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UNIVERSI UNIVERSIDAD DAD NACION NA CIONA A L MAYOS DE SAN MARCOS FACULTAD FACULTA D DE MEDICIN MEDICINA A HUMANA HUMANA SOCIEDAD CIENTÍFICA DE SAN FERNANDO

IV CURSO T- P DE ESTA ES TAD DÍSTICA ESTAD  Ap  A p l i c ada ad a a la l a Cien Ci encc i as d e la l a Salu Sal u d

INTRODUCCIÓN A LAS L AS PROBABILIDADES Mg. Ysela Ysela agüero Palacios Palaci os

PROBABILIDAD El concepto de probabilidad se encuentra con bastante frecuencia en la comunicación entre las personas. El paciente tiene una oportunidad de 50% de sobrevivi sobrevivirr a una operación operación determina determinada da  El paciente tiene 80% de  posibilidades  de tener la enfermedad X  Una fuente fuente auto autoriz rizada ada del del Mini Ministe sterio rio de de Salud; Salud; declara a la prensa de que el año pasado la  prevalencia  de enfermedades respiratorias en niños menores de un año en Lima fue de 8 %. 

PROBABILIDAD El concepto de probabilidad se encuentra con bastante frecuencia en la comunicación entre las personas. El paciente tiene una oportunidad de 50% de sobrevivi sobrevivirr a una operación operación determina determinada da  El paciente tiene 80% de  posibilidades  de tener la enfermedad X  Una fuente fuente auto autoriz rizada ada del del Mini Ministe sterio rio de de Salud; Salud; declara a la prensa de que el año pasado la  prevalencia  de enfermedades respiratorias en niños menores de un año en Lima fue de 8 %. 

PROBABILIDAD En todos los ejemplos, se esta dando la  medida de la ocurrencia de un evento que es incierto : 

Sobrev Sobrevivi ivirr a la operaci operación, ón,



Tener una enfermeda enfermedad d partic particular ular



La ocurrencia ocurrencia de enfermedad enfermedades es respirat respiratoria, oria,

mediante un número entre cero cero y uno uno (o en porcentajes)

PROBABILIDAD Intuitivamente podemos observar que cuanto más  probable es que ocurra el evento de interés, su medida de ocurrencia estará más próximo de uno o del 100% y cuanto menos probable más se aproximará a cero. De aquí se deduce que; un hecho o evento que no puede ocurrir tendrá probabilidad igual a cero y uno cuya ocurrencia es segura tendrá  probabilidad igual a uno.

DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD Enfoques de la definición Aunque parece un concepto simple, debido a que es utilizado cotidianamente de manera intuitiva, su definición formal puede ser un poco complicada desde el punto de vista matemático.

⎧Subjetiva o personalistica ⎪ ⎪ Enfoques = ⎨ Clasica o apriori ⎪Objetiva ⎧⎨ ⎪⎩ ⎩Frecuencia relativa o aposterior i

DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD Probabilidad subjetiva o personalística (Savage 1950) La probabilidad mide la confianza que el individuo tiene sobre la certeza de una proposición determinada. Ejemplo Basado en su experiencia, un salubrista puede afirmar que este verano tendremos una epidemia de cólera con una probabilidad de 0.01%. Este concepto de las probabilidades ha dado lugar a un enfoque del análisis de datos estadísticos denominado “ Estadística Bayesiana”.

DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD

Probabilidad Clasica o apriori (Data del siglo XVIII (Pascal, Fermat), se desarrolla al intentar resolver problemas relacionados con juegos de azar (dados, monedas, ruleta, etc.) Se calculan las probabilidades mediante un razonamiento abstracto (No es necesario lanzar una moneda correcta para saber que la probabilidad de obtener sello es ½).

DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD

Probabilidad Clasica o apriori Definición .- Si un evento puede ocurrir de N, formas, las cuales se excluyen mutuamente y son igualmente probables, y si m de estos eventos poseen una característica E, la probabilidad de ocurrencia de E es igual a m/N.

