06.01 - Dynamique Des Solides

Sciences Indusrielles Mécanique - Dynamique Dynamique des solides

MECANIQUE DYNAMIQUE DES SOLIDES 1

Cinétique 1.1

Principe de conservation de la masse

Enoncé du principe :

Un ensemble matériel (E) vérifie le principe de conservation de la masse si tout sous ensemble (e) de cet ensemble matériel (E) a une masse m(e) constante au cours du temps

Ce qui donne avec une écriture mathématique : ∀ ( e ) ⊂ ( E ) , ∀t m ( e ) = constante Remarque : Ce modèle (principe) n’est plus vérifié dans le modèle de mécanique relativiste. Conséquence pratique pour nos applications futures : r Soit ϕ ( P; t ) un champ quelconque de vecteur défini et différentiable en tout point P d’un ensemble matériel (E) qui vérifie le principe de conservation de la masse. Alors on peut écrire la relation suivante : r  dϕ ( P, t ) d  r ϕ ( P, t ) dm = ∫ dm  dt ∀P∫∈E dt  ∀P∈E La masse étant constante au cours du temps, on peut à souhait rentrer ou sortir les dérivées par rapport au temps des intégrations sur les ensembles matériels (intégration sur des volumes, des surfaces ou des lignes) Rappel :

1.2 Définition :

Un champ de vecteur est une répartition (fonction) de vecteurs en tout point de l’espace.

Torseur cinétique d’un ensemble matériel On appelle torseur cinétique d’un ensemble matériel (S) en mouvement dans un référentiel d’étude R, et on note : {C ( S / R)} , le torseur défini en un point A

quelconque de l’espace de la façon suivante : uur ur  RC ( S / R ) = V ( P ∈ S / R ) dm  ∫   ∀P ∈S {C ( S / R)} =  uur uuur ur  σ A ( S / R ) = ∫ AP ∧V ( P ∈S / R ) dm  ∀P ∈S  A Avec dm la masse élémentaire. En générale pour un volume homogène (constitué du même matériaux sur tout son volume : dm = ρ dv avec ρ la masse volumique du matériaux constituant l’ensemble matériel et dv un volume élémentaire de cet ensemble matériel.

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F

uur RC ( S / R ) est la résultante cinétique de l’ensemble matériel S dans son mouvement par

rapport à R. uur F σ A ( S / R ) est le moment cinétique en A de l’ensemble matériel S dans son mouvement par rapport à R. uur Déterminons la résultante cinétique : RC ( S / R ) On de cette résultante : uur reprend la définition ur RC ( S / R ) = ∫ V ( P ∈ S / R ) dm Or d’après la définition du vecteur ∀P ∈S

uuur ur  dOP  vitesse :V ( P ∈ S / R ) =   avec O, l’origine du repère d’étude R. Donc on a : dt  R uuur uur  dOP  RC ( S / R ) = ∫   dm . Or d’après le principe de conservation de la masse, on peut sortir la dt ∀ P∈ S  R dérivation par rapport au temps de l’intégrale, ce qui nous donne l’écriture suivante : uuur     d  ∫ OP dm   uur   ∀P∈S   Or la définition du centre d’inertie G d’un ensemble matériel (E) RC ( S / R ) =   dt     R uuur uuur étant : m OG = ∫ OPdm , on trouve l’expression suivante pour la résultante cinétique : ∀P ∈S

uuur uur  dOG  RC ( S / R ) = m    dt  R

uur ur Soit : RC ( S / R ) = m V ( G ∈S / R ) avec m la masse totale de l’ensemble matériel (S) et G son centre d’inertie.

Vérifions que ce champ de vecteur est bien un torseur : Nous devons vérifier que le champ de vecteur défini ci-dessus a bien une structure de torseur, c’est à dire que nous devons retrouver la relation caractéristique d’un torseur qui relie les moments de ce torseur en deux points quelconque de l’espace. On considère donc 2 points A et B quelconque de l’espace. On part de la définition énoncée cidessus du moment cinétique en A de l’ensemble matériel S dans son mouvement par rapport au repère d’étude R : uuur ur uur σ A ( S / R ) = ∫ AP ∧V ( P ∈S / R ) dm . D’après la relation de Chasles, on peut écrire : ∀ P∈S

uur

uuur uuur ur  AB + BP  ∧ V ( P ∈S / R ) dm   ∀P ∈S uuur ur uuur ur = ∫ BP ∧V ( P ∈S / R ) dm + ∫ AB ∧V ( P ∈S / R ) dm ∀P ∈S 1444424444 3 ∀P∈S uur σ B (S / R )

σ ( S / R) = ∫ A

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uuur Or le vecteur AB , ne dépendant pas du point d’intégration courant P, on peut le sortir de l’intégrale ainsi On trouveurdonc la relation suivante : uur que le produit uur vectoriel.uuur σ A ( S / R ) = σ B ( S / R ) + AB ∧ ∫ V ( P ∈ S / R ) dm . Soit la relation caractéristique d’un ∀P∈S 14442444 3 uur RC (S / R ) uuur torseur : Moment en A = Moment en B + AB vectoriel la résultante du torseur : uur uur uuur uur σ A ( S / R ) = σ B ( S / R ) + AB ∧ RC ( S / R )

Remarque : On verra plus tard dans le cours comment déterminer (autrement que par intégration) le moment cinétique (en un point A quelconque) d’un ensemble matériel (S) dans son mouvement par rapport à uur un référentiel d’étude R : σ A ( S / R ) Bilan : Le torseur cinétique est bien un torseur qui s’écrit : uur ur ur  RC ( S / R ) = V P ∈ S / R dm = m V ( ) (G ∈ S / R ) ∫   ∀ P∈ S {C ( S / R)} =  uur uuur ur  , donc on peut écrire la σ A ( S / R ) = ∫ AP ∧V ( P ∈S / R ) dm     ∀ P ∈ S  uur A uur uuur ur relation : σ A ( S / R ) = σ B ( S / R ) + AB ∧ mV ( G ∈S / R )

1.3

Torseur dynamique d’un ensemble matériel

Le torseur dynamique est semblable au torseur cinétique mais au lieu de « parler » de vitesse, on parle d’accélération. Il suffit donc de replacer les vitesses des points courants P dans la définition du torseur cinétique par les accélérations de ces mêmes points courants P pour obtenir la définition du torseur dynamique. On obtient ainsi : Définition :

On appelle torseur dynamique d’un ensemble matériel (S) en mouvement dans un référentiel d’étude R, et on note : {D( S / R)} , le torseur défini en un point A

quelconque de l’espace de la façon suivante : uur ur  RD ( S / R ) = Γ ∫ ( P ∈ S / R ) dm   ∀ P∈S  {D( S / R)} =  uur uuur ur  δ A ( S / R ) = ∫ AP ∧ Γ ( P ∈ S / R ) dm   ∀P∈ S A Avec dm la masse élémentaire. En générale pour un volume homogène (constitué du même matériaux sur tout son volume : dm = ρ dv avec ρ la masse volumique du matériaux constituant l’ensemble matériel et dv un volume élémentaire de cet ensemble matériel.

