autorización previa previa y escrita de los titulares del copyright. La violación de dichos derechos constituye un delito contra la propiedad intelectual.

A Dios, a mis padres, mis hermanos y a mi hija, María Alejandra.

PABLO TELLO PORTILLO JUAN PABLO

Ingeniero Electrónico y magíster Ingeniero en Ingeniería, área Automatización Industrial, de la Universidad Nacional de Colombia (sede Manizales). Profesor P rofesor asistente,, vinculado al Departamento asistente de Ingeniería Eléctrica y Electrónica de la Universidad del Norte (Colombia), desde el año 2006. Director del grupo de investigación en Bioingeni B ioingeniería ería – BioUning en el periodo 2008-2014. Actualmente adelanta estudios de Doctorado D octorado en Ingeniería Eléctrica y Electrónica en la Universidad del Norte. Áreas de interés e investigación: Procesamient Procesamientoo digital de señales e imágenes médicas. médicas.

Contenido Contenido

Prefacio

I

1. Repre Represen sentaci´ taci´ o n de se˜ on nales nales

IV

1

1.1. Introd 1.1. Introducc ucci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. 1. 2. Se Se˜ n ãles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2.1. 1.2 .1. Cla Clasifi sificac caci´ i´ on de se˜ on nales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Funciones de singularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1. 1.3 .1. Func unci´ i´ on signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2. 1.3 .2. Func unci´ i´ o n impulso unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 on 1.3.3. 1.3 .3. Func unci´ i´ on escalón unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 on 1.3.4. Secuenc nciia impulso unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.5. 1.3 .5. Sec Secuen uencia cia esc escal´ al´ on unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4. Transf ransformac ormaci´ ión on de señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.1. Escalamiento en amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.2. Desplazamiento en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.3. Escalamiento en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4. 1. 4.4. 4. De Desspl plaz azam amie ien nto en el el ti tiem empo po di disc scre reto to . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4. 1. 4.5. 5. Es Esca cala lam mie ien nto en el tie iemp mpoo di disscr creeto . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5. Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5.1. 1.5 .1. Cla Clasifi sificac caci´ i´ on de los sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 i

ii

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

2. Respu Respuesta esta de sistemas lineales lineales e in inv varia ariante ntess en el tiem tiempo po

43

2.1.. In 2.1 Introd troducc ucci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2. Sistemas LIT continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3. 2. 3. Re Resspu pues esta ta al imp mpul ulsso en en el el dom domin iniio con conttin inuo uo . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.1. Procedimiento para realizar el cálculo alculo de convoluci´ on con on contin tinua ua . 46 2.4. 2. 4. Re Resspu pues esta ta al im impu puls lsoo en el do dom min iniio di disscr cret etoo . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4.1. Procedimiento para realizar el cálculo alculo de la convoluci´ on discreta 60 on 2.5. Propi Propiedades edades de la convol convoluci´ uci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.5.1. Identidad y desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.5.2. Conmutativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.5.3. Asociativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3. Repre Represen sentaci´ taci´ o n de se˜ on nales en series de Fourier nales

73

3.1.. In 3.1 Introd troducc ucci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2. Repre Represen sentaci´ taci´ on de se˜ on nales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3. Serie expo pon nencial de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.4. Serie trigonométrica de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.5. Repre Represen sentaci´ taci´ o n compacta de la serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 82 on 3.6. Convergencia de la serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4. Transf ransformad ormada a de Fourie ourier r

97

4.1.. In 4.1 Introd troducc ucci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2. 4. 2. Tra rans nsfo form rmad adaa de Fou ouri rier er en ti tiem empo po co con nti tin nuo . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3. 4. 3. Con onv ver erge genc nciia de de la tra rans nsfo form rmad adaa de de Fou Fouri rieer . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.4. 4. 4. Tra rans nsfo form rmad adas as de Fou ouri rier er de al algu guna nass fun funci cion ones es . . . . . . . . . . . . . . 102 4.4.1. 4.4 .1. Func unci´ i´ on impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.4.2. 4.4 .2. Func unci´ i´ o n rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 on 4.4.3. Expo pon nencial complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.4.4. Funciones sinusoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Juan Pablo Tello Portillo

iii

4.4.5. 4.4 .5. Func unci´ i´ o n exponencial decreciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 on 4.4.6.. Funcio 4.4.6 unciones nes peri´ odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.5. 4. 5. Pr Prop opie ieda dade dess de la tr tran anssfo form rmad adaa de Fou ouri rier er . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.5.1. Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.5.2. Desplazamiento en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.5.3. Desplazamiento en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.5.4. Escala de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.5.5. Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.5.6. 4.5 .6. In Inve versi rsi´ón en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.5.7. Conjugación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.5.8. 4.5 .8. Dif Difere erenci nciaci aci´ón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.5.9. 4.5 .9. In Integ tegrac raci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.5.10. Convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.5.11. Teorema de Parseval para señale n aless de en ener ergg´ıa . . . . . . . . . . . 110 4.5. 4. 5.12 12.. Dens Densid idad ad espe espect ctra rall de de ene energ rg´´ıa y de pot poten enci ciaa . . . . . . . . . . . 111 4.6.. Modu 4.6 Modulac laci´ i´ on y demodulación on on de se˜ nales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.7. Teorema de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.8. Respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.9. Filtrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.9.1. Filtro pasa baj ajaas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.9.2. Filtro pasa altas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.9.3. Filtro pasa banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.9.4. Filtro rechaza banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5. Transf ransformad ormada a de Lapl Laplace ace

137

5.1.. In 5.1 Introd troducc ucci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.2. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.2.1.. Regi´ 5.2.1 on de on de conver convergencia gencia para la transf transformada ormada de Laplace Laplace . . . . 139 5.2.2. 5.2 .2. Po Polos los y cero ceross de la funci funci´ón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

iv

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

5.3. 5. 3. Tra rans nsfo form rmad adas as de La Lapl plac acee de de al algu guna nass fu func ncio ione ness . . . . . . . . . . . . . 146 5.3.1. 5.3 .1. Func unci´ i´ on impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.3.2. 5.3 .2. Func unci´ i´ on escalón unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 on 5.4. 5. 4. Pr Prop opie ieda dade dess de de la la tr tran anssfo form rmad adaa de de Lap Lapla lace ce . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.4.1. Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.4.2. Corrimiento en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.4.3.. Corri 5.4.3 Corrimien miento to en el domini dominioo transformad transformadoo s . . . . . . . . . . . . 147 5.4.4. Escala en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.4.5. 5.4 .5. In Inve versi rsi´ón en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.4.6. 5.4 .6. Dif Difere erenci nciaci ación ó n en el dominio del tiempo . . . . . . . . . . . . . . 148 5.4.7. 5.4 .7. Dif Difere erenci nciaci ación ón en el dominio transformado s . . . . . . . . . . . 148 5.4.8. 5.4 .8. In Integ tegrac raci´ i´ on en el dominio del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.4.9. Convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.4. 5. 4.10 10.. Teo Teore rema mass de de los los val alor ores es in inic icia iall y fin final al . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.5. Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.6. Carac Caracteriz terizaci´ aci´ on de los sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.6.1. Causalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.6.2. Estabilidad

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

5.7. Representaci´ on en diagrama de bloques para sistemas on LIT causales descritos por ecuaciones diferenciales. . . . . . . . . . . .

Bibl Bi blio iogr graf´ af´ ıa

154 165

Prefacio

Este libro ha sido escrito con base en la recopilación on y organización on de inf informa ormaci´ ción on procedente de varias fuentes bibliográficas aficas y de la experiencia misma adquirida en los cursos señales nales los y sistemas que han b´ venido impartiendo algunoscon años. nos. En este se de describen conceptos te´se oricos oricos asicos de asicos las señales nalesdurante y los sistemas, cierto nivel de profundidad matemática atica acorde a la fundamentación on que los estudiantes han adquirido en los cursos de cálculo. alculo. El libro contiene diversos ejemplos en cada uno de los temas abordados, permitiendo al lector tener una herramienta de apoyo util, u ´til, ya que el contenido en muchos casos es de un nivel de complejidad alto y también, en, cuando este no es lo suficientemente claro en otros textos de la misma área. area. El libro está diseñado nado para estudia estudiantes ntes de los program programas as de Ingeni Ingenier er´´ıa Eléctrica ectrica e Inge In genie nierr´ıa Elec El ectr´ trónica onica que cursan la materia Se˜ nales y Sistemas. Su contenido está divinales dido en cinco cap ca p´ıtulos, con c on temas tema s de un amplio a mplio compo co mponente nente matem´ mate mático atico y fundamental para los cursos que se imparten en niveles superiores del programa, tales como: curso de Comunicaciones y curso de Control Automático. atico. En el Cap Cap´´ıtulo 1 se inicia con la definición on de las se˜ nales y su respectiva clasificanales ción. on. As´ As´ı mismo, se presenta una u na variedad de ejemplos que ilustran todos to dos los conceptos y además as permite al estudiante interpretar de manera clara los temas abordados. Posteriormente, se realiza una descripción on breve de las funciones singulares, utiles u ´ tiles en la solución on de problemas de ingenier ingenier´´ıa. Se contin´ ua con la transformación ua on de se˜ nales, hanales, ciendo alusión on a las operaciones de escalamiento y desplazamiento. Más as adelante, se definen los sistemas y de igual manera, su respectiva clasificación. on. Para cada uno de los temas se presentan algunos ejemplos que permiten al estudiante aclarar los conceptos estudiados. Todo esto para los dominios del tiempo continuo y tiempo discreto. En el Cap´ıtulo ıtulo 2 se estudian los sistemas Lineales e Inv Invariantes ariantes en el Tiempo (LIT) y su interacción on ante cualquier se˜ nal de entrada. Se describe la respuesta del sistema nal ante una entrada impulso unitario luego,on la representaci´ oncon on matem´ atica atica de una funci´ on arbitraria, on obtener para la expresi´ onmediante que relaciona la entrada la salida denominada integral de convolución. on. As As´´ı mismo mismo,, para el caso del domini dominioo discr discreto, eto, se parte de un modelo de representación on de una secuencia discreta y se llega a otra operación on que relaciona la entrada con la salida, denominada la suma de conv convoluci´ olución. on. Cada uno de los temas presenta un sinnúmero umero de ejemplos que permiten comprender mejor los concep conceptos tos estud estudiados iados.. En el Cap C ap´´ıtulo 3 se presenta otra forma particu particular lar de represe representaci´ ntación on de d e se˜ se nales n ãles denominada, series de Fourier. La representación on está basada en la combinación on lineal de ondas sinusoidales que están an relacionadas armónicamente. onicamente. Se inicia con la descripción on matemática atica de las diferentes formas de representación on en Fourier, su convergencia y posteriormente se muestra algunos ejemplos con los que se ilustra de forma matemática atica y gráfica afica la utilidad de la misma.

vi

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

En el Cap Cap´´ıtulo 4 se analiza la transformada de Fourier. Se inicia con un breve desarrollo matemático atico hasta llegar a su definición. on. Luego se realizan algunas transformadas de funciones que comúnmente unmente son usadas en el análisis alisis de las se˜ nales. As nales. As´´ı mismo se presentan cada una de las propiedades de la transformada, muchas de ellas enfocadas a la aplic aplicaci´ aci´ on práctica. on actica. Se hace énfasis enfasis en la propiedad de modulación on y a la teor teor´´ıa que relaciona todo este tema. Más as adelante se analiza el teorema de muestreo desde el punto de vista del dominio transformado. Finalmente, se estudia la respuesta en frecuencia de los sistemas y algunos conceptos básicos asic os de d e la teor´ıa ıa de d e filtro fi ltros. s. El E l cap ca p´ıtu ıtulo lo incl i ncluye uye varios vari os ejemplos que ilustran la importancia de la transformada de Fourier como herramienta matemática atica en la solución on de problem problemas as de ingenie ingenierr´ıa. En el e l Cap´ıtulo ıtulo 5 se presenta la teor te or´´ıa de la transform tr ansformada ada de Laplace La place y sus aplicac aplicacioiones. Se inicia con la definición on y la descripción on de su relaci´ rela ción on directa dir ecta con c on la transfo transformada rmada de Fourier. Seguidamente, se desarrollan algunos ejemplos, donde se ilustra la existencia de una misma función on del sistema (dominio s) correspondiente a dos funciones distintas en el dominio del tiempo. As As´´ı mismo se grafican las regiones de convergencia para cada uno de ellos y se estudia la importancia de estas en el análisis alisis de la estabilidad de los sistemas. Se continúa ua con el análisis alisis de los polos y ceros de la función on del sistema junto con la ubicación on de los mismos en el plano complejo s complejo s . Se listan brevemente las propiedades de la transformada de Laplace y su uso en ingenier ingenier´´ıa. ıa. Más as adelante se examina la causalidad y la estabilidad, como factores importantes en la caracterización on de los sistemas. Por ultimo, u ´ltimo, se plantea la solución on de ecuaciones diferenciales parciales lineales utilizando transformada de Laplace y se realizan las diferentes formas de representaci´ on on en diagramas de bloques de cada una de las funciones del sistema para los ejemplos desarrollados.

Cap´ıtulo 1

Representaci´ o n de se˜ on nales nales

1.1. 1. 1.

Intr In trod odu ucc cci´ i´ on on

Desde sus inicios, la sociedad humana ha usado diversas maneras o procedimientos para lograr comunicarse entre s´ s´ı; y para esto ha hecho uso de elementos, materiales y/o herramientas, que generan fenómenos omenos f´ısicos los cuales son percibidos e interpretados por los sentidos en forma de mensajes. Este tipo de fenómenos omenos es lo que comúnmente unmente se denominan   se˜ denominan nales . Hoy en d´ıa, con sofisticados dispositivos electrónicos onicos y algoritmos de codificación on avanzados, se ha conseguido transformar las innumerables formas de onda obteni obtenidas das del mund mundoo f´ısic ısicoo a forma formass de onda que cont contienen ienen informaci´ o n y que on son percibidas a trav trav´és es de los sentidos. El resultado de la evoluci´ on de estas formas de on comunicaci´ on dio como origen el lenguaje. on En este cap cap´´ıtulo se presenta de manera general las diferentes formas de se˜ se nales n ãles y la manera como interactuan con los sistemas. Se comienza con ciertas definiciones, junto con las estructuras matemáticas aticas y modelos gráficos aficos de los mismos, as as´´ı como algunos ejemplos que complementan los conceptos abordados. Posteriormente, se realiza una breve descripción on de las funciones singulares, utiles u ´ tiles para la simplificación on matemática atica de fenómenos omenos con los que comunmente se encuentra en el estudio de las señales nales y los sistemas. Se contin´ ua, con el proceso de transformación ua, on de se˜ nales tanto en el dominio nales del tiempo continuo como en el dominio del tiempo discreto, siendo las operaciones de escalamiento y desplazamiento las que comúnmente unmente se dan en diferentes problemas de ingenierr´ıa, espec´ıficamente ingenie ıficamente en el pro procesamiento cesamiento de las señales. nales. Por ultimo u ´ltimo se estudian los sistemas, su respectiva clasificación on y algunos ejemplos que facilitan la comprensión on de los temas estudiados.

1.2.

Senales n ˜ ales

Se define una señal nal como una función o n de una o más as variables que representan una cantidad fómenos; t´ıpicame ıpicamente nte contiene informaci´ informa ci´ on acerca on comportamiento natural de los fen´ oısica; menos; por ejemplo, las se˜ nales el´ nales ectricas ectricas, , acústicas, udel sticas, de video, biol´ ogicas, ogicas, 1

2

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

x(t )

t 0

Figura 1.1: Representación on gráfica afica de una se˜ nal nal entre otras. Para el caso de una dimensión, on, la se˜ nal se representa mediante la forma nal x(t), siendo t la variable independiente y x la variable dependiente. La representación on gráfica afica de la misma se muestra en la Figura 1.1 1.1..

1.2. 1. 2.1. 1.

Clas Cl asifi ifica caci ci´ o n de se˜ ´ on nales nales

Las se˜ nales se pueden clasificar de acuerdo a diferente parámetros nales ametros propios de las mismas; entre ellas están: an:

Aleatorias. Son aquellas aquellas en la que existe existe incertidumbr incertidumbree de sus valore valoress en todos los

instantes del tiempo y únicamente unicame nte pueden pued en ser se r caracteriza cara cterizadas das estad e stad´´ısticame ısticamente nte [1 [1]. Todas las se˜ nales por naturaleza son de carácter nales acter aleatorio; sin embargo, existen algunas que por su regularidad, se pueden p ueden tratar como determin determin´´ısticas, teniendo en cuenta ciertas restricciones y aproximaciones.

Dete De term rmin´ in´ ıs tica ısti cas. s. Son aquellas cuyos valores est´ estan án completamente especificados para

cualquier instante del tiempo y pueden representarse mediante una fórmula ormula cerrada, un conjunto de valores o una fórmula ormula recursiva. Reale Rea less y com comple plejas jas.. Una se˜ nal es real, si sus valores que la representan son un nal

número umero real y complejas, si sus valores que la representan son un número umero complejo. Matemáticamente aticamente se expresan como x(t) =

{x(t)} + j {x(t)}

(1.1)

 es la parte real, e  la parte imaginaria, con j = √ −1.

donde

Continuas o anal´ ogicas. Son aquellas ogicas. aquellas que est´ están an definidas en todos los valores del

continuo del tiempo, aunque su dependencia de este pueda soportar discontinuidades de primer grado, esto es x (t0− ) = x(t0+ ). En la Figura 1.2(a) Figura 1.2(a) se se muestra un ejemplo de ellas.



Juan Pablo Tello Portillo

x(t )

x[n]

4

4

3

3

2

2

1

1

t

0 1

3

n

0

1

2

2

3

3

4

4         0        5        5         0        0        0        5        0        0        0         0        0        5         8        4         4        8        0         1        7        7        0        9        6         9   .         3   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .         0        0        2         1        0        0        1        3        1        0         2        3        1

t

   

               

Intervalo de Muestreo

Valor Mestreado

(a) Proceso de discretización on

(b) Se˜ nal discreta nal

Figura 1.2: Muestreo de una señal. nal. Discretas. Son aquellas que est´ an definidas en ciertos intervalos de tiempo y su reprean

sentación on se realiza mediante una secuencia de números umeros enteros. Las se˜ nales discretas nales se obtienen a partir del muestreo de una señal nal continua (Figura 1.2(a) (Figura 1.2(a)), ), cuyos valores corresponden a la amplitud de la señal nal en un instante particular (Figura 1.2(b) 1.2(b)). ). De manera general, el teorema de muestreo define la relación on de la frecuencia m´ınima de muestreo con la frecuencia máxima axima de la se˜ nal, cuyo valor de tal manera que a partir nal, de las muestras sea posible reconstruir de manera completa la señal nal original. Esto es f s

≥ 2f

max max

(1.2)

con f s la frecuencia de muestreo y f max axima de la señal axima nal original. max , la frecuencia m´ Matemáticamente, aticamente, las se˜ nales discretas se representan de la forma x[n], siendo n el nales valor de la muestra. Para el caso de la Figura 1.2(b) 1.2(b) la la secuencia discreta x [n] está dada por: x[n] =

{−0.4, 0.85, 2.05, 1.3, 0.1, −0.7, −1.75, −3, −1.9, 0.6, 2.9, 3.8, 1.45}

Cuantificadas. Son aquellas se˜ nales discretizadas cuyos valores de amplitud han sido nales

limitados a un número umero finito de valores cuantificados. La cuantificación on inicia con la divisi´ on del eje de la amplitud en intervalos iguales. El valor medio de cada intervaon lo corresponde al nivel o paso de cuantificación on deseado, que finalmente es asignado como el valor aafica as próximo ose ximo a la muestra, resultado on. La representaci´ on m´ on gr´ asfica muestra en la Figura 1.3(b) Figura 1.3(b)..del proceso de discretización.

4

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

x(t )

x(t )

Nivel Cuantización

Nivel Cuantización

4

3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1

1 0.5

t

0

 0.5  1.5  2.5  3.5

4

3.5

3.5

0.5

t

0

 0.5  1  1.5 2  2.5 3  3.5 4

1 2 3 4

Valor Mestreado

        0        5        5        0        0        0        5        0        0        0        0        0        5         4         6        9        8         3        1        7        7        0         4        8   .         0   .         9   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .         0        0        2        1        0        0        1        3 1        0        2        3        1

Valor Cuantizado

        5        5         5        5        5        5        5         5        5        5        5   .         5   .         5   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .         0        0        2        1        0        0        1        2        1        0        2        3        0

   

   

Valor Mestreado

        0        5        5        0        0        0        5        0        0        0        0        0        5         6        9        8         4        8        0        3        1        7        7        0   .         9   .         4   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .         0        0        2        1        0        0 1        3 1        0        2        3        1

Valor Cuantizado

        5        5        5        5        5        5        5        5        5        5         5        5   .         5   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .         0        0        2        1        0        0        1        2        1        0        2        3        0

   

               

               

(a) Proceso de cuantificación on

   

               

               

(b) Se˜ nal cuantificada nal

Figura 1.3: Proceso de cuantificación on de una señal. nal. El n´ umero de valores de cuantificación umero on está directamente relacionado con la precisión on que se desea obtener de la señal nal a representar. En los sistemas electrónicos, onicos, generalmente los valores cuantificados se codifican en binario, es por esto que el número umero de niveles resultante está dado en potencia de dos. Matemáticamente aticamente se define por L = 2n , donde L es el n´ umero de niveles de cuantificación umero on y n el n´ umero de bits que se emplean para umero codificar la se˜ nal. Para el caso de la Figura 1.3 nal. 1.3,, L = 8 y por consiguiente n = 3. Digitales. Son aquellas se˜ nales que además nales as de estar definidas en intervalos de tiempo

discretos, sólo olo pueden tomar un número umero finito de estos valores. Para codificar en binario, es necesario que cada uno de los valores cuantificados, sean, en primera instancia, codificados en decimal para luego transformar cada uno de ellos en d´ıgitos binari binarios. os. En la Figura Figura 1.4 1.4,, se muestra todo el proceso; desde la discretización, on, pasandoo por la cuan pasand cuantificac tificaci´ i´ on, hasta la conversión on, on de la se˜ nal en una secuencia binaria. nal As´ı mismo, y de acuerd As´ acuerdoo a sus caracte caracterr´ısticas, las señales nales continuas y discretas se pueden clasificar en: Peri´ odicas y aperi´ odicas odicas. Una se˜ odicas. nal continua x(t) es periódica nal odica si hay un n´ umero umero

positivo T  tal que se cumpla la igualdad x(t) = x (t + T )

(1.3)

El n´ umero positivo más umero as peque˜ no T  se denomina periodo no denomina periodo,, mientras que su rec rec´´ıpro ıproco co es llamado llamado frecuencia fundamental   fundamental   y es igual a f   = 1/T . En forma general se puede x (t) = x(t + nT ), siendo n un n´ escribir umeroseentero umero que la indica oodica. on periódica odica de la se˜ nal x(t). Si la igualdad no se cumple, nal dice que señal nallaesrepetici´ no peri´ ondica.

