07 Binomial Poisson Hipergeometrica

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Estadística DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL Si realizamos n ensayos o repeticiones independientes, es decir, en idénticas condiciones, y siempre centrados en el suceso A. La variable X que cuenta el número de veces que ha ocurrido el suceso A define un modelo binomial. Función de probabilidad o de Cuantía:

  f (x ) = P(X= x ) =  0 

C nx

x n p q

: : : :

p x q n− x

si x : 0 ,1, 2 , ....., n en otro lugar

Número de éxitos. x : 0 , 1 , 2 , ... , n Número de ensayos o pruebas. Probabilidad de éxito. Probabilidad de fracaso. q = 1 − p

Función de Distribución:

F ( x ) = P (X ≤ x ) =

x

∑

k =0

f(x) =

∑ ( nk )p k (1 − p )n − k x

k =0

Valor Esperado:

E(x ) = np Varianza:

V(x ) = npq

Características: Un experimento Binomial se caracteriza por ser un experimento aleatorio que: -

Consiste de n pruebas o ensayos idénticos e independientes. En cada uno de los ensayos sólo hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes llamados éxito y fracaso. La probabilidad de éxito p permanece constante en cada uno de los diferentes ensayos. La variable aleatoria X se define como el número de éxitos en los n ensayos.

Ejemplos: -

Lanzar una moneda n ó más veces para observar el número de caras. Seleccionar n diskettes de un lote que contiene un % de defectuosos para verificar cuántos diskettes defectuosos contiene la muestra. Determinar en cada uno de n estudiantes si están aprobados o reprobados. Verificar si cada uno de n objetos son defectuosos.

Gladys Enríquez Mantilla

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Estadística USO DE TABLA: Tabla de Términos Individuales:

Lectura directa:

Si p > 0,50:

P ( X = x ) = b( x ,n, p )

P ( X = x ) = b( n − x , n, q )

Ejemplos: Si n = 5 y p = 0.25 hallar:

P ( X = 3 ) = b ( 3 , 5 , 0.25 ) = 0.088

Si n = 5 y p = 0.60 hallar:

P ( X = 2 ) = b ( 2 , 5 , 0.60 ) = b ( 3 , 5 , 0.40 ) = 0.230

Tabla de Términos Acumulativos:

Lectura directa:

P ( X ≥ x ) = B( x ,n, p )

Ejemplos: Si n = 5 y p = 0.25 hallar: Si n = 5

y p = 0.60

P ( X ≤ 3 ) = B ( 3 , 5 , 0.25 ) = 0.104

hallar:

P ( X ≤ 2 ) = B ( 2 , 5 , 0.60 ) se debe descomponer, aplicar la

propiedad para p > 0.50 y luego aplicar la tabla de términos individuales. Gladys Enríquez Mantilla

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Estadística Ejemplos: 1.-

Un Ingeniero de Sistemas, planea un estudio piloto para su disertación doctoral. Como parte de su estudio, planea enviar cuestionarios a 20 contadores públicos seleccionados en forma aleatoria. Sabe que el índice de respuesta para este grupo de personas es de 30%, y espera que al menos once de los cuestionarios estén completos y le sean regresados. Hallar la probabilidad de que en realidad el número de cuestionarios completos que reciba sea: a) exactamente doce. n = 20

p = 0,30

P ( x = 12 ) = b ( 12 ; 20 ; 0,30 ) = 0,004 b)

al menos once.

P ( x ≥ 11 ) = B ( 11; 20 ; 0,30 ) = 0,017 c)

entre once y quince inclusive.

P ( 11 ≤ x ≤ 15 ) = P ( x ≥ 11) − P ( x ≥ 16 ) = 0,017 − 0,00 2.-

= 0,017 Se envían invitaciones para cenar a los 20 delegados que asisten a una convención, y se cree que para cada delegado invitado, la probabilidad de que acepte es 0,9. Si se asume que toman la decisión de aceptar la invitación independientemente, ¿cuál es la probabilidad de que como mucho 17 delegados acepten la invitación? n = 20

P ( A ) = 0,90

P ( x ≤ 17 ) = 1 − P ( x ≥ 18 )

[ ] = 1 − [ b (18 ; 20 ; 0,90 ) + b (19 ; 20 ; 0,90 ) + b ( 20 ; 20 ; 0,90 ) ] = 1 − [ b ( 2 ; 20 ; 0,10 ) + b (1 ; 20 ; 0,10 ) + b ( 0 ; 20 ; 0,10 ) ] = 1 − [ 0,285 + 0,270 + 0,122 ] = 1 − P ( x = 18 ) + P ( x = 19 ) + P ( x = 20 )

= 0,323 3.-

Suponga que el 5% de cierto modelo de calculadoras de bolsillo fallan durante los primeros 60 días y son regresadas a la tienda para ser reparadas. Si una compañía compra 25 calculadoras: a) Aproximadamente, ¿cuántas espera que fallen en el lapso de 60 días?. P ( F ) = 0,05 = p

n = 25

E ( x ) = n p = 25 × 0,05 = 1,25 = 1 b)

¿Cuál es la probabilidad de que ninguna falle? P ( x = 0 ) = b ( 0 ; 25 ; 0,05 ) = 0,277

c)

Calcular la probabilidad de que fallen tres o más. P ( x ≥ 3 ) = B ( 3 ; 25 ; 0,05 ) = 0,127

d)

Hallar la probabilidad de que como máximo fallen 4. P ( x ≤ 4 ) = 1 – P ( x ≥ 5 ) = 1 – 0,007 = 0,993

Gladys Enríquez Mantilla

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Si n = 15 a)

y

p = 0.35

Calcular las siguientes probabilidades:

P ( X = 6)

Calc – Distribuciones de probabilidad – Binomial…

Clic en Aceptar

⇒ b)

P ( X = 6) = 0.190560

P(X 15 ) = 1 − P ( X ≤ 15 ) = 1 − 0,932 = 0,068 c)

No más de diez.

P ( X ≤ 10 ) = 0,521 d)

Entre nueve y dieciséis inclusive.

P ( 9 ≤ X ≤ 16 ) = P ( X ≤ 16 ) − P ( X ≤ 8 ) = 0,960 − 0,279 = 0,681 4.-

El director de un centro de cómputo encuentra que el número de solicitudes por hora para acceso a una computadora se puede describir mediante una distribución de Poisson. Si se sabe que en promedio se presentan 10 solicitudes por hora; ¿cuál es la probabilidad de que en una hora determinada el número de solicitudes que se presenten sea: a)

Exactamente siete.

10 solicitudes − 1 hora P(X = 7) =

e

−10

× 10 7!

7

⇒ λ = 10 = 0,090

b)

No más de dos.

c)

Entre tres y cinco inclusive. P(3 ≤ X ≤ 5 ) = P( X ≤ 5 ) − P( X ≤ 2)

P ( X ≤ 2 ) = 0,003

= 0,067 − 0,003 = 0,064 5.-

En la empresa Aerolíneas del Noroeste rara vez se pierde el equipaje. En la mayoría de los vuelos no se observa un mal manejo de las maletas; algunos reportan una valija perdida; unos cuantos tienen dos maletas extraviadas; rara vez un vuelo tiene tres; y así sucesivamente. Supóngase que una muestra aleatoria de 1000 viajes aéreos revela un total de 300 maletas perdidas. ¿Cuál es el porcentaje de vuelos en el que: a) No se registra equipaje perdido. 300 e −0.30 × 0.30 λ = = 0.3 ⇒ P(X = 0) = = 0.7408 = 74.08% 1000 0! b)

Hay exactamente una maleta perdida.

P ( X = 1) =

Gladys Enríquez Mantilla

e −0.30 × 0.31 = 0.2222 = 22.22% 1! 214

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Estadística

Si λ = 3.5 a)

y

Calcular las siguientes probabilidades:

P ( X = 6)

Calc – Distribuciones de probabilidad – Poisson…

Clic en Aceptar

⇒ b)

P ( X = 6) = 0.0770983

P(X