06 ECUACIONES DIFERENCIALES

ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL PROGRAMA DE ESTUDIOS

ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD ACADÉMICA: CARRERA: ESPECIALIZACIÓN: ÁREA: TIPO DE MATERIA: EJE DE INFORMACIÓN:

INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS INGENIERIAS

TEÓRICA X BASICO

PRÁCTICA

1. NOMBRE DE LA ASIGNATURA CÓDIGO: MATERIA: ICM01974 ECUACIONES DIFERENCIALES PRE-REQUISITOS ICM01958 CALCULO INTEGRAL ICM00604 ALGEBRA LINEAL CO-REQUISITOS

EQUIVALENTE A:

CONVALIDACION: ICM00653 CALCULO III

CRÉDITOS/HORAS/SEMANALES 5 TEÓRICOS:

PROFESOR RESPONSABLE:

PRÁCTICOS: 2. OBJETIVOS Durante el desarrollo del curso los estudiantes deben adquirir conocimientos y desarrollar habilidades que se especifican en los siguientes objetivos: 1) Reconocer y clasificar las ecuaciones diferenciales de acuerdo al tipo de derivadas, a su orden, a su linealidad y a su homogeneidad. 2) Analizar la existencia y unicidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de cualquier orden. 3) Usar el método de las isoclinas (campos direccionales) para identificar en el plano cartesiano la forma de las soluciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden.

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4) Resolver y analizar los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden: de variables separables, exactas, no exactas con factores integrantes, homogéneas, lineales, de Bernoulli, de términos que contienen expresiones lineales, de coeficientes lineales. 5) Determinar y analizar soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden y de orden superior. 6) Aplicar los métodos de variación de parámetros y coeficientes indeterminados para determinar y analizar las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden y de orden superior. 7) Aplicar técnicas de las ecuaciones diferenciales de primer orden en la resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden que no contienen una de las variables. 8) Resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante series de potencias alrededor de puntos ordinarios y de puntos singulares regulares. 9) Definir y determinar la transformada de Laplace de funciones continuas por tramos en el intervalo [ 0, +∞ ) y su inversa. 10) Demostrar y aplicar las diferentes propiedades de la transformada de Laplace: 11) Resolver problemas de valor inicial de primero, segundo y de orden superior utilizando la transformada de Laplace. 12) Modelar y resolver problemas del área de ingeniería y otras ramas de la ciencia como un problema de valor inicial de primer orden y segundo orden. 13) Resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de coeficientes constantes utilizando los métodos: eliminación, operadores diferenciales, transformada de Laplace y Método Matricial. 14) Análisis de desarrollos ortogonales de funciones seccionalmente continuas. 15) Definir series Trigonométricas y series de Fourier de una función periódica y deducir los coeficientes de un desarrollo. 16) Desarrollar una función periódica en términos de una serie de Fourier. 17) Definir y desarrollar expansiones de medio rango. 18) Resolver ecuaciones diferenciales parciales utilizando el método de separación de variables. 19) Modelar y resolver problemas de: vibraciones de una cuerda de longitud finita y conducción de calor en una barra aislada de longitud finita.

3. PROGRAMA RESUMIDO • • • • • • • •

Ecuaciones diferenciales de primer orden, 15 horas Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, 11 horas Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, 4 horas Solución de ecuaciones diferenciales lineales en series de potencias, 13 horas Transformada de Laplace, 10 horas Aplicación de las ecuaciones diferenciales de segundo orden, 4 horas Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes, 5 horas Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales, 8 horas

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4. PROGRAMA DETALLADO TEMA

HORAS

I. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN: Análisis y discusión de las soluciones. Método de las Isoclinas. Métodos de solución: Ecuaciones de variables separables. Ecuaciones exactas. Factores integrantes. Ecuación lineal. Ecuación homogénea Ecuación de Bernoulli. Ecuación de la forma y’ = f (ax+by) Ecuación de coeficientes lineales. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden: en la Geometría, en la Química, en la Física, en la Biología, en la Economía, etc.

(15 horas)

II. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN: Análisis y discusión de la solución de las ecuaciones que no contienen una de las variables. Análisis y discusión de la solución de la ecuación homogénea. Métodos de Reducción de Orden e Identidad de Abel. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes. Ecuación diferencial de Cauchy-Euler de orden dos. Análisis y discusión de la solución de la ecuación lineal no homogénea. Método de coeficientes indeterminados. Método de variación de parámetros.

(11 horas)

III. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR: Análisis y discusión de la solución de la ecuación homogénea. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes. Ecuación diferencial de Cauchy-Euler de orden n. Análisis y discusión de la solución de la ecuación lineal no homogénea. Método de Coeficientes Indeterminados. Método de Variación de Parámetros.

(4 horas)

IV. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES EN SERIES DE POTENCIAS: Análisis de convergencia de las soluciones.

(13 horas)

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Puntos ordinarios y singulares. Solución en series de potencias alrededor de un punto ordinario. Ecuaciónes de Legendre y Hermite. Solución en series de potencias alrededor de un punto singular regular: Método de Frobenius Ecuación de Bessel. V. TRANSFORMADA DE LAPLACE

(10 horas)

Definición y teorema de la existencia y unicidad. Propiedades de la Transformada de Laplace: Linealidad Traslación de la transformada Derivada de la transformada. Transformada de la derivada. Transformada de la integral. Integral de la transformada Transformada de funciones especiales: escalón unitario, Delta de Dirac, periódicas, gamma, convolución. Transformada inversa Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. Resolución de ecuaciones integrales y de ecuacioes integrodiferenciales VI. APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Sistemas vibratorios m c k: libres y forzados Circuitos eléctricos en serie: L R C.

(4 horas)

VII. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE COEFICIENTES CONSTANTES Definición de sistemas de ecuaciones lineales. Método de eliminación, de los Operadores Diferenciales y usando la Transformada de Laplace en la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de coeficientes constantes. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneos de coeficientes constantes de primer orden: Método de Valores y Vectores Propios.

(5 horas)

VIII. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES. Breve análisis de desarrollos ortogonales y determinación de los coeficientes de la combinación lineal de un conjunto infinito de funciones ortogonales. Definición de series Trigonométricas y series de Fourier. Análisis del desarrollo de la serie de Fourier de una función

(8 horas)

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periódica de periodo 2π y de periodo arbitrario. Expansiones de medio rango: par e impar . Resolución de ecuaciones diferenciales parciales sencillas mediante técnicas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Resolución de ecuaciones diferenciales parciales utilizando el método de separación de variables. Aplicación de las ecuaciones diferenciales parciales: modelos de las ecuación unidimensional de la Onda y del Calor. Problemas homogeneos

5. TEXTO GUÍA ECUACIONES DIFERENCIALES Y LOS PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA, de Boyce-DiPrima. Editorial Limusa.

6. BIBLIOGRAFÍA FUNDAMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES, de R. Kent Nagle y Edward B. Saff. ECUACIONES DIFERENCIALES CON PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA, de Dennis G. Zill y Michael R. Cullen. ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES, de C.H. Edwards. Jr. David E. Penney. MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA INGENIERÍA, de Erwin Kreyszig. ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS, de Murray R. Spiegel.

DECANO/DIRECTOR

FECHA:

7. REVISADO SECRETARIO ACADÉMICO

FECHA:

STA

FECHA:

8. VIGENCIA DEL PROGRAMA CAc-2008-170 RESOLUCIÓN COMISIÓN ACADÉMICA: CAc-2009-027, 053

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