[05] Análisis de Fourier para l tratamiento de señales

ANALISIS DE FOURIER PARA EL TRATAMIENTO DE SEÑALES

Julio MEDINA XII Encuentro de Matemática y sus Aplicaciones EPN- Quito, Ecuador- 28 junio a 2 julio 2010 1

1. INTRODUCCION La noción de señal es bastante amplia y aparece en diferentes situaciones en las cuales ciertas cantidades varían en el tiempo o el espacio de una magnitud física o de otra naturaleza. Por tanto está ligada al concepto de función. El Procesamiento de Señales es una disciplina de las ciencias de la Ingeniería que desarrolla las técnicas de procesamiento, análisis e interpretación de señales. Entre las operaciones posibles con las señales tenemos control, filtrado, compresión de datos, deconvolución, predicción, etc. Se pueden procesar señales analógicas (representadas por funciones continuas) o señales digitales (dadas por funciones discretas). En el procesamiento de señales existen diferentes ramas dependiendo de la naturaleza de las señales consideradas (audio, voz, imagen, video). El procesamiento de señales puede tener diferentes objetivos: detección de una señal, estimación de los valores de una señal, codificación, compresión para su almacenamiento y transmisión. Sus aplicaciones son amplias en telecomunicaciones, audio, video, imagen (médica, satelital), geofísica. La Teoría de Señales es la rama matemática que estudia las señales y los sistemas que los transmiten e involucra herramientas del Análisis armónico (generalización del Análisis de Fourier), de los espacios vectoriales, de los procesos estocásticos, entre otras. En este documento se presentan algunos elementos del Análisis de Fourier relacionados con el estudio y procesamiento de señales. Dos son los instrumentos fundamentales: las series de Fourier (que permiten la representación de una señal como superposición de ondas de base llamadas armónicos) y la transformada de Fourier, tanto en su versión continua como en su versión discreta.

2

En la sección 2 se aborda los conceptos básicos relativos a las señales. En las dos siguientes secciones se tratan las series de Fourier y las transformadas de Fourier, respectivamente. La “función” delta de Dirac es el tema de la quinta parte. Enseguida se aborda la transformada discreta de Fourier y la transformada . La sección 7 concierne a ciertas operaciones del procesamiento de señales en los cuales se aplica el Análisis de Fourier (espectro, filtros, muestreo)

2. CONCEPTOS BASICOS 2.1 . Definición de señal Utilizaremos como definición de señal: la variación en el tiempo o el espacio de una magnitud física o de otra naturaleza. Por ejemplo:  La intensidad de la corriente eléctrica  El nivel de gris de los puntos de una imagen  Un electrocardiograma  Un sonido  La evolución del índice de la bolsa de valores La representación matemática (el modelo matemático) de una señal corresponde a la noción de función (de una o varias variables: tiempo, espacio, etc.…). Sin embargo las distribuciones (o funciones generalizadas) constituyen un modelo más general y satisfactorio.

2.2. Tipos de señales. Las señales que representaremos por , donde es la variable independiente, la variable dependiente, admiten diferentes caracterizaciones: 3

a) Según la presencia o no de elementos probabilísticos:  Estocástica  Determinística (consideradas en este documento) b) Según la variable independiente  Continua (Analógica) si la variable es continua  Discreta (Digital) si solo está definida para ciertos valores determinados: En muchos casos una señal discreta se obtiene por discretización de una señal analógica, generalmente mediante un convertidor, pero algunas señales son discretas por su propia naturaleza: edades de una población, estado en el tiempo de una válvula (abierto o cerrado), etc. c) Según la periodicidad  Periódica si se repite cada cierto intervalo de la variable independiente, dicho intervalo se dice período: 

No periódica en el caso contrario

La frecuencia es una medida para indicar el número de repeticiones de cualquier fenómeno o suceso periódico en la unidad de tiempo, por tanto d) Según la exactitud de los valores  Exacta si los valores de la señal (función) sean reales o complejos se consideran exactos (precisión infinita)  Aproximada los valores son aproximados, por ejemplo para poder utilizarlos computacionalmente. La operación de aproximación de valores exactos se dice cuantificación Evidentemente una señal puede combinar varios de estos atributos, los mismos que serán tomados en cuenta para su procesamiento.

