06_Ley_de_Faraday

Fisica III -09

Ley de Faraday y Movimiento de partículas en campos E y B Cátedra de Física Experimental II

Prof. Dr. Victor H. Rios

2009

Fisica III -09

Contenidos - Espiras en un campo magnético variable con el tiempo (I) Concepto de flujo magnético Inducción electromagnética, Ley de Faraday, ejemplos prácticos. - Espiras en un campo magnético variable con el tiempo (II), osciloscopio. Aplicaciones de la Ley de Faraday a diferentes señales Dependencia de la FEM con la amplitud, número de espiras y frecuencia. - Varilla que se mueve en un campo magnético uniforme Estudio energético . ¿Realizan trabajo las fuerzas magnéticas? - Movimiento de partículas cargadas en un campo E - Movimiento de partículas cargadas en un campo B - Movimiento en campos E y B cruzados. - Fuerza magnética sobre conductor rectilíneo. - Medida de la relación ¨e / m¨ de un electrón. - El espectrómetro de masas. - Acelerador de partículas cargadas. El ciclotrón. - Movimiento en campos eléctrico y magnético cruzados.

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Espiras en un campo magnético variable con el tiempo (I) Concepto de flujo magnético Se denomina flujo al producto escalar del vector campo por el vector superficie:

ΦB

  = B . S = B S cos θ

Si el campo no es constante o la superficie no es plana, se calcula el flujo a través de cada elemento dS de superficie, B·dS El flujo a través de la superficie S, es

ΦB

  = ∫∫ B . dS S

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Michael Faraday, (1791-1867)

Fue un físico y químico inglés. Demostró que los fenómenos magnéticos y eléctricos están relacionados, fundamento de transformadores, motores y generadores.

Los seis Principios de Faraday En una obra titulada La mejora del espíritu, Michael Faraday escribió los seis principios de su disciplina científica: • Llevar siempre consigo un pequeño bloc con el fin de tomar notas en cualquier momento. • Abundante correspondencia. • Tener colaboradores con el fin de intercambiar ideas. • Evitar las controversias. • Verificar todo lo que le decían. • No generalizar precipitadamente, hablar y escribir de la forma más precisa posible.

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La inducción electromagnética. Ley de Faraday La inducción electromagnética fue descubierta casi simultáneamente y de forma independiente por Michael Faraday y Joseph Henry en 1830. La inducción electromagnética es el principio sobre el que se basa el funcionamiento del generador eléctrico, el transformador y muchos otros dispositivos. Supongamos que se coloca un conductor eléctrico en forma de circuito en una región en la que hay un campo magnético. Si el flujo Φ a través del circuito varía con el tiempo, se puede observar una corriente en el circuito ( mientras el flujo está variando). Midiendo la fem inducida se encuentra que depende de la rapidez de variación del flujo del campo magnético con el tiempo. ε εmax

ε =−

d ΦB dt

Fisica III -09 El significado del signo menos, es decir, el sentido de la corriente inducida (ley de Lenz) se muestra en la figura mediante una flecha de color azul.

Suponemos ahora el caso : B variable en el tiempo y superficie fija El campo magnético cuya dirección es perpendicular al plano de la espira, varía con el tiempo de la forma B = B0 sen (w t) El flujo ΦB del campo magnético a través de las N espiras iguales es, el producto del flujo a través de una espira por el número N de espiras

  Φ B = N B . S = N B S sen (ω t )

La fem inducida en las espiras es:

ε =−

dΦ B = − S N B0 ω cos (ω t ) dt

Fisica III -09 El sentido de la corriente inducida es tal que se opone a la variación de flujo Como la espira tiene un área que no cambia, el flujo se modifica al cambiar el campo magnético. Puede suceder alguno de los cuatro casos que se muestran en la figura.

P : el período del campo magnético. En el intervalo: 0 – P / 4, el campo magnético aumenta, el flujo a través de la espira aumenta P/4 - P/2, el campo magnético disminuye, el flujo disminuye. P/2 - 3P/4, el campo aumenta en valor absoluto (disminuye si se tiene en cuenta el signo). 3 P/4 - P, el campo magnético disminuye en valor absoluto (aumenta si se tiene en cuenta el signo).

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Si tomamos como criterio que la corriente inducida en la espira es positiva cuando circula en sentido contrario a las agujas del reloj es negativa cuando circula en el sentido de las agujas del reloj. La corriente inducida será positiva en el segundo y tercer intervalo y será negativa en el primer y cuarto intervalo, de acuerdo con el comportamiento de una función proporcional a – cos ( w t ).

ε

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Ejemplo: Sea

B0 = 40 gauss = 0.004 T Frecuencia f = 1 Hz Número de espiras N = 4 Área de la espira S = 100 cm2 = 0.01 m2

El período : P = 1 / f = 1 s La frecuencia angular : ω = 2 π f = 2 π rad/s Calcular la fem en el instante t = P / 2 = 0.5 s Є = - S* N * B0 * ω * cos ( ω * t ) = - 0.01 * 4 * 0.004 * 2 * π * cos( π ) = 1.005 * 10-3 V = 1.005 mV

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Esquema de un generador de Corriente Alterna

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Generador de FEM Consideremos la figura siguiente y calculemos el flujo de B, a partir de: con Usando la ley de Faraday se obtiene:

Graficando la FEM en fiunción del tiempo:

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Disco de Faraday Consideremos el área A indicada en la figura:

El flujo que barre el area A es:

La FEM inducida y la corriente serán:

Fisica III -09 GENERADORES

Disco de Faraday

Esquema de un generador

Generador muy viejo todavía en servicio en Estados Unidos.

Fisica III -09 MOTORES

Minimotores de CC

Bobinado de un motor Sincrónico

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Espiras en un campo magnético variable con el tiempo (II) Describimos aquí un experimento que nos permite comprobar la ley de inducción de Faraday.

