06 - Choix Vs Ashby & Facteur de Forme - Version Correction PDF

 

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ A quoi sert le facteur de forme φ ? Objectif: On veut utiliser un matériau M qui ne possède pas un indice de performance IP suffisant pour réaliser un objet défini. Solution: On ramène la valeur de l’indice de performance du matériau M vers la valeur souhaitée en introduisant le facteur de forme φ (c’est-à-dire en utilisant une géométrie de section différente d’une section circulaire pleine) Connaissant la valeur de φ, on peut alors déduire la forme la plus appropriée pour l’objet pour pouvoir utiliser le matériau matériau M fixé initialement. Remarque: Le facteur de forme est largement utilisée pour une conception dont le matériau est fixé initialement. IUT –SdM (S3) 2012-2013. (1)

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ Méthodologie pour un objet AVEC le facteur de forme: 1. Déterminer la en fonction indice de performance avec facteur de forme en suivant l’analyse 6 étapes. 2. Identifier les 2 propriétés principales du matériau dans la fonction IP. 3. Choisir le diagramme d’Ashby dont les coordonnées correspondent à ces 2 ro riétés. 4. Tracer sur ce diagramme la droite directrice correspondant à la fonction IP avec φ = 1. 1. 5. Déplacer cette droite, à elle-même, pour satisfaire à la valeur minimum fixée pourparallèlement l’IP (dans le cas d’une conception d’adaptation, déplacer la droite pour encadrer le matériau avec lequel l’objet est actuellement fabriqué) 6. Les matériaux possibles sont ceux seront situés au-dessus de cette droite directrice (ou ceux compris entre les 2 droites directrices qui encadrent le matériau) avec soit un facteur de forme φ = 1 ou φ > 1. IUT –SdM (S3) 2012-2013. (2)

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ Méthodologie pour un objet AVEC le facteur de forme: 7. Etape essentielle pour la détermination de φ, puis de la géométrie de section Si le matériau M qu’on veut utiliser est en dessous (en dehors) de la zone délimitée par la droite IP, alors:  il faut introduire un facteur de forme pour ramener les caractéristiques du M vers celles de l’IP (ou au dessus),  associer dans la fonction IP et à chacune des 2 propriétés du matériau matéri au du diagramme diagramme d’Ash d’Ashby by le même terme terme φn contenant le facteur de forme,  calculer la valeur de φ nécessaire pour déplacer le matériau M vers les valeurs de l’IP souhaitées,  identifier les géométries susceptibles de donner une telle valeur pour le facteur de forme φ.

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ Commentt déter Commen détermin miner er cet cette te « mêm même e foncti fonction on » φn pour prendre en considération le facteur de forme ? Exemple 1: Soit un objet avec un indice de performance avec facteur de forme suivant: IP = ( φ  φ  E)1/2  /  ρ. On veut utiliser du composite fibre de carbone (CFRP) à la place du bois de balsa pour fabriquer cet objet.

Sur le diagramme d’Ashby la zone CFRP est en dessous de la droite IP. Cela signifie qu’on necirculaire peut utiliser le composite avec une section pleine (φ=1) La solution sera donc de ramener les propriétés (E et ρ) du CFRP vers celles du balsa

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ Commentt déter Commen détermin miner er cet cette te « mêm même e foncti fonction on » φn pour prendre en considération le facteur de forme ? Exemple 1: Soit un objet avec un indice de performance avec facteur de forme suivant: IP = ( φ  φ  E)1/2  /  ρ. On veut utiliser du composite fibre de carbone à la place du bois de balsa pour fabriquer cet objet. Ce déplacement des propriétés du composite vers celles du balsa sera réalisé en multipliant E et ρ par une même fonction du facteur de forme φn . * La valeur numérique de n sera déterminée à partir de l’IP avec facteur de forme déterminé pour l’objet. * La valeur numérique de φ sera déterminée à partir du diagramme d’Ashby

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ Commentt déter Commen détermin miner er cet cette te « mêm même e foncti fonction on » φn pour prendre en considération le facteur de forme ? Exemple 1: Soit un indice de performance avec le facteur de forme suivant: IP = (φ (φ E)1/2 / ρ parr que pa quelllle e « mê même me » fonc foncti tion on de de φn doit-on multiplier E et ρ ? (1) On pose IP = (φ E)1/2 / ρ = (φ (φn E)1/2  / (φ (φn ρ) (2) Développer le second membre





icii « n » est ic est in inco conn nnue ue..