4

2.3. Algunas señales elementales a) Escalón unitario de Heaviside Esta señal se denota por

y se define por

La función no está definida en y modela el establecimiento instantáneo de un régimen constante, por ejemplo la señal obtenida al cerrar un interruptor en un instante dado y mantenerlo cerrado indefinidamente. También se le nota por el valor .

. Para tener simetría a veces se le asigna

Función escalón unitario b) Señal rectangular Es la señal, notada donde

, definida por

dado.

c) Señal sinusoidal pura (o monocromática) Se representa mediante

donde

es la amplitud es el pulso o velocidad angular es el (más pequeño) período

5

es la frecuencia (número de veces que este fenómeno periódico se repite por unidad de tiempo) es el ángulo de fase es la fase inicial (cuando

)

(Más útil que conocer el ángulo de fase es el desfase o diferencia de

fase entre dos instantes) Aunque los valores de una señal son, en principio, números reales y la frecuencia un número positivo, por comodidad se utiliza una función con valores complejos lo que da

Hay que observar que el coseno o cualquier combinación lineal de seno y de coseno con la misma frecuencia se pueden transformar en una sinusoide simple y viceversa:

con

Otra representación posible para la sinusoide es

Sinusoide

6

3. SERIES DE FOURIER Fue el matemático francés Joseph Fourier, a principios del siglo XIX, quien encontró que una función periódica se puede representar como una suma infinita ponderada de términos en senos y cosenos (la serie de Fourier), mientras que en el caso de funciones no periódicas la representación se da por medio de una integral (la transformada de Fourier). Esto dio origen al Análisis Armónico, rama de la Matemática que estudia la representación de funciones o señales como superposición de ondas de base (los armónicos). En el caso de las series de Fourier estos son sinusoidales y por tanto las series son trigonométricas. A partir de la segunda mitad del siglo XIX se aplica esta teoría a datos de fenómenos relacionados con el sonido, la imagen, el clima, la mecánica cuántica o las neurociencias. Existen también versiones discretas de la serie y de la transformada de Fourier.

3.1. Polinomios trigonométricos Una función

se dice periódica de período

si

La función es periódica con período para cualquier entero , y lo mismo la función que se denomina polinomio trigonométrico de grado inferior o igual a N. Este polinomio puede escribirse como combinación lineal de senos y cosenos: 7

donde si

e inversamente Sea . Con las operaciones usuales para las funciones es un espacio vectorial, al cual se le puede dotar del producto escalar que da origen a la norma

=

Se puede mostrar que

y que

es una base ortogonal de

, espacio de dimensión

Además para todo

de donde

que da de manera explícita los coeficientes de Fourier función de p. Los coeficientes

y

se obtienen por las fórmulas

8

en

Observación En razón de la periodicidad de

Por tanto si p es función par (impar),

(

)

3.2. Series de Fourier Un contexto matemático adecuado para desarrollar el Análisis de Fourier es el de los espacios de Hilbert (espacios vectoriales normados, cuya norma proviene de un producto escalar y completos). Aquí trabajaremos en el espacio de las funciones continuas por tramos. Una función es continua por tramos en un intervalo si admite un número finito de discontinuidades de salto. Evidentemente, una función continua en un intervalo es continua por tramos en

Función continua por tramos

9

Sea . Con las operaciones usuales de funciones es un espacio vectorial. Si definimos sucede que no cumple con la condición de producto escalar (basta tomar una función que sea nula en salvo en un número finito de puntos) Para evitar este problema debemos tomar el espacio de las clases de equivalencias de la funciones de , donde la relación de equivalencia se define por . Este es un espacio vectorial euclidiano (dotado de producto escalar). Para simplificar el lenguaje y la notación trataremos a estos vectores (colecciones de funciones) como si fueran funciones ordinarias utilizando un representante de la clase de equivalencia. En el marco de los espacios de Hilbert se trabaja en , el espacio de las funciones de cuadrado integrable en el sentido de Lebesgue. Aquí se identifican dos funciones si coinciden casi en todas partes (salvo en un conjunto de medida nula). Este espacio es el completado del espacio de las funciones de cuadrado integrable en el sentido de Riemann. 3.2.1 Definición. Se llama serie de Fourier a la sucesión de sumas parciales (de polinomios trigonométricos) en forma compleja o en forma real . Otra representación se obtiene a partir del armónico (sinusoide)

donde 10

,

,

Siendo estas representaciones equivalentes, su uso dependerá de las aplicaciones En todo punto donde la serie converge se notará