ε =−N

dΦ B dt

donde ΦB es el flujo a través de una espira, y N es el número de espiras iguales. El experimento consta de un generador de ondas en el que podemos seleccionar la forma de la onda (cuadrada, triangular o senoidal). El generador está unido a un solenoide ( primario) que produce un campo magnético variable con el tiempo. Esta bobina está acoplada a otra (secundario) cuyo número de espiras podemos elegir entre las siguientes: 300, 600, 900, 1200.

* Podemos también cambiar la frecuencia en el generador dentro de un cierto intervalo. • En la pantalla de un osciloscopio se representa la diferencia de potencial variable producida por el generador y la fem en el secundario.

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Señales Analizaremos cada una de las señales que produce el generador Señal de forma cuadrada Para crear un campo magnético constante y por tanto, un flujo constante, usamos la señal cuadrada del generador. La señal cuadrada se caracteriza por que durante medio periodo el potencial vale V, y durante el otro medio periodo vale – V. La señal no es exactamente cuadrada, ya que no pasa del potencial positivo al negativo y viceversa, en un instante concreto, sino durante un intervalo de tiempo, pequeño comparado con el periodo de la señal. Si el flujo ΦB = cte. Aplicando la ley de Faraday obtenemos la fem inducida

ε =− N

d ΦB =0 dt

Cuando el potencial del generador es constante, el campo magnético es constante en el primario, el flujo a través del secundario es constante, la fem es nula.

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Señal de forma triangular Cuando el potencial del generador crece linealmente (en color rojo), el flujo a través de cada espira del secundario crece linealmente, la fem inducida en el secundario (en color azul) tiene un valor constante negativo (parte izquierda de la figura) Si el flujo ΦB = a t , (0 < t < P / 2 ) , a es la pendiente ⇒

ε = −N

dΦ B = −Na dt

Cuando el potencial del generador decrece linealmente (en color rojo), la fem en el secundario (en color azul) muestra un valor constante positivo (parte central de la figura)

Si ΦB = a·( P – t ), ( P / 2 < t < P )

⇒

ε = −N

dΦ B = Na dt

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Señal de forma senoidal Este caso ya lo hemos estudiado en la página precedente, espiras en un campo magnético variable con el tiempo El campo magnético producido por el primario y por tanto, el flujo a través de cada espira del secundario tiene forma senoidal (en rojo) ΦB = (Φ0 )B sen ( w t ) La fem en el secundario (en azul) es la derivada cambiada de signo del flujo

ε =−N

dΦ B = − N (Φ 0 ) B ω cos (ω t ) dt

Influencia de los distintos parámetros • Influencia de la amplitud La fem inducida es proporcional a la amplitud A de la señal. • Influencia del número de espiras del secundario La fem es proporcional al número de espiras N en el secundario.

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Efecto de la frecuencia La frecuencia f no tiene efecto en la señal cuadrada, pero tiene efecto en la señal triangular y senoidal. Al aumentar la frecuencia, disminuye el periodo, y aumenta la pendiente, por lo que la fem es mayor. En la figura, se compara la fem de una señal triangular de periodo P (en color rojo), y de la misma señal de periodo P / 2.

La pendiente de la recta se ha duplicado y por tanto, la fem en el secundario (en color azul) se duplica.

En las señales senoidales, al derivar el flujo Φ = Φ0 sen ( w t ) respecto del tiempo, se obtiene una fem que es proporcional a la frecuencia angular w.

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Varilla que se mueve en un campo magnético uniforme Veremos ahora que como se obtiene una fem agrandando o reduciendo el camino cerrado que atraviesa un campo magnético constante en el tiempo. Sea un conductor rectilíneo que desliza con velocidad constante v por dos guías tal como se muestra en la figura (más abajo). Las guías están conectadas por uno de sus extremos para formar un circuito cerrado.

Vamos a obtener el valor de la fem y el sentido de la corriente inducida por dos procedimientos: • La ley de Faraday para calcular la fem y la ley de Lenz para determinar el sentido de la corriente inducida • A partir de la fuerza sobre los portadores de carga positivos que se mueven con la varilla en el seno de un campo magnético uniforme

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a) Usamos la ley de Faraday Supongamos que el campo magnético B es constante y es perpendicular al plano determinado por las guías y la varilla. El flujo del campo magnético a través del circuito de forma rectangular ABCD señalado en la figura es

  ΦB = B. S = B a x

donde a * x es el área del rectángulo ABCD.

Al moverse la varilla CD la dimensión x del rectángulo aumenta o disminuye, haciendo variar el flujo con el tiempo. De acuerdo a la ley de Faraday, la fem inducida en el circuito ABCD es:

ε =−

dΦ B dx =−Ba = − Bav dt dt

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Sentido de la corriente inducida

Si la varilla se mueve hacia la derecha, aumenta el área S, lo mismo le ocurre al flujo Φ, el sentido de la corriente inducida es el de las agujas del reloj.

Si la varilla se mueve hacia la izquierda, el área S disminuye, lo mismo le ocurre al flujo Φ, el sentido de la corriente inducida es contrario al de las agujas del reloj.

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b) Usamos la fuerza sobre los portadores de carga Vamos a obtener el mismo resultado por otro procedimiento distinto, examinando las fuerzas sobre los portadores de carga positivos existentes en la varilla.

Al moverse la varilla hacia la derecha, con velocidad v en el seno de un campo magnético uniforme B, los portadores de carga se mueven con la misma velocidad horizontal. La fuerza sobre dichos portadores es f = q·v x B Como v y B son perpendiculares, el módulo de la fuerza es

f=qvB

La dirección de la fuerza es la de la varilla y el sentido de D a C. Tenemos por tanto un sistema de "bombeo" de carga positiva desde D hacia el extremo C, análogo al del generador de Van de Graaff desde la base hacia la esfera conductora. De menos potencial a más potencial.

Fisica III -09 El campo E que impulsa las cargas (fuerza por unidad de carga) es E = v B y solamente exis-te en el tramo DC de la varilla

ε =

∫

  E . dl =

C

∫ v B dx

= vBa

D

El campo E tiene origen magnético y es no conservativo. La diferencia de potencial entre el extremo C y D es VC - VD = v B a, siendo a la distancia entre las guías. Como vemos C está a un potencial mayor que D. Al conectar C y D mediante las guías, la corriente fluye espontáneamente de C a D pasando por B y A. Tenemos el equivalente a una batería que produce una fem

ε=vBa Si la resistencia del circuito es R, la intensidad de la corriente inducida es:

i = ε/R = vBa/R

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Estudio energético Cuando . circula por la varilla CD una corriente i, el campo magnético B ejerce una fuerza

  Fm = i uˆt × B L El vector unitario ut que señala el sentido de la corriente y el campo B son mutuamente perpendiculares, La longitud del conductor es a, por lo que el módulo de la fuerza magnética es Fm = i B a. Su sentido es el indicado en la figura (hacia la izquierda si la varilla se mueve hacia la derecha)

Para que la varilla se mueva con velocidad constante v, hemos de ejercer una fuerza Fa igual y de sentido contrario a Fm.

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La energía mecánica por unidad de tiempo (potencia) suministrada será :

B2 a2 v2 Pa = Fa v = i B a v = R

i = ε/R = vBa/R

ya que

La energía por unidad de tiempo ( potencia disipada por efecto Joule) en la resistencia será:

PR = i

2

R

⇒

B2 a2 v2 PR = R

En el estado estacionario, la intensidad de la corriente es constante, la energía por unidad de tiempo suministrada mecánicamente al mover la varilla, se disipa en la resistencia en forma de calor.

La potencia suministrada por la fem será: Si consideramos la varilla como una batería cuya fem es :

Pε = ε · i

⇒

ε =vBa

B2 a2 v2 Pε = R

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¿Realizan trabajo las fuerzas magnéticas? La fuerza que ejerce un campo magnético B sobre una partícula que se mueve con velocidad v es fm = q v × B La fuerza fm es perpendicular a la velocidad v de la partícula. Por lo que, la fuerza ejercida por el campo magnético sobre una partícula cargada no realiza trabajo alguno.

La fuerza sobre los portadores de carga es f = q v B, que dicha fuerza tiene la dirección de la varilla, y realiza un trabajo v B a sobre la unidad de carga que se mueve desde D a C, pero en realidad esto en realidad no sucede. La fuerza f por unidad de carga es la suma de dos fuerzas: • la fuerza que ejerce la varilla sobre la carga fv • la fuerza magnética fm

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Velocidades

Los portadores de carga se mueven horizontalmente con velocidad v y también a lo largo de la varilla, de D a C. La velocidad de los portadores de carga positivos ve forma un ángulo θ, con la varilla, así: La componente horizontal de la velocidad debe ser igual a la velocidad constante v de la varilla, ve · senθ = v

Fuerzas

* fv : fuerza que ejerce la varilla sobre los portadores de carga, perpendicular a la varilla. * fm = q ve × B : fuerza que ejerce el campo magnético, perpendicular a la velocidad ve. Ya que v es constante, la componente horizontal de la fuerza resultante fx debe ser cero

∑F

x

x

CONCLUIMOS

= f m cos θ − f v = 0

f m cos θ = f v

La fuerza resultante deberá por tanto, de estar dirigida a lo largo de la varilla, tal como se muestra en la figura.

• • • f = fV + f m

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Trabajo de la fuerza “f ” Cuando un portador de carga se mueve desde D a C bajo la acción de la fuerza f El trabajo sobre el portador de carga positiva es igual a:

Wf = f a siendo “a” la distancia entre C y D Como f = fm senθ f = q ve B sen θ Concluímos que : f = q v B

fm = q ve B ve · senθ = v

El trabajo de dicha fuerza es:

Wf = q v B a

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Trabajo de la fuerza “ fv ” Mientras el portador de carga se desplaza una distancia a desde C a D con velocidad ve·cosθ, la varilla se desplaza una distancia x=vt t = a / (ve cosθ )

x =v

a ve cos θ

v ve = sen θ

x = a tg θ

El trabajo realizado por la fuerza fv que ejerce la varilla sobre los portadores de carga es

W fv = fv x

W f v = f m a sen θ

x = a tg θ

fm = q ve B

f m cos θ = f v

ve =

W fv = q v B a

v sen θ

CONCLUIMOS

W f = W fm

y ya que

W f = W fv + W f m

W fm = 0

El trabajo realizado por la fuerza magnética fm es cero.

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Fuerza de Lorentz

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Fuerzas sobre las cargas Movimiento en un campo eléctrico Una partícula cargada que está en una región donde hay un campo eléctrico, experimenta una fuerza igual al producto de su carga por la intensidad del campo eléctrico Fe = q · E. * Si la carga es positiva, experimenta una fuerza en el sentido del campo * Si la carga es negativa, experimenta una fuerza en sentido contrario al campo

Si el campo es uniforme, la fuerza es constante y también lo es, la aceleración. Aplicando las ecuaciones del movimiento rectílineo uniformemente variado obtenemos la velocidad de la partícula en cualquier instante o después de haberse desplazado una determinada distancia Fig. 1 Movimiento en E

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De forma alternativa, podemos aplicar el principio de conservación de la energía, ya que el campo eléctrico es conservativo * La energía potencial q (V'-V) se transforma en energía cinética. * Siendo V'-V la diferencia de potencial existente entre dos puntos distantes x. * En un campo eléctrico uniforme V‘ - V = E x

El generador de Van de Graaff se emplea para acelerar partículas.

