08. Vratila i osovine

Osovine i vratila su nosači obrtnih elemenata. Po obliku su slični, a bitno se razlikuju po opterećenju i proračunu, pošto osovine trpe savijanje i eventualno aksijalne sile, dok vratila osim tih istih opterećenja prenose i obrtni moment, pa trpe i uvijanje. Osovine se obrću zajedno sa elementima na njima, mogu samo da osciluju, a mogu biti i nepokretne, pri čemu se obrtni elementi vrte oko njih. Na slici shematski je prikazan transporter sa gumenom trakom, na čijem se pogonskom bubnju nalazi vratilo, a na povratnom osovina; iz ovog primera jasno se vidi razlika izmedju osovine i vratila.

Slika 1. Razlika izmedju vratila i osovine

1

Rukavac je deo vratila, osovine ili osovinice, preko kojeg se ovi elementi oslanjaju na ležište. Rukavci su podeljeni prema pravcu delovanja sile, prema obliku i prema položaju na vratili ili osovini.

2

Proračun rukavca biće izložen na primeru cilindričnog radijalno opterećenog rukavca. Na istom principu proračunavaju se i drugi rukavci, uzimajući u obzir specifičnosti.

Prečnik spoljašnjeg rukavca kliznog ležišta dobija se na osnovu dopuštenog površinskog pritiska:

p=

F ≤ pd d ⋅l

Ako se uvede konstrukcijska karakteristika rukavca kao odnos:

ϕ=

l , može da se piše: d

p=

F ≤ pd ⇒ d = d ⋅ϕ 2

F pd ⋅ ϕ

- obično se usvaja ϕ = 0,5 ... 1, 2. Dopušteni površinski pritisak je dobijen na osnovu brojnih ispitivanja. Ovde navodimo samo nekoliko orijentacionih: - za rukavac od čelika i posteljicu od livenog gvoždja – 3 MPa - čelik po mašinskoj bronzi ili mesingu – 5 MPa - kaljeni čelik po posteljici od belog metala – 9 MPa Za unutrašnje rukavce prečnik je odredjen na osnovu proračuna osovine odnosno vratila, a iz prethodnih obrazaca odredjuje se dužina: l=

F d ⋅ pd

Zagrevanje rukavca u kliznom ležištu proverava se preko karakteristike zagrevanja, koja predstavlja proizvod nazivnog površinskog pritiska p i obimne brzine v. Karakteristika zagrevanja mora biti manja od dopuštene vrednosti (pv)d utvrdjene empirijski, za rayne uslove.

p ⋅ v ≤ ( pv) d Vrsta rukavca, namena obični rukavci koji rade u oblasti trenja okvašenih površina, sa okolnim vazduhom koji miruje rukavci transmisionih vratila rukavci vagonskih osovina rukavci kolenastih vratila lokomotiva veštački hladjeni rukavci 3

(pv)d , MW/m2 0,8 … 2 1,5 …2 3,5 … 5 7 … 10 4…9

Slika Vagonska osovina Osovine trpe poprečne sile u jednoj ili više ravni, a mogu imati i aksijalnu silu. Te sile izazivaju savijanje, te se prečnik odredjuje na osnovu napona na savijanje:

Mf = W ⋅ σdf - za kružni poprečni presek osovine, W = - prečnik može da se izračuna: d = 3

d 3 ⋅π , 32

32 ⋅ Mf 10 ⋅ Mf ≈3 . π ⋅ σdf σdf

Za šuplju osovinu koriste se sledeće jednakosti: W =

d 3 ⋅π (1 − ψ 4 ) , 32

- za unutrašnji prečnik du: ψ = - d ≈3

du d

10 ⋅ Mf (1 − ψ 4 ) ⋅ σdf

Proračunski model osovine predstavlja prostu gredu ili gredu sa prepustom. Najbolje iskorišćenje materijala, tj. najmanji utrošak materijala dobija se sa takvim oblikom osovine, da napon u svakom preseku bude jednak i najveći koji se dopušta, što je izraženo kao:

σf = const = σdf 4

Osovina koja ispunjava navedeni uslov naziva se idealna osovina. Ako se posmatra deo osovine od tačke A do 1, u bilo kom preseku udaljenom x od tačke A, moment savijanja iznosi: d 3π FA ⋅ x = ⋅ σdf 32 Poluprečnik osovine r, iz ove jednačine može da se izrazi kao: r3 =

32 ⋅ FA ⋅ x , ili r 3 = C ⋅ x . 2 ⋅ π ⋅ σdf 3

Veličina:

32 ⋅ FA = const = C 2 ⋅ π ⋅ σdf 3

Poslednja jednačina predstavlja kubnu parabolu sa temenom u tački O1, što znači da idealna osovina u delu od A do 1 treba da bude kubni paraboloid ca centrom u tački O1 odnosno osloncu A. U preseku 1 – 2, odgovarajuća jednačina bi imala oblik kubne parabola sa centrom u tački O2 i jednačinom:

r 3 = C1 + C 2 ⋅ x Karakteristično je da bi idelan osovina imala oblik cilindra za sličaj F1 = F2 . Idealna osovina u obliku kombinacije kubnih paraboloida nije pogodna za praktičnu primenu, tj. izradu i montažu. Umesto nje koristi se osovina koja predstavlja kombinaciju cilindar i konusa, pri čemu njihova kontura treba da bude što bliža konturi idealne osovine, ali u nju ne sme da prodire.

Slika Idealna osovina 5

Osovinice se najčešće koriste za obezbedjivanje zglavkaste veze. Pošto su kratke, kod njih savijanje nije veliko, a trpe još i površinski pritisak i smicanje. Osovinica je obično nepomična u odnosu na viljuškasti deo, dok središnji deo osciluje, tj. pokreće se u odnosu na osovinicu, a može biti i okretljiva.

Slika Nekoliko primera osovinica.

Slika Osovinica bez naslona Osiguranje osovinica protiv obrtanja i aksijalnog pomeranja može se izvesti na više načina. Vredi istaći uskočnik (Zegerov elastični prsten), koji može biti spoljašnji ili unutrašnji kada se montira na glavčinu.

Slika Spoljašnji uskočnik

6

Slika Unutrašnji uskočnik Dovoljno tačan proračunski model osovinice biće dat kroz sledeći primer. Kontinualno opterećenje srednjeg dela zamenjeno je sa dve koncentrisane sile po F/2. Najveći moment savijanja vlada u srednjem delu osovinice (Mf u odnosu na sredinu osovinice) :

Mf =

F ⎛ L−l l ⎞ F l F ⋅L ⋅⎜ + ⎟− ⋅ = 2 ⎝ 4 2⎠ 2 4 8

Napon savijanja iznosi: F ⋅L Mf σf = = 83 ≤ σ df , odakle sledi: W d π 32 d =3

4⋅ F ⋅ L σ df ⋅ π

Potrebna dužina rukavca odredjuje se na osnovu površinskog pritiska:

p=

F F ≤ pd ⇒ l = d ⋅l d ⋅ pd

Dopušteni napon na površinski pritisak odredjuje se prema parovima materijala koji su u kontaktu:

- čelik po livenom gvoždju – 3 MPa, - čelik po mašinskoj bronzi i li mesingu – 5 MPa, - kaljeni čelik po belom metalu – 9 MPa, - kaljeni čelik po kaljenom čeliku – 15 MPa. Napon smicanja za proračunati prečnik d proverava se po obrascu:

τs =

F ≤ τ ds d 2π 2⋅ 4

7

Slika Osovinica i shema opterecenja 8

Prema obliku vratila mogu biti prava, kolenasta i gipka. - Prava vratila su najzastupljenija, obično su kružnog preseka, ponekad šuplja, a kao posebna varijanta i teleskopska (menjaju dužinu). - Kolenasta vratila koriste se kod klipnih mašina (motora sa unutrašnjim sagorevanjem, kompresora, itd.) i kod još nekih mašina. - Gipka vratila su od pletene žice i mogu da rade savijajući se u svim pravcima; koriste se za manje snage npr. kod malih prenosnih brusilica, zubarske mašine i sl. Prema ulozi vratila mogu biti radna, vratila prenosnika snage i vratila motornih mašina. - Radnim vratilima prema ovoj uslovnoj podeli, smatraju se vratila koja na sebi nose neki element koji izvršava radni proces, npr. vratila pumpnog kola, radnog točka bagera, struga itd. - Vratila motornih mašina se nalaze npr. kod motora sa unutrašnjim sagorevanjem (kolenasto vratilo) ili kod elektromotora (pravo vratilo). - Vratila prenosnika su mahom na raznim reduktorima, menjačima itd.

Slika Primer pravog vratila, odnosno vratila motornih mašina – vratilo elektromotora

9

Slika Primer kolenastog vratila, odnosno vratila motornih mašina - kompresor

Slika Gipko vratilo Vratila, osovine i osovinice izradjuju se uglavnom od čelika. Vratila se najviše izrađuju od Č.0545 (renomirani evropski proizvodjači reduktora deklarišu u prospektima ovaj čelik), ali i od Č.0645, Č.0445, Č.0745. Koristi se i Č.1530, Č.1730, za veće zahteve Č.4130, Č.3130, a za motorna vozila i slične veće zahteve Č.4320, Č.4321, Č.5421, itd. Matereijal vratila je višeg kvaliteta ako se zupčanik izradjuje izjedna sa vtratilom. Za izradu se koriste valjani okrugli profili ili otkivci, a ponekad, za kolenasta vratila i liveni materijali kao liveno gvoždje sa 10

sferoidnim grafitom, nodularni i čelični liv. Najbolji kvalitet vratila i osovina postže se kovanjem. Osnovna obrada vratila i osovina je na strugu; u tom cilju na krajevima vratila se posebnim alatom – zabušivačem, izradjuju središnja gnezda. Ona su definisana standordom JUS M.A5.210, odnosno DIN 332 T1 iz 1986. godine.

Slika Središnja gnezda

Slika Fotografija pravog vratila, odnosno vratila reduktora

11

Slika Fotografija ulaznog vratila reduktora, izjedna izradjenog sa koničnim pogonskim zupčanikom Vratila su opterećena prostornim sistemom sila i spregova. Sile izazivaju savijanje, a spregovi uvijanje. Opterećenje potiče od: - Sopstvena težina: vratila; elemenata na vratilu kao što su: zupčanici, kaišnici, lančanici, spojnice; zatim radni elementi, npr. bubanj trake ili čeličnog užeta, pumpno kolo, radni točak bagera, itd. - Sile i spregovi od elemenata na vtatilu. Ako elementa koji se nalazi na vratilu trpi periferne sile simetrično rasporedjene one se medjusobno uravnotežavaju, pa se sila na vratilu ne prenosi, te deluje samo spreg; takav slučaj je kod spojnice, pumpnog kola, ventilatora, namotaja elektromotora, elise aviona, brodske elise, itd. Ako pak periferna sila nije uravnotežena, ona se prenosi na vratilo i izaziva njegovo savijanje. Takav slučaj je sa perifernom silom zupčanika, lančanika, kaišnika, sa otporom kopanja n arotornom točku bagera, itd. Od tih sila potiče savijanje i uvijanje. - Osim ovih sila na vratilo deluju i sile pritiska tečnosti i gasa (pumpe, ventilatori), zatim centrifugalne sile usled eksecentričnosti točkova ili samog vratila, tj. usled pomerenosti težišta od obrtne ose, sile zbog iznenadnog udara i preopterećenja, netačne montaže, itd.