Evidentemente, si la función

su suma

existe tendrá período

3.2.2. Representación en serie de Fourier de una función El problema de descomponer una función dada Fourier no siempre tiene respuesta positiva. Ahora supongamos que una función con período expresar como serie de Fourier, es decir que

en serie de se puede

Entonces integrando ambos miembros de la igualdad en el intervalo y usando las propiedades de ortogonalidad de las funciones seno y coseno se obtiene los coeficientes de Fourier

mientras que

.

11

Se puede remplazar el intervalo simétrico cualquier otro intervalo de la forma

por

Para precisar mejor la diferencia entre la función y la serie de Fourier que se le asocia se usa la notación

donde los coeficientes están dados por las fórmulas anteriores. En efecto puede suceder que para ciertas funciones los coeficientes no existan y por tanto tampoco la serie de Fourier, o que la serie exista y sea divergente o que aunque sea convergente no lo haga hacia la función. Se define una función es suave por tramos en un intervalo si tanto la función como primera derivada son continuas por tramos en . También se dice que es de clase por tramos. Teorema de Dirichlet Sea una función de período . Si es de suave por tramos en entonces la serie de Fourier asociada converge hacia si es continua en y hacia )] si no es continua en .

3.2.3.Series de senos y de cosenos 

Si es un función par ( de Fourier entonces

y desarrollable en serie

y .

12

Por tanto la serie de Fourier solo contiene términos cosenos: ,



Si la función es impar la serie de Fourier solo tendrá términos senos: , ---------En algunos casos la función es continua por tramos en un intervalo y se quiere desarrollarle en serie de Fourier. Se procede así: (i) se hace una extensión de al intervalo – llamada (ii) se hace la extensión periódica de a todo con período para esta nueva función se halla la serie de Fourier. Las extensiones más convenientes son la par y la impar dadas por y

pues conducen a series de Fourier que contienen solo cosenos o senos cuyos coeficientes son, respectivamente y

Ejemplo Se considera la función y .

definida por

13

Como la función es par su serie de Fourier es

Si toma el valor de

se tiene el siguiente resultado conocido

3.2.4. Propiedades de las series de Fourier a) Aproximación Si aproximamos la función

el error

por la suma finita

se define por

y el error cuadrático medio por

Se puede mostrar que

El fénomeno de Gibbs Cuando es suficientemente grande, Gibss observó que en los puntos de discontinuidad el valor dado por la aproximación continua produce un error de aproximadamente el 9% del salto de discontinuidad.

14

Efecto de Gibbs

15

b) Teorema de Parseval Sea una función de período Entonces

desarrollable en serie de Fourier.

+ La última igualdad muestra que el valor cuadrático medio de una función periódica es igual a la suma de los valores cuadráticos medios de sus armónicos. Se observa que el contenido de potencia de la función periódica , definido por depende únicamente de la amplitud de sus armónicos y no de sus fases. c) Continuidad de una serie de Fourier ¿Bajo qué condiciones sobre Sea en –

su serie de Fourier es continua?

una función suave a trozos, su serie de Fourier es continua si y solo si continua y

Si el desarrolla la serie de Fourier de cosenos o de senos a partir de un “medio” intervalo , se tiene que Sea (i) (ii)

una función suave a trozos, su serie de Fourier de cosenos es continua en de senos es continua en

si y solo si si y solo si

es continua es continua y

d) Derivación término a término de una serie de Fourier No siempre se puede derivar término a término una serie de Fourier. 16