(φn E)1/2  / (φ (φn ρ) = (φ (φ-n/2 E1/2) / (ρ (ρ)

(3) Identifier cette nouvelle équation avec l’indice de performance φ E)1/2 / ρ = (φ (φ-n/2 E1/2) / (ρ (ρ) ≡ (  (φ (φ1/2 E1/2) / ρ 

soit

n = -1



Donc IP = (φ (φ E)1/2 / ρ = (φ (φ-1 E)1/2  / (φ (φ-1 ρ)

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

on doit donc diviser E et ρ par φ !

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ Commentt déter Commen détermin miner er cet cette te « mêm même e foncti fonction on » φn pour prendre en considération le facteur de forme ? Exemple 2: Soit un indice de performance avec le facteur de forme suivant: IP = (φ (φ E)1/3 / ρ parr que pa quelllle e « mê même me » fonc foncti tion on de de φn doit-on multiplier E et ρ ? 1  On On ose

n

E

1/3

 

n

 =

E

(2) Développer le premier membre

1/3



 



icii « n » est ic est in inco conn nnue ue..

(φn E)1/3  / (φ (φn ρ) = (φ (φ-2n/3 E1/3) / (ρ (ρ)

(3) Identifier cette nouvelle équation avec l’indice de performance (φ-2n/3 E1/3) / (ρ (ρ) ≡ (  (φ φ E)1/3 / ρ = (φ (φ1/3 E1/3) / ρ 

soit

Donc 

n = -1/2 IP = (φ (φ E)1/3 / ρ = (φ (φ-1/2 E)1/3  / (φ (φ-1/2 ρ)

on doit donc diviser E et ρ par φ1/2 !

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ Exercice 1 : Longeron d’avions ULM L’avion comporte deux longerons principaux: un longitudinal qui supporte la queue et l’autre transversal qui supporte les ailes. (1) Déterminer l’indice de performance de cet objet avec le facteur de forme φ (2) La première génération d’ULM a été construite en bois de balsa ou d’épicéa. Vaut-il mieux utiliser une section circulaire ou carré ? (3) Peut-on passer aux composites de carbone et sous quelle forme de géométrie de section ?

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ Etape 1

3 4 5

Actions D ir ncti letion le s on spé:cpou sp ictre ateiosect n de dctio eion lan co la cque nclcon eonqu ptque ione: (1)é) finFo (1 Fonc pifoutr se qouelc (2)) Ob (2 Obje ject ctif if : Po Poid idss min minim imum um (3) Con Contrai traintes ntes esse essenti ntiell elles: es: (a) lon longueu gueurr L fix fixée ée (b) défo déforma rmatio tionn δ fixée   ’ = = , = Ideent Id ntiifier les variables libres (s (seection = A) Ecrire les équations exprimant les contraintes (φFe = (4πI) / A2 ; S = F/δ = C1 EI / L3 (C1=3); I = φFeA2 / 4π ;  SF = C1 E φFeA2 / 4π L3 pour inclure le facteur géométrie…) Elim El imin iner er le less va vari riab able less lib libres res ent entre re le less équ équat atio ions ns de co contr ntrai ainte ntess et et la fo fonct nctio ionn e e 1/2 2 3 3 d’objectif : SF = C1 E φF A / 4π L  A = [ SF 4π L / C1 E φF ] } 

6

m = [ SF 4π l3 / C1 E φFe ]1/2

L ρ

Regrouper le les va variables en en tr trois gr groupes: (1) Spécifications fonctionnelles F; (2) géométrie G; (3) propriétés matériaux M  m = (4π SF/CL)1/2 x (L3) x (ρ/ ( φFe E)1/2)  Indice de performance = (φFe E)1/2 /ρ à maximiser

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ Rappel pour le calcul de l’étape 4 et 5

évidencee les équatio équations ns géométri géométrie, e, contraint contraintee et la la fct objec objectif tif On met en évidenc Éq. géométrie Éq. contrainte Fonction objectif φFe 

= (4πI) / A2 (1)

SF = C1 E I / L3

(2)

m=ALρ

(3)

(1)  I en fonction de φFe et A  I = φFeA2 / 4π 4π e

 on remplace I dans (2) et on tire A en fonction E et de φF SF = C1 E φFeA2 / 4π 4π L3  équation contrainte incluant la géométrie  

Mise en évidence de la variable libre

A = [ SF 4π L3 / C1 E φFe ]1/2

on remplace rempl ace A dans (3) ( 3)    m = [ SF 4π L3 / C1 E φFe ]1/2 L ρ

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ Question 1:

Détermination des facteurs de forme φFe = (4π (4πI) / A2 :

Section

Moment I

Aire A

Facteur de forme

Estimation

φFe Tube creux (r,t) Section  rectangulaire

~π r3 t bh3 / 12

4π (πr3 t) /(2π /(2π r t)2 =r/t

~2 π r t bh

 

π /3

r= 5 cm; t= 1mm

φ

e

= 50

F

h/b

h = 6cm b= 3cm

φFe = 2,1 b4 /12

Section carrée Tube rectangulaire

(1/6)h3t(1+(3b/h))

Tube carré

(2/3) b3 t

b2 2thb 4bt

π /3 (π /6)(h/t) x

 

φFe = 1,05 h = 6 cm; b = 3cm

{(1+3b/h)/(1+b/h)2}

t=1 mm; φFe ~ 35

(π /6) (b/t)

b = 6 cm (3 cm); t=1mm; φ=31 (~16)

Le passage à une section carrée ne fait gagner que ~5% sur le facteur de forme , soit ~2,5% sur l’indice de performance! IUT –SdM (S3) 2012-2013. (11)

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ Question 2: On va utiliser le diagramme d’Ashby pour raisonner avec les matériaux en fonction fonctio n de l’IP l’IP.. Choix diagramme : * (IP = E1/2 / ρ)  module E-masse volumique Choix de la droite directrice 

1/2

E  / ρ = C

Déplacement de la droite directrice vers le bois « ba bals lsa a » pou pourr iden identi tifie fierr les les matériaux possibles en remplacement au balsa

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ Sur le diagramme énergiemasse volumique les composites fibres de carbone ne conviennent pas car leur domaine se situe en dessous de la droite pas pa ssa san n pa par e a sa sa..



il est donc d’introduire unindispensable facteur de e forme φF pour modifier les vale va leur urs s « ef effe fect ctiv ives es » du du module de Young et de la masse volumique.

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ Modification de l’indice de performance avec le facteur de forme L’INDICE DE PERFORMANCE AVEC AVEC LE FACTEUR DE FORME: FORM E: recherche recherch e de la fonction φn  (φFe E)1/2 / ρ  associer φn aux 2 variables E et ρ : (φn E)1/2  / (φ (φn ρ) = (φ (φ-n/2 E1/2) / ρ => n = -1 



e

(φF

1/2

E)  / ρ

e 1/2

=

(E /

φF

ρ / )  /(  /(ρ

e

φF

)



SIGNIFICATION DE L’INDICE DE PERFORMANCE AVEC AVEC LE FACTEUR DE FORME:  cette équation indique qu’un matériaux de module E et de masse volumique ρ se comporte avec une géométrie (facteur de forme) comme un matériau * de module E* = E / φFe * et de masse volumique ρ* =   ρ / φFe  Pour les tracés des diagrammes (E,ρ (E,ρ) cela équivaut à déplacer les points ρ) vers [(E / φFe),( ρ / φFe)] (E,ρ (E, ),(ρ IUT –SdM (S3) 2012-2013. (14)

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ 

Raisonnement:

C’est le poids qui est déterminant pour la détermination de ΦFe (fonction objectif) ρCFRP / ρbois ~ 10 Il faut donc un facteur de forme φ = 10

Pour un φFe égal à 10 le module de Young efficace pour du CFRP sera alors de 100 / 10 ~ 10 GPa

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ Le composite fibre de carbone avec un facteur de forme = 10 (10 Gpa;0,2 Mg/m3) sera au dessus de la droite directrice du balsa. La solution est correcte. Pour un φ de 10, il faut utiliser une structure creuse. Pour un composite fibre de carbone le tube creux est la structure la plus indiquée avec ~ rayon/épaisseur (ex. r un = 2φcm et t = 2 mm) .

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ Choix de matériaux avec facteur de forme Exercice 2 : 1. Peut on remplacer remplacer par du PVC le bois d’une poutre de section circulaire, circulaire, rigide, en bois de chêne et de longueur fixe ? L’objectif L’objectif étant d’avoir un poids minimum.

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ Méthodologie: 1. Calculer l’IP avec le facteur de forme φ 2. Définir sur le diagramme d’Ashby d’Ashby les matériaux susceptibles de remplacer le bois de chêne avec φ = 1 pour une section circulaire .  géométrie 

4. Si le PVC en dehors (enpour dessous) de la délimitée par le PVC bois vers il faut introduire un est facteur de forme ramener leszone caractéristiques caractéristique s du celles du bois de chêne (ou au dessus).  associer dans l’IP et à chacune des 2 propriétés du matériau du diagramme d’Ashby d’Ashby le même terme terme contenant contenant le facteur de forme φn  calculer la valeur de φ nécessaire pour déplacer le PVC vers le bois  identifier les géométries susceptibles de donner une telle valeur pour le facteur de forme. IUT –SdM (S3) 2012-2013. (18)

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ Etape

Etape (1) : calcul de IP avec le le facteur facteur de forme / Actions :

1

Définir le les sp spécification de de la la co conception: (1)) Fo (1 Fonc ncti tion on : pou poutr tree sect sectio ionn que quelc lcon onqu quee (2)) Ob (2 Obje ject ctif if : Po Poid idss min minim imum um (3)) Co (3 Contr ntrai ainte ntess ess essent entie ielllles: es: (a) lo longu ngueu eurr  l  (b) déformation la plus faible possible (rigide) Ecrire une équation exprimant l’objectif: m = A  l  ρ  ρ ( A=section, ρ=masse vol. ) Ideent Id ntiifier les variables libres (s (seection A)

2 3 4 5 6

E(φcFreir=e 4les les équu2a;tioSns= exp éq eF/ xpr les co co3ntr traaint ntees π I/A δri=maCnt 1 EI /  l  ; m = A l ρ) Elim El imin iner er le less var varia iabl bles es lib libres res ent entre re le less équ équat atio ions ns de co contr ntrai ainte ntess (av (avec ec le fa fact cteur eur de 1/2 3/2 e 1/2 forme) et la fonction d’objectif { A = {(4π S) / (C1 )} x  l  x { 1/EφF }  5/2 x { ρ/(EφFe )1/2 } m = {(4π S) / (C1 )}1/2 x  l 5/2 Regrouper le les va variables en en tr trois gr groupes: (1) Spécifications fonctionnelles F; (2) géométrie G ; (3) propriétés matériaux M  Indice de performance = E1/2 φFe 1/2/ρ à maximiser

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ Etape (2)

:IP = E1/2 /ρ

Droite directrice de la poutre circulaire en bois  E1/2 / ρ = C Encadrement par 2 droites   de chên êne e» Le PVC(3) se trouve en Etape dessous de la zone délimitée par le bois de chêne. Il faut donc introduire un facteur de forme φ pour « ra rame mene nerr » le le PVC PVC ve vers rs le bois de chêne IUT –SdM (S3) 2012-2013. (20)

(masse volumique) Vu Thien Binh

 

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ Etape (4) On pose (φ (φn E)1/2  / (φ (φn ρ) = (φ E)1/2 / ρ  ici « n » est inconnue. 

(φn E)1/2  / (φ (φn ρ) = -

-n/2

(φ1/2

= (φ (φ 

soit

1/2

E ) / (ρ (ρ) E1/2) / ρ

 

≡

1/2

 (φ E)  / ρ  (φ

n = -1

Donc (φ (φ E)1/2 / ρ = (φ (φ-1 E)1/2  / (φ-1 ρ)  on doit donc diviser E et ρ par φ 

(masse volumique) IUT –SdM (S3) 2012-2013. (21)

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ EPVC = 3 GPa Ebois = 12 GPa  Ebois = EPVC * 4 = EPVC / φ ρPVC = 1,5 Mg/m3 ρbois

3

= 0,6 Mg/m =  * , =

os

Pour E le facteur de forme est φ =1/ =1/4 4 = 0,2 0,25 5 n = -1 

e



(φF

1/2

E)  / ρ

e 1/2

=

(E /

φF

ρ / )  /(  /(ρ

e

φF

)



SIGNIFICATION DE L’INDICE DE PERFORMANCE AVEC AVEC LE FACTEUR DE FORME: DANS LES DIAGRAMMES D’ASHBY  cette équation indique qu’un matériaux de module E et de masse volumique ρ se comporte avec une géométrie (facteur de forme) comme un matériau * de module E* = E / φFe * et de masse volumique ρ* =   ρ / φFe  Pour les tracés des diagrammes (module,densité) cela équivaut à déplacer ρ) vers [(E / φFe),( ρ / φFe)] les points (E, (E,ρ ),(ρ

IUT SdM (S3) 2012 2013. (32)

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ Etape (2) IP = E1/2 /ρ Droite directrice de la poutre circulaire en bois  E1/2 / = C On peut le remplacer par du composite fibres de carbone

(masse volumique)

IUT –SdM (S3) 2012-2013. (33)

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ Pour trouver le facteur de forme, on suppose que la poutre en acier avec le facteur de forme ait un comportement identique à la solive en bois:

  Masses volumiques (bois de pin = 0,52-0,64 Mg/m3 ) (acier = 7,9 3

Mg/m Module) de Young Young (bois ( bois = 9,8-1 9,8-11,9 1,9 GPa) (acier = 208-212 GPa) Limite d’élasticité, résistance mécanique (bois = 56-70 MPa) (acier = 350-360 MPa)

(masse volumique)

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ Question 3: Pour trouver le facteur de forme, on suppose que la poutre en acier avec le facteur de forme ait un comportement identique à la solive en bois: Rappel: Un matériau de module de Young E et de densité ρ se comporte avec un facteur de forme (géométrie), dans les diagrammes d’Ashby, comme un matériau f

de résistance

o   un

F



f

  Ε   / (φ (φF )

en re ,

et de masse volumique

,

=

,

e



  ρ /(  /(φ φF )

=

, .

En prenant comme valeur 12 (/ 20) on constate que pour des solives en acier il faut donc un facteur de forme φ = 12. (/ 20)

Données numériques: Masses volumiques (bois de pin = 0,52-0,64 Mg/m3 ) (acier = 7,9 Mg/m3) Module de Young (bois = 9,8-11,9 GPa) (acier = 208-212 GPa) Limite d’élasticité, résistance mécanique mécanique (bois = 56-70 MPa) (acier = 350-360 MPa)

IUT –SdM (S3) 2012-2013. (35)

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Choix des matériaux Chapitre Chapit re 6 – Choix des maté matériaux riaux vs diag diagramm rammes es d’As d’Ashby hby & φ Facteur de forme rigidité =

En prenant comme valeur du facteur de forme 20une on constate que pour des soliveset en acier il faut une section rectangulaire creuse=ou section en «H » de rapport d’épaisseur ~