PRORAČUN VRATILA Dimenzije vratila odredjuju se proračunom čvrstoće, koji treba da garantuje da se vratilo neće slomiti u toku projektovanog veka trajanaja. Osim proračuna čvrstoće , neka vratila treba da se proračunaju na krutost (npr. vratila alatnih mašina, od čije krutosti zavisi tačnost izradjenih delova), a za neka vratila potreban je i proračun stabilnosti, tj. izračunavanje kritičnog broja obrta, pri kome bi došlo do rezonance, a time i do velikih, opasnih vibracija. Ovaj problem javlja se kod radnih vratila na kojima se nalaze velike mase rotora , diskova i radnih kola (turbine). Od pomenuta tri kriterijuma proračuna vratila (čvrstoća, krutost i stabilnost), kriterijum čvrstoće primenjuje se u proračunima svih vratila, dok se ostala dva primenjuju prema potrebi. 12

0. Definisati karakteristične tačke na vratilu: x1, x2, ....

1. Momenti uvijanja: 1.1. Izračunati obrtne momente u karakterističnim tačkama: Mo =

P

ω

,

ω=

π ⋅n 30

.

1.2. Nacrtatati dijagrame obrtnih momenata 1.3. Očitati sa dijagrama vrednost momenata uvijanja u karakterističnim tačkama, sa leve i sa desne strane: Mt x1 l , Mt x1 d , Mt x2 l , Mt x2 d, ...............

2. Momenti savijanja: 2.1. Nacrtati dato vratilo u horizontalnoj i vertikalnoj ravni 2.2. Ucrtati težine i druge aktivne sile i sile otpora oslonaca, prema šemama opterećenja za: zupčanike, kaišnike, lančanike ...

13

Cilindrični zupčanici sa pravim zubima:

2 ⋅ T1 2 ⋅ T2 = Ft 2 = ; d1 d2

- tangencijalna sila:

Ft1 =

- radijalna sila:

Fr1 = Ft1 ⋅ tgα n = Fr2 = Ft 2 ⋅ tgα n ;

14

Cilindrični zupčanici sa kosim zubima:

2 ⋅ T1 2 ⋅ T2 = Ft 2 = ; d w1 d w2

- tangencijalna sila:

Ft1 =

- radijalna sila:

Fr1 = Ft1 ⋅ tgα w = Ft1 ⋅ tgα n / cos β w = Fr2 = Ft 2 ⋅ tgα w = Ft 2 ⋅ tgα n / cos β w

- aksijalna sila:

Fa1 = Ft1 ⋅ tgβ w = Fa2 = Ft 2 ⋅ tgβ w

15

Konusni zupčanici sa pravim zubima:

- tangencijalna sila:

Ft1 =

2 ⋅ T1 2 ⋅ T2 = Ft 2 = ; d w1 d w2

- radijalna i aksijalna sila:

Fr1 = Ft1 ⋅ tgα n ⋅ sin γ 2 = Fa2 = Ft 2 ⋅ tgα n ⋅ sin γ 2

Fr2 = Ft 2 ⋅ tgα n ⋅ cos γ 2 = Fa1 = Ft1 ⋅ tgα n ⋅ cos γ 2 16

Kaišnik:

Opterećenje vratila kod kaišnika je rezultujuća sila iz vučnog F1 i pasivnog ogranka kaiša F2 . Priblišno je usmerena prema centru drugog kaišnika i iznosi :

e µ ⋅α + 1 Fk = µ ⋅α ⋅ Ft = C ⋅ Ft e −1 Za praktične grublje proračune uzima se da je koeficijent C = 2 ... 2,5 za trapezni kaiš, odnosno C = 3 za plosnati kaiš. Lančanik:

Osnovno opterećenje vratila na mestu lančanika je tangencijalna sila, koja se uzima u pravcu centra drugog lančanika:

Ft1 =

2 ⋅ T1 2 ⋅ T2 = Ft 2 = d1 d2

Kada je značajno, uzima se u obzir i težina lanca, koja je data po katalozima proizvođača mo metru dužnom (m`). Za horizontalni položaj lančanog prenosnika, na svako vratilo se uzima po pola težine lanca, a za vertikalni položaj lančanika, cela težina na gornjem lančaniku. 17

Eksentričnost Odstupanje težišta točka od obrtne ose za veličinu eksentričnosti (e) generiše centrifugalnu silu Fc, koja se obrće pri radu:

Fc = m ⋅ e ⋅ ω Obično je teško odrediti ovu silu, pa se često i zanemaruje. Primer: - eksentricitet e = 2 mm, - masa točka m = 50 kg, - ugaona brzina ω = 1000 rad/s.