Veamos el siguiente contraejemplo: El desarrollo en serie de Fourier de senos de

si

es . Al derivar la serie término a término se obtiene y mientras que la derivada de es 1. No se mantiene la igualdad pues laserie de cosenos de 1 es 1. Si una serie de Fourier de

es continua y

suave por tramos

entonces se puede derivar término a término Para las series de Fourier de cosenos y de senos se tienen resultados similares: (i) Si continua y Fourier de cosenos de

suave por tramos entonces la serie de se puede derivar término a término

(ii) Si continua, y entonces la serie de Fourier de senos de término a término

suave por tramos se puede derivar

e) Integración término a término de una serie de Fourier Se puede integrar series de Fourier sin mayores dificultades Sea una función suave por tramos, su serie de Fourier se puede integrar término a término, la serie infinita resultante es convergente y siempre converge a la integral de para  

El resultado es válido incluso si la serie de Fourier original tiene discontinuidades de salto La serie obtenida al integrar será continua pero no necesariamente será de Fourier.

17

4. LA TRANSFORMADA DE FOURIER Las series de Fourier permiten tratar varios problemas que involucran funciones periódicas, ahora se busca extender este análisis cuando las funciones no son periódicas para asociarles un espectro en frecuencias. 4.1. Definiciones ► Sea una función integrable sobre transformada de Fourier es la función

,

, su dada por la fórmula

► Si la transformada de Fourier de es una función integrable, la fórmula dicha transformada inversa de Fourier, operación notada , permite encontrar a partir de

La variable corresponde al tiempo y la variable a la frecuencia. Se dice que está en el dominio temporal y que está en el dominio frecuencial. Este par de transformadas de Fourier tendrán propiedades análogas pues solo cambian el coeficiente multiplicativo y – que se vuelve En general la función

donde de fase de

es compleja y se tendrá que

es el espectro de amplitud de

18

y

el espectro

Observaciones Si a) b)

es una función real entonces y y

son funciones par e impar de son funciones par e impar de

4.2. Propiedades de las transformadas de Fourier a) Linealidad : Si ,

funciones integrables en

b) Escalonamiento : Si ,

entonces

(La expansión en el dominio del tiempo es equivalente a la contracción en el dominio de la frecuencia y viceversa) c) Desplazamiento en el tiempo: Si entonces

d) Desplazamiento en la frecuencia: Si entonces

e) Convolución ► La convolución de dos funciones define por la función 19

y

, notada

,se

La convolución es una operación conmutativa, asociativa y distributiva respecto a la suma. Convolución en el tiempo: Si

y

entonces

Convolución en la frecuencia: Si

y

entonces

(El interés principal de calcular el producto de convolución por transformadas de Fourier es que estas operaciones son menos costosas en tiempo para una computadora que el cálculo directo de la integral) f)

Teorema de Parseval

Si

entonces

=

(La interpretación de esta fórmula es que la energía total de la señal es igual a la energía total de su transformada de Fourier a lo largo de todas sus componentes frecuenciales) g) Continuidad La transformada de Fourier de es una función continua, de límite nulo al infinito y acotada por donde ,

20

h) Derivabilidad Si la función es integrable, entonces se puede derivar la transformada de Fourier bajo el signo de integración y se tiene i)

Transformada de la derivada

Si es derivable, de límite nulo al infinito y si la derivada de f(t) es integrable entonces . Este resultado se puede generalizar para derivadas de orden superior: .

Estas propiedades se pueden demostrar sin mayor dificultad usando las propiedades de la integral y aplicando la técnica de la integración por partes. Por ejemplo para la propiedad del desplazamiento en el tiempo:

entonces con el cambio de variable

se obtiene =

y por tanto

21

5. LA “función” DELTA DE DIRAC La delta de Dirac , llamada por abuso de lenguaje función de Dirac, se puede considerar informalmente como una función que toma el “valor” infinito en cero y el valor 0 en los demás puntos, y cuya integral en vale 1. En realidad la delta de Dirac no es una función sino una función generalizada o distribución. También se le llama función impulso.