Juan Pablo Tello Portillo

5

x(t ) Número Número Nivel Código Cuantización

7

3.5

6

2.5

5

1.5

4

0.5

3

 0.5

2

 1.5

1

 2.5

0

 3.5

4 3 2 1 0

t

1 2 3 4

Valor Mestreado

        0        5        5         0        0        0        5        0        0        0         0        0        5         6         9        8         4        8        0         3        1        7        7        0   .         4   .         9   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .         0        0        2         1        0        0 1        3 1        0         2        3        1

Valor Cuantizado

        5        5        5        5        5        5        5        5        5        5        5        5        5   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .         0        0        2        1        0        0        1        2        1        0        2        3        0

               

   

   

Número de Código Código Binario

               

        3 4 6 5 4 3 2 1 2

4 6 7 3

        1        0        0        1        0        1        0        1        0        0        0         1        1         1        0        1        0        0        1        1        0        1        0        1         1        1         0        1        1        1        1        0        0        0        0        1        1         1        0

0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1

0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1

Figura 1.4: Codificación on de una señal. nal. Para el caso de la suma de señales nales periódicas odicas x(t) = x (t1 ) + x(t2 ), con periodos T 1 y T 2 respectivamente. Es decir x1 (t) = x1 (t + T 1 ) = x 1 (t + mT 1 ) x2 (t) = x2 (t + T 2 ) = x 2 (t + nT 2 )

Si T 1 y T 2 son tales que mT 1 = nT 2 = T , entonces la señal nal x(t) es periódica, odica, y x(t + T ) = x 1 (t + T 1 ) + x2 (t + T 2 ) = x 1 (t) + x2 (t)

de ah ah´´ı que, q ue, la con condic dici´ ión on para determinar la periodicidad de la se˜ nal está dada por la renal T /T T /T lación on 1 2 . Ahora si la relaci´ on 1 2 es un número on umero racional, la señal nal x(t) es periódica odica y el periodo T   será el m´ınim ınimoo com com´ u un ´ n m´ ultiplo entre los periodos T 1 y T 2 . En caso de ultiplo que la relación on sea un número umero irracional, irracional, la se˜ nal toma el nombre de Cuasiperi´ nal odica . Un tipo de señales nales continuas periódicas odicas son las funciones exponenciales complejas jωtt de la forma e jω , donde ω es la frecuencia angular definida como ω =

2π T

(1.4)

con T  el periodo de la señal. nal. Usando la definición on de periodicidad se puede calcular el periodo de la señal nal exponencial compleja, haciendo

jωtt e jω = e jω (t+T )

6

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

jωT T la igualdad se cumple si e jω = 1. Para ω = 0, se tiene que ωT   = 2πm , siendo m un número umero entero positivo. De esta manera el periodo más as peque˜ no T   está dado por no



2π ω y por tanto la señal nal es periódica odica para cualquier valor de ω excepto para ω = 0. T   =

(1.5)

Además, as, usando la fórmula ormula de Euler, las funciones exponenciales complejas se pueden escribir en términos erminos de funciones sinusoidales sinusoidales,, tal como se muestra en la ecuación on (1.6 1.6)) jωtt e± jω = cos ωt sin ωt (1.6)

±

Otro tipo de señales nales periódicas odicas son las formas de onda sinusoidales dadas por la ecuación on (1.7 1.7)) x(t) = A cos θ(t) (1.7) donde A es la amplitud y θ(t) el angulo ańgulo que var var´´ıa en el e l tiempo ti empo.. El angulo ángulo a la vez está ωtt + φ, donde φ es el ángulo dado por θ (t) = ω angulo de fase y ω la frecuencia angular definida anteriormente como ω = 2π/T . Por ejemplo, la se˜ nal sinusoidal x(t) = sin t, tiene frecuencia angular ω = 1, de nal modo que su periodo T   = 2π . Para el caso del dominio del tiempo discreto, la periodicidad se define de manera análoga, aloga, es decir, una secuencia discreta x[n] es periódica odica con periodo N  si se cumple la igualdad x[n] = x [n + N ] (1.8) donde N  debe ser estrictamente un n´ umero entero. Si la ecuación umero on (1.8 1.8)) no se cumple, la se˜ nal es denominada aperiódica. nal odica. A diferencia de las señales nales continuas, una secuencia discreta x[n] compuesta por la suma de dos secuencias discretas periódicas, odicas, x1 [n] y x2 [n] con periodos N 1 y N 2 respectivamente, siempre es periódica, odica, y, el periodo N   es el resultado de calcular el m´ın ınim imoo co com mun u ´ n m´ ultiplo entre los periodos N 1 y N 2 . ultiplo nal continua dada por la suma de dos se˜ nales sinuso sinusoidales idales Ejemplo 1.2.1 Sea la se˜ x(t) = sin3t + cos cos 2t

Para determinar la periodicidad se plantean dos formas de soluci´ on. La primera consiste en usar la definici´ on de periodicidad donde   x(t) = x(t + T ) y la segunda, basada en el conocimiento de la periodicidad de las funciones sinusoidales tal como se expresa en la ecuaci´ on   (1.7 1.7)), donde el periodo se extrae a partir de su frecuencia angular ω. Para el primer caso: sin3t + cos cos 2t = sin(3t + 3T 1 ) + cos(2t + 2T 2 ) = sin3t cos3T 1 + cos cos 3t sin3T 1 + cos cos 2t cos2T 2

− sin2t sin2T

2

Juan Pablo Tello Portillo

7

La igualdad se cumple siempre y cuando co cuando coss 3T 1 = 1 y  cos cos 2T 2 = 1. Esto asegura que sin3T 1 = 0 y  sin2 sin2T 2 = 0. Los valores de   T 1 y   T 2 se calculan resolviendo las igualdades. cos3T 1 = 1

→ 3T = 2nπ. Para n = 1, 1

cos2T 2 = 1

T 1 =

2 π 3

2T 2 = 2mπ. Para m = 1, T 2 = π

→

Como se mencion´ o, la condici´ on para que exista periodicidad en una se˜ nal compuesta por la suma de dos o mas se˜ nales, consiste en que la relaci´ on de sus periodos sea un n´ umero racional. Esto es T 1 2 π 2 = = T 2 3π 3 Como se puede observar, el resultado es un n´ umero racional, y por tanto la se˜ nal x(t) es peri´ odica con periodo T   = mcm (T 1 , T 2 ) = 2π

Para el segundo caso: ω1 =

2π =3 T 1

ω2 =

→ T = 23 π 1

2π =2 T 2

→ T = π 2

Nuevamente, se encuentra la relaci´ on de los periodos para determinar la periodicidad o no de la se˜ nal. T 1 2 π 2 = = T 2 3π 3 La relaci´ on es un n´ umero racional, por lo tanto la se˜ nal  x x (t) es peri´ odica con periodo T   = mcm (T 1 , T 2 ) = 2π

nal continua conformada por dos se˜ nales b´ asicas sinusoidales Ejemplo 1.2.2 Sea la se˜ x(t) = sin sin 4t + cos cos 2πt

Al igual que en el ejemplo anterior, la soluci´ on puede determinarse de las dos maneras ya descritas; sin embar embargo, go, se usará la m´ as corta. Teniendo la frecuencia angular de cada una de las se˜ nales, se calculan los periodos   T 1 y   T 2 , para luego determinar la relaci´ on entre ellos. De este modo ω1 = 2π = 4 T 1

→ T = 12 π 1

8

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

ω2 =

2π = 2π T 2

→ T = 1 2

T 1 1 = π T 2 2

Como se puede observar, el resultado es un n´ umero irracional, quetanto significa que T  que relacione no es posible encontrar un periodo las dos se˜ nales ylopor la se˜ nal x(t) es cuasiperi´ odica.

Ejemplo 1.2.3 Sea la secuencia discreta dada por

x[n] = e j

3π 2

n

Para encontrar la periodicidad, se usa la definici´ on  x x [n] = x [n + N ], de esta manera se tiene π π π x[n + N ] = e j (n+N ) = e j n e j N 3

3

2

2

3

2

la igualdad se cumple siempre y cuando e j

3π 2

N

=1

Usando la f´ ormula de Euler e j

3π 2

N

= cos

   

3π 3π N + j sin N = 1 2 2

Para que la igualdad se cumpla cos

 

3π N = 1 2

por consiguiente 3π N   = 2πm 2 despejando N , se tiene 4 N   = m 3 Para el caso discreto, el valor de   m, adem´ as de ser un entero positivo, debe ser un N valor, que el periodo otro n´ umerocon entero. Para un4valor de   m = 3, N   = 4. n] es N   = As´´ı, As ı, latal secuencia discreta   x [sea peri´ odica periodo .

Juan Pablo Tello Portillo

9

Energ Ener g´ıa y po potenc tencia. ia. Se define la energ energ´´ıa como la capacidad de realizar un trabajo. traba jo.

En la teor teor´´ıa de señales, nales, se usa el concep concepto to de energ energ´´ıa norma normalizad lizadaa E   de una señal nal continua x (t), la cual está dada por T /2

∞

|x (t)|

E   =

2

|x(t)|

dt = l´ım

T →∞

−∞

2

dt

(1.9)

−T /2





Por otro lado, se define a la potencia, como la capacidad de producir o consumir energ´´ıa en un determinado interv energ intervalo alo de tiempo. De igual manera, en teor teor´´ıa de señales, nales, se usa el concepto de potencia promedio normalizada P  de una se˜ nal continua x(t), la nal cuall está dad cua dadaa po porr T /2

1 P   = l´ım T →∞ T

 |

 | T

1 x(t) 2 dt = l´ım T →∞ 2T

|

x(t) 2 dt

|

(1.10)

−T

−T /2

Para que una señal nal con contin tinua ua sea de energ energ´´ıa, la int integral egral en la ecuaci ecuación ón (1.9 1.9)) debe tener solución on finita, es decir 0 < E < . Cuando la señal nal es de energ energ´´ıa, la potencia

∞

P   = 0. De igual manera, para que una se˜ nal continua sea de potencia, la solución nal o n de la ecuación on (1.10 1.10)) debe ser finita, espec espec´´ıficamente 0 < P < . Cuando la señal nal es de poten po tencia, cia, la ene energ rg´´ıa E   = .

∞

∞

As´ı mismo, toda señal As´ nal periódica odica con periodo T   es una se˜ nal de potencia y tiene nal energ´ıa ıa finita en un intervalo dado d ado T . Para el caso del dominio del tiempo tiemp o discreto, las definiciones son análogas, alogas, de modo que, el contenido de energ´ıa ıa E  normalizada de x[n] esta dada por ∞

E   = n=−∞



|x[n]|

2

(1.11)

y la potencia promedio normalizada para x[n] está dada por N

|

1 P   = l´ım x[n] 2 N →∞ 2N   + 1 n=−N

|

(1.12)

Para que una secuencia discreta sea de energ´ıa, ıa, la sumatoria en la ecuación on (1.11 1.11)) debe converger, es decir 0 < E < . Cuando la secuencia discreta es de energ energ´´ıa, la potencia P   = 0.

∞

As´ı mismo, para que una secuencia discreta sea de potencia, la soluci´ As´ on de la ecuaon ción on (1.12 1.12)) debe ser finita; es decir 0 < P < . Cuando la secuencia discreta es de poten po tencia, cia, la ene energ rg´´ıa E   = .

∞

∞

Como en elenerg caso´ıadel tiempo continuo; odica, es de po N . secuencia discreta periódica, tencia y tiene energ´ finita en un intervalo interv alotoda

10

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

x(t ) 1

t 0

Figura 1.5: Se˜ nal expo nal exponencia nenciall simétrica. etrica. Ejemplo 1.2.4 Sea la se˜ nal   x(t) mostrada en la Figura   1.5  y y definida por:

x(t) = e

−a|t|

=



e−at , eat ,

t > 0 t < 0

donde   a es una constante positiva, Como se ver´ a en la siguiente secci´ on, la funci´ on   x(t) también en se puede expresar de la forma

x(t) = e at u( t) + e−at u(t)

−

Para determinar si la se˜ nal es de potencia o de energ energ´´ıa, se debe calcular la energ energ´´ıa total normalizada y/o la potencia promedio normalizada. En algunas ocasiones, y teniendo en cuenta las ca carracter acter´´ıstic ısticas as de la se˜ nal, intuitivamente se puede conocer su clasificaci´ on. Si es as as´´ı, ı, se ca calcula lcula unicamente ´ el valor de   E , si esta es una se˜ nal de ene nerg´ rg´ıa ıa o, P , si esta es una se˜ nal de potencia. Para el ejemplo, la energ energ´´ıa ıa normalizada y la potencia promedio normalizada est´ an dadas por T /2

1 T →∞ T

P   = l´ım

 |

T /2

1 T →∞ T

x(t) 2 dt = l´ım

|

−T /2

           − 2

e−a |t| dt

−T /2

1 T →∞ T

= l´ım

T /2

0

e2at dt +

e−2at dt

0

−T /2

T /2

2 = l´ım T →∞ T

2 e−2at −2at e dt = l´ım T →∞ T 2a

0 −2aT /2

1e = l´ım T →∞ T = 1 0 = 0

− ∞

a

−

− 1 =

l´ım

T →∞

1

−e

T /2

0

−aT

aT

Juan Pablo Tello Portillo

11

x(t ) 1

t

0

Figura 1.6: Se˜ nal escalón nal on unita unitario. rio. La potencia   P   es igual a cer cero, o, por tanto, se pro proce cede de a calcular la energ energ´´ıa

 | ∞

E   =

       ∞ −  − − ∞

x (t) 2 dt =

−∞

|

∞

e

−a|t| 2

dt =

−∞

−∞

0

∞

e2at dt +

=

−∞

∞

e−2at dt = 2

0

e

=2

e−2a|t| dt

−2at ∞

2a

0

=

e−2at dt

0

1 a [0

1 1] = a <

Como se puede observar la integral converge, es decir, x(t) tien tienee ene energ rg´´ıa ıa finit finita, a, por consiguiente   x(t) es una se˜ nall de en na energ´ erg´ıa. ıa . nal continua  x x (t) = u (t) mostrada en la Figura  1.6  (Esta 1.6  (Esta funEjemplo 1.2.5 Sea la se˜ ci´ on se estudia en la secci´ on  1.3.3 1.3.3 ). ). Se calcula la l a energ energ´´ıa ıa y la potencia para para determinar su clasificaci´ on. T /2

E   = l´ım

T →∞

 |

T /2

x(t) 2 dt = l´ım

|

−T /2

T →∞

 | |

1 2 dt

0

T = l´ım = T →∞ 2

∞

Dado que   x(t) no tiene energ energ´´ıa ıa finita, se pro proce cede de a calcular la potencia. T /2

1 T →∞ T

P   = l´ım

 |

T /2

1 T →∞ T

x(t) 2 dt = l´ım

|

 | |

1 2 dt

0

−T /2

1 T 1 = < T →∞ T 2 2

= l´ım

∞

x t) no es una se˜ A pesar nal peri´ odica, tiene potencia finita, y por tanto, se x(que t) es (una concluye co ncluye que de se˜ nal de potencia.

12

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

x (t )

x (t )

t

0

t

0

(a) Par

(b) Impar

Figura 1.7: Se˜ nales par e impar continuas. nales Ejemplo 1.2.6 Sea la secuencia sinusoidal discreta dada por

x[n] = cos

 π n 4

Para determinar la energ energ´´ıa ıa o potencia, se usan las ecuaciones   (1.11 y    (1.12 1.11)) y 1.12))

          

N

|

N

π 1 1 P   = l´ım x[n] 2 = l´ım n ccos os N →∞ 2N   + 1 N →∞ 2N   + 1 4 n=−N n=−N

|

2

N

π 1 1 n +1 = l´ım cos N →∞ 2N   + 1 2 2 n=−N

1 1 = l´ım 2 N →∞ 2N   + 1 = Dado que   0 < P <

N

N

π n + cos 1 2 n=−N n=−N

1 1 1 1 l´ım [1 + (2N  + + 1)] = (0 + 1) = 2 N →∞ 2N   + 1 2 2

∞, entonces   x[n] es una se˜ nal de potencia.

nal es par o simétrica, nal etrica, si se cumple la igualdad Pares e impares. Una se˜ x(t) = x ( t)

−

(1.13)

es decir, la se˜ nal original es igual a la refleja nal reflejada, da, y, es impar o asim asim´étrica, etrica, si se cumpl cumplee que x(t) = x( t) (1.14)

− −

es decir, la se˜ nal original es igual a la reflejada multiplicada por -1. En las figuras 1.7(a) nal figuras 1.7(a) y 1.7(b) se muestra un ejemplo de una señal nal par e impar respectivamente. Mientras que en la figuras 1.8(a) figuras 1.8(a)   y 1.8(b) 1.8(b) se se muestra un ejemplo de una secuencia par e impar, respectivamente.

Juan Pablo Tello Portillo

x[ n]

13 x[ n]

n

0

0

(a) Par

n

(b) Impar

Figura 1.8: Secuencias par e impar. Para el caso del tiemp tiempoo discreto, dis creto, las relacion r elaciones es de simetr simetr´´ıa y asimetr´ıa ıa se cumple de la misma forma. Es decir, si x[n] = x [ n] (1.15)

−

la secuen secuencia cia es par o simétrica etrica y, si x[n] =

−x[−n]

(1.16)

la secuencia es impar o asim´ etrica. En las figuras etrica. figuras 1.8(a) 1.8(a) y y 1.8(b) 1.8(b) se se muestra un ejemplo de una secuencia par e impar, respectivamente. Toda se˜ nal continua x(t) (o secuencia discreta x[n]), se puede especificar mediante nal su componente par x p (t) (x p [n]) y su componente impar x i (t) (xi [n]), as´ı x(t) = x p (t) + xi (t)

(1.17)

x[n] = x p [n] + xi [n]

(1.18)

y por p or tanto, es posibl p osiblee especificar cada componente en función on de la señal nal original. Para el caso continuo se tiene 1 x p (t) = ( x(t) + x( t)) 2

(1.19)

1 xi (t) = ( x(t) 2

− x(−t))

(1.20)

1 x p [n] = (x[n] + x[ n]) 2

(1.21)

xi [n] = 1 ( x[n] 2

(1.22)

−

y para el caso discreto

−

− x[−n])

14

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

sgn sg n (t )

sgn (t t 0 )

1

1



t

0

0

1

t 0

t

1





Figura 1.9: Función on signo.

1.3.. 1.3

Fun unci cion ones es de sin singu gula lari rida dad d

Son modelos matemáticos aticos ideal ideales es que no aparec aparecen en en sist sistemas emas f´ısic ısicos. os. Sin emb embargo, argo, son buenas apro aproxima ximaciones ciones a ciert ciertas as condi condiciones ciones restr restricti ictiv vas de los sist sistemas emas f´ısico ısicos, s, permitiendo ev evaluar aluar complicadas expresiones que, de otra manera ser ser´´ıan dif dif´´ıciles de resolver. Se inicia con aquellas funciones dadas en el dominio del tiempo continuo y posteriormente se muestran las que están an definidas en el dominio del tiempo discreto.

1.3. 1. 3.1. 1.

Fun unci ci´ on signo ´ on

Esta función on se caracteriza por cambiar de signo a partir de un valor especificado en el tiempo. Se define como sgn(t) =

−1, 0,

t < 0 t = 0

1,

t > 0

  − 

De manera similar, la función on signo desplazada en el tiempo sgn(t como sgn(t

−t )= 0

1, 0, 1,

t < t0 t = t 0 t > t0

(1.23)

− t ) se define 0

(1.24)

Un ejemplo claro donde se usa la función on signo, es en los esquemas de modulación on SS B , los cuales están an compuestos compuestos por p or filtros de corri corrimien miento to de fase, que no son más as que h(t) = 1/πt y respuesta en frecuencia H (ω) = sistemas sistemas TI   el TI con repuesta al explica impulsocon j sgn(t). LEn cap´ ıtulo 3, se ıtulo mayor may or detalle d etalle este tema.

−

Juan Pablo Tello Portillo   (t )

  (t

0



15

t 0 )

t

0

t

t 0

Figura 1.10: Función on delta.

1.3. 1. 3.2. 2.

Fun unci ci´ on impulso unitario ´ on

También en de deno nomin minad adaa delta de Dirac   o delta de Kronecker . Se define como una función on cuya duración on en el tiempo es muy corta, tendiendo a cero y su amplitud se acerca a infinito. Matemáticamente aticamente se representa como

 ∞

δ (t) =

,

t = 0 t=0

(1.25)

De manera similar, la función on delta desplazada en el tiempo δ (t

t0 ) se define como

δ (t



0,

−t )= 0

 ∞ 0,

,

−

t = t 0 t = t 0



(1.26)

La función on δ (t) puede ser construida acercando los costados de una función on rectangular de área area A = 1 (altura 1/a y ancho a ), pero manteniendo su área. area. Como se puede observar en la Figura 1.11 Figura 1.11,, existirá un momento en el que los costados se superpondrán, an, haciendo que la amplitud crezca tendiendo a infinito. De esta manera se obtiene una buena aproximación on de la función on rep represe resentada ntada.. As A s´ı que q ue ∞

δ (t)dt = 1

(1.27)

−∞



La función on delta exhibe las siguientes propiedades: – Si Sime metr´ tr´ıa: ıa:

−

(1.28)

1 δ (t) a

(1.29)

δ (t) = δ ( t)

– Escala de tiempo: δ (at) =

||

– Multi Multiplica plicaci´ ci´ on: on: x(t)δ (t

con x(t) continua en t0 .

t0 ) = x (t0 )δ (t

−

t0 )

−

(1.30)

16

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas   (t )

1 a

t a

Figura 1.11: Aproximación on a función on delta. – Select Selectivid ividad: ad:

 b

 b

x(t)δ (t

− t )dt = 0

a

x(t)δ (t0

− t)dt = x(t )

(1.31)

0

a

siendo a < t0 < b. Si x(t) = 1, la ecuación on (1.31 1.31)) queda expresada como

 b

δ (t

− t )dt = 1, 0

a < t0 < b

(1.32)

a

Usando las propiedades de simetr simetr´´ıa multiplicaci´ on y selectividad [1 on [1]; ecuaci ecuaciones ones (1.28 1.28), ), (1.30 1.30)) y (1.31 1.31), ), cualquier se˜ nal de tiempo continuo puede ser representada como nal ∞

x(t) =



x(τ )δ (t

−∞

− τ )dτ

(1.33)

de ah ah´´ı que las señales nales continuas, y como se menciona más as adela adelante nte,, las secue secuencias ncias discretas, se pueden representar como una combinación on lineal de impulsos retardados.

1.3. 1. 3.3. 3.

Fun unci ci´ on escal´ ´ on on unitario on

Se define como una función on que tiene el valor de 1 a partir de un instante del tiempo t0 . Matemáticamente aticamente se representa como: u(t) =



1, 0,

t > 0 t < 0

(1.34)

Juan Pablo Tello Portillo

17

u (t )

u (t t 0 )

1

1



t

0

t 0

0

t

Figura 1.12: Función on escalón on unitar unitario. io.

De manera similar, la función on escalón on desplazada en el tiempo u(t como 1, t > t0 u(t t0 ) = 0, t < t0



−

− t ) se define 0

(1.35)

Dado que cualquier se˜ nal continua o secuencia discreta, pueden ser representadas nal mediante funciones escalón; on; estas se usan muy frecuentemente en el análisis alisis de se˜ nales nales y su utilidad se muestra de manera clara en el cap´ıtulo ıtulo 2. Por otro lado, existe una relación on entre la función on escalón on unitario y la función on impulso unitario. Partiendo de la ecuación on (1.32 1.32)) y haciendo a = , b = t y x (t) = 1 se tiene

−∞

 t

−∞

 t

− t )dt = −

x(τ )δ (τ

0

− t )dt = −

δ (τ

−∞

0



1, 0,

t > t0 t < t0

ecuación on que corresponde a la definición on de la función on escalón on u(t

− t ), por tanto 0

t

δ (τ

− t )dt = u(t − t ) − 0

(1.36)

0

−∞

 

Diferenciando a ambos lados de la ecuación on (1.36 1.36)) se obtiene d dt

t

− t )dt = dtd u(t − t ) −

δ (τ

−∞

δ (t

0

0

− t ) = dtd u(t − t ) 0

0

(1.37)

Para el caso del dominio del tiempo discreto, más as que funciones de singularidad, se definen secuencias discretas utiles para la construcción on y representación on de otras se˜ nales. nales. Entre ellas están: an:que son útiles

18

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

  [ n ]

  [ n

k ]



1

1

n

0

n

0

k

Figura 1.13: Secuen Secuencia cia impul impulso so unitar unitario. io. u[n

u[ n]



k ]

1

1

n

0

n

k

0

Figura 1.14: Secuencia escalón on unitar unitario. io.

1.3.4. 1.3 .4.

Secuen Sec uencia cia imp impuls ulso o uni unitar tario io

La secuencia impulso unitario está definido como δ [n] =

y la secuencia impulso desplazada δ [n δ [n

1.3. 1. 3.5. 5.



1, 0,

n = 0 n=0



(1.38)

− k] como

− k] =



1, 0,

n = k n = k



(1.39)

Secu Se cuen enci cia a es esca cal´ l´ on unitario on

La secuencia escalón on unitario está definida como u[n] =

u[n



− k] =

1, 0,



1, 0,

≥

n 0 n < 0

≥

n k n 1, se produce una ganancia o amplificación o n de la se˜ nal, mientras que si A < 1 se produce una atenuación. nal, on. La notación on matemática atica

| |

| |

y t usada para describir la se˜ ncomo: nal al transformada y (t) = Ax(tes amplitud queda expresada ). ( ); por lo tanto, para el caso de la

Juan Pablo Tello Portillo

21

x(t ) 2 1



2

1



0 1 2

t

Figura 1.16: Se˜ nal a transformar. nal

1.4. 1. 4.2. 2.