Fc = 50 ⋅ 0,002 ⋅ 100 = 1000 N = 1 kN

2.3. Izračunati vrednosti aktivnih sila na elementima koji se nalaze na vratilu, prema jednačinama: 2 Mo1 , Fr1 = ............. , u zavisnisti od vrste pomenutog elementa. Fo1 = D1

2.4. Na osnovu statičkih jednakosti odrediti otpore u osloncima u obe ravni: FAV, FAH, FBV, FBH 2.5. Na osnovu statičkih jednakosti odrediti veličine momenata savijanja u karakterističnim tačkama u obe ravni sa leve i desne strane: l

l

( Mf x 1 ) V , ( Mf x 1 ) H , d

d

l

l

( Mf x 1 ) V , ( Mf x 1 ) H , ( Mf x 2 ) V , ( Mf x 2 ) H , d

d

( Mf x 2 ) V , ( Mf x 2 ) H , ........... 2.6. Izračunati ukupne momente savijanja u karakterističnim tačkama sa leve i desne strane:

18

l

Mf x 1 = d

Mf x 1 = l

Mf x 2 = d

Mf x 2 =

((Mf ((Mf

l

) + ((Mf ) ) , ) ) + (( Mf ) ) , H 2

l

x1

V 2

d x1

((Mf ((Mf

2

)V

x1

d

H 2

l

)H ,

x1

l

) + ((Mf ) ) + (( Mf

)V

x2

2

x2

V 2

d x2

)

2

d x2

)

2

)H ,

...........

3. Ukupni (svedeni) momenti savijanja: l

Mi x 1 = d

Mi x 1 =

l

Mi x 2 = d

Mi x 2 =

(Mf )

l 2

x1

2

⎛α l ⎞ + ⎜ 0 ⋅ Mt x 1 ⎟ , ⎝ 2 ⎠ 2

(Mf )

⎛α d ⎞ + ⎜ 0 ⋅ Mt x 1 ⎟ , ⎝ 2 ⎠

(Mf )

⎛α l ⎞ + ⎜ 0 ⋅ Mt x 2 ⎟ , ⎠ ⎝ 2

d 2

x1

l 2

x2

(Mf )

d 2

x2

2

2

⎛α d ⎞ + ⎜ 0 ⋅ Mt x 2 ⎟ , ⎝ 2 ⎠

...........

-

veličina α0 predstavlja koeficijent svodjenja složenog naponskog polja i računa se kao: α 0 =

σ df III , i za τ dt II

uobičajeni material vratila Č.0545 (σ df III = 40 MPa, τ dt II = 60 MPa),

-

σ df III 40 ⋅ 10 6 1 = = = 6 2 2 ⋅ τ dt II 2 ⋅ 60 ⋅ 10 3

α0

4. Prečnici vratila tj.:

Računaju se za svaku karakterističnu tačku, za veću vrednost Mix1 d ili Mi x1 l, odnosno Mix2 d ili Mi x2 l , ...., Mix1 = max ( Mix1 d , Mi x1 l ), Mix2 = max ( Mix2 d , Mi x2 l ), ......,

prema formuli:

19

d x1 = 3

32 ⋅ Mi x1 , π ⋅ σ df III

d x2 = 3

32 ⋅ Mi x 2 , π ⋅ σ df III

...... - član 32/π, može da se izjadniči sa ∼10, kao i kod proračuna osovina.

5. Uticaj klina Uticaj klina na slabljenje vratila se obično uzima tako što se proračunati prečnik vratila u tačkama tj. na mestima gde se točkovi vezuju klinom povećava za 10 – 20 %. ,

d x1 = d x1 ⋅ 1,15 ,

d x 2 = d x 2 ⋅ 1,15 ......

6. Standardizacija prečnika Konačno, prečnici u karakterističnim tačkama se standardizuju u skladu sa sledećom tablicom: Tablica Standardni prečnici, mere u mm 1

2,2

5,5

13

21

34

52

85

130

210

330

530

850

1320

1,1

2.5

6

14

22

36

56

90

140

220

355

560

900

1400

1,2

2,8

7

15

24

38

60

95

150

240

380

600

950

1500

1,4

3

8

16

25

40

63

100

160

250

400

630

1000

1600

1,5

3,5

9

17

26

42

68

105

170

260

420

670

1060

1700

1,6

4

10

18

28

45

70

110

180

280

450

710

1120

1800

1,8

4,5

11

19

30

48

75

120

190

300

480

750

1180

1900

2

5

12

20

32

50

80

125

200

315

500

800

1250

2000

Posebno bi trebalo obratiti pažnju na prečnike vratila na mestima gde se nalaze ležišta, tj. te prečnike treba usvajati u skladu sa standardnim prečnicima otvora ležišta (najčešće: 8, 9, 10 , 12, 15, 17, 20, 22, 25, 28, 30, 32, 35, 40, 45, ...,100, 105, 110, 120, 130, ..., 190, 200, 220, 240, 360, 380). Prečnike na mestu ležišta, na jednom vratilu, trebalo bi usvojiti da su medjusobno jednaki, odnosno usvojiti prema većem prečniku. Razlog je prvenstveno zbog lakše kasnije obrade otvora za ležišta na kućištu reduktora i zbog manjih potrebnih zaliha za rezervnim ležištima. Takodje prečnike vratila, odnosno izgled vratila treba tako projektovati da je moguća kasnija montaža elemenat na vratilu.

20

Slika Dimenzionisanje vratila 21

Slika Fotografija konicno-cilindričnog reduktora 22

7. Dinamički stepen sigurnosti u kritičnim presecima vratila Radni naponi i njihov dinamički karakter. Računaju se naponi savijanja i uvijanja, aksijalno naprezanje i smicanje se najčešće zanemaruju.

Koncentracija napona.

Vratila su od relativno mekših materijala, čelik, često brušena, ..... ______________________________________________________________________________ Dinamički stepen sigurnosti za normalne i tangecijalne napone: σ

υD =

∏ ξi ⋅ σ

D

i

βk ⋅ σ a

23

τ

υD =

∏ ξi ⋅ τ

D

i

βk ⋅ τ a

Ukupni dinamički stepen sigurnosti: σ

υD =

υD ⋅υD

τ

σ

τ

(υ D ) 2 + (υ D ) 2

Dimenzije vratila odredjene s obzirom na čvrstoću ne moraju uvek da budu dovoljne s obzirom na kriterijum krutosti. Krutost se meri ugibom f i nagibom θ , koji se mogu proračunati.

Slika Ugib i nagib Krutost je posebno važna za radna vratila alatnih mašina, gde treba da bude velika, pošto doprinosi tačnosti elemenata koji se na tim mašinama izradjuju. Ugib i nagib su u svakoj tački drufačiji, a npr. za radna vretena alatnih mašina, prema empiriji dopuštaju se maksimalne vrednosti: fmax ≤ 0,0002 l ; θmax ≤ 0,001 rad . Kod elektromotora postoji zazor izmedju statora i rotora δ u neopterećenom stanju. Pri opterećenju, usled savijanja vratila, ovaj zazor se menja, pa vratilo mora biti dovoljno kruto da maksimalni ugib na sredini zadovolji: fmax ≤ 0,1 δ. Krutost je važna i kod svih drugih vratila. Savijanja vratila prenosnih mehanizama dovodi do iskošenja zupčanika, a time i do remećenja zupčaste sprege, tj. njene nominalne geometrije. Osnovni uticaji na veličinu krutosti mogu se razmotriti iz jednačine za ugib proste grede na sredeni raspona, prema slici. f =