Delta de Dirac (función impulso) Es muy útil para aproximar funciones cuya representación gráfica tiene la forma de una gran punta estrecha y modela una carga puntual. La delta de Dirac permite definir la derivada generalizada de funciones discontinuas. La delta de Dirac viene dada por la fórmula: por tanto donde es una función continua , que se anula fuera de algún intervalo finito (soporte de la función) y que se conoce como función test

22

5.1. Algunas propiedades de 1. 2. 3.

,

4. La derivada

de

está dada por

5. La derivada de la función escalón unitario (Heaviside)

6.

=

es

, por tanto

7. Para la convolución se tiene

5.2. Aplicaciones Algunas de estas propiedades pueden utilizarse para: (i) investigar el comportamiento de las series de Fourier para las derivadas de formas de ondas con un número finito de discontinuidades en un período, (ii) calcular los coeficientes de las series de Fourier de algunas 23

funciones, (iii) hallar las transformadas de Fourier de ciertas funciones que no satisfacen la condición suficiente , como la constante, , , el escalón unitario etc. Se tiene así:

,

5.3. Función peine de Dirac La función peine de Dirac espaciadas de :

es una suma de deltas de Dirac

A esta función también se le conoce como tren de impulsos unitarios, que aparece en la siguiente figura:

Como esta función tiene período T, se calcula su serie de Fourier y se tiene , que consiste de un término constante todos con la misma amplitud

y una suma de armónicos

La propiedad

conduce a 24

es decir el cálculo aproximado de una integral por el método de los rectángulos es equivalente al cálculo de la integral de la función multiplicada por un peine de Dirac. La transformada de Fourier de un peine de Dirac en el tiempo es también un peine similar en la frecuencia:

6. ANALISIS DE FOURIER DISCRETO En muchos procesos del tratamiento de señales se trabaja con señales discretas o digitales. La discretización de una señal continua se hace a través de una operación llamada muestreo. 6.1. Transformada de Fourier discreta(TFD) El equivalente a la transformada de Fourier para señales continuas es la transformada de Fourier discreta (TFD). Su definición para una señal x de N valores viene dada por para y su transformada inversa discreta por

25

Los factores de normalización y los signos de las exponenciales son convencionales, pueden cambiar a condición de que los signos sean contrarios y que el producto de dichos factores sea . Si notamos y matricialmente mediante

la TFD se puede expresar

,

La TFD permite evaluar una representación espectral (en frecuencias) discreta de una señal discreta en una ventana de tiempo finita. Este análisis es relativamente sencillo y además eficaz en aplicaciones de eliminación del ruido que contamina una señal y en otros tipos de filtrados (pasa bajos, filtros para altos, filtros pasa banda,etc.) TFD de algunas funciones a) b) c) Si

entonces

6.2. Transformada rápida de Fourier (TRF) La transformada rápida de Fourier (TRF) es un algoritmo eficiente que permite calcular la transformada de Fourier discreta (TFD) y su inversa. Sus aplicaciones no solamente están en el tratamiento digital de funciones y filtrado digital sino que se extienden a las ecuaciones 26

diferenciales. Este algoritmo fue presentado originalmente en 1965 por James Cooley y John Tukey. Evaluar directamente las sumas de la TFD cuesta productos complejos y sumas complejas mientras que la TRF utiliza solo productos y sumas. Así para N=1024 el tiempo de cálculo del algoritmo rápido puede ser 100 veces más pequeño que el cálculo que utiliza la definición de la TFD. La idea es utilizar el principio “dividir para conquistar”: descomponer la transformada a tratar en otras más simples y éstas a su vez hasta llegar a transformadas de 2 elementos donde k puede tomar los valores 0 y 1. Una vez resueltas las transformadas más simples hay que agruparlas en otras de nivel superior que deben resolverse de nuevo y así sucesivamente hasta llegar al nivel más alto. Al final de este proceso, los resultados obtenidos deben reordenarse. El procedimiento es similar para el cálculo de la transformada inversa. 6.3. La transformada La transformada es una generalización de la transformada de Fourier discreta (TFD). Es una aplicación que transforma una sucesión en una función de una variable compleja , tal que sea convergente. Para una señal la variable representa al tiempo discretizado, mientras que la variable no representa nada en particular (es una creación abstracta) pero por analogía con la transformada de Fourier se le llama frecuencia. La TFD se encuentra evaluando círculo unidad):

en 27

(es decir sobre el

La transformada tiene desplazamiento, convolución.

las

propiedades

Si consideramos el impulso de Dirac y La transformada

de

linealidad,

y el escalón unitario para

inversa viene dada por

Donde es un camino recorrido en sentido contrario a las agujas del reloj y completamente contenido en el dominio de convergencia

7. ANALISIS DE FOURIER Y PROCESAMIENTO DE SEÑALES En este capítulo desarrollaremos algunas técnicas del procesamiento de señales que involucran series y transformadas de Fourier, particularizaremos sobre el análisis del espectro y de sistemas, el filtrado y el muestreo de señales. 7.1. Análisis espectral Las series de Fourier permiten describir una señal, función del tiempo, como superposición de señales más simples (sinusoides) de varias frecuencias múltiplos de la frecuencia fundamental . El espectro de frecuencia es una medida de la distribución de amplitudes o de las fases de cada frecuencia. El proceso que cuantifica las diversas intensidades de cada frecuencia se conoce como análisis espectral.

28

Una señal periódica se puede representar mediante un gráfico de flechas paralelas al eje de las ordenadas de altura (intensidad) en la frecuencia . Se obtiene así una representación del espectro de amplitudes en rayas de la señal. Recordemos que Una representación similar con rayas se puede hacer para el espectro de fases, donde ahora las flechas tendrán alturas iguales a los argumentos . Estos espectros son discretos. En el caso que los señal tiene una sola representación en frecuencia.

sean reales la

Para la señal dada por la siguiente gráfica, sus coeficientes son

y su espectro de magnitud

29

Para la transformada de Fourier el espectro será continuo. Para la función escalón unitario se dan las gráficas de su transformada de Fourier y de sus espectros:

7.2 Sistemas y filtros Un sistema es un proceso (o un aparato) que produce transformación de señales. Se distinguen por tanto, una señal de entrada, una de salida y un mecanismo de transformación representado matemáticamente por un operador Entonces si , se tiene

con

Si hay múltiples señales de entrada o de salida las funciones tienen valores vectoriales. Como ejemplos de sistemas tenemos amplificadores, teléfonos.

circuitos eléctricos,

Las señales de entrada y de salida no son necesariamente de la misma naturaleza (por ejemplo en un modem). Se dirá que un 30

sistema es analógico (discreto) si transforma una señal analógica (discreta) en otra señal analógica (discreta).

7.2.1. Propiedades de los sistemas Si se dota a e de la estructura de espacios vectoriales (reales o complejos) un sistema puede tener alguna o algunas de las siguientes propiedades: a) Linealidad: una combinación lineal de entradas produce la misma combinación de salidas: A la linealidad se le conoce también como “principio de superposición”. Hay que observar que algunos sistemas no lineales pueden ser “adecuadamente” linearizados. b) Invariancia: un desplazamiento en la entrada produce el mismo desplazamiento en la salida: Si entonces Un sistema invariante también se dice estacionario c) Causalidad: la salida no depende de entradas futuras, es decir la respuesta en un instante dado solo depende del pasado anterior a ese instante. Si entonces d) Continuidad: S es continuo si para toda sucesión que tiende hacia , la sucesión tiende hacia . Esta noción expresa la idea que si dos señales de entrada son cercanas las salidas correspondientes también lo son. La continuidad está ligada al concepto de norma pues: 31

significa que espacios de funciones

. Por tanto se dotará a los de normas.

e) Memoria: si un sistema no tiene memoria entonces la salida en un instante depende de la entrada en ese instante f)

Invertibilidad: entradas distintas producen salidas distintas: Si entonces

Entre los sistemas más interesantes a tratar están los lineales, invariantes y continuos. 7.2.2. Algunos Sistemas a) Amplificador constante fija b) Línea con retardo , constante real c) Diferencial

7.2.3. Sistemas lineales, continuos e invariantes El término filtro designa a la vez un sistema físico que permite modificar señales (por ejemplo un ecualizador) y su modelo matemático dado por un sistema lineal, continuo e invariante . El papel de un filtro es modificar la fase y la amplitud de las componentes de una señal. Los sistemas a), b) y c) son filtros. Otra definición de sistema lineal invariante es que las señales de entrada y de salida (o respuesta) están relacionadas por una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes o un sistema con este tipo de ecuaciones. Este modelo da cuenta de la relación existente entre las variaciones de la señal de salida y los valores o las 32

variaciones de la señal de entrada. Aparece en circuitos eléctricos y sistemas mecánicos. a) Salida de una señal periódica Enunciemos en primer lugar el siguiente resultado La respuesta de , sistema lineal e invariante, a una señal exponencial es también una señal exponencial y proporcional a la entrada, es decir

Dicho de otra manera, propio .

es función propia de

asociada al valor

Este resultado es importante ya que la serie de Fourier asociada a una señal periódica se escribe y por tanto por linealidad se tendrá . Es decir que la imagen de la señal periódica está determinada completamente por las salidas que corresponden a los elementos de la base . Tanto la serie de entrada como la serie de salida tienen las mismas frecuencias, lo que no es el caso para sistemas no lineales que crean nuevas frecuencias. Por tanto la localización de las rayas del espectro no cambia. El filtrado consistirá entonces en disminuir, amplificar o seleccionar ciertas rayas. b) Salida de una señal cualquiera Ahora se estudiará la respuesta a un señal cualquiera. Para ello notaremos la salida del impulso unitario (delta de Dirac), llamada respuesta impulsional. 33

La respuesta de , sistema lineal e invariante, a una señal cualquiera está dada por el producto de convolución de esta entrada y de la respuesta del sistema al impulso unitario:

En lugar de calcular explícitamente la respuesta del sistema en el tiempo, cuyo cálculo puede resultar laborioso, muchas veces interesa determinar su contenido en frecuencias y se tiene el siguiente resultado en términos de transformadas de Fourier: Si

,

,

entonces

, A

, se le conoce como la función de transferencia del sistema,

y se acostumbra a escribirle como cociente

. La

función de transferencia tipifica al filtro pues determina la forma en la que la señal entrante cambia en amplitud y fase al pasar a través del filtro. Observación El valor de para la salida de la exponencial tratada en el literal 6.2.3.a) es justamente

7.2.4. Filtros digitales Los filtros digitales modifican una señal discreta mediante operaciones matemáticas. Los filtros analógicos utilizan componentes físicas (resistencias, condensadores, transistores, etc.), los filtros digitales actúan con 34

circuitos integrados, procesadores programables o software de una computadora (por ejemplo los programas para retocar imágenes). La representación matemática en el dominio temporal discreto se da mediante ecuaciones en diferencias. Para un filtro de orden para una señal se tiene

En el dominio de las frecuencias, usando la transformada función de transferencia de orden viene dada por

, la

Los valores de los coeficientes y determinarán el tipo de filtro (pasa bajo, pasa alto, etc.). En general se toma . 7.3. Muestreo El muestreo es la operación que consiste en tomar muestras periódicas de los valores de una señal continua (analógica) a intervalos regulares de tiempo (o de la variable independiente). La frecuencia a la cual se capturan los valores se dice frecuencia de muestreo. El muestreo es el primer proceso que interviene en la conversión de una señal analógica en digital. Los otros procesos matemáticos son la cuantificación (asignación de un margen de valor a un único nivel de salida por ejemplo por redondeo o truncamiento sobre una precisión determinada) y la codificación (traducción de los valores cuantificados a un código, generalmente binario). La cuantificación, al contrario del muestreo, no es reversible pues se produce una pérdida de información que se traduce en un error llamado ruido de 35

cuantificación. Durante el muestreo la señal es aún analógica (puede tomar cualquier valor), a partir de la cuantificación la señal se vuelve digital (toma ya valores finitos). Esta transcripción a señales digitales se realiza con el objetivo de facilitar su procesamiento (compresión, etc.) y darle a la señal resultante mayor inmunidad al ruido y otras interferencias a las que son más sensibles las señales analógicas. Según el teorema de Nyquist-Shannon para replicar con exactitud la forma de la señal la frecuencia de muestreo debe ser superior al doble de la máