06 La Distribucion Normal o de Gauss

 

La distribución normal o de Gauss

•  Distribución límite •  La distribución Normal o de Gauss •  La distribución de Gauss tipificada •  La función integral. Cálculo de la función integral •  La desviación estándar de la media •  Intervalos de probabilidad y confianza •  Diferencias significativas

Técnicas experimentales en Física General

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•  La distribución límite ¿Qué ocurre si aumentamos el número de medidas?

 N=100 medidas

Histograma de bins de 100 medidas de x de x  

 N=1000 medidas

Histograma de bins de 1000 medidas de x de  x  

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•  La distribución límite Cuando  N   →

∞  ⇒ nos acercamos a la distribución límite.

Distribución límite  límite f   f ( x   x )   f ( x )dx = Fraccion de las medidas que se encuentran entre x y x + dx

= Probabilidad de que una medida de un resultado comprendido   entre  x y x + dx

∫

b

a

 f ( x )dx = Fraccion de las medidas que se encuentran entre x = a y x = b

= Probabilidad de que una medida de un resultado que se encuentre entre a y b  

 Distribuciones

discretas y continuas  continuas 

 x → continuas

 x → discretas  F k  =

nk 

 

 Fk = f ( xk ) dxk 

 

 N 

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  Condición

de normalización

 

 x → continuas

 x → discretas

∑

 

 F k  = 1

∫

∑

 x → continuas  

Fk xk 

 x =

k 

  Cálculo

2 σ    x

=∑ k 

 N 

∫

+∞

−∞

xf ( x ) dx

 

de la desviación estándar   

 x →  continuas

 x →  discretas nk 

 

de la media

 x → discretas  x =

 f ( x ) dx =1

−∞

k 

  Cálculo

+∞

( xk  − x )

2

Técnicas experimentales en Física General

2 σ    x

+∞

= ∫ ( x − x ) f ( x)dx 2

 

−∞

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• 

La distribución Normal o de Gauss  2

G X , ( x) = σ  

∫

+∞

−∞

1 2π  σ  2

e

− ( x − X 2)

G X , ( x)dx = 1

2σ  

 

σ  

  Propiedades

♦ Tiene un máximo en  x = X   ♦ Es simétrica alrededor de   σ     ♦ Tiende a cero rápidamente si  x − X  >>

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•  Valor medio y desviación estándar ¿Si se efectúan un gran número de medidas de una variable aleatoria que sigue una distribución de Gauss, ¿qué valores hay que esperar para  x  y

2  x

σ  

 ( x ) ?

Valor medio  x =

∫

+∞

−∞

1

+∞

 x =

∫

−∞

xG

 X ,σ  

( x)dx =

∫

−∞

2πσ  2

 x =

2πσ

2

2σ  

xe

 

 y = x − X  dy = dx

dx →

−y  +∞ − y  +∞ 1 2 2 2 0 2 ye dy X e dy X πσ   + = + = X   ∫−∞  ∫ 2 −∞   2πσ   σ

2

xG X , ( x)dx   σ  

−∞

− ( x − X )2

+∞

2

1

∫

xf ( x)dx → x =

+∞

2

2

{

2

σ  

}

 

 x = X    Desviación estándar

2 σ  x

( x) =

∫

+∞

−∞

( x − X )2 GX , ( x)dx = σ  2   σ  

2  x

σ

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 ( x) = σ  2

 

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•  La distribución Normal tipificada: ¿Cómo puede estudiarse la distribución de Gauss de forma general? −

1

G X , ( x ) = σ  

2πσ  2

( x − X ) 2σ 2

e

  

 

 z =

x − X 

 → σ  

 z 2

1

→ G0,1( z ) =

2

2π  

e

−

 

2

Distribución normal tipificada       )     z       (

← Distribución

0.4

      1  ,       0

      G

 Normal tipificada 0.3

G0,1 ( z ) =

σ=1 0.2

1

 z 2

e

−

2

 

2π   0.1

= 0  1. Máximo en  z   = 2.  Puntos de inflexión:

0.0 -3

-2

-1

0  X =0 =0

1

2

3

 z  =  ±σ   = 1  

z  

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•  La función integral  integral  ¿Cuál es la probabilidad de que una medida esté comprendida entre a y  y b?  b?  

Prob(a ≤ x ≤ b) =

∫

b

a

1

G X , ( x)dx = σ  

2

∫

b

a

− ( x − X )2

e

2σ  2

dx

 

2πσ   ¿Cuál es la probabilidad de que una medida esté comprendida dentro de una desviación estándar ? 

Prob( X − σ ≤ x ≤ X  + σ  ) =  X +σ

=∫

 X −σ

G X , ( x)dx = σ  

Técnicas experimentales en Física General

1 2

2πσ  

∫

X +σ  

X −σ  

− ( x − X )2

e

2σ  2

dx  

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¿Cuál es la probabilidad de que una medida esté  desviaciones estándares? estándares?  comprendida dentro de t  desviaciones

Prob( X − tσ ≤ x ≤ X + t σ  ) = 2

− −  X +tσ

=∫

 X −tσ

G X , ( x)dx =

1

σ  

2

2πσ  

Prob( X − tσ ≤ x ≤ X + tσ  ) =

∫

X + t σ  

X −t σ  

1

e

( x X  ) 2σ  2

 X +t σ  

2

2πσ  

∫

 X −t σ  

dx  

− ( x − X )2 2σ  2

e

dx

  dx = σ  dz       x − X x2 − X X + tσ   − X  = z →  x2 = X + tσ   → z2 = = = t  σ σ σ     x1 − X X − tσ   − X    x X t = − = = −t   σ   → z = 1  1 σ σ   Prob( X − tσ ≤ x ≤ X + tσ  ) =

Técnicas experimentales en Física General

1 2π  

∫

+ t 

− t 

− z 2

e

2

dz 

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•  Cálculo de la función integral  integral 

1 Prob( X − tσ ≤ x ≤ X + tσ  ) =

Técnicas experimentales en Física General

2π  

+ t 

∫

−t  e

− z 2 2

dz   

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•  Cálculo de la función integral (cont.)  (cont.)  Prob(dentro de t σ  ) =  X +t σ  

=∫

 X −t σ  

=

1 2π  

G X , ( x)dx = σ  

∫

+ t 

− t 

− z 2

e

2

dz 

 t = x.y z  

Técnicas experimentales en Física General

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•  Cálculo de la función integral (cont.)  (cont.)   X +t σ  

Q(t ) =

=

∫

 X 

1 2π  

G X , ( x)dx = σ  

∫

t 

0

− z 2

e

2

dz 

 

Q ( 2) − Q(1)  

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Q ( 2) + Q (1)  

50% − Q (1)  

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•  La desviación estándar de la media Supongamos que  x que se distribuye G X , . Imaginemos la σ  

 x

siguiente secuencia de experimentos: 1

 N medidas de x de x  

 x1 =

1

  N ∑ x   i

i

2

 N medidas de x de x   2

=

1

  N  ∑ x   i

i

...

Si  Si



repetimos el experimento n veces, los valores de  xi cambiarán, y la media de las medias y su desviación estándar serán  x =

1

 ∑

n

xi  

σ  

 x

i

=

1   N  n

∑ ( xi − x ) i =1

2

 

Efectuando sólo uno de los experimentos, ¿cuál es la desviación estándar de la media de las N las N medidas? G

 x

σ  

Los Los x  xi  se distribuyen verdadero La desviación estándar de la, el media será  valor de será   X ,

 x

2

2

σ

 x

 es X   es  X  

 ∂x   ∂ x  σ   =  σ x  + +  x  =  x x ∂ ∂  1      N   1

 N 

2

2

1  1  =  σ x  +  +  σ  x  =  N   N    

σ  

 x

N 

 

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•  Intervalos de probabilidad y confianza   ¿Cuál

es el significado de asignar la desviación típica como error de una medida?

Si tomamos una muestra de N  de N  datos,  datos, calculamos su media y su desviación típica y escribimos

 x ±  σ   x

 

significa que el 68% de las medidas realizadas se encuentran en el intervalo  x

±  σ   x . 

O bien, el mejor valor, X se encuentra en el intervalo:

 x −σ x ≤ X ≤ x + σ  x

 

con un nivel de confianza del 68 %

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•  Diferencias significativas ¿Cómo se comparan nuestras medidas con los valores esperados?

 x ±  σ   x   a 

Valor medido Valor esperado   Supongamos

 x − a ≤

que:

σ  

 x

( t  ≤ 1)  

 No es una diferencia significativa. Prob (fuera 1σ x) = 32%   Supongamos

 x − a ≥ 3σ   x ( t  ≥ 3 )   que: La diferencia es muy significativa. Prob (fuera 3σ x) = 0.3%

 Norma generalmente aceptada:   Si

 x − a ≤  2σ   x ⇒ Resultado aceptable.

  Si

 x − a ≥  2 . 5σ   x ⇒ Resultado inaceptable.

 

σ

Si 1 . 9

≤  x − a ≤

σ  

2 .6

⇒

 x

Resultado no concluyente.

O bien:

P ( f u e r a t σ   σ   )   ≤ 5% ⇒ σ   )   ≤ 1% ⇒   P ( f u e r a t σ  

 

Técnicas experimentales en Física General

Diferencia significativa. La diferencia es muy significativa.

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