F ⋅l3 F ⋅l2 , i nagibu u tački A: θ = 48 ⋅ E ⋅ I 16 ⋅ E ⋅ I

Slika Ugib na sredini proste grede i nagib u osloncu A Iz jednačina je vidljivo da je ugib i nagib manji kada je raspon l manji, a isto tako kada je manji moment inercije preseka I , i modul elastičnosti materijala vratile ili osovine E. 24

Konstruktor treba da nastoji da se smanji rastojanje oslonca l. Modul elastičnosti je za sve čelike skoro konstantan E = 200 ... 210 GPa. Izbor boljih čelika dovodi do manjeg prečnika u proračunu čvrstoće, a time i do manjih krutosti jer je manje I. Proračun krutosti je dosta složen, te se uglavnom radi za vratila gde je taj zahtev povećan. Nagib vratila na mestu kotrljajnog ležišta mora biti manji od dopuštenog ugla zakretanja unutrašnjeg prema spoljnom prstenu ležišta. Vrednosti ovih dopuštenih uglova mogu da se nadju u katalozima proizvodjača za odredjena ležišta.

Na vratilu ili osovini može nastupiti rezonanca ukoliko se poklopi frekvencija sopstvenih oscilacija sa stvarnim brojem obrtaja vratila. Težišta zupčanika i drugih točkova na vratilu, ne poklapaju se sa obrtnom osom vratila, usled nemogućnosti idealno tačne izrade, te se pri radu javlja obrtna centrifugalna sila , koja remiti stabilnost rada vratila. Pri rezonanci raste amplituda težišta, što može dovesti do loma. Stvarni broj obrta, tj. stvarna ugaona brzina ω definisana je kinematikom mehanizma, dok je frekvencija sopstvenih oscilacija svojstvena svakom vratilu i zavisi od njegovih fizičkih svojstava (masa vratila, masa točkova, krutost vratila). Ove dve frekvencije ne smeju biti jednake. Stvarna frekvencija mora biti veća ili manja od sopstvene. Ugaona brzina ne sme bit jednaka kritičnoj ugaonoj brzini koja se izračunava po obrascu:

ω kr =

C , rad/s m

- gde je: m, kg – masa; C, N/m – krutost, koja je zapravo recipročna vrednost statičkog ugiba. Ako je masa točka na sredini vratila u vidu proste grede, onda je krutost:

C=

48 ⋅ E ⋅ I l3

Ako se želi uzeti u obzir sopstvena masa vratila, onda masi na sredini treb adodati redukovanu masu vratila:

mukupno = m +

17 ⋅ mvratila 35

Ako masa nije na sredini, onda je krutost:

C=

3⋅ E ⋅ I ⋅l a2 ⋅ b2

Slika koncentrisana masa koja nije na sredini Opisana pojava gubitka stabilnosti vratila pri rezonanci nije izražena kod vratila reduktora, već kod radnih vratila na kojima postoje veće mase, npr. turbinska vratila, vratila većih ventilatora i sl., koje su uz to od dobrih materijala, pa zato malih prečnika tj. vitka. Kod većine vratila kritičn augaon abrzina je velika, 25

zbog velike krutosti, te je stvarna ugaona brzina ispod kritične, pa opasnost od gubitka stabilnosti ne postoji. Pojedina vratila velikih brzina i velikih postavljenih masa rade sa ugaonom brzinom iznad kritične, gde opet nema opasnosti od rezonance, ali se javlja potreba da se pri startu i pri kočenju brzo predje kroz područje rezonance. Ovde kratko izložena problematika stabilnosti stabilnosti rada vratila samo je uvod u tu oblast, jer na vratilu može biti više točkova (masa), drugačiji način oslanjanja, itd. Srećom, vratila na rudarskim mašinama obično nisu u opasnosti od rezonance, te se ova problematika neće detaljnije razmatrati.

26