F

uur RD ( S / R ) est la résultante dynamique de l’ensemble matériel S dans son mouvement par rapport à R.

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uur

F δ A ( S / R ) est le moment dynamique en A de l’ensemble matériel S dans son mouvement par rapport à R. uur Déterminons la résultante dynamique : RD ( S / R ) uur On reprend la définition de cette résultante : RD ( S / R ) =

∫

ur Γ ( P ∈ S / R ) dm Or d’après la

∀ P∈ S

ur ur  dV ( P ∈ S / R )  définition du vecteur accélération Γ ( P ∈ S / R ) =   on a : dt   R ur uur  dV ( P ∈ S / R )  RD ( S / R ) = ∫   dm . Mais d’après le principe de conservation de la masse, on dt ∀ P∈S   R  peut sortir la dérivation par rapport au temps de l’intégrale, ce qui nous donne l’écriture suivante : ur    uur ur  d  ∫ V ( P ∈S / R ) dm   uur    d R S / R dV ( ) ( G ∈S / R )   ∀P∈S C  = RD ( S / R ) =  = m      dt dt dt     R  R      R Avec de l'ensemble matériel (E). D’où : uur G centre d'inertie ur RD ( S / R ) = m Γ ( G ∈S / R ) uur ur Soit : RD ( S / R ) = m Γ ( G ∈S / R ) avec m la masse totale de l’ensemble matériel (S) et G son centre d’inertie. Vérifions que ce champ de vecteur est bien un torseur : Nous devons vérifier que le champ de vecteur défini ci-dessus a bien une structure de torseur, c’est à dire que nous devons retrouver la relation caractéristique d’un torseur qui relie les moments de ce torseur en deux points quelconque de l’espace. On considère donc 2 points A et B quelconque de l’espace. On part de la définition énoncée cidessus du moment dynamique en A de l’ensemble matériel S dans son mouvement par rapport au repère d’étude R : uur uuur ur δ A ( S / R ) = ∫ AP ∧ Γ ( P ∈S / R ) dm . D’après la relation de Chasles, on peut écrire : ∀P ∈S

uur

uuur uuur ur  AB + BP ∧ Γ ( P ∈ S / R ) dm   ∀P ∈S uuur ur uuur ur = ∫ BP ∧ Γ ( P ∈S / R ) dm + ∫ AB ∧ Γ ( P ∈S / R ) dm ∀P ∈S ∀ P∈S 14444244443 uur δ B ( S / R) uuur Or le vecteur AB , ne dépendant pas du point d’intégration courant P, on peut le sortir de l’intégrale ainsi que le produit vectoriel. On trouve donc la relation suivante :

δ (S / R) = ∫ A

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uur

uur

uuur

ur

δ ( S / R ) = δ ( S / R ) + AB ∧ ∫ Γ ( P ∈ S / R ) dm . Soit la relation caractéristique d’un torseur : A

B

∀ P∈ S

14442444 3 uur RD ( S / R ) uuur Moment en A = Moment en uB + du torseur : ur AB vectoriel uur la résultante uuur uur δ A ( S / R ) = δ B ( S / R ) + AB ∧ RD ( S / R )

Bilan : Le torseur dynamique est bien un torseur qui s’écrit : uur ur ur  RD ( S / R ) = Γ P ∈ S / R dm = m Γ ( ) (G ∈ S / R ) ∫   ∀ P∈ S uur {D( S / R)} =  uuur ur  , donc on peut écrire la  δ A ( S / R ) = ∫ AP ∧ Γ ( P ∈ S / R ) dm    ∀ P∈S A uur uur uuur ur relation : δ A ( S / R ) = δ B ( S / R ) + AB ∧ mΓ (G ∈ S / R )

1.4

Relation entre les torseurs cinétique et dynamique

On a vu que les définitions des torseurs cinétique et dynamique étaient très semblables. La seule différence est que l’on « parle » de vitesse dans le torseur cinétique et d’accélération dans le torseur dynamique. Or il y une relation de dérivation entre la vitesse et l’accélération. On s’attend donc à retrouver cette relation de dérivation entre les composantes (résultante et moment) des torseurs cinétique et dynamique. Rappelons uurce que l’on aurdéjà démontré sur les résultantes des torseurs cinétique et dynamique : RC ( S / R ) = mV ( G ∈ S / R ) uur ur RD ( S / R ) = m Γ ( G ∈S / R ) ur ur  dV ( G ∈ S / R )  Or Γ ( G ∈S / R ) =   . D’après le principe de conservation de la masse, celle-ci dt   R uur uur  d RC ( S / R )  est constante au cours du temps, donc on peut écrire : RD ( S / R ) =   dt   R Ce résultat n’est pas de première importance puisque l’on sait calculer aussi bien la vitesse que l’accélération d’un centre d’inertie. On se rend cependant compte de ce caractère de dérivation entre les composantes des torseurs cinétique et dynamique. Qu’en est-il sur les moments ? On du moment dynamique de (S/R) en un point A quelconque : uur part de la définition uuur ur δ A ( S / R ) = ∫ AP ∧ Γ ( P ∈S / R ) dm et introduisons le fait que l’accélération est la dérivée de la ∀P ∈S

ur uuur  dV ( P ∈ S / R )  vitesse : δ A ( S / R ) = ∫ AP ∧   dm . Or la dérivée d’un vecteur résultat d’un dt ∀P ∈S   R uur

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produit vectoriel est la même que la dérivée d’un produit de deux fonctions scalaires : ( uv )′ = u′v + uv′ , ce qui donne dans le cas du produit vectoriel : r r r r  d (u ∧ v )  r r  dv   du    =   ∧ v + u ∧   , ce qui peut encore s’écrire :  dt  R  dt  R  dt  R r r r r  d (u ∧ v )  r  dv  r  du  u ∧  =  ∧ v . Appliquons cette relation à notre moment dynamique :     dt  R  dt  dt  R R u r uur uuur   δ A ( S / R ) = ∫ AP ∧  dV ( Pdt∈S / R )  dm ∀P ∈S   R uuur ur uuur  d AP ∧V ( P ∈S / R )   d AP  ur  dm − = ∫    ∧ V ( P ∈ S / R ) dm ∫   dt dt ∀P ∈S ∀P ∈S  R  R Or d’après le principe de conservation de la masse énoncé au début du cours, on peut écrire : uuur ur    uuur ur d AP ∧ V P ∈ S / R dm  ( )   ∫  d AP ∧V ( P ∈ S / R )     dm =   ∀P∈S ∫    dt  dt ∀ P∈ S    R   R uuur  dσ A ( S / R )  =  dt   R On trouve donc la relation entre moment dynamique et moment cinétique : uuur uuur uur  dσ A ( S / R)  ur  dAP  δ A (S / R) =   − ∫   ∧ V ( P ∈ S / R ) dm dt   R ∀P∈S  dt  R En introduisant l’origine du repère d’étude R notée O par Chasles entre les point A et P dans le uuur uuur uuur uuur uuur vecteur AP = AO + OP = OP − OA , on trouve : uuur uuur uuur ur ur dAP   dOP   dOA  = − = V P ∈ S / R − V ( ) ( A ∈S / R ) , en injectant cela dans la relation        dt  R  dt R  dt R trouvée ci-dessus, on obtient :

(

(

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)

)

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uuur ur ur ur  dσ A ( S / R )  δ A (S / R) =   − ∫ V ( P ∈ S / R ) − V ( A ∈ S / R )  ∧ V ( P ∈ S / R ) dm dt   R ∀P∈S uuur  dσ A ( S / R )  ur ur =  + ∫ V ( A ∈ S / R ) ∧ V ( P ∈ S / R ) dm dt   R ∀P∈S uuur  dσ A ( S / R )  ur ur   =  + V ( A ∈ S / R ) ∧  ∫ V ( P ∈ S / R ) dm  dt  ∀P∈S    R uuur uur  dσ A ( S / R )  ur =  + V ( A ∈S / R ) ∧ RC ( S / R ) dt   R uuur ur  dσ A ( S / R )  ur =  + V ( A ∈ S / R ) ∧ mV ( G ∈ S / R ) dt   R uuur  dσ A ( S / R )  ur ur =  + mV ( A ∈ S / R ) ∧ V ( G ∈ S / R ) dt   R uur

Le moment dynamique en un point A de (S/R) n’est pas tout à fait la dérivée du moment cinétique en A de (S/R). Il ne faut pas oublier de rajouter le terme en produit vectoriel. : uuur uur  dσ A ( S / R )  ur ur δ A ( S / R) =   + m V ( A∈ S / R ) ∧ V ( G ∈ S / R ) dt   R

Cas particuliers fréquemment rencontrés : Si le point où l’on calcule ces moments est : ur r c Fixe dans R : A fixe dans R V ( A ∈S / R ) = 0 , on a la relation de dérivation : uuur uur  dσ A ( S / R )  δ A ( S / R) =   dt   R ur ur r c Le centre d’inertie G : A=G V ( G ∈ S / R ) ∧ V ( G ∈ S / R ) = 0 , on a la relation de uuur uur  dσ G ( S / R )  dérivation : δ G ( S / R ) =   dt   R

(

(

)

)

1.5 Energie cinétique Définition :

L’énergie cinétique d’un ensemble matériel (S) dans son mouvement par rapport au ur 2 1   repère R est le scalaire positif suivant : T ( S / R ) = V P ∈ S / R ( )  dm 2 ∀P∫∈S 

1.6 Moment d’inertie d’un solide Page 7

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1.6.1

Définitions

r r Soit ∆ ( O , i ) un axe défini par un point O et un vecteur directeur unitaire i dans un repère r r r r r r r r R0 ( O, x0 , y0 , z 0 ) . Posons i = α x0 + β y0 + γ z 0 avec i = 1

r z0

HP

r i Soit (S) un solide quelconque. Soit P un point courant du solide (S). On associé à chaque point P du solide (S), un point de ∆ , noté HP tel que la distance entre P et HP soit minimale :

P

∆

r y0

O

S

r x0 Soit (x, y, z) les coordonnées de P dans le repère R0 :

Définition :

uuuuur PH P minimale

uuur r r r OP = x x0 + y y0 + z z0

Le moment d’inertie du solide (S) par rapport à l’axe ∆ est le scalaire positif uuuuur 2 homogène à des K g.m2 : I ( S / ∆ ) = ∫  PH P  dm ∀P∈ S

Ces moments d’inertie correspondent à la somme (intégrale) des distances minimales des points du solide à l’axe au carré Ce scalaire est aussi noté I ∆ et une autre définition équivalente pourrait être : I ( S / ∆) =

∫ d ( P; ∆ ) dm soit la somme sur tout le solide (S) des distances minimales des 2

∀P ∈S

points du solide à l’axe ∆ au carré

uuur r En se plaçant dans le plan passant par le point courant P et les deux vecteurs i et OP , on peut tracer la figure ci-dessous : On remarque que : uuuuur uuur r uuur HP PH = OP sin i ; OP P r uuur r i r uuur = OP i sin i ; OP P r uuur O = i ∧ OP

(

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(

)

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α x β z −γ y r uuur Or i ∧ OP = β ∧ y = γ x − αz , donc : γ z αy−βx uuuuur 2 r uuur 2  PH P  = i ∧ OP = ( β z −γ y )2 + ( γ x − α z )2 + (α y − β x ) 2 . En développant cette expression,   uuuuur 2 on obtient :  PH P  = α 2 ( y 2 + z 2 ) + β 2 ( x 2 + z 2 ) + γ 2 ( x 2 + z 2 ) − 2αβ xy − 2αγ xz − 2 βγ yz . Ensuite, en intégrant cette expression sur tout le solide (S), on obtient l’expression du moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe ∆ : I ( S , ∆ ) = α 2 ∫ ( y 2 + z 2 ) dm + β 2 ∫ ( x 2 + z 2 ) dm + γ 2 ∫ ( x 2 + y 2 ) dm − 2αβ ∫ xydm − 2αγ ∫ xzdm − 2 βγ ∀P ∈S

∀ P∈S

∀ P∈S

∀P ∈S

∀ P∈ S

On note les intégrales figurant dans l’expression ci-dessus avec les lettres A, B, C, D, E et F de la façon suivante : A = ∫ y 2 + z 2 dm , B = ∫ x 2 + z 2 dm , C = ∫ x 2 + y 2 dm et ∀ P∈S

D=

∫

(

)

∀ P∈S

xydm , E =

∀P ∈S

Définitions :

∫

∀P∈ S

(

xzdm et F =

)

∫

∀ P∈ S

(

)

yzdm

∀ P∈S

r r A est le cas particulier avec β = γ = 0 , soit quand i = Ox , A est donc le moment r d’inertie de (S) par rapport à l’axe ( O, x ) r r B est le cas particulier avec α = γ = 0 , soit quand i = Oy , B est donc le moment r d’inertie de (S) par rapport à l’axe ( O, y ) r r C est le cas particulier avec α = β = 0 , soit quand i = Oz , C est donc le moment r d’inertie de (S) par rapport à l’axe ( O, z ) r r D, est appelé produit d’inertie par rapport aux axes ( O, y ) et ( O, z ) r r E, est appelé produit d’inertie par rapport aux axes ( O, x ) et ( O, z ) r r F, est appelé produit d’inertie par rapport aux axes ( O, x ) et ( O, y )

1.6.2

Matrice d’inertie d’un solide

Commençons par définir l’opérateur d’inertie d’un solide (S) en un point O : Définition : L’opérateur d’inertie d’un solide (S) en un point O est l’opérateur qui à tout uur uuur r uuur r r vecteur u fait correspondre le vecteur : J O ( S , u ) = ∫ OP ∧ u ∧ OP dm ∀ P∈ S

(

)

Constituons la matrice composée de l’opérateur d’inertie appliqué aux trois vecteurs de la base r r r orthonormée d’étude, c’est à dire aux trois vecteurs du repère d’étude : ( x0 ; y0 ; z0 ) . Soit la uur r uur r uuur r matrice :  J O ( S , x0 ) ; J O ( S , y0 ) ; J O ( S , z0 ) :

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∫

∀ P∈ S

yzdm

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r r r Commençons par déterminer cet opérateur d’inertie appliqué à x0 puis à y0 et à z0 : Soit P le point

x

uuur r r r courant du solide (S) de coordonnées (x, y, z) soit : OP = x x0 + y y0 + z z0 = r r r

( x0 ; y0 ; z0 )

uur r J O ( S , x0 ) =

uuur r uuur OP ∧ x0 ∧ OP dm =

∫

(

∀ P∈ S

uur r J O ( S , x0 ) =

(y ∫

2

+z

)

2

)

∫ (y −

x 0 x  1 x     y ∧  0 ∧ y dm = ∫  y ∧ − z dm ∀P ∈S  z  0 z  y  z

)

+ z 2 dm

2

∀ P∈ S

− xy dm = − xz

∀ P∈ S

∫

∀P ∈S

∫

xydm

∫

xz dm

∀ P∈S

−

y z

A = −F −E

∀ P∈ S

De la même façon :

uur r J O ( S , y0 ) =

uuur r uuur OP ∧ y 0 ∧ OP dm =

∫

(

∀ P∈ S

)

∫

∀ P∈S

x  0 x   y ∧  1 ∧ y dm = z  0 z 

∫

−

xydm

−F x 2 + z 2 dm = B et : ∫ ∀ P∈S −D − ∫ yzdm ∀ P∈ S

(

)

∀ P∈ S

uur r JO ( S , z0 ) =

∫

uuur r uuur OP ∧ z 0 ∧ OP dm =

(

∀P ∈S

)

∫

∀P ∈S

x  0 x   y ∧  0 ∧ y dm = z  1 z 

−

∫

xzdm

∫

yzdm

∀P ∈S

−

∀ P∈ S

∫ (y

∀P ∈S

2

)

+ z 2 dm

−E = −D C

r r r On obtient ainsi la matrice d’inertie de (S) en 0 dans la base ( x0 ; y0 ; z0 ) notée :  I O ( S ) xr ; yr ;zr ( 0 0 0)

 A −F −E  = − F B −D  dont on remarque qu’elle est symétrique  − E − D C  ( rx ; yr ; rz ) 0 0 0

r Expression du moment d’inertie d’un solide (S) par rapport à un axe ∆ = ( O , i ) :

r r r Dans le repère d’étude : R0 ( O; x0 ; y0 ; z 0 ) On reprend la définition de ce moment d’inertie : uuuuur 2 uuuuur 2 r uuur 2 I ( S / ∆ ) = I ∆ = ∫  PH P  dm or  PH P  = i ∧ OP  . Donc on peut écrire ce moment     ∀ P∈ S

d’inertie de la façon suivante : Page 10

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 r uuur  r uuur i{r ∧ OP . i ∧ OP dm . En utilisant la propriété d’invariance par { ∫ ∫ r 424 3 ∀P∈S ∀ P∈ S  a b  1 r c r r r r r r r r r permutation circulaire du produit mixte : a ∧ b .c = ( c ∧ a ) .b = b ∧c .a , on obtient la nouvelle I∆ =

r uuur 2  i ∧ OP  dm =  

(

)

(

)

expression de ce moment d’inertie : uuur r uuur r uuur r uuur r  r uuur r uuur I ∆ = ∫  i{ ∧ OP . i ∧ OP  dm = ∫ i . OP ∧ i ∧ OP dm = i . ∫  OP ∧ i ∧ OP dm  { r     r 424 3 b  1 ∀P ∈S  a ∀ P∈ S ∀P ∈S r 1444424444 3 c

(

)

r ur r On trouve donc la relation : I ∆ = i .J O ( S ; i ) = I ( S ; ∆ )

(

)

r r J O ( S ;i )

Intéressons nous désormais à l’expression de la matrice d’inertie en O appliquée au vecteur directeur r unitaire de ∆ , soit i (on obtient ici un vecteur). Le tout en produit scalaire avec ce vecteur directeur r r r unitaire : i . Soit le calcul suivant :  I O (S )i .i .

(

)

 α α Aα − Fβ − Eγ α  A −F − E   r r     I O (S )i .i =  β . β= − Fα + B β − Dγ . β  −F B − D    −Eα − D β + C γ r r r γ  rx ; yr ; rz  −E − D C  rx ;ry ;zr γ  rx ; yr ;zr γ r r r ( 0 0 0) ( x0 ; y0 ; z 0 ) ( x0 ; y0 ; z0 )  ( 0 0 0)  ( 0 0 0) r r  I O (S )i .i = Aα 2 + Bβ 2 + Cγ 2 − 2αβ F − 2αγ E − 2 βγ D soit l’expression trouvée plus haut pour le moment d’inertie du solide (S) par rapport à l’axe ∆ . On a donc le résultat pratique suivant :

(

)

(

)

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r r Le moment d’inertie d’un solide (S) par rapport à un axe ∆ = ( O ; i ) i étant un vecteur r directeur de ∆ est le produit scalaire entre le vecteur directeur unitaire i de cet axe et le r vecteur obtenu en appliquant i à la matrice d’inertie de (S) en O. A la condition bien sûr r que tout soit décomposé dans la même base de l’espace ( i et la matrice d’inertie en O) : r r  I O ( S )  i . i = I∆

(

1.6.3 Définitions :

)

Base principale d’inertie

La base principale d’inertie du solide (S) est la base orthonormée directe pour laquelle la matrice d’inertie de(S) est diagonale. On la note en général avec des r r r indices 1 : ( x1 ; y1 ; z1 )

 A1  I O ( S )  =  0  0

0 B1 0

0 0  C1 ( rx ; yr ;zr ) 1

1

1

r r

F ( x1 ; y1 ; zr1 ) est la base principale d’inertie (orthonormée directe) du solide (S) r r F ( Ox1 ) ; ( Oy1 ) ; ( Ozr1 ) sont les axes principaux d’inertie du solide (S) F A1 ; B1 ; C1 sont donc les moments principaux d’inertie du solide (S) Propriétés de symétrie du solide (S) et matrice d’inertie: Cas d’un plan de symétrie : rr Soit (S) un solide ayant un plan de symétrie : par exemple ( Oxy ) .

Cela signifie qu’à tout point M de (S) ayant comme coordonnées ( x, y , z ) correspond son rr symétrique par rapport au plan de symétrie ( Oxy ) . Soit le point M’ de coordonnées ( x , y , − z ) . Alors on peut écrire : ∫ xzdm = − ∫ xzdm ⇒ E = 0 et ∀ P∈ S z ≥0

∀ P∈ S z ≤0

∫

yzdm = −

∀ P∈ S z ≥0

∫

yzdm ⇒ D = 0 .

∀ P∈S z≤ 0

rr c La matrice d’inertie de ce solide (S) admettant le plan ( Oxy ) comme plan de symétrie est  A donc de la forme :  I O ( S ) =  − F  0

−F B 0

0 0  C  ( rx ; yr; rz )

Par analogie : on obtient dans le cas des autres plans de symétrie du repère d’étude :

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rr c Dans le cas où (S) admet le plan ( Oxz ) comme plan de symétrie ; la matrice d’inertie est 0 −E B 0  0 C  ( rx; yr ;zr) rr c Dans le cas où (S) admet le plan ( Oxz ) comme plan de symétrie ; la matrice d’inertie est  A alors de la forme :  I O ( S )  =  0  − E alors de la forme :

r z

Cas d’un axe de symétrie :(solides de révolution) r Si le solide (S) admet ( Oz ) comme axe de révolution (voir figure ci-contre), alors tout plan contenant l’axe de symétrie est un plan de rr rr symétrie. Soit ici, en particulier ( Oxz ) et ( Oyz ) .

r x

r y O

Donc d’après le résultat du paragraphe précédent (cas d’un plan de symétrie) ; on en conclut que la A 0 0 matrice d’inertie de (S) est alors diagonale  I O ( S )  =  0 B 0  , c’est à dire que la base  0 0 C  ( xr; yr ;zr ) r r r ( x ; y ; z ) est base principale d’inertie et que A, B et C sont les moments principaux d’inertie

1.6.4

Différents moments d’inertie

r On vient de voir les moments d’inertie d’un solide (S) par rapport à un axe ∆ = ( O , i ) .

Ces moments d’inertie correspondent à la somme (intégrale) des distances minimales des points du solide à l’axe au carré. On peut reprendre cette interprétation de la définition mathématique et l’étendre à : Ö La distance minimale par rapport à un point (on obtient alors une inertie par rapport à un point) : Soit A un point de l’espace, la distance de A à un point courant P du solide (S) étant uuur AP on a comme moment d’inertie de (S) par rapport au point A, la quantité uuur 2 suivante : I A = ∫  AP dm encore homogène à des K g.m2 ∀ P∈ S

Ö La distance minimale par rapport à un plan (on obtient alors une inertie par rapport à un plan). Soit π un plan de l’espace, la distance de π à un point courant P du solide (S) étant notée d ( P; π ) on a comme moment d’inertie de (S) par rapport au plan π, la quantité suivante : I π =

∫

∀P ∈S

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 d ( P; π )  dm encore homogène à des K g.m2 2

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r z

Cas particuliers très importants : En notant ( x, y , z ) les coordonnées de P (point courant du r r r solide (S)) dans le repère d’étude R (O, x0 , y0 , z0 ) : d (P ; O ) = uuur r r r OP = x x0 + y y0 + z z0

(x

2

+y +z 2

2

)

P

rr d ( P; ( Oxy )) = z

r y

O

r x

rr d ( P; ( Oxz ) ) = y

rr d ( P; ( Oyz ) ) = x

uuur 2 Ö Lorsque A=O centre du repère : OP = x 2 + y 2 + z 2 donc : I O = ∫ x 2 + y2 + z2 dm ∀ P∈ S

(

)

rr Ö Lorsque π = ( O x y ) on a d ( P; π ) = z donc : I Oxy = rr Ö Lorsque π = ( O x z ) on a d ( P; π ) = y donc: I Oxz = rr Ö Lorsque π = ( O y z ) on a d ( P; π ) = x donc : I Oyz =

∫

z 2 dm

∫

y 2 dm

∫

x 2 dm

∀P ∈S

∀P∈ S

∀ P∈S

Relations fondamentales entre les différents moments d’inertie : rr + I rr + I rr I O = I Oxy Oxz Oyz

A = I Oxyrr + IOxzrr

1.6.5

1 [ A + B + C] 2 B = I Oxyrr + IOyzr r IO =

C = I Oxzrr + I Oyzrr

Théorème de Huygens généralisé

But : Trouver une relation entre la matrice d’inertie d’un solide écrite à son centre d’inertie et sa matrice d’inertie écrite au centre du repère rd’étude z Soit un repère r r r d’étude : R (O; x; y; z ) r r r r avec ( x ; y ; z ) base Solide (S) z orthonormée directe. r G y Soit (s) un solide de l’espace de centre d’inertie G. r r r r x S (G ; x ; y ; z ) étant r O y alors un repère lié au solide (S) r x

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 AO Matrice d’inertie en O :  I O ( S ) =  − FO  − EO

On pose :

−FO BO − DO

−EO  −DO  CO  ( rx; yr;zr)

 AG −FG −E G  Matrice d’inertie en G :  I G ( S ) =  − FG BG − DG   − EG − DG CG  ( rx ; yr; zr ) uuur r r r Soit P un point courant du solide(S) : OP = x x + y y + z z uuur r r r G centre d’inertie de (S) : OG = x G x + y G y +z G z , on peut poser ( xS , yS , z S ) les r r r coordonnées de P dans le repère lié au solide (S) S (G ; x ; y ; z ) . Soit l’écriture uuur r r r suivante : GP = xS x + yS y + z S z . De plus G étant centre d’inertie du solide (S) : 0=

∫

∫

xS dm =

∀ P∈S

yS dm =

∀P ∈S

∫

zS dm

∀P∈ S

 r   r   r uuur uuur uuur  On peut écrire OP = OG + GP =  x G + x S  x +  y G + y S  y +  z G + z S  z 424 3  123   123  1  =x   =z   =y  AO = ∫ y 2 + z 2 dm ∀P∈ S

=

(

)

∫ (( y

)

+ yS ) + ( zG + zS ) dm 2

G

2

∀P∈ S

  =  ∫ y S 2 + z S 2 dm + m yG 2 + z G2 − 2 yG ∫ yS dm − 2 z G ∫ z S dm 14442444 ∀P ∈S ∀ P∈ S ∀ P∈ S 1424 3 1424 3 3

(

)

(

AG

(

)

D’où le résultat : AO = AG + m yG2 + zG 2

=0

)

=0

De la même façon on obtient pour les coefficients de la diagonale de la matrice d’inertie : BO = ∫ x 2 + z 2 dm ∀P∈ S

(

)

  =  ∫ xS 2 + z S 2 dm + m xG 2 + z G2 − 2 xG ∫ xS dm − 2 z G ∫ z S dm 14442444 ∀P ∈S ∀ P4 ∈ S24 ∀ P4 ∈ S24 1 3 1 3 3

(

)

BG

(

(

)

=0

)

=0

soit : BO = BG + m xG 2 + zG 2 et : CO =

∫ (x

2

)

+ y 2 dm

∀ P∈S

  =  ∫ xS 2 + yS 2 dm + m xG 2 + yG 2 − 2 xG ∫ xS dm − 2 yG ∫ yS dm 14442444 ∀ P∈S ∀ P∈ S 24 ∀P∈ S 24 1 4 3 1 4 3 3

(

)

CG

(

soit : CO = CG + m xG 2 + yG 2

(

)

=0

)

=0

Pour ce qui est des produit d’inertie E, F et G :

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∫

EO =

xz d m =

∀ P∈S

∫ (x

G

+ x S )( z G + z S ) dm

∀ P∈S

  soit : EO = EG + m xG zG =  ∫ xS z S dm + m xG zG + xG ∫ z S dm + zG ∫ xS dm 144244 ∀ P∈S ∀ P4 ∈ S24 ∀ P∈ S 24 1 3 1 4 3 3 =0

EG

FO =

∫

xy dm =

∀P ∈S

∫ (x

G

=0

+ x S )( y G + y S ) dm

∀P∈ S

  soit : FO = FG + m xG yG =  ∫ xS yS dm + m xG yG + xG ∫ yS dm + yG ∫ xS dm 14 ∀P ∈S ∀ P4 ∈S24 ∀ P4 ∈S24 1 3 1 3 42443 =0

EG

DO =

∫

yz dm =

∀ P∈ S

∫ (y

G

=0

+ y S )(z G + z S ) dm

∀ P∈S

  soit : DO = DG + m yG zG =  ∫ yS z S dm + m y G zG + yG ∫ z S dm + zG ∫ yS dm 144244 ∀ P∈ S ∀ P424 ∈S ∀ P∈ S 24 1 3 1 4 3 3 =0

EG

=0

Soit au final et en regroupant les résultats :

( + m(x + m( x

AO = AG + m yG2 + zG 2 BO = BG CO = CG

2

+ zG 2

2

+ yG 2

G

G

) ) )

DO = DG + m yG zG EO = EG + m xG zG FO = FG + m xG yG

Avec les coordonnées de G, centre d’inertie du solide (S) dans le repère et m masse de ce même solide (S), on remarque que les termes de la matrice d’inertie en O sont égaux à leur homologues en G plus la masse du solide multipliée par l’inertie (pour A, B et C) ou le produit d’inertie (D, E et F) obtenue avec les composantes de G. Exemple : D = ∫ yzdm ⇒ DO = DG + m yG zG ∀P ∈S

1.7 Moment cinétique d’un solide Soit (S) un solide en mouvement dans un repère d’étude R . On repart de la définition du moment cinétique : r ur ur uuur ur uuur ur σ A ( S / R ) = ∫ AP ∧V ( P ∈S / R ) dm . Or : V ( P ∈ S / R ) = V ( A∈ S / R ) + PA ∧ Ω ( S / R ) ∀ P∈S

Donc on peut réécrire le moment cinétique de S/R en un point A quelconque de l’espace sous la forme : r uuur ur uuur uuur ur σ A ( S / R ) = ∫ AP ∧V ( A ∈S / R ) dm + ∫ AP ∧  PA ∧ Ω ( S / R )  dm 1442443 ∀ P∈S ∀P∈S ur uuur Ω ( S / R ) ∧ AP Remarquons ur que : V ( A ∈S / R ) ne dépend pas du point courant d’intégration P, donc on peut sortir cette vitesse uuurde l’intégrale. uuur AP dm = m AG ∫ ∀ P∈ S

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∫

∀ P∈ S

uuur ur uuur uur ur ur AP ∧ Ω ( S / R ) ∧ AP dm = J A S ; Ω =  I A ( S )  Ω ( S / R )

(

)

On obtient donc l’expression du moment cinétique d’un solide S en mouvement par rapport à un repère R en un point A quelconque de l’espace en fonction de la matrice d’inertie de ce solide en A : r uuur ur ur σ A ( S / R ) = mAG ∧V ( A ∈S / R ) +  I A ( S )  Ω ( S / R ) Cas particuliers très important car très souvent rencontrés : D’après l’expression trouvée ci-dessus, on remarque que le moment cinétique est égale au produit de la matrice d’inertie par le vecteur vitesse de rotation lorsque le point où on ur r le calcul est fixe V ( A ∈S / R ) = 0  ou bien lorsque ce point est le centre d’inertie du uuur r solide S : A = G ⇒ AG = 0 . r ur Soit : σ A ( S / R ) =  I A ( S )  Ω ( S / R ) si A est fixe dans R r ur σ G ( S / R ) =  IG ( S )  Ω ( S / R ) Cas particulier d’un mouvement plan : dans un plan qui est aussi plan de symétrie pour le solide considéré. r r Prenons le cas d’un mouvement plan dans le plan ( x , y ) . Si de plus ce plan est un plan de le solide (S) étudié. Alors : ur symétrie pour r r r Ω ( S / R ) = ω z puisque le mouvement est plan dans le plan ( x , y )

 A −F 0  r r  I A ( S )  =  −F B 0  puisque (S) est symétrique par rapport au plan ( x , y ) .  0 0 C  Calculons alors le moment cinétique de S dans son mouvement par rapport au repère R là où c’est le plus simple, c’est à dire en A fixe par rapport à R ou en A=G : r ur r On obtient σ A ( S / R ) =  I A ( S ) Ω ( S / R ) = Cω z Cas particulier d’un mouvement de rotation autour d’un axe fixe qui est aussi un axe de révolution pour le solide considéré. r Soit ( Oz ) cet axe : Le solide (S) admet un axe de révolution, donc sa matrice d’inertie est diagonale. ur r r Le mouvement est une rotation autour de ( Oz ) , donc on peut écrire : Ω ( S / R ) = ω z . Soit A un point de l’axe de révolution, il a donc une vitesse nulle. r ur r r On obtient donc : σ A ( S / R ) =  I A ( S ) Ω ( S / R ) = Cω z ∀A∈ ( Oz ) .

1.8 Energie cinétique d’un solide Déterminons une expression de l’énergie cinétique en fonction des torseurs cinétique et dynamique : Partons de la définition :

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ur ur ur ur 2 2 V ( P ∈ S / R )  dm or V ( P ∈ S / R )  = V ( P ∈ S / R ) .V ( P ∈ S / R ) et ∫     ∀P ∈S ur ur uuur ur d’après le torseur cinématique : V ( P ∈ S / R ) = V ( A ∈ S / R ) + PA ∧ Ω ( S / R ) . 2T ( S / R ) =

On peut donc donner une nouvelle expression de l’énergie cinétique : ur ur uuur ur 2T ( S / R ) = ∫ V ( P ∈ S / R ). V ( A ∈ S / R ) + PA ∧ Ω ( S / R)  dm ∀P ∈S

2T ( S / R ) =

ur

ur

ur

uuur

ur

∫ V ( A ∈ S / R ).V ( P ∈ S / R ) dm + ∫ V ( P ∈ S / R ).  PA ∧ Ω ( S / R)  dm

∀P ∈S

∀ P∈ S

ur 2T ( S / R ) = V ( A ∈ S / R ) .

ur ur uuur ur   V P ∈ S / R dm + V P ∈ S / R . PA ( ) ( ) ∫ ∫  ∧ Ω ( S / R)  dm 1444442444443 ∀P ∈S ur uuur 14442444 3 ∀P∈S ur ur V ( P ∈ S / R ) ∧ PA  Ω S / R . ( ) m V (G ∈ S / R )   ur ur ur uuur ur 2T ( S / R ) = m V ( A ∈S /R ) .V ( G ∈ S / R ) + Ω ( S / R ) . ∫  AP ∧ V ( P∈ S / R)  dm ∀ P∈S 14444 3 uu4244444 r

σ ( S / R) A

Soit l’expression de l’énergie cinétique : calculée à partir d’un point A quelconque de l’espace, mais dont l’expression ne dépend pas de ce point : ur ur ur 1 1 uur T ( S / R ) = m V ( A ∈S /R ) .V ( G ∈ S / R )  + σ A ( S / R ) .Ω ( S / R )   2  2  On s’aperçoit ainsi que l’énergie cinétique est égale à la moitié du produit des torseurs cinématique et cinétique :

1 T ( S / R) = 2

ur ur  Ω ( S / R )   m V ( G ∈ S / R ) ur  .  uur  V A ∈ S / R σ S / R ( ) ( )    A     A A

Cas particulier très important car très souvent rencontrés : Pour effectuer le calcul de l’énergie cinétique d’un solide (S) en mouvement par rapport à R et puisque l’on peut choisir n’importe quel point a de l’espace, autant en prendre des simples : En effet si : a Aur est un point fixe par rapport à R : r r ur V ( A ∈S / R ) = 0 et σ A ( S / R ) =  I A ( S )  Ω ( S / R ) donc ur 1 ur T ( S / R ) = Ω ( S / R ) .  I A ( S )  Ω ( S / R ) 2

(

)

a Arest le centre d’inertieurdu solide : σ G ( S / R ) =  IG ( S )  Ω ( S / R ) donc T (S / R) =

ur 2 1 ur 1 ur m V ( G ∈ S / R ) + Ω ( S / R ) .  I G ( S )  Ω ( S / R ) 2 2

(

)

(

)

Certains mouvements de base mais très fréquemment rencontrés entraîne une expression plus simple de l’énergie cinétique :

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r Mouvement de rotation autour d’un axe fixe : on prendra l’axe ( Oz ) ici. ur ur r r r Ω ( S / R ) = ω z et V ( A ∈ S / R ) = 0 ∀A ∈ ( Oz ) −E   A −F −E  0 − Eω ur  B − D ⇒  I A ( S )  Ω ( S / R ) =  − F B − D 0 = − Dω soit :  − E − D C  ω Cω − D C  avec C : inertie par rapport à l'axe de rotation 1 T ( S / R ) = Cω 2  ω : vitesse de rotation 2 

 A  I A ( S )  =  − F  − E

−F

Mouvement de translation : ur ur ur r Ω ( S / R ) = 0 et V ( A ∈ S / R ) = V en tout point de l'espace donc : ur 2 1 T ( S / R ) = m  V ( G ∈S / R )   2 

1.9 Méthode pour déterminer le torseur dynamique dans le cas général Résultante dynamique : ur La résultante dynamique étant m Γ ( G ∈ S / R ) , il suffit de dériver dans R la vitesse du centre ur ur  dV ( G ∈ S / R )  d’inertie G du solide dans son mouvement par rapport à R : Γ ( G ∈S / R ) =   dt   R Moment dynamique : Donnons quelques pistes à adapter à chaque problème pour effectuer le calcul du moment dynamique de la façon la plus judicieuse possible. a Le calcul du moment dynamique en un point imposé, n’est pas un problème. Il faut le calculer en un point où il est le plus simple uur de l’avoir. uur Ensuite on utilise uuur ula r structure de torseur associé au torseur dynamique, soit : δ A ( S / R ) = δ B ( S / R ) + m AB ∧ Γ ( G ∈ S / R ) pour le calculer au point voulu. a Pour calculer le moment dynamique, il faut, au préalable avoir calculé le moment cinétique. Ensuite, on utilise la relation : uuur uur  dσ A ( S / R )  ur ur δ A ( S / R) =   + m V ( A∈ S / R ) ∧ V ( G ∈ S / R ) . dt   R a Le calcul du moment cinétique s’effectue au point le plus judicieux : § Au point ou la matrice d’inertie est soit donnée soit la plus simple à calculer § En un point particulier (fixe dans le mouvement ou en G centre d’inertie). a On peut déplacer ce moment cinétique en utilisant fois ula uuur uuur encore uneuuur r structure de torseur associée au torseur cinétique : σ A ( S / R ) = σ B ( S / R ) + m AB ∧V ( G ∈ S / R )

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Cas particuliers des deux mouvements de base que sont la rotation autour d’un axe fixe et la translation : Translation : ur uuur r r Ω ( S / R ) = 0 donc σ A ( S / R ) = 0 en tout point A de l’espace. Or la vitesse est la même en ur ur r tout point de l’espace, donc V ( A ∈ E / R ) ∧ V ( G ∈ E / R ) = 0 . ur r On a donc dans le cas d’une translation : δ A ( S / R ) = 0

r Rotation autour d’un axe fixe : on prendra ( Oz ) ur uuur r Ω ( S / R ) = ω z donc σ A ( S / R ) =

 A − F  rrr  −E ( x;y;z ) 

−F

−E  B − D − D C 

− Eω

0

0= − Fω en tout rrr ω rrr Cω ( x;y;z ) ( x;y;z) u r r r point A de l’axe de rotation ( Oz ) . Or la vitesse en A étant nulle :V ( A ∈S / R ) = 0 , on trouve :

uur δ A ( S / R) = rrr

( x;y;z)

2

− Eω& dω − Fω& avec ω& = . dt Cω&

Dynamique des solides 2.1 Principe fondamental de la dynamique.

Enoncé :

Il existe au moins un repère Galiléen Rg, et au moins une chronologie dite Galiléenne, tels que pour tout sous-ensemble (e) d’un ensemble matériel (E) le torseur dynamique de (e) dans son mouvement par rapport à Rg soit égal au torseur des actions mécaniques extérieures à (e). ∀ (e) ⊂ ( E )  : D ( e / Rg ) = A {T ( e → e )}  ∀ A point de l'espace A

{

}

Remarques : Repère Galiléen : Un repère lié à la terre représente pour la plupart des mécanismes étudiés une bonne approximation de repère Galiléen. Chronologie Galiléenne : Elle est obtenue avec des horloges classiques Attention : un sablier ne convient pas car la masse de sable écoulée n’est pas proportionnelle au temps écoulé. On peut scinder le principe fondamental de la dynamique en deux théorèmes : Ö Théorème deurla résultante dynamique : ur ur ∀( e) ⊂ ( E ) R ( e / Rg ) = mΓ (G ∈ e / Rg ) = R ( e → e ) Page 20

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Ö Théorème du moment dynamique : uur uur ∀ (e) ⊂ ( E )  :δ A ( e / Rg ) = M A ( e → e )  ∀ A point de l'espace

2.2 Théorème des actions mutuelles. Soit un ensemble matériel (E) que l’on scinde en deux sous-ensemble (e1) et (e2), voir figure cidessous :

E = e1 ∪ e2

e1 e2 Rg

On peut appliquer le principe fondamental de la dynamique à l’ensemble matériel (e1) : D ( e1 / Rg ) = A {T ( e1 → e1 )} or e1 = E ∪ e2 donc on peut scinder les actions mécaniques A

{

}

extérieures à (e1) en deux. Celle qui viennent de E et celle qui viennent de e2 . Ainsi : A

{D (e / R )} = {T ( E → e )} + {T (e 1

g

1

A

2

A

→ e1 )} relation (1)

On peut aussi appliquer ce principe fondamental de la dynamique à l’ensemble matériel (e2) : D ( e2 / Rg ) = A {T ( e2 → e2 )} or e2 = E ∪ e1 donc on peut scinder les actions mécaniques A

{

}

extérieures à (e2) en deux. Celle qui viennent de E et celle qui viennent de e1 . Ainsi : A

{D ( e

2

} {T ( E → e )} + {T ( e → e )} relation (2)

/ Rg ) =

2

A

1

A

2

En sommant les relations obtenues ci-dessus, on trouve :

{

} { (

} {

)} { (

)} {T (e

D ( e1 / Rg ) + D ( e2 / Rg ) = T E → e2 + T E → e1 + A A A A 144444244444 3 144444 42444444 3  D A

(( e1∪ e2 ) / Rg ) 

 T A

A

2

→ e1 )} +

A

{T ( e → e )} 1

( E→(e2 ∪e1) )

Or en appliquant le principe fondamental de la dynamique à l’ensemble matériel (E) on a :

} {(

{

)}

D ( E / Rg ) = T E → E A A 14 4244 3 144244 3  D A

(( e1∪ e2 ) / Rg ) 

 T A

( E →(e2∪e1)) 

On en déduit donc que :

A

{T ( e

2

→ e1 )} = −

A

{T ( e

1

→ e2 )} , c’est à dire le théorème des actions

mutuelles. L’action mécanique qu’exerce (e2) sur (e1) est l’opposée que celle qu’exerce (e1) sur (e2).

2.3 Principe fondamental de la statique. Page 21

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Il est très aisé de démontrer le principe fondamental de la statique à partir de celui de la dynamique. En effet en statique, le torseur dynamique est nulle (pas d’accélération, donc pas de résultante dynamique et un vecteur vitesse de rotation nul, donc pas de moment dynamique). Dans le cas d’un problème de statique, le principe fondamental de la dynamique s’écrit donc : r 0  ∀ (e) ⊂ ( E )  : D ( e / Rg ) =  r  = A {T ( e → e )} , c’est à dire la principe  ∀ A point de l'espace A 0  A  fondamental de la statique.

{

}

2.4 Equations du mouvement. La projection sur un axe quelconque d’une équation vectorielle issue du principe fondamental de la dynamique donne une équation scalaire dans laquelle peut figurer : a Les paramêtres qi qui définissent la position de l’ensemble matériel. dqi d 2qi a Le temps t ainsi que et soit q&i et q&&i dt dt 2 a Les données d’inertie, les données géométriques, les actions mécaniques connues a Des actions mécaniques inconnues.

Ce sont des équations différentielles du second ordre. Equations du mouvement :

Une équation du mouvement est une équation différentielle du second ordre dans laquelle ne figure aucune composante inconnue d’action mécanique.

Intégrale première du mouvement :

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L’intégration, une fois, (intégrale première) d’une équation du mouvement donne ce que l’on appelle une intégrale première du mouvement.

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