Desp De spla laza zami mien ento to en en el tie tiempo mpo

Una se˜ nal x(t) es despl nal desplazada azada en el tiempo una cantidad t0 , si la variable independiente t va acompa˜ nada de una operación nada on suma o diferencia en esta misma cantidad. Matemátiaticamente es expresada como x(t t0 ), donde el signo significa un retardo, mientras que el signo + un adelanto. Es importante resaltar que tanto el retardo como el adelanto para una señal nal x(t), representan desplazamientos hacia la derecha e izquierda, respectivamente. En el momento en que la señal nal x(t) se refleja, es decir x( t), el desplazamient plazam ientoo se hace en direc direcci´ ci´ on cont on contraria raria al despl desplazami azamiento ento de la se˜ nal original sin nal

∓

−

−

reflejar. Es decir, para el retardo se realiza un desplazamiento hacia la izquierda y para el adelanto un desplazamiento hacia la derecha.

1.4. 1. 4.3. 3.

Esca Es cala lami mien ento to en el el tiem tiempo po

Una se˜ nal x (t) es escalada en el tiempo si la variable independiente t , se ve modificada nal por un factor a, es decir x(at). Si a > 1, la se˜ nal x(t) se comprime en ese factor. Si nal a < 1, la se˜ nal x(t) se expande en el mismo factor. En el proceso de escalamiento, nal todos los puntos del eje del tiempo donde está definida la función, on, cambian por nuevos valores, que son resultado de la multiplicación on de los mismos por el inverso del factor de escalamiento.

||

| |

nal   x(t) mostrada en la Figura  1.16 Figura  1.16 , la cual se transforma a Ejemplo 1.4.1 Sea la se˜ la se˜ nal   y (t) dada por y (t) = x

 − 3 t 2

2

Al utilizar operaciones de desplazamiento y escalamiento se muestra la forma en que se va modificado la se˜ nal original. Para esto se plantean dos métodos etodos diferentes. El método etodo 1, consiste en re realizar alizar primero la operaci´ on de desplazamiento y posteriormente la operaci´ on de escalamiento. Mientras que par paraa el método etodo 2, se re realiza aliza el pro proceso ceso inverso. Hay que tener en cuenta que en un proceso de desplazamiento y escalamiento, t los valores toma la variable nal   x(t), se modifican completamente y (t). tiempo de la se˜ en la se˜ nal que transformada

22

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

x(t 2) 

2 1

t 0 1 2 3 4

Figura 1.17: Desplazamiento. x  t  2 

1 2

 

x  t  2 

3 2

 

2

2

1

1

t 0 2

4

t

6 8

0

23

43 2 83

Figura 1.18: Escalamiento.

M´ et o do 1. eto

(a).. Desplaz (a) Desplazami amient ento: o: La se˜ nal se retarda en dos instantes, es decir, se desplaza 2 unidades hacia la derecha (Figura  1.17 1.17 ), ), para obtener x(t

− 2)

(b).. Escala (b) Escalamien miento: to: Par Paraa el eje ejemplo mplo,, el fac factor tor de esc escala alamien miento to se pue puede de hac hacer er paso a paso, es decir, primero escalar en un factor de   de   1/2 y luego en un factor de   de   3, como se observa en la Figura  1.18 1.18 , o simplemente escalar en un factor de   2/3 2/3,, generando el resultado definitivo. x

 − 3 t 2

2

M´ et o do 2. eto

(a). Escalamien Escalamiento: to: La La se˜ nal se escala de la misma mi sma manera que q ue en el método etodo 1, primero en un factor de   1/2 y luego en un factor de   de   3; o simplemente, se escala en un factor de   2/3 2/3 (Figura (Figura  1.19 1.19 ). ). 3 x t 2



Juan Pablo Tello Portillo

1  2 

23

3  2 

x  t 

x  t  2

2

1

1

t

4

2

0

t

4 3 2 3

2 4

23

0

43

Figura 1.19: Escalamiento.  3

4 

 



x   t    2 3 2 1

t 0 23

43 2 83

Figura 1.20: Desplazamiento. (b). Desplazamiento: Para este caso, caso, el factor de escalamiento e scalamiento ha afectado afectado directamendirectamente el desplazamiento de la funci´ on y por tanto se debe tener en cuenta a la hora de re realizar alizar este pro proce cedimiento. dimiento. A diferencia del método etodo 1, la se˜ nal es retardada en un valor de   de   4/3 y no 2 como se hizo en un principio. El valor   4/3 4/3,, resulta de extraer el factor com´ un en la operaci´ on que afecta directamente a la variable independiente   t, como se muestra en la ecuaci´ on   (1.46 1.46)) y el resultado se muestra en la Figura  1.20 1.20 . 3 3 4 x t 2 = x t (1.46) 2 2 3

 −    − 

Si la función o n o la se˜ nal transformada es reflejada, los desplazamientos se hacen nal es sentido opuesto a como se hace de manera tradicional; algo que ya se comentó inicialmente. Sin embargo, puede ser de utilidad comentar, que para resolver un tipo de transformación on en el que se hace un cambio de signo en la variable independiente, es recomendable seguir el método etodo tradicional (es decir, conservando el signo) y una vez terminadas todas las operaciones sobre la señal nal original, se refleja la se˜ nal en torno nal al eje de las ordenadas, de esta manera se completa toda la operación. on. Para entender mejor lo expuesto, se va a usa el ejemplo anterior con la diferencia de que la variable t tiene signo negativo. Ejemplo 1.4.2 Sea la se˜ nal   x(t) mostrada en la Figura  1.16 Figura  1.16 , la cual se transforma a

la se˜ nal   y (t) dada por y (t) = x

3t 2

− −  2

24

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

 3  2

 

x   t  2  2 1

 8 3  2 4 3 2 3

t 0

Figura 1.21: Señal nal transformada. Usando operaciones de desplazamiento y escalamiento se realiza la modificaci´ on de la se˜ nal original. Hay que notar que la variable   t tiene signo negativo y, como se coment´ o en el p´ arrafo anterior, es m´ as sencillo tomar la variable   t como positi ositiva va (e (ecuaci´ cuaci´ on (1.47 1.47))) y seguir la transformaci´ on usando cualqui cualquier eraa de los m´ etodo expuest etodo expuestos. os. Este proceso se desarroll´ o en el ejemplo anterior y en las figuras   1.18   1.18   (Método et odo 1) y y    1.20 (Método etodo 2) se muestra la soluci soluci´ on. ´ y (t) = x

 − 3 t 2

2

(1.47)

Finalmente, se refleja la ecuaci´ on    (1.47 on 1.47)) para obtener la transformaci´ on definitiva, tal como se muestra en la Figura  1.21. 1.21. Para el caso del dominio del tiempo discreto, las operaciones de escalamiento y desplazamiento se tratan de la misma forma que para el dominio continuo. Sin embargo, los resultados de la transformación on pueden diferir, presentándose andose secuencias más as cortas o más as largas que la original. Además, as, aparecen dos nuevos conceptos: diezmación on e interpolación on que se tratan a continuación. on.

1.4.4. 1.4 .4.

Despla Des plazam zamien iento to en en el tiem tiempo po discr discreto eto

Una secuencia discreta x[n] es desplazada en el tiempo discreto una cantidad n0 , si la variable independiente n va acompa˜ nada de una operación nada on suma o diferencia en esta misma cantidad. Matemáticamente aticamente se expresa como x(n n0 ), donde el signo , representa un retardo y el signo +, un adelanto.

∓

1.4. 1. 4.5. 5.

−

Esca Es cala lami mien ento to en el tiem tiempo po discr discret eto o

El proceso matemático atico de escalamiento en el tiempo discreto se realiza de manera similar al del tiempo continuo. Es decir, si se tiene una secuencia x[n] escalada en un factor M   (x[M N ]), ]), la correspondiente transformación on equivale a comprimir o expandir la en la esesecuencia mismo factor, con la diferencia de que, en laEstos compresi´ on se reduce on la secuencia longitud de y en la expansi´ on se incrementa. on dos procesos son

Juan Pablo Tello Portillo

25

denominados diezmación on e interpolación, on, respe respectivamente. ctivamente. Para la mayor´ mayor´ıa de d e los lo s casos ca sos prácticos, acticos, el valor de M  es igual a 2. Diezmaci´ on. Si una on. una secuenci secuenciaa x[n] es escalada en un factor M , con M > 1, signi-

fica que la señal nal continua x(t), ha sido comprimida en el factor M , y posteriormente ts . As muestreada con un tiempo de muestreo As´´ı mismo, se puede obtener x(lat),secuencia discreta resultante a partir de laigual señal nala continua en su versi´ on original on y muestreada a intervalos de M ts . Para el caso de M  = 2, significa reducir al doble la velocidad de muestreo [2 [2]. La secuencia resultante, contiene muestras alternas de x[n] correspondientes a: x[0], x [M ], x[2M ] . . ., x[kM ], siendo k un número umero entero. Interpolaci´ on. Si una on. una secuenc secuencia ia x[n] es escalada en un factor M , con M < 1; signi-

fica que la se˜ nal continua x(t), ha sido expandida en el factor 1/M , y posteriormente nal muestreada con un tiempo de muestreo igual a ts /M , además as tendrá 1/M   veces la longitud de x[n] con nuevas muestras entre muestras adyacentes de x[n]. Cuando se tiene conocimiento de la se˜ nal original x(t), los nuevos valores se pueden determinar nal de manera aproximada; de lo contrario, se puede utilizar la operación on de interpolación on propiamente dicha. La interpolación on puede ser cero (los nuevos valores son cero), escalón on (los nuevos valores son iguales al valor anterior) o lineal (los nuevos valores se calculan de forma lineal con base en el valor anterior y el siguiente). De manera similar, la secue secuencia ncia resul resultan tante te tam tambi´ bi´ en se puede obtene en obtener, r, expan expandiendo diendo la se˜ nal continua nal original en el factor M  y posteriormente muestreada con un tiempo de muestreo igual a t s . Esta ultima u ´ ltima es similar a la operación on de int interpolac erpolaci´ ión on linea lineal. l. La int interpolaci erpolación ón cero se ha denominado como muestreo ascendente y desempeña na un papel importante em los esquemas de interpolación on práctica. actica. Ejemplo 1.4.3 Sea la secuencia   x[n] dada por

{

}

x[n] = 1, 3, 4, 6, 8, 7, 9 ↑

Mediante operaciones de diezmaci´ on e interpolaci´ on, se encuentra las secuencias trasformadas   x[2n] y   x[n/2] 2].. Adicionalmente, para el caso de la operaci´ on de interpolaci´ on, se utiliza las diferentes versiones de interpolaci´ on ya definidas. Para el primer caso, la soluci´ on est´ a dada por:

{

}

x[2n] = 3, 6, 7 ↑

Para el segundo caso, la soluci´ on con interpolaci´ on cero, interpolaci´ on escal´ on e interpolaci´ on lineal est´ as dadas respectivamente por:

{

}

x[n/2] = 1, 0, 3, 0, 4, 0, 6, 0, 8, 0, 7, 0, 9, 0 ↑

26

x[n]

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

por 3 Interpolar

x[n / 3] 3]

Diezmar por 3

x[n]

Figura 1.22: Transformación on de secuencias discretas. x[n/2] = 1, 1, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 8, 8, 7, 7, 9, 9 ↑

{ {

} }

x[n/2] = 1, 2, 3, 7/2, 4, 5, 6, 7, 8, 15/2, 7, 8, 9, 9 ↑

Ejemplo 1.4.4 Sea la secuencia   x[n] dada por

x[n] = 1, 3, 4, 8, 5, 2, 6

{

}

↑

Usando las operaciones de diezmaci´ on e interpolaci´ on, se encuentra las secuencias trasformadas   x[3n] y   x[n/3] 3].. Adicionalmente, para el caso de la operaci´ on de interpolaci´ on, se utiliza las diferentes versiones de interpolaci´ on ya definidas. Para el primer caso, la soluci´ on est´ a dada por:

{

}

x[3n] = 1, 8, 6 ↑

Para el segundo caso, la soluci´ on con interpolaci´ on cero, interpolaci´ on escal´ on e interpolaci´ on lineal est´ as dadas respectivamente por: x[n/3] = 1, 0, 0, 3, 0, 0, 4, 0, 0, 8, 0, 0, 5, 0, 0, 2, 0, 0, 6, 0, 0

{

}

↑

x[n/3] = 1, 1, 1, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 5, 5, 5, 2, 2, 2, 6, 6, 6

{

}

↑

x[n/3] = 1, 5/3, 7/3, 3, 10/3, 11/3, 4, 16/3, 20/3, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 10/3, 14/3, 6, 6, 6

{

}

↑

Cuando las dos operaciones se efectúan uan de manera ma nera sucesiva (diezmaci´ (d iezmación on e interpo interpolalación), on), es conveniente iniciar con la operación on de interpolación on seguida de la diezmación, on, tal como se muestra en la Figura 1.22 Figura 1.22;; de lo contrario, no es posible recuperar la secuencia original. En la práctica, actica, tanto la interpolación on como la diezmación on se deben realizar teniendo en cuenta la preservación on del contenido de la información, on, esto impli implica ca ciert ciertas as restricciones dadas por la velocidad con la que fueron adquiridas las muestras. Ejemplo 1.4.5 Sea la secuencia   x[n] y el factor de escalamiento dados por

{

}

x[n] = 1, 3, 4, 8, 5, 2 , ↑

M   = 2

Se desea on hal (interpolaci´ hallar lar la salidaon despu´ es de es realizar re alizar las oper operaciones aciones sucesivas de diezmaci´ on e interpolaci´ cero) y posteriormente intercambiando su orden.

Juan Pablo Tello Portillo

27

Usando primero la operaci´ on de diezmaci´ on seguida de la operaci´ on de interpolaci´ on, se tiene x[n] = 1, 3, 4, 8, 5, 2

{

} → x[2n] = {3, 8, 2} → x[2n/2] = {3, 0, 8, 0, 2, 0}

↑

↑

↑

De igual manera, usando primero la operaci´ on de interpolaci´ on seguida de la operaci´ on de diezmaci´ on, se tiene x[n] = 1, 3, 4, 8, 5, 2

{

↑

} → x[n/2] = {1, 0, 3, 0, 4, 0, 8, 0, 5, 0, 2} → x[2n/2] = {1, 3, 4, 8, 5, 2} ↑

↑

Como se puede observar, cuando se usa primero la operación on de diezmación on y luego la operación on de interpolación, on, no es posible recuperar la se˜ nal original. Mientras que, nal cuando se usa primero la operación on de interpolación on y luego la operación on de diezmación, on, la se˜ nal se recupera completament nal completamente. e.

1.5 .5..

Sistem ema as

Un sistema es un modelo matem´ atico que define la relac atico relaci´ ión on funcional que existe entre la señal nal de entrada y la señal nal de salida. De acuerdo a las caracter´ caracter´ısticas que relacionan las señales nales de entrada y salida, los sistemas pueden considerarse como continuos o discretos. Esta relación on tanto para el dominio del tiempo continuo como para el dominio del tiempo discreto se representan matemáticamente aticamente como

{ } y [n] = Γ{x[n]} y (t) = Γ x(t)

(1.48)

(1.49)

donde el operador Γ . , indica la transformación on a la que se expone la señal nal o secue secuencia ncia de entrada una vez que pasa por el sistema.

{}

Los sistemas se representan de forma gráfica afica mediante un bloque que comúnmente unmente es denominado caja denominado caja negra , tal como se muestra en la Figura 1.23 1.23..

1.5. 1. 5.1. 1.

Clas Cl asifi ifica caci ci´ on de los sistemas ´ on

As´ı com As´ comoo las se se˜ n nales, ãles, los sistemas se pueden clasificar de acuerdo a las caracter´ caracter´ısticas que los definen. Lineales y no lineales. Un sistema es lineal si satisface el principio de superposici´ on; on;

es decir, para una se˜ nal de entrada conformada por la suma de varias señales nal nales independientes, salida dada por suma de lascon respuestas del mismo para cada una de ellas. la Dicho deestar´ otra amanera; se la debe cumplir dos condiciones.

28

x(t )

{ }

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas x1 (t )

y(t )



y1 (t ) 

{ }

 

xn (t )

 

ym (t )

(a) Sistema continuo x1[n] x[n]

{ }

y[n]

  

xn [n]

y1[n] 

{ }

 

ym [n]

(b) Sistema discreto

Figura 1.23: Sistemas con única unica entrada, unica u ´ nica salida y m´ ultiples entradas, múltiples ultiples ultiples salidas. 1. Aditividad: Aditivid ad: Si la entrada entra da es igual igua l a la suma de dos d os o más as señales nales reales o complejas, entonces la salida es igual a la transformación on de la suma, e igual a la suma de las transformaciones de cada una de ellas. Es decir Γ x1 (t) + x2 (t) = Γ x1 (t) + Γ x2 (t) = y 1 (t) + y2 (t)

(1.50)

{ } { } { } 2. Homogeneidad: Si la entrada es escalada por una constante real o compleja, compleja, entonces la salida corresponde a la transformada de la entrada escalada por la misma constante. Es decir Γ ax1 (t) = ay 1 (t) (1.51)

{

}

As´´ı mismo As m ismo,, un u n siste s istema ma es line lineal, al, s´ı, par paraa una u na señal nal de entrada sinusoidal de la forma x(t) = A 1 sin(ω0 t + ϕ1 )

siendo A 1 la amplitud, ω 0 la frecuencia angular y ϕ 1 el angulo ángulo de fase; la salida corresponde a otra se˜ nal sinusoidal cuyos valores de amplitud y ángulo nal angulo de fase se modifican, mientras que su frecuencia angular no. Matemáticamente aticamente es y (t) = A 2 sin(ω0 t + ϕ2 )

Un procedimiento matemático atico com´ unmente usado para determinar la linealidad de unmente un sistema, tanto en el dominio del tiempo continuo como en el dominio del tiempo discreto, se describe a continuación on Sean la se˜ nal de entrada continua y la secuencia de entrada discreta dadas por nal x(t) = a 1 x1 (t) + a2 x2 (t) + . . . + ak xk (t) x[n] = a 1 x1 [n] + a2 x2 [n] + . . . + ak xk [n]

donde los ak son coeficientes constantes. Por lo tanto, la señal nal de salida continua y (t) está dada por y (t) = Γ x(t) = Γ a1 x1 (t) + a2 x2 (t) + . . . + ak xk (t)

{ }

{

}

Juan Pablo Tello Portillo

29

a1x1 (t ) x3 (t )

y3 (t )    x3 (t )   a1x1 (t )  a2 x2 (t )

{ }

y3 (t )  a1  x1 (t )  a2  x2 (t )  y1 (t )  y2 (t )

a2 x2 (t ) y1 (t )    a 1 x1 (t )  a1  x1 (t ) a1x1 (t )

{ }

y2 (t )    a 2 x2 (t )  a2  x2 (t )

y1 (t )

y3 (t )  y1 (t )  y2 (t )   a1x1 (t )   a2 x2 (t ) y3 (t )  a1  x1 (t )  a2 x2 (t ) a2 x2 (t )

{ }

y2 (t )

Figura 1.24: Esquema general para comprobar si un sistema es lineal. mientras que la secuencia de salida discreta y [n] está dada por y [n] = Γ x[n] = Γ a1 x1 [n] + a2 x2 [n] + . . . + ak xk [n]

{ }

{

}

Para que el sistema continuo sea lineal, se debe cumplir que

{ }

{

}

y (t) = Γ x(t) = Γ a1 x1 (t) + a2 x2 (t) + . . . + ak xk (t) = a 1 Γ x1 (t) + a2 Γ x2 (t) + . . . + ak Γ xk (t)

{

}

{

}

{

}

Ecuación on que se puede expresar matemáticamente aticamente como y (t) = y 1 (t) + y2 (t) + . . . + yk (t)

Ahora bien, para que el sistema discreto sea lineal, se debe cumplir que

{ }

{

}

y [n] = Γ x[n] = Γ a1 x1 [n] + a2 x2 [n] + . . . + ak xk [n] = a1 Γ x1 [n] + a2 Γ x2 [n] + . . . + ak Γ xk [n]

{

}

{

}

{

}

De igual manera, se puede expresar matemáticamente aticamente como y [n] = y 1 [n] + y2 [n] + . . . + yk [n]

Un esquema general de la propiedad de linealidad se puede observar en la Figura 1.24.. El esquema también 1.24 en aplica para el dominio del tiempo tiemp o discreto. Ejemplo 1.5.1 Sea el sistema continuo dado por la relaci´ on entrada - salida

y (t) = x 2 (t

− 1)

Para suon linealidad, se se usaplatea el modelo mostrado en la Figura  1.24 Figura  1.24.. Por lo tato, en ladeterminar trasformaci´ de la suma lo siguiente.

30

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

x 3 (t) una combinaci´ Sea la se˜ nal  x on lineal de la suma de dos se˜ nales   x1 (t) y  x 2 (t) tal que x3 (t) = x1 (t) + x2 (t)

Ahora, para la se˜ nal entrada   x3 (t), la salida del sistema es y3 (t)

2 = x 3 (t

− 1)

Reemplazando el valor de   x3 (t) en térmi er mino noss de   x1 (t) y   x2 (t) se tiene

− −

y3 (t) = [x1 (t 1) + x2 (t = x 21 (t 1) + 2x1 (t

2

− 1)] − 1)x (t − 1) + x (t − 1) 2 2

2

(1.52)

En cuanto a la suma de las transformaciones se plantea lo siguiente. Para la entrada   x1 (t), la salida del sistema es y1 (t) = x 21 (t

− 1)

y para la entrada   x2 (t), la salida del sistema es y2 (t) = x 22 (t

− 1)

Sumando las salidas   y1 (t) y   y2 (t) se tiene y3 (t) = y 1 (t) + y2 (t) = x 21 (t

2 2

− 1) + x (t − 1)

(1.53)

Al comparar las respuestas dadas por la ecuaciones   ecuaciones   (1.52 1.52)) y y    (1.53 1.53)), se observa que difieren en su resultado, por lo tanto, el sistema es no lineal. on entrada - salida Ejemplo 1.5.2 Sea el sistema discreto dado por la relaci´ y [n] = n 3 x[n

− 1]

Para determinar su linealidad, se sigue el mismo procedimiento del ejemplo anterior. Por lo tanto, en la trasformaci´ on de la suma se platea lo siguiente. x 3 [n] una combinaci´ on lineal de la suma de dos secuencias discretas Sea la secuencia  x x1 [n] y   x2 [n], tal que x3 [n] = x 1 [n] + x2 [n]

Ahora, para la entrada   x3 [n], la salida del sistema es y3 [n] = n 3 x3 [n

− 1]

Juan Pablo Tello Portillo

31

Reemplazando el valor de   x3 [n] en térmi er minos nos de   x1 [n] y   x2 [n] se tiene y3 [n] = n 3 [x1 [n 1] + x2 [n 1]] = n 3 x1 [n 1] + n3 x2 [n 1]

− −

− −

(1.54)

En cuanto a la suma de las transformaciones se plantea lo siguiente. Para la entrada   x1 [n], la salida del sistema es y1 [n] = n 3 x1 [n 1]

−

y para la entrada   x2 [n], la salida del sistema es y2 [n] = n 3 x2 [n

− 1]

Sumando las salidas   y1 [n] y   y2 [n] se tiene y3 (t) = y 1 [n] + y2 [n] = n 3 x1 [n

3

− 1] + n x [n − 1] 2

(1.55)

Al comparar las respuestas de las ecuaciones   ecuaciones   (1.54 y    (1.55 1.54)) y 1.55)), se observa que son iguales, por lo tanto, el sistema es lineal. Varian ariantes tes e in inv varian ariantes tes en el tiem tiempo. po. Un sistema sistema es invarian invariante te en el tiempo, si

un corrimiento en el tiempo de la entrada provoca el mismo corrimiento en el tiempo en la salida. Para una señal nal de entrada continua x(t), la se˜ nal de salida y (t) se representa con nal una transformación on directa de la entrada

{ }

Γ x(t) = y (t) De igual manera, para una secuencia de entrada discreta x [n], la secuencia de salida y [n] se representa con una transformación on directa de la entrada Γ x[n] = y [n]

{ }

Ahora, si la se˜ nal de entrada presenta un corrimiento en el tiempo t0 , es decir nal x(t t0 ), éste este mismo corrimiento se ve reflejado en la señal nal de salida como

−

Γ x(t

{ − t )} = y (t − t ) 0

0

Para el caso discreto, si se presenta un corrimiento en la secuencia de entrada n0 , es decir x[n n0 ], éste este mismo corrimiento se ve reflejado en la señal nal de salida como

−

Γ x[n

{ − n ]} = y [n − n ] 0

0

A continuación on se describe un procedimiento matemático atico com´ unmente usado para unmente verificar la propiedad de invarianza en el tiempo. Cabe destacar, que aunque se describe unicamente u ńicamente para de sistemas tiempo continuo, el mismo procedimiento se usa para el caso de sistemas tiempode discreto.