P ( E ) =

m  N 

DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD

Frecuencia relativa o aposteriori Depende de la repetibilidad de algunos procesos (número de ensayos) y la capacidad de contar el número de repeticiones asi como el número de veces que un evento de interés ocurre (frecuencia). La probabilidad de observar un evento o característica E se define como la frecuencia relativa.

DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD

Frecuencia relativa o aposteriori Definición.- Si un proceso es repetido un gran número de veces, y si algún evento resultante, con la carácterísitica E, ocurre m veces, la frecuencia relativa de la ocurrrencia de E , m/n, es aproximadamente igual a la probabilidad de ocurrencia de E.

P ( E ) =

m n

Si n suficientemente grande

DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD

Frecuencia relativa o aposteriori Ejemplo.- . Supongamos que se analiza la sangre de todos los pacientes de un hospital (Población). En primer lugar enumeramos exhaustivamente los posibles tipos de sangre (evento) que puede poseer un individuo y contamos el número de personas con cada tipo de sangre (frecuencia absoluta), luego calculamos la proporción de personas con cada tipo de sangre (Frecuencia relativa).

Frecuencia relativa o aposteriori (Ejemplo) Tipos de sangre y frecuencias relativas. Tipos de Número de Sangre individuos

Frecuencia relativa

O

326

0.326

 A

480

0.480

B

120

0.120

 AB

74

0.074

Total

1000

1.000

1. Los eventos son mutuamente excluyentes (Sólo puede tener un tipo de sangre 2. La frecuencia relativa de cada posible evento es un número entre cero y uno.

3. La suma de todas las frecuencias relativas es igual a 1

PROPIEDADES ELEMENTALES DE PROBABILIDAD 1. La probabilidad de cualquier evento E , es un número positivo P(E)

0

2. La suma de las probabilidades de todos los resultados posibles de un ensayo; E1, E2, ..., En , mutuamente excluyentes; es igual a uno P(E1)+P(E2)+...+P(En )= 1 3. Si se tiene dos eventos mutuamente excluyentes E 1 y E2, la probabilidad de E1 es igual a 1 menos la probabilidad de E2 P(E1)=1-P(E2)

Ejemplo Ejemplo: En un estudio realizado con una población de 5000

mujeres con edades entre 40 y 45 años, usuarias de anticonceptivos orales se encontró 13 casos de infarto de miocardio.

Estado

Número de casos

Probabilidad empírica

Porcentaje

Infarto (D+)

13

0.0026

0.26 %

NO infarto (D-)

4987

0.9974

99.74

 Total

5000

1.0000

10.00

APLICACIONES DEL CONCEPTO DE PROBABILIDAD   

 

Prevalencia Incidencia Tamizaje 

Sensibilidad



Especificidad



Probabilidad de falsos positivos



Probabilidad de falsos negativos



Valor predictivo

Muestreo Inferencia estadística (Pruebas de hipótesis, intervalos de confianza).

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Concepto de variable una variable es una propiedad o atributo que puede variar de un individuo (u objeto) a otro y que es susceptible de ser medida. Clasificación de variables :

Cualitativas (Categóricas).- Las mediciones solo expresan cualidades (Enfermo-sano, femenimomasculino, etc.) Cuantitativas (Numéricas).- Cantidad del atributo (edad, cantidad de glucosa en sangre, etc.)

INTRODUCCIÓN A LAS PROBABILIDADES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Concepto de variable aleatoria Una variable se dice que es aleatoria, si los posibles valores que puede tomar son determinados por el azar. En otras palabras se sabe que valores puede tomar pero no se tiene certeza de su ocurrencia, sólo se sabes que pueden ocurrir con una cierta probabilidad.

Ejemplo. En una epidemia de cólera, se sabe que una persona cualesquiera puede enfermarse o no (eventos o posibles resultados), pero no se sabe si enfermará. Solamente se puede decir que existe una probabilidad p de que enferme.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Clasificación de variables aleatorias Variable aleatoria discreta.- Cuando el resulta de contar el número de veces que ocurre un evento. Por ejemplo: X: Número de personas que presentan la enfermedad (evento de interés ) .

Variable aleatoria Continua.- Cuando el resultado es un número que indica cantidad del atributo que posee el individuo. X: Cantidad de colesterol en plasma

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Ejemplo de Variable Aleatoria Discreta En un centro de salud se da charlas sobre planificación familiar a un grupo de mujeres. Luego se les preguntará si desearían ser sometidas a esterilización femenina. Una vez finalizada la charla se les entrega un papelito con una única pregunta : ¿

Ud. desearía ser esterilizada ? 1. SI

( )

2. NO

(

)

La variable “Deseo de ser esterilizada”, es categórica y puede tomar dos posibles valores : “Si desea” y “ no desea”.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS Ejemplo de Variable Aleatoria Discreta (Continuac.) El personal del centro de salud que da las charlas está interesado en investigar si las charlas tienen un efecto favorable en el sentido de que las mujeres se decidan a ser sometidas a la esterilización. En consecuencia su variable de interés será: X : Número de mujeres que aceptarían ser esterilizadas.

Esta es una variable discreta por que es el resultado de contar el número de eventos (aceptar la esterilización)

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Variable Aleatoria Discreta En general la variable aleatoria discreta se refiere al: X : Número de éxitos

Considerando que puede ocurrir uno de dos posibles resultados : Éxito o fracaso.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Distribución de Probabilidad Discreta La distribución de probabilidades de la variable aleatoria discreta X, especifica todos los posibles valores de la variable aleatoria (x) con su respectiva probabilidad de ocurrencia (P(x)), esto es (x, P(x)).

x

P(X)

0

0.125

1

0.375

2

0.375

3 Total

0.125 1.000

Ejemplo.- Se extrae una muestra aleatoria de 3 mujeres y se construye la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X:

Número de mujeres que aceptarían ser esterilizadas

Se asume que la probabilidad de que una mujer acepte ser esteri liizada es de 50%

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS a) Distribución Bernoulli X : Número de éxitos en un ensayo (n=1)

P(x) = p (1-p),

p: probabilidad de éxito

X: número de casos de tifoidea en una muestra de tamaño 1 p : Prevalencia de la tifoidea en la población.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS b) Distribución Binomial X : Número de éxitos en n ensayos (n>1) ⎛ n ⎞  x 1− x ; x = 1,2,..., n P( x)= ⎜⎜ ⎟⎟ p (1 −  p ) ⎝  x ⎠

p: Probabilidad de éxito

Ejemplo: X: número de casos de tifoidea en una muestra de 200 personas p : Prevalencia de la tifoidea en la población.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS c) Distribución Poisson

X : Número de éxitos (en un intervalo de tiempo, un área o un espacio) − λ   x e λ  ; x = 0,1,2,... ; λ  ≥ 0 P ( x )=  x! Ejemplo: X : Número de nuevos casos de tifoidea durante el 2005

: Incidencia de tifoidea en la población en el 2005

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS Cuando las variables aleatorias son continuas, las distribuciones de probabilidad asociadas son modelos matemáticos que dan lugar a curvas, por lo tanto, las probabilidades son áreas bajo las curvas. Algunas distribuciones de probabilidad continuas importantes en el análisis estadístico de datos     

Normal o gaussiana, T de Student, Chi cuadrada F de Snedecor Exponencial

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS Distribución normal

Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución. Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES NORMAL Distribución normal

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES NORMAL hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal •   Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales,

plantas,...) de una especie, p.ejm. tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,... •   Caracteres fisiológicos , por ejemplo: efecto de una misma dosis

de un fármaco, o de una misma cantidad de abono. •   Caracteres sociológicos , por ejemplo: consumo de cierto

producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen. •  Caracteres psicológicos , por ejemplo: cociente intelectual, grado

de adaptación a un medio,... •   Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES NORMAL Representación gráfica de esta función de densidad

Representación : N ( ,

2)

AREAS BAJO LA CURVA NORMAL