07-Integral-Lipat-Tiga

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknolo eknologi gi Telkom

Integral Lipat Tiga

[MA1124] KALKULUS II

Integral Lipat Tiga pada Balok Bk

( x k , y k , z k )

z

B

∆yk

1. Partisi balok B menjadi n bagian; B1, B2, …, Bk, …, Bn ∆zk Definisikan ||∆|| = diagonal ruang terpanjang dari Bk ∆xk 2. Ambil ( x k , y k , zk ) ∈ Bk  3. Bentuk jumlah Riemann n k 

,

k 

,

k 

k 

k =1

4. Jika ||∆|| 0 diperoleh limit  jumlah Riemann n lim

∆ →0

y x

∑ f (x

k 

, y k , z k )∆Vk 

k =1

Jika limit ada, maka fungsi w = f(x,y,z) terintegralkan Riemann pada balok B, ditulis n

∫∫∫ f (x, y, z)dV = lim ∑ f (x 2/11/2010

B

[MA 1124] KALKULUS II

∆ →0

k =1

k 

, y k , z k )∆Vk  2

Integral Lipat Tiga pada Balok (2) ∆vk = ∆xk ∆yk ∆zk dV = dx dy dz

Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius:

∫∫∫ f (x, y, z)dV = ∫∫∫ f (x, y, z)dx dy dz B

2/11/2010

B

[MA 1124] KALKULUS II

3

Contoh Hitung

∫∫∫  x  yz  dV  dengan B adalah balok dengan ukuran 2

B

B = {(x,y,z)| 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ z ≤ 2} Jawab. 2 1 2 2

2

B

1 0 1 2 1

2

 1   = ∫ ∫ yz    x 3  dy dz   3   1 1 0 1 2 7  1 2  = ∫   z   y   dz  3  2   0 1 2 7  1 2  7 =  z   = 6  2   1 4 2/11/2010

[MA 1124] KALKULUS II

4

Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang Hitung

∫∫∫ 

2

x yz dV , Jika S benda padat sembarang

S



Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B, dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1) B z

S

y x

(gb. 1) 2/11/2010

[MA 1124] KALKULUS II

5

Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang (2) 

z=ψ 2(x,y) z

S

z=ψ 1(x,y)

Jika S dipandang sebagai himpunan z sederhana (gb.2) (S dibatasi oleh z=ψ 1(x,y) dan z=ψ 2(x,y), dan proyeksi S pada bidang XOY dipandang sebagai daerah jenis I) maka: b φ 2 ( x ) ψ  2 ( x ,y )

a b

y=φ1(x)

x

Sxy (gb. 2)

2/11/2010

∫∫∫ f ( x , y , z ) dV  = ∫ ∫ ∫ f ( x , y , z ) dz  dy  dx 

y y=φ2(x)

S



a φ 1( x ) ψ  1( x ,y )

Catatan: Jika f(x,y,z) = 1, maka ∫∫∫ f ( x , y , z ) dV  S menyatakan volume benda pejal S

[MA 1124] KALKULUS II

6

Contoh Hitung

∫∫∫ f ( x , y , z ) dV  dengan W=f(x,y,z) = 2xyz dan S benda S

padat yang dibatasi oleh tabung parabola z=2- ½x2 dan bidang-bidang z = 0, y=x, y=0 z y=x

Jawab.

z=2–½ x2

Dari ambar terlihat bahwa

=0

S={(x,y,z)|0≤x≤2, 0≤y≤x 0≤z≤ 2 – ½x2} 0

2

S  xy 

y

Sehingga,

1 2 − x 2 2

0 0

0

∫∫∫ 2 xyz  dV  = ∫ ∫ ∫ 2 xyz dz dy dx 

x

S

Sxy = proyeksi S pada XOY (segitiga) 2/11/2010

2  x 

[MA 1124] KALKULUS II

2  x 

=

∫ ∫  xy   z 

2

0 0

1 2 −  x 2 2 0

dy dx  7

Contoh (lanjutan) 2

2  x 

1     = ∫ ∫  xy  2 −  x 2  dy dx  2     0 0  x  2 1 4  1 2   2 y  dx  = ∫  x  4 − 2 x  +  x   4   2   0 0 2 1     = 2 x 3 −  x 5 +  x 7 dx  8   0   2

1 1 1 8  x  =  x 4 −  x 6 + 2 6 64 0

=8−

2/11/2010

32 4 +4= 3 3

[MA 1124] KALKULUS II

8

Latihan 1. Hitung

∫∫∫ z dV , S benda padat di oktan pertama yang S

dibatasi oleh bidang-bidang z = 0, x=y, y=0 dan tabung x2 + z2 = 1. 2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi 2 + z2 = 1 dan bidan x =1 dan x = 4 dan tabun tuliskan dan hitung integral lipatnya. 3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh : a. y = x2, y + z = 4, x = 0, z = 0. b. 1 = z2+y2, y = x, x = 0. c. x2 = y, z2 =y, y = 1. d. y = x2 + 2, y = 4, z = 0, 3y - 4z = 0. π / 2 z y 4. Hitung sin(x + y + z)dxdydz

∫ ∫ ∫  0 0 0

2/11/2010

[MA 1124] KALKULUS II

9

Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung dan Bola) Koordinat Tabung z

Koordinat Bola P(ρ,θ,φ)

z

P(r,θ,z)

φ

z θ

r

z

ρ θ

y

x Syarat & hubungan dg Kartesius r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2 π x = r cos θ y = r sin θ z=z r2 = x2 + y2

r

y

x

ρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ φ ≤ π x = r cos θ r = ρ sin φ } x = ρ cos θ sin φ y = r sin θ r = ρ sin φ } y = ρ sin θ sin φ z = ρ cos φ x2 + y2 + z2 = ρ2

Jika D benda pejal punya sumbu simetri  Koordinat Tabung Jika D benda pejal yang simetri terhadap satu titik  Koordinat Bola 2/11/2010

[MA 1124] KALKULUS II

10

Contoh 1.

Sketsa D; D benda pejal di oktan I yang dibatasi oleh tabung x2+y2=4 dan bidang z = 0, z = 4 z

Jawab.

4

D dalam koordinat: 2

0 2 x

2/11/2010

θ  θ 

y

r x2+y2=4

a. Cartesius: D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ 4 − x 2 , 0≤z≤4} b. Tabung: D={(x,y,z)| 0≤r≤2, 0≤θ≤ π /2, 0≤z≤4}

[MA 1124] KALKULUS II

11

Contoh 2.

Sketsa D; D bagian bola x2+y2 + z2=4 di oktan I. Jawab.

z

 z  = 2

2

0 2 x

2/11/2010

θ  θ 

4 −  x 2 − y 2 D dalam koordinat:

r

y

a. Cartesius: = x,y,z ≤x≤ , ≤y≤ 4 − x  , 0≤z≤ 4 −  x 2 − y 2 } b. Bola D={(x,y,z)| 0≤ ρ ≤2, 0≤φ ≤ π /2, 0≤θ  ≤ π /2}

[MA 1124] KALKULUS II

12

Penggantian Peubah dalam Integral Lipat Tiga Definisi misalkan x=m(u,v,w); y=n(u,v,w); z=p(u,v,w) maka:

∫∫∫ f (x, y, z) dx dy dz = ∫∫∫ f (m(u, v, w), n(u, v, w), p(u, v, w)) J(u, v, w) du dv dw D

D

∂x J(u, v, w ) =

∂y ∂z

∂u ∂u ∂u

∂x ∂y ∂z

∂v ∂v ∂v

∂x ∂y ∂z

∂w ∂w ∂w

Jacobian

2/11/2010

[MA 1124] KALKULUS II

13

Koordinat Kartesius Tabung x = r cos θ y = r sin θ z=z Matriks Jacobiannya: x J(u, v, w ) =

∂y ∂z

∂r ∂r ∂r

x

∂y ∂z

∂θ ∂θ ∂θ

x

∂y ∂z

∂z ∂z ∂z

cos θ − r sin θ 0

= sin θ

r cos θ

0

0

2

2

0 = r cos θ + r sin θ = r 1

∫∫∫ f (x, y, z) dx dy dz = ∫∫∫ f (r cos θ, r sin θ, z) r dr dθ dz D

2/11/2010

D

[MA 1124] KALKULUS II

14

Koordinat Kartesius Bola x = ρ cos θ sin φ y = ρ sin θ sin φ z = ρ cos φ Matriks Jacobiannya: ∂ x ∂ y  J (u, v, w) = ∂ z

∫∫∫ 

∂ ρ  ∂ ρ  ∂ ρ 

∂ x ∂ y ∂ z

∂θ  ∂θ  ∂θ 

f ( x, y, z) dx dy dz =

D

2/11/2010

∂ x ∂ y ∂ z

∂φ  ∂φ  ∂φ 

sin φ cosθ  − ρ sin φ sin θ   ρ cos φ cosθ 

= sin φ sin θ 

 ρ sin φ cosθ 

cosφ 

0

2  ρ cosφ sin θ  = − ρ  sin φ 

1

∫∫∫ 

f (ρ sin φ cos θ, ρ sin φ sin θ, ρ cos φ) ρ2 sin φ dρ dθ dφ

D

[MA 1124] KALKULUS II

15

Contoh (Tabung) 1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x2 + y2 dan z = 4. Jawab. Daerah S dalam Koordinat Cartesius adalah: − = x,y,z  ,−  x  y  4 − x , y  x 2 + y 2 ≤ z  ≤ 4} Dalam koordinat tabung: S={(r,θ  ,z )|0 ≤ r  ≤ 2, 0≤ θ  ≤ 2π  , r 2 ≤ z  ≤ 4}

Z

z=4

S  xy 

x

Sehingga, volume benda pejalnya adalah 2 2π  4

V  =

∫∫∫ 1 dV  = ∫ ∫ ∫ r  dz d θ  dr  S

2/11/2010

0 0 r 2

[MA 1124] KALKULUS II

16

Contoh (Lanjutan) 2 2π  4

V  =

∫ ∫ ∫ r  dz d θ  dr  0 0 r 2 2 2π 

=

∫ ∫ 

4

r  z  r 2 d θ  dr 

0 0 2

= r  (4 − r 2 ) θ  dr  2π 

0

1     = 2π   2r 2 − r 4  4    

2

= 8π  0

Jadi volume benda pejalnya adalah 8 π

2/11/2010

[MA 1124] KALKULUS II

17

Contoh (bola) 2. Hitung volume bola pejal x 2 + y2 + z2 = 4 di oktan I Jawab.

z

 z  =

4 −  x 2 − y 2

D dalam koordinat:

2

2 x

a. Cartesius: = , , , −  x  , 2 0 0≤z≤ 4 −  x 2 − y 2 } y θ  θ  b. Bola: D={(x,y,z)| 0≤ ρ ≤2, 0≤φ ≤ π /2, 0≤θ  ≤ π /2} Sehingga, volume benda pejalnya adalah π  / 2 π  / 2 2

V  =

∫∫∫ 1 dV  = ∫ ∫ ∫  ρ 

2

S

2/11/2010

0

0

sin φ  d  ρ  d φ  d θ 

0

[MA 1124] KALKULUS II

18

Contoh (Lanjutan) π  / 2 π  / 2 2

∫ ∫ ∫ 

 ρ 2 sin φ  d  ρ  d φ  d θ 

V  =

0

0

π  / 2 π  / 2

=

∫ ∫  0

0 π  / 2

=

0 2

 1   sin φ    ρ 3  d θ  dr   3   0 8

π  / 2

0

0

=

d θ 

− cos φ 

8 π  / 2 (θ ) 0 3

=

4 π  3

Jadi volume benda pejalnya adalah 4 π /3

2/11/2010

[MA 1124] KALKULUS II

19

Contoh 1. Hitung

∫∫∫ x

2

dV, dengan D benda pejal yang dibatasi

D

z =9 – x2 – y2 dan bidang xy. 2. Hitung volume benda pejal yang di oktan I yang dibatasi bola x2 + y2+ z2 = 1 dan x2 + y2+ z2 =4. 3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh bola r2+ z2 = 5 dan di bawah r2 =4z. 4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x2 + y2 dan bidang z =4. 5. Hitung volume benda pejal yang di batasi oleh bola x2+ y2+ z2 = 9, di bawah oleh bidang z = 0 dan secara menyamping oleh tabung x2+y2=4. 2/11/2010

[MA 1124] KALKULUS II

20

Latihan 6. Hitung volume benda pejal yang di dalam bola  x 2+ y 2+  z 2 = 9, di luar kerucut  z  =  x 2 + y 2

dan di atas bidang xy. 9 − x 2 − y 2

9 − x 2

3

7. Hitung

( x 2 + y 2 +  z 2 )3 / 2 dy dz dx 

−3 − 9 − x 2 − 9 − x 2 − y 2 3

8. Hitung

9 − x 2 2

∫ ∫ ∫  0

9. Hitung

2/11/2010

0

2

 x 2 + y 2 dz dy dx 

0

4 − x 2

4 − x 2 − y 2

∫ ∫

∫ 

0

0

0

 z  4 −  x 2 − y 2 dy dz dx 

[MA 1124] KALKULUS II

21