06 Ygs Kolay Geometri̇

01

GEOMETR‹K KAVRAMLAR VE DO⁄RUDA AÇILAR

Geometri, basit gibi görünen birkaç kavramla bafllar. Ayn› yerden bafllayan iki ›fl›n bir aç› oluflturur. Bir aç›n›n kaç derece oldu¤unu gözünüzle ölçmeyi denediniz mi? Aç›y› iki efl parçaya ay›ran çizgi: Aç›ortay Komflu aç›lar gerçekten komflu mudur? Aç›lar› önce ölçülerine göre gruplayal›m. Ters aç›, tümler aç›, bütünler aç› Paralel iki do¤runun bir kesenle yapt›¤› aç›lar.

YÖRÜNGEDEK‹ KAVRAMLAR nokta

s. 11

do¤ru s. 11 noktalar›n do¤rusall›¤› düzlem

s. 11

do¤ru parças› s. 12 ›fl›n

s. 13

aç›

s. 14

aç›ortay

10

s. 15

s. 11

GEOMETR‹K KAVRAMLAR VE DO⁄RUDA AÇILAR 1.1

Geometri, basit gibi görünen birkaç kavramla bafllar. Geometri, latince bir kelime olup yer ölçüsü manas›na gelmektedir. ‹nsanlar›n, gördükleri tüm eflyay› ölçme ihtiyac›ndan do¤mufltur. Tarih boyunca, medeniyetlerin katk›lar›yla ölçme teknikleri gelifltirilerek bugünkü geometri bilimine ulafl›lm›flt›r. Geometri tekniklerini iyi ö¤renebilmek için, geometri ile ilgili kavramlar› iyice anlaman›z gerekir. 1. Nokta: Nokta, geometrinin en temel kavram›d›r ve tan›ms›zd›r. Eni, boyu ve yüksekli¤i yoktur. Büyük harflerle adland›r›l›r. Noktay›, ince uçlu bir kalemin ucunun ka¤›da dokunduruldu¤unda b›rakt›¤› iz olarak düflünebilirsiniz. A . → "A noktas›" diye okunur. Bir ka¤›d›, kat yerleri kesiflecek biçimde dörde katlay›p aç›n›z. Kat yerlerinin kesiflimi, nokta kavram› için iyi bir modeldir. 2. Do¤ru: Noktada oldu¤u gibi, do¤runun da bir tan›m› yoktur. Bir ka¤›d› iyice katlay›p açt›¤›m›zda elde edilen kat yeri do¤ruyu modeller. Do¤runun sadece boyu vard›r ve her iki yönde sonsuza uzar. A

Noktalar›n do¤rusall›¤› A

B

C

l

D

fiekildeki l do¤rusu üzerinde verilen A, B, C noktalar› ayn› do¤ru üzerinde bulundu¤undan "A, B ve C noktalar› do¤rusald›r." denir. A, B ve D noktalar› ya da B, C ve D noktalar› ayn› do¤ru üzerinde bulunamayaca¤› için bu noktalar do¤rusal de¤ildir. A, C ve D noktalar›n›n üçünden de geçen bir do¤ru çizebilir misiniz? 3. Düzlem: Düzlem de nokta ve do¤ru gibi tan›ms›z bir terimdir. Düzgün bir masan›n yüzeyini zihninizde s›n›rs›z olarak büyütünüz. O kadar çok büyütün ki kenarlar› art›k gözükmez olsun. Zihninizde oluflan kal›nl›ks›z yüzey, düzlem için iyi bir modeldir.

E “E düzlemi“

Düzlemler paralelkenar ile gösterilir. E, F, K, ... gibi büyük harflerle adland›r›l›r.

B

A ve B noktalar›ndan geçen flekildeki do¤ru AB olarak gösterilir ve "AB do¤rusu" olarak okunur. A ve B noktalar›n›n ikisinden flekilde verilen do¤rudan baflka bir do¤ru da geçmez. Çünkü iki noktadan yaln›z bir do¤ru geçer.

Düzlemler de do¤ru ve noktalar gibi farkl› konumlarda bulunabilirler. Afla¤›daki durumlar› inceleyiniz. Düfley düzlem (karfl›m›zdaki duvar gibi)

E¤ik düzlem (biraz aç›lm›fl kitap kapa¤› gibi)

Do¤rular bazen küçük harflerle de gösterilebilir. d “d do¤rusu“

Afla¤›daki flekilde verilen l do¤rusu A noktas›ndan geçti¤i için, "A noktas› l do¤rusu üzerindedir." denir ve A ∈ l fleklinde gösterilir. B noktas› l do¤rusu üzerinde olmad›¤› için, bu durum B ∉ l fleklinde gösterilir.

P

R Düfley düzlem (odan›z›n aç›k kap›s› gibi)

Yatay düzlem (masam›z›n üzeri gibi)

l

A

N B K

11

GEOMETR‹K KAVRAMLAR VE DO⁄RUDA AÇILAR

Do¤rular›n paralelli¤i Ayn› düzlem üzerine çizilen ve birbiriyle kesiflmeyen do¤rulara paralel do¤rular denir. d1 // d2 ise d1 ile d2 hiç bir noktada kesiflmez.

d1 d2

Do¤rular›n kesiflmesi ‹ki do¤ru ortak tek bir noktaya sahipse, bu do¤rulara kesiflen do¤rular denir. d1 ve d2 do¤rular› A noktas›nda kesifliyorsa, bu durum d1 ∩ d2 = {A} fleklind2 de gösterilir. A noktas› do¤rular›n ortak noktas›d›r. d1

A

4. Do¤ru Parças›: Bir do¤ru üzerindeki iki nokta ve bu noktalar aras›nda kalan noktalar›n birleflimine do¤ru parças› denir. A

fiekildeki do¤ru parças› [AB] sembolüyle gösterilir ve "AB do¤ru parças›" fleklinde okunur. A ve B noktalar› aras›ndaki uzakl›k yani, [AB] do¤ru parças›n›n uzunlu¤u mutlak de¤er sembolleriyle, |AB| biçiminde gösterilir. örnek soru A

E A

C

B

d1 d2

D

C Yandaki flekilde, A, B

B

ve C noktalar› do¤rusald›r. |AB| = 2|BC| ve |AC| = 15 cm oldu¤una göre, |AB| kaç cm dir?

örnek soru Yandaki flekilde, d1, d2, d3 ve d4 do¤rular› verilmifltir.

B

çözüm 2k

k

A

B

|AB| = 2|BC| yani |AB|

C uzunlu¤u |BC| uzunlu-

¤unun 2 kat› oldu¤undan |BC| = k cm al›n›rsa, |AB| = 2k cm olur. |AC| uzunlu¤u |AB| ve |BC| uzunluklar›n›n toplam›d›r. Dolay›s›yla, |AC| = |AB| + |BC| = 15 cm

d4

d3 d1 // d2 oldu¤una göre,

a) d1 ∩ d3

c) d3 ∩ d4

2k + k = 15 3k = 15

b) d2 ∩ d4 b) d1 ∩ d2

ifadelerinin eflitini bulal›m.

çözüm a) d1 ve d3 do¤rular› A noktas›nda kesiflti¤ine göre, A noktas› bu do¤rular›n ortak noktas›d›r. Dolay›s›yla d1 ∩ d3 = {A} olur.

k = 5 cm olur.

O halde, |AB| = 2k = 2. 5 = 10 cm bulunur.

örnek soru A

ve C noktalar› do¤rusald›r. 3|AB| = 2|BC| ve |AC| = 20 cm oldu¤una göre, |BC| kaç cm dir?

çözüm

b) fiekli inceledi¤imizde d2 ve d4 do¤rular›n›n D noktas›nda kesiflti¤i görülür. O halde, d2 ∩ d4 = {D} c) d3 ve d4 do¤rular› E noktas›nda kesiflti¤i için d3 ∩ d4 = {E} olur. d) d 1 // d 2 verildi¤ine göre, d1 ile d 2 paralel do¤rulard›r. Paralel do¤rular kesiflmedi¤i için kesiflimleri bofl kümedir. Bu durum d1 ∩ d2 = Ø fleklinde gösterilir.

12

C Yandaki flekilde, A, B

B

2k A

3k B

3|AB| = 2|BC| ise, |AB| = 2k al›nd›¤›nda C |BC| = 3k al›n›r.

|AC| = |AB| + |BC| = 20 cm oldu¤undan 2k + 3k = 20 5k = 20 k = 4 cm olur.

O halde, |BC| = 3k = 3. 4 = 12 cm bulunur.

GEOMETR‹K KAVRAMLAR VE DO⁄RUDA AÇILAR

Koordinat do¤rusu —4 —3 —2

—1

A

0

1

B

2

3

4

Bafllang›ç noktas› O ve üzerindeki bir nokta A olan ›fl›n [OA ile gösterilir. O

C

Gerçek say›lar›n, bir do¤runun noktalar› ile birebir efllenmesi ile oluflturulan say› do¤rusuna koordinat do¤rusu, 0 say›s›na karfl›l›k gelen noktaya bafllang›ç noktas› (orijin) denir. Herhangi bir noktaya karfl›l›k gelen gerçek say›ya bu noktan›n koordinat› ad› verilir. Buna göre, yukar›daki koordinat do¤rusunda A, B ve C noktalar› koordinatlar›yla beraber A(—3), B(0) ve C(2) olarak ifade edilir.

‹ki nokta aras› uzakl›k Koordinatlar› A(a) ve B(b) olan iki nokta aras›ndaki uzakl›k d(A, B) olarak ifade edilir ve bu uzunluk d(A, B) = |b — a| eflitli¤iyle bulunur. |x| ifadesi ise, x say›s›n›n s›f›ra olan uzakl›¤›n› verir. Ayr›ca, uzunlu¤u eflit olan do¤ru parçalar›na efl do¤ru parçalar› denir.

A

örnek soru Bir koordinat do¤rusu üzerinde verilen A(—4), B(11) ve C(x) noktalar› için

göre, x in alabilece¤i de¤erlerin toplam› kaçt›r?

çözüm | AC | 3 | x − (−4)| 3 |x+ 4| 3 = = ⇒ = ⇒ 2 | BC | 2 | 11 − x | | 11 − x | 2 |2x + 8| = |33 — 3x| 2x + 8 = 33 — 3x veya 2x + 8 = —33 + 3x 5x = 25

41 = x

x=5 —4

x 3k

A

11

C 2k B

—4

örnek soru

11 n

A

Say› do¤rusu üzerinde birbirinden farkl› A(—7), B(—1) ve C(x) noktalar› veriliyor. |AB| = |BC| oldu¤una göre, x kaçt›r?

2n

B

C

örnek soru A

|AB| = |(—1) — (—7)| = |—1 + 7| = |6| = 6 birim

x

O halde, x in alabilece¤i de¤erler toplam› 5 + 41 = 46 bulunur.

çözüm A(—7) ve B(—1) noktalar› aras›ndaki uzakl›k

| AC | 3 oldu¤una = | BC | 2

B

C

D

d

A, B, C ve D noktalar› d do¤rusu üzerindedir.

Buna göre, [AD] ∩ [BC ifadesinin eflitini bulal›m.

B(—1) ve C(x) noktalar› aras›ndaki uzakl›k |BC| = |x — (—1)| = |x + 1| birimdir. |AB| = |BC| oldu¤undan

çözüm A

B

C

D

|x + 1| = 6 ⇒ x + 1 = 6 veya x + 1 = —6 olur. Buradan x = 5 veya x = —7 bulunur.

A

D

A, B, C farkl› noktalar oldu¤undan

B

x = —7 al›namaz. O halde, x = 5 tir.

B

5. Ifl›n: Bir do¤ru üzerindeki bir O noktas› ile bu noktan›n ayn› taraf›nda bulunan noktalar›n kümesine ›fl›n denir.

d [AD] do¤ru parças› [BC ›fl›n›

C D

[AD] do¤ru parças› ile [BC ›fl›n›n›n kesiflimi (ortak olan k›s›mlar›)

fiekli dikkatle incelerseniz [AD] ve [BC nin ortak bölgesinin [BD] do¤ru parças› oldu¤u görülür. Bu durum, [AD] ∩ [BC = [BD] fleklinde gösterilir.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 1,2,3,4,5,6,12,13 nolu sorular› hemen çözelim.

13

GEOMETR‹K KAVRAMLAR VE DO⁄RUDA AÇILAR

1.2

Ayn› yerden bafllayan iki ›fl›n bir aç› oluflturur. Bafllang›ç noktalar› ortak olan iki ›fl›n›n birleflim kümesine aç›; aç›y› oluflturan ›fl›nlar›n herbirine aç›n›n kenarlar› (veya kollar›) ve bu iki ›fl›n›n ortak olan bafllang›ç noktas›na aç›n›n köflesi denir.

d

L

K

C

A

fiekildeki d do¤rusu ABC aç›s›n› kesmektedir.

O

A

Burada [OA ve [OB ›fl›nlar›n›n oluflturdu¤u aç›, AéOB fleklinde gösterilir ve "AOB aç›s›" diye okunur. Aç›lar isimlendirilirken aç›n›n köflesi ve kenarlar› üzerindeki noktalar kullan›l›r. fiekildeki aç› AOB aç›s›, BOA aç›s› veya sadece O aç›s› fleklinde isimlendirilir.

Buna göre, AéBC ∩ d ifadesinin efliti nedir?

çözüm fiekildeki K ve L noktalar› hem ABC aç›s›n›n hem de d do¤rusunun üzerindedir. Bunun d›fl›nda ABC aç›s› ile d do¤rusunun baflka ortak noktas› olmad›¤›ndan AéBC ∩ d = {K, L} bulunur.

Bir aç›n›n kaç derece oldu¤unu gözünüzle ölçmeyi denediniz mi? fiekildeki AOB aç›s›n›n ölçüsü 40° dir. Bu durum, m(AéOB) = 40° fleklinde ifade edilir. Çünkü m(AéOB) ifadesi, AOB aç›s›n›n ölçüsü anlam›na gelir.

A

40° O

B

C 30°

D

90°

B 15° A

fiekilde verilen aç›lar›n bir k›sm›n›n ölçülerini yazal›m. m(AéOB) = 15°,

m(AéOE) = 125°

O

m(CéOD) = 30°,

125° E

m(BéOC) = 90°

m(AéOC) = 15° + 90° = 105°

m(BéOD) = 90° + 30° = 120°

Aç› Ölçü Birimleri Geometride en çok kullan›lan aç› ölçü birimi derecedir.

O 1°

14

B

fiekilde [OA ve [OB ›fl›nlar› aç›n›n kollar›, O noktas› ise aç›n›n köflesidir.

B

1.3

örnek soru

A B

fiekildeki AB yay›, çem1 berin ›na eflitse 360 AOB aç›s›n›n ölçüsü 1° (1 derece) dir. Çünkü derece ölçü birimine göre, çemberin tama-

m› 360° kabul edilmifltir. ›

1 derecenin 60 ta birine 1 dakika (1 ) ››

1 dakikan›n 60 ta birine 1 saniye (1 ) denir. Örne¤in, bir aç›n›n ölçüsü 42 derece 38 dakika › ›› 54 saniye ise bunu 42° 38 54 fleklinde gösteririz.

örnek soru A ve B aç›lar› için ›

››

›

››

m(ëA) = 25° 16 28 ve m(ëB) = 14° 43 32 olarak veriliyor. Buna göre, m(ëA) + m(ëB) toplam›n›n ölçüsünü bulal›m.

çözüm ›

››

›

››

m(ëA) = 25° 16 28 + m(ëB) = 14° 43 32

›

m(ëA) + m(ëB) = 39° 59 60 ››

››

›

60 = 1 oldu¤undan, dakika bölümüne aktar›l›rsa ›

›

m(ëA) + m(ëB) = 39° 60 olur. 60 = 1° oldu¤undan, derece bölümüne aktar›l›rsa m(ëA) + m(ëB) = 40° olur. A ve B aç›lar›n›n ölçüleri fark›n› da siz bulunuz.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 8,9,11 / Genel Tekrar Testi 2 nolu sorular› hemen çözelim.

GEOMETR‹K KAVRAMLAR VE DO⁄RUDA AÇILAR

1.4

Aç›y› iki efl parçaya ay›ran çizgi: Aç›ortay C noktas› AOB aç›s›n›n iç bölgesinde ve m(AéOC) = m(CéOB) ise, [OC ›fl›n›na AOB aç›s›n›n aç›ortay› denir.

A C

O

B

Aç›ortay, aç›y› ortadan iki efl parçaya ay›rd›¤›na göre, ölçüleri eflit iki efl aç› oluflur.

Bu durumda

m(AéOC) = x + 45° = 20° + 45° = 65°

m(CéOB) = 4x – 15° = 4. 20° – 15° = 80° – 15° = 65° dir. O halde,

m(AéOB) = m(AéOC) + m(CéOB) = 65° + 65° = 130° bulunur.

örnek soru fiekilde

m(AéOC) = 50°

A

örnek soru A

C O O

m(CéOB) = 20°

C 50° 20° B

Yukar›daki verilere göre, AOC ve AOB aç›lar›n›n aç›ortaylar› aras›ndaki aç›n›n ölçüsünü bulal›m.

B

fiekilde [OC, AOB aç›s›n›n aç›ortay›d›r.

m(AéOC) = x + 45° ve m(CéOB) = 4x – 15° oldu¤una göre, m(AéOB) kaç derecedir?

çözüm A

D

E

25° 10° 15°

çözüm A

O

C

20° B

°

AOC aç›s›n›n aç›ortay› [OD, AOB aç›s›n›n aç›ortay›

45 x+

O

C

[OE olsun.

m(AéOC) = 50° oldu¤undan

4x – 15°

m(AéOD) = m(DéOC) = 50° : 2 = 25° ve

B

[OC, AOB aç›s›n›n aç›ortay› oldu¤u için,

m(AéOB) = 50° + 20° = 70° oldu¤undan

Buna göre,

Bu durumda aç›ortaylar aras›ndaki aç› DOE aç›s›d›r

m(AéOC) = m(CéOB) dir.

x + 45° = 4x – 15° ⇒ x – 4x = –15 – 45 –3x = –60 x = 20 ° bulunur.

m(AéOE) = m(EéOB) = 70° : 2 = 35° dir.

ve bu aç›n›n ölçüsü

m(DéOE) = m(AéOE) – m(AéOD)

m(DéOE) = 35° – 25° = 10° bulunur.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 10 / Genel Tekrar Testi 8 nolu sorular› hemen çözelim.

1.5

Komflu aç›lar gerçekten komflu mudur? Köfleleri ve birer ›fl›nlar› ortak olan aç›lara komflu aç›lar denir.

C

B

D A

BAC ve CAD aç›lar›n›n A köfleleri ve [AC ›fl›nlar› ortakt›r. Bu durumda BAC ve CAD aç›lar› komflu aç›lard›r.

15

GEOMETR‹K KAVRAMLAR VE DO⁄RUDA AÇILAR

1.6

Aç›lar› önce ölçülerine göre gruplayal›m. 1. Dar Aç›

A

Ölçüsü 0° ile 90° aras›nda olan aç›lara dar aç› denir. m(AéOB) = α < 90° oldu¤undan

A

AéOB dar aç›d›r. O

α

α

O

B

m(AéOB) = α

90° < α < 180° oldu¤undan AéOB genifl aç›d›r.

B

4. Do¤ru Aç› Ölçüsü 180° olan aç›ya do¤ru aç› denir. α

2. Dik Aç› Ölçüsü 90° olan aç›ya dik aç› denir.

O

O

B

m(AéOB) = 90° veya

A, O, B noktalar› do¤rusal ise, α = 180° dir.

"⊥" sembolü, diklik sembolüdür.

5. Tam Aç›

[OA ⊥ [OB biçiminde yaz›l›r.

A

A

B

Ölçüsü 360° olan aç›ya tam aç› denir.

3. Genifl Aç› Ölçüsü 90° ile 180° aras›nda olan aç›lara genifl aç› denir.

360°

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 7, Kavrama Testi 2 1 / Genel Tekrar Testi 1, 5 nolu sorular› hemen çözelim.

1.7

Ters aç›, tümler aç›, bütünler aç› 1. Ters Aç›

β

α α

‹ki do¤runun kesiflmesiyle oluflan ve birbirlerine göre ters tarafta bulunan aç›lara ters aç›lar denir. Ters aç›lar›n ölçüleri birbirine eflittir.

β

Aç› 10° 30° 75° x

Tümleri 80° 60° 15° 90° – x

örnek soru Tümler iki aç›dan biri di¤erinin 2 kat›ndan 30° eksiktir. Buna göre, bu aç›lar›n büyük olan› kaç derecedir?

2. Tümler Aç›lar Ölçülerinin toplam› 90° olan iki aç›ya tümler aç›lar denir. A

m(AéOB) + m(BéOC) = 90° B

oldu¤undan AéOB ile BéOC tümler aç›lard›r.

çözüm Arad›¤›m›z tümler aç›lar›n ölçüleri a ve b olsun. Bu aç›lar tümler aç›lar oldu¤undan a + b = 90° dir. Aç›lardan biri di¤erinin 2 kat›ndan 30° eksik verildi¤ine göre, a = 2. b – 30° al›n›rsa, a + b = 90° 2b – 30° + b = 90°

O

C

Yanda baz› aç› ölçüleri ve bu aç›lar›n tümlerinin ölçüleri verilmifltir.

16

3b – 30° = 90° b = 40° olur. (küçük aç›) Bu durumda a = 90° – b = 90° – 40° = 50° olur. Büyük olan aç› soruldu¤una göre, cevab›m›z 50° dir.

GEOMETR‹K KAVRAMLAR VE DO⁄RUDA AÇILAR

3. Bütünler Aç›lar

örnek soru

Ölçülerinin toplam› 180° olan iki aç›ya bütünler aç›lar denir.

Hangi aç›n›n bütünlerinin ölçüsü tümlerinin ölçüsünün 4 kat›na eflittir?

C

çözüm A

O

B

m(AéOC) + m(CéOB) = 180° oldu¤undan AéOC ile CéOB bütünler aç›lard›r. Afla¤›da baz› aç› ölçüleri ve bunlar›n bütünlerinin ölçüleri verilmifltir. Aç› Bütünleri 50° 130° 80° 100° 140° 40° x 180° – x

Arad›¤›m›z aç›n›n ölçüsü x olsun. x in bütünleri 180° – x, tümleri ise 90° – x tir. Bütünlerinin ölçüsü tümlerinin ölçüsünün 4 kat› oldu¤una göre, 180° – x = 4(90° – x) 180° – x = 360° – 4x –x + 4x = 360° – 180° 3x = 180° x = 60° bulunur.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 2 2, 3, 4, 5 nolu sorular› hemen çözelim.

1.8

Paralel iki do¤runun bir kesenle yapt›¤› aç›lar. k

2 3 6 7

5 8

1

d1

4 d2

fiekildeki k do¤rusu birbirine paralel olan d1 ve d2 do¤rular›n› keserek 8 tane aç› oluflturuyor.

Bu aç›lardan numaras› tek say› olanlar birbirine, numaras› çift say› olanlar da birbirine eflittir. ë1 = ë5, ë2 = ë6, ë3 = ë7, ë4 = ë8 (yöndefl aç›lar eflittir.) ë3 = ë5, ë4 = ë6 ë1 = ë7, ë2 = ë8

Sonuç 1 α

ë1 = ë3, ë2 = ë4, ë5 = ë7, ë6 = ë8 (ters aç›lar eflittir.)

4 nolu aç› ile 5 nolu aç›ya karfl› durumlar aç›lar denir. Karfl› durumlu aç›lar›n toplam› 180° dir. Ayn› flekilde 3 ve 6 nolu aç›lar›n toplam› da 180° dir. Bu konu ile ilgili sorular daha çok bu bafll›k ile ilgili olmaktad›r. Dolay›s›yla, bu bafll›k ile ilgili sorular› çözerken kullanabilece¤imiz baz› pratik sonuçlar yanda verilmifltir. Bu sonuçlar› dikkatlice inceleyin. Çünkü sorular› çözerken bu pratik sonuçlardan çok s›k faydalanaca¤›z.

d1

α

d2

θ

d1

θ

d2

d1 // d2 ise, α = θ d›r.

d1 // d2 ise, α = θ d›r. (Z kural›)

Sonuç 3

Sonuç 4

d1

a

d2

d1

x

c

(‹ç ters aç›lar eflittir.) (d›fl ters aç›lar eflittir.)

Sonuç 2

y

b

d2

d1 // d2 ise,

d1 // d2 ise,

c = a + b dir.

x + y = 180° dir. (karfl› durumla aç›lar.)

Sonuç 5

Sonuç 6

d1

d1

a

a b

b d2

c

c

d1 // d2 ise, a + b + c = 360° dir.

d2

e

d

d1 // d2 ise, a + c + e = b + d dir. (zikzak kural›)

17

GEOMETR‹K KAVRAMLAR VE DO⁄RUDA AÇILAR

örnek soru

çözüm

A

AB // CD

B x

A x

m(BéCD) = 56°

B

F

E

56° C

D

Yukar›daki verilere göre, m(AéBC) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

çözüm ABC aç›s› ile BCD aç›s› iç ters aç›lard›r. Sonuç 2 de belirtildi¤i gibi iç ters aç›lar eflittir. m(AéBC) = m(BéCD) ⇒ x = 56° bulunur.

35° 35°

C

145° D

CEF aç›s› ile ECD aç›s› karfl› durumlu aç›lar oldu¤undan m(CéEF) + m(EéCD) = 180° ⇒ 145° + m(EéCD) = 180° m(EéCD) = 35° m(BéCE) = m(EéCD) verilmiflti. O halde m(BéCE) = 35° dir. Bu durumda m(BéCD) = 35° + 35° = 70° dir. ABC aç›s› ile BCD aç›s› iç ters aç›lar oldu¤undan birbirine eflittir.

örnek soru A

AB // CD

B x

O halde, m(AéBC) = m(BéCD) ⇒ x = 70° bulunur.

m(AéED) = 116°

örnek soru 116° E

C

A

D

AB // [DE]

x

Yukar›daki verilere göre, m(BéAE) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

m(DéCE) = x y

çözüm

m(BéAE) + m(AéED) = 180° ⇒ x + 116° = 180°

x = 64° bulunur.

E

çözüm A

örnek soru

C

x

y

fiekilde

B

F

E 145° C

D

x

z

AB // [DE] oldu¤undan ACD ile CDE ve BCE ile CED iç ters aç›lard›r.

B

z E

[BA // [EF // [CD

‹ç ters aç›lar eflit oldu¤undan

m(BéCE) = m(EéCD)

m(AéCD) = m(CéDE) = y ve m(BéCE) = m(CéED) = z olur.

m(CéEF) = 145°

A, C, B noktalar› do¤rusal oldu¤undan AéCB do¤ru aç›d›r.

D

Yukar›daki verilere göre, m(AéBC) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

18

m(CéED) = z

oldu¤una göre, x + y + z toplam›n›n kaç derece oldu¤unu bulal›m.

y

A

m(CéDE) = y

z

D

BAE aç›s› ile AED aç›s› karfl› durumlu aç›lard›r. Sonuç 4 te belirtildi¤i gibi karfl› durumlu aç›lar›n toplam› 180° dir.

fiekilde

B

C

Do¤ru aç› 180° oldu¤undan y + x + z = 180° dir. Bu sonuç, bize bir üçgenin iç aç›lar›n›n ölçüleri toplam›n›n 180° oldu¤unu ispatlamaktad›r.

GEOMETR‹K KAVRAMLAR VE DO⁄RUDA AÇILAR

örnek soru

çözüm

A 25°

fiekilde

B

K

[BA // [DE

[BC] ⊥ [CD]

C

F

m(AéBC) = 25°

125°

60° 120°

C

x

Paralel do¤rularla ilgili aç› sorular› çözerken do¤rular› iki yönlü uzatmak çözümü kolaylaflt›r›r.

x D

E

B

A 55°

D

E

Yukar›daki verilere göre, m(CéDE) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

AB do¤rusu uzat›ld›¤›nda, K, A, B do¤rusal oldu¤undan m(KéAC) + m(CéAB) = 180°

m(KéAC) + 125° = 180° ⇒ m(KéAC) = 55° olur.

Ayn› flekilde, m(FéCA) + m(AéCD) = 180°

çözüm

60° + m(AéCD) = 180°

A 25° C

A

B

25°

C

90°

Sonuç 3 e göre, F

55° + x = 120° ⇒ x = 65° bulunur.

örnek soru

x D

m(KéAC) + m(CéDE) = m(AéCD)

x

x E

m(AéCD) = 120° olur.

B

25°

D

E

fiekilde

C

[BC] ⊥ [CD] verildi¤ine göre, m(BéCD) = 90° dir.

[BA // [DE °

Sonuç 3 e göre,

A

m(BéCD) = 20°

20

m(AéBC) + m(CéDE) = m(BéCD) ⇒ 25° + x = 90°

x

m(CéDE) = 75°

B

x = 90° – 25° x = 65° olur.

75°

Sa¤daki flekli incelerseniz, x ile 25° nin toplam›n›n 90° ye eflit olma nedeni daha iyi anlafl›labilir.

D

E

Yukar›daki verilere göre, m(AéBC) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

çözüm örnek soru fiekilde [AB // [DE D, C, F do¤rusal

60°

m(BéAC) = 125°

C

m(AéCF) = 60° x E

D

Yukar›daki verilere göre, m(CéDE) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

°

125°

B

C

55°

20

A F

Önce [CF // [BA // [DE olacak flekilde CF ›fl›n›n› çizelim. FCD aç›s› ile CDE aç›s› iç x A ters aç›lar oldu¤undan B m(FéCD) = m(CéDE) = 75° olur. 75° m(FéCD) = 75° ise, D E m(FéCB) = 75° – 20° = 55° olur. FCB aç›s› ile ABC aç›s› karfl› durumlu aç›lar oldu¤undan F

m(FéCB) + m(AéBC) = 180° ⇒ 55° + x = 180° x = 125° olur.

19

GEOMETR‹K KAVRAMLAR VE DO⁄RUDA AÇILAR

çözüm

örnek soru fiekilde

A

B 110°

[BA // FE

m(AéBF) = m(FéBC) = a

20°

D

E

Yukar›daki verilere göre, m(BéCD) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

çözüm [BA // [CK // [DL // FE olacak flekilde [CK ve [DL ›fl›nlar›n› çizelim.

A

110° 70°

K

60° 120° D

20° 20°

F

47°

Sonuç 3 te verdi¤imiz kurala göre, m(AéBF) + m(EéDF) = m(BéFD) yani a + b = 47° olur. Ayn› kurala göre, m(AéBC) + m(CéDE) = m(BéCD) 2a + 2b = x olur. Buradan 2(a + b) = x ⇒ x = 2. 47° = 94° bulunur.

örnek soru A

L

[DE] // [AC]

m(CéAE) = 2. m(BéAE)

E

m(AéBC) + m(BéCK) = 180° D

C

m(BéCK) = 70° olur. LéDE ile DéEF iç ters aç›lar oldu¤undan m(LéDE) = m(DéEF) = 20° dir. Bu durumda, m(CéDL) = 140° – 20° = 120° olur. KéCD ile CéDL karfl› durumlu aç›lar oldu¤undan,

F

Yukar›daki verilere göre, m(BéAE) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

çözüm K

A

m(KéCD) + m(CéDL) = 180°

60°

2x

m(KéCD) + 120° = 180°

[DE] // [AC] oldu¤undan AéCD ile EéDF yöndefl aç›lard›r. Sonuç 1 de yöndefl aç›lar›n eflit oldu¤unu belirtmifltik.

B x

m(KéCD) = 60° olur.

E

O halde, m(BéCD) = x = 70° + 60° = 130° bulunur.

60° C

örnek soru

60° D

F

[BA // [DE

Buna göre, m(AéCD) = m(EéDF) = 60° dir.

m(BéFD) = 47°

AB // CF oldu¤undan KéAC ile AéCD iç ters aç›lard›r. Dolay›s›yla m(KéAC) = m(AéCD) = 60° olur.

m(BéCD) = x 47°

m(EéDF) = 60°

60°

110° + m(BéCK) = 180°

x C

AB // CF

B x

E

A

m(CéDF) = m(FéDE) = b olsun.

E

ABC ile BCK karfl› durumlu aç›lar oldu¤undan

B

F

b b

m(DéEF) = 20°

F

B

x C

m(CéDE) = 140°

140° D

C

a

[BF] ile [DF] aç›ortay oldu¤undan

A

a

m(CéBA) = 110°

x

C

B

F

m(BéAE) = x ve m(CéAE) = 2. m(BéAE) verildi¤inden m(CéAE) = 2x olur. K, A, B noktalar› do¤rusal oldu¤undan

D

E

Yukar›daki flekilde, [BF] ABC aç›s›n›n, [DF] CDE aç›s›n›n aç›ortay› oldu¤una göre, x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

20

60° + 2x + x = 180° 3x = 120° x = 40° bulunur.

GEOMETR‹K KAVRAMLAR VE DO⁄RUDA AÇILAR

örnek soru

örnek soru

A 40°

AB // FE

B

m(AéBC) = 40°

C x D

[EF // [CD

A

m(BEF) = 120°

B

m(DéEF) = 20°

3x

m(BCD) = x + 20°

x

m(ABE) = 3x

120° 20°

F

E

F

E

Yukar›daki verilere göre, m(BéCD) = m(CéDE) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

x + 20° C

D

Yukar›daki verilere göre, x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

çözüm A

çözüm

B 40° C 40° x – 40°

K

x – 20° D 20° F

A 180°–3x

L 20°

x+20° K

E

B

3x 120°

60° E

F

AB // [CK // [DL // Fe olacak flekilde [CK ve [DL ›fl›nlar› çizilir.

x + 20° C

D

m(AéBC) = m(BéCK) = 40° (iç ters aç›)

K, E, F do¤rusal olacak flekilde [KE] çizilir.

m(DéCK) = m(BéCD) – m(BéCK)

[KF // [CD oldu¤u için m(BéKF) = m(KéCD) = x + 20° olur. (Yöndefl aç›lar.)

= x – 40° m(DéEF) = m(LéDE) = 20° (iç ters aç›) m(CéDL) = m(CéDE) – m(LéDE) = x – 20° KCD ve CDL karfl› durumlu aç›lar oldu¤u için m(KéCD) + m(CéDL) = 180°

m(CéBE) = 180° – m(AéBE) (do¤ru aç›) = 180° – 3x m(BéEK) = 180° – 120° (do¤ru aç›) = 60° BKE üçgeninin iç aç›lar toplam› 180° dir.

x – 40• + x – 20° = 180°

x + 20° + 60° + 180° – 3x = 180°

2x = 240°

–2x + 260° = 180°

x = 120° bulunur.

–2x = –60° x = 40° bulunur.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 2 6, 7, 8, 10 / Genel Tekrar Testi 12, 13, 14, 15 nolu sorular› hemen çözelim.

21

BU KONUDA ÖZETLE... Konuların ve Kavramların Özeti 1. Aç› Ölçü Birimleri

6. Tam Aç›

Derece, Radyan ve Grad olarak bilinen aç› ölçüleri birbirine çevrilirken; D G R = = 180° 200 π

360°

7. Ters Aç›

eflitli¤i kullan›l›r. 1 derece = 60 dakika = 3600 saniye ı

Ölçüsü 360° olan aç›ya tam aç› denir.

ıı

(1° = 60 = 3600 )

‹ki do¤runun kesiflmesiyle oluflan ve birbirlerine göre ters tarafta bulunan aç›lara ters aç›lar denir. Ters aç›lar›n ölçüleri birbirine eflittir.

2. Dar Aç› Ölçüsü 0° ile 90° aras›nda olan aç›lara dar aç› denir. m(AéOB) = α < 90°

A

oldu¤undan

O

8. Tümler Aç›lar Ölçülerinin toplam› 90° olan iki aç›ya tümler aç›lar denir.

AéOB dar aç›d›r.

α

B

9. Bütünler Aç›lar Ölçülerinin toplam› 180° olan iki aç›ya bütünler aç›lar denir.

3. Dik Aç› Ölçüsü 90° olan aç›ya dik aç› denir. m(AéOB) = 90° veya

10. Do¤ruda aç›larda dikkat edilecek özel durumlar I.

A

[OA ⊥ [OB biçiminde yaz›l›r.

A

"⊥" sembolü, diklik sembolüdür. O

C

B

II.

4. Genifl Aç›

C

α

III.

O

B

α

α C

E

α A

22

O

A, O, B noktalar› do¤rusal ise, α = 180° dir.

d e

α + β = 180°

m(BéCD) = α + β

D d1 // d2 ise a+c+e=b+d

c B

d1 // d2 ise

d1 // d2 ise

B

d1

a b

m(AéBC) = m(BéCD) = α

d2

α+β β

IV.

d1

D

90° < α < 180° oldu¤undan AéOB genifl aç›d›r.

Ölçüsü 180° olan aç›ya do¤ru aç› denir.

B

β

A

d1 // d2 ise

d2

D

m(AéOB) = α

5. Do¤ru Aç›

d1

A α

Ölçüsü 90° ile 180° aras›nda olan aç›lara genifl aç› denir. A

B

α

d2

Ö⁄REND‹KLER‹M‹Z‹ TEST EDEL‹M Kavrama Testi 1 Kavrama Testi 2

( 1.1 - 1.7 ) ( 1.7 - 1.9 )

Genel Tekrar Testi

( 1.1 - 1.9 )

S›navlarda Sorulabilecek Sorular

23

KAVRAMA TEST‹ 1.

4.

k

B

1

A

B

C

D

d

Yukar›daki d do¤rusu üzerinde A, B, C ve D noktalar› veriliyor.

A

C

Buna göre, aflflaa¤›dakilerden hangisi yanl›flfltt›r?

m

A) [AB] ∩ [CD] = { }

Yuka r›daki flfleek le göre, aflflaa¤ ›dakilerden hangisi yanl›flfltt›r?

B) [AC] ∪ [CD] = [AD]

C) [AB] ∪ [BD = AD

D) [BA ∪ [BC = BC

E) [CA ∩ [BD = [BC]

A) A noktas› k ve m do¤rular› üzerindedir. B) B noktas› k do¤rusunun bir eleman›d›r. C) C noktas› k ve m do¤rular›n›n d›fl›ndad›r. D) A, B ve C noktalar› do¤rusald›r. E) B noktas› m do¤rusunun eleman› de¤ildir.

5.

A

B

D

C

A, B, C, D noktalar› ayn› düzlem üzerindedir.

2.

B u n o k t a la r › n h e r h a n g i i k i s i n d e n g e ç e n k a ç f a r k l› d o ¤ r u ç iz i le b i li r ?

Ayn› düzlem üzerine farkl› d, f, k ve m do¤rular› çiziliyor.

A) 6

B) 5

C) 4

D) 3

E) 2

d // f k⊥d

m⊥k oldu¤una göre, aflflaa¤›dakilerden hangisi yanl›flfltt›r?

6.

k

A) d do¤rusu ile m do¤rusu paraleldir. C

B) f do¤rusu ile k do¤rusu dik kesiflir.

A

E

B m

C) m do¤rusu ile f do¤rusunun ortak noktas› yoktur. D) d, f ve m do¤rular› paralel do¤rulard›r. E) d do¤rusu ile m do¤rusunun birden çok ortak noktas› olabilir.

Yukar›daki flekilde m do¤rusu E düzlemi üzerinde, k do¤rusu ise E düzlemini A noktas›nda kesmektedir. Buna göre, I. k ∩ m = {A} II. C noktas› E düzlemi üzerindedir.

3.

A(–2)

B(4)

III. B ∈ k oldu¤una göre, B noktas› E düzlemi üzerindedir.

C(x)

Yukar›daki say› do¤rusu üzerinde A(–2), B(4) ve C(x) noktalar› verilmifltir. | A B| = 2 | BC | o l d u ¤ u n a g ö r e , x k a ç t › r ? A) 6

24

B) 7

C) 8

D) 9

IV. A, B ve C noktalar› do¤rusal de¤ildir. i fa d e l e r in d e n h a n g i l e r i d o ¤ r u d u r ? A) I ve II

E) 10

B) I, II ve III D) I, II ve IV

C) II ve III

E) II, III ve IV

GEOMETR‹K KAVRAMLAR VE DO⁄RUDA AÇILAR

7.

m(BéAC) = 3x + 15°

A

11. 35482 saniyelik aç› kaç derece, kaç dakika ve kaç

3x + 15

sa ni y e di r ? ›

A) 9° 51 22

›

B) 9° 50 22

°

›

D) 8° 51 21

C

B

››

››

››

›

C) 8° 50 22 ›

E) 8° 49 22

››

››

BAC aç›s› dar aç› oldu¤una göre, x in en büyük tam s a y › d e ¤ e r i k a ç t› r ? A) 22

B) 23

C) 24

D) 25

E) 26

12.

8.

K

L

B

fiekildeki noktalar do¤rusald›r. K [AB] n›n, L [AK] n›n orta noktalar›d›r.

90 80 110100 70 120 60 130 50 B 140 40 30 150 20 160 x 10 170

A

180

A

|AL| = 4 cm oldu¤una göre, |AB| kaç cm dir? A) 8

B) 10

C) 12

D) 14

E) 16

0

O

Yukar›daki aç›ölçer üzerinde m(AéOB) = x verilmifltir. Bu n a g ö r e , x k a ç d e r e c e d i r ? A) 150

B) 140

C) 130

D) 120

E) 110

13.

H

D

9.

B) 45

C) 60

S

V

K

G

C

L

P

π r a d y a n l› k a ç › k a ç d e r e c e d i r ? 3 A) 30

T

E

D) 75

M

E) 90 A

B

F R

Yukar›daki flfleekle göre, aflflaa¤›daki ifadelerden hangisi yanl›flfltt›r?

10.

fiekilde

A

[AH aç›ortay m(AéBK) = 120° 120° K

B

D

C x H

E 50° F

m(EéDF) = 50° m(HéCE) = x

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , x k a ç d e r e c e d ir ? A) 85

B) 80

C) 75

D) 70

E) 65

A) ABCD dörtgeni ile TRS üçgeni kesiflmemektedir. B) EFGHK beflgeni ile TRS üçgeni V ve P noktalar›nda kesiflmektedir. C) ABCD dörtgeni ile EFGHK beflgeninin kesiflimi L ve M noktalar›d›r. D) TRS üçgeni ile LEMC dörtgeninin ortak noktas› yoktur. E) fiekildeki çokgenlerden kenar say›s› en çok olan›n 8 kenar› vard›r.

D-E-B / C-A-D / C-E-C-A / A-E-E

25

2

KAVRAMA TEST‹ 1. H A

A, B, C do¤rusal

E

F

5.

[BH ve [BD aç›ortay

D 80°

B) 133

A) 131

m(FéBE) = 80°

B

Bütünlerinin 3 kat›n›n 16° fazlas›na eflfliit olan aç›n›n ölçüsü kaç derecedir? C) 135

D) 137

B

AB // CD

E) 139

C

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m (H é B D ) k a ç d e r e c e d i r ? A) 110

B) 115

C) 120

D) 125

E) 130

6.

A

2x + 35°

m(CéAB) = 2x + 35° m(AéCD) = x + 10°

x + 10°

2.

C

D

Y uka r› dak i ve ri l ere gö re, x ka ç de re ced i r?

A 2x + 13°

D

B

A) 45

3x – 24°

B) 40

C) 35

D) 30

E) 25

E C

Y u k a r ›d a k i m a k a s m o d e l i n d e m ( A é B E ) = 2 x + 1 3 ° v e m(DéBC) = 3x – 24° oldu¤una göre, makas›n kollar› ar as› ndaki a ç› kaç dere cedi r? A) 87

B) 85

C) 83

D) 81

7.

B

A 124°

E) 79

[AB // [EF // [CD [CE] aç›ortay m(CéAB) = 124°

F

E x C

D

Y u k a r › d a k i v e r il e r e g ö r e , m (C é E F ) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 148

3.

B) 152

C) 156

D) 160

E) 164

T ü m l e r i k i a ç › n › n ö l ç ü l e r i f a r k › 28 ° o l d u ¤ u n a g ö r e , büy ü¤ünü n öl çüsü k aç d ere cedi r? A) 61

B) 59

C) 57

D) 55

E) 53

8.

E

A x

AB // DC

B 120°

[CA] aç›ortay m(AéBC) = 120°

4.

26

C

D

B i r a ç › n › n t ü m l e r i i le b ü t ü n le r i n i n t o p l a m › 1 3 0 ° o l d u ¤ u n a g ö r e , b u a ç › n › n ö lç ü s ü k a ç d e r e c e d i r ?

Y u k a r › d a k i v e r il e r e g ö r e , m (E é A C ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

A) 50

A) 130

B) 55

C) 60

D) 65

E) 70

B) 135

C) 140

D) 145

E) 150

GEOMETR‹K KAVRAMLAR VE DO⁄RUDA AÇILAR

9.

A D

y

85°

D) 100

30°

13.

D

x

E

x

m(DéEF) = 40° E

F

B) 30

A 35° C

C) 40

D) 50

BC // FH

D

m(CéBD) = 50°

140°

m(DéEF) = 140°

100° x

m(BéCD) = 85° m(DéFH) = 100°

E

H

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (B é D E ) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 80

E) 70

m(AéBC) = 35° H

D

E) 165

[EF] ⊥ FH

F

B) 90

C) 100

120° C

E) 120

m(AéBC) = 120° m(BéCD) = 130°

130° D

D) 110

[BA // [EF

A

B

[BA // [FH // DE

B

F

85°

D) 160

40°

14. 11.

C

B 50°

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (A é D E ) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 10

A

m(AéCB) = 30°

C

C) 155

E) 110

BC // EF

A

B) 150

A) 145

Y u k a r › d a k i v e r il e r e g ö r e , x – y f a r k › k a ç d e r e c e d i r ? C) 90

E

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (C é A B ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

m(DéEF) = x

B

m(DéAC) = 85°

60° D

m(BéAC) = y

E

10.

B

A

m(AéDE) = 60°

m(CéDE) = 40°

F

B) 80

[AB // [DE

x

[CA // [DE

x

A) 70

C

AB // [DC] // EF

C

40°

12.

fiekilde

B

m(CéDE) = 150°

150° x E

F

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (C é D F ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (D é E F ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

A) 50

A) 130

B) 45

C) 40

D) 35

E) 30

B) 140

C) 150

D) 160

E) 170

E-A-B-E / E-A-B-E / D-E-A / C-C-B

27

GENEL TEKRAR TEST‹ 1.

m(BéAC) = 2x + 30°

B

5.

B) 100

C) 105

D) 110

A) 15

E) 115

B) 20

5π B) 3

2π C) 3

3π D) 4

y C

y – x = 20 ° ol du ¤una gö re, x ka ç d ere ce di r? A) 15

2π E) 2

B) 20

C) 25

E

B

A

B) 4

C) 5

D) 6

[DE] ⊥ [BE [BF ⊥ [BD

Y u k a r › d a k i v e r il e r e g ö r e , m (E é D B ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

E) 7

A) 30

B) 35

48°

C) 40

D) 45

E) 50

fiekilde

F

A

28

C

m(DéBC) = 40°

8.

4.

E) 35

m(AéBF) = m(FéBE)

D

x 40°

Bir düzlem üzerindeki 4 farkl› do¤ru, en çok kaç farkl› noktada kesiflfleebilir?

D) 30

A, B, C do¤rusal F

A) 3

E) 40

m(DéBC) = y

7.

3.

D) 30

m(AéBD) = x

D

B

150° lik bir aç›n›n radyan cinsinden ölçüsü aflflaa¤›da k i le r d e n h a n g is i d ir ?

C) 25

[BA ⊥ [BC

A

x

5π A) 6

m(EéBD) = y

x y = = z o l d u ¤ u n a g ö r e , z k a ç t ›r ? 3 5

6.

2.

C

m(CéBD) = z

BAC aç›s› genifl aç› oldu¤una göre, x in en büyük ve en küçük tam say› de¤erinin toplam› kaç derecedir? A) 95

m(AéBE) = x

z

B

A

C

D

y

x

2x + 30° A

A, B, C do¤rusal

E

E x

B

m(AéBE) = m(EéBC) D

m(FéBD) = m(DéBC)

C

m(AéBF) = 48°

‹kisi paralel olan 4 farkl› do¤ru en fazla kaç noktada kesiflfleebilir?

Yukar›daki verilere göre, m(EéBD) = x kaç derecedir?

A) 3

A) 12

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

B) 24

C) 30

D) 36

E) 48

GEOMETR‹K KAVRAMLAR VE DO⁄RUDA AÇILAR

[AD] ⊥ [CD

9.

F

[AB] ⊥ [CB

D A

12. H

B) 125

C) 130

D) 135

35

°

[AD] ⊥ [DF

E

B) 135

D

E

F

D) 155

x

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , x k a ç d e r e c e d ir ?

E) 165

B) 20

C) 25

D

m(EéBC) = 2. m(AéBE)

m(EéCB) = 2. m(DéCE)

14.

B

A

D) 30

E) 35

C

[AB // [DE [EC] ⊥ [AD]

125°

m(DéAB) = 125°

C B

[ED // [BC

[BA // [CD

E A

E) 145

m(AéBC) = 2x – 5°

C

F

A) 15

11.

D) 150

m(DéEF) = x + 25°

x + 25°

C) 145

m(BéCD) = y

B [BA // [EF 2x – 5°

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (B é E F ) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 125

C) 155

A

x D

B) 160

13.

m(BéAD) = 35°

C

C

Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , x + y t o p l a m › k a ç d e r e c e d i r ?

E) 145

[AB] ⊥ [BE]

A B

m(BéHD) = x

K

A) 165

10.

m(AéBK) = 75°

75° B

A

C

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (B é A D) = x k a ç d e r e c e d ir ? A) 120

m(FéDE) = 120°

y

45° B

E

D

x

m(BéCD) = 45°

x

HE // AC 120°

x

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (B é E C ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (D é E C ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

A) 90

A) 20

B) 60

C) 50

D) 40

E) 30

D

B) 25

E

C) 30

D) 35

E) 40

29

GEOMETR‹K KAVRAMLAR VE DO⁄RUDA AÇILAR

15.

A

B

C d1

125°

50°

α

d3

D

E

18.

16.

B) 110

C) 115

m(AéDE) = 125°

A

C

Yukar›daki verilere göre, m(BéCD) = x kaç derecedir?

A) 30

B) 35

B) 15

19.

42° C

F

A

α 255°

d2

K

B

D) 45

E) 50

d1 // d2

m(AéBC) = α

D

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , α k a ç d e r e c e di r ? A) 20

30

B) 25

20.

d2

E

B) 158

C) 160

A

C) 30

D) 35

E) 40

d1 // d2 [BC] aç›ortay m(BéAC) = 42° m(BéCD) = 120°

B

D) 162

E) 164

AB // CE [CB] // [DF]

C

F

d1

120°

x 4α

E

D

m(CéDF) = 4α

C

E) 30

Yukar›daki verilere göre, m(AéCD) = α kaç derece dir? A) 156

d1

α

B

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( C é F H) = x k a ç d e r e c e d i r ?

17.

D) 25

fiekilde,

x

C) 40

C) 20

A

m(BéEH) = 130°

D

E

A) 10

m(BéCF) = 75°

75°

H

130°

x

E) 125

[BC] aç›ortay

130°

m(CéDE) = 130°

E

[BA // [FH

B

C

m(AéBC) = 65° D

m(BéFH) = α

D) 120

[BA // [DE

B 65°

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , α k a ç d e r e c e di r ? A) 105

A

m(FéCD) = 50° d2

F

H

d1 // d2 // d3

D

[AF] ve [CB] aç›ortay

F E

Y u k a r › d a k i v e r il e r e g ö r e , m (A é F D) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 90

B) 80

C) 75

D) 60

E) 50

GEOMETR‹K KAVRAMLAR VE DO⁄RUDA AÇILAR

21.

24.

fiekilde

D

x

10 °

[CA // [EF A

B

x

m(CéDE) = 10°

E

B) 55

m(HéBC) = 105°

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (B é A F ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

C) 60

D) 65

A 110° F

x E 120°

m(AéBC) = 110°

F

C

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (H é F E ) = x k a ç d e r e c e d i r ? C) 135

D) 140

50°

A) 135

B) 140

K

A

[BA // [DE // [FH

x

H

[CD] ⊥ [DE F

D

m(AéCD) = 120°

C) 150

D) 155

M

E) 160

m(AéBC) = 50°

fiekilde, d1 // d2

D

B

m(CéDN) = m(AéDC) m(AéBK) = m(AéBC) = m(CéBL)

[CF] aç›ortay D

[EF] ⊥ FD

130°

fiekilde

B

C E

[CD] ⊥ FD

C

E) 145

26. A

AB // FD

E) 45

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (A é E F ) = x k a ç d e r e c e d ir ?

m(BéCD) = 25°

E

23.

B

[DC] // [FE]

D

B) 130

D) 40

[AC] aç›ortay

[BA // [FH

25°

A) 125

A

C) 35

fiekilde

B

x

B) 30

A) 25

E) 70

25.

H

[BA] ⊥ [AC]

C

m(EéDC) = 30°

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (A é B F ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

22.

[BH // [FA]

F

B

[DE // [BC

E 30°

m(DéEF) = 120°

120°

A) 50

D

[FB // [CD]

C

F

fiekilde

A

H

C

L d1

N m(BéAD) = 130° d2

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (C é F H ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m ( B é C D ) k a ç d e r e c e di r ?

A) 10

A) 135

B) 15

C) 20

D) 25

E) 30

B) 130

C) 125

D) 120

E) 115

C-A-D-C / B-E-E-B / D-C-B / A-D-D / A-E-B / B-D-A / A-C-C / E-C-E

31

SINAVLARDA SORULAB‹LECEK SORULAR 1.

4.

m(AéBD) = 50° A

[BA // [CE

A

m(DéBC) = 30°

D

D

B

y

50° 30°

B

C

B) 25

2.

C) 30

x

H

3.

A

C

70°

x

D) 55

E) 60

[AC ve [AE aç›ortay [DE] ⊥ [AE

[DA ⊥ [CE B

m(FéDE) = 35°

144°

C

F

E

m(CéDE) = 144°

D

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (B é A F ) k a ç d e r e c e d ir ?

C) 45

D) 40

AB // EF

B

A) 36

E) 35

6.

B) 60

A

m(CéFE) = 15° F

C

D

C) 64

D) 72

E) 84

B

[AB // [CE

F

[FA] ⊥ [AC]

20°

[CA] // [EB]

[FE] ⊥ [CE

[FD] aç›ortay

x

E

m(BéAF) = 20°

C) 25

D) 30

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( A é B E ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

Y u k a r › d a k i v e r il e r e g ö r e , m (F é D E ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

A) 50

A) 15

B) 55

C) 60

D) 65

E) 70

B-B-B / E-D-E

32

C) 50

A

m(AéCF) = 70° D 15° E

m(AéBD) = y

[DC] ⊥ [AC

E

B) 55

B) 45

5.

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( A é B H) = x k a ç d e r e c e d ir ? A) 60

C

A) 40

35°

D

m(DéCE) = x

30°

[CH // [DF

F C

m(DéBC) = 30°

x

E) 40

fiekilde

A B

D) 35

[DC] ⊥ [BC]

Y uka r› da ki v er i l ere g öre , x + y t opl a m› k aç de re ce di r?

Y u k a r ›d a k i v e r i l e r e g ö r e , A B C a ç › s ›n › n a ç ›o r ta y › il e D B C a ç › s › n › n a ç › o r t a y › a r a s ›n d a k i a ç › n › n ö l ç ü s ü k a ç derecedir? A) 20

E

B) 20

E) 35

KAZANMIfi OLMAMIZ GEREKEN B‹LG‹ ve BECER‹LER

Do¤ru, do¤ru parças› ve ›fl›n gibi geometrik kavramlar› tan›mlayabilme Aç› ölçü birimlerini birbirine çevirebilme Dar aç›, dik aç›, genifl aç› gibi aç› çeflitlerini tan›mlayabilme Tümler aç› ve bütünler aç› ile ilgili problemleri çözebilme Yöndefl, iç ters ve d›fl ters aç›lar› tan›mlayabilme Paralel iki do¤runun bir kesenle oluflturdu¤u aç›larla ilgili problemleri çözebilme Paralel do¤rular›n oluflturdu¤u aç› sorular›nda pratik kurallar› kullanabilme Gerekti¤inde paralel do¤rular›n uzat›lmas› gerekti¤ini anlayabilme Gerekti¤inde ek paralel do¤rular›n hangi durumlarda çizilebilece¤ini bilme

33

02

ÜÇGENDE AÇILAR

Üçgeni ne kadar tan›yoruz? Üçgenleri s›n›fland›r›yoruz. Üçgende aç› özelliklerini neredeyse herkes biliyor.

YÖRÜNGEDEK‹ KAVRAMLAR üçgen

s. 37

aç›ortay s. 37 kenarortay

s. 37

kenar orta dikme

s. 37

yükseklik s. 37

36

hipotenüs

s. 37

dik kenar

s. 37

ÜÇGENDE AÇILAR 2.1

Üçgeni ne kadar tan›yoruz? 2. Kenarortay

Üçgenin tan›m› Do¤rusal olmayan üç noktay› birlefltiren do¤ru parçalar›n›n birleflim kümesine üçgen denir. fiekildeki ABC üçgeninde [AB], [AC] ve [BC] do¤ru parçalar›na üçgenin kenarlar›, a, b ve c aç›lar›na üçy b genin iç aç›lar›, x, y ve c C z aç›lar›na ise üçgenin B z d›fl aç›lar› denir. Üçgenin kenarlar› ile üçgenin aç›lar› üçgenin temel elemanlar›d›r.

A [AD], BC kenar›na ait kenarortayd›r.

A x a

|BD| = |DC| B

C

D

3. Kenar orta dikme KL do¤rusu, ABC üçgeninin BC kenar›na ait kenar orta dikmedir.

A K

KL ⊥ [BC]

Üçgenin yard›mc› elemanlar› 1. Aç›ortay

L

B

C

|BL| = |LC|

A α α

[AN], ABC üçgeninin BAC aç›s›na ait iç aç›ortay›d›r, BAC aç›s›n› iki efl parçaya böler.

N

B

A

A

C [KN], KLM üçgeninde d›fl aç›ortayd›r, MKL aç›s›n› iki efl parçaya böler.

L K θ

θ

M

L

4. Yükseklik

N

B

H

C

B

C

H

[AH], ABC üçgenlerinde BC kenar›na ait yüksekliktir, [AH] ⊥ [BC dir.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 2 1, 6, 8, 9 nolu sorular› hemen çözelim.

2.2

Üçgenleri s›n›fland›r›yoruz. a) Aç›lar›na göre üçgen çeflitleri

2. Dik üçgen

1. Dar aç›l› üçgen

Aç›lar›ndan biri 90° olan üçgene dik üçgen denir. ‹ç aç›lar›n›n herbiri 90° den küçük olan üçgene dar aç›l› üçgen denir.

A α

A dik kenar

α < 90° B

β

θ

β < 90° C

θ < 90°

B

hipotenüs

dik kenar C

m(BéAC) = 90° oldu¤undan, flekildeki ABC üçgeni dik üçgendir.

37

ÜÇGENDE AÇILAR

2. ‹kizkenar üçgen

3. Genifl aç›l› üçgen A

α B

C

B

m(BéCA) = α > 90°

Kenarlar›ndan ikisinin uzunlu¤u birbirine eflit olan üçgene ikizkenar üçgen denir. ‹kizkenar üçgende eflit kenarlar›n karfl›lar›ndaki aç›lar›n ölçüleri de eflittir.

A

Aç›lar›ndan birinin ölçüsü 90° den büyük olan üçgene genifl aç›l› üçgen denir.

C

fiekildeki üçgende |AB| = |AC| oldu¤undan

b) Kenarlar›na göre üçgen çeflitleri

m(ëB) = m(ëC) dir.

1. Çeflitkenar üçgen Kenar uzunluklar› farkl› olan üçgenlere çeflitkenar üçgen denir. Çeflitkenar üçgenlerin hem kenar uzunluklar› hem de iç aç›lar›n›n ölçüleri birbirinden farkl›d›r.

A b

c

a

B

C

3. Eflkenar üçgen Üç kenar› da eflit uzunlukta olan üçgene eflkenar üçgen denir. Eflkenar üçgenlerin tüm iç aç›lar› 60 ar derecedir.

A 60°

60°

60°

B

C

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 5, 6 / Kavrama Testi 2 7, 10 / Genel Tekrar Testi 6 nolu sorular› hemen çözelim.

2.3

Üçgende aç› özelliklerini neredeyse herkes biliyor. 1. Üçgenin iç aç›lar toplam› 180° dir.

örnek soru

A

ABC bir dik üçgen

A

[BA] ⊥ [AC]

x

m(AéCB) = 64°

x + y + z = 180° dir. y B

B

C

ABC bir üçgen

m(BéAC) = 2x

A

m(AéCB) = x

2x

m(AéBC) = 78°

B

x C

Yukar›daki verilere göre, x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

çözüm [BA] ⊥ [AC] oldu¤undan

m(BéAC) = 90° dir.

Üçgenin iç aç›lar› toplam› 180° oldu¤undan m(ëA) + m(ëB) + m(ëC) = 180° 90° + x + 64° = 180° x + 154° = 180°

çözüm Üçgenin iç aç›lar› toplam› 180° oldu¤undan 2x + x + 78° = 180° ⇒ 3x = 180 – 78°

3x = 102° ⇒ x = 34° bulunur.

38

C

Yukar›daki verilere göre, x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

örnek soru

78°

m(AéBC) = x

64°

x

z

x = 26° bulunur.

ÜÇGENDE AÇILAR

2. Bir üçgende iki iç aç›n›n toplam›, bu aç›lara komflu olmayan d›fl aç›ya eflittir.

örnek soru fiekilde

A

[BA] ⊥ [AD]

D

m(AéBC) = 25°

x+y A m(ëB) = x, m(ëC) = y ise, m(DéAB) = x + y olur.

y

x B

° 25

m(AéDC) = 30°

30°

x

B

C

m(BéCD) = x

C

D

Yukar›daki verilere göre, x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

örnek soru ABC bir üçgen

m(AéBC) = 60°

D

çözüm

m(AéCB) = 35°

A x

60°

35°

B

°

C

Yukar›daki verilere göre, m(DéAC) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

çözüm DAC aç›s› B ve C aç›lar›na komflu olmayan d›fl aç› oldu¤una göre,

m(DéAC) = m(ëB) + m(ëC) ⇒ x = 60° + 35° = 95° bu-

BC uzat›ld›¤›nda [AD] yi E noktas›nda kessin. ABE üçgeninde A ve B iç aç›lar›n›n ölçüleri toplam› CED d›fl aç›s›na eflit oldu¤una göre,

A

25

C x

E 115° 30°

B

D

m(CéED) = m(ëA) + m(ëB) = 90° + 25° = 115° dir.

CED üçgeninde iki iç aç›n›n ölçüleri toplam› kendilerine komflu olmayan d›fl aç›ya eflit oldu¤una göre, m(BéCD) = m(CéED) + m(EéDC)

x = 115° + 30° = 145° bulunur.

lunur. fiekildeki dörtgende m(ë A) = x, m(ë B) = y ve m(ë D) = z al›n›rsa, m(BéCD) = x + y + z olur. Yukar›daki örne¤i bu kurala göre tekrar çözünüz.

A

örnek soru

x

A

ABC bir üçgen

m(BéAC) = 30°

C

30

°

m(AéCD) = 70°

y

x+y+z

z

B

70°

x B

D

C

D

Yukar›daki verilere göre, m(AéBC) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

3. Üçgenin d›fl aç›lar› toplam› 360° dir. x + y + z = 360° A

x

çözüm ACD aç›s›, A ve B aç›lar›na komflu olmayan d›fl aç› oldu¤una göre,

m(AéCD) = m(ëA) + m(ëB) ⇒ 70° = 30° + x x = 70° – 30°

y B

C

Her köflede bulunan iç aç› ile d›fl aç› birbirinin bütünleridir, yani toplamlar› 180° dir.

z

x = 40° bulunur.

39

ÜÇGENDE AÇILAR

örnek soru

çözüm fiekilde

m(DéAE) = x + 20°

D x + 20°

m(EéBF) = x + 35°

A

m(FéCD) = 125° B

C

x + 35°

E

oldu¤una göre,

90° a

a

B

125°

[BA] ⊥ [AC]

A

m(BéAC) = 90° dir.

x C

D

|AB| = |AC| oldu¤undan m(AéBC) = m(AéCB) = a olur. F

Üçgenin iç aç›lar› toplam› 180° ye eflitlenirse 90° + 2a = 180° ⇒ 2a = 90° ⇒ a = 45° olur.

Yukar›daki verilere göre, BAC aç›s›n›n ölçüsünün kaç derece oldu¤unu bulal›m.

B, C, D noktalar› do¤rusal oldu¤undan a + x = 180° dir. O halde, x = 180° – 45°

çözüm

x = 135° bulunur.

ABC üçgeninin d›fl aç›lar›n›n ölçüleri toplam› 360° oldu¤una göre, x + 20° + x + 35° + 125° = 360°

örnek soru

2x + 180° = 360° 2x = 180°

ABC bir üçgen

A

x = 90° olur.

Bu durumda m(DéAE) = x + 20° = 90° + 20° = 110° dir.

|AB| = |AD| = |DC| m(AéCB) = 35°

x

O halde,

m(BéAC) = 180° – m(DéAE) = 180° – 110° = 70°

B

bulunur.

4. ‹kizkenar üçgenin efl kenarlar› karfl›s›ndaki aç›lar›n ölçüleri de efltir. A

|AB| = |AC|

|DE| = |DF|

m(ëB) = m(ëC) = x

m(ëE) = m(ëF) = y

D

35°

C

Yukar›daki verilere göre, m(BéAD) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

çözüm fiekilde, |AD| = |DC| oldu¤undan ADC ikizkenar üçgendir.

A °

35

x

D 70° 70° x

x B

y C

B

y

E

F

örnek soru ABC ikizkenar dik üçgen

A

[BA] ⊥ [AC]

x B

C

|AB| = |AC| D

m(AéCD) = x

Yukar›daki verilere göre, x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

40

D

35°

C

Buna göre,

m(DéAC) = m(DéCA) = 35° dir. ADC üçgeninde iki iç aç›n›n toplam› kendilerine komflu olmayan d›fl aç›ya eflit oldu¤undan m(BéDA) = m(DéAC) + m(DéCA)

m(BéDA) = 35° + 35° = 70° dir.

|AB| = |AD| oldu¤undan ABD üçgeni de ikizkenar üçgendir. Dolay›s›yla m(AéBD) = m(AéDB) = 70° dir.

O halde, m(BéAD) = 180° – 2. 70° ⇒ x = 40° bulunur.

ÜÇGENDE AÇILAR

örnek soru

çözüm ABC bir üçgen

A

|AB| = |AD| = |DC| m(BéAC) = 84°

B

D

verildi¤ine göre,

75° x 75°

30°

x

|BA| = |BD|

A

B

C

Yukar›daki verilere göre, m(AéCB) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

BAD üçgeni ikizkenar üçgendir.

30° D

Buna göre,

m(BéAD) = m(BéDA) =

C

180° – 30° = 75° dir. 2

ABC üçgeninde |AB| = |AC| verildi¤ine göre, m(AéCB) = m(AéBC) = 30° dir.

çözüm |AD| = |DC|

A

oldu¤undan

m(DéAC) = m(DéCA) = x

x

2x

2x

B

m(BéDA) = m(DéAC) + m(DéCA)

75° = x + 30° ⇒ x = 45° bulunur.

olur.

x D

ADC üçgeninde iki iç aç›n›n toplam› kendilerine komflu olmayan d›fl aç›ya eflit oldu¤una göre,

örnek soru

C

ADC üçgeninde iki iç aç›n›n toplam› kendilerine komflu olmayan d›fl aç›ya eflit oldu¤undan

ABC bir ikizkenar üçgen

A

33

m(BéDA) = m(DéAC) + m(DéCA)

m(DéAC) = 33°

°

m(BéDA) = x + x = 2x olur.

|AB| = |AC| = |BD|

x

|AB| = |AD| oldu¤undan

m(AéBD) = m(AéDB) = 2x olur.

B

m(BéAC) = 84° verildi¤ine göre, ABC üçgeninin iç aç›lar› toplam› 180° e eflitlenirse,

D

C

Yukar›daki verilere göre, m(AéBD) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

84° + 2x + x = 180°

çözüm

3x = 96°

ABC üçgeninde

A 33 x+

x

|AB| = |AC|

° 33

°

x = 32° bulunur.

x + 33°

verildi¤ine göre, x

m(AéBC) = m(AéCB) = x olur. B

örnek soru ABC bir ikizkenar üçgen

A x

|AB| = |AC| = |BD| m(AéBC) = 30°

30° B

D

C

Yukar›daki verilere göre, m(DéAC) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

D

C

ADC üçgeninde iki iç aç›n›n toplam› kendilerine komflu olmayan d›fl aç›ya eflit oldu¤una göre, m(BéDA) = m(DéAC) + m(DéCA) m(BéDA) = 33° + x olur.

ABD üçgeninde |AB| = |BD| verildi¤ine göre, m(BéAD) = m(BéDA) = 33° + x olur.

ABD üçgeninin iç aç›lar› toplam› 180° oldu¤una göre, x + x + 33° + x + 33° = 180° 3x + 66° = 180°

3x = 114° ⇒ x = 38° bulunur.

41

ÜÇGENDE AÇILAR

5. Eflkenar üçgenin tüm kenar uzunluklar› eflit oldu¤undan tüm iç aç›lar›n›n ölçüsü 60 ar derecedir. A

fiekildeki ABC üçgeni eflkenar üçgen oldu¤undan

60°

m(ëA) = m(ëB) = m(ëC) = 60° dir.

60°

örnek soru m(BéAD) = 60°

60°

[AD] ⊥ [CD]

|AB| = |AD| = |CD| B

D x

60°

B

ABCD bir dörtgen

A

C

Yukar›daki verilere göre, m(BéCD) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

C

çözüm

örnek soru

A

ABC bir eflkenar üçgen

A

m(AéBD) = 12°

D

60°

x 12

°

B

60° x

60° 30°

D

x B

C

Yukar›daki verilere göre, m(BéDC) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

C

[BD] do¤ru parças› çizilirse |AB| = |AD| oldu¤undan m(AéBD) = m(AéDB) =

180° – 60° = 60° olur. 2

ABD üçgeninin tüm iç aç›lar› 60 ar derece oldu¤una göre ABD üçgeni eflkenard›r. Dolay›s›yla |BD| = |AB| = |AD| = |DC| olur.

çözüm ABC üçgeni eflkenar üçgen oldu¤undan tüm iç aç›lar 60 ar derecedir.

A 60° D x

Bu durumda

12 °

m(ëA) = 60° olur.

B

C

Ayr›ca [AD] ⊥ [CD], yani m(AéDC) = 90° oldu¤una göre, m(BéDC) = 90° – 60° = 30° olur.

|BD| = |CD| oldu¤undan m(DéBC) = m(BéCD) = x olur.

BCD üçgeninde iç aç›lar toplam› 2x + 30° = 180° oldu¤undan x = 75° bulunur.

6. Bir üçgenin iç aç›ortaylar› bir noktada kesiflir.

ABD üçgeninde iki iç aç›n›n toplam› kendilerine komflu olmayan d›fl aç›ya eflit oldu¤undan

ABC üçgeninde [AN] ve [BN] aç›ortay ise, [CN] de aç›ortayd›r.

A

m(BéDC) = m(BéAD) + m(AéBD) x = 60° + 12°

N

x = 72° bulunur.

B

42

C

ÜÇGENDE AÇILAR

örnek soru

çözüm ABC bir üçgen

A

A

45°

45 °

[AN] ve [CK] aç›ortay ° 25

x B

25°

N

B

m(BéAN) = m(NéAC) = a

b b

aa

K x

[AN] iç aç›ortay oldu¤undan

K

N

28°

C

[AD] d›fl aç›ortay oldu¤undan

D m(CéAD) = m(DéAK) = b

C

olsun.

m(BéAN) = m(NéAC) = 45°

BAK aç›s› do¤ru aç› oldu¤undan ölçüsü 180° dir.

Dolay›s›yla, 2a + 2b = 180° ⇒ a + b = 90° bulunur.

m(AéCK) = m(KéCN) = 25°

m(NéAD) = a + b oldu¤undan m(NéAD) = 90° dir.

Yukar›daki verilere göre, m(AéBK) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

AND üçgeninin iç aç›lar› toplam› 180° oldu¤una göre, m(AéND) + m(NéAD) + m(AéDN) = 180°

x + 90° + 28° = 180°

çözüm

x = 62° bulunur. A 45

45°

°

örnek soru ABC bir üçgen

A

K

AE ve CD aç›ortay m(EéDC) = 65°

25

m(AéBC) = x

°

B

x x

25°

N

D

C

65°

x

[AN] ve [CK] iç aç›ortaylar› K noktas›nda kesiflti¤ine göre, [BK] da iç aç›ortayd›r.

B

Dolay›s›yla

Yukar›daki verilere göre, x kaç derecedir?

m(NéBK) = m(AéBK) = x olur.

E

A) 50

B) 45

C

C) 40

ABC üçgeninin iç aç›lar› toplam› 2x = 40°

D x B

ABC üçgeninde A

[AN] iç aç›ortay [AD] d›fl aç›ortay

N

m(AéDB) = 28° C

65° E

b b

C

m(AéCD) = m(DéCE) = b olsun.

DAC üçgeninde iki iç aç›n›n toplam› kendilerine komflu olmayan d›fl aç›ya eflit oldu¤undan

örnek soru

B

m(BéAE) = m(EéAC) = a ve

a a

7. Bütünler iki aç›n›n aç›ortaylar› aras›ndaki aç›n›n ölçüsü 90° dir.

x

AE ve CD aç›ortay oldu¤undan

A

x = 20° olur.

E) 30

(2009 MAT2)

çözüm

m(ëA) + m(ëB) + m(ëC) = 90° + 2x + 50° = 180°

D) 35

28°

D

oldu¤una göre, m(AéNC) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

a + b = 65° dir. ABC üçgeninin iç aç›lar› toplam› 180° oldu¤undan 2a + 2b + x = 180° ⇒ 2(a + b) + x = 180° 2. 65° + x = 180°

130° + x = 180° x = 50° bulunur.

Cevap A 43

ÜÇGENDE AÇILAR

örnek soru A

ABC üçgeninde

70°

[BD] ve [CD] d›fl aç›ortay

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunlu¤u hipotenüs uzunlu¤unun yar›s›na eflfliittir. [BA] ⊥ [AC] ve

A

|BD| = |DC| ise,

m(BéAC) = 70°

B

|AD| = |BD| = |DC|

C

olur. B

D

C

x D

oldu¤una göre, m(BéDC) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

örnek soru ABC bir dik üçgen

A

[BA] ⊥ [AC]

x

|BD| = |DC|

m(AéBC) = 34°

çözüm E A

B

F

a

a

n

D

C

Yukar›daki verilere göre, m(DéAC) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

110°

70°

B

34°

C n

K

çözüm x ° 34

[BD] ve [CD] d›fl aç›ortay oldu¤undan m(FéBD) = m(DéBC) = a ve

m(BéCD) = m(DéCK) = n olsun.

34°

x

56°

m(BéAC) = 70° oldu¤undan m(CéAE) = 110° dir.

B

Bir üçgenin d›fl aç›lar› toplam› 360° oldu¤una göre, ABC üçgeninin d›fl aç›lar› toplan›rsa,

Bu durumda DAB ve DAC üçgenleri ikizkenar üçgen olur.

2a + 2n + 110° = 360° ⇒ 2a + 2n = 250°

a + n = 125° bulunur. BDC üçgeninde iç aç›lar toplam› 180° oldu¤undan x + a + n = 180° ⇒ x + 125° = 180°

x = 55° bulunur.

44

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunlu¤u hipotenüs uzunlu¤unun yar›s›na eflit oldu¤u için

A

D

D

C |AD| = |BD| = |DC|

olur.

|DB| = |DA| oldu¤undan,

m(DéAB) = m(DéBA) = 34° olur. m(BéAC) = 90° oldu¤undan m(DéAC) = 90° – m(DéAB)

x = 90° – 34° = 56° bulunur.

ÜÇGENDE AÇILAR

örnek soru

örnek soru ABC bir üçgen

A

|BP| = |PR|

25°

m(EéBD) = m(DéBC)

|CP| = |PQ|

m(BéAC) = 25°

E

m(RéPQ) = x

R Q

C

P

B

Yukar›daki verilere göre, x kaç derecedir? A) 150

B) 135

α

α

x B

|AB| = |BC|

A

C) 130

D) 120

E) 108

D

C

Yukar›daki verilere göre, m(AéBE) = m(BéDA) = α n›n kaç derece oldu¤unu bulal›m.

(ÖSS 2007 I)

çözüm

çözüm |BP| = |PR| oldu¤undan m(PéRB) = m(PéBR) = a

A 25°

A a

|CP| = |PQ| oldu¤undan m(PéQC) = m(PéCQ) = n

R

E α

Q

a x

a B

n n

P

180° – 2a

α C

B

180° – 2n

b b

D a C

ABC ikizkenar üçgen oldu¤undan,

Bu durumda

m(BéPR) = 180° – 2a ve

m(BéAC) = m(BéCD) = a

m(CéPQ) = 180° – 2n olur.

[BD] aç›ortay oldu¤undan,

ABC üçgeninin iç aç›lar› toplam› 180° oldu¤undan

m(EéBD) = m(DéBC) = b

B, P, C noktalar› do¤rusal oldu¤undan

BDC üçgeninde, iki iç aç›n›n toplam› kendilerine komflu olmayan d›fl aç›ya eflit oldu¤undan

25° + a + n = 180° ⇒ a + n = 155° dir. m(BéPC) = 180° yani

180° – 2a + x + 180° – 2n = 180° ⇒ x = 2a + 2n – 180° olur. a + n = 155° oldu¤undan 2a + 2n = 310° olur. O halde, x = 2a + 2n – 180° = 310° – 180° = 130° bulunur.

Cevap C

α=a+b ABC üçgeninde iç aç›lar toplam› 180° oldu¤undan, 2a + 2b + α = 180°, 2(a + b) + α = 180° 2α + α = 180°

α = 60° bulunur.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 1, 2, 3, 7, 11 / Genel Tekrar Testi 1, 2, 8, 9, 11, 21 nolu sorular› hemen çözelim.

45

BU KONUDA ÖZETLE... Konuların ve Kavramların Özeti 1. [BD] ve [CD] iç aç›ortay ise,

Üçgenin tan›m›

A

Do¤rusal olmayan üç noktay› birlefltiren do¤ru parçalar›n›n birleflim kümesine üçgen denir.

α

Üçgenin iç aç›lar toplam› 180° dir.

α + β + θ = 180°

α

C

B

2. [BK] ve [CK] d›fl aç›ortay ise, A

B

β

θ

α

x = 90° — C

Aç›lar›na göre üçgen çeflitleri

x

a. Dar aç›l› üçgen: ‹ç aç›lar›n›n herbiri 90° den küçük olan üçgene dar aç›l› üçgen denir.

K

b. Dik üçgen: Aç›lar›ndan biri 90° olan üçgene dik üçgen denir.

3. Bir üçgende iki iç aç›n›n toplam› kendilerine komflu olmayan d›fl aç›ya eflittir. A

c. Genifl aç›l› üçgen: Aç›lar›ndan birinin ölçüsü 90° den büyük olan üçgene genifl aç›l› üçgen denir.

α

Kenarlar›na göre üçgen çeflitleri a. Çeflitkenar üçgen: Kenar uzunluklar› ve aç›lar› farkl› olan üçgenlere çeflitkenar üçgen denir.

B

θ α+β C

β

b. ‹kizkenar üçgen: Kenarlar›ndan ikisinin uzunlu¤u birbirine eflit olan üçgene ikizkenar üçgen denir.

A a

c. Eflkenar üçgen: Üç kenar› ve üç iç aç›s› eflit olan üçgene eflkenar üçgen denir.

IABI = IACI ise,

m(B)ª = m(Cª) = α

B

C a+b+c

b

A

α

c

B

D

4. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunlu¤u hipotenüs uzunlu¤unun yar›s›na eflittir. [BA] ⊥ [AC] ve

A

|BD| = |DC| ise,

C

|AD| = |BD| = |DC|

A ABC eflkenar üçgen ise, 60°

60° B

46

α 2

C B

α

α 2

D x

Üçgenin d›fl aç›lar toplam› 360° dir. A

x = 90° +

m(Aª) = m(Bª) = m(Cª) = 60°

60° C

olur. B

D

C

Ö⁄REND‹KLER‹M‹Z‹ TEST EDEL‹M Kavrama Testi 1 Kavrama Testi 2

( 2.1 - 2.3 ) ( 2.1 - 2.3 )

Genel Tekrar Testi

( 2.1 - 2.3 )

S›navlarda (ÖSS-ÖYS-YGS-LYS) Sorulmufl Sorular S›navlarda Sorulabilecek Sorular

47

1

KAVRAMA TEST‹ 1.

ABC bir üçgen

x

m(BéAC) = x

4.

ABC bir üçgen

A

|AB| = |AD|

20°

A

m(AéBC) = x + 15°

C, B, E do¤rusal

m(AéCB) = x – 6° x + 15° B

70°

C

B) 51

C) 54

D) 57

B) 25

5.

C, A, D ve

A

E) 10

ABC ve DCE birer üçgen

36°

x

B

C

|AB| = |AC|

D

m(DéAB) = 130°

120°

|DC| = |DE|

100°

x

m(AéBE) = 120°

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( A é C B ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

B

A) 50

Y u k a r › d a k i v e r il e r e g ö r e , m (A é C D) = x k a ç d e r e c e d i r ?

B) 55

C) 60

D) 65

C

3.

A

ABC ikizkenar üçgen

x

|AB| = |AC|

B) 62

6. A

[CD] ⊥ [AB] 10°

C

B) 15

C) 20

D) 25

E) 30

m(BéAC) = 36°

D) 66

E) 68

D

ABC bir üçgen

64°

C, B, E ve B, A, D do¤rusal m(DéAC) = 64°

x

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m (B é A C ) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 10

C) 64

m(DéCB) = 10°

D B

E

m(CéDE) = 100°

E) 70

A) 60

48

D) 15

A

C, B, E do¤rusal

E

C) 20

ABC bir üçgen

D 130°

C

Yukar›daki verilere göre, m(DéBC) = x kaç derecedir?

E) 60

A) 30

2.

m(AéBE) = 70°

x

B

E

Y uka r› da ki ve ri l ere gö re, x ka ç d ere ce di r? A) 48

m(BéAC) = 20°

D

x – 6°

E

B

C

Y u k a r › d a k i v e r il e r e g ö r e , m (A é B E ) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 144

B) 148

C) 152

D) 156

E) 160

ÜÇGENDE AÇILAR

7.

ABC ikizkenar üçgen

A

10.

|AB| = |AC|

52°

x B

x B

m(BéAC) = 52°

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (A é C E ) = x k a ç d e r e c e d i r ? B) 26

C) 28

D) 30

|BD| = |BE|

64°

E

C

B) 97

A) 94

C) 100

ABC bir üçgen

m(BéAD) = 80°

|AD| = |AC|

10°

B

C

30°

B) 20

9.

C) 15

B

m(DéCB) = 10°

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (B é C D) = x k a ç d e r e c e d i r ?

D) 10

40°

12.

B) 130

C) 135

[AC] ⊥ [DC]

[AD] ⊥ [DE C

B

Yukar›daki verilere göre, m(CéBE) = x kaç derecedir? B) 55

C) 60

D) 65

E) 70

E

C

|ED| = |DC| m(EéDC) = 70°

m(DéAB) = 40°

70°

E

A) 50

E) 145

[AB] ⊥ [BC]

x

|AB| = |AC|

B x

D) 140

ABC ve EDC birer üçgen

A

[AC] // [DE

D

D

A) 125

E) 5

fiekilde

A

m(AéDC) = 25°

m(BéAC) = 110°

Yukar›daki verilere göre, m(AéBC) = x kaç derecedir? A) 25

x

°

x

m(AéBC) = 30°

C

25

110° D

E) 106

fiekilde

A 80°

A

D) 103

E) 32

11. 8.

m(AéCB) = 64°

Yukar›daki verilere göre, m(DéEC) = x kaç derecedir?

C

A) 24

[BA] ⊥ [AC]

D

[CE ⊥ [BC

E

ABC dik üçgen

A

D

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (B é A C ) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 35

B) 40

C) 45

D) 50

E) 55

D-E-C / A-E-B / B-A-D / D-C-E

49

KAVRAMA TEST‹ 1.

ABC dik üçgen

A

2

4.

ABC üçgeninde

A

[AC] aç›ortay

m(BéAC) = x

x

B, C, E do¤rusal 100° B

C

45°

m(AéBD) = x + 20°

[AB] ⊥ [BE

D

x E

m(AéCD) = 100°

B

m(AéDC) = 45°

Yukar›daki verilere göre, x kaç derecedir?

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m (D é C E ) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 35

B) 30

C) 25

D) 20

A) 24

fiekilde

A 150° 140°

B

B) 26

B

[CA ⊥ [CD]

x + 30°

B, D, E do¤rusal m(AéBD) = x + 30°

m(BéEF) = 140°

E

|FD| = |DE|

D x + 20°

C

C

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( A é C F ) = x k a ç d e r e c e d i r ? B) 60

C) 65

D) 70

A

B

F x

A) 110

E) 75

B) 115

50

E

C

C) 120

D) 125

D

C E

E) 130

fiekilde [DH] ⊥ [AK

H

[DE] ⊥ [AE

B

m(DéEH) = 130°

130° H

x

AF // EC [ED] ⊥ [AC]

E

A

|AB| = |BC|

D

m(CéDE) = x + 20°

Y uka r› dak i ve ri l ere gö re, x ka ç de re ced i r?

6. 3.

E) 32

BCD dik üçgen

m(AéBD) = 150°

D

A) 55

D) 30

A

x F

C) 28

E) 15

5. 2.

m(AéCD) = 72°

x + 20° 72° C D

[DF] aç›ortay

F 120°

K

m(DéFK) = 120°

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( C é B F ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

Yukar›daki verilere göre, m(EéAK) = x kaç derecedir?

A) 65

A) 60

B) 70

C) 75

D) 80

E) 85

B) 65

C) 70

D) 75

E) 80

ÜÇGENDE AÇILAR

7.

ABC ikizkenar üçgen

D

ABC eflkenar üçgen

A

[AD] ⊥ [BD]

|AB| = |AC|

y

C

10.

x

m(AéBC) = x

m(AéBD) = 55°

m(AéCD) = y

x B

A

A) 120

B) 150

C) 180

D) 210

B

C

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (D é A C ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

E) 240

A) 10

8.

[AF, BAC aç›s›n›n aç›ortay›

A

110°

B

100°

x E

C

B) 15

11.

|AB| = |AC|

K

|DC| = |BC|

D

m(BéAC) = 42°

75°

F

B) 120

C) 130

D) 140

A

[AB] aç›ortay

B

C

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (A é C D ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

m(AéDB) = 80°

80°

B) 37

C) 35

12.

|AD| = |DC| x

m(CéDB) = 75°

x

E) 150

ABC bir üçgen

E

E) 30

ABC ve DBC ikizkenar üçgen

m(FéDC) = 100°

A) 39

9.

D) 25

42°

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (E é B D) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 110

C) 20

A

m(AéCK) = 110° D

D

55°

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , x + y t o p la m › k a ç d e r e c e dir?

D B

28°

D) 33

E) 31

A

ABC bir üçgen

x

m(AéBC) = 28°

E

C

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (A é B C ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

|DB| = |DE| = |AE| = |AC| oldu¤una göre, m(EéAC) = x k a ç d e r e c e di r ?

A) 15

A) 12

B

D

B) 20

C

C) 25

D) 30

E) 35

B) 14

C) 16

D) 18

E) 20

C-D-D / B-A-A / C-C-D / D-A-A

51

GENEL TEKRAR TEST‹ 1. D

A

ABC bir üçgen

x

|BD| = |DE|

4.

A

ABE bir üçgen

48°

A, B, C ve A, E, F do¤rusal

|FE| = |FC|

|BC| = |BD|

m(DéEF) = 60°

F 60° B

E

C

B) 45

C) 60

D) 75

F

Yukar›daki verilere göre, m(CéDF) = x kaç derecedir?

E) 90

ABC üçgeninde

A

5.

B) 108

x D

C

D

B) 42

C) 45

D) 48

B

C

Yukar›daki verilere göre, x in en küçük tam say› de¤er i kaç derecedi r?

E) 51

A) 94

6. 3.

C) 96

D) 97

E) 98

ABC ikizkenar üçgen

A

|AB| = |AC|

D

|AB| = |BE|

m(AéBC) = x

50°

|AD| = |DE|

72°

x

E

C

m(AéBC) = 72° m(EéDC) = 50°

52

B) 95

ABC bir üçgen

A

B

m(BéDC) = x

x

m(BéAD) = 63°

E) 114

m(BéAC) = 95°

95°

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( A é C B ) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 39

D) 112

ABC bir üçgen

|AD| = |DC| B

C) 110

A

|AB| = |AC|

63°

m(CéAF) = 48°

C

A) 106

2.

|DE| = |EF|

E

x

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m (B é A C ) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 30

D

B

x B

C

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( A é C B ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

Yukar›daki verilere göre, x in en büyük tam say› de¤er i kaç derecedi r?

A) 27

A) 89

B) 29

C) 31

D) 33

E) 35

B) 88

C) 87

D) 86

E) 85

ÜÇGENDE AÇILAR

7.

A

ABC üçgeninde

x

m(ëB) < 60°

10.

fiekilde

A D

32°

|BD| = |DF|

E

|AD| = |AE|

m(ëC) < 70° m(BéAC) = x

m(BéAC) = 32° B

B

Y u k a r › d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( B é F D) k a ç d e r e c e d i r ?

C

A) 35

Yukar›daki verilere göre, x tam say› olarak en az kaç derecedir? A) 45

B) 47

C) 49

D) 51

B) 36

C) 37

ABC üçgeninde

50°

[BD] ve [CD] d›fl aç›ortay

[AB] d›fl aç›ortay

x

65° E D

C

C

B

[AE] iç aç›ortay B

B) 30

C) 35

D) 40

x D

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (B é D C ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

E) 45

B) 55

A) 50

9.

ABC bir üçgen

F A x E 40°

C

Yukar›daki verilere göre, m(CéAF) = x kaç derecedir? B) 50

C) 60

D) 70

E) 80

C) 60

E) 70

|AC| = |BC|

D 68°

D) 65

|BD| = |DC|

A

m(BéDE) = 40°

B

A) 40

12.

[BD] ve [CE iç aç›ortay

D

m(BéAC) = 50°

m(AéEB) = 65°

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (A é B C ) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 25

E) 39

A

ADC üçgeninde

A

D) 38

E) 53

11. 8.

F

C

m(BéDC) = 68°

α

m(AéCD) = α C

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , α k a ç d e r e c e di r ? A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

E) 16

53

ÜÇGENDE AÇILAR

13.

D

A

ABC bir üçgen

x

[BE] ve [CD] iç aç›ortay

78°

60°

E

16.

|AD| = |BD| = |DC| m(AéBD) = 43°

m(AéDC) = 78°

D

m(AéEB) = 60° B

43°

C

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m (B é A C ) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 90

B) 88

C) 86

D) 84

ABC üçgeninde

A

B

C

Yukar›daki verilere göre, m(AéCB) kaç derecedir?

E) 82

A) 39

B) 41

17.

C) 43

D) 45

ABC ikizkenar üçgen

A

m(EéBD) = m(BéCD) = α

104°

14.

ABC üçgeninde

D

A

E α

[CD] d›fl aç›ortay

D

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( B é D C ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

C

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m (B é DC ) = x k a ç d e r e c e d ir ? A) 36

15.

B) 33

C) 30

D) 27

A) 46

E) 24

ABC üçgeninde

A

C

x

m(BéAC) = 54° B

m(BéAC) = 104°

α

B

[BD] iç aç›ortay

x

54°

E) 47

B) 42

C) 38

18.

D) 34

ABC bir üçgen

E A

[AD] ⊥ [BC]

E) 30

|AD| = |BD| = |AC|

78°

x

18°

m(CéAE) = 78°

m(BéAE) = m(EéAC) m(AéBC) = 68°

68° B

m(DéAE) = 18°

x D

E

C

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( A é C B ) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 32

54

B) 34

C) 36

D) 38

E) 40

B

D

C

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (B é A D) = x k a ç d e r e c e d ir ? A) 24

B) 26

C) 28

D) 30

E) 32

ÜÇGENDE AÇILAR

19.

ABC ikizkenar dik üçgen

A

α

C

E

|AD| = |BD| = |DC| m(AéBC) = 38°

|DB| = |BE|

38°

x

B

Yukar›daki verilere göre, m(BéED) = α kaç derecedir? B) 30

C) 27,5

D) 25

A) 48

|BD| = |DC| = |EC|

D

21.

B) 70

D) 60

A) 35

24.

B

C

D) 50

E) 65

ABC üçgeninde |BD| = |DC|

E

|AF| = |FC|

75°

m(AéBC) = 64° D

C) 45

D

|BD| = |DC| x

B) 40

A

[BA] ⊥ [AC]

64°

C

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (B é A C ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

E) 55

ABC dik üçgen

A

m(BéDE) = 65°

D

B

C

C) 65

m(DéBC) = m(AéCE)

65°

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (E é D C ) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 75

E) 56

ABC ikizkenar üçgen

E

x

80°

D) 54

|AB| = |AC|

m(AéDB) = 80° B

C) 52

x

[BA] ⊥ [AC] E

B) 50

A

ABC dik üçgen

A

C

E) 22,5

23. 20.

D

Yukar›daki verilere göre, m(AéCB) = x kaç derecedir?

D

A) 32,5

ABC bir üçgen

A

|AB| = |AC|

F B

22.

m(BéEF) = 75° x

B

F

C

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (A é D B ) = x k a ç d e r e c e d ir ?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (A é C B ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

A) 42

A) 35

B) 44

C) 48

D) 52

E) 54

B) 40

C) 45

D) 50

E) 60

C-A-B / E-C-A / D-A-E / C-D-A / B-D-A / E-C-B / E-B-D / C-D-A

55

SINAVLARDA (ÖSS-ÖYS-YGS-LYS) SORULMUfi SORULAR 1.

A

B ∈ [OA

α B

[OA ⊥ [OD

C

|EC| = |DC|

A

C ∈ [OD

D

124°

4.

m(AéFD) = α

α

F

m(BéCD) = 124°

E

m(AéBC) = α

O

Yukar›daki verilere göre, m(AéBC) = α kaç derecedir? A) 138

B) 146

C) 148

D) 152

B

C

D

Yukar›daki flfleekilde ABC bir eflflkkenar üçgen oldu¤una göre, α kaç derecedir?

E) 154

(ÖSS 1994)

B) 105

A) 110

C) 100

D) 95

E) 90

(ÖYS 1997)

2.

E

118° A

B

C

α

A, B, C, D, E noktalar› düzlemseldir. [AE ⊥ [BD

5. D

B) 150

C) 148

D) 146

m(BéDC) = α

15°

m(CéBD) = α

Yukar›daki verilere göre, m(CéBD) = α kaç derece dir? A) 152

m(DéCA) = 15°

α

m(CéAE) = 118° D

fiekilde;

A

|AB| = |AC| |BD| = |BC|

B

C

oldu¤una göre, m(BéDC) = α kaç derecedir?

E) 144

(ÖYS 1994)

A) 35

B) 40

C) 45

D) 50

E) 55

(ÖSS 1998)

3.

m(BéAC) = 120°

A 120° x

B

6.

α

F

E

A

C

E

C

m(AéFD) = x

F

fiekilde;

D

|DB| = |BE|

|BC| = |BE| |CD| = |CE|

Yukar›daki flfleekilde |AB| = |AC| m(AéFD) = x kaç derecedir? B) 35

C) 40

ol du¤ una gö re,

D) 45

E) 50

(ÖSS 1997) 56

do¤rusal ve B, E, F do¤rusal

B 168°

D

A) 30

A, B, C, D noktalar›

m(AéBF) = 168°

Yukar›daki verilere göre, m(DéEF) = α kaç derecedir? A) 50

B) 54

C) 58

D) 60

E) 64

(ÖSS 1999 ipt.)

ÜÇGENDE AÇILAR

7.

|AE| = |EB| = |ED|

A

10. Bir ABC üçgeninin iç aç›lar›n›n ölçüleri a°, b°, c° ve

m(BéDC) = x

4c – b ≤ a o l d u ¤ u n a g ö r e , c e n ç o k k a ç t› r ?

E

A) 25

D x

B) 30

C) 36

D) 42

E) 45

(ÖSS 2009) C

B

Yukar›daki ABC üçgeni bir eflflkkenar üçgen oldu¤una göre , x k aç der ecedi r? A) 100

B) 105

C) 120

D) 135

E) 150

(ÖSS 2005) 11.

ABC bir üçgen

A 80°

|CA| = |CD|

D

8.

DE // CF

110° D 30°

E

B

F

C

m(AéBC) = x

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , x k a ç d e r e c e d ir ?

m(AéED) = 30°

C

m(BéAC) = 80°

x

m(BéAE) = 110°

x

B

m(AéCD) = m(DéCB)

AB // DC

A

A) 40

m(DéCF) = x

B) 45

C) 50

D) 60

E) 75

(LYS 2010)

Y uka r› dak i ve ri l ere g öre, x k aç der ec edi r? A) 40

B) 50

C) 60

D) 70

E) 80

(ÖSS 2006 Mat-1)

9.

ABC bir üçgen

A 60°

B

12.

ABC bir ikizkenar üçgen

A

|AE| = |AF| E

x

F

70° D

m(BéAD) = 60° m(AéDB) = 70° 50° C

m(AéCB) = 50° m(AéBF) = x

|AB| = |AD| m(DéBC) = 9°

D

B 9°

m(BéCD) = x

x C

Y uka r› dak i ve ri l ere g öre, x k aç der ec edi r?

Yukar›daki flfleekilde |AC| = |BC| oldu¤una göre, x kaç derecedir?

A) 10

A) 36

B) 15

C) 20

D) 25

E) 30

B) 39

(ÖSS 2008 Mat-1)

C) 48

D) 51

E) 54

(LYS 2010)

B-A-D / E-E-B / D-A-C / C-D-C

57

SINAVLARDA SORULAB‹LECEK SORULAR 1. A

4.

ABC dik üçgen

D

DEC bir üçgen

60°

[BD] ve [CD] iç aç›ortay

[CA] aç›ortay

65°

D

[AB] ⊥ [BC]

x E

B

ABC üçgeninde

A

110°

C

C

B

m(BéAC) = 65°

[BE] ve [CE] d›fl aç›ortay m(BéDC) = 110°

m(EéDC) = 60°

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m (B é E D) = x k a ç d e r e c e d ir ? A) 105

B) 110

C) 115

D) 120

x

E) 125

E

Yukar›daki verilere göre, m(BéEC) = x kaç derecedir? A) 75

2.

ABC bir üçgen

A

[AE] aç›ortay

5.

[AE] ⊥ [DE] D x

15°

B

C

B) 15

C) 20

m(BéAC) = 45° D x

E) 30

B

ABC ve ECD birer üçgen

A 35°

6.

B) 20

C) 25

D) 30

|BD| = |DC|

x

m(AéCB) = 40°

m(BéAC) = 35° x B

C

D

m(AéDB) = 80°

[CE] ⊥ [ED]

80°

40°

m(AéBC) = m(AéCE) oldu¤una göre, m(CéDE) = x kaç derecedir?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (B é A D) = x k a ç d e r e c e d ir ?

A) 35

A) 30

B) 45

C) 55

D) 65

E) 75

B

B-E-C / B-D-C

58

E) 35

ABC bir üçgen

A

B, C, D do¤rusal

E

C

Y u k a r › d a k i v e r il e r e g ö r e , m (A é C D) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 15

3.

E) 55

[AB] ⊥ [BC]

45°

m(DéEB) = 15°

D) 25

D) 60

ABD eflkenar üçgen

Yukar›daki verilere göre, m(AéBC) = x kaç derecedir? A) 10

C) 65

A

m(AéCB) = 60°

60° E

B) 70

D

B) 40

C) 50

C

D) 60

E) 70

KAZANMIfi OLMAMIZ GEREKEN B‹LG‹ ve BECER‹LER

Üçgenin temel elemanlar›n› ve yard›mc› elemanlar›n› tan›mlayabilme Dar, dik ve genifl aç›l› üçgenleri tan›mlayabilme Üçgenleri kenar uzunluklar›na göre s›n›fland›rabilme Üçgenin iç aç›lar toplam›n›n 180° olmas›n› kullanabilme Üçgenin d›fl aç›lar toplam›n›n 360° olmas›n› kullanabilme ‹ki iç aç›n›n toplam›n›n b›r d›fl aç›ya eflit oldu¤unu kullanabilme ‹kizkenar ve eflkenar üçgene ait aç› özelliklerini kullanabilme Aç›ortay bulanan üçgenlerde aç› özelliklerini kullanabilme Gerekti¤inde ek paralel do¤rular›n hangi durumlarda çizilebilece¤ini bilme Birbirine komflu iç aç› ile d›fl aç›n›n toplam›n›n 180° oldu¤unu kullanabilme

59

03

ÖZEL ÜÇGENLER

Dik üçgeni tan›madan olmaz. Uzunluk hesaplamada en önemli teorem: Pisagor Teoremi Kenarlar› tam say› olan baz› dik üçgenleri ezbere bil, zaman kazan! Dik köfleden dik inerse, öklid ba¤›nt›lar› 30° – 60° – 90° üçgenini ö¤renmek hiç de zor de¤il! 45° – 45° – 90° üçgeni halk aras›nda ikizkenar dik üçgen olarak bilinir. Dik üçgende trigonometrik oranlar ‹kizkenar üçgende hem kenarlar ikiz, hem aç›lar ikiz. ‹kizkenar üçgen ile ilgili 2 özellik daha! En düzgün üçgen: Eflkenar üçgen Eflkenar üçgen ile ilgili 2 özellik daha Dikkat! Bu üçgenler çok özel!

YÖRÜNGEDEK‹ KAVRAMLAR dik üçgen

s. 63

dik kenar s. 63 hipotenüs dikme

s. 63 s. 65

sinüs s. 69 kosinüs s. 69 tanjant s. 69 kotanjant s. 69 ikizkenar üçgen eflkenar üçgen özel üçgen s. 77

62

s. 71 s. 74

ÖZEL ÜÇGENLER 3.1

Dik üçgeni tan›madan olmaz. Aç›lar›ndan birinin ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denir.

A Dik kenar

Dik kenar B

3.2

fiekildeki ABC üçgeninde m(BéAC) = 90° oldu¤undan ABC üçgeni bir dik üçgendir. Dik üçgende 90° lik aç›n›n karfl›s›ndaki kenara hipotenüs denir. Hipotenüs, dik üçgenin en uzun kenar›d›r. 90° lik aç›n›n kollar›na ise dik kenar denir.

C

Hipotenüs

Uzunluk hesaplamada en önemli teorem: Pisagor Teoremi Bir dik üçgende dik kenarlar›n uzunluklar›n›n kareleri toplam›, hipotenüs uzunlu¤unun karesine eflittir. Bu ba¤›nt›ya pisagor ba¤›nt›s› denir. A

çözüm ABC dik üçgeninde [AC] hipotenüstür. Pisagor ba¤›nt›s›na göre, hipotenüsün karesi dik kenarlar›n uzunluklar›n›n kareleri toplam›na eflit oldu¤undan |AC| = |AB| + |BC| ⇒ x = 2 + 4 2

b

Yandaki ABC dik üçgeninde pisagor ba¤›nt›s›

a

2

2

2

2

2

2 2

x = 20

2

x = 20

C

c

2

x = 4 + 16

a = b + c dir. B

2

x = 2 5 cm bulunur.

Pisagor ba¤›nt›s›n› uygularken köklü say›lar çok s›k kullan›l›r. örnek soru ABC bir dik üçgen

A

E¤er köklü say›larla ifllem konusunda kendinizi eksik görüyorsan›z, pisagor teoremini ve dik üçgenle ilgili di¤er ba¤›nt›lar› iyi ö¤renebilmek için öncelikle basit düzeyde de olsa köklü say›larla ifllem yapabilme yetene¤i kazanmal›s›n›z.

[BA] ⊥ [AC]

2 5

4

|AB| = 4 cm |AC| = 2 5 cm

B

C

x

Yukar›daki verilere göre, |BC| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

örnek soru

çözüm

A 2 B

x

4

ABC bir dik üçgen

Pisagor ba¤›nt›s›na göre,

|AB| = 2 cm

|BC| = |AB| + |AC|

|BC| = 4 cm C

Yukar›daki verilere göre, |AC| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

2

2

2

2

x = 4 + (2 5 )

2

2

2

x = 16 + 20 2

x = 36 x = 6 cm bulunur.

63

ÖZEL ÜÇGENLER

örnek soru

örnek soru ABC bir dik üçgen

A

[AB] ⊥ [BC]

4 3

[BA] ⊥ [AC]

2 3

|AB| = 4 3 cm 7

ABC bir dik üçgen

A

|AB| = 2 3 cm |BC| = 2|AC|

|AC| = 7 cm B

B

Yukar›daki verilere göre, |BC| uzunlu¤unun kaç cm oldu¤unu bulal›m.

C

x

C

Yukar›daki verilere göre, |BC| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm |BC| = 2|AC|

A

verildi¤ine göre,

çözüm

2 3

|AC| = k al›n›rsa,

k

Pisagor ba¤›nt›s›na göre, 2

2

|AC| = |AB| + |BC| 2

2

7 = (4 3 ) + x 49 = 48 + x

|BC| = 2k olur.

2

B

2

C

2k

Pisagor ba¤›nt›s› uygulan›rsa,

2

2

2

|BC| = |AB| + |AC|

x = 1 ⇒ x = 1 cm bulunur. 2

2

2

2

2

(2k) = (2ñ3) + k 4k = 12 + k

2

2

⇒ 3k = 12 ⇒ k = 4 2

2

k = 2 cm olur. O halde, |BC| = 2k = 2. 2 = 4 cm bulunur. Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 1, 2, 6, 11 nolu sorular› hemen çözelim.

3.3

Kenarlar› tam say› olan baz› dik üçgenleri ezbere bil, zaman kazan! 3 – 4 – 5 üçgeni 3k

5 – 12 – 13 üçgeni

5k

5

13

Kenarlar› tam say› olan dik üçgenlerin kenar uzunluklar› pisagor ba¤›nt›s› yard›m›yla da hesaplan›r. Ancak sorular› h›zl› çözebilmek için ezbere bilmekte büyük fayda var.

12

4k

örnek soru

k = 1 iken 3, 4, 5 üçgeni

ABCD bir dörtgen

C

k = 2 iken 6, 8, 10 üçgeni

[DA] ⊥ [AB]

x

k = 3 iken 9, 12, 15 üçgeni

D

k = 4 iken 12, 16, 20 üçgeni

2 21

6

k = 5 iken 15, 20, 25 üçgeni

[DC] ⊥ [CB]

|DA| = 6 cm |AB| = 8 cm

8 – 15 – 17 üçgeni

8

17

15

64

7 – 24 – 25 üçgeni 7

25 24

A

8

B

|BC| = 2ò21 cm

Yukar›daki verilere göre, |DC| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

ÖZEL ÜÇGENLER

çözüm

örnek soru C

x

ABC dik üçgen

A

[AB] ⊥ [BC]

D

|AD| = 13 cm 10

6

2 21

8

A

15

|AC| = 15 cm

13

B

B

[DB] çizilirse, DAB ve DBC dik üçgenleri elde edilir. DAB dik üçgeninde

|BD| = 5 cm

5

D

x

C

Yukar›daki verilere göre, |DC| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm

|DA| = 6 cm ve |AB| = 8 cm oldu¤undan |DB| = 10 cm olur.

ABD dik üçgeninin hipotenüsü |AD| = 13 cm,

(6 – 8 – 10 üçgeni)

dik kenarlar›ndan biri

A

DBC dik üçgeninde x i bulabilmek için pisagor ba¤›nt›s› uygular›z. 2

2

|BD| = |DC| + |BC|

2

⇒ 10 = x + (2ò21) 2

2

12

13

|BD| = 5 cm oldu¤undan di¤er dik kenar› |AB| = 12 cm olur. (5 – 12 – 13 üçgeni)

15

2

2

100 = x + 84 2

B

x = 16 x = 4 cm bulunur.

5

D

x

C

ABC dik üçgeninin hipotenüsü |AC| = 15 cm, dik kenarlar›ndan biri |AB| = 12 cm oldu¤undan di¤er dik kenar› |BC| = 9 cm olur (9 – 12 – 15 üçgeni). O halde, |DC| = |BC| – |BD| x = 9 – 5 = 4 cm bulunur.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 3, 4, 5, 7, 10 / Genel Tekrar Testi 1, 2, 4 nolu sorular› hemen çözelim.

3.4

Dik köfleden dik inerse, öklid ba¤›nt›lar› Bir dik üçgende 90° nin bulundu¤u köfleden hipotenüse bir dikme inilmiflse öklid ba¤›nt›lar› uygulan›r. [AH] ⊥ [BC] ise,

b

öklid ba¤›nt›lar› uygulan›r.

h p

B

ABC bir dik üçgen

A

[BA] ⊥ [AC]

[BA] ⊥ [AC] iken

A c

örnek soru

k

H

C

a

1. h = p. k (öklid'in yükseklik ba¤›nt›s›)

|AH| ⊥ [BC]

x B

5

H

|BH| = 5 cm 20

|HC| = 20 cm

C

Yukar›daki verilere göre, |AH| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

2

2. b = k. a   Öklid'in dik kenar ba¤›nt›lar› 2 c = p. a  2

3. a. h = b. c (Bu ba¤›nt› bir öklid ba¤›nt›s› de¤ildir, ancak dik üçgenlerde hipotenüse ait yükseklik hesaplan›rken s›kça kullan›l›r.)

çözüm Öklid'in yükseklik ba¤›nt›s›n› uygularsak, |AH| = |BH|. |HC| ⇒ x = 5. 20 2

2

2

x = 100 x = 10 cm bulunur.

65

ÖZEL ÜÇGENLER

örnek soru

örnek soru ABC bir dik üçgen

A 2 3

x

B

H

[AH] ⊥ [BC]

|HC| = 2 cm

Yukar›daki verilere göre, |BH| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm

[DB] ⊥ [BA]

|AC| = |CH|. |CB| ⇒ (2ñ3) = 2. (2 + x) 8 = 2x

x = 4 cm bulunur.

C

27

x

|AH| = 9 cm ve |HC| = 27 cm oldu¤una göre, |HD| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm Önce ABC dik üçgeninde Öklid'in yükseklik ba¤›nt›s›n› kullanarak |BH| uzunlu¤unu bulal›m. |AH| = |BH|. |HC| ⇒ 9 = |BH|. 27 2

2

81 = |BH|. 27

|BH| =

örnek soru ABC bir dik üçgen

A

[AB] ⊥ [BC]

|BH| ⊥ [AC]

8

81 = 3 cm olur. 27

fiimdi de BAD dik üçgeninde öklidin yükseklik ba¤›nt›s›n› kullanarak x uzunlu¤unu hesaplayal›m. |BH| = |HD|. |AH| ⇒ 3 = x. 9 2

2

9 = x. 9

|AH| = 8 cm

x = 1 cm bulunur.

|BH| = 4 cm H

örnek soru

4

ABC dik üçgen

A x

B

[BA] ⊥ [AC]

C 3

Yukar›daki verilere göre, |BC| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

Önce, Öklid'in yükseklik ba¤›nt›s›n› kullanarak |HC| uzunlu¤unu bulal›m. |BH| = |AH|. |HC| ⇒ 4 = 8. |HC| 2

2

16 = 8. |HC|

|HC| = 2 cm olur. fiimdi de Öklid'in dik kenar ba¤›nt›s›n› kullanarak x uzunlu¤unu bulal›m. |BC| = |CH|. |CA| 2

x = 2. (2 + 8) 2

x = 20 ⇒ x = 2 5 cm bulunur. 2

Yapt›¤›m›z bu ikinci ifllemin yerine, BHC dik üçgeninde pisagor teoremini de kullanabilirdik.

[AH] ⊥ [BC]

4

|AB| = 3 cm B

çözüm

66

[AD] ⊥ [BC]

D

2

12 = 4 + 2x

H

B

Öklid'in dik kenar ba¤›nt›s›n› uygularsak, 2

[BA] ⊥ [AC]

9

|AC| = 2ñ3 cm

C

2

ABC ve BAD birer dik üçgen

A

[BA] ⊥ [AC]

H

Yukar›daki verilere göre,

C

|AC| = 4 cm

| BH | oran›n› bulal›m. | HC |

çözüm Öklid'in yükseklik ba¤›nt›s›n› kullan›rsak I. 3 = |BH|. |BC| 2

II. 4 = |HC|. |BC| 2

eflitlikleri elde edilir. Taraf tarafa bölme ifllemi yap›l›rsa, 9 |BH| ⋅ |BC | = 16 |HC | ⋅ |BC | |BH| 9 = bulunur. |HC | 16

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 2 1, 2, 3, 4, 5 / Genel Tekrar Testi 5 nolu sorular› hemen çözelim.

ÖZEL ÜÇGENLER

3.5

30° – 60° – 90° üçgenini ö¤renmek hiç de zor de¤il! Bir dik üçgenin aç›lar›ndan biri 30° veya 60° oluyorsa bu dik üçgen 30° – 60° – 90° dik üçgenidir. Bu üçgenin kenarlar› aras›nda afla¤›daki flekilde verilen oranlar mevcuttur.

örnek soru ABC bir dik üçgen

A

[AB] ⊥ [BC]

m(AéCB) = 60°

A

|AB| = 4 3 cm

60° 2a

a

4 3

30°

B

x

a 3

C

60° B

Yukar›daki verilere göre, |AC| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

90° nin karfl›s› (hipotenüs), 30° nin karfl›s›ndaki dik kenar›n her zaman 2 kat›d›r. 60° nin karfl›s›ndaki dik kenar›n uzunlu¤u ise 30° nin karfl›s›ndaki dik kenar›n her zaman ñ3 kat›d›r.

çözüm D

60° nin karfl›s› añ3 iken 90° nin karfl›s› 2a idi.

30°

añ3 = 4ñ3 ise, a = 4 cm olur. (30 nin karfl›s›)

x

4 3

örnek soru

O halde, 90° nin karfl›s› x = 2a = 2. 4 = 8 cm bulunur.

ABC bir dik üçgen

A

[BA] ⊥ [AC]

y

5

60°

|AB| = 5 cm

30°

B

örnek soru

C

x

4

A

m(AéCB) = 30°

B

C

ABC bir dik üçgen

A

|BC| = x ve |AC| = y oldu¤una göre, x ve y uzunluklar›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

[BA] ⊥ [AC]

x

m(AéBC) = 30°

çözüm

[BA] ⊥ [AC] ve

A

m(AéCB) = 30° y

5 60° B

oldu¤undan

çözüm

C

A

90° nin karfl›s›, her zaman 30° nin karfl›s›n›n 2 kat› oldu¤undan |BC| = 2. |AB| yani

x

x = 2. 5 = 10 cm dir.

|AC| =

3 . |AB| yani y =

3 3

3 . 5 = 5 3 cm bulunur.

3

B

6 3

90° nin karfl›s› 2a iken 60° nin karfl›s› añ3 idi. 2a = 6ñ3 ise, a = 3ñ3 cm olur

60°

30°

60° nin karfl›s› ise, her zaman 30° nin karfl›s›n›n kat› oldu¤undan

C

6 3

Yukar›daki verilere göre, |AB| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

m(AéBC) = 60° olur.

30° x

|BC| = 6ñ3 cm

30° B

C (30 nin karfl›s›).

O halde 60° nin karfl›s›

x = añ3 = 3ñ3. ñ3 = 9 cm bulunur.

67

ÖZEL ÜÇGENLER

örnek soru

çözüm ABC bir dik üçgen

A

[AB] ⊥ [BC]

6

m(AéCB) = 30°

x B

|BD| = 4 cm

C

D

4

6

3

x

|AC| = 6 cm

30°

Yukar›daki verilere göre, |AD| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

ABC dik üçgeninde |AC| = 2a iken |AB| = a olur. Çünkü 90° nin karfl›s› 2a iken 30° nin karfl›s› a idi.

A

B

D

4

30°

C

2a = 6 cm ise, a = 3 cm olur. (30° nin karfl›s›) ABD dik üçgeninde |AB| = 3 cm ve |BD| = 4 cm ise, |AD| = x = 5 cm bulunur. (3 – 4 – 5 üçgeni)

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 3 1, 2, 3, 4, 9, 12 / Genel Tekrar Testi 7 nolu sorular› hemen çözelim.

3.6

45° – 45° – 90° üçgeni halk aras›nda ikizkenar dik üçgen olarak bilinir. A

B

a

a

45°

45° a 2

C

Dik kenarlar› birbirine eflit olan dik üçgene ikizkenar dik üçgen denir. ‹kizkenar dik üçgenin aç›lar› 45° – 45° – 90° dir.

‹kizkenar dik üçgenin dik kenarlar› a cm ise, hipotenüs uzunlu¤u añ2 cm dir.

ABC bir dik üçgen

A

[AB] ⊥ [BC]

15°

6 2

m(AéCB) = 30°

x

m(DéAC) = 15°

B

D

30°

|AC| = 6ñ2 cm

C

Yukar›daki verilere göre, |AD| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

örnek soru ABC bir üçgen

A

[AH] ⊥ [BC]

13

x

H

12

çözüm ADC üçgeninde iki iç aç›n›n toplam› kendilerine komflu olmayan d›fl aç›ya eflit oldu¤undan

A

|AC| = 13 cm |HC| = 12 cm

B

örnek soru

C

|AH| = |BH|

Yukar›daki verilere göre, |AB| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

3 2

15°

6 2

x 45°

B

D

30°

C

m(AéDB) = m(DéAC) + m(AéCD)

çözüm

m(AéDB) = 15° + 30° = 45° dir. AHC dik üçgeninde

A x

45° 5

13

45° B

5

H

12

C

|AC| = 13 cm ve |HC| = 12 cm ise, |AH| = 5 cm olur. (5 – 12 – 13 üçgeni)

|BH| = |AH| verildi¤inden |BH| = 5 cm ve m(AéBH) = m(BéAH) = 45° dir. 45° – 45° – 90° üçgeninde 45° nin karfl›s› a cm iken 90° nin karfl› añ2 cm idi. Buna göre, ABH dik üçgeninde 45° nin karfl›s› 5 cm iken 90° nin karfl›s› |AB| = x = 5ñ2 cm bulunur.

68

Buna göre, ABC dik üçgeni 30° – 60° – 90° üçgeni, ABD dik üçgeni ise 45° – 45° – 90° üçgenidir. Bu durumda |AB| =

1 . 1 |AC| ⇒ |AB| = . 6ñ2 = 3ñ2 cm olur. 2 2

Çünkü 30° – 60° – 90° üçgeninde 30° nin karfl›s› 90° nin karfl›s›n›n yar›s›d›r. 45° – 45° – 90° üçgeninde ise, 90° nin karfl›s› 45° nin karfl›s›n›n ñ2 kat› oldu¤undan |AD| =

2 . |AB| ⇒ |AD| =

2 .3 2

x = 6 cm bulunur.

ÖZEL ÜÇGENLER

örnek soru

fiekle göre, |BC| = añ2 = 10 cm ise, ABC bir dik üçgen

A

D

x E

2 2 45° B

10

2 C

10

10 2 = 5ñ2 cm olur. 2

[BA] ⊥ [AC]

a=

m(AéBC) = 45°

O halde, |AB| = |AC| = 5ñ2 cm dir.

2

=

|BC| = 10 cm

A

|BD| = 2ñ2 cm

3 2

|EC| = ñ2 cm

4 2

D

Yukar›daki verilere göre, |DE| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

x E

2 2 45° B

2

10

C

Bu durumda

çözüm

|AD| = |AB| — |DB| = 5ñ2 – 2ñ2 = 3ñ2 cm

ABC dik üçgeninde m(AéBC) = 45° oldu¤undan bu üçgen 45° — 45° — 90° üçgenidir. 45° nin karfl›s›ndaki uzunluk a cm iken, 90° nin karfl›s›ndaki uzunluk añ2 cm idi.

|AE| = |AC| — |EC| = 5ñ2 – ñ2 = 4ñ2 cm dir. ADE dik üçgeninde pisagor ba¤›nt›s› uygulan›rsa 2

2

|DE| = |AD| + |AE|

2

⇒ x = (3ñ2) + (4ñ2) 2

2

2

2

x = 18 + 32 2

x = 50 x = 5ñ2 cm bulunur. Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 3 5, 6, 7, 8, 10 / Genel Tekrar Testi 13, 21 nolu sorular› hemen çözelim.

3.7

Dik üçgende trigonometrik oranlar x aç›s›n›n kotanjant›

A

cotx = dik kenar

c

B

b

dik kenar

a hipotenüs

A

x C

fiekildeki ABC dik üçgeninde m(ëA) = 90° ve m(ëC) = x ise, x aç›s›n›n karfl› dik kenar› [AB], komflu dik kenar› [AC] dir. Buna göre, x aç›s›n›n sinüsü sinx =

karfl› dik kenar |AB| c = = hipotenüs |BC| a

x aç›s›n›n kosinüsü cosx =

komflu dik kenar |AC| b = = hipotenüs |BC| a

x aç›s›n›n tanjant› tanx =

karfl› dik kenar |AB| c = = komflu dik kenar |AC| b

komflu dik kenar |AC| b = = karfl› dik kenar |AB| c

5

B

β

12

13

θ

C

fiekildeki ABC dik üçgeninde m(ëB) = β, m(ëC) = θ olsun. Buna göre, sin θ =

5 13 12 cos θ = 13 5 tan θ = 12 12 cot θ = 5

sinβ =

12 13 5 cos β = 13 12 tanβ = 5 5 cot β = 12

69

ÖZEL ÜÇGENLER

Bu örnekte β + θ = 90° oldu¤undan, β n›n sinüsü θ n›n kosinüsüne

örnek soru Bir ABC dik üçgeninde m(ëB) = 90° m(ëA) = α d›r.

β n›n kosinüsü θ n›n sinüsüne

β n›n tanjant› θ n›n kotanjant›na

β n›n kotanjant› θ n›n tanjant›na eflittir.

tanα = 2 oldu¤una göre, (sinα). (cosα) çarp›m›n›n de¤eri kaçt›r?

çözüm

örnek soru

A

Bir ABC dik üçgeninde m(ëA) = 90° ve m(ëB) = x tir.

3 tanx = ve |BC| = 30 cm oldu¤una göre, |AC| 4

α kñ5

k

kaç cm dir?

B tanα = 2 yani

çözüm

2k

C

| BC | = 2 oldu¤undan | AB |

|AB| = k al›n›rsa,

A

|BC| = 2k olur. 4k

3k

ABC dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa, 2

B

5k

C

Önce verilen koflullara uygun bir ABC dik üçgeni çizelim.

tan x =

2

|AC| = |AB| + |BC|

x

3 | AC | 3 = yani 4 | AB | 4

oldu¤undan |AC| = 3k al›n›rsa, |AB| = 4k olur. Bu durumda |BC| = 5k d›r. (3 – 4 – 5 üçgeni) |BC| = 30 cm verildi¤ine göre,

2

2

2

2

2

yani |AC| = k + (2k) |AC| = k + 4k 2

|AC| = 5k

2

2

2

|AC| = kñ5 cm bulunur.

Bu durumda sin α =

2k 2 | BC | = = | AC | k 5 5 | AB | k 1 = cos α = tir. = | AC | k 5 5 2 1 2 O halde, (sin α) ⋅ (cos α) = bulunur. ⋅ = 5 5 5

5k = 30 cm k = 6 cm olur. O halde, sorunun cevab› |AC| = 3k = 3. 6 = 18 cm bulunur.

70

örnek soru (sin30°. cos60° + sin60°. cos30°). tan45° iflleminin sonucu kaçt›r?

ÖZEL ÜÇGENLER

çözüm 30°, 45° ve 60° nin trigonometrik oranlar›n› afla¤›daki dik üçgenlerden faydalanarak bulal›m. K

A 1

60°

2 ñ3

B

1 30° L

C

sin 30° =

| AB | 1 = | AC | 2

cos 60° =

| AB | 1 = | AC | 2

sin60° =

3 | BC | = 2 | AC |

ñ2 45° 1 M

cos 30° =

| BC | 3 = | AC | 2

tan 45° =

| KL | 1 = =1 | LM | 1

O halde,

(sin30°. cos60° + sin60°. cos30°). tan45°

1 1 3 3  =  ⋅ + ⋅ ⋅1 2 2  2 2  1 3 =  + ⋅ 1 4 4 = 1 bulunur.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 7, 11 nolu sorular› hemen çözelim.

3.8

‹kizkenar üçgende hem kenarlar ikiz, hem aç›lar ikiz. Kenarlar›ndan ikisi birbirine eflit olan üçgene ikizkenar üçgen denir. fiekildeki ABC ikizkenar üçgeninde, [AB] ile [AC] efl kenarlar, [BC] ise taband›r.

A

B H C ëB ve ëC taban aç›lar›, ëA ise tepe aç›s›d›r. ‹kizkenar üçgende m(ëB) = m(ëC) oldu¤unu biliyorsunuz. fiimdi size çok önemli bir kural› hat›rlat›yorum.

çözüm

7

B

ò24

5

4

C

Buna göre, |BC | 6 + 4 = 5 cm olur. = 2 2

|HD| = |HC| – |DC| = 5 – 4 = 1 cm dir. ABH dik üçgeninde pisagor teoremi uygulay›p |AH| uzunlu¤unu bulal›m.

örnek soru ABC bir üçgen

A

|AB| = |BH| + |AH| ⇒ 7 = 5 + |AH| 2

2

2

x

2

|DC| = 4 cm

2

|AH| = 24

|AH| = ò24 cm

|BD| = 6 cm

7

2

2

|AB| = |AC| = 7 cm 7

[AH] ⊥ [BC] olacak flekilde [AH] çizilirse, [AH] ayn› zamanda kenarortay olur.

7

x

H1 D

|BH| = |HC| = ‹kizkenar üçgenin taban›na çizilen [AH] dikmesi; hem yükseklik, hem aç›ortay, hem de kenarortayd›r.

ABC ikizkenar üçgen oldu¤una göre,

A

AHD dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa, 2

2

|AD| = |AH| + |HD|

2

2

B

6

D

4

C

Yukar›daki verilere göre, |AD| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

x = 24 + 1 x = 5 cm bulunur.

71

ÖZEL ÜÇGENLER

örnek soru

örnek soru ABC bir ikizkenar üçgen

A

6

|BD| = 4 cm

60° 4

B

x

D

C

Yukar›daki verilere göre, |DC| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

E

C

|AD| = 6 cm

Yukar›daki verilere göre, |AC| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm ABC ikizkenar üçgen oldu¤una göre,

30°

A

10

4

|BE| = |EC|

|BD| = 10 cm B

çözüm

B

[DE] ⊥ [BC]

x

10

m(AéDC) = 60° |AD| = 10 cm

[BA] ⊥ [AC]

D

|AB| = |AC| 10

ABC bir dik üçgen

A

60° D 5 H

9

C

[AH] ⊥ [BC] olacak flekilde [AH] çizilirse, [AH] ayn› zamanda [BC] kenar›na ait kenarortay olur.

Ayr›ca, ADH dik üçgeni 30° – 60° – 90° üçgenidir. ADH dik üçgeninde 90° nin karfl›s› |AD| = 10 cm ise, 10 30° nin karfl›s› |DH| = = 5 cm olur. 2 Bu durumda |BH| = 4 + 5 = 9 cm dir. [AH] kenarortay oldu¤undan

6

A

D 10

10 B

x

E

C

[DE], [BC] do¤ru parças›na tam ortas›nda dik oldu¤u için [DE] üzerindeki tüm noktalar B ve C noktalar›na efl uzakl›ktad›r. Bu kurala göre, D noktas›n›n B ve C noktalar›na uzakl›klar› eflit olup, |DB| = |DC| = 10 cm dir. ADC dik üçgeninde |AD| = 6 cm ve |DC| = 10 cm oldu¤undan |AC| = x = 8 cm olur. (6 – 8 – 10 üçgeni)

|CH| = |BH| = 9 cm olur. O halde, |DC| = |DH| + |HC| x = 5 + 9 = 14 cm bulunur.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 4 1, 2, 5, 6, 12 nolu sorular› hemen çözelim.

3.9

‹kizkenar üçgen ile ilgili 2 özellik daha! 1.

A y F

x D

x

a

a

y

y a a B

x

E

C

|AB| = |AC| olmak üzere, ABC ikizkenar üçgeninin taban›ndaki bir noktadan efl kenarlara paralel do¤ru parçalar› çizilirse, yeni ikizkenar üçgenler oluflur.

[EF] // [AB] olacak flekilde [EF] çizilirse, FEC ikizkenar üçgen olur. (|FE| = |FC| = x) [DE] // [AC] olacak flekilde [DE] çizilirse, DBE ikizkenar üçgen olur. (|DB| = |DE| = y)

72

ADEF dörtgeni ise bir paralelkenar olur.

örnek soru ABC ikizkenar üçgen

A

|AB| = |AC|

5

|AD| = 5 cm

D

|DE| = 8 cm

x

[DE] // [AC]

8

B

E

C

Yukar›daki verilere göre, |AC| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

ÖZEL ÜÇGENLER

çözüm

çözüm ABC ikizkenar üçgen ve |AB| = |AC| oldu¤undan

A 5 D

α

α

α

E

D

3

[DE] // [AC] oldu¤undan

8

8

B

m(AéBC) = m(AéCB) = α olsun.

x

C

m(DéEB) = m(AéCB) = α olur. (Yöndefl aç›lar eflittir.)

m(DéBE) = m(DéEB) = α oldu¤undan |DB| = |DE| = 8 cm olur.

|AB| = |AC| oldu¤una göre, 5 + 8 = x ⇒ x = 13 cm bulunur.

[BE] ve [CD] efl kenarlara ait yükseklikler oldu¤undan |BE| = |CD| dir.

A

K

Ayr›ca,

E

3

|DK| = |EK| = 3 cm

4

4 5

|DB| = |CE| = 4 cm dir.

5

B

C

DBK ve EKC üçgenleri 3 – 4 – 5 üçgeni oldu¤un-

dan |BK| = |KC| = 5 cm dir. O halde, sorunun cevab› |BE| + |CD| = 8 + 8 = 16 cm bulunur.

örnek soru ABC bir ikizkenar üçgen

D

2. ‹kizkenar üçgenin efl kenarlar›na ait yükseklikler eflittir. ABC ikizkenar üçgeninde |AB| = |AC| ise, AB ve AC kenarlar›na ait BD ve CE yükseklikleri eflittir, yani |BD| = |CE| dir.

A

E

K

B

D

H

|DE| = 6 cm

x

E

|EF| = 2 cm

2 B

F

H

C

Yukar›daki verilere göre, |AH| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

C

çözüm ABC ikizkenar üçgen oldu¤undan, tabana ait olan [AH] yüksekli¤i ayn› zamanda aç›ortayd›r.

D

|BE| = |DC|, |AE| = |AD|, |EK| = |DK| ve |BK| = |CK|

3 θ

dir.

K

Çünkü [AH] fleklin simetri eksenidir.

3

A

θ

E B

ABC ikizkenar üçgen

A

|AB| = |AC|

[CD] ⊥ [AB] 3

α

θ θ x

2 F

H

α

C

m(BéAH) = m(HéAC) = θ

örnek soru

[BE] ⊥ [AC]

E

|DB| = 4 cm

K

4 B

[AH] ⊥ [BC]

D, A, C do¤rusal

Ayr›ca,

D

[DF] ⊥ [BC]

A

6

|DK| = 3 cm C

Yukar›daki verilere göre, |BE| + |CD| toplam›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

[AH] ve [DF], [BC] ye dik olduklar› için [AH] // [DE] dir.

Bu durumda m(FéDA) = m(HéAC) = θ (yöndefl aç›lar eflittir.) m(DéEA) = m(EéAH) = θ (iç ters aç›lar eflittir.)

ADE üçgeninde m(EéDA) = m(DéEA) = θ oldu¤undan ADE üçgeni ikizkenard›r ve [AK] yüksekli¤i çizilirse, ayn› zamanda kenarortay oldu¤undan |DK| = |EK| = 3 cm olur. FHAK bir dikdörtgen ve |AH| = |KF| oldu¤undan x = 3 + 2 = 5 cm bulunur.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 4 3, 4, 8, 11 / Genel Tekrar Testi 15 nolu sorular› hemen çözelim.

73

ÖZEL ÜÇGENLER

3.10

En düzgün üçgen: Eflkenar üçgen örnek soru

A

ABC bir eflkenar üçgen

A

60° a

[DE] ⊥ [BC]

2

a

D

|AD| = 2 cm |DE| = 3 3 cm

60°

60° a

B

3 3

C

Üç kenar›n›n uzunlu¤u birbirine eflit olan üçgenlere eflkenar üçgen denir.

B

|AB| = |AC| = |BC| = a

Yukar›daki verilere göre, |EC| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

Eflkenar üçgenlerin tüm iç aç›lar› birbirine eflit ve herbiri 60° dir.

Eflkenar üçgenin yüksekli¤i

Eflkenar üçgen sorular›n› çözerken verilen fleklin üzerine, üçgenin aç›lar›n›n 60 ar derece oldu¤u yaz›lmal›d›r.

H

a

D

60° C a 2

Bir kenar›n›n uzunlu¤u a br olan flekildeki ABC eflkenar üçgeninde [AH] ⊥ [BC] olacak flekilde, [AH] yüksekli¤ini çizelim. ‹kizkenar üçgende oldu¤u gibi, yükseklik hem kenarortay, hem de aç›ortayd›r. Bir kenar› a br olan eflkenar üçgenin yüksekli¤i a 3 br dir. Eflkenar üçgenin bütün yükseklikleri 2

birbirine eflittir.

Aç›lar yaz›ld›¤›nda DBE

A

dik üçgeni 30° – 60° – 90°

2 60°

üçgeni olur. 60° nin karfl›s› a 3 cm iken 30° nin

6

karfl›s› a, 90° nin karfl›s›

°

a 3 2

30

30

°

30°

60° B a 2

C

çözüm

A

a

x

E

3 3

60° B 3 E

2a idi. 60° x

C

Buna göre, |DE| = a 3 = 3 3 cm ise,

|BE| = a = 3 cm ve |DB| = 2a = 6 cm olur. Bu durumda |AB| = 2 + 6 = 8 cm,

dolay›s›yla |BC| = x + 3 = 8 ⇒ x = 5 cm bulunur.

örnek soru Yüksekli¤i 4ñ3 cm olan eflkenar üçgenin çevre uzunlu¤u kaç cm dir?

örnek soru ABC eflkenar üçgen

A

[DE] ⊥ [AC]

çözüm Kenar uzunlu¤u a cm olan eflkenar üçgenin

30°

a 3 yüksekli¤i idi. 2 Buna göre,

8

30

°

A

8 4 3

B

74

60° 4

H

60° C 4

a 3 = 4 3 ise, 2 a = 4 ⇒ a = 8 olur. 2

O halde, Çevre(ABC) = 3. a = 3. 8 = 24 cm bulunur.

9

|AE| = 9 cm

x

|BD| = 5 cm

E

B

5

D

C

Yukar›daki verilere göre, |AB| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

ÖZEL ÜÇGENLER

örnek soru

çözüm ABC eflkenar üçgen oldu¤undan

A

x

Bu durumda DEC dik üçgeni 30° – 60° – 90° üçgeni olur.

E a 30° 60° C 2a

60° B 5 D

Dolay›s›yla 30° nin karfl›s› |EC| = a al›n›rsa, 90° nin karfl›s› |DC| = 2a olur. Eflkenar üçgenin kenar uzunluklar› eflit oldu¤undan

[AE] ⊥ [DE]

2 6

m(AéCD) = 60° dir.

9

° 15

60°

ABC bir eflkenar üçgen

A

m(EéAC) = 15°

E

x

|BD| = |DC| |AE| = 2 6 cm

B

C

D

Yukar›daki verilere göre, |AB| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

|BC| = |AC| yani 5 + 2a = 9 + a olur. Buradan a = 4 cm bulunur.

çözüm

O halde, |AB| = |AC| = 9 + a = 9 + 4 = 13 cm bulunur.

ABC eflkenar üçgenin-

A 2 6

30°

° 15 30°

örnek soru ABC eflkenar üçgen

A

x

|AC| = 5 cm 60°

x

4 3

E

|BD| = |DC| oldu¤undan [AD] kenarortayd›r. Eflkenar üçgende [AD] kenarortay› hem

|DC| = 2 cm

5

de [AD] çizilirse,

B

4

45° aç›ortay, hem de 45° 60° C yükseklik oldu¤undan D 4

[AD] ⊥ [BC] ve m(BéAD) = m(DéAC) = 30° olur. B

D

2

C

Bu durumda m(DéAE) = 30° + 15° = 45° dir.

Yukar›daki verilere göre, |AD| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

Dolay›s›yla AED dik üçgeninde m(AéDE) = 45° olur. (45° – 45° – 90° üçgeni) AED dik üçgeninde 45° nin karfl›s› |AE| = 2 6 cm ise,

çözüm

90° nin karfl›s› ABC eflkenar üçgen oldu¤undan

A

m(AéCB) = 60° dir.

[DK] ⊥ [AC] olacak flekilde, [DK] çizilirse,

4 x K 1

3 B

30°

D

2

DKC üçgeni

C 60°

|AD| = 2 6 . 2 = 2 12 = 2. 2 3 = 4 3 cm olur. ABD dik üçgeni 30° – 60° – 90° üçgeni oldu¤undan 60° nin karfl›s› |AD| = 4 3 cm ise, 30° nin karfl›s› |BD| = 4 cm, dolay›s›yla 90° nin karfl›s› |AB| = x = 2. 4 = 8 cm bulunur.

30° – 60° – 90° üçgeni olur.

90° nin karfl›s› |DC| = 2 cm oldu¤undan 30° nin karfl›s› |KC| = 1 cm ve 60° nin karfl›s› |DK| =

3 cm olur.

Bu durumda |AK| = |AC| – |KC| = 5 – 1 = 4 cm olur. ADK dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa, |AD| = |AK| + |DK| ⇒ x = 4 + 2

2

2

2

2

3

2

2

x = 16 + 3 2

x = 19 x=

19 cm bulunur.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 5 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 / Genel Tekrar Testi 8, 16, 18 nolu sorular› hemen çözelim.

75

ÖZEL ÜÇGENLER

3.11

Eflkenar üçgen ile ilgili 2 özellik daha ABC eflkenar üçgeninin içinde herhanE gi bir P noktas› alal›m. P noktas›ndan ABC üçgeninin keD narlar›na paralel P olarak çizilen [PD], B F C [PE] ve [PF] do¤ru parçalar›n›n uzunluklar› toplam›, üçgenin bir kenar uzunlu¤una eflittir.

1.

A

K›saca, ABC bir eflkenar üçgen ve

örnek soru ABC bir eflkenar üçgen

A

[KD] ⊥ [AC]

E K

2 3

[KE] ⊥ [AB]

D

[KF] ⊥ [BC]

3

|KD| = ñ3 cm

3 3 F

B

C

|KE| = 2ñ3 cm |KF| = 3ñ3 cm

Yukar›daki verilere göre, ABC üçgeninin çevre uzunlu¤unun kaç cm oldu¤unu bulal›m.

PD // BC, PE // AC ve PF // AB ise, |PD| + |PE| + |PF| = |BC| = |AC| = |AB| dir. örnek soru

Eflkenar üçgen içindeki K noktas›ndan kenarlara indiABC bir eflkenar üçgen

A D

[PD] // [AB] [PE] // [BC]

5 E

3

çözüm

P 4

B

yüksekli¤ine eflittir. Buna göre, verilen eflkenar üçgenin yüksekli¤i h ise, h = |KD| + |KE| + |KF|

[PF] // [AC]

h=

|PE| = 3 cm

h = 6 3 cm olur.

3 +2 3 +3 3

A

|PD| = 5 cm

C

30°

|PF| = 4 cm 30

°

F

rilen dikmelerin uzunluklar› toplam› eflkenar üçgenin

Yukar›daki verilere göre, ABC üçgeninin çevre uzunlu¤unun kaç cm oldu¤unu bulal›m.

12

h6 3

çözüm paralel olarak çizilen do¤ru parçalar›n›n uzunluklar› toplam› bir kenara eflit oldu¤undan |AB| = |AC| = |BC| = |PE| + |PD| + |PF| = 3 + 5 + 4 = 12 cm olur.

60°

60°

Eflkenar üçgenin içindeki bir noktadan kenarlara B

6

H

6

C

ABC eflkenar üçgeninin yüksekli¤i 6ñ3 cm ise, AHC dik üçgeninde |HC| = 6 cm ve |AC| = 12 cm olur.

2.

Eflkenar üçgenin içindeki bir noktadan kenarlara indirilen dikmelerin uzunluklar› toplam› eflkenar üçgenin yüksekli¤ine eflittir.

A

D E

B

P

F H

(30° – 60° – 90° üçgeni)

O halde, Çevre(ABC) = 3. 12 = 36 cm bulunur.

C

Yukar›daki flekilde ABC bir eflkenar üçgen,

[PE] ⊥ [AB], [PD] ⊥ [AC], [PF] ⊥ [BC] ise,

76

|PD| + |PE| + |PF| = |AH| dir. Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 5 11, 12 nolu sorular› hemen çözelim.

ÖZEL ÜÇGENLER

Dikkat! Bu üçgenler çok özel!

°

3 3

Buna göre,

6 H 3

3

|AC| = 6 cm iken, 30° nin karfl›s› 6 |CH| = = 3 cm ve 2 60° nin karfl›s› |AH| = 3 3 cm

60° C

x

B

Bu durumda |BH| = 4ñ3 – 3ñ3 = ñ3 cm olur.

K

°

30

CHB dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa,

D

|BC| = |BH| + |CH| ⇒ x = 2

2

2

E

2

2

3 +3

2

2

x = 3 + 9 = 12

45°

C

B

[CH] ⊥ [AB] olacak flekilde [CH] dikmesi çizilirse, CHA dik üçgeni 30° – 60° – 90° üçgeni olur.

A

olur.

A

H

çözüm

30

Aç›lar›ndan biri 30°, 45°, 60°, 120°, 135° ve 150° olan üçgenleri özel üçgenler olarak isimlendiriyoruz. Bu üçgenlerle ilgili olan sorular› çözerken 30° – 60° – 90° ve 45° – 45° – 90° üçgenlerinin kenar özelliklerinden faydalan›r›z. E¤er aç›m›z 30°, 45° veya 60° gibi dar bir özel aç› ise, aç›n›n karfl›s›na dikme inerek, 120°, 135° veya 150° gibi bir genifl aç› ise, aç›n›n bütünlerini oluflturduktan sonra d›fl aç›n›n kollar›ndan birine dikme ineriz. Daha sonra pisagor teoremini uygulayarak çözüme gideriz.

H

F

x = 2 3 cm bulunur.

K

örnek soru

K

A

A

60° H H

L

|AB| = 14 cm

120° C

B

14

H

K

M

B K

ABC bir üçgen m(AéBC) = 45°

H

x

45° 6 2

|BC| = 6 2 cm

C

K

Yukar›daki verilere göre, |AC| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

D 135° 150°

E

F

N

M

L

çözüm A

H 8

örnek soru 6

m(BéAC) = 30° |AB| = 4 3 cm 6

4 3

|AC| = 6 cm

C B

x

Yukar›daki verilere göre, |BC| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

x

H

ABC bir üçgen

A 30 °

3.12

B

6

45° 45° C 6 2

[CH] ⊥ [AB] olacak flekilde [CH] çizilirse, HBC dik üçgeni 45° – 45° – 90° üçgeni yani ikizkenar dik üçgen olur. 45° – 45° – 90° üçgeninde |BC| = 6 2 cm iken dik kenar uzunluklar› 6 2 = 6 cm |HB| = |HC| = 2 olur.

Bu durumda |AH| = 14 – 6 = 8 cm bulunur. Dikkat edilirse, AHC dik ügçeninin dik kenarlar›n›n uzunluklar› 6 cm ve 8 cm oldu¤undan hipotenüs uzunlu¤u |AC| = x = 10 cm olur. (6 – 8 – 10 üçgeni)

77

ÖZEL ÜÇGENLER

örnek soru

örnek soru ABC bir üçgen

A

ABC bir üçgen

A

m(AéBC) = 45° 7 2

B

45° 6

m(AéCB) = 60°

|AB| = 7 2 cm

|AC| = 5 cm

|BC| = 6 cm

x

5

x

|BC| = 4 cm

60°

C

B

Yukar›daki verilere göre, |AC| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm

C

4

Yukar›daki verilere göre, |AB| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm A

A

3 7 2

x

x

7

H 2 3

B

45° 6

C

1

H

A noktas›ndan BC ›fl›n›na dikme inilirse, ABH dik üçgeni oluflur. Oluflan bu dik üçgen 45° – 45° – 90° üçgeni oldu¤undan, hipotenüs uzunlu¤u |AB| = 7 2 cm iken |AH| = |BH| = 7 cm olur. Bu durumda |CH| = |BH| – |BC| = 7 – 6 = 1 cm olur. AHC dik üçgeninde pisagor teoremi uygularsak 2

2

x =7 +1

2

2

x = 50 x=

50 = 5 2 cm bulunur.

2 60°

30°

B

4

C

A noktas›ndan [BC] ye dikme inmek yerine, B noktas›ndan [AC] ye dikme inelim. (A noktas›ndan [BC] ye dikme inerseniz, oluflan dik üçgenin hipotenüsünün uzunlu¤u 5 cm (tek say›) olur. Bu durumda, dik kenarlar kesirli say›lar olur ki ifllem yapmak zorlafl›r.)

[BH] ⊥ [AC] olacak flekilde [BH] yi çizdi¤imizde BHC dik üçgeni 30° – 60° – 90° üçgeni olur. BHC dik üçgeninde |BC| = 4 cm oldu¤undan 30° nin karfl›s› 4 |HC| = = 2 cm ve 60° nin karfl›s› |BH| = 2 3 cm 2 olur. Bu durumda |AH| = |AC| – |HC| = 5 – 2 = 3 cm dir. ABH dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa 2

2

|AB| = |AH| + |BH| 2

2

x = 3 + (2 3 )

2

2

2

x = 9 + 12

x = 21 ⇒ x = 21 cm bulunur. 2

78

ÖZEL ÜÇGENLER

örnek soru

örnek soru ABC bir üçgen

A 120°

6

m(AéBC) = 150°

m(BéAC) = 120°

5

|AB| = 6 cm

x

B

ABC bir üçgen

A

Yukar›daki verilere göre, |BC| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

|AB| = 5 cm

150°

|BC| = 2 3 cm

5

|AC| = 5 cm

C

x

B

C

2 3

Yukar›daki verilere göre, |AC| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm H

3 3 °

6

çözüm

3 60° A 120°

A 5

30

x 5

B

x

C

[CA uzat›ld›ktan sonra [BH] ⊥ [CH olacak flekilde [BH] çizilirse, BAH dik üçgeni 30° – 60° – 90° üçgeni olur. BAH üçgeninde 90° nin karfl›s› 6 cm oldu¤undan 30° nin karfl›s› 6 |AH| = = 3 cm ve 60° nin karfl›s› 2 |BH| = 3 3 cm olur. Son olarak HBC dik üçgeninde pisagor teoremi uygularsak, 2

2

2

2

2

|BC| = |BH| + |HC| = x = (3 3 ) + 8

2

2

x = 27 + 64 2

x = 91 x=

91 cm bulunur.

150°

2 3 C 30° 60° 3 3

B

H

[AB uzat›ld›ktan sonra, [CH] ⊥ [AH olacak flekilde [CH] çizilirse, CBH dik üçgeni 30° – 60° – 90° üçgeni olur. CBH üçgeninde hipotenüs uzunlu¤u 2 3 cm oldu2 3 ¤undan 30° nin karfl›s› |CH| = = 3 cm ve 2

60° nin karfl›s› |BH| = 3 . 3 = 3 cm olur.

Oluflan AHC dik üçgeninde pisagor teoremi uygularsak, |AC| = |AH| + |CH| ⇒ x = 8 + 2

2

2

2

2

3

2

2

x = 64 + 3 x=

67 cm bulunur.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 6 1, 2, 3, 5, 6, 7, 12 / Genel Tekrar Testi 19, 22 nolu sorular› hemen çözelim.

79

BU KONUDA ÖZETLE... Konuların ve Kavramların Özeti 1. Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarlar›n uzunluklar›n›n kareleri toplam›, hipotenüs uzunlu¤unun karesine eflittir. Bu teoreme pisagor teoremi denir. A

a.

|AB| = |AC| ise, ABC ikizkenar üçgendir. [AH] : yükseklik, aç›ortay ve kenarortayd›r.

A

a2 = b2 + c2 b

c

B

a

B

C

H

C

b.

2. Kenarlar›na Göre Özel Dik Üçgenler

|AB| = |AC| ise,

A

|CH| = |BT| ve

A

A 3k

4k

B

5. ‹kizkenar ve Eflkenar Üçgen

C

5k

|HB| = |TC| dir.

13k

5k B

A

12k

H C

T

B

Efl kenarlara ait yükseklikler birbirine eflittir. C

A 17k

8k

c.

25k

7k

|AB| = |AC| = |BC| ise, ABC eflkenar üçgendir.

A 30°30°

B

C

15k

B

3. Öklid Ba¤›nt›lar›

24k

C

a

2 h = p. k

A

60°

2

c

B

h

a 2

H

C

2

c = p(p + k)

p H

C

k

a. h = b. c

d.

ABC eflkenar üçgen

A

x+y+z=h

a

4. Aç›lar›na Göre Özel Dik Üçgenler 30° – 60° – 90° üçgeni A aC

a 60°

30° 2a

B

C

45° – 45° – 90° üçgeni A 45°

aA

a

45° B

80

a2 ⋅ 3 4

60°

a 2

B

b = k(k + p)

b

a C 2

Alan(ABC) =

a

a

C

90° nin karfl›s› (hipotenüs), 30° nin karfl›s›ndaki dik kenar›n her zaman 2 kat›d›r. 60° nin karfl›s›ndaki dik kenar›n uzunlu¤u ise 30° nin karfl›s›ndaki dik kenar›n her zaman ñ3 kat›d›r. ‹kizkenar dik üçgenin aç›lar› 45° – 45° – 90° dir. ‹kizkenar dik üçgenin dik kenarlar› a cm ise, hipotenüs uzunlu¤u añ2 cm dir.

H

h

E x B

y

z F

e.

C

Üçgenin içinde al›nan bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerin toplam› eflkenar üçgenin yüksekli¤ine eflittir. ABC eflkenar üçgen

A

x+y+z=a D

x y

E

z B

F

C

Üçgenin içinde al›nan bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplam› eflkenar üçgenin bir kenar›na eflittir.

Ö⁄REND‹KLER‹M‹Z‹ TEST EDEL‹M Kavrama Testi 1

( 3.1 - 3.3 )

Kavrama Testi 2

( 3.4 - 3.4 )

Kavrama Testi 3

( 3.5 - 3.6 )

Kavrama Testi 4

( 3.7 - 3.8 )

Kavrama Testi 5 Kavrama Testi 6 Genel Tekrar Testi

( 3.9 - 3.10 ) ( 3.11 - 3.11 ) ( 3.1 - 3.11 )

S›navlarda (ÖSS-ÖYS-YGS-LYS) Sorulmufl Sorular S›navlarda Sorulabilecek Sorular

81

1

KAVRAMA TEST‹ 1.

ABC dik üçgen

A

ABC dik üçgen

A

[AB] ⊥ [BC]

x

2

4.

[AB] ⊥ [BC]

|AB| = 2 cm

x

10

|AD| = 10 cm

|BC| = 3 cm B

3

|BD| = 6 cm

C

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A C| = x k a ç c m d i r ? A) 2ñ3

B) ò13

C) ò15

D) 4

E) 5

A) 13

B

C

B) 2ñ6

x

B

20

B

8

|AC| = 17 cm

C

82

B) 26

C) 27

C

A) 12

B) 11

A

D) 3ò10 E) 9

C) 10

ABC ve ACD dik üçgen D

x

2 2 B

4

C

[AB] ⊥ [BC]

[AC] ⊥ [CD]

|DC| = 8 cm

|AB| = |CD| = 2 cm

|BD| = 20 cm

|BC| = 4 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A B| = x k a ç c m d i r ? A) 25

6

|DC| = 1 cm

1

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A D| = x k a ç c m d ir ?

E) 3ñ3

[AD] ⊥ [BC]

17

D

|AB| = 8 cm

ABC bir üçgen

A

E) 17

[AB] ⊥ [BC]

D

6. 3.

D) 16

|BC| = 6 cm

|BC| = 8 cm

D) 2ñ7

C) 5

|DC| = 9 cm

ABC dik üçgen

|AC| = 6 cm

8

C) 15

8

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A B| = x k a ç c m d i r ? A) 2ñ5

B) 14

x

[BA] ⊥ [AC]

6

x

C

A

ABC dik üçgen

A

9

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A C| = x k a ç c m d i r ?

5. 2.

D

6

D) 30

E) 32

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A D| = x k a ç c m d ir ? A) 2ñ5

B) ò22

C) 2ñ6

D) 5

E) 2ñ7

ÖZEL ÜÇGENLER

7.

ABC ve ACD dik üçgen

A 16

F

[AC] ⊥ [CD]

B α 15

D

8 B

|AB| = 16 cm

[FE] ⊥ [ED]

12

A

3

m(BCªA) = α

D

EFD ve ABC dik üçgen

E 9

[AB] ⊥ [BC]

x

C

10.

[AB] ⊥ [BC] 5

|FE| = 9 cm C

x

|AF| = 3 cm

|CD| = 15 cm 3 cotα = 4

|DC| = 5 cm |AB| = 8 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | AD | = x k a ç c m d i r ? A) 17

B) 20

C) 24

D) 25

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B C| = x k a ç c m d i r ?

E) 27

A) 17

8.

B) 16

C) 15

3

[AB] ⊥ [BC]

4

A

[AD] ⊥ [DC]

1

|AB| = 1 cm x

C

11.

[AB] ⊥ [BC]

α

m(Aª) = α

4 2

|AD| = 3 cm

sinα =

B) 2ñ5

C) 2ñ6

D) 5

B

E) 3ñ3

x

ABC ve ABD dik üçgen

1

D

x B

[AB] ⊥ [AC]

24

25

C

B) 2ñ3

12.

|BC| = x

C) 2ñ2

D) ñ5

[AB] ve [AE]

12 B

5

x

D 4 E

aç›ortay C

|AC| = 24 cm

A) 7

B) 4ñ3

C) 3ñ5

D) 2ò10 E) 6

|AB| = 12 cm |AE| = 5 cm

|BC| = 25 cm Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B D| = x k a ç c m d ir ?

E) 2

ABC bir üçgen

A

[AD] ⊥ [BD] |AD| = 1 cm

C

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B C| = x k a ç c m d i r ? A) 4

A

1 3

|AB| = 4ñ2 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B C| = x k a ç c m d i r ?

9.

E) 13

ABC dik üçgen

A

|DC| = 4 cm A) 3ñ2

D) 14

ABCD dörtgen

D

B

|ED| = 12 cm

|DE| = 4 cm Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B D| = x k a ç c m d ir ? A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

B-D-A / E-E-C / D-C-B / C-E-D

83

2

KAVRAMA TEST‹ 1.

ABC dik üçgen

A

4.

[BA] ⊥ [AC]

4

D

C

9

x

B

|BD| = 4 cm B

[BA] ⊥ [AC]

3 2

[AD] ⊥ [BC]

x

ABC dik üçgen

A

[AD] ⊥ [BC]

D 1 C

|AC| = 3 2 cm

|DC| = 9 cm

|DC| = 1 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A D| = x k a ç c m d ir ?

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |B D | = x ka ç cm d i r?

A) 6

A) 16

B) 4ñ3

C) 2ò15

D) 8

E) 6ñ2

B) 17

5.

C) 18

D) 19

E) 20

ABE ve ABC dik üçgen

A

[BA] ⊥ [AE]

2.

ABC dik üçgen

A

B

[BA] ⊥ [AC]

[AD] ⊥ [BC]

2 2 x

B

B) 3ñ6

C) 2ò15

D

[CB] ⊥ [AB]

E

x

[AC] ⊥ [BE]

C

m(BCªA) = α tanα = 2

|DC| = 1 cm

|BC| = ñ5 cm

|AD| = 2ñ2 cm

D 1 C

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |D E| = x ka ç c m di r ?

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |B D | = x k aç cm di r? A) 5ñ2

ñ5

α

D) 8

A) 6

E) 9

B) 7

6.

C) 8

D) 9

E) 10

ABC dik üçgen

A

[BA] ⊥ [AC]

3.

ABC dik üçgen

A

[BA] ⊥ [AC]

x

B

84

2

[AF] ⊥ [BC]

D

[AD] ⊥ [BC] D

6

C

B

x

E 1 F

9

C

[ED] ⊥ [DC] |AD| = |DF|

|BD| = 2 cm

|EF| = 1 cm

|DC| = 6 cm

|FC| = 9 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A B| = x k a ç c m d i r ?

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |B E| = x ka ç c m di r?

A) 3

A) 6

B) ò10

C) 2ñ3

D) 4

E) 3ñ2

B) 5

C) 4

D) 3

E) 2

ÖZEL ÜÇGENLER

7.

A

ABC dik üçgen

1

10.

D

[AB] ⊥ [BC]

D

[BD] ⊥ [AC]

2

B

x

C

A

|AB| = 2 cm

D) 3ñ2

C) 4

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | CE | k a ç b i r i m d i r ?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B C| = x k a ç c m d i r ? B) 2ñ3

E) 2ñ5

A)

8 5

B)

11. 8.

D)

E)

16 5

[AD] ⊥ [BC] |BD| = 9 cm

[BE] ⊥ [ED]

C x D

12 5

ABC dik üçgen

A

[AC] ⊥ [BD]

E

9

C) 2

[BA] ⊥ [AC]

B

|AE| = |EC| B

9 5

ABC ve BED dik üçgen

A

15

[CE] ⊥ [BD]

E

|AD| = 1 cm

A) 2ñ2

ABCD dikdörtgeni birim karelerden oluflturulmufltur.

C

9

D

C

16

|DC| = 16 cm

| AB | Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , oran› kaçt›r? | AC | 4 3 3 3 2 A) B) C) D) E) 3 2 5 4 3

|AB| = 15 cm |BC| = 9 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | CD | = x k a ç c m d i r ? B) 2ñ3

A) 4

D) 2ñ2

C) 3

E) ñ6

12.

ABC ve BEC dik üçgen

A

[BA] ⊥ [AC]

x

9.

ABC bir üçgen

A

D

[AD] ⊥ [BC]

x

6

B

F 4

m(BéAD) = m(AéCB) B

4

D

C

E

|AB| = 6 cm |BD| = 4 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A C| = x k a ç c m d i r ? A) 6

B) 2ò10 C) 3ñ5

D) 3ñ6

E) 2ò15

[AD] ⊥ [BC] 1

C

[BE] ⊥ [ EC] [EF] ⊥ [BC]

|BD| = |DF| |EF| = 4 cm |FC| = 1 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | AD | = x k a ç c m d i r ? A) 3ñ6

B) 2ò15 C) 8

D) 2ò17 E) 6ñ2

A-D-D / B-C-D / B-A-C / D-B-E

85

3

KAVRAMA TEST‹ 1.

ABC dik üçgen

A

[BA] ⊥ [AC]

4 3

|BC| = 4ñ3 cm C

B

B) 12

C) 13

3

D

x

Yukar›daki verilere göre, |DC| = x kaç cm dir? A) 6

C) 6ñ2

B) 9

[BA] ⊥ [AC]

x

m(AéBC) = 45°

45°

[AB] ⊥ [BC]

B

C

4 2

|BC| = 4 2 cm |AC| = x

m(AéCB) = 60°

|AC| = 4ñ3 cm

|AB| = y + 3 cm Y u k a r › d a k i v e r il e r e g ö r e , x + y to p l a m › k a ç c m d i r ? A) 9

60° B

E) 9ñ3

ABC dik üçgen

A

ABC dik üçgen

4 3

D) 6ñ3

E) 15

y+3

x

m(AéCB) = 30°

|AB| = x

D) 14

A

C

|BD| = 3 cm

5.

2.

30°

|AC| = y

Y u k a r › d a k i v e r il e r e g ö r e , x + y t o p l a m › k a ç c m d i r ? A) 11

[AD] ⊥ [BC]

m(AéCB) = 30° 30°

B

ABC dik üçgen

A

[AB] ⊥ [BC]

y

x

4.

B) 8

C) 7

D) 6

E) 5

C

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A B| = x k a ç c m d i r ? A) 4

C) 4ñ2

B) 5

D) 6

E) 6ñ2

6.

ABC dik üçgen

A

[BA] ⊥ [BC]

3.

ABC dik üçgen

A

|BC| = 3 3 cm

[BA] ⊥ [AC]

x

m(AéCB) = 30° B

30° 6 2

C

|BC| = 6 2 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A C| = x k a ç c m d i r ? A) 6

86

B) 4ñ3

m(AéCB) = 45°

x

C) 3ñ6

D) 6ñ2

E) 6ñ3

B

45° 3 3

C

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A C| = x k a ç c m d i r ? A) 6

B) 3ñ5

C) 4ñ3

D) 5ñ2

E) 3ñ6

ÖZEL ÜÇGENLER

7.

ABC bir üçgen

A 45° 60°

x

10.

[AD] ⊥ [BC]

6 2

45°

m(BéAD) = 45° B

D

C

ABC dik üçgen

A

[AB] ⊥ [BC]

x

m(BéAD) = 45°

2 2

m(DéAC) = 60° B

|AC| = 6 2 cm

D

m(AéCB) = 30°

30°

C

|AD| = 2 2 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | AB | = x k a ç c m d i r ?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | AC | = x k a ç c m d i r ?

A) 6

A) 4

B) 4ñ2

8.

C) 2ñ7

D) 3ñ3

E) 3ñ2

ABC ve ACD dik üçgen

A 4 2

[AB] ⊥ [BC]

x

B

11.

4

|AB| = 4 2 cm

D

ABC dik üçgen

30° B

[BA] ⊥ [AC]

D 2 x

B

D

A) 3ñ2

B) 2ñ6

C

m(BéAD) = m(DéAC) = m(AéCB) oldu¤una göre, | A D | = x k a ç c m d ir ?

D) 2ò13 E) 4ñ3

C) 8

A

4

|AC| = 9 cm

x

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | AD | = x k a ç c m d i r ?

9.

12.

C) 3ñ3

|BD| = 4 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B C| = x k a ç c m d i r ? B) 2ñ5

C) 2ñ6

D) 2ñ7

E) 4ñ2

E) 6ñ2

ABC bir üçgen [AD] ⊥ [BC]

x

m(AéBD) = 30° C

D) 6

A

m(AéBC) = 30° B

30° 4 3

D

3

|DC| = 2 cm A) 2ñ3

E) 4ñ3

[AB] ⊥ [BC] 9

|CD| = 4 cm B) 4ñ5

D) 6

ABC dik üçgen

m(AéCB) = 45°

C

C) 4ñ2

A

[AC] ⊥ [CD]

45°

A) 4ñ6

B) 2ñ6

C

|BD| = 4 3 cm |DC| = 3 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | AC | = x k a ç c m d i r ? A) 5ñ3

B) 4ñ3

C) 6

D) 5

E) 4

B-D-C / B-E-E / A-B-D / A-C-D

87

KAVRAMA TEST‹ 1.

ABC bir üçgen

A

4

4.

ABC ikizkenar üçgen

A

[AD] ⊥ [BC]

25°

|AB| = |AC|

F

|BD| = |DC| m(DéAC) = 25°

[DF] // [AC]

E

6

[DE] // [AB]

3

x B

B

C

D

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( A é B C ) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 45

B) 55

C) 60

D) 65

C

D

|DE| = 3 cm |FD| = 6 cm |BC| = 10 cm

E) 70

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , Ç e v r e ( A B C ) k a ç c m d ir ? A) 26

5. 2.

B) 28

C) 30

D) 32

ABC bir üçgen

A

|AB| = |AD| = 13 cm

ABC üçgeninde

A

|BD| = 10 cm

|AB| = |AC| |AB| = 5 cm

5

13

x

13

x

B

B

C

10

4

D

C

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | D C | = x k a ç c m d ir ?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A C| = x k a ç c m d i r ?

A) 1

A) 14

B) ñ2

C) ñ3

D) 2

E) 3

B) 15

C) 16

6. 3.

D

6

x

F

E y B

9

H

C

D) 17

E) 18

A

4 2

ABC bir üçgen

A

|AB| = |AC|

88

|DC| = 4 cm

|BD| = 3 cm

D

3

E) 34

45°

[AH] ⊥ [BC]

B

|DE| = 6 cm

ABC ikizkenar üçgen

|EC| = 9 cm

|AB| = |AC|

|EF| = x

m(AéDB) = 45°

x

C D1

|AD| = 4ñ2 cm ve |DC| = 1 cm

|BE| = y

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , y – x f a r k › k a ç c m d ir ?

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |B D | = x ka ç cm d i r?

A) 1

A) 12

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

B) 11

C) 10

D) 9

E) 8

ÖZEL ÜÇGENLER

7.

ABC dik üçgen

A

B

ABC ikizkenar üçgen

A

[AB] ⊥ [BC]

x

E

7

10.

[AH] aç›ortay

[BE] ⊥ [AD]

C

17

D

|AB| = |AC|

|AE| = |ED|

[HD] ⊥ [AC]

9

|AB| = 7 cm

|DC| = 1 cm D 1 C

|DC| = 17 cm B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A C| = x k a ç c m d i r ? A) 25

B) 26

8.

C) 27

H

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B H| = x k a ç c m d ir ?

E) 30

A) ñ6

B) 3

[BE] ⊥ [AC]

3 F

11.

E) 6

DFC dik üçgen

D

ABC ikizkenar üçgen

|AE| = 3 cm

A

x

|BD| = 2 cm x

E

C B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B C| = x k a ç c m d i r ? A) 2ñ5

D) 3ñ3

9 2

[CD] ⊥ [AB]

E

D

B

C)

ABC ikizkenar üçgen

A

2

D) 28

x

|AB| = 9 cm

B) 2ñ6

C) 2ñ7

D) 4ñ2

|AB| = |AC| [DF] ⊥ [BC]

9 4

F

C

H

[AH] ⊥ [BC]

|AH| = 9 cm |EF| = 4 cm

E) 6

Y uka r› dak i ve ri l er e g öre , |D E| = x ka ç c m di r? A) 8

9.

ABC bir üçgen

A

[CF] ⊥ [AB] F

A

x

C

C) 90

D) 11

[BA] ⊥ [AC]

D

[DE] ⊥ [BC]

6 C

E

E) 120

|BE| = |EC| |AB| = 5 cm

D

D) 105

E) 12

ABC dik üçgen

[CE aç›ortay

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (F é C E ) k a ç d e r e c e d i r ? B) 75

C) 10

5

B

B

A) 60

12.

|AF| = |FB|

E

B) 9

|DC| = 6 cm Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | AD | = x k a ç c m d i r ? A) 2ñ2

B) 3

C) ò10

D) ò11

E) 2ñ3

D-A-C / B-B-D / A-A-C / B-C-D

89

5

KAVRAMA TEST‹ 1.

ABC eflkenar üçgen

A

4.

[DE] ⊥ [BC]

3

|AC| = 2x – 5 cm

D

|BC| = x + 2 cm

2x – 5

ABC eflkenar üçgen

A

|AD| = 3 cm |DC| = 10 cm

10 B

C

x+2

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , Ç e v r e ( A BC ) k a ç c m d i r ? A) 21

B) 24

2.

C) 27

D) 30

[FE] ⊥ [BC]

x

A) 5

B) 6

5.

D) 8

[ED] ⊥ [AB]

C

E

|DE| = 12 cm D

|DC| = 6 cm

6

E) 9

ABC eflkenar üçgen

A

|BF| = 10 cm

D

10

12

|AF| = x

B

|AD| = y

x

C

E

Y u k a r › d a k i v e r il e r e g ö r e , x + y t o p l a m › k a ç c m d i r ?

Y u k a r› d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B E | = x k a ç c m d i r ?

A) 16

A) 8

B) 18

3.

C) 20

D) 22

E) 24

ABC eflkenar üçgen

A

B

E) 8ñ3

ABC eflkenar üçgen

A

[AE] ⊥ [BC] m(AéCD) = 20°

D

|DE| = 7 cm 120°

D) 7ñ3

|AD| = 4 cm

D

x

6.

C) 6ñ3

B) 9

m(BéED) = 120°

4

90

C) 7

[ED] ⊥ [AC]

y

F

B

C

E

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |B E| = x ka ç c m di r?

E) 33

ABC eflkenar üçgen

A

x

x

7

20

°

C

E

B

C

E

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A B| = x k a ç c m d i r ?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (B é D E ) = x k a ç d e r e c e d ir ?

A) 9

A) 30

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

B) 40

C) 50

D) 60

E) 70

ÖZEL ÜÇGENLER

7.

ABC eflkenar üçgen

A

10.

A

[AD] ⊥ [BC] |AD| = 6 cm

2 6

6

B

C

D

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , Ç e v r e ( A B C ) k a ç c m d ir ? A) 24ñ3

B) 21ñ3 C) 18ñ3

45°

B

x

C

D

ABC bir üçgen

D) 15ñ3 E) 12ñ3

ABD eflkenar üçgen

m(AéCB) = 45° ve |AC| = 2ñ6 cm Yukar›daki verilere göre, |BD| = x kaç cm dir? A) 3

8.

ABC eflkenar üçgen

A

B) 4

11.

D) 3ñ2

C) 5

ABC eflkenar üçgen

A

[DH] ⊥ [BC]

[AD] ⊥ [BC] [EF] ⊥ [AC]

F E

|EF| = 2ñ3 cm

x B

3

D

[DF] ⊥ [AB]

|FD| = ñ3 cm

2 3

4 3 B

C

D

[DE] ⊥ [AC]

E

F

|AE| = |ED|

2 3

E) 4ñ2

C

H

|DE| = 2ñ3 cm

|DH| = 4ñ3 cm

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |FC | = x k aç cm di r?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , Ç e v r e ( A B C ) k a ç c m d ir ?

A) 7

A) 30

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

B) 33

12.

C) 36

D) 39

E) 42

ABC eflkenar üçgen

A

[DE] // [BC]

9.

F

ABC eflkenar üçgen

A

1 D

[BD] aç›ortay [DE] ⊥ [BC]

D

|EC| = 2 cm

x B

E 2

B) 4ñ3

3

E

C) 5ñ3

[DH] // [AB] |FD| = 1 cm

4 B

C

H

|DE| = 3 cm |DH| = 4 cm

C

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |B D | = x k aç cm di r? A) 3ñ3

[DF] // [AC]

D) 6ñ3

E) 7ñ3

Y uka r› da ki v eri l e re gör e, A B C üçg eni ni n yü kse kl i ¤i kaç cm dir? A) 3ñ3

B) 4ñ3

C) 5ñ3

D) 8

E) 8ñ3

C-B-C / D-E-C / E-D-B / B-E-B

91

6

KAVRAMA TEST‹ 1.

4.

A

A 120°

2 2

30°

B B

45°

C

6

C

2 3

ABC bir üçgen m(BéAC) = 120° , m(AéBC) = 30° ve

ABC bir üçgen

|AC| = 2ñ3 cm

m(AéBC) = 45°

|AB| = 2ñ2 cm ve |BC| = 6 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A C| = x k a ç c m d i r ?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A C| = x k a ç c m d i r ? A) 2ñ5

x

x

B) 2ñ6

D) 2ñ7

C) 5

B) ñ3

A) 1

E) 4ñ2

D) ñ6

C) 2

A

ABC bir üçgen m(BéAC) = 30°

30

2.

°

5.

A

|AC| = 2 cm

2

|BC| = 3 cm

120° B

|AC| = 2 cm

C

ABC bir üçgen m(AéCB) = 120°

x

|AB| = 3ñ3 cm

2

3 3

E) 2ñ2

C

3

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A B| = x k a ç c m d i r ? A) 2ñ6

x

B) ò22

C) ò21

D) 2ñ5

E) ò19

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B C| = x k a ç c m d i r ? A) 2ñ3

B) ò13

C) ò15

D) 4

E) 2ñ5

6. 3.

A

ABC bir üçgen

60°

m(BéAC) = 60°

2

2 B

2

|AC| = 8 cm C

m(AéCB) = 135°

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B C| = x k a ç c m d i r ? B) 3ñ5

135° C

ABC bir üçgen

x

92

x

|AB| = 2 cm

8

B

A) 2ò10

A

C) 7

D) 2ò13 E) 2ò14

|AC| = ñ2 cm ve |BC| = 2 cm Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A B| = x k a ç c m d i r ? A) ò15

B) ò13

C) 2ñ3

D) ò11

E) ò10

ÖZEL ÜÇGENLER

7.

A ABC bir üçgen x B

150°

A

m(AéCB) = 150° 2

D

|AC| = 2 cm

C

2 3

10.

|BC| = 2ñ3 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | AB | = x k a ç c m d i r ? A) 2ñ5

3

112,5°

B) 2ñ6

C) 2ñ7

D) 4ñ2

B

E) 6

C

x

ABC dik üçgen [BA] ⊥ [AC] ve [CD] aç›ortay m(BéDC) = 112,5° , |AC| = 3 cm Yukar›daki verilere göre, |BC| = x kaç cm dir? A) 3ñ2

8.

B) 3ñ3

D) 6ñ2

C) 6

E) 6ñ3

A 30

3

°

7 3

B

11. C

x

30°

D

A

E

x

D 105°

ADE ve CBD birer üçgen [CB] ⊥ [AD]

B

m(DéAC) = m(AéEC) = 30°

ABC dik üçgen

|AE| = 7ñ3 cm ve |AB| = 3 cm

[BA] ⊥ [AC] ve [BD] aç›ortay

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | CD | = x k a ç c m d i r ? B) 2ò10 C) 3ñ5

A) 6

D) 4ñ3

m(BéDC) = 105°

E) 8

| A C| + | B C| = 6 c m o l d u ¤ u n a g ö r e , | AB | = x k a ç c m dir? A) 2ñ2

9.

[AB] ⊥ [AC]

[AH] ⊥ [DE]

E

B

4

x

H

D) 4ñ2

C) 4

14

C

C) 4,5

A

E) 4ñ3

D) 5

E) 5,5

ABC bir üçgen m(AéBC) = 30°

3 2

|BD| = 1 cm

m(AéCB) = 30° oldu¤una göre, |HE| = x kaç cm dir? B) 4

12.

|BC| = 14 cm

30°

|DH| = 4 cm

A) 3,5

B) 2ñ3

ABC dik üçgen

A

D 1

C

B

105°

30°

m(AéCB) = 105° |AC| = 3ñ2 cm

C

x

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B C| = x k a ç c m d i r ? A) 3ñ2

B) 2ñ6

C) ò30

D) 6

E) 6ñ2

A-B-D / C-E-E / C-E-D / A-B-D

93

GENEL TEKRAR TEST‹ 1.

ECD ve ABC dik üçgen

E

15

A x B

8

D

9

C

4.

|BD| = 3 cm

[EC] ⊥ [BD]

x

|EA| = |AC|

D

|ED| = 15 cm

3

|CD| = 9 cm

B

|BC| = 8 cm

B) 10

C) 12

D) 13

A

12

E

C

B

C) 5

C) 13

D) 15

|AC| = 10 cm

D) 6

E) 7

ABC ve DBC dik üçgen [BD] ⊥ [DC]

x D

[DE] ⊥ [BC]

|DE| = 2 cm

1

C

E

|BE| = 1 cm |AB| = 12 cm

|AB| = |DE| = 12 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A C| = x k a ç c m d i r ? A) 20

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | D C | = x k a ç c m d ir ? B) 12

C

2

|BC| = 9 cm

A) 10

2

A

[DE] ⊥ [AC]

x

9

E

B) 4

12

|AE| = 2|EC| B

|EC| = 2 cm 4

[AB] ⊥ [BC]

[AB] ⊥ [BC]

12

|DE| = 5 cm

5

A) 3

ABC ve DEC dik üçgen

D

|BE| = 4 cm

E) 15

5.

2.

10

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A D| = x k a ç c m d ir ?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A B| = x k a ç c m d i r ? A) 9

ABC bir üçgen

A

B) 17

C) 16

D) 15

E) 13

E) 17

6.

3.

ABC dik üçgen

A

[AC] ⊥ [BC]

[AD] ⊥ [DC]

D B

|AD| = |DC|

30°

C

4 3

m(AéBC) = 30°

|BC| = 4ñ3 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | DC | k a ç c m d i r ? A) 4ñ2

94

B) 4

C) 2ñ3

D) 3

E) 2ñ2

Yüksekli¤i 24 metre olan duvara 25 metre uzunlu¤unda bir merdiven flekildeki gibi yerlefltirilmifltir. Merdivenin alt k›sm›, duvardan 8 metre daha uzaklaflfl-t›r›l›rsa merdivenin üst k›sm› kaç metre aflflaa¤›ya iner? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

ÖZEL ÜÇGENLER

7.

ABC ve DEC dik üçgen

D A °

[BA] ⊥ [AC]

7

30

2 3

8. E

1

D) 6ñ2

A) 14

E) 6ñ3

ABC dik üçgen

A

11.

D

6

2

9.

C) 5ñ3

D x 60° E

C

[DC] ⊥ [BC]

E) 9

ABC dik üçgen [AB] ⊥ [BC]

|AC| = 2ñ5 cm

C

D

B) 2ñ2

A) 2

C) 2ñ3

D) 4

C) 4ñ3

12.

E) 3ñ2

ABC bir üçgen

A

|AB| = |AD|

m(AéBC) = 60° 30

m(EéAD) = 30° |BE| = 5 cm

Y uka r› da ki v eri l er e g öre , |D C | = x kaç c m di r ? B) 3ñ3

D) 10

| A B | = | B D | = | D C | o l d u ¤ u n a g ö r e , | A D| = x k a ç c m dir?

E) 9

|AD| = 4 cm A) 2ñ3

C) 11

[AE] ⊥ [BC]

30° 4

5

|CD| = 3 cm

fiekilde

A

B

D) 6ñ3

B) 13

B

C |AE| = 1 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A C| = x k a ç c m d i r ? B) 9 3

|BC| = 6 cm

x

|DC| = 6 cm A) 4ñ3

3

2 5

[BA] ⊥ [AC] B

|AB| = 5 cm

A

EBD eflkenar üçgen

x

C

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , A il e D n o k t a s › a r a s › n d a k i u z a k l ›k k a ç c m d ir ?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B C| = x k a ç c m d i r ? C) 4ñ3

6

D

|AE| = 7 cm B) 4ñ2

[BC] ⊥ [CD]

m(EéDC) = 30°

|DE| = 2ñ3 cm

A) 6

[AB] ⊥ [BC]

B

[DC] ⊥ [BC]

C

x

fiekilde

A 5

[DE] ⊥ [AC]

E B

10.

D) 4

E) 5

B

16

D

m(AéCB) = 30° 30°

|AC| = 30 cm C

|BD| = 16 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , Çe v r e ( AB D ) k a ç c m d i r ? A) 50

B) 52

C) 54

D) 56

E) 58

95

ÖZEL ÜÇGENLER

13.

ABC ve ADC bir üçgen

A x

30°

D

16.

ABC eflkenar üçgen

A

[BA] ⊥ [CA]

|BD| = 2 cm

[AD] ⊥ [CD]

|DC| = 6 cm

x

|AB| = |AC| B

4

C

|BC| = 4 cm

B

2 D

C

6

m(CéAD) = 30° oldu¤una göre, |AD| = x kaç cm dir?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A D| = x k a ç c m d ir ?

A) 2

A) 6

D) 2ñ3

14.

B) ñ6

C) 2ñ2

B) 2ò10 C) 2ò11

D) 4ñ3

E) 3

ABC ikizkenar üçgen

A

17.

ABC eflkenar üçgen

A

|AB| = |AC|

[DE] // [BC]

[CD] ⊥ [AB]

13

[DF] // [AB]

|AC| = 13 cm

D 1 B

B) 2ñ6

B

15.

D) ò26

C) 5

ABC ikizkenar üçgen

4

DBF dik üçgen

E

[AH] ⊥ [BC]

A 5 1 B

H

F

C

A) 10

18.

C

x

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

ABC eflkenar üçgen

A

DBF dik üçgen [FD] ⊥ [AB]

8 D

|DE| = 4 cm

|AE| = 8 cm

|EF| = 5ñ3 cm

E

x

|EF| = 1 cm

96

F

[DF] ⊥ [BC]

|AB| = 5 cm

|DF| = 7 cm

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |FC | = x kaç cm di r?

E) 3ñ3

D

|DE| = 4 cm

E

7

C

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B C| = x k a ç c m d i r ? A) ò21

4

D

|BD| = 1 cm x

E) 2ò13

53

B

C

F

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | BC | k a ç c m d i r ?

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |B D | = x ka ç cm d i r?

A) 5

A) 7

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

ÖZEL ÜÇGENLER

19.

ABD ve BCD birer üçgen

A 120°

x

30°

B

D

22.

[BC] ⊥ [CD]

45°

2 6

[AB] ⊥ [BC]

52

m(BéAD) = 45°

x

m(BéAD) = 120° 2 6

fiekilde

A

m(DéCB) = 30°

D

|BC| = |CD| = 2ñ6 cm

C

|AD| = 5ñ2 cm

6

m(AéBD) = 30°

30°

B

C

|DC| = 6 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | AD | = x k a ç c m d i r ?

Yukar›daki verilere göre, |AB| = x kaç cm dir?

A) 4

A) 6

B) 3ñ2

C) 2ñ6

D) 3ñ3

E) 6

B) 7

23.

C) 8

K

D) 9

E) 10

L

A

C

20.

ABC eflkenar üçgen

A

B

[AE] ⊥ [BC]

D 15°

E

|DE| = ñ6 cm

Yüksekli¤i 70 cm olan bir kutunun tavan›na 50 cm uzunlu¤unda bir sarkaç as›lm›flt›r.

C

B) 4

E

D

Bu sarkaç salland›¤›nda kutunun karfl›l›kl› yan yüzeylerindeki B ve C noktalar›na çarpmaktad›r.

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A C| = x k a ç c m d i r ? A) 3

56

40

m(AéED) = 15°

x

6

B

50

C) 5

D) 6

E) 7

| B D | = 4 0 c m v e | E C | = 5 6 c m o l d u ¤ u n a g ö r e , | KL | kaç cm dir? A) 84

B) 86

C) 88

24. 21.

A E 62

°

B

15 30°

m(AéBD) = 15° m(DéBC) = 30°

|AB| = 6ñ2 cm Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | D C| = x k a ç c m d i r ? A) 6

x

[BD] ⊥ [DC]

C

B) 4ñ2

C) 3ñ3

D) 2ñ6

E) 4

m(BéAC) = 70°

70°

[BA] ⊥ [AC]

x

10°

m(AéBD) = 10°

D

2

E) 92

ABC üçgeninde

A

ABC ve DBC dik üçgen

D

D) 90

2

m(AéCD) = 40°

40°

B

C

| B D | = | D C | = 2 c m o l d u ¤ u n a g ö r e , | A B| = x k a ç cm dir? A) 3ñ5

D) 3ñ3

C) 2ñ3

B) 6 E) 5

B-C-E / C-E-D / E-C-B / D-B-A / B-D-D / E-B-C / A-B-A / C-C-C

97

SINAVLARDA (ÖSS-ÖYS-YGS-LYS) SORULMUfi SORULAR 1.

ABC bir üçgen

A

m(AéBC) = 45°

6

x 45°

|AC| = 6 cm C

16 m uzunlu¤undaki bir merdiven yer ile 45° lik aç› yapacak flekilde, yere dik bir duvara dayand›r›l›yor. B una gö re, m er di ve n ay a¤ › n› n du va ra ol an uza kl › ¤› kaç m dir?

m(BéCA) = 30° 30°

B

4.

A) 4ñ2

B) 6ñ2

C) 7ñ2

D) 8ñ2

|AB| = x cm

E) 10ñ2

(ÖSS 1999 ipt.)

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A B| = x k a ç c m d i r ? A) 3ñ3

B) 2ñ3

C) 3

D) 3ñ2

E) 2ñ2

(ÖYS 1996)

5. 2.

D

3

m(BéHC) = 90°

m(CéAB) = 90°

20

H

|AC| = 20 cm

|DC| = 3 cm

9

|AH| = 16 cm

|AB| = 6 cm |AC| = 9 cm 6

A

B) 9

x

B

B

|BC| = x cm

C

Y uka r› dak i ve ri l enl er e g öre , x k aç cm di r? A) 9

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | DB | k a ç c m d i r ? A) 6

m(BéCA) = 90°

16

m(DéCA) = 90°

C

ABC bir dik üçgen

A

C) 6ñ2

D) 9ñ2

B) 12

C) 15

D) 16

E) 18

(ÖSS 1999 ipt.)

E) 10ñ2

(ÖYS 1998)

6. 3.

A

L 30°

B

AL // BM

|AO| = |OB|

LM ⊥ BM

6 2 30°

x D

m(LéAD) = 30°

C

M

Y uka r› da ki ve ri l enl e re g öre , x k aç cm di r? B) 6

C) 5

L

E x

|AD| = 6 cm

|LM| = x cm

D) 4

E) 3

(ÖSS 1999) 98

D

m(DéBC) = 30°

|BD| = 2 cm

A) 8

|CL| = |LB|

C

A

O

B

Yukar›daki flfleekilde ABC ve DOC eflflkkenar üçgenler, [D E ] / / [A B ] v e | D E| = 8 cm ol du¤ una gö re, |OL | = x kaç cm dir? 16 28 A) B) C) 10 D) 12 E) 14 3 3

(ÖSS 1996)

ÖZEL ÜÇGENLER

7.

C

B D

OABC bir dikdörtgen

10.

C∈q

OD ⊥ CA

x

m(péOq) = 30°

|OD| = x O

A

O

B)

4 5

C) 2 5 5

D) 4 5 5

A

B

x

|OB| = 1 br

p

|AB| = x br

ABC eflflkkenar üçgen oldu¤una göre, |AB| = x kaç br dir?

Bu n a g ö r e , x k a ç b i r i m d i r ? 2 5

30°

1

OABC dikdörtgeni flekildeki gibi 8 birim kareye bölünmüfltür.

A)

[AB] ∈ p

q C

B) ñ2 – 1

A) ñ3 – 1

E) 8 5 5

D)

(ÖSS 2002)

2 3

C) E)

1 2

3 4

(ÖSS 1992) 11. 8.

C

O

[DE] ⊥ [BC]

m(LéOA) = m(AéOK) = 15°

L

A

° 15 15°

K

Yandaki flekilde A noktas›n›n OK ye göre simetri¤i B, OL ye göre simetri¤i C dir.

D

B B

B) 6

E

C

fifieekildeki ABC eflflkkenar üçgeninde

|OA| = 5 cm oldu¤una göre, |CB| kaç cm dir? A) 5

ABC eflkenar üçgen

A

C) 7

D) 9

¤una göre,

E) 12

(ÖSS 2001)

A)

3 2

| EB | o r a n› k a ç t › r? | EC | B)

7 2

C) 4

| DC | 2 oldu= | DA | 3

D) 5

E) 6

(ÖSS 1997) 12. 9.

ABC ikizkenar üçgen

D A

B

10

8

[DE] ⊥ [BC]

F

|DF| = 8 cm

3

|FE| = 3 cm

E

C

|BC| = 10 cm

Yukar›daki flfleekilde |AB| = |AC| oldu¤una göre, ABC 2 üçgeninin alan› kaç cm dir? A) 16

B) 20

C) 32

D) 35

E) 40

ABC bir eflkenar üçgen

A

|AD| = |CF| = |BE| D E

B

F

C

Yukar›daki flfleekilde |BF| = 2|FC| oldu¤una göre, ABC eflflkkenar üçgeninin çevresinin uzunlu¤unun DEF üç geninin çevresinin uzunlu¤una oran› kaçt›r? A) ñ3

B) 2ñ3

(ÖSS 2004)

C) 3ñ3

D) ñ2

E) 3ñ2

(ÖSS 2004)

D-D-D / D-C-A / D-A-D / C-C-A

99

SINAVLARDA SORULAB‹LECEK SORULAR 1.

ABC eflkenar üçgen

A

4.

ABC ve BDE ikizkenar üçgen

A

[DE] // [BC] 5

D

E

x

[DF] ⊥ [BE]

|DE| = 5 cm

|EF| = 2ñ3 cm

2 3 B

[AH] ⊥ [BE]

[EF] ⊥ [BC]

B

H

2 F

B) 8

C) 9

D) 10

D

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |C E| = x kaç cm di r?

E) 11

ABC üçgeninde [AB] nin [BC] kenar›na göre simetri¤i › al›nd›¤›nda [BA ] elde ediliyor.

A

8

C

x

5.

B) 5

A

21 m

m(AéBC) = 30°

8m

F

D) 8

A

3 x

E) 8ñ2

F 9

[BE] ve [CE] aç›ortay

6.

[EF] ⊥ [BC]

C

C

B) 3ñ3

C) 3ñ2

B

30° 6 75°

Yandaki flekilde birbiriyle dik kesiflen 1. ve 2. caddeler verilmifltir. 1. caddenin geniflli¤i 8 m, 2. caddenin geniflli¤i 6 m dir.

D) 27

E) 29

m(BéCD) = 75° |BC| = 6 cm

|FC| = 9 cm

D) 4

D

E

E) 3

AB // ED m(AéBC) = 30°

5 2

|CD| = 5 2 cm

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |A E| = x kaç cm di r? A) 8

A-D-B / A-D-A

100

C) 25

x

Y uka r› da ki v eri l er e g öre , |E F| = x k aç cm di r? A) 6

B) 23

A

|BF| = 3 cm D

E) 4ñ2

[BA // [CD

B

E

E

16 m

A) 21

3.

D

D) 2ñ2

| F E| = 1 6 m v e | A F | = 2 1 m o l d u ¤ u n a g ö r e , A n o k t a s›ndaki bir kiflflii en az kaç metre yürüyerek E noktas› na ulaflfl››r?

›

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , | A A | = x k a ç c m d ir ? C) 6ñ3

B

2. cadde 6 m

A›

B) 6ñ2

C) 6

C

|AB| = 8 cm

A) 6

|BD| = |DE|

1. cadde

2.

30°

|AB| = |AC|

|HF| = 2 cm

A) 4

B

E

C

F

Y uka r› da ki v eri l er e g öre , |B F| = x ka ç c m di r ? A) 7

x

C

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

KAZANMIfi OLMAMIZ GEREKEN B‹LG‹ ve BECER‹LER

Dik üçgende pisagor teoreminin ne zaman kullan›ld›¤›n› bilme Dik üçgende pisagor teoreminin nas›l uyguland›¤›n› bilme Kenarlar› tam say› olan özel dik üçgenleri ezbere bilme Hangi durumda öklid ba¤›nt›lar›n›n kullan›laca¤›n› bilme Öklid'in yükseklik ba¤›nt›s›n›n nas›l kullan›ld›¤›n› bilme Öklid'in dik kenar ba¤›nt›s›n›n nas›l kullan›ld›¤›n› bilme 30° – 60° – 90° üçgeninin kenarlar› aras›ndaki orant›y› bilme 45° – 45° – 90° üçgeninin kenarlar› aras›ndaki orant›y› bilme Dik üçgende trigonometrik oranlar› kullanabilme ‹kizkenar üçgene ait temel özellikleri kullanabilme Kenar uzunlu¤u bilinen eflkenar üçgenin yüksekli¤ini bulabilme Eflkenar üçgene ait di¤er özellikleri kullanabilme 30°, 45°, 60°, 120°, 135° ve 150° lik aç›lar›n bulundu¤u üçgenlerde uygulama yapabilme

101

04

AÇI - KENAR BA⁄INTILARI

Üçgenlerin kenarlar› ile aç›lar› aras›ndaki iliflkileri inceliyoruz. Üçgenin çizilebilmesinin temel flart› Pisagor teoremi burada da karfl›m›za ç›kt›.

YÖRÜNGEDEK‹ KAVRAMLAR aç› - kenar iliflkisi

s. 105

üçgen eflitsizli¤i s. 106

104

AÇI - KENAR BA⁄INTILARI 4.1

Üçgenlerin kenarlar› ile aç›lar› aras›ndaki iliflkileri inceliyoruz. Bir üçgende büyük aç›n›n karfl›s›nda büyük kenar bulunur.

örnek soru ABC bir üçgen

A

A

m(BéAC) = 70°

70° c

|AC| > |BC|

b B

B

C

a

ABC üçgeninde m(ëA) > m(ëB) > m(ëC) ⇔ a > b > c dir. Yani büyük aç›n›n karfl›s›nda büyük kenar küçük aç›n›n karfl›s›nda küçük kenar olur. Ayn› kural› tersten de söyleyebiliriz. Büyük kenar›n karfl›s›nda büyük aç›, küçük kenar›n karfl›s›nda küçük aç› bulunur.

C

Yukar›daki verilere göre, C aç›s›n›n ülçüsünün tam say› olarak en çok kaç derece olabilece¤ini bulal›m.

çözüm C aç›s›n›n ölçüsünün en büyük de¤erini bulmak için B aç›s›n›n ölçüsünün en küçük de¤erini bulmam›z gerekir.

örnek soru A °

25

|AC| > |BC| oldu¤undan m(ëB) > m(ëA) yani m(ëB) > 70° dir. Bu durumda B aç›s›n›n ölçüsü en az 71° al›nabilir. m(ëB) = 71° al›nd›¤›nda m(ëC) = 39° olur.

B

50°

35°

D

C

ADC bir üçgen m(AéCD) = 35°, m(AéBC) = 50° ve m(DéAC) = 25°

örnek soru A

Yukar›daki taslak çizimde verilenlere göre, afla¤›dakilerden hangisi yanl›flt›r? A) |AC| > |AB|

B) |AB| > |BD|

D) |AC| > |DC|

d

C) |AC| > |AD|

E) |BD| > |AD|

B a

60° 60°

D

b

C

A

ABCD bir dörtgen

°

25

70°

B

50°

e

çözüm

50°

c

40°

m(BéAC) = 40°, m(AéCB) = m(AéCD) = 60° m(AéDC) = 50°

60° D

35°

C

ADC üçgeninde "iki iç aç›n›n toplam› kendilerine komflu olmayan d›fl aç›ya eflittir" kural›na göre, m(AéDB) = 25° + 35° = 60° bulunur. ABD üçgeninde iç aç›lar toplam›ndan m(BéAD) = 70° bulunur. ABD üçgeninde 70° > 60° oldu¤undan |BD| > |AB| olur. Ancak B seçene¤inde tam tersi verildi¤i için, sorunun cevab› B seçene¤idir.

Cevap B

Yukar›daki verilere göre, a, b, c, d, e uzunluklar›ndan hangisinin en uzun oldu¤unu bulal›m.

çözüm Önce bilinmeyen aç›lar›n ölçülerini bulal›m. ABC üçgeninde m(AéBC) + 40° + 60° = 180° ⇒ m(AéBC) = 80° olur. ADC üçgeninde m(CéAD) + 60° + 50° = 180° ⇒ m(CéAD) = 70° olur.

105

AÇI - KENAR BA⁄INTILARI

ABC üçgeninde aç›lara göre s›ralama yap›l›rsa, 40° < 60° < 80° oldu¤undan a < d < e olur.

A d

c

70°

40°

50°

e B

Ayn› ifllem ADC üçgeninde yap›l›rsa, 50° < 60° < 70° oldu¤undan e < c < b olur. Bu durumda en uzun kenar b dir.

80° a

D

b

60° 60° C

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 3 1, 2, 8 nolu sorular› hemen çözelim.

4.2

Üçgenin çizilebilmesinin temel flart› Bir üçgende herhangi iki kenar›n toplam uzunlu¤u üçüncü kenardan daha fazla, herhangi iki kenar›n uzunluklar› fark› üçüncü kenardan daha az olmak zorundad›r. Bu kurala "üçgen eflitsizli¤i" denir. Üçgen eflitsizli¤i üçgenin çizilebilmesinin temel flart›d›r.

örnek soru ABC bir üçgen

A

|AB| = 5 cm |AC| = 6 cm 5

|BC| = x

6

|b — c| < a < b + c

A

c

|a — c| < b < a + c

B

|a — b| < c < a + b

m(ëëA) > m(ëëB) oldu¤una göre, x in alabilece¤i tam say›lar toplam›n›n kaç oldu¤unu bulal›m.

b

C

x

çözüm

B

Üçgen eflitsizli¤ine göre, 6 — 5 < x < 6 + 5 ⇒ 1 < x < 11 bulunur.

C

a

örnek soru ABC bir üçgen

A

|AB| = 2 cm

Ayr›ca m(ëA) > m(ëB) oldu¤undan |BC| > |AC| ⇒ x > 6 olur. Bu durumda x in alabilece¤i de¤erler 7, 8, 9, 10 olur. O halde sorunun cevab› 7 + 8 + 9 + 10 = 34 bulunur.

|AC| = 5 cm 5

2

|BC| = x

örnek soru ABCD bir dörtgen

A B

x

|AB| = 4 cm

C 6

4

Yukar›daki verilere göre, x in alabilece¤i kaç farkl› tam say› olabilece¤ini bulal›m.

çözüm Üçgen eflitsizli¤ine göre, 5 — 2 < x < 5 + 2

|BC| = 8 cm |AD| = 6 cm

B

D

x 8

|CD| = 5 cm

5

3 < x < 7 olmal›d›r. x in alabilece¤i de¤erler 4, 5, 6 oldu¤undan üç tanedir.

C

Yukar›daki verilere göre, |BD| = x in alabilece¤i en küçük tam say› de¤eri ile en büyük tam say› de¤erinin toplam›n› bulal›m.

106

AÇI - KENAR BA⁄INTILARI

çözüm ABD üçgeninde üçgen eflitisili¤i uygulan›rsa, 6 — 4 < x < 6 + 4 ⇒ 2 < x < 10 olur.

Elde edilen eflitsizliklerin kesiflim bölgesi al›n›rsa 3 < x < 10 sonucuna ulafl›l›r. Bu durumda x in en küçük de¤eri 4 ve en büyük de¤eri 9 cm oldu¤undan sorunun cevab› 4 + 9 = 13 bulunur.

Ayn› ifllem DBC üçgeninde uygulan›rsa, 8 — 5 < x < 8 + 5 ⇒ 3 < x < 13 olur. Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 3 3, 4, 5, 6, 9 / Genel Tekrar Testi 22 nolu sorular› hemen çözelim.

4.3

Pisagor teoremi burada da karfl›m›za ç›kt›. A c

m(ëA) = 90° ise,

b

B

2

2

örnek soru ABC bir üçgen

A

2

a = b + c dir.

|AC| = 13 cm x

C

a

13

|BC| = 12 cm

A

|AB| = x

c

m(ëA) > 90° ise,

b

2

2

2

a > b + c olur. B

C

a A

c

2

2

2

a < b + c olur.

çözüm Üçgen eflitsizli¤ine göre, 13 — 12 < x < 13 + 12 1 < x < 25 olur. 2

2

2

m(ëB) < 90° oldu¤una göre, 13 < 12 + x 2 169 < 144 + x 2 25 < x ⇒ 5 < x yani x > 5 tir.

C

a

C

12

m(ëëB) < 90° oldu¤una göre, x in alabilece¤i kaç farkl› tam say› oldu¤unu bulal›m.

m(ëA) < 90° ise, b

B

B

örnek soru ABC bir üçgen

A

x, 5 ten büyük ve 25 ten küçük oldu¤una göre, x in alabilece¤i 25 — 5 — 1 = 19 farkl› tam say› vard›r.

|AB| = 6 cm 6

8

|AC| = 8 cm

örnek soru

|BC| = x B

ABC dik üçgen

A

[BA] ⊥ [AC]

C

x

m(ëëA) > 90° oldu¤una göre, x in alabilece¤i kaç farkl› tam say› oldu¤unu bulal›m.

çözüm

Üçgen eflitsizli¤ine göre, 8 — 6 < x < 8 + 6 ⇒ 2 < x < 14 olur. 2

2

m(ëA) > 90° oldu¤undan x > 8 + 6

2

⇒ x > 100 x > 10 olur. 2

D

B

|BD| = 12 cm

9

12 x

|DC| = 9 C

Yukar›daki verilere göre, |BC| = x in alabilece¤i farkl› tam say› de¤erlerini bulal›m.

Bu durumda x in alabilece¤i tam say› de¤erleri 11, 12, 13 oldu¤undan 3 tanedir.

107

AÇI - KENAR BA⁄INTILARI

[AH] ⊥ [BC] olacak flekilde [AH] çizilirse, ABH dik üçgeni 45° — 45° — 90° üçgeni olur.

çözüm

|AB| = 4ñ2 cm oldu¤undan, |AH| = |BH| = 4 cm olur.

A

Bu durumda |HC| = 7 — 4 = 3 cm dir.

D 12

9

90° + a

a

Oluflan AHC dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa, x = 5 cm bulunur. (3 - 4 - 5 üçgeni).

x

B

C

‹lk önce DBC üçgeninde üçgen eflitsizli¤ini uygulayal›m.

Ancak m(ABªC) > 45° verildi¤ine göre, x > 5 cm dir. Bu durumda x in alabilece¤i en küçük tam say› de¤eri 6 cm dir.

12 – 9 < x < 12 + 9 3 < x < 21 m(AéBD) = a al›n›rsa m(BéDC) = 90° + a olur. (iki iç aç›n›n toplam› kendilerine komflu olmayan d›fl aç›ya eflittir.)

örnek soru

|AC| = |BC|

m(BéDC) > 90° büyük oldu¤un için, 2

2

x > 12 + 9

ABC bir ikizkenar üçgen

A

6

2

|AB| = 6 cm

2

m(ACªB) < 60°

x > 144 + 81 2

x > 225

B

x > 15

Yukar›daki verilere göre, ABC üçgeninin çevresinin en küçük tam say› de¤eri kaç cm dir?

Sonuç olarak 15 < x < 21 olur. x; 16, 17, 18, 19, 20 olabilir.

C

çözüm örnek soru

α

ABC bir üçgen

A

m(ABªC) > 45°

4ñ2

|AB| = 4ñ2 cm

x

7

B

C

Yukar›daki verilere göre, |AC| = x in alabilece¤i en küçük tam say› de¤eri kaç cm dir?

çözüm m(ABªC) > 45° verilmifl. Ancak biz m(ABªC) = 45° iken, |AC| = x in kaç cm olaca¤›n› bulal›m.

108

4

α x

θ < 60° oldu¤undan θ

2α > 120°

C

α > 60° olur.

Bu durumda α > θ dolay›s›yla x > 6 cm olur. Burada |AC| ve |BC| uzunluklar›n›n tam say› olma koflulu olmad›¤› için x e 7 veremeyiz. Çevre(ABC) = (2x + 6) cm oldu¤undan, x > 6 eflitsizli¤inin her iki taraf›n› 2 ile çarp›p 6 eklersek,

2x + 6 > 18 yani,

45° 4

x

Çevre(ABC) > 18 elde edilir.

45° B

|AC| = |BC| = x olsun.

2x > 12

A 4ñ2

m(Cª) = θ, ayr›ca, x

6

|BC| = 7 cm B

m(Aª) = m(Bª) = α ve

A

H

3

C

Buna göre, ABC üçgeninin çevresinin en küçük tam say› de¤eri 19 cm dir.

AÇI - KENAR BA⁄INTILARI

Özellik

örnek soru A

α

10 B B

ABC bir üçgen

A

D

C

ABC üçgeninde [AD] kenarortay olmak üzere, m(Aª) = 90° ise, |AD| = |BD| = |DC|

6

x

|AB| = 10 cm |AC| = 6 cm

C

m(BAªC) = α

Yukar›daki flekilde, α > 110° oldu¤una göre, |BC| = x in alabilece¤i en küçük tam say› de¤eri kaç cm dir?

m(Aª) = 90° ise, |AD| < |BD| m(Aª) = 90° ise, |AD| > |BD|

çözüm H

örnek soru

5 ABC bir üçgen

A

[BD] ve [CD] aç›ortay

B

D

|BE| = |EC|

3

|DE| = 3 cm C

E

Yukar›daki verilere göre, |BC| nin en küçük tam say› de¤eri kaç cm dir?

çözüm

A 60° 120°

5ñ3 30° B

6

x

C

Önce α = 120° oldu¤u durumdaki |BC| uzunlu¤unu bulal›m. [BH] ⊥ [HC] olacak flekilde [BH] ve [HA] çizilip HBC dik üçgeni oluflturulursa, HBA dik üçgeni 30° - 60° - 90° üçgeni olur. |AB| = 10 cm oldu¤undan |HA| = 5 cm ve |BH| = 5ñ3 cm olur.

A

HBC dik üçgeninde pisagor ba¤›nt›s› uygulan›rsa, 2

2

2

|BC| = |BH| + |HC| yani D

2

3 B

x

2

x = (5ñ3) + 11

2

2

x = 75 + 121 E

x

C

2

x = 196

|BE| = |EC| = x al›rsak, |BC| = 2x olur.

x = 14 cm olur.

[BD] ve [CD] aç›ortay oldu¤undan

Ancak, soruda A aç›s›n›n ölçüsü 120° den büyük verildi¤i için, |BC| > 14 cm olur.

m(BDªC) = 90° +

m(Aª) 2

O halde, x in en küçük tam say› de¤eri 15 cm olur.

oldu¤undan m(BDªC) > 90° dir. BDC üçgeninin D aç›s› genifl aç› oldu¤undan [DE] kenarortay› için |DE| < |BE| yani 3 < x yaz›l›r. Bu durummda 2x > 6 olur. O halde, |BC| = 2x in alabilece¤i en küçük tam say› de¤eri 7 cm dir.

109

BU KONUDA ÖZETLE... Konuların ve Kavramların Özeti 1.

ii)

A

α

c

b

β B

A

θ

a

C

b

B

ABC üçgeninde büyük aç›n›n karfl›s›nda büyük kenar, küçük aç›n›n karfl›s›nda küçük kenar bulunur. Tam tersine, büyük kenar›n karfl›s›nda büyük aç›, küçük kenar›n karfl›s›nda küçük aç› bulunur.

a

C

ABC üçgeninde m(Aª) < 90° ise, 2

2

2

a < b + c dir.

Yani, m(Aª) > m(Bª) > m(Cª) ⇔ a > b > c dir. 2.

α

c

iii)

A α

c

A

b

B

α

a

C

ABC üçgeninde m(Aª) > 90° ise, 2

2

2

a > b + c dir. B

C

ABC üçgeni genifl aç›l› üçgen ise, yani aç›lardan birinin ölçüsü 90° den fazla ise, genifl aç›n›n karfl›s›ndaki kenar, ABC üçgeninin en uzun kenar›d›r.

5.

A

m(Aª) = α > 90° ise, BC kenar› ABC üçgeninin en uzun kenar›d›r.

a |BC|

C) |BC| > |AB| > |AC|

D) |AB| > |AC| > |BC|

C

2x + 1

A) 9

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

E) |AB| > |BC| > |AC|

5. 2.

A

ABC bir üçgen

60°

m(BéAC) = 60°

|BC| = 5 cm

B

x B

| A C | > | A B | o l d u ¤ u n a g ö r e , m ( A é C B ) = x in a la bilece¤i en büyük tam say› de¤eri kaç derecedir? B) 58

3.

C) 59

D) 60

A) 14

6.

|AC| = 4 cm

4

112

x

D) 11

E) 10

fiekilde

x

A

C

|AD| = 3 cm

7

3

4 B

C) 12

D

|AB| = 5 cm 5

B) 13

E) 61

ABC bir üçgen

A

C

5

Yukar›daki verilere göre, Çevre(ABC) nin en küçük t a m s a y › d e ¤ e r i k a ç c m d ir ?

C

A) 57

ABC bir üçgen

A

C

5

|DC| = 7 cm |AB| = 4 cm |BC| = 5 cm

B

Yukar›daki verilere göre, |BC| = x in alabilece¤i en küçük tam say› de¤eri kaç cm dir?

Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , | A C | = x k a ç f a r k l › t a m s a y › d e ¤ e r i a la b i li r ?

A) 1

A) 4

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

AÇI - KENAR BA⁄INTILARI

7.

ABC bir üçgen

A

10.

|AC| = 5 cm x

|AD| = |DC|

4

|BD| = 4 cm

B

C

6

5

D

m(ëC) > m(ëA) B

[AB] ⊥ [BC]

A

|BC| = 6 cm

5

ABC dik üçgen

E x

|EC| = 5 cm

C

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A B | = x i n a l a b i le c e ¤ i k a ç f arkl › t am sa y› de¤e ri var d› r?

Y uka r› da ki ve ri l er e gör e, |A E| = x i n a l abi l ec e¤ i e n k ü ç ü k v e e n b ü y ü k t a m s a y › d e ¤ e r l e r in in t o p l a m › k a ç cm dir?

A) 8

A) 12

B) 7

C) 6

D) 5

E) 4

11. 8.

D

A

62°

58°

C

ABC ve DAC birer üçgen

II.

[AB] ⊥ [BC]

III.

D) |DA|

6 cm 9 cm 10 cm

Buna göre, aflflaa¤›dakilerden hangisi bir üçgen belirtmez ?

E) |AC|

A) I, II ve III

B) I, II ve IV

D) II, III, IV

9.

ABC bir üçgen

A

|AB| = 6 cm |BC| = 4 cm

x

6

12.

4

C

C) I, IV ve V

E) II, IV, V

ABC bir üçgen

A

|AB| = 9 cm x

|BC| = 12 cm

9 B

B

E) 16

Yukar›daki do¤ru parçalar›ndan herhangi üçü seçilip üçgen oluflturulmak isteniyor.

Yukar›daki verilere göre, flfleekildeki en uzun kenar aflflaa¤›dakilerden hangisidir? C) |CD|

D) 15

5 cm

V.

B

B) |BC|

C) 14

3 cm

IV.

m(DéAC) = 58° m(DéCA) = 62°

A) |AB|

I.

B) 13

C

12

ABC üçgeni çeflfliitkenar üçgen oldu¤una göre, |AC| = x i n a la b i l e c e ¤ i k a ç f a r k l › t a m s a y › d e ¤ e r i v a r d ›r ?

m(AéBC) > 90° oldu¤una göre, |AC| = x in alabilece¤i en küçük tam say› de¤eri kaç cm dir?

A) 4

A) 14

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

B) 15

C) 16

D) 17

E) 18

D-C-B / A-D-A / E-D-B / E-B-C

113

GENEL TEKRAR TEST‹ 1.

D, ABC üçgeninin iç bölgesinde bir nokta

A

5

|AB| = |AD| |AC| – |DC| = 5 cm

|AC| = 8 cm

3

4

B

ABC bir üçgen

A

|AB| = 5 cm

8

D

4.

|DB| = 3 cm

x

C

B

|DC| = 4 cm

x

D

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B C | = x i n a l a b il e c e ¤ i ta m say › de¤ erl e ri ni n t opl am › kaç cm di r?

Yukar›daki verilere göre, |BD| = x in en büyük tam s a y › d e ¤ e r i k a ç c m d ir ?

A) 12

A) 7

B) 15

2.

C) 18

D) 21

E) 25

ABC bir üçgen

A 6

x

5.

B) 8

C) 9

B

10

D) 10

E) 11

ABC eflkenar üçgen

A

m(Aª) > 90°

|BC| = 12 cm

|AB| = 6 cm

D, [AC] üzerinde bir nokta

|BC| = 10 cm

D

x

C

|BD| = x

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A C| = x i n a l a b i l e c e ¤ i k a ç f a r k l› t a m s a y › d e ¤ e r i v a r d › r ?

B

A) 3

Yukar›daki verilere göre, x in en küçük tam say› de ¤ e r i k a ç c m d ir ?

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

12

A) 12

3.

D, ABC üçgeninin iç bölgesinde bir nokta

A

x

7

D 3

C

B) 11

C) 12

B) 11

C) 10

E) 14

E) 8

ABC bir dik üçgen [BA] ⊥ [AC]

12

x

|DC| = 5 cm

D) 13

D) 9

A

|DB| = 3 cm

Yukar›daki flfleekilde |AB| ve |BC| uzunluklar› da cm c i n s i n d e n b ir e r t a m s a y › o l d u ¤ u n a g ö r e , | A B | = x i n en büyük de¤eri kaç cm dir? A) 10

6.

C

|AC| = 7 cm

5

B

114

C

m(ABªC) = 45° |AC| = 12 cm

45° B

D

C

Yukar›daki flfleekilde, D, [BC] üzerinde bir nokta ol d u ¤ u n a g ö r e , | A D | = x in a l a b i l e c e ¤ i ta m s a y › d e ¤ e r l e r i n i n to p la m › k a ç c m d i r ? A) 50

B) 45

C) 42

D) 38

E) 30

AÇI - KENAR BA⁄INTILARI

7.

A

ABC bir üçgen

70°

m(BAªC) = 70°

10.

[AH] ⊥ [BC] y

m(BEªC) = 110°

D x E

B

110°

Yukar›daki verilere göre, x in en küçük ve en büyük t a m s a y › d e ¤ e r l e r i n i n t o p la m › k a ç d e r e c e d i r ?

8.

B) 178

C) 180

D) 182

3

[BD] köflegen

5

A) x > y > z

11.

D

y

B

Yukar›daki flfleekilde, |BD| nin alabilece¤i en küçük tam say› de¤erine karflfl››l›k x in alabilece¤i en büyük t am say › d e¤er i k aç c m di r?

9.

C) 7

D) 8

D B

x

C

|DC| = 12 cm

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

z

C

B) z > x D) |AB| = z

12.

C) y > z E) |AC| = x

A

ABC bir üçgen

3α

m(Aª) = 3α m(Cª) = α

α

|BD| = 5 cm

Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , | B C | = x in a l a b i l e c e ¤ i k a ç f arkl › t am sa y› de¤e ri var d› r? A) 3

A) y > x

[BA] ⊥ [AC]

12

5

H

E) 9

D, ABC üçgeni içinde bir nokta

A

x

Yukar›daki flfleekilde |BH| = x, |AH| = y ve |HC| = z oldu¤una göre, aflflaa¤›daki ifadelerden hangisi kesinlikle yanl›flfltt›r?

C

B) 6

m(BAªH) < 45° |AC| > |AB|

|DC| = 4 cm |BC| = x

A) 5

ABC bir üçgen [AH] ⊥ [BC]

|AD| = 5 cm

4

x

C) y > x > z

E) z > x > y

A

|AB| = 3 cm B

m(Cª) = 60°

B) x > z > y

D) y > z > x

E) 184

ABCD bir dörtgen

A

x

Yukar›daki flfleekilde, |BH| = x, |AH| = y ve |HC| = z oldu¤una göre, aflflaa¤›daki s›ralamalardan hangisi do¤ rudur?

C

A) 176

m(Bª) = 35°

60° H z C

35°

m(BDªC) = x

B

ABC bir üçgen

A

B

|AB| < |AC| < |BC| C

Yukar›daki flfleekilde verilen ABC üçgeninin tüm aç› l a r › n ›n ö l ç ü s ü t a m s a y › o l d u ¤ u n a g ö r e , A B C a ç › s › n › n ölçüsü en az kaç derece olabilir? A) 37

B) 38

C) 39

D) 40

E) 41

115

AÇI - KENAR BA⁄INTILARI

13.

ABC bir üçgen

A

16.

ABC bir üçgen

A

|AB| = |AC|

|AB| = x + 4 cm x+4

|BC| < |AC|

B

2x

|AC| = 2x

m(ABªC) = α

α

|BC| = 13 cm B

C

14.

B) 66

C) 71

D) 75

A) 9

B) 10

C) 11

17.

b

B

|AB| = 11 cm 11

|BC| = a

a

C

|AC| = x + 5 cm |BC| = 3x – 1 cm

B

|AB| = c

3x – 1

C

x bir tam say›

Yukar›daki verilere göre, aflflaa¤›dakilerden hangisi a, b ve c nin tüm de¤erleri için yanl›flfltt›r?

Yukar›daki flfleekilde, m(Aª) > m(C ª) > m(B ª) oldu¤una g ö r e , Ç e v r e ( A B C ) k a ç c m d ir ?

A) a < c < b

A) 23

B) b < c < a

D) c < a < b

15.

α

B

α, β ve θ ABC üçgeninin d›fl aç›lar›

A

10

18.

C

|AB| = 7 cm |AC| = 5 cm

B) α < θ < β

D) β < θ < α

C) 31

D) 35

E) 39

C) β < α < θ

E) α < β < θ

ABCD bir dörtgen

3

|AB| = |DC| = 3 cm

10

|AD| = 10 cm B

2n + 1

D 3

12

Yukar›daki verilere göre, aflflaa¤›daki s›ralamalardan h a n g is i d o ¤ r u d u r ? A) θ < α < β

B) 27

A

|BC| = 10 cm θ

β

C) b < a < c

E) c < b < a

5

7

116

x+5

|AC| = b

55°

E) 13

ABC bir üçgen

A

m(Cª) = 55° c

D) 12

E) 76

ABC bir üçgen

A

C

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , x i n a l a b i le c e ¤ i k a ç f a r k l› t a m s a y › d e ¤ e r i v a r d ›r ?

Yukar›daki verilere göre, α n›n en küçük tam say› de ¤ e r i k a ç d e r e c e di r ? A) 61

13

|BC| = 12 cm |BD| = (2n + 1) cm n bir tam say›

C Y uka r› da ki ve ri l er e g öre, |B D | k aç cm di r? A) 7

B) 9

C) 10

D) 11

E) 13

AÇI - KENAR BA⁄INTILARI

19.

ABC bir üçgen

A

70°

x

C

B) 9

C) 7

m(AéBC) = 60° |AC| = b

|BD| = 6 cm 60° B

Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , | B C | = x in a l a b i l e c e ¤ i k a ç f arkl › t am sa y› de¤e ri var d› r? A) 11

m(BéAC) = 70° b

c

[BD] kenarortay

B

ABC bir üçgen

A

m(Aª) > 90°

D

6

22.

D) 6

|AB| = c

C

a

|BC| = a Y uka r› da ki v eri l e re gör e, |a – b | + |c – b| – | a – c| i f a desi aflflaa¤›dakilerden hangisine eflfliittir?

E) 5

A) 0

B) a

C) 2a

D) a + b

20.

ABC bir üçgen

A x

75°

|AC| = 4 cm

B

D

C

|AD| = 2 cm

65° B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | AB | = x i n a l a b i l e c e ¤ i t a m say › de¤ erl er i ni n t opl am› k aç cm di r? A) 36

A

[AD] kenarortay

4

2

23.

E) 2a – 2c

B) 28

D) 22

D) 17

C

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , A B C üç ge ni ni n y üks ekl i k leri (ha, hb, h c) aras›ndaki s›ralama aflflaa¤›dakilerden hangisidir?

E) 13

A) ha > hb > hc

B) ha > hc > hb

C) hb > ha > hc

D) hc > hb > ha E) hb > hc > ha

21.

fiekilde,

A

24.

ABC bir üçgen

A

|AB| = 4 cm x

4

|AB| = |AD|

|BC| = 4 cm

5

|AC| = 5 cm

|AC| = x B

4

C

m(ëB) > 60°

Y u k a r › d a k i v e r il e r e g ö r e , x k a ç f a r k l › t a m s a y › d e ¤ e r i alabilir? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

|DC| = 3 cm B

D

3

C

Yukar›daki verilere göre, |AD| nin alabilece¤i kaç farkl› tam say› de¤eri vard›r? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

B-A-D / C-B-E / C-B-A / A-E-D / A-C-B / E-D-D / E-B-A / A-D-A

117

SINAVLARDA SORULAB‹LECEK SORULAR

15

°

1.

A

ABC bir üçgen

65°

m(BéAD) = 15°

4.

A 10

m(DéAC) = 65° 50° B

D

C

m(AéBC) = 50°

A) |AB| = |AC|

B) |AB| = |DC|

C) |AC| > |AD|

D) |AD| > |BD|

x

B

Yukar›daki verilere göre, aflflaa¤›daki ifadelerden hangi si yanl›flfltt›r?

C

6 D ABC üçgeninde ölçüsü en küçük olan aç› A aç›s›, BCD üçgeninde ölçüsü en büyük olan aç› D aç›s›d›r.

E) |AB| > |DC|

|AC| = 10 cm ve |BD| = 6 cm oldu¤una göre, |BC| = x in alabilece¤i tam say›lar›n toplam› kaç cm dir? A) 17

2.

B) 21

C) 24

D) 28

E) 30

Ç e v r e s i 8 c m v e k e n a r u z u n lu k l a r › t a m s a y › o l a n k a ç f a r k l › ü ç g e n ç iz il e b i l ir ? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

5.

ABC bir üçgen

A

m(BéAC) > 90° 6 B

[AD] kenarortay

D

C

|AD| = 6 cm

Yukar›daki verilere göre, |BC| nin en küçük tam sa y › d e ¤ e r i k a ç c m d ir ?

3.

A) 12

A

B) 13

C) 14

D) 15

E) 16

2a – 20° a + 20° B

6.

C

A

Yukar›daki flekilde, A aç›s› genifl aç› olan bir ABC üçgeni verilmifltir.

x

m(A ª) = 2a – 20° ve m(B ª) = a + 20° oldu¤una göre, a n›n de¤er alabilece¤i en genifl aral›k aflflaa¤›dakiler d e n h a n g is id ir ?

C

A) (55, 60)

B) (55, 70) D) (45, 60)

C) (60, 70) E) (45, 70)

d1

d1 // d2 m(AéCB) = m(BéCD) |BC| = 16 cm

16 D

d2

|AC| = x

Yukar›daki verilere göre, x in alabilece¤i en küçük t am say › d e¤er i k aç c m di r? A) 16

E-A-A / C-B-E

118

B

B) 14

C) 12

D) 10

E) 9

KAZANMIfi OLMAMIZ GEREKEN B‹LG‹ ve BECER‹LER

Dik üçgenin kenarortay özelliklerini bilme Üçgenin kenarlar› ile aç›lar› aras›ndaki iliflkiyi bilme Üçgende üçgen eflitsizli¤i kural›n› uygulayabilme Gerekti¤inde pisagor teoremini üçgen eflitsizli¤i ile birlikte kullanabilme

119

05

ÜÇGEN‹N ALANI

Alan kavram› ve üçgensel bölgenin alan› Dik üçgenin alan› dik kenarlar›n çarp›m›n›n yar›s›d›r. Genifl aç›l› üçgenin alan›n› hesaplarken yüksekli¤i görmek marifet ister. Kenar uzunluklar› bilinen ikizkenar üçgenin alan›n› nas›l hesaplar›z? Eflkenar üçgenin alan›n› hesaplarken formül bilmeniz yeterli. Özel aç›l› üçgenlerin alanlar›n› hesaplarken dikme ineriz. Üçgenlerin yükseklikleri ayn› ise, tabanlar› oran› alanlar› oran›d›r.

YÖRÜNGEDEK‹ KAVRAMLAR taban

s. 123

yükseklik s. 123 2

birimkare (br )

s. 123 2

santimetrekare (cm ) 2

s. 123

metrekare (m ) s. 123

122

ÜÇGEN‹N ALANI 5.1

Alan kavram› ve üçgensel bölgenin alan› örnek soru

A

ABC bir üçgen

A

[AH] ⊥ [BC]

4

|BC| = 16 cm B

Alan(ABC) = 40 cm

x

C

H

2

8

Bir üçgenin alan›, bir kenar›n›n uzunlu¤u ile o kenar›na ait yüksekli¤inin çarp›m›n›n yar›s›na eflittir.

B

fiekildeki ABC üçgeninin alan› nur.

Yukar›daki verilere göre, [AH] yüksekli¤inin uzunlu¤unu bulal›m.

| BC | ⋅ | AH | ile bulu2

C

H

fiekilde ABC üçgeninde |BC| = 8 br ve |AH| = 4 br oldu¤una göre, Alan(ABC) =

| BC | ⋅ | AH | 8 ⋅ 4 32 = = = 16 br2 bulunur. 2 2 2

fiekildeki tüm taral› kareleri sayd›¤›m›zda 16 tane birimkare oldu¤unu görürüz. 2

Bir kenar› 1 cm olan karenin alan› 1 cm , bir kenar› 2 1 m olan karenin alan› 1 m dir.

çözüm Alan(ABC) =

| BC | ⋅ | AH | oldu¤una göre, bu eflitlikte 2

verilen de¤erleri yerine yazarsak 40 =

16 ⋅ x ⇒ 40 = 8x ⇒ x = 5 cm bulunur. 2

örnek soru ABC bir üçgen

A

[BH] ⊥ [AC]

2 H

6

B

örnek soru

|AH| = 2 cm

ABC bir üçgen

A

|HC| = 7 cm

7

[FE] ⊥ [AB]

[FD] ⊥ [AC]

|BH| = 6 cm C

Yukar›daki verilere göre, ABC üçgeninin alan›n› bulal›m.

E B

çözüm fiekildeki ABC üçgenine ait [AC] kenar›n›n uzunlu¤u

|AB| = 8 cm

D

|AC| = 10 cm

5

|FE| = 3 cm

3 F

C

|FD| = 5 cm

Yukar›daki verilere göre, ABC üçgeninin alan›n›n 2 kaç cm oldu¤unu bulal›m.

ve [AC] kenar›na ait yükseklik verildi¤ine göre, Alan(ABC) =

| AC | ⋅ | BH | 9 ⋅ 6 54 = = = 27 cm2 bulunur. 2 2 2

123

ÜÇGEN‹N ALANI

örnek soru

çözüm

[AH] ⊥ [BC] [CD] ⊥ [AB]

D

10 D

8

E

ABC bir üçgen

A

A

|BC| = 15 cm |AH| = 6 cm

5

|AB| = 9 cm

3

B

B

C

F

[AF] do¤ru parças›n› çizersek ABC üçgenini iki üçgene ay›rabiliriz. ABF üçgeni ile AFC üçgenlerinin alanlar› toplam› ABC üçgeninin alan›na eflittir. Buna göre, Alan(ABC) = Alan(ABF) + Alan(AFC) | AB | ⋅ | FE | | AC | ⋅ | FD | + 2 2 8 ⋅ 3 10 ⋅ 5 Alan(ABC) = + = 12 + 25 = 37 cm2 2 2 Alan(ABC) =

C

H

Yukar›daki verilere göre, |CD| nin kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm

ABC üçgeninin alan› | BC | ⋅ | AH | ile ya da | AB | ⋅ | CD | 2 2 ile bulunabilir.

Buna göre, | BC | ⋅ | AH | = | AB | ⋅ | CD | 2

bulunur.

2 15 ⋅ 6 9⋅ | CD | = 2 2 90 9⋅ | CD | = 2 2 90 = 9⋅ | CD | ⇒ | CD | = 10 cm

bulunur. Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 1, 2, 3 nolu sorular› hemen çözelim.

5.2

Dik üçgenin alan› dik kenarlar›n çarp›m›n›n yar›s›d›r. çözüm

A

Pisagor teoremini kullanarak önce |AB| uzunlu¤unu bulal›m. 2

2

|BC| = |AB| + |AC| B

2

2

|AB| = 5 cm bulunur. ABC dik üçgeninin 5 — 12 — 13 üçgeni oldu¤unu bafltan fark ettiyseniz, pisagor teoremini kullanman›za gerek yok.

örnek soru ABC bir dik üçgen

A

[BA] ⊥ [AC]

12

|AC| = 12 cm |BC| = 13 cm

124

2

|AB| = 25

narlar oldu¤una göre, ABC üçgeninin alan›

13

2

169 = |AB| + 144

Yukar›daki ABC dik üçgeninde [AB] ile [AC] dik ke-

B

⇒ 13 = |AB| + 12 2

C

| AB | ⋅ | AC | ile bulunur. 2

2

C

Yukar›daki verilere göre, ABC üçgeninin alan›n›n 2 kaç cm oldu¤unu bulal›m.

Dik üçgenin alan›, dik kenarlar çarp›m›n›n yar›s› oldu¤una göre, Alan(ABC) = bulunur.

| AB | ⋅ | AC | 5 ⋅ 12 60 = = = 30 cm2 2 2 2

ÜÇGEN‹N ALANI

örnek soru

çözüm ABC bir üçgen

A

[BA] ⊥ [AC]

10

5

A

[AH] ⊥ [BC]

x

|AB| = 5 cm B

C

H

|AC| = 10 cm

Yukar›daki verilere göre, |AH| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

B

60°

30° 4 3

| AB | ⋅ | AC | | BC | ⋅ | AH | ile ya da ile bulu2 2

nabilir.

Buna göre, | AB | ⋅ | AC | = | BC | ⋅ | AH | eflitli¤i yaz›l›r. 2

Buna göre, ABC üçgeni 30° — 60° — 90° üçgenidir. 90° nin karfl›s› |BC| = 4ñ3 cm oldu¤undan, 30° nin kar4 3 = 2 3 cm ve 60° nin karfl›s› fl›s› | AB | = 2

2

O halde Alan(ABC) = | AB | ⋅ | AC | = 2 3 ⋅ 6 2 2 12 3 = = 6 3 cm2 bulunur. 2

örnek soru

2

|BC| = |AB| + |AC|

2

⇒ |BC| = 5 + 10 2

2

ABC bir dik üçgen

A

Bu eflitli¤i kullanabilmek için önce pisagor teoremiyle |BC| uzunlu¤unu hesaplamal›y›z. 2

C

|AC| = 2ñ3. ñ3 = 6 cm olur.

çözüm Alan(ABC),

6

2 3

ABC dik üçgeninde m(AéBC) = 60° oldu¤undan m(AéCB) = 30° olur.

[BA] ⊥ [AC]

2

|AB| = |AC|

2

|BC| = 25 + 100

|BC| = 125 ⇒ |BC| = ó125

|BC| = 12 cm

2

|BC| = 5ñ5 cm olur.

| AB | ⋅ | AC | | BC | ⋅ | AH | eflitli¤inde bilinen de¤erleri = 2 2 yerine yazarsak 5 ⋅ 10 5 5 ⋅ x = ⇒ 10 = 5 ⋅ x 2 2 10 10 5 x= = = 2 5 cm bulunur. 5 5

B

Yukar›daki verilere göre, ABC üçgeninin alan›n›n 2 kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm A 45° 45° 6

B

örnek soru ABC bir dik üçgen

A

[BA] ⊥ [AC]

m(AéBC) = 60° B

|BC| = 4ñ3 cm

60° 4 3

C

Yukar›daki verilere göre, ABC üçgeninin alan›n›n 2 kaç cm oldu¤unu bulal›m.

C

12

45°

45° 6

H

6

C

|AB| = |AC| oldu¤undan ABC dik üçgeni ikizkenar dik üçgendir. O halde m(ëB) = m(ëC) = 45° dir. ‹kizkenar üçgende tabana inen yükseklik, hem aç›ortay hem de kenarortay oldu¤undan [AH] ⊥ [BC] olacak flekilde [AH] çizilirse,

m(BéAH) = m(HéAC) = 45° olur. Bu durumda |AH| = |BH| = |HC| = 6 cm olur. O halde, Alan(ABC) = bulunur.

| BC | ⋅ | AH | 12 ⋅ 6 = = 36 cm2 2 2

125

ÜÇGEN‹N ALANI

örnek soru

çözüm ABC bir dik üçgen

A

[BA] ⊥ [AC]

3

B

[AH] ⊥ [BC]

1

C

H

3

h 2 2

|AB| = 3 cm |BH| = 1 cm

Yukar›daki verilere göre, ABC üçgeninin alan›n›n 2 kaç cm oldu¤unu bulal›m.

[BA] ⊥ [AC] ve [AH] ⊥ [BC] oldu¤undan üçgenin bilinmeyen uzunluklar›n› bulmak için öklid ba¤›nt›C lar›n› kullan›r›z.

A

1

B

x 8

H

|AB| = |BH|. |BC| oldu¤undan 2

3 = 1.(1 + x) ⇒ 9 = 1 + x ⇒ x = 8 cm olur. 2

|AH| = h olsun. |AH| = |BH|. |HC| oldu¤undan 2

h = 1. 8 ⇒ h = 2ñ2 cm olur. 2

O halde, Alan(ABC) =

| BC | ⋅ | AH | 9 ⋅ 2 2 = = 9 2 cm2 2 2

bulunur. Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 4, 5, 6, 9, 10 nolu sorular› hemen çözelim.

5.3

Genifl aç›l› üçgenin alan›n› hesaplarken yüksekli¤i görmek marifet ister. örnek soru

A

ABC bir dik üçgen

A

[AB] ⊥ [BC]

8 B

C

ABC üçgeninin C aç›s›n›n ölçüsü 90° den büyük oldu¤u için ABC üçgeni genifl aç›l› üçgendir. Genifl aç›l› üçgenlerde, genifl aç›y› oluflturan kenarlara ait yükseklikler üçgenin d›fl bölgesinde kal›r. Yukar›daki flekilde, A noktas›ndan [BC] kenar› üzerindeki noktalara yükseklik çizilemez. (Çünkü çizilen tüm do¤ru parçalar› BC kenar› ile 90° lik aç› oluflturmaz). Ancak BC kenar› (flekildeki gibi sa¤a do¤ru) uzat›l›rsa [AH] yüksekli¤i BC kenar›na ait yükseklik olur. Buna göre ABC üçgeninin alan› | BC | ⋅ | AH | ile bu2 lunur.

AC kenar›na ait yüksekli¤i çizmek isterseniz, AC yi uzat›p B noktas›ndan AC nin uzant›s›na dikme inebilirsiniz.

126

|AB| = 8 cm

H

|DC| = 5 cm B

D

5

C

Yukar›daki verilere göre, ADC üçgeninin alan›n›n 2 kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm ADC üçgeninin D aç›s› genifl aç› oldu¤undan [DC] kenar›na ait yükseklik [AB] dir. | DC | ⋅ | AB | 5 ⋅ 8 Buna göre, Alan(ADC) = = = 20 cm2 2 2 bulunur.

ÜÇGEN‹N ALANI

örnek soru

çözüm

[BA] ⊥ [AC]

D

x

Genifl aç›l› DBC üçgeninin [DC] kenar›na ait yükseklik [AB] oldu¤undan

ABC bir dik üçgen

A

12

Alan(DBC) =

|DC| = 12 cm

B

| DC | ⋅ | AB | 12 ⋅ x ⇒ 48 = 2 2

48 = 6x x = 8 cm bulunur.

C 2

Alan(DBC) = 48 cm oldu¤una göre, |AB| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m. Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 8 / Genel Tekrar Testi 2, 4 nolu sorular› hemen çözelim.

5.4

Kenar uzunluklar› bilinen ikizkenar üçgenin alan›n› nas›l hesaplar›z? A

çözüm

A

A x

x

B

x

C

a

a 2

B

x

h

5 13

a 2 H

örnek soru ABC ikizkenar üçgen

B

C

13

|AC| = 10 cm oldu¤undan |AH| = |HC| = 5 cm olur. BHC dik üçgeninde |BC| = 13 cm ve |HC| = 5 cm oldu¤undan |BH| = 12 cm olur. (5 — 12 — 13 üçgeni) | AC | ⋅ | BH | 10 ⋅ 12 O halde, Alan(ABC) = = = 60 cm2 2 2 bulunur.

|AB| = |BC| = 13 cm

13

B

5

C

Kenar uzunluklar› |AB| = |AC| = x ve |BC| = a olan ikizkenar üçgenin alan› bulunurken farkl› uzunluktaki kenara ait yükseklik çizilir. fiekilde |BC| = a uzunlu¤u di¤er kenarlardan farkl› oldu¤undan [BC] ye ait [AH] yüksekli¤i çizilir. |AH| = h yi bulmak için AHC dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›r.

A

H

12

[AC] kenar› farkl› uzunlukta oldu¤u için, bu kenara ait [BH] yüksekli¤i çizilirse, [BH] ayn› zamanda kenarortay olur.

10

|AC| = 10 cm

C

13

Yukar›daki verilere göre, ABC üçgeninin alan›n›n 2 kaç cm oldu¤unu bulal›m. Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 12 / Kavrama Testi 2 10 / Genel Tekrar Testi 12 nolu sorular› hemen çözelim.

5.5

Eflkenar üçgenin alan›n› hesaplarken formül bilmeniz yeterli.

bir kenar›n›n karesinin ñ3 kat›n›n 4 e bölümüne

A

2 eflittir. Buna göre, Alan(ABC) = a ⋅ 3 tür.

4

a

a

örnek soru B

a

C

Kenar uzunluklar› a cm olan eflkenar üçgenin alan›

2

Alan› 16ñ3 cm olan eflkenar üçgenin çevre uzunlu¤unun kaç cm oldu¤unu bulal›m.

127

ÜÇGEN‹N ALANI

Buna göre,

çözüm 2

Alan› 16ñ3 cm olan eflkenar üçgenin bir kenar uzunlu¤u a cm olsun.

a2 ⋅ 3 a2 = 16 3 ⇒ = 16 ⇒ a2 = 64 ⇒ a = 8 cm olur. 4 4 Bir kenar uzunlu¤u a = 8 cm olan eflkenar üçgenin çevresi 3. a = 3. 8 = 24 cm bulunur.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Genel Tekrar Testi 16 nolu sorular› hemen çözelim.

5.6

Özel aç›l› üçgenlerin alanlar›n› hesaplarken dikme ineriz. Özel aç›l› bir üçgenin alan› hesaplan›rken afla¤›da verilen sinüslü formülü kullanabilece¤imiz gibi, bilinen kenarlardan birine ait yüksekli¤i hesaplayarak da alan› bulabilirsiniz.

çözüm Sinüslü alan formülünü uygularsak,

P. |AB|. |AC|. sin30° = P. 8. 6. P = 12 cm bulunur.

Alan(ABC) =

A

2

α

Bu formülü kullanmadan afla¤›daki yolla da çözebiliriz.

c

b

[CH] ⊥ [AB] olacak flekilde

A

[CH] yi çizersek, AHC üçgeni C

30°

B

m(BéAC) = α, |AB| = c ve |AC| = b ise, Alan(ABC) =

P

. c. b. sinα ile bulunur.

P sin45° = sin135° = ß sin60° = sin120° = ¶ örnek soru

du¤undan 30° nin karfl›s› 6 |HC| = = 3 cm olur. 2

H

3 C

B

O halde Alan(ABC) = nur.

| AB | ⋅ | CH | 8 ⋅ 3 = = 12 cm2 bulu2 2

örnek soru ABC bir üçgen

A

A

m(BéAC) = 30° 30°

90° nin karfl›s› |AC| = 6 cm ol-

8

Bu formülde kullanaca¤›n›z sinüs de¤erleri afla¤›da verilmifltir. sin30° = sin150° =

30° — 60° — 90° üçgeni olur. 6

6

|AB| = 8 cm 6

|AC| = 6 cm

8

135°

B

5 2 C

ABC bir üçgen m(BéAC) = 135° C

B

Yukar›daki verilere göre, ABC üçgeninin alan›n›n 2 kaç cm oldu¤unu bulal›m.

128

|AB| = 6 cm ve |AC| = 5ñ2 cm Yukar›daki verilere göre, ABC üçgeninin alan›n›n 2 kaç cm oldu¤unu bulal›m.

ÜÇGEN‹N ALANI

örnek soru

çözüm

P. |AB|. |AC|. sin135° = P. 6. 5ñ2. ß = 15 cm

ABC bir üçgen

A

Sinüslü alan formülünü kullanarak hesaplarsak,

|AB| = 8 cm

Alan(ABC) =

2

8

bulunur.

10

|AC| = 10 cm

Formül kullanmadan afla¤›daki gibi de çözebilirsiniz. B

H A 6

45°

135°

Yukar›daki verilere göre, ABC üçgeninin alan› en 2 fazla kaç cm olabilir?

5

5 2

B

C

çözüm

C

A

m(BéAC) = 135° > 90° oldu¤undan ABC genifl aç›l› üçgendir. Bu durumdan [AB] kenar›na ait yükseklik üçgenin d›fl›ndaki [CH] do¤ru parças›d›r.

α

8

10

m(BéAC) = 135° oldu¤undan m(HéAC) = 45° olur. AHC dik üçgeni 45° — 45° — 90° üçgeni oldu¤undan 90° nin karfl›s› |AC| = 5ñ2 iken 45° nin karfl›s› 5 2 | CH | = = 5 cm olur. 2 O halde Alan(ABC) = lunur.

| AB | ⋅ | CH | 6 ⋅ 5 = = 15 cm2 bu2 2

B

C

m(BÿAC) = x olsun. α n›n de¤eri 90° ye yaklaflt›kça ABC üçgeninin alan› artar, 90° den uzaklaflt›kça ABC üçgeninin alan› azal›r.

α = 90° oldu¤unda Alan(ABC) en büyük de¤erini al›r.

α = 90° iken Alan(ABC) =

8 ⋅ 10 = 40 cm2 dir. 2

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Genel Tekrar Testi 9 nolu sorular› hemen çözelim.

5.7

Üçgenlerin yükseklikleri ayn› ise, tabanlar› oran› alanlar› oran›d›r. ‹ki üçgenin yükseklikleri eflit ise bu üçgenlerin alanlar› oran› tabanlar› oran›na eflittir. A

örnek soru ABC bir üçgen

A

d1

|BD| = 2 cm |DC| = 8 cm

h

B

x

h

C

y

D

d2

d1 // d2 oldu¤undan ABC ve ACD üçgenlerinin yükseklikleri eflittir ve h birimdir. x⋅h Alan(ABC) x Bu durumda, dir. = 2 = Alan(ACD) y.h y 2

B

2

D

C

8

2

Yukar›daki flekilde ABD üçgeninin alan› 6 cm 2 oldu¤una göre, ABC üçgeninin alan› kaç cm dir? A) 24

B) 26

C) 28

D) 30

E) 32

(ÖSS – 1998) 129

ÜÇGEN‹N ALANI

örnek soru

çözüm

E

Alan(ABD) 2 1 = = Alan(ADC) 8 4 6

24

2

D

BCD dik üçgen

x

[DC] ⊥ [BC]

olur.

|BC| = 6 cm B

B

ABC eflkenar üçgen,

D

A

|BD| = 2 cm ve |DC| = 8 cm oldu¤una göre,

A

C

8 2

Alan(ABD) = 6 cm verildi¤ine göre, yukar›daki eflitlikte yerine yaz›l›rsa, 6 1 = ⇒ Alan(ADC) = 24 cm2 olur. Alan(ADC) 4

C

6

Taral› bölgelerin alanlar› eflit oldu¤una göre, |DC| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm

Alan(ABC) = Alan(ABD) + Alan(ADC) = 6 + 24 = 30 cm bulunur.

2

A

Cevap: D B

ABC bir dik üçgen

A 10

6

C

D

E B

örnek soru

B

D

A

Bu durumda,

A

x

C

6

[BA] ⊥ [AC]

Alan(ABE) = Alan(DEC) = A olsun.

|BA| = 6 cm

Alan(EBC) = B olsun.

|AC| = 10 cm

Dikkat edilirse Alan(ABC) = Alan(DBC) dir.

|BD| = 2|DC|

62 3 x⋅6 = 4 2

Yukar›daki verilere göre, ABD üçgeninin alan›n›n 2 kaç cm oldu¤unu bulal›m.

9ñ3 = 3x

çözüm

x = 3ñ3 cm bulunur. A

6

B

10 2S

S

2k

D

örnek soru k

6 ⋅ 10 | AB | ⋅ | AC | ⇒ 3S = 2 2 ⇒ 3S = 30

O halde Alan(ABD) = 2. S = 2. 10 = 20 cm bulunur. 2

130

D

|CE| = 4 cm F

3 B

⇒ S = 10 cm2 olur.

|BC| = 2 cm

x

|BD| = 2|DC| ise |DC| = k al›n›rsa, |BD| = 2k olur. Bu durumda, Alan(ADC) = S al›n›rsa, Alan(ABD) = 2S olur. Alan(ABC) =

|DB| = 3 cm

A

C

2

C

4

E

ADF ve FCE üçgenlerinin alanlar› eflit oldu¤una göre, |AD| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

ÜÇGEN‹N ALANI

Kenarortay - Alan ‹liflkisi

çözüm

1.

A

A

x D

S

S

E

F

D S

S

3 B

2

S

E

4

C

S

B

Taral› alanlar eflit oldu¤u için

F

C

Kenarortaylar üçgenin alan›n› birbirine efl befl parçaya böler.

Alan(ABC) = Alan(DBE) dir.

P . 2. (3 + x). sinëB = P . 3. 6. sinëB

Alan(ABC) = 6S

6 + 2x = 18

örnek soru

2x = 12

ABC bir üçgen

A

x = 6 cm bulunur.

[AE] ve [BD] kenarortay 4ñ2

örnek soru ABC ve BCD dik üçgen,

A 4√2 E

B

C

D

|FD| = 2 cm

[AB] ⊥ [AC]

B

[AE] ⊥ [BC]

Yukar›daki verilere göre, Alan(EFDC) kaç cm dir?

[BC] ⊥ [CD]

|BE| = |CD|

E

çözüm A 2ñ2 K

çözüm

S

S 2ñ2 45° 4 A

B

4√2

C

2

Yukar›daki verilere göre, BCD üçgeninin alan›n›n 2 kaç cm oldu¤unu bulal›m.

S

D

2

S

F

S E

C

[AE] ve [BD] kenarortay oldu¤undan F noktas› ABC üçgeninin a¤›rl›k merkezidir. F noktas›ndan geçen [CK] çizilirse, [CK] da kenarortay olur.

Dolay›s›yla |AK| = |BK| = 2ñ2 cm dir. E

B

C

D

Ayr›ca F noktas› a¤›rl›k merkezi oldu¤undan |BF| = 2|FD| = 2. 2 = 4 cm dir. Alan(ABD) =

ABC üçgeninde öklidin dik kenar ba¤›nt›s› uygulan›r. (4ñ2) = |BE|.|BC| ⇒ 32 = |BE|. |BC| 2

DC ⋅ BC

2 |BE| = |CD| oldu¤u için Alan(BCD) =

|AB| = 4ñ2 cm

F

45°

|AB| = 4ñ2 cm

Alan(BCD) =

m(AéBD) = 45°

D

2

BE ⋅ BC 2

dir.

3S =

1 . |BA|. |BD|. sin45° oldu¤undan 2

1 2 ⋅4 2 ⋅6⋅ = 12 cm2 2 2

buradan da S = 4 cm

=

32 = 16 cm2 bulunur. 2

2

bulunur.

O halde, Alan(EFDC) = 2S = 2. 4 = 8 cm dir. 2

131

ÜÇGEN‹N ALANI

2.

G noktas› ABC üçgeninin a¤›rl›k merkezi oldu¤undan

A

Alan(ABG) = Alan(ACG) = Alan(BCG) 2

= 16 + 8 = 24 cm dir.

S

O halde, Alan(ABC) = 3. 24 = 72 cm

S G S

B

C

2

bulunur.

Aç›ortay - Alan ‹liflkisi

G noktas› ABC üçgeninin a¤›rl›k merkezi ise,

A

Alan(ABG) = Alan(ACG) = Alan(BCG) = S olur. örnek soru

F E

G noktas› ABC üçgeninin a¤›rl›k merkezi

A

[BG] ⊥ [GD] G 4

B

|BG| = 8 cm D

Yukar›daki verilere göre, 2 kaç cm dir?

ABC

C

ABD ve ADC üçgenlerinin s›ras›yla [AB] ve [AC] kenarlar›na ait yükseklikler eflit oldu¤undan,

|GD| = 4 cm

C

D

ABC üçgeninde [AD] aç›ortay ise, D noktas›ndan [AB] ve [AC] kenarlar›na indirilen dikmeler eflittir, yani |DE| = |DF| dir.

|BD| = 2|DC|

8

B

üçgeninin alan›

Alan(ABD) | AB | = olur. Alan(ADC) | AC |

örnek soru

çözüm

ABC bir üçgen

A A

[AD] aç›ortay 6

B

16 2k

B

C 2

8 D k

C

çözüm A

4⋅8 = 16 cm2 dir. 2

[AD] aç›ortay 6

B

|BD| = 2k olur.

Buna göre, Alan(GBD) = 2. Alan(GDC) dir.

16

Dolay›s›yla buradan Alan(GDC) = = 8 cm 2 nur.

9 2x

|BD| = 2|DC| oldu¤undan |DC| = k al›rsak,

132

D

Yukar›daki flekilde, Alan(ADC) = 12 cm oldu¤una 2 göre, Alan(ABC) kaç cm dir?

4

GBD dik üçgeninde |BG| = 8 cm ve |GD| = 4 cm oldu¤undan

Alan(GBD) =

|AB| = 6 cm |AC| = 9 cm

24 24 G 8

9

oldu¤undan

3x D

C

Alan(ABD) 6 2 = = Alan(ADC) 9 3

Buna göre, Alan(ABD) = 2x al›rsak, 2

bulu-

Alan(ADC) = 3x olur. 3x = 12 cm 2 x = 4 cm dir.

2

verildi¤ine göre,

O halde, Alan(ABC) = 5x = 5. 4 = 20 cm bulunur. 2

ÜÇGEN‹N ALANI

ABD, ADC ve BDC üçgenlerinin alanlar› s›ras›yla 6, 8, 10 ile orant›l› oldu¤undan Alan(ABD) = 3x al›n›rsa,

Özellik A

Alan(BDC) = 5x ve Alan(ADC) = 4x olur. 2

3x + 4x + 5x = 24 cm ise, D

12x = 24 cm

2

2

x = 2 cm dolay›s›yla B

C

ABC üçgeninde [AD], [BD] ve [CD] aç›ortay ise, ABD, BDC ve ADC üçgenlerinin alanlar› s›ras›yla |AB|, |BC| ve |AC| ile orant›l›d›r.

2

Alan(DBC) = 5x = 10 cm bulunur.

örnek soru A

5

[AB] ⊥ [BC]

D

örnek soru

m(BCªA) = m(ACªD) |AD| = 5 cm

4

[BD], [CD] aç›ortay

45°45° 6

|AD| = 4 cm

ABC bir üçgen

A

ª ) = m(DAC ª ) = 45° m(BAD

8

D

B

7

C

|BC| = 7 cm 2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ADC) kaç cm dir?

|AB| = 6 cm |AC| = 8 cm

B

çözüm

C

E 4

Yukar›daki verilere göre, DBC üçgeninin alan› kaç 2 cm dir?

A

3 5

D

4

çözüm m(BAªC) = 45° + 45° = 90° oldu¤undan ABC üçgeni dik üçgendir. Pisagor teoremi uygulan›rsa, |BC| = 10 cm bulunur. (6 - 8 - 10 üçgeni)

D 4x

EAD üçgeninde pisagor ba¤›nt›s› uygulan›rsa,

8

10

ABC dik üçgen oldu¤undan Alan(ABC) =

C

[CA] aç›ortay oldu¤undan [AE] ⊥ [EC] olacak flekilde [DE] çizilirse,

|AE| = 4 cm bulunur. (3 - 4 - 5 üçgeni)

5x B

7

|CB| = |CE| = 7 cm ise, |ED| = 3 cm dir.

45°45° 3x

B

|CB| = |CE| ve |AE| = |AB| olur.

A

6

4

6⋅8 2 = 24 cm dir. 2

C

O halde, Alan(ADC) = Alan(ADC) =

| DC | ⋅ | AE | yani, 2

4⋅4 2 = 8 cm bulunur. 2

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 2 1, 2, 3, 5, 6 / Genel Tekrar Testi 8, 14 nolu sorular› hemen çözelim.

133

BU KONUDA ÖZETLE... Konuların ve Kavramların Özeti 6. Yükseklikleri ortak olan üçgenlerin alanlar› oran›

1. Üçgensel Bölgenin Alan› A

A

c

A(ABD) x = A(ADC) y

b x

B B

H

A(ABC) =

2

=

b ⋅ hb 2

=

7. Tabanlar› ortak olan üçgenlerin alanlar› oran›

c ⋅ hc

D

2

A(ABC) =

A

| AB | ⋅ | BC | 2 B

B

A(ABD) | AH | = A(ADC) | DK |

A

2. Dik Üçgenin Alan› Dik Kenarlar›n Çarp›m›n›n Yar›s›na Eflittir

H

C

8.

C

A

A(ABC) =

a ⋅ ha 2

=

K

G, ABC üçgeninin a¤›rl›k merkezi ise,

A

3. Genifl aç›l› üçgenin alan›

ha

S

c ⋅ hc

S

G

2

S

c

B C

a

B

C

A(GBC) = A(GCA) = A(GAB) = S

hc

9.

4. Eflkenar üçgenin alan›

S

a2 ⋅ 3 A(ABC) = 4

a

S G

S S

B

a

B

10.

A

B

134

S S C

C

5. Sinüslü alan formülü

c

Kenarortaylar ABC üçgeninin alan›n› 6 eflit parçaya ay›r›r.

A

A

a

C

C

a

a ⋅ ha

y

D

α

A(ABC) =

C

C

C

d1

b⋅c ⋅ sin α 2

b

C

A

B

d1 // d2 ise Alan(ABC) de¤iflmez.

Çünkü taban sabit, yükseklik ise ded2 ¤iflmiyor.

Ö⁄REND‹KLER‹M‹Z‹ TEST EDEL‹M Kavrama Testi 1 Kavrama Testi 2

( 5.1 - 5.6 ) ( 5.1 - 5.7 )

Genel Tekrar Testi

( 5.1 - 5.7 )

S›navlarda (ÖSS-ÖYS-YGS-LYS) Sorulmufl Sorular S›navlarda Sorulabilecek Sorular

135

KAVRAMA TEST‹ 1.

4.

ABC bir üçgen

A

1 ABC dik üçgen

A

[AD] ⊥ [BC]

[AB] ⊥ [BC] 15

|AD| = 10 cm 10

|BC| = 8 cm

|BC| = 12 cm B

B

|AC| = 15 cm

C

D 8

C

12

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABC) kaç cm dir? A) 36

2

B) 45

C) 48

D) 54

E) 60

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABC) kaç cm dir? A) 20

B) 25

2.

C) 40

D) 64

E) 80

5.

ABC bir üçgen

A

ABC bir üçgen

A

[AD] ⊥ [BC]

[AD] ⊥ [BC] 12

B

Alan(ABC) = 60 cm

|DC| = 3 cm

2

|BD| = 6 cm B

C

D

|AC| = 5 cm

5

|AD| = 12 cm

D

6

C

3

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | BC | k a ç c m d i r ?

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABC) kaç cm dir?

A) 10

A) 36

B) 9

3.

C) 6

A

D) 5

E) 4

B) 30

C) 24

D) 18

[CD] ⊥ [AB]

6.

ABC dik üçgen

A

|BC| = 9 cm

[BA] ⊥ [AC]

3

|AC| = 3 cm

|AE| = 12 cm B

E

C |DC| = 8 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | AB | k a ç c m d i r ? 27 33 A) 9 B) C) 15 D) E) 18 2 2

136

E) 12

ABC bir üçgen [AE] ⊥ [BC]

D

2

B

C

x 2

A l a n( A B C ) = 9 c m o l d u ¤ u n a g ö r e , | B C | = x k a ç c m dir? A) 3ñ2

B) 3ñ3

C) 6

D) 2ò10 E) 3ñ5

ÜÇGEN‹N ALANI

7.

ABC bir üçgen,

A

10.

A

|AB| = |DC| |BD| = 1 cm

5

6

|AC| = 5 cm B

1

B

C

D

B) 3,5

C) 4

D) 4,5

C

D

ABC dik üçgen

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ADC) kaç cm dir? A) 3

2

[BA] ⊥ [AC], [AD] ⊥ [BC]

E) 5

|AD| = 6 cm ve |BD| = 2 cm 2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABC) kaç cm dir? A) 36

8.

B) 48

C) 54

D) 60

E) 66

ABC bir üçgen

A

[AD] ⊥ [BD] 9

|AD| = 9 cm

11.

1

|BC| = 8 cm B

8

[AB] ⊥ [BC]

D

[BD] ⊥ [AC]

3

D

C

ABC bir üçgen

A

|AD| = 1 cm

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABC) kaç cm dir? A) 72

B) 54

C) 48

D) 45

B

E) 36

C

|AB| = 3 cm 2

Yukar›daki verilere göre, Alan(DBC) kaç cm dir? A) 8

9.

ABC dik üçgen

A

B) 9

12.

C) 8ñ2

E) 8ñ3

ABC ikizkenar üçgen

A

[AB] ⊥ [BC]

|AB| = |AC| = 17 cm

|AD| = |DC|

D

D) 9ñ2

17

|BC| = 16 cm

17

|BD| = 5 cm 5 B

|BC| = 8 cm 8

B

C 2

C

16

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABC) kaç cm dir?

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABC) kaç cm dir?

A) 12

A) 120

B) 18

C) 24

D) 36

E) 48

B) 135

C) 150

D) 160

E) 180

C-A-B / D-D-E / D-E-C / D-C-A

137

KAVRAMA TEST‹ 1.

ABC bir üçgen

A 5

C

D

|BD| = |DC|

[AB] ⊥ [BC]

|AB| = 5 cm

|AD| = |DC|

m(AéCB) = 60°

|AC| = 8 cm 60°

Yukar›daki verilere göre, Alan(ADC) kaç cm dir? B) 15

[AD] ⊥ [DC]

D

2

A) 10

ADC ikizkenar dik üçgen

A

[BA] ⊥ [AC]

8

B

4.

2

C) 20

D) 32

B

2

|BC| = 2 cm

C

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ACD) kaç cm dir?

E) 40

A) 4

B) 6

C) 8

D) 9

2.

ABC bir üçgen

A

E) 2(ñ3 + 2)

5.

ABC bir üçgen

A

|DC| = 2|BD|

6

[DA] ⊥ [AC]

8 B

B

C

D

5

C

D

|AC| = 6 cm

2

|BD| = 5 cm

A l a n (A B C ) = 3 6 c m o ld u ¤ u n a g ö r e , A l a n (A B D ) k a ç 2 cm dir?

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABD) kaç cm dir?

A) 6

A) 8

B) 9

C) 12

D) 18

2

E) 24

6. 3.

A

E

B

C

D

B) 12

C) 16

D) 20

E) 24

ABC bir üçgen

A

ABC bir üçgen

Alan(ADC) = 12 cm

[DE] ⊥ [AC]

5|DC| = 3|BD|

|BD| = |DC|

5

12

|AC| = 12 cm |DE| = 5 cm 2

138

|AD| = 8 cm

B

C

D

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABD) kaç cm dir?

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABC) kaç cm dir?

A) 60

A) 40

B) 54

C) 48

D) 36

E) 30

B) 32

C) 28

D) 24

E) 18

2

ÜÇGEN‹N ALANI

7.

fiekilde,

A 6 B

9

H

C

10.

|AH| = 6 cm

[BA] ⊥ [AC]

|HC| = 9 cm

|AB| = |AC|

[BA] ⊥ [AD]

D

B

|BH| = |CD|

8.

B) 15

C) 12

m(BéAD) = 30°

30°

A) 8

[BA] ⊥ [AC]

[AD] ⊥ [BC]

C) 22,5

D) 15

[AB] ⊥ [BC]

60°

A) 6

B) 8

12.

|AB| = 4 cm

B

E) 16

[AD] ⊥ [BC]

m(AéCB) = 30°

30° 6

D) 12

ABC bir üçgen

10

|BC| = 6 cm 6

C) 10

A

m(BéAC) = 60°

C

C

2

E) 7,5

ABC dik üçgen

A

D

Yukar›daki verilere göre, Alan(EBC) kaç cm dir?

2

B

ABC dik üçgen

E

B

C

B) 30

E) 24

|BD| = |ED|

Yukar›daki verilere göre, Alan(ADC) kaç cm dir?

9.

D) 20

|AD| = 10 cm

D

A) 36

C) 16

A

4

|BD| = 2|DC| B

B) 12

11.

|AB| = 12 cm

10

|BC| = 8 cm 2

E) 9

ABC bir üçgen

A

12

D) 10

C

8

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABC) kaç cm dir?

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ACD) kaç cm dir? A) 18

ABC dik üçgen

A

D

C |AB| = 10 cm

|BD| = 6 cm 2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABC) kaç cm dir?

Yukar›daki verilere göre, Alan(ADC) kaç cm dir?

A) 6

A) 16ñ3

B) 12

C) 6ñ3

D) 12ñ3 E) 18ñ3

2

B) 20ñ3 C) 24ñ3

D) 28ñ3 E) 32ñ3

A-C-E / A-B-B / E-D-C / C-B-E

139

GENEL TEKRAR TEST‹ 1.

ABC bir üçgen

A

4.

[AD] ⊥ [DC]

x

B

C

x

C) 9

2.

D) 10

C

B

12

A l a n (E B C ) = 4 5 c m o l d u ¤ u n a g ö r e , | A B | = x k a ç c m dir? A) 18

5.

B) 10

B

|BH| = 12 cm 8

|HC| = 8 cm

C

C) 12

D) 15

[CD] ⊥ [AB]

60°

C

8

D

12

C

[BA] ⊥ [AD] |AB| = |AD|, |BD| = 12 cm ve |AC| = 10 cm 2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ADC) kaç cm dir? B) 6

C) 9

6.

D) 12

[BA] ⊥ [AC]

5 3

E) 15

ABC bir dik üçgen

A

m(AéBC) = 60°

7

|AC| = 7 cm B

E) 12

ABC bir üçgen

E) 20

ABC bir üçgen

A D

D) 13

A

A) 3

3.

C) 15

10

S1 ve S 2 içinde bulunduklar› bölgelerin alanlar›n› 2 gösterdi¤ine göre, S1 – S2 fark› kaç cm dir? A) 5

B) 16

|AD| = 5 cm

S2

H

|AE| = 9 cm |DC| = 6 cm

[AH] ⊥ [BC]

5 D

[BD] ⊥ [DC]

2

E) 12

ABC bir üçgen

A

S1

[BA] ⊥ [AC]

6

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B C| = x k a ç c m d i r ? B) 8

E

|BE| = 4 cm |AD| = 6 cm

A) 6

D

45

|AC| = 12 cm

4 D

9

[BE] ⊥ [AC]

E

6

ABC ve DBC dik üçgen

A

[DE] ⊥ [EA]

D

B

C

E

|BC| = 8 cm

|BE| = |EC| |BD| = 3 cm |DA| = 5 cm

2

140

Yukar›daki verilere göre, Alan(ADC) kaç cm dir?

Yukar›daki verilere göre, Alan(DEA) kaç cm dir?

A) 2ñ3

A) 10

B) 6

C) 4ñ3

D) 8

E) 8ñ3

2

B) 8

C) 6

D) 5

E) 4

ÜÇGEN‹N ALANI

7.

ABCD bir dörtgen

D

3

A

10.

ABC bir üçgen

A

[AD] ⊥ [DC] 4

5

[AB] ⊥ [BC] 15

|AD| = 3 cm

[AD] aç›ortay

|DC| = 4 cm B

C

8

|BD| = 4 cm

|AB| = 5 cm

B

|BC| = 8 cm

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ADC) kaç cm dir?

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABCD) kaç cm dir? A) 36

8.

B) 30

C) 24

D) 18

A) 15

11.

7

C) 30

D) 37,5

4

|AE| = |EC|

45°

[BA] ⊥ [AC]

m(BéAD) = 45°

8

|AB| = 7 cm B

D

C

8

|AB| = 4 cm B

|DC| = 8 cm 2

9.

B) 14

D) 21

30°

10 D

8

B

C

m(BéAC) = 90°

D

|AC| = 8 cm

Yukar›daki verilere göre, Alan(ADC) kaç cm dir? 32 16 22 A) B) 10 C) 8 D) E) 3 3 3

E) 28

BAC dik üçgen,

A 5

C) 16

C

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ADE) kaç cm dir? A) 12

E) 45

ABC dik üçgen

A

[AB] ⊥ [BC] E

B) 22,5

E) 12

ABC dik üçgen

A

|AC| = 15 cm

C

D

4

12.

A

m(CéAD) = 30°

|AC| = 8 cm |AD| = 10 cm Alan(ABC) Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , o r a n› k a ç t › r ? Alan(ACD)

5

5

|AB| = 5 cm B

8

3 10

D

C

ABC bir üçgen

|AB| = |AD| = 5 cm, |BD| = 8 cm ve |AC| = 3ò10 cm 2

A)

a

B) 1

C)

f

D) 2

E)

r

Yukar›daki verilere göre, Alan(ADC) kaç cm dir? A) 15

B) 12,5

C) 10

D) 7,5

E) 5

141

ÜÇGEN‹N ALANI

13.

ABC bir üçgen

A

1

30°

D

C

ABC eflkenar üçgen

A 4

m(AéCB) = 30°

4 B

16.

[DE] ⊥ [AC]

E

[DA] ⊥ [AC]

[EF] ⊥ [BC]

D

|BD| = 1 cm

|AE| = 4 cm

|AD| = 4 cm

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , A B D ü ç g e n i n i n a la n › k a ç 2 cm dir? A) ñ3

B) 2

C) 2ñ2

D) 3

F

|FC| = 6 cm

C

Yukar›daki verilere göre, taral› bölgenin alan› kaç 2 cm dir?

E) 2ñ3

A) 38ñ3

14.

6

B) 40ñ3 C) 42ñ3

D) 44ñ3 E) 46ñ3

ABC eflkenar üçgen

A

17.

|BD| = 4 cm

ABC dik üçgen

D A

|DC| = 2 cm

DBC bir üçgen

E

[AB] ⊥ [BC]

[BD] ⊥ [AC]

6 B

D

4

2

C B

2

|AE| = |ED|

C

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABD) kaç cm dir? A) 3ñ3

15.

B) 4ñ3

C)

9 3 2

D) 5ñ3

|BE| = 6 cm 2

Yukar›daki verilere göre, Alan(DEC) kaç cm dir?

E) 6ñ3

A) 6

B) 12

18.

|AB| = |AC|

E) 36

ABC bir üçgen

A

[BD] ⊥ [DC]

30°

m(BéAC) = 30°

D

4

[DE] ⊥ [AC]

E

m(AéBD) = 45°

D

|BC| = 4 cm

3

45°

F

C

[DF] ⊥ [FC]

2

|AC| = 18 cm |DE| = 2 cm B

8

C

|DF| = 3 cm |BC| = 8 cm

2

142

D) 24

ABC ikizkenar üçgen

A

B

C) 18

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(DBC) kaç cm dir?

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABC) kaç cm dir?

A) 2

A) 30

B) 3

C) 2ñ3

D) 4

E) 2ñ6

B) 32

C) 36

D) 40

E) 45

ÜÇGEN‹N ALANI

19. 10

G, a¤›rl›k merkezi

5

12

G

[AD] ⊥ [BC]

C

D

ABC dik üçgen

A

[AC] aç›ortay

6

B

22.

ABC bir üçgen

A

|AB| = 10 cm

B

[BA] ⊥ [AC]

D

C

|AD| = 6 cm

|AB| = 12 cm |AG| = 5 cm

2

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ADC) kaç cm dir?

Yukar›daki verilere göre, Alan(AGC) kaç cm dir?

A) 24

A) 18

B) 30

20.

C) 36

D) 42

E) 48

B) 20

C) 24

D) 28

G, ABC üçgeninin a¤›rl›k merkezi

A

[BG] ⊥ [GC]

23.

ABC dik üçgen

A

|BG| = 8 cm |BC| = 10 cm

D

G

G B

8 B

C) 40

D) 45

21.

D

A) 12

5

A

24.

F

C

13

B) 16

C) 18

|AD| = 4 cm

E F

|EC| = 6 cm

6

[BA] ⊥ [AC], [FD] ⊥ [DA] |DE| = |EF|, |BF| = |FC| = 13 cm ve |AD| = 5 cm 2

E) 24

m(BéAC) = 30°

30°

D

ABC ve ADE dik üçgen

D) 20

F, ABC üçgeninin a¤›rl›k merkezi

A

4 13

|BE| = 10 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , t a r a l› b ö l g e n i n a l a n › k a ç 2 cm dir?

E) 48

E

B

C

|FC| = 8 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , ta r a l › b ö lg e n in a l a n › k a ç 2 cm dir? B) 36

[BA] ⊥ [AC]

8

E

10

G, a¤›rl›k merkezi

F

C

10

A) 24

E) 30

C

B

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ADE) kaç cm dir?

Yukar›daki verilere göre, Alan(BFC) kaç cm dir?

A) 30

A) 16

B) 25

C) 20

D) 15

E) 10

B) 15

C) 12

D) 10

E) 8

B-B-A / E-B-D / D-B-B / C-A-D / A-E-C / A-C-A / C-E-D / A-B-E

143

SINAVLARDA (ÖSS-ÖYS-YGS-LYS) SORULMUfi SORULAR 1.

4.

A

m(AéHC) = 90°

A

D

m(BéLC) = 90°

8

E

L

F

|AL| = |LC| = 8 cm 8

6

B

C

H

|LB| = 6 cm

B

C

2

Yukar›daki flfleekilde ABC üçgeninin alan› 36 cm oldu 2 ¤una göre, DFE üçgeninin alan› kaç cm dir? (|DE|= A) 5

Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e ,

| AC | | AB| , |BF|= ) 5 4 B) 9

C)

A)

36 5

D)

9 5

1 3

B)

3 4

C)

3 5

| AH | oran› kaçt›r? | HL | D)

6 5

E)

(ÖYS 1997)

27 5

E)

8 5

(ÖYS 1987)

2. 7

D

C

|BD| = |DC|

fifieekildeki verilere göre, EBD üçgeninin alan› kaç cm dir? B) 4

ninde AD aç›ortayd›r.

12

4

|AB| = 4 cm

|EC| = 4 cm

4

B

fiekildeki ABC üçge-

A

|AB| = 7 cm

E

A) 3

5.

m(BéAC) = 90°

A

C) 7

D) 9

D

B

C

|AC| = 12 cm

Y u k a r › d a v e r il e n le r e g ö r e , A ¿ D C n i n a l a n › A B D n i n a l a n ›n › n k a ç k a t› d › r ?

2

A) 2

E) 11

B) 2,5

C) 3

D) 3,5

(ÖYS 1984)

(ÖYS 1995)

3.

ABC bir üçgen

C d

ABC ∩ d = {D, E}

D

A

α

|AB| = 18 cm 18

B

6

F

Yukar›daki flfleekilde Alan(CDE) = Alan(EBF) oldu¤una göre, |AC| kaç cm dir? B) 15

C) 16

D) 17

E) 18

(ÖSS 1996) 144

Yandaki flekilde

A x E

y

| AE| 1 = | AB| 4

F 6y

3x

| AF| 1 = | AC | 7

|BF| = 6 cm |AD| = 12 cm

A) 14

6.

AB ∩ d = {F}

E

12

E) 4

B

C

oldu¤una göre, A ¿BC üçgeninin alan›n›n, A ¿EF üçgeni nin alan›na oran› kaçt›r? A) 4

B) 7

C) 8

D) 14

E) 28

(ÖYS 1985)

ÜÇGEN‹N ALANI

7.

2

Bir eflkenar üçgenin çevresi, alan› 81 cm olan bir karenin çevresine eflittir.

10.

ABC ikizkenar üçgen

A

2

Bu eflflkkenar üçgenin alan› kaç cm dir?

|AB| = |AC|

A) 9ñ3

[AH] ⊥ [BC]

B) 18ñ3 C) 24ñ3

D) 36ñ3 E) 48ñ3

(ÖSS 1996)

E

[HD] ⊥ [AC]

D H

B

[HE] ⊥ [AB]

C

Yukar›daki flfleekilde |BC| = 4 cm, |AC| = 8 cm oldu¤u 2 na göre, taral› üçgenlerin toplam alan› kaç cm dir? A) 15

8.

B) 17

C)

3 2

D)

15 2

(ÖSS 2003)

Yandaki ABC üçgeninde

A

15 4

E)

|BC| = 6. |BD| ve

|AD| = 5. |ED| dir.

E B

D

11. 12

C

B u n a g ö r e , t a r a l› A B C E d ö r t g e n i n i n a l a n › n › n A B C ü ç g e n in i n a la n ›n a o r a n › k a ç t › r ? 2 1 3 1 1 A) B) C) D) E) 3 4 4 3 5

[DH] ⊥ [AC]

A

[AB] ∩ [DH] = {L}

H

|LA| = 12 cm

L

D

B

C

Yukar›daki flfleekilde A(DBL) = 16 ñ3 cm oldu¤una gö 2 re, ABC eflflkkenar üçgeninin alan› kaç cm dir?

(ÖSS 1999)

2

A) 110ñ3

B) 100ñ3 D) 70

C) 80ñ3 E) 60

(ÖSS 1995) 9.

[DF] ⊥ [AB]

A

|BC| = 12 cm

8

F

12.

A

BC ⊥ AD

|AE| = 8 cm E

|BE| = |EF| = |FD|

E B

12

C

D

B

Yukar›daki flfleekilde ABC bir eflflkkenar üçgen oldu¤una Alan(ECD) göre, oran› kaçt›r? Alan(AFE)

A)

1 3

B)

1 2

C)

1 3

D)

2 3

E)

ABC bir üçgen

4 3

C x

F

|CD| = x

D 2

fifieekildeki taral› bölgelerin alanlar› toplam› 12 cm ve | B C| = 8 c m o l d u ¤ u n a g ö r e , x k a ç c m d i r ? A) ñ2

B) ñ3

(ÖSS 2003)

C) 2

D) 3

E) 4

(ÖSS 2006)

E-C-C / D-C-E / D-A-B / E-B-D

145

SINAVLARDA SORULAB‹LECEK SORULAR 1.

K

D

C

A

ABCD dikdörtgeni birim karelerden oluflmufltur.

4.

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , A la n ( K A B ) k a ç b i r i m k a r e dir? B) 6

C) 8

D) 10

m(AéBC) = 45°

|AB| = 4ñ2 cm

4 2

B

A) 4

ABC bir üçgen

A

45°

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ADC) kaç cm dir? A) 4

E) 12

B) 6

C) 12

D) 18

5.

2.

E) 24

A

12

ABC bir üçgen

A

|DC| = 6 cm

C

6

D

9

|BE| = |EC| Alan(ADE) = 4 cm

D 4

2

B

|BD| = 2|AD|

D

5

C

ABC dik üçgen [BA] ⊥ [AC] |AB| = 12 cm, |AC| = 9 cm ve |DC| = 5 cm

B

C

E

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ADC) kaç cm dir? 2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABC) kaç cm dir? A) 12

B) 16

C) 18

D) 24

A) 12

B) 15

C) 18

E

2 B

A

ABC dik üçgen

A

4 3

[BA] ⊥ [AC]

B

[AD] ⊥ [BC]

C |AE| = |EC|

1 D

|BD| = 1 cm |AD| = 2 cm 2

30° D

C

14

ABC ikizkenar üçgen

|AB| = |AC|, m(AéDC) = 30°

|AD| = 4ñ3 cm ve |DC| = 14 cm 2

Yukar›daki verilere göre, Alan(EDC) kaç cm dir?

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABD) kaç cm dir?

A) 1

A) 2

B) 2

C) 4

D) 2ñ5

E) 8

B-D-B / C-C-D

146

E) 30

E) 32

6. 3.

D) 24

B) 3

C) 4

D) 2ñ3

E) 4ñ3

KAZANMIfi OLMAMIZ GEREKEN B‹LG‹ ve BECER‹LER

Alan kavram›n› tan›mlayabilme Herhangi bir üçgenin alan›n› hesaplayabilme Dik üçgenin, ikizkenar üçgenin ve eflkenar üçgenin alan›n› hesaplayabilme Genifl aç›l› üçgenlerin alanlar›n› hesaplayabilme Özel aç›l› üçgenlerin alanlar›n› hesaplayabilme Tabanlar› eflit iki üçgenin alanlar›n›n yükseklikleriyle orant›l› oldu¤unu bilme Yükseklikleri eflit iki üçgenin alanlar›n›n tabanlar›yla orant›l› oldu¤unu bilme Kenarortaylar›n üçgeninin alan›n› eflit parçalara böldü¤ünü bilme Aç›ortay›n özelliklerini üçgenin alan›n› hesaplarken kullanabilme

147

06

BENZERL‹K

Benzerlik deyince akl›n›za ne geliyor? Bir üçgen fotokopi makinesinde büyütülürse benzeri elde edilir. ‹ki üçgenin benzer oldu¤unu nas›l anlar›z, anlad›¤›m›zda ne yapar›z? Kelebek benzerli¤i Benzerlik teoremlerinden de haberdar olmak laz›m. Efl üçgenlerin benzerlik oran› 1 dir. Benzer üçgenlerin alanlar› oran› benzerlik oran›n›n karesidir.

YÖRÜNGEDEK‹ KAVRAMLAR benzerlik

s. 157

benzerlik oran› s. 157 efllik

150

s. 167

BENZERL‹K 6.1

Benzerlik deyince akl›n›za ne geliyor? Bir foto¤raf ile onun büyütülmüfl hali birbirinin benzeridir. Farkl› büyüklükteki iki eflkenar üçgen, iki kare ve iki çember de ayn› flekilde birbirinin benzeridir.

6.2

Buna göre, "bir fleklin benzeri" denildi¤i zaman akl›m›za o fleklin belli bir oranda büyütülmüfl ya da küçültülmüfl hali gelmelidir.

Bir üçgen fotokopi makinesinde büyütülürse benzeri elde edilir. A

Burada m(ëA) = m(ëD), m(ëB) = m(ëE) ve m(ëF) = m(ëC) oldu¤undan ABC ve DEF üçgenleri benzerdir. Bu durum, A¿BC ~ D¿EF fleklinde gösterilip "ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir" diye okunur. Benzer üçgenlerin kenarlar› orant›l› oldu¤undan

D

E

F

B

C

‹ki üçgen aras›nda yap›lan efllemede karfl›l›kl› aç›lar eflit ve karfl›l›kl› kenarlar orant›l› ise bu üçgenlere benzer üçgenler denir.

| AB | | AC | |BC | = = = k eflitli¤i yaz›l›r. |DE| |DF | |EF |

Buradaki k say›s›na "benzerlik oran›" denir.

Yukar›daki flekilde, ABC üçgeni DEF üçgeninin büyütülmüfl halidir. 6.3

‹ki üçgenin benzer oldu¤unu nas›l anlar›z, anlad›¤›m›zda ne yapar›z? 1. ‹ki üçgenin aç›lar› eflitse bu üçgenler benzerdir. A x

D

y

z

ADE ve ABC üçgenlerinin aç› ölçüleri s›ras›yla x, y, z oldu¤undan, yani bu üçgenlerin aç›lar› eflit oldu¤undan A¿DE ~ A¿BC dir. Üçgenlerin benzer olduklar›n› farkettikten sonra, efl aç›lar›n karfl›lar›ndaki uzunluklar› s›ras›n› bozmadan birbirine oranlar›z.

E A

y B

z

x

C

| AD| | AE | |DE| = = | AB | | AC | |BC |

ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise,

D

m(AéDE) = m(AéBC) = y (yöndefl aç›lar eflittir.) m(AéED) = m(AéCB) = z (yöndefl aç›lar eflittir.) m(DéAE) = m(BéAC) = x (ortak aç›)

y B

y

z

E z C

151

BENZERL‹K

örnek soru

çözüm ABC bir üçgen

A

[DE] // [BC]

4

6

|DE| = 3 cm D

E

3

|BC| = 9 cm

9

C

Yukar›daki verilere göre, |EC| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

θ

E

4 B

B

A¿DE ∼ A¿BC dir.

x

α

D

|AE| = 4 cm

x

[DE] // [BC] oldu¤undan

A

6

α

θ

C

Bu durumda, | AD | = | AE | ⇒ 6 = x | AB | | AC | 6+ 4 x+6 3 x = 5 x+6

5x = 3x + 18 2x = 18 x = 9 cm bulunur.

çözüm A

D

α

θ

4

örnek soru E

3

ABC bir üçgen

A

|AD| = |DC|

x α

D

|BF| = |FD|

F 9

B

C

B

E

C

DE // BC oldu¤undan ADE∫ ~ ABC∫ dir. Yukar›daki verilere göre,

Bu durumda | AE| |DE| 4 3 = ⇒ = | AC | |BC | 4+x 9

A)

4 1 = 4+x 3

7 2

B)

8 3

| AF | oran› kaçt›r? | FE | D)

C) 2

çözüm [DK] // [FE] olacak flekilde

A b

örnek soru

3n ABC bir üçgen

A

a

[DE] // [BC]

D 4 B

x

|AD| = |EC| = 6 cm |DB| = 4 cm

E 6 C

Yukar›daki verilere göre, |AE| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

152

E) 3

(YGS 2011)

12 = 4 + x   x = 8  cm  bulunur.

6

5 2

B

F n E

a

D

[DK] çizilirse, b

2n K

BFE∫ ~ BDK∫ olur. C

| BF | | FE | a | FE | = ⇒ = | BD | | DK | 2a | DK | | FE | 1 = olur. yani, | DK | 2

Bu durumda,

Buna göre, |FE| = n al›rsak |DK| = 2n olur. Ayn› flekilde [DK] // [AE] oldu¤undan CDK∫ ~ CAE∫ olur.

BENZERL‹K

y k y 1 = ise, = 12 2k 12 2

| CD | | DK | 2n b = ⇒ = | CA | | AE | 2b | AE |

Bu durumda,

2y = 12

Buradan |AE| = 4n bulunur. Dolay›s›yla, |AF| = 3n olur. O halde, sorunun cevab›

| AF | 3n = = 3 bulunur. n | FE |

y = 6 cm bulunur.

x = 10 cm ve y = 6 cm ise, pisagor ba¤›nt›s›yla k = 8 cm bulunur. Bu durumda Çevre(DEC) = 10 + 6 + 8 = 24 cm dir.

Cevap E

örnek soru ABC bir üçgen

A

örnek soru ABC bir dik üçgen

A

6

[AB] ⊥ [BC]

10 D

12

D

[DE] ⊥ [BC]

C

E

|AE| = 3 cm |EG| = 4 cm

4

F

|AD| = 10 cm

Yukar›daki verilere göre, DEC üçgeninin çevre uzunlu¤unun kaç cm oldu¤unu bulal›m.

|AD| = 6 cm E

x

|BE| = |EC| |AB| = 12 cm

B

[DE] // [FG] // [BC]

3

|GC| = 5 cm

G

y

5

B

C

|DF| = x ve |FB| = y oldu¤una göre, y — x fark›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm çözüm fiekilde |CD| = x, |DE| = y ve |BE| = |EC| = k olsun.

A

α

10 D

12 y B

[DE] // [FG] oldu¤undan A¿DE ∼ A¿FG olur.

A

k

E

α

D α x F α

x k

θ

C

[AB] ve [DE] do¤ru parçalar›n›n her ikisi de [BC] do¤ru parças›na dik oldu¤undan [DE] // [AB] dir. Bu durumda CDE ve CAB dik üçgenlerinin aç›lar› eflittir. Dolay›s›yla C¿DE ∼ C¿AB dir. Buna göre, | CD | | CE | | DE | x k y = = ⇒ = = olur. | CA | | CB | | AB | x + 10 2k 12 x k ise, = x + 10 2k x 1 = ⇒ x + 10 2

2x = x + 10

6

x = 10 cm bulunur.

3 θ E 4 θ G

y B

α

5 θ

C

Buna göre, | AD | | AE | 6 3 = ⇒ = ⇒ 18 + 3x = 42 | AF | | AG | 6 + x 3 + 4

⇒ 3x = 24 ⇒ x = 8 cm bulunur.

[FG] // [BC] oldu¤undan A¿FG ∼ A¿BC olur. Buna göre, | AF | | AG | 6+x 7 (x i 8 bulmufltuk.) = ⇒ = | AB | | AC | 6 + x + y 7 + 5 14 7 6+8 7 = ⇒ = ⇒ 14 + y 12 6 + 8 + y 12 2 1 = ⇒ 14 + y = 24 14 + y 12 bulunur. y = 10 cm

O halde y — x fark› 10 — 8 = 2 cm bulunur.

153

BENZERL‹K

örnek soru

örnek soru ABC bir üçgen

A

ABC bir üçgen

A

[DE] // [BC]

[DE] // [BC]

|DE| = 6 cm |BC| = 10 cm D

|AC| = 12 cm

G

D

E

6

G a¤›rl›k merkezi

x E

B B

C

10

| AD | Yukar›daki verilere göre, oran›n›n kaç oldu| DB | ¤unu bulal›m.

C

Yukar›daki verilere göre, |AE| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm A

çözüm [DE] // [BC] oldu¤undan A¿DE ∼ A¿BC dir.

A

Buna göre,

3k D

α

6

θ

| AD| | DE | = ⇒ | AB | | BC | | AD | 6 3 = = tir. | AB | 10 5

E

2k B

α

10

θ

C

| AD| 3 = ise, |AD| = 3k iken |AB| = 5k olur. | AB | 5 Bu durumda |DB| = |AB| — |AD| = 5k — 3k = 2k | AD| 3k 3 = = O halde bulunur. |DB | 2k 2

154

2k D

G

x E

k B

F

C

G noktas› ABC üçgeninin a¤›rl›k merkezi oldu¤undan [AF] kenarortayd›r. Bu durumda |AG| = 2|GF| yani |GF| = k iken |AG| = 2k d›r. [DE] // [BC] verildi¤ine göre A¿GE ∼ A¿FC dir. Benzerlik uyguland›¤›nda, | AG | | AE | 2k x = ⇒ = | AF | | AC | 3k 12 2 x = 3 12 3x = 24 x = 8 cm bulunur.

BENZERL‹K

örnek soru

örnek soru ABC ve ACD birer üçgen

A K F

E

D

E

[FK] // [CD]

D [FK] // [AD]

3 8

B

Yukar›daki verilere göre, |FK| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

|EF| = 3 cm

K

|CD| = 8 cm

C

[EF] // [BC]

F

|AE| = 3|BE| 8

B

x

[EF] // [BC]

x

ABC ve ADC birer üçgen

A

|BC| = 9 cm |FK| = 8 cm

C

9

Yukar›daki verilere göre, |AD| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm [EF] // [BC] oldu¤undan A¿EF ∼ A¿BC dir.

A K 3k E k B

3a F

D

x 8

a

çözüm A x

k

|AE| = 3|BE| verildi¤inden |BE| = k al›n›rsa |AE| = 3k olur.

E

F 3

D

8 2k

K

C

A¿EF ∼ A¿BC ise, | AE | = | AF | ⇒ 3k = | AF | olur. | AB | | AC | 4k | AC | Bu durumda |AF| = 3a al›n›rsa, |AC| = 4a dolay›s›yla |FC| = a olur. [FK] // [CD] oldu¤undan A¿FK ∼ A¿CD dir. Buna göre, | AF | | FK | 3a x = ⇒ = | AC | | CD | 4a 8 3 x = 4 8 x = 6 cm bulunur.

B

9

C

[EF] // [BC] oldu¤undan A¿EF ∼ A¿BC dir. Buna göre, 3 | AF | | EF | | AF | = ⇒ = 9 | AC | BC | | AC | | AF | 1 ⇒ =     olur. | AC | 3 Bu durumda |AF| = k al›n›rsa, |AC| = 3k, dolay›s›yla |FC| = 2k olur. [FK] // [AD] oldu¤undan C¿FK ~ C¿AD dir. Buna göre, | CF | | FK | 2k 8 = ⇒ = | CA | | AD | 3k x 8 2 = x 3 x = 12 cm bulunur.

155

BENZERL‹K

örnek soru

örnek soru [BO] ve [CO] aç›ortay

F

D

[DE] // [BC] |BD| = 5 cm

6

x B

ABC bir üçgen

A

A

|EC| = 7 cm

C

H

E

O

D

ABC bir üçgen

5

[DE] ⊥ [BC], [FH] ⊥ [BC]

7

B

çözüm

C

18

|AD| = |BD|, 3|AF| = 2|FC|, |FH| = 6 cm Yukar›daki verilere göre, |DE| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

|BC| = 18 cm

E

Yukar›daki verilere göre, ADE üçgeninin çevre uzunlu¤unun kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm A D

a B

x E

A

2k

a

F 10

K

6

3k

H

x C D

|AD| = |BD| = a olsun. 3|AF| = 2|FC| verildi¤ine göre, |FC| = 3k al›n›rsa |AF| = 2k al›n›r. [AK] ⊥ [BC] olacak flekilde [AK] çizilirse, [FH] // [AK] olur. Bu durumda C¿FH ∼ C¿AK dir. Buna göre, | CF | | FH | 3k 6 6 3 = ⇒ = ⇒ = | CA | | AK | 5k | AK | | AK | 5 ⇒ 3 | AK | = 30 | AK | = 10 cm olur. Ayr›ca, [DE] // [AK] oldu¤undan B¿DE ∼ B¿AK dir. Buna göre, | BD | | DE | a x x 1 = ⇒ = ⇒ = | BA | | AK | 2a 10 10 2  2x = 10 x = 5 cm bulunur.

5 B

α α

y 5 α

O

18

7 θ

E θ

θ

7 C

[BO] ve [CO] aç›ortay oldu¤undan m(DéBO) = m(OéBC) = α ve m(EéCO) = m(OéCB) = θ olsun.

[DE] // [BC] oldu¤undan m(DéOB) = m(OéBC) = α ve m(EéOC) = m(OéCB) = θ olur. (‹ç ters aç›lar eflittir.) Bu durumda |DO| = |DB| = 5 cm ve |EO| = |EC| = 7 cm olur. [DE] // [BC] oldu¤undan A¿DE ∼ A¿BC dir. Bu durumda | AD | | DE | | AE | x 12 y = = ⇒ = = | AB | | BC | | AC | x + 5 18 y + 7 12 x = ise ⇒ x + 5 18 2 x = ⇒ 3x = 2x + 10 x+5 3 ⇒ x = 10 cm olur. 12 y 2 y = ise, = ⇒ 3y = 2y + 14 18 y + 7 3 y+7 ⇒ y = 14 cm olur. O halde, Çevre(ADE) = |AD| + |AE| + |DE| = 10 + 14 + 12 = 36 cm bulunur.

156

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 1, 2, 5, 6 / Genel Tekrar Testi 6, 13 nolu sorular› hemen çözelim.

BENZERL‹K

6.4

Kelebek benzerli¤i A

fiekilde [AB] // [CD] ise,

B x

m(BéAE) = m(EéDC) = x

y z

m(AéBE) = m(DéCE) = y

E

örnek soru 12

A

m(AéEB) = m(DéEC) = z olur.

z

y

x

C

D

[AB] ⊥ [BD]

B

[BD] ⊥ [DE]

9

A, C, E do¤rusal

C

|AB| = 12 cm

Bu durumda A¿BE ∼ D¿CE dir. Bu benzerli¤i baz›lar› "kelebek benzerli¤i" baz›lar› ise "kum saati ben-

|BC| = 9 cm

x

6 D

E

|CD| = 6 cm

Yukar›daki verilere göre, |CE| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

zerli¤i" olarak isimlendirmektedir. Bu benzerli¤e göre, | AB | = | AE | = | BE | eflitlikleri yaz›l›r.

çözüm

| DC | | DE | | CE |

12

A

9

15

örnek soru

|CE| = x i bulmak için |AC| uzunlu¤unun bilinmesi gerekir. Bu nedenle, ABC dik üçgeninde pisagor teoremi uygulayarak |AC| yi bulal›m.

B

C

A

[AB] // [DE]

B

[AE] ∩ [BD] = {C}

5

4

12

x

D

|AC| = 4 cm

C

x

6

2

E

2

|BC| = 5 cm

|AC| = |AB| + |BC|

|CE| = 12 cm

|AC| = 12 + 9

2

2

2

2

|AC| = 225 ⇒ |AC| = 15 cm olur. (9 – 12 – 15 üçgeni) 2

D

E

Yukar›daki verilere göre, |CD| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

[AB] ve [DE] do¤ru parçalar›n›n her ikisi de [BD] do¤ru parças›na dik oldu¤undan [AB] // [DE] dir. Bu durumda A¿BC ∼ E¿DC olur. Buna göre, | BC | | AC | 9 15 3 15 = ⇒ = ⇒ = | DC | | EC | 6 x 2 x ⇒ 3x = 30 ⇒ x = 10 cm bulunur.

çözüm A

[AB] // [DE] oldu¤undan A¿BC ∼ E¿DC dir.

B 5

4

örnek soru

x

D

ABC bir üçgen

A

C

[DE] // [BC]

12

[DC] ∩ [EB] = {K}

6 D

E

K

Buna göre, efl aç›lar›n karfl›lar›ndaki uzunluklar birbirine oranlan›rsa, | AC | | BC | 4 5 = ⇒ = ⇒ 4x = 60 | EC | | DC | 12 x ⇒ x = 15 cm bulunur.

E

|AE| = 6 cm

4

|EC| = 9 cm 9

|EK| = 4 cm

x B

C

Yukar›daki verilere göre, |BK| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

157

BENZERL‹K

çözüm

çözüm

[DE] // [BC] oldu¤undan A¿DE ∼ A¿BC dir. | DE | | AE | | DE | 6 2 Buna göre, = ⇒ = = tir. | BC | | AC | | BC | 15 5

A C

2k 12

[DE] // [BC] olmas› DEK ve CBK üçgenlerinin de benzer olmas›n› sa¤lar.

E 4

Buna göre,

B

| DE | | EK | 2 4 = ⇒ = ⇒ 2x = 20 | CB | | BK | 5 x ⇒ x = 10 cm bulunur.

x

k D

F

[AB] // [EF] oldu¤undan D¿EF ∼ D¿AB dir. Buna göre, | EF | | DE | 4 | DE | | DE | 1 = ⇒ = ⇒ = olur. | AB | | DA | 12 | DA | | DA | 3

örnek soru A C 12

[AB] // [CD] oldu¤undan C¿DE ∼ B¿AE dir.

E x

4 B

Buna göre, |DE| = k al›n›rsa, |DA| = 3k, dolay›s›yla |AE| = 2k olur.

D

F

[AB] // [CD] // [EF] , [AD] ∩ [BC] = {E}

Buna göre, | CD | | DE | x k x 1 = ⇒ = ⇒ = ⇒ 2x = 12 ⇒ x = 6 cm | BA | | AE | 12 2k 12 2 bulunur.

B, F, D do¤rusal, |AB| = 12 cm ve |EF| = 4 cm Yukar›daki verilere göre, |CD| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m. Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 3, 4, 10 / Genel Tekrar Testi 5, 21 nolu sorular› hemen çözelim.

6.5

Benzerlik teoremlerinden de haberdar olmak laz›m. 1. A, A, A (Aç› – Aç› – Aç›) benzerlik teoremi

örnek soru

‹ki üçgenin karfl›l›kl› olarak tüm aç›lar› eflitse bu üçgenin karfl›l›kl› kenarlar› aras›nda sabit bir oran vard›r, yani bu üçgenler benzerdir. A

B

α

4

D

θ β

C

E

α

θ

ABC bir üçgen

A

m(AéBC) = m(AéDE) |AE| = 4 cm

7

E β

⇒ A¿BC ~ D¿EF dir.

x

|AD| = 7 cm D 1

|DC| = 1 cm C

F B

Yukar›daki verilere göre, |EB| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

158

BENZERL‹K

çözüm

çözüm A D

4 E

A α

7

θ

x

α

D θ 1

x

C

α

B

6 θ

β

E

4 α

K

6

F θβ

m(BéDE) = m(FéKC) = α (soruda veriliyor.)

B

ADE ve ABC üçgenlerinde A aç›s› ortak ve m(AéDE) = m(AéBC) = α oldu¤undan m(AéED) = m(AéCB) = θ olur.

C

|AB| = |AC| oldu¤undan m(AéBC) = m(AéCB) = β olur. ‹kifler aç›s› eflit olan üçgenlerin üçüncü aç›lar› da efl olaca¤› için m(BéED) = m(KéFC) = θ olur. O halde, D¿BE ~ K¿CF dir. Buna göre,

(Çünkü ikifler aç›s› eflit olan üçgenlerin üçüncü aç›lar› da eflit olur.)

| DB | | DE | x 6 =     ⇒    =     ⇒   4x = 36 ⇒ x = 9 cm olur. | KC | | KF | 6 4

O halde, A¿DE ~ A¿BC dir. Buna göre, efl aç›lar› gören kenarlar oranlan›rsa, | AE | | AD |    ⇒ = | AC | | AB |

örnek soru ABC bir üçgen

A

4 7 =    8 4+x 1 7 =    2 4+x

m(BéAD) = m(AéCB) |BD| = 2 cm

x

|DC| = 6 cm

4 + x = 14

x = 10  cm    bulunur.   

2

B

D

6

C

Yukar›daki verilere göre, |AB| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm

örnek soru

D x

E

x

m(BéDE) = m(FéKC) F

4 B

α

|AB| = |AC|

6

K

6

|ED| = |KC| = 6 cm C

|KF| = 4 cm

Yukar›daki verilere göre, |BD| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

ABD ve ABC üçgenlerinde B aç›s› ortak ve

A

ABC ikizkenar üçgen

A

B

θ

2

D

6

α

C

m(BéAD) = m(AéCB) = α oldu¤undan bu üçgenlerin üçüncü aç›lar› da eflittir. m(AéDB) = m(BéAC) Aç›lar› eflit olan ABD ve ABC üçgenlerinin benzerli¤i A¿BD ~ C¿BA fleklinde yaz›l›r. Buna göre, | AB | | BD | x 2    ⇒    =    = | CB | | BA | 8 x x = 16 ⇒ x = 4 cm bulunur 2

159

BENZERL‹K

.

2. K, A, K (Kenar – Aç› – Kenar) benzerlik teoremi

örnek soru fiekilde

A

[AB] ⊥ [BE]

D 12

B

x

C

4

[DE] ⊥ [BE]

‹ki üçgenin karfl›l›kl› iki kenar› orant›l› ve bu kenarlar aras›nda olan aç›lar› eflit ise bu üçgenler benzerdir.

[AC] ⊥ [CD]

6

|AB| = 12 cm

E

|DE| = 6 cm

A D

α

α

a.k

|CE| = 4 cm

b.k a

b

Yukar›daki verilere göre, |BC| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m. B

C

E

F

| AB | | AC | iken, m(BéAC) = m(EéDF) ise, A¿BC ~ D¿EF dir. = | DE | | DF |

çözüm A

α D θ

12

B

θ

x

90

α C 4

örnek soru 6

3

D

fiekilde

C

E

[DC] // [AB] 5

6

ABC dik üçgeninde

m(BéAC) = α ve m(AéCB) = θ olsun.

Bu durumda α + θ = 90° olur.

m(AéCD) = 90° oldu¤undan m(DéCE) = α olur. (Çünkü θ + 90° + α = 180° dir.)

DCE üçgeninde m(DéCE) = α ise, m(CéDE) = θ olmal›d›r. ABC ve DCE üçgenlerinin aç›lar› eflit oldu¤undan, bu

x

|DA| = 5 cm A

B

12

|AC| = 6 cm |AB| = 12 cm

Yukar›daki verilere göre, |BC| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm

üçgenlerin benzerli¤i A¿BC ~ C¿ED fleklinde yaz›l›r.

D

3

Buna göre, 5

| AB | | BC | 12 x = ⇒ = ⇒ 4x = 72 | CE | | ED | 4 6 x = 18 cm bulunur.

|DC| = 3 cm

A

α

α

C x

6

12

B

[DC] // [AB] oldu¤undan m(DéCA) = m(CéAB) = α d›r. DCA ve CAB üçgenlerinde | DC | = | CA | yani 3 = 6 | CA | | AB | 6 12 oldu¤undan D¿CA ~ C¿AB yaz›labilir. Buna göre, | DC | = | DA | ⇒ 3 = 5 | CA | | CB | 6 x ⇒ 3x = 30

⇒ x = 10 cm bulunur.

160

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 2 2, 5, 6, 7 / Genel Tekrar Testi 1, 12 nolu sorular› hemen çözelim.

BENZERL‹K

6.6

Efl üçgenlerin benzerlik oran› 1 dir. ‹ki üçgen aras›nda yap›lan efllemede karfl›l›kl› kenarlar ve aç›lar eflitse bu üçgenlere efl üçgenler denir. Üçgenlerin eflli¤i ≅ sembolü ile gösterilir. A

K

α

α

β B

C

O halde, m + n + k = 5 + 6 + 4 = 15 br bulunur. θ M

|BC| = |LM| |AC| = |KM|

m(ëC) = m(ëM)

2. Aç› – Kenar – Aç› (A.K.A) Efllik Teoremi Üçgenlerin birer kenarlar› ve bu kenarlar›n uçlar›ndaki aç›lar›n ölçüleri eflit olan üçgenler efltir.

Yukar›daki ABC ve KLM üçgenleri için m(ëB) = m(ëL)

|AB| = |ED| ⇒ m + 3 = 8 ⇒ m = 5 br |BC| = |DF| ⇒ 2k + 1 = 9 ⇒ k = 4 br

L

m(ëA) = m(ëK)

A¿BC ≅ E¿DF oldu¤una göre,

|AC| = |EF| ⇒ 2n = 12 ⇒ n = 6 br

β

θ

çözüm

A

|AB| = |KL|

eflitlikleri sa¤lan›yorsa A¿BC ≅ K¿LM dir.

40°

20°

B

C

10 cm

Üçgenlerde Eflflllik Teoremleri K

1. Kenar – Kenar – Kenar (K.K.K) Efllik Teoremi ‹ki üçgenin karfl›l›kl› olarak bütün kenar uzunluklar› birbirine eflitse bu üçgenler efltir. Dolay›s›yla bu üçgenlerin aç›lar› da efltir. K

A

fiekilde, 2

5

B

5

6

C

2

6

L

M

fiekildeki ABC ve KML üçgenleri kenar uzunluklar› eflit oldu¤undan efltir. Bu üçgenlerin eflli¤i A¿BC ≅ K¿ML fleklinde gösterilir. Dolay›s›yla bu üçgenlerin aç›lar› da efltir. m(ëA) = m(ëK), m(ëB) = m(ëM), m(ëC) = m(ëL)

10 cm

M

m(ëB) = m(ëM) = 40°

m(ëC) = m(ëL) = 20°

|BC| = |ML| = 10 cm oldu¤undan A.K.A efllik teoremine göre, A¿BC ≅ K¿ML dir.

Dolay›s›yla m(ëA) = m(ëK), |AB| = |KM| ve |AC| = |KL| dir. örnek soru

örnek soru

E A

D

A

9

8

B 2k + 1

8

4

2n

m+3

B

40°

20° L

C

E

12

F

Yukar›daki flekilde A¿BC ≅ E¿DF oldu¤una göre, m + n + k toplam›n›n kaç birim oldu¤unu bulal›m.

C

D

B, C, D do¤rusal noktalar [AB] ⊥ [BC] [ED] ⊥ [BD] [AC] ⊥ [CE] |AC| = |CE|

|AB| = 4 cm ve |ED| = 8 cm oldu¤una göre, |BD| nin kaç cm oldu¤unu bulal›m.

161

BENZERL‹K

örnek soru

çözüm E θ

A 4

8

α

B

θ

8

C

α

ABC eflkenar üçgen

A

[AE] ∩ [DC] = {F}

D

F x

D

4

B

ABC dik üçgeninde m(BéAC) = α ve m(AéCB) = θ al›n›rsa

E

C

|AD| = |BE| oldu¤una göre, m(EéFC) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

m(EéCD) = α olur. (θ ile α tümler aç›lar) Dolay›s›yla, m(BéAC) = m(DéCE) = α ve m(AéCB) = m(CéED) = θ oldu¤undan

çözüm

(A.K.A) efllik teoremine göre,

α

A¿BC ≅ C¿DE olur.

A

D

F

O halde, |BD| = |BC| + |CD| = 8 + 4 = 12 cm bulunur.

3. Kenar – Aç› – Kenar (K.A.K) Efllik Teoremi

35° 7

α

60°

‹kifler kenar uzunluklar› ve bu kenarlar›n aras›ndaki aç›lar›n ölçüleri eflit olan üçgenler efltir.

10

a+b

x

b

A

60 — α

a

Dolay›s›yla |AB| = |CD| = 4 cm, |BC| = |DE| = 8 cm olur.

B

a

E

b

C

ABC eflkenar üçgen oldu¤undan

K

m(ëA) = m(ëB) = m(ëC) = 60° dir.

35°

10

ADC ve BEA üçgenlerinde

7

|AD| = |BE| = a B

fiekilde,

C

L

M

|AB| = |KM| = 10 cm |AC| = |KL| = 7 cm

m(ëA) = m(ëK) = 35° oldu¤undan K.A.K efllik teoremine göre, A¿BC ≅ K¿ML dir.

Dolay›s›yla |BC| = |LM|, m(ëB) = m(ëM) ve m(ëC) = m(ëL) dir.

|AC| = |BA| = a + b ve m(ëA) = m(ëB) oldu¤undan K.A.K efllik teoremine göre, A¿DC ≅ B¿EA dir.

Dolay›s›yla m(AéCD) = m(BéAE) = α olur. Bu durumda m(FéAC) = 60° — α olur. FAC üçgeninde iki iç aç›n›n toplam›, kendilerine komflu olmayan d›fl aç›ya eflit oldu¤undan m(EéFC) = m(FéAC) + m(AéCD) x = 60° — α + α = 60° bulunur.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 2 3, 4 / Genel Tekrar Testi 3, 4 nolu sorular› hemen çözelim.

162

BENZERL‹K

6.7

Benzer üçgenlerin alanlar› oran› benzerlik oran›n›n karesidir. Bu sonuca göre, Alan(ADE) = 4x olursa, Alan(ABC) = 9x olur.

D A

6

4

3 B

E

C

5

8

10

Dolay›s›yla Alan(BCDE) = 9x — 4x = 5x olur. F

fiekildeki ABC ve DEF üçgenleri benzerdir, çünkü karfl›l›kl› kenarlar aras›nda oran› vard›r.

3 4 5 1 = = yani 6 8 10 2

2

2

Alan(BCDE) = 30 cm verildi¤ine göre, 5x = 30 cm 2 ⇒ x = 6 cm 2 . olur. O halde ADE üçgeninin alan› 4x = 4 6 = 24 cm bulunur.

fiimdi de bu üçgenlerin alanlar›n› karfl›laflt›ral›m. | AB | ⋅ | AC | 3 ⋅ 4 = = 6 cm2 2 2 | DE | ⋅ | DF | 6 ⋅ 8 Alan(DEF) = = = 24 cm2 oldu¤una göre, 2 2 1 Alan(ABC) 6 tür. = = Alan(DEF) 24 4 Alan(ABC) =

1 1 =   oldu¤una göre, benzer üçgenlerin alanlar› 4 2

örnek soru ABC bir dik üçgen

A

[AB] ⊥ [BC]

|ED| = 3ñ2 cm

2

oran› benzerlik oran›n›n karesidir diyebiliriz.

3 2 B

ABC bir üçgen

A

[DE] // [BC]

çözüm

|DE| = 4 cm

A

|BC| = 6 cm

B

4

Alan(BCED) = 30 cm

E

x

Yukar›daki verilere göre, ADE üçgeninin alan›n›n 2 kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm [DE] // [BC] oldu¤undan A¿DE ~ A¿BC dir.

A

Benzerlik oran›, | DE | 4 2 = = tür. | BC | 6 3

4x

B

4 5x 6

E C

α

2

C

6

D

C

E

Alan(ABED) = Alan(DEC) oldu¤una göre, |AB| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

örnek soru

D

[ED] ⊥ [AC]

D

x

B

D S

E

α

3 2

S

ABC ve DEC dik üçgenlerinin birer aç›s› 90° ve her iki üçgen de C aç›s› ortak oldu¤undan üçüncü aç›lar› da eflittir, yani m(DéEC) = m(BéAC) = α C olur.

Buna göre, E¿DC ~ A¿BC benzerli¤i yaz›labilir. Bu du| ED | 3 2 = rumda benzerlik oran› tir. | AB | x Alan(ABED) = Alan(DEC) = S olsun. O halde benzer olan Alan(EDC) S 1 = = olur. üçgenlerin alanlar› oran› Alan(ABC) 2S 2 Alanlar oran› benzerlik oran›n›n karesine eflit oldu¤u2 1 3 2  1 18 na göre, =  ⇒ x2 = 36 ⇒ x = 6 cm  ⇒ = 2  x  2 x2 bulunur.

2 Alan(ADE)  2  4 =  = olur. Alan(ABC)  3  9

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 2 11, 12 / Genel Tekrar Testi 9, 20 nolu sorular› hemen çözelim.

163

BU KONUDA ÖZETLE... Konuların ve Kavramların Özeti 1.

5.

D

A

[AB] // [DE] ise,

B

AÿBC ~ EÿDC

A C

B

C

E

F

E

D

m(Aª) = m(Dª)

| AC | | BC | | AB | = = | CE | | CD | | DE |

m(Bª) = m(Eª) m(Cª) = m(Fª) ise, AÿBC ile DÿEF benzerdir. Bu durum AÿBC ~ DÿEF fleklinde gösterilir. | AB | | AC | | BC | = = = k (benzerlik oranı) | DE | | DF | | EF |

6.

A

B

C

‹ki üçgen aras›nda yap›lan efllemede karfl›l›kl› aç›lar eflit ve karfl›l›kl› kenarlar orant›l› ise bu üçgenlere benzer üçgenler denir.

d1 D

E

d1 // d2 // d3

d2 F

d3

Paralelleri kesen do¤rular›n üzerinde oluflan parçalar›n oranlar› eflittir. | AC | | BD | | AC | | BD | = veya = | CE | | DF | | AE | | BF |

2. ‹ki üçgen aras›ndaki benzerlik oran› 1 ise bu üçgenler efltir. Üçgenlerin eflli¤i AÿBC ≅ DÿEF fleklinde gösterilir.

7. Benzerlik Alan ‹liflkisi Benzer olan iki üçgenin benzerlik oran› k ise, 2 alanlar› oran› k dir.

3. Farkl› büyüklükteki iki eflkenar üçgen, iki kare ve iki çember de ayn› flekilde birbirinin benzeridir.

A

AB // DE ise,

B

2 A(ABC)  | AB |  =  A(CDE)  | DE | 

C

4.

[DE] // [BC] ise,

A

D

AÿDE ~ AÿBC D B

8.

[DE] // [BC] ise,

A

E C

| AD | | AE | | DE | = = | AB | | AC | | BC |

164

E

D

B

2 A(ADE)  | DE |  =  A(ABC)  | BC | 

E

C

Ö⁄REND‹KLER‹M‹Z‹ TEST EDEL‹M Kavrama Testi 1 Kavrama Testi 2

( 6.1 - 6.4 ) ( 6.5 - 6.7 )

Genel Tekrar Testi

( 6.1 - 6.7 )

S›navlarda (ÖSS-ÖYS-YGS-LYS) Sorulmufl Sorular S›navlarda Sorulabilecek Sorular

165

KAVRAMA TEST‹ 1.

ABC bir üçgen

A

4.

A

1 fiekilde

B

6

[AB] ⊥ [BD]

[DE] // [BC]

D

|DE| = 5 cm

E

5

[BD] ⊥ [DE]

8

|AE| = |EC|

|AB| = 6 cm |BC| = 8 cm

C x x

B

C

A) 5ñ2

B) 5ñ3

3

D

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B C| = x k a ç c m d i r ? C) 5ñ5

2.

D) 10

A

|DE| = 3 cm E

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |C E| = x kaç cm di r?

E) 15

A) 10

B) 8

C) 6

D) 5

E) 4

ABC bir ügçen [DE] // [BC]

D

|BD| = 2|AD| 3

E

5.

ABC ve ACH birer üçgen

A

|DE| = 3 cm

4 6

[DE] // [BC] F

[EF] // [CH]

2 H

x

B

D

C

B) 9

C) 8

D) 7,5

B

E) 6

A

Yukar›daki verilere göre, |BD| = x kaç cm dir? B) 2

C) 3

D) 4

[AB] // [DE]

6

[AE] ∩ [BD] = {C}

C

6.

fiekilde;

A

|AB| = 8 cm

[DE] // [BC] 12

9

|BC| = 6 cm

12

|DC| = 12 cm

166

x

E

|AD| = 9 cm |BD| = 3 cm

E

D

x

3 D

E) 5

fiekilde

B

8

|FH| = 2 cm

C

A) 1

3.

|AD| = 6 cm |AF| = 4 cm

x

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B C| = x k a ç c m d i r ? A) 12

E

C

B

|AE| = 12 cm

Y uka r› da ki v eri l er e g öre , |D E| = x ka ç c m di r ?

Y uka r› da ki v eri l e re g ör e, | EC | = x k aç cm di r?

A) 20

A) 4

B) 16

C) 14

D) 12

E) 10

B) 4,5

C) 5

D) 5,5

E) 6

BENZERL‹K

7.

ABC bir üçgen

A

10.

A

[DE] // [GH] // [BC]

D 30

|AE| = |EC| D G

x

|FH| = |HE|

E 4

E 10

|GH| = 4 cm

B

H

F

C

ABC ve DBC birer üçgen [AB] // [EF] // [DC] |AB| = 30 cm |EF| = 10 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | D C| = x k a ç c m d i r ? B

C

F

A) 24

B) 21

C) 20

D) 18

E) 15

Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , | B C | k a ç c m d ir ? A) 12

B) 14

C) 16

D) 18

E) 20

11.

8

6

8.

A

fiekilde

F

3 G

C

[AC] aç›ortay

4

E

[DF] // [BC]

F

|AD| = 6 cm

9

|AD| = |DE| = |EC|

E B

D

[AB] // [FG]

x

D

ABC ve ADF birer üçgen

A

|AF| = 8 cm

|EG| = 3 cm

x

B

C

|BD| = 9 cm |EF| = 4 cm

Yukar›daki verilere göre, |EF| = x kaç cm dir? A) 12

B) 11

C) 10

D) 9

Y u k a r › d a k i v e r i l e re g ö r e , | B C | = x k a ç c m d i r ?

E) 8

A) 12

9.

[DE] // [BC] 8

D) 7,5

12.

E) 6

ABC bir üçgen

A

[DE] // [BC]

[BE] aç›ortay

D

|AD| = 8 cm

E

A, K, F do¤rusal

K

D

E

6

|BD| = 4 cm

4

|BF| = 5 cm |KE| = 6 cm

x

C

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B C| = x k a ç c m d i r ? A) 10

C) 9

ABC bir üçgen

A

B

B) 10,5

B) 9

C) 8

D) 7

E) 6

5

F

|FC| = 15 cm

C

15

Y uka r› dak i ve ri l ere gö re, | D E| kaç cm di r? A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

D-B-B / D-C-A / C-D-E / E-D-E

167

2

KAVRAMA TEST‹ 1.

ABC ve DEF birer üçgen

A D 12

8

C

E

F

B) 9

C) 10

[AC] ⊥ [CE]

15

9

[ED] ⊥ [BD]

|EF| = 6 cm ve

A¿BC ~ D¿EF oldu¤una göre, |DE| = x kaç cm dir? A) 8

[AB] ⊥ [BD]

15

|BC| = 8 cm 6

ABC ve CED dik üçgen

E A

|AB| = 12 cm

x

B

4.

D) 12

B

C

D

|AC| = |CE| = 15 cm |AB| = 9 cm

E) 15

Y uka r› dak i ve ri l ere gör e, |B D | k aç cm di r? A) 17

2.

m(BéAD) = m(DéAE)

12 15 E

x

C

5.

8

[AB] ⊥ [BC]

8

[DE] ⊥ [ AC]

E

|AE| = 8 cm

6

|AC| = 15 cm

x

D

|AE| = 12 cm |DE| = 8 cm

B

|DE| = 6 cm

9

|BC| = 9 cm

C

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | C D| = x k a ç c m d ir ?

Yukar›daki verilere göre, |EC| = x kaç cm dir?

A) 2

A) 7

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

6.

B) 8

D) 10

[AB] ⊥ [BF]

D

|BD| = 4 cm

4 4

C

x

F

[AB] ⊥ [BC]

D

15

[BD] ⊥ [DC]

x 9

|AD| = 8 cm

E

E) 11

ABE ve DBC dik üçgen

A

m(BéAC) = m(DéFB)

B

C) 9

ABC ve DBF dik üçgen

A

8

168

E) 21

ABC dik üçgen

|BC| = 6 cm

D

3.

D) 20

A

|AB| = 9 cm

B 6

C) 19

ABC ve ADE birer üçgen

A

9

B) 18

[AE] ⊥ [BD]

12

E

B

|AB| = 15 cm

C

|BE| = 9 cm

|BC| = 4 cm

|DC| = 12 cm

Y uka r› da ki v eri l er e g öre , |C F| = x kaç cm di r?

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |ED | = x ka ç c m di r ?

A) 4

A) 6

B) 6

C) 8

D) 10

E) 12

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

BENZERL‹K

7.

ABC ve ADE birer üçgen

A 4 6

10.

[AB] ⊥ [BC]

[AH] ⊥ [BC]

E

[AF] ⊥ [DE]

F

[DC] ⊥ [BC]

A

D

|BC| = 10 cm

|AE| = 4 cm

D 2 B

H

|AD| = 6 cm

C

B

|BD| = 2 cm

Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , 1 2

B)

2 3

D)

3 5

E)

C 2

A) 50

| AF | oran› kaçt›r? | AH |

3 4

C)

E

Yukar›daki verilere göre, Alan(FBC) kaç cm dir?

m(AéDE) = m(AéCB)

A)

AEDF bir kare

F

B) 60

C) 75

D) 80

E) 100

4 9

11.

ABC bir üçgen

A

[DE] // [BC]

8.

ABC bir üçgen

A

1

m(AéCD) = m(AéBC)

D

D

|AD| = 1 cm

B

9.

D) 9

A) 30

[BA] ⊥ [AC]

4 12

B

8 E

12.

D) 20

E) 18

ABC bir üçgen [DE] // [BC]

3 D

[ED] ⊥ [BA] C

C) 24

A

[EF] ⊥ [AC]

F

B) 27

E) 10

ABC dik üçgen

A

x

C 2

C) 8

D

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABC) kaç cm dir?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B D| = x k a ç c m d ir ? B) 6

Alan(ADE) = 8 cm

E

B

C

A) 5

|AE| = 2|EC|

|AC| = 3 cm

3

x

8

Alan(ADE) = 3 cm

E

2

Alan(BCED) = 24 cm

|AD| = 4 cm

2

24

|DE| = 12 cm |FC| = 8 cm Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B D| = x k a ç c m d ir ? A) 12

B) 10

C) 9

D) 8

E) 6

B

C

Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , A)

1 3

B)

1 2

C)

2 3

| AE | oran› kaçt›r? | EC |

D)

3 8

E)

4 9

B-D-C / E-A-B / A-C-E / A-E-B

169

GENEL TEKRAR TEST‹ 1.

ABC bir üçgen

A

ABE ve BCD dik üçgen

A

m(AéDE) = m(AéCB)

6

8

4.

|AE| = 6 cm E

D

B

8

|AD| = 8 cm x

C) 10

D) 12

|BC| = 12 cm

E) 14

D

A

ABC bir üçgen

65°

m(BéAC) = 65°

x

m(AéBC) = 40°

|BD| = 8 cm

C

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |D E| = x ka ç c m di r ? A) 4

2.

[CD] ⊥ [BE]

E

|AE| = |CD|

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | E C| = x k a ç c m d i r ? B) 8

x

12

C

A) 6

[BA] ⊥ [AE]

m(AéBE) = m(CéBE)

|BD| = 4 cm

4 B

D

5.

B) 5

C) 6

D) 7

fiekilde

A

E

[AB] ⊥ [BD]

[BD] ⊥ [DE]

x

9 40° B

C

A¿BC ~ A¿ED oldu¤una göre, m(AéDE) = x kaç dere cedir? A) 50

B) 55

C) 60

D) 65

B

C

9 x

4

E

C) 18

D) 15

E) 12

[DE] // [AC]

[ED] ⊥ [AC]

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | D C | = x k a ç c m d ir ? C) 6

fiekildeki üçgende,

A

|EC| = 3|BE| D B

|BC| = 4 cm

170

B) 21

6.

|AB| = |AE|

C

B) 5

|DE| = 3 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A C| = x k a ç c m d i r ?

[BC] ⊥ [AC]

|DE| = 9 cm

A) 4

|CD| = 4 cm

E

E) 75

[BA] ⊥ [AE]

B

|AB| = 9 cm

D

ABC ve ADE dik üçgen

A

D

4

3

A) 24

3.

E) 8

D) 7

E) 8

C

E

Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , A) 2

B) 3

C) 4

Çevre(ABC) o r a n› k a ç t › r ? Çevre(DBE) D) 6

E) 9

BENZERL‹K

7.

ABC bir üçgen

A

F

x

[AB] // [EF] // [CD]

F

A

|EC| = 6 cm

B

11

C) 8

D) 9

ABC bir üçgen

A

E

D H

11.

D

|FD| = 4 cm

x

B

C

C) 6

D) 8

Y uka r› dak i ve ri l er e g öre , |EC | = x k aç cm di r?

E) 10

A) 4

12.

B) 5

C) 6

[AB] ⊥ [BC]

4ñ2 B

4

[DE] ⊥ [AC]

E

x

D

[DE] ⊥ [AC]

F x

[FH] ⊥ [BC]

10

|AE| = 3 cm

|DE| = 4ñ2 cm

D

C

E) 8

[AB] ⊥ [BC]

E

ABC dik üçgen

A

D) 7

ABC dik üçgen

A 3

9.

|BD| = 5 cm |DE| = 8 cm

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |A E| = x k aç cm di r? B) 5

|AF| = 6 cm

E

8

5

C

A) 4

[EF] aç›ortay

F 4

|BH| = 9 cm

B

[DE] // [BC]

6

|HE| = 3 cm

9

ABC bir üçgen

A

|DE| = |EF|

F

3

a

[DF] // [BC]

x

ˇ oran› kaçt›r? B) f C) P D) g E) b

Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e ,

E) 12

A)

8.

|AB| = 11 cm

|FB| = y

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |A E| = x k aç cm di r? B) 6

|EF| = 7 cm

|CF| = x

C

A) 4

|CD| = 5 cm

y

|BF| = 2|FE| 6

B

fiekilde,

C

7

E

[DC] ∩ [BE] = {F}

E

5

D

[DE] // [BC]

x D

10.

B

H

C

|DE| = 4 cm |FC| = 10 cm

Al a n ( D E C ) = Al a n ( AB D E ) o l d u ¤ u n a g ö r e , | AB | = x kaç cm dir?

Y uka r› dak i ve ri l er e g öre , |FH | = x ka ç c m di r?

A) 4ñ3

A) 4,5

B) 8

C) 8ñ2

D) 8ñ3

E) 16

B) 5

C) 5,5

D) 6

E) 7,5

171

BENZERL‹K

13.

ABC bir üçgen

A

16.

[DE] // [FH] // [BC] D

E x

F

18

B

12

9

|AE| = |EH| = |HC|

B

|BC| = 18 cm

H

ABC, BED ve BEC dik üçgen

A

C

10

|AC| = 12 cm

E

|AB| = 9 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | F H| = x k a ç c m d i r ? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

|BD| = 10 cm

E) 5

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(BEC) kaç cm dir? A) 60

14.

A E

4

ABCD bir dörtgen

D

17.

[AD] // [EF] // [BC]

F

6

x

D) 45

C) 9

D) 9,5

E) 40

ABC bir üçgen ADF dik üçgen

D E

[DF] // [BC]

F

[AD] ⊥ [DF]

|EF| = 6 cm

C

B) 8,5

C) 50

A

|FC| = 2|AF|

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B C| = x k a ç c m d i r ? A) 8

B) 54

5

|BE| = 2|AE| |AD| = 4 cm

B

[DE] ⊥ [BE] [EB] ⊥ [BC]

D

C

[DA] ⊥ [AC]

B

12

|AD| = 5 cm

C

|BC| = 12 cm

E) 10

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(BCFE) kaç cm dir? A) 60

15.

[DE] // [BC]

12 D 6 B

172

18.

D) 80

E) 96

E

C

ABC dik üçgen

A

[BF] ve [CF] aç›ortay

4 x

C) 72

ABC bir üçgen

A

F

B) 64

D

4 G

[BA] ⊥ [AC]

E

F

[DE] // [BC]

|AD| = 12 cm

|AC| = 3|AE|

x

|BD| = 6 cm

B

|EC| = 4 cm Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B C| = x k a ç c m d i r ?

G , A D E üç ge ni ni n a¤ › rl › k me rk ezi ol du ¤un a gö re, | BC | = x k a ç c m d i r ?

A) 24

A) 32

B) 20

C) 18

D) 16

E) 15

B) 36

C

C) 40

|AG| = 4 cm

D) 44

E) 48

BENZERL‹K

19. D

x

22.

ABC ve DBF dik üçgen

A

[ED] ⊥ [AB]

[AC] ⊥ [BF]

E 15

D

[FD] ⊥ [AB]

12

8

C

F

H 7 B

|BC| = 12 cm

[CH] ⊥ [AB]

E

18

|BD| = 15 cm B

ABC bir üçgen

A

|AE| = |EC| |DH| = 18 cm

25

|BH| = 7 cm

C

|CF| = 8 cm

|BC| = 25 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | AD | = x k a ç c m d i r ? A)

5 2

B) 2

20.

C)

3 2

D) 1

E)

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(DEC) kaç cm dir?

1 2

A) 108

23.

fiekilde,

A

Alan(ADE) = 2 cm D

E

Alan(DEF) = 4 cm

C) 96

2

[DE] // [BF]

8

2

[DF] // [BC]

E 4 F

D

|AE| = 8 cm |EF| = 4 cm

x B 2

E) 84

ABC bir üçgen

C

F

D) 90

A

[DE] // [BC] B

B) 102

C

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABC) kaç cm dir?

Y uka r› dak i ve ri l er e g öre , |FC | = x k aç cm di r?

A) 12

A) 9

21.

A

B) 15

4

C) 18

D) 20

E) 24

B) 8

24.

[EH] // [BC] D

F, C, H do¤rusal |AF| = 4 cm H

x

E

ABC bir ügçen

A

[BD] ∩ [AE] = {C}

C

3

E) 5

fiekilde

F 2 B

[AB] // [DE]

D

D) 6

C) 7

|AD| = |DE|

E

F

4

|DF| = |FC|

H

|FH| = 4 cm

|FB| = 2 cm |DH| = 3 cm

B

x

C

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |H E| = x ka ç c m di r ?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B C| = x k a ç c m d i r ?

A) 4,5

A) 14

B) 6

C) 7,5

D) 9

E) 12

B) 16

C) 18

D) 20

E) 24

C-E-B / A-D-C / B-C-B / C-C-D / C-E-E / A-D-B / D-C-B / A-D-E

173

SINAVLARDA (ÖSS-ÖYS-YGS-LYS) SORULMUfi SORULAR 1.

4.

D

|BF| = 3 br

A 2

6 F

B

1 B

K

C

E

T

|AE| = 2 br

x

3

3

A

|AF| = 6 br E

D

|EC| = x br C

fiekildeki ABC üçgeninde D, E, F noktalar› kenarlar üzerinde olup, AEDF bir paralelkenard›r.

F

A¿BC ~ D¿EF, [AK] ve [DT] kenarortaylar, |AK| = 1 br,

B u n a g ö r e , | E C | = x k a ç b ir im d ir ?

|DT| = 3 br, yukar›da verilen ABC ve DEF üçgenleri benzerdir.

A)

9 2

7 2

B)

C)

5 2

D) 3

E) 4

(ÖSS 1992)

2

A B C ü ç g e n i n in a l a n › a o l d u ¤ u n a g ö r e , D E F ü ç g e n i 2 nin alan› kaç a dir? A) 9

B) 6

C) 4

D) 3

E) 2

(ÖYS 1988) 2.

E

A(ADM) = 3 cm 3 M

9 B

E

10

2

A(BFMD) = 9 cm

2

A(FCEM) = 15 cm

15 F

BAC dik üçgen

A

DE // BC

A

D

5.

E ∈ [BA]

24

D ∈ [BC]

8

[ED] ⊥ [BC]

B1444442444443 D C x

2

|AC| = 24 cm |BE| = 10 cm |ED| = 8 cm

C

|BC| = x cm

Y u k a r › d a v e r i l e n l e r e g ö r e , A B C ü ç g e n i n in a l a n › k a ç 2 cm dir?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B C| = x k a ç c m d i r ?

A) 36

A) 26

B) 35

C) 34

D) 33

E) 32

B) 28

C) 30

D) 32

(ÖSS 1990) 3.

E) 36

(ÖYS 1993)

ABCD bir yamuk

K

|AB| = 8 birim |BC| = 3 birim D

4

C

8

B

B

B u n a g ö r e , | CK | k a ç b i r i m d i r ? B) 4

C) 5

D) 6

E) 8

(OSS 1991) 174

|FC| = 10 cm |BD| = 24 cm

T

fiekildeki ABCD yamu¤unda yan kenar do¤rular› K da kesiflmektedir.

A) 3

|EF| = |FT|

A

|DC| = 4 birim

3 A

6.

24

D

x

F

10

C

|DF| = x cm

E

Yukar›daki flfleekilde [AB] // [TE] oldu¤una göre, |DF| = x k a ç c m ol a b i l i r ? A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

E) 12

(ÖSS 1996)

BENZERL‹K

7.

m(BéAC) = 90°

A 16 15

D 4 B

x

10.

m(BéED) = 90°

DE // BC

|BD| = 4 cm

|DE| = 8 cm D

|DA| = 16 cm E

C

ABC bir üçgen

A

E

8

|BC| = 12 cm

|AC| = 15 cm 12

B

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |B E| = x kaç c m di r? 16 13 A) B) C) 5 D) 4 E) 3 5 5

C 2

fifieekildeki BCED dörtgeninin alan› 60 cm oldu¤una 2 göre, ADE üçgeninin alan› kaç cm dir?

(ÖSS 1998)

A) 42

B) 44

C) 46

D) 48

E) 50

(ÖSS/MAT-1 2009)

8.

m(BéAC) = 90°

A

B

40°

30°

E

D

m(AéBC) = 40°

C

m(AéEF) = α

B

C) 75

D) 80

|AK| = h1 |KL| = h2

L

C

Yukar›daki flfleekilde ADE üçgeninin alan›n›n BCED A(ADE) 4 = dört geni ni n al an› na ora n› ol du¤ un a A(BCED) 21 h1 göre, oran› kaçt›r? h2

ABC üçgeni DEF üçgenine benzer (A¿BC ~ D¿EF) oldu ¤una göre, m(AéEF) = α kaç derecedir? B) 70

E

K h2

Yukar›daki flekilde, DEF dik üçgeninin köfleleri ABC dik üçgeninin kenarlar› üzerindedir.

A) 50

DE // BC

h1

m(BéDF) = 30° D

ABC bir üçgen

A

m(FéDE) = 90°

α

F

11.

E) 85

A)

(ÖSS 1999)

1 2

2 3

B)

C)

3 4

D)

4 5

E)

5 6

(LYS-1 2010)

12. 9.

B

E

F

B

|BC| = x cm

2 x

K

3 E

B) 18

C) 22

D) 24

D

C

fiekildeki ABC üçgeninin [AC] kenar› üzerinde |FE| = 3 cm olacak biçimde E ve F noktalar› al›n›yor.

[ F D ] v e [ G E ] d o ¤ r u p a r ç a l a r › b i r K n o k t a s› n d a 2|FK| = |KD| olacak biçimde kesiflfltti¤ine göre, |AC| u z u n lu ¤ u k a ç c m d ir ?

C

Y u k a r › d a v e r il e n l e r e g ö r e , x k a ç c m d i r ? A) 14

G

LD // HF // KE // BC

D

F

|KE| = 2 cm

H K

|BD| = |DC|

|AL| = |LH| = |HK| = |KB|

A L

|AG| = |GB|

A

E) 26

A) 9

B) 12

(OSS 2002)

C) 15

D) 18

E) 21

(ÖSS/MAT-2 2008)

A-E-A / E-C-B / A-B-D / D-B-B

175

SINAVLARDA SORULAB‹LECEK SORULAR 1.

ABC ve AHC birer üçgen

A x

|AB| = |AC|

F

6 B

C)

2.

20 3

D)

16 3

5.

D

F

[AE] ⊥ [BC]

E

x

C) 8

A) 10

B) 9

[GD] // [BC]

B

6

x

3 E

[BA] ⊥ [AC]

4 F

C

[ED] ⊥ [DF]

|DE| = 3 cm |DF| = 4 cm

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |G D | = x k aç cm di r?

| B C | = 2 | E F | o l d u ¤ u n a g ö r e , t a r a l › b ö lg e n in ç e v r e s i kaç cm dir?

A) 2

A) 18

B) 3

C) 4

D) 4,5

E) 5

A-B-C / C-A-E

176

[DE] // [AB]

D

B

C

E

E) 6

ABC ve DEF dik üçgen

|BE| = 6 cm

D

D) 7

A

G, a¤›rl›k merkezi

G

C) 8

E) 12

ABC bir üçgen

A

C

Yukar›daki verilere göre, |BC| = x kaç cm dir?

6. 3.

|EC| = 2 cm

2

x

B

F |BD| = 12 cm

D) 9

|AD| = |DE| = 4 cm E

Y uka r› da ki v eri l er e g öre , |E F| = x k aç cm di r? B) 6

[EF] ⊥ [AB]

D 4

|AD| = 6 cm

A) 5

[FD] // [BC]

4

[AE] ⊥ [EF]

C

ABC bir üçgen

A

[BA] ⊥ [AF]

6 12

|DC| = 10 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B F | k a ç c m d ir ? 19 45 54 A) B) 10 C) D) 12 E) 2 4 5

E) 5

ABC ve AEF dik üçgen

A

B

|DE| = 8 cm

C

|HF| = 9 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A H| = x k a ç c m d ir ? B) 8

F E

|EF| = 4 cm

C

A) 10

x

B

|BD| = 6 cm

[DE] ⊥ [BC]

10

8

9

|AD| = 9 cm

4

E

[FH] ⊥ [AB]

D H

[EF] // [AH] D

ABC bir üçgen

A

[DE] // [BC]

H

9

4.

B) 20

C) 22

D) 24

E) 26

KAZANMIfi OLMAMIZ GEREKEN B‹LG‹ ve BECER‹LER

Benzerlik kavram›n› tan›mlayabilme Benzer flekiller aras›ndaki orant›y› kurabilme ‹ki üçgenin benzer olma koflullar›n› sayabilme Temel benzerlik ile ilgili benzerlik sorular›n› çözebilme Kelebek benzerli¤i ile ilgili benzerlik sorular›n› çözebilme Efl üçgenlerin benzerlik oran› 1 olan üçgenler oldu¤unu kavrayabilme ‹ki üçgenin efllik koflullar›n› sayabilme Benzer üçgenlerin benzerlik oran›n›n karesinin alanlar oran› oldu¤unu bilme

177

07

ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER

Çokgenleri elemanlar›yla birlikte tan›mak gerekir. As›l önemli olan düzgün çokgenleri ö¤renmek Düzgün alt›gen, düzgün çokgenlerin en güzelidir.

YÖRÜNGEDEK‹ KAVRAMLAR çokgen

s. 181

düzgün çokgen s. 182 düzgün üçgen

180

s. 182

ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER 7.1

Çokgenleri elemanlar›yla birlikte tan›mak gerekir. n ≥ 3 olmak üzere, düzlemde herhangi üçü do¤rusal olmayan n tane noktay› ikifler ikifler birlefltiren do¤ru parçalar›n›n oluflturdu¤u kapal› flekillere çokgen denir.

genleridir. [DA] ve [DB] köflegenleri çokgeni n – 2 = 5 – 2 = 3 tane üçgene ay›r›r. Bu ügçenler ise DEA, DAB ve DBC üçgenleridir.

Afla¤›da çokgen örnekleri verilmifltir. • n kenarl› bir çokgenin iç aç›lar›n›n toplam› (n – 2). 180° dir.

Kenar say›s› (n) ‹ç aç›lar toplam› = (n – 2). 180° Üçgen

Dörtgen

Altıgen D

Yedigen

z

d y E

c

e

C t

a

x

b

A

k

Beflgen

B

fiekildeki ABCDE beflgeninde ölçüleri x, y, z, t ve k olan aç›lar beflgenin d›fl aç›lar›, ölçüleri a, b, c, d ve e olan aç›lar ise beflgenin iç aç›lar›d›r.

(3 – 2). 180° = 180°

Üçgen

3

Dörtgen

4

Beflgen

5

Alt›gen

6

Yedigen

7

Sekizgen

8

(4 – 2). 180° = 360°

(5 – 2). 180° = 540°

(6 – 2). 180° = 720°

(7 – 2). 180° = 900°

(8 – 2). 180° = 1080°

örnek soru E 130°

ABCDEF bir alt›gen

D

m(ëA) = m(ëD) = 120°

120°

m(ëB) = m(ëE) = 130° F

105°

x

C

m(ëF) = 105° m(ëC) = x

A, B, C, D ve E noktalar›na çokgenin köfleleri, [AB], [BC], [CD], [DE] ve [EA] do¤ru parçalar›na ise çokgenin kenarlar› denir. • Kenarlar› d›fl›nda, çokgenin köflelerini birlefltiren do¤ru parçalar›na köflegen denir. n kenarl› bir çokgenin bir köflesinden n – 3 tane köflegen çizilir, çizilen bu köflegenler çokgeni n – 2 tane üçgene ay›r›r. D

120° 130° A

B

Yukar›daki verilere göre, x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

çözüm Bütün alt›genlerde iç aç›lar toplam›

(n – 2). 180° = (6 – 2). 180° = 720° dir. C

E

fiekildeki alt›genin iç aç›lar toplam› 2. 120° + 2. 130° + 105° + x = 720° 240° + 260° + 105° + x = 720°

A

B

Yukar›daki beflgende D köflesinden n – 3 = 5 – 3 = 2 tane köflgen çizilebilir. Bunlar [DA] ve [DB] köfle-

605° + x = 720° x = 115° bulunur.

181

ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER

• Bütün çokgenlerin d›fl aç›lar›n›n ölçüleri toplam› 360° dir. • n kenarl› bir çokgenin tüm köflegenlerinin say›s› n(n – 3) ile bulunur. 2

çözüm ‹ç aç›lar toplam› 1800° ise, (n – 2). 180° = 1800° n – 2 = 10 n = 12 olur. 12 kenarl› bir çokgenin köflegen say›s›

örnek soru ‹ç aç›lar toplam› 1800° olan bir çokgenin köflegen say›s›n›n kaç oldu¤unu bulal›m.

n ⋅ (n – 3) 12 ⋅ (12 – 3) = = 54    bulunur. 2 2

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 14, 15 nolu sorular› hemen çözelim.

7.2

As›l önemli olan düzgün çokgenleri ö¤renmek Bütün iç aç›lar› eflit, bütün d›fl aç›lar› eflit ve bütün kenar uzunluklar› eflit olan çokgenlere düzgün çokgen denir. 60°

60°

Bir d›fl aç›n›n ölçüsü 360° = 45°. n n=

Düzgün üçgen (eflkenar üçgen)

Düzgün dörtgen (kare)

108°

120° 120° 108°

120°

120°

108° 108°

120°120°

Düzgün beflgen

Düzgün alt›gen

• Düzgün çokgenlerde bir d›fl aç›n›n ölçüsü bir iç aç›n›n ölçüsü 180° – (n – 2) ⋅ 180° ile bulunur. n

360° = 45° ise, n

360° = 8 olur. 45°

8 kenarl› bir düzgün çokgenin bir kenar›n›n uzunlu¤u 6 cm ise, çevre uzunlu¤u 8. 6 = 48 cm bulunur.

60°

108°

çözüm

360° ile, n

360° ile veya n

örnek soru Bir iç aç›s›n›n ölçüsü 160° olan bir düzgün çokgenin köflegen say›s›n› bulal›m.

çözüm 160°

160°

20°

Bir iç aç›s›n›n ölçüsü 160° olan düzgün çokgenin bir d›fl aç›s› 20° dir.

örnek soru Bir d›fl aç›s›n›n ölçüsü 45° olan bir düzgün çokgenin bir kenar uzunlu¤u 6 cm ise, bu çokgenin çevre uzunlu¤unun kaç cm oldu¤unu bulal›m.

182

360° = 20° ⇒ n = 18 dir. n 18 kenarl› düzgün çokgenin köflegen say›s› n(n – 3) 18 ⋅ (18 – 3) = = 135 bulunur. 2 2

ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER

örnek soru

Bu durumda m(EéDC) = m(DéCB) = 108° dir. ABCDE bir düzgün beflgen

D

E

[DH] ⊥ [AB]

C

|DF| = |DC|

x

m(AéEF) = x

F

A

H

Kenar say›s› tek say› olan düzgün çokgenlerde bir köfleden karfl› kenara çizilen dikme, hem karfl› kenar› iki efl parçaya ay›r›r, yani kenarortayd›r, hem de aç›ortayd›r. 108° Buna göre, m(EéDF) = m(FéDC) = = 54° olur. 2 Düzgün beflgenin kenar uzunluklar› eflit oldu¤undan |DE| = |DC| dir.

B

|DF| = |DC| verildi¤inden |DE| = |DF| olur. Yukar›daki verilere göre, x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

DEF ikizkenar üçgeninde m(DéEF) = m(DéFE) =

180° – 54° = 63° dir. 2

O halde, m(AéEF) = x = 108° – 63° = 45° bulunur.

çözüm Düzgün beflgenin bir d›fl aç›s› 360° = 72° oldu5

D 54° 54° E

63° x 63°

C

108°

72°

F

A

H

¤undan bir iç aç›s›n›n ölçüsü 180° – 72° = 108° dir.

B

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 5, 6, 7, 8, 9, 17 nolu sorular› hemen çözelim.

7.3

Düzgün alt›gen düzgün çokgenlerin en güzelidir. •

a

E a

a

a

a

60°

a

E

D

a a

a

F

•

D

C

F

C a 3

a

60° 60° 60° a A B

a

Bir kenar uzunlu¤u a cm olan düzgün alt›genin flekildeki gibi köflegenleri çizildi¤inde, bir kenar› a cm olan 6 tane eflkenar üçgene ayr›l›r.

A

30° a

120°

30° a

B

Alt›genin bir iç aç›s› 120° oldu¤undan [AC] köflegeni çizilirse, ABC üçgeni 30° – 30° – 120° üçgeni olur. 30° nin karfl›s› a cm iken 120° nin karfl›s› añ3 cm olur.

2 • Bir eflkenar üçgenin alan› a ⋅ 3 oldu¤undan 2 alt›genin alan› 6 . a ⋅ 3 ile bulunur.

4

4

183

ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER

örnek soru

örnek soru

E

ABCDEF bir düzgün alt›gen

D

E

ABCDEF bir düzgün alt›gen

D

|AK| = 1 cm F

C

x

A 1 K

2

|KB| = 2 cm |EK| = x

B

E

30°

C

x

F

üçgeni olur.

2

C

EAK dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa, 2

|EK| = |EA| + |AK| x = (3ñ3) + 1 2

x = 27 + 1

A

B

O halde, |EA| = 3ñ3 cm olur. (120° nin karfl›s› 30° nin karfl›s›n›n ñ3 kat›d›r.)

2

2

x = 2ñ7 cm bulunur.

184

D

30° – 30° – 120°

|AB| = 1 + 2 = 3 cm oldu¤undan |EF| = |FA| = 3 cm olur.

2

E

FAE üçgeni

Bu durumda m(EéAK) = 120° – 30° = 90° olur.

2

B

Yukar›daki verilere göre, taral› bölgelerin alanlar› 2 toplam›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

[EA] çizilirse,

D

A 1 K

2

4

30°

3

3 3

120°

C

çözüm

çözüm

F

F

A

Yukar›daki verilere göre, x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

3

|AB| = 4 cm

4

B

EDF ve ABC üçgenleri efl oldu¤undan alanlar› da efltir. Dolay›s›yla DEF üçgeni yerine ABC üçgeni taranabilir. DEF üçgeni ABC üçgenine tafl›nd›ktan sonra, yeni taral› bölgenin alt›genin yar›s›na eflit oldu¤u görülür. Bu durumda taral› bölge, bir kenar uzunlu¤u 4 cm olan 3 tane eflkenar üçgenin alan›na eflittir. O halde,

taral› bölgenin alan› = 3. bulunur.

a2 ⋅ 3 42 ⋅ 3 2 = 3. = 12ñ3 cm 4 4

ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER

örnek soru

örnek soru

E

ABCDEF bir düzgün alt›gen

D y N

L

ABCDEF bir düzgün alt›gen

D

ABKL kare

K

x

E

F, L, N do¤rusal

C

F

F

[AC] ve [BF] köflegen

C

m(NLªK) = x

K

m(DNªL) = y A

A

B

Yukar›daki verilere göre, x + y toplam› kaç derecedir?

B 2

fiekildeki ABCDEF alt›geninin alan› 12ñ3 cm ol2 du¤una göre, KAB üçgeninin alan› kaç cm dir?

çözüm

çözüm E

120°

120°

F

45° L 75° 75°

E

D

x

y N K C

F

C 2a

30°

A

B

ABKL karesinde |AB| = |AL| ve ABCDEF düzgün alt›geninde |AB| = |AF| oldu¤undan |AF| = |AL| dir. ABKL karesinde m(LAªB) = 90° ve ABCDEF alt›geninde m(FAªB) = 120° oldu¤undan m(FAªL) = 30° dir. Bu durumda m(AFªL) = m(ALªF) = 75° olur. (‹kizkenar üçgen) F, L, N do¤rusal oldu¤undan m(ALªF) + m(ALªK) + m(NLªK) = 180° yani 75° + 90° + x = 180° ⇒ x = 15° bulunur. ABCDEF düzgün alt›geninin karfl›l›kl› kenarlar› birbirine paralel oldu¤undan [DC] // [FA] d›r. Dolay›s›yla m(DNªF) = m(NFªA) yani y = 75° dir. O halde, sorunun cevab› x + y = 15° + 75° = 90° bulunur.

2a

30°

K a 120° a

añ3 30°

A

D

30°

30°

añ3

añ3 B

Önce aç›lar› yazal›m. ABCDEF düzgün alt›geninde FAB ve ABC üçgenleri ikizkenar üçgen oldu¤undan m(BAªC) = m(BCªA) = 30° ve m(AFªB) = m(ABªF) = 30° dir. Bu durumda KAB üçgeni 30° — 30° — 120° üçgeni olur. |KA| = |KB| = a br al›rsak, |AB| = añ3 br olur.

(a 3 ) Bir kenar› añ3 br olan alt›genin alan› 6.

2

3

4

oldu¤una göre,

6 ⋅ 3a2 ⋅ 3 18a2 = 18 3 ⇒ = 18 ⇒ a2 = 4 4 4 ⇒ a = 2 cm olur. Alan(KAB) =

=

1 . |KA|. |KB|. sin120° 2

1 3 ⋅ 2⋅2⋅ = 3 cm2 bulunur. 2 2

KAB üçgeni 30° — 30° — 120° üçgeni oldu¤undan, alan›n› hesaplarken eflkenar üçgenin alan›n› bulmada kulland›¤›m›z formülü de kullanabiliriz. Buna göre; Alan(KAB) = bulunur.

a2 3 22 3 2 = = ñ3 cm 4 4

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 2 1, 2, 9, 10 / Genel Tekrar Testi 3, 5, 6, 13 nolu sorular› hemen çözelim.

185

BU KONUDA ÖZETLE... Konuların ve Kavramların Özeti ÇOKGENLER n ≥ 3 olmak üzere, düzlemde herhangi üçü do¤rusal olmayan n tane noktay› ikifler ikifler birlefltiren do¤ru parçalar›n›n oluflturdu¤u kapal› flekillere çokgen denir.

• Kenarlar› d›fl›nda, çokgenin köflelerini birlefltiren do¤ru parçalar›na köflegen denir. Düzgün Beflgen D 108°

n kenarl› d›fl bükey bir çokgende;

• ‹ç aç›lar›n ölçülerinin toplam› (n — 2). 180° dir.

E

108°

108°

C

• D›fl aç›lar›n ölçülerinin toplam› 360° dir. • Bir köfleden çizilen tüm köflegenlerin say›s› n — 3 tanedir.

108°

• Bir köfleden çizilen köflegenlerle çokgen, n — 2 tane üçgene ayr›l›r. • Köflegen say›s›

n ⋅ (n — 3) dir. 2

108° 72° B

A

360° = 72° 5

Düzgün beflgenin d›fl aç›lar›n›n herbiri dir.

‹ç aç›lar›n›n herbiri 180° — 72° = 108° dir.

n kenarl› düzgün çokgende;

Düzgün beflgenin 5 tane köflegeni vard›r ve bu köflegenlerin herbiri ayn› uzunluktad›r.

• Kenar uzunluklar› eflittir. • ‹ç aç›lar›n ölçüleri eflittir. • D›fl aç›lar›n ölçüleri eflittir. • Bir d›fl aç›n›n ölçüsü

360° n

‹ç Bükey (Konkav) Çokgen

360° • Bir iç aç›n›n ölçüsü 180° — dir. n

B

Düzgün Alt›genin Alan› E D a2 3 4

C

A

a

F

A

A(ABCDEF) = 6 F

C

B

G

D

E

‹ç aç›lar›ndan birinin veya bir kaç›n›n ölçüsü 180° den fazla olan çokgenlere iç bükey çokgen denir. D›fl Bükey (Konveks) Çokgen D

αα α α α

E

C

F

B A

Bir köfleden çizilen köflegenler aras›ndaki aç›lar eflittir.

186

Bütün iç aç›lar›n›n ölçüsü 180° den küçük olan çokgenlere d›fl bükey çokgen denir.

Ö⁄REND‹KLER‹M‹Z‹ TEST EDEL‹M Kavrama Testi 1 Kavrama Testi 2

( 7.1 - 7.3 ) ( 7.1 - 7.3 )

Genel Tekrar Testi

( 7.1 - 7.3 )

S›navlarda (ÖSS-ÖYS-YGS-LYS) Sorulmufl Sorular S›navlarda Sorulabilecek Sorular

187

KAVRAMA TEST‹ 1.

‹ ç a ç › l a r › n ›n ö l ç ü l e r i to p l a m › 1 4 4 0 ° o l a n d ü z g ü n ç o k g e n k a ç k e n a r l› d ›r ? A) 8

2.

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

bükey dokuzgenin kaç köflfleegeni vard›r? Bir d›flflb A) 20

B) 27

C) 35

D) 44

6.

1

B i r d ü z g ü n s e k i z g e n in b ir i ç a ç › s › n › n ö l ç ü s ü k a ç d e recedir? A) 156

7.

E) 54

A) 7

4.

C) 9

D) 10

E) 11

B) 9

C) 8

D) 7

E) 6

Bir iç aç›s›n›n ölçüsü, bir d›fl aç›s›n›n ölçüsünün 5 ka t› olan düzgün çokgenin kaç köflfleesi vard›r? A) 10

188

B) 8

Köflfleegen say›s› kenar say›s›n›n 2 kat› olan çokgen kaç kenarl›d›r? A) 10

5.

8.

14 köflfleegeni olan çokgen kaç kenarl›d›r?

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

D) 140

E) 135

B) 20

C) 24

D) 30

E) 36

Düzgün ongenin bir d›fl aç›s›n›n ölçüsü kaç derece dir? A) 36

9.

C) 144

Bir iç aç›s›n›n ölçüsü 170° olan düzgün çokgen kaç kenarl›d›r? A) 18

3.

B) 150

B) 30

C) 24

D) 20

E) 18

Düzgün yirmigenin bir iç aç›s›n›n ölçüsü bir d›fl aç› s› n› n öl çü sünde n ka ç de re ce f a zl ad› r? A) 150

B) 144

C) 140

D) 132

E) 120

10. 12 kenarl› bir çokgenin bir köflfleesinden kaç tane köflflee g e n ç iz ilir ? A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER

11. 11 kenarl› bir çokgen, bir köflfleesinden çizilen köflflee -

15.

A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

x

E) 11

F

G

120°

130°

C

145°

A

B

Yukar›daki flfleekilde verilen aç› ölçülerine göre, m(FéED) = x kaç derecedir?

12. 9 kenarl› bir çokgenin iç aç›lar›n›n ölçüleri toplam› k a ç d e r e c e d ir ? B) 1620 C) 1440

D

150°

135°

120°

A) 1800

ABCDEFG bir konveks yedigen

E

g e n l e r l e k a ç ü ç g e n s e l b ö l g e y e a y r › l ›r ?

A) 100

D) 1260 E) 1080

B) 105

16.

C) 110

E

D) 115

E) 120

ABCDEF düzgün alt›gen

D

55°

m(FéEH) = 55°

F

C

13. 15 köflfleesi olan çokgenin iç aç›lar›n›n ölçüleri toplam› kaç dik aç›ya eflfliittir? A) 13

B) 15

C) 18

D) 26

x

E) 30

A

H

B

Yukar›daki verilere göre, m(EéHA) = x kaç derecedir? A) 55

14.

E 55°

D

K

ABCDEF bir alt›gen

B) 60

17.

C) 65

D) 70

E) 75

ABCDE düzgün beflgen

D

x C

E

85° F

60° 50°

A

B

C 40°

x A

B

Yukar›daki flfleekilde verilen aç› ölç ülerine göre, m(CéDK) = x kaç derecedir?

Y u k a r ›d a k i v e r i l e n l e r e g ö r e , m ( A é B D ) = x k a ç d e r e c e dir?

A) 70

A) 54

B) 65

C) 60

D) 55

E) 50

B) 60

C) 64

D) 68

E) 72

C-B-A-D-C / E-E-A-B-B / C-D-D-A / A-C-E

189

2

KAVRAMA TEST‹ 1.

ABCDEF düzgün alt›gen

D

E x

m(FéKD) = 45°

C

F

A

B

4.

x

K

C) 105

D) 110

A

E

12

F

5.

[FC] köflegen

C

B

Yukar›daki verilere göre, m(EéFH) = x kaç derecedir?

E) 115

ABCDEF düzgün alt›gen

D

F H

B) 120

A) 114

2.

|FC| = 12 cm

C) 126

E

D

K

L

ABLK kare x

B) 30

C) 36

D) 42

A

C

E

ABCDEF düzgün alt›gen

D

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (B é C L ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

E) 48

A) 75

3.

B) 70

6.

C) 65

3

C

H

[FH] ⊥ [BD]

E

x

D) 60

ABCDE beflgen

D

[FB] ve [BD] köflegen F

E) 138

B

Y uka r› da ki v eri l e re g öre , al t › ge ni n çe vr esi k aç c m dir? A) 24

D) 132

ABCDEF düzgün alt›gen

F A

|EF| = |BC|

C

45°

B) 100

[DH] ⊥ [AB]

E

Yukar›daki verilere göre, m(EéDK) = x kaç derecedir? A) 95

ABCDE düzgün beflgen

D

C

F

E) 55

düzgün

FAB eflkenar üçgen

|FH| = 3 cm A

x

B A

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A B| = x k a ç c m d i r ? A)

190

3 2

B) 2

C)

3 2

D) ñ3

E)

3 3 2

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (D é E F ) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 38

B) 40

C) 42

D) 44

E) 46

ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER

7.

F

ABCDEFGH düzgün sekizgen

E

G

[AG] ve [GC] köflegen

D x

H

6

8.

F

C) 9

D) 6ñ3

B 2

A) 4ñ3

11.

B) 6ñ3

E

C) 8ñ3

F

C

C

A

9.

B) 2 + ñ2

D) 4 + ñ2

E

A

C) 3 + ñ2

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , x k a ç d e r e c e d ir ? A) 105

E) 2 + 2ñ2

ABCDEF düzgün alt›gen

D

B

12.

B) 108

E

x

A

C

C) 120

2C F

1 H 1 B

K

E) 150

[EC], [FC] köflegen C

A

D) 135

ABCDEF düzgün alt›gen

D

|AH| = |HB| = 1 cm F

[AC] ve [BF] köflegen

K

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | H C| = x k a ç c m d i r ? A) 1 + ñ2

E) 12ñ3

m(FëKC) = x

x A

D) 10ñ3

ABCDEF düzgün alt›gen

D

[HC] köflegen |AB| = A cm

x

|KD| = 1 cm

Yukar›daki verilere göre, Alan(KAB) kaç cm dir?

E) 12

ABCDEFGH düzgün sekizgen

E D

H

C

A

G

ABCDEF düzgün alt›gen

K1D

F

B

B) 8

3

|EK| = 3 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | G C| = x k a ç c m d i r ? A) 6ñ2

E

|AG| = 6 cm

C A

10.

|EC| = 2C cm

B 2

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |EH | = x ka ç c m di r ?

Yukar›daki verilere göre, Alan(FKC) kaç cm dir?

A) 3

A) 4ñ6

B) ò10

C) 2ñ3

D) ò13

E) ò15

B) 2ñ6

C) 4ñ3

D) 3ñ3

E) 2ñ3

C-C-B / C-A-C / A-B-D / C-C-E

191

GENEL TEKRAR TEST‹ 1.

C

...ABCDEF... düzgün çokgen

D

B

15°

x

E

A

F

4.

E

[AE] ve [BE] köflegen P

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m (D é E B ) = x k a ç d e r e c e d ir ? A) 15

B) 22,5

C) 30

D) 37,5

A

K

ABCDE... düzgün çokgen

K 60°

B

x

A

D

E

D) 120

C

[FC] ve [FB] köflegen F

C

A

F

Y uka r› dak i ve ri l ere gö re, x ka ç de re ced i r? B) 9

6.

C) 10

F E

4 H

C

x

B

192

C) 3ñ3

D) 4ñ3

|DF| = |FE| |FH| = 4 cm

2

B) 2ñ3

E) 15

[DK] ⊥ [AB]

|AH| = |HB|

Yukar›daki verilere göre, Alan(FHB) kaç cm dir? A) ñ3

D) 12

ABCDE düzgün beflgen

D

A H

m(BéAF) = x m(BéCF) = 30°

B

x

|FC| = 8 cm A

E) 4

|AF| = |EB| 30°

E) 110

ABCDEF düzgün alt›gen

D

D) 6

ABCDE düzgün beflgen

m(AéKE) = 60°

C) 130

8

C) 8

E

A) 8

3.

L

[EB] köflegen

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( C é D E ) = x k a ç d e r e c e d i r ? B) 140

|RN| = 2ñ3 cm

D

E

A) 150

|AK| = |KL| = |LB|

B

B) 10

5.

A, B, K ve E, D, K do¤rusal

C

N

Yukar›daki verilere göre, |FC| = x kaç cm dir? A) 12

2.

C

2 3 M

R

E) 45

[FC] ve [RN] köflegen

x

F

m(BéEA) = 15°

ABCDEF ve KLMNPR düzgün alt›gen

D

E) 5ñ3

K

B

F , H , C n o k t a l a r › d o ¤ r u s a l o l d u ¤ u n a g ö r e , | HC | = x k a ç c m d ir ? A) 16

B) 12

C) 10

D) 9

E) 8

ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER

7.

Bir beflgenin iç aç›lar› 1, 2, 3, 4, 5 say›lar› ile orant›l›d›r.

10.

Bu beflflggenin en küçük iç aç›s›n›n ölçüsü kaç derece dir? A) 18

B) 36

C) 54

D) 60

E

ABCDEF bir düzgün alt›gen

D

KLDE bir kare F

K

E) 72

x

L

C

m(NéCB) = x N, L, C do¤rusal

N A

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , x k a ç d e r e c e d ir ? A) 36

8.

E

D S1

F

O

C

S3

11.

D) 48

E

H

o l d u ¤ un a g ö r e , 5 B) 2

[AB ∩ [DC = {L}

B

S1 + S3 S2

oran› kaçt›r?

C) 3

7 D) 2

A

E) 4

A

m(DéKL) = α

C

F

K

α

θ

B

m(CéLB) = θ L

α + θ = 130° oldu¤una göre, m(EéDK) = x kaç dere cedir? A) 50

9.

E) 54

ABCDEF bir düzgün alt›gen

D x

S1, S 2 ve S 3 içinde bulunduklar› bölgelerin alanlar›

A) 2

C) 45

O noktas› ABCDEF düzgün alt›geninin iç te¤et çemberinin merkezidir.

S2 A

B) 40

B) 55

C) 60

D) 65

E) 70

F

12. B

ABCDE bir düzgün beflgen

D

E K C

E

F

C

8

[AD] ve [EC] köflegen |FC| = 8 cm

D

ABCDEF düzgün alt›gen ve K, [FC] üzerinde de¤iflken bir noktad›r. B un a g ör e , 1 A) 12

A

Alan(ABK) o r a n› k a ç t › r ? Alan(ABCDEF) 1 B) 9

1 C) 8

1 D) 6

1 E) 4

B

Yukar›daki verilere göre, ABCDE beflflggeninin çevresi kaç cm dir? A) 72

B) 60

C) 48

D) 40

E) 32

193

ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER

13.

E

α

D K

L F

C

M

A

ABCDEF düzgün alt›gen

16.

MCKDL düzgün beflgen

E

B

B) 45

C) 42

D) 40

B

Yukar›daki verilere göre, ABCDE beflflggeninin çevre uzunlu¤u kaç cm dir?

E) 36

ABCDE bir düzgün beflgen

D E

C

17.

A

B) 44

E

[AC] köflegen F

m(FBªA) = 24° F x 24°

C) 48

E) 56

ABCDEF bir düzgün alt›gen

D

α

D) 52

K

[AD] köflegen C

[KF] ⊥ [KB] m(EFªK) = α

B

A

B

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( C F B ª ) = x ka ç de recedi r?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , α k a ç de r e c e d i r ?

A) 54

A) 15

15.

B) 60

C) 66

D) 72

E) 75

ABCDE bir düzgün beflgen

D E

C

K x

H

[EH] ⊥ [BC] |EK| = |AB|

18.

B) 30

E

B

C) 36

N

F

x A

D) 45

E) 60

ABCDEF bir düzgün alt›gen

D 2ñ3

m(AKªH) = x A

194

Çevre(ABKE) = 32 cm

A

A) 40

14.

[BD] ve [EC] köflegen

C

K

m(EéDL) = α

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , α k a ç d e r e c e di r ? A) 48

ABCDE bir düzgün beflgen

D

[DB] köflegen C

3ñ3

|DN| = 2ñ3 cm |NB| = 3ñ3 cm

B

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , x kaç de rec edi r ?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A N | = x k a ç c m d ir ?

A) 117

A) 4ñ3

B) 114

C) 112

D) 110

E) 108

B) 5ñ2

C) 2ò13

D) 2ò15 E) 9

ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER

19.

ABCDE bir düzgün beflgen

D E 20 L 9 A

K x

22.

[DH] ⊥ [AB]

C

H 10 A

|LB| = 15 cm

B) 10

C) 9

D) 8

E K N

F

C

x

23.

B) 48

E

6

|KF| = |EK|

F

K A

B) 8

C) 8,5

D) 9

E

ABCDEF bir düzgün alt›gen

D

4 M 2 F 4 K 2

N

L

|EM| = |KF| = 4 cm

[AD], [BD] ve [FB] köflegen |DL| = |LB| |AB| = 4ñ3 cm

B

24.

B) 2ñ6

E

C) 6

O

F

C

15°

|MF| = |AK| = 2 cm

2ñ3

A, B, N do¤rusal m(BOªN) = 15°

B A

D) 2ò10 E) 3ñ5

O noktas› ABCDEF düzgün alt›geninin a¤›rl›k merkezi

D

[ED] // [MN] // [KL] C

A

C

x 4ñ3

E) 64

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |K L | = x k aç cm di r?

E) 10

A) 4

21.

L

D) 56

ABCDEF bir düzgün alt›gen

D

B

Y uka r› da ki v eri l er e g öre , |N C | = x kaç c m di r ? A) 7,5

C) 52

[KB] ∩ [FC] = {N}

|AB| = 6 cm A

|AH| = 10 cm

Yukar›daki verilere göre, ABCDEF alt›geninin çevre si k a ç c m di r ?

E) 7

ABCDEF bir düzgün alt›gen

D

[AH] ⊥ [KL]

B

A) 40

20.

C 2 L

|EK| = |CL| = 2 cm

Y uka r› da ki v eri l er e g öre , |K L | = x k aç c m di r? A) 11

ABCDEF bir düzgün alt›gen

D

|AK| = 20 cm B

H

E

F

|LH| = 9 cm 15

2 K

B

N

|AB| = 2ñ3 cm

Y u k a r › d a k i v e r il e r e g ö r e , | M N| + | K L | to p l a m › k a ç cm dir?

Y uka r› dak i ve ri l ere gö re, |ON | kaç c m di r ?

A) 24

A) 2ñ2

B) 22

C) 20

D) 18

E) 16

B) 2ñ3

C) 3ñ2

D) 2ñ6

E) 3ñ3

C-B-B / A-D-E / B-C-D / C-E-D / A-B-A / A-D-C / E-B-D / B-C-C

195

SINAVLARDA (ÖSS-ÖYS-YGS-LYS) SORULMUfi SORULAR 1.

Afla¤›daki flekilde ABCDE bir d›flbükey beflgendir.

EéAB nin ölçüsü 100°

30° 120° G

E

C 100°

130°

A

C

T

U

A

C) 90

Z

fiekildeki düzgün beflgenin X, Y, Z, T ve U köfleleri, ABCD dikdörtgeninin kenarlar› üzerindedir.

DéCG nin ölçüsü 120°

B

B) 95

α

AéBC nin ölçüsü 130° X

B

Y

Buna göre, m(YéZB) = α kaç derecedir?

EDC aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? A) 100

D

FéED nin ölçüsü 30°

D F

4.

D) 85

A) 9

E) 80

B) 12

C) 15

D) 18

E) 21

(ÖSS 1992)

(ÖSS 1987)

2.

Yandaki flekilde

D

E

F

C

?

A

ABCDE bir düzgün beflgen FAB bir eflkenar üçgen

5.

Bir onbeflflggenin ayn› köflfleesinden di¤er köflfleelere çizilen köflfleegenler bu çokgeni kaç üçgene böler? A) 13

B

B) 14

C) 16

D) 18

E) 24

(ÖSS 1995)

oldu¤una göre, m(BéCF) kaç derecedir? A) 48

B) 55

C) 60

D) 66

E) 75

(ÖYS 1987)

6. 3.

A

D

1 2

B)

1 3

C

A

C)

Altıgenin Alanı

2 3

Karenin Alanı

D)

4 3

o r a n› k a ç t › r ?

E)

3 5

(ÖSS 1990) 196

D

F

C

Y u k a r › d a k i v e r il e r e g ö r e ,

A)

E

Bir ABCD karesinin [AB] ve [CD] kenarlar› üçer, [BC] ve [AD] kenarlar› da ikifler eflit parçaya bölünmüfltür.

B

B

fifieekildeki ABCDEF düzgün alt›genindeki taral› alan 2 720 ñ3 cm oldu¤una göre, düzgün alt›genin bir k e n a r › n › n u z u n lu ¤ u k a ç c m d i r ? A) 12

B) 14

C) 20

D) 22

E) 24

(ÖYS 1997)

ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER

7.

1 2 k e n a r l › b i r d ü z g ü n ç o k g e n i n b i r iç a ç › s › k a ç d e r e cedir? A) 150

B) 140

C) 130

D) 120

10.

E

fiekildeki ABCDEF bir düzgün alt›gendir.

D

E) 110

(ÖSS 1998)

F

C

A

B

3 cm oldu¤una göre, alt›genin bir A(EAB) = 32ñ3 k e n a r › n › n u z u n lu ¤ u k a ç c m d ir ? 2

A) 2ñ3

8.

B) 4ñ3

C) 8ñ3

D) 4

(ÖSS 2002)

Düzgün bir çokgenin bir iç aç›s›, bir d›fl aç›s›n›n 4 ka t › ol du¤ una gö re , bu ç ok gen i n ke na r sa y› s› k aç t › r? A) 12

B) 11

C) 10

D) 9

E) 8

E) 8

(ÖSS 1998)

11.

ABCDE düzgün beflgen

D

E

FBC bir eflkenar üçgen

C

F

m(FéAB) = x x A

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , x k a ç d e r e c e d ir ?

9.

A) 80

K

B) 62

C) 66

D) 72

E) 74

(ÖSS 2003)

O M

L

O merkezli çember içine çizilen yandaki düzgün al t › ge nde K , L v e M böl g el er i ni n a l anl a r› ha ngi s a y › la r la o r a n t› l› d › r ? K

L

M

A)

1

3

6

B)

1

5

6

C)

2

3

6

D)

3

4

5

E)

3

4

6

12.

ABCDE bir düzgün beflgen

D

F C

E

|EC| = |DF| = |FB| m(CéBF) = x

x B

A

Y uka r› dak i ve ri l ere gö re, x k aç der ec edi r?

(ÖSS 1999)

A) 24

B) 30

C) 32

D) 36

E) 40

(ÖSS 2008)

A-D-C / D-A-E / A-C-D / E-C-A

197

SINAVLARDA SORULAB‹LECEK SORULAR 1.

E

D

L

K

ABCDEF düzgün alt›gen

4.

E

ABKL kare C

F

A 2 H B

B) 20

2.

C) 24

D) 30

x

E

D

5.

E

50°

C

H m(CéBH) = 45°

3.

C) 25

54°

L

C

5

C) 10

6.

E

C) 12ñ3 E) 6ñ3

ABCDEF bir düzgün alt›gen

D

[OA] ⊥ [KL] O

F

C L

|FK| = |EK| |BL| = |CL| |AO| = 4 cm

A

D) 10ñ2 E) 15

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , O A B L d ö r t g e n i n i n a la n › k a ç 2 cm dir? A) 6ñ3

D-E-C / D-A-A

198

B) 16ñ3

4

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A C| u z u n l u ¤ u k a ç c m dir? B) 5ñ3

B

D) 10ñ3

|KL| = 5 cm

A) 5ñ2

6

A) 18ñ3

|EL| = |LC|

B

L ∈ [DC]

K

[EC] ve [AC] köflegen m(KEªC) = 54°

K A

K ∈ [AF]

Y uka r› da ki v eri l e re gör e, t ar al › üç ge nl eri n al an l ar› 2 toplam› kaç cm dir?

E) 35

ABCDE bir düzgün beflgen

D E

D) 30

E) 8

|AB| = 6 cm A

B

B) 20

D) 9

ABCDEF bir düzgün alt›gen

D

K

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( E é D K ) = x k a ç d e r e c e d ir ? A) 15

C) 10

F

45° A

|HB| = 4 cm

L

m(BéHD) = 50°

C

4

B) 11

A) 12

H, D, K do¤rusal F

|AH| = 2 cm B

E) 36

ABCDEF düzgün alt›gen

K

E, G, H do¤rusal

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |D G | = x k aç cm di r?

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( L é A D) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 15

C

G

x A

[AD] köflegen

x

F

[AD] köflegen

ABCDEF düzgün alt›gen

D

B) 8ñ3

C) 9ñ3

D) 10ñ3 E) 12ñ3

KAZANMIfi OLMAMIZ GEREKEN B‹LG‹ ve BECER‹LER

Bir çokgenin bir köflesinden kaç köflegen çizildi¤ini bulabilme Bir köfleden çizilen köflegenlerin çokgeni kaç üçgensel bölgeye ay›rd›¤›n› bulabilme Çokgenin iç aç›lar toplam›n› hesaplayabilme Bir çokgenin toplam köflegen say›s›n› hesaplayabilme D›fl aç›lar toplam›n›n 360° oldu¤unu kullanarak soru çözebilme Düzgün çokgen olabilme koflullar›n› bilme Düzgün çokgenlerle ilgili aç› problemlerini çözebilme Düzgün alt›genle ilgili alan hesab› yapabilme Çokgenlerde uzunluk hesab› yaparken özel üçgenlere ait özellikleri kullanabilme Çokgenlerde uzunluk hesab› yaparken benzerlik özelliklerini kullanabilme

199

08

ÖZEL DÖRTGENLER

Paralelkenarda aç› özellikleri Paralelkenarda aç›ortaylar, bazen ikizkenar bazen dik üçgen oluflturur. Paralelkenarda benzerlik uygulamalar› Paralelkenar›n alan› nas›l hesaplan›r? Paralelkenarda alan oranlar›yla ilgili özel durumlar Eflkenar dörtgen özel bir paralelkenard›r. Eflkenar dörtgenin alan›n›n hesaplanmas› Yamukta orta taban çok önemlidir. Yamu¤un köflegeni, orta taban› bak›n nas›l bölüyor. Yamu¤un alan› orta taban› ve yüksekli¤iyle do¤ru orant›l›d›r. Yamukta alan oranlar› Özel yamuklar›n birincisi: ‹kizkenar Yamuk Özel yamuklar›n ikincisi: Dik Yamuk Çevremizde en çok karfl›laflt›¤›m›z geometrik flekil belki de dikdörtgendir. Dikdörtgenin çevresini ve alan›n› nas›l hesapl›yoruz? Dikdörtgenin köflegeni ile ilgili özellikler Dört kenarl› düzgün çokgen: Kare Deltoid de özel bir dörtgendir.

YÖRÜNGEDEK‹ KAVRAMLAR paralelkenar

s. 203

eflkenar dörtgen s. 209 yamuk

s. 212

orta taban s. 213 ikizkenar yamuk dik yamuk

s. 220

dikdörtgen kare

202

s. 221

s. 227

deltoid

s. 218

s. 232

ÖZEL DÖRTGENLER Paralelkenarda aç› özellikleri a

θ

b

b θ

α

A

C

α

a

ABCD paralelkenar ise, AB // DC ve BC // AD dir.

örnek soru D

Bu durumda;

ABCD paralelkenar

C x

y

|DE| = |BC|

m(AéDE) = 30°

°

D

30

8.1

m(EéDC) = x

|AB| = |DC| = a

B

|BC| = |AD| = b

Çevre(ABCD) = 2. (a + b) m(ëA) = m(ëC) = α

A

m(DéCB) = y

B

E

Yukar›daki verilere göre, x ve y nin kaç derece oldu¤unu bulal›m.

m(ëB) = m(ëD) = θ

çözüm

b

A

α y b

O y α

C

θ

a

ABCD paralelkenar ve [AC] ile [BD] köflegen ise,

x

|AO| = |OC|, |DO| = |OB|

β

A

B

C |DE| = |BC| verilmiflti.

D y

|DA| = |BC| oldu¤undan |DA| = |DE| olur. Bu durumda DAE üçgeni ikizkenard›r.

°

β

a

θ

30

D

75° 75°

B

E

Buna göre, m(DéAE) = m(DéEA) =

m(AéBD) = m(BéDC) = θ

180° − 30° = 75° olur. 2

m(CéDE) = m(AéED) ⇒ x = 75° dir. (‹ç ters aç›lar eflittir.) Paralelkenarda karfl›l›kl› aç›lar eflit oldu¤undan m(DéCB) = m(DéAB) ⇒ y = 75° dir.

m(DéCA) = m(CéAB) = α m(AéDB) = m(DéBC) = β

m(DéAC) = m(AéCB) = y

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 1, 3, 6 nolu sorular› hemen çözelim.

8.2

Paralelkenarda aç›ortaylar, bazen ikizkenar bazen dik üçgen oluflturur. D

C

E

A

ABCD paralelkenar›nda komflu iki köfledeki aç›lar›n aç›ortaylar› dik kesiflir.

çözüm D

C ABCD paralelkenar›n-

x

da [AE] ve [BE] aç›ortay oldu¤undan m(AéEB) = 90° dir.

E 4

2

B

[DE] ve [AE] aç›ortay ise, m(DéEA) = 90° dir. örnek soru D

x

C

E 4

2

ABCD paralelkenar [AE] ve [BE] aç›ortay |AE| = 4 cm

A |BE| = 2 cm B Yukar›daki verilere göre, |DC| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

A

B

x

|AB| = |DC| = x ve EAB dik üçgen oldu¤undan pisagor teoremi uygulan›rsa, 2

2

|AB| = |AE| + |EB|

2

⇒ x =4 +2 2

2

2

2

x = 20

x = 2ñ5 cm bulunur.

203

ÖZEL DÖRTGENLER

örnek soru

çözüm C ABCD paralelkenar

D 4

E

A

x

1 B

H

[CE] ve [BE] aç›ortay

K

[EK] ⊥ [BC]

[DH] ⊥ [AB]

|KC| = 4 cm ve |BK| = 1 cm oldu¤una göre, |AH| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

D

C

F 2 E

4

x

G

H

4 2

2 A

C

θ

5 θ 6 5 θ E K α 5 8 α α A

F

x

bulunur. (6 — 8 — 10 üçgeni) [KE] // [AB] olacak flekilde [KE] çizilirse [KE] nin DEA dik üçgeninde hipotenüse ait kenarortay oldu¤u görülür.

1 B

K

[CE] ve [BE] aç›ortay oldu¤undan m(CéEB) = 90° dir.

örnek soru D

C

Ayr›ca, [EK] ⊥ [BC] oldu¤undan EBC dik üçgeninde öklid ba¤›nt›s› uygulan›r. |EK| = |BK|. |KC| ⇒ |EK| = 1. 4 2

8

[CE] aç›ortay oldu¤undan |EF| = |EK| = 2 cm ve ayn› flekilde, [BE] aç›ortay oldu¤undan |EG| = |EK| = 2 cm dir. Bu durumda |DH| = |FG| = 4 cm olur.

A

E 5

α

örnek soru

6 E

F

x

8 17

B

|DE| = 6 cm

|BC| = 8 cm

13

C

A

|AD| = |BC| = 8 cm dir.

8

8

α

E 5

B

[DE] aç›ortay oldu¤undan m(AéDE) = m(EéDC) = α olsun. m(AéED) = m(EéDC) = α olur. (‹ç ters aç›lar)

|AE| = 8 cm

ADE üçgeninde m(AéDE) = m(AéED) = α oldu¤undan

|AB| = 17 cm

|AE| = |AD| = 8 cm olur.

|CF| = |BF|

Bu durumda |DC| = |AB| = 8 + 5 = 13 cm oldu¤undan Çevre(ABCD) = 2. (8 + 13) = 2. 21 = 42 cm bulunur.

Yukar›daki verilere göre, |EF| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

204

α

8

ABCD bir paralelkenar [DE] ve [AE] aç›ortay

B

çözüm D

C

[DE] aç›ortay

Yukar›daki verilere göre, ABCD paralelkenar›n›n çevre uzunlu¤unun kaç cm oldu¤unu bulal›m.

|AD| = |BC| = 5 cm oldu¤una göre, DAH dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa, |AH| = x = 3 cm bulunur. (3 — 4 — 5 üçgeni)

D

ABCD bir paralelkenar

|EB| = 5 cm

2

|EK| = 2 cm olur.

A

m(DéEA) = 90° dir.

DEA dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa, |DA| = 10 cm

B

17

[AE] ve [DE] aç›ortay oldu¤undan

Buna göre, |DK| = |AK| = |KE| = 5 cm olur. Ayr›ca, |KF| = |AB| = 17 cm oldu¤undan |EF| = x = 17 — 5 = 12 cm bulunur.

çözüm

5

D

ÖZEL DÖRTGENLER

[AF] aç›ortay oldu¤undan m(DéAF) = m(FéAB) = α

örnek soru E

D

x

C ABCD bir paralelkenar

F

[AF] ve [BE] aç›ortay

5

|AB| = 8 cm A

|BC| = 5 cm

B

8

Yukar›daki verilere göre, |EF| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

[BE] aç›ortay oldu¤undan m(AéBE) = m(EéBC) = θ olsun.

DC // AB oldu¤undan m(CéEB) = m(AéBE) = θ (iç ters aç›lar eflittir.) Ayn› flekilde m(DéFA) = m(FéAB) = α olur.

Bu durumda |CE| = |CB| = 5 cm ve |AD| = |DF| = 5 cm olur. |DC| = |AB| = 8 cm oldu¤undan

çözüm D

3

E

θ

x

α

F

3

5

A

C

5

α α

θ

8

θ

|DE| = |DC| — |EC| = 8 — 5 = 3 cm olur. |AD| = |DF| = 5 cm oldu¤undan |EF| = x = 5 — 3 = 2 cm bulunur.

B

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 4, 8 / Kavrama Testi 2 3, 4 nolu sorular› hemen çözelim.

8.3

Paralelkenarda benzerlik uygulamalar› Paralelkenar›n karfl›l›kl› kenarlar› paralel oldu¤undan, temel benzerlik ve kelebek benzerli¤i s›kça uygulan›r.

örnek soru D

C

6

12

E

örnek soru C ABCD bir paralelkenar

E

D 6

[AE] ∩ [BD] = {F}

F

|DE| = |EC| x

|DF| = 6 cm

A

B

x

4

çözüm D

6

a

C

F x

A

2a

B

[DE] // [AB] oldu¤undan

D¿EF ∼ B¿AF olur.

|DE| = |EC| oldu¤undan |DE| = |EC| = a al›rsak, |AB| = 2a olur. Benzerli¤i uygularsak,

| DE | | DF | a 6 1 6 = ⇒ = ⇒ = | BA | | BF | 2a x 2 x

⇒ x = 12 cm bulunur.

C

6

x E

|FC| = 12 cm

Yukar›daki verilere göre, |EA| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

12

E

a

|AF| = 4 cm B

Yukar›daki verilere göre, x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

D

[EB] ∩ [AC] = {F} |DE| = 6 cm

F

A

|FB| = x

çözüm

ABCD bir paralelkenar

A

x+6

F 4 B

[AE] // [BC] oldu¤undan A¿EF ∼ C¿BF olur. |AE| = x ve |ED| = 6 cm oldu¤undan

|BC| = |AD| = x + 6 cm olur. AEF ve CBF üçgenleri benzer oldu¤undan | AE | | AF | x 4 = ⇒ = | CB | | CF | x + 6 12 x 1 = x+6 3 3x = x + 6 2x = 6 x = 3 cm bulunur.

205

ÖZEL DÖRTGENLER

örnek soru

çözüm C ABCD bir paralelkenar

D

[AC] ve [BD] köflegen O E

[DF] kenarortay

5

|EO| = 5 cm A

B

F

Yukar›daki verilere göre, |AC| uzunlu¤unun kaç cm oldu¤unu bulal›m.

C Paralelkenar›n köfle-

D

genleri birbirini ortalad›¤› için |DO| = |OB| ve O |AO| = |OC| dir. DAB E 5 10 üçgeninde [DF] ve [AO] kenarortay olduA B F ¤undan, E noktas› DAB üçgeninin a¤›rl›k merkezidir. Buna göre, |AE| = 2.|EO| ⇒ |AE| = 2.5 = 10 cm dir. 15

|AO| = |OC| oldu¤undan |AO| = |OC| = 10 + 5 = 15 cm dir. O halde |AC| = 2.15 = 30 cm bulunur. Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 10 / Kavrama Testi 2 2, 5 nolu sorular› hemen çözelim.

8.4

Paralelkenar›n alan› nas›l hesaplan›r? D

C

örnek soru

A

C ABCD bir para-

D

F

lelkenar

B

E

Paralelkenar›n alan› taban. yükseklik ile bulunur. Yani, Alan(ABCD) = |AB|. |DE| eflitli¤iyle veya Alan(ABCD) = |BC|. |DF| eflitli¤iyle bulunur. Bu durumda |AB|. |DE| = |BC|. |DF| dir.

m(DéAB) = 60°

8

A

60°

|AB| = 15 cm |BC| = 8 cm

B

15

Yukar›daki verilere göre, ABCD paralelkenar›n›n 2 alan›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

örnek soru C ABCD bir paralelkenar

x 9

F

8

çözüm

[DE] ⊥ [AB]

D

[DF] ⊥ [BC]

8

|AD| = 9 cm A

B

E

|DE| = 8 cm |DC| = 18 cm

Yukar›daki verilere göre, |DF| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm ABCD bir paralelkenar oldu¤una göre, |AB| = |DC| = 18 cm ve |BC| = |AD| = 9 cm dir.

Alan(ABCD) = |AB|.|DE| = |BC|.|DF| oldu¤undan 18 ⋅ 8 9 ⇒ x = 16 cm bulunur.

A

60° 4

8

4 3

H 15

B

Önce AB kenar›na ait yüksekli¤i yani [DH] yi çizelim. Bu durumda DAH üçgeni 30° — 60° — 90° üçgeni olur. Buna göre, DAH dik üçgeninde 90° nin karfl›s› |AD| = |BC| = 8 cm iken 30° nin karfl›s› |AH| = 4 cm ve 60° nin karfl›s› |DH| = 4ñ3 cm olur.

O halde, Alan(ABCD) = |AB|.|DH| = 15.4ñ3 = 60ñ3 2 cm bulunur.

18 ⋅ 8 = 9 ⋅ x ⇒ x =

206

C

°

18

30

D

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 9 / Kavrama Testi 2 1 nolu sorular› hemen çözelim.

ÖZEL DÖRTGENLER

8.5

Paralelkenarda alan oranlar›yla ilgili özel durumlar D

1.

E

C

EAB üçgeninin alan› paralelkenar›n alan›n›n yar›s›d›r. Ayr›ca, Alan(DEA) | DE | dir. = Alan(ECB) | EC | A

B D

2.

C S

Paralelkenar›n köflegenleri paralelkenar›n alan›n› 4 efl parçaya ay›r›r.

S

S S

A

B D

3.

C

|AE| = |EB| ise,

2S S A

Alan(DAE) =

S B

E D

4.

C

S

Alan(EAF) =

2S

S A

5.

|DE| = |EA| ve |AF| = |FB| ise,

4S

E

R. Alan(ABCD) olur.

B

F D

V. Alan(ABCD) olur.

H

G

C

Alan(EFGH) | HG | + | EF | = dir. Alan(ABCD) | DC | + | AB | A

B

F

E

örnek soru

çözüm E

D

O

C ABCD bir paralelkenar

[AC] ve [BD] köflegenleri ABCD paralelkenar›n›n

O, köflegenlerin kesim noktas›

alan›n› 4 efl parçaya ay›rmaktad›r. Buna göre,

EAB bir üçgen

A

B 2

Alan(ABCD) = 48 cm oldu¤unu göre, taral› böl2 genin alan›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

Alan(OAB) =

R.Alan(ABCD) = R.48 = 12 cm

2

dir.

EAB üçgeninin alan› ABCD paralelkenar›n›n alan›n›n yar›s› oldu¤undan Alan(EAB) =

P.48 = 24 cm

2

dir.

O halde, taral› bölgenin alan› = Alan(EAB) — Alan(OAB) = 24 — 12 2

= 12 cm bulunur.

207

ÖZEL DÖRTGENLER

örnek soru D

ABCD bir paralelkenar

C 10 E

|BE| = 2|EC| Alan(DEC) = 10 cm

A

2

Buna göre, Alan(ABCD) = 8S al›n›rsa, Alan(FEC) = S olur. E ve F orta noktalar oldu¤undan 3 nolu kurala .Alan(ABCD) = 2S ve göre, Alan(EAB) = .Alan(ABCD) = 2S olur. Alan(DAF) =

R

R

Bu durumda Alan(FAE) = 8S — (S + 2S + 2S) = 3S bulunur. 2

B

Yukar›daki verilere göre, ABCD paralelkenar›n›n 2 alan›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

2

3S = 12 cm verildi¤ine göre, S = 4 cm ve 2 Alan(ABCD) = 8S = 8.4 = 32 cm bulunur.

örnek soru çözüm

C ABCD bir paralelkenar

D

D

C 10

k E

20 30

A

B

[DB] köflegeni çizildi¤inde |BE| = 2|EC| oldu¤undan 2 Alan(DBE) = 2.Alan(DEC) = 2.10 = 20 cm dir. [DB] köflegeni paralelkenar›n alan›n› iki efl parçaya ay›rd›¤›na göre, Alan(DAB) = Alan(DBC)

|AB| = 3|AE|

F

|BE| = 2k olur.

2k

A

[AC] ∩ [DE] = {F}

|BE| = 2|EC| oldu¤undan |EC| = k al›n›rsa,

Alan(FAE) = 4 cm

4

B

E

Yukar›daki verilere göre, EBCF dörtgeninin alan›2 n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm 3k

D

2

= 10 + 20 = 30 cm dir.

O halde, Alan(ABCD) = 2.30 = 60 cm bulunur.

3a 36

2

12

F

b

örnek soru

A F

D

ABCD paralelkenar

C

Alan(FAE) = 12 cm

E

A

2

B

Yukar›daki verilere göre, ABCD paralelkenar›n›n 2 alan›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm F

D

C S

2S 3S

E 2S

A

Alan(FEC) =

208

E ve F kenarlar›n orta noktalar› oldu¤una göre yukar›da verilen 4 nolu kural gere¤ince

B

.Alan(ABCD) olur.

V

4 k

C 3b x

a E

2k

B

Alan(EBCF) = x olsun.

E ve F orta nokta 12

2

|AB| = 3|AE| oldu¤undan |AE| = k al›n›rsa, |AB| = 3k dolay›s›yla |DC| = 3k olur. DC // AE oldu¤undan D¿CF ∼ E¿AF dir. | DC | | DF | | CF | 3k Buna göre, = = = = 3 olur. | EA | | EF | | AF | k

Bu durumda |EF| = a aln›rsa |DF| = 3a ve |AF| = b al›n›rsa |CF| = 3b olur. |DF| = 3.|EF| oldu¤undan 2 Alan(DAF) = 3.Alan(EAF) = 3.4 = 12 cm

Ayn› flekilden |CF| = 3. |AF| oldu¤undan 2 Alan(DCF) = 3.Alan(DAF) = 3.12 = 36 cm dir. [AC] köflegeni paralelkenar›n alan›n› iki efl parçaya ay›rd›¤›na göre, Alan(ABC) = Alan(ADC) ⇒ x + 4 = 12 + 36 ⇒

2

x = 44 cm bulunur.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 11 / Kavrama Testi 2 6 nolu sorular› hemen çözelim.

ÖZEL DÖRTGENLER

8.6

Eflkenar dörtgen özel bir paralelkenard›r. Tüm kenarlar› eflit olan paralelkenara eflα θ kenar dörtgen denir. Eflkenar dörtgen bir a a paralelkenar oldu¤u için paralelkenara ait θ α tüm özellikleri tafl›r. A B a Ancak paralelkenarda olmayan kendine has baz› özellikleri de vard›r. a

D

D y

x

C

x

y

y

x

C x

Paralelkenardan farkl› olarak [AC] ve [BD] köflegenleri hem birbirine dik, hem de aç›ortayd›r.

y

A

ABCD eflkenar dörtgeninin köflegenleri paralelkenarda oldu¤u gibi birbirini ortalar.

B

örnek soru D

C x

ABCD eflkenar dörtgen m(CéAE) = m(EéAB)

E 66° A

m(BéEA) = 66° m(AéDC) = x

B

Yukar›daki verilere göre, x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

çözüm D x

2α 2α

C

örnek soru D E

C

x

EAB eflkenar üçgen 54° A

E

ABCD bir eflkenar dörtgen A

2α α α

m(EéBC) = 54°

m(CéAE) = m(EéAB) = α olsun.

m(DéCE) = x

Eflkenar dörtgende,

B

Yukar›daki verilere göre, x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

66° B

[AC] köflegeni A ve C aç›lar›n›n aç›ortay› oldu¤una göre, m(DéAC) = m(CéAB) = m(DéCA) = m(AéCB) = 2α olur.

çözüm D E

C

x 63°

63°

60°

54° 60° A

60° B

EAB eflkenar üçgen oldu¤undan

EAC üçgeninde iki iç aç›n›n toplam› kendilerine komflu olmayan d›fl aç›ya eflit oldu¤undan m(EéAC) + m(EéCA) = m(AéEB)

|EA| = |EB| = |AB| ve

α + 2α = 66° ⇒ 3α = 66° ⇒ α = 22° olur.

m(EéBA) = 60° dir.

Bu durumda 2α = 44° dir.

ABCD eflkenar dörtgen oldu¤undan

DAC üçgeninde iç aç›lar toplam›

|AB| = |BC| dir. Dolay›s›yla |EB| = |BC| dir. Bu durumda m(BéEC) = m(BéCE) =

180° – 54° = 63° dir. 2

2α + 2α + x = 180° 44° + 44° + x = 180° x = 92° bulunur.

Eflkenar dörtgende komflu aç›lar›n toplam› 180° oldu¤undan m(AéBC) + m(BéCD) = 180° 60° + 54° + 63° + x = 180° ⇒ x = 3° bulunur.

209

ÖZEL DÖRTGENLER

örnek soru

örnek soru

D

4

H

3

C ABCD eflkenar dörtgen

D

[BH] ⊥ [DC]

x

ABCD eflkenar dörtgen

C

[AC] ve [BD] köflegen

O

|DH| = 4 cm

x

|AE| = 4 cm

|HC| = 3 cm A

B

4

A

Yukar›daki verilere göre, |BH| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

2

E

|EB| = 2 cm

B

Yukar›daki verilere göre, |OE| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm

çözüm D

4

H

3

x

D

C

C

O

7

x 7

A

Eflkenar dörtgenin kenar uzunluklar› eflit oldu¤undan |BC| = |DC| = 7 cm dir. HBC dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa, 2

2

4

A

B

2

|BC| = |BH| + |HC|

E

2

B

Eflkenar dörtgenlerin köflegenleri birbirine dik oldu¤una göre, [AO] ⊥ [OB] dir. Bu durumda OAB dik üçgeninde öklid ba¤›nt›s› uygulanabilir. |OE| = |AE|. |EB| ⇒ x = 4. 2 2

2

2

x =8

7 = x + 3 ⇒ 49 = x + 9 2

2

2

2

x = 2ñ2 cm bulunur.

2

x = 40 x = 2ò10 cm bulunur. Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 3 1, 3, 6, 8 nolu sorular› hemen çözelim.

8.7

Eflkenar dörtgenin alan›n›n hesaplanmas› C

D

C

D

h k

h

A

H

a

B a

210

A

B

Eflkenar dörtgenin köflegenleri birbirine diktir.

Eflkenar dörtgenin kenarlar› eflit oldu¤undan kenarlara ait yükseklikler de eflittir.

Dolay›s›yla köflegen uzunluklar› biliniyorsa,

Eflkenar dörtgenin alan›

Alan(ABCD) =

Alan(ABCD) = a. h eflitli¤iyle bulunur.

| AC | ⋅ | BD | dir. 2

ÖZEL DÖRTGENLER

örnek soru

çözüm C

D

D

ABCD bir eflkenar dörtgen [DH] ⊥ [AB]

6

|AH| = |HB|

A

|BC| = 6 cm A

H

x

5 4

O

C

4

8

5

B

Yukar›daki verilere göre, ABCD eflkenar dörtgeni2 nin alan›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

B

Alan(ABCD) =

ABCD eflkenar dörtgeninin [BD] köflegeni de çizilirse, hem [DB] ⊥ [AC], hem de E |AO| = |OC| = 4 cm olur.

8 ⋅| BD | | AC | ⋅| BD | oldu¤undan 40 = 2 2

4. |BD| = 40 ⇒ |BD| = 10 cm olur.

çözüm C

Bu durumda |DO| = |OB| = 5 cm dir. (Çünkü eflkenar dörtgenin köflegenleri birbirini ortalar)

30°

D

6

3ñ3

Son olarak, DOE dik üçgeninde pisagor teoremi uygu2 2 2 2 2 2 lan›rsa, |DE| = |DO| + |OE| ⇒ x = 5 + 12

6

2

x = 169

60° A

H

3

x = 13 cm bulunur.

B

3

Eflkenar dörtgenin kenar uzunluklar› eflit oldu¤undan

örnek soru

|AD| = |AB| = |BC| = 6 cm dir.

D

C

Bu durumda |HA| = |HB| = 3 cm olur.

[BE] ve [CE] aç›ortay

DAH dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa,

E

|DA| = |DH| + |AH| ⇒ 6 = |DH| + 3 2

2

2

2

2

2

2

⇒ |DH| = 27

A

2

⇒ |DH| = 3ñ3 cm bulunur.

O halde, Alan(ABCD) = |AB|. |DH| = 6. 3ñ3 = 18ñ3 cm bulunur.

2

13

ABCD bir eflkenar dörtgen

A

DAE bir üçgen |AC| = |CE| = 8 cm

8

C

8

E

Alan(ABCD) = 40 2 cm

B

Yukar›daki verilere göre, |DE| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

|AB| = 13 cm B

Yukar›daki verilere göre, ABCD dörtgeninin alan›2 n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm D

örnek soru

x

|EB| = 5 cm 5

⇒ 36 = |DH| + 9

D

ABCD eflkenar dörtgen

C DC // AB oldu¤u için bir-

birine komflu olan B ve C aç›lar›n›n aç›ortaylar› dik 12 E kesiflir. Yani [CE] ⊥ [BE] 13 dir. Ayr›ca [CE] ve [BE] 5 12 aç›ortay oldu¤u için [AC] ve [BD] köflegendir. Yani A B 13 D, E, B ile A, E, C do¤rusal noktalard›r. EAB dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa, |EA| = 12 cm bulunur. (5 — 12 — 13 üçgeni) köflegenler birbirini ortalad›¤›ndan |AE| = |EC| = 12 cm ve |BE| = |DE| = 5 cm dir. O halde, | AC | ⋅ | BD | 24 ⋅ 10 2 Alan(ABCD) = = = 120 cm bulunur. 2 2 5

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 3 11 nolu sorular› hemen çözelim.

211

ÖZEL DÖRTGENLER

8.8

Yamuk D

A

C

θ

D

α

y

α

x B

Alt ve üst kenarlar› birbirine paralel olan dörtgenlere yamuk denir. fiekildeki ABCD yamu¤unda [DC] // [AB] dir.

α

A

C

α

B

E

ABCD ya¤umunda [DC] // [AB] ve [DE] aç›ortay ise, ADE üçgeni ikizkenar üçgen olur. Çünkü m(AéED) = m(EéDC) = α (‹ç ters aç›lar eflittir.)

[DC] // [AB] oldu¤undan α + θ = 180°

örnek soru

x + y = 180° dir.

9

D

ABCD bir yamuk

C

114°

örnek soru D

E

130°

m(AéDC) = 130° [BE] aç›ortay

A

B

m(DéCB) = 2. m(DéAB)

Yukar›daki verilere göre, m(BéEC) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

m(AéDC) = 114°

12

ABCD bir yamuk

C

x

[DC] // [AB]

48° A

x

m(AéBC) = 48° B |DC| = 9 cm

|BC| = 12 cm Yukar›daki verilere göre, |AB| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm

D 130°

50°

E

x

100°

x

114°

ABCD yamu¤unda

C

12

oldu¤undan A B

m(ëA) + m(ëD) = 180° ⇒ m(ëA) + 130° = 180°

m(ëA) = 50° dir.

m(DéCB) = 2. m(DéAB) verildi¤ine göre,

m(DéCB) = 2. 50° = 100° olur.

[EC] // [AB] oldu¤undan m(CéEB) = m(EéBA) yani

m(EéBA) = x olur.

[BE] aç›ortay oldu¤undan m(EéBC) = m(EéBA) = x

CEB üçgeninde iç aç›lar toplam›

ABCD yamu¤unda

C 66° 66°

[DC] // [AB]

x

A

212

9

D

çözüm

9

114° 66° E 12

48° B

[CE] // [AD] olacak flekilde [CE] çizilirse, AECD dörtgeni bir paralelkenar olur.

Bu durumda |AE| = |DC| = 9 cm ve

m(AéEC) = m(AéDC) = 114° olur ve dolay›s›yla m(CéEB) = 180° – 114° = 66° dir.

CEB üçgeninde iç aç›lar toplam› 180° oldu¤undan m(EéCB) =

180° – (66° + 48°) = 66° dir. 2

O halde, |BE| = |BC| = 12 cm dir. Dolay›s›yla sorunun cevab› |AB| = |AE| + |EB| ⇒ x = 9 + 12 = 21 cm bulunur.

100° + 2x = 180° ⇒ 2x = 80° ⇒ x = 40° bulunur. Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 4 1, 2, 3 nolu sorular› hemen çözelim.

ÖZEL DÖRTGENLER

8.9

Yamukta orta taban çok önemlidir. c

D

örnek soru

C

D E

[DC] // [EF] // [AB]

F

a+c 2

ABCD bir yamuk

C

x

E

F

7

|EF| = 7 cm |AB| = 13 cm

A

a

B

ABCD yamu¤unda E ve F kenarlar›n orta noktalar› ise, [EF] do¤ru parças›na orta taban denir. |AB| = a ve |DC| = c ise orta taban›n uzunlu¤u a+ c |EF| = ile bulunur. 2

A

du¤unu bulal›m.

çözüm D

örnek soru D

ABCD bir yamuk

C

[DC] // [AB]

|CF| = |FL| = |LB| K

L

11

F

7

3k

Buna göre, |AB| 3a cm azal›p |EF| oluflurken, |EF| a cm azal›p |DC| oluflur.

—3a

A

B

13

3a = 13 – 7 = 6 cm ise, a = 2 cm dir.

|DC| = 7 cm |KL| = 11 cm

x

A

—a

E

|DE| = |EK| = |KA|

F

E

|AE| = 3. |ED| verildi¤ine göre, |ED| = k al›rsak, |AE| = 3k olur.

C

x

k 7

B

13

|AE| = 3. |ED| oldu¤una göre, |DC| = x in kaç cm ol-

B

Buna göre, 7 – x = 2 ⇒ x = 5 cm bulunur.

örnek soru Yukar›daki verilere göre, |AB| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

D

6

ABCD bir yamuk

C

[DC] // [AB] E

çözüm

E ve F orta noktalar

F

[EH] ⊥ [AF]

x D

E K

A

m(FéAB) = 30°

C

7

A

9

14

B

|DC| = 6 cm ve |AB| = 14 cm oldu¤una göre, |EH| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

F

11

30°H

L

çözüm

x

D

B

6

E ve F orta noktalar oldu¤undan [EF] orta taband›r. Buna göre, 6 + 14 | EF | = = 10  cm 2

C

[EF], KLCD yamu¤unun orta taban› oldu¤undan |EF| =

| DC | + | KL | 7 + 11 = 9 cm dir. = 2 2

[KL] ise ABFE yamu¤unun orta taban›d›r. 9+ x | EF | + | AB | Buna göre, |KL| = ⇒ 11 = 2 2

⇒ 22 = 9 + x

⇒ x = 13 cm bulunur.

10

E 5 30°H

30°

F

dir.

Ayr›ca [EF] // [AB] oldu¤undan m(EéFA) = m(FéAB) = 30° dir. (‹ç ters aç›lar eflittir.) EHF dik üçgeni 30° — 60° — 90° üçgeni oldu¤undan |EF| = 10 cm ise, |EH| = 5 cm bulunur. A

14

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 4 6 nolu soruyu hemen çözelim.

B

213

ÖZEL DÖRTGENLER

8.10

Yamu¤un köflegeni, orta taban› bak›n nas›l bölüyor. D

E

C

c

c 2

E

|DC| = c ise, F

a 2

K

|EK| =

a

A

c

D

a |AB| = a ise, |KF| = 2

x

[EF] hem yamu¤un taban›na paralel ve hem de [AC] ve [BD] köflegenlerinin kesiflti¤i noktalardan geçiyorsa,

C F

x

K

c olur. 2 a

A

B

B

|EK| = |KF| = x ve x =

a⋅c dir. a+ c

örnek soru D

ABCD bir yamuk

C

6

[AB] // [DC] K

E

x

A

L

D

[EF] orta taban

F

ABCD bir yamuk

C

6

[DC] // [EF] // [AB]

[AC] ve [BD] köflegen B

10

örnek soru

E

F

|DC| = 6 cm

|DC| = 6 cm

|AB| = 12 cm

|AB| = 10 cm Yukar›daki verilere göre, |KL| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

[EF] orta taban oldu¤una göre,

C

6

|DE| = |EA| ve E

3 K

L 3 F x 1442443

çözüm

|CF| = |FB| olur.

D

5

A

10

E

B

Yukar›da verilen kurala göre, | DC | 6 = = 3 cm ve ayn› flekilde, |EK| = 2 2 |LF| =

| DC | 6 = = 3 cm dir. 2 2

Yine yukar›da verilen kurala göre, | AB | 10 |KF| = = = 5 cm dir. 2 2 O halde, sorunun cevab› |KL| = |KF| – |LF| ⇒ x = 5 – 3 = 2 cm bulunur.

214

B

12

Yukar›daki verilere göre, |EF| uzunlu¤unun kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm D

A

C

c x

x K

A

F

a

B

|AB| = a ve |DC| = c iken |EK| = |KF| = x =

a⋅c oldu¤undan a+ c

bu kural›, verilen soruda uygularsak, x=

12 ⋅ 6 72 = = 4 cm olur. 12 + 6 18

Buna göre, |EF| = 2x = 2. 4 = 8 cm bulunur.

ÖZEL DÖRTGENLER

örnek soru

çözüm

D

9

ABCD bir yamuk

C

5 θ

[AB] // [DC]

6

[AE] ve [DE] aç›ortay

F

x

E

8

D

P

|CF| = |FB| A

15

A

B

|DC| = 9 cm, |DE| = 6 cm, |AE| = 8 cm ve |AB| = 15 cm oldu¤una göre, |EF| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

5

5 α α

8

θ

9

C

6

θ α E

F

x

15

B

Paralelkenarda oldu¤u gibi yamukta da A ve D köflelerine ait aç›ortaylar birbiriyle dik keflisir, yani m(DéEA) = 90° dir. Bu durumda |DA| = 10 cm dir. (6 8 – 10 üçgeni) DAE dik üçgeninde [EP] kenarortay› çizilirse, |EP| = |PA| = |PD| = 5 cm olur. [PF], ya¤mu¤un orta taban› oldu¤undan |PF| =

| DC | + | AB | 9 + 15 ⇒ x+5= 2 2 ⇒ x + 5 = 12

x = 7 cm bulunur. Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 4 7 / Genel Tekrar Testi 15, 16 nolu sorular› hemen çözelim.

8.11

Yamu¤un alan› orta taban› ve yüksekli¤iyle do¤ru orant›l›d›r. D

c

ABCD yamu¤unun alan› [EF] orta taban›n›n uzunlu¤u ile [DH] yüksekli¤inin çarp›m›na eflittir.

C

E

F

h

çözüm Alan(ABCD) =

63 =

| AB | + | DC | . |CH| 2

14 + 4 . x ⇒ 63 = 9x ⇒ x = 7 cm bulunur. 2

A B H 144444424444443 a

Buna göre, Alan(ABCD) = |EF|. |DH| ile veya Alan(ABCD) =

a+ c . h ile bulunur. 2

örnek soru D

3

E

4

|DE| = 3 cm

C

örnek soru D

|EC| = 4 cm 4

C

ABCD bir yamuk

|AF| = 5 cm

[DC] // [AB]

|FB| = 6 cm

[CH] ⊥ [AB]

x

|DC| = 4 cm A

8

H

6

B

|AH| = 8 cm |HB| = 6 cm

2

Alan(ABCD) = 63 cm oldu¤una göre, |CH| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

A

5

F

6

B

fiekildeki ABCD yamu¤u EF do¤rusu ile iki yamu¤a ayr›lm›flt›r. Alan(AFED) Buna göre, oran›n›n kaç oldu¤unu Alan(FBCE) bulal›m.

215

ÖZEL DÖRTGENLER

çözüm D

çözüm

3

4

E

AFED ve FBCE, yükseklikleri eflit olan iki yah muktur.

C

D

K

C

5 E

F

18 5

A

F

5

B

6

A H

Buna göre,

[EF] orta taban oldu¤undan |AE| = |ED| ve |CF| = |FB| dir.

5+3 ⋅h Alan(AFED) 4h 4 = 2 = = Alan(FBCE) 4 + 6 5h 5 ⋅h 2

bulunur.

ABCD bir yamuk

C

[EF] orta taban E

Yamu¤un orta taban›n›n uzunlu¤u 18 cm ve yüksekli¤i |KH| = 10 cm oldu¤undan Alan(ABCD) = 18. 10 = 180 cm bulunur. 2

[EH] ⊥ [AB]

F

18

[KD] // [AH] olacak flekilde KED dik üçgeni oluflturulursa, |AE| = |ED| oldu¤undan |EK| = |EH| = 5 cm olur. Çünkü K¿DE ≅ H¿AE dir.

örnek soru D

B

|EH| = 5 cm

5 A H

|EF| = 18 cm

B

Yukar›daki verilere göre, ABCD yamu¤unun alan›2 n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m. Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 4 11 / Genel Tekrar Testi 18 nolu sorular› hemen çözelim.

8.12

Yamukta alan oranlar› 1.

D

c

 c 2 =  S2  a  S1

C

S1 S

E

S

a

S1. S2 = S yani

S = S1 ⋅ S2 dir.

216

ABCD bir yamuk

C

[AC] ve [BD] köflegen 5|DC| = 2|AB|

E

Alan(ABCD) = 98 cm

2

B

Alan(ADE) = Alan(BCE) = S ve 2

D

(benzer üçgenlerde alanlar oran› benzerlik oran›n›n karesine eflittir.)

S2 A

örnek soru

A

B

Yukar›daki verilere göre, ADE üçgeninin alan›n›n 2 kaç cm oldu¤unu bulal›m.

ÖZEL DÖRTGENLER

çözüm D

çözüm 2k

5|DC| = 2|AB| verildi¤ine göre,

C

4x 10x

Alan(DCB) |DC | 3 = = Alan(DAB) | AB | 5

C 3x

|DC| = 2k al›n›rsa,

10x

E

3

D

|AB| = 5k olur.

oldu¤undan Alan(DCB) = 3x al›n›rsa,

5x

25x 5

A A

B

5k

2

3x + 5x = 24 ⇒ 8x = 24 ⇒ x = 3 cm dir.

2 Alan(EDC)  2k  4 =  = olur. Alan(EAB)  5k  25

2

O halde, DCB üçgeninin alan› 3x = 3. 3 = 9 cm bulunur. 2

Buna göre, Alan(EDC) = 4x al›n›rsa, Alan(EAB) = 25x al›n›r. Bu durumda Alan(ADE) = Alan(BCE) = 4x ⋅ 25x = 10x bulunur.

örnek soru 4

D

S1

25x + 4x + 10x + 10x = 98 ⇒ 49x = 98 ⇒ x = 2 cm

2

O halde, ADE üçgeninin alan› 10x = 10. 2 = 20 cm bulunur.

F

C

[DC] // [AB]

|DC| = 4 cm |AB| = 8 cm

S2 8

A

Yamukta

[EF] orta taban

E

2

c

ABCD bir yamuk

C

[DC] // [AB]

2

Alan(ABCD) = 98 cm verildi¤ine göre,

D

Alan(DAB) = 5x al›n›r.

Alan(ABCD) = 24 cm oldu¤una göre,

Bu durumda

2.

B

B

Alan(EFCD) = S1 ve Alan(ABFE) = S2 oldu¤una göS1

re,

oran›n›n kaç oldu¤unu bulal›m.

S2

oldu¤undan Alan(DCA) c d›r. = Alan(CAB) a a

A

çözüm D

B

4 S1

E

D

3

ABCD bir yamuk

C

h

6 S2

örnek soru A

8

[EF] orta taban oldu¤una göre, EFCD ve ABFE yamuklar›n›n yükseklikleri eflittir.

C

F h B

[DC] // [AB] |DC| = 3 cm |AB| = 5 cm

A

5

B 2

Alan(ABCD) = 24 cm oldu¤una göre, DCB üçge2 ninin alan›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

4+8 = 6 cm oldu¤una göre, 2 |EF | + |DC | . 4+6 . h ⇒ S1 = h = 5h Alan(EFCD) = 2 2 |EF| =

| AB | + |EF | . 8+6 . h ⇒ S2 = h = 7h 2 2 S 5h 5 = O halde, sorunun cevab› 1 = bulunur. S2 7h 7

Alan(ABFE) =

217

ÖZEL DÖRTGENLER

3.

c

D

ABCD yamu¤unda

C

=

c a

6

2x

A

ba¤›nt›lar› yaz›labilir.

E

3

S3

4

S1

B

10

44

a

H

24 4

S2 = S1 + S3 ve

S3

C x

44

S1, S2, S3 alanlar› ile ilgili olarak

E

k

D

14

S2

A

çözüm

|CE| = |EB| ise,

S1

B

2k

[ED] çizilirse, |EH| = 6 cm ve |AD| = 10 cm verildi¤ine göre, Alan(EDA) =

örnek soru D

ABCD bir yamuk

C

[DC] // [AB]

H 6

E

Bu durumda Alan(EDC) = x al›n›rsa,

|EH| = 6 cm

Alan(EAB) = 2x olur. EDA üçgeninin alan› yamu¤un alan›n›n yar›s› oldu¤undan, di¤er yar›s› EDC ve EAB üçgenlerinin alanlar› toplam›d›r.

|AB| = 2|DC| B

|AB| = 2|DC| verildi¤inden |DC| = k al›n›rsa, |AB| = 2k olur.

[EH] ⊥ [AD]

|AD| = 10 cm A

10 ⋅ 6 2 = 30 cm olur. 2

|CE| = |EB|

Buna göre, Alan(EDC) + Alan(EAB) = Alan(EDA) x + 2x = 30 ⇒ 3x = 30 ⇒ x = 10 cm olur. 2

Yukar›daki verilere göre, EAB üçgeninin alan›n›n 2 kaç cm oldu¤unu bulal›m.

O halde, Alan(EAB) = 2x = 2. 10 = 20 cm bulunur. 2

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 5 7, 8, 9 nolu sorular› hemen çözelim.

8.13

Özel Yamuklar›n birincisi: ‹kizkenar Yamuk D

θ

θ

C D

d

C

E

A

α

α

B

Paralel olmayan kenarlar›n›n uzunluklar› eflit olan yamuklara ikizkenar yamuk denir. fiekildeki ABCD yamu¤unda |DA| = |CB| oldu¤undan bu yamuk ikizkenard›r. ABCD ikizkenar yamu¤unda m(ëA) = m(ëB) = α, m(ëD) = m(ëC) = θ ve α + θ = 180° dir.

218

A

B

ABCD ikizkenar yamu¤unda köflegen uzunluklar› eflit, yani |AC| = |BD| dir. Ayr›ca, |DE| = |CE| ve |AE| = |EB| dir. Çünkü d do¤rusu ABCD ikizkenar yamu¤unun simetri eksenidir.

ÖZEL DÖRTGENLER

c

D

DAE ve CBF dik üçgenlerinde |AD| = |CB| = 13 cm ve |AE| = |FB| = 5 cm oldu¤una göre, |DE| = |CF| = 12 cm olur. (5 – 12 – 13 üçgeni)

C

h

h

x

c

O halde, Alan(ABCD) =

x

8 + 18 . |DC| +|AB| . |DE| = 12 2 2 = 13. 12

A B E F 14444244443 a

= 156 cm

ABCD ikizkenar yamu¤unda D ve C köflelerinden yamu¤un taban›na [DE] ve [CF] dikmeleri inilirse, oluflan DAE ve CBF dik üçgenleri efl üçgenler olur. a–c |AE| = |FB| = x ve x = dir. 2 c C 45° 45°

D

6

D

ABCD ikizkenar yamuk

C

[AC] ⊥ [BD]

E 45°

|AD| = |BC|

45°

a

bulunur.

örnek soru

E

A

2

|DC| = 6 cm

B

ABCD ikizkenar yamu¤unda [AC] ⊥ [BD] olursa, yani köflegenler dik kesiflirse, yamu¤un yüksekli¤i, yamu¤un orta taban›yla ayn› uzunlukta olur. a+ c 2 h= dir. Bu durumda Alan(ABCD) = h dir. 2

|AB| = 10 cm 10

A

B

Yukar›daki verilere göre, ABCD yamu¤unun alan›2 n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

örnek soru D

8

ABCD bir ikizkenar

C

yamuk 13

13

|DA| = |CB| = 13 cm

çözüm

|DC| = 8 cm

D 3 K 3 C 45° 45° 3 E

|AB| = 18 cm A

B

18

45°45°

Yukar›daki verilere göre, ABCD yamu¤unun alan›2 n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m. A

çözüm D

13

5

8

12

D ve C köflelerinden [DE] ve [CF] yükseklikleri çizilirse,

C

12

13

45° 5

H

45° 5

B

ABCD ikizkenar yamu¤unda [AC] ⊥ [BD] oldu¤undan orta taban yamu¤un yüksekli¤ine eflittir. Bu durumda

| KH | = 2

| DC | + | AB | 6 + 10 = = 8   cm 2 2 2

2

Alan(ABCD) = |KH| = 8 = 64 cm bulunur. A 5 E

8

F 5 B

|EF| = |DC| = 8 cm ve |AE| = |FB| =

18 –8 = 5 cm olur. 2

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 5 3, 4 / Genel Tekrar Testi 19 nolu sorular› hemen çözelim.

219

ÖZEL DÖRTGENLER

8.14

Özel Yamuklar›n ikincisi: Dik Yamuk c

D

‹ç aç›lar›ndan ikisinin ölçüsü 90° olan yamuklara dik yamuk denir. [AD] kenar› yamu¤un yüksekli¤idir.

C

h

örnek soru 4

D

ABCD bir dik yamuk

C

[DA] ⊥ [AB]

[CE] ve [BE] aç›ortay |DC| = 4 cm

a

A c

D

B

|AB| = 9 cm

E

C

ABCD dik yamu¤unun köflegenleri dik kesi2 flirse, h = a. c olur.

h

a

A

9

A

B

Yukar›daki verilere göre, ABCD yamu¤unun alan›2 n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

B

çözüm örnek soru D

3

4 α

D

ABCD bir dik yamuk

C

6

m(ëA) = m(ëD) = 90° m(AéBC) = 45° |DC| = 3 cm 45°

A

7

B

|AB| = 7 cm

Yukar›daki verilere göre, ABCD yamu¤unun alan›2 n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

[CE] ve [BE] aç›ortay oldu¤undan

C

m(DéCE) = m(EéCB) = α,

α 4

m(CéBE) = m(AéBE) = θ

K

6 E

olur. 9

6 θ

9

A

θ B

Yamuklarda,

m(DéCB) + m(AéBC) = 2α + 2θ = 180° oldu¤undan

çözüm D

3

Dik yamuk sorular›nda genellikle C köflesinden [AB] kenar›na dikme inilerek bir dik üçgen oluflturulur.

C 45°

4

A

4

3

H

4

45°

B

[CH] ⊥ [AB] olacak flekilde, [CH] çizilirse, CHB ikizkenar dik üçgen olur. (45° – 45° – 90° üçgeni) |AH| = |DC| = 3 cm oldu¤undan |HB| = 7 – 3 = 4 cm ve dolay›s›yla |CH| = |HB| = 4 cm olur. Bu durumda |DA| = |CH| = 4 cm dir. O halde, Alan(ABCD) = bulunur.

220

|DC| +|AB| . 3+ 7 . 2 |CH| = 4 = 20 cm 2 2

α + θ = 90° olur.

Bu durumda CEB üçgeninde m(CéEB) = 90° olur. CEB dik üçgenininde [EK] ⊥ [BC] olacak flekilde [EK] çizilirse DEC üçgeni ile KEC üçgeni ve KBE üçgeni ile ABE üçgeni efl üçgenler olur. Buna göre, |CK| = |CD| = 4 cm ve |BK| = |BA| = 9 cm olur. ECB dik üçgeninde öklid ba¤›nt›s› uygulan›rsa,

|EK| = |CK|. |BK| ⇒ |EK| = 4. 9 ⇒ |EK| = 6 cm bulunur. 2

2

[CE] ve [BE] aç›ortay oldu¤undan |ED| = |EK| = 6 cm ve |EA| = |EK| = 6 cm olur. O halde, Alan(ABCD) = bulunur.

|DC| +|AB| . 4+9 . 2 |DA| = 12 = 78 cm 2 2

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 4 5, 9 / Kavrama Testi 5 1 nolu sorular› hemen çözelim.

ÖZEL DÖRTGENLER

8.15

Çevremizde en çok karfl›laflt›¤›m›z geometrik flekil belki de dikdörtgendir. a

D

C

b

b

A

B

a

Dikdörtgenler, iç aç›lar› 90° olan paralelkenarlar oldu¤u için paralelkenar›n bütün özelliklerine sahiptir.

Karfl›l›kl› kenar uzunluklar› eflit ve bütün aç›lar› 90° olan dörtgene dikdörtgen denir.

8.16

Dikdörtgenin çevresini ve alan›n› nas›l hesapl›yoruz? a

D

C

çözüm D

b

b 4 a

A

Uzun kenar› a cm ve k›sa kenar› b cm olan flekildeki ABCD dikdörtgeni için Çevre(ABCD) = 2a + 2b = 2(a + b) ve Alan(ABCD) = a. b ile bulunur.

2

C

45°

4ñ

45° 45° A

B

E

4 2

4

6

B

[AE] aç›ortay oldu¤undan m(DéAE) = m(EéAB) = 45° olur. Bu durumda DAE dik üçgeni 45° – 45° – 90° üçgenidir. Buna göre, |AE| = 4ñ2 cm iken |DA| = |DE| = 4 cm dir. Sonuç olarak |AB| = |DC| = 6 cm ve |BC| = |DA| = 4 cm oldu¤undan

örnek soru D

E

2

C

Çevre(ABCD) = 2(|AB| + |BC|) = 2. (6 + 4) = 20 cm ve Alan(ABCD) = |AB|. |BC| = 6. 4 = 24 cm bulunur. 2

4ñ

2

örnek soru A

B

C

ABCD bir dikdörtgen [AE] aç›ortay

|AE| = 4ñ2 cm

12

|EC| = 2 cm Yukar›daki verilere göre, ABCD dikdörtgeninin çevre uzunlu¤unu ve alan›n› bulal›m.

A

14

B

Ard›fl›k kenarlar› birbirine dik olan yukar›daki kapal› flekilde |AB| = 14 cm ve |AC| = 12 cm oldu¤una göre, bu fleklin çevre uzunlu¤unun kaç cm oldu¤unu bulal›m.

221

ÖZEL DÖRTGENLER

örnek soru

çözüm C

D

C

12 K 10 14

A

B

K›r›k çizgilerin toplam uzunlu¤u [AB] ve [AC] kenarlar›n›n toplam uzunlu¤una eflit oldu¤undan taral› fleklin çevresi dikdörtgenin çevresi kadard›r.

Buna göre, taral› fleklin çevresi 2.(14 + 12) = 52 cm dir.

A

B

fiekildeki ABCD dikdörtgeni birbirlerine efl 5 fayans›n yan yana dizilmesiyle oluflturulmufltur. |AK| = 10 cm oldu¤una göre, ABCD dikdörtgeninin çevresinin kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm

örnek soru 2

Çevre uzunlu¤u 16 cm ve alan› 14 cm olan bir dikdörtgenin köflegen uzunlu¤unun kaç cm oldu¤unu bulal›m.

D 10 L 10

M 10 C

15

çözüm

K a

D

C

10 A

x

b

b

a

A

B

Çevre(ABCD) = 16 cm ise, 2a + 2b = 16 ⇒ a + b = 8 cm olur. Alan(ABCD) = 14 cm ise, a. b = 14 olur. 2

|AC| = x uzunlu¤unu bulmak için ABC dik üçgeninde pisagor teoremini uygular›z. 2

2

2

Buna göre, x = a + b dir. Bu durumda x de¤erini bul2 2 mak için a + b de¤erini bilmek zorunday›z.

a + b = 8 ve a. b = 14 idi. a + b = 8 eflitli¤inde her iki

taraf›n karesi al›n›rsa,

15

N

2

2

Buna göre, |DL| = |LM| = |MC| = 10 cm olur.

|DC| = 3.10 = 30 cm oldu¤undan |AB| = |DC| = 30 cm ve dolay›s›yla |AN| = |NB| = 15 cm olur. Bu sonuca göre, fayanslar›n herbirinin uzun kenar› 15 cm dir. O halde,

Çevre(ABCD) = 2. (|AB| + |AD|) = 2. (30 + 25) = 110 cm bulunur.

2

Burada a. b yerine 14 yaz›l›rsa,

a + b + 2. 14 = 64 ⇒ a + b = 36 olur. 2

2

2

2

2

2

2

2

x = a + b oldu¤undan x = 36 x = 6 cm bulunur.

222

B

|AK| = 10 cm oldu¤una göre, fayanslar›n herbirinin k›sa kenar› 10 cm dir.

(a + b) = 8 ⇒ a + b + 2ab = 64 olur. 2

15

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 6 2, 3, 7, 11 nolu sorular› hemen çözelim.

ÖZEL DÖRTGENLER

8.17

Dikdörtgenin köflegeni ile ilgili özellikler 1.

D y

a

x

b

x

y

x

C 5

5 x

a

A

x

D b

O y

çözüm

C

y B

5

ABCD dikdörtgeninin [AC] ve [BD] köflegenleri O noktas›nda kesifliyorsa, |OD| = |OC| = |OA| = |OB| dir. ODC ve OAB ikizkenar üçgenleri efl oldu¤undan m(OéDC) = m(OéCD) = m(OéAB) = (OéBA) = x olur. Ayn› flekilde, ODA ve OBC ikizkenar üçgenleri de efl oldu¤undan

6

O 5 x

A

B

Dikdörtgenin köflegen uzunluklar› eflit ve birbirini ortalad›¤›na göre, |OB| = |OC| = |OA| = |OD| = 5 cm oldu¤una göre, CAB dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa, |AB| = 8 cm bulunur. (6 – 8 – 10 üçgeni) |DC| = |AB| oldu¤u için x = 8 cm olur.

m(OéDA) = m(OéAD) = m(OéBC) = m(OéCB) = y olur.

örnek soru

2.

a

D

F

h

b x

C x

D

C

[AC] ve [BD] köflegen b

O

h

E a

A

ABCD bir dikdörtgen

F

[OE] ⊥ [AB] [OF] ⊥ [BC]

5

B

ABCD dikdörtgeninin B ve D köflelerinden [AC] köflegenine [DE] ve [BF] dikmeleri inilmiflse, DAE ve BCF dik üçgenleri birbiriyle efl, DEC ve BFA dik üçgenleri de birbiriyle efl olurlar.

9

E

A

B

|OE| = 5 cm ve |OF| = 9 cm oldu¤una göre, ABCD 2 dikdörtgeninin alan›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

Buna göre, |AE| = |FC| = x, |DE| = |BF| = h olur.

çözüm K

D

C

5 L

örnek soru x

D

C

O

6

|OD| = 5 cm |BC| = 6 cm

9

F

5

ABCD bir dikdörtgen [AC] ve [BD] köflegen

5

O

9

A

E

B

O noktas› ABCD dikdörtgeninin köflegenlerinin kesim noktas› oldu¤undan |OK| = |OE| = 5 cm ve |OL| = |OF| = 9 cm olur.

A

B

Yukar›daki verilere göre, |DC| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

Bu durumda |AB| = 2. 9 = 18 ve |BC| = 2. 5 = 10 cm dir. O halde, Alan(ABCD) = |AB|. |BC| = 18. 10 = 180 cm

2

bulunur.

223

ÖZEL DÖRTGENLER

örnek soru

çözüm

D

C

C

[DE] ⊥ [AC]

E B

x E

A

|AE| = 3 cm

Yukar›daki verilere göre, |EF| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

K

2

|DE| = 6 cm

A

8

4

[BF] ⊥ [AC]

x 3

D

[AC] köflegen

F

6

ABCD bir dikdörtgen

B

ADC dik üçgeninde öklid ba¤›nt›s› uygulan›rsa,

|DK| = |AK|. |KC| ⇒ 4 = |AK|. 8 ⇒ |AK| = 2 cm olur. 2

2

DAE dik üçgeninde öklid ba¤›nt›s› uygulan›rsa,

|AK| = |DK|. |EK| ⇒ 2 = 4. x ⇒ x = 1 cm bulunur. 2

2

çözüm D

C F

6 x 3

3

örnek soru 6

E

A

6

D

|DE| = |AE|. |EC| ⇒ 6 = 3. (x + 3) 2

[AE] ∩ [BD] = {K}

|DE| = |EC| = 6 cm x

ADE ve CBF dik üçgenleri efl oldu¤undan m(AéDC) = 90° ve [DE] ⊥ [AC] oldu¤undan ADE dik üçgeninde öklid ba¤›nt›s› uygulan›r. Buna göre,

ABCD bir dikdörtgen

C

K

B

|CF| = |AE| = 3 cm dir.

6

E

A

B 2

Alan(ABCD) = 108 cm oldu¤una göre, |KB| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

2

⇒ 36 = 3x + 9 ⇒ 3x = 27

çözüm 6

D

⇒ x = 9 cm bulunur.

k

6

E K

9 x A

örnek soru D

C 8

4

ABCD bir dikdörtgen

[DE] ⊥ [AC]

|DK| = 4 cm |CK| = 8 cm

K x A

E

B

Yukar›daki verilere göre, |EK| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

C

2k

12

B

|DE| = |EC| = 6 cm oldu¤undan |AB| = 6 + 6 = 12 cm dir.

Alan(ABCD) = |AB|. |AD| oldu¤undan 108 = 12. |AD| ⇒ |AD| = 9 cm dir.

DAB dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa, 2

2

2

|DB| = |AD| + |AB| 2

2

2

|DB| = 9 + 12

|DB| = 15 cm bulunur. (9 – 12 – 15 üçgeni)

224

ÖZEL DÖRTGENLER

[DE] // [AB] oldu¤undan D¿EK ~ B¿AK dir.

örnek soru D

Buna göre,

E

ABCD bir dikdörtgen

C

|DK| 1 |DE| |DK| 6 |DK| =     olur. =      ⇒      =      ⇒      |BK| 2 |BA | |BK| 12 |BK| Bu durumda |DK| = k al›n›rsa, |BK| = 2k olur. |DB| = 15 cm oldu¤undan 3k = 15 ⇒ k = 5 cm olur. O halde, |KB| = 2k = 2. 5 = 10 cm bulunur.

m(DéAE) = 60° [EB] aç›ortay 60°

|AB| = 10 cm 10

A

B

Yukar›daki verilere göre, ABCD dikdörtgeninin 2 alan›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

örnek soru

çözüm

D

N

C

K

M

L

A

ABCD dikdörtgeninde K, L, M ve N kenarlar›n orta noktalar›d›r.

D

E 75°

5

B

75°

10

60° 30° A

|AC| = 11 cm oldu¤una göre, KLMN dörtgeninin çevre uzunlu¤unun kaç cm oldu¤unu bulal›m.

C

30°

75° 10

B

ADE dik üçgeninde m(DéAE) = 60°, m(AéDE) = 90° oldu¤undan m(DéEA) = 30° olur.

çözüm

Bu durumda m(AéEC) = 180° – 30° = 150° dir. D

N

C

[EB] aç›ortay oldu¤undan m(AéEB) = m(BéEC) =

K

M

A

L

B

Dikdörtgenin köflegen uzunluklar› eflit oldu¤undan |BD| = |AC| = 11 cm dir. K, L, M ve N, ABCD dikdörtgeninin kenarlar›n›n orta noktalar› oldu¤una göre, KLMN paralelkenard›r. |KN| = |LM| =

|AC| oldu¤undan 2

11 |KN| = |LM| = cm olur. 2 Ayn› flekilde, |NM| = |KL| =

11 cm olur. |NM| = |KL| = 2

150° = 75° dir. 2

m(DéAB) = 90° oldu¤undan m(EéAB) = 90° – 60° = 30° dir. EAB üçgeninde m(EéAB) = 30° ve m(AéEB) = 75° oldu¤undan m(EéBA) = 180° – (75° + 30°) = 75° dir. m(AéEB) = m(AéBE) = 75° ise, |AE| = |AB| = 10 cm dir. DAE üçgeni 30° – 60° – 90° üçgeni oldu¤undan 90° nin karfl›s› |AE| = 10 cm iken 30° nin karfl›s› |DA| = 5 cm dir. O halde, Alan(ABCD) = |AB|. |AD| = 10. 5 = 50 cm bulunur.

2

örnek soru D

|BD| oldu¤undan 2

C K

E

ABCD bir dikdörtgen [AK ∩ [DC = {E}

Alan(EAB) = 12 cm

2

O halde, KLMN dörtgeni bir eflkenar dörtgendir ve bu

A

lunur.

Yukar›daki verilere göre, ABCD dikdörtgeninin 2 alan›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

11 eflkenar dörtgenin çevre uzunlu¤u 4. = 22 cm bu2

B

225

ÖZEL DÖRTGENLER

›

çözüm

EHF ve BC F dik üçgenlerinde D

C

E

›

m(EHªF) = m(BC F) = 90° ›

m(EFªH) = m(BFC ) (ters aç›lar)

K b

b

›

ve |EH| = |BC | = 6 cm oldu¤undan EHF∫ ≅ BC F∫ dir. Dolay›s›yla ›

a

A

H

B

EAB genifl aç›l› bir üçgen oldu¤undan [EH] ⊥ [AH] olacak flekilde [EH] çizilirse, EAB üçgeninin AB kenar›na ait yüksekli¤i çizilmifl olur. Buna göre, Alan(EAB) =

|AB| ⋅ |EH| 2

a ⋅b 2

⇒ 12 =

›

|HF| = |C F| = x — 2 cm dir. |AB| = |DC| = 10 cm ve |AF| = x oldu¤undan |FB| = 10 — x cm olur. ›

FC B dik üçgeninde pisagor ba¤›nt›s› uygulan›rsa,

⇒ a. b = 24

2

O halde, Alan(ABCD) = a. b = 24 cm bulunur. 2

2

örnek soru 2

E

8

C

2

60 = 16x

15 cm bulunur. 4

örnek soru

2

ABCD bir dikdörtgen

E

m(CéFB) = 45°

D

6 F A

x

2

x — 20x + 100 = x — 4x + 4 + 36

x= D

2

(10 — x) = (x — 2) + 6

C

10

|DC| = 10 cm

B C›

|DE| = 2 cm

45°

Dikdörtgen biçimli ABCD kartonu [EB] boyunca › katland›¤›nda C noktas› C noktas› ile çak›fl›yor. |DE| = 2 cm, |EC| = 8 cm ve |BC| = 6 cm oldu¤una göre, |AF| = x kaç cm dir?

A

6

F

B

|FB| = 6 cm

Yukar›daki verilere göre, EFC üçgeninin alan›n›n 2 kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm çözüm

D

D

2

E

8

C

C

10

2

45°

E

6

6

2 A

F H x—2 C›

B

6 ›

ECB dik üçgeni katland›¤›nda EC B üçgeni elde edil› di¤ine göre, ECB∫ ≅ EC B∫ dir. ›

Bu durumda |CB| = |C B| = 6 cm olur. [EH] ⊥ [AB] olacak flekilde [EH] çizilirse, |AH| = |DE| = 2 cm ve |HF| = x — 2 cm olur.

226

45° A

10 — x

6

4 4

F

6

B

EFC üçgeninin alan›n› bulmak için, ABCD dikdörtgeninin alan›ndan DEC, EAF ve CBF dik üçgenlerinin alanlar›n› ç›karmal›y›z. CBF dik üçgeni 45° – 45° – 90° üçgeni oldu¤undan |BC| = |FB| = 6 cm dir. Dolay›s›yla |DA| = 6 cm olur. Bu durumda |EA| = 6 – 2 = 4 cm dir.

ÖZEL DÖRTGENLER

|DC| = 10 cm oldu¤undan |AB| = 10 cm ve buradan Alan(CBF) =

|AF| = 4 cm bulunur. Alan(DEC) = Alan(EAF) =

6 ⋅6 2 = 18 cm 2

Alan(ABCD) = |DC|. |CB| = 10. 6 = 60 cm oldu¤una göre,

10 ⋅ 2 2 = 10 cm 2

2

4⋅4 2 = 8 cm 2

2

Alan(EFC) = 60 – (10 + 8 + 18) = 24 cm bulunur.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 6 1, 6, 9 nolu sorular› hemen çözelim.

8.18

Dört kenarl› düzgün çokgen: Kare D

a

C

örnek soru D

C

ABCD bir kare [BD] köflegen

a

m(EéAB) = 2. m(DéAE)

E

a

x

A

a

B

Dört kenar›n›n uzunlu¤u eflit olan dikdörtgene kare denir. Bir kenar›n›n uzunlu¤u a cm olan karenin 2 2 çevresi 4. a cm ve alan› a cm dir. D

a

añ2

a

C 45° 45° a

a

B

Yukar›daki verilere göre, x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

çözüm D

D

C 45° 45°

45° 45°

C

45° E x

B

Karenin köflegenleri eflkenar dörtgenin köflegenleri gibi aç›ortayd›r. ABCD karesinde [AC] köflegeni çizildi¤inde iki tane 45° – 45° – 90° üçgeni oluflur. Bir kenar›n›n uzunlu¤u a cm olan karenin köflegen uzunlu¤u añ2 cm dir.

α 2α A

B

ABCD karesinde [BD] köflegeni aç›ortay oldu¤undan m(AéDE) = m(EéDC) = 45° dir. m(EéAB) = 2m(DéAE) verildi¤ine göre, m(DéAE) = α al›n›rsa, m(EéAB) = 2α olur.

O

45° 45° A

A

45°

45° 45° A

m(AéEB) = x

m(DéAB) = 3α = 90° oldu¤una göre, α = 30° dir.

45° 45° B

ABCD karesinin iki köflegeni de çizilirse, köflegenler birbirini dik keser ve birbirini ortalar.

EAD üçgeninde iki iç aç›n›n toplam›, kendilerine komflu olmayan d›fl aç›ya eflit oldu¤una göre, x = 45° + α = 45° + 30° = 75° bulunur.

227

ÖZEL DÖRTGENLER

örnek soru D

x

örnek soru ABCD bir kare

C E

D

ABCD bir kare

C

EAB eflkenar üçgen

[AC] ve [BD] köflegen

m(CéDE) = x

|AB| = 4ñ2 cm

O

|OE| = |EB| E

x A

A

B

Yukar›daki verilere göre, x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

B

4ñ2

Yukar›daki verilere göre, |AE| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm

çözüm D

x

75°

D

C

C

E

4

75° 60°

4 O 2

30

°

4

60°

60°

A

A

B

EAB eflkenar üçgen oldu¤undan |EA| = |AB| = |EB| ve m(EéAB) = m(AéEB) = m(AéBE) = 60° dir. ABCD kare oldu¤undan |DA| = |AB| ve m(DéAB) = 90° dir.

ADE üçgeni ikizkenar üçgendir ve m(AéDE) = m(AéED) =

180° – 30° = 75° dir. 2

2 B

4ñ2

Bir kenar› a cm olan karenin köflegen uzunlu¤u añ2 cm oldu¤una göre, flekildeki karenin köflegen uzunluklar› |AC| = |BD| = 4ñ2 . ñ2 = 8 cm dir. Karenin köflegenleri birbirini ortalad›¤› için |AO| = |OC| =

8 = 4 cm ve 2

|DO| = |OB| =

8 = 4 cm dir. 2

Dolay›s›yla m(DéAE) = 90° – 60° = 30° dir. |DA| = |EA| oldu¤undan

E

x

Dolay›s›yla, |OE| = |EB| =

4 = 2 cm dir. 2

Karenin köflegenleri birbirine dik oldu¤una göre,

m(AéDC) = 90° oldu¤una göre,

m(AéOE) = 90° dir.

m(CéDE) = x = 90° – 75° = 15° bulunur.

AOE dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa, |AE| = |AO| + |OE| ⇒ x = 4 + 2 2

2

2

2

2

⇒ x = 20

2

2

⇒ x = 2ñ5 cm bulunur.

228

ÖZEL DÖRTGENLER

örnek soru

örnek soru

D

ABCD kare

C

D

F

ABCD bir kare

C

m(DéAF) = m(EéAB) = 15°

[AC] köflegen E

|AE| = 4ñ2 cm

|EC| = 2 cm

2

|AB| = 7 cm x

A

E

15°

4ñ2

B

7

A

Yukar›daki verilere göre, |BE| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm

15°

B

Yukar›daki verilere göre, FAE üçgeninin çevre uzunlu¤unun kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm D

C

D

E a

45°

2ñ2

2ñ2

15°

4

60° H

60°

3

B

C

45°

A

2ñ2 15°

2 45°

x

2 4ñ 45° 45° A 4

2

F 75°

60°

E

75°

a

B

[EH] ⊥ [AB] olacak flekilde [EH] çizilirse, EAH üçgeni 45° – 45° – 90° üçgeni olur.

m(DéAB) = 90° oldu¤undan

Çünkü karenin köflegeni aç›ortayd›r.

DAF ve BAE dik üçgenlerinde

EAH üçgeninde |EA| = 4ñ2 cm ise,

m(DéFA) = m(BéEA) = 180° – (90° + 15°) = 75° dir.

|EH| = |AH| = 4 cm olur.

DFA ve BEA dik üçgenlerinin aç›lar› eflit ve her birinde 75° nin karfl›s›ndaki uzunluk a cm oldu¤undan bu üçgenler birbirine efltir, dolay›s›yla hipotenüsleri ayn› uzunluktad›r. Yani |AF| = |AE| dir.

Dolay›s›yla |HB| = 7 – 4 = 3 cm dir. EHB dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa |EB| = x = 5 cm bulunur. (3 – 4 – 5 üçgeni)

m(FéAE) = 90° – 2. 15° = 60° dir.

FAE üçgeninde |AF| = |AE| ve m(FéAE) = 60° oldu¤undan FAE eflkenar üçgendir ve aç›lar› 60 ar derecedir. Bu durumda m(CéFE) = m(CéEF) = 180° – (60° + 75°) = 45° dir. FCE dik üçgeni 45° – 45° – 90° üçgeni oldu¤undan, 45° nin karfl›s› |CE| = 2 cm ise, 90° nin karfl›s› |FE| = 2ñ2 cm olur. O halde, FAE eflkenar üçgeninin çevre uzunlu¤u 3. 2ñ2 = 6ñ2 cm bulunur.

229

ÖZEL DÖRTGENLER

örnek soru

örnek soru

D

ABCD bir kare

C

[AF] ⊥ [EB]

D

ABCD bir kare

C

[DK] ⊥ [CF]

[CE] ⊥ [EB]

E

|AF| = 6 cm F

x

|DE| = |EA|

|FB| = 4 cm

|BK| = 3 cm

L

E 5

4

6

|EF| = 5 cm

K 3

A

B

A

Yukar›daki verilere göre, |AE| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm

x

F

B

Yukar›daki verilere göre, |FB| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm D

θ

4 E

C

2 6 A

4 α θ B

α

α

θ

4

4

C α x

L

E

F

x

D

5

A 3

θ K

F

θ

3 x

B

FAB dik üçgeninde m(FéAB) = α ve m(FéBA) = θ al›rsak α + θ = 90° dir.

CBF dik üçgeninde m(FéCB) = α ve m(CéFB) = θ al›n›rsa, α + θ = 90° olur.

Karenin B köflesinde m(AéBC) = 90° oldu¤undan

Bu durumda DCL dik üçgeninde

m(EéBC) = α olur. (Çünkü α + θ = 90°)

EBC dik üçgeninde m(EéBC) + m(EéCB) = 90° ve m(EéBC) = α oldu¤undan m(EéCB) = θ olur.

FAB ve EBC dik üçgenlerinin hem aç›lar› hem de hipotenüsleri eflit, yani |AB| = |BC| oldu¤undan FAB ve EBC dik üçgenleri efltir.

m(CéDL) = α ve m(DéCL) = θ olur.

DCK dik üçgeninde ise, m(CéKD) = θ olur.

DCK ve CBF dik üçgenlerinin aç›lar› eflit ve her iki dik üçgende θ n›n karfl›s›ndaki uzunluk karenin kenar› oldu¤undan DCK ve CBF dik üçgenleri efltir. |FB| = x ise |KC| = x olur.

Dolay›s›yla |EC| = |FB| = 4 cm ve |EB| = |AF| = 6 cm dir.

ABCD karesinin kenarlar› eflit oldu¤undan

Bu durumda |EF| = |EB| – |FB| = 6 – 4 = 2 cm dir.

|BC| = x + 3 ise, |AB| = x + 3 olur.

EFA dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa,

Dolay›s›yla |AF| = 3 cm dir.

|EA| = |AF| + |EF| ⇒ x = 6 + 2 2

2

2

2

2

⇒ x = 40 2

2

⇒ x = ò40 = 2ò10 cm bulunur.

EAF dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa |EA| = 4 cm olur. (3 – 4 – 5 üçgeni) Bu durumda karenin bir kenar› |AD| = |AE| + |ED| = 4 + 4 = 8 cm bulunur. O halde, |AB| = 3 + x = 8 cm ise, x = 5 cm bulunur.

230

ÖZEL DÖRTGENLER

örnek soru

örnek soru

D

ABCD bir kare

C

D

6

ABCD bir kare

C

[AC] ∩ [DE] = {F}

[BD] köflegen x

m(EéBA) = 15°

|DC| = 6 cm

x

|EB| = 3 cm

|EB| = 10 cm F

E

10 15°

A

B

A

Yukar›daki verilere göre, |DE| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm

3

E

B

Yukar›daki verilere göre, |FC| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm D

C

D

6

C

45°

45°

45 °

x

5

E

6

45° 60° 10

A

x 2k

F

k

30 45° ° 15° B

A

45° 3

F

E

3

B

ABCD karesinde [BD] köflegeni aç›ortay oldu¤una göre,

ABCD kare oldu¤undan |DC| = |DA| = |AB| = 6 cm dir.

m(AéDB) = m(BéDC) = 45° ve m(AéBD) = m(DéBC) = 45°

Bu durumda |AE| = 3 cm olur.

dir.

[DC] // [AE] oldu¤undan D¿CF ~ E¿AF dir.

Bu durumda m(EéBD) = 30° olur.

[EF] ⊥ [BD] olacak flekilde [EF] çizilirse, EFB dik üçgeni 30° – 60° – 90° üçgeni, EDF dik üçgeni ise 45° – 45° – 90° üçgeni olur. EFB dik üçgeninde 90° nin karfl›s› |EB| = 10 cm iken 30° nin karfl›s› |EF| =

10 = 5 cm olur. 2

DEF dik üçgeninde ise, 45° nin karfl›s› |EF| = 5 cm iken, 90° nin karfl›s› |DE| = x = 5ñ2 cm bulunur.

Buna göre,

| DC | | CF | 6 | CF | ⇒ = ⇒ |CF| = 2|AF| olur. = |EA| |AF | 3 |AF | |AF| = k al›n›rsa, |CF| = 2k olur. ABCD karesinde |DC| = |DA| = 6 cm iken köflegen uzunlu¤u |CA| = 6ñ2 cm dir. |CA| = 3k oldu¤undan 3k = 6ñ2 ⇒ k = 2ñ2 dolay›s›yla |CF| = x = 2k = 2. 2ñ2 = 4ñ2 cm bulunur.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 7 1, 4, 5, 11 / Genel Tekrar Testi 5 nolu sorular› hemen çözelim.

231

ÖZEL DÖRTGENLER

8.19

Deltoid de özel bir dörtgendir. Kenarlar› ikifler ikifler birbirine eflit olan dörtgene deltoid denir. fiekildeki ABCD dörtgeninde |AB| = |AD| ve |BC| = |DC| oldu¤u için ABCD dörtgeni deltoiddir.

A

B

D

örnek soru ABCD bir deltoid

A

|AB| = |BC|

105°

|AD| = |CD| B

D

m(ëA) = 105° m(ëB) = 2. m(ëD)

C

C

Yukar›daki verilere göre, B aç›s›n›n ölçüsünün kaç derece oldu¤unu bulal›m.

A x x B

α θ

α θ

E

D

çözüm A 105°

y y C

B

ABCD deltoidinde |AB| = |AD| ve |BC| = |DC| oldu¤u için, [BD] köflegeni çizilirse, ABD üçgeni ile BCD üçgeni birbirinden farkl› ikizkenar üçgenler olur. ‹kizkenar üçgenlerin taban aç›lar› eflit oldu¤u için

x

D

105° C

m(AéBD) = m(AéDB) = α ve m(DéBC) = m(CéDB) = θ d›r.

Deltoidin farkl› uzunluktaki kenarlar› aras›nda kalan aç›lar eflit oldu¤undan

Buradan hareketle, "deltoidin farkl› uzunluktaki kenarlar› aras›ndaki aç›lar eflittir." sonucuna ulafl›l›r.

m(ëC) = m(ëA) = 105° dir.

m(ëB) = 2.m(ëD) verildi¤ine göre,

m(AéBC) = m(AéDC) = α + θ

m(ëD) = x al›n›rsa m(ëB) = 2x olur.

Bunun yan›s›ra, [AC] köflegeni aç›ortayd›r ve köflegenler birbirine diktir. ‹kizkenar üçgenlerde yükseklik, ayn› zamanda kenarortay oldu¤u için |BE| = |ED| dir.

2. 105° + 2x + x = 360° ⇒ 3x = 150° ⇒ x = 50° bulunur.

A

B

D

C

Deltoidin köflegenleri birbirine dik oldu¤undan, alan› köflegenlerinin çarp›m›n›n yar›s›d›r. Alan(ABCD) =

232

2x

| AC | ⋅ | BD | 2

Dörtgenlerin iç aç›lar›n›n ölçüleri toplam› 360° oldu¤undan O halde, B aç›s›n›n ölçüsü 2x = 2.50° = 100° bulunur.

ÖZEL DÖRTGENLER

örnek soru

örnek soru ABCD bir deltoid

A

[BA] ⊥ [AD] |BA| = |AD|

B

E

|AD| = |AB|

D

8

|ED| = 5 cm

D

5

ABCD bir deltoid

E

[AE] ⊥ [EC]

4

|AE| = 8 cm

|CD| = 13 cm

C

A

13

|DC| = 4 cm

B

C 2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABCD) nin kaç cm oldu¤unu bulal›m.

Yukar›daki verilere göre, ABCD deltoidinin alan›2 n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm çözüm

A

E 5 B

45° 5

E

45° 5

12

13

D

8

D

4 C

A

C

B

|BA| = |AD| ve ABCD bir deltoid oldu¤una göre,

[AC] ⊥ [BD] olur. Ayr›ca [BA] ⊥ [AD] oldu¤undan m(AéBD) = m(AéDB) = 45° dir. ABE ve AED üçgenleri 45° – 45° – 90° üçgenleri oldu¤undan |AE| = |ED| = 5 cm ve |BE| = |AE| = 5 cm olur. EDC dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa, |EC| = 12 cm bulunur. (5 – 12 – 13 üçgeni) O halde, Alan(ABCD) =

| AC | ⋅ | BD | 17 ⋅ 10 2 = = 85 cm bulunur. 2 2

[AC] köflegenini çizerek deltoidi iki üçgene ay›ral›m. [AE] ADC üçgeninin [DC] kenar›na ait yükseklik oldu¤undan Alan(ADC) =

| DC | ⋅ | AE | 4 ⋅ 8 2 = 16 cm dir. = 2 2 2

Alan(ABC) = Alan(ADC) = 16 cm oldu¤undan Alan(ABCD) = 2. 16 = 32 cm bulunur. 2

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Genel Tekrar Testi 21, 22, 23 nolu sorular› hemen çözelim.

233

BU KONUDA ÖZETLE... Konuların ve Kavramların Özeti D‹KDÖRTGEN

PARALELKENAR a.

D

C AB // CD, AD // BC

a O

b

D

b

a

B

D¿AE ile B¿CF

D

b

C

B

aA

144424443

Alan(ABCD) = a. ha = b. hb

D

C

F

B

E

D

B 2

D B

E

C

D

c

ABCD yamu¤unda

C

E

m(ëA) + m(ëD) = 180°

F

C

S

a

S S

A

A

B

B

EfiKENAR DÖRTGEN a

a α

a

β B

α

A144424443 B |EF| = H

S

y S+y

A

C

D

C

a + c (orta taban) 2

Yamu¤un alan› |DH| = h ise

A(ABCD) =

a+c ⋅ h =| EF | ⋅h 2

DELTO‹D ABCD deltoidinde,

A

|AB| = |AD| ve

a B A

D

B

• Eflkenar dörtgenin köflegenleri birbirine diktir. Köflegenler ayn› zamanda aç›ortayd›r.

|BC| = |DC| ise, [AC] ⊥ [BD] dir.

[AC] aç›ortayd›r.

• Eflkenar dörtgen dört kenar› eflit olan paralelkenard›r. Paralelkenar›n özelliklerine sahiptir.

234

45° 45° B

[DC] // [AB] ise A

E

D β

45° 45° A

m(ëB) + m(ëC) = 180°

S

1.

C 45° 45°

YAMUK

d. Alan oranlar› D

45° 45°

Ç(ABCD) = 4a

A(ABCD) = a

F A

a

A

c. E ve F orta noktalar ise, köflegen üç eflit parçaya ayr›lm›flt›r. C

D¿EC ile B¿FA

a

a

D

B

KARE

3

A

C

b

E

A

Çevre(ABCD) = 2(a + b)

24 14

ha

a

efl üçgenlerdir.

C hb

B

A(ABCD) = a. b

[AC] ve [BD] köflegen ise, |AO| = |OC|, |DO| = |OB| D

a

A

m(ëB) = m(ëD)

F

b a

m(ëA) + m(ëB) = 180° dir. b.

D

b

|AD| = |BC| m(ëA) = m(ëC)

A

C

|AB| = |DC|

B¿AC ile D¿AC C

efl üçgenlerdir.

Ö⁄REND‹KLER‹M‹Z‹ TEST EDEL‹M Kavrama Testi 1

( 8.1 - 8.5 )

Kavrama Testi 2

( 8.1 - 8.5 )

Kavrama Testi 3

( 8.6 - 8.7 )

Kavrama Testi 4

( 8.8 - 8.13 )

Kavrama Testi 5

( 8.8 - 8.13 )

Kavrama Testi 6

( 8.14 - 8.16 )

Kavrama Testi 7

( 8.17 - 8.17 )

Kavrama Testi 8

( 8.17 - 8.17 )

Genel Tekrar Testi

( 8.1 - 8.18 )

S›navlarda (ÖSS-ÖYS-YGS-LYS) Sorulmufl Sorular S›navlarda Sorulabilecek Sorular

235

1

KAVRAMA TEST‹ 1.

C ABCD paralelke-

D y

x + 10°

4. 5

|AD| = 5 cm

B

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( A é D C ) = y k a ç d e r e c e d ir ? A) 110

2.

B) 120

C) 130

D

D) 140

40°

30°

A

A) 3,5

5.

B) 3

D) 2

E) 1

C ABCD paralelkenar

[DE] ⊥ [AB]

25

24

|AD| = |EB| = 25 cm |DE| = 24 cm

m(AéBE) = 30°

25

E

A

B

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m (B é C D) = x k a ç d e r e c e d ir ?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | D C | = x k a ç c m d ir ?

A) 65

A) 30

B) 70

C) 75

D) 80

E) 85

B) 32

6. D

C

E

115°

D

ABCD paralelkenar

A

E) 38

ABCD paralelkenar [EO] ⊥ [OB]

O

m(EéDA) = 20°

m(AéDC) = 115°

35° x

E

B

C

D) 36

[AC] köflegen

|AD| = |BE| x

C) 34

20°

3.

236

C) 2,5

x

D

m(BéED) = 145° B

|AB| = 7 cm

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | E C | = x k a ç c m di r ?

m(AéDE) = 40°

145°

7

A

E) 150

ABCD paralelkenar

C x

E

[AE] aç›ortay

m(BéCD) = x + 10°

2x + 20°

C ABCD paralelke-

nar

m(AéBC) = 2x + 20°

A

x

E

D

nar

m(DéEO) = 35°

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( E é B C ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (O é B C ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

A) 30

A) 35

B) 40

C) 45

D) 50

E) 55

B

A

B) 40

C) 45

D) 50

E) 55

ÖZEL DÖRTGENLER

7.

C ABCD paralelke-

D

10.

E

3

A

|EC| = 15 cm

8.

B) 112

D

C) 116

D) 120

nar x

A

A) 12

B) 10

C) 9

[AE] ve [BE] aç›ortay

F

2

B

11.

D

C

[EF] ⊥ [AB] E

A

|FB| = 2 cm

B

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |EF | = x k aç cm di r? B) 3

C) 4

D) 4ñ2

12

D

C

3 A

F

B

[DE] ⊥ [AB] |DE| = 8 cm

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(DCF) kaç cm dir? B) 14

C) 16

D) 18

E) 20

ABCD paralelkenar [DE] ve [AE] aç›ortay

E

ABCD paralelkenar

|AB| = 9 cm

E) 6

A) 12

9.

E) 6

[AC] ve [BD] köflegen

F

|AD| = 5 cm

A) 2ñ2

D) 8

E) 124

C ABCD paralelke-

E

5

|FE| = 4 cm

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | AF | = x k a ç c m d i r ?

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABCD) kaç cm dir? A) 108

|DE| = |EC|

x

|EB| = 9 cm

B

9

[BD] köflegen

F

|AE| = 3 cm A

nar

4

[DE] ⊥ [AB]

15

C ABCD paralelke-

E

D

nar

12.

ExC

D

[EF] ⊥ [AB]

[AE] aç›ortay

60° 4ñ3

m(AéEB) = 60°

|EF| = 3 cm |DC| = 12 cm 2

ABCD paralelkenar

|AE| = 4ñ3 cm A

B

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABCD) kaç cm dir?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | E C| = x k a ç c m d i r ?

A) 36

A) 1

B) 42

C) 48

D) 60

E) 72

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

B-C-D / D-B-A / A-C-E / D-D-B

237

KAVRAMA TEST‹ 1.

D

C

F 5 A

4

E

6

B

ABCD paralelkenar

4.

E

[DE] ⊥ [AB]

2

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , Ç e v r e ( A B C D ) k a ç c m d ir ? A) 30

2

B) 34

D

C

A

10

H

x

E

x

[FH] // [DC]

6

|DF| = |FE|

H

A

3.

D

E

C) 4

x

D) 5

F

C

9

A

14

B

E) 6

ABCD paralelkenar [AF] ve [BE] aç›ortay |AB| = 14 cm

|HB| = 9 cm B

Y uka r›da ki ve ri l er e g öre , |EF | = x k aç cm di r? 15 9 B) 6 C) D) 4 E) 3 A) 2 2

Y uka r› da ki v eri l e re gör e, |E B | = x k aç de rec edi r ? B) 3

6.

D

C

A) 2

238

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

ABCD paralelkenar |AE| = |EB|

4

m(AéDE) = 45° A

E

B

|BC| = 9 cm Y uka r› da ki v eri l er e g öre , |E F| = x k aç cm di r?

EAB bir üçgen |FH| = 6 cm

9

|AE| = 10 cm

A) 2

C

F

D

|FH| = 7 cm

B

E) 46

ABCD paralelkenar

45°

F

D) 42

E

ABCD paralelkenar

3ñ 2

7

C) 38

E) 80

5.

2.

|DC| = 10 cm

B

|EF| = 2 cm

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABCD) kaç cm dir? D) 70

[DE] ve [CE] aç›ortay

F

A

|AE| = 4 cm

C) 60

ABCD paralelkenar

C

10

[AD] // [EF]

|EF| = 5 cm

B) 50

D

[AC] ve [BD] köflegen

|EB| = 6 cm

A) 40

2

|AD| = 3ñ2 cm |DE| = 4 cm 2

Yukar›daki verilere göre, Alan(EBCD) kaç cm dir? A) 12

B) 16

C) 18

D) 20

E) 24

ÖZEL DÖRTGENLER

7.

D

C

ABCD paralelkenar

10.

D F

[DE] ⊥ [EB]

8

3

|AF| = |FB| F

A

5

E

ABCD paralelkenar [AC] köflegen [BF] ⊥ [AC]

4

E

A

|DF| = 8 cm

B

C

|BF| = 4 cm

B

|AE| = 3 cm

|EB| = 5 cm

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABCD) kaç cm dir?

Yukar›daki verilere göre, taral› bölgelerin alanlar› 2 toplam› kaç cm dir?

A) 32

A) 12

2

8.

B) 40

C) 60

D) 80

E

Alan(DHC) = 18 cm F

D) 18

ABC bir üçgen

D 10 B

B

F

x

2

E) 24

ADEF paralelkenar

8

|AE| = |EF| = |FB|

H

C) 16

A

[DF] ∩ [EC] = {H}

18

B) 14

11.

C ABCD paralelkenar

D

A

E) 120

|AD| = 8 cm 4

E

|BD| = 10 cm C

|FC| = 4 cm

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABCD) kaç cm dir? A) 30

B) 36

C) 42

D) 48

Y uka r› dak i ve ri l er e g öre , |D E| = x ka ç c m di r?

E) 54

A) 4

9.

D

E

C

F

12.

B

C) 6

D

[BF] ⊥ [AE]

6

A

ABCD paralelkenar

B) 5

K

nar L

[KL] // [AB] |BL| = 2|LE|

|AE| = 12 cm |BF| = 6 cm 2

E) 8

C ABCD paralelke-

E 2

D) 7

A

B

Alan(EKL) = 2 cm 2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABCD) kaç cm dir?

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABCD) kaç cm dir?

A) 48

A) 30

B) 54

C) 60

D) 66

E) 72

2

B) 32

C) 34

D) 36

E) 38

E-C-C / B-A-C / D-D-E / A-B-D

239

3

KAVRAMA TEST‹ 1.

D

4.

C

D

C

x

ABCD eflkenar dörtgen [AC] ve [BD] köflegen

A

A

ABCD eflkenar dörtgen, CAE bir üçgen Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( A é D C ) = x k a ç d e r e c e d ir ? B) 110

C) 120

D) 130

A) 16

D

x

C 80°

E

B) 20

E

ABCD eflkenar dörtgen

D) 28

1

ABCD eflkenar dörtgen

C

x

A

[EB] ⊥ [AB] |AE| = 9 cm

B

|EC| = 1 cm

B

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( E é D C ) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 10

B) 15

C) 20

D) 25

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |EB | = x ka ç c m di r? A) 18

E) 30

6. 3.

D

C

50°

A

20°

B) 4ñ3

C

ABCD eflkenar dörtgen

m(CéDE) = 50°

C) 3ñ5

D

E

13

x

|DC| = |AE|

E x

E) 32

[AC] köflegen

9

m(BéCD) = 80°

240

C) 24

D

EAB eflkenar üçgen

A

|AC| = 8 cm

E) 140

5. 2.

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , Ç e v r e ( A B C D ) k a ç c m d ir ?

m(AéCE) = 100°, |AC| = |CE|

A) 100

|BD| = 6 cm

E

B

A

ABCD eflkenar dörtgen [AC] ve [BD] köflegen [EF] ⊥ [AB]

F 4 B

|FB| = 4 cm

m(BéAE) = 20°

B

D) 2ò10 E) 6

|BC| = 13 cm

Yukar›daki verilere göre, m(D éAE) = x kaç derecedir?

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |EF | = x k aç cm di r?

A) 70

A) 4

B) 60

C) 50

D) 40

E) 30

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

ÖZEL DÖRTGENLER

7.

D

C 7

F A

10.

C) 13

D

D) 12

C

A) 8ñ3

ABCD eflkenar dörtgen

11.

B) 6

D

ABCD eflkenar dörtgen

C

A

8

E

9

B

|EB| = 9 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , t a r a l› b ö l g e n i n a l a n › k a ç 2 cm dir?

C) 7

A) 155

D) 8

ADEF eflkenar dörtgen

F 6

D) 180

E)195

ABCD eflkenar dörgen [AD] ⊥ [DE]

2ñ5 A

C

4

x

|DB| = 4 cm C

E

C) 175

D

ABC bir üçgen

A

B) 160

E) 9

12.

x

E) 4ñ3

|AE| = 8 cm

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |D E| = x ka ç c m di r ?

B

D) 3ñ6

[DE] ⊥ [AB]

Çevre(ABCD) = 40 cm

4

C) 8

E) 10

B

D

B) 8ñ2

[AC] ve [BD] köflegen

E

A

9.

|AE| = 4 cm

B

F

Y uka r› dak i ve ri l ere gör e, |D F | k aç cm d i r?

|AC| = 16 cm

A) 5

m(BéCD) = 60°

A

|FB| = 2 cm

2

x

[BE] ⊥ [AD]

4

Yukar›daki verilere göre, Alan(FBC) kaç cm dir?

8.

[DF] ⊥ [AB]

E

|FC| = 13 cm

B) 15

ABCD eflkenar dörtgen

C

|DE| = 7 cm

2 B

A) 16

D 60°

[AC] ve [BD] köflegen

13

E

ABCD eflkenar dörtgen

E

|AD| = 2ñ5 cm |AC| = 4 cm

|FC| = 6 cm B

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |EF | = x k aç cm di r?

Yukar›daki verilere göre, |CE| = x kaç cm dir?

A) 2ñ6

A) 4

B) 5

C) 2ñ7

D) 4ñ2

E) 6

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

A-C-D / B-E-C / D-B-A / E-E-C

241

4

KAVRAMA TEST‹ 1.

D

ABCD yamuk

C x

130°

4.

5

D

[DC] // [AB]

ABCD yamuk

C

6

[DC] // [AB]

8

m(DéAB) = 45° y

45° A

|DC| = 5 cm

m(BéCD) = 130°

B

m(AéBC) = y

2.

5

D

C) 75

D) 80

5.

D

4

C) 15

D) 16

ABCD dik yamuk

C

[AD] ⊥ [AB]

15

9

m(DéAB) = 70° 70°

40°

x

A

|DC| = 4 cm

m(AéBC) = 40°

B

x

A

B

|AD| = 9 cm

|BC| = 6 cm

|BC| = 15 cm

|DC| = 5 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A B| = x k a ç c m d i r ?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A B| = x k a ç c m d i r ? A) 14

B) 13

C) 12

D) 11

A) 16

E) 10

6. 3.

D 136°

5

C) 18

D) 19

B

ABCD yamuk

C

E

x

|DE| = |EA|

F

|CF| = |FB|

m(AéDC) = 136° |AD| = |DC|

E) 20

[DC] // [AB]

[AC] ⊥ [BC]

x

242

D

[DC] // [AB]

A

B) 17

ABCD yamuk

C

E) 17

[DC] // [AB]

[DC] // [AB]

6

B) 14

A) 13

E) 85

ABCD yamuk

C

|AD| = 6 cm

m(ëA) + m(ëB) = 90° oldu¤una göre, |AB| = x kaç cm dir?

Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , x – y f a r k › k a ç d e r e c e d i r ? B) 70

B

|BC| = 8 cm

m(AéDC) = x

A) 60

x

A

A

B

13

|DC| = 5 cm |AB| = 13 cm

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( A é B C ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |EF | = x k aç cm di r?

A) 70

A) 6

B) 68

C) 66

D) 64

E) 62

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

ÖZEL DÖRTGENLER

7.

4

D

E

F

ABCD yamuk

C

H

x G

10.

[DC] // [AB]

3

[EH] orta taban

E

B

10

ABCD dik yamuk

C

[DC] // [AB] 1

F

[AD] ⊥ [AB]

4

[AC] ve [BD] köflegen A

3

D

[FE] ⊥ [AD]

7

A

B

|DC| = |DE| = 3 cm

|AB| = 10 cm

|EF| = 1 cm

|DC| = 4 cm Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |FG | = x ka ç c m di r ? A) 2

B) 2,5

C) 3

D) 3,5

|AE| = 4 cm |AB| = 7 cm

E) 4

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(CFB) kaç cm dir? A) 11

11. 8.

D

C

15

D

8

E

B

C) 60

[DC] // [AB] |DE| = |AE|

F

H

|CF| = |FB| A

B

15

|AB| = 15 cm

|BC| = 24 cm

D) 62

|CH| = 3 cm 2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABFE) kaç cm dir? A)

E) 64

75 2

12.

B) 40

D

3

C)

85 2

D) 45

D

3

E

ABCD dik yamuk

C

[DC] // [AB] 6ñ2

45°

A

B

95 2

[DC] // [EF] // [AB] |DE| = 2|AE|

7

F 2

A

E)

ABCD yamuk

C x

9.

[CH] ⊥ [EF] |DC| = 5 cm

|BE| = 8 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , Ç e v r e ( A E D ) k a ç c m d ir ? B) 58

E) 19

ABCD yamuk

BC ⊥ AB

|AD| = |DE|

A) 56

D) 17

C

E

|DC| = 15 cm A

5

C) 15

3

ABCD dik yamuk DC ⊥ BC

24

B) 13

B

y

|DC| = 3 cm |EF| = 7 cm

m(AéBC) = 45°

|FB| = 2 cm

|BC| = 6ñ2 cm

|CF| = x

|DC| = 3 cm

|AB| = y

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABCD) kaç cm dir?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , y – x fa r k › k a ç c m d i r ?

A) 32

A) 4

B) 36

C) 40

D) 44

E) 48

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

E-D-B / C-A-D / C-E-B / B-A-B

243

5

KAVRAMA TEST‹ 1.

9

D

ABCD dik yamuk

C

4.

9

D

[DC] // [AB] [AC] ⊥ [BC]

A

yamuk

x

[AD] ⊥ [DC]

12

ABCD ikizkenar

C

[DC] // [AB]

15

A

B

|AD| = |BC|

B |DC| = 9 cm

x

|DC| = 9 cm

|AD| = 12 cm Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A B| = x k a ç c m d i r ? A) 15

B) 20

C) 25

D) 30

|AB| = 15 cm Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |B D | = x ka ç cm d i r?

E) 35

A) 10ñ2

2.

ABCD dik yamuk

D 1 C

5.

D

3

B) 6ñ5

x

5

C) 5ñ6

[AD] ⊥ [DC]

E

12 x

|CE| = |EB|

|DC| = 1 cm B

A

|BC| = 5 cm

B

13

|AB| = 13 cm

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |B D | = x k aç cm di r? C) ò38

B) 6

D) 2ò10 E) ò42

Y u k a r› d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A E | = x k a ç c m d i r ? A) 9

3.

D

7

ABCD ikizkenar yamuk

C

[DC] // [AB] [DE] ⊥ [AB] A

x

10

E

B

244

6.

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

ABCD dik yamuk

D 2 C

[DC] // [AB]

x

[AD] ⊥ [DC]

E

[CE] ⊥ [EB]

|AD| = |BC| |DC| = 7 cm

|DC| = 3 cm |DA| = 12 cm

|AD| = 3 cm A) ò34

E) 9

[DC] // [AB]

[DA] ⊥ [AB]

A

D) 12

ABCD dik yamuk

C

[DC] // [AB] 3

[BD] ⊥ [AD]

|DE| = |EA| A

8

B

|DC| = 2 cm

|EB| = 10 cm

|AB| = 8 cm

Y uka r› da ki v eri l er e g öre , |A E| = x kaç cm di r?

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |C E| = x kaç cm di r?

A) 1

A) 2ñ7

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

B) 5

C) 2ñ6

D) 2ñ5

E) 4

ÖZEL DÖRTGENLER

D

10.

ABCD yamuk

C 4

D

A

B

[DC] // [AB]

E

[AC] ve [BD] köflegen

16

ABCD yamuk

C

[DC] // [AB]

E

Alan(DEC) = 4 cm

2

Alan(EAB) = 16 cm

[AC] ve [BD] köflegen

8

30 °

7.

A

B

2

m(DéAC) = 30°

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABCD) kaç cm dir? A) 18

B) 24

C) 28

D) 32

|AE| = 8 cm 2

Yukar›daki verilere göre, Alan(CEB) kaç cm dir?

E) 36

A) 10ñ2

8.

D

[BD] ⊥ [AD]

B) 8ñ3

C) 4ò10

D) 5ñ6

E) 12

ABCD yamuk

C

[DC] // [AB] 4ñ2

E

11.

D

|CE| = |EB|

10

8

E G

F

ABCD yamuk

C

[DC] // [AB]

5

[AE] ∩ [DH] = {F}

m(DéAE) = 45°

45° A

B

[EB] ∩ [HC] = {G}

|AD| = 4ñ2 cm A

|AE| = 10 cm

H

B

Alan(DAF) = 8 cm

2

Alan(CGB) = 5 cm

2

Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , t a r a l › b ö l g e l e r i n a l a n l a r › 2 toplam› kaç cm dir?

Yukar›daki verilere göre, Alan(FHGE) kaç cm dir?

A) 40

A) 11

9.

B) 32

D

2

C) 28

D) 24

E) 20

ABCD yamuk

C

2

12.

B) 12

D

C) 13

D) 14

ABCD yamuk

C 3

[DC] // [AB]

[DC] // [AB]

E

|DC| = 2 cm

[AC] ve [BD] köflegen

|AB| = 8 cm A

8

B

Alan(ABCD) = 80 cm 2 kaç cm dir? A) 8

B) 12

2

A

B

|BE| = 2|DE| Alan(DEC) = 3 cm

o l d u ¤ u n a g ö r e , A l a n ( A C D)

C) 16

E) 15

2

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABCD) kaç cm dir? D) 20

E) 24

A) 27

B) 30

C) 33

D) 36

E) 39

C-A-C / B-B-D / E-E-C / B-C-A

245

KAVRAMA TEST‹ 1.

D

25°

C

4.

D

x

C

12

|DE| = 12 cm

m(DéCA) = 25°

A

E

B

A

3

|EB| = 3 cm B

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( A é E B ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABCD) kaç cm dir?

A) 110

A) 50

B) 120

C) 125

D 3 E

C

D) 130

9

2

E) 135

ABCD dikdörtgen |AD| = 9 cm

5.

B) 60

D

C

A

E

B) 44

C) 48

D 1 E

C 4

D) 52

E) 56

[BF] aç›ortay

3ñ2

|DE| = 1 cm A

B

F

A) 100

B) 105

B

C) 110

6.

D

C

m(AéCB) = 60°

D) 115

E) 120

x

ABCD dikdörtgen [AC] ve [BD] köflegen

10 E

|EF| = 4 cm |BF| = 3ñ2 cm

246

A

ABCD dikdörtgen [FE] ⊥ [AD]

F

ABCD dikdörtgen

Y u k a r › d a k i v e r il e r e g ö r e , m (A é F E ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , Ç e v r e ( A B CD ) k a ç c m d i r ? A) 40

E) 90

|DE| = |FB|

x

B

D) 80

[AC] ve [BD] köflegen

60°

|DE| = 3 cm

15

C) 75

|BE| = 15 cm

3.

ABCD dikdörtgen [CE] ⊥ [BD]

[AC] ve [BD] köflegen

E

2.

ABCD dikdörtgen

6

|EC| = 10 cm A

B

16

|AB| = 16 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , Ç e v r e ( A B CD ) k a ç c m d i r ?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A D| = x k a ç c m d ir ?

A) 14

A) 12

B) 16

C) 18

D) 20

E) 22

B) 10

C) 9

D) 8

E) 6

ÖZEL DÖRTGENLER

7.

D

ABCD dikdörtgeni befl efl dikdörtgenden meydana gelmifltir.

C

10.

D

2

E

[AE] ⊥ [EB]

4

|AD| = 4 cm A

A

B

B) 5

B

|DE| = 2 cm 2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABCD) kaç cm dir?

Çe v r e ( AB C D ) = 2 2 c m o l d u ¤ u n a g ö r e , k ü ç ü k d i k d ö r t 2 genlerden birinin alan› kaç cm dir? A) 4

ABCD dikdörtgen

C

C) 6

D) 7

A) 30

B) 32

C) 36

D) 40

E) 48

E) 8

11.

8

D

x

H

ABCD ve DEFH

C

dikdörtgen 6

8.

D

C

18

A

[AC] köflegen

x 12

E

B

F

B) 10

C) 11

A) 4

D

C

x

[FE] ⊥ [AC] A

17

F

8

B

C) 3

|AF| = 17 cm

K

D

ABCD dikdörtgen [AC] ve [BD] köflegen

E

B) 3,5

D) 2,5

E) 2

E) 13

12. 9.

F

Al a n ( D E F H ) = A l a n ( A BC D ) o l d u ¤ u n a g ö r e , | H C| = x kaç cm dir?

|DC| = 18 cm

D) 12

|AD| = 6 cm

B

|AE| = 3 cm

E

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |D E| = x ka ç c m di r ? A) 9

G

3

|AF| = |FB| |BC| = 12 cm

A

|DH| = 8 cm

ABCD dikdörtgen

8 E

C 18 G

F

ABCD dikdörtgen [EG] // [AB] [KH] // [BC]

54

Alan(EFKD) = 8 cm A

H

B

Alan(FGCK) = 18 cm

Alan(HBGF) = 54 cm 2

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | AD | = x k a ç c m d i r ?

Yukar›daki verilere göre, Alan(AHFE) kaç cm dir?

A) 10

A) 32

C) 14

D) 15

E) 16

2 2

|FB| = 8 cm

B) 12

2

B) 24

C) 18

D) 16

E) 12

D-C-E / E-B-A / C-B-D / D-A-B

247

7

KAVRAMA TEST‹ 1.

E

D

C

ABCD kare

4.

D

C

[DF] // [EB] 25°

m(AéEC) = 110°

110°

x

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( A é B E ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

A

E

B

Yukar›daki verilere göre, m(AéCE) = x kaç derecedir?

A) 45

B) 50

C) 55

A) 5

B) 10

C) 15

D

9

C

A

2.

[AC] köflegen

x

m(AéDF) = 25°

F

B

D) 60

E) 65

5.

D

C

F

6

E

ABCD kare

Alan(DEC) = 8 cm

E B

Y uka r› da ki v eri l er e g öre , |E F| = x k aç cm di r?

A

A) 2ñ2

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A B| = x k a ç c m d i r ?

B) 2ñ5

C) 3ñ2

D) 3ñ5

E) 4ñ2

x

A) 2ñ2

D

C

ABCD kare

6.

B

B) 4

C) 2ñ5

D

C

x+5

|EB| = 1 cm

x

3

ABCD kare

|AE| = 2x – 3 cm

B) 5

C) 6

E

A

E 1 B

Y uka r› da ki v eri l er e g öre , |D E| = x ka ç c m di r ? A) 4

E) 6

|EC| = x + 5 cm 2x – 3

A

D) 4ñ2

[BD] köflegen

|AE| = 3 cm

248

E) 25

[AC] ve [BD] köflegen

|AE| = |CF| = 6 cm

x A

D) 20

ABCD kare |DC| = 9 cm

6

3.

ABCD kare

D) 3ñ5

E) 4ñ3

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | AE | k a ç c m d i r ? A) 8

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

2

ÖZEL DÖRTGENLER

7.

D

ABCD ve

C

10.

D

ABCD kare

C

BEFG kare G

F

4ñ2

|AG| = 8 cm

9ñ2

F

8 A

B

A

E

8.

B) 64

C) 80

D

D) 96

x

|CE| = 4ñ2 cm

B

|AC| = 9ñ2 cm

A) 3

B) 4

C) 5

11.

D

C

E

A

ABCD kare

|AF| = 2|FB|

|DE| = 7 cm

x

E) 7

[BD] köflegen

[BD] köflegen 7

D) 6

E) 120

ABCD kare

C

[FE] ⊥ [BC]

Yukar›daki verilere göre, |FB| = x kaç cm dir?

Y uka r› da ki v eri l e re gör e, ka re l eri n al an l ar› t op l am› 2 kaç cm dir? A) 32

E

[AC] ⊥ [EC]

E

|EB| = 1 cm

|EF| = 2 cm

2

1 F

A

B

B 2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABCD) kaç cm dir?

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |A E| = x k aç cm di r? A) 5

9.

B) 2ñ6

D

6

G

C) 2ñ5

C

H F

5

3 A 3 E

D) 4

A) 25

E) 2ñ3

ABCD kare

12.

B) 30

C) 36

D

C

D) 40

E) 49

ABCD kare

|DH| = |AH|

[AE] ⊥ [BE]

|HE| = 5 cm

|AE| = 8 cm

|AE| = |BF| = 3 cm 8

|DG| = 6 cm

B

|EB| = 3 cm

E 3

A

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , ta r a l › b ö lg e n in a l a n › k a ç 2 cm dir?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , t a r a l› b ö l g e n i n a l a n › k a ç 2 cm dir?

A) 41

A) 50

B) 43

C) 46

D) 47

E) 49

B) 54

C) 57

D) 61

E) 64

E-C-B / E-D-E / B-A-A / C-C-D

249

KAVRAMA TEST‹ 1.

D

ABCD kare

C

4.

D

8 6

E

D, B, E do¤rusal

C

2

[BD] köflegen

x

m(EéAB) = 20°

ABCD kare

|DE| = 6 cm

F

|EC| = 2 cm B

20°

A

A x

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |FE | = x k aç cm di r?

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( A é E D) = x k a ç d e r e c e d i r ? E

A) 15

2.

B) 20

6ñ2

E

S3

L

D

C) 25

D) 30

A

S1

5.

D

C) 4

C

5

|EF| = 6ñ2 cm

G

D)

30 7

E) 5

ABCD kare

|EC| = 5 cm 13

13

B

B) 4ñ2

C) 4ñ3

D) 5

A x F

E) 6

B

Y uka r› daki ve ri l er e g öre , |A F| = x kaç cm di r? A) 1

3.

26 7

E

S1 = S2 = S3 K

B)

|EF| = |EB| = 13 cm

Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , | L C | c m d i r ? A) 4

24 7

HKCL birer karedir.

C

S2 H

A)

E) 35

ABCD, EFGH ve

F

B

B) 1,5

C) 2

D) 2,5

E) 3

ABCD kare

E

[DE] ⊥ [EF]

2

[BF] ⊥ [EF]

C

D

F

6.

D

E

C

120°

m(DéEB) = 120°

|DE| = 2 cm

|EB| = 12 cm

12

|BF| = 3 cm

ABCD kare

3 A

250

B

A

B 2

Y uka r› da ki v eri l er e g öre , |F E| = x k aç cm di r?

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABCD) kaç cm dir?

A) 5

A) 84

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

B) 90

C) 96

D) 100

E) 108

ÖZEL DÖRTGENLER

7.

D

ABCD kare

C 4ñ2 7

E

E, F, B do¤rusal

[EF] ⊥ [AB]

|EF| = |FB| |AB| = 4 cm E F

B

4

A

C) 2ñ2

D) 3

E) 2

A) 4

8.

D

ABCD kare

C

15°

[DE] ⊥ [BE]

11.

B) 6

C) 8

D

D) 9

E) 10

ABCD kare

C

A, B, E do¤rusal

m(CéDE) = 15° E

B

Yukar›daki verilere göre, taral› bölgenin alan› kaç 2 cm dir?

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |EF | = x k aç cm di r? B) 4

ABCD kare

C

|BC| = 7 cm

F

A) 3ñ2

D

[AC] köflegen

|EC| = 4ñ2 cm

x A

10.

F

|DF| = |BE|

x

|BE| = 4 cm

4 x

A

9.

A

B

B

E

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | AB | = x k a ç c m d i r ?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (C é F E ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

A) 2ñ5

A) 22,5

B) 4ñ2

D

C) 6

C

D) 6ñ2

E) 8

ABCD kare [AE] aç›ortay

12.

D

|AE| = 2ñ2 cm

x

D) 40

E) 45

ABCD ve EBFK birer kare Alan(EBFK) = 36 cm

10

2

|KC| = 10 cm F

K 36

2ñ5

A

C) 35

C

|EB| = 2ñ5 cm

E 2ñ2

B) 30

A

B

E

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , Ç e v r e ( A B C D ) k a ç c m d ir ?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | D K | = x k a ç c m d ir ?

A) 12

A) 4ñ2

B) 16

C) 20

D) 24

E) 28

B) 5ñ2

C) 6ñ2

D) 7ñ2

E) 8ñ2

C-E-A / D-C-E / D-B-D / A-E-E

251

GENEL TEKRAR TEST‹ 1.

D E

ABCD paralelkenar

6

[AC] ∩ [DH] = {E}

H 6

x A

C

B) 7,5

|CH| = |BH| = 6 cm

H A

C) 8

D) 9

E

D

C

3

E

B

9

Y uka r› da ki ve ri l er e gö re, t ar al › böl ge ni n çe vr esi ka ç cm dir?

E) 10

ABCD paralelkenar

|EB| = 9 cm

F

A) 36

2.

5.

B) 38

C) 40

D

5

F

L

A

B) 20

|BE| = 5 cm

|KL| = 5 cm

C) 17,5

D) 15

B

20

F D

A

16

C

252

B) 72

C) 6ñ3

D

C F

H

A

B

C) 64

D) 10

E) 3ò10

ABCD ve AEFH kare, m(CéFB) = 105°

105°

|EB| = 2 cm

|AH| = 20 cm

Yukar›daki verilere göre, flfleeklin çevresi kaç cm dir? A) 80

B) 11

|AB| = 16 cm

E

E

2

6. Yandaki flekilde tüm köfleler dik aç›l›d›r.

5

A l a n (A B C D ) = 1 6 9 c m o l d u ¤ u n a g ö r e , | C E | = x k a ç cm dir?

E) 10

A) 12

G

[BE] ⊥ [EC]

x

A

H

ABCD kare

C

[BD] köflegen

B

E) 44

BEC dik üçgen

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | BD | k a ç c m d i r ?

3.

D) 42

E ve F orta noktalar

K

A) 22,5

ABCD ve AEFH birer kare

C

|AE| = 3 cm

Y uka r› da ki v eri l er e g öre , |E F| = x k aç cm di r? A) 7

D

[EF] // [BC]

B

F

4.

D) 60

E) 54

x

E

2

B

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |A E| = x kaç cm di r? A) 2ñ2

B) 2ñ3

C) 4

D) 3ñ2

E) 3ò10

ÖZEL DÖRTGENLER

7.

E

D

10.

ABCD kare

C

|DE| = |EC|

K

|AF| = 11 cm

x

D

|LM| = 20 cm

x

20

P

|MN| = 15 cm

N

15

M 11

C

24

L

|FB| = 1 cm

A

ABCD ve KMPR birer dikdörtgen

R

|LC| = 24 cm

F 1B

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |EF | = x k aç cm di r?

A

A) 13

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | CN | = x k a ç c m d i r ?

B) 14

C) 15

D) 16

E) 17

B

A) 12

8.

B) 10

C) 9

D) 8

ABCD dikdörtgen

E

EAB bir üçgen

11.

8

D

E

6

ABCD dikdörtgen

C

[FE] ⊥ [EB]

|FE| = 2|AF|

|FE| = |EB|

|FH| = 6 cm D

F

6

E) 7

H C

F x

|AD| = 4 cm

|DE| = 8 cm

A

4

|EC| = 6 cm

B

Y u k a r › d a ki v e r i l e r e g ö r e , | AF | = x k a ç c m d i r ? A

B

A) 4

B) 3,5

C) 3

D) 2,5

E) 2

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABCD) kaç cm dir? A) 48

B) 44

C) 40

D) 36

E) 32

12.

9.

D

C 60°

[CF] ⊥ [EF]

2 E

ABCD dikdörtgen

6 x

m(DéCF) = 60°

x

D

C

[DF] aç›ortay 4 3

A

|AD| = 4ñ3 cm B

E

|BC| = 6 cm

A

B

F

ABCD dikdörtgen

|DE| = 2 cm

F

CDB üçgeni, [BD] köflegeni boyunca katlanarak DFB üçgeni elde ediliyor.

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |EF | = x k aç cm di r?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | D C| = x k a ç c m d i r ?

A) 5

A) 10

B) 6

C) 8

D) 9

E) 10

B) 12

C) 15

D) 16

E) 18

253

ÖZEL DÖRTGENLER

13.

D

C 30°

ABCD kare EFCD eflkenar dörtgen

16.

D

ABCD yamuk

C

[DC] // [EF] // [AB] 10

m(BéCF) = 30°

2

[DE] ve [AE] aç›ortay

F

E

|EF| = 2 cm

|AB| = 8 cm H A

E

|AD| = 10 cm

F 8

Yukar›daki verilere göre, |AB| + |DC| toplam› kaç cm dir?

Y uka r› da ki ve ri l er e gör e, t ara l › bö l gen i n a l an› ka ç 2 cm dir? A) 12ñ3

B) 16ñ3

14.

E D

x 8

C) 12

D) 14

5

C

H

D

ABCD eflkenar dörtgen

ABCD yamuk

C

[DC] // [AB] 4

|DE| = |EA|

6

E

ABEF kare

[EC] ⊥ [BC]

|DH| = 8 cm

|EC| = 4 cm

|HC| = 5 cm

B) 1,5

2

C) 2

D) 2,5

A) 12

D

E

C

3 7

F

H

B

A

254

B) 6

C) 8

C) 24

D) 30

E) 36

D

ABCD yamuk

E x C

ABCD yamuk

[DC] // [AB]

[DC] // [AB]

|DC| = 3 cm

[EH] orta taban

|AF| = 6 cm

|EF| = 7 cm

|FB| = 8 cm

|FH| = 3 cm

Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , | A B | – | D C | f a r k › k a ç c m dir? A) 4

B) 18

E) 3

18. 15.

|BC| = 6 cm

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABCD) kaç cm dir?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | E H| = x k a ç c m d i r ? A) 1

B

A

B

A

E) 16

E) 24ñ3

17. F

B) 10

A) 8

C) 18ñ3

D) 20ñ3

B

A

B

D) 10

E) 12

A

6

F

8

B

A l a n ( A F E D ) = A l a n ( F B C E ) o ld u ¤ u n a g ö r e , | E C | = x kaç cm dir? A)

P

B) 1

C)

f

D) 2

E)

r

ÖZEL DÖRTGENLER

19.

D

ABCD yamuk

C

6

22.

ABCD deltoid

D

[DC] // [AB]

|AD| = |AB|

[AC] ⊥ [BD]

E

A

75°

55°

|AD| = |BC|

12

Yukar›daki verilere göre, m(AéBC) = x kaç derecedir?

Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , t a r a l › b ö l g e l e r i n a l a n l a r › 2 toplam› kaç cm dir? A) 30

B) 36

C) 40

D) 42

m(BéCD) = 55°

B

|AB| = 12 cm

B

A) 105

B) 110

C) 115

|AB| = |BC| E

A

ABCD dik yamuk

C

x

10

[AD] ⊥ [AB]

F

|BE| = 10 cm

B

|CE| = |BE|

B

|EF| = 6 cm

2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABCD) kaç cm dir?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | AD | = x k a ç c m d i r ? A) 20

21.

B) 18

|EC| = 4 cm

[EF] ⊥ [AB]

6 A

[AC] ve [BD] köflegen

C

4

|AD| = 5 cm

[DC] // [AB] E

C) 16

D) 14

A) 36

B) 40

C) 44

24.

70°

[BD] köflegen

|AD| = |DC|

C

E) 52

ABCD deltoid

D

[AC] ve [BD] köflegen A

D) 48

E) 12

ABCD deltoid

D

E) 125

ABCD deltoid

D 5

D

D) 120

E) 48

23.

20.

|BC| = |DC| m(BéAD) = 75°

x

|DC| = 6 cm A

C

|AB| = |BC|

E

m(AéCB) = 70°

3

F

|DE| = |EA| x

A

C

|EF| = 3 cm

x B

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (A é B D ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

Y uka r› dak i ve ri l er e g öre , |FC | = x k aç cm di r?

A) 12

A) 6

B) 16

C) 18

D) 20

E) 24

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

C-D-B / D-A-B / A-D-C / E-E-B / E-A-C / D-C-A / B-E-D / C-E-A

255

SINAVLARDA (ÖSS-ÖYS-YGS-LYS) SORULMUfi SORULAR 1.

Afla¤›daki flekilde, eni 40 m ve boyu 100 m olan dikdörtgen biçiminde bir park, park›n içinden geçen paralelkenar biçiminde iki yol ve bu yollar d›fl›nda kalan yamuksal K, L ve üçgensel M yeflil alanlar› gösterilmifltir.

4.

D

C

KT // AB 4

T m(AéDK) = m(KéDC)

x

K

|CT| = |TB|

100

A

12

B

M K

40

ABCD bir dikdörtgen

|AD| = 4 cm |AB| = 12 cm

L

|KT| = x 35

Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , x k a ç c m d ir ?

55

A) 8,5

P a r k › n K v e L b ö l g e l e r in in a l t k e n a r u z u n l u k l a r › s›ras›yla 35 m ve 55 m oldu¤una göre, toplam yeflfliil 2 alan kaç m dir? A) 3200

B) 3400 D) 3600

B) 9

C) 9,5

D) 10

E) 10,5

(ÖSS 2007 Mat-2)

C) 3500 E) 3800

(ÖSS 2008 Mat-2) 5.

D

C F

2.

D

E

ABCD bir kare

C

G

|AE| = |EB| 10

|DF| = |FE| |AG| = |GE|

A

|FC| = 10 cm

ABCD bir paralelkenar

B 2

fiekildeki ABCD paralelkenar›n›n alan› 72 cm dir. F A

E

2

Buna göre, taral› EFG üçgeninin alan› kaç cm dir? A) 9

B

B) 10

C) 12

B) 30

C) 40

D) 45

E) 18

(ÖSS 2007 Mat-1)

Y uka r› da ki ve ri l ere gör e, E B C üç gen i ni n a l an› ka ç 2 cm dir? A) 25

D) 16

E) 50

(ÖSS 2008 Mat-1)

3.

6. ABCD bir dikdörtgen

E x D

F

C

m(AéBE) = m(EéBC) |AB| = 8 cm

5 A

8

B

|BC| = 5 cm |EF| = x

Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , x k a ç c m d i r ? A) 2ñ2

B) 3ñ2

C) 3ñ3

D) ò13

E) ò15

(ÖSS 2008 Mat-1) 256

A

D

ABCD bir dikdörtgen K noktas› [AB] nin ortas›

K

3

N

2

L

L noktas› [CD] nin ortas› |KN| = 3 birim

B

M

C

|NL| = 2 birim

fifieekildeki verilere göre, ABCD dikdörtgeninin alan› n› n, D MC üçg eni ni n a l an› na ora n› ka çt › r? 7 5 7 A) 2 B) C) 3 D) E) 2 2 3

(ÖSS 1988)

ÖZEL DÖRTGENLER

7.

E D

F

G

x

C

ABCD bir dikdörtgen

10.

[AE] aç›ortay

2

[BE] aç›ortay A

B

6ñ2

|AB| = 6ñ2 cm |GB| = 2 cm

fiekildeki gibi efl karelerden oluflan kare biçimindeki ›zgara için 960 cm tel kullan›lm›flt›r.

|FG| = x Yukar›daki flfleekilde ABCD bir dikdörtgen oldu¤una g ö r e , | F G| = x k a ç c m d i r ? A) 3ñ5

B) 2ñ3

C) 3ñ3

D) 4ñ2

B u ›z g a r an› n ç e v r e s i k a ç c m d ir ? B) 320

A) 240

E) 5ñ2

C) 384

D) 448

E) 480

(ÖSS 2004)

(ÖSS 1997)

8.

6

D

ABCD bir kare

C

11.

2x

A

P

3

E

›

›

|FF | = 5 cm

2

|DC| = 6 birim

F

|EK| = x birim

2

›

5

DC // EE // FF

F›

A

|EP| = 2x birim

B

›

|EE | = 3 cm

E

E ∈ [AC]

K

|DE| = |EF| = |FA| = 2 cm

C

2

PBKE bir dikdörtgen x

E

D

›

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | E K | = x k a ç b ir i m d i r ?

Yukar›daki flfleekilde ABCD bir dik yamuk oldu¤una 2 göre, alan› kaç cm dir?

A) 1

A) 8

B) 1,25

C) 1,5

D) 1,75

E) 2

B) 12

C) 16

D) 20

(ÖYS 1987)

(ÖSS 1991)

9.

D

C

|HA| = 4 cm

K E

ABCD ve HAFE birer kare

F

12.

D

4

ABCD bir yamuk

C

[EF] orta taban E

F

K

|AB| = 12 cm 6

A H

E) 24

A

12

B

B 2

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , t a r a l› a l a n l a r ›n t o p l a m › k a ç 2 cm dir?

fifieekildeki AEK üçgeninin alan› 4 cm , CKF üçgeninin 2 alan› 8 cm oldu¤una göre, ABCD yamu¤unun alan› 2 kaç cm dir?

A) 36

A) 48

B) 40

C) 42

D) 50

E) 56

B) 44

(ÖSS 2004)

C) 40

D) 36

E) 24

(ÖSS 1996)

D-D-B / D-A-B / D-E-B / C-E-A

257

SINAVLARDA SORULAB‹LECEK SORULAR 1.

D

C 130° E

4.

50°

B) 60

x G

B, H, G do¤rusal

m(AéDC) = 130° B

E

m(AéBE) = 50°

C) 65

D) 70

4

10

D

C

B

5.

B) 4

D

[CF] ⊥ [AF]

|EF| = 2ñ2 cm

Yukar›daki verilere göre, Alan(DAE) kaç cm dir?

A

A) 24

Yukar›daki verilere göre, Alan(GFCD) kaç cm dir?

B) 30

C) 36

D) 48

D

ABCD dik yamuk

C

E

B 2

E) 60

A) 12

6.

B) 16

D

C) 18

C

12

[AD] ⊥ [DC]

x

13

E

|AD| = 12 cm A

21

E

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B C| = x k a ç c m d i r ? B) 15

C) 17

E) 24

ABCD kare

4ñ2

|BC| = 4ñ2 cm

|CE| = 13 cm |EB| = 21 cm

A) 13

D) 20

[AC] ve [BD] köflegen

[DC] // [AB]

D) 18

E) 20

A

F

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , ta r a l › b ö lg e n in a l a n › k a ç 2 cm dir? A) 4

E-B-E / D-B-C

258

|DG| = 4ñ2 cm

2

|CF| = 6 cm 2

3.

F

G

2ñ

F

E) 2

EBFG kare 2

B

D) 3

ABCD ve

C

|DC| = 10 cm A

C) 3,5

4ñ

6

E

|HF| = 2 cm

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |D G | = x k aç cm di r?

E) 75

ABCD paralelkenar

H

|EH| = 4 cm

2 F

A

A) 4,5

2.

ABCD ve

C

EFCG kare

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m (B é E C ) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 55

D

[CE] aç›ortay

x

A

ABCD paralelkenar

B) 6

C) 8

D) 12

E) 16

KAZANMIfi OLMAMIZ GEREKEN B‹LG‹ ve BECER‹LER

Hangi dörtgenlerin özel dörtgen oldu¤unu bilme Paralelkenar›n genel özelliklerini tan›mlayabilme Paralelkenarda aç›ortay›n oluflturdu¤u ikizkenar üçgeni fark edebilme Eflkenar dörtgenin köflegenlerinin aç›ortay oldu¤unu ve dik kesiflti¤ini bilme Yamu¤u, ikizkenar yamu¤u ve dik yamu¤u tan›mlayabilme Dikdörtgeni tan›mlayabilme, çevre ve alan hesab›n› yapabilme Karenin köflegen özelliklerini uygulayabilme Karede efl üçgenleri kullanabilme Özel dörtgenlerin aç› özelliklerini uygulayabilme Üçgende benzerli¤i özel dörtgenlerde kullanabilme Özel dörtgenlerin alanlar›n› hesaplayabilme Özel dörtgenlerde alan oranlar›n› kullanabilme

259

09

ÇEMBER VE DA‹RE

Sabit bir noktaya eflit uzakl›ktaki noktalar kümesi: Çember Çemberde çeflit çeflit aç› var. Kirifller dörtgeninin iç aç›lar› birer çevre aç›d›r. Çemberin merkezinden kirifle inen dikme kirifli ortalar. Merkeze eflit uzakl›ktaki kirifllerin uzunluklar› eflittir. Merkeze yak›n kirifllerin boylar› daha uzundur. Bir noktadan geçen en uzun ve en k›sa kirifl hangisidir? Çemberde te¤et özellikleri Dairenin alan›n› ve çevresini nas›l hesapl›yoruz? Daire dilimlerinin büyüklü¤ü merkez aç›yla orant›l›d›r. Daire diliminin alan› üçgenin alan› gibi hesaplanabilir. Çember ve dairede benzerlik Daire kesmesinin alan› Daire halkas›n›n alan›

YÖRÜNGEDEK‹ KAVRAMLAR merkez

s. 263

yar›çap s. 263 çap

s. 263

kirifl

s. 263

te¤et s. 263 kesen yay

s. 263 s. 263

merkez aç› s. 263 çevre aç› s. 263 kirifller dörtgeni s. 271

262

ÇEMBER VE DA‹RE 9.1

Sabit bir noktaya eflit uzakl›ktaki noktalar kümesi: Çember Çemberi iki noktada kesen do¤rulara kesen denir. fiekildeki EF do¤rusu kesendir.

C r O

r

Çember ile bir ortak noktas› olan do¤ruya te¤et denir. fiekildeki TP do¤rusu T noktas›nda çembere te¤ettir.

A

r B

Sabit O noktas›ndan r birim uzakl›ktaki noktalar kümesine O merkezli r yar›çapl› çember denir. Yukar›daki flekilde |OA| = |OB| = |OC| = r dir.

Çember yay›n›n tamam›n›n aç›sal de¤eri 360° dir.

36O°

Çemberle ilgili kavramlar› bilmemiz laz›m D

36O°

C A

Çemberin çap› çemberi iki efl yar›m çembere ay›r›r. Herbir yar›m çemberin aç›sal de¤eri B 180° dir.

180°

B

O E F T

P

A

O

Çember üzerinde bulunan iki noktay› birlefltiren do¤ru parças›na kirifl denir. fiekilde [CD] ve [AB] birer kirifltir. [AB] kirifli çemberin merkezinden geçti¤i için çemberin içine çizilebilecek en uzun kirifllerden biridir ve çemberin çap› olarak isimlendirilir. 9.2

180°

Çemberde çeflit çeflit aç› var. 2. Çevre Aç›

1. Merkez Aç› Köflesi çemberin merkezinde olan aç›ya merkez aç› denir. Merkez aç›n›n ölçüsü gördü¤ü yay›n ölçüsüne eflittir.

O

α

B α

A A

α

B

fiekilde m(AéOB) = m(AïB) = α d›r.

2α

C

Köflesi çemberin üzerinde ve kollar› çemberin kiriflleri olan aç›ya çevre aç› denir. Çevre aç›n›n ölçüsü, gördü¤ü yay›n ölçüsünün yar›s› kadard›r. m(AéBC) =

P. m(AïC) = α

263

ÇEMBER VE DA‹RE

örnek soru

çözüm m(AéOC) = x

O

A

140° D

x + y = 96° oldu¤una göre, x kaç derecedir?

Merkez aç›n›n ölçüsü ile gördü¤ü yay›n ölçüsü eflit oldu¤una göre,

B y

C

x

1 . 1 . m(AïD) ⇒ x = 140° = 70° bulunur. 2 2

O noktas› merkez

C x

[AB] çap

°

m(AéCD) = 25°

25

Çevre aç›n›n ölçüsü, gördü¤ü yay›n ölçüsünün yar›s› oldu¤undan . m(AïC) m(AéBC) =

m(AïD) = 140° olur.

örnek soru

m(AïC) = m(AéOC) = x olur. x

m(DïB) = 40° ise,

40°

AéCD bir çevre aç›d›r ve çevre aç›lar›n ölçüleri gördükleri yay›n yar›s› oldu¤una göre, m(AéCD) =

çözüm

Bu durumda

B

C

A

A

m(AùDB) = m(AùCB) = 180° dir.

O

x

yani y =

x

m(AéBC) = y

y

Çap, çemberi 180° lik iki eflit yaya böldü¤üne göre,

C

O merkezli çemberde

B

A

P

D

m(DéCB) = x

B

O

x olur. 2

x + y = 96° ⇒ x +

x 3x = 96° ⇒ = 96° ⇒ x = 64° 2 2

bulunur.

Yukar›daki verilere göre, x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

çözüm O merkezli çemberde [AB] çap oldu¤una göre,

C

örnek soru

m(DïB) = 40°

A

m(AéCD) = x

O

25

[AB], O merkezli çemberin çap›

C x

°

x

A

D

B

O

Dolay›s›yla [AB] çap›n› gören çevre aç›n›n ölçüsü

E B D

40°

Yukar›daki verilere göre, x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

m(AùEB) = 180° dir.

180°

m(AéCB) = 180° : 2 = 90° dir. Bu durumda 25° + x = 90° ise x = 65° bulunur. Pratik bir kural olarak, çap› gören çevre aç›n›n ölçüsünün 90° oldu¤unu unutmayal›m.

264

ÇEMBER VE DA‹RE

OAC üçgeninde iç aç›lar toplam› 180° oldu¤undan

örnek soru O

A

B

x

O noktas› merkez

m(AéOC) = 180° – 2. 55° = 70° dir.

[AB] yar›m çemberin çap›

AOC merkez aç›d›r ve merkez aç›lar›n ölçüleri gördükleri yay›n ölçüsüne eflit oldu¤undan

m(AéCO) 35°

35°

m(CéOB) = x

C

Yukar›daki verilere göre, x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

m(AïC) = m(AéOC) ⇒ x = 70° bulunur.

örnek soru fiekildeki çemberde

A

çözüm O

A

B

x

35°

x 35°

N

B

[AD] ∩ [BC] = {E} m(AéEC) = 80°

C

80° 54°

E

m(BéCD) = 54°

m(BéAN) = m(NéAE) m(AéNE) = x

C

[OA] ve [OC] yar›çap oldu¤undan |OA| = |OC| dir.

D

Bu durumda, OAC ikizkenar üçgen olup m(OéAC) = m(OéCA) = 35° dir.

OAC üçgeninde iki iç aç›n›n toplam›, kendilerine komflu olmayan d›fl aç›ya eflit oldu¤undan m(CéOB) = m(OéAC) + m(OéCA)

Yukar›daki verilere göre, x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

çözüm

x = 35° + 35° = 70° bulunur.

A αα

örnek soru O merkezli çeyrek çemberde

A 55°

x

[AO] ⊥ [OB]

x N

B

C

80° 54°

E

m(OéAC) = 55° C

O

m(AïC) = x

B

oldu¤una göre, x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

çözüm [OC] çizilirse, [OA] ve [OC] yar›çap oldu¤undan

A 55°

x

|OA| = |OC| dir. 55°

C

70° O

B

Bu durumda,

m(OéCA) = m(OéAC) = 55° olur.

108°

D

BéCD aç›s›n›n ölçüsü 54° oldu¤undan gördü¤ü yay›n ölçüsü m(BïD) = 2. 54° = 108° dir. BéAD ve BéCD ayn› yay› gören çevre aç›lar olduklar› için ölçüleri eflittir. Bu durumda m(BéAD) = 54° dir. m(BéAN) = m(NéAE) = α al›n›rsa,

m(BéAD) = 2α olur. 2α = 54° ise α = 27° olur. ANE üçgeninde iki iç aç›n›n toplam› kendilerine komflu olmayan d›fl aç›ya eflit oldu¤undan m(NéAE) + m(AéNE) = m(AéEC)

α + x = 80° ⇒ 27° + x = 80° x = 53° bulunur.

265

ÇEMBER VE DA‹RE

3. Te¤et-Kirifl aç›

B

örnek soru Kollar›ndan biri çemberin kirifli, di¤eri çemA berin te¤eti olan ve köflesi çember üzerinde bulunan aç›ya te¤et-ki2α rifl aç› denir.

α

BC, O merkezli çembere B noktas›nda te¤et

O

[AO] ⊥ [OB] x

A

C

Te¤et kirifl aç›n›n ölçüsü, gördü¤ü yay›n ölçüsünün yar›s› kadard›r. m(BïA) m(AéBC) = −−−−−−− = α 2

m(AéBC) = x

B

C

Yukar›daki verilere göre, x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

çözüm

D

α

O A

B

α

B

x

A

2α

90° C

C

Ayn› yay› gören çevre aç› ile te¤et-kirifl aç›n›n ölçüleri eflittir. m(AéDB) = m(AéBC) = α

AOB merkez aç›s›n›n ölçüsü 90° oldu¤undan gördü¤ü yay›n ölçüsü de 90° dir. m(AïB) = 90° [AB] kirifli ile BC te¤etinin aras›ndaki ABC aç›s› (te¤et kirifl aç›) AB yay›n› gördü¤ünden, ölçüsü AB yay›n›n ölçüsünün yar›s› kadard›r. Buna göre,

m(AéBC) = −−−−−−− ⇒ x =

m(AïB) 2

A

O

90° = 45° dir. 2

örnek soru ABC bir üçgen

B

A

C

Çemberin merkezinden te¤et de¤me noktas›na çizilen yar›çap te¤ete diktir. Dolay›s›yla te¤ete dik olarak çizilen kirifl, çemberin merkezinden geçer, yani çap olur. Yukar›daki flekilde, AB ⊥ BC dir.

B

[CA, A noktas›nda çembere te¤et

35° D

m(AéBC) = 35°

x C

m(BéAD) = 2. m(DéAC) oldu¤una göre, m(AéCB) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

266

ÇEMBER VE DA‹RE

4. Çemberde iç aç›

çözüm ABD çevre aç›s› ile DAC te¤et kirifl aç›s› ayn› AD yay›n› gördükleri için ölçüleri eflittir.

A

35°

B

° 35

70°

75°

x

D

A D

α

x

E

α

y

C

B

C

Buna göre, m(DéAC) = m(AéBD) = 35° dir.

Bir çemberde, kesiflen farkl› iki kiriflin oluflturdu¤u aç›ya iç aç› denir. ‹ç aç›n›n ölçüsü, gördü¤ü yaylar›n öçüleri toplam›n›n yar›s› kadard›r.

m(AéEC) = m(DéEB) = α ise, α =

m(BéAD) = 2. m(DéAC) verildi¤ine göre,

x+ y dir. 2

m(BéAD) = 2. 35° = 70° dir.

Bu durumda, m(AéDB) = 75° olur.

örnek soru

ADC üçgeninde iki iç aç›n›n toplam› kendilerine komflu olmayan d›fl aç›ya eflit oldu¤una göre,

fiekildeki çemberde

A 45°

m(BéAC) = 15°

E

15

°

35° + x = 75° ⇒ x = 40° bulunur.

m(DéAE) = 45°

B

örnek soru [PA, A noktas›nda

A

O

C

O merkezli çembere te¤et

130°

x

P

B

H

|CH| = |HB|

m(AéOH) = 130° m(AéPC) = x

m(EéKD) = x

x

K C

D

Yukar›daki verilere göre, x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

çözüm

Yukar›daki verilere göre, x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

BéAC ve DéAE birer çevre aç› olduklar› için, ölçüleri gördükleri yaylar›n yar›s›d›r.

A 45°

E

15

°

çözüm B

A

30° O

130°

r C

H

x

r

P

B

|OC| = |OB| = r oldu¤undan OCB üçgeni ikizkenar üçgendir. OCB ikizkenar üçgeninde [OH] kenarortay› ayn› zamanda yükseklik oldu¤u için [OH] ⊥ [CB] dir. Çemberin merkezinden te¤et de¤me noktas›na çizilen yar›çap te¤ete dik oldu¤undan [OA] ⊥ [PA d›r. AOHP dörtgeninde iç aç›lar toplam› 360° oldu¤undan 2. 90° + 130° + x = 360° ⇒ x = 50° bulunur.

K

90°

x

C D

Buna göre,

m(BïC) = 2. m(BéAC) = 2. 15 = 30° ve

m(DïE) = 2. m(DéAE) = 2. 45° = 90° dir.

EéKD, [EC] ve [DB] kirifllerinin kesiflmesiyle olufltu¤u için bir iç aç›d›r. Ölçüsü gördü¤ü yaylar›n toplam›n›n yar›s› oldu¤undan 90° + 30° m(DïE) + m(BïC) m(EéKD) = −−−−−−−−−−−−−−−− ⇒ x = = 60° 2 2 bulunur.

267

ÇEMBER VE DA‹RE

5. Çemberde d›fl aç› A

A B x

y

O

α

P y

K

α

K

x N

D

C

B

‹ki kesenin oluflturdu¤u d›fl aç›

‹ki kesenin, iki te¤etin veya bir kesenle bir te¤etin oluflturdu¤u aç›ya çemberin bir d›fl aç›s› denir. Yukar›daki flekilde AKC aç›s›, O merkezli çemberin bir d›fl aç›s›d›r. D›fl aç›lar›n ölçüsü, gördü¤ü yaylar›n ölçüleri fark›n›n yar›s›na eflittir. x–y m(AïC) – m(BïD) m(AéKC) = −−−−−−−−−−−−−−−− ⇒ α = dir. 2 2

‹ki te¤etin oluflturdu¤u d›fl aç›

AKB aç›s› d›fl aç› oldu¤undan m(AùNB) — m(AùPB) m(AéKB) = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 2 α=

x−y dir. 2

Ancak burada x + y = 360° oldu¤undan denklemde x yerine 360° — y yaz›l›rsa, α + y = 180° bulunur.

A

A x

n

B y T

n α

O K

Bir kesenle bir te¤etin oluflturdu¤u d›fl aç›

K n

H

m m

P

n B

AKT aç›s› d›fl aç› oldu¤undan m(AïT) — m(BïT) m(AéKT) = −−−−−−−−−−−−−−−−− yani 2 α=

268

x−y ile bulunur. 2

‹ki te¤etin oluflturdu¤u d›fl aç›n›n aç›ortay› çemberin merkezinden geçer. Bu durumda, m(AéPK) = m(KéPB) = m ve m(AïK) = m(KïB) = n oldu¤undan m + n = 90° dir.

ÇEMBER VE DA‹RE

örnek soru

örnek soru

A P

A

25°

B

20°

K x

30° C

x C

K

130°

O

D B

fiekildeki çemberde

m(AéBP) = 20° , m(BéPD) = 25° ve m(PéDC) = 30°

Yukar›daki verilere göre, m(AéKC) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

[KA A noktas›nda, [KB B noktas›nda O merkezli çembere te¤ettir.

m(AéCB) = 130° oldu¤una göre, m(AéKB) = x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

çözüm A 40° P

25°

50° 60°

30° C

çözüm

B

20°

x

D

D

m(AéBP) = 20° oldu¤undan gördü¤ü yay›n ölçüsü

m(AïP) = 40° olur. Ayn› flekilde, m(BéPD) = 25° oldu¤undan m(BïD) = 50° ve m(PéDC) = 30° oldu¤undan m(PïC) = 60° dir.

AKC d›fl aç›s›n›n ölçüsü, gördü¤ü yaylar›n ölçülerinin fark›n›n yar›s› oldu¤undan

m(AïC) — m(BïD) 100° — 50° m(AéKC) = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−− = 25° 2 2 bulunur.

A

K K

x

100° C

130°

260° O

B

ACB çevre aç›s›n›n ölçüsü 130° oldu¤undan gördü¤ü yay›n ölçüsü m(AùDB) = 2. 130° = 260° dir. Bu durumda, geriye kalan ACB yay›n›n ölçüsü 360° — 260° = 100° dir. AKB d›fl aç›s› iki te¤etin kesiflimiyle olufltu¤u için,

m(AéKB) + m(AùCB) = 180° yani x + 100° = 180° oldu¤undan x = 80° bulunur.

269

ÇEMBER VE DA‹RE

B

α

C

Bir çemberin içine çizilen eflit uzunluktaki kirifllerin gördü¤ü yaylar eflittir.

α

örnek soru O noktas› çemberin merkezi, [AB] çap

D

A

100°

[AB] // [DC]

|AB| = |CD| ise A

m(AïB) = m(CïD) = α

D

m(DïC) = 100°

O

m(DéEB) = x

C α

A x C

α

Bir çemberde birbirine B paralel iki kirifl aras›nda x kalan yaylar›n ölçüleri D eflittir.

E

x

B

Yukar›daki verilere göre, x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

[AB] // [CD] ise, m(AïC) = m(BïD) = x çözüm örnek soru

A

40° D 100°

E

α

C

D

O C

O A

E B

ABCD karesinin köfleleri, O merkezli çember üzerinde oldu¤una göre, m(AéEB) = α n›n ölçüsünü bulal›m.

40° B

[AB] çap oldu¤undan çemberi 180° lik iki efl yaya ay›r›r. [AB] // [DC] oldu¤undan m(AïD) = m(CïB) dir. Bu durumda

m(AïD) = m(CïB) =

180° − 100° = 40° olur. 2

DéEB, DCB yay›n› gören çevre aç› oldu¤undan

çözüm ABCD karesinin kenarlar›, O merkezli α çembere göre uzunluklar› eflit olan dört 90° 90° kirifltir. Dolay›s›yla, O ABCD karesinin köfleleri, çemberi 4 eflit A B yaya ay›r›r. Buna göre, 90° 360° = 90° dir. m(AïB) = m(BïC) = m(CïD) = m(DïA) = 4 AéEB çevre aç› oldu¤undan E

C

x

D

m(DùCB) 140° m(DéEB) = −−−−−−−− ⇒ x = −−−−− = 70° bulunur. 2 2

m(AïB) 90° m(AéEB) = −−−−−−−− ⇒ α = −−−−− = 45° bulunur. 2 2

270

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 1, 3, 12 / Kavrama Testi 2 8, 9 nolu sorular› hemen çözelim.

ÇEMBER VE DA‹RE

9.3

Kirifller dörtgeninin iç aç›lar› birer çevre aç›d›r. Kenarlar› bir çemberin kiriflleri olan dörtgene kirifller dörtgeni denir.

C θ D

x y

α

B

A

Kirifller dörtgeninde karfl›l›kl› aç›lar›n toplam› 180° dir. fiekildeki kirifller dörtgeninde α + θ = 180° ve x + y = 180° dir.

ABCD bir dörtgen

A

B

m(BéAD) = m(BéCD) = 90° m(BéCA) = 25°

x D

m(AéBD) = x

° 25

Ayr›ca, herhangi bir dörtgenin karfl›l›kl› aç›lar›n›n toplam› 180° ise, bu dörtgenin köflelerinden bir çember geçer.

örnek soru

C

Yukar›daki verilere göre, x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

örnek soru çözüm

A

ABCD dörtgeninde BéAD ve BéCD karfl›l›kl› aç›lard›r. Bu

D

m(BéAD) + m(BéCD) = 90° + 90° = 180° oldu¤undan aç›lar›n ölçüleri toplam›

O B

70°

x

25°

E

C

ABCD dörtgeni bir kirifller dörtgenidir. Yani ABCD dörtgeninin köflelerinden çember geçer.

ABC bir üçgen

A

m(AéBC) = 70°, m(AéCB) = 25° ve m(DéEB) = x

50°

Yukar›daki verilere göre, x in kaç derece oldu¤unu bulal›m.

B

x 25°

D

°

25

C

çözüm

için m(BéDA) = m(BéCA) = 25° dir.

BCA ve BDA, ayn› yay› gören çevre aç›lar olduklar›

A 85°

D

ABD dik üçgeninin iç aç›lar toplam› 180° oldu¤undan 90° + 25° + x = 180°

O B

70°

x

25°

E

x = 65° bulunur. C

ABC üçgeninin iç aç›lar toplam› 180° oldu¤undan m(BéAC) = 180° — (70° + 25°) = 85° dir. m(BéAD) + m(BéED) = 180°

ABED dörtgeni kirifller dörtgeni oldu¤u için 85° + x = 180° ⇒ x = 95° bulunur.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 2 2, 3 nolu sorular› hemen çözelim.

271

ÇEMBER VE DA‹RE

9.4

Çemberin merkezinden kirifle inen dikme kirifli ortalar. örnek soru

C

O noktas› çemberin merkezi,

D E

O A

O

B

1 H

A

D

Bir çemberde merkezden kirifle indirilen dikme kirifli ortalar. OD ⊥ AB ⇔ |AH| = |HB| dir.

[OH] ⊥ [AB]

3

C

H

B

[OE] ⊥ [CD]

|OE| = 3 cm |OH| = 1 cm

|CD| = 8 cm oldu¤una göre, |AB| uzunlu¤unun kaç cm oldu¤unu bulal›m.

Ayr›ca, |AïD| = |DïB| ve |AïC| = |BïC| dir.

çözüm D

örnek soru O noktas› çemberin merkezi O B

[OA] ⊥ [BC]

5

D8

C

E 4 5 3 4 C O 5 1 A x H

|AD| = 8 cm

Yukar›daki verilere göre, |BC| uzunlu¤unun kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm

B

5

12 D 12 8

C

|DA| = 5 + 8 = 13 oldu¤undan çemberin yar›çap› 13 cm dir. [OB] do¤ru parças› da çemberin yar›çap› oldu¤undan |OB| = 13 cm dir.

A

ODB dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa, |BD| = 12 cm bulunur. (5 — 12 — 13 üçgeni) [OA] ⊥ [BC] oldu¤undan |BD| = |DC| = 12 cm dir. O halde, |BC| = 2. 12 = 24 cm bulunur.

272

B

Bu kurala göre, | CE | = | ED | =

8 = 4    cm olur. 2

Ayn› flekilde |AH| = |HB| = x olur. [OD] ve [OB] çizilirse, OED ve OHB üçgenleri birer dik üçgen olur. OED dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa, |OD| = 5 cm bulunur. (3 — 4 — 5 üçgeni) [OB] ve [OD] yar›çap oldu¤undan |OB| = |OD| = 5 cm dir. OHB dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa, 2

O

x

|OD| = 5 cm

A

13

5

Çemberin merkezinden kirifle inen dikme kirifli ortalad›¤› için, [OE] dikmesi [CD] kiriflini, [OH] dikmesi de [AB] kiriflini ortalar. |CD| = 8 cm verilmiflti.

2

|OB| = |OH| + |HB|

2

⇒ 5 =1 +x 2

2

2

⇒ x = 24

⇒ x = 2ñ6 cm olur.

2

O halde, |AB| = 2. x = 2. 2ñ6 = 4ñ6 cm bulunur.

ÇEMBER VE DA‹RE

örnek soru

çözüm

O noktas› çemberin merkezi, [AB] kirifl |OC| = ñ2 cm

O x

2 A 1C

|AC| = 1 cm

B

3

|CB| = 3 cm

Yukar›daki verilere göre, |OB| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

[OH] ⊥ [AB] olacak flekilde [OH] çizilirse, kirifle inen dikme kirifli ortalar kural›O na göre, |AH| = |HB| olur. x 2 1 |AB| = 1 + 3 = 4 cm olduA 1C 1 H 2 B ¤undan |AH| = |HB| = 2 cm, dolay›s›yla |CH| = 1 cm olur. OCH dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa |OC| = |CH| + |OH| ⇒ ñ2 = 1 + |OH| 2

2

2

2

2

2 = 1 + |OH|

2

2

|OH| = 1 ⇒ |OH| = 1 cm olur. 2

OHB dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa, 2

2

|OB| = |OH| + |HB|

2

⇒x =1 +2 2

2

2

⇒ x =5 2

⇒ x = ñ5 cm bulunur.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 3 3, 6 / Genel Tekrar Testi 15, 20 nolu sorular› hemen çözelim.

9.5

Merkeze eflit uzakl›ktaki kirifllerin uzunluklar› eflittir. A

çözüm

C

E D

F

B

O

O

A

E

D H

Çemberin merkezinden eflit uzakl›kta bulunan kirifllerin uzunluklar› eflittir. |OE| = |OF| ⇒ |AB| = |CD| dir.

Ayr›ca yaylar›n uzunluklar› da eflittir, yani |AïB| = |CïD| dir.

B

C

Merkeze eflit uzakl›ktaki kirifllerin boylar› eflittir. |OH| = |OE| verildi¤ine göre, |AB| = |DC| dir. [OH] ⊥ [AB] oldu¤undan |AH| = |HB| = (2x — 5) birimdir.

Buna göre, |AB| = 2. (2x — 5) = (4x — 10) birim olur.

örnek soru

D

[OH] ⊥ [AB]

O

A

O noktas› çemberin merkezi

E H

[OE] ⊥ [DC]

|AB| = |DC| oldu¤undan 4x — 10 = 2x + 12 ⇒ 2x = 22 x = 11 br

O halde |AB| = 4x — 10 = 4. 11 — 10 = 34 birim bulunur.

|AH| = (2x — 5) birim B

C

|DC| = (2x + 12) birim |DH| = |OE|

Yukar›daki verilere göre, [AB] kiriflinin uzunlu¤unun kaç birim oldu¤unu bulal›m. Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 3 2 / Genel Tekrar Testi 13 nolu sorular› hemen çözelim.

273

ÇEMBER VE DA‹RE

9.6

Merkeze yak›n kirifllerin boylar› daha uzundur. Yandaki flekilde [DC] kirifli [AB] kirifline göre merkeze daha yak›nd›r. Dolay›D s›yla, [DC] kiriflinin boyu, [AB] kiriflinin boyundan B fazlad›r.

C E O A

F

Özetle |OF| < |OE| oldu¤undan |AB| > |CD| dir.

Bir çemberde en uzun kirifl çemberin çap›d›r. Do6 lay›s›yla flekildeki 6 cm O 6 6 K L yar›çapl› çember içine çizilebilecek en uzun kiriflin A B x boyu |KL| = 12 cm dir. Çemberin içindeki merkezden geçmeyen di¤er tüm kirifllerin uzunlu¤u 12 cm den k›sad›r. C

Yani |AB| < |KL| oldu¤undan [AB] kiriflinin boyu en fazla 11 cm olabilir.

örnek soru O noktas› çemberin merkezi,

C 6

|OC| = 6 cm

O A

çözüm

B

x

|AB| = x

x bir tam say› oldu¤una göre, en büyük de¤erinin kaç cm oldu¤unu bulal›m.

9.7

Bir noktadan geçen en uzun ve en k›sa kirifl hangisidir? fiekildeki O merkezli çemberde, A noktas›ndan sonsuz say›da kirifl geçer. E O Bu kirifllerden en uzun olan›, ayn› zamanda çemA berin merkezinden geçen C [BC] kirifli, en k›sa olan› D ise, A noktas›nda [BC] kirifline yani en uzun kirifle dik olan [DE] kiriflidir. B

4 O

B

A

O merkezli ve yar›çap› |OA| = 10 cm olan flekildeki çemberde [OA] üzerinde bir B noktas› al›nm›flt›r.

|OB| = 6 cm oldu¤una göre, B noktas›ndan geçen en uzun ve en k›sa kirifllerin uzunluklar› toplam›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

274

D 8 O

6

10

A

4 B

8 10

E

C

B noktas›ndan geçen en uzun kirifl, ayn› zamanda çemberin merkezinden geçen [AC] kiriflidir. Çemberin yar›çap› 10 cm oldu¤undan |OC| = 10 cm dir. Dolay›s›yla en uzun kiriflin boyu |AC| = 2. 10 = 20 cm dir.

örnek soru

6

çözüm

B noktas›ndan geçen en k›sa kirifl ise, B noktas›nda yar›çapa dik olan [DE] kiriflidir. [OA] ⊥ [DE] oldu¤undan |DB| = |BE| dir. [OE] yi çizip OBE dik üçgenini olufltural›m. Çemberin yar›çap› 10 cm oldu¤undan |OE| = 10 cm dir. OBE dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa, |BE| = 8 cm olur. (6 — 8 — 10 üçgeni) Bu durumda |DB| = |BE| = 8 cm dir. Dolay›s›yla B noktas›ndan geçen en k›sa kiriflin uzunlu¤u |DE| = 2. 8 = 16 cm dir. O halde sorunun cevab› 20 + 16 = 36 cm bulunur.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 6 4 nolu sorular› hemen çözelim.

ÇEMBER VE DA‹RE

9.8

Çemberde te¤et özellikleri AB do¤rusu, O merkezli çembere A noktas›nda te¤et ise,

B

O

örnek soru [BA, A noktas›nda O merkezli çembere te¤et

A

OA ⊥ AB dir.

x

A D

B

O

C

4

|OC| = 4 cm |AB| = |AC| = x

Yukar›daki verilere göre, x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

örnek soru [CT, O merkezli çembere T noktas›nda te¤et

T

A

x

O

C

B

H

çözüm

[TH] ⊥ [HC]

A

|HC| = 6 cm

α 4 2α

x

|OH| = 2 cm B

α

D

x O

4

α

C

Yukar›daki verilere göre, |AO| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m. Merkezi, A te¤et de¤me noktas›na birlefltiren yar›çap te¤ete dik oldu¤undan [OA] ⊥ [BA d›r.

çözüm

Yar›çap uzunlu¤u |OC| = 4 cm oldu¤undan |OA| = 4 cm dir.

|OA| = |OC| = 4 cm oldu¤undan m(OéAC) = m(OéCA) = α olsun.

T x A

x

O 2H

B 6

C

Çemberin merkezini te¤et de¤me noktas›na (T noktas›na) birlefltiren yar›çap te¤ete diktir. Buna göre [OT] ⊥ [CT yazabiliriz.

|OT| = |AO| = x, [OT] ⊥ [CT ve [TH] ⊥ [HC] oldu¤undan TOC dik üçgeninde öklid ba¤›nt›s› uygulayabiliriz. 2 Buna göre, |TO| = |OH|. |OC| x = 2. 8 ⇒ x = 16 ⇒ x = 4 cm bulunur. 2

2

|BA| = |AC| = x oldu¤undan m(AéBC) = m(AéCB) = α olur. Ayr›ca OAC üçgeninde iki iç aç›n›n toplam› kendilerine komflu olmayan d›fl aç›ya eflit oldu¤undan m(AéOB) = 2α olur. ABO dik üçgeninde iç aç›lar toplam› 180° oldu¤undan α + 2α + 90° = 180° ⇒ α = 30° bulunur.

Bu durumda m(AéBO) = α = 30° ve m(AéOB) = 2α = 60° dir. ABO üçgeninde 30° nin karfl›s›ndaki uzunluk |AO| = 4 cm iken, 60° nin karfl›s›ndaki uzunluk |AB| = x = 4ñ3 cm bulunur.

275

ÇEMBER VE DA‹RE

Çembere d›fl›ndaki bir noktadan çizilen te¤etlerin uzunluklar› eflittir.

örnek soru O merkezli çember, ABC üçgeninin kenarlar›na D, E, F noktalar›nda te¤ettir.

A

|PA| = |PB|

A

3

P E

D O

B

A, O, F noktalar› do¤rusal

2

|AO| = 3 cm

örnek soru

B A

D

E

çözüm

O

F

3

|BF| = 3 cm, |FC| = 4 cm ve Çevre(ABC) = 18 cm oldu¤una göre, |AE| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm A x

x D

E

B

4

O

3

F

4

C

[AE ve [AD çembere te¤et iken [AF] çemberin merkezinden geçti¤i için [AF] aç›ortayd›r.

A

C

4

3

O merkezli çember, D, E, F noktalar›nda ABC üçgenine içten te¤ettir.

3

|DC| = 2 cm

Yukar›daki verilere göre, ABC üçgeninin alan›n›n 2 kaç cm oldu¤unu bulal›m.

x

B

C

F

3

E

D O

2

Çemberin merkezini F te¤et de¤me noktas›na B C F 2 2 birlefltiren yar›çap te¤ete dik oldu¤u için [AF] ⊥ [BC] yazabiliriz. [AF] hem aç›ortay, hem de yükseklik oldu¤undan ABC ikizkenar üçgendir, yani |AB| = |AC| = 5 cm dir. Çembere d›fl›ndaki bir noktadan çizilen te¤et uzunluklar› eflit oldu¤undan |AE| = |AD| = 3cm dir. 2

Bu durumda |EB| = |AB| — |AE| = 5 — 3 = 2 cm dir. Yine te¤et uzunluklar›n›n eflitli¤inden |BE| = |BF| = 2 cm ve |DC| = |FC| = 2 cm dir. | BC | ⋅ | AF | Alan(ABC) = oldu¤undan |AF| uzunlu¤u2

nu bulmal›y›z. Çemberin d›fl›ndaki noktalardan çizilen te¤et uzunluklar› eflit oldu¤undan |BE| = |BF| = 3 cm, |CD| = |CF| = 4 cm ve |AD| = |AE| = x cm dir. Çevre(ABC) = 18 cm oldu¤undan |AB| + |AC| + |BC| = 18 ⇒ x + 3 +x + 4 + 3 + 4 = 18 ⇒ 2x + 14 = 18 ⇒ x = 2 cm

bulunur.

276

AFC dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa 2

2

2

2

|AC| = |AF| + |FC| 5 = |AF| + 2

2

2

|AF| = 21 ⇒ |AF| = ò21 cm olur. | BC | ⋅ | AF | 4 ⋅ 21 = = 2 21 cm2 O halde Alan(ABC) = 2 2 bulunur. 2

ÇEMBER VE DA‹RE

‹ki Çemberin Ortak Te¤etleri

Ortak ‹ç Te¤et Uzunlu¤u

A

r2

B

H

A r1

D C

O2

O1

r2

AB ve CD çemberlere te¤et ise, |AB| = |CD| dir.

B

AB, çemberlere içten te¤et

Ortak D›fl Te¤et Uzunlu¤u

O1H ⊥ O2H ve |AB| = |HO2|

O1 r1 – r2 P r 2

O2 r2

A

Taral› HO1O2 dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa, 2

2

2

|O1O2| = |AB| + (r1 + r2) olur.

B

AB çemberlere d›fltan te¤et O2P ⊥ O1A, |PO2| = |AB|

Taral› dik üçgende pisagor teoremi uygulan›rsa, 2

2

örnek soru AB, O1 ve O2 merkezli çemberlere içten te¤et

2

|O1O2| = (r1 – r2) + |AB| bulunur. O1

örnek soru A

24

O1

AB, O1 ve O2 merkezli çemberlere A ve B noktalar›nda te¤et

B 3

O2

10

r1 = 10 cm , r2 = 3 cm , |AB| = 24 cm

K B

A

L

|O1O2| = 20 cm O2

Yukar›daki verilere göre, çemberler aras›ndaki en k›sa mesafe |KL| kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm

oldu¤una göre, |O1O2| kaç cm oldu¤unu bulal›m. O1

çözüm

r1

A

O1

24

3 P 7

24

10

B 3 O2 3

AB ortak te¤et oldu¤una göre,

O2P ⊥ AO1 olacak flekilde O2P çizilirse, |O2P| = |AB| = 24 cm olur. PO1O2 dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa 2

2

|O1O2| = 7 + 24

2

⇒ |O1O2| = 25 cm bulunur.

|AB| = 16 cm ise |HO 2| = 16 cm dir.

r1

K B L r r 2 2 O2

A r2 H

O1A ⊥ AB ve

O2B ⊥ AB dir.

|AB| = 16 cm

2

2

|O1O2| = |HO2| + (r1 + r2) 2

2

20 = 16 + (r1 + r2)

|O1O2| = 20 cm ise, taral› O1HO2 dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa

2

2

r1 + r2 = 12 cm olur. |KL| = |O1O2| – (|O1K| + |LO2|) |KL| = 20 – 12 = 8 cm bulunur.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 4 1, 3, 10, 11 / Kavrama Testi 5 4, 5 nolu sorular› hemen çözelim.

277

ÇEMBER VE DA‹RE

9.9

Dairenin alan›n› ve çevresini nas›l hesapl›yoruz? Yar›çap› |OA| = r olan dairenin O

A

r

alan› = π. r

örnek soru O merkezli, [BC] çapl› dairede

A

2

çevresi = 2πr

8

6

eflitlikleriyle bulunur. B

örnek soru

|AB| = 8 cm ve C

O

|AC| = 6 cm dir.

2

π cm olan dairenin alan›n›n kaç cm Çevresi 16π oldu¤unu bulal›m.

2

Buna göre, dairenin alan›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm Çap› gören çevre aç›n›n ölçüsü 90° oldu¤undan m(BéAC) = 90° dir. BAC dik üçgeninde C pisagor teoremi uygulan›rsa, |BC| = 10 cm bulunur. (6 — 8 — 10 üçgeni)

A

çözüm 8

Dairenin çevresi 2πr = 16π cm ise 16π r= = 8 cm olur. 2π

B

O halde, dairenin alan› πr = π.8 = 64π cm dir. 2

2

6

5

O

5

2

10 Bu durumda dairenin yar›çap› |BO| = |OC| = =5 2 cm dir.

O halde, dairenin alan› πr = π. 5 = 25π cm bulunur 2

2

2

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 7 1, 2, 5, 6 nolu sorular› hemen çözelim.

9.10

Daire dilimlerinin büyüklü¤ü merkez aç›yla orant›l›d›r. örnek soru O noktas› dairenin merkezi

O r A

α

r

120°

B

O merkezli, r yar›çapl› dairede m(AéOB) = α olacak α flekilde taranan daire diliminin alan› πr2 ⋅ ile 360°

AïB çember yay›n›n uzunlu¤u ise 2πr ⋅ α ile bu360° lunur.

278

m(AéOB) = 120°

O

A

9

|OB| = 9 cm B

Yukar›daki verilere göre, daire diliminin alan›n›n 2 kaç cm oldu¤unu bulal›m.

ÇEMBER VE DA‹RE

çözüm Daire diliminin alan› = πr2 ⋅

120° α = π ⋅ 92 ⋅ 360° 360° 1 = 81π ⋅ 3

örnek soru C

B merkezli çeyrek çemberin içine O merkezli yar›m çember çizilmifltir.

8

2

= 27π cm bulunur.

A

B

O

|BC| = 8 cm oldu¤una göre, taral› bölgenin alan› 2 kaç cm dir?

örnek soru K

çözüm C

O

oldu¤undan

6 A

|BC| = |AB| = 8 cm

8

B

fiekildeki O merkezli dairede |OB| = 6 cm ve AKB π cm oldu¤una göre, taral› daiyay›n›n uzunlu¤u 9π 2 re diliminin alan›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm

4 A

4 B

O

 8 cm   4 cm  yarıçaplı yarıçaplı     Taral› bölgenin alan› =  çeyrek  –  yarım   dairenin   dairenin   alanı   alanı      Taral› bölgenin alan› =

K

|AO| = |OB| = 4 cm dir.

270°

1 . 2 1 . 2 π8 — π4 4 2

= 16π — 8π = 8π cm

2

bulunur.

O 6 B

A

örnek soru

90°

AK ù B yay›n›n uzunlu¤u 2πr ⋅

α α = 2π ⋅ 6 ⋅ = 9π cm 360° 360°

α α ise 12π/ ⋅ = 9π/ ⇒ = 9 ⇒ α = 270° dir. 360° 30°

AùKB yay›n›n ölçüsü 270° ise, geriye kalan AB yay›n›n ölçüsü 90° dir. Dolay›s›yla m(AéOB) = 90° dir. Buna göre taral› daire diliminin alan› πr2 ⋅

90° 1 α = π62 ⋅ = 36π ⋅ = 9π cm2 bulunur. 360° 360° 4

O noktas› dairenin merkezi m(AéOB) = 105°

C D

m(DéOC) = 75°

75° O 105° A B

π cm Taral› daire dilimlerinin alanlar› toplam› 32π oldu¤una göre, dairenin yar›çap›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

2

279

ÇEMBER VE DA‹RE

O halde, taral› daire diliminin alan›

çözüm Dairenin yar›çap› r ve taral› daire dilimlerinin merkez aç›lar›

C D α

75°

m(AéOD) = α ve m(CéOB) = θ olsun.

θ

105°

2 α 2 30° πr −−−−− = π. 8 . −−−−− 360° 360° 1 = 64π. −−− 12 16π 2 = −−−−− cm bulunur. 3

Cevap A

r

A

B

α + θ + 75° + 105° = 360° oldu¤undan

α + θ + 180° = 360° ⇒ α + θ = 180° olur.

örnek soru

Buna göre, taral› daire dilimlerinin alanlar› toplam› π ⋅ r2 ⋅

B

180° 1 = 32π ⇒ πr2 ⋅ = 32π 360° 2

OCDB bir dikdörtgen

D S1

BKA, O merkezli

K

πr = 64π 2

çember yay›

4

r = 64 ⇒ r = 8 cm bulunur. 2

|OB| = 4 cm

S2

|OC| = x

örnek soru D

ABCD bir dikdörtgen CïE, A merkezli çember yay›

C 8

4

A

B

E

|DA| = 4 cm |AC| = 8 cm

Yukar›daki verilere göre, taral› daire diliminin ala2 n› kaç cm dir? A)

16π 3

B)

20π 3

C)

25π 3

D)

28π 3

E)

32π 3

(2010 YGS)

DAC dik üçgeninde |DA| dik kenar uzunlu¤u 8 4 |AC| hipotenüs uzunlu¤unun ya30° r›s› oldu¤undan A E B m(D éA C) = 30° dir. Çünkü, ancak 30° nin karfl›s› 4 cm iken 90° nin karfl›s› 8 cm olabilir. 30°

C

Bu durumda, m(CéAE) = m(DéCA) = 30° dir. (iç ters aç›lar eflittir.)

280

C

A

Taral› S1 ve S2 alanlar› birbirine eflit oldu¤una göre, x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm S1 = S2 oldu¤una göre, OCBD dikdörtgeninin alan›, O merkezli çeyrek dairenin alan›na eflittir. π. r π. 4 Alan(OCDB) = −−−− ⇒ x. 4 = −−−−− ⇒ x = π cm 4 4 bulunur. 2

2

örnek soru

çözüm D

x

O

A

3 45° B

T

O

O noktas› çemberin merkezi AT, çembere T noktas›nda te¤et |AT| = 3 cm m(OéAT) = 45°

Yukar›daki verilere göre, BT yay›n›n uzunlu¤u kaç cm dir? π 2π 3π 4π 5π A) B) C) D) E) 2 3 4 5 6

(2010 YGS)

ÇEMBER VE DA‹RE

örnek soru

çözüm

A

Birim karelerden oluflmufl zemin üzerine yar›m çember yaylar›ndan oluflan yukar›daki flekil çizilmifltir.

T

3 45° B

3 45° O

Buna göre, fleklin çevre uzunlu¤unun kaç br oldu¤unu bululam. Çemberin merkezini te¤et de¤me noktas›na birlefltiren yar›çap te¤ete dik oldu¤undan, [OT] çizilirse, [OT] ⊥ [AT olur.

çözüm

Bu durumda AOT dik üçgeni 45° — 45° — 90° üçgenidir ve |AT| = |OT| = 3 cm dir. O halde, BT yay›n›n uzunlu¤u α 45° = 2πr . −−−−− = 2π. 3. −−−−− 360° 360° 1 = 6π. −−− 8 3π = −−−− cm bulunur. 4

A1

1B 1

1C 1

1D1

1E

14424431442443

4

4

Taral› fleklin çevre uzunlu¤u

= |AïE| + |AïB| + |BïC| + |CïD| + |DïE| = |AïE| + 4. |AïB|

Cevap C

 1 1 = 2 ⋅ π ⋅ 4 ⋅ + 4 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 1 ⋅  2 2 

= 4π + 4π = 8π br bulunur. Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 7 8, 9, 11 nolu sorular› hemen çözelim.

9.11

Daire diliminin alan› üçgenin alan› gibi hesaplanabilir. örnek soru

O

r

α

A

r

l A

O

B l

12

O merkezli r yar›çapl› daire diliminde AïB yay›n›n

Yar›çap› 12 cm olan O merkezli daire diliminin ala2 n› 48 cm oldu¤una göre, AB yay›n›n uzunlu¤unun kaç cm oldu¤unu bulal›m.

uzunlu¤u l ise daire diliminin alan› = nur.

l ⋅r ile bulu2

çözüm Daire diliminin alan› =

B

l ⋅r l ⋅ 12 ⇒ 48 = ⇒ 6 ⋅ l = 48 2 2

l = 8 cm bulunur.

281

ÇEMBER VE DA‹RE

9.12

Çember ve dairede benzerlik Üçgenlerdeki temel benzerlikte oldu¤u gibi, OCD ve OAB daire dilimleri benzerdir.

O

S1 C

D

A

B

S2

|OC| |OD| |CD| Benzerlik oranlar› eflitli¤i −−−−− = −−−−− = −−−−− = k |OA| |OB| |AB| Alanlar oran› benzerlik oran›n›n karesi oldu¤una S1 2 göre, −−−−−− = k dir. S1 + S2

9.13

Daire kesmesinin alan› fiekildeki O merkezli ve r

çözüm

yar›çapl› dairede, taral› O

için OAB daire diliminB

A

15°

r

r alan› −− . sinα oldu¤una göre, daire kesmesinin 2 α r 2 alan› πr . −−−−− — −−− . sinα ile bulunur. 360° 2

göre, [OB] çizilirse, O

den OAB üçgeninin alan› ç›kar›l›r. OAB üçgeninin

2

6

15° 30°

r

|OC| = 6 cm oldu¤una

mesinin alan›n› bulmak

α

Dairenin yar›çap›

A

olarak verilen daire kes-

|OA| = |OB| = 6 cm olur.

6

6

B

2

C

Bu durumda, m(AéBO) = m(BéAO) = 15° dolay›s›yla m(BéOC) = 30° dir. O halde, taral› daire kesmesinin alan›

örnek soru O merkezli, [AC] çapl› dairede

A 15°

m(BéAC) = 15° |OC| = 6 cm

O

πr2 ⋅

30° 62 α r2 − sin α = π ⋅ 62 ⋅ − ⋅ sin 30° 360° 2 360° 2 = 36π ⋅

1 1 − 18 ⋅ 12 2 = 3π − 9    cm2    bulunur.

6 B

C

Yukar›daki verilere göre, taral› bölgenin alan›n›n 2 kaç cm oldu¤unu bulal›m. Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 7 10 nolu soruyu hemen çözelim.

282

ÇEMBER VE DA‹RE

9.14

Daire halkas›n›n alan› O merkezli, r1 ve r2 yar›çapl› çemberler aras›nda kalan daire halkas›n›n alan›, büyük dairenin alan›ndan küçük dairenin alan› ç›kar›larak bulunur.

O r1

r2 A

x

H

x

B

çözüm

A

T

6

6

B

4

C

r2

r1

8

O D

Buna göre, halkan›n alan› πr1 — πr2 = π(r1 — r2 ) 2

2

2

2

dir. OHB dik üçgeninde pisagor teoremine göre

r1 = x + r2 ⇒ r1 — r2 = x oldu¤undan daire hal2

2

2

2

2

2

kas›n›n alan› πx ile de bulunabilir. 2

C noktas›n›n büyük çembere göre kuvveti al›n›rsa, |CD| = |CB|. |CA| 2

8 = 4. |CA| 2

örnek soru A

|CA| = 16 cm bulunur. T

O

B

O noktas› dairelerin merkezi, C [CA] T noktas›nda küçük çem8 bere, [CD D noktas›nda büyük D çembere te¤et, |CB| = 4 cm ve |CD| = 8 cm 4

Bu durumda |AB| = 16 — 4 = 12 cm ve dolay›s›yla |AT| = |TB| = 6 cm olur. Taral› alan = (büyük dairenin alan›) — (küçük dairenin alan›) = πr1 — πr2 2

2

= π(r1 — r2 ) 2

2

= π|AT| = π6 = 36π cm bulunur. 2

2

2

2

oldu¤una göre, taral› bölgenin alan›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 8 9 / Genel Tekrar Testi 19 nolu sorular› hemen çözelim.

283

BU KONUDA ÖZETLE... Konuların ve Kavramların Özeti Kirifl Özellikleri

Kirifller Dörtgeni

1.

Merkezden kirifle indirilen dikme kirifli ve yay› ortalar. |AH| = |HB|

O A

B

H

m(ëA) + m(ëC) = 180°

D

m(ëB) + m(ëD) = 180° C

A

|AïC| = |CïB|

C B 2.

B

O merkezli çemberde

C

|AB| < |CD| ise, |OL| > |OH| L

‹ç ve D›fl Aç›lar A

|AB| = |CD| ise, |OL| = |OH|

H

|AB| > |CD| ise, |OL| < |OH|

O A

α

x

Çemberde Aç›lar 1.

B α

O

[AC ve [AE kesen ise,

x+y α= olur. 2

α=

ABCD te¤etler dörtgeni ise, |AB| + |CD| = |AD| + |BC|

D 2α

x—y olur. 2

Te¤etler Dörtgeni C

A

olur.

C

• Merkez aç›n›n ölçüsü, gördü¤ü yay›n ölçüsüne eflittir. • ABC çevre aç›s›n›n ölçüsü, gördü¤ü yay›n ölçüsünün yar›s›na eflittir. • Ayn› yay› gören çevre aç›lar›n ölçüleri birbirine eflittir.

A

B

Dairede Çevre ve Alan

• Çap› gören çevre aç›n›n ölçüsü 90° dir. • Paralel kirifller aras›ndaki yaylar›n ölçüleri ve uzunluklar› eflittir.

O O

r α

r A

• Efl kirifllerin yaylar› da birbirine eflittir. Yar›çap› r olan dairenin alan› = πr

çevresi = 2πr olur.

|AïB| = 2πr.

r B

Daire diliminin alan› 2

284

A

E

[AD] ve [BC] kirifl ise,

α

B

B y α D

x

B

D

α

α

C y D

olur.

A

K

C

α olur. 360°

2 = πr .

α 360°

Ö⁄REND‹KLER‹M‹Z‹ TEST EDEL‹M Kavrama Testi 1

( 9.1 - 9.3 )

Kavrama Testi 2

( 9.1 - 9.3 )

Kavrama Testi 3

( 9.4 - 9.7 )

Kavrama Testi 4

( 9.4 - 9.8 )

Kavrama Testi 5

( 9.8 - 9.8 )

Kavrama Testi 6

( 9.10 - 9.14 )

Kavrama Testi 7

( 9.10 - 9.14 )

Genel Tekrar Testi

( 9.1 - 9.14 )

S›navlarda (ÖSS-ÖYS-YGS-LYS) Sorulmufl Sorular S›navlarda Sorulabilecek Sorular

285

1

KAVRAMA TEST‹ 1.

O merkezli çemberde B A

4.

m(BéOC) = 80°

m(AéBD) = 40°

40°

x O

fiekildeki çemberde

B

A

80°

x

E

C

m(BéDC) = 35°

35° D

C

o ld u ¤ u n a g ö r e , m ( B é E C ) = x k a ç d e r e c e d ir ?

Yukar›daki verilere göre, m(BéAC) = x kaç derecedir? A) 30

B) 40

2.

C) 50

20°

5.

O

A

C) 20

D) 18

A) 15

E) 16

C

B) 20

6. C

A

286

E) 35

m(CéAB) = 45° m(DéOB) = 30°

[DC] // [AB]

C

m(AéOB) = 100°

100°

D) 30

O çemberin merkezi

45°

O

x 30°

D, O, B do¤rusal

O

C) 25

A

O merkezli çemberde x

m(DéCB) = 75°

o ld u ¤ u n a g ö r e , m ( A é E D ) = x k a ç d e r e c e d ir ?

Yukar›daki verilere göre, m(EéCD) = x kaç derecedir?

D

B 75°

x

C

3.

E) 70

D

E

B) 22

D) 75

O merkezli [AB] çapl›

D

x

A) 24

C) 80

çemberde

m(AéBE) = 20°

76°

B) 85

m(AéOD) = 76°

E

O

A) 90

E) 80

O merkezli çemberde

A B

D) 60

D B

B

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( C é D B ) = x k a ç d e r e c e d ir ?

Y u k a r ›d a v e r il e n l e r e g ö r e , m (C é O D ) = x k a ç d e r e c e dir?

A) 30

A) 50

B) 35

C) 40

D) 45

E) 50

B) 55

C) 60

D) 65

E) 70

ÇEMBER VE DA‹RE

7.

10.

A

O merkezli çemberde

A

m(CéAO) = 25° C

B

25°

x O 130°

D x

B

E

O mer kezl i çembe rde, m( E é OD ) = 130° i se, m(BéAE) = x kaç derecedir? A) 40

B) 35

C) 30

m(AéCB) = 50°

O

D

D) 25

50° C

Yukar›daki verilere göre, m(CéBO) = x kaç derecedir? B) 70

A) 75

E) 20

C) 65

11. 8.

D) 60

E) 55

D

fiekildeki A

x

55°

B

C) 35

D) 40

[AD, D noktas›nda, [AB, B noktas›nda çembere te¤ettir.

m(BéCD) = 70° oldu¤una göre, m(BéAD) = x kaç dere cedir?

E) 45

A) 60

C E

A

40° x

O merkezli [AB] çapl› çemberde

85° O

B

12. B

D) 45

E) 40

fiekildeki çemberde; m(BéAC) = 50°

25

° E

m(DéAC) = 40°

m(DéAE) = 25°

F

m(CéEO) = 85° A, E, C ve D, E, O do¤rusal noktalar

C) 50

A

°

D

B) 55

50

9.

C

B

o ld u ¤ u n a g ö r e , m ( B é A C ) = x k a ç d e r e c e d ir ? B) 30

70°

m(AéBC) = 55°

C

A) 25

x

A

O merkezli çemberde

O

x D

C

Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , m ( C é A B ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , m ( C é F D) = x k a ç d e r e c e d i r ?

A) 35

A) 110

B) 30

C) 25

D) 20

E) 15

B) 105

C) 100

D) 95

E) 85

B-D-C / D-A-C / D-C-E / A-E-B

287

2

KAVRAMA TEST‹ 1.

4.

fiekilde

C D A

O

F

B

Yukar›daki verilere göre, m(CéFB) = x kaç derecedir?

O m e r k e z l i ç e m b e d e ; m ( A é O B ) = 1 3 0° ol d u ¤ u n a göre, m(AéCB) = x kaç derecedir? B) 110

2. D

m(DéBA) = 25° B

x C

A) 105

x 25°

E

130° A

m(CéAB) = 35°

35°

C) 115

D) 120

B) 100

C) 95

D) 90

E) 85

E) 125

A

fiekildeki çemberde;

x

|AB| = |AC|

110°

A) 105

5.

A ve B te¤et de¤me noktalar›

A

m(AéCB) = 50°

m(AéDB) = 110°

α

K 50°

C

B B

Yukar›daki verilere göre, m(AéKB) = α kaç derecedir?

C

Y u k a r ›d a k i v e r i le r e g ö r e , m ( B é A C ) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 25

B) 30

C) 35

D) 40

A) 130

E

80°

x

110°

D m(AéBC) = 80°

288

E x C

m(BéCE) = 110°

C

B

D) 115

E) 110

fiekildeki O merkezli dörtte bir çember içine E, C ve D noktalar›nda te¤et olacak flekilde bir çember çizilmifltir.

A

fiekildeki çemberde

A

C) 120

E) 45

6. 3.

B) 125

O

B

D

Y u k a r ›d a k i v e r i l e r e g ö r e , m ( A é D B ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

Y u k a r › d a k i v e r il e r e g ö r e , m (C é E D) = x k a ç d e r e c e d i r ?

A) 25

A) 30

B) 30

C) 35

D) 40

E) 45

B) 45

C) 55

D) 60

E) 75

ÇEMBER VE DA‹RE

7. C

D

15°

A

O merkezli çemberde, [CD] // [AB]

B

O

10.

9

m(CéDA) = 15°

α

10 8

7

K

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (C é K D) k a ç d e r e c e d i r ? A) 20

B) 30

C) 40

D) 50

O merkezli yar›m çemberde

D

72° B

O

11.

B) 98

C) 102

m(CéBO) = 72°

C

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (A é C B ) = x k a ç d e r e c e d i r ? B) 78

x P

E

C) 80

x

B

D) 84

E) 85

fiekildeki çemberde;

A

fiekilde

10° 40°

E) 120

x

E) 106

[PT ve [PK çembere T ve K noktalar›nda te¤et

D) 135

m(AéBO) = 15°

O

12.

T

4

3

fiekildeki

B

A) 75

9.

C) 140

A

m(DéAO) = 65°

D) 104

5

2

O merkezli çemberde

Yu k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m ( D é O C) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 94

6

1

15

x

65° A

B) 150

°

C

12

Y uka r› da ve ri l en d ai re sel sa at t e a kr ep i l e yel k ova n ar as› nda ki k üçü k a ç› n› n ö l çüsü ka ç de re ce di r?

E) 60

A) 160

8.

11

120°

E

m(AéBC) = 100° m(AéED) = 120°

100°

m(TéPE) = 10°

K

m(EéPK) = 40°

C

D

Y u k a r › d a k i v e r il e r i g ö r e , m ( T é E P ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

Yu k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m ( C é AD ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

A) 85

A) 40

B) 90

C) 95

D) 100

E) 105

B) 35

C) 30

D) 25

E) 20

C-D-B / E-D-B / E-A-E / B-A-A

289

KAVRAMA TEST‹ 1.

O merkezli çemberde

A x

6 B

C

O merkezli çemberde

D

|AB| = 6 cm 5

O

4.

3 L

30°

|OC| = 5 cm

m(AKBæ) = m(CLDæ)

A

m(OéDC) = 30°

C

O

|AB| = 6ñ3 cm

6ñ3 B K

O m e r k e z l i | B C| ç a p l › ç e m b e r d e v e r i l e n l e r e g ö r e , | AC | = x k a ç c m d i r ? A) 7

B) 7,5

2.

C) 8

D) 8,5

E) 9

A) 8

B) 6ñ2

C) 4ñ3

|AB| = 3x – 5

H

5.

|OH| = |OE|

D

E

r O

[OH] ⊥ |AB]

[AC] ⊥ [OB]

8 C4

B

|AC| = 8 cm |CB| = 4 cm

[DE] ⊥ [CD]

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |ED | ka ç cm di r? B) 6,5

C) 7

3.

D) 7,5

3 4

C

2

B

290

B) 3ñ2

C) 2ñ5

6.

B) 13

|AC| = 4 cm |CB| = 2 cm

O

Y u k a r › d a k i v e r il e r e g ö r e , ç e m b e r i n y a r › ç a p › k a ç c m dir? A) ò17

A) 15

C 2 D 3

[OC| = 3 cm

O

Y uka r› da ki v eri l er e g öre , |A O| = r ka ç cm di r?

E) 8

O merkezli çemberde

A

E) 4

O merkezli çemberde

A

|CD| = 2x + 1

O

A

A) 6

D) 6

O merkezli çemberde

B

C

Yukar›daki verilere göre, çemberin yar›çap› kaç cm dir?

D) 2ñ6

E) 5

A

C) 12

D) 11

E) 10

O merkezli çemberde [OC] ⊥ [AB]

B

|CD| = 2 cm |OD| = 3 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A B | k a ç c m d ir ? A) 6

B) 8

C) 9

D) 10

E) 12

ÇEMBER VE DA‹RE

7.

10.

A

D

ABCD kare

C x

A çeyrek çemberin merkezi

E

B

60°

D

O

|AB| = 1 cm A

C

A)

Çe m b e r i n y a r › ç a p › 6 c m o l d u ¤ u n a g ö r e , B v e D n o k t a l a r › a r a s ›n d a k i u z a k l › k k a ç c m d i r ? B) 18ñ3 D) 24ñ3

10

D

m(DéAO) = 70°

65° O

B

m(AéBC) = 65°

C) 15

D) 10ñ2

1

[CD] ⊥ [AO]

C

[OE] aç›ortay |EC| = 1 cm

O

A) 1

B) 1,5

C) 2

A

D

O merkezli çeyrek çemberde

C

[CD] ⊥ [OB] |OD| = |DB| = 2 cm

x

O

2

D

2

B

B) ò15

E) 3

A

3

O

C

E xB

fiekilde OECD karesi O merkezli yar›m çemberin içine yerlefltirilmifltir. | D C | = 3 c m o l d u ¤ u n a g ö r e , | E B| = x k a ç c m d i r ?

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |C D | = x k aç cm di r? A) 2ñ3

D) 2,5

E) 10ñ3

12. 9.

|OE| = 3ñ2 cm

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A D| = x k a ç c m d i r ?

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |D C | = x k aç cm di r? B) 12

E 3ñ2

|OB| = 10 cm

A) 10

E) ñ2 – 1

C) ñ2 + 1

O merkezli çeyrek çemberde

A x

O merkezli yar›m çemberde

C

70° A

D) ñ2

B) 2 – ñ2

E) 36

x

D

2 2

C) 24

11. 8.

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | E C| = x k a ç c m d i r ?

Yukar›daki flekilde, ABCD eflkenar dörtgeninin iç te¤et çemberi verilmifltir.

A) 12ñ3

1

C) 4

D) 3ñ2

E) 2ñ5

A) ñ2

B) ñ2 + 1

D) 3ñ2 – 3

C) 3ñ2 E) 3ñ2 – 2

C-B-A / D-E-B / C-D-A / E-C-D

291

KAVRAMA TEST‹ 1.

[AB, O merkezli çembere B noktas›nda te¤et

B x 2

O

4.

m(AéBC) = 60° O

B) ò10

2.

9C 60° C B

A

2

O m e r k e z li ç e m b e r d e B te ¤ e t d e ¤ m e n o k t a s › o l d u ¤ u na gör e, çe mbe ri n ya r› ça p› ka ç c m di r?

[ A B , O m e r k e z l i ç e m b e r e B n o k ta s › n d a t e ¤ e t o l d u ¤un a gö re, |A B | = x kaç cm di r? A) 2ñ3

|AB| = 9ñ3 cm

A

|OC| = |CA| = 2 cm

C

4

C) 3

D) 2ñ2

E) ñ6

A) 8

B) 9

C) 10

E) 9ñ2

[AB, B noktas›nda B

[AC, C noktas›nda çembere te¤et

5 A

6

5.

D

C

|AB| = 5 cm |BC| = 6 cm A

C

O

ABCD dikdörtgeninin içine O merkezli yar›m çember kenarlara te¤et olacak flekilde yerlefltirilmifltir.

B 2

Yukar›daki verilere göre, Alan(ABC) kaç cm dir?

A B C D d i k d ö r t g e n i n i n a l a n › 3 2 c m o l d u ¤ u na g ö re , ya r› m çe mbe ri n ya r› ça p› kaç cm di r?

A) 24

A) 2

2

B) 20

3.

C) 18

D) 15

E) 12

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

A 6

6.

|OC| = 3 cm

F

9

C

| A D | = 6 c m , | B E | = 4 c m v e | F C | = 9 c m o ld u ¤ u n a göre, Çevre(ABC) kaç cm dir? B) 34

|OB| = 4 cm

O

fiekilde, ABC üçgeninin iç te¤et çemberi verilmifltir.

A) 32

ABCD dik yamuk

C T

4 B

D

D

E

292

D) 12

C) 36

D) 38

E) 40

A

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , O m e r k e z li [ A D ] ç a p l› çe mberi n y ar› ça p› kaç cm di r? A) 2,4

B) 2,6

C) 2,8

D) 3

E) 3,2

ÇEMBER VE DA‹RE

7.

ABC dik üçgen,

A L K

O noktas› yar›m çemberin merkezi

9

4 B

x

O

10.

C

E

O x

[BA] ⊥ [AC]

A

K ve L te¤et de¤me noktalar›

B 2 C

|LC| = 9 cm

A) 2ñ2

Y uka r› da ki v eri l er e g öre , |O E| = x ka ç cm di r? B) 6

C) 4ñ3

D) 7

E D

9

[BO] ⊥ [OD], |BC| = 2 cm ve |CD| = 9 cm oldu¤una g ö r e , | O E | = x k a ç c m d ir ?

|BK| = 4 cm

A) 4ñ2

O merkezli çember C noktas›nda [BD] ye te¤ettir.

B) 3

C) 2ñ3

C

6 A

K

A

B

O

D te¤et de¤me noktas› B

|BD| = 6 cm C

Y uka r› da ki v eri l er e g öre , |C D | = x kaç c m di r ? A) 3

12

K ve O yar›m çemberlerin merkezleri

x D

B) 2ñ2

E) 3ñ2

E) 5ñ2

11. 8.

D) 4

C) ñ5

D) 2

E) ñ3

x

D

AB ve CD flekildeki çemberlerin ortak te¤etidir. | A B | = 1 2 c m o l d u ¤ u n a g ö r e , | C D| = x k a ç c m d i r ? A) 8

9.

A

C) 10

D) 12

E) 15

B

12.

7A O

B) 9

C A O 5

B

[BA, A noktas›nda, [BC, C noktas›nda O merkezli çembere te¤ettir.

C

8

E

D

2 cm ve m(AéBC) = 90° oldu¤una göre, |AC| = 7ñ2 çe mberi n y ar› ça p› k aç cm di r?

A ve D te¤et de¤me noktas›d›r.

A) 5

A) 10

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

fifieekilde verilenlere göre, |CA| kaç cm dir? B) 11

C) 12

D) 5ñ6

E) 4ò10

A-E-D / B-C-A / B-D-C / E-D-C

293

KAVRAMA TEST‹ 1.

5

4.

O1

K

x

O1

L O2

9

x

A) 10

Çemberlerin yar›çaplar› s›ras›yla r1 = 12 cm ve r2 = 9 cm oldu¤una göre, |KL| = x kaç cm dir? C) 6

D) 7

B

AB çemberin ortak te¤eti, |O1C| = 9 cm, |CO2| = 4 cm o l d u ¤ u n a g ö r e , | A B| = x k a ç c m d i r ?

O1 ve O2 merkezli çemberler, dik kesiflen çemberlerdir.

B) 5

4 O2

A

A) 4

C

B) 6ñ3

C) 11

D) 12

E) 8

5. 2.

D

E

6

F

|AC| = 5 cm

C 3

O1

8

O2

A

B

3.

D

C) 68

D) 76

20

B C

2

|CO2| = 2

O2

A ve C t e ¤et de¤ me nok t al ar › ol du¤ una gö re, |O1O2| kaç cm dir?

|B C | = 8 c m ve | EF| = 6 c m ol du¤ una gö re, di kdö rt g e n in ç e v r e s i k a ç c m d ir ? B) 60

|AO1| = 3 cm

A

O1

fiekildeki O1 ve O2 merkezli çemberler ABCD dikdörtgeninin üçer kenar›na te¤ettir.

A) 52

E) 5ñ6

A) 5ñ2

B) 3ñ6

C) 8

D) 6ñ2

E) 9

E) 84

C

6.

8 x A

K

L

A

B

6

ABCD dikdörtgen [DC], yar›m çemberin çap› |BC| = 8 cm, |DC| = 20 cm Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | KL | = x k a ç c m d i r ? A) 18

294

B) 16

C) 14

D) 12

E) 10

B

D

C

fiekilde A, B ve C te¤et de¤me noktalar›d›r. |AD| = 6 cm oldu¤una göre, |BC| kaç cm dir? A) 8

B) 10

C) 12

D) 14

E) 16

ÇEMBER VE DA‹RE

7.

10.

D

B A

O1 C

A

|AB| = 15 cm , |AC| = 13 cm , |BC| = 10 cm

[O1O2] // [AC] , |O1O2| = 18 cm

Y uka r› da ki v eri l e re g ör e, C me rke zl i çe mb eri n yar › ç a p › k a ç c m d ir ?

8.

B) 5

A

C) 6

x

12

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | AC | k a ç c m d i r ? A) 38

E) 8

Yandaki flekilde A, C, E ve D te¤et noktalar›

B

C D

D) 7

11.

C) 34

B

D) 32

E) 30

ABC bir dik üçgen

A

15

|DC| = 4 cm

E

B) 36

D

|BE| = 12 cm

4

C

B

O1 ve O2 merkezli çemberler D ve B noktalar›nda kesiflmifltir.

A, B ve C merkezli çemberler birbirine te¤ettir.

A) 4

O2

[AB] ⊥ [BC]

x O

10

C

[BC], O merkezli yar›m çemberin merkezi |AB| = 15 cm

Y uka r› da ki v eri l er e g öre , |B A | = x k aç c m di r ? A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

|OC| = 10 cm

E) 8

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |D C | = x kaç c m di r ? A) 14

9.

B) 15

12.

T

C) 16

1

M B

1

O

1

C

[ A T , T n o k t a s › n d a O m e r k e z li ç e m b e r e t e ¤ e t , A , B , O ve C noktalar› do¤rusal ve |AB| = |BO| = |OC| = 1 cm o l d u ¤ u n a g ö r e , | A T | = x k a ç c m d ir ? A) ñ2

B) ñ3

E) 18

K

x A

D) 17

C) 2

D) 2ñ2

E) 2ñ3

L

x

A

12

B

[KL L noktas›nda, [KM M noktas›nda [AB] çapl› yar›m çembere te¤et, [KM ⊥ [KL, |AB| = 12 cm Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |L M| = x ka ç c m d i r? A) 6

B) 6ñ2

C) 8ñ2

D) 12

E) 12ñ2

C-B-D / D-A-C / A-E-B / B-C-B

295

6

KAVRAMA TEST‹ 1.

Y a r ›ç a p › 5 c m o la n d a i r e n i n ç e v r e s i k a ç c m d i r ? A) 5π

B) 10π

C) 15π

D) 20π

5.

E) 25π

2

fiekilde O merkezli iki daire verilmifltir.

A B

|OA| = 2 cm

3

O

|OB| = 3 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , ta r a l › b ö lg e n in a l a n › k a ç 2 cm dir? A) 6π

2.

B) 5π

C) 4π

D) 3π

E) 2π

2

Yar›çap› 7 cm olan dairenin alan› kaç cm dir? A) 14π

B) 21π

C) 28π

D) 35π

E) 49π

6.

fiekildeki çemberler B noktas›nda içten te¤ettir. A

6

O

B

O m e r k e z li ç e m b e r i n y a r › ç a p › 6 c m o l d u ¤ u n a g ö 2 re, taral› bölgenin alan› kaç cm dir? A) 18π

3.

B) 21π

C) 24π

D) 27π

E) 30π

2

Çap› 24 cm olan yar›m dairenin alan› kaç cm dir? A) 48π

B) 60π

C) 72π

D) 84π

E) 96π

7.

A

2ñ2

O

B

fiekilde verilen iki yar›m daire A noktas›nda içten te¤ettir.

4.

Çevresi 26 π cm olan dairenin çap› kaç cm dir? A) 26

B) 24

C) 18

D) 13

E) 12

2 cm ol du¤ una g öre , t ara l › böl ge ni n al an› |AO| = 2ñ2 2 kaç cm dir? A) 2π

296

B) 3π

C) 4π

D) 5π

E) 6π

ÇEMBER VE DA‹RE

8.

O merkezli dairede

A

m(AéOB) = 140°

D

4

140°

O

11. O

m(DéOC) = 40°

40°

100° x

|AO| = 4 cm

C

B

A

B

K

O merkezli çemberde, |AùKB| = 20 π cm oldu¤una g ö r e , x k a ç c m d ir ?

Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , t a r a l › b ö l g e l e r i n a l a n l a r › 2 toplam› kaç cm dir? A) 4π

B) 6π

C) 8π

D) 10π

E) 12π

A) 9

B) 12

C) 16

12. 9.

D) 18

E) 36

A

m(AéOB) = 120°

A 6

|AO| = 6 cm O

O 120°

2ñ3

C

B B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , ta r a l › b ö lg e n in a l a n › k a ç 2 cm dir? A) 9π

B) 10π

10.

C) 12π

3 cm ve O n okt as› mer kez ol du¤ una gö re, |AC| = 2ñ3 2 taral› bölgenin alan› kaç cm dir? 8π 4π A) B) 2π C) D) 3π E) 4π 3 3

E) 18π

[AO] ⊥ [OB]

A

13.

O merkezli çemberde,

|AO| = 2 cm

2 O

D) 15π

ABC eflkenar üçgeninin çevrel çemberi verilmifltir.

E te¤et de¤me noktas›

O B

D A

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , ta r a l › b ö lg e n in a l a n › k a ç 2 cm dir? A) π + 2

D) π – 2

[AO] ⊥ [OB]

C

B

B) 2π + 2

E) π

C) 2π – 2

1

E

4

|AE| = 1 cm |EB| = 4 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , t a r a l› b ö l g e n i n a l a n › k a ç 2 cm dir? 3π π A) 4π B) 2π C) D) π E) 2 2

B-E-C-A / B-D-B / C-C-D / E-A-D

297

7

KAVRAMA TEST‹ 1.

4. 3

O A

A

Bir koyun 9 m uzunlu¤unda bir iple A noktas›na ba¤lan›yor.

Yar›çap› 3 cm olan daire düz bir zemin üzerinde 20 t a m d e v i r y a p t › ¤ ›n d a d a i r e n in m e r k e z i k a ç c m y o l a l m›flfltt›r?

Buna göre, koyunun otlayabilece¤i alan en çok kaç 2 m dir? A) 64π

B) 72π D) 90π

2.

A

5.

D

m(AéCB) = 30° 30°

3π 2

3.

B) π

C)

B

|OB| = x

Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , t a r a l › b ö l g e l e r i n a l a n l a r › 2 toplam› kaç cm dir?

4π 5

D)

9

D

2π 3

E)

4ñ3

A) 8π

π 2

O

B) 9π

6.

C

C

C) 12π

D) 18π

E) 24π

A

F

4ñ2

6 E A

B

B

ABCD dikdörtgen AF, B merkezli daire yay› CE, D merkezli daire yay› [BD] köflegen |DC| = 9 cm , |DA| = 6 cm

298

|BO| = 4ñ3 cm

|AO| = 4 cm

Taral› bölgelerin alanlar› birbirine eflfliit oldu¤una gö r e , x k a ç c m d ir ? A)

O merkezli yar›m çemberde

A

O, çeyrek dairenin merkezi

4

B

D) 120π E) 130π

C) 81π

Yukar›daki flekilde AOBC dikdörtgen

E

x

B) 100π C) 110π

E) 108π

C

O

A) 90π

C

fiekilde [AB] ve [BC] çapl› iki yar›m daire verilmifltir.

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , t a r a l › b ö l g e le r i n a l a n l a r › 2 toplam› kaç cm dir?

2 cm ol du¤una göre, t ara [AB] ⊥ [BC] ve |AC| = 4ñ2 2 l› bölgelerin alanlar› toplam› kaç cm dir?

A) 15

A) 3π

B) 18

C) 21

D) 24

E) 27

B) 4π

C) 5π

D) 6π

E) 8π

ÇEMBER VE DA‹RE

7.

10.

D

C

fiekilde ABCD karesinin iç te¤et çemberi çizilmifltir.

A

B

O1

O2

C

[AC] ve [BD] köflegen |AB| = 8 cm

Birim kareler üzerindeki zemine O1, O2 ve B merkezli yar›m çember yaylar› çizilmifltir.

A

Y u k a r › da k i v e r i le r e g ö r e , t a r a l › b ö lg e l e r i n a l a n la r › 2 toplam› kaç cm dir?

B una gör e, t a ral › b öl ge ni n al a n› k aç bi ri mk ar edi r? A) 8π

B) 10π

C) 12π

D) 14π

E) 16π

A) 8π

B) 10π

11. 8.

B

8

C) 12π

[AC] ⊥ [BD]

|AB| = 2x – 3 cm x+5

|AB| + |CD| = 8 cm

|CD| = x + 5 cm

O

A A

Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , t a r a l › b ö lg e l e r i n a l a n la r › 2 toplam› kaç cm dir?

Taral› bölgelerin alanlar› birbirine eflfliit oldu¤una g ö r e , | A B | k a ç c m d ir ? B) 10

C) 11

D) 12

A) 2π

E) 13

12. 9.

C

A

O

B

O noktas› çeyrek dairelerin merkezi

B

B

A) 9

C

D

2x – 3

E) 24

fiekilde

D

fiekildeki çemberde

C

D) 16

D

B) 3π

C) 4π

|CïD| = 12π

E) 8π

O merkezli daire diliminde

A

O her iki yar›m dairenin merkezidir. |AïB| = 8π

D) 6π

m(AéOB) = 60° |OC| = 2 cm |CB| = 4 cm 60° O 2 C

4

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , t a r a l › b ö l g e n i n a la n › k a ç 2 π cm dir?

[ B C] y a r › m d a i r e n i n ç a p › o l d u ¤ u n a g ö r e , t a r a l › b ö l g e 2 nin alan› kaç cm dir?

A) 32

A) 3π

B) 36

C) 40

D) 44

E) 48

B) 4π

C) 6π

D) 8π

E) 9π

C-B-E / D-A-B / A-E-C / D-C-B

299

GENEL TEKRAR TEST‹ 1.

O merkezli çemberde

C x

D

4. E

[AD] aç›ortay A

36°

O

9

m(AéBC) = 36°

B

D 15

A

x C B

O

O merkezli yar›m çemberin içine OCDE dikdörtgeni çizilmifltir. |OE| = 9 cm |EC| = 15 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | C B| = x k a ç c m d i r ?

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( A é D C ) = x k a ç d e r e c e d ir ? A) 45

B) 54

C) 60

D) 63

A) 1

B) 2

50°

D

[AC] ⊥ [BD] A

x

E

72°

[AB] çap |EB| = |BC|

O

m(BéAC) = 72°

C

E) 5

O merkezli çemberde

A

fiekildeki çemberde

D

D) 4

E) 72

5. 2.

C) 3

E

C

m(AéDE) = 50°

B

Y u k ar › d a k i v e r il e r e g ö r e , m (E é B C ) k a ç d e r e c e d ir ?

B

Y u k a r ›d a k i v e r il e r e g ö r e , m ( A é C D) = x k a ç c m d ir ? A) 28

B) 24

3.

C) 20

D) 18

[AB] ve [AC] s›ras›yla E ve D noktalar›nda O merkezli yar›m çembere te¤et

A 8 E

D 6

B

F

H

O

x

C

A) 100

B) 110

C) 120

[BA] ⊥ [AC]

6.

E) 140

[BA ve [BC çembere te¤et D

A 10

|DC| = 6 cm

B

x

[BA ⊥ [BC |AïC| = |CïD| |CD| = 10 cm

|EA| = 8 cm

300

D) 130

E) 16

C

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | H C | = x k a ç c m d ir ?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | B C| = x k a ç c m d i r ?

A) 1

A) 4ñ3

B) 2

C) 2,5

D) 3

E) 3,5

B) 7

C) 5ñ2

D) 3ñ6

E) 8

ÇEMBER VE DA‹RE

7.

O merkezli çemberde B te¤et de¤me noktas›

A y

B

A

[CA, A noktas›nda

D

C

F te¤et de¤me noktas›

E

m(BéAC) = y

B

[CE, E noktas›nda çembere te¤et

F

m(BéOC) = 80°

80°

x

fiekilde

C

|AB| = |AC|

O D

10.

m(AéBD) = x

|AC| = 8 cm

Y u k a r › d a k i v e r il e r e g ö r e , x – y f a r k › k a ç d e r e c e d i r ?

Yukar›daki verilere göre, Çevre(CBD) kaç cm dir?

A) 30

A) 12

B) 40

8.

C) 50

D) 60

A

D

O x E

50°

B

E) 70

O merkezli, [AE] çapl› çemberde A ve C te¤et de¤me noktalar›

D

m(AéBC) = 50°

C) 35

D) 30

A

OFCD kare F

A) 50

B) 52,5

C) 60

3

A x

B 70°

D) 67,5

E) 72,5

A ve C te¤et de¤me noktalar› A, E, D do¤rusal m(BéAC) = 70°

A, D, C do¤rusal

O

A, E, C do¤rusal

E) 25

[AO] ⊥ [BO] B 1 D x C

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (A é E O ) = x k a ç d e r e c e d i r ?

O merkezli çemberde

A

E) 24

O merkezli yar›m çemberde

C

O

12. 9.

D) 20

E x

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (E é DC ) = x k a ç d e r e c e d ir ? B) 40

C) 18

11.

C

A) 45

B) 16

m(AéDC) = 40°

|BD| = 1 cm |DO| = 3 cm

E

C

40°

D

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | D C| = x k a ç c m d i r ? A) 1

6 B) 5

7 C) 5

D) 2

12 E) 5

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (D é A C ) = x k a ç d e r e c e d ir ? A) 20

B) 25

C) 30

D) 35

E) 40

301

ÇEMBER VE DA‹RE

13. C

E

x+2

O merkezli çemberde

D

16.

[OE] ⊥ [CD]

O 2x –

1 B

C

A

[OF] ⊥ [AB]

|CE| = x + 2 cm

A

|FB| = 2x – 1 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , ta r a l › b ö lg e n in a l a n › k a ç 2 cm dir?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | CD | k a ç c m d i r ? B) 6

C) 8

14.

D) 10

30°

C

1

C) 12

D) 4π

E) 16

[CB], B noktas›nda [AB] çapl› çembere te¤et

C

9

16

ABC bir üçgen A

B

O

|AD| = 16 cm

|CB| = 1 cm

B

|DC| = 9 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A C| = x k a ç c m d i r ?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , Çe v r e ( B CD ) k a ç c m d i r ?

A) 7

A) 36

B) 8

C) 9

15.

D) 10

E) 11

O merkezli çemberde O

[OC] ⊥ [AB]

5

|OD| = 5 cm

A x

D

B

|AB| = 24 cm

C

302

B) 2π

D

|OC| = 2ñ3 cm

2ñ3

O

17.

m(OéCA) = 30°

O

x

8

A) 8

E) 12

O merkezli çemberde

A

|AO| = 8 cm

|OE| = |OF|

F

A) 5

O ve C noktalar› çeyrek çemberlerin merkezleri

B

18.

B) 35

C) 34

D) 33

E) 32

O merkezli yar›m çemberde B te¤et de¤me noktas›

A D x

|OC| = 2 cm

B

O

C

2

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | D C | = x k a ç c m d ir ?

Taral› bölgelerin alanlar› birbirine eflfliit oldu¤una g ö r e , | AB| = x k a ç c m d i r ?

A) 12

A)

B) 11

C) 10

D) 9

E) 8

π 2

B) π

C)

3π 2

D) 2π

E)

5π 2

ÇEMBER VE DA‹RE

19.

O merkezli dairelerde

22.

D

|AB| = 2. |AO|

O

K

L A

B 2

C) 54π

D) 63π

20.

23.

[BO] ⊥ [OC]

3 B

C) 28

N

D

5

B) 2

L

A

C) ñ5

D) 2ñ2

fiekil I

B

Ç e v r e ( A B C D ) = 1 6 c m o l d u ¤ u n a g ö r e , t a r a l› b ö l g e n i n 2 alan› kaç cm dir?

E) 3

A) 24 – 4π

B) 16 – 2π

O

B

L

A

O

E) 6π – 16

Buna göre, fifieekil II deki taral› bölgenin alan› kaç cm dir? B) 12π – 9ñ3

D) 9π – 9ñ3

24.

CAB eflkenar üçgen

C

[AB] yar›m çemberin çap›

B

Çap› 12 cm olan O merkezli, [AB] çapl› yar›m daire biçimli karton, çapa paralel olan [KL] do¤ru parças› boyunca katland›¤›nda, KL yay› O noktas›na te¤et oluyor.

A) 12π – 6ñ3

C) 8π – 16

fiekil II K

A

K, L M, N te¤et de¤me noktalar›

|BC| = 5 cm

C

E) 36

ABCD karesinin içine A, B, C ve D merkezli eflit yar›çapl› daireler çiziliyor.

M

D) 16 – 4π

21.

D) 32

C

K

Y uka r› da ki ve ri l er e g öre , |B O| = x k aç cm di r? A) ñ3

B) 24

|AB| = 3 cm

x A

A) 20

E) 72π

O merkezli çemberde O

|BC| = 12 cm

B

Y u k a r› d a k i v e r i l e r e g ö r e , Çe v r e ( K L M ) k a ç c m d i r ?

Küçük dairenin alan› 9 π cm oldu¤una göre, taral› 2 bölgenin alan› kaç cm dir? B) 45π

12

M

A

A) 36π

K, L ve M merkezli çemberler birbirlerine ve ABCD dikdörtgeninin kenarlar›na te¤et

C

2

C) 9π – 6ñ3

|AB| = 6 cm

A

6

B

Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , t a r a l › b ö lg e l e r i n a l a n la r › 2 toplam› kaç cm dir? A)

3π 2

B) 2π

C) 3π

D)

9π 2

E) 6π

E) 6π – 3ñ3

D-D-B / C-A-E / A-E-C / B-D-C / D-A-E / E-B-A / E-C-B / B-D-A

303

SINAVLARDA (ÖSS-ÖYS-YGS-LYS) SORULMUfi SORULAR 1. T

P

4

A

2

x

R S B

O

PR do¤rusu O merkezli çembere T noktas›nda te¤et PR ⊥ RB

4.

AD do¤ru parças› O merkezli çemberin çap›

A 30° B

|PA| = 4 cm

2 2

H

|AO| = 2 cm

D)

5 3 3

E)

|BH| = |HD| = 2 cm

D

|TR| = x Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , x k a ç c m d i r ? 4 5 2 2 A) B) 3 4

B ve C çember üzerinde H noktas› AC ve BD nin kesim noktas›

O

m(BéAH) = 30°

C

C)

Y u k a r › d a k i v e r il e r e g ö r e , | A C | u z u n l u ¤ u k a ç c m d i r ?

3 3 2

A)

2 5 3

13 2

B)

14 3

C) 5

D) 6

E) 7

(ÖSS 2008 Mat-1)

(ÖSS 2009 Mat-1)

2.

A, B ve C noktalar› O merkezli çember üzerinde

B a

A

a

C

5.

›

T

B

m(AéBC) = m(AéOC) = a

O

O

T›

B) 110

C) 115

D) 120

K

A

m(BéOC) = 70° m(BéAC) = x

C

Y u k a r › d a k i ve r i l e r e g ö r e , x k a ç d e r e c e d i r ?

Y uka r› da ki ve ri l ere gö re, a ka ç d ere ce di r? A) 105

x

70°

AT, AT ve BC O merkezli çembere te¤et

A) 25

E) 135

B) 30

C) 35

D) 40

E) 45

(ÖSS 2007 Mat-1)

(ÖSS 2009 Mat-1) 3. T

A

x

100°

6.

Yandaki flfleekilde taral› a l a n k a ç b ir i m k a r e d i r ?

B O

C

D

C 1

O noktas› çemberin merkezi, AT, çembere T noktas›nda te¤et, A, B, O, C do¤rusal

A

E

B

m(AéBT) = 100°, m(CéAT) = x

B) 40

C) 50

D) 60

E) 70

(ÖSS 2009 Mat-2) 304

DïC: CD çapl› yar› çember yay› DïE: A merkezli çeyrek çember yay› EïC: B merkezli çeyrek çember yay›

Y uka r› da ki ve ri l ere gö re, x ka ç d ere ce di r? A) 30

ABCD bir dikdörtgen

A) 1

B) 2

C) 3

D) π

E) 2π

(ÖYS 1987)

ÇEMBER VE DA‹RE

7.

OADC bir dikdörtgen

E

yaylar üzerinde C ve D noktalar› al›n›yor. [AC] kirifli üzerinde al›nan bir K noktas› için DK do¤rusu, çemberi E noktas›nda kesiyor.

|OC| = 12 cm

D

C

10. M merkezli bir çemberin [AB] çap›n›n ay›rd›¤› farkl›

|OA| = 9 cm 12

|AB| = x

O

9

A

x

m(EéDC) = 15°

D

m(DéMB) = 110°

15°

B

110°

A

fiekildeki E, D ve B noktalar› O merkezli çeyrek çemberin üzerindedir.

K

x

B) 9

m(DéKC) = x

E

Bu n a g ö r e , x k a ç c m d i r ? A) 10

B

M

C

C) 8

D) 7

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , x k a ç d e r e c e d ir ?

E) 6

(ÖSS 2007 Mat-1)

A) 130

B) 125

C) 120

D) 115

E) 105

(ÖSS 2007 Mat-2) 8.

D

ABCD bir kare

C

|OB| = |OC| M

T

K

11.

TO // AB

O

D

m(BéDC) = 30°

30°

m(AéBD) = 45°

|AB| = 2 cm

A

B

2

A

B Yukar›daki verilere göre, x kaç derecedir?

2

Buna göre, taral› bölgenin alan› kaç cm dir? 3π 8

B) 2 – D) 4 –

5π 8

3π

C) 2 – E) 4 –

8

m(DéEC) = x

C

45°

fiekildeki M merkezli çember [AD] kenar›na T noktas›nda ve O merkezli, [BC] çapl› yar› çembere K noktas›nda te¤ettir.

A) 2 –

x

E

A) 95

B) 100

C) 105

BC ⊥ OC

12.

7

AO ⊥ OC

(ÖSS 2007 Mat-2) 9. O

C

A, B, C noktalar› O merkezli çemberin üzerinde

70°

A, B, D do¤rusal

B

x

D

m(CéBD) = 70° m(OéAC) = x

A

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , x k a ç d e r e c e d ir ? A) 10

B) 15

C) 20

D) 25

E) 115

(ÖSS 2006 Mat-1)

3π 7

5π

D) 110

B

A

T

C

x O1

m(AéOB) = x

O

fiekildeki O1 merkezli yar›m çember, O merkezli çeyrek çembere A noktas›nda, [BC] do¤ru parças›na da T noktas›nda te¤ettir. Bu n a g ö r e , x k a ç d e r e c e d i r ?

E) 30

A) 15

B) 20

(ÖSS 2005)

C) 30

D) 45

E) 60

(ÖSS 2007 Mat-1)

A-D-E / C-D-B / E-A-C / A-C-C

305

SINAVLARDA SORULAB‹LECEK SORULAR 1.

D

12

E

ABCD dikdörtgen

C

O

16

4.

O noktas› dairelerin merkezi

AE, O merkezli çember yay› |EC| = 12 cm

10

C

|BC| = 16 cm

x

A

B

|AO| = 10 cm

B) 20

C) 22

D) 24

|OC| = |AC|

D

A

B

Yukar›daki flfleekilde taral› bölgelerin alanlar› toplam› 2 24π cm oldu¤una göre, O merkezli büyük daire 2 nin alan› kaç cm dir?

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | A B| = x k a ç c m d i r ? A) 18

[AO] ⊥ [OB]

O

E) 26

A) 64π

B) 72π

5.

C) 81π

A

D) 96π

E) 100π

O merkezli çemberde

B

2.

[AB // [DC C

S1 x A

D

B

O

O merkezli yar›m çemberde m(CéOB) = x

O merkezli dairenin alan› 36 π cm oldu¤una göre, 2 Alan(BDC) kaç cm dir? 2

S1 ve S2 içinde bulunduklar› bölgelerin alanlar›d›r. S2 S1

=

1 ol du¤ una g öre, x k aç dere cedi r? 5

A) 15

B) 20

C) 30

C

O

S2

D) 45

A) 18

B) 20

C) 24

D) 36

E) 48

E) 50

6.

O merkezli çemberde m(AéDC) = 110° A

3.

Kiriflflllerinden birinin uzunlu¤u 12 br olan bir çem berin çevre uzunlu¤u x br ise, x ile ilgili aflflaa¤›da kilerden hangisi daima do¤rudur? A) x ≤ 12π

B) x ≤ 18π

D) x ≥ 18π

C) x ≥ 12π

E) x ≥ 24π

O

B 110°

C

D

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , m (B é A C ) = x k a ç d e r e c e d i r ? A) 10

B-C-C / A-D-C

306

x

B) 15

C) 20

D) 25

E) 30

KAZANMIfi OLMAMIZ GEREKEN B‹LG‹ ve BECER‹LER

Kirifl, kesen, te¤et, yar›çap ve çap gibi temel kavramlar› tan›mlayabilme Merkez aç› ve çevre aç› ile ilgili aç› özelliklerini uygulayabilme Te¤et kirifl aç›, iç aç› ve d›fl aç› ile ilgili aç› özelliklerini uygulayabilme Kirifller dörtgenine ait aç› özelliklerini uygulayabilme Çemberde kirifl özelliklerini kullanabilme Çemberde te¤et özelliklerini kullanabilme Dairenin çevresini ve alan›n› hesaplayabilme Daire diliminin alan›n› ve yay uzunlu¤unu hesaplayabilme Düzgün geometrik flekillerle çemberler aras›nda kalan alan› hesaplayabilme Efl alanlar› belirleyip tafl›ma tekni¤ini kullanabilme

307

10

KATI C‹S‹MLER

‹zometrik ve ortografik çizim Çevremizdeki kutular birer prizmad›r. Prizmalarda yüzey köflegeni ve cisim köflegeni Prizmalarda yüzey alan› Dik prizmalar›n hacimleri nas›l hesaplan›r? Silindir, taban› daire olan bir prizmad›r. Piramit ile prizmay› kar›flt›rmayal›m. Piramitlerin yüzey alan› Dik piramidin hacmi Kesik piramit, kesilen piramidin hangi k›sm›d›r? Koni Dik dairesel koninin yüzey alan› Kesik koni Dik dairesel koninin hacmi Küre Kürenin yüzey alan› Kürenin hacmi

YÖRÜNGEDEK‹ KAVRAMLAR izometrik çizim s. 311 ortografik çizim s. 311 prizma s. 313 dik prizma s. 313 üçgen prizma s. 313 dikdörtgenler prizmas› s. 314 küp s. 314 kare prizma s. 314 yüzey köflegeni s. 315 cisim köflegeni s. 315 silindir s. 319 piramit s. 322 koni s. 328 küre s. 333

310

KATI C‹S‹MLER 10.1

‹zometrik ve ortografik çizim ‹zometrik Çizim Üç boyutlu bir yap›n›n perspektif dikkate al›nmadan bir bütün olarak izometrik ka¤›da çizilmesine izometrik çizim denir.

Önden görünüm

Üst

Ön

Sa¤ yan

30°

Sa¤dan görünüm

30°

Yandaki cismin izometrik ka¤›da çizimi.

Dik Görüntü Çizimi (Ortografik Çizim) Üç boyutlu bir yap›ya tek bir yönden bak›larak (üstten, önden, soldan veya sa¤dan) görünümlerinin iki boyutlu olarak çizilmesine dik görüntü çizimi denir. •

Dik görüntü çizimi yap›l›rken, görünmeyen düzlemi belirten ayr›tlar kesik çizgi ile gösterilir.

Üstten görünüm

örnek soru

Üst

Ön Ön

Sa¤ yan

Yukar›da verilen üç boyutlu yap›n›n üstten, önden ve sa¤dan görünümü afla¤›daki flekillerde belirtildi¤i gibi zihinde canland›r›l›r.

‹zometrik zeminde çizimi verilen flekildeki yap›n›n dik görüntü (ortografik) çizimlerini yap›n›z.

çözüm

Önden görünüm

Sa¤ yandan görünüm

Üstten görünüm

311

KATI C‹S‹MLER

örnek soru

örnek soru ‹zometrik zeminde çizimi verilen flekildeki yap›n›n önden, sa¤dan, soldan ve arkadan dik görüntü (ortografik) çizimlerini yap›n›z.

Ön

Önden görünüm

Sa¤ yandan görünüm

çözüm

Üstten görünüm Önden görünüm

Sa¤dan görünüm Yukar›daki flekilde dik görüntü (ortografik) çizimi verilen yap›n›n izometrik çizimini yap›n›z.

çözüm Soldan görünüm

Arkadan görünüm

örnek soru

Önden görünüm

Sa¤ yandan görünüm

Yap›y› oluflturmaya zeminden bafllayal›m. Yap›n›n üstten görünümü ile zemin ayn› oldu¤undan, zemin olarak üstten görünümü çizebiliriz.

Üstten görünüm

Yukar›daki flekilde bir yap›n›n dik görüntü (ortografik) çizimi verilmifltir. Bu yap›n›n izometrik çizimini yap›n›z.

Yap›n›n zemini (üstten görünüm)

Zemine önden görünüm ilavesini yapt›k

fiekil I

fiekil II

Sa¤ yandan görünüm ilave edildi

Üstten görünüm ilave edildi

fiekil III

fiekil IV

çözüm Dik görüntü (ortografik) çizimi verilen bir yap›n›n izometrik çizimi yap›l›rken izometrik ka¤›ttan faydalan›l›r. Verilen görünümlerden ayr›nt›s› en az olandan bafllamak çizimi kolaylaflt›r›r. Üst

Ön

312

Ön

Sa¤

KATI C‹S‹MLER

10.2

Çevremizdeki kutular birer prizmad›r. Alt ve üst taban› birbirine paralel efl çokgenlerden oluflan cisimlere prizma denir. Biz burada, yan yüzeyleri taban düzlemine dik olan dik prizmalar› iflleyelece¤iz.

[AD], [BE] ve [CF] prizman›n yükseklikleri

Prizman›n alt›n› ve üstünü oluflturan çokgensel bölgelere prizman›n tabanlar›, prizman›n taban kenarlar›na taban ayr›tlar›, tabanlar›n karfl›l›kl› köfle noktalar›n› birlefltiren do¤ru parçalar›na yanal ayr›tlar ve iki yanal ayr›t aras›nda kalan ve bir taban›n kenar say›s› kadar olan paralelkenarsal bölgelere yanal yüzeyler, iki taban aras›ndaki uzakl›¤a prizman›n yüksekli¤i denir.

ABED, CBEF ve ACFD dikdörtgensel bölgeleri prizman›n yan yüzleri,

A› ›

[DE|, [EF] ve [DF] üst taban ayr›tlar›

A, B, C, D, E ve F noktalar› prizman›n köfleleridir.

Üçgen Prizman›n Aç›n›m› F

C

a

b D

üst taban

B

[AB], [BC] ve [AC] alt taban ayr›tlar›

a

E

c

F

b

D

›

h

c c

yükseklik yanal ayr›t

yanal yüz

h

h

A b

B

C

a

a

h

b

A

C A

örnek soru B

C

K

alt taban

S›k karfl›lafl›lan prizmalar ve aç›n›mlar›

E

F

G

H

1. Üçgen prizma F a

b D

Üst taban

c

E

A h

c

L

fiekilde bir üçgen prizman›n aç›n›m› verilmifltir.

a Alt taban

A

D

C

Yükseklik

C b

B

B

Alt ve üst taban› birbirine paralel olan iki efl üçgenden oluflan prizmaya üçgen prizma denir. Bu iki taban aras›ndaki uzakl›k üçgen prizman›n yüksekli¤idir. Tabanlar›n d›fl›nda kalan üç dikdörtgensel yüzeyi vard›r yani yanal yüzey üç dikdörtgenden oluflur. Yukar›daki flekilde, ABC ve DEF üçgensel bölgeleri prizman›n tabanlar›

Bu flekil, üçgen prizma oluflturacak flekilde kapat›ld›¤›nda [EK], [BC], [LD] ve [DH] ayr›tlar›n›n hangi ayr›tlarla çak›flaca¤›n› bulal›m.

çözüm Verilen flekil kapat›ld›¤›nda G noktas› K noktas› ile, H noktas› E noktas› ile, B noktas› L noktas› ile, D noktas› da A noktas› ile çak›fl›r. Dolay›s›yla [EK], [HG] ile; [BC], [LC] ile; [LD], [BA] ile; [DH] ise [AE] ile çak›fl›r.

313

KATI C‹S‹MLER

2. Dikdörtgenler prizmas›

Çok yüzlülerin arakesitleri

Eni, boyu ve yüksekli¤i farkl› uzunlukta olan ve alt› yüzünün her biri bir dikdörtgen olan prizmalard›r. ‹çinde bulundu¤umuz s›n›flar dikdörtgenler prizmas› için iyi bir modeldir.

Bir geometrik cismi bir düzlemle kesti¤imizde düzlem ile cismin ortak yüzeyine ara kesit denir. Bir küpün bir düzlemle oluflturdu¤u baz› ara kesitler:

a a

c b

b a

c

c b

a

c

ara kesit

c b

c

b

b

a

c

Yukar›daki flekilde a, b ve c birbirinden farkl› uzunluklard›r.

ara kesit

3. Kare dik prizma Taban› kare, yüksekli¤i ise taban ayr›t›ndan farkl› uzunlukta olan prizmalard›r. ara kesit

a a b

a

a

a

a b

b

a a

a

a

a

a

a

Bir üçgen prizman›n bir düzlemle oluflturdu¤u baz› ara kesitler: ara kesit

a

4. Küp Tüm ayr›tlar› eflit ve tüm yüzeyleri kare olan prizmaya küp denir. Küpün Aç›n›m› H

G

K L

E

F P

a

D

C a

A

314

ara kesit

B

M

R

N Burada K ile M, L ile N, P ile R karfl› karfl›ya bulunan yüzlerdir.

ara kesit

KATI C‹S‹MLER

10.3

Prizmalarda yüzey köflegeni ve cisim köflegeni a. Yüzey Köflegeni a

H

G

b c

F

E D

c

A

H

fiekildeki kare dik prizmada

G

|AB| = |BC| = 2 cm

E

F

|EA| = 6 cm

B

a

Ayr›tlar› a, b ve c cm olan dikdörtgenler prizmas›n›n yüzey köflegenleri pisagor teoremiyle hesaplan›rsa, | EB | = a2 + c2

6 D

C 2

A

| BG | = b2 + c2 | EG | = a2 + b2

a2 + b2 + c2 = 36 = 6 cm

örnek soru

C b

B

2

Yukar›daki verilere göre, bu prizman›n cisim köflegeninin uzunlu¤unun, |EC| nin kaç cm oldu¤unu bulal›m?

bulunur.

b. Cisim Köflegeni H

G c

F

E b

O halde, cisim köflegeni bulunur.

D

C

çözüm Önce ABC dik üçgeninde pisagor teoremi uygulanarak |AC| bulunur. H

b A

B

a

E

Ayr›tlar› a, b ve c cm olan dikdörtgenler prizmas›n›n cisim köflegeni, ABD ve HDB üçgenlerinde pisagor teoremi uygulan›rsa, | HB | = a2 + b2 + c2 bulunur.

F

6 D

C 2

örnek soru

Farkl› yüzey köflegenleri 2ñ5 cm, 2ñ6 cm ve 2ñ7 cm olan bir dikdörtgenler prizmas›n›n cisim köflegeninin kaç cm oldu¤unu bulal›m.

G

A 2

2

2

|AC| = |AB| + |BC| 2

2

|AC| = 2 + 2

B

2

2

|AC| = 8 ⇒ |AC| = 2ñ2 cm bulunur. 2

çözüm Prizman›n ayr›tlar› a, b ve c cm olsun.

Farkl› yüzey köflegenleri 2ñ5 cm, 2ñ6 cm ve 2ñ7 cm oldu¤udan a2 + b2 = 2 5

⇒

b2 + c2 = 2 7

⇒

a2 + c2 = 2 6

⇒

2

2

2

2

2

2

|EC| = 36 + 8 2

|EC| = 44

a2 + c2 = 24

b2 + c2 = 28 _________________ + 2

|EC| = |EA| + |AC| ⇒ |EC| = 6 + (2ñ2) 2

a2 + b2 = 20

2

Sonra, EAC dik üçgeninde pisagor teoremi uygulanarak |EC| bulunur.

|EC| = 2ò11 cm bulunur.

2

2(a + b + c ) = 72 2

2

2

a + b + c = 36 olur. Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 1, 2 / Genel Tekrar Testi 7 nolu sorular› hemen çözelim.

315

KATI C‹S‹MLER

10.4

Prizmalarda yüzey alan› Bir prizman›n yüzey alan›, bu prizman›n sahip oldu¤u tüm yüzeylerin alanlar› toplam›d›r. Tüm prizmalar›n iki taban› ve taban›n›n kenar say›s› kadar yanal yüzeyi vard›r. Bu durumda prizmada yüzey alan›

Toplam alan = 2. Taban alan› + Yanal alan ile bulunur. Ayr›ca, Yanal alan = Taban çevresi x Yüksekliktir. Ayr›tlar› a, b, c olan dikdörtgenler prizmas›n›n yüzey alan› 2(ab + ac + bc) ile, bir ayr›t› a cm olan kü2 pün alan› 6a ile bulunur.

çözüm Eni, boyu ve yüksekli¤i s›ras›yla a c cm, b cm ve c cm olan dikdörtgenler prizmas›n›n toplam 12 ayr›t› vard›r. Bu b ayr›tlardan 4 tanesi a a cm, 4 tanesi b cm, 4 tanesi c cm oldu¤undan, prizman›n tüm ayr›tlar›n›n uzunluklar› toplam› 4a + 4b + 4c dir. 2

Verilen prizman›n farkl› yüzeylerinin alanlar› 24 cm , 2 2 40 cm ve 60 cm oldu¤undan

örnek soru F D 10

a. b = 40, a. c = 60 ve b. c = 24 eflitlikleri yaz›l›r.

12

9 15

Bu eflitliklerin ilk ikisi taraf tarafa çarp›l›rsa, 2 a . b. c = 2400 olur. b. c = 24 oldu¤una göre, 2 a . 24 = 2400

E

a = 100 ⇒ a = 10 cm bulunur. 2

C

A

15

a. b = 40 ⇒ b = 4 cm ve a. c = 60 ⇒ c = 6 cm dir.

B

Yukar›da verilen üçgen prizman›n yüzey alan›n› bulal›m.

O halde prizman›n tüm ayr›tlar›n›n uzunluklar› toplam› = 4a + 4b + 4c = 4(a + b + c) = 4(10 + 4 + 6) = 80 cm bulunur.

örnek soru

çözüm 9

12

9

H

K

12

15

F

E 10

36

G 8

D

C

15 9

9

12

6

12

Yanal yüzeyin alan› = (9 + 15 + 12). 10 = 36. 10 = 360 2 cm dir. Prizman›n taban› dik üçgen oldu¤undan 9 ⋅ 12 = 54 cm2 Taban alan› = 2 O halde, prizman›n yüzey alan› = 2 x Taban Alan› + Yanal yüzey alan› bulunur.

= 2. 54 + 360 = 468 cm

15

A

fiekildeki dikdörtgenler prizmas›nda |AB| = 15 cm, |BC| = 6 cm ve |GC| = 8 cm 2

oldu¤una gör, KAB üçgeninin alan›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm H

2

K

G F

E

örnek soru

C

2

Farkl› yüzeylerinin alanlar› 24 cm , 40 cm ve 2 60 cm dikdörtgenler prizmas›n›n tüm ayr›tlar›n›n toplam uzunlu¤unun kaç cm oldu¤unu bulal›m.

8 10

D 2

316

B

6 A

P

15

B

KATI C‹S‹MLER

Alan(KAB) =

| AB | ⋅ | KP | oldu¤undan önce |KP| yi 2

bulal›m.

çözüm Önce, verilen prizman›n aç›k fleklini çizelim.

KPBG bir dikdörtgen oldu¤undan |KP| = |GB| dir. GBC dik üçgeninde pisagor ba¤›nt›s› uygulan›rsa, |GB| = 10 cm bulunur.

E

G

F

H

Buna göre, |KP| = 10 cm ve | AB | ⋅ | KP | 15 ⋅ 10 2 Alan(KAB) = = 75 cm bulunur. 2 2

h

A

örnek soru H

Bir ucu flekildeki kare prizman›n A köflesine di¤er ucu H köflesine ba¤l› olan gergin ipin uzunlu¤u 10 cm dir.

G

E

F

D

C

Buna göre, bu kare dik prizman›n yüzey alan›n›n 2 kaç cm oldu¤unu bulal›m.

2 A

2

B

2

B

2

C

2

D

E

h

A

A ve H noktalar› aras›na ba¤l› olan ipin uzunlu¤u 10 cm ve |AD| = 3. 2 = 6 cm oldu¤undan HAD dik üçgeninde pisagor teoremi uyguland›¤›nda h = 8 cm bulunur. Buna göre, kare prizman›n yüzey alan› 2a + 4ah = 2. 2 + 4. 2. 8 2

2

2

= 8 + 64 = 72 cm bulunur.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 3, 11 / Genel Tekrar Testi 3, 8 nolu sorular› hemen çözelim.

10.5

Dik prizmalar›n hacimleri nas›l hesaplan›r? Dik Prizmalar›n Hacmi

Küpün Hacmi

Tüm dik prizmalar›n hacmi, prizman›n taban alan› ile yüksekli¤inin çarp›m›na eflittir. Hacim = Taban Alan› x Yükseklik

H

E

Dikdörtgenler Prizmas›n›n Hacmi H

G c

F

E D

C

G

fiekildeki dikdörtgenler prizmas›n›n hacmi a x b x c ifllemiyle bulunur.

a

F D

fiekildeki küpün hacmi 3 a x a x a = a ifllemiyle bulunur.

C a

A

a

B

b a

A

B

Üçgen Prizman›n Hacmi

Kare Prizman›n Hacmi H

G

E

F

fiekildeki kare prizman›n hacmi a x a x h ifllemiyle bulunur.

E

D

h

C A

D

h

Üçgen prizman›n hacminin bulunuflu, dikdörtgenler prizmas›n›n hacminin bulunuflu gibidir. Yani, taban alan› ile yüksekli¤in çarp›m›, hacmi verir.

B

C a

A

F

a

B

Üçgen prizman›n hacmi = Taban alan› x Yükseklik = Alan(ABC) x h

317

KATI C‹S‹MLER

örnek soru

örnek soru 3

Hacmi 27 cm olan bir küpün yüzey alan›n›n hacmi 3 8 cm olan baflka bir küpün yüzey alan›ndan kaç 2 cm fazla oldu¤unu bulal›m.

Farkl› ayr›tlar› 3 cm, 6 cm ve 12 cm olan dikdörtgen3 ler prizmas› fleklindeki kapal› bir kapta 72 cm su vard›r. Bu prizma üç farkl› yüzeyi üzerine yat›r›ld›¤›nda, içindeki suyun yüksekli¤inin ald›¤› de¤erlerin toplam›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm 3

Hacmi 27 cm olan küpün bir kenar› a cm ise, 3 a = 27 ⇒ a = 3 cm olur.

çözüm

3

Hacmi 8 cm olan küpün bir kenar› b cm ise, 3 b = 8 ⇒ b = 2 cm olur. Bir ayr›t› a = 3 cm olan küpün yüzey alan› 2 2 2 6a = 6. 3 = 54 cm , bir ayr›t› b = 2 cm olan küpün 2 2 2 yüzey alan› 6b = 6. 2 = 24 cm dir. 2

Buna göre, sorunun cevab› 54 — 24 = 30 cm bulunur.

Kap hangi yüzeyi üzerine yat›r›l›rsa yat›r›ls›n, suyun hacmi de¤iflmez. Suyun hacmi 12

x

6

I. durumda 3. 6. x = 72 x = 4 cm

3

örnek soru

I. durum x

F

6

II. durumda 12. 3. y = 72 y = 2 cm

E

D

y 8

3

C A

12 II. durum

B

Taban› dik üçgen olan flekildeki üçgen prizman›n 3 hacmi 72 cm oldu¤una göre, |DF| = x in kaç cm oldu¤unu bulal›m.

z

III. durumda 6. 12. z = 72 z = 1 cm

12

çözüm

6

Prizman›n hacmi = taban alan› x yükseklik |DF | ⋅ |FE | ⋅ |BE | 2 x 6 72 = ⋅ ⋅ 8 2 72 = 24 ⋅ x ⇒ x = 3 cm bulunur.

Prizmanın hacmi =

318

III. durum

O halde, su yüksekli¤inin ald›¤› farkl› de¤erlerin toplam› x + y + z = 4 + 2 + 1 = 7 cm bulunur.

KATI C‹S‹MLER

örnek soru

çözüm Taban çevresi 12 cm olan flekildeki üçgen prizman›n tabanlar› eflkenar üçgendir.

4

4

4

4

Taban çevresi 12 cm oldu¤undan eflkenar üçgenin bir kenar uzunlu¤u 4 cm olur. 4

4

2

4 3 = 4 3 cm2 dir. 4 a2 3 (Bir kenar› a cm olan eflkenar üçgenin alan› 4 tür) Bu durumda, Taban alan› =

Bu prizman›n yüksekli¤i taban ayr›t›n›n uzunlu¤u3 na eflit oldu¤una göre, hacminin kaç cm oldu¤unu bulal›m.

O halde, prizman›n hacmi = Taban alan› x Yükseklik = 4ñ3. 4 = 16ñ3 cm tür. 3

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 7, 8, 9 / Genel Tekrar Testi 5, 11 nolu sorular› hemen çözelim.

10.6

Silindir taban› daire olan bir prizmad›r. Alt ve üst taban› birbirine paralel iki efl daire olan ve yan yüzü bu daireleri saran kapal› cisme silindir denir. Bir silindirde, tabanlar›n merkezlerini birlefltiren do¤ruya eksen denir. Tabanlar›n karfl›l›kl› iki noktas›n› birlefltiren ve silindirin eksenine paralel olan do¤rulara silindirin ana do¤rular› veya sadece silindirin do¤rular› denir. Dairesel silindirin ekseni tabanlara dik ise dik dairesel silindir, tabanlara dik de¤ilse e¤ik dairesel silindir olarak isimlendirilir.

Dik Dairesel Silindirin Aç›k fiekli Üst taban O

A

r

h

A

Yanal yüz

Yanal yüz

h

Taban çevresi = 2πr B

r

O'

C

C r

B Alt taban

h

B

O'

örnek soru

Yükseklik D

Silindirin ekseni

A

A

O

O'

D

h

Üst taban

h

D

O r

r

C

B 15 cm

Alt taban Silindirin yar›çap› A

Ana do¤rular

12π cm

B

Yukar›da verilen dikdörtgen fleklindeki karton [AD] ve [BC] kenarlar› çak›flacak flekilde k›vr›larak bir silindir elde ediliyor. Elde edilen bu silindirin yar›çap›n›n ve yüksekli¤inin kaç cm oldu¤unu bulal›m.

319

KATI C‹S‹MLER

çözüm fiekildeki karton [AD] ve [BC] kenarlar› çak›flacak biçimde k›vr›l›rsa taban çevresi 12π cm ve yüksekli¤i 15 cm olan bir silindir elde edilir. Taban çevresi 12π cm ise, 2πr = 12π ⇒ 2r = 12

Taban yar›çap› r ve yüksekli¤i h olan dik dairesel silindirin yüzey alan›, yanal yüz ile alt ve üst taban alanlar›n›n toplam›na eflittir. Yanal yüzey alan› = 2πr. h

Taban dairelerinin toplam alan› = 2. π. r

2

oldu¤una göre, toplam alan:

A = 2πr + 2πr. h ile bulunur. 2

r = 6 cm olur. Bu durumda oluflacak silindir yandaki gibidir.

Dik Silindirin Hacmi

15 cm h 6 cm r

Bir silindirin bir düzlemle oluflturdu¤u baz› ara kesitler:

Taban yar›çap› r ve yüksekli¤i h olan silindirin hacmi 2 Taban alan› x Yükseklik ile yani V = πr . h ile bulunur.

örnek soru ara kesit D

C

20 10

A

B

Taban çap› 10 cm ve yüksekli¤i 20 cm olan flekildeki dik silindirin

ara kesit

a) yanal alan›n› bulal›m. b) toplam alan›n› bulal›m.

çözüm a)

Dik Silindirin Yüzey Alan› r

D

Verilen silindirin çap› 10 cm ise yar›çap› |AO| = |OB| = 5 cm dir.

C

Üst taban dairesi

20

r

h r

h 2πr

Alt taban dairesi

320

Yanal yüz

r

A

5

5 O

B

Silindirin yanal alan› = 2πr. h

= 2. π. 5. 20

= 200 π cm bulunur. 2

KATI C‹S‹MLER

b) Taban alan› = πr = π5 = 25π cm dir. O halde toplam alan = yanal alan + 2. taban alan› 2

2

2

= 200π + 2. 25π

Bu durumda, parçalardan birinin yanal alan›

P. 2πrh + 2r. h = P. 2. π. 4. 25 + 2. 4. 20 2

= 100π + 160 cm πr2 π42 2 taban alan› = = = 8π cm dir. 2 2 O halde, parçalardan birinin toplam yüzey alan›

2

= 250π cm bulunur.

Yanal alan + 2. taban alan› = 100π + 160 + 2. 8π

örnek soru

2

= 116π + 160 cm bulunur.

örnek soru |AD| = 4 cm |BC| = 14 cm

2

Yar›çap› 4 cm ve yüzey alan› 232π cm olan flekildeki dik silindir, merkezinden geçen düfley bir düzlemle kesilerek iki efl parçaya ayr›l›yor. Buna göre, elde edilen parçalardan birinin yüzey 2 alan›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm

A

4

D

C 14 B

E¤ik durumda bulunan ve [CD] seviyesine kadar su ile dolu olan dik silindir biçimindeki kap, dik konuma getirildi¤inde su yüksekli¤inin kaç cm olaca¤›n› bulal›m.

çözüm

2

A

Verilen silindirin yüzey alan› 232π cm ve yar›çap› 4 cm ise,

4

E

D

C 14

O

2

2πrh + 2πr = 232π

2π4. h + 2π4 = 232π

B

2

E¤ik durumda silindir dik konuma getirildi¤inde oluflacak su yüksekli¤i, bafllang›çtaki ABCD dik yamu¤unun orta taban› kadard›r.

8πh + 32π = 232π 8πh = 200π h = 25 cm olur. Silindir, flekildeki gibi iki efl parçaya ayr›ld›¤›nda elde dilen parçalardan birinin yanal alan›, bafllang›çtaki silindirin yanal alan›n›n yar›s› ile taral› dikdörtgenin alan›n›n toplam›d›r. Taban alan› ise, bir yar›m dairenin alan› kadard›r.

Buna göre, dik konuma getirildi¤inde su yüksekli¤i h ise, h =

| BC | + | AD | 14 + 4 = = 9 cm bulunur. 2 2

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 2 1, 2, 4 nolu sorular› hemen çözelim.

321

KATI C‹S‹MLER

10.7

Piramit ile prizmay› kar›flt›rmayal›m. T

Kare Piramidin Aç›n›m›

T

A

T

D

B

C T

T C Üçgen Piramit

T

B

A

Kare Piramit

T

T veya T

D

E¤ik kare Piramit

Beflgen Piramit

D

C B

A

Taban› bir çokgen ve tepesi bir nokta olan cisimlere piramit denir. Taban› düzgün çokgen ise düzgün piramit denir.

D

Kare Piramit Afla¤›da bir kare piramidin temel elemanlar› belirtilmifltir. T

örnek soru T

Tepe noktas› Yükseklik

2 6

Yan yüz D

D

C

B

fiekildeki piramitte T, tepe noktas› ABCD karesi, taban [TO], yükseklik [TA], [TB], [TC] ve [TD] yan ayr›tlar [AB], [BC], [CD] ve [DA] taban ayr›tlar› TAB, TBC, TCD ve TDA üçgensel bölgeleri yan yüzlerdir. Bu üçgenlerin her biri ikizkenar üçgendir.

322

C

Taban

O A

C

A

4

B

fiekilde verilen kare dik piramitte |TA| = 2ñ6 cm ve |AB| = 4 cm oldu¤una göre, bu piramidin yüksekli¤inin kaç cm oldu¤unu bulal›m.

KATI C‹S‹MLER

Düzgün dörtyüzlünün yüksekli¤i [TE] olsun. Tüm yüzeyler eflkenar üçgen oldu¤undan |AB| = |BC| = 6 cm,

çözüm T

dolay›s›yla [CH] ⊥ [AB] olacak flekilde [CH] çizilirse, |AH| = |HB| = 3 cm olur. CHB dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa,

2 6

2

D 2 2 A

C

2 2

4

B

Piramidin yüksekli¤i [TH] olsun. ABC dik üçgeninde pisagor ba¤›nt›s› uygulan›rsa, |AC| = 4ñ2 cm olur.

[TH] ⊥ [AC] olacak flekilde [TH] çizildi¤inde |AH| = |HC| = 2ñ2 cm olur.

2

2

2

(2ñ6) = (2ñ2) + |TH| 2

2

24 = 8 + |TH|

6 = |CH| + 3 ⇒ |CH| = 27 2

2

2

2

Düzgün dörtyüzlünün yüksekli¤i olan [TE], [CH] do¤ru parças›n› |CE| = 2|EH| olacak flekilde böler. (Çünkü E noktas› ABC üçgeninin a¤›rl›k merkezidir.) |CH| = 3ñ3 cm oldu¤una göre,

|EH| = ñ3 cm ve |CE| = 2ñ3 cm olur.

TEC dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa,

TAH dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa |TA| = |AH| + |TH|

2

|CH| = ò27 = 3ñ3 cm olur.

4

H

2

|BC| = |CH| + |HB|

2

2

2

2

|TC| = |TE| + |EC|

2

6 = |TE| + (2ñ3)

2

36 = |TE| + 12 ⇒ |TE| = 24

2

2

2

|TE| = ò24 = 2ñ6 cm bulunur.

2

16 = |TH| ⇒ |TH| = 4 cm bulunur. 2

Bir kare piramidin bir düzlemle oluflturdu¤u baz› ara kesitler:

örnek soru Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 6 cm olan düzgün dörtyüzlünün yüksekli¤inin kaç cm oldu¤unu bulal›m.

ara kesit

çözüm T

ara kesit

6

A 3

60°

2 3

H

3

C 30°

E 6

3

ara kesit B

Tüm yüzeyleri eflkenar üçgen olan piramide düzgün dörtyüzlü denir.

323

KATI C‹S‹MLER

Bir üçgen piramidin bir düzlemle oluflturdu¤u baz› ara kesitler:

Bir beflgen piramidin bir düzlemle oluflturdu¤u baz› ara kesitler:

ara kesit

arakesit

ara kesit arakesit

10.8

Piramitlerin yüzey alan› Bir piramidin yüzey alan›, piramidin taban alan› ile yan yüzeyleri oluflturan ügçensel bölgelerin alanlar› toplam›na eflittir.

örnek soru T

Kare Dik Piramidin Yüzey Alan› D

T

D

A

h C H

A

a

yüzey alan› = Taban Alan› + Yan yüzey alan› 2

B

Çad›r›n tepe noktas›n›n zemine uzakl›¤› ñ7 m oldu¤una göre, çad›r›n üretiminde kullan›lan ku2 mafl›n kaç m oldu¤unu bulal›m.

B

Taban ayr›t› |AB| = a ve yan yüz yüksekli¤i |TH| = h olan kare dik piramidin = a + 4.

C

çözüm 2

ABCD karesi için, Alan(ABCD) = 36 m ise, |AB| = 6 m olur. ABCD karesinin köflegen uzunlu¤unu bulmak için ABC dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa,

a⋅h 2

2

2

|AC| = |AB| + |BC|

T

2

2

|AC| = 6 + 6

= a + 2a. h ile bulunur. 2

6

⇒

|AC| = 72 3 2 6

3 2 H A

2

2

2

7 D

324

Kare piramit biçiminde bezden yap›lm›fl olan flekildeki çad›r›n üzerinde bulundu¤u zeminin 2 alan› 36 m dir.

B

C

|AC| = ò72 = 6ñ2 m olur. Dolay›s›yla |AH| = |HC| = 3ñ2 m dir.

KATI C‹S‹MLER

[TH] ⊥ [AC] oldu¤undan THC dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa, 2

2

|TC| = |TH| + |HC|

|TC| = ñ7 + (3ñ2) 2

2

2

2

|TC| = 7 + 18 ⇒ |TC| = 25 ⇒ |TC| = 5 m 2

olur.

2

T

çözüm Piramidin yüzey alan›, karesel bölge olan taban alan› ile 4 tane üçgensel bölgeden oluflan yan yüzeyinin alan›n›n toplam›d›r. O halde, Piramidin yüzey alan› = Taban alan› + Yanal alan 6 ⋅ 10 = 6. 6 + 4. 2 = 36 + 120 2

= 156 cm bulunur. 5

3

B

5

4

3

K

C

örnek soru

6

T

Çad›r›n üretiminde kullan›lan kumafl›n alan›, piramidin yan yüzeylerinin toplam alan›na eflit oldu¤una göre, kullan›lan kumafl›n alan› TBC üçgeninin alan›n›n 4 kat›na eflittir.

6

P. |BC|. |TK| = P. 6. 4

Alan(TBC) =

A

6

B

6

2

= 12 m

2 O halde, kullan›lan kumafl›n alan› 4. 12 = 48 m dir.

C

fiekilde, üç yüzeyi ikizkenar dik üçgen olan bir piramit verilmifltir. |TA| = |AB| = |AC| = 6 cm oldu¤una göre, bu pira2 midin yüzey alan› kaç cm dir?

örnek soru T T D D

6

B

10

H

C T H

A

A

çözüm

C

6

T

B

T

fiekilde bir kare piramit ile bu kare piramidin aç›n›m› verilmifltir. Piramidin taban›n›n bir kenar› 6 cm ve yan yüz yüksekli¤i 10 cm ise, piramidin yüzey alan› kaç 2 cm dir?

T¿AB, T¿AC ve B¿AC birbirine efl dik üçgenlerdir.

Dolay›s›yla |TB| = |TC| = |BC| olup T¿CB eflkenar üçgendir. TAB dik güçeninde pisagor ba¤›nt›s› uygulan›rsa, 2

2

|TB| = |TA| + |AB|

2

⇒ |TB| = 6 + 6 2

2

2

2

|TB| = 72

|TB| = ò72 = 6ñ2 cm olur.

Bu prizman›n 4 yüzeyi afla¤›da verilmifltir.|AH| = |HC| = 3ñ2 m dir.

325

KATI C‹S‹MLER

T

Bu piramidin yüzey alan› = 3 x A(TAB) + A(TCB)

T 6 2

6

Alan(TAB) =

6 2

6

| TA | ⋅ | AB | 6 ⋅ 6 2 = = 18 cm 2 2

TCB üçgeni eflkenar üçgen oldu¤undan alan› A

B

6

A

a2 3 (6 2)2 ⋅ 3 72 ⋅ 3 = = = 18 3 cm2 dir. 4 4 4

C

6

O halde piramidin yüzey alan› = 3. 18 + 18ñ3

T

B 6 2

6

A

6 2

= 54 + 18ñ3 cm

6 2

2

bulunur.

C

6

C

6 2

B

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 3 1, 2 / Genel Tekrar Testi 13 nolu sorular› hemen çözelim.

10.9

Dik piramidin hacmi çözüm

Q x Taban Alan› x Yükseklik = Q . (4 ). 6 = Q . 16. 6

Kare piramidin hacmi = Yükseklik

2

Taban

= 32 cm

Dik piramitlerin hacmini bulmak için taban alan› ile yüksekli¤ini çarpt›ktan sonra sonucu 3 e böleriz. Dolay›s›yla, bir dik piramidin hacmi, ayn› taban alan›na ve ayn› yüksekli¤e sahip olan prizman›n hacminin üne eflittir.

Q

Dik piramidin hacmi =

Q x Taban Alan› x Yükseklik

3

örnek soru 2

Bir kare piramidin yanal yüzey alan› 240 cm ve 2 taban alan› 144 cm oldu¤una göre, bu piramidin 3 hacmininin kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm örnek soru

T T

6 cm D

C H

A

4 cm

C 6

H A

B

fiekilde verilen kare piramidin taban ayr›tlar›ndan biri 4 cm, yüksekli¤i 6 cm oldu¤una göre, bu pira3 midin hacminin kaç cm oldu¤unu bulal›m.

326

10

D

6

12

K 6

B 2

2

Kare piramidin taban alan› a = 144 cm ise, a = 12 cm olur. Kare piramidin yanal alan›, birbirine efl dört tane üçgenin alanlar› toplam›d›r.

KATI C‹S‹MLER

Buna göre,

örnek soru

4. Alan(T¿BC) = 240 cm ise, 2

Alan(T¿BC) = 60 cm dir.

Alan(T¿BC) =

P . |BC|. |TK| 60 = P . 12. |TK| ⇒ |TK| = 10 cm bulunur. 2

2

2

|TK| = |TH| + |HK| 10 = |TH| + 6

2

A

6

B

2

100 = |TH| + 36 ⇒ |TH| = 64 ⇒ |TH| = 8 2

cm olur.

2 19

C

H noktas› taban›n a¤›rl›k merkezi ise, |HK| = 6 cm olur. THK dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa, 2

Taban› eflkenar üçgen olan flekildeki piramidin taban ayr›tlar› 6 flar cm, yan ayr›tlar›n›n her biri 2ò19 cm dir.

T

2

2

Buna göre, bu piramidin hacminin kaç cm oldu¤unu bulal›m.

Q x Taban Alan› x Yükseklik = Q . 144. 8

3

O halde piramidin hacmi =

= 48. 8 = 384 cm

3

çözüm

bulunur.

Piramidin hacmi ta-

T

ban alan› ile yüksekli¤inin çarp›m›-

örnek soru A

x A

D 6c

B

Q üne eflit ol-

du¤undan

önce

prizman›n yüksekli-

3 H 6

¤ini bulal›m.

2 3 30°

B

[BK] ⊥ [AC] olacak flekilde [BK] y› çizersek |AK| = |KC| = 3 cm ve |BK| = 3ñ3 cm olur. (Çünkü, ABC üçgeni eflkenar üçgen)

m

3 cm

K 3 3 60°

n›n

2 19

C

C 3

fiekildeki dik üçgen dik piramidin hacmi 12 cm oldu¤una göre, bu piramidin yüksekli¤inin kaç cm oldu¤unu bulal›m.

Piramidin cisim yüksekli¤i olan [TH], taban›n›n a¤›rl›k merkezine indi¤i için, H, ABC üçgeninin a¤›rl›k merkezidir. Dolay›s›yla |KH| = ñ3 cm, |HB| = 2ñ3 cm olur. THB dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa, 2

2

|TB| = |TH| + |HB|

2

⇒ (2ò19) = |TH| + (2ñ3) 2

⇒

çözüm Dik piramidin hacmi = 12 = 12 =

Q x Taban Alan› x Yükseklik 1 3⋅6 ⋅ ⋅ x 3  2 

Q

. 9. x ⇒ 12 = 3. x ⇒ x = 4 cm

O halde, piramidin yüksekli¤i 4 cm dir.

2

2

2

76 = |TH| + 12

64 = |TH| ⇒ |TH| = 8 cm bulunur. 2

O halde, piramidin hacmi = seklik =

Q x taban alan› x yük1 62 3 ⋅ ⋅8 3 4

= 24ñ3 cm bulunur.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 3 3, 5, 6 nolu sorular› hemen çözelim.

3

327

KATI C‹S‹MLER

10.10 Kesik

piramit, kesilen piramidin hangi k›sm›d›r? P

örnek soru ›

fiekildeki (P ABC) dik piramidi taban paralel bir düzlemde kesiliyor.

P h1 F

E

D

h2

F

D

C

E

C A

B A

›

(P ABC) piramidi tabana paralel bir düzlemde kesilirse, alt k›s›mda kalan parçaya kesik piramit denir. ›

›

Burada (P DEF) piramidi ile (P ABC) piramidi birbirinin benzeridir. Benzerlik oran›

| PD | | PE | | PF | h1 = = = = k ise, | PA | | PB | | PC | h2

alanlar oran› benzerlik oran›n›n karesi oldu¤undan Alan(DEF) = k2 dir. Alan(ABC)

Hacimler oran› ise benzerlik oran›n›n küpüdür. ›

›

(P DEF) piramidinin hacmi V1 ve (P ABC) piramidinin hacmi V2 ise,

V1

V2

= k3 tür.

B

Alan(DEF) 4 › = oldu¤una göre, (P DEF) piramidinin Alan(ABC) 25 ›

hacminin (P ABC) piramidinin hacmine oran›n›n kaç oldu¤unu bulal›m.

çözüm Alanlar oran› benzerlik oran›n karesi idi. Benzerlik oran› k al›n›rsa, Alan(DEF) 4 2 olur. = = k2 ⇒ k = Alan(ABC) 25 5 Hacimler oran› benzerlik oran›n küpü oldu¤undan  2 3 8 =  = bulunur. ı 5 125 V(P ABC)   ı V(PDEF )

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Genel Tekrar Testi 14 nolu soruyu hemen çözelim.

10.11 Koni Taban› bir daire ve tepesi bir nokta olan cisimlere koni denir. T

Dik Koninin Aç›n›m› T α

Tepe noktas› a

Yanal Alan

Yanal yüzey

Ana Do¤ru A

A

Eksen (koninin yüksekli¤i)

r O

B C

B

O Taban

Yukar›daki flekilde, taral› dairesel bölge koninin taban›, T noktas› koninin tepe noktas›, [TO] koninin ekseni ya da yüksekli¤i [TA], [TB] ve [TC] koninin ana do¤rusudur.

|TA| = a “Koninin ana do¤rusunun uzunlu¤u” |OB| = r “Koninin taban yar›çap›”

fiekildeki a, r ve α de¤erleri aras›nda a. α = r. 360°

ba¤›nt›s› vard›r.

328

B r

KATI C‹S‹MLER

örnek soru

çözüm 10

A

B

T

fiekle göre koninin ana do¤rusunun uzunlu¤u a = 5 cm

180°

Koninin taban yar›çap› r = 4 cm oldu¤una göre, a. α = r. 360° ⇒ 5. α = 4. 360° ⇒ 5. α = 1440 ⇒ a = 288° bulunur.

B r O

Bir koninin bir düzlemle oluflturdu¤u baz› arakesitler:

fiekilde bir koninin aç›n›m› verilmifltir. |AT| = 10 cm oldu¤una göre, koninin taban yar›çap›n›n r kaç cm oldu¤unu bulal›m.

arakesit

çözüm Koninin ana do¤rusu |AT| = a = 10 cm veriliyor. α = 180° oldu¤una göre, a. α = r. 360° ba¤›nt›s› kullan›l›rsa, 10. 180° = r. 360° ⇒ 2r = 10 ⇒ r = 5 cm olur. örnek soru T

B

A 5

arakesit

T

α

5

A

4

O

B

4 O

Yukar›daki flekilde bir koni ve bu koninin aç›n›m› verilmifltir.

Buna göre, α kaç derecedir?

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Genel Tekrar Testi 21 nolu soruyu hemen çözelim.

329

KATI C‹S‹MLER

10.12 Dik

dairesel koninin yüzey alan› çözüm

T

Alan formülünü uygulayabilmek için önce |TB| = a uzunlu¤unu bulmal›y›z. 720° a. α = r. 360° ⇒ a. 60° = 2. 360° ⇒ a =

a

a = 12 cm bulunur.

r

A

60°

B

O

O halde, aç›n›m› verilen koninin alan› = πr + π. a. r 2

= π2 + π. 12. 2 2

fiekilde verilen dik dairesel koninin yüzey alan›, yanal yüzeyin alan› ile taban dairesinin alan›n›n toplam›d›r.

= 28π cm

2

bulunur.

T α

örnek soru a

Ana do¤rusunun uzunlu¤u 10 cm ve yüksekli¤i 8 cm 2 olan dik dairesel koninin yüzey alan›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m. r 2 Koninin yanal yüzeyinin alan› = π. a .

taban alan› ise π. r ile hesaplan›r. 2

α ile 360°

çözüm T

O halde, dik dairesel koninin yüzey alan›: Taban alan› + Yanal alan = πr2 + πa2 ⋅

α 360°

Konide a, r ve α aras›nda a. α = r. 360° ba¤›nt›s›n›n oldu¤unu biliyorsunuz. Bu ba¤›nt› kullan›ld›¤›nda, koninin yanal yüzeyinin alan› π. a. r ifadesiyle de bulunur. Bu durumda dik dairesel koninin yüzey alan› : Taban alan› + Yanal alan = πr + π. a. r dir. 2

10

8

r

A

B

O

Koninin ana do¤rusunun uzunlu¤u |TB| = 10 cm ve yüksekli¤i |TO| = 8 cm veriliyor. TOB dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa, 2

2

|TB| = |TO| + |OB|

örnek soru

2

10 = 8 + r ⇒ r = 36 2

T

2

2

2

r = 6 cm bulunur.

60°

O halde, koninin yüzey alan›:

Taban Alan› + Yanal Alan = πr + π. a. r

a

2

= π. 6 + π. 10. 6 2

A

B

= 96π cm 2 O

Yukar›da aç›n›m› verilen dik dairesel koninin yü2 zey alan›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

330

2

bulunur.

KATI C‹S‹MLER

örnek soru

TOB dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa,

T

π cm ve taban alan› 25π π cm olan Yanal alan› 65π bir dik dairesel koninin yüksekli¤inin kaç cm oldu¤unu bulal›m. 2

2

2

13

h

2

2

13 = h + 5

çözüm Taban alan›:

2

|TB| = |TO| + |OB|

A

πr = 25π ⇒ r = 25 2

2

O

5

B

2

2

2

169 = h + 25 2

h = 144

r = 5 cm olur.

h = 12 cm bulunur.

/ = π/ . a. 5 Yanal alan 65π = π. a. r ⇒ 65 π

65 = 5a ⇒ a = 13 cm olur. Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 2 10 / Genel Tekrar Testi 20 nolu sorular› hemen çözelim.

10.13 Kesik

koni

Bir koni tabana paralel bir düzlemle kesildi¤inde, kesit ile taban düzlemi aras›nda kalan cisme kesik koni denir.

çözüm T

Kesite üst taban; iki taban aras›ndaki uzakl›¤a kesik koninin yüksekli¤i denir. üst taban

D

O2

O2

12 5

13 C 13

12 h

yükseklik A

O1

10

B

O1

[O2C] // [O1B] oldu¤undan T¿O2C, T¿O1B dir.

alt taban

Buna göre,

örnek soru

| TO2 | | TC | | O2C | 1 olur. = = = | TO1 | | TB | | O1B | 2

Dolay›s›yla |TO2| = |O1O2| = 12 cm ve |O2C| = 5 cm dir.

T

Pisagor ba¤›nt›s›yla |TC| = |CB| = 13 cm bulunur. (5 — 12 — 13 üçgeni) D

O2

Kesik koninin yanal alan›, büyük koninin yanal alan›ndan küçük koninin yanal alan›n›n ç›kar›lmas›yla bulunur.

C

Büyük koninin yanal alan›

A

O1

πra = π. |O1B|. |TB| = π. 10. 26 = 260π cm

2

B

Yar›çap› |O1B| = 10 cm ve yüksekli¤i |TO1| = 24 cm olan dik koni fleklindeki içi dolu bir cisim, yüksekli¤inin orta noktas›ndan tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Oluflan kesik koninin yanal alan›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

2

Küçük koninin yanal alan›

πra = π. |O2C|. |TC| = π. 5. 13 = 65π cm

2

O halde, kesik koninin yanal alan› 260π — 65π = 195 π cm bulunur. 2

331

KATI C‹S‹MLER

10.14 Dik

dairesel koninin hacmi TOB dik üçgeninde teoremi ba¤›nt›s› kullan›l›rsa, 2

2

|TB| = |TO| + |OB| 2

2

6 =h +3

Yükseklik

2

2

36 = h + 9 ⇒ h = 27 2

2

h = ò27

= 3ñ3 cm olur.

Taban

Dik piramidin hacminde oldu¤u gibi dik dairesel koninin de hacmi bulunurken taban alan› ile yükseklik çarp›ld›ktan sonra sonuç 3 e bölünür.

Buna göre, koninin hacmi = seklik =

Q x Taban alan› x YükQ . π . 3 . 3 ñ3 2

= 9ñ3π cm

Dolay›s›yla, bir dik dairesel koninin hacmi ayn› taban ve ayn› yüksekli¤e sahip olan silindirin hacminin üne eflittir.

3

bulunur.

Q

O halde koninin hacmi = Yükseklik =

Q

x Taban alan› x

örnek soru

Q . πr . h

A

2

örnek soru

B

C T

A

6

D

B

180° T

fiekildeki dik koninin yüksekli¤inin yar›s›na kadar su ile doldurulmas› 10 dakika sürmüfltür.

r

3

fiekilde aç›n›m› verilen koninin hacminin kaç cm oldu¤unu bulal›m.

Buna göre, koninin kalan k›sm›n›n ayn› h›zla su ile doldurulmas›n›n kaç dakika sürece¤ini bulal›m.

çözüm çözüm

Önce a. α = r. 360° eflitli¤ini kullanarak koninin taban yar›çap›n› bulal›m. 6. 180° = r. 360° ⇒ r = 3 cm olur.

O1

A

C

O2

B

D

Soruyu cevaplamak için bofl k›sm›n hacminin dolu k›sm›n hacmine oran›n› bilmeliyiz.

[O1B] // [O2D] oldu¤undan

T

T¿O2D ∼ T¿O1B dir. 6

h

O

3

T

B

Benzerlik oran› | TD | = 1 oldu¤undan, koninin dolu k›s| TB | 2  1 3 1 k›sm›n›n hacminin koninin hacmine oran›   = dir. 2 8 (Çünkü hacimler oran› benzerlik oran›n›n küpüdür.)

332

KATI C‹S‹MLER

Bu durumda dolu k›sm›n hacmi V al›n›rsa, tüm koninin hacmi 8V, bofl k›sm›n hacmi 7V olur. Hacmi V olan k›sm›n doldurulmas› 10 dakika sürdü¤üne göre, hacmi 7V olan k›sm›n doldurulmas› 70 dakika sürer.

örnek soru ABC dik üçgen

A 6

çözüm ABC dik üçgeninde pisagor uygulan›rsa,

A

2

10

6

C

B

|AB| = 6 cm

B

2

|BC| = 8 cm

|AC| = 10 cm

10

2

10 = 6 + |BC|

ABC üçgeninin [BC] etraf›nda 360° döndürülmesi sonucunda taban yar›çap› 6 cm yüksekli¤i 8 cm olan koni elde edilir.

Taban Alanı x Yükseklik 3 36π ⋅ 8 = = 96π   cm3 tür. 3

Hacim =

C

Yukar›daki verilere göre, ABC üçgeninin [BC] etraf›nda 360° döndürülmesi ile oluflan geomet3 rik fleklin hacminin kaç cm oldu¤unu bulal›m.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 2 9, 11 / Genel Tekrar Testi 22 nolu sorular› hemen çözelim.

10.15 Küre Uzayda sabit bir noktadan eflit uzakl›kta bulunan noktalar›n kümesine, küre yüzeyi; küre yüzeyi ile s›n›rlanan cisme de küre denir. Sabit noktaya kürenin merkezi, sabit uzakl›¤a da kürenin yar›çap uzunlu¤u denir. Kürenin iki noktas›n› birlefltiren [CD] na, kürenin bir kirifli; merkezden geçen her kirifle, kürenin çap› denir. fiekilde, [AB] kürenin çap›d›r. Yar›çap uzunluklar› eflit olan kürelere, efl küreler denir.

örnek soru Yar›çap› 10 cm olan bir küre, merkezinden 8 cm uzaktan bir düzlemle kesiliyor. Düzlemle kürenin oluflturdu¤u ara kesit dairesinin 2 alan›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm B

Merkezi O ve çap› AB do¤ru parças› olan çembere de kürenin büyük çemberi denir.

A

8 O

10

D C

[AB] oluflan ara kesit dairesinin yar›çap›d›r. A

O

r

B

OAB dik üçgeninde pisagor teoremi uygularsak, 2

2

|OA| = |OB| + |AB|

2

10 = 8 + |AB| ⇒ |AB| = 36 ⇒ |AB| = 6 cm olur. 2

2

2

2

O halde, oluflan ara kesit dairesinin alan› = πr

2

= π6

2 2

= 36π cm bulunur.

333

KATI C‹S‹MLER

10.16 Kürenin

yüzey alan› O halde verilen kab›n toplam yüzey alan›: = 64π + 160π 2

= 224π cm bulunur.

r

O

örnek soru Yar›çap› r olan kürenin yüzey alan›, en büyük dairesinin alan›n›n 4 kat›d›r. Buna göre, kürenin yüzey 2 alan› = 4. π. r dir.

Taban yar›çap› 15 cm, yüksekli¤i 36 cm olan bir dik koninin içine yüzeylere te¤et olacak flekilde bir küre yerlefltirilmifltir. 2

Buna göre, bu kürenin yüzey alan›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

örnek soru π cm olan bir kürenin en büyük Yüzey alan› 100π dairesinin çevresi kaç cm dir? 2

çözüm T

çözüm

Kürenin yüzey alan› = 4. π. r = 100/π = 4. π/ . r 2

100 = 4. r = 25 = r 2

2

2

24

⇒ 5 cm = r

O halde, en büyük dairenin çevresi = 2. π. r

= 2. π. 5 = 10π cm

N

r M

bulunur.

15

r A

örnek soru

O

B

15

Koninin yüksekli¤i |TO| = 36 cm ve 20 cm 4 cm

yar›çap› |OB| = 15 cm oldu¤undan 4 cm

4 cm

TOB dik üçgeninde pisagor teoremi uygulan›rsa 4 cm

4 cm

4 cm

|OB| = |NB| oldu¤undan |NB| = 15 cm, dolay›s›yla

Yukar›da, uçlar› yar›m küre fleklinde olan silindirik bir boya kab› veriliyor. 2

Bu kab›n yüzey alan›n›n kaç cm oldu¤unu bulal›m.

çözüm Kab›n yüzey alan›, iki tane yar›m kürenin yüzey alan› ile bir silindirin yan yüzeyinin alan›n›n toplam›d›r. ‹ki yar›m küre, bir tam küreye eflit oldu¤undan küre2 2 sel yüzeylerin alanlar› toplam› = 4. π. r = 4. π. 4 Silindirik yüzeyin alan› = 2πr. h

= 64π cm

|TB| = 39 cm bulunur.

2

dir.

|TN| = 39 — 15 = 24 cm olur. T¿MN ~ T¿BO oldu¤undan

| MN | | TN | r 24 = ⇒ = | BO | | TO | 15 36 ⇒

r 2 = 15 3

⇒ 3r = 30

⇒ r = 10 cm olur.

O halde, kürenin yüzey alan› 4πr = 4π. 10 = 400π 2 cm bulunur.

= 2. π. 4. 20 2

= 160π cm dir.

334

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 3 8 nolu soruyu hemen çözelim.

2

2

KATI C‹S‹MLER

10.17 Kürenin

hacmi çözüm

P . m . π. r = P . m . π. 6

O

3

Yar›m küre fleklindeki kab›n hacmi =

r

= 144π cm

Yar›çap› r olan kürenin hacmi lunur.

m . π. r

Kaba b›rak›lan kürenin hacmi = 3

3

3

m . π. r = m . π. 3 3

= 36π cm

ifadesiyle bu-

3

3

3

O halde, kapta 144π — 36π = 108π cm su kal›r.

örnek soru Yar›çap› 6 cm olan yar›m küre fleklindeki bir kap su ile doludur.

Bu kaba yar›çap› 3 cm olan bir demir bilye b›rak›l3 d›¤›nda kapta kaç cm su kalaca¤›n› bulal›m. Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 3 9, 10, 12 nolu sorular› hemen çözelim.

335

BU KONUDA ÖZETLE... Konuların ve Kavramların Özeti 1. Dikdörtgenler Prizmas› b

5. Kare Piramit

Hacim = Taban alan› x Yükseklik

K

= a.b.c

c

Alan = 2(ab + ac + bc)

Cisim =|KL|= a2 + b2 + c2 köflegeni

4

L

h›

h

3

a

b

4

c

4

4

2

a

1

a

2. Küp 3

Hacim =

Hacim = Taban alan› x Yükseklik = a 2

a Alan = 6a

=

Cisim 2 2 2 köflegeni =|KL|= a +a +a =a 3

a

1

x Taban alanı x Yükseklik

3 1 3

2 x a ⋅h

2 Alan = a + 4 ⋅

a

a ⋅ hı 2

= a2 + 2ahı

3. Dik Üçgen Dik Prizma Hacim = Taban alan› x Yükseklik

a b

c

= h

6. Koni

b⋅c ⋅h 2

T

T

a a

Alan = bc + (a + b + c).h A

a

h O

A

r

α

πra

a

B r O

B

1 x Taban alan› x Yükseklik 3 1 . 2. = πr h 3

Hacim =

4. Silindir

Alan = πra + πr

D

D

C

2

a. α = r. 360° (a, α ve r aras›ndaki ba¤›nt›)

D C h

A

2πr 64444744448

B

O r

A

B O r

Hacim = Taban alan› x Yükseklik = πr . h 2

2

Alan = 2πrh + 2πr

336

7. Küre

A

Hacim = O

r

4 3 πr 3 2

Alan = 4πr

A

Ö⁄REND‹KLER‹M‹Z‹ TEST EDEL‹M Kavrama Testi 1

( 10.1 - 10.1 )

Kavrama Testi 2

( 10.2 - 10.5 )

Kavrama Testi 3

( 10.6, 10.11 - 10.14 )

Kavrama Testi 4 Genel Tekrar Testi

( 10.7, 10.10 - 10.15, 10.17 ) ( 10.1 - 10.17 )

S›navlarda (ÖSS-ÖYS-YGS-LYS) Sorulmufl Sorular S›navlarda Sorulabilecek Sorular

337

1

KAVRAMA TEST‹ 1.

2.

Önden görünüm

Ön

Sa¤dan görünüm

Yukar›daki flfleekilde ortografik çizimleri verilen yap› n›n izometrik zemine çizimi aflflaa¤›dakilerden hangisi dir?

15 adet birim küpten oluflfltturulan flfleekildeki yap›n›n dik görüntü (ortografik) çizimleri aflflaa¤›dakilerden hangisidir?

A)

A)

Önden görünüm

Sa¤dan görünüm

B)

Ön

Üstten görünüm

B)

Ön

C)

Önden görünüm

Sa¤dan görünüm

Üstten görünüm

D)

Ön

Üstten görünüm

Ön

C)

E)

Önden görünüm

Sa¤dan görünüm

Üstten görünüm

Ön

D)

Önden görünüm

Sa¤dan görünüm

Üstten görünüm

3.

E)

Önden görünüm Önden görünüm

Sa¤dan görünüm

Üstten görünüm

Yukar›daki flfleekilde iki yönden ortografik çizimi veri len yap›da kaç adet birim küp kullan›lm›flfltt›r? A) 12

338

Üstten görünüm

B) 14

C) 16

D) 18

E) 20

KATI C‹S‹MLER

4.

7.

Ön Yukar›da verilen yap›ya en az kaç birim küp eklenir se, küp flfleeklinde bir yap› elde edilir? A) 11

5.

B) 12

C) 13

D) 14

Y u k a r › d a v e r i le n y a p › n › n s a ¤ ta r a f ›, y a p › n › n ö n t a r a f › olsayd›, görünümü aflflaa¤›dakilerden hangisi olurdu?

E) 15

A)

B)

C)

D)

Aflflaa¤›da verilen cisimlerden hangisinde kullan›lan k ü p s a y › s › d i ¤ e r l e r in d e n f a r k l › d › r ?

A)

B)

C)

D)

E)

E) 8.

Bir yap›n›n üstten görünümü ve bu yap›y› oluflturmak için kullan›lan küp say›s› yandaki flekilde verilmifltir.

4 1 3

2

Buna göre, bu yap›n›n sa¤dan görünümü aflflaa¤›daki l e r d e n h a n g i si d i r ?

A)

6.

Üstten görünüm

Sa¤dan görünüm

Önden görünüm

B)

D)

C)

E)

Y u k a r › d a ü s t t e n , s a ¤ d a n v e ö n d e n g ö r ü n ü m ü v e r i le n cisimde kaç tane küp kullan›lm›flfltt›r? A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12 A / B-C / C-D-C / B-D

339

2

KAVRAMA TEST‹ 1.

Yüzey köflfleegeni 4 ñ2 cm olan küpün tüm ayr›tlar›n›n u z u n lu k l a r › t o p l a m › k a ç c m d i r ? A) 48

B) 60

C) 72

D) 84

4.

H

fiekildeki dikdörtgenler prizmas›nda

C

|AB| = 15 cm

F

E

D) 96

G

D

4 A

8

B

15

|BC| = 8 cm |AE| = 4 cm 2

Yukar›daki verilere göre, Alan(HFB) kaç cm dir? A) 30

2.

H

B) 34

C) 42

D) 50

E) 56

G

E

F D

A

5.

C

Buna göre, Alan(ACG) kaç cm dir? E) ñ2

D) 2ñ2

3.

F

C 24

A

B

|AB| = 24 cm |BC| = 10 cm 2

C) 2ñ3

Yukar›daki verilere göre, Alan(AFGD) kaç cm dir? A) 250

B) 240

6.

C) 230

D) 220

E) 210

Bir ayr›t› 6 cm olan flekildeki küpün bir köflesinden bir ayr›t› 2 cm olan bir küp ç›kar›l›yor.

6

12

2

E

D

fiekildeki dikdörtgenler prizmas›nda |AE| = 7 cm

D 10

2

B) 3ñ3

F

7

fiekildeki küpün bir kenar› 2 cm dir.

A) 4

G

E

B

2

H

10 C A

B

fifieekildeki dik üçgen dik prizmada |EF| = 12 cm, 2 |EB| = 10 cm ve Alan(ABED) = 150 cm oldu¤una göre, bu prizman›n tabanlar›n›n alanlar› toplam› kaç 2 cm dir? A) 84

340

B) 96

C) 108

D) 120

E) 132

miflflttir? Buna göre, küpün yüzey alan› nas›l de¤iflflm 2

2

A) 12 cm artm›flt›r.

B) 6 cm artm›flt›r.

C) De¤iflmemifltir.

D) 6 cm azalm›flt›r.

2

2

E) 12 cm azalm›flt›r.

KATI C‹S‹MLER

7.

H

10.

G

E 8 D 24

A

x

B

L

C K

4

L

2ñ5 K

fiekildeki dikdörtgenler prizmas› ile bir ayr›t› 4 cm olan küpün hacimleri eflittir.

Yukar›daki flekilde bir küpün aç›n›m› verilmifltir.

5 cm oldu¤una göre, bu küpün hacmi kaç |KL| = 2ñ5 3 cm tür?

D ik d ö r tg e n l e r p r iz m a s › n d a | A B | = 2 4 c m v e | C G | = 8 c m o l d u ¤ u n a g ö r e , | B C | = x k a ç c m di r ? A)

1 3

B)

1 2

C) 1

D)

3 2

A) 8

E) 2

B) 16ñ2 C) 27

D) 32ñ2 E) 64

11.

8.

fiekildeki kare prizmada 3

H

G

F

E D A

B

6

3

C |BC| = |GC| = 3 cm

|AB| = 6 cm

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , p r i z m a n ›n h a c m i k a ç c m tür? A) 36

B) 42

C) 48

D) 54

3

fiekilde taban ayr›tlar› 5 cm olan bir kare dik prizma verilmifltir.

E) 60

2

Kare dik prizman›n yüzey alan› 290 cm oldu¤una g ö r e , y ü k s e k li ¤ i k a ç c m d i r ? A) 8

9.

F

D

B) 9

C) 10

D) 12

E) 15

12. T

E

S A

R

P C

5

5

16 N

5

2

D

B

M

13 A

x

B

K

4

L

Yüksekli¤i 16 cm olan flekildeki ikizkenar dik üçgen dik prizman›n hacmi ile bir ayr›t› 4 cm olan küpün hacmi eflittir. Bu n a g ö r e , | A B| = x k a ç c m d i r ? A) 2ñ2

B) 4

C) 4ñ2

D) 6

E) 6ñ2

C

Yukar›daki flekilde bir kare dik prizman›n aç›lm›fl flekli görünmektedir.

2 c m v e | CD | = 1 3 c m o l d u ¤ u n a g ö r e , b u |AB| = 5ñ2 3 prizman›n hacmi kaç cm tür? A) 240

B) 280

C) 300

D) 320

E) 360

A-D-C / B-A-C / A-D-B / A-D-C

341

3

KAVRAMA TEST‹ 1.

Yanal alan› 160π cm olan dik silindirin taban çap› 1 0 c m o l d u ¤ u n a g ö r e , y ü k s e k l i¤ i k a ç c m d i r ? 2

A) 10

B) 12

C) 15

D) 16

5.

fiekildeki dik silindirin içerisinde MOKL dikdörtgeni verilmifltir.

K L

E) 18

Alan(MOKL) = 75 cm

2

O M

2.

Hacmi 300π cm olan bir dik silindirin yüksekli¤i 12 cm ol du¤ una gör e, t ab an yar › çap › ka ç c m di r ?

O ve K nok t al ar › t ab an da i rel e ri ni n me rk ezl e ri ol 2 du¤una göre, silindirin yanal alan› kaç cm dir?

A) 2A

A) 120π

3

B) 3

3.

C) 2C

C

D) 4

E) 5

D

B) 150π C) 175π

6.

ABCD dikdörtgen

C

D

|AB| = 12 cm 4

A

A

B

Yukar›da verilen dik silindirin içerisinde 50π cm su 3 vard›r. Bu silindir içerisine 40π cm daha su ilave edilirse suyun yüksekli¤i 9 cm oluyor. 3

D) 225π E) 300π

|BC| = 4 cm

B

12

ABCD dikdörtgeni [AD] kenar› etraf›nda 360° dön 2 dürülürse oluflflaan silindirin yüzey alan› kaç cm dir? A) 384π

B) 372π C) 360π

D) 348π E) 336π

B u n a g ö r e , i l k du r u m d a s u y u n y ü k s e k l i ¤ i k a ç c m d i r ? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

7. 4.

B

C

O

A

|BC| = |AB| ve küçük silindirin hacmi 30π cm oldu 3 ¤una göre, büyük silindirin hacmi kaç cm tür? 3

342

B) 260π C) 280π

4

F

A D

fiekilde taban merkezi O noktas› olan dik silindirin içine taban çap› [OA] olan bir dik silindir yerlefltirilmifltir.

A) 240π

x

9

B

O

L

D) 300π E) 320π

E

12

6

Yukar›daki flekilde taban merkezi O noktas› olan silindir tamamen su ile doludur. Bu su, taban ayr›tlar› 12 cm ve 6 cm olan bir dikdörtgenler prizmas›n›n içine boflalt›ld›¤›nda su L noktas›na kadar yükseliyor. | O A| = 4 c m v e | AB | = 9 c m o l d u ¤ u n a g ö r e , | L F | = x k a ç c m d ir ? A) 2π

B)

3π 2

C) π

D)

π 2

E) π 3

KATI C‹S‹MLER

8.

O2

fiekildeki dik silindirden taban merkez aç›s› 120° olan bir parça kesilerek ç›kart›lm›flt›r.

C

11.

ABC dik üçgen

A

[AC] ⊥ [BC] |AC| = 9 cm

15

9

|BC| = 4 cm

6

O1

B

120°

B

A

|O1B| = 6 cm , |BC| = 15 cm

C

4

Buna göre, kalan k›sm›n hacmi kaç cm tür?

AB C ü ç g e n i [ A C] k e n a r › e t r a f › n d a 3 6 0 ° d ö n d ü r ü l ü r s e 3 oluflflaan cismin hacmi kaç cm tür?

A) 280π

A) 48π

3

B) 320π D) 400π

9.

C) 360π

B) 42π

C) 36π

D) 30π

E) 24π

E) 480π

12.

fiekildeki dik konide

A

|AC| = 2ò10 cm |OC| = 2 cm

2ò10

h1

h2 3r

2r O

B

2

fiekildeki yüksekli¤i h1 ve yar›çap› 2r olan silindir ile yüksekli¤i h2 ve yar›çap› 3r olan koninin hacimleri eflittir. h1

C 3

Yukar›daki verilere göre, koninin hacmi kaç cm tür? A) 8π

B) 9π

C) 12π

D) 15π

Buna göre,

E) 18π

A)

10.

Yandaki yar›m koni, bir dik koninin tepe noktas›ndan geçen ve tabana dik olan bir düzlemle kesilmesinden elde edilmifltir.

T

3 2

h2

B)

4 3

13.

oranı kaçtır?

C)

5 4

D)

4 5

E)

3 4

Silindir biçimindeki bir barda¤›n içine, taban› ve yüksekli¤i barda¤›nkine eflit olan dik bir koni flekildeki gibi yerlefltirilmifltir.

B 6 O A 2

| O B| = 6 c m v e t a r a l › T A B ü ç g e n i n i n a l a n › 4 8 c m 2 ol du¤ una g öre , ya r› m k oni ni n yüz ey al a n› ka ç cm dir? A) 24 + 78π

B) 24 + 60π

D) 48 + 60π

C) 48 + 78π

E) 48 + 48π

Bardak baflflllang›çta su ile dolu oldu¤una göre, taflflaan suy un h acm i ka l an s uyun ha cmi ni n ka çt a kaç › d› r? A)

Q

B)

P

C)

b

D)

a

E)

g

D-E-C-A / B-A-A / C-A-E / A-E-B

343

4

KAVRAMA TEST‹ 1.

fiekildeki piramidin tüm ayr›tlar› efl uzunluktad›r.

D

4.

A 3

C B

O

A

4

fiekilde O merkezli yar›m küreden O merkezli koni ç›kar›l›yor.

B

| O A| = 3 c m o l d u ¤ u n a g ö r e , k a l a n h a c i m k a ç c m tür?

|A B | = 4 cm ol du ¤un a g öre , pi r ami di n yü ze y a l an› 2 kaç cm dir? A) 32C

B) 24C C) 20C

A) 9π

D) 16C E) 12C

B) 10π

5.

C) 12π

D) 15π

H

D

3

F

D

fiekilde tüm ayr›tlar› birbirine eflit olan kare dik piramit verilmifltir.

T

E) 18π

G

E

2.

3

C 4

A

B

8

Boyutlar› 3 cm, 4 cm ve 8 cm olan dikdörtgenler prizmas›ndan (E, AFH) piramidi kesilip al›n›yor.

C

3

Buna göre, kalan k›sm›n hacmi kaç cm tür? A

B

A) 56

B) 60

C) 68

D) 72

E) 80

Çevre(ABCD) = 24 cm oldu¤una göre, piramidin 2 yanal alan› kaç cm dir? A) 36ñ3

B) 32ñ3 D) 24ñ3

C) 28ñ3 E) 20ñ3

T

6. D A

3.

2

B i r d i k p i r a m i d i n t a b a n a l a n › 1 8 c m v e y ü k se k l i ¤ i 8 3 cm oldu¤una göre, hacmi kaç cm tür? A) 144

344

B) 120

C) 96

D) 60

E) 48

fiekildeki kare dik piramitte 10 B

H

C

[TH] ⊥ [BC] |TH| = 10 cm

2

Piramidin yanal alanı 240 cm olduğuna göre, hac3 mi kaç cm tür?

A) 336

B) 360

C) 384

D) 408

E) 432

KATI C‹S‹MLER

7. E

3

6

H

M

K

6

G 1

F

|AB| = 12 cm

10.

|BL| = 2 cm |AE| = 6 cm

D

A

L2

C

B

12

O

A

|BC| = 3ñ5 cm 3ñ5

C

3

Buna göre, kalan cismin hacmi kaç cm tür? C) 208

|OC| = 2|OB|

|EK| = 6 cm

fiekildeki dikdörtgenler prizmas›ndan üçgen piramit kesilip ç›kar›l›yor.

B) 200

B

|EH| = 3 cm

|MG| = 1 cm

A) 192

fiekilde yar›m küre ile bir dik koni verilmifltir.

D) 216

Yukar›da verilenlere göre, tüm flfleeklin hacmi kaç cm tür?

E) 224

A) 54π

B) 48π

11.

D

C) 42π

5

D) 36π

3

E) 30π

C

3

8.

Yüzey alan› 256π cm olan kürenin çap› kaç cm dir? 2

A) 6

B) 7

C) 8

D) 12

A

E) 16

B

E

fiekilde ABCD dikdörtgeni ve B merkezli çeyrek çember verilmifltir. Yukar›daki flfleekil [AE] etraf›nda 360° döndürüldü¤ün 3 de oluflflaan cismin hacmi kaç cm tür? A) 63π

B) 75π

C) 81π

D) 87π

E) 96π

12.

9.

O

O

V i kesilip ç›kar›lan O merkezli bir küre ve-

fiekildeki küre merkezinden 3 cm uzakl›kta bir düzlemle kesiliyor.

fiekilde rilmifltir.

Oluflflaan arakesitin alan› 27π cm oldu¤una göre, kü 3 renin hacmi kaç π cm tür?

Kalan k›sm›n hacmi 252π cm oldu¤una göre, küre n in y a r › ç a p › k a ç c m d i r ?

A) 270

A) 3

2

B) 288

C) 306

D) 324

E) 342

3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 8

D-A-E / A-E-C / C-E-B / D-A-D

345

GENEL TEKRAR TEST‹ 1.

3 c m o l a n b ir k ü p ü n Cisim köflfleegeninin uzunlu¤u 3ñ3 2 yüzey alan› kaç cm dir? A) 72

B) 66

C) 60

D) 54

4.

1

2

3

fiekilde bir küpün aç›n›m› verilmifltir.

4

E) 48

5

fifieekil kapat›l›p küp haline getirildi¤inde taral› yüzeyin karflfl››s›na numaraland›r›lm›fl yüzeylerden hangisi ge lir?

2.

A) 1

F

6

B) 2

D) 4

E) 5

6 E

D

10

5.

C

G

H F

E A

B

x

K 6

2

B) 6

C) 7

D) 8

A

fiekilde |BC| = 8 cm

10

Yanal alan› 190 cm olan flfleekildeki üçgen dik priz m a d a | F D| = | F E | = 6 c m v e | E B | = 1 0 c m o ld u ¤ u n a g ö r e , | AB | = x k a ç c m d i r ? A) 5

C) 3

|AB| = 24 cm C

D 24

B

8

|EK| = 10 cm |KA| = 6 cm

Yukar›da verilen dikdörtgenler prizmas› fleklindeki kapta 6 cm yüksekli¤inde su bulunmaktad›r.

E) 9

Bu kap, taban› BCGF olacak flfleekilde çevrilirse suyun y ü k s e k li ¤ i k a ç c m o l u r ? A) 9

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

6. 3.

H

G F

E

fiekildeki dikdörtgenler prizmas›nda |AB| = 3 cm

8 D

C

|BC| = 2 cm

3

|AE| = 8 cm

8

2 A

3

B

Yukar›daki verilere göre, dik prizman›n yüzey alan› 2 kaç cm dir? A) 120

346

B) 114

C) 108

D) 100

E) 92

Bir ayr›t› 8 cm olan bir küpten taban ayr›tlar› 3 er cm ve yüksekli¤i 8 cm olan bir kare dik prizma oyularak küpten ç›kar›l›yor. 2

Geriye kalan cismin yüzey alan› kaç cm dir? A) 422

B) 430

C) 442

D) 450

E) 462

KATI C‹S‹MLER

7.

H

fiekildeki dikdörtgenler prizmas›nda

G

D

x

B

B

B) 2

C) ñ3

D) ñ2

40

12

C

Taban ayr›tlar›ndan biri 12 cm ve yüksekli¤i 40 cm olan eflkenar üçgen dik prizma biçimli kap, su ile doldurulup flekildeki gibi yerlefltirildi¤inde, su seviyesi [LK] n›n hizas›nda oluyor.

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , | AB | = x k a ç c m d i r ? A) 2ñ2

E

K

4 A

F

L

|BG| = 8 cm

C

M

A

|BC| = 4 cm

8 7

D

|BE| = 7 cm

F

E

10.

E) 1

| A L | = | L B | o ld u ¤ u n a g ö r e , b u k a p A B C y ü z e y i y e r e gelecek flfleekilde çevrildi¤inde suyun yüksekli¤i kaç cm olur? A) 24

8.

B) 28

11.

E

fiekildeki 15 birim küple oluflturulmufl cismin tüm yüzeyleri bir kat karton ile kaplanm›flt›r.

C) 54

D) 58

A

B

B u p r i z m a n › n a l t v e ü s t t a b a n ›n ›n a l a n l a r › t o p la m › 2 3 8ñ3 cm oldu¤una göre, hacmi kaç cm tür?

E) 60

A) 36ñ3

9.

B) 30ñ3 C) 28ñ3

D) 24ñ3 E) 20ñ3

2 C

D

12.

fiekildeki dik üçgen dik piramitte

A

10 10 A

E) 35

C

Buna göre, bu ifl için kaç birimkare karton kullan›l m›flfltt›r? B) 52

D) 32

fiekildeki eflkenar üçgen dik prizman›n yüksekli¤i taban çevresinin yar›s›na eflittir.

F D

A) 50

C) 30

16

[AB] ⊥ [BC]

D

[AB] ⊥ [BD]

15

B

B

12

C

[DB] ⊥ [BC]

|AB| = 10 cm

Kenarlar› 10 cm ve 16 cm olan dikdörtgen fleklindeki bir kartonun köflelerinden bir kenar› 2 cm olan kareler kesiliyor.

|BC| = 12 cm |DC| = 15 cm

K al an k › s› m k › rm› z › ç i zgi l e r boyu nca k at l a nd› ¤› nd a 3 elde edilen üstü aç›k prizman›n hacmi kaç cm tür?

Y uka r› da ki ve ri l ere gör e, pi ra mi di n ha cm i k aç cm tür?

A) 120

A) 168

B) 132

C) 144

D) 156

E) 168

B) 180

C) 192

D) 204

3

E) 216

347

KATI C‹S‹MLER

13.

fiekildeki kare dik piramitte

T

16.

fiekildeki dik silindirde

B

|TA| = 17 cm |AB| = 16 cm

17 D

A

|AB| = 12 cm 12

16

B) 760

C) 752

14.

D) 744

D

A) 30

B) 45

C) 50

D) 60

E) 75

E) 736

17.

C B

A

Yüksekliklere ve taban merkezleri ayn› olan iç içe iki dik silindirden içteki su ile doludur. ‹çteki silindir taban›na yak›n bir noktadan deliniyor ve ara bölmeye olan su ak›fl›, su seviyesi sabitleninceye kadar devam ediyor.

K

fiekildeki gibi ters çevrilmifl olan kare dik piramit biçimli kap yüksekli¤inin yar›s›na kadar su doldurulmufltur. Buna göre, kab›n bofl k›sm›n›n hacmi dolu k›sm›n›n h a c m i n i n k a ç k a t ›d › r ? A) 2

A

Yukar›da tamam› su dolu verilen silindir taban düzle mi ile kaç derecelik aç› yapacak flfleekilde e¤ilirse için dek i suy un yar› s› dökül ür?

B

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , p i r a m i d in y ü z e y a l a n › k a ç 2 cm dir? A) 768

6

O

C

|OA| = 6 cm

B) 4

C) 6

D) 7

B üyü k si l i ndi ri n y ar › çap › k üç ük si l i ndi r i n ya r› ça p› n› n 4 kat› oldu¤una göre, yeni su seviyesi silindirin yük s e k l i ¤ in i n k a ç k a t ›d › r ?

E) 8

A)

1 8

B)

1 9

C)

1 12

D)

1 16

E)

1 18

15.

18. 8 3

E

B u n a g ö r e , s u s e v i y e s i k a ç c m y ü k s e li r ?

348

2 π

B)

3 π

C)

4 π

D)

3 2π

E)

3 4π

|DE| = 8 cm C

12

Taban yar›çap› 3 cm olan dik silindirin içerisinde 5 cm yüksekli¤inde su vard›r. Silindirin içerisine bir ayr›t› 3 cm olan küp fleklinde bir demir cisim at›l›yor.

A)

fiekildeki dik silindirde

D

5

|AE| = 12 cm

A

B

Y u k a r › d a k i s i li n d i r d ü z k o n u m a g e t i r i l d i ¤ in d e s u y u n y ü k s e k li ¤ i k a ç c m o l u r ? A) 13

B) 14

C) 15

D) 16

E) 17

KATI C‹S‹MLER

19.

fiekildeki dik koninin içerisine bir dik silindir yerlefltirilmifltir.

K

fiekildeki dik koniye su doldurulmaktad›r. Koninin yüksekli¤i 5h dir. 2h

|KB| = |BD|

B

A

22.

3h O

C

D

3 h l › k y ü k s e k l i ¤ e k a d a r s u d o l d u r u lm a s › 2 7 d a k i k a sür dü¤ üne g öre , k oni ni n g eri ka l an k › sm› ka ç dak i ka da dol a r?

K o n i i l e s i l i n d ir i n t a b a n m e r k e z l e r i O n o k t a s › o ld u ¤ u n a g ö r e , k o n i n i n h a c m i n in s i l i n d i r in h a c m i n e o r a n › kaçt›r? A) 4

B)

ï

C) 3

D)

20.

â

A) 98

B) 105

C) 112

D) 118

E) 125

E) 2

Taban yar›çap› 8 cm ve yüksekli¤i 15 cm olan bir dik koniden taban yar›çap› 8 cm ve yüksekli¤i 6 cm olan bir koni oyularak ç›kar›l›yor.

23.

B O2

x 2ñ3

O1

3

C

A

fiekilde bir silindir ve bir küre verilmifltir.

2

Geriye kalan cismin yüzey alan› kaç cm dir?

|O1A| = 2ñ3 cm , |O2C| = 3 cm

A) 56π

Silindir ile kürenin hacimleri eflfliit oldu¤una göre, | A B | = x k a ç c m d ir ?

B) 108π C) 160π

D) 196π E) 216π

A) 2

21.

B) 3

C) 4

α

24.

H

fiekildeki kare dik prizman›n içine, prizman›n tüm yüzeylerine ve birbirine te¤et olacak flekilde iki küre yerlefltirilmifltir.

G

12 F

E O

E) 6

T

T

A

D) 5

A

2

A'

B

B 2 O

fiekil I

Yukar›daki fiekil II, fiekil I de verilen dik koninin aç›n›m›d›r. Buna göre, m(A éTA ) = α kaç derecedir? ›

A) 36

B) 45

C

fiekil II

C) 60

D) 72

E) 75

A

B

P r i z m a n › n y ü k s e k l i ¤ i 12 c m o l d u ¤ u n a g ö r e , k ü r e l e r 3 den birinin hacmi kaç cm tür? A) 30π

B) 36π

C) 42π

D) 48π

E) 60π

D-C-E / B-A-E / E-A-C / C-D-B / E-D-B / B-D-D / D-E-C / A-B-B

349

SINAVLARDA (ÖSS-ÖYS-YGS-LYS) SORULMUfi SORULAR 1.

4.

Yar›çap› 3 cm olan O merkezli küre içine, ekseni küre merkezinden geçen 1 cm yar›çapl› dik dairesel silindir afla¤›daki gibi yerlefltiriliyor.

O

fiekildeki dik koni, tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Meydana gelen kesik koninin yüksekli¤i, baflflllang›ç t a k i d i k k o n in i n y ü k s e k li ¤ i n i n k a t › o l d u¤ u na g ö r e , baflflllang›çtaki dik koninin hacmi, kesik koninin hac m in i n k a ç k a t› d ›r ?

a

64 A) 27

27 B) 26

27 C) 8

9 D) 4

3

Bu silindirin hacmi kaç cm tür? A)

3 E) 2

3π 2

B) 3π

C) 3ñ3π

D) 4ñ2π

E) 9π

(ÖSS 2008)

(ÖSS 2004) 5.

D

Yukar›da, ABCDEF üçgen tabanl› dik prizmas› ile, köfleleri bu prizman›n ayr›tlar› üzerinde olan MLEK piramidi verilmifltir.

F M

L E

2.

K A1 A2

A

C

[ML] // [DF], | ME | = , | DE |

Q

A1

6

A2

O

Yar›çap uzunlu¤u 6 cm olan yar›m daire biçimindeki k⤛t parças›, A1 ve A2 noktalar› flekildeki gibi çak›flacak biçimde bükülerek tepesi O noktas› olan bir dik koni oluflturuluyor.

A)

2

B) 7π

C) 8π

1 81

B)

Q

Hacim(MLEK) oran› kaçt›r? Hacim(ABCDEF)

o l d u ¤ un a g ö r e ,

Bu koninin taban alan› kaç cm dir? A) 6π

| EK | = | EB |

B

O

1 64

C)

1 49

D)

1 36

E)

1 27

(ÖSS 2001)

D) 9π

E) 10π

(ÖSS 2009)

6.

H

G

ABCDEFGH küp AKLMTSRN küp

E

F D

N

3.

35

S

T

30

42

A

|AB| = a cm C

R

|AK| =

L

M

a  cm 3

B

K

Bir kenar› a cm olan içi dolu tahta bir küpün köflesinfiekildeki dikdörtgenler prizmas›n›n üç farkl› yüzü2 nün alanlar› cm türünden üzerlerine yaz›lm›flt›r. 3

Bu prizman›n hacmi kaç cm tür? A) 200

B) 210

C) 240

D) 260

E) 280

(ÖSS 2007 Mat-2) 350

den, bir kenar›

a olan bir küp kesilerek ç›kart›l›yor. 3

G e r iy e k a l a n b ü y ü k k ü p p a r ç a s › n › n a l a n › n › n , k ü ç ü k küpün al an› na ora n› k açt › r? A) 9

B) 12

C) 18

D) 27

E) 36

(ÖSS 2002)

KATI C‹S‹MLER

7.

10. Yüksekli¤i 10 cm olan dik silindir biçimindeki bir su

3

3

barda¤› tümüyle su doludur. Suyun 25 cm ü boflalt›ld›¤›nda su yüksekli¤i 2 cm azalmaktad›r. 3

Buna göre, tümüyle dolu bardakta kaç cm su bulu nur?

12

A) 125 fiekildeki gibi, koni biçiminde bir kapak ile koni biçiminde bir gövdeden oluflan kapakl› bir cisim yap›lacakt›r. Kapak koninin yanal ayr›t› 3 cm, yanal alan› 2 24 cm dir.

B) 135

C) 150

D) 225

E) 250

(ÖSS 2005) 11.

G övd e ko ni ni n ya na l a yr› t › 12 c m ol du¤ una gör e, ya 2 nal alan› kaç cm dir? A) 96

B) 108

C) 116

D) 150

E) 384

(ÖSS 2003) 8.

Bir kenar uzunlu¤u 16 cm olan kare fleklindeki kartonun köflelerinden bir kenar uzunlu¤u 3 cm olan birer kare kesilerek ç›kart›l›yor ve kalan karton parças› k›vr›larak flekildeki gibi üstü aç›k biri kutu yap›l›yor. 3

fiekildeki gibi 6 bölümlü ve taban› kare olan kapakl› bir karton kutu yap›lacakt›r. B u k u t u n u n y ü k s e k l i¤ i 5 c m , t a b a n › n › n b i r k e n a r › n › n 2 uzunlu¤u 20 cm olaca¤›na göre, kaç cm karton ge reklidir? A) 1000

B) 1100 D) 1400

C) 1200

Bu kutunun hacmi cm tür? A) 200

B) 240

C) 250

D) 300

E) 360

(ÖSS 2006 Mat-1) 12.

1

E) 1500 2

(ÖSS 2003) x

9.

a

fiekildeki gibi, taban yar›çap› 1 metre, yüksekli¤i 2 metre olan dik koni biçimindeki bir su deposuna bir musluktan sabit h›zla su ak›t›l›yor.

b c d

e

D epo da bi ri ke n s uyun de ri nl i ¤i x m et re ol du ¤un da, depoda biriken suyun hacmi x türünden kaç met re k üp o l u r?

Yukar›da bir küpün aç›n›m› verilmifltir. Küpün üst yüzeyinde siyah kare bulundu¤unda alt y ü z e y in d e k i k a r e d e h a n g i h a r f b u l u n u r ? A) a

B) b

C) c

D) d

E) e

A)

πx3 12

B) D)

(YGS 2010)

πx3 4

πx3 9

C) E)

πx3 3

πx3 6

(ÖSS 2006 Mat-2)

B-D-B / D-A-A / A-E-A / A-D-A

351

SINAVLARDA SORULAB‹LECEK SORULAR 1.

4.

T

B

13

H C

B

12 cm

A

D

3 10

B

3

6 cm

C

fiekildeki düzgün alt›gen dik prizma biçimli kab›n taban ayr›tlar› 6 flar cm, yüksekli¤i 12 cm dir.

Yukar›daki flekilde bir kare dik piramidin aç›n›m› verilmifltir.

Bu kab›n içine tüm ayr›tlar› 3 er cm olan eflflkkenar üç gen dik prizmalardan en çok kaç tane s›¤d›r›labilir?

| B C | = 1 0 c m v e | T H | = 1 3 c m o ld u ¤ u n a g ö r e , b u 3 piramidin hacmi kaç cm tür?

A) 36

A) 360

B) 60

C) 72

D) 84

E) 96

B) 400

C) 440

D) 480

E) 540

2. 5.

I

II

10 A

I. silindirde oluflflaan arakesitin alan› 16 π cm , II. silin 2 dirde oluflflaan arakesitin alan› 160 cm oldu¤una göre, 3 bu cisimlerden birinin hacmi kaç cm tür?

D) 340π

18

B

|A B | = 18 c m ve |B C | = 10 c m ol du¤ una gö re, pi ra 2 midin yanal alan› kaç cm dir?

2

B) 300π

C

D

Birbirine efl silindir fleklindeki plastik cisimlerden I. si tabana paralel bir düzlemle, II. si tabana dik ve taban merkezinden geçen bir düzlemle kesiliyor.

A) 280π

fiekildeki dikdörtgen dik piramidin cisim yüksekli¤i 12 cm dir.

T

A) 384

B) 390

B 144° O

fiekildeki O merkezli daire diliminde

B) 11

D

C) 10

D) 9

E) 8

A

C 6

B

fifieekildeki küpte |AB| = 6 cm oldu¤una göre, 2 Alan(ACH) kaç cm dir? A) 6C

E-C-A / B-A-E

352

F

E

|AO| = 15 cm

Bu dilimle oluflfltturulan koninin yüksekli¤i kaç cm dir?

G

H

m(AéOB) = 144°

A) 12

E) 408

E) 360π

3. 15

D) 402

C) 320π

6. A

C) 396

B) 8C

C) 9C

D) 12C E) 18C

KAZANMIfi OLMAMIZ GEREKEN B‹LG‹ ve BECER‹LER

Bir yap›n›n izometrik ve ortografik çizimini yapabilme Üçgen prizma, dikdörtgenler prizmas›, kare prizma ve küpü tan›mlayabilme Prizmalar›n alanlar›n› ve hacimlerini hesaplayabilme Prizman›n iki ayr›t› üzerindeki iki nokta aras›ndaki mesafeyi hesaplayabilme Düzlemsel bir flekilden prizma oluflturabilme Prizmalar›n aç›l›mlar›n› çizebilme Yüzey köflegeni ve cisim köflegeni uzunluklar›n› hesaplayabilme Silindirin yanal alan›n› ve taban alan›n› hesaplayabilme Silindirin hacmini hesaplayabilme Üçgen piramit ve kare piramidi tan›mlayabilme Piramitlerin alanlar›n› ve hacimlerini hesaplayabilme Kesik piramidin alan›n› ve hacmini hesaplayabilme Koninin aç›k fleklini çizebilme Koninin alan›n› ve hacmini hesaplayabilme Kürenin yüzey alan›n› ve hacmini hesaplayabilme

353

11

NOKTANIN ANAL‹T‹⁄‹ VE ANAL‹T‹K DÜZLEMDE VEKTÖRLER

Say› do¤rusu Dik koordinat sistemi noktalar›n adresini buldurur. ‹ki nokta aras›ndaki uzakl›k Bir do¤rusu parças›n› belli bir oranda içten bölen noktay› bulma Bir do¤ru parças›n›n orta noktas›n›n koordinatlar› Üçgenin a¤›rl›k merkezinin koordinatlar› Bir do¤ru parças›n›n belli bir oranda d›fltan bölen noktay› bulma Analitik düzlemde çokgenler Vektörleri tan›yoruz.

YÖRÜNGEDEK‹ KAVRAMLAR dik koordinat sistemi

s. 357

x ekseni s. 357 y ekseni

s. 357

bir noktan›n koordinat› apsis s. 357 ordinat orijin

356

s. 357 s. 357

s. 357

NOKTANIN ANAL‹T‹⁄‹ VE

ANAL‹T‹K DÜZLEMDE VEKTÖRLER

11.1

Say› do¤rusu Reel say›larla bire bir efllenmifl do¤rulara say› do¤rusu (say› ekseni) denir. D –4

›

›

C

B

›

A

–3

–2

–1

›

O

A

B

C

0

1

2

3

D 4

x

O

A

y

0

x

A(1) ve B(–4) noktalar› veriliyor. Buna göre, [AB] nin uzunlu¤unu bulal›m.

fiekildeki Ox do¤rusunda O noktas› bafllang›ç noktas› olarak kabul edilir. Bafllang›ç noktas›n›n sa¤›na pozitif say›lar soluna negatif say›lar yaz›l›r. Say› do¤rusu üzerinde seçilen her noktaya bir reel say› karfl›l›k gelir. Say› do¤rusu üzerindeki noktalara karfl›l›k gelen say›lara noktalar›n koordinat› de› › nir ve A(1), B(2), A (–1), B (–2), ..... olarak ifade edilir. B

örnek soru

çözüm |AB| = |1 – (–4)| = |1 + 4| = 5 birim olur.

örnek soru B

Say› do¤rusu üzerindeki A noktas›n›n koordinat› x oldu¤u için |OA| = x, B noktas›n›n koordinat› y oldu¤u için |OB| = |y| dir. Bu iki nokta aras›ndaki uzakl›k |AB| = |x – y| fleklinde bulunur.

O

A

x

A(3) ve B(–6) ise, |AB| uzunlu¤unun kaç birim oldu¤unu bulal›m.

çözüm |AB| = |3 – (–6)| = |3 + 6| = 9 birim olur.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 1 1 nolu soruyu hemen çözelim.

11.2

Dik koordinat sistemi noktalar›n adresini buldurur. Bafllang›ç noktas›nda birbirine dik olan iki say› do¤rusunun oluflturdu¤u sisteme dik koordinat sistemi denir.

• x e yatay eksen (apsisler ekseni veya Ox ekseni) denir. • y ye düfley eksen (ordinatlar ekseni veya Oy ekseni) denir.

y 5 4

• O noktas›na bafllang›ç noktas› (orijin) denir.

3

• Dik koordinat sisteminin belirtti¤i düzleme ise analitik düzlem denir.

2 1 O –5 –4 –3 –2 –1

fiekilde,

–1 –2 –3 –4

1

2

3

4

5

x

Analitik düzlemin üzerindeki her noktaya R x R kümesinin bir eleman›, R x R kümesinin her eleman›na da düzlemde bir nokta karfl›l›k gelir. Dik koordinat düzleminde her noktan›n bir koordinat› vard›r. Her bir nokta ikililer fleklinde ifade edilir ve A(a, b) fleklinde gösterilir. a ya A noktas›n›n apsisi b ye A noktas›n›n ordinat› denir.

–5

357

NOKTANIN ANAL‹T‹⁄‹ VE ANAL‹T‹K DÜZLEMDE VEKTÖRLER

örnek soru A(2, 1), B(–2, 2), C(0, 3), D(4, 0) ve E(–2, –3) noktalar›n› koordinat sisteminde gösterelim.

çözüm y

a ve b reel say›lard›r.

C 3 2

A(2, 1)

1

D

O –4 –3 –2 –1

–1

1

2

3

4

x

–2

A(a, b) noktas› analitik düzlemin ikinci bölgesin a 2 de oldu¤una göre, B(–a, b), C  ,  – b , D(a , –b), b   E(a – b, b) noktalar›n›n analitik düzlemin hangi bölgelerinde oldu¤unu bulal›m.

çözüm

–3

E(–2, –3)

• apsisi pozitif, ordinat› negatif olan noktalar dördüncü bölgededir.

örnek soru

4 B(–2, 2)

• apsisi de ordinat› da negatif olan noktalar üçüncü bölgededir.

–4

• Apsisi s›f›r olan noktalar y ekseni üzerinde, ordinat› s›f›r olan noktalar x ekseni üzerindedir.

y

A(a, b) noktas› ikinci bölgede oldu¤una göre, a negatif (a < 0), b pozitif (b > 0) bir say›d›r. Bu durumda –a > 0, –b < 0 d›r. B(–a, b) → (+, +) oldu¤undan B noktas› I. bölgededir. a  C  ,  – b → (–, –) oldu¤undan C noktas› III. bölb  gededir.

II. bölge

I. bölge

x < 0, y > 0

x > 0, y > 0 O

D(a , –b) → (+, –) oldu¤undan D noktas› IV. bölgededir. 2

x

III. bölge

IV. bölge

x < 0, y < 0

x > 0, y < 0

Analitik düzlemde A(a, b) noktas› verilsin.

E(a – b, b) → (–, +) oldu¤undan E noktas› II. bölgededir.

örnek soru A(a,b) noktas› koordinat düzleminde 3. bölgede bulundu¤una göre, (a, b) ikilisi afla¤›dakilerden hangisidir? A) (1,2)

A noktas›,

B) (–2, 3) D) (–1, –1)

I. bölgede ise, a > 0 ve b > 0

C) (2, 3) E) (0, 4)

(ÖSS 1995)

II. bölgede ise, a < 0 ve b > 0 III. bölgede ise, a < 0 ve b < 0

çözüm

IV. bölgede ise, a > 0 ve b < 0

a0

x 0 olur.

Baz› özel dar aç›lar›n trigonometrik oranlar› A

α

30°

x

fiekildeki d do¤rusunun e¤imini bulal›m.

çözüm E¤im = m = tanα E¤im = tan30° =

1 3

bulunur.

391

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

örnek soru

örnek soru y

E¤imi –1 olan d do¤rusunun x ekseni ile pozitif yönde yapt›¤› aç›n›n ölçüsü kaç derecedir?

d

45° O

x

çözüm E¤im = m = tanα –1 = tanα α = 135° bulunur.

fiekildeki d do¤rusunun e¤imini bulal›m.

çözüm E¤im = m = tanα E¤im = tan45° = 1 bulunur.

‹ki noktas› bilinen do¤runun e¤imi y

fiekildeki d do¤rusunun e¤imini bulal›m.

y

120°

A

y1

α

14243

örnek soru

B

y2

d y2 – y1

14243 C

x2 – x1

x

O

α d

O

x1

x2

x

A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalar›ndan geçen d do¤rusunun e¤im aç›s›n›n ölçüsü α olsun.

çözüm

E¤im = m = tanα

E¤im = m = tan120°

E¤im = –ñ3 bulunur.

örnek soru

tanα =

y2 – y1 x2 – x1

E¤im =

y2 – y1 x2 – x1

fiekildeki d do¤rusunun e¤imini bulal›m.

y

150°

x

O

olur.

örnek soru A(3, 1) ve B(4, 5) noktalar›ndan geçen do¤runun e¤imini bulal›m.

d

çözüm çözüm

A(3, 1) ve B(4, 5) noktalar›ndan geçen do¤runun e¤imi

E¤im = m = tanα E¤im = tan150° = –

392

1 3

bulunur.

mAB =

y2 – y1 5–1 4 = = = 4 bulunur. x2 – x1 4 – 3 1

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

örnek soru

örnek soru

A(–2, 1) ve B(–1, 2) noktalar›ndan geçen do¤runun e¤imini ve e¤im aç›s›n› bulal›m.

çözüm mAB =

çözüm A, B ve C noktalar› do¤rusal oldu¤undan,

y2 – y1 2–1 1 = = =1 x2 – x1 –1 – (–2) –1 + 2

mAB = mBC olmal›d›r.

AB do¤rusunun e¤imi 1 dir. tanα = 1 oldu¤u için AB do¤rusunun e¤im aç›s› 45° olur.

örnek soru

A(3, –3ñ3) ve B(a, ñ3) noktalar›ndan geçen AB do¤rusunun e¤im aç›s›n›n ölçüsü 150° ise, a de¤erini bulal›m.

mAB = tan150° mAB = -tan30°

–19 = a   bulunur. 2

1 3

mAB -

1 3

y

=

3 - (-3 3 ) a-3

–2

1

4 3 = a-3 3

A

5

x

çözüm |AC| + |CB| toplam›n›n en küçük olmas› için A, C, B noktalar› do¤rusal olmal›d›r.

d A(0, 2)

C noktas› x ekseni üzerinde ise, C(a, 0) olur.

y O

–1

C

C noktas› x ekseni üzerinde oldu¤una göre, |AC| + |BC| toplam›n›n en küçük de¤eri için C noktas›n›n apsisi kaç olmal›d›r?

y

B(–3, 0)

O

fiekilde A ve B noktalar› verilmifltir.

örnek soru

A

B

2

a = -9 bulunur.

–1 B –1

–19 = 2a

y -y = 2 1 x2 - x1

- a + 3 = 12

3

–2 – 3 a – (–2) = 3–1 6–3 –5 a + 2 = 2 3 –15 = 2a + 4

örnek soru

çözüm

mAB = -

A(1, 3), B(3, –2) ve C(6, a) noktalar› do¤rusal oldu¤una göre, a kaçt›r?

x

A, B ve C noktalar› do¤rusal oldu¤undan mAC = mBC

x

3

fiekilde verilen d do¤rusunun e¤imini bulal›m. C

çözüm mAB =

0 – (–1) 2 – 0 = a – (–2) 5 – a 1 2 = a+2 5–a 5 – a = 2a + 4

y2 – y1 2–0 2 = = bulunur. x2 – x1 0 – (–3) 3

1 = 3a 1 = a bulunur. 3

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 3 1, 2, 3, 4 nolu sorular› hemen çözelim.

393

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

12.2

Do¤runun denklemi do¤runun güzergâh›n› belirler. Bir do¤ru üzerindeki herhangi bir nokta A(x, y) olsun. x ile y aras›ndaki ba¤›nt›ya bu do¤runun denklemi denir.

‹ki Noktas› Bilinen Do¤runun Denklemi y d

Bir do¤runun denklemi, e¤imi ve herhangi bir noktas› veya farkl› iki noktas› bilindi¤inde belirlidir.

C(x, y) B(x2, y2)

E¤imi ve bir noktas› bilinen do¤runun denklemi A(x1, y1) noktas›ndan geçen ve e¤imi m olan d do¤rusu üzerinde herhangi bir nokta B(x, y) olsun. y – y1 mAB = m ise, = m oldu¤undan A(x1, y1) x – x1 noktas›ndan geçen ve e¤imi m olan do¤runun denklemi y – y1 = m(x – x1) olur.

A(x1, y1) x

O

Farkl› iki noktas› A(x1, y1) ve B(x2, y2) olan d do¤rusu üzerinde herhangi bir nokta C(x, y) olsun. mAB = mAC ise,

y2 – y1 y – y1 dir. = x2 – x1 x – x1

Buna göre, A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalar›ndan geçen do¤runun denklemi, örnek soru

y – y1 x – x1 = y1 – y2 x1 – x2

olur.

A(–1, 2) noktas›ndan geçen ve e¤imi 4 olan do¤runun denklemini bulunuz.

örnek soru çözüm y – y1 = m(x – x1) y – 2 = 4.(x – (–1)) y – 2 = 4(x + 1) y – 2 = 4x + 4 ⇒ y – 4x – 6 = 0 bulunur.

A(1, –3) ve B(–2, 6) noktalar›ndan geçen do¤runun denklemini bulal›m.

çözüm y – y1 x – x1 = y1 – y2 x1 – x2

⇒

y – (–3) x–1 = –3 – 6 1 – (–2) y+3 x–1 = –9 3 y + 3 = –3x + 3

örnek soru A(–5, 3) noktas›ndan geçen ve e¤im aç›s›n›n ölçüsü 135° olan do¤runun denklemini bulal›m.

y = –3x x bulunur.

Eksenleri kesti¤i noktalar› bilinen do¤runun denklemi x eksenini A(a, 0) ve y eksenini B(0, b) noktalar›nda kesen do¤runun denklemi

çözüm

y

E¤im = m = tanα = tan135° = –1

x y + = 1 olur. a b

b

y – y1 = m.(x – x1)

y – 3 = –1. (x – (–5)) y – 3 = –x – 5 x + y + 2 = 0 bulunur.

394

a O

x

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

örnek soru

örnek soru fiekildeki d do¤rusunun denklemini yaz›n›z.

y 3

y

a)

3

y

b) A(a, 3) d

x

4

O

Afla¤›daki do¤rular›n denklemlerini yazal›m.

d

x

O

x

O B(b, –2) d

–2

çözüm

çözüm

y x + =1 3 4

(4)

a) y = 3

(3)

4y + 3x = 12 ⇒ 4y + 3x – 12 = 0 bulunur.

örnek soru fiekildeki d do¤rusunun denklemini yaz›n›z.

y d O

2

x

b) y = –2 bulunur.

y eksenine paralel olan do¤rular›n denklemi y eksenine paralel olan d do¤rusu x eksenine apsisi a olan noktada dik olsun. Bu do¤runun e¤imi tan›ms›z oldu¤undan denklemi, x = a d›r. y ekseninin denklemi x = 0 olur.

–3

örnek soru çözüm

Afla¤›daki do¤rular›n denklemlerini yazal›m.

y x + =1 –3 2 (2)

y

a)

2y – 3x = –6 ⇒ 2y – 3x + 6 = 0 bulunur. O

x ekseninin denklemi y = 0 olur.

y d B(–3, b)

A(4, a)

(–3)

x Eksenine Paralel Olan Do¤rular›n Denklemi x eksenine paralel olan d do¤rusu y eksenine ordinat› a olan noktada dik olsun. Bu do¤runun e¤imi (m = 0) s›f›r oldu¤undan denklemi y = b dir.

b)

d

4

x

–3

O

x

çözüm a) x = 4 b) x = –3 olur.

395

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

Orijinden geçen do¤runun denklemi

c) y = m.x

2 = m. 8

y

m=

y = mx A(x, y)

1 4

Do¤runun denklemi y =

y = x do¤rusuna I. aç›ortay do¤rusu denir. y

x

O

x 4

y=x

Orijinden geçen ve e¤imi m olan do¤ru üzerindeki herhangi bir nokta A(x, y) olursa bu do¤runun denklemi y = m. x olur.

45° 45° O

x

y = –x do¤rusuna II. aç›ortay do¤rusu denir. y y = –x

örnek soru 45° 45° O

Afla¤›daki do¤rular›n denklemlerini yazal›m. y

a)

y

b)

x

A(1, 4) x

O

x

O A(6, –2)

c)

örnek soru k ∈ R olmak üzere, A(2k + 1, k – 2) noktalar›n›n analitik düzlemdeki geometrik yerini bulal›m.

y

çözüm

A(8, 2) O

Geometrik yere ait nokta P(x, y) ise, x

x = 2k + 1 ve y = k — 2 olur. k=

x−1 2

ve k = y + 2

x− 1 = y + 2 ⇒ x — 1 = 2y + 4 ⇒ x — 2y — 5 = 0 2

çözüm

a) y = m. x 4 = m. 1 4=m b) y = m. x —2 = m. 6 1 — =m 3

396

Do¤runun denklemi y = 4x

Do¤runun denklemi y = –x 3

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

Do¤runun vektörel ve parametrik denklemi flunu söyleyebiliriz : Sonuç olarak flu

A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalar›ndan geçen do¤runun vektörel denklemi, k ∈ R için

A(4, 7), B(6, 2) noktalar›ndan geçen do¤runun;

µOC = (x, y), µOA = (x1, y1) ve µOB = (x2, y2) ise,

1.

(x, y) = (x1, y1) + k(x2 — x1, y2 — y1) fleklinde yaz›l›r.

Vektörel denklemi :

µOP = µOA + k. µAB ⇒ (x, y) = (4, 7) + k(2, —5)

2. Parametrik denklemi :

örnek soru A(4, 7), B(6, 2) noktalar›ndan geçen do¤runun vektörel denklemini yazal›m.

çözüm

x = 2k + 4  y = −5k + 7

3. Kartezyen denklemi :

AB do¤rusu üzerinde de¤iflken nokta P(x, y) ise, AB do¤rusunun vektörel denklemi;

µOP = µOA + k. µAB dir. µOP = (x, y) µOA = (4, 7)

µAB = (6 — 4, 2 — 7) = (2, —5)

14243

12.3

5x + 2y — 34 = 0

4. A(4, 7) ve B(6, 2) noktalar›ndan geçen do¤runun e¤imi mAB = —

5 oldu¤undan, bileflenleri (—2, 5) 2

olan vektöre, A ve B noktalar›ndan geçen do¤runun, do¤rultman vektörü denir.

⇒ (x, y) = (4, 7) + k(2, —5) (x, y) = (4 + 2k, 7 — 5k) olur. Ayr›ca,

x = 4 + 2k ⇒ x — 4 = 2k

y = 7 — 5k ⇒ y — 7 = —5k dir.

k nin her de¤eri için do¤runun yeni bir noktas› bulunur. k ye parametre; denklem sistemine de do¤runun parametrik denklemi denir.

Parametrik denklemden k parametresi yok edilebilir.

x−4 2 y−7 y − 7 = −5k ⇒ k = −5 x − 4 = 2k

⇒ k=

  x−4 y−7 =−  ⇒ 2 5  

5x — 20 = —2y + 14 ⇒ 5x + 2y — 34 = 0 bulunur. Bu denkleme de A ve B noktalar›ndan geçen do¤runun kartezyen denklemi denir.

5. Denklemi ax + by + c = 0 olan do¤runun e¤imi,

a oldu¤undan, bu do¤runun do¤rultman b ≥ = (—b, a) d›r. vektörü u m=—

6. Denklemdeki x ve y nin katsay›lar›n›n oluflturdu¤u ≥N = (a, b) vektörü ise, do¤runun normal vektörüdür. Normal vektörü hem do¤ruya, hem de do¤rultman vektörüne diktir.

Verilen Bir Vektöre Paralel Olan ve Verilen Bir Noktadan Geçen Do¤runun Denlemi A(x1, y1) noktas›ndan geçen ve ≥V = (x2, y2) vektörüne paralel olan do¤runun vektörel denklemi, (x, y) = (x1, y1) + k(x2, y2) dir.

örnek soru ≥ = (4, 2) vektörüA(—3, 5) noktas›ndan geçen a ne paralel olan do¤runun kapal› denklemini yazal›m.

397

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

Do¤runun kapal› denklemini bulmak için, verilen denklemlerin birinden k parametresi bulunup di¤er denklemde yerine yaz›l›r.

çözüm y

A(—3, 5)

B

x = 3k — 2 ve y = 2k + 1 denklemlerinin birincisinden k yi çekip ikincisinde yerine yazal›m. x = 3k — 2 ⇒ 3k = x + 2

5

2 —3

d B(x, y)

O

k=

≥a = (4, 2)

4

x

A(—3, 5) noktas›ndan geçen ≥a = (4, 2) vektörüne paralel do¤ru d olsun.

y = 2⋅

2x + 4 x+ 2 +1 ⇒ y= +1 3 3 ⇒ 3y = 2x + 4 + 3

⇒ 2x — 3y + 7 = 0 bulunur.

µOB = µOA + µAB ve µOB = µOA + k. ≥a dür. (x, y) = (—3, 5) + k(4, 2) (x, y) = (—3 + 4k, 5 + 2k) olur.

x+ 2 yaz›l›rsa, 3

y = 2k + 1 denkleminde k yerine

B ∈ d ise, µAB // ≥a oldu¤undan, µAB = k. ≥a dür. Bu denklem bileflenler cinsinden yaz›l›rsa,

x+ 2 olur. 3

örnek soru Denklemi 4x — 3y + 6 = 0 olan do¤runun do¤rultman vektörünü ve normal vektörünü bulal›m.

Buradan, x = —3 + 4k k=

x+ 3 x+ 3 +5 , y = 2k + 5 = 2. 4 4

4y = 2x + 6 + 20 —2x + 4y — 26 = 0 —x + 2y — 13 = 0 bulunur.

çözüm Verilen denklemde x ve y nin katsay›lar› do¤runun normal vektörünün bileflenleridir. Buna göre, 4x — 3y + 6 = 0 do¤rusunun normal vektörü

≥N = (4, —3) tür. örnek soru Parametrik denklemi x = 3k — 2 ve y = 2k + 1 olan do¤runun vektörel ve kapal› denklemini bulunuz.

Do¤runun do¤rultman vektörü ile normal vektörü birbirine dik oldu¤undan do¤rultman vektörü

≥v = (3, 4) vektörüdür. y ≥v = (3, 4)

çözüm Önce x = 3k — 2 ve y = 2k + 1 denklemleri (x, y) = (3k — 2, 2k + 1) fleklinde birlefltirilerek yaz›l›r. Buradaki (3k — 2, 2k + 1) vektörü (3k, 2k) ve (—2, 1) vektörlerinin toplam› fleklinde yaz›labilir. Buna göre, (x, y) = (—2, 1) + (3k, 2k) olur. O halde, do¤runun vektörel denklemi (x, y) = (—2, 1) + k. (3, 2) fleklindedir.

398

2 —

3 2 O

4x — 3y + 6 = 0

x

≥N = (4, —3)

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

örnek soru

örnek soru

Vektörel denklemi (x, y) = (2, 1) + k(0, 3) olan do¤runun kapal› denklemini bulunuz.

Denklemi y + ñ3. x + 6 = 0 olan do¤runun e¤imini ve e¤im aç›s›n›n ölçüsünü bulal›m.

çözüm

çözüm (x, y) = (2, 1) + k(0, 3) ⇒ (x, y) = (2, 1) + (0, 3k) (x, y) = (2, 3k + 1) x=2 y = 3k + 1 Bu sonuca göre, do¤ru üzerindeki tüm noktalar›n apsisi 2 ve ordinatlar› ise, k ye ba¤l› olarak de¤iflkendir. O halde, do¤runun kapal› denklemi x = 2 dir.

Denklemi bilinen do¤runun e¤imi

y + ñ3. x + 6 = 0 do¤rusunun e¤imini bulmak için y yi yaln›z b›rakal›m. y = –ñ3. x – 6

E¤im x in katsay›s›d›r. E¤im = –ñ3 olur.

E¤im aç›s› α olsun. tanα = –ñ3 oldu¤undan α = 120° (Tanjant de¤eri negatif oldu¤u için e¤im aç›s› genifl aç›d›r.)

Birbirine paralel veya dik olan do¤rular›n e¤imleri aras›ndaki ba¤›nt›lar y

Denklemi y = mx + n fleklinde olan do¤rular›n e¤imi x in katsay›s› olan m say›s›d›r. α

örnek soru

O

d1

β

d2 x

Denklemi ax + by + c = 0 olan do¤runun e¤imini bulal›m.

Birbirine paralel olan do¤rular›n e¤imleri eflittir.

çözüm ax + by + c = 0 denklemli do¤runun e¤imini bulmak için y yi yaln›z b›rakaca¤›z. x in katsay›s› e¤im olacak. by –ax – c = b b E¤im = – a b

y=–

ax c – b b

bulunur.

d1 // d2 ise, m1 = m2 dir.

Birbirine paralel olan do¤rular›n sadece sabit say›lar› farkl›d›r. d1 // d2 ise, d1 : ax + by + c1 = 0 d2 : ax + by + c2 = 0 d›r.

örnek soru Denklemi y = x + 7 olan do¤runun e¤imini ve e¤im aç›s›n›n ölçüsünü bulal›m.

çözüm y = x + 7 do¤rusunun e¤imi m = 1 dir.

E¤im aç›s› α ise, tanα = 1 oldu¤undan α = 45° dir.

örnek soru d1 : 2x + 4y + 1 = 0 d2 : ax + 8y – 7 = 0 do¤rular› veriliyor. d1 // d2 oldu¤una göre, a de¤erini bulal›m.

399

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

Birbirine dik olan do¤rular›n e¤imleri çarp›m› —1 dir.

çözüm

d1 ⊥ d2 ise, m1. m2 = —1

d1 // d2 ise, m1 = m2 dir. −2 −a m1 = ve m2 = 4 8 −2 −a = 4 8 a = 4 bulunur.

örnek soru

y = 3x + 2 do¤rusu, y = (a + 1). x – 7 do¤rusuna dik ise, a de¤erini bulal›m.

örnek soru

çözüm

A(–1, 2) noktas›ndan geçen ve 2y — 4x + 7 = 0 do¤rusuna paralel olan do¤runun denklemini bulal›m.

çözüm

Birbirine dik olan do¤rular›n e¤imleri çarp›m› –1 dir. m1. m2 = –1

3. (a + 1) = –1 3a + 3 = –1

1. Yol : ‹stenilen do¤ru 2y – 4x + 7 = 0 do¤rusuna paralel oldu¤u için denklemi 2y – 4x + n = 0 biçimindedir.

3a = –4 a=

A(—1, 2) noktas› bu do¤ru üzerinde oldu¤u için denklemi sa¤lar. 2. (2) – 4. (—1) + n = 0

−4 bulunur. 3

örnek soru

4 + 4 + n = 0 ⇒ n = —8 olur.

y

Do¤runun denklemi 2y — 4x — 8 = 0 (2 ile sadelefltirilirse)

A(1, 2)

y — 2x — 4 = 0 bulunur.

x

O d

2. Yol : Do¤rular paralel oldu¤u için e¤imleri eflittir. m=

4 = 2 olur. 2

Bizden istenilen do¤ru, e¤imi 2 olan ve A(—1, 2) noktas›ndan geçen do¤rudur. y — y1 = m. (x — x1)

çözüm O(0, 0) ve A(1, 2) oldu¤undan mOA =

y — 2 = 2. (x — (—1))

d ⊥ [OA] ise, 2. md = –1

y — 2x — 4 = 0 bulunur. y

md = –

d1

α

2 = 2 dir. 1

mOA. md = –1

y — 2 = 2x + 2

P dir.

A(1, 2) noktas›ndan geçen ve e¤imi – nun denklemi,

β

x

O

(y – 2) = –

P olan do¤ru-

P. (x – 1)

2y – 4 = –x + 1 d2

400

fiekildeki A(1, 2) noktas›nda [OA] na dik olan d do¤rusunun denklemini bulal›m.

2y + x – 5 = 0 bulunur.

Bu alt bafll›¤›n pekiflmesi için Kavrama Testi 3 5, 7, 11, 14 / Kavrama Testi 4 13, 14 nolu sorular› hemen çözelim.

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

12.4

Denklemi verilen do¤runun grafi¤i Denklemi y = mx + n biçiminde olan do¤runun grafi¤i Bir do¤ru, farkl› iki noktas› bilindi¤inde belirli oldu¤undan; do¤runun grafi¤ini çizmek için herhangi iki noktas› bulunur. Bu noktalar analitik düzlemde belirlenerek grafik çizilir.

Elde edilen noktalardan geçen do¤runun grafi¤i afla¤›daki gibidir. y y = 2x – 6

Do¤runun grafi¤i çizilirken genellikle do¤runun eksenleri kesti¤i noktalar bulunur.

(3,0)

x = 0 için y eksenini kesti¤i nokta, y = 0 için x eksenini kesti¤i nokta bulunur. Bu noktalar analitik düzlemde belirtilerek birlefltirilirse do¤runun grafi¤i çizilmifl olur. m ve n s›f›rdan farkl› olmak üzere, y = mx + n biçiminde olan do¤rular eksenleri farkl› iki noktada keserler.

x

(0,–6)

Denklemi y = mx olan do¤runun grafi¤i Denklemi y = mx olan do¤rular orijinden geçerler.

örnek soru Denklemi y = x + 3 olan do¤runun grafi¤ini çizelim.

örnek soru y = 3x ve y = —

çözüm

1 x do¤rular›n›n grafiklerini çize2

lim.

y = x + 3 denkleminde, x = 0 için y = 3

çözüm

y = 0 için x = –3 olur.

y = 3x eflitli¤ine göre x = 0 için y = 0 ve x = 1 için y= 3 olur.

y y=x+3

Buna göre, bu do¤ru (0, 0) ve (1, 3) noktalar›ndan geçer.

A(0, 3)

B(–3, 0)

x

Verilen do¤runun eksenleri kesti¤i noktalar olan A(0, 3) ve B(–3, 0) noktalar› analitik düzlemde belirlenerek birlefltirilir.

y=—

1 x eflitli¤ine göre, x = 0 için y = 0 ve x = 2 2

için y = —1 olur. Buna göre, bu do¤ru da (0, 0) ve (2, —1) noktalar›ndan geçer. O halde, verilen do¤rular›n grafikleri afla¤›daki gibidir. y y = 3x

örnek soru y = 2x — 6 do¤rusunun grafi¤ini çiziniz.

çözüm

3

1 y=— x 2

2 1

1 2

O

x

—1

y = 2x – 6 denkleminde, x = 0 ⇒ y = –6 olur. Bu nokta (0, –6) noktas›d›r. y = 0 ⇒ x = 3 olur. Bu nokta (3, 0) noktas›d›r.

401

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

Denklemi x = a biçiminde olan do¤runun grafi¤i Bu do¤ru x eksenini A(a, 0) noktas›nda kesip, y eksenine paralel olan do¤rudur.

örnek soru Denklemi 2x – y + 8 = 0 olan do¤runun eksenlerle oluflturdu¤u bölgenin alan› kaç birimkaredir?

çözüm örnek soru

2x – y + 8 = 0 do¤rusunun grafi¤ini çizelim.

x – 3 = 0 do¤rusunun grafi¤ini çizelim.

x = 0 için y = 8 y = 0 için x = –4 olur.

çözüm x = 3 do¤rusu x eksenini A(3, 0) noktas›nda kesecek ve y eksenine paralel olacakt›r. y

Do¤ru A(0, 8) ve B(–4, 0) noktalar›ndan geçmektedir. AOB dik üçgen oldu¤undan, Alan(AOB) =

x=3

8⋅4 2 = 16 br bulunur. 2 y

O

3

x

8A

B –4

Denklemi y = b biçiminde olan do¤runun grafi¤i Bu do¤ru y eksenini B(0, b) noktas›nda kesip, x eksenine paralel olan do¤rudur.

x

O

örnek soru A(–6, –4) ve B(3, 8) noktalar›ndan geçen do¤runun eksenleri kesti¤i noktalar aras›nda kalan do¤ru parças›n›n uzunlu¤u kaç birimdir?

örnek soru 2y – 3 = 0 do¤rusunun grafi¤ini çizelim.

çözüm çözüm y= sip,

f

AB do¤rusunun denklemi,

do¤rusu y eksenini B(0,

f

) noktas›nda ke-

3y – 24 = 4x – 12

y

O

8 − (−4) 12 4 = = 3 − (−6) 9 3

y – 8 = m(x – 3)

x eksenine paralel olan do¤rudur.

f

mAB =

3y – 4x – 12 = 0 bulunur. y=

f Eksenleri kesti¤i noktalar x

x = 0 için 3y – 4. 0 – 12 = 0 y=4

A(0, 4)

y = 0 için 3. 0 – 4x – 12 = 0 x = –3 y = 0 do¤rusu x eksenidir. x = 0 do¤rusu y eksenidir.

402

(

Buradan AB = (4 − 0)2 + 0 − (−3)

B(–3, 0) olur.

)

2

= 16 + 9 = 5 birim bulunur.

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

‹ki Do¤runun Birbirine Göre Konumlar› Analitik düzlemde, d1 : a1x + b1y + c1 = 0 ve d2 : a2x + b2y + c2 = 0 do¤rular› verilsin. a)

a1 a2

=

b1 b2

=

c1 c2

örnek soru 2x — 3y + 5 = 0 do¤rusu ile (m — 1)x + (n + 1)y — 15 = 0 do¤rusu çak›fl›k do¤rular oldu¤una göre, m + n toplam› kaçt›r?

ise,

çözüm

d1 ve d2 do¤rular› çak›fl›kt›r.

Verilen do¤rular çak›fl›k oldu¤undan, denklemlerindeki katsay›lar oran› birbirine eflittir. Buna göre,

y

2 −3 5 = = ise, m − 1 n + 1 −15

d1

2 5 = m − 1 −15

x

O d2

5m — 5 = —30

5n + 5 = 45

5m = —25

5n = 40

m = —5

n=8

Çak›fl›k do¤rular, ayn› do¤ruyu belirtti¤inden grafikleri üst üste çizilir. b)

a1 a2

=

b1 b2

≠

c1 c2

O halde, m + n = —5 + 8 = 3 bulunur.

ise,

d1 ve d2 do¤rular› paraleldir. y

−3 5 = n + 1 −15

örnek soru Denklemleri 2x — y — 2 = 0 ve 3x + 2y — 17 = 0 olan do¤rular›n kesifltikleri noktan›n koordinat eksenlerine uzakl›klar› toplam› kaç birimdir?

d1 d2

çözüm

x

O

‹ki do¤runun kesim noktas› verilen denklemlerin ortak çözümüyle bulunur.

Paralel do¤rular›n x ekseniyle oluflturdu¤u aç›lar, dolay›s›yla e¤imleri birbirine eflittir. c)

a1 a2

≠

b1 b2

3x + 2y — 17 = 0 4x — 2y — 4 = 0

ise,

+

d1 ve d2 do¤rular› bir noktada kesiflir.

3x + 2y — 17 = 0 7x — 21 = 0 7x = 21

y d1

x = 3 olur.

d2

2x — y — 2 = 0 denkleminde x yerine 3 yaz›l›rsa, 6 — y — 2 = 0 y = 4 bulunur.

K O

2 / 2x — y — 2 = 0

x

Bu durumda do¤rular›n kesim noktas› k(3, 4) noktas›d›r ve bu do¤runun koordinat eksenlerine uzakl›klar› toplam› |3| + |4| = 7 birimdir.

403

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

12.5

Birinci dereceden iki bilinmeyenli eflitsizlikler ax + by + c > 0 ve ax + by + c < 0

örnek soru

eflitsizliklerinin çözüm kümesini analitik düzlemde göstermek için, ax + by + c = 0 do¤rusunun grafi¤i çizilir. Yar› düzlemlerin biri üzerinde al›nan P(x1, y1) noktas› verilen eflitsizli¤i sa¤l›yor ise, bu yar› düzlem, sa¤lam›yor ise, di¤er yar› düzlem taran›r.

2x – 3y + 12 < 0 eflitsizli¤inin grafi¤ini çizelim.

çözüm 2x – 3y + 12 = 0 do¤rusunda, x = 0 için y = 4 ve A(0, 4) y = 0 için x = –6 ve B(–6, 0) d›r.

n

y

Eflitlik verilmedi¤inden do¤ru kesik çizgilerle çizilir. y

y

=

m

x

y

+

n

>m

x

+

y = mx + n do¤rusunun üst taraf›nda kalan bölge x

O

y > mx + n dir.

4

–6 n

y

y

=

m

x

+

y = mx + n do¤rusunun alt taraf›nda kalan bölge

O

y < mx + n dir.

x y < mx + n

x

O

O(0, 0) noktas›n›n koordinatlar›, 2x – 3y + 12 < 0 eflitsizli¤inde yerine yaz›l›rsa, 12 < 0 olaca¤›ndan, eflitsizli¤in sa¤lanmad›¤› görülür. Bu durumda görüntü kümesi, orijinin bulunmad›¤› yar› düzlemdir.

örnek soru x+y–2≤0

y – 3x > 0

eflitsizlik sistemini sa¤layan noktalar kümesini gösterelim.

örnek soru

çözüm

y

y = 3x do¤rusu orijinden ve A(1, 3) noktas›ndan geçer. x + y – 2 = 0 do¤rusu eksenleri B(0, 2) ve C(2, 0) noktalar›ndan keser. 0

Denklemleri verilen do¤rular çizilir.

x

y

y=x

Yukar›daki grafikte taral› düzlem parças›n› tan›mlamak için, x ≥ 0, y > 0 kofluluna afla¤›dakilerden hangisi eklenmelidir? A) x + y < 0

B) x + y > 0

D) x – y < 0

C) x – y > 0

3

A

2

1

2

x

E) x = y

(ÖSS 1985) çözüm

Al›nan herhangi bir nokta D(–1, 0) olsun.

Taral› bölgede y < x dir.

Cevap: C 404

y – 3x > 0 ⇒ 0 – 3(–1) > 0 ⇒ 3 > 0 x + y – 2 ≤ 0 ⇒ –1 + 0 – 2 ≤ 0 ⇒ –3 ≤ 0

Arakesit eflitsizlik sistemini sa¤layan noktalar kümesidir.

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

12.6

Simetri dönüflümü; aynadaki görüntü Bir noktan›n bir noktaya göre simetri¤i

y b

C(–a,b)

C(x0, y0)

A(a,b)

B(a, b) –a

x

a

A(x1, y1) D(–a,–b)

A(x1, y1) noktas›n›n B(a, b) noktas›na göre simetri¤i C(x0, y0) olsun. B noktas› [AC] nin orta noktas› oldu¤undan, C(2a – x1, 2b – y1) olur.

B(a,–b)

–b

örnek soru A(1, 3) noktas›n›n x eksenine göre simetri¤i B, y eksenine göre simetri¤i C ve orijine göre simetri¤i D noktas›d›r. Buna göre, B, C ve D nin koordinatlar›n› bulal›m.

örnek soru A(1, 3) noktas›n›n B(2, –1) noktas›na göre simetri¤ini bulal›m.

çözüm A noktas›n›n B noktas›na göre simetri¤i C(a, b) noktas› olsun. C(a, b) = C(2. 2 – 1, 2(–1) – 3)

çözüm A(1, 3) noktas›n›n x eksenine göre simetri¤i B(1, –3) olur. A(1, 3) noktas›n›n y eksenine göre simetri¤i C(–1, 3) olur. A(1, 3) noktas›n›n orijine göre simetri¤i D(–1, –3) olur.

= C(3, –5) bulunur.

Bir noktan›n aç›ortay do¤rular›na göre simetri¤i örnek soru A(3, 2) noktas›n›n B(–1, 0) noktas›na göre simetri¤i olan C noktas› x + y – a = 0 do¤rusu üzerinde ise, a de¤erini bulal›m.

Bir noktan›n I. aç›ortay (y = x) do¤rusuna göre simetri¤i : y b

çözüm

C(2. (–1) – 3, 2. 0 – 2) = C(–5, –2)

A(a, b)

A›(b, a)

a

C(–5, –2) noktas› x + y – a = 0 do¤rusu üzerindedir. a

–5 – 2 – a = 0 a = –7 bulunur.

A(a, b) noktas›n›n y = x do¤rusuna göre simetri› ¤i A (b, a) d›r.

Bir noktan›n koordinat eksenlerine ve orijine göre simetri¤i

y A(–a, b)

A(a, b) noktas›n›n Ox eksenine göre simetri¤i B(a, –b) Oy eksenine göre simetri¤i C(–a, b) Orijine göre simetri¤i D(–a, –b) dir.

x

b

›

A (–b, a) –b

b a

–a

x

405

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

II. aç›ortay'a (y = –x) göre simetri :

y

A(–a, b) noktas›n›n y = –x do¤rusuna göre simet› ri¤i A (–b, a) d›r.

x=a

B(x1, 2b – y1) y=b

örnek soru A(2, –5) noktas›n›n y = x do¤rusuna göre simetri¤i B noktas›, y = –x do¤rusuna göre simetri¤i C noktas›d›r.

A(x1, y1)

B(2a – x1, y1) x

O

Buna göre, B noktas›n›n apsisi ile C noktas›n›n ordinat›n›n toplam›n› bulal›m.

çözüm

örnek soru

A(2, –5) noktas›n›n y = x do¤rusuna göre simetri¤i B(–5, 2) dir. A(2, –5) noktas›n›n y = –x do¤rusuna göre simetri¤i C(5, –2) dir. B noktas›n›n apsisi –5, C noktas›n›n ordinat› –2 dir.

A(7, 5) noktas›n›n x = 1 do¤rusuna göre simetri¤i B ve y = 2 do¤rusuna göre simetri¤i C ise, B ile C noktalar› aras›ndaki uzakl›¤› bulal›m.

çözüm A(7, 5) noktas›n›n

x = 1 do¤rusuna göre simetri¤i B(2. 1 – 7,5) = B(–5, 5)

–5 + (–2) = –7 olur.

y = 2 do¤rusuna göre simetri¤i C(7,2. 2 – 5) = C(7, –1) olur. BC =

örnek soru A(–3, 4) noktas›n›n y = –x do¤rusuna göre simetri¤i B ve B nin Ox eksenine göre simetri¤i C ise |BC| uzunlu¤u kaç birimdir? A)

é

B)

~

C) 8

D) 6

(7 − (−5))

2

+ (−1 − 5)2

= 122 + 62 = 6 5 bulunur.

E) 5

(ÖSS 2006)

Bir noktan›n bir do¤ruya göre simetri¤i A(x1, y1)

çözüm A(–3,4) noktas›n›n y = –x do¤rusuna göre simetri¤i B(–4, 3), B(–4, 3) noktas›n›n Ox eksenine göre simetri¤i C(–4, –3) olur.

A›(x2, y2)

Bu durumda |BC| = dir.

[−4 − (−4)2 ] + (3 − (−3))2 = 0 + 36 = 6 birim-

Cevap D

Bir noktan›n eksenlere paralel do¤rulara göre simetri¤i A(x1, y1) noktas›n›n flekilde görüldü¤ü gibi x = a do¤rusuna göre simetri¤i B(2a – x1, y1) ve y = b do¤rusuna göre simetri¤i C(x1, 2b – y1) olur.

406

ax + by + c = 0

H

A(x1, y1) noktas›n›n ax + by + c = 0 do¤rusuna göre simetri¤ini bulmak için A noktas›n›n do¤ru üzerindeki dik iz düflümü olan H noktas›n›n koordinatlar› hesaplan›r. A noktas›n›n H noktas›na göre simetri¤i olan › A (x2, y2) noktas›n›n koordinatlar› bulunur.

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

örnek soru

çözüm

A(–2, 5) noktas›n›n y = 2x + 4 do¤rusuna göre simetri¤ini bulal›m.

d : 4x – y + 1 = 0 › d : 4x – y + c = 0

(1, 5) (2, 3)

çözüm

(3, 1) y = 2x + 4 A(–2,5)

K

(a, 2a+4) A'(x0, y0)

A noktas›n›n y = 2x + 4 do¤rusuna göre simetri¤i › A olsun. ›

AA do¤rusu verilen do¤ru ile dik kesiflti¤i için e¤imleri çarp›m› –1 dir. 2a + 4 − 5 ⋅ 2 = −1 a − (−2) 2a − 1 1 =− a+2 2 4a − 2 = −a − 2

›

2

(1, 5) in (2, 3) e göre simetri¤i olan (3, 1) noktas› 4x – y + c = 0 do¤rusunu sa¤lar.

4. 3 – 1 + c = 0 ⇒ 11 + c = 0 ⇒ c = –11 4x – y – 11 = 0 bulunur.

K(0, 4) noktas› AA do¤ru parças›n›n orta noktas› oldu¤una göre,

2 5 + y0

O halde, (1, 5) noktas›n›n (2, 3) noktas›na göre simetri¤i d› do¤rusu üzerinde olmal›d›r.

O halde, aranan do¤runun denklemi :

5a = 0 ⇒ a = 0 dır.

−2 + x0

Do¤runun noktaya göre simetri¤i kendisine paralel bir do¤rudur. Bu nedenle x ve y nin katsay›lar› de¤iflmez. De¤iflen c sabitini bulmak için d do¤rusu üzerinde bir nokta al›n›r. Örne¤in; d do¤rusu üzerinde x = 1 al›n›rsa y = 5 bulunur.

= 0 ⇒ x0 = 2 = 4 ⇒ y0 = 3

Bir do¤runun eksenlere ve orijine göre simetri¤i • ax + by + c = 0 do¤rusunun x eksenine göre simetri¤i bulunurken y nin iflareti de¤ifltirilir. ax – by + c = 0 olur. • ax + by + c = 0 do¤rusunun y eksenine göre simetri¤i bulunurken x in iflareti de¤ifltirilir. –ax + by + c = 0 olur.

›

O halde, aranan A noktas› (2, 3) noktas›d›r.

• ax + by + c = 0 do¤rusunun orijine göre simetri¤i bulunurken x in ve y nin iflaretleri de¤ifltirilir. –ax – by + c = 0 olur.

Do¤runun noktaya göre simetri¤i ax + by + c = 0 do¤rusunun A(x1, y1) noktas›na göre simetri¤i a(2. x1 – x) + b(2y1 – y) + c = 0 olur. (Orta noktadan)

örnek soru 3x + 2y – 5 = 0 do¤rusunun y– eksenine göre simetri¤i olan do¤runun denklemi afla¤›dakilerden hangisidir?

fx + r C) y = ax + s

ax + r D) y = fx + s

A) y =

örnek soru 4x – y + 1 = 0 do¤rusunun (2, 3) noktas›na göre simetri¤i olan do¤runun denklemini bulal›m.

B) y =

fx + r

E) y = –

(ÖYS 1998) 407

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

çözüm Do¤ru denklemindeki x yerine –x yaz›l›rsa, y eksenine göre simetri¤inin denklemi elde edilir.

Özellik : y = x do¤rusuna göre simetrik olan iki do¤runun e¤imleri çarp›m› 1 dir. y

3(–x) + 2y – 5 = 0 y=

y = m1.x + n1

fx + r

m1.m2 = 1 dir.

Cevap: A 45° y = m2.x + n2 45° O

x

örnek soru Dik koordinat sisteminde y = mx + 1 do¤rusunun y – eksenine göre simetri¤i x – eksenini ( , 0) noktas›nda kesmektedir.

h

Özellik : y = –x do¤rusuna göre simetrik olan iki do¤runun e¤imleri çarp›m› 1 dir.

Buna göre, y = mx + 1 denklemindeki m kaçt›r? A) –1

B) –

a

Q

C) –

D)

a

E)

y

y = m1.x + n1

s

m1.m2 = 1 dir.

(ÖSS 1991) y = m2.x + n2

çözüm y = mx + 1 do¤rusunun Oy eksenine göre simetri¤i y = – mx + 1 dir. Bu do¤ru ( (

h, 0)

0 = –m.

noktas›ndan geçti¤ine göre A(1, 2), B(4, 6) ve P(a, 0) noktalar› veriliyor. |PA| + |PB| en küçük oldu¤unda a de¤erini bulal›m.

h+1 → m=

çözüm

s olur. Cevap E

y 6

örnek soru 2

Dik koordinat düzleminde denklemi x + y = 3 olan do¤runun, Oy eksenine göre simetri¤inin denklemi afla¤›dakilerden hangisidir? A) –x + y = 3

B) x – y = 3

D) x + 2y = 1

B

A

O 1 –2

C) –x – y = 3

P

4

A›(1, –2)

E) 2x + y = 1

(ÖSS 2007) çözüm Dik koordinat sisteminde verilen bir do¤runun Oy eksenine göre simetri¤i al›n›rken x yerine –x yaz›l›r. Dolay›s›yla x + y = 3 do¤rusunun Oy eksenine göre simetri¤i –x + y = 3 do¤rusudur.

Cevap A 408

x

örnek soru

h, 0)

noktas› do¤ru denklemini sa¤lamal›d›r.

hm = 1

45° 45° O

A ve B noktalar› x ekseninin ayn› taraf›nda ve P(a, 0) noktas› da x ekseni üzerindedir. Bu durumda |AP| + |BP| nin minimum olmas› için A x noktas›n›n x eksenine göre › simetri¤i A noktas› ile P ve B noktalar› do¤rusal olmal›d›r.

›

A (1, –2), P(a, 0) ve B(4, 6) noktalar› do¤rusal ise, › › [A P] ve [A B] nin e¤imleri eflittir. 0 − (−2) 6 − (−2) = a−1 4−1 1

4

2 8 = a−1 3

4a − 4 = 3 ⇒ a =

7 bulun nur. 4

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

örnek soru E¤imleri –

örnek soru 1 3

ve –3 olan iki do¤runun aras›nda

kalan aç›n›n aç›ortay›n›n e¤imi afla¤›dakilerden hangisidir? 3 1 5 A) 2 B) 1 C) D) E) 3 2 2 2 3

A(–2, 3), B(4, 4) ve P(a, 0) noktalar› veriliyor. ||PB| – |PA|| n›n en büyük de¤eri için a de¤erini bulal›m.

çözüm y

(ÖSS 1996) A 4

çözüm 1  1  3  m1 ⋅ m2 = −  ⋅ (−3) = 1  3 m2 = −3 

4

x

||PB| – |PA|| maksimum ise, A, B ve P noktalar› do¤rusal olmal›d›r.

oldu¤undan bu do¤rular›n aç›ortaylar› y = x e paraleldir. Bu nedenle aç›ortay›n e¤imi 1 dir.

Cevap: B 12.7

–2

P(a, 0)

m1 = −

B 3

Bu durumda A(–2, 3), B(4, 4) ve P(a, 0) noktalar› do¤rusal ise [AB] ve [AP] nin e¤imleri eflittir. 4−3 3−0 1 3 = ⇒ = ⇒ a = −20 bulunur. 4 − (−2) −2 − a 6 −a − 2

Öteleme dönüflümü Bir flekil düzlemde ötelenirken, x ve y eksenleri boyunca belirtilen birim kadar, fleklin bütün noktalar› birbirine paralel olarak ötelenir. örnek soru

5

B(—5, 2)

y

A(—2, 5)

2

5

1

C(—3, 1) —5

ABC üçgenini 6 birim sa¤a ve 4 birim afla¤›ya ötelemek için, ABC üçgeninin köfle noktalar› 6 birim sa¤a ve 4 birim afla¤› ötelenir. Afla¤›daki flekilde, A(—2, 5) noktas›n›n apsisi 6 art›r›› l›p, ordinat› 4 azalt›ld›¤›nda A (4, 1) noktas›n›n elde edildi¤ine dikkat ediniz.

y

A(—2, 5)

çözüm

—3 —2

O

x

4 birim afla¤› B(—5, 2)

2 1

C(—3, 1) —5

—3 —2

—3 Yukar›daki flekilde verilen ABC üçgeni 6 birim sa¤a › › › ve 4 birim afla¤› ötelendi¤inde A B C üçgeni elde ediliyor. ›

A›(4, 1) 1

3 4

O —2

›

6 birim sa¤a

x

B›(1, —2) C›(3, —3)

›

Buna göre, A , B ve C noktalar›n›n koordinatlar›n› bulunuz.

409

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

örnek soru

çözüm Soruda verilen ABCD dikdörtgeni 2 br sa¤a ve 1 br yukar›ya ötelendi¤inde köfleleri A(3, —2), B(6, —2), C(6, —1) ve D(3, —1) olmaktad›r.

y

B

y C› 6

A›

D›

›

x

O D(1, —2)

C(4, —2)

A(1, —3)

B(4, —3)

—2

—1 —2

fiekildeki ABCD dikdörtgeni 2 birim sa¤a ve 1 birim yukar›ya ötelendikten sonra elde edilen dikdörtgenin › › › › y = x do¤rusuna göre simetri¤i A B C D dikdörtgeni oluyor. ›

›

Buna göre, B noktas›n›n apsisi ile C noktas›n›n ordinat›n›n toplam› kaçt›r?

12.8

—3

y=x

O 1

3 D A

D

6 C C

A

B

x

B 1 br yukar›

2 br sa¤a Bir noktan›n y =x do¤rusuna göre simetri¤i al›nd›¤›n› da apsisi ile ordinat› yer de¤ifltirdi¤ine göre, B (—2, 6) › ve C (—1, 6) olur. ›

›

B noktas›n›n apsisi —2 ve C noktas›n›n ordinat› 6 oldu¤undan, sorunun cevab› —2 + 6 = 4 bulunur.

Dönme dönüflümü Köflelerinden biri A(a, b) noktas› olan bir flekil, orijin etraf›nda ve saatin tersi yönünde ›

a) 90° döndürülürse, A(a, b) noktas› A (—b, a) noktas›na, ›

b) 180° döndürülürse, A(a, b) noktas› A (—a, —b) noktas›na, ›

c) 270° döndürülürse, A(a, b) noktas› A (b, —a) noktas›na dönüflür. y A›(—2, 5)

A(5, 2)

x

O A››(—5, —2)

A›››(2, —5)

410

Analitik düzlemdeki [OA] do¤ru parças› orijin etraf›nda ve saatin tersi yönde 90° döndürüldü¤ünde › ›› [OA ] do¤ru parças›, 180° döndürüldü¤ünde [OA ] ››› do¤ru parças›, 270° döndürüldü¤ünde ise, [OA ] › ›› ››› do¤ru parças› elde edilmifltir. A , A ve A noktalar›n›n koordinatlar›n› A noktas›n›n koordinatlar› ile karfl›laflt›rarak inceleyiniz.

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

örnek soru

örnek soru y

y

A

C(4, 4)

D(0, 2)

O

B(5, 2) x

A(1, 0)

O

fiekildeki ABCD dikdörtgeni orijin etraf›nda ve saat yönünde 270° döndürüldükten sonra, elde edilen › › › › A B C D dikdörtgeni 4 birim sa¤a ve 6 birim afla¤›ya öteleniyor. ›› ›› ›› ››

En son oluflan A B C D dikdörtgeninin köfle noktalar›n koordinatlar›n› bulunuz.

3

x

B

Bir kenar› 6 br olan flekildeki AOB eflkenar üçgeni orijin etarf›nda ve saatin tersi yönde 30° döndürül› › dü¤ünde A OB eflkenar üçgeni olufluyor. ›

›

Buna göre, A ve B noktalar›n›n koordinatlar›n› bulunuz.

çözüm çözüm

y y B

C

›

A›

90°

(0, 6)

30° A(3, 3ñ3)

C

›

D

B

O

x

A B››(2, —1)

30°

30° 30° 30°

A› D›

B›(3ñ3, 3)

3

270°

O

3

B(6, 0)

x

C››(0, —2)

A››(4, —5) D››(2, —6) Bir fleklin saat yönünde 270° döndürülmesi, saatin tersi yönde 90° döndürülmesine efl de¤erdir. Köfleleri A(1, 0), B(5, 2), C(4, 4) ve D(0, 2) noktalar› olan ABCD dikdörtgeni orijin etraf›nda ve saatin tersi yön› › de 90° döndürüldü¤ünde, köfleleri A (0, 1), B (—2, 5), › › › › › › C (—4, 4) ve D (—2, 0) noktalar› olan A B C D dikdörtgeni elde edilir.

AOB eflkenar üçgeni O noktas› etraf›nda döndürüldü¤ü için O noktas› sabit kal›r, A ve B noktalar› orijin etraf›nda 30° dönerler. Bir kenar› a = 6 br olan eflkenar üçgenin yüksekli¤i h = añ3 = 3ñ3 br oldu¤undan ilk durumda A noktas›n›n koordinatlar› (3, 3ñ3), B noktas›n›n koordinatlar› ise (6, 0) d›r. AOB üçgeni, orijin etraf›nda ve saatin tersi yönde › › 30° döndürüldü¤ünde oluflan A OB üçgeninin köfle › › koordinatlar› ise, A (0, 6) ve B (3ñ3, 3) olur.

› › › ›

A B C D dikdörtgeni 4 br sa¤a ve 6 br afla¤›ya ötelen›› ›› ›› ›› di¤inde elde edilen A B C D dikdörtgeninin köfleleri ›› ›› ›› ›› A (4, —5), B (2, —1), C (0, —2), D (2, —6) noktalar› olur.

411

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

12.9

Fraktal, süsleme ve kaplama Fraktallar›, bazen hal› desenlerinde, bazen tarihi eserlerin duvarlar›nda bazen de do¤adaki baz› bitkilerin yap›lar›nda görebilirsiniz. Öyle bir flekil düflünün ki hangi bölmesini al›rsak alal›m büyütüp bakt›¤›m›zda yine bafllang›çtaki flekille karfl›laflal›m ve bu iflleme ne kadar devam edersek edelim ayn› görüntü tekrarlans›n.

örnek Afla¤›da verilen fraktallarda her bir dikdörtgenin

1 ü kadar olan iki dik3

üzerine eni, bu dikdörtgenin

dörtgen simetrik olarak yerlefltiriliyor. Buna benzer bir fraktal› da siz oluflturunuz.

Buna göre, fraktal› k›saca flöyle tan›mlayabiliriz: Bir fleklin orant›l› olarak küçültülmüfl ya da büyütülmüflleri ile infla edilen örüntülere fraktal denir.

örnek Afla¤›daki örüntüde düzgün alt›gen ve do¤rular yard›m›yla bir okul armas› oluflturulmufltur. Bu örüntü alt›gen üzerine eflit aral›klarla yaz›lan say›lar›n kendilerinin 1 fazlas› olan say› ile birlefltirilmesinden oluflturulmufltur.

1 2 3 4 5 6

örnek

1. ad›m

2. ad›m

1

6 5

2

4

3

4

3

5

2

6

1

1

6

2

5

3

4

4

3

5

2

6

1 6 5 4 3 2 1

Yukar›daki örüntünün bir benzerini düzgün sekizgen kullanarak oluflturunuz.

örnek 3. ad›m

4. ad›m

Yukar›daki örüntü, do¤ru parçalar› üç efl parçaya bölünüp ortadaki parçadan d›flar›ya kare çizilerek oluflturulmufltur. Bu örüntüyü inceleyiniz ve örüntünün sonraki ad›m›n› çiziniz. ‹kizkenar dik üçgenler yard›m›yla oluflturulan yukar›daki flekli inceleyelim. Bu örüntüde tüm ikizkenar dik üçgenlerin hipotenüsleri birbirine paraleldir.

412

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

örnek

çözüm

Afla¤›daki fraktal örne¤inde birinci flekilde bir eflkenar üçgen veriliyor. Daha sonra bu üçgenin her kenar› üç eflit parçaya ayr›l›p her birinin ortas›ndaki parçadan d›flar›ya do¤ru bakan eflkenar üçgenler çiziliyor. Bu ifllem devam ettirildi¤inde 3. ve 4. flekiller elde ediliyor.

2

1. ad›mdaki taral› karenin alan› 1 cm ise, bir kenar uzunlu¤u 1 cm dir. Bu durumda 2. ad›mdaki en küçük taral› karenin bir kenar uzunlu¤u

1 cm 2

3. ad›mdaki en küçük taral› karenin bir kenar uzunlu¤u

1 1 = cm 4 22

4. ad›mdaki en küçük taral› karenin bir kenar uzunlu¤u 1. flekil

2. flekil

1 1 = cm 8 23

Buna göre, n. ad›mdaki en küçük taral› karenin bir kenar uzunlu¤u

1 n− 1

2

cm olur.

O halde, 9. ad›mdaki en küçük taral› karenin bir ke-

1

nar uzunlu¤u

3. flekil

2n− 1

=

1 28

=

1 cm bulunur. 256

4. flekil

örnek

örnek

Bafllangݍ

Bafllangݍ

1. ad›m

1. ad›m

2. ad›m

Yukar›da beflgenlerle oluflturulan ve ilk 2 ad›m› verilen fraktal›n 4. ad›m›nda toplam kaç adet beflgen kullan›l›r?

çözüm Beflgen adedi 2. ad›m

3. ad›m

Yukar›daki flekilde iki üç ad›m› verilen fraktal mode2 linin 1. ad›m›ndaki taral› bölgenin alan› 1 cm dir. 9. ad›mdaki en küçük alana sahip taral› karenin bir kenar›n›n uzunlu¤u kaç cm dir?

Bafllangݍ

1

1. ad›m

1+6=7

2. ad›m 3. ad›m 4. ad›m

1 + 6 + 6. 6 = 43

1 + 6 + 6. 6 + 6. 6. 6 = 259

1 + 6 + 6. 6 + 6. 6. 6 + 6. 6. 6. 6 = 1555

413

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

Çokgenlerle yüzey kaplama

2.

Bir düzlemsel bölgenin, yaln›z bir figür kullan›larak boflluk kalmayacak ve figürler çak›flmayacak flekilde dönüflüm hareketleri (yans›ma, dönme, öteleme ve ötelemeli yans›ma) yard›m›yla örtülmesine düzgün kaplama denir. Afla¤›daki flekilde, iki farkl› çokgen modeliyle yap›lan iki farkl› düzgün kaplama verilmifltir. Birinci kaplama örne¤inde öteleme ve yans›ma hareketleri kullan›l›rken, ikinci kaplama örne¤inde öteleme ve dönme hareketleri kullan›lm›flt›r.

Düzgün sekizgen ve kare kullan›larak oluflturulmufl bir kaplama.

Çokgenlerde süsleme yap›labilmesi için her bir köflede oluflan toplam aç› ölçüsü 360° olmal›d›r. Bu kurala göre sadece eflkenar üçgen, sadece kare, sadece alt›gen kullan›larak süsleme yap›labilir. Ancak sadece beflgen, sadece yedigen ya da sadece sekizgen kullan›larak süsleme yap›lamaz.

Kaplama örnekleri Afla¤›da baz› geometrik figürlerle ad›m ad›m yap›l›fl› gösterilen süslemeleri inceleyiniz.

örnek

Bir düzlemsel bölgenin, birden fazla figür kullan›larak boflluk kalmayacak ve figürler çak›flmayacak flekilde dönüflümler yard›m›yla örtülmesine yar› düzgün kaplama denir.

1. ad›m

2. ad›m

3. ad›m

Afla¤›da yar› düzgün kaplamaya örnekler verilmifltir. 4. ad›m

1.

Düzgün alt›genler ve eflkenar dörtgenler kullan›larak oluflturulmufl bir kaplama.

414

5. ad›m

Elde edilen kaplama

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

örnek

örnek A

B

B C 2. ad›m

1. ad›m

Bafllangݍ A

A

1. ad›m

2. ad›m

3. ad›m

D

B

C 3. ad›m

4. ad›m

5. ad›m

4. ad›m

6. ad›m

5. ad›m

7. ad›m

Elde edilen kaplama 8. ad›m

Elde edilen süsleme

415

BU KONUDA ÖZETLE... Konuların ve Kavramların Özeti 1. Do¤runun e¤imi

4. Simetri α < 90° E¤im > 0

y

y

α > 90° E¤im < 0

A(a, b) noktas›n›n; • x eksenine göre simetri¤i (a, —b) • y eksenine göre simetri¤i (—a, b)

α

α

x

• orijine göre simetri¤i (—a, —b) x

A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalar›ndan geçen AB y — y2 do¤rusunun e¤imi m = 1 ile bulunur. x1 — x2 • ‹ki do¤runun paralellik flart› d1 // d2 ise, m1 = m2 dir.

• y = x do¤rusuna göre simetri¤i (b, a) • y = –x do¤rusuna göre simetri¤i (—b, —a) • x = k do¤rusuna göre simetri¤i (2k — a, b) • y = k do¤rusuna göre simetri¤i (a, 2k — b) olur. ax + by + c = 0 do¤rusunun • x eksenine göre simetri¤i ax + b(—y) + c = 0

Yani do¤rular›n e¤imleri eflittir.

• ‹ki do¤runun diklik flart› d1 ⊥ d2 ise, m1. m2 = —1 dir.

• y eksenine göre simetri¤i a(—x) + by + c = 0 • orijine göre simetri¤i

Yani do¤rular›n e¤imleri çarp›m› —1 dir.

a(—x) + b(—y) + c = 0 • y = x do¤rusuna göre simetri¤i ay + bx + c = 0

2. Eksenleri kesti¤i noktalar› bilinen do¤ru denklemi

• y = —x do¤rusuna göre simetri¤i a(—y) + b(—x) + c = 0

d do¤rusunun denklemi

y d

x b

a

+

y b

• x = k do¤rusuna göre simetri¤i = 1 dir.

a(2k — x) + by + c = 0 • y = k do¤rusuna göre simetri¤i

O

a

x

ax + b(2k — y) + c = 0

5. A(a, b) noktas› orijin etraf›nda ve saatin tersi yönde

3. Grafik y

›

y = mx + n

i) 90° döndürülürse, oluflan nokta A (—b, a) ›

ii) 180° döndürülürse, oluflan nokta A (—a, —b) ›

iii) 270° döndürülürse, oluflan nokta A (b, —a)

y > mx + n

olur. x

O y < mx + n

416

Ö⁄REND‹KLER‹M‹Z‹ TEST EDEL‹M Kavrama Testi 1

( 12.1 - 12.4 )

Kavrama Testi 2 Kavrama Testi 3

( 12.6 - 12.8 ) ( 12.5, 12.9 )

Genel Tekrar Testi

( 12.1 - 12.9 )

S›navlarda (ÖSS-ÖYS-YGS-LYS) Sorulmufl Sorular S›navlarda Sorulabilecek Sorular

417

1

KAVRAMA TEST‹ 1.

|AD| = |DO|

y

5.

d

AOCB kare

d

5

B

A

Analitik düzlemde

y

d do¤rusunun grafi¤i

A

verilmifltir.

D O

x

C

O

Buna göre, d do¤rusunun denklemi aflflaa¤›dakilerden hangisidir?

Y uka r› da ki v eri l e re gör e, d do¤ rusu nun e ¤i mi k aç t›r? A)

2.

R

B)

Q

C)

P

D) 1

E)

x

2

A) 5y = 2x

f

C) y =

B) 2y = 5x D) y + x = 5

E) y – x = 3

x 2

A n a l it ik d ü z l e m d e , A(1, 3) noktas› x – 2y + k = 0 do¤ ru sunun üz er i nde ol du ¤un a gör e, k d e¤ eri ka çt › r? A) –5

B) –3

C) 0

D) 3

6.

y

E) 5

d do¤rusu

d

(–9, 0) , (–5, 2) ve (0, m) noktalar›ndan geçmektedir.

m 2 –9

3.

A n a l it ik d ü z l e m d e ,

–5

x

O

Y uka r› da ki ve ri l ere gö re, m de ¤e ri ka çt › r?

7x – 3y + 23 = 0

A) 2

B) 3

C)

x + 3y – 7 = 0

5 2

D) 4

E)

9 2

d o ¤ r u la r › n › n k e s im n o k t a s › n ›n k o o r d i n a t l a r › t o p l a m › kaçt›r? A) –2

B) –1

C) 1

D) 2

E) 3

7.

y

d1 ⊥ d2

d1

|AO| = |OB| C(3, 0)

B

4.

OABC kare

y

d

A

O

C d2

d : 2x + y – 9 = 0 C O

B

A

Y u k a r › d a k i v e r i l e r e g ö r e , d 2 d o ¤ r u s u n u n de n k l e m i aflflaa¤›dakilerden hangisidir?

x

Y u k a r › d a k i v e r il e r e g ö r e , Ç e v r e ( O A B C ) k a ç b r d i r ? A) 2

418

x

B) 4

C) 6

D) 8

E) 12

A) x + y – 3 = 0

B) x – y – 3 = 0

C) 2x + y – 6 = 0

D) 3x – y – 12 = 0

E) x + 2y – 12 = 0

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

8.

11. A(–6, 0) noktas›ndan geçen ve ÂV = (3, 7) vektörüne

y B

5

paralel olan do¤runun vektörel denklemi aflflaa¤›daki l e r d e n h a n g i si d i r ? A) (x, y) = (–6, 0) + k(9, 7)

A –1 O

1 3

x

B) (x, y) = (–6 0) + k(3, 7) C) (x, y) = (–6, 0) + k(–3, 7) D) (x, y) = (3, 7) + k(9, 7)

Analitik düzlemde A ve B noktalar› verilmifltir.

E) (x, y) = (2, 3) + k(6, 7)

Buna göre, AB do¤rusunun denklemi aflflaa¤›dakiler d e n h a n g is id ir ? A) x + 2y – 1 = 0

B) 2x + 3y – 21 = 0

C) y + x – 4 = 0

D) y– x – 2 = 0

12. Vektörel denklemi

E) y – x – 3 = 0

(x, y) = (3, –10) + k(2, 11) olan do¤runun kapal› denklemi aflflaa¤›dakilerden han gisidir? A) 11x – 2y – 53 = 0

B) 11x + 2y – 53 = 0

C) 13x – 4y – 55 = 0

D) 13x + 6y – 57 = 0

E) 14x – 7y – 59 = 0

9.

A( – 2 , 4 ) n o k t a s › n d a n g e ç e n v e 2 x – y + 7 = 0 d o ¤ rusuna paralel olan do¤runun denklemi aflflaa¤›dakiler d e n h a n g i s i di r ? A) 2x – y + 9 = 0

B) 2x – y + 10 = 0

C) 2x – y + 12 = 0

D) 2x – y + 8 = 0

E) 2x – y + 6 = 0

13. Normal vektörü ÂN = (2, 3) olan ve A(–1, 4) noktas›n dan geçen do¤runun denklemi aflflaa¤›dakilerden han gisidir? A) 3x + 2y – 6 = 0

B) 3x + 2y – 10 = 0

C) 2x + 3y – 6 = 0

D) 2x + 3y – 10 = 0

E) 2x + 3y – 12 = 0

10. B(5, –3) noktas›ndan geçen ve 5x + 2y – 10 = 0 do¤rusuna dik olan do¤runun denklemi aflflaa¤›dakiler d e n h a n g is id ir ? A) 5x + 2y – 14 = 0

B) 5y – 2x + 25 = 0

C) 5y – 2x – 20 = 0

D) 2x – 5y – 30 = 0

E) 2x – 5y – 20 = 0

14. A(–1, a) noktas›, parametrik denklemi x=k–2 y = 5 + 2k ol an do¤ ru ü zer i nde ol du¤ una gör e, a k açt › r? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

C-E-C-E / B-E-A / D- D-B / B-A-D-E

419

2

KAVRAMA TEST‹ 1.

5.

A n a l it ik d ü z l e m d e , A (– 1 , 4 ) n o k t a s › n › n B ( 2 , – 3 ) n o k ta s › n a g ö r e s i m e t r i¤ i n i n x e k s e n i n e u z a k l › ¤ › k a ç b i r i m d ir ? A) 5

B) 10

C) 12

D) 15

A n a l it ik d ü z l e m d e , y = –x + 4 do¤rusunun x eksenine göre simetri¤i aflflaa¤›dakiler d e n h a n g is id ir ?

E) 10ñ2

A) x + y + 4 = 0

B) x – y – 4 = 0

C) x + y – 4 = 0

D) x – y + 8 = 0

E) x – y + 12 = 0

2.

A n a l i t i k d ü z l e m d e , A ( 1 , 2 ) n o k t a s › n ›n y = x d o ¤ r u s u n a g ö r e s i m e tr i ¤ i o l a n B n o k ta s › n › n x e k s e n i n e g ö r e s i m e t r i ¤ i x – k y + 1 = 0 d o ¤ r u s u ü z e r i n d e o ld u ¤ u n a g ö r e , k d e ¤ e r i k a ç t ›r ? A) –6

B) –5

C) –4

D) –3

E) –2

6.

An a l i t i k d ü z l e m d e , A( – 2 , 5 ) n o k t a s › n › n o r i j i n e g ö r e s i m e t r i ¤ i B n o k t a s › , B n o k t a s › n ›n d a x e k s e n i n e g ö r e s i m e t r i ¤ i C n o k t a s › o l d u ¤ u n a g ö r e , | AC | k a ç birimdir? A) 10

3.

B) 4ñ2

C) 5

D) 2ñ5

E) 4

A n a l it ik d ü z l e m d e , A (– 5 , 2 ) n o k t a s ›n › n y = – 1 d o ¤ r u s u n a g ö r e s i m e t r i ¤ i B n o k t a s ›, B n o k t a s › n › n ( 2 , 3 ) n o k t a s › n a g ö r e s i m e t ri¤i C noktas› oldu¤una göre, C noktas›n›n koordinat lar› aflflaa¤›dakilerden hangisidir? A) (9, 10)

B) (8, 10) D) (8, 12)

4.

C) (9, 11) E) (9, 12)

x = –2

7.

An a l i t i k d ü z l e m d e v e r i l e n 2 x + 3 y – 5 = 0 d o ¤ r u s u nun y = x do¤rusuna göre simetri¤i aflflaa¤›dakilerden hangisidir? A) 2x + 3y – 10 = 0

B) 3x + 2y – 5 = 0

C) 2x + 3y + 5 = 0

D) 3x + 2y + 5 = 0

y

E) 2x + 3y – 5 = 0

A(–6, 4)

x

O

Y u k a r › d a k i v e r i le r e g ö r e , A ( – 6 , 4 ) n o k t a s › n › n x = – 2 do¤rusuna göre simetri¤i aflflaa¤›dakilerden hangisidir? A) (1, 3)

B) (1, 4) D) (2, 4)

420

C) (2, 2) E) (2, 3)

8.

A ( 2 , 1 ) n o k ta s › n › n x + y – 5 = 0 d o ¤ r u s u n a g ö r e s i m e t ri¤i aflflaa¤›dakilerden hangisidir? A) (5, 2)

B) (6, 3) D) (4, 3)

C) (1, 5) E) (3, 4)

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

9.

11.

y L

N

M

P

A

K

B

x

O

Birim karelerden oluflan zemin üzerinde A ve B flekilleri verilmifltir. Buna göre, A flfleekli 1 birim sa¤a, B flfleekli 3 birim sola ve 4 birim yukar›ya ötelendi¤inde A ve B flflee killerinin kesiflfliim bölgesinin alan› kaç birimkaredir?

Yukar›daki koordinat sisteminde verilen taral› flfleekil o r i j i n e t r a f › n d a 1 8 0 ° d ö n d ü r ü ld ü ¤ ü n d e K , L , M , N , P noktalar›ndan hangileri elde edilen flfleeklin d›fl bölge si nd e k a l › r ? A) Yaln›z K

B) K ve M

D) K, L ve M

A) 6

B) 6,5

D) 7,5

E) 8

C) K ve L

12.

E) N ve P

fiekil I

10.

C) 7

K

L

fiekil II

Kenar uzunlu¤u 2 cm olan kare fleklindeki bir karton parças› fiekil I deki gibi dört efl parçaya bölünerek her bir parças›n›n içine flekiller çiziliyor. Bu karton parças› KL do¤ru parças› üzerinde döndürülerek K noktas›ndan L noktas›na getiriliyor.

y II I

K ile L noktalar› aras›ndaki uzakl›k 10 cm oldu¤u na göre, bu kartonun fifieekil II deki görünümü aflflaa¤›da k i le r d e n h a n g i s i o l u r ? x

O

Yukar›daki koordinat sisteminde verilen I nolu flekil, bir A noktas› etraf›nda saat yönünde 90° döndürüldü¤ünde II nolu flekil elde ediliyor.

A)

B)

C)

D)

Buna göre, A noktas›n›n koordinatlar› aflflaa¤›dakiler d e n h a n g is id ir ? A) (1, 2)

B) (2, 2) D) (2, 3)

E)

C) (3, 2) E) (3, 3) B-D-A-D / B-E-B-D / C-C / A-C

421

KAVRAMA TEST‹ 1.

3

3.

y

y

4

2

O

O

x

4

fifieekildeki taral› bölgeyi ifade eden eflfliitsizlik aflflaa¤›da k i le r d e n h a n g is i d ir ? A) 2y + x – 4 ≥ 0

B) 2y + x – 6 ≤ 0

C) 2y + x – 8 ≥ 0

D) 2x + y – 4 ≥ 0

fifieekildeki taral› bölgeyi ifade eden eflfliitsizlik aflflaa¤›da kilerden hangisidir? A) 3y + 2x – 12 < 0

B) 3y + 2x – 12 ≤ 0

C) 2x + 3y – 12 < 0

D) 2x + 3y – 12 ≤ 0

E) 2x + y – 6 ≥ 0

2.

x

6

E) 3y + 2x – 12 ≥ 0

2x – 5y + 20 > 0 eflfliitsizli¤inin belirtti¤i aç›k yar› düzlem aflflaa¤›dakiler d e n h a n g i si d i r ? y

A)

y

B)

10

x

4

O

–3 ≤ x < 6 eflfliitsizli¤inin grafi¤i aflflaa¤›dakilerden hangisidir?

y

y

B)

x –3 O

–4

C)

y

A)

10

O

4.

6

x

–3 O

6

x

y

D)

y

C)

5

y

D)

4 –10

–2

x

O

–3 O

6

y

E)

2 5

x

x

–6

O 3

y

E)

O

422

x

O

–6

O 3

x

x

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

5.

7.

y A

6

Bafllangݍ O

2. ad›m

Y u k a r › d a v e r i l e n f r a k t a l ö r n e ¤ in in 3 . a d › m ›n d a k a ç ç e m be r b u l u n ur ?

x

2

1. ad›m

A) 42

B) 53

C) 59

D) 62

E) 65

fifieekildeki taral› bölgeyi ifade eden eflfliitsizlik aflflaa¤›da k i le r d e n h a n g is i d ir ? A) y ≥ 3x

B) y ≥ 4x D) x ≤ 3y

C) y ≥ 6x

8.

E) x ≤ 6y

Bafllangݍ

6.

A)

eflfliitsizliklerinin analitik düzlemde ifade etti¤i bölge aflflaa¤›dakilerden hangisidir? y

2. ad›m

Yukar›daki fraktal örne¤inde baflflllang›çtaki karenin 2 alan› 64 br oldu¤una göre, bu fraktal›n 4. ad›m›nda 2 ki taral› bölgelerin alanlar› toplam› kaç br dir?

x – 2y + 4 ≥ 0 ve 2x – y – 2 ≤ 0

A)

1. ad›m

81 4

B) 21

C)

85 4

D) 22

E)

45 4

y

B)

4 2 –4

2

O –2

x

2

y

C)

–4 O

9. x

y

D) 2

2 –2

6

3

x

O –4

–4

1

O

–2

E)

y

üm le r d e n Yukar›daki süslemede aflflaa¤›daki özel dönüflflü hangisi kullan›lm›flfltt›r? A) Yatay yans›ma B) Dikey yans›ma

6 3 –1 O –2

x

C) Öteleme x

D) Ötelemeli yans›ma E) 180 derecelik dönme A-C / A-C / A-D / B-C-D

423

GENEL TEKRAR TEST‹ 1.

3.

y

eflfliitsizli¤inin belirtti¤i taral› bölge aflflaa¤›dakilerden hangisidir?

6

C

2x – y + 6 ≤ 0

B

y

A)

y

B)

6 O

A

x

4

–3

C)

B) 8

C) 10

D) 12

–3

D)

y

O

x

y

6

Ç e v r e ( O A B C ) = 1 0 b i r im o l d u ¤ u n a g ö r e , A l a n ( O A B C ) k a ç b ir i m k a r e d ir ? A) 6

x

O

d

fiekildeki OABC dikdörtgeninde B köflesi, x eksenini 4 te, y eksenini 6 da kesen d do¤rusu üzerindedir.

6

O

O

x

3

E) 15

3

x

–6 y

E)

3

4.

x

O

–6

y

y=

2.

y

Boy(cm)

D

20 15

O

O

x Zaman (y›l)

2

A

ABCD karesinin D köflesi y =

x 2

C B(5, 0)

x

x do¤rusu, C köflesi 2

OC do¤rusu üzerindedir. Yukar›daki grafik, bir bitkinin boyunun y›llara göre de¤iflimini göstermektedir.

B(5, 0) oldu¤una göre, OC do¤rusunun denklemi aflflaa¤›dakilerden hangisidir?

B u n a g ö r e , k a ç ›n c › y › l › n s o n u n d a b i t k i n i n b o y u 5 5 cm olur?

A) 2y – 3x = 0

B) 5y – 2x = 0

C) 3y – x = 0

D) 6y – 5x = 0

A) 12

424

B) 16

C) 20

D) 24

E) 28

E) 5y + 2x = 0

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

5.

7.

x + y ≥ 0 ve y – 3 ≤ 0

y d2

eflfliitsizliklerinin belirtti¤i taral› bölge aflflaa¤›dakilerden hangisidir? A)

B)

y

y 45°

3

3 x

O

O

x+y=0

y x+y=0

y=x

3 x

O

Analitik düzlemde, birbirine paralel olan d1 ve d2 do¤rular›n›n grafikleri verilmifltir.

y

D)

O

d1 do¤rusu x ekseniyle pozitif yönde 45° lik aç› yapmaktad›r.

x

A ( 0 , 4 ) o ld u ¤ u n a g ö r e , d 2 d o ¤ r u s u n u n d e n k le m i aflflaa¤›dakilerden hangisidir?

–3

E)

y

x

x

O

x+y=0

C)

d1

A(0, 4)

y=x

A) 2y – x = 8

B) 2x – y – 8 = 0

C) y – x + 6 = 0

D) y + x – 4 = 0 E) y – x – 4 = 0

x

O –3

8.

6.

y

y

2y – 3x – 12 = 0

d y=9

x

O

d x

O

fiekildeki 2y – 3x – 12 = 0 ve d do¤rular› y ekseni üzerinde dik kesiflmifltir.

Analitik düzlemde verilen d : 2y + 3x – 6 = 0 ve y = 9 do¤rular›n›n grafikleri verilmifltir. B u n a g ö r e , t a r a l › b ö l g e le r i n a l a n l a r › to p l a m › k a ç b i ri mk a re d i r? A) 24

B) 20

C) 18

D) 16

Buna göre, d do¤rusunun denklemi aflflaa¤›dakilerden hangisidir? A) 3y + 2x – 18 = 0

B) 3y + 2x + 18 = 0

C) 4y + 3x – 15 = 0

D) 4y + 3x – 24 = 0

E) 3y + 2y – 12 = 0

E) 15

425

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

9.

12. Analitik düzlemde, A(6, –5) noktas›n›n x = 9 do¤ -

y

ru suna g ör e si me t ri ¤i ni n o rj i ne uz ak l › ¤› ka ç bi ri m di r?

B›(a, b)

A) 13

B(2ñ3, 2)

30° 30° O

B) 15

C) 17

D) 21

E) 25

x

A

›

[OB pozitif yönde 30° döndürülürse [OB elde ediliyor. m(AéOB) = 30°, B(2ñ3, 2) ›

Buna göre, B (a, b) noktas›n›n koordinatlar› aflflaa¤›da k i le r d e n h a n g is i d ir ? A) (2, 2)

B) (2ñ3, 2) D) (2, 2ñ3)

13.

Kâr (milyon TL) A

3

C) (2ñ3, 4)

B

2

E) (4, 2ñ3) O

2

4

Zaman (y›l)

fiekildeki grafik A ve B firmalar›n›n y›llara göre, kâr miktar›n› göstermektedir.

10. Aflflaa¤›daki do¤rulardan hangisinin e¤imi A)

B)

y 2

a tür?

A) 3

y

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

3 x

3

C)

Buna göre, kaç›nc› y›lda A firmas› B firmas›ndan 3 m i ly o n T L f a z l a k â r e d e r ?

x

2

D)

y

y

3

2

14.

–3

x

–2

x

(a + 2b)x + (b – 1)y + 5 = 0 d o¤ r u s u ( – 1 , 2) n o k t a s › n d a n g e ç t i ¤ i n e g ö r e , a k a ç t › r ?

E)

y

A) 1 3

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

x

–2

11. Analitik düzlemde, A(–3, 4) noktas›n›n x eksenine göre simetri¤i B, orijine göre simetri¤i C oldu¤una 2 göre, Alan(ABC) kaç br dir? A) 36

426

B) 32

C) 30

D) 28

E) 24

15. A(1, 5) ve B(5, –3) noktalar›ndan geçen bir do¤ru C(k, 1) noktas›ndan da geçmektedir. B u n a g ö r e , | B C | u z u n l u ¤ u k a ç b i r i m d ir ? A) 4ñ2

B) 3ñ3

C) 5

D) 2ñ5

E) 3ñ2

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

16.

20. Analitik düzlemde,

y F

C

x y + =1 4 3

E(1, 3)

do¤rusunun orijine göre simetri¤i olan do¤ru aflflaa¤› d a k i le r d e n h a n g i s id i r ?

B O

A

x

D

A) 3x + 4y + 12 = 0

B) 4x + 3y + 12 = 0

C) 4x + 3y + 6 = 0

D) 3x + 4y + 6 = 0

AOBC ve ODEF efl dikdörtgen, E(1, 3)

E) 2x – 3y – 12 = 0

Y uka r› da ki ve ri l er e gö re, C v e E nok t al a r› nda n ge çen do¤runun denklemi aflflaa¤›dakilerden hangisidir? A) 3x – 2y – 9 = 0

B) 2y – x – 10 = 0

C) 3y + 2x – 11 = 0

D) 2x – y – 5 = 0

E) 2y – x – 5 = 0

21. A(0, 6) noktas›n›n B(4, 3) noktas›na göre simetri¤i C noktas›d›r. Buna göre, köflflee noktalar› A, C ve orijin olan üçgenin al an› k aç bi ri mkaredi r? A) 12

17. Analitik düzlemde,

B) 16

C) 18

D) 20

E) 24

A( – 4 , 1 ) n o k t a s › n › n o r i j i n e g ö r e s i m e t r i ¤ i B n o k t a s › oldu¤una göre, B noktas›n›n koordinatlar› toplam› kaçt›r? A) 5

B) 4

C) 3

D) 2

E) 1

22. 2x + 3y – 12 = 0 do¤rusunun 2x + 3y – 9 = 0 do¤ru suna göre simetri¤i aflflaa¤›dakilerden hangisidir?

18. x – 3y – 10 = 0 do¤rusunun y eksenine göre simetri -

A) 2x + 3y – 8 = 0

B) 2x + 3y – 6 = 0

C) 2x + 3y + 8 = 0

D) 2x + 3y + 6 = 0

¤inin denklemi aflflaa¤›dakilerden hangisidir? A) y + 3x + 10 = 0

B) x – 3y + 10 = 0

C) x + 3y + 10 = 0

D) x – 3y – 10 = 0

E) 3x + 2y – 6 = 0

E) y + 3x – 10 = 0

23. A(1, 4) noktas›n›n y = mx + n do¤rusuna göre 19. A(3, 5) noktas›n›n x eksenine göre simetri¤i

simetri¤i B(7, 12) noktas›d›r.

B(a – 2, b + 3) noktas› oldu¤una göre, a + b toplam› kaçt›r?

B una gö re, A nok t as› n› n y = mx + n do¤ rusun a u z a k l › ¤ › k a ç b i r im d i r ?

A) –3

A) 4

B) –4

C) –5

D) –6

E) –7

B) 3ñ2

C) 5

D) 4ñ3

E) 6

A-B / B-C / B-E / E-A/D-E-E/A-A-C-D/ E-C-C-A /E-A-B-C

427

SINAVLARDA (ÖSS-ÖYS-YGS-LYS) SORULMUfi SORULAR 1.

4.

y A

5 4 3

B

2

C

1

(ÖSS 2008)

x

O

–5 –4 –3 –2 –1

5.

Dik koordinat düzleminde verilen ABC dik üçgeninin › › y eksenine göre simetri¤i al›n›yor ve A ile A , B ile B , › › › › C ile C simetrik nokta çiftleri olacak flekilde A B C › üçgeni elde ediliyor. Elde edilen bu üçgen de A noktas› etraf›nda saat yönünde 90° döndürülüyor. ›

Bu dönme sonucunda B noktas›na karflfl››l›k gelen B noktas›n›n koordinatlar› aflflaa¤›dakilerden hangisidir? A) (0, 3)

B) (2, 4) D) (4, 6)

y = x + 3 do¤ rusu nun y = x do¤ rus una gör e si me t ri¤i olan do¤runun denklemi aflflaa¤›dakilerden hangisi dir? x A) y = x – 3 B) y = –x + 3 C) y = 3 x x D) y = –1 E) y = +1 3 3

››

D i k koo rdi na t d üzl e mi nde d enk l em i x + y = 3 o l an do¤ run un, Oy eks eni ne gör e si me t ri ¤i ni n d enk l emi aflflaa¤›dakilerden hangisidir? A) –x + y = 3

B) x – y = 3

D) x + 2y = 1

6.

OABC bir kare

y E C 1

C) (3, 5)

|OA| = 4 birim D

E)

4

x

(ÖSS 2004) 7.

–1 6

1 A

Yukar›daki verilere göre, OB do¤rusuyla ED do¤rusu n u n K k e s i m n o k t a s ›n ›n a p s i s i k a ç t › r ? 3 5 7 A) 2 B) 3 C) D) E) 2 2 2

D i k k oor di nat dü zl em i nde , y + 2 x – 1 = 0 do¤ rus u na A(1, 0) noktas›ndan çizilen dikme, y eksenini h a n g i n o k ta d a k e s e r ? −1 –1 –1 A) B) C) 4 3 2 –1 5

|AD| = |CE| = 1 birim

B K

E) (5, 4)

O

D)

y

y = –x

(YGS 2010)

B u n o k ta l a r ›n ü ç ü d e a y n › d o ¤ r u ü z e r i n d e o ld u ¤ u n a g ö r e , k k a ç t› r ? A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

E) 12

(ÖSS 2008) 428

x

O •A3

Dik koordinat düzlemi üzerinde A(0, –1), B(2, 0) ve C(k, 4) noktalar› veriliyor.

y=x

•A5 •A4

3.

E) 2x + y = 1

(ÖSS 2007)

(YGS 2011)

2.

C) –x – y = 3

•A1 •A2

Yukar›daki grafikte belirtilen A1, A 2, A3, A 4, A 5 nok ta la r › n d a n h a n g is i , x ≤ y ≤ –x y≤0 ull a r › n › n t ü m ü n ü b i r l i k t e s a ¤ l a r ? koflflu A) A1

B) A2

C) A3

D) A4

E) A5

(ÖSS 2002)

DO⁄RUNUN ANAL‹T‹⁄‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹

8.

A ( 1 , – 1 ) n o k ta s › n › n O y e k s e n in e g ö r e s i m e t r i ¤ i B , a y n› A noktas›n›n y = x do¤rusuna göre simetri¤i C ol d u ¤ u n a g ö r e , | C B | u z u n l u ¤ u k a ç b i r im d i r ? A) 4ñ2

B) 3ñ2

C) 2ñ2

D) 2

11. (x + 3) (y – 1) = x. y ba¤›nt›s›n›n grafi¤i aflflaa¤›dakiler den hangisidir?

A)

B)

y

y

E) 1

3 1

(ÖSS 2002)

–3

C)

–3

x

O

x

O

D)

y

y

3

9.

y

O C(2,8)

x

E)

A

B

Q

x

O

Q

–3

y

x

O

–

O

Q

x

–3

fifieekilde, |OB| = |OA| ve C(2, 8) noktas› AB do¤rusu üzerinde oldu¤una göre, AOB dik üçgeninin alan› k a ç b ir i m k a r e d ir ? A) 12

B) 15

C) 18

D) 21

(ÖSS 2000)

E) 24

(ÖSS 2001)

10.

12.

y 3

A

–1 B –1

3

y

x

C

–7

–3

x

O

y = –3x + a

fifieekildeki taral› bölge, aflflaa¤›daki eflfliitsizlik sistemlerin d e n h a n g i s i y l e i fa d e e d il i r ? A) y > x x–1

B) y > x x>3 x + y < –1

D) y < x x