32

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

1. Se crea una variable variable auxiliar auxiliar x 1 , que representa una señal nal de entrada x1 (t) resultado de un corrimiento en el tiempo t0 de la señal nal de entrada original x(t) x1 (t) = x (t

−t ) 0

Ahora, para la entrada x1 (t), el sistema genera la salida y1 (t) = Γ x1 (t)

{

}

reemplazando x1 (t) en términos erm inos de x(t) se tiene y1 (t) = Γ x1 (t) = Γ x(t

{

{ − t )} = y (t − t )

}

0

0

(1.56)

2. Se considera el corrimiento en el tiempo t0 directamente en la señal nal de entrada x(t) para obtener x(t t0 ), y, sin utilizar variables auxiliares, como en el caso anterior, se verifica la respuesta del sistema ante este corrimiento. De esta manera se tiene

−

{ − t )} = y (t − t )

Γ x(t

0

(1.57)

0

Ahora bien, para que el sistema sea invariante en el tiempo, los resultados de las ecuaciones (1.56 (1.56)) y (1.57 1.57)) deben ser los mismos, de lo contrario, el sistemas en variante en el tiempo. Ejemplo 1.5.3 Sea el sistema continuo dado por la relaci´ on entrada - salida

y (t) = t2 x(t

− 1)

Para determinar la invariabilidad del sistema en el tiempo se siguen los pasos mencionados. x 1 (t) = x (t En lalaprimera obtiene salida parte se considera una entrada  x y1 (t) = t 2 x1 (t 1)

−

− t ), y a partir de ella se 0

reemplazando x1 (t) en térmi er mino noss de   x(t), se tiene y1 (t) = t 2 x(t

− t − 1)

(1.58)

0

x (t t0 ) y se pasa direcEn la segunda parte, se toma la entrada original retardada  x tamente por el sistema. Por lo tanto la corr correspondiente espondiente salida está dada por

−

y (t

2

− t ) = (t − t ) x(t − t − 1) 0

0

0

(1.59)

Como se puede observar las ecuaciones   ecuaciones (1.58 1.58) y    (1.59 y 1.59)) difieren en su respuesta, hecho que confirma que elen sistema es variante en el) tiempo.

Juan Pablo Tello Portillo

33

Ejemplo 1.5.4 Sea el sistema discreto dado por la relaci´ on entrada - salida n+n0



y [n] =

x[k ]

k =n−n0

La invariabilidad del sistema se halla usando la mismo procedimiento, pero ahora en el dominio discreto. Primero se hace uso de una variable auxiliar   x1 , para representar la entrada retardada. De esta manera, x1 [n] = x[n n1 ] y por lo tanto la salida para esta entrada es

−

n+n0

y1 [n] =



x1 [k ]

k=n−n0

Posteriormente, se reemplaza   x1 [n] en térmi er minos nos de   x[n], para obtener la salida n+n0

y1 [n] =

x[k k=n−n0

−n ]

(1.60)

1



Lo segundo es ingresar la entrada retardada   x[n n1 ] directamente al sistema, sin tener que usar variables auxiliares, produciendo la salida

−

n−n1 +n0

y [n

−n ]= 1



n+n0

x[k ] =

k =n−n1 −n0



k =n−n0

x[k

−n ] 1

(1.61)

Como se puede observar en las ecuaciones   ecuaciones   (1.60 y    (1.61 1.60)) y 1.61)), los resultados son exactamente iguales, por lo tanto, el sistema discreto es invariante en el tiempo.

Ejemplo 1.5.5 Sea el sistema continuo dado por la relaci´ on entrada - salida

y (t) = x (2t

− 2)

(1.62)

Para determ Para determinar inar la variabi variabilidad lidad o no del sistem sistema, a, se sigue el pr prooce cedimient dimientoo que se ha venido llevando a cabo. Sin embargo, para este ejemplo en particular se usa una se˜ nal de entrada predefinida, tal como se muestra en la Figura  1.25 1.25 (a); (a); y de manera gr´ afica, se verifica el comportamiento del sistema ante la misma. En la figuras   1.26 (b) ( b) y   1.26 (c), (c), se muestra paso a paso la transformaci´ on que va teniendo la se˜ nal de entr entrada ada de acuerdo a las car caracter acter´´ısticas del sistema definido por la ecuaci´ on    (1.62 on 1.62)). se vaun a partir del hecho de el sistema en el tiempo. si seAhora, considera desplazamiento enque el tiempo en es la invariante se˜ nal de entrada con unAdem´ valor as, de

34 x (t )

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

x (t    2)

y (t )  x( 2t  2)

1

1

1

0

1



1

t

(a)

0

1

t

3

01 2

(b)

32

t

(c)

Figura 1.25: Transformación on de la señal nal al momento de pasar por el sistema. (a) Señal nal original, (b) Se˜ nal desplazada, (c) Señal nal nal de salida escalada y desplazada. x (t )

1

y (t 1)

1

1



1



x (t 1)

0 (a)

1

t



0

t

2

0

(b)

32

52

t

(c)

Figura 1.26: Respuesta de un sistema invariante en el tiempo. (a) Señal nal de entrada, (b) Señal nal de entrada desplazada una unidad de tiempo, (c) Señal nal de salida desplazada una unidad de tiempo. t0 = 1, tal como se muestra en la Figura   Figura   1.26 (b); (b); ese mismo desplazamiento se debe ver reflejado en la se˜ nal de salida, tal como se muestra en la Figura  1.26 Figura  1.26 (c). (c).

Para verificar lo expuesto, se emplean dos procedimientos que se desarrollan de forma paralela: El matem´ atico, ya analizado en los ejemplos anteriores, y el gráfico, afico, que se analiza a continuaci´ on. El procedimiento gr´ afico es util, ´ cuando la variable independiente de la ecuaci´ on que define al sistema ha sido escalada por un factor cualquiera. En algunos casos, ese factor puede generar confusiones al momento de reemplazar la variable auxiliar   xn en términos erminos de la variable original   x. La variable   xn , es aquella que se usa en el primer paso del procedimiento descrito en la definici´ on, para la demostraci´ on de los sistemas invariantes en el tiempo. Sea entonces la se˜ nal de entrada  x x 1 (t), que representa a la se˜ nal de entrada original retardada un instante de tiempo t0 = 1. Es decir x1 (t) = x(t

− 1)

cuya representaci´ on gr´ afica se muestra en la Figura   Figura   1.27 (a). (a). La repuesta del sistema ante esta entrada es y1 (t) = x 1 (2t 2)

−

Ense˜ lanal Figura 1.27 1.27 seuna se muestra procedimiento gr´ afico de (b) de la de entr entrada ada vez ésta eelsta pasa el siste sistema. ma. La completo Figura Figur a  1.27 1.27 (lab)transformaci´ correspondeon a

Juan Pablo Tello Portillo

x(t  3)

x1 (t )  x (t  1) 1

x1 (t  2)

35

1

2

0

t

y1 (t )  x1 (2t  2)

y1 (t )  x ( 2t  3) 1

2

0

(a )

4

t

0

(b )

1 2

t

(c )

Figura 1.27: Esquema general de un sistema lineal. x1 (t) retardada el instante de tiempo propio del sistema y la Figura  1.27 1.27 (c) (c) corresponde a la res respuesta puesta total del sistema en términos erminos de   x1 (t).

Adicionalmente, si se reemplaza   x(t) en   x1 (t) se tiene y1 (t) = x(2t

− 1 − 2) = x(2t − 3)

(1.63)

respuesta que corr corresponde esponde exactamente a la que oper operada ada en t´ erminos de la se˜ erminos nal   x1 (t). Esto se puede observar en las figuras  1.27 1.27 ( (b ) y  1.27 1.27 ( (c ). Como se puede notar en el desarrollo matem´ atico; el desplazamiento de la se˜ nal de entrada una vez se realiza el cambio de variable de   x1 (t) a   x(t), no se ve afectado por el factor de escalamiento. Hecho que se sustenta de manera gr´ afica en la Figura  1.27 1.27 . La segunda parte consiste en analizar el comportamiento del sistema ante la se˜ nal de entrada desplazada un instante de tiempo previamente elegido t0 = 1, sin tener que utilizar una variable auxiliar. Por lo tanto, para la entrada   x(t 1) 1),, la salida esta dada por y (t 1) = x (2(t 1) 2) = x (2t 2 2) = x(2t 4) (1.64)

−

−

− −

− −

−

En la Figura   1.28 (a) se muestra la se˜ nal de entrada, resultado de la operaci´ on de dos desplazamientos. Uno, el elegido para ilustrar el ejemplo ( t0 = 1), y el otro, que es propio del sistema ( tsistema = 2). Cabe destacar, que para este caso, el desplazamiento de la se˜ nal de entrada se ve afectado directamente en la salida por el factor de escalamiento propio del sistema. Por lo tanto, la salida tiene un desplazamiento de   t = 4 instantes de tiempo representada como x(t 4) 4) (Este (Este an´ alisis se hace con base en lo planteado en el método etodo 1 de la sec secci´ ci´ on - Transformaci´ on de Se˜ nales).

−

Finalmente, la respuesta total del sistema se puede observar en la Figura  1.28 1.28 (b). Si se tiene en cuenta el an´ alisis realizado para el sistema definido en la ecuaci´ on (1.62 1.62)), este se clasifica como variante en el tiempo, ya que los resultados de las operaciones dados en la parte uno y dos de los procedimientos matem´ atico (ecuaciones   (1.63 1.63)) y    (1.64 y 1.64))) como gr´ afico (figuras  1.27 1.27 (c) (c) y  1.28 1.28 (b)), (b)), difieren entre si.

Causal y no causal. Un sistema sistema es causal causal si su salida salida y (t) en un tiempo arbitrario

t = t0 , depende unicamente u ńicamente de la entrada x(t) para un instante t

≤ t . Es decir, la salida 0

36

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

x(t  4)

y(t 1)  x(2t  4)

1

1

0

3

t

5

0

( a)

32

52

t

(b )

Figura 1.28: Esquema general de un sistema lineal. Salida para t 0 para t



Entrada para t 0 para t 

x  t 0    1 x  t 0 

t 0  1 

t 0







Salida para t 0 para t



Entrada para t 0 para t 

x  t 0    1 x  t 0 

0 t 0  1 

t 0



 t



Figura 1.29: Esquema que representa la no causalidad de la relación on entrada - salida y (t) = x(t + 1). de un sistema causal en el tiempo presente depende de los valores presentes y/o pasados y no de sus valores futuros. Los sist sistemas emas causal causales es tam tambi´ bi´ en se denom en denominan inan   f´ f´ısic ıs icam amen ente te realizables    o no anticipativos . realizables on entrada salida Ejemplo 1.5.6 Sea el sistema continuo dado por la relaci´ y (t) = x(t + 1)

Para determinar la causalidad o no del sistema, se debe verificar la salida para cada valor de la entrada en todos los tiempos. En el caso de los valores positivos t0 +, se puede notar que la salida   y (t) para un instante de tiempo t0+ es  y y (t0+ ) = x(t0+ + 1) 1),, es t 0− , decir, est´ a delante de la entrada por un valor de  1. 1 . Para el caso de valores negativos  t también en se puede notar que la salida   y (t) en ese instante   t0− , es   y (t0− ) = x(t0− + 1) 1),, es decir, delante de la entrada por un valor de   1.

Si se representa en un plano los valores que relacionan la entrada y la salida del sistema descrito, siendo el tiempo t el eje de las abscisas, se puede observar mejor su comportamiento comp ortamiento (Figura  1.29 1.29 ), ), y por tanto se dice que el sistema es no causal. Ejemplo 1.5.7 Sea el sistema continuo que relaciona la se˜ nal de entrada con la se˜ nal

de salida como y (t) = x (sin t)

Dado la relaci´ onintervalos entrada-salida involucra una funci´ ontodas sinusoidal, se analizan t en valores delque tiempo angulares que generalizan las posibilidades enlos el

Juan Pablo Tello Portillo

3   2



2

Comportamiento no causal

x6



 

37

0 2

y6

x1

x2

y1

   2 1 0 x4

x3

y2 1

t

2





3   2

y3

y4

x5

2

y5

3   2    2

Figura 1.30: Esquema que representa la no causalidad de la relación on entrada - salida y (t) = x(sin t).

circulo unitario. Para una mejor interpretaci´ on, estos valores se dan en radianes ( 0 a 2π y de   2π a   0), y se trasladan a un plano cartesiano para convertirlos y aproximarlos a valores enteros. Esto es t = 0 t = π /2 t = π π,, t = 3π /2 t = 2π t = π /2

→ y(0) = x(sin(0)) = x(0), · · · [x → y ] → y(π/2) = x(sin(π/2)) = x(1), · · · [x → y ] → y(π) = x(sin(π)) = x(0), · · · [x → y ] → y(3π/2) = x(s(sinin (3π/2)) = x(−1), · · · [x → y ] → y(2π) = x(sin(2π)) = x(0), · · · [x → y ] − → y(−π/2) = x(sin(−π/2)) = x(−1), · · · [x → y ] 1

1

2

3

2

3

4

5

4

5

6

6

En los primeros cinco valores del tiempo, la salida est´ a ubicada ub icada desp despu´ ués es de d e la ent entrada; rada; sin embargo para el caso de   t = π /2 /2,, la salida se encuentra antes de la entrada. Comportamiento que presentan los sistemas no causales.

−

En la Figura   Figura   1.30   1.30   se muestra de manera m´ as clara este suceso. Como se puede observar, para un primer valor del tiempo tn , la entrada se ve representada como xn , y la salida como yn . De esta manera, para las entradas   x1 , x2 , x3 , x4 , y   x5 en ciertos instantes del tiempo t1 , t2 , t3 , t4 , y   t5 , sus salidas   y1 , y2 , y3 , y4 , y   y5 muestran un comportamiento causal, mientras que para la entrada   x6 en el instate   t6 , la salida   y6 muestra un comportamiento no causal. Por lo tanto, el sistema clasificado como no causal.

Estables Estab les e ines inestable tables. s. Un sistema sistema es estable estable si par paraa una entrad entradaa lim limita itada da en am-

plitud, la salida sa lida del mismo también en estará limitada en amplitud. estab estabilidad de[sistemas s3istemas f´ısicos ısicos por p or lo general gene ral resulta resul ta de la presencia pre sencia de d e mecanismos mecanis mos queLa disipan disi pan ilidad energ ene rg´´ıa ].

38

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

Ejemplo 1.5.8 Sea el sistema discreto dado por la relaci´ on entrada - salida n+n0

y [n] =



x[k ]

k =n−n0

Para determinar la estabilidad nolimita del sistema se supone entrada limitada en amplitud. Sea entonces B , el valor oque a la entrada, tal una como

|x[n]| ≤ B La salida para la entrada especificada es n+n0

y [ n] =

|

k =n−n0

n+n0

x[n] =

|

||

B = B [(n + n0 )

k=n−n0

− (n − n ) + 1] = B (2n + 1) 0

0

Como se puede observar, el sistema es estable, ya que la salida depende ´ unicamente del m´ aximo valor de la entrada   B y de la constante   n0 . Con base en este resultado, se puede especificar un valor m´ aximo a la salida; por ejemplo: P , que se pueda calcular de la misma manera al mostrado en la expresi´ on matem´ atica anterior. Es decir y [ n] P

| |≤

por tanto n+n0

y [ n] =



k=n−n0

B

≤ P

n+n0

B = B [(n + n0 )

= k=n−n0



= B (2n0 + 1)

− (n − n ) + 1] ≤ P 0

≤ P

Esta expresi´ on, define al sistema en un rango de amplitud determinado, y que depende de los valores asumidos de la entrada   x[n] y de la constante   n0 . Con Co n y si sin n me memo mori ria. a. Un sistema sistema causal causal no tie tiene ne memoria, memoria, o es est´ atico, si para atico,

cualquier tiempo t0 , la salida depende sólo olo del valor de la entrada en ese mismo instante de tiempo t0 . Mientras que un sistema causal tiene memoria cuando la salida depende de los valores pasados y presentes de la entrada. En los circuitos eléctricos, ectricos, los elementos básicos asicos como el resistor, el inductor y el condensador una[4 esp ec´´ıficapor espec de ejemplo, sistemas que clasificarse sistema con yrepresentan sin memoria [4clase ]. El resistor, es unpueden elemento que no como tiene

Juan Pablo Tello Portillo

x(t )

{ }

y(t )  {x(t )}

y (t )

39 { }

z (t )  { y (t )}  x(t )

Figura 1.31: Representación on general de un sistema invertible y su proceso inverso. memoria, puesto que la corriente i (t) que fluye por él el en respuesta a un voltaje volta je aplicado ap licado v (t) es

v (t) R donde R es la resistencia. Como se puede observar, la corriente i(t), depende siempre de los valores presentes del voltaje de entrada v (t). i(t) =

Por otro lado, el inductor es un elemento que tiene memoria, debido a que la corriente que circula por él el se relaciona con el voltaje volta je aplicado ap licado v (t) de la forma

 t

i(t) =

1 L

v (t)dτ

−∞

donde L es la inducta inductancia. ncia. También en se puede observar que qu e la corriente i(t) en el instante de tiempo t depende de los valores presentes y pasados del voltaje v (t). Matemáticaaticamente, se dice que se extiende desde valores infinitos del tiempo pasado [4 [ 4]. Para el caso del capacitor, también en se clasifica como un sistema con memoria ya que el voltaje almacenado v (t) en él el al paso de una corriente de entrada i(t) está dado por

 t

1 v (t) = C

i(t)dτ

−∞

donde C   es la capacitancia. De esta manera el voltaje v (t) depende de los valores presentes y pasados de la corriente de entrada i (t) [3]. sistema es in inve verti rtible ble cuando cuando dada la salida salida se es Inver In vertibl tible e y no in inve vertibl rtible. e. Un sistema capaz de generar la entrada que la origina. El esquema de la Figura 1.31 1.31 muestra muestra de manera gráfica afica el procedim procedimien iento to a segui seguirr para encontrar encontrar un sist sistema ema inverso, inverso, donde y (t) es la respuesta del sistema inicial y z (t) la respuesta del sistema inverso (si lo hay). Un ejemplo, es el sistema dado por: y (t) = 2x(t)

cuyo sistema inverso es

1 z (t) = y (t) 2 Por otro lado, un sistema no inv invertible ertible produce pro duce pérdida erdida de información, on, por ejemplo, el sistema dado por

y (t) = x 2 (t)

40

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

como se puede observar, la salida está dada para por lo menos dos posibles entradas, una positiva y otra negativa; por tanto, no es posible determinar cual de ellas corresponde a la entrada del sistema [3 [3]. on entrada - salida Ejemplo 1.5.9 Sea el sistema continuo dado por la relaci´ t

y (t) =



e−(t−τ ) x(τ )dτ

(1.65)

−∞

Para verificar si el sistema es invertible o no, se debe partir en muchas de las ocasiones de manera intuitiva. Es decir, como el sistema est´ a representado mediante una integral (Ecuaci´ on   (1.65 1.65))); se asume que el sistema inverso contiene una derivada. As´´ı que, expresando la salida   y (t) como la multiplicaci´ As on de dos funciones tal como t

y (t) = e −t

eτ x(τ )dτ

−∞

    −

entonces la derivada del producto es dy (t) d = dt dt

  t

−t

e

−∞

t

d(e−t ) e x(τ )dτ = dt τ

eτ x(τ )dτ   + e−t

d dt

−∞ t

e−t

=

  t

−∞



eτ x(τ )dτ

eτ x(τ )dτ   + e−t et x(t)

−∞

t

=

e−(t−τ ) x(τ )dτ   + x(t)

− −∞

=



−y(t) + x(t)

Como se pue puede de observ observar, ar, el resultad esultadoo que queda da expr expresado esado en t´ erminos de la entr erminos entrada ada x(t) y la salida   y (t). De esta manera, el sistema inverso se obtiene despejando x(t) de la ultima ´ ecuaci´ on, para obtener x(t) =

dy (t) + y (t) dt

Por lo tanto el sistema es invertible y su sistema inverso es z (t) = dy (t) + y (t) dt

Juan Pablo Tello Portillo

41

Ejemplo 1.5.10 Sea el sistema discreto dado por la relaci´ on entrada - salida

 n

y [ n] =

1 2

k=−∞

n−k

x[k ]

(1.66)

Como se puede observar, hay que expresar   y [n], tal que la secuencia discreta de entrada   x[n] pueda salir de la sumatoria. En este sentido, se expande y se expresa la salida   y [n] como

 n

y [n] =

k =−∞

1 2

  n−1

n−k

x[k ] =

k =−∞

1 2

n −k

x[k ] +

 1 2

n−n

x[n]

Al tenerse despejada la secuencia de entrada   x[n], se busca la posibilidad de encontrar un sistema inverso z [n] que quede q uede expresado ex presado en e n términos ermino s de la salida s alida  y [n], tal como se muestra en la Figura  1.31. 1.31. Si   y [n] es la salida del sistema dado por la ecuaci´ on    (1.66 on 1.66)), entonces   y [n estar dado por

  n−1

y [n

− 1] =

k =−∞

1 2

 n−1

n−1−k

x[k ] = 2

k=−∞

1 2

1]   va a 1]

−

n−k

x[k ]

Despejando la sumatoria se tiene

 n−1

k=−∞

1 2

n −k

x[k ] =

y [n

− 1]

2

Si se observa la expansi´ on de   y [n] y la forma como queda expresada   y [n nueva representaci´ on matem´ atica de   y [n] es 1 y [ n] = y [ n 2

− 1]1],, la

− 1] + x[n]

Finalmente, la secuencia de entrada se halla despejando la expresi´ on anterior, quedando como 1 x[n] = y [n] y [n 1] 2

−

−

Por lo tanto, el sistema discreto es invertible y su sistema inverso est´ a dado por z [n] = y [n]

− 12 y[n − 1]

42

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

Ejercicios 1. Para cada uno de las señales nales continuas y discretas especificadas a continuación, on, determinar si son o no periódicas. odicas. Si la se˜ nal es periódica, nal odica, hallar su periodo. Adicionalmente, verificar si corresponden a una señal nal de energ energ´´ıa, de potencia o ninguna de las anteriores. (a). x(t) = e j (2t+π/2) . (b). x(t) = cos2 (2t). (c). x[n] = e jnπ /2 . (d). x[n] = e j (2n/5+π/3) . 2. Para cada uno de los sistemas continuos y discretos que relacionan la entrada salida. Determinar si: Son o no lineales, son o no variantes en el tiempo, tienen o no memoria y son o no estables. (a). y (t) = x (1

− t).

(b). y (t) = x (t)u(t). (c). y (t) = [cos(2t)] x(t). (d). y [n] = cos(x[n]). (e). y [n] = nx [n]. 3. Para cada uno de los sistemas que relacionan la entrada - salida. Determinar si son o no invertibles. Hallar el sistema inverso en caso de que lo sean. (a). y [n] =

(b). y [n] = (c). y [n] =

 

x[n 1], n  1 0, n = 0 . x[n], n 1

−

−

x [n/5] , n par . n impar 0, x[n 2], n  1 x[n], n < 1

(d). y [n] = x [2n (e). y (t) = dxdt(t ) .

−

− 1].

(f). y (t) = cos(x(t))

Cap´ıtulo 2

Respuesta de sistemas lineales e invariantes en el tiempo

2.1. 2. 1.

Intr In trod odu ucc cci´ i´ on on

La mayor mayor´´ıa de los pro procesos cesos f´ısicos pueden ser represe representados ntados matemáticamente aticamente mediante ecuaciones diferenciales d iferenciales lineales, y por tanto, también en pueden modelarse como Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo (LIT ( LIT ). ). La importancia de esto radica, en que, con el conocimiento de la respuesta del sistema ante una entrada impulso unitario, es posible encontrar su salida para cualquier señal nal de entrada, utilizando la superposición on de las respuestas a estas se˜ nales de entrada básicas nales asicas [1 [1], [3]. En este cap cap´´ıtulo se presenta la descripción on matemática atica en el dominio del tiempo, sobre la interacción on de las señales nales y los sistemas sistemas LIT . Se inicia con la representación on general de una señal nal arbitraria en el dominio del tiempo continuo. Luego se estudia el comportamiento del sistema una vez la se˜ nal pasa a trav´ nal t ravés es de él. el. Usa Usando ndo las pro propied piedade adess de linealidad e invarianza en el tiempo se llega a un modelo matemático atico que relaciona la señal nal de entrada con la señal nal de salida. Finalmente, el modelo termina en la operación on conocida como la integral de convolución. on. De igual manera, este mismo procedimiento se desarrolla para secuencias de entrada y sistemas en el dominio del tiempo discreto. Se presenta cada uno de los pasos para realizar la operación on de convolución on junto con diferentes ejemplos que ilustran de forma matemática atica y gráfica afica todo el proceso que se lleva a cabo en esta operación. on.

2.2. 2. 2.

Sist Si stem emas as LI LIT T con conti tin nuo uoss

Como se mencion mencion´ó en el cap cap´´ıtulo 1., la señal nal salida y (t) de un sistema cualquiera, es el resultado resul tado del proceso de trans transforma formaci´ ci´ on que este realiza sobre la señal on nal de entrada x (t), representado matemáticamente aticamente como y (t) = Γ x(t) . Además, as, este proceso de transfor-

{ }

maci´ on implica on una operaci´ onelm´ on as allá del as del sistema, conocimiento del sistema. Lasuna propiedades de linealidad e invarianza en tiempo permiten encontrar expresión on 43

44

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

x(t )





0

 2

t

k 



Figura 2.1: Representación on mediante funciones pulso de una señal nal arbitraria matemática atica util u ´ til para su análisis. alisis. Para esto, se parte de la representación on matemática atica de una se˜ nal de entrada arbitraria, de tal manera que la salida sea el resultado de la nal interacci´ on existente entre ella y la respuesta en el tiempo propio del sistema. En eson te sentido, se presenta a continuación on una breve descripción on matemática atica del paso de señales nales a trav trav´és es de sistemas lineales inv invariantes ariantes en el tiempo. Sea x(t) una se˜ nal arbitraria (Figura nal (Figura 2.1 2.1), ), al cual es discretizada con intervalos de muestreo iguales a ∆. Los valores x(k ∆) corresponden a las amplitudes o pesos de la se˜ nvue al en se puedeon observar, a medida el instante de tiempo ∆ senal vuelve lvecada más as muestra. peque pe que˜ n no, õ,Como la aproximaci´ on a la se˜ nal nal originalque se hace más as notoria. Ahora, si se define una función on δ ∆ (t) como δ ∆ (t) =



1 , ∆

0 < t < ∆ 0, otro caso

cuya area a´rea es igual a 1 en el intervalo donde está definida; se puede reconstruir matemátiaticamente una buena aproximación on xˆ(t) de la señal nal original x(t), realizando la suma de cada uno de pulsos de altura 1/∆ y ancho ∆, por el peso en el instante correspondiente x(k ∆) . As´ı ∞

x ˆ(t) = k=−∞ x(k ∆)δ ∆ (t



− k∆)∆

(2.1)

Sin embargo, se requiere la señal nal original x (t) y no una aproximación on xˆ(t). Para lograrlo, se debe reducir el intervalo de muestreo al punto en que una muestra se confunda con la siguiente. Matemáticamen aticamente te se tiene ∞

x(t) = l´ım xˆ(t) = l´ım ∆→0

∆→0



x(k ∆)δ ∆ (t

k=−∞

− k∆)∆

(2.2)

de esta manera, la aproximación on se vuelve una se˜ nal continua que representa matemátinal aticamente a cualquier señal nal arbitraria x(t), como se muestra en la ecuación on (2.3 2.3)) ∞

x(t) =



−∞

x(τ )δ (t

− τ )dτ

(2.3)

Juan Pablo Tello Portillo

x(t )

45 y (t )

{ }

Figura 2.2: Sistema continuo.

2.3.. 2.3

Resp Re spue uest sta a al impu impulso lso en en el domin dominio io con contin tinuo uo

La respuesta al impulso de un sistema LIT continuo (Figura 2.2 2.2), ), se define como la respuesta del sistema ante una entrada impulso unitario x(t) = δ (t), y se representa como h(t). As´ı y (t) = Γ δ (t) = h (t) (2.4)

{ }

Ahora para una entrada arbitraria x(t), y usando la representación on matemática atica dada en la ecuación on (2.3 2.3), ), se tiene ∞

y (t) = Γ x(t) = Γ

{ }

 

x(τ )δ (t

−∞



− τ )dτ

(2.5)

Dado que el sistema el lineal, el operador Γ actúa ua unicamente u ´ nicamente sobre la función on δ (t τ ), y la ecuación on (2.5 2.5)) se puede expresar como

−

 ∞

y (t) =

x(τ )Γ δ (t

{ − τ )} dτ

−∞

as´´ı mismo, el sistema es inv as invariante ariante en el tiempo, por tanto Γ δ (t

{ − τ )} = h(t − τ )

de esta manera la salida y (t) queda

 ∞

y (t) =

x(τ )h(t

−∞

− τ )dτ

(2.6)

operación on conocida como la integral la integral de convoluci´ on , cuya notación on matemática atica se muestra en la ecuación on (2.7 2.7). ).

 ∞

∗

y (t) = x (t) h(t) =

−∞

x(τ )h(t

− τ )dτ

(2.7)

donde don de el s´ımbo ımbolo lo , indica la convolución on entre la se˜ nal de entrada x(t) y la respuesnal

∗

t). Adicionalmente, la ecuación ta al impulso h(caracterizado 2.6)) indica 2.6 h(t)que completamente por su respuestaonal (impulso [1].un sistema LIT está

46

2.3. 2. 3.1. 1.

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

Procedi Proce dimi mien ento to para para realiz realizar ar el c´ alculo de con alculo convo voluci´ luci´ on on continua

El proceso matemático atico para realizar la convolución on se resume en cuatro pasos: 1. Se cambia la variable tiempo t por la nueva variable τ . Es decir x(t) h(t) h(τ ).

→

−

x(τ ) y

→

−

2. Se refleja h (τ ) (o x(τ )) en torno a τ  = = 0, para obtener h( τ ) (o x ( τ )).

−

−

3. Se genera un un corrimien corrimiento to t sobre la se˜ nal reflejada y se obtiene h (t τ ) (o x(t τ )). nal 4. Finalment Finalmente, e, se mul multipli tiplican can las funci funciones ones involucr involucradas adas en el proceso y se integra integra desde τ   = a τ   = , ob obte teni´ niéndo endose se

−∞

∞

 ∞

y (t) =

 ∞

x(τ )h(t

−∞

− τ )dτ

y (t) =

h(τ )x(t

−∞

− τ )dτ

Como se puede observar, la operación on de convolución on es conmutativa, es decir y (t) = x (t) h(t) = h (t) x(t)

∗

∗

Ejemplo 2.3.1 Sea el sistema con respuesta al impulso h(t) y se˜ nal de entrada   x(t)

dadas por h(t) = e −at u(t) x(t) = e −bt u(t)

La se˜ nal de salida   y (t) se puede hallar realizando la operaci´ on de convoluci´ on ∞

y (t) = x (t) h(t) =

∗



−∞

x(τ )h(t

− τ )dτ

x (t) como la funci´ h (t) como la funci´ Tomando a  x on fija, y a  h on que se va a desplazar, se tiene x(τ ) = e −bτ u(τ ) h(t

− τ ) = e

−a(t−τ )

u(t

− τ )

De esta manera, la salida   y (t) queda expresada como ∞

e−bτ u(τ )e−a(t−τ ) u(t

y (t) = −∞



− τ )dτ

Juan Pablo Tello Portillo

47

x(   )

h(t    )

1

1





0

t

0 (a)

(b )

Figura 2.3: Funciones exponenciales a convolucionar.

x(   )

h(t    ) 1

1 

2

1



3

1 2 3 4

0

2

 1

0

(a )

t

2 3

(b )

x( ) h(t    ) 1

x( ) h(t    ) 1



3

2



1 2 3

1 t 0

2

(c )

1

0

1 t   2 3 4 ( d )

Figura 2.4: Interpretación on gráfica afica de la convolución. on.

Como se puede observar en la Figura   Figura   2.3 , la funci´ on   x(τ ) inicia en cero (0) y se extiende hasta infinito ( ), mientras que  h h (t τ ) inicia en  t t y se extiende hasta menos

∞

−

infinito ( on es ). v´ Esta descripci´ onefecto, se hacesecon el fin de plantear los intervalos en loselque la convoluci´ alida. Para tal toma como valor o punto de referencia, o los valores de la funci´ on fija diferentes a y sobre este o estos se definen los intervalos de integraci´ on. Para el ejemplo, la funci´ on  x x (τ ) tiene como punto de referencia el valor x (t τ ) se desplaza de izquierda cero (0). Sobre este valor, el punto τ   = t de la funci´ on  x a derecha o de derecha a izquierda, y, desde su ubicaci´ on, se definen los intervalos de la integral de convoluci´ on. En la Figura   2.4 se muestra la interpretaci´ on gr´ afica del proceso de convoluci´ on, pero unicamente ´ usando las funciones escal´ on, dado que estas son las que en ultimas ´ determinan los interv determinan intervalos alos donde la multip multiplic licaci´ aci´ on es diferente de cero y, por tanto, donde hay convoluci´ on. Matem´ aticamente se tiene.

−∞ −∞

±∞ ±∞

−

Para   t < 0 (Figura   2.4 2.4(c)), (c)), y (t) = 0

48

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

0,5 0,4      ) 0,3      t      (     y

0,2 0,1 0

0

2

4

6

8

10 10

Tiempo

Figura 2.5: Resultado de la convolución on de las funciones exponenciales. Para   t

≥ 0 (Figura   2.4 2.4(d)), (d)),

 t

y (t) =

 t

e−bτ e−a(t−τ ) dτ   = e −at

0

e−(b−a)τ dτ

0

e−(b−a)τ = e (b a) e−bt e−at = a b

t

−at

−− − −

= e



−(b−a)t −at e

a

0

−1

b

−

Para el caso de   a = 0.5 y   b = 1,



y (t) = 2 e−0.5t

−t

−e



u(t)

En la Figura   2.5  se se puede observar el resultado de la convoluci´ on. Ejemplo 2.3.2 Sea la se˜ nal de entrada   x(t) y la respuesta al impulso de un sistema

LIT   h(t) mostradas en la Figura   2.6  y y dadas por

− 4u (t − 3) + 2u (t − 5) h (t) = e u (3 − t)

x (t) = 2u (t)

−2t

Como se puede observar en la Figura   Figura   2.6 (b), (b), unicamente ´ se ha dibujado el escal´ on −2t que acompa˜ na a la funci´ on exp exponenci onencial al   e , dado que, los l´ımites de la inte integr gral al de convoluci´ on, como se mencion´ o, resultan de la multiplicaci´ on de las funciones escal´ on on. y (t), se usa la integral de convoluci´ Para encontrar la salida  y on dada en la definici´ on ∞

y (t) = x (t) h(t) =

∗



−∞

x(τ )h(t

− τ )dτ

Juan Pablo Tello Portillo

49

x(t )

h(t )

2 1

1



3



2

0

1



1 2

t

5

3 4

1

1 2

0



3 4

t

1





2 (a)

(b )

Figura 2.6: Funciones a convolucionar. Se recomienda mover, aquella funci´ on que a simple vista sea considerada como la de menor complejidad matem´ atica, o también, en, la que matem´ aticamente sea de menor longitud. Teniendo en cuenta lo anterior, se elige a   x(t) como la funci´ on que se de ja fija mientras que a   h(t), como la funci´ on que se va a mover. Continuando con el procedimiento se tiene x (τ ) = 2u (τ )

4u (τ

− τ ) = e−

3) + 2u (τ

5)

−u (τ  − − − (t − 3))

−2(t−τ )

h (t

Por tanto

 ∞

y (t) =

[2u (t)

−∞

−2(t−τ )

− 4u (t − 3) + 2u (t − 5)] e

− (t − 3)) dτ −

u (τ

Una vez planteada de manera general la operaci´ on de convoluci´ on, se proponen dos métodos etodos par paraa encontr encontrar ar los l´ımites ımites de cada una de las integr integrales ales que resulten de este proceso. etodo consiste en dar soluci´ etodo on a la convoluci´ on utilizando M´ et o do 1. El primer m´ eto la propiedad distributiva de la multiplicaci´ on y resolviendo cada integral por separado, teniendo en cuenta que la funci´ on que se desplaza afecta a cada una de las integrales que resulten de la operaci´ on. De esta manera se tiene.

  ∞

y (t) =

[2u (τ )

−∞ ∞

=

−2(t−τ )

− 4u (τ  − − 3) + 2u (τ  − − 5)] e

 − − ∞

2u (τ ) e−2(t−τ ) u(τ

− (t − 3))dτ −

−∞ ∞

4u (τ

−∞

−2(t−τ )

+

2u (τ



−∞

− (t − 3)) dτ −

u (τ

− 5) e −

u(τ

− (t − 3))dτ −

− 3) e −

−2(t−τ )

u(τ

− (t − 3))dτ −

50

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

Como se puede observar   y (t) est´ a expresado mediante 3 integrales indefinidas, cuya soluci´ on estar´ a dada de acuerdo al desplazamiento de   h(τ ) sobre   x(τ ). En término erm inos s generales, cualquier se˜ nal se puede definir mediante la multiplicaci´ on de la funci´ on que la describe y una función on escal´ on. Esta car caracter´ acter´ıstica ıstica permite construir matem´ atica y gr´ aficamente, la interacci´ on de las funciones a convolucionar en términos erminos de funciones escal´ on y de esta manera plantear los intervalos de integraci´ on de una forma m´ as simple, tal como se muestra a continuaci´ on. Debe recordarse que, como son 3 integrales las que conforma co nforman n a   y (t), entonces, también en se tendr´ an 3 gr´ aficas para cada una de ellas. También en se debe tener presente que la funci´ on a desplazar, lo puede hacer de izquierda a derecha ( a )o de derecha a izquierda ( a - ). Para el caso particular, el valor que se desplaza a lo largo del eje   τ   es   τ   = t 3.

−∞ ∞ −∞ ∞

Para   t

∞ ∞ −

− 3 ≤ 0 → t ≤ 3 (Figuras   2.7 ( (a ), ( b) y ( c)) se tiene.



 − −

∞

y (t) = 2

∞

e−2(t−τ ) dτ

0

∞

e−2(t−τ ) dτ   + 2

4

3

3

e−2(t−τ ) dτ   + 2

e−2(t−τ ) dτ

5 ∞

5

=2



e−2(t−τ ) dτ   + 2

e−2(t−τ ) dτ

      − − −  −  − −   − −  −   − −  0 5

3 ∞

e−2(t−τ ) dτ

4

e−2(t−τ ) dτ   + 2

4

3

5

5

−2(t−τ )

e

=2

Para   0 < t

e−2(t−τ ) dτ

5

3

= e

5 ∞

0 −2t

dτ

2

2τ −2(t−τ ) −2t e e dτ   = 2e 2

3

e6

e−2t e10

1

e6 = e −2t 2e6

3

2τ −2t e 2e 2

0

e10

1



5 3

− 3 ≤ 3 → 3 < t ≤ 6 (Figuras   2.7 ( ( d) ,( e) y ( f f )) se tiene. ∞

   −

y (t) = 2

e

−2(t−τ )

t−3

∞

−  −   − −

dτ

e

4

t−3

3

e−2(t−τ ) dτ   + 2

∞

5

e−2(t−τ ) dτ

5

5

e

t−3

e−2(t−τ ) dτ

5

e−2(t−τ ) dτ   + 2

4

3

=2

∞

∞

e−2(t−τ ) dτ

−2t 2τ

−2t 2τ

− 2 −

e dτ

e 3

e−2(t−τ ) dτ

5

3

5

  

dτ   + 2

5

e−2(t−τ ) dτ   + 2

4

∞

3

3

=2

−2(t−τ )

e dτ   = 2e

−2t e

2τ 3

2

t−3

− 2e

−2t e

2τ 5

2

  −  −  −   −  − 

= e −2t e6

e2(t−3)

e−2t e10

e6 = e −2t 2e6

e10

e−6

3

Juan Pablo Tello Portillo

Para   3 < t

− 3 ≤ 5 → 6 < t ≤ 8 (Figuras   2.7 ( ( g), ( h) e ( i)) se tiene.



 − −

∞

y (t) = 2

∞

e−2(t−τ ) dτ

t−3

t− 3

e

dτ   + 2

  −

5

dτ

5

−2t e

2

5

e−2(t−τ ) dτ   =

2τ 5

=

t− 3

−e

−2t

dτ

  −  t− 3

5



e

− 4 −

  ∞

e−2(t−τ ) dτ   + 2

−2e

e

−2(t−τ )

5

∞

=

5

−2(t−τ )

t−3

4

e−2(t−τ ) dτ

∞ −2(t−τ )

=2

 ∞

e−2(t−τ ) dτ   + 2

4

5

Para   t

51

e−2t e2τ dτ

2

t− 3



e10

2(t−3)

−e

= e −6

−e

−2(t−5)

− 3 > 5 → t > 8 (Figura   2.7 ( ( j )) y (t) = 0

En resumen, se tiene

y (t) =

 

e−2t (2e6 e10 1) , t 3 −2t 6 10 −6 e (2e e ) e , 3 < t 6 −6 −2(t−5) e e , 6 < t 8 t > 8 0,

−

− − − −

≤

≤ ≤

M´ et o do 2. El segundo consiste en eto e n aprovechar las caracter´ caracter´ısticas de las funcione fu ncioness sin-

gulares, representando cualquier funci´ on mediante versiones desplazadas de funciones escal´ on unitario. Como se puede observar en la Figura   2.8 , la integral de convoluci´ on es v´ alida mientras la multiplicaci´ on entre las funciones escal´ on sea igual a uno (1). El paso siguiente es dar soluci´ on a las operaciones que resultan de las integrales que se han planteado. En la Figura   2.8 ( (a ) se muestra el resultado de la suma de las funciones escal´ on que representan a   x(τ ), y en la Figura   Figura   2.8 ( (b ) se muestra la funci´ on h(t τ ) = u (τ (t 3)) 3)),, lista para desplazarse sobre   x(τ ).

−

− − −

Posteriormente, para cada intervalo donde est´ a definida   x(τ ), se plantea la integral correspondiente. Todo el procedimiento matem´ atico se describe a continuaci´ on y en las figuras   2.8 ( (c ), ( d), ( e) y ( f f ) se muestra los momentos en los que la funci´ on   h(t τ ) se mueve sobre   x(τ ).

−

Para   t

− 3 ≤ 0 ; t ≤ 3 (Figura   2.8 ( (c )), 3

5

e−2t e2τ dτ

y (t) = 2

e−2t e2τ dτ

− 2 −

0

 

= e −2t 2e6

10

3

 

−e −1

52

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

x( ) h(t    )

x( ) h(t    )

1

1 

t    3 0

1 2



t    3 0

3

(a)

1

3

(b )

x( ) h(t    )

x( ) h(t    )

1

1 

t    3 0

1



1

5

(c )

0

t    3 2 ( d )

0

t    3 ( f  )

x( ) h(t    )

x( ) h(t    )

1

1

1

3





1

0

t    3 (e)

3

1

x( )h(t    )

x( ) h(t    )

1

1

5





1

0

 3 3 t   ( g )

1

5

0

 3 3 t   (h)

5

0

3 4 ( j )

 3 5 t  

x( ) h(t    )

x( ) h(t    )

1

1 

1

0

 3 3 t   (i )

5



1

Figura Fig ura 2.7: 2 .7: Interp I nterpreta retaci´ ción on gr´ gr afica áfica mediante funciones escalón on del proceso de convolución. on.

Juan Pablo Tello Portillo

Para   0 < t

− 3 ≤ 3; 3 < t ≤ 6 (Figura   2.8 ( (d )),



 − −

3

y (t) = 2

5

e−2t e2τ dτ

t− 3

= e −2t 2e6 Para   3 < t

53

− 3 ≤ 5; 6 < t

e−2t e2τ dτ

2

e10

3 −6

e

 − − ≤  −

8 (Figura   2.8 ( (e )), 5

y (t) =

e−2t e2τ dτ   = e −6

2

t− 3

Para   t

−e

−2(t−5)

− 3 > 5 5;; t > 8 (Figura   2.8 ( (f f )), y (t) = 0

En resumen, se tiene y (t) =

 

e−2t (2e6 e10 1) , t 3 −2t 6 10 −6 e (2e e ) e , 3 < t 6 e−6 e−2(t−5) , 6 < t 8 t > 8 0,

−

− − − −

≤

≤ ≤

Como se pue puede de notar notar,, el método etodo 2 resulta ser el m´ as conveniente, no solo por la simplicidad matem´ atica, sino también en por la re reducci´ ducci´ on en el n´ umero de operaciones. Adem´ as, el m´ etodo 2 es m´ etodo as conveniente cuando al menos una de las funciones a convolucionar est´ a definida en un intervalo cerrado. Ahora, si las dos funciones est´ an definidas definid as en interv intervalos alos cerrados, el e l método etodo 2 también en resulta ser el m´ as util. ´ 4.21. Determinar el voltaje Ejemplo 2.3.3 Sea el circuito RC  mostrado en la Figura  4.21. en el capacitor   y (t), resultado de un voltaje de entrada   x(t) = e −2t [u(t)

− u(t − 3)] 3)]..

El circuito RC  se caracteriza por ser un sistema lineal e invariante en el tiempo y su respuesta al impulso h(t) es la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial que lo define. vs (t) = v R (t) + vc (t)

Como x(t) = v s (t) y   y (t) = v c (t), entonces x(t) = Ri (t) + y (t) i(t) = C dv (t) = C dy (t) dt dt c

54

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

x(   ) 2

h(t    ) 1

1 

3

2

1

0

1 2

3 4



 3 1 t  

3

5

1 2 3

0

1

2

(a )

x( )h(t    ) 2

(b )

x( )h(t    ) 2

1

1 

t    3 0

3 2

1 2

3 4

5



1

3 2

1

1

2

2 (c )

t    3

0

5

3 4

(d )

x( )h(t    )

x( )h(t    )

2 1

2 1 

3 2

0

1

1 2 3

t    3

5



0

1

1

1

2

2 (e)

1 2

3

4

t    3

( f  )

Figura 2.8: Interpretación on gráfica afica del proceso de convolución on empleando funciones escalón. on. Reemplazando el valor de   i(t) se tiene x(t) = RC

dy (t) + y (t) dt

dy (t) 1 1 y (t) = x(t) + dt RC RC

La soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial para el circuito RC   es: h(t) =

1 −(1/RC )t e u(t) RC

Suponiendo la constante de tiempo del circuito RC   = 1s, la respuesta al impulso ser´ a igual a

h(t) = e −t u(t)

Juan Pablo Tello Portillo

55

R



i(t ) C

y (t )



x(t )

Figura 2.9: Circuito RC Circuito RC .

x(   )

h(t    ) 1

1 

2

1

0



2

1 2 3 4 (a )

1

x( )h(t   )

x( )h(t   )

1

1

1 t 0

2 3

x( )h(t   ) 1 



1 2 3 4

2

(c )

t (b )



2

0

1

0

1 t   2 3 4

1

0

( d )

1 2 3 t 4 (e)

Figura 2.10: Interpretación on gráfica afica mediante funciones escalón. on. y por tanto la salida es el resultado de la operaci´ on de convoluci´ on de la entrada con la respuesta al impulso del circuito.

 ∞

∗

y (t) = x (t) h(t) =

x(τ )h(t

−∞

− τ )dτ

∞

y (t) =



e−2τ [u(τ )

−∞

−(t−τ ) u(t

− u(τ  − − 3)]e

− τ )dτ

Como se mencion´ o en el ejemplo anterior, y dada la naturaleza de las funciones que representan repr esentan a la entrada y a la l a respuesta al impulso, el método etodo 2 es el m´ as conveniente para su soluci´ on. En las figuras   figuras   2.10 ( ( a) y ( b) se muestran las funciones a convolucionar y en las figuras  2.10 2.10   ( c), ( d) y ( e), la forma como se va desplazando la funci´ on que representa la respuesta al impulso del circuito h(t) sobre la se˜ nal de entrada   x(t). De esta manera se tiene. Para   t < 0 (Figura  2.10 2.10 ( (c )), y (t) = 0

56

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

0.25 0.2 0.15      )      t      (     y

0.1

0.05 0 −1

0

1

2

3 4 Tiempo

5

6

7

8

Figura 2.11: Respuesta del circuito RC ante la entrada x (t). Para   0

≤ t 0 (c). x(t) = sin t

||

2. Hallar la serie trigonométrica etrica de Fourier de las siguientes funciones definidas en un periodo. (a). x(t) =

−

t,

−π < t muestra de modulaci´ on µ 4.11 on . Si   se 1, el efecto en lapara señal naldiferentes modulada es denominado

116

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

sobremodulaci´ on  y on y como se puede observar en la Figura 4.11 4.11 (a), (a), la envolvente de la señal nal modulada no se parece a la forma de la señal nal moduladora x(t). Si µ  1, la envolvente de la se˜ nal modulada mantiene la forma de la señal nal nal moduladora x(t), tal como se observa en las figuras 4.11 figuras 4.11 (a) (a) y (b). Para un ´ındice de modulaci mo dulación ón µ < 1 (Figura 4.10 (Figura 4.10), ), la amplitud de la se˜ nal portadora nal var´´ıa completamente con la forma de la señal var nal moduladora y por tanto, la información on queda contenida en su envolvente. Dicho de otra manera, la señal nal portadora es quien transporta la información. on. Esta carac caracter ter´´ısti ıstica ca hace que el proceso de detecc detecci´ i´ o n de la on señal nal moduladora sea menos complejo que el método etodo de de detecci´ detecci´ on s´ın ıncro crona na , el cual se describe a continuación, on, ya que es posible recuperar la se˜ nal usando un método nal etodo más as sencillo denominado detector denominado detector de envolvente .

Detecci´ on s´ın on ıncr cron ona. a. Una vez vez modulada modulada la se˜ nal y transmitida por algún nal un medio, es

necesario realizar la operación on inversa con el fin de trasladar la banda centrada en ω0 , a la banda original centrada en cero. A este proceso se le conoce con el nombre de demodulaci´ on . Un esquema general del proceso se muestra en la Figura 4.12 4.12.. Ladodetecci´ on on s´ıncr ıncrona es decir, un método eto demod odula ulaci´ ci´ o(nt)que el mismo del yon método eto de mo modula dulaci´ ción. oona n. Es la do señal nde al dem modulada se usa multiplica poresquema el término ermino portador cos(ω0 t) y posteriormente se pasa por un filtro pasa bajas, tal como se describe a continuación. on. x (t) = y (t)cos(ω0 t) = x (t)cos(ω0 t)cos(ω0 t) 1 1 x (t) = x(t)cos2 (ω0 t) = x(t) + x(t)cos(2ω0 t) 2 2 Transformando a ambos lados de la ecuación on se tiene 1 1 X  (ω) = X (ω ) + [ X (ω 2 4

− 2ω ) + X (ω + 2ω )] 0

0

En resumen, el proceso de demodulación on queda expresado como 1 x (t) = x(t) + x(t)cos2 (ω0 t) 2

↔ X (ω) = 12 X (ω ) + 14 [X (ω − 2ω ) + X (ω + 2ω )] 

0

0

0

(4.40) y su representación on gráfica afica en el dominio de la frecuencia se muestra en la Figura 4.13 Figura 4.13.. En el esquema de demodulación on ta tambi´ mbién en est est´á inclu incluido ido un bloque denominado denominado Filtro Pasa Bajas (FPB (FPB ), ) , que tiene la función o n de permitir el paso de la señal nal situada en banda base y bloquear las réplicas eplicas situadas en 2ω0 . De Despu spu´és es de dell FPB FPB  se se obtiene la señal nal original con un valor de amplitud igual a la mitad de su valor original, tal como

±

x (t) = 1 x(t) 2

↔ X (ω) = 12 X (ω ) 

0

(4.41)

Juan Pablo Tello Portillo

117

1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 0

5

10 (a)

15 −3

x 10

2 1 0

−1 −2

0

5

10 (b)

15 −3

x 10

2 1 0

−1 −2 0

5

10 (c)

15 −3

x 10

Figura 4.11: Efectos del ´ındice ındice de modulación. on. (a) µ > 1, (b) µ = 1, (c) µ < 1.

118

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

y (t )

x '(t ) FPB

Y (  )

1 2

x (t ) 2

x '(t )  y (t ) cos  t  x(t ) cos  0t 1 1 X '( )  X ( )   X (  20 )  X (  20 )  2 4 0

cos  0t



  (

 0

)   (  0 ) 

Figura 4.12: Proceso de demodulación. on. X '(  )

X (  ) FPB B 1 2 FP

12





 2 0



0

0

2 0



(a)



(b)

Figura 4.13: Densidad espectral. (a) Portadora demodulada, (b) Se˜ nal original en banda nal base, después es de pasar por el Filtro Pasa Bajas. mencion´ o, en la modulación DSB-LC o, on DSB-LC , la se˜ nal nal Detector de env envolven olvente. te. Como se mencion´ moduladora x(t) se puede obtener desde la envolvente de la señal nal modulada. De esta forma, se plantea pla ntea un método eto do simple simp le de detecc detecci´ ión on que consiste en un circuito compuesto por un diodo conectado en serie con dos elementos que están an en paralelo, un resistor y un capacitor, tal como se muestra en la Figura 4.14 4.14.. El modo de operación on se puede observar observ ar gráficamente, aficamente, tal como se muestra en la Figura 4.15 Figura 4.15.. Una condición on importante para el correcto funcionamiento del circuito detector, es que su carga sea rápid ap idaa y es est´ té acompa˜ nada de una descarga lenta. Los cálculos nada alculos para este propósito osito no son temas de este libro. La salida del detector está conectada a un bloque que contiene un filtro pasa bajas FPB ), (FPB ), el cual permite minimizar el rizado de la envolvente detectada. Finalmente, se conecta un capacitor C  en serie para eliminar el nivel de CD CD  agregado agregado en el proceso D

C 



y(t )

C

R

FPB FP B

x(t )

Figura 4.14: Circuito detector de envolvente.

Juan Pablo Tello Portillo

119

2.5 2      d 1.5     u      t      i      l     p     m      A 1

0.5 0 0

5

10 Tiempo

15 −3

x 10

Figura 4.15: Salida del circuito detector de envolvente. 1

0.5      d     u      t      i      l     p     m      A

0

−0.5

−1 0

0.005

0.01

0.015

Tiempo

Figura 4.16: Se˜ nal de salida después nal es del filtro pasa bajas y eliminaci´ on de on de CD . de modulación. on. En la Figura 4.16 se mue muestra stra la sali salida da despu despu´és es de pasar por p or todo el demodulador

4.7. 4. 7.

Teo eore rema ma de mue uest stre reo o

El teorema de muestreo, tal como se mencionó en la sección 1.2.1 on 1.2.1,, permite definir la frecuencia frecue ncia m´ınima (per (periodo iodo máximo) aximo) de muestreo, para que la señal nal muestreada pueda ser recuperada sin distorsión. on. Desde el punto de vista de la transformada de Fourier, es posible observar desde la densidad espectral de la señal nal muestreada (Figura 4.19(a) (Figura 4.19(a)); ); que la frecue frecuencia ncia m´ınima de muestreo ωs , para posteriormente recuperar la señal nal original con ancho de banda f max axima 2Ω, o en forma axima max = Ω, es dos veces su frecuencia m´ general, dos veces su ancho de banda (se˜ nales pasabanda). nales ωs

≥ 2Ω

(4.42)

Un esquema general del proceso de muestreo se visualiza en la Figura 4.17 4.17.. De manera análoga aloga a la propiedad de modulación, on, el muestreo no es más as que una

120

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

x(t )

x s (t )

x s (t )



x(t ) pT (t )

t

0

t

0

pT (t ) 1



 

2T  s

T  s





0

T s 2T  s

t

3T  s

Figura 4.17: Muestreo con tren de pulsos rectangulares. x(t )

X (  ) 1

BW

 ;

    s 

t



0





2  B

2   T  s



0

Figura 4.18: Se˜ nal original y su densidad espectral. nal modulación on por amplitud de pulso (P AM ), donde x(t) es una se˜ nal arbitraria cualquiera nal con densidad espectral X (ω ) y ancho de banda Ω y la señal nal portadora está dada por un tren de pulsos periódicos, odicos, tal como se muestra en la Figura 4.18 Siguiendo el esquema mostrado en la Figura 4.17 Figura 4.17,, se desarrolla el proceso matemático atico xs (t) = x (t) pT (t)

(4.43)

Dado que la señal nal muestreadora pT (t) es una función on periódica, odica, entonces se puede representar represe ntar mediante series de Fourier. As As´´ı que q ue ∞

pT (t) =

 

xn e jnω

0

t

n=−∞

de esta manera, la señal nal muestreada queda expresada por ∞

xs (t) = x (t)

xn e jnω

0

t

(4.44)

n=−∞

conocido tambi tambi´én en como el teorema de Nyquist. Transformando a ambos lados de la ecuación on (4.44 4.44)) y teniendo en cuenta que la trasformada es un operador lineal, se tiene ∞

F

{x (t)} = F s

x(t)

 

n=−∞

xn e jnω

0

t



Juan Pablo Tello Portillo

121

∞

F

 

{x (t)} =

jnω 0 t

xn F x(t)e

s

n=−∞



Finalmente, la densidad espectral de la se˜ nal muestreada es nal ∞

X s (ω) =



n=−∞

o ta tamb mbi´ ién en

X s (ω ) = x 0 X (ω) +

xn X (ω

− nω ) 0

∞



xn X (ω

n=−∞

− nω ) 0

n=0 =0 

donde los coeficientes armónicos onicos xn , se pueden calcular directamente de la transformada de Fourier de la función on rectangular aperiódic odica. a. As´ı qu quee X (ω ) xn = T s

 

= ω=nωs

τ sin(nωs t) T s nωs t

La densidad espectral espectral de la señal nal muestreada se puede observar en la Figura 4.19(a) Figura 4.19(a).. Como se mencionó al inicio de esta sección on y como se puede observar en la Figura 4.19(a),, la frecue 4.19(a) frecuencia ncia m´ınima de muestreo ωs está dada por ∆ω = ωs =

2π = 2Ω, Ω = 2πB , T s

Ts   =

1 2B

siendo B , el ancho de banda de la señal nal dada en H z . De esta manera, es posible recuperar la señal nal sin distorsión, on, agregando un F P B ideal con frecuencia de corte ω = 2πB a la salida del muestreador, tal como se muestra en la Figura 4.19(d) Figura 4.19(d).. A medida que el periodo de muestreo T s se vuelve más as peque˜ no (frecuencia ω s más no as grande), tal como se muestra en la Figura 4.19(b) Figura 4.19(b),, las condiciones del filtro se vuelven menos restrictivas. Caso contrario sucede, cuando la velocidad de muestreo es lenta ( T s grande), ya que las réplicas eplicas (resultado del proceso de modulación) on) se solapan y generan distorsi´ on en el tiempo. Este fenómeno on omeno es conocido como aliasing y se puede observar en la Figura 4.19(c) 4.19(c).. En la práctica actica es muy común un encontrar aliasin, no solo porque la se˜ nal original x(t) nunca es estrictamente de banda limitada, sino tambi nal tambi´én en por p or las caracter´´ısticas del filtro debido a que posee pendientes finitas en los bordes de la banda, caracter pudiendo transmitirse componentes de frecuencia de las réplicas eplicas generadas en el proceso de muestreo. Para minimizar este efecto, antes del proceso de muestreo, es aconsejable restringir el ancho de banda de la señal nal mediante un F P B y muestrear a velocidades mayores may ores a la de Nyquist. En términos erminos generales, para señales nales pasabanda la frecuencia m ´ınima de muestreo es el doble delest´ ancho de del banda de la de señal. neste al. El estudio completo del proceso de muestreo y sus efectos a fuera alcance texto.

122

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

X  s ( )

5 s 4 s

4   s 5   s 3 s 2 s   s

0

  s



2 3   s s



(a) X  s ( )

3 s 5 s

4 s

3   s 2 s

  s

0

  s

2 s



4 s

5   s



(b) X  s ( )

Aliasing

7 s

5 s

5   s 3 s

  s 0

  s

7 s



3   s



(c) X  s ( )

FPB

5   s 4   s

4   s 5   s

3   s 2   s   s

0



  s 2 3   s s

(d)

Figura 4.19: Densidad espectral de la señal nal muestreada. (a) Espectro con frecuencia de muestreo mue streo m´ m´ınim ınima, a, (b) Espectr Espectroo sin alias aliasing ing , (c) Espectr Espectroo con alias aliasing, ing, (d) Espectr Espectroo filtrado.

Juan Pablo Tello Portillo

4.8. 4. 8.

123

Resp Re spue uest sta a en fr frec ecue uenc ncia ia

Con la propiedad de convolución on de la transformada de Fourier, es posible describir y LIT T  e relacionar en el dominio de la frecuencia, la respuesta de un sistema LI en n térmi er mino noss de su entrada y salida. Es decir, si y (t) = x (t) h(t)

∗

entonces Y (ω ) = X (ω)H (ω )

(4.45)

Despejando H (ω) de la ecuación on (4.45 4.45), ), se tiene H (ω ) =

Y (ω ) X (ω )

(4.46)

Frecuencia  del sistema, o la Funci´ on Esta relación on es conocida como la Respuesta la Respuesta en Frecuencia  del la Funci´ de Transferencia  del Transferencia  del sistema. Representando ecuación onespectral (4.45 4.45)) endetérminos ela rmin os de magnitud y fase, Y (su ω )magnit la ecuaci´ on (4.9 on 4.9), ), laladensidad salida queda ud dada por tal como en jθ Y  (ω)

|Y (ω)| e

= X (ω) e jθ X (ω) H (ω ) e jθ H (ω)

|

|

|

(4.47)

|

La igualdad de la ecuación on (4.47 4.47)) permite definir, que la magnitud de la densidad espectral de la salida, es igual a la multiplicación on de la magnitud de la densidad espectral de la entrada y la magnitud de la respuesta en frecuencia del sistema. As´ As´ı

|Y (ω)| = |X (ω)| |H (ω)|

(4.48)

La magnitud de la respuesta en frecuencia H (ω ) , se refiere algunas veces a la ganancia del sistema. Adicionalmente, el ángulo angulo de la densidad espectral de d e la salida,

|

|

es la sumadel de sistema, los ángulos angulos de la densidad espectral de la entrada y de la respuesta en frecuencia tal como θY   (ω) = θ X (ω ) + θH (ω )

(4.49)

De esta forma, el comportamiento de los sistemas LI T  en en el dominio de la frecuencia está completamente caracterizados por la respuesta en frecuencia H (ω ).

4.9 .9..

Filt ltr rado

El proceso de filtrado es una de las caracter caracter´´ısticas intr intr´´ınsecas del funcionamiento de cualquier sistema. Es decir, relaciona unarelaci´ se˜ nal nal salida modificaciones respecto a variaciones de la frecuencia de la el se˜ nsistema nal al de entrada. Esta onde on implica de

124

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

la amplitud de la señal nal de entrada, en ciertos rangos de frecuencia, los cuales pueden ser determinados mediante diseños nos espec esp ec´´ıficos, o pueden ser dados d ados por p or la respuesta propia del sistema (propiedades f´ısicas de los elementos o dispositivos que lo conforman). Por lo tanto, los filtros se definen como dispositivos selectivos en frecuencias, ya que su comportamiento está dado de acuerdo a variaciones de frecuencia que ocurran a su entrada.Entre los filtros mas comunes están: an:

4.9. 4. 9.1. 1.

Filt Fi ltro ro pa pasa sa baj bajas as

Un filtro pasa bajas ideal (Figura 4.20 (Figura 4.20(a).), (a).), permite dejar pasar la señal nal cuyos componentes de frecuencia están an por debajo de la frecuencia de corte (ωc ) mientras que atenúa ua las que están an por encima de esta. La magnitud de la respuesta en frecuencia está dada por 1, ω < ωc H (ω ) = (4.50) 0, ω > ωc

|

4.9. 4. 9.2. 2.



|

| | | |

Filt Fi ltro ro pa pasa sa al alta tass

Un filtro pasa altas ideal (Figura 4.20 4.20(b).), (b).), permite dejar pasar la se˜ nal cuyos comnal ponentes de frecuencia están an por encima de la frecuencia de corte (ωc ) mientras que aten´ ua las que están ua an por encima de esta. La magnitud de la respuesta en frecuencia está dada por 0, ω < ωc H (ω ) = (4.51) 1, ω > ωc

|

4.9. 4. 9.3. 3.



|

| | | |

Filt Fi ltro ro pa pasa sa ba band nda a

Un filtro pasa banda ideal (Figura 4.20 (Figura 4.20(c).), (c).), permite dejar pasar la se˜ nal cuyas componal nentes de frecuencia están an en un intervalo definido por una frecuencia baja ωL y una frecuencia alta ω H , y atenuando las que están an por fuera de esta banda. La magnitud de la respuesta en frecuencia está dada por

|H (ω)| = 4.9. 4. 9.4. 4.



||

1, ωL < ω < ωH 0, otro caso

(4.52)

Filt Fi ltro ro re rec cha haza za ba band nda a

Un filtro rechaza banda ideal (Figura 4.20 (Figura 4.20(d).), (d).), permite dejar pasar toda la se˜ nal, exnal, cepto las componentes de frecuencia de la señal nal comprendidas en un intervalo peque˜ no. no.

|H (ω)| =



0, ωL < ω < ωH 1, otro caso

||

(4.53)

Juan Pablo Tello Portillo

125

Pasa Bajas

Pasa Altas

H (  )

H (  )

1

1

0.707

0.707

  c



0

  c

 c



(a)

0

 c

(b)

Pasa Banda

Rechaza Banda

H (  )

H (  )

1

1 0.707

0.707



  H

   L

0

  L



 c

 H

(c)

0

 c

(d )

Figura 4.20: Respuesta en magnitud de 4 tipos de filtros.

Figura   4.21. 4.21. Se desea calcular la Ejemplo 4.9.1 Sea el circuito RC   mostrado en la Figura   tensi´ on en el capacitor   y (t), la respuesta al impulso h(t) y la magnitud de la densidad espectral de la salida respecto a la entrada H ( j jω ω) .

| |

|

R



i(t ) C

y (t )



x(t )

Figura 4.21: Circuito Circuito RC . Empleando Kirchhoff se plantea la ecuaci´ on de tensiones en cada elemento del circuito vs (t) = v R (t) + vc (t) Como x(t) = v s (t) y   y (t) = v c (t), entonces x(t) = Ri (t) + y (t) i(t) = C dv (t) = C dy (t) dt dt c

126

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

Reemplazando el valor de   i(t) se tiene x(t) = RC

dy (t) + y (t) dt

dy (t) 1 1 y (t) = x(t) +

(4.54)

dt RC RC Se aplica la transformada de Fourier a la ecuaci´ on   (4.54 4.54)), y se factoriza las variables de entrada y salida para, finalmente, hallar la relaci´ on entre las mismas mismas,, obteniéndose endose jωY j ωY ( jω ) +

1 1 Y ( jω ) = X ( jω ) RC RC





1 1 Y ( jω ) jω + X ( j jω ω) = RC RC Y ( jω ) 1 1 = H ( jω ) = X ( jω ) RC  jω + 1/ RC

(4.55)

As´ı mismo, empleando la trans As´ transformada formada inversa de Fourier, se obtiene la respuest respuesta a al impulso h(t) 1 −t/RC h(t) = e u(t) RC donde   RC  es la constante de tiempo del circuito. Como se puede observar en la ecuaci´ on    (4.55 on 4.55)), la amplitud de la respuesta en frecuencia   H ( jω ) va disminuyendo conforme se incrementa la frecuencia. Este tipo de comportamiento corresponde a la respuesta de un filtro pasa bajas, la cual se ilustra de mejor manera mediante la respuesta en magnitud. Para calcu Para alcular lar la magn magnitu itudd de la resp espues uesta ta en fr freecuen cuencia cia,, se emp emple leaa la ecuac cuaci´ i´ on obte teni´ niéndo en dose se (4.11 4.11)), ob H ( j jω ω) =

|H ( jω )| =

ωRC ωRC 1 × 11 −− j jωRC − j = jωRC j ωRC 1 + ( ωRC ) 1 + ( ωRC )

1 jωRC j ωRC  + + 1

 

2

1 1 + ( ωRC )2

   | 2

|H ( j jωω)

+

=

ωRC 1 + ( ωRC )2



1 1 + ( ωRC )2

2

=

2

  

ωRC C )2 (1 + ωR

1 + ( ωRC )2



2

As´ı mis mismo mo el angulo ´ se puede calcular mediante la ecuaci´ on    (4.12 on obten teni´ iéndo en dose se 4.12)), ob θH (ω) = tan−1 ( ωRC )

−

Juan Pablo Tello Portillo

127

H (  )

1 0.707

  c



0

 c

Figura 4.22: Respuesta en magnitud del circuito RC circuito RC . Haciendo   1/RC   = ωc , la magnitud queda dada por Haciendo

|H ( jω )| =



1 1 + ( ω /ωc )2

y el ´ angulo por θH (ω ) =

−1 ω

−tan

ωc

donde   ωc es denominada la frecuencia de corte. Si   ω = ω c , entonces la respuesta en magnitud del circuito RC   estar´ a dada por

|H ( j jωω)| = |H ( jω )|

dB



√

1 2 = = 0.707 2 2

= 20 20 log 0.707 =

−3dB

y su comportamiento se muestra en la Figura  4.22 4.22 . De forma general, para todos los filtros (pasa bajas, pasa altas, pasa banda y rechaza banda), la magnitud de la respuesta en frecuencia cae a   a   0.707 o a 3dB de su valor m´ aximo.

− −

Ejemplo 4.9.2 Sea la respuesta en frecuencia de un sistema dada por

 

sin2 (3ω ) H (ω ) = cos ω ω2 Se desea encontrar la respuesta al impulso h(t), por lo tanto, es necesario calcular la transformada inversa de Fourier de   H (ω). Primero se expresa   H (ω ) de tal forma que sea posible usar las propiedades y el par de transformadas mostradas en las tablas   4.1 4.1   y   4.2 . As´ı qu que e 2 ω ) e jω + e− jω sin2 (3ω ) e jω + sin2 (3ω ) e− jω H (ω ) = sin (3 = ω2 ω2 ω2 2 2 2

 

   

128

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

Teniendo en cuenta que x(t) =

 − | | | |    || ↔     × × t , a

1

0,

t a

sin(ωa /2) X (ω ) = a ωa/2

2

se realiza re alizaenun arreglo arr eglos de matem´ aticoon atico para que la respuesta a en frecuencia cuencia   H (ω ), quede expresada términos ermino la ecuaci´ anterior anterio r yrespuest as´´ı obtene as obtener r fre 9 H (ω ) = 2

6 sin(3ω ) 6 3ω

2

jω

e

2

6 sin(3ω ) 6 3ω

9 + 2

e− jω

la cual se puede reescribir como

 

3 3 sin(3ω ) H (ω ) = H 1 (ω )e jω + H 1 (ω)e− jω , siendo H 1 (ω) = 6 4 4 3ω

2

y de esta manera, calcular la respuesta al impulso h(t) empleando la propiedad de desplazamiento plazam iento en el tiempo. As As´´ı ı 3 3 h(t) = h1 (t + 1) + h1 (t 4 4

− 1)

 − | |  − | − |       t + 1 6

3 h(t) = 1 4

+

t

3 1 4

1

6

|t+1 +1|| 0

e−a|t| u(t) a > 0 > 0

x(t) =

 

√

/(2σ2 )

1, 0,

σ 2πe−σ

|t| < a

t , a

0,

t a

δ (t

2

 | |    | |  

 − | | | |  | |  −  

x(t) =

2a

|t| > a

sin at πt

1

1 a jω + a jω + 1 ( jω jω + + a a))2 2a 2 ω + a2

te−at u(t) a > 0 > 0

2

1 jω

− j j sgn( sgn(ω ω) 2πδ (ω − ω0 ) π [δ (ω − ω0 ) + δ + δ (ω + + ω ω0 )] − jπ jπ[[δ (ω − ω0 ) − δ (ω + + ω ω0 )]

cos ω0 t

e−t

0



2

∞

ω0

δ ((ω δ

n=−∞

− nω0),

− j j sgn( sgn(ω ω )X (ω)

ω0 = 2T π

Juan Pablo Tello Portillo

133

Tabla 4.2: Propiedades de la Transformada de Fourier

Propiedad

Linealidad

Desplazamiento en el tiempo Escalamiento

x(t)

X (ω )

a1 x1 (t) + a + a2 x2 (t)

a1 X 1 (ω ) + a + a2 X 2 (ω )

X (ω )e−jωt

1 ω X a a

| X | (−ω)

x(t

− t0)

x(at at))

0



Inversión on

x( t)

Dualidad

X (t)

− X (ω − ω0 ) 1 − ω0) + X + X (ω + + ω ω0 )] 2 [X (ω

−

Desplazamiento en la frecuencia Modulación on

0

t



∗

x1 (t)x2 (t)

X  (ω ) 1 + πX (0) (0)δ X (ω ) + πX δ (ω) jω

x1 (t) x2 (t)

jω X (ω )

− jtx jtx((t)

t x((τ τ ))dτ −∞ x

Integraci´ on on

x (t)

Derivada en la frecuencia

Multiplicaci´ on on

x(t)ejω

x(t)cos ω0 t

Derivada en el tiempo

Convolución on

2πx πx(( ω)

X 1 (ω )X 2 (ω) 1 X 1 (ω ) X 2 (ω ) 2π

∗

134

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

Ejercicios 1. Usando las propiedades, propiedades, hallar la trans transforma formada da de Fourier de las funcio funciones nes (a). x(t) =

1 a2 +t2 −t

(b). x(t) = te cos(2t)u(t) (c). x(t) = sinπtat cos(ω0 t) 2. Hallar Hallar la trans transforma formada da inversa inversa de Fourie ourierr de las funciones funciones definidas en la frecue frecuenncia ω −2π ) (a). X (ω ) = 3sin2( (ω −2π) ω) j 2ω e (b). X (ω ) = 2sin( ω

(c). X (ω ) =

jω +4 6−ω 2 +5 jω

RLC LC  mostrado 3. Sea el circuito R mostrado en la Figura 4.23 Figura 4.23.. R

L





x(t )

y(t )

C

Figura 4.23: Circuito RLC Circuito RLC . (a). Hallar Hallar su respu respuesta esta en frecuencia H ( jω ) y su correspondiente respuesta al impulso h(t). (b). Hallar Hallar la salida del circuito, circuito, para una entrada dada por x(t) = e −t u(t), con valores de R = 1Ω, C   = 1µF   y L = 1H . 4. Sea el sistema mostrado en la Figura 4.24 4.24,, el cual consta de un modulador y un filtro pasa bajas H (  ) y(t )

x(t )

H (  )

z (t )

1



p(t )

3

Figura 4.24: Sistema modulador - filtro.

3

Juan Pablo Tello Portillo

135

(a). Hallar Hallar las salidas salidas y (t) y z (t) para la se˜ nal de entrada x(t) y se˜ nal nal portadora nal p(t) dadas por x(t) =

− −

sin si n (4πt 8π) , 2t 4

p(t) =

−

sin (3πt π ) sin 2t (2/3)

−

(b). Halla Hallarr la magnitud de la densi densidad dad espectral de Y (ω ) y de Z (ω) .

|

|

|

|

Cap´ıtulo 5

Transformada de Laplace

5.1. 5. 1.

Intr In trod odu ucc cci´ i´ on on

La transformada de Laplace, al igual que la Transformada de Fourier, es una herramienta matemática atica muy util u ´ til en el análisis alisis de los sistemas LIT. Corresponde, además, as, a una generalización on de la transformada de Fourier, permitiendo no solo el estudio de los sistemas estables, tal como en el caso de Fourier, sino tambi tambi´én en los sistemas inestables. La transforma tra nsformada da de d e Laplace, La place, per permite mite también en realizar r ealizar el an´ an álisis alisis transito transitorio rio de d e los sistemas LIT y determinar la estabilidad de los mismos. En este cap cap´´ıtulo se inicia con la descripción on matemática atica del paso de una forma de onda exponencial compleja a trav trav´és es de un sistema. Usando el método etodo de convol convoluci´ ución, on, se determina la salida y se obtiene la expresión on matemática atica correspondiente al cambio de magnitud de la se˜ nal de entrada cuando ha pasado por el sistema. Esta expresión nal on es denominada la transformada de Laplace. Mas adelante se presenta la relación on existente entre la transformada de Laplace y la transformada de Fourier, siendo la transformada de Fourier el mecanismo que con base en las condiciones de Dirichlet, permite especificar la región on de con conver vergenci genciaa de la trans transformad formadaa de Lapla Laplace. ce. As As´´ı mism mismo, o, se exponen de forma breve las propiedades de la transformada de Laplace para luego continuar con la transformaci´ on de una ecuaci´ on on diferencial lineal, en una expresión on on que puede resolverse algebraicamente y a partir de esto llegar a un modelo en diagrama de bloques del sistema analizado. Por ultimo, u ´ ltimo, se desarrollan varios ejemplos de los temas expuestos, haciendo énfasis enfasis en el estudio de la estabilidad o no de los sistemas y su forma de representación on en diagrama de bloques.

5.2.. 5.2

Tran ransfo sform rmad ada a de La Lapl plac ace e

Como se ha mencionado en cap cap´´ıtulos anteriores, las funciones exponenciales complejas son muy importantes en el estudio de los sistemas lineales invariantes en el tiempo (una LIT ). LIT ).nal Pru eba de ello e llo es ecompleja. s la respues respuesta qu e presenta que pr e l sistema el siste ma cuando c uando a través esmodificada de él el pasa pa sa se˜ nPrueba al exponencial Latasalida esesenta la misma exponencial compleja 137

138

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

x(t )

y (t )

{ }

Figura 5.1: Sistema continuo. solamente en su amplitud. Esto es x(t) = e st

st

→ y(t) = H (s)e (5.1) jω ω es una variable compleja, con σ = {s} y ω = {s}, mientras que donde s = σ + j H (s) es el factor de amplitud que aparece en la salida como una modificación o n de la entrada y además as es función on de la variable compleja s.

Este tipo de funciones, para las cuales la salida del sistema es igual a la misma función on mul multipli tiplicada cada por p or una constante constante compl compleja eja se denominan funciones denominan funciones propias  y y las constantes que acompañan nan a las funciones se denominan, valores propios. Ahora bien, para elon sistema Figura 5.1 5.1, la salidatal est´ a dada por la operaci´ on de on convoluci´ on entre lamostrado entrada yenlalarespuesta al ,impulso, como

 ∞

y (t) = x (t) h(t) =

∗

x(τ )h(t

−∞

− τ )dτ

Dado que la entrada es una función on exponencial compleja x(t) = est , entonces la salida y (t) es igual a ∞

∞

h(τ )es(t−τ ) dτ   = e st

y (t) = −∞

h(τ )e−sτ dτ

(5.2)

−∞





Como se observa en la ecuación on (5.2 5.2), ), la salida y (t) es expresada en términos erminos de la entrada y de un valor H (s) que hay que determinar, el cual corresponde a

 ∞

H (s) =

h(τ )e−sτ dτ

−∞

relación on conocida como la transformada de Laplace de h(t), la cual se puede reescribir como ∞

−st

{h(t)} = H (s) =

L



−∞

h(t)e

dt

(5.3)

Juan Pablo Tello Portillo

139

jω ω en la ecuación Si se reemplaza s = σ + j on (5.3 5.3), ), se obtiene

 ∞

H (σ + j jω ω) =

jωtt h(t)e−σt e− jω dt

−∞

−σt

cuyo término ermino de la derecha corresponde a la transformada de Fourier de h(t)e esta forma −σt L   h(t) = F h(t)e

 

{ }

. De (5.4)

de ah´ ah´ı que la transfor t ransformada mada de Laplace representa una generaliza gen eralizaci´ ción on de la transformada de Fourier. Si la parte real de s es igual a cero, es decir σ = 0, la transformada de Laplace es exactamente igual a la transformada de Fourier.

5.2 5. 2.1 .1..

Reg Re gi´ on de convergencia para la transformada de Laplace on

La región on de convergencia (RC (RC )) de una función on en el dominio transformado X (s) consiste en bandas paralelas al eje j jω ω en el plano s , y corresponde al rango de valores de la variable vari able compleja s = σ + jω , para los cuales la transformada de Fourier de x(t)e−σt converge [3 [3], [1]. Es decir, x(t)e−σt debe ser absolutamente integrable, tal como lo plantea Dirichlet en las condiciones de convergencia de la transformada de Fourier. Matemátiaticamente corresponde a

   ∞

h(t)e−σt dt <

−∞

∞

(5.5)

Como se observa en la ecuación on (5.5 5.5), ), la convergencia de la integral depende de un intervalo de σ (RC RC )) [4]. De ah ah´´ı que que,, cad cadaa eje ejempl mploo que se ana analiz liza, a, espe especifi cifica ca su transformada y la la RC RC  donde donde es válida alida la solución. on. nal   x(t) dada por Ejemplo 5.2.1 Sea la se˜ x(t) = e −at u(t)

La transformada de Laplace de la funci´ on est´ a dada por

 ∞

X (s) =

 ∞

x(t)e−st dt =

−∞ ∞

−∞ −(s+a)t

=

e

 0

e−at u(t)e−st dt

dt =

−

e−(s+a)t s + a

∞



0

1 = s + a

140

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

j



a

a

Figura 5.2: Diagrama de RC de RC  de de la transformada de Laplace de la función on exponenc exponencial. ial. La transformada de Laplace de la funci´ on est´ a dada, sin embargo, se debe verificar σ para los cuales la integral converge. Es decir, se calcula la RC mediante los valores de  σ la definici´ on de la transformada de Fourier, tal como se plante´ o en la ecuaci´ on    (5.5 on 5.5)). As´ı que ∞

X (σ + j jω ω) =

∞



e−at e−(σ+ jω )t dt =

0



e−(a+σ)t e− jω t dt

0

Para que la integral converja, se debe cumplir con la condici´ on de co conver nvergencia gencia planteada por Dirichlet. Esto es

 ∞

e−(a+σ)t dt <

0

∞

Para que esto se cumpla, el argumento de la funci´ on exponencial debe conservar su signo, es decir   a + σ > 0 s > a. 0.. Dicho de otra manera,

{ } −

Por lo tanto L

 

e−at u(t) =

1 , s + a

{s} > −a

y su representaci´ on gr´ afica en el plano s se puede observar en la Figura   5.2 .

Ejemplo 5.2.2 Sea la se˜ nal   x(t) dada por

x(t) =

−e

−at

u( t)

−

Juan Pablo Tello Portillo

141

La transformada de Laplace es

 ∞

X (s) =

∞

x(t)e−st dt =

−∞

−(s+a)t

−

e−at u( t)e−st dt

−

−∞

0

=

 −



−∞

e

e−(s+a)t dt = s + a

0



−∞

1 = s + a

−(s+a)( )(−∞ −∞))

− e

Como se pue puede de observa observar, r, al evaluar los l´ımites, ımites, no es tan clar claroo que el exp exponenci onencial al tienda a cero cuando se eval´ ua en , as as´´ı como lo l o fue en el ejemp ejemplo lo anteri anterior. or. Es aqu aqu´´ı donde la transformada de Fourier contribuye a resolver y encontrar las condiciones para las cuales la integral sea absolutamente integrable. De esta manera se tiene que

−∞ −∞

 − 0

X (σ + j jω ω) =

 − 0

e−at e−(σ+ jω )t dt =

−∞

jωtt e−(a+σ)t e− jω dt

−∞

Para que exista la tran transformada sformada de Fourier, se debe cumplir la condici´ on de converon gencia. Esto es

 0

e−(a+σ )t dt <

−∞

∞

Esto se cumple siempre y cuando a + σ < 0 0.. Es decir

{s} < −a. {

Por lo tanto L

−



e−at u( t) =

−

1 , s + a

{s} < −a

En la Figura   5.3  se se puede observar la regi´ on para la cual la integral es v´ alida. nal   x(t) dada por Ejemplo 5.2.3 Sea la se˜ x(t) = e at u(t),

a > 0

La trasformada de Laplace est´ a dada por

  ∞

X (s) =

∞

x(t)e−st dt =

−∞ ∞

=

eat u(t)e−st dt

−∞ −(s−a)t

e

0



dt =

e−(s−a)t s a

− −



∞

= 0

1 s a

−

Como observar, laon. integral converge,utilizando y a simplelavista noonhay al evalu evaluar ar los l ossel´ımites ıpuede mites en l a soluci´ la so luci´ Sin embargo, relaci´ de restricciones equivalencia de

142

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

j



a

a

Figura 5.3: Diagrama de RC de RC    de la trans transforma formada da de Lapla Laplace ce para la funci´ on exponencial on decreciente. la trasformada de Laplace con la transformada de Fourier, es cuando verdaderamente se encuentra los valores para los cuales la integral es v´ alida. Por lo tanto, aplicando transformada de Fourier se tiene ∞

X (σ + j jω ω) =



∞

at −(σ + jω )t

e e

dt =

0



jωtt e(a−σ)t e− jω dt

0

Para que la integral converja, se debe cumplir que

   ∞

e(a−σ )t dt <

0

Esto se da, siempre y cuando a L

∞

− σ a. Por consiguiente

1 e u(t) = s a , at

 

− {s} > a

En la Figura   5.4 se muestra el plano s con la RC cubriendo el ´ area en la cual la integral converge. Ejemplo 5.2.4 Sea la se˜ nal   x(t) dada por

x(t) = e −a | t |

Para hallar su transformada de Laplace se usa la ecuaci´ on    5.3 , pero primero se on expresa la se˜ nal   x(t) en términos ermino s de funci funciones ones escal´ on unitario x(t) = e −at u(t) + eat u( t)

−

Juan Pablo Tello Portillo

143

j



a

a

Figura 5.4: Diagrama de RC de RC    de la trans transforma formada da de Lapla Laplace ce para la funci´ on exponencial on creciente. Dado que la funci´ on se ha dividido en dos partes, cada una de ellas tiene su propia transformada de Laplace y, por tanto, su correspondiente RC. Sin embargo X (s) solo tiene una RC. As As´´ı que e−at u(t) eat u( t)

↔

1 , s + a 1 , s a

{s} > −a

− ↔ − − {s} < a

Por lo tanto, la RC de la funci´ on   X (s), es el resultado de la intersecci´ on de las regiones re giones de conver convergencia gencia de to todas das las funciones individuales. As As´´ı que X (s) =

1 s + a

− s −1 a = s −−2aa , −a < {s} < a 2

2

El diagrama de la RC se muestra en la Figura   Figura   5.5 .

5.2. 5. 2.2. 2.

Pol olos os y cer ceros os de de la fun funci ci´ on ´ on

La transformada de Laplace de una función on x(t) está representada matemáticamente aticamente por polinomios tanto en el numerador como en el denominador, cuyas ra´ıces ıces se pueden localizar en el plano s. Estos, junto con su su RC RC  caracterizan caracterizan por completo la expresión on algebraica que define a X (s) dentro de un factor de escala [3 [ 3]. Por definición, on, los polos son los valores de s que hacen cero el denominador, mientras que los ceros son los valores de s que hacen cero el numerador. Gráficamente, aficamente, los polos y ceros se representa en el plano s mediante una

× y un

◦ejemplos respectivamente. 5.6 se se muestra los diagramas de polos y ceros de los anteriores.En la Figura 5.6

144

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

j



a

a

Figura 5.5: Diagrama de RC y polos p olos y ceros de la transformada de Laplace de la función on expone exp onenci ncial al simétrica. etri ca. j

j



a



a

a

(a)

a

(b)

j

j



a



a

a

(c)

a

(d )

Figura 5.6: Diagrama de RC, polos y ceros de la transformada de Laplace de la funciones exponenciales.

Juan Pablo Tello Portillo

145

j



2 1

3 21

Figura 5.7: Diagrama de polos y ceros de la función on X (s). Ejemplo 5.2.5 Sea la funci´ on   X (s) dada por

X (s) =

2s 3 2s 3 , = s2 + 3s + 2 (s + 2)(s + 1)

−

−

{s} > −1

La funci´ on  X X (s) tiene dos polos, uno en  s s = 2 y otro en   s = 1. De igual manera X (s) tiene un cero en   s = 3/2. 3/2. En la Figura   5.7 5.7    se muestra el diagrama de polos y ceros de la funci´ on   X (s) junto con su RC.

−

−

on   x(t) dada por Ejemplo 5.2.6 Sea la funci´ x(t) = e −t cos(2t)u(t)

La transformada de Laplace se puede realizar directamente desde la Tabla   Tabla   5.1 o, expresando x (t) en términos ermino s de funcion f unciones es exponenciales exponenc iales.. Funciones que q ue ya se analizaron ana lizaron al comienzo de este cap cap´´ıtulo ıtulo y, por tanto, se tiene cono conocimiento cimiento de su par transformado. De esta manera j 2t

x(t) = e

−t e

+ e− j 2t 1 (1− 1 −2 j )t u(t) = e−(1 + e−(1+2 j )t 2 2 2

y por tanto X (s) =

s + 1 1 1 1 1 + = 2 s + 2s + 5 2 (s + 1 2 j ) 2 (s + 1 + 2 j )

−

La funci´ on   X (s) tiene dos polos complejos conjugados   s =

−1 + 2 j y   s = −1 − 2 j ,

s = 1. En la Figura   5.8  se y un on cero se muestra el diagrama de polos y ceros de la X en funci´ (s) junto con su RC.

−

146

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

j

2 j



1  2 j

Figura 5.8: Diagrama de polos y ceros de la función on X (s).

5.3. 5.3. 5. 3.1. 1.

Tran ransfor sformad madas as de Lap Laplac lace e de de algu algunas nas fun funcio ciones nes Fun unci ci´ on impulso ´ on

La transformada de Laplace de la función on impulso se resuelve aplicando la propiedad de selectividad en la ecuación on (5.3 5.3). ). As´ı qu quee

 ∞

{δ (t)} =

L

5.3. 5. 3.2. 2.

δ (t)e−st dt = e −s(0) = 1

(5.6)

−∞

Fun unci ci´ on escal´ ´ on on unitario on

La función on escalón on hace que integral de la transformada de Laplace esté limitada para los valores mayores a cero y, por tanto, su transformada es igual a

 ∞

{u(t)} =

L

∞

u(t)e−st dt =

−∞

 

−st ∞

=



− e s

0

e−st dt

0

1 = , s

(5.7)

{s} > 0

En la Tabla Tabla 5.1 5.1 se se muestran algunos pares utiles u ´ tiles de transformadas de Laplace.

Juan Pablo Tello Portillo

5.4.. 5.4

147

Prop Pr opied iedad ades es de de la tra trans nsfor forma mada da de de Lapla Laplace ce

La mayor´ mayor´ıa de las propiedades de la transformada de Laplace tienen correspondencia directa con las propiedades de la transformada de Fourier. Sin embargo, en la transformada de Laplace hay que tener en cuenta la región on de convergencia para la cual es válida alida la transformación. on.

5.4. 5. 4.1. 1.

Line Li neal alid idad ad

Al igual que la transformada de Fourier, la transformada de Laplace dada por la ecuación on (5.3 5.3)) está definida por un operador lineal y, por lo tanto, cumple con la propiedad de linealid linealidad. ad. As As´´ı que, qu e, si una función on x (t) con transformada de Laplace X (s), entonces la transformada de la suma de dos o más as funciones es igual a la suma de cada una de RC  contiene las transformadas. Además, as, la la RC contiene a la región on que resulta de la intersección on de todas las regiones de convergencia de las funciones involucradas. Para el caso de dos funciones se tiene x(t) = ax 1 (t) + bx2 (t) x1 (t)

↔ X (s), con RC   = R x (t) ↔ X (s), con RC   = R L   {x(t)} = L   {ax (t) + bx (t)} = aX (s) + bX (s), con RC  conteniendo a R ∩ R 2

1

2

1

1

2

2

1

2

1

2

(5.8)

5.4. 5. 4.2. 2.

Corr Co rrim imie ien nto en el ti tiem empo po

Si una función on x(t) es desplaza un instante de tiempo t0 , la transformada de Laplace de esta función on es igual a la transformada de Laplace de la función on sin desplazar multiplicada por un exponencial complejo, donde el argumento indica la fase en el dominio transformado. Además, as, la región on de convergencia de la se˜ nal original no sufre ningún nal un cambi ca mbio. o. As´ı x(t) X (s), con RC   = R

↔ x(t − t ) ↔ 0

5.4.3. 5.4 .3.

X (s)e−st , con RC   = R

0

(5.9)

Corrim Cor rimien iento to en el el domini dominio o trans transfor formad mado o s

Si una función on x (t) es multiplicada por un exponencial complejo e −s t , la trans transformad formadaa de la Laplace de esta función on es igual a la transformada de Laplace de la función on desplazada en el dominio s. Además, as, la región on de convergencia de X (s) ta tambi´ mbién en es desplazada en un valor de Re( s0 ). Es decir 0

x(t)

↔

X (s), con RC   = R

148

x(t)e−s

0

5.4. 5. 4.4. 4.

t

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

↔

X (s

− s ), con RC   = R + (s ) 0

(5.10)

0

Esca Es cala la en el ti tiem empo po

Si una función on x (t) es escalada en el tiempo por un factor a , x (at), su transformada de Laplace es igual a la transformada de Laplace de la función on x(t), escalada en el dominio s por un factor de 1/a y además as multiplicada por factor de escalamiento en amplitud igual a 1/ a . As As´´ı mism mismo, o, la la   RC RC  original original se multiplica por el factor de escalamiento a. Esto es x(t) X (s), con RC   = R

||

↔ 1 x(at) ↔ |a| X

5.4. 5. 4.5. 5.



s , con RC   = aR a

(5.11)

Inv In ver ersi si´ o n en el tiempo ´ on

Si una función on x(t) tiene transformada de Laplace igual a X (s), entonces, la transformada de Laplace de su función on reflejada en el tiempo x( t) es también en refleja reflejada da en el dominio transformado, tal como X ( s). As´ı mis mismo mo,, la la   RC  se se refleja en los ejes σ y j ω del plano s. De esta manera se tiene

−

−

x(t)

↔ X (s), con RC   = R x(−t) ↔ X (−s), con RC   = −R 5.4. 5. 4.6. 6.

(5.12)

Dife Di fere renc ncia iaci ci´ on en el dominio del tiempo ´ on

Si una función on x(t) tiene transformada de Laplace igual a X (s), entonces, la transformada de Laplace de laon función o X n (en tiempo, es igual la igual transformada s) el de Laplace de la funci´ onderivada original de sinladerivar multiplicada por s .aDe manera, la   RC la RC    contiene a la la RC RC  de de la función on original y no es modificada, a menos que haya un cancelación on de un polo en s = 0. Esto es x(t) dx(t) dt

5.4. 5. 4.7. 7.

↔

↔

X (s), con RC   = R

sX (s), con RC  conteniendo a R

(5.13)

Dife Di fere renc ncia iaci ci´ on en el dominio transformado s ´ on

x(t) tiene transformada de Laplace igual a X (s), la transformada de Si una funci´ onfunci´ on Laplace de la on multiplicada por la variable t corresponde a la derivada de la on

Juan Pablo Tello Portillo

149

función on trasformada. Es decir x(t)

↔ X (s), con RC   = R − tx(t) ↔ dsd X (s), con RC   = R 5.4. 5. 4.8. 8.

(5.14)

Inte In tegr grac aci´ i´ o n en el dominio del tiempo on

Si una función on x(t) tiene transformada de Laplace igual a X (s), la transformada de Laplace de integral de la función on x(t) es igual a X (s) dividida por s. Además, as, la la RC RC    de X (s) y la RC  de contiene a la intersección on de la la RC la RC de la posible introducción on de un polo adicional en s = 0 debido al factor de multiplicación on 1/s. Este término ermino adicion adicional al s > 0. Esto es está especificado por una una RC RC  igual igual a

{ }

x(t)

 t

x(τ )dτ

−∞

5.4. 5. 4.9. 9.

↔

↔

X (s), con RC   = R

1 X (s), con RC  conteniendo a R s

∩{{s} > 0}

(5.15)

Con Co nvol oluc uci´ i´ on on

Si las funciones x1 (t) y x2 (t) con transformadas de Laplace X 1 (s) y X 2 (s) respectivamente, están an relacionadas mediante la operación on de convolución, on, entonces, la transformada de Laplace de esa operación on se representa como una multiplicación on en el dominio RC  total transformado s . La La RC total contiene a la intersección on de las regiones de convergencia de X 1 (s) y X 2 (s). Esto es x1 (t)

↔

x2 (t) x1 (t) x2 (t)

∗

5.4.10 5.4 .10..

↔

X 1 (s), con RC   = R 1 X 2 (s), con RC   = R 2

X 1 (s)X 2 (s), con RC  conteniendo a R 1

↔

∩R

2

(5.16)

Teor eorema emass de los los valo valores res inic inicial ial y final final

Los teoremas de los valores inicial y final permiten obtener el valor inicial x(0+ ), y el valor final x ( ), para la función on en el tiempo x (t) directamente de la función on transformada X (s). Es importante mencionar, que el teorema se aplica solo si todos los polos de X (s) están an ubicados en el semiplano complejo izquierdo del plano s, aunque se acepta un unico u ´ nico polo en el origen s = 0. Matemáticamente, aticamente, los val valores ores inicial y final están an dados respectivamente por l´ım sX (s) = x (0+ ) (5.17)

∞

s→∞

l´ım sX (s) = x ( )

s→0

∞

(5.18)

150

5.5.. 5.5

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

Tran ransfo sform rmad ada a inv invers ersa a de Lap Lapla lace ce

A partir de la definición on de la transformada de Laplace y de su correspondencia con la transformada de Fourier, se plantea una serie de operaciones lógicas ogicas con las cuales se va simplificando y se obtiene la expresión on matemática atica de la transformada inversa de Laplace. De esta forma, se expresa la transformada de Laplace de la se˜ nal x(t) en términ nal er minos os de la transformada de Fourier

   ∞

{x(t)} = X (s) = X (σ + j jωω) = F

L

x(t)e−σt =

jωtt x(t)e−σt e− jω dt

−∞

El objetivo es extraer x(t). Para esto se usa la transformada inversa de Fourier en la ecuación on ant anter erior ior.. As´ı −1

F

F

x(t)e−σt

=

−1

X (σ + j jω ω) =

F

  

{

x(t)e−σt =

1 2π

1

X (σ + j jω ω )e jω t dω

2π −∞



}



∞

∞

jωtt X (σ + j jω ω)e jω dω

−∞

Pasando e−σt al otro lado de la ecuación on se tiene 1 x(t) = 2π

 ∞

1 X (σ + j jω ω )eσt e jω t dω = 2π

−∞

 ∞

X (σ + j jω ω)e(σ+ jω )t dω

−∞

Ahora se expresa la variable ω en términos erminos de la variable s. De esta manera, si s = σ + jω , con σ igual a una constante, entonces ds = j jdω dω . La variable ω va var´ r´ıa de a , por tanto s variará desde σ j a σ + j . Reemplazando estos valores se tiene

∞

−∞

−∞

∞



σ + j ∞

1 x(t) = 2πj

X (s)est ds

σ − j ∞

operación on conocida como la transformada inversa de Laplace de X (s). on   X (s) dada por Ejemplo 5.5.1 Sea la funci´ X  ( (s) =

1 , s2 + 3s + 2

 {s} > 1

(5.19)

Juan Pablo Tello Portillo

151

Se factoriza el denominador para obtener X  ( (s) =

1 (s + 1) 1) (s + 2)

Luego se expande en fracciones parciales para realizar la transformada inversa X (s) =

A B + s+1 s+2

El proceso se realiza de manera completa solo para este primer ejemplo. Posteriormente, unicamente ´ se va a mostr mostrar ar los valores obtenidos después es de re realizar alizar la frac fracci´ ci´ on parcial correspondiente. Resolviendo la fracci´ on parcial 1 = A (s + 2) + B (s + 1) = (A + B )s + (2A + B ) A + B = 0

→ A = −B 2A + B = 1 → 2A − A = 1 A = 1 y B = −1 La funci´ on   X (s) expandida queda dada por X (s) =

1 s + 1

Teniendo en cuenta que la RC de  X X (s) es inversa de   X (s) corresponde a

− s +1 2

 {s} > −1 (Figura  5.9 5.9 ), ), la transformada

x(t) = e −t u(t)

e−2t u(t)

− 5.6. 5. 6.

Cara Ca ract cter eriz izac aci´ i´ on de los sistemas on

La salida de un sistema LIT sistema LIT   y (t) está dado por la operación on de convolución on de la señal nal de entrada x(t) y su respuesta al impulso h(t). Esto es y (t) = x (t) h(t)

∗

Transformando al dominio s y empleando la propiedad de convolución, on, la salida será igual a

Y (s) = X (s)H (s)

(5.20)

152

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

j



2 1

1

Figura 5.9: Diagrama de RC y polos y ceros de X (s). Despejando H (s) de la ecuación on (5.20 5.20)) se tiene H (s) =

Y (s) X (s)

(5.21)

A la expresión on H (s) se la conoce como la funci´ la funci´ on del sistema   o funci´ on de transferencia . La función on de transferencia, as´ as´ı como en la transformada de Fourier, representa la relación on existente entre la salida y la entrada del sistema en el domino transformado; y como se observa en la ecuación on (5.21 5.21), ), H (s) caracteriza completamente el sistema. Además, as, muchas propiedades de los sistemas sistemas LIT LIT  pueden pueden estar muy asociados con las caracte caracterr´ısticas de la función on del sistema H (s) en el plano s, y particularmente con la localiza localizaci´ ci´ on de los polos y la on la RC RC    [1], [3]. Entre ellas están an

5.6. 5. 6.1. 1.

Caus Ca usal alid idad ad

Tal como se comentó en el Cap Cap´´ıtulo 1. Un sist sistema ema es causa causall si su sali salida da en el tiempo presente depende de los valores presentes y/o pasados y no de sus valores futuros. Dicho de otra manera, la respuesta al impulso del sistema es cero, para instantes del tiempo menores a cero. Matemáticamente aticamente es h(t) = 0, para t < 0

En el dominio transformado, la causalidad de un sistema H (s) se evidencia cuando la RC la RC  cubre cubre un espacio en el plano s , que inicia desde una un a l´ınea perpendicular al eje σ y continua barriendo toda la región on hacia la derecha hasta + . En las figuras figuras 5.2 5.2,, 5.4 y 5.9 se puede observar este comportamiento.

∞

Al tenerse en funci´ cuenta expuesto, se puede afirmarnada que de la respuesta impulso ude un sistema, cuya onlo on que lo describe está acompa˜ nada un escalón onalunitario (t)

Juan Pablo Tello Portillo

153

es de naturaleza causal y, por tanto, su su RC  barre barre una región on que origina en un valor σ y contin´ ua hacia la derecha en el plano s. ua

5.6. 5. 6.2. 2.

Esta Es tabi bilid lidad ad

Un sistema sistema LIT LIT  es es estable si, para una entrada limitada en amplitud ( x(t)  k1 ), la salida sali da tamb tambi´ ién en esta estar´ rá limitada en amplitud ( y (t)  k2 ).

| |

| |

Dado que la salida del sistema y (t) es el resultado de la operación on de convolución on entre la entrada x(t) y la respuesta al impulso h(t), además as la entrada está limitada a un valor k1 , entonces, para que la salida tambi tambi´én en lo esté, e, se debe cumplir que [1]

    |

   |  | |

∞

|y(t)| = =

∞

h(τ )x(t

−∞ ∞

− τ )dτ 

−∞

− τ )| dτ (5.22)

∞

| | − τ ) dτ    k

h(τ ) x(t

−∞

h(τ )x(t

1

dado que x(t)  k1 , entonces x(t

|

h(τ ) dτ

−∞

| | | − τ )|  k . Para que |y (t)|  k , la respuesta al impulso debe ser absolutamente integrable, es 1

2

decir

 | ∞

−∞

|

h(t) dt = K <

∞

As´ı que y (t)  k1 K   = k 2 .

| |

En otras palabras, un sistema sistema LTI TI  es es estable si su respuesta al impulso h(t) tiene transformada de Fourier. Esta afirmación on permite concluir que los sistemas estables tienen transformada de Fourier y transformada de Laplace, mientras que los sistemas inestables tienen unicamente u ńicame nte transformada transf ormada de Laplace. Lapl ace. As´ı mismo, como la transfo transformarmada de Fourier de una función on es igual a la transformada de Laplace evaluada a lo largo de eje jω (σ = 0), entonces un sistema sistema LIT LIT  es es estable si y sólo olo si la la RC RC    de la función on del sistema H (s) incluye el eje j ω. Al tenerse en cuenta que los polos y ceros junto con la RC RC  caracterizan caracterizan la función on del sist sistema, ema, la estab estabilida ilidad d de un sist sistema ema f´ısic ısicamen amente te reali realizable zable est´ a asociada con la ubicación on de sus polos. Es decir, un sistema causal es estable si y solo si, todos sus RC polos están an ubicados en el semiplano complejo izquierdo del plano s . As´ı mis mismo, mo, la la RC estará dada a partir del polo ubicado más as a la derecha de los demás. as. on de un sistema LIT dada por Ejemplo 5.6.1 Sea la funci´ H (s) = 2 s 3 s + 3s + 2

−

154

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

La respuesta al impulso h (t) se calcula mediante la transformada inversa de Laplace dada por la ecuaci´ on    (5.19 on 5.19)). Para esto, primero se factoriza y luego se expande en fracciones frac ciones par parciales. ciales. H (s) =

−

s 3 5 = s + 2 (s + 2)(s + 1)

− s +4 1

Debido a que no hay una regi´ on de convergencia expl´ıcita ıcita par paraa el e l ejemplo ej emplo planteado, H (s) tiene se buscan todas las alternativas posibles de soluci´ on. La funci´ on del sistema  H dos polos en   s = 1 y   s = 2, y un cero en   s = 3.

−

−

Para una   H (s) causal y estable con RC s > 1, la respuesta al impulso est´ a dada por h1 (t) = 5e−2t u(t) 4e−t u(t)

  { { } − −

y su diagrama de polos y ceros se muestra en la Figura  5.10(a) Figura  5.10(a).. Para una   H (s) no causal e inestable con RC s < 2, la respuesta al impulso est´ a dada por h2 (t) = 5e−2t u( t) + 4e−t u( t)

−

{ } − { − −

y su diagrama de polos y ceros se muestra en la Figura  5.10(b) Figura  5.10(b).. Por ultimo, ´ para una   H (s) no causal e inestable con RC 2 < respuesta al impulso est´ a dada por

−

{s} < −1, la

h3 (t) = 5e−2t u(t) + 4e−t u( t)

−

y su diagrama de polos y ceros se muestra en la Figura  5.10(c) Figura  5.10(c)..

5.7. 5. 7.

Repres Repr esen enta taci ci´ o n en di ´ on diag agra rama ma de bloq loque uess par ara a sistemas LIT causales descritos por ecuaciones diferenciales

Los sistemas sistemas LIT LIT    pueden ser caracterizados mediante ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes [1 [1], [3], tal como N

 k=0

dk y (t) ak = dtk

M

 k =0

dk x(t) bk dtk

(5.23)

donde los coeficientes ak y bk son constantes reales. Aplicando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación on (5.23 5.23)) y utilizando las propiedades de linealidad y diferenciación on a se tiene N

 k=0

M

ak sk Y (s) =

 k=0

bk sk X (s)

Juan Pablo Tello Portillo

155

j



 2 1

3

(a)

j



 2 1

3

(b)

j



2

1

3

(c)

Figura 5.10: Diagrama de RC , ubicación on de polos y ceros de H (s). (a) H 1 (s), (b) H 2 (s), (c)H 3 (s).

156

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

Las funciones Y (s) y X (s) no dependen de k , por tanto, se pueden extraer de la sumatoria, quedando de la forma N

Y (s)



M

k

ak s = X (s)

k =0



bk sk

k=0

para finalmente obtener la relación on salida-entrada en el dominio transformado, que corresponde a la función on del sistema racional H (s) tal como

  M

H (s) =

Y (s) = X (s)

bk sk

k=0 N

ak sk

k=0

LIT  causales; De manera particular, se hará énfasis enfasis en los sistemas sistemas   LIT causales; que como es sabido, su región on de convergencia estará dada desde el polo ubicado más as hacia la derecha de los demás. as. Ejemplo 5.7.1 Sea la ecuaci´ on diferencial que describe un sistema LIT dada por

dy (t) + ay (t) = x (t) dt

Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuaci´ on se tiene sY (s) + aY (s) = X (s)

factorizando Y (s) queda Y (s)(s + a) = X (s)

Finalmente, la respuesta del sistema es igual a H (s) =

Y (s) 1 = X (s) s + a

La respuesta al impulso (soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial) est´ a dada por la trans formada inversa de   H (s). De esta manera   h(t) es h(t) = e −at u(t)

El diagrama de bloques se puede obtener directamente de la ecuaci´ on diferencial y a partir de este su equivalente en el dominio transformado s. Se supone que el sistema tiene condiciones iniciales iguales a cero (sistema en reposo). Un procedimiento consiste en la m´ axima derivada la salida posteriormente, quedespejar esté derivada. El pro proceso ceso se de muestra de y,manera simb´ olica,integrar donde lacuantas integralveces est´ a

Juan Pablo Tello Portillo

x(t ) 





y(t )

( )

X (s)

157





1



Y ( s)

s

 a

a

(a)

(b)

Figura 5.11: Diagrama de bloques que describe la ecuación on (5.24 5.24). ). (a) Dominio t, (b) Dominio s. X (s)





E (s) 

H1 (s)

Y ( s)

W ( s)  H 2 ( s)

Figura 5.12: Diagrama de bloques de la interconexión on de dos sistemas. representada unicamente representada ´ por su s´ımbolo ımbolo convencional conve ncional sin hacer h acer referencia al diferencial d iferencial.. Siguiendo lo expuesto se tiene dy (t) = x(t) dt y (t) =



− ay(t)

[x(t)

− ay(t)]

(5.24)

A partir de la ecuaci´ on    (5.24 on 5.24)) se construye el esquema (diagrama de bloques) de acuerdo a las operaciones que la describen. En la Figura  5.11 Figura  5.11 se se muestra el diagrama construido a partir de un elemento integrador y un elemento sumador, tanto en el dominio del tiempo como en el dominio transformado s. Un esquema similar al ejemplo anterior, permite obtener una ecuación on que generaliza la interconexión on realimentada de dos sistemas. En la Figura 5.12 Figura 5.12 se se muestra los sistemas interconectados y la notación on que se usa para resolver el diagrama. Esto para obtener la expresión on matemática atica que relaciona la salida con la entrada. Las ecuaciones ecuaciones que resul resultan tan del diagr diagrama ama de bloques para una reali realimen mentaci´ taci´ on negaon tiva están an dadas por E (s) = X (s) W (s) (5.25)

−

W (s) = Y (s)H 2 (s)

(5.26)

Y (s) = E (s)H 1 (s)

(5.27)

158

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

Reemplazando Reempl azando la ecuaci ecuación ón (5.25 5.25)) en la ecuación on (5.27 5.27)) se tiene Y (s) = (X (s)

− W (s)) H (s) = X (s)H (s) − W (s)H (s) 1

1

1

(5.28)

As´´ı mismo, reempla As reemplazando zando la ecuaci ecuación ón (5.26 5.26)) en la ecuación on (5.28 5.28)) se tiene Y (s) = X (s)H 1 (s)

Y (s)H 2 (s)H 1 (s)

−

Y (s) (1 + H 1 (s)H 2 (s)) = X (s)H 1 (s)

Finalmente, la relación on salida-entrada queda expresada como H (s) =

Y (s) 1 = X (s) 1 + H 1 (s)H 2 (s)

(5.29)

Si la realimentación on es positiva, la expresión on algebraica del denominador se ve modificada. La suma pasa a ser una diferencia. En forma general, para el esquema de la Figura 5.12 Figura 5.12,, la función on de transferencia es H (s) =

Y (s) X (s)

= 1

±

1

(5.30)

H 1 (s)H 2 (s)

Ejemplo 5.7.2 Sea la funci´ on del sistema causal dada por

H (s) =

1 s + 2

h (t) se calcula directamente usando la transforLa respuesta al impulso del sistema  h mada inver inversa sa de Laplace. As As´´ı que h(t) = e −2t u(t)

La ecuaci´ on diferencial que representa el sistema es dy (t) + 2y (t) = x (t) dt

y el diagrama de bloques corresponde al que se muestra en la Figura  5.13 5.13 Ejemplo 5.7.3 Sea el sistema LIT causal con funci´ on de transferencia

H (s) =

1 s2 + 7s + 10

La ecuaci´ on diferencial que representa el sistema es d2 y (t) + 7 dy (t) + 10y (t) = x (t) dt2 dt

Juan Pablo Tello Portillo

X (s)



159

1



Y (s)

s



2 Figura 5.13: Diagrama de bloques de la función on del sistema H (s). X (s)



1



s



Y ( s)

1

s

7

10







Figura 5.14: Diagrama de bloques de la función on del sistema H (s). Despejando y (t) se tiene y (t) =

   

x(t)

−

dy (t) 7 dt

− 10y(t)



El correspondiente diagrama de bloques en el dominio transformado s se muestra en la Figura  5.14. 5.14. Como se puede observar, la derivada de la funci´ on de salida se extrae antes del segundo bloque integrador. Es l´ ogico ya que, para obtener la funci´ on   y (t) a la salida, es porque antes del integrador existe la funci´ on   dy (t)/dt. Factorizando el denominador de   H (s) se tiene H (s) =

1 (s + 5)(s + 2)

(5.31)

expresi´ on con la que se puede obtener un diagrama de bloques diferente al inicial, el cual se representa en la Figura  5.15 5.15 . X (s)



 

1

s

2



 

1

Y ( s)

s

5

Figura 5.15: Diagrama de bloques de la función on del sistema H (s).

160



Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

1



13

s





X (s)

Y ( s)



2

 

1



13

s



5

Figura 5.16: Diagrama de bloques de la función on del sistema H (s). De igual manera, aplicando fracciones parciales a la ecuaci´ on    (5.32 on 5.32)) se halla otra expresi´ on y de igual manera, un nuevo diagrama de bloques. Esto es H (s) =

1/3

1/3

(5.32)

s + 2 s + 5 el diagrama de bloques se muestra en la Figura  5.16 5.16 .

−

Ejemplo 5.7.4 Sea el sistema LIT causal con funci´ on de transferencia

2s2 6s + 4 H (s) = 2 s + 7s + 10

−

Como se mostr´ o, existen diferentes métodos etodos para para implementar un diagrama de bloques de   H (s). Dado que el polinomi olinomioo del denomin denominador ador es id´ entico al del ejemplo anteentico rior, se divide la funci´ on del sistema en dos bloques. De esta manera se tiene 1 H s s2 ( ) = s2 + 7s + 10 2

−

s 6 + 4

El primer bloque corresponde al mismo diagrama de la Figura   Figura   5.14. 5.14. Por lo tanto, el segundo bloque se puede conectar directamente al primero tal como se muestra en la Figura    5.17 , teniendo en cuenta que cada una de sus potencias de   s indican el orden Figura en que es derivada la salida del primer bloque. Por ´ ultimo, se obtiene el diagrama que se muestra en la Figura  5.18 5.18 . 1 s

2



7s  10

2 s 2  6 s  4

Figura 5.17: Función on del sistema H (s) dividida en dos bloques.

Juan Pablo Tello Portillo





 

2 X (s)



6

4

1

s





Y (s)



1



161

s

7

10







Figura 5.18: Diagrama de bloques de la función on del sistema H (s).

Tabla 5.1: Par de Transformadas de Laplace x(t)

X (s)

δ (t) u(t)

1

tk u(t) e−at u(t)

−e−at u(−t) te−at u(t)

−te−at u(−t) cos ω0 tu tu((t) sin ω0 tu tu((t) e−at cos ω0 t u(t) e−at sin ω0 t u(t)

1 s 1 s 1 s2 k!

−u(−t) tu((t) tu

sk+1 1 s + + a a

RC

Todo s

1 s + + a a 1 (s + + a a))2 1 (s + + a a))2 s 2 s + ω02 ω0 s2 + ω02 s + + a a (s + + a a))2 + ω02 ω0 (s + + a a))2 + ω02

{s} > 0 {s} 0 {s} > 0 {s} > −a

{s} < −a {s} > −a {s} > −a {s} > 0 {s} > 0 {s} > −a {s} > −a

162

Introducci´ on a las se˜ nales y sistemas

Tabla 5.2: Propiedades de la Transformada de Laplace

Propiedad

Linealidad

Desplazamiento en s

Escalamiento

X (s)

x(t)

X (s)

R

x1 (t)

X 1 (s)

R1

x2 (t)

X 2 (s)

R2

− t0)

e−st X (s)

es t x(t)

X (s

x(t 0

RC

−

Derivada en s en s

Integraci´ on on

dx(t) dx( dt

−tx tx((t)

t

x(τ τ ))dτ

 ∗

−∞

x1 (t) x2 (t)

− s0 )

R = R R + +

{s0}

1 X (s) a

R = aR

X ( s)

−

R =

sX (s)

dX (s) ds 1 s X (s)

⊃ R1 ∩ R2 R = R

||

x( t)

R

0

x(at at))

Derivada en el tiempo

Convolución on

a1 x1 (t) + a + a2 x2 (t) a1 X 1 (s) + a + a2 X 2 (s)

Desplazamiento en el tiempo

Inversión on

x(t)

X 1 (s)X 2 (s)

−R R ⊃ R R = R



R

⊃ R ∩{{s} > 0} R ⊃ R1 ∩ R2

Juan Pablo Tello Portillo

163

Ejercicios 1. Hallar la transformada de Laplace, la región on de convergencia y el diagrama de polos y ceros de las siguientes funciones definidas en el tiempo (a). x(t) = 2e−2t u(t) + 3e−3t u(t) (b). x(t) = 2e2t u( t) + 3e3t u( t)

−

−

(c). x(t) = e −3t u(t) + sin(2t)u(t) 2. Hallar la función on en el tiempo para cada una de las siguientes transformadas de Laplace (a). X (s) =

s+1 , (s+1)2 +9

(b). X (s) =

s+2 s2 −7s+12 2

{s} > −1 , {s} > −3 , {s} > −1

s+1 (c). X (s) = s(s−+1) 2

3. Sea el sistema LIT que relaciona la entrada x(t) con la salida y (t) mediante la ecuación on diferencial

d2 y (t) dy (t) + 4 + 3 = x (t) dt2 dt

(a). Hallar la función on del sistema H (s) y realice el diagrama de polos y ceros correspondiente. (b). Hallar Hallar las difere diferente ntess respuestas respuestas al impul impulso so h (t) y su correspondiente función on del sistema con su su RC RC    asociada. (c). Realice Realice al menos tres diferente diferentess configuraciones configuraciones de diagramas de bloques del sistema.

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165

Esta obra, editada en Barranquilla por Editorial Universidad del Norte, se terminó de imprimir en los talleres de Xpress Estudio Gráfco y Digital en agosto de 2017. Se compuso en CMR12

1-0 Preliminares - Indd - Tello Portillo, Juan Pablo

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