05-Limit Fungsi Aljabar Di Tak Berhingga (WWW - Defantri.com)

 

LIMIT FUNGSI 

A. Limit Fung Fungsi si Aljabar Aljabar di Tak Hing Hingga ga

Terdapat perbedaan antara limit tak hingga (infinite ( infinite limits) limits) dan limit di tak hingga (limits at infinity )).. Limit tak hingga suatu fungsi f(x) adalah limit untuk x mendekati

suatu bilangan real yang menghasilkan nilai tak hingga (  ). Seperti telah diuraikan di muka bahwa nilai limit suatu fungsi f(x) untuk x mendekati a didapat dengan cara mensubstitusikan nilai a+ (pendekatan nilai a dari kanan) dan nilai a –  (pendekatan nilai a dari kiri) ke fungsi f(x). f( x). Jika ditemukan nilai f(a+) = f(a –) = c maka diperoleh : f(x) = c 1   dimana gambar f(x) = 1   adalah 2 2 x x

Sebagai contoh akan diberikan sebagai berikut :

 y

 y   

1  x

2

 x

O

Dari gambar tersebut d dapat apat dilihat bahwa f(0+) = f(0 –) = dengan limit kanan. Sehingga

Limit 1  = x→0 2 x





, artinya limit kiri sama

 

1 1   yang gambar fungsi f(x) =   adalah sebagai Selanjutnya akan dibahas Limit x 0 →

 y

berikut :

x

x

 y 

1  x

O

Li mit Fungsi

 x

1

 

Dari gambar tersebut d dapat apat dilihat bahwa f(0+) =  , dan f(0 –) = – = –   artinya limit kiri 1 dan limit kanan tidak sama sama.. Sehingga Limit  = tidak ada x 0 x 1 1 Untuk fungsi f(x) =   akan ditentukan nilai Limit x 3 x 3   x 3 Karena x ≥ 3 mak maka a hanya dilihat limit kanan saja, y yakni akni f(3+) = , sehingga : →

→

Sehingga Limit x 3

1  =    x 3 Berikut akan diberikan contoh soal limit tak hingga →

01. Manakah diantara bentuk limit berikut ini mendapatkan m endapatkan hasil tak hingga atau tidak mempunyai limit: (a) Limit x 2 →

(d) Limit

3 x2



(b) Limit x 5

 

4

→

2x  6

x→3 x 2



6x  9

(d) Limit x 2

 

→

2 x 5 5 x3



(c) Limit

 

8

4

x→0 x 3

(e) Limit

 

x→7

  3

x 2 3

 

Jawab (a)



 

(d) Tidak ada limit

(b) Tidak ada limit

(c) Tidak ada limit

(e)

(f)

Tidak ada limit



 

Limit di tak hingga fungsi f ungsi aljabar mempunyai dua bentuk umum (yang biasa dimunculkan), yakni : Limit f(x)   x→    g(x)

dan

Limit [ f(x) f(x) –  – g(x)  g(x) ] x→   

Untuk menyelesaikan soal limit di tak hingga ini digunakana teorema: a sehingga ehingga jika n adalah Jika a adalah bilangan real tidak nol, maka Limit x    x =0,s →

f(x) derajat tertinggi diantara f(x) dan g(x) dari bentuk Limit x    g(x) , maka baik pembilang →

maupun penyebut dibagi x n   Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : 01. Tentukanlah hasil dari : 3 6x Limit (a) x    2

4x





4x  6

2x

3



3x

 

3x 2  6x  1 Limit   (b) x    2  5x  6 x 2

Jawab

Li mit Fungsi

2

 

(a). Limit x   

6x 3 4x

2





4x  6

2x

3



3x

6x 3

  = Limit x   

4x

2



6x 3

2x

3



Limit x   

4

 



4

6

4

 



 





=

4



 2



 



=

 2

3

1/x

3

 

x3   3 x 3

6

 



 

x

x3   3



x2

6 





x

x2

x

1/x

6



3

x

=

 x

3x

x3 2x 3

3 6



4 x



x3 4x 2

Limit x   

=

4x  6



 

3 

6



 0



 0

0



 2



 0

 

6 2 

= = 3x 2  6x  1 Limit   = (b). x    2  5x  6 x 2

3 2 Limit 3x  6x  1   x x    2  5x  6 x 2

3x 2

=

2 Limit x x    2

x

 



 



2

3 Limit 2 x    x2 3

=

2

=

 

Li mit Fungsi

5





3



 0



 0

0



 0



 6

3 

=

 









=

6

 





6 1

2

5x

6  x

 



2



2

1/x

2

 

1

 



x2

x



=

6 x

1/x

x2   6 x 2 x2

1

  x2   5     6 x

1 

 

 6

 

   

3

 

02. Tentukanlah hasil dari : 2x (a) Limit x   

3

x



3

4x 2





2

2x

3x 5



3x 2

(b) Limit x   

 

4

4x

3





4x  6

2x

2



 

3x

Jawab 1/x 5

3 2 5 3 2 5 2x  4 x  3x 2x  4x  3x Limit Limit  x   = x (a)    x    3 2 3 2

x

2x





x

4

2x 3

=

Limit x   

x

 

x

x3

 



5

x

Limit x   

1

x

= = =

003 000 3 0 

2

x 2

 



2

 



5

x

 

x5   4

 

x5

 3



3

4



3

 

3 x 5



5

4

 



1/x

4

2x 2 x

2

=



4 x 2



5

x

2x



5

 

x5

 

   

(b) Limit fungsi pecahan ini memiliki variable dengan pang pangkat kat tertinggi x3, sehingga 3x 2

Limit x    4x 3





4x  6

2x 2



  =

3x

000 400

  =

0 4

  = 0

Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa penyelesaian limit tak hingga fungsi aljabar pecahan ditentukan oleh koefisien dari variable pangkat tertinggi. Untuk lebih  jelasnya akan diuraikan pada pada contoh soal berikut ini : 03. Tentukanlah hasil dari : 2 (2x Limit (a) x     4

x





3)(2x

6x

5



3

3x



2

x)



6 4x Limit (b) x   

 



3x (2x

4

5x 2

4





x

4x)

2

 

Jawab 2 3 2 3 Limit (2x )(2x )  (2x )( x)  (3)(2x )  (3)( x)   = x      4 5 2 5 2 x  6x  3x  4 x  6x  3 x  4

(2x 2 Limit (a) x     4



3)(2x 3



x)

5 Limit 4x = x    x4

 

2x 3 6x

5

 

6x 3 3 x

2



3 x



4

  5

(memiliki variable pangkat tertinggi x )

Li mit Fungsi

4

 

4000

= = = Limit 4x 6 (b) x    



3x (2x

5x 4 2





x

4x)

2

 

0600 4   6 2   3

  = Limit x    = Limit x   

4x 6 2 2

3x [(2x ) 4x 6 3x [(4x

4

4x 6

= Limit x   

 



5







 x

2

2

 

2(2x )(4 x)  (4 x) ]

5x 4

16x

5x 4

5x 4



3



 x



2

16 x ]

 x

4

 

3

 

12x  48x  48 x (memiliki variable pangkat tertinggi x 6)

= = =

400 000 4 0

 

 



 

04. Tentukanlah hasil dari : (a)

Limit ( 4x  3   x   

(b) Limit ( 3x  2   x   



  2x  5 )  



  2x  5 )   = x  ( 4x  3     



  3x  4 )  

Jawab (a) Limit ( 4x  3   x   

Limit



  2x  5 )   x

4 x  3



  2 x  5

4 x  3



  2 x  5

 

(4 x  3)   (2 x  5) = Limit      4 x  3    2 x  5 x 2 x  8 = Limit   x    4 x  3    2 x  5

(memiliki variable pangkat tertinggi x) 20

= = =

Li mit Fungsi

00 2 0 



  00

 

   

5

 

(b) Limit ( 3x  2   x   

Limit

  3x  4 )   = x  ( 3x  2     



(3 x  2) = Limit x    3 x  2

= Limit x   



  3x  4 )   x

3 x  2



  3 x  4

3



  3

 x 



 (3 x  4)



  3 x  4

6 3 x  2     3x  4

0 3 0 0

=



  30

4

 

   

(memiliki variable pangkat tertinggi =

2

 x 

 x

)

 

 

2 3

= 0 Dari soal di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa : (1) Limit ( ax  b   x    ( ax  b   (2) Limit x    (3) Limit ( ax  b   x   



  cx  d )   =



  jika a > c



  cx  d )   =





  cx  d )   = 0

  jika a < c jika a = c

05. Tentukanlah hasil dari : (a) Limit x   

( 4x 2



3x  5



  4x 2



8 x  2



   3 x 2



3x  5

(b) Limit ( 3 x 2 x   



7x  2 )  



2x  5)  

Jawab (a) Limit ( 4x 2 x   

= Limit ( 4x 2 x   





  4x 2

3x  5

= Limit x   

4 x 2 4 x

2

4 x

2

7x  2 )  

  4x 2



7x  2 )   x

 



 

 (4 x

2

  4 x

3 x  5  4 x 2

2



3 x  5    4 x 10 x  7

2

3 x  5

2



  4 x



7 x  2)





3 x  5 3 x  5

 

  4 x 2   4 x

2



7 x  2



7 x  2

 

7 x  2

7 x  2 

2



 

 

7 x  2

  

7 x  2

(memiliki variable pangkat tertinggi x atau

Li mit Fungsi

4 x 2 4 x

2 (4 x  3 x  5) Limit = x    4 x 2  3 x  5

= Limit x   





 x 2 )

6

 

10  0

=

400

= =

10 22 5 2

 

  400



 

 

(b) Limit ( 3 x 2 x   



8 x  2

= Limit ( 3 x 2 x    = Limit x    = Limit x   

(3 x 2 ( 3 x



   3 x 2

8 x  2



2x  5)  



   3 x

2



2x  5)   x



2

2

8 x  2)

 (3 x 2





8 x  2



  3 x



8 x  2



 3 x 2



8 x  2

  3 x





2



2

2 x  5)



2 x  5 



8 x  2

300

= =

6 2 3

 x

3 3



8 x  2

 

  3 x 2   3 x

2



2 x  5 )



2 x  5 )

 

 

 

2 x  5 )

2



2 x  5 )

(memiliki variable pangkat tertinggi x atau 60



8 x  2

 

  3 x



2



2 x  5 )

6 x  7

= Limit x    ( 3 x 2

=

( 3 x 2 ( 3 x

3 x 2 ( 3 x



 x 2 )

 

  300

 

3 

Dari soal di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa : (1) Limit x    (2) Limit x   

ax 2  bx  c



  dx 2



ex  f    =

ax 2  bx  c



  dx 2



ex  f    =

(3) Limit x   

ax 2  bx  c



  dx 2



ex  f    =



  jika a > d

 b   e 2 a 

  jika a = d   jika a < d

06. Tentukanlah hasil dari : (a) Limit ( (2x  1)(3x  2)  x   



  (2x  5)(3x  5) )  

( (x  2)(x  1)    2x 2  3x  4 ) (b) Limit x      Jawab (a) Limit ( (2x  1)(3x  2)     (2x  5)(3x  5) )   x   

( 6 x 2 = Limit x   

Li mit Fungsi



4 x  3 x  2



    6 x 2



10 x  15x  25)  

7

 

( 6 x 2 = Limit x    1   (5)

=

2 6

6

=

2 6



 x  2



   6 x 2



5x  25)  

  6

  x

6

 

6 6  12

=

6

=

2

 

( (x  2)(x  1)    2x 2  3x  4 )   (b) Limit x    (  x 2   x  2 x  2     2 x 2  3x  4 )   = Limit x   

=



 

07. Tentukanlah hasil dari: Jawab Limit ( 4x 2 x   



5x  3



Limit ( 4x 2    x





5 x  3      (2 x  1) )  

( 4 x 2 = Limit x   



5 x  3

=



5   (2) 2 4



3

2(2)



 (2x  1))  

 (2x  1))  

Limit 2 = x    ( 4 x

=

5x  3

2



  4 x 2



2 x  1)  

 

 

=  –3/4  –3/4

Li mit Fungsi

8