06 - Raz Matematico (3)

GUÍA 1 - CIENCIAS

84

RAZONES Y PROPORCIONES

Observaciones - a y c son las terceras diferenciales. - “b” es la media diferencial ó media aritmética se cumple que:

b  ac 2

RAZÓN: Se denomina así a la comparación que existe entre dos

cantidades; la cuál puede ser de dos tipos: Por diferencia cuando hallamos el número de unidades que una unidad excede a la otra, o por cociente cuando averiguamos cuantas veces una cantidad contiene a otra.

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA

Ejemplo

I. DISCRETA O DISCONTINUA

Razón aritmética ( r ) a  b  r ; r = valor de razón aritmética

Cuando sus cuatro valores son diferentes.

Es cuando se igualan 2 razones geométricas que tienen el mismo valor y a su vez se clasifican:

a  c b d

Razón geométrica ( k )

a k b

;

k=

valor de razón geométrica

Observaciones -

Donde: a : antecedente

b : consecuente 18 - 6 = 12 (R.A.)

;

18 =3 6 (R.G.)

a  b  c  d ; a cada una se les llama las cuartas proporcionales.

- Siendo a y d términos extremos; b y c términos medios. - Se cumple que: a.d  b.c II. CONTINUA Es cuando los términos medios son iguales.

Razón armónica ( h ) Está dado por las inversas de la razón aritmética.

1 1   h; a b

h = valor de razón armónica

PROPORCIÓN: Se denomina así a la igualdad que existe entre dos razones que tienen el mismo valor y pueden ser de dos tipos: PROPORCIÓN ARITMÉTICA Es cuando se igualan dos razones aritméticas que tienen el mismo valor y a su vez se clasifican en: I. DISCRETA O DISCONTINUA Cuando sus cuatro elementos son diferentes

a b  c d Observaciones: - a  b  c  d ; a cada una se les llama las cuartas diferenciales. - Siendo a y d términos extremos; b y c términos medios. II. CONTINUA Es cuando los términos medios son iguales.

a b  b c

a  b b c Observaciones: - a y c son las terceras proporcionales - “b” es la media proporcional ó media geométrica 2 - Se cumple que: b  a.c A continuación veamos algunos ejemplos: I. ¿Cuál es la cuarta diferencial de 60; 40 y 30? 60 – 40 = 30 – x  x = 10 II. ¿Cuál es la media diferencial de 84 y 24? 84 – x = x – 24  x = 54 III. ¿Cuál es la tercera diferencial de 92 y 48? 92 – 48 = 48 – x  x = 4 IV. ¿Cuál es la cuarta proporcional de 40; 60 y 160? 40 160  x = 240 60



x

V. ¿Cuál es la media proporcional de 4 y 36? 4 x  x = 12  x 36 VI. ¿Cuál es la tercera proporcional de 40 y 80? 40 80  x = 160  80 x

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GUÍA 1 - CIENCIAS PROPIEDADES

II. Si:

Para un caso particular sea la proporción: a  c b d

a = ck2

1

a+b c +d = b d

2

3

ab c d  a c

4

Se cumple:

2 razones

Se cumple que:

a_ b c _d = b d

III. Si:

y

b = ck

a b c = = =k ; b c d

Se cumple:

3 razones

ab cd  a c

a = dk3

ab cd  a- b c- d

5

a b = =k; b c

85

IV. Si:

;

b = dk2

a b c d = = = =k b c d e

y

c = dk

; Se cumple:

4 razones

Nota: - Serie se le llama a tres o más razones.

a = ek 4 ; b = ek3 ; c = ek2 y d = ek

- Para que sea proporción deben intervenir cuatro elementos. - Tres elementos hacen proporción solo que uno de ellos debe repetirse dos veces y estaríamos en el caso de la proporción aritmética ó geométrica. - Si el problema menciona simplemente proporción se refiere a la proporción aritmética.

V. Escala de un plano o mapa Al hacer el plano de una habitación o de una ciudad, o al hacer un mapa de un país o continente se establece una escala que es la razón entre la distancia sobre el plano y la distancia real.

Escala =

dist. sobre el plano dist. real

SERIE DE RAZONES ARITMÉTICAS EQUIVALENTES ( S.R.A.E. )

a - b = a - b = ... = a n - bn = r 1 1 2 2

PROBLEMAS RESUELTOS

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES ( S.R.G.E. )

a1

b1



a2

b2



a3



b3

an

bn

Problema 1 La razón aritmética y la razón geométrica de dos números son 20 y 7/3 respectivamente hallar el valor del antecedente de dichas proporciones.

k

Resolución: Sean los números a y b luego:

a1; a2; a3;......... .......... .; an  antecedentes

a  b  20 y

b1; b2; b3;......... .......... .; bn  consecuentes

k;

De donde: a = 7k y b = 3k Reemplazando tenemos: 4k = 20  k = 5 Siendo el antecedente a = 35

constante de proporcionalidad

PROBLEMA 2 En una serie de tres razones geométricas equivalentes de valor 4/3, la suma de los términos de cada razón resulta: 49; 70 y 63. hallar la suma de los consecuentes.

PROPIEDADES

1.

k

a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3

a a a 2. k  1 2 3 b1 b2 b3

 an

a a a  1 2 3  bn b 1 b 2 b 3 n

n

an  a1   a2   a3         b n  b 1   b 2   b 3 

Nota: I. Si:

n

a 3  a =3k;b = 4k = b 4

a 7  b 3

a  n bn

Resolución: Sea: n

a   n b   n

a c e 4 ; aplicando propiedad tenemos: = = = b d f 3 a +b c + d e + f 4 +3 = = = b d f 3

Reemplazando las sumas:

49 70 63 7 = = = b d f 3

 b+d+ f = 78

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86 PROBLEMA 3 De la serie:

Al dividir miembro a miembro ( 1 ) y ( 2 ):

K2 +K

4 3 5 6    a b c d

2

K +1

PROBLEMA 4 En una serie de razones geométricas continuas se cumple que la suma de los dos últimos términos es 9 veces la suma de los dos primeros términos y además el último consecuente más el duplo del primer consecuente es 66. Hallar la suma de los términos diferentes de dicha serie: A) 80 B) 40 C) 70 D) 50 E) 60 Resolución: De la S.R.G.C.

 K =2 y K =3

PROBLEMAS PROPUESTOS 1

BLOQUE I 1. La razón de dos números es 3/4 y los 2/3 de su producto es 1152. Encuentra el mayor de los dos números. a) 54 b) 65 c) 52 d) 46 e) 48 2. La relación geométrica entre dos números cuya suma es 65, se invierte si se añade 17 al menor y se quita 17 al mayor. ¿Cuál es el menor de dichos números? a) 24 b) 26 c) 32 d) 36 e) 18

a b c = = =K b c d

Se cumple: c + d = 9( a + b ) y d + 2b = 66 también:

a = dk3 ;b = dk2 y c = dk





1 1  K2  K  9 3

5. En una serie de razones iguales, los antecedentes son 3; 5; 7 y 8, y el producto de los consecuentes es 13 440; luego, la suma de los consecuentes es: a) 82 b) 38 c) 46 d) 86 e) 94

Al sustituir en: d + 2b = 66 2 d + 2d k = 66

2d = 66  d = 54 9 3

2

1 1  = 2 ; b = 54   = 6 3   3

Luego: a = 54 

1 c = 54   =18 3 Nos piden: a + b + c + d = 80 PROBLEMA 5 En una proporción geométrica continua la suma de los antecedentes es 18 y la suma de los términos extremos es 15. Calcular la suma de los cuatro términos si el valor de la razón es la menor posible. A) 15 B) 18 C) 24 D) 27 E) 30 Resolución: Sea del enunciado:

a b = =K b c

a  c  15

También se sabe que:

a = cK2 ; b = ck

Reemplazando tenemos:

2

cK + cK = 18.........(1)

cK2 + c = 15............(2)

3. Halla dos números tal que su media aritmética sea 18,5 y su media geométrica 17,5. Dar como respuesta el valor de uno de ellos. a) 10 b) 14,5 c) 12,5 d) 25,5 e) 17 4. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 5; 3 y 16. ¿Cuál es uno cualquiera de dichos números? a) 6 b) 10 c) 12 d) 8 e) 16

Al reemplazando tenemos: dk + d = 9 dk3 + dk2

y

 (K2 - 5K + 6) = 0

Como la razón es la menor posible tomamos: K= 2 Con lo cual: c = 3 ; b = 6 y a = 12 Siendo: a + b + b + c = 27

Resolución: Del enunciado tenemos: a = 4k ; b = 3k; c = 5k y d = 6k Como: a + b = 28  k = 4 Siendo: c + d = 44

a  b  18

6 5

(K -2) K -3 = 0

Hallar: c + d; Si a + b es 28

Obtenemos: d +

=

6. Tres términos consecutivos de una progresión aritmética creciente tienen como suma 42 y como producto 2688. Determina el tercer término. a) 16 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40 7. Tres números en progresión aritmética que aumentados en 2; 3 y 8 respectivamente, son proporcionales a 10; 25 y 50; Indica uno de ellos: a) 4 b) 6 c) 13 d) 3 e) 7 8. Tres números en progresión aritmética que aumentados en 2; 3 y 8 respectivamente, son proporcionales a 10; 25 y 50; Indica uno de ellos: a) 4 b) 6 c) 13 d) 3 e) 7 9. Si la razón de la suma con la diferencia de dos números enteros positivos es 5/3. ¿Cuál es el número mayor, si su producto es 64? a) 4 b) 16 c) 6 d) 8 d) 32 10. En una serie de razones geométricas iguales, los antecedentes son: 2; 3; 7 y 11 y el producto de los consecuentes es 37 422; la razón entre el consecuente y antecedente, es: a) 1/9 b) 9 c) 1/3 d) 27 e) 3 BLOQUE II 11. En la actualidad la edad de Pedro es el doble de la edad de Juan más 2 años. Hace tres años la relación de sus edades era como 3 es a 1. Dentro de 5 años, la suma de las edades de Juan y Pedro será: a) 38 b) 37 c) 36 d) 35 d) 34

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GUÍA 1 - CIENCIAS 12. De un grupo de niños y niñas se retiran 15 niñas quedando dos niños por cada niña. Después se retiran 45 niños y quedan entonces 5 niñas por cada niño. ¿Cuál es el número inicial de niñas? a) 12 b) 40 c) 25 d) 60 e) 92 13. Un escuadrón de aviones y otro de barcos se dirigen a una isla. Durante el viaje uno de los pilotos observa que el número de aviones que él ve es al número de barcos como 1 a 2. Mientras uno de los marineros observa que el número de barcos que él ve esa al número de aviones como 2 a 1. ¿Cuántas naves son en total? a) 16 b) 24 c) 18 d) 30 e) 20 14. Pablo le da a Alberto 50m de ventaja en una carrera de 400m, luego Alberto le da a David 40m de ventaja en una carrera de 200m ¿Cuántos metros le debe dar Pablo a David en una carrera de 100m? a) 70m b) 80 c) 20 d) 30 e) 40 15. En una granja se observa que por cada 2 gallinas hay 3 patos y por cada 5 cerdos hay 2 patos, si se aumentaran 33 gallinas estas serían tantas como los cerdos. Calcular cuántos patos hay en el corral. a) 18 b) 12 c) 36 d) 20 e) 24 16. En una carrera de caballos “cachay” gana a “tripita” por 20 metros y “tripita” gana a “petete” por 30 metros, todo ellos en una carrera de 1000 m, en la carrera de fondo de 5 000 m, ¿Por cuánto ganará “cachay” a “petete”? a) 320 b) 247 c) 300 d) 245 e) 400 17. En un clásico entre los equipos de la “U” y Alianza Lima, la relación de hinchas al iniciar el partido es de 17 a 14, a favor de los “íntimos”; sin embargo luego de un gol “crema” la relación inicial se invierte ¿Cuántos se cambiaron a la U, sabiendo que asistieron 27 900 espectadores? a) 2770 b) 2 500 c) 2 800 d) 2350 e) 2700 18. En la biblioteca del C.P.U. se observa que hay 5 libros de aritmética por cada 4 libros de álgebra, además por cada 6 libros de álgebra hay 5 libros de geometría. Si hay 20 libros más de aritmética que de geometría, ¿cuántos libros de álgebra hay? a) 40 b) 44 c) 48 d) 58 e) 30 19. Cierto día a una obra teatral asistieron 380 personas, observándose que cada varón adulto ingresaba con 5 niños y cada mujer adulta ingresaba con 3 niños. Si al final se tuvo 3 varones adultos por cada 5 mujeres adultas. ¿Cuánto dinero se recaudó dicho día, si la entrada fue de S/. 15.00 adultos y S/. 10.00 niños? a) 4200 b) 5800 c) 4700 d) 3800 e) 6300 20. En el zoológico por cada 5 hombres que entran, 3 entran con un niño y de cada 7 mujeres 4 entran con un niño, además por cada 6 hombres entran 5 mujeres. Si entraron 678 niños en toral ¿Cuántos adultos entraron al teatro? a) 1224 b) 1100 c) 1551 d) 1551 e) 2105 21. En una fábrica embotelladora se tiene tres máquinas A, B, y C, por que cada 7 botellas que produce la máquina “A”, la máquina “B” produce 5 y por cada 3 botellas que produce la máquina “B”, la máquina “C” produce 2. en un día la máquina “A” produjo 4400 botellas más que “C”. ¿Cuántas botellas produjo la máquina “B” ese día? a) 2000

b) 3000 c) 4000

a) 4590

b) 4950 c) 3780

23. El volumen de agua contenida en un vaso A, es el doble del volumen de vino en un vaso B y el de este el doble del vino que contiene otro, C. La tercera parte de agua de A se vierte en B y un tercio del resto en C. Después de esta operación se vierte el contenido de B en C y por último todo el contenido de C en A. Calcular la relación en que están al final los volúmenes de los dos líquidos (vino a agua) en el vaso A. a) 1:1

d) 3870 e) 3965

b) 1:2

c) 4:3

d) 2:1

e) 3:4

24. Dos negociantes de vinos ingresaron por las fronteras del Perú, portando uno de ellos 65 botellas de vino y el otro 25. Como no tienen suficiente dinero para pagar los derechos de la aduana, el primero paga con 5 botellas de vino y S/. 40 y el segundo con 4 botellas de vino, pero éste recibe de vuelto S/. 40. ¿Cuál es el precio de cada botella de vino? a) S/. 17

b) 18

c) 19

d) 20

e) 21

BLOQUE III 1. En una proporción geométrica continua la suma de los términos extremos es 20 y su diferencia es 16. ¿Cuál es la media proporcional? a) 18 b) 6 c) 8 d) 12 e) 2 2. La suma del antecedente y el consecuente de una razón geométrica es 26. ¿Cuál es el valor absoluto de su diferencia, si la razón vale 0,04? a) 13 b) 32 c) 27 d) 24 e) 15 3. En una proporción geométrica continua la suma de los términos extremos es 20 y su diferencia es 16. ¿Cuál es la media proporcional? a) 18 b) 6 c) 8 d) 12 e) 2 4. La media geométrica de dos números es 15. Si la proporción continua que se forma tiene por razón 3/5, el valor absoluto de la diferencia de los extremos es: a) 3 b) 25 c) 16 d) 24 e) 13 5. ¿Cuál es la diferencia entre los extremos de una proporción continua, si la suma de sus cuatro términos es 36 y la razón entre la suma y la diferencia de los dos primeros términos es 3? a) 10 b) 26 c) 23 d) 17 e) 12

6. Sea la proporción:

a c 1   b d k

y además se cumple:

a1 c3  ; el valor de k es: b2 d6 a) 6 7.

b) 4 Si:

d) 6000 e) 8000

22. Un aritmético, al morir dejó a su esposa embarazada una herencia de S/. 27940 condicionándola de la siguiente forma: ella recibiría los 5/6 de lo que le toque al niño si era varón, pero si nacía niña recibiría 7/9 de lo que a esta le tocaría. Si la esposa del aritmético al dar a luz tubo quintillizos: dos niños y tres niñas ¿Cuánto le correspondió de la herencia a cada niña?

87

M

d) 2

d) 1/4

p q r ; q=4p; r=5p. Determina el valor de:   a b c

a2  b2  c2 2

 a  b  c

a) 0,38

8. Si:

c) 3

b) 12,5

c) 2,36

a b c d    ; b c d e

d) 0,42

e) 1,32

a2  b2  c2 2

2

2

b c d



bcd c  4e

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88

Calcule:

a) 128

ac ad  d e

b) 80

REPARTO PROPORCIONAL

d) 188

e) 108

e) 78

9. Si: a b c    2005 m n p

Además:

Calcular:

a2005  b2005  c2005 m2005  n2005  p2005 2005

k

Definición: Consiste en Repartir una cantidad en partes directa proporcional (RPSD) o inversamente proporcional (RPSI) como también al reparto proporcional compuesto (RPC) a ciertas cantidades que llamaremos indicadores, comprobándose que la suma de las cantidades encontradas debe ser igual a la cantidad inicial repartida. (I )

K

Reparto Simple

CLASES (II )

a) 1

b) 2005

d) 6015

e) 2005

10. Si:

m 4 = y n 3

1 2

-1

3mr - nt r 9 = entonces el valor de: es: 4nt - 7mr t 14

d) -11/14

b) – 1

- Inverso

Reparto Compuesto

c) 4005 PROBLEMITA A y B son puntos céntricos de los dos cuadrados. Cada lado de ambos mide 4 m. Por tanto el área de la parte sombreada es: 4

2

a) -5

- Directo

1 4

A) 24m c) 11/14

e) Ninguna

2

B) 31m

2

C) 26m

A

2

D) 30m E) N. A.

B

PROBLEMITA

4

REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE DIRECTO Indique usted cuál corresponde al dibujo

Método General Repartir “S” en partes

X1, X2, .......... ., XN

que sean D.P. a

b1, b2, .......... ., bN determinar cada una de las partes. Resolución: Partes:

X1 , X2 , ......, XN  X1 + X2 + ....... + XN

Indicadores: b1, b2, ..........., bN Por dato:

X1, X2, ..........., XN D.P. b1, b2, ..........., bN Entonces: X1  b1

X2 b1

X  ..........,  N  K bN

( K Constante de proporcionalidad ) Por propiedad:

X  X2  ...........  XN S K 1  KS i b1  b2  ...........  bN Donde:

S i = Suma de indicadores

Luego: X1  b1 K ; X2  b2 K ; ........ ; XN  bN K Método práctico

Partes D .P. S (Cantidad Total )

a

x (+)

b

y z Si

c Las partes son: a =x.K b = y.K Problema 1

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y

k

c = z.K

a + b +c X + Y +Z



S Si

GUÍA 1 - CIENCIAS Repartir 25200 en partes D.P. a 5, 7, 9. Determinar cada una de las partes

Partes a

Resolución: Sean las partes D.P.

2225

b c

25200

a

5k

b

7k 9 k 21

c

a = 5( 1200 ) = 6000; c = 9( 1200 ) = 10800

k

25200 21

Resolución:

M.C.M (6, 8, 4) Partes D.P

Las partes son: a = 20( 20 ) = 400 c = 18( 20 ) = 360

8 1 9

M.C.M. (4 , 6 , 9)

3 4 x 36 = 27 k 5 6 x 36 = 30 k 32 k 8 9 x 36 = 89k

k=

2225 89

= 25

b = 30( 25 ) = 750;

PROBLEMAS PROPUESTOS 2

Problema 2 Repartir 940 en 3 partes que sean proporcionales a los números: 5/6; 3/8; 3/4

BLOQUE I 1. Repartir 200 en 3 partes que sean proporcionales a: 2; 3; y 5. dar la diferencia entre la mayor y menor parte. a) 40 b) 20 c) 60 d) 8 e) 10 2. Repartir S/. 42 entre: A; B y C de modo que la parte de A sea el doble de la parte de B y la de C la suma de las partes de A y B. a) 14 b) 7 c) 28 d) 25 e) 35

20k 9k

3 1 4 5 1 6

Las partes son: a = 27( 25 ) = 675; c = 32( 25 ) = 800

 1200

b = 7( 1200 ) = 8400;

 5 a  6  24   940 b  3  24 8  c  3  24  4 

D.P . D.P.

89

 k  940  20 47

3. Repartir 2500 en partes que sean directamente proporcionales a: 20

23

2 ;2 a) 100

18 k 47 k

24

y 2 . Hallar la parte mayor. b) 1600 c) 1800 d) 900

e) 800

4. Al repartir 480 en forma proporcional a: ½; 2/3 y 5/6, se obtiene que la menor parte es: a) 180 b) 170 c) 200 d) 120 e) 210

b = 9( 20 ) = 180;

5. la suma de S/. 1320, se reparte en 4 partes que son D.P a:

REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE INVERSO

3 5; 3 40; 3 135 y

3

625

Se soluciona al igual que el caso del RPSD solo que invertimos los indicadores dados de I.P. a D.P.

Hallar la suma de las 2 menores partes. a) S/. 360 b) 600 c) 480 d) 240

Problema 3 Repartir 12600 en partes I.P. a 1/4; 1/7; 1/10. Dar como respuesta la menor de las partes.

6. Repartir 5880 en 4 partes de tal manera que la primera sea a la segunda como 3 es a 4, la segunda sea a la tercera como 2 es a 5; y la tercera sea a la cuarta como 4 es a 3; la mayor parte será: a) 1440 b) 1200 c) 2400 d) 1960 e) 9600

Resolución:

12600

Partes

IP.

DP.

a

1 4 1 7

4 k

b c

Las partes son: a = 4( 600 ) = 2400;

7 k

k

10 k 1 10 21 k

12600 21

7. Repartir 1130 en 3 partes que sean D.P a: 2; 10 y 8 e I.P a: 5; 8 y 2. Dar como respuesta la menor parte. a) 50 b) 80 c) 250 d) 800 e) 250

 600

8. El profesor de razonamiento matemático y el profesor de literatura tienen 80 y 55 bizcochuelos respectivamente; se encuentran con el coordinador y se reparten los 135 bizcochuelos en partes iguales, luego de comérselos el coordinador les entrega S/. 45 como recompensa. ¿Cuánto demás recibe el profesor de R.M, respecto al profesor de literatura? a) S/. 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

b = 7( 600 ) = 4200;

c = 10( 600 ) = 6000 Observación En un reparto inverso aquél que tiene el número proporcional al menor le toca la parte mayor y viceversa.

REPARTO PROPORCIONAL COMPUESTO RPC. Problema 4 Repartir 2225 en 3 partes que sean D.P. a los números 3, 5, 8 el I.P. a los números 4, 6, 9. Resolución:

e) 180

9. Tres ciclistas quedan de acuerdo para distribuirse S/. 94500 proporcionalmente a la velocidad que corran una misma distancia. Si luego de la prueba tardaron: 3; 5 y 6 horas respectivamente. ¿Cuánto recibe el más veloz? a) S/. 45000 b) 54000 c) 50400 d) 405000 e) 45555 10. Un anciano sin familia dispuso en su testamento que al morir su herencia se reparta entre sus sirvientes I.P a sus edades pero D.P a sus años de servicios. Al morir dicho anciano las edades de sus sirvientes eran: 30, 45 y 50 años y tenían: 12, 20 y 25 de servicio respectivamente. Al hacerse el reparto se observo que el que tenía más años de servicio recibió 9000 soles más que el más joven. Determinar la herencia repartida. a) 169000 b) 121000 c) 135000 d) 125000 e) 132000

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GUÍA 1 - CIENCIAS

BLOQUE II 11. Cuando Komico va almorzar a un restaurant y le sirve una mujer, le da doble de propina a la mujer que al hombre y si le sirve el hombre y un muchacho, le da el doble de la propina al hombre que al muchacho. Si un día le sirven: el hombre, la mujer y el muchacho y les da S/. 14 de propina. ¿Cuánto recibió el muchacho? a) S/. 2 b) 8 c) 4 d) 7 e) 12 12. Una viuda debía repartirse la herencia de S/. 13400 que le dejó su esposo con el bebe que esperaba. Si nacía un niño, la madre y el hijo se repartían la herencia proporcionalmente a 4 y 7 respectivamente. Si nacía niña, la madre y su hija se repartían proporcionalmente a 5 y 3 respectivamente. Al fin y al cabo nacieron mellizos: un niño y una niña. ¿Cuánto recibió la niña? a) S/. 4000 b) 7000 c) 2600 d) 2400 e) 3500

los otros 2, también proporcional a sus edades, por lo que a uno de ellos le correspondió 2700 dólares adicionales. Calcular las edades. a) 36; 25; 40 b) 36; 40; 45 c) 36; 45; 60 d) 36; 60; 72 e) 36; 39; 42 PROBLEMITA Indique usted cuál corresponde al dibujo

13. Entre 3 personas contratan un garaje, el primero guarda 5 autos durante 40 días, el segundo guarda 8 autos durante 1 mes y el tercero 6 autos durante 25 Díaz. Si el arrendamiento costó S/. 2360. ¿Cuánto le corresponde pagar al segundo? a) S/. 800 b) 960 c) 600 d) 900 e) 780 14. Se contratan 3 camiones para el transporte de 24 toneladas de cemento por un total de S/.49590.El primero tiene que transportar 6 toneladas a 22Km, el segundo transporta 10 toneladas a 15 Km. y el tercero 8 toneladas a 30Km. ¿Cuánto debe pagarse al tercer camión? a) 22800 b) 22850 c) 24600 d) 22000 e) 23800 15. Tres personas deciden pintar las fachadas de sus casas de 24; 25 2

y 27m . Respectivamente. Para terminar más rápido contratan a un pintor y pintan los 4 la misma área. Si el pintor recibe S/.45600 ¿Cuánto le debe pagar cada una de las personas? Indicar la mayor de las partes. a) 12000 b) 14400 c) 19200 d) 18500 e) 22000 16. Dos personas se asociaron para establecer un negocio. La primera contribuyó con S/. 4,500 y el segundo con S/.3600.Al terminar en negocio resulta que el capital se redujo a S/.6300.¿Con cuanto se retiro el que perdió mas? a) 3500 b) 2800 c) 2500 d) 3800 e) 4200 17. Un fabricante empezó un negocio con S/.800 de capital;4 meses después acepto un socio con S/.1200 de capital y 2 meses mas tarde aceptaron otro socio con S/.1000 de capital. Si a los 2 años de iniciado se liquido el negocio y el primero recibió S/. 114 menos de ganancia que los otros 2 juntos. ¿Cuál fue la ganancia del segundo? a) S/.800 b) S/.600 c) 1200 d) S/.1000 e) S/.500 18. José reparte 1400 soles entre sus hijos proporcionalmente al orden en que nacieron. Adicionalmente entrega 200 soles al segundo, de manera que este recibe la misma cantidad que el penúltimo ¿Cuál es la máxima cantidad de hijos que puede tener José? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 19. Un matemático al morir, dejó a su esposa embarazada una herencia de 27940 dólares, condicionándola de la siguiente forma: ella recibirá los 5/6 de lo que le toque al niño si este fuera varón, pero si nacía niña recibía los 7/9 de los que a esta le tocara. Si la esposa al dar a luz tuvo quintillizos: 2 niños y 3 niñas ¿Cuánto le correspondió de herencia a cada niño? a) S/.4590 b) S/.4950 c) 4620 d) S/.3780 e) S/.9240 20. Una persona dispuso en su testamento que se entregara a 3 sobrinos suyos la cantidad de 19695 dólares para que se repartan proporcionalmente a las edades que cada uno de ellos tuviera el día en que falleciera. Uno de ellos tenía 36 años el día en que su tío falleció y le correspondió 7020 dólares, pero renunció a ellos y el reparto se hizo entre

PLANTEO DE ECUACIONES Plantear una ecuación significa traducir adecuadamente el enunciado de un problema a una expresión matemática (Algebraica) mediante uno o más ecuaciones. Sugerencias para Resolver Problemas I. Identificar la incógnita II. Establecer las relaciones III. Solución de la Ecuación IV. Verificación A continuación daremos algunas nociones teóricas. Sea la proporción:

Siendo el Total = a + b = 9k



T = 9k

Se lee: - a es a b como 4 es a 5 - Dos números están en relación de 4 a 5

Forma Analítica (o abreviado)

Forma Simbólica

El duplo de un número, disminuido en 9 El duplo de un número disminuido en 9 La suma de dos números impares en su forma correcta Un número impar en su forma correcta Un número par La suma de tres números pares consecutivos El doble de un número

2x – 9

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2(x – 9) (2x + 1)+ (2x + 3) 2x – 1 ó 2x + 1 2x (2x)+(2x+2)+(2x+4) 2x

GUÍA 1 - CIENCIAS Dos veces más un número “a” veces tu edad La inversa o recíproco de un número

3x a.x

El triple del recíproco de A

1 A A = B + 3B A–B A–N=B x = (n + 1)y

1 x

Su, sus

Indica repetición de una misma cantidad

Tres números son proporcionales a 3, 4 y 5

a b c   k 3 4 5 a=3k; b=4k; c=5k

3.

A es tres veces más que B El exceso de A sobre B A excede a B en N Una cantidad es “n” veces más que otra

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PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 I. De los 20 soles que tenía, gasté á tercera parte de lo que no gaste. ¿Cuánto gasté? Resolución: Tenía : 20 Gaste: x No gaste: 3x Luego: Gaste + No gaste = Tenía x + 3x = 20  x = 5 Por lo tanto gasté 5 soles. Problema 2 ¿Cuál es el número cuyo cuádruplo sumando al mismo el igual al doble del número, más el triple del mismo? Resolución: Sea el número “ x ” luego del enunciado tenemos: 4x + x = 2x + 3x



5x = 5x

La igualdad significa que se cumple para cualquier valor de x. Problema 3 En un corral se observa 3 gallinas por cada 5 patos y 4 conejos por cada 3 patos. Si en total se cuentan 176 cabezas. ¿Cuál es el número de gallinas? Resolución: Del enunciado obtenemos: Número de gallinas = 9x Número de patos = 15x Número de conejos = 20x

Con lo cual: Parte = 2k Queda = 3k Total = 5k Esto quiere decir que la unidad ha sido dividida en 5 partes de las cuales hemos tomado 2. Nota: Como la ecuación cuadrática ( x – 3 )( x – 4 ) = 0, presenta dos raíces o dos ceros.

En este caso la respuesta sería el menor cociente, razón, comparación o relación a no ser que nos indiquen lo contrario.

ALGUNOS ENUNCIADOS ABIERTOS

Menor, excedido

Problema 4 Juan le da a Jorge tantas veces 5 centavos como soles tiene en su bolsillo, sabiendo que aún le queda 57 soles. ¿Cuánto tenía al encontrarse con Jorge? Resolución: Juan tiene: “x ” soles Juan le da a Jorge: “ x ” veces S/. 0,05 Le queda S/. 57 obteniendo así:

x

x  57  x  60 20

Por lo tanto tenía inicialmente 60 soles.

NOTA Aumentado, agregado De, del, de los es, como, será, tendrá, nos da es a, como, entre veces mayor, excede a

Sumando tenemos: 44x = 176  x = 4 Siendo las gallinas: 9( 4 ) = 36

Suma (+) Producto(x) Igualdad (=) Cociente Producto Un número tiene más que otro Un número tiene menos que otro

Problema 5 Se le pregunto al hijo de Nicomedes. ¿Cuántos hermanos eran?. A lo que contestó: “Tengo dos veces más hermanas que hermanos”. Al preguntársele a una niña contestó: “Tengo tantas hermanas como hermanos”. ¿Cuántos niños habían? Resolución: Sean: niños = x niñas= y Cuándo el niño contesta: y = 3( x - 1) Cuándo la niña contesta. y – 1 = x Resolviendo tenemos que: x = 2 y

y=3

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PROBLEMAS PROPUESTOS 3

BLOQUE I 1. Hallar dos números consecutivos cuya suma sea igual a la cuarta parte del primero, más los 5/3 del segundo. Dar como respuesta el consecutivo del mayor de dichos números. A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 10 2. Rosario desea saber cuánto costó el auto de Mónica. Si ésta le ha dicho que al venderlo por S/.29 000, ha ganado S/.1000 más el triple de lo que le costó a ella. A) S/. 10 000 B) 7 000 C) 14 000 D) 15 000 E) FALTAN DATOS. 3. De un grupo de carneros y gallinas, el número de patas era 36 y el número de cabezas era 15. ¿Cuántos carneros hay? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 6 4. Sí compro plátanos a 2 por S/.5 y los vendo a 3 por S/.8 para ganar 120 soles. ¿Cuántos debo comprar? A) 120 B) 420 C) 320 D) 720 E) 510 5. Un heladero gana un promedio diario de S/.50 y gasta por día S/.32,50 pero el día que no trabaja gasta S/.8 más. ¿Cuántos días no trabajó si después de 60 días está adeudando S/.110? A) 5 B) 20 C) 40 D) 25 E) 16 6. La cantidad 5400 soles debe ser cancelada entre 18 personas, pagando partes iguales, pero como algunas de ellas no pueden hacerlo, las otras tendrán que pagar 150 soles más cada una. ¿Cuántas personas no pueden pagar? A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 4 7. Un premio de S/.20 700 se va a repartir entre 300 personas. Algunos de los cuales fallecen antes de poder cobrar, entonces el resto tiene que cobrar S/.2070 cada una. ¿Cuántas fallecieron? A) 250 B) 200 C) 290 D) 170 E) 270 8. Un importador adquiere 50 impresoras offset todo por S/.785 000. Si por razones de embalaje quedan 7 máquinas inservibles, ¿A qué precio deberá vender las demás para tener una máxima pérdida de S/.6 700? A) S/.17 100 B) 17 900 C) 18 050 D) 18 225 E) 18 100 9. El día que Juan trabaja recibe S/.300 pero el día que no lo hace le descuentan S/.100. Si después de 40 días Juan adeuda a la empresa S/.2000. ¿Cuántos días no trabajó? A) 25 B) 15 C) 35 D) 5 E) 10 10. En un examen de admisión de 100 preguntas, Jaimito responde todas y obtiene un puntaje de 50 puntos. En cuántas se equivocó si por pregunta buena le dan un punto y por equivocada le descuentan 1/4 de punto? A) 38 B) 35 C) 43 D) 36 E) 40 11. En un examen, un alumno gana 4 puntos por respuesta correcta, pero pierde un punto por cada equivocación. Si después de haber contestado 50 preguntas obtiene 160 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió correctamente? A) 38 B) 40 C) 42 D) 44 E) 32 12. Con S/.101 000 se ha comprado carneros y ovejas, adquiriendo un total de 25 animales. Si cada carnero cuesta S/.3 000 y cada oveja S/.5 000. ¿Cuántos carneros y ovejas se han comprado? A) 12 y 13 B) 15 y 10 C) 18 y 7 D) 7 y 18 E) 11 y 14 13. En un taller encontramos 80 vehículos entre autos y motocicletas, contando 176 llantas. ¿Cuántas motocicletas encontramos? A) 30 B) 28 C) 36 D) 72 E) 71

14. Se trata de formar una longitud de un metro colocando 34 monedas de 4 y 5 Kopekes en contacto con sus cantos y una a continuación de otra. Los diámetros de las monedas son de 20 mm y 30 mm respectivamente ¿Cuántas monedas de 5 Kopekes se necesitan? A) 20 B) 32 C) 18 D) 26 E) 2 15. Un ferrocarril conduce 150 pasajeros en vagones de primera y segunda clase, los primeros pagan S/.1,5 y los últimos S/.1. Si la recaudación total fue de S/.187. ¿Cuántos viajaron en segunda clase? A) 48 B) 76 C) 84 D) 102 E) 74 BLOQUE II 1. En un autobús se observa que hay 56 personas de las cuales 22 están sentadas. Los varones que están sentados son tantos como las damas que están paradas, y la cantidad de damas que están sentadas es la mitad de los varones que están parados ¿Cuántos varones hay en el autobús? a) 40 b) 26 c) 38 d) 42 e) 34 2. Al comprar 10 manzanas me regalan 2 y al vender 15 regalo 1. ¿Cuántas debo comprar para ganar 24 manzanas? a) 192 b) 120 c) 180 d) 280 e) 620 3. Pedro puede ahorrar S/. 100 diariamente, pero cada vez que sale con Angélica sólo ahorra S/. 35 y cuando sale con Zayda sólo ahorra S/. 25 ¿En cuántos días como mínimo podrá ahorrar exactamente S/. 490, si se sabe que nunca sale con ambas? a) 7 b) 9 c) 10 d) 8 e) 11 4. Compré cierto número de libros por S/. 600. Vendí 40, perdiendo S/.2 en cada uno y recibí un total de S/.320. ¿A cómo tengo que vender los restantes si quiero ganar S/.60? a) S/. 14 b) S/. 15 c) S/. 17 d) S/. 19 e) S/. 20 5. Un criador compró cierto número de caballos por S/.114 000. Vendió una parte por S/.80 000 a S/.3 200 cada uno, ganando en esta operación S/.5 000. ¿Cuántos caballos compró inicialmente? a) 40 b) 35 c) 39 d) 42 e) 38 6. María compra 30 libros de medicina a 70 soles cada uno; en un descuido le robaron unos cuantos y al vender cada uno de los restantes aumentó tantas veces 2,8 soles como libros le habían robado, resultando que no hubo pérdida, ni ganancia. ¿Cuántos libros le robaron? a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 6 7. Filomena viaja en el último vagón de un tren, el cual tiene 9 vagones. Cuando avanza de un vagón a otro tiene que pagar 16 soles y cuando retrocede le devuelven 12 soles. Si para llegar al primer vagón realizó 24 cambios. Calcule la suma de lo que cobró y pagó. a) S/. 398 b) S/. 379 c) S/. 35 d) S/. 355 e) S/. 389 8. Un comerciante compró cierto número de libros por un valor de S/. 60, se le extraviaron 3 de ellos y vende los que le quedan en S/. 2 más de lo que le había costado cada uno, ganando en total S/. 3. ¿Cuánto le costó cada libro? a) S/. 4 b) S/. 10 c) S/. 6 d) S/. 8 e) S/. 5 9. Cuando se posa una paloma en cada poste hay 3 palomas volando. Pero cuando en cada poste se posan 2 palomas, quedan 3 postes libres. ¿Cuántas palomas hay? a) 12 b) 10 c) 8 d) 9 e) 11 10. Un ciego entró en una tertulia de señoras; quedó un momento a la escucha y luego dijo: “Saludo a las 24 damas aquí presentes” “No somos 24”, le respondió una de ellas.

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GUÍA 1 - CIENCIAS “Pero si fuésemos cuatro veces más de las que somos, seríamos tantas más de 24 como tantas menos somos en este momento”. ¿Cuántas señoras había en la tertulia? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12 11. Se tienen dos depósitos de vino A y B. De A pasan a B tantos litros como hay en ese depósito, luego de B pasan a A tantos litros como habían quedado en este depósito. Si al final A y B tienen 16 y 20 litros respectivamente. ¿Cuántos litros tenía cada depósito inicialmente? a) 8; 28 b) 22; 28 c) 20; 16 d) 22; 14 e) 25; 11 12. ¿Qué número es tantas veces más que 6, como 36 es tantas veces dicho número? a) 6 b) 4 c) 18 d) 12 e) 3 13. Una señora va al mercado a comprar tomates; para comprar 5 kg le falta “a” soles, pero si hubiera llevado “b” soles más habría comprado 2 kilos más y aún le hubiera sobrado “a” soles. ¿Cuánto dinero llevó al mercado dicha señora? a)

ba 2

b) a

c)

b a

d) 5b  12a 2

e)

ba 3

14. Una persona divide el dinero que tiene en el bolsillo entre 50; obteniendo un número entero “n”. Luego da “n” monedas de 5 soles a un niño quedándose con 900 soles. ¿Cuánto tenía en el bolsillo? a) 1000 b) 950 c) 250 d) 800 e) 700 15. Un ganadero compró 75 vacas por un costo total de S/.275 625. Por una rara plaga murieron algunas de ellas vendiendo las que quedaron en S/.6 125 cada una. ¿Cuántas vacas murieron sabiendo que al quedarse el ganadero sin ninguna de las 75 vacas iniciales, no le queda tampoco ganancia? a) 30 b) 32 c) 28 d) 27 e) 35 16. Se quiere cercar un terreno de forma cuadrada cuya área es 361 2

m con una cerca de 2 hileras de alambre. Se desea saber, ¿cuánto costará toda la obra, si el metro de alambre cuesta 5 soles y la mano de obra total 65 soles? a) s/. 825 b) s/. 930 c) s/. 848 d) s/. 796 e) s/. 830 17. En un corral hay tantas patas de patas como cabezas de patos; pero hay tantas patas de patos y patas como cabeza de patas y patos aumentado en 30. ¿Cuántos animales se contará en total luego que cada pata tenga cría 6 patitos? a) 90 b) 60 c) 30 d) 50 e) 70 18. En un corral hay tantas patas de patas como cabezas de patos; pero hay tantas patas de patos y patas como cabeza de patas y patos aumentado en 30. ¿Cuántos animales se contará en total luego que cada pata tenga cría 6 patitos? a) 90 b) 60 c) 30 d) 50 e) 70 19. Un conejo es perseguido por un sabueso y lleva 50 de sus saltos de ventaja a éste..El sabueso da 5 saltos mientras que el conejo da 6 pero 9 saltos del conejo equivalen a 7 saltos del sabueso. ¿Cuántos saltos da el conejo desde que comienza a perseguirlo el sabueso hasta que lo alcanza? a) 600 b) 670 c) 679 d) 700 e) 732 20. Según una fábula, un león, que por cierto era muy generoso, se encontraba listo para comer sus presas cuando de repente se presentó el puma y el león compartió con éste dándole los 2/3 de sus presas; luego se encontró con el tigre y le dio a éste 2/5 de las presas que le quedaba y finalmente se encontró con el leopardo y le dio a éste 3/7 de las presas que le quedaron después de que se encontró con el tigre. Si al final sólo le quedaron 8 presas. ¿Cuántas presas tenía el león al inicio? a) 68 b) 70 c) 80 d) 105 e) 84

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BLOQUE III 1. Marina compra jarrones a S/.48 y S/.42 pero no recuerda cuantas, solamente recuerda que gastó S/.1542 y que el número de jarrones de S/.48 era impar y no llegaba a 10. ¿Cuántas compró? a) 31 b) 33 c) 35 d) 36 e) 39 2. En una clase de la Fleming hay 57 alumnos, a la quinta parte de las señoritas les gusta razonamiento y a la octava parte de los varones les gusta Matemática. ¿Cuál es la diferencia entre el número de varones y señoritas? a) 1 b) 2 c) 7 d) 6 e) 4 3. Dorita tiene en total ab animalitos; todos conejitos menos 6a; todos gatitos menos 4b y todos pollitos menos 10a. ¿Cuántos gatitos tiene como máximo? a) 2 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 4. Si al cuadrado de un número de dos dígitos se le resta el cuadrado del número formado por los dígitos en orden invertido, el resultado es divisible por: a) 7 b) El producto de los dígitos c) La suma de los cuadrados de los dígitos d) La diferencia de los dígitos e) 13 5. En una fiesta infantil se observó que unos niños consumieron un sólo caramelo, otros 4 caramelos solamente, algunos 16 caramelos únicamente y así sucesivamente. Lo curioso es que no más de 3 comieron la misma cantidad de caramelos; si se consumieron 1785 caramelos. ¿Cuántos niños comieron caramelos? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 6. De una muestra recogida a 200 secretarias, 40 eran rubias, 50 eran morenas y 90 tienen ojos azules, de estas últimas 65 no son rubias y 60 no son morenas. ¿Cuántas de las secretarias no eran rubias, ni morenas, ni tienen ojos azules? a) 35 b) 48 c) 56 d) 60 e) 75 7. De un grupo de 130 personas se sabe que hay: I. 31 personas entre hombres blancos casados y mujeres blancas solteras. II. 35 personas entre hombres morenos casados y hombres blancos solteros. III. 38 personas entre mujeres blancas casadas y hombres morenos solteros. ¿Cuántas mujeres morenas hay en el grupo? a) 20 b) 28 c) 30 d) 26 e) 25 8. De una muestra de 50 personas se sabe que: - 5 mujeres tienen ojos negros. - 16 mujeres no tienen ojos negros. - 14 mujeres no tienen ojos azules. - 10 hombres no tienen ojos negros o azules. ¿Cuántos hombres tienen ojos negros o azules? a) 17 b) 18 c) 19 d) 21 e) 23 9. En una población: 50% toman leche, el 40% come carne, además solo los que comen carne o solo toman leche son el 54 %. ¿Cuál es el porcentaje de los que no toman leche ni comen carne? a) 14% b) 16% c) 18% d) 28% e) 36% 10. De un grupo de personas se observa que los que practican fútbol también practican basket y los que no practican fútbol son 220, además los que no practican basket ni voley son 129 y los que practican basket o voley pero no fútbol son 7 veces los que practican fútbol. ¿Cuántas personas conforman el grupo? a) 236 b) 233 c) 229 d) 229 e) 230

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94 PROBLEMITA

I. La diferencia de edades de 2 personas es constante en cualquier tiempo. a–b=m–n=r–s

Indique usted cuál corresponde al dibujo

II. La suma en aspa de valores extremos simétricos es constante. a+ n=b+m m+s=n+r RELACIONAMOS Si la persona ya cumplió años: Año de nacimiento + Edad actual = Año actual Si la persona aún no cumple años: Año de nacimiento + Edad actual = Año actual - 1

PROBLEMAS RESUELTOS

EDADES Recomendaciones: Para desarrollar problemas puede resolver haciendo uso del planteo de ecuaciones, pero debido a la gran variedad de problemas y métodos prácticos de solución, veremos cómo estos problemas se relacionan con sujetos, edades y tiempos (pasado, presente y futuro). Con el cual debemos tener en cuenta las siguientes expresiones.

Problema 1 Si al doble de la edad de Antonio se resta 17 años resulta menor que 35, pero si a la mitad de su edad se suma 3 años resulta mayor que 15. Hallar la edad de Andrés que nació 11 años antes que Antonio. A) 36 años B) 25 años C) 14 años D) 30 años E) 24 años Resolución: Sea la edad de Antonio: x años 2x – 17 < 53 x < 26 x  3  15  x > 24 2 luego: x = 25 años Andrés tiene: 25 + 11 = 36 años

Sujetos: Los protagonistas pueden ser: personas, animales, plantas, etc. Edades: Es un lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un sujeto. Tiempos: Pueden ser presente, pasado y futuro esto es. Tiempo pasado

Problema 2 Rosita en el mes de Julio resta los años que tiene de los meses que ha vivido y obtiene 257. ¿Qué edad tiene y en qué mes nació? A) 23; setiembre B) 23; octubre C) 23; noviembre D) 24; diciembre E) 24; noviembre Resolución: Del enunciado tenemos: Meses vividos: 12x Años vividos: x Luego: 12x – x = 257

Tiempo presente

Tiempo futuro Dentro Hace, Tengo, de, tenías, tienes, Expresiones tendrás, tuve, era, tenemos, será, etc. es, etc. etc. Nota: Cuando interviene un sujeto.

Hace “b” x- b Pasado

Dentro de “a” x +a

Tiempo presente x

4 x  23 11

Siendo: x = 23 años y 4 meses

Problema 3 Fermín le dice a Rómulo: Actualmente tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía tu edad, y cuándo tú tengas mi edad entre ambos sumaremos 108 años. ¿Cuántos años tenía? A) 42 B) 49 C) 36 D) 38 E) 48

Cuando intervienen las edades de varios sujetos se utiliza el cuadro de edades relacionados a, sujetos y tiempos.

Sujetos

11x = 257

Por lo tanto nació en noviembre.

Futuro

Pasado Presente



Resolución: Del enunciado tenemos: Tenías

Tengo

Tengas

Futuro

Fermín

y

2x

108- 2x

Rómulo

x

y

2x

Juanito

a

m

r

Joselito

b

n

s

Edades

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Sumando en forma cruzada tenemos: 2y= 3x y 4x = y + 108 – 2x desarrollando el sistema tenemos : y = 36 ; x = 24

GUÍA 1 - CIENCIAS a) 16 años

PROBLEMAS PROPUESTOS 4 BLOQUE I 1. Tito tiene el cuádruplo de la edad de Rosa que tiene 15 años. ¿Dentro de cuántos años la edad de él será el doble de la de ella? a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 2. La edad de Nancy es la tercera parte de la edad de Javier, pero hace 10 años la edad de Javier era 5 veces la edad de Nancy. La suma de las edades que ambos tenían hace 2 años es: a) 72 b) 76 c) 80 d) 84 e) 88 3. María le dice a Janina. “la suma de nuestras edades es 46 años y tu edad es el triple de la edad que tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací”. ¿Qué edad tiene Janina? a) 21 años b) 24 años c) 26 años d) 18 años e) 48 años 4. Yo tengo la edad que tu tendrás cuando yo tenga el triple de la edad que tú tuviste, cuando yo tuve la mitad de la edad que tengo ahora. Si hace 5 años nuestras edades sumaban 35 años ¿Cuántos años tengo? a) 24 b) 29 c) 26 d) 28 e) 20 5. Tomemos la edad que tendré dentro de algunos años, tantas veces como años tendré y restémosle los años que tuve hace los mismos algunos años, tantas veces como años tuve y obtendremos una cantidad 23 veces mayor que mi edad actual. De aquellos años que tuve ¿Cuántos años más son los que tengo? a) 3 b) 6 c) 5 d) 4 e) 7 6. Javier nació en 19ba y en el año 19ab , cumplió (a + b) años. ¿En qué año cumplió a.b años? a) 1967 b) 1966 c) 1965 d) 1963 e) 1964 7. Para fiestas patrias, en el año 1981, la suma de las edades de Rocío, Nancy y Carlos, más los años de sus nacimientos fue 5941. Si Rocío nació en setiembre y Carlos en mayo. ¿En qué mes nació Nancy? a) enero b) febrero c) marzo d) abril e) noviembre 8. Una persona nació en el siglo XIX, en el año de 1972 tenía tantos años como las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿En qué año nació? a) 1886 b) 1986 c) 2004 d) 2002 e) 1998 9. La edad en años de una tortuga es mayor en 31, que el cuadrado del número “T ” y menor en 2 que el cuadrado del número siguiente a “T”. ¿Cuántos años tiene la tortuga? a) 256 b) 287 c) 289 d) 301 e) 304 10. La edad de Richard es mayor en 7 que el cuadrado de un número “ N ” y menor en 4 que el cuadrado del número siguiente a “ N ”. Hallar la edad de Richard. a) 40 años b) 42 años c) 24 años d) 20 años e) 32 años

b) 20

c) 28

d) 26

95 e) 24

4. Placido dice: “Ya no soy tan joven porque paso los 60 pero todavía no me pueden llamar noventón. Cada una de mis hijas me ha dado tantas nietas como hermanas tienen y mi edad es el triple del número de hijas y nietas”. ¿Qué edad tiene Placido? a) 66 años b) 72 años c) 75 años d) 81 años e) 84 años 5. Noemí es madre de Lady y Rommel es hijo de Alex. Cuándo nació Rommel, Alex tenía el triple de la edad que tenía Noemí y cuando nació Lady, Noemí tenía la misma edad que tenía Alex cuando nació Rommel, y cuando Lady tenga la mitad de la edad que tenía Rommel cuando nació Lady, las edades de Noemí y Alex sumarán, 80 años. ¿Cuántos años tenía Noemí cuando nació Rommel? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 6. Roxana le pregunta su edad al profesor de RM y él para confundirla le responde: “si hubieran pasado 2 veces más los años que han pasado, me faltaría la tercera parte de los años que supongo que pasaron para duplicar la edad que tengo, y la suma de esta supuesta edad actual con mi edad actual sería 80 años”. ¿Qué edad tiene el profesor de RM? a) 20 años b) 25 años c) 30 años d) 35 años e) 18 años 7. ¿Qué edad tendré cuando tú tengas el triple de la edad que tuve, que es cuando tuviste la mitad de los años que tengo. Si tu edad era el cuadrado más próximo a mi edad, en ese entonces, cuando ya no éramos adolescentes, además nuestras edades suman 98 años? a) 70 años b) 51 años c) 96 años d) 83 años e) 88 años 8. Luis Alberto dice: “Ya no soy tan joven porque paso los 80; pero todavía a mi edad no llega a 141 años, cada una de mis hijas me ha dado tantas nietas como hermanas tiene, mi edad es el cuádruplo de hijas y nietas”, ¿Cuántas hijas tiene Luis Alberto y cuál es su edad? a) 5; 95 b) 6; 140 c) 7; 108 d) 5; 100 e) 6; 100 9. Un hijo decía a su padre. “La diferencia entre el cuadrado de mi edad y el cuadrado de la edad de mi hermano es 95”. El padre le contesta: “Es la misma diferencia que hay entre los cuadrados de mi edad y la de tu madre”. ¿Qué edad tenía el padre cuando nació su hijo mayor? a) 36 b) 32 c) 38 d) 34 e) 35 10. Marlene comenta: “Hoy tengo 10 años menos de la edad que tenía mi padre cuando nací, además las dos últimas cifras del año en que nació mi padre son iguales a las dos últimas cifras del año en que nos encontramos, pero en orden invertido”. Entonces en qué año su padre tuvo 23 años, si el próximo año ella cumplirá esa edad (año actual > 1990) a) 1972 b) 1962 c) 1982 d) 1963 e) 1964 PROBLEMITA Indique usted cuál corresponde al dibujo

BLOQUE II 1. Tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la mitad de la edad que tienes; y cuando tengas la edad que tengo yo tendrá el doble de la edad que tenías hace 12 años. ¿Cuántos años tengo? a) 24 años b) 30 años c) 36 años d) 40 años e) 48 años 3. Juanito le dice Lupita: “Yo tengo el doble de la edad que tú tenias cuando Ana tenia la mitad de la edad que tienes; cuando Ana tenga la edad que tengo, yo tendré el triple de la que ella tenía cuando ya te dije y tú tendrás el doble de la edad que tenias hace 7 años. Hallar la edad de Juanito.

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REGLA CONJUNTA Se utiliza cuando se presentan varias equivalencias (igualdades), se colocan uno debajo de la otra cuidando que las unidades no se repitan; si esto sucede se intercambia la igualdad. A continuación el resultado es otra nueva equivalencia siendo esta la multiplicación de la primera columna igual a la multiplicación de la segunda columna. Problema En una feria agropecuaria 7 gallinas valen lo mismo que 2 pavos, 28 patos cuestan lo mismo que 10 pavos, 6 conejos tienen el mismo precio que 16 patos. ¿Cuánto costará 2 gallinas si un conejo cuesta 30 soles? A) 18

B) 20

C) 22

D) 25

E) 30

Resolución: Del enunciado ordenamos las igualdades:

BLOQUE II 6. Pedrito observa que el precio de un cuaderno es cinco veces el precio de una regla y el de esta el doble de un lapicero. Compró 2 cuadernos, 1 regla y 1 lapicero pagando 27,6 soles. El precio de una docena de cuadernos es: A) 12 B) 15 C) 228 D) 36 E) 114 7. La capacidad de 3 envases de A es igual a la capacidad de 2 envases de B. Del mismo modo que 4 envases de B es a 3 envases de C; 10 envases de C equivalen a 8 envases de D. 40 litros de agua entran en 4 envases de D. ¿Cuántos envases de A se van a necesitar para envasar 60 litros de agua? A) 12 B) 15 C) 17 D) 18 E) 19 8. El trabajo que puede hacer un operario en 7 días lo puede hacer un segundo operario en 6 días; el que puede hacer éste en 9 días lo puede hacer un tercero en 8 días y el que puede hacer éste en 12 días lo puede hacer un cuarto en 14 días. En hacer una casa el segundo tardaría 4 días más que el cuarto operario. ¿En cuántos días podrá hacer dicha casa el tercer operario? A) 630 B) 560 C) 189 D) 126 E) 112 9. Pedro le da a José 20 carambolas para 100 y José le da a Carlos 60 carambolas para 100. ¿Cuántas debe darle Pedro a Carlos en un partido de 100 carambolas? A) 68 B) 66 C) 64 D) 70 E) 72

Luego hacemos uso de la definición esto es: 7.10.16.X.1 = 2.28. 6.2.30 x = 18

10. M avanza en 28 pasos lo que N en 30; N en 35 lo que P en 40; P en 21 lo que Q en 18. M y Q hacen un mismo recorrido dando 5624 pasos. ¿Cuál es la longitud de ese recorrido si cada paso de M es 0,55 metros? A) 1509,1m B) 1509,2m C) 1509,3m D) 1509,4m E) 1509,5m PROBLEMITA

PROBLEMAS PROPUESTOS 5

Indique usted cuál corresponde al dibujo

BLOQUE I 1. En una joyería: 4 cadenas de oro equivalen a 10 de plata; 9 de plata equivalen a 2 de diamantes y 5 de diamantes a 30 de acero. Por 6 soles me dan 2 cadenas de acero. ¿Cuántas cadenas de oro me darán por 120 soles? A) 15 B) 12 C) 10 D) 9 E) 8 2. Con tres desarmadores se obtiene un alicate, con tres alicates un martillo. ¿Cuántos martillos se obtendrán con 117 desarmadores? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 15 3. El precio de 9 naranjas es igual al precio de 15 manzanas, el de 10 peras es igual al de 3 sandías, el de 4 melones al de 10 manzanas, el de 12 plátanos a 12 peras, si una sandía cuesta 3 soles. ¿Cuál es el precio de 5 manzanas? A) 90cent. B) 1 sol C) 80cent. D) 2,70 soles E) 1,80 soles 4. En una aldea, en la que comercian el trueque, por 54 camotes dan 36 yucas, por 36 tomates dan 24 cebollas, por 72 ajos dan 24 camotes, por 27 tomates se recibe 6 yucas. ¿Cuántas cebollas darán por 18 ajos? A) 8 B) 9 C) 12 D) 15 E) 18 5. En el mercado el costo de 3,5kg de pollo es el mismo que el de 1kg de pavo, 14kg de pato valen igual a 5kg de pavo, 3kg de conejo tienen el mismo precio que 8kg de pato. ¿Cuánto costará 1kg de pollo si 4kg de conejo cuesta 30 soles? A) 3,5 B) 2,25 C) 3 D) 7,5 E) 2

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ALGORITMO DE LA DIVISIÓN

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PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1 En una división inexacta se aumenta 15 unidades al dividendo y 5 al divisor, el cociente y el residuo no varían. Hallar el cociente. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

DEFINIMOS:

Resolución:

División Entera Una división es entera cuándo cumple las siguientes condiciones: I. Exacta:

Problema 2 Dos números suman 341, su cociente es 16 y el residuo máximo. La suma de las cifras del número mayor es: A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

r  0  D  dq

II. Inexacta: 0  r  d ; si r  0  dq < D < d(q+1) En otras palabras decimos que una división

es entera cuándo:

0r d

Resolución: Sean los números “ a ” y “ b ” Luego del enunciado tenemos:

Nota: I. El número “q” es el mayor entero que multiplicado por el divisor da un producto menor que el dividendo y se le llama cociente entero por defecto. II. El número (q+1) es el menor entero que multiplicado por el divisor da un producto mayor que el dividendo y se le llama cociente entero por exceso. Para una división inexacta por exceso

Problema 3 En una división inexacta se aumenta 15 unidades al dividendo y 5 al divisor; el cociente y el residuo no varían. Señale lo falso respecto al cociente. A) Es impar B) Es número primo C) Es múltiplo de 3 D) No es 5 E) Es mayor que 5

Para una división inexacta por defecto

Si:

Resolución: Por definición tenemos: D =d.q + r ; r < d Luego: d.q + r + 15 = ( d + 5 )q + r  q = 3 D = dividendo d = divisor q = cociente por defecto q ’ = cociente por exceso r = residuo por defecto r ’ = residuo por exceso

Problema 4 ¿Cuántos números enteros al ser divididos entre 26, originan residuos triple del cociente respectivo? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

III. Si el dividendo y el divisor se multiplican o se dividen por cierto valor entero, el cociente no varía, pero si el residuo queda multiplicado o dividido por cierto valor entero. Gráficamente tenemos:

Resolución: Sea D = 26q + r y r = 3q  D = 29q; además: r < 26  3q < 26  q < 8,6 Obteniendo: q ={ 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 } ; que determinan 8 valores para el dividendo.

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PROBLEMAS PROPUESTOS 6

BLOQUE I 1. Dos números suman 341, su cociente es 16 y el residuo máximo. La suma de las cifras del número mayor es: A) 7 B) 11 C) 3 D) 9 E) 10 2. En una división inexacta se aumenta 15 unidades al dividendo y 5 al divisor; el cociente y el residuo no varían. Señale lo falso respecto al cociente. A) Es impar B) Es número primo C) Es múltiplo de 3 D) No es 5 E) Es mayor que 5 3. ¿Cuántos números enteros al ser divididos entre 26, originan residuos triple del cociente respectivo? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 4. En una división entera: si el dividendo y divisor se dividen entre 7, el residuo disminuye en 420 unidades. ¿Cuál es el valor mínimo que puede tomar el divisor? A) 421 B) 491 C) 2941 D) 2521 E) N.A

A) 160 B) 134 C) 186 D) 79 E) 97 12. El divisor y el residuo de una división son respectivamente 12 y 4. ¿Entre qué valores puede variar el número “x” que se debe agregar al dividendo para que el cociente aumente en 4 y la división siga siendo inexacta? A) 12 y 21 B) 44 y 57 C) 56 D) 44 y 56 E) 40 13. El dividendo, el divisor y el residuo de una división entera suman 1609. ¿Cuánto puede valer o lo más el dividendo, si el cociente es 30? A) 1515 B) 1220 C) 1540 D) 1544 E) 1555 14. La suma de los cuatro términos de una división entera es 353. Si se multiplica el dividendo y el divisor por 7 y se vuelve a realizar la operación la suma de los nuevos cuatro términos es 2375. Hallar el dividendo original A) 317 B) 311 C) 303 D) 291 E) 307 15. Si se dividen 2112 y 371 por un mismo número entero se halla por residuos 35 y 36. Hallar la suma de las cifras de ese número entero. A) 13 B) 14 C) 11 D) 9 E) 8

5. Hallar el mayor número entero que al dividirlo entre 80, se obtenga un cociente que sea la raíz cúbica del residuo. A) 302 B) 384 C) 532 D) 624 E) 644 6. En una división entera inexacta, el residuo es 13; si al dividendo se le multiplica por 4 y al divisor por 2, entonces en la nueva división el resto es 16. ¿Cuál es el divisor original? A) 9 B) 18 C) 6 D) 3 E) 24 7. La suma de los 4 términos de una división entera inexacta es igual a 544. Hallar el dividendo si el cociente es 12 y el resto, la mitad del divisor. A) 564 B) 470 C) 462 D) 480 E) 475 8. La suma de los cuatro términos de una división entero es 425. Si se multiplican por 5 al dividendo y divisor y se efectúa nuevamente la división se observa que la suma de los cuatro términos ahora es 2073. Hallar la suma de guarismos del cociente inicial. A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 7 9. Se tiene 133 números impares consecutivos. Se divide el mayor entre el menor y se obtiene 3 de cociente y 42 de residuo. El dividendo es: A) 375 B) 373 C) 377 D) 379 E) 381 10. El cociente y el resto de una división inexacta son 17 y 9 respectivamente. Pero si al dividendo se le aumenta 49 unidades, el cociente sería 21 y el resto 6. Hallar la suma del dividendo y divisor primitivo. A) 238 B) 240 C) 244 D) 241 E) 243

BLOQUE II 11. En una división al resto le falta 53 unidades para ser máximo y si le restamos 25, el resto sería mínimo. ¿Cuántas unidades como mínimo se debe aumentar al dividendo para que el cociente aumente en 2 unidades?

“La verdadera Crisis es la Crisis de la Incompetencia”

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