En el terminal esférico del generador se producen iones positivos que son acelerados a lo largo de un tubo en el que se ha hecho el vacío, por la diferencia de potencial existente entre la esfera cargada y tierra. Fig. 2 Generador de Van de Graaff

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Movimiento en un campo magnético Una partícula que se mueve en un campo magnético experimenta una fuerza Fm = q· v x B El resultado de un producto vectorial es un vector de * módulo igual al producto de los módulos por el seno del ángulo comprendido q v B senθ * dirección perpendicular al plano formado por los vectores velocidad v y campo B. * y el sentido se obtiene por la denominada regla del sacacorchos.

Si la carga es positiva el sentido es el del producto vectorial v x B, como en la fig.3a

Fig. 3 a Movimiento de la carga positiva en B

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Si la carga es negativa el sentido de la fuerza es contrario al del producto vectorial v x B, fig. 3b

Fig. 3 b Movimiento de la carga negativa en B

Una partícula cargada describe órbita circular en un campo magnético uniforme. El radio de dicha órbita, se obtiene a partir de la ecuación de la del movimiento circular uniforme: fuerza igual a masa por aceleración normal.

⇒

⇒

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Movimiento en un campo eléctrico y magnéticos cruzados El campo eléctrico está creado por las dos placas de un condensador plano-paralelo que están separadas una distancia d y tienen una longitud L, su sentido es de la placa positiva (color rojo) a la negativa (color azul).

El campo magnético es perpendicular al plano de la página, es positivo cuando apunta hacia dentro y es negativo cuando apunta hacia fuera.

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1. Desviación nula de la partícula Una carga eléctrica se mueve con velocidad v0 desconocida a lo largo del eje horizontal x. Buscaremos las intensidades y los sentidos de los campos eléctrico y magnético que hacen que la partícula se mueva a lo largo del eje x sin desviarse. El campo eléctrico ejerce una fuerza : Fe = q · E El campo magnético ejerce una fuerza : Fm = q· v x B Las partículas no se desvían si ambas fuerzas son iguales y de sentido contrario. ⇒

⇒

Por tanto, no se desviarán aquellas partículas cuya velocidad sea igual cociente E / B.

En la fig. 4 se muestran algunas configuraciones del campo eléctrico y magnético sobre cargas positivas o negativas que producen fuerzas en sentido contrario.

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2. Movimiento bajo la acción del campo eléctrico Cuando eliminamos el campo magnético, la partícula está bajo la acción de la fuerza eléctrica en la región del condensador. Como la fuerza eléctrica constante tiene dirección del eje Y, y la partícula se mueve inicialmente a lo largo del eje x, las ecuaciones del movimiento de la partícula serán semejantes a las del tiro parabólico (movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad)

Fig.5 Condensador de placas paralelas

Si L es la longitud del condensador, la desviación vertical y de la partícula al salir de sus placas será

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Puede ocurrir que la partícula choque con las placas del condensador. La posición x de impacto se calcula poniendo y = d / 2, siendo d la distancia entre las placas del condensador.

3. Movimiento bajo la acción de un campo magnético En esta región, la partícula experimenta una fuerza debida al campo magnético, cuya dirección y sentido viene dada por el producto vectorial Fm=q·v x B, y cuyo módulo es Fm=q·v B. Aplicando la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme, calculamos el radio de la circunferencia que describe.

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La partícula cargada describe un arco de una circunferencia hasta que choca con alguna de las placas del condensador.

Fig.6 Trayectorias de la partícula cargada

Si d es la separación entre las placas. El punto de impacto x, tal como se aprecia en la figura, se calcula del siguiente modo r - d / 2 = r · cosθ x = r · senθ Si el radio r es suficientemente grande, la partícula saldría entre las placas del condensador. Su desviación y se calcularía del siguiente modo y = r – r · cosθ L = r · senθ

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Fuerza magnética sobre conductor rectilíneo Intensidad de la corriente

La intensidad de la corriente eléctrica es la carga que atraviesa la sección normal S del conductor en la unidad de tiempo. El significado de flujo másico y flujo de carga o intensidad es: Sea n el número de partículas por unidad de volumen, v la velocidad media de dichas partículas, S la sección del haz y q la carga de cada partícula. Fig.7 Movimiento de cargas dentro de un conductor

La carga Q que atraviesa la sección normal S en el tiempo t, es la contenida en un cilindro de sección S y longitud v·t. Carga Q = ( número de partículas por unidad de volumen n ) · ( carga de cada partícula q ) .( volumen del cilindro S v t )

Q=nqS v t

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Dividiendo Q entre el tiempo t obtenemos la intensidad de la corriente eléctrica:

i =nqvS La intensidad es el flujo de carga o la carga que atraviesa la sección normal S en la unidad de tiempo, que es el producto de los siguientes términos: Número de partículas por unidad de volumen, n. La carga de cada partícula, q. El área de la sección normal, S. La velocidad media de las partículas, v.

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Fuerza sobre una porción de conductor rectilíneo Hemos estudiado la fuerza que ejerce un campo magnético sobre un portador de carga y el movimiento que produce

En la fig.8, se muestra la dirección y sentido de la fuerza que ejerce el campo magnético B sobre un portador de carga positivo q, que se mueve hacia la izquierda con velocidad v.

Calculemos la fuerza sobre todos los portadores ( n S L ) de carga contenidos en la longitud L del conductor.

El vector unitario ut = v / v tiene la misma dirección y sentido que el vector velocidad, o el sentido en el que se mueven los portadores de carga positiva.

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En el caso de que el conductor no sea rectilíneo, o el campo magnético no es constante, se ha de calcular la fuerza sobre un elemento de corriente dl

* Las componentes de dicha fuerza dFx y dFy * Se ha de comprobar si hay simetría de modo que alguna de las componentes sea nula * Finalmente, se calculará por integración las componentes de la fuerza total F

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Medida de la relación ¨e / m¨ de un electrón En este parte, se ha tratado de reproducir las características esenciales del experimento real llevado a cabo por Thomson a finales del siglo XIX. El objetivo del experimento era describir la naturaleza corpuscular de los denominados rayos catódicos.

El experimento constaba de dos fases

1.

La determinación de la velocidad del haz de electrones mediante un campo eléctrico y otro magnético perpendiculares entre sí. Se ajusta la magnitud de los campos hasta conseguir que el haz no se desvíe.

2.

Una vez conocida la velocidad de los electrones, se procede a la determinación de la relación carga/masa, midiendo la desviación del haz bajo la acción del campo eléctrico existente entre las placas del condensador.

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Medida de la velocidad del haz de electrones -

SELECTOR DE V

El selector de velocidades es una región en la que existen un campo eléctrico y un campo magnético perpendiculares entre sí y a la dirección de la velocidad de los electrones. En esta región, los electrones de una determinada velocidad no se desvían, si se ajusta convenientemente, la intensidad de los campos eléctrico y magnético • El campo eléctrico ejerce una fuerza en la dirección del campo pero en sentido contrario, ya que la carga es negativa. El módulo de la fuerza es : Fe = q · E • El campo magnético ejerce una fuerza cuya dirección y sentido vienen dados por el producto vectorial . Fm=q·v x B

cuyo módulo es : Fm=q·v·B

De nuevo, por ser negativa la carga, el sentido de la fuerza es contrario al del producto vectorial v x B.

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Los electrones no se desvían, si ambas fuerzas son iguales y de sentido contrario. Por tanto, atravesarán el selector de velocidades sin desviarse, aquellos electrones cuya veloci-dad v sea igual cociente E / B.

⇒

⇒

Medida de la relación carga/masa

Movimiento entre las placas del condensador

El electrón se mueve bajo la acción de la fuerza eléctrica F = q E constante en la región del condensador perpendicular a la dirección inicial de su velocidad.

Fisica III - 09 Utilizamos las ecuaciones del movimiento curvilíneo bajo aceleración constante

⇒

⇒

⇒

⇒

Si L es la longitud del condensador, la desviación vertical y de la partícula al salir de sus pla-cas será :

Fisica III - 09 Movimiento fuera de las placas del condensador Una vez que el electrón ha salido de las placas del condensador, sigue un movimiento rectilíneo uniforme, hasta que llega a la pantalla. La desviación total del haz en la pantalla situada a una distancia D del condensador es:

donde vy y vx son las componentes del vector velocidad en el instante en el que el electrón abandona la región situada entre las placas del condensador x = L. Por tanto, despejando q / m se obtiene :

d vo2 q = L m EL ( + D) 2

⇒

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El espectrómetro de masas El espectrómetro de Bainbridge es un dispositivo que separa iones que tienen la misma veloci-dad. Después de atravesar las rendijas, los iones pasan por un selector de velocidades, una región en la que existen un campo eléctrico y otro magnético cruzados.

Los iones que pasan el selector sin desviarse, entran en una región donde el campo magnético les obliga a describir una trayectoria circular.

El radio de la órbita es proporcional a la masa, por lo que iones de distinta masa impactan en lugares diferentes de la placa.

El objetivo del uso del espectrómetro consiste en contar el número de isótopos de un elemento y hallar sus masas en unidades u.m.a. Para ello, se deberá seleccionar cuidadosamente la magnitud del campo eléctrico y del campo magnético, y medir sobre la escala graduada los diámetros de sus trayectorias semicirculares..

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El selector de velocidades El selector de velocidades es una región en la que existe un campo eléctrico y un campo magnético perpendiculares entre sí y a la dirección de la velocidad del ión. En esta región los iones de una determinada velocidad no se desvían. El campo eléctrico ejerce una fuerza en la dirección del campo. El módulo de dicha fuerza es Fe = q·E El campo magnético ejerce una fuerza cuya dirección y sentido vienen dados por el producto vectorial Fm = q · v x B, cuyo módulo es Fm= q.v.B

El ión no se desvía si ambas fuerzas son iguales y de sentido contrario. Por tanto, atravesarán el selector de velocidades sin desviarse, aquellos iones cuya velocidad sea igual al cociente entre la intensidad del campo eléctrico y del campo magnético.

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Región semicircular

A continuación, los iones pasan a la región donde el campo magnético hace que describan trayectorias semicirculares hasta que alcanzan la placa superior en la que quedan depositados. En esta región, el ión experimenta una fuerza debida al campo magnético, cuya dirección y sentido viene dada por el producto vectorial Fm = q· v x B, y cuyo módulo es : Fm = q.v.B.

Aplicando la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme, hallamos el radio de la trayectoria circular.

⇒

⇒

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Actividades Se elige el elemento que se quiera analizar en el control selección titulado Elementos. Se introduce . La intensidad del campo eléctrico (en N/C), en el control de edición titulado Campo eléctrico . La intensidad del campo magnético (en gauss=10-4 T), en el control de edición titulado Campo magnético Se pulsa el botón titulado Trayectoria Se modifica el valor del campo magnético ( y en su caso del eléctrico) hasta que los radios de las semicircunferencias de cada isótopo se puedan medir lo mejor posible. Determinar la masa de cada isótopo (ha de dar como resultado un número entero o próximo al mismo). Se tendrá en cuenta que . Los radios se miden en cm. . El campo magnético en gauss (un gauss = 0.0001 T) . Una unidad de masa atómica vale 1.67·10-27 kg. . Una unidad de carga vale 1.6·10-19 C

Fisica III - 09 Comprobar los valores calculados pulsando en el botón titulado Respuesta. Completar sobre un papel una tabla como la siguiente. Elemento Radio r (m)

Campo Eléctrico E (N/C) Masa m (kg)

Campo magnético B (T)

Velocidad v (m/s)

Masa m(uma)

Ejemplo: . Se elige el Hidrógeno . Campo eléctrico E = 2.0 N/C . Campo magnético B = 12 · 10-4 T El selector de velocidades permite el paso de los iones que tengan una velocidad de

Fisica III - 09 Medimos los diámetros 2r de la trayectoria semicircular que describen los tres isótopos de hidrógeno, y calculamos su masa en kg mediante la fórmula ⇒

La masa en kg la expresamos en uma y tiene que dar un número entero o próximo a un entero Elemento

Campo Eléctrico E (N/C)

Campo magnético B (T)

Velocidad v (m/s)

Hidrógeno

2.0

12·10-4

1666.67

Radio r (m)

Masa m (kg)

Masa m (uma)

0.014

1.612·10-27 kg

0.97≈1

0.029

3.341·10-27 kg

2.0

0.043

4.954·10-27 kg

2.97≈3

Fisica III - 09

Acelerador de partículas cargadas. El ciclotrón

El método directo de acelerar iones utilizando la diferencia de potencial presentaba grandes dificultades experimentales asociados a los campos eléctricos intensos.

El ciclotrón evita estas dificultades por medio de la aceleración múltiple de los iones hasta alcanzar elevadas velocidades sin el empleo de altos voltajes.

La mayoría de los actuales aceleradores de partículas de alta energía descienden del primer ciclotrón de protones de 1 MeV construido por Lawrence E. O. y Livingstone M. S. en Berkeley (California).

El artículo original publicado en la revista Physical Review, volumen 40, del 1 de abril de 1932, titulado "Producción de iones ligeros de alta velocidad sin el empleo de grandes voltajes", describe este original invento.

Fisica III - 09

El ciclotrón El estudio del ciclotrón se ha dividido en dos partes: 1.

En el primero se tratará de visualizar la trayectoria seguida por un ión en un ciclotrón, y conocer los factores de los que depende la energía final.

2. En el segundo programa, se tratará de determinar la frecuencia de resonancia del ciclotrón. Es decir, la frecuencia del potencial oscilante para que el ión sea siempre acelerado. Descripción El ciclotrón consta de dos placas semicirculares huecas, que se montan con sus bordes diametrales adyacentes dentro de un campo magnético uniforme que es normal al plano de las placas y se hace el vacío. A dichas placas se le aplican oscilaciones de alta frecuencia que producen un campo eléctrico oscilante en la región diametral entre ambas. Como consecuencia, durante un semiciclo el campo eléctrico acelera los iones, formados en la región diametral, hacia el interior de uno de los electrodos, llamados 'Ds', donde se les obliga a recorrer una trayectoria circular mediante un campo magnético y finalmente, aparecerán de nuevo en la región intermedia.

Fisica III - 09 El campo magnético se ajusta de modo que el tiempo que se necesita para recorrer la trayectoria semicircular dentro del electrodo sea igual al semiperiodo de las oscilaciones. En consecuencia, cuando los iones vuelven a la región intermedia, el campo eléctrico habrá invertido su sentido y los iones recibirán entonces un segundo aumento de la velocidad al pasar al interior de la otra 'D'. Como los radios de las trayectorias son proporcionales a las velocidades de los iones, el tiempoque se necesita para el recorrido de una trayectoria semicircular es independiente de sus velocidades.

Por consiguiente, si los iones emplean exactamente medio ciclo P1/2 en una primera semicircunferencia, se comportarán de modo análogo en todas las sucesivas y, por tanto, se moverán en espiral y en resonancia con el campo oscilante hasta que alcancen la periferia del aparato. Su energía cinética final, será tantas veces mayor que la que corresponde al voltaje aplicado a los electrodos multiplicado por el número de veces que el ión ha pasado por la región intermedia entre las 'Ds'.

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Movimiento circular Una partícula cargada describe una semicircunferencia en un campo magnético uniforme. La fuerza sobre la partícula viene dada por el producto vectorial Fm=q· v x B, Su módulo es Fm=q.v.B, su dirección radial y su sentido hacia el centro de la circunferencia Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento circular uniforme, obtenemos el radio de la circunferencia.

⇒

El tiempo que tarda en describir una semicircunferencia es por tanto, independiente del radio r de la órbita

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Aceleración del ión

El ión es acelerado por el campo eléctrico existente entre las D's. Incrementa su energía cinética en una cantidad igual al producto de su carga por la diferencia de potencial existente entre las D's.

Cuando el ión completa una semicircunferencia en el tiempo constante P1/2, se invierte la polaridad por lo que es nuevamente acelerado por el campo existente en la región intermedia. De nuevo, incrementa su energía cinética en una cantidad igual al producto de su carga por la diferencia de potencial existente entre las D's. La energía final del ión es n q V, siendo n el número de veces que pasa por la región entre las D's.

Fisica III - 09 Ejemplo: . Se elige como partícula el protón m = 1.67·10-27 kg . Campo magnético B=60 gauss = 60·10-4 T . Diferencia de potencial entre las D's, V = 100 V

1. El ión parte del reposo y se acelera por la diferencia de potencial existente entre las dos D's

Fisica III - 09 2. La partícula describe una trayectoria semicircular de radio r1

3. La diferencia de potencial alterna cambia de polaridad y la partícula se acelera

4. La partícula describe una trayectoria semicircular de radio r2

5. y así, sucesivamente... La energía final de la partícula cuando sale del ciclotrón es Ek=4·qV=4·1.6·10-19·100 J = 400 eV, ya que es acelerada cuatro veces al pasar por la región comprendida entre las dos D's

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Frecuencia de resonancia del ciclotrón Ahora analizamos el papel del periodo de la fem alterna conectada a las dos D's. En el apartado anterior, el semiperiodo de la fem alterna coincidía con el tiempo que tarda el ión en describir una semicircunferencia que es independiente de su radio r

Vamos a ver cómo cambia la trayectoria del ión cuando estos dos tiempos no coinciden A partir del dato de la intensidad del campo magnético, podemos obtener el valor de P1/2 teniendo en cuenta que . El campo magnético está en gauss (un gauss = 0.0001 T) . Una unidad de masa atómica vale 1.67·10-27 kg. . La carga del ión vale 1.6·10-19 C Ejemplo: . Se elige como partícula el protón m = 1.67·10-27 kg y carga q = 1.6·10-19 C . Campo magnético B = 200 gauss = 200·10-4 T . Diferencia de potencial entre las D's, V = 500 V . El semiperiodo de la fem alterna 1.0 μs = 1.0·10-6 s

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•

La partícula cargada parte del reposo v0 = 0, y se acelera por la diferencia de potencial V existente entre las dos D’s, ganado una energía qV.

La partícula describe una trayectoria semicircular de radio r1

El tiempo t1 que tarda la partícula en recorrer la semicircunferencia es:

Fisica III - 09 2. Como el periodo de la fem alterna es de 2·1.0 = 2.0 μs. Cuando la partícula completa su trayectoria semicircular encuentra que el campo existente entre las dos D’s acelera la partícula cargada, ganando una energía qV. Su velocidad v2 es:

La partícula describe una trayectoria semicircular de radio r1

El tiempo que tarda en describir la semicircunferencia es

Completa la segunda semicircunferencia en el instante 2 · 1.64 = 3.28 μs

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3. En este instante, el campo existente entre las dos D’s se opone al movimiento de la partícula, perdiendo una energía qV. Como la energía de la partícula es qV, su velocidad es v3 = v1, describe una semicircunferencia de radio r3 = r1 empleando un tiempo de 1.64 μs en completarla

Completa la tercera semicircunferencia en el instante : 3 · 1.64 = 4.92 μs

4. En este instante, el campo existente entre las dos D’s se opone al movimiento de la partícula, perdiendo la energía qV que le quedaba, su velocidad final es v4 = 0.

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Movimiento en campos eléctrico y magnético cruzados (opcional) Vamos a estudiar el movimiento de una partícula de masa m, y carga q, sometida a la acción simultánea de un campo eléctrico E, y de un campo magnético B, ambos uniformes y perpendiculares entre sí. Ecuaciones del movimiento Supongamos que el campo magnético B tiene la dirección del eje Z, el campo eléctrico E la dirección del eje Y, y el vector velocidad v está en el plano XY. La partícula cargada parte de la posición inicial (x0, y0) con velocidad inicial (v0x, v0y) La fuerza que ejerce el campo eléctrico E sobre una carga q es Fe = q·E. La fuerza que ejerce el campo magnético B sobre una partícula de carga q cuya velocidad es v es Fm = q · v x B

La fuerza de Lorentz está definida por:

⇒

   FLorentz = Fe + Fm

Fisica III - 09 La ecuación del movimiento de es

Las componentes de E, B y v son

⇒

B (0, 0, B) E (0, E, 0) v (v0x, v0y, 0,)

Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

La velocidad a lo largo del eje Z es constante e igual a la velocidad inicial, vz = v0z = 0

Fisica III - 09 Se denomina frecuencia de giro ω al cociente ω = q B / m, que es la v elocidad angular de un partícula cargada en un campo magnético uniforme. Despejamos vy en la primera ecuación y la introducimos en la segunda. Obtenemos la ecuación diferencial de segundo orden.

La solución de esta ecuación diferencial es de la forma vx = C · cos ( ω · t ) + D · sen ( ω · t ) + c Introduciendo vx en la ecuación diferencial determinamos la solución particular c de la ecuación diferencial de segundo orden.

Calculamos la componente vy de la velocidad de la partícula

Fisica III - 09 Las constantes C y D se determinan a partir de las condiciones iniciales. En el instante t = 0, las componentes de la velocidad de la partícula son (v0x, v0y).

Para simplificar y generalizar las expresiones de las componentes de la velocidad, denominados velocidad de deriva

cuyo significado ya hemos visto en el selector de velocidades. Las expresiones de vx y vy quedarán como sigue vx = ( v0x – vd ) · cos ( ω · t ) + v0y · sen ( ω · t ) + vd vy = - ( v0x – vd ) · sen( ω · t ) + v0y · cos (ω · t )

Fisica III - 09 Sabiendo que en el instante t = 0, la posición de la partícula es (x0, y0), calculamos la coordenada x del centro de la partícula integrando la expresión de la velocidad vx en función del tiempo, lo mismo para la ordenada y.

Podemos escribir de forma alternativa esta ecuación de la forma

Se trata de la ecuación de una circunferencia centrada en el punto (a, b) y tiene radio Rc

( x – a )2 + ( y – b )2 = Rc2

donde

Fisica III - 09 El centro de la circunferencia se mueve a lo largo del eje X (no a lo largo del plano inclinado) con velocidad vd

Cicloide

Ejemplo . Posición inicial de la partícula: y0 = 0, x0 = - 0.8 . Velocidad inicial v0 =0.3, φ = 90º o bien, vx0 = 0, vy0 = 0.3 . Velocidad angular: ω = qB / m = 1.0 . Velocidad deriva vd = E / B = 0.05 . Carga positiva

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Casos particulares • Movimiento circular Cuando el campo eléctrico es nulo E = 0, vd = 0 La partícula describe una circunferencia en el campo magnético, cuyo centro y radio son:

Ejemplo . Posición inicial de la partícula: y0 = 0, x0 = 0.4 . Velocidad inicial v0 = 0.3, φ = 90º o bien, vx0 = 0, vy0 = 0.3 . Velocidad angular: ω = qB / m = 1.0 . Velocidad deriva vd = E / B = 0.0 . Carga positiva

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Movimiento rectilíneo Si v0y = 0, y v0x = vd = E / B

⇒

x = x0 + vd · t y = y0

La partícula se mueve a lo largo del eje X con velocidad constante igual al cociente entre la intensidad del campo eléctrico E y la intensidad del campo magnético B. Este es el fundamento de un selector de velocidades.

Ejemplo . Posición inicial de la partícula: y0 = 0, x0 = - 0.4 . Velocidad inicial v0 = 0.1, φ = 0º o bien, vx0 = 0.1, vy0 = 0.0 . Velocidad angular: ω = q B / m = 1.0 . Velocidad deriva vd = E / B = 0.1 . Carga positiva

Fisica III - 09 . Cuando la partícula parte del reposo v0x = v0y = 0 desde el origen x0 = 0, y0 = 0 Estas son las ecuaciones paramétricas de una cicloide generada por un punto del borde de un disco de radio: ⇒

R = vd / ω = E / (ωB) que rueda sin deslizar, girando alrededor de su eje con velocidad angular ω y cuyo centro se mueve con velocidad constante v = R · ω = E / B.

Ejemplo Posición inicial de la partícula: y0=0, x0=-0.8 Velocidad inicial v0 = 0.0 Velocidad angular: ω = qB / m = 1.0 Velocidad deriva vd = E / B = 0.1 Carga positiva

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APENDICE

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La experiencia en el aula Con una bobina, un amperímetro y un imán se realizan las siguientes experiencias: 1. Se sitúa el imán en reposo dentro del solenoide. 2. Se introduce despacio/deprisa el imán en el solenoide. 3. Se saca despacio/deprisa el imán del solenoide. Se observa el movimiento de la aguja del amperímetro Se aplica la ley de Lenz, para determinar el sentido de la corriente inducida. Para simular la experiencia, emplearemos una bobina de N espiras apretadas de radio R que es atravesada por un imán, tal como se muestra en la figura. El imán se mueve con velocidad constante v sobre un carril de aire

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La representación gráfica, el fujo Ф(z) es una función discontinua en x = 0, o bien, en z = L / 2 y z = - L / 2, cuando los polos del imán pasan por el centro de las espiras, respectivamente. Sin embargo, la fem є es una función continua

Como podemos apreciar en la figura, cuando la pendiente de la función flujo Ф(z) es positiva la fem є es negativa y viceversa.

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Suponemos que el imán es similar a un dipolo magnético, es decir una espira de radio a por el que circula una corriente de intensidad i . Su momento magnético es m = π a2 i.

Cálculo Hemos calculado el campo magnético producido por una espira en un punto fuera de su eje. En particular, para aquellos puntos alejados de la espira en comparación a su radio a, las componentes del campo tienen una expresión más simple (para alumnos que deseen profundizar).

El flujo del campo producido por el imán a través de una bobina de radio b formada por de N espiras apretadas es.

Fisica III -09 El elemento diferencial de superficie dS, es el área de un anillo de radio y y de espesor dy, su valor es dS = 2π y · dy

⇒

Aplicando la ley de Faraday

dΦ dΦ dz dΦ 3 µ0 m N b 2 zv ε =− =− =− (− v) = dt dz dt dz 2 (b 2 + z 2 )5 / 2 ε εmax

La velocidad del imán es negativa v < 0 Para z > 0 la pendiente dФ/dz es positiva, la fem ε > 0 es positiva Para z < 0 la pendiente dФ/dz es negativa, la fem ε < 0 es negativa

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Esta función tiene dos extremos (un máximo y un mínimo) que calculamos haciendo dε / dz = 0 y se sitúan en z = ± b /2 , como podemos comprobar fácilmente.

dε 3 µ0 m N b 2 v ( b 2 − 4 z 2 ) = dz 2 ( b 2 + z 2 )7 / 2 El valor máximo de la fem es

ε max =

24 µ 0 m N v ( 5 )5 b 2

El valor máximo de la fem ε es más grande para bobinas de menor radio b.

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Ejemplo - En la experiencia descrita se usa un imán de 1.0 cm de espesor y de 0.9 cm de radio. - Se determina experimentalmente su momento magnético m, midiendo el campo magnético en distintas posiciones a lo largo de su eje Z. - Poniendo r = z en la expresión de la componente Bz del campo magnético producido por el imán.

- El valor experimental del momento dipolar magnético es de m = 2.35 Am2. - El campo magnético producido por el imán atraviesa una bobina de N = 400 espiras con una velocidad constante del orden de 70-90 cm/s. Los radios de las bobinas empleadas son del orden de 3 cm. Ejemplo: Supongamos que la bobina tiene b = 3 cm de radio y la velocidad del imán es de v = 80 cm/s. El valor máximo de la fem es de

ε max

24 ∗ 4π ∗10 −7 ∗ 2.35 ∗ 400 ∗ 0.8 = = 0.45 V ( 5 ) 5 ∗ 0.032

Fisica III -09 Introducir los valores de los parámetros siguientes: * La velocidad constante del imán v en cm/s, en el control de edición titulado Velocidad. * El radio b de la bobina en cm en el control de edición titulado Radio. * El momento dipolar magnético se ha fijado en m = 2.35 Am2. * El número de espiras de la bobina se ha fijado en N = 400.

Se observa el imán acercándose a la bobina, el campo magnético se incrementa rápidamente cuando el imán se encuentra cerca de la bobina. Se representa mediante un vector el flujo del campo magnético producido por el imán a través de las espiras de la bobina. El movimiento de los puntos de color rojo situados sobre la bobina nos señala el sentido de la corriente inducida. El sentido antihorario se toma como positivo y el sentido horario como negativo. Finalmente, se representa la fem (en color rojo) y el flujo (en color azul) en función de z, la distancia entre el imán y la bobina. Podemos observar que el máximo se sitúa en la posición z = - b / 2, y el mínimo en la posición simétrica z = b / 2. La separación entre el máximo y el míni-mo es igual al radio de la bobina.

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FIN