08. Formulario de Límites

Formulario de Calculo I

Límites Límites

1. Función Acotada. Una función se llama acotada en un intervalo dado tales que: ≤ ≤ para

∈

,

, si existen unos números

y

. =

El número

inf ∈

= sup ∈

,

se llama ínfimo de la función

, y el número

,

se llama supremo de la función en el intervalo considerando

,

,

.

2. Oscilación de la Función. Se llama oscilación de una función a la diferencia

−

en el intervalo

,

.

3. Límite de una función. La definición del límite de una función es:

lim

=

→

Si: Tal que: Siempre que:

∀ > 0; ∃ >0 | − |< 0 0 existe un número | Si: Donde:

′ −

0 0 tal que:

existe cuando, y sólo cuando, para cualquier

′′ | < |<

y 0 < | ′′ −

|<

y ′′ son dos puntos cualesquiera del campo de definición de la función

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.

1

Formulario de Calculo I

Límites

6. Límites al Infinito. Existen tres casos de Límites al Infinito: CASO I:

lim

=∞

→

∀ > 0; ∃ >0 | |> 0 0; ∃ | − |< | |>

Si: Tal que: Siempre que: CASO III:

lim

>0

=∞

→

∀ > 0; ∃ | |> | |>

Si: Tal que: Siempre que:

>0

7. Teoremas de Límites. -

lim →

-

lim

Si:

lim lim lim

=

lim →

-

lim →

-

lim log

⟹

=

∙ lim →

±

= lim →

∙

= lim

→

-

=

→

∙

→

-

; lim

=

→

-

=

→

± lim →

∙ lim

→

=

→

→

;

≠ 0

→

= lim →

= log

→

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lim →

2

Formulario de Calculo I

Límites >0

8. Operaciones conocidas.

Operaciones con Infinito

Operaciones con Cero 0+0=0 0−0=0 0∙0=0 +0= −0= ∙0=0 0 =0

∞+∞=∞ ∞∙∞=∞ ∞ =∞ ∞+ =∞ ∞− =∞ ∞∙ =∞ ∞ =∞

=∞ 0 0 =0 =1

=0 ∞ ∞ =∞ = ∞ > 1 = 0 < 1 ∞+0=∞ ∞−0=∞ ∞ =∞ 0 0 =0 ∞ 0 =0

Operaciones Transcendentales

sin 0 = 0 cos 0 = 1 tan 0 = 0 csc 0 = ∞ sec 0 = 1 cot 0 = ∞ log 0 = −∞ log ∞ = ∞

9. Indeterminaciones. 0 ∞ =? =? 0 ∙ ∞ =? ∞ =? ∞ − ∞ =? 1 =? 0 =? 0 ∞ 10. Límites Laterales. Se llama Límite Lateral Derecho de la función derecha al punto a: lim =

cuando el límite se acerca por la

→

Si: Tal que: Siempre que:

∀ > 0; ∃ >0 | − |< 0 0; ∃ >0 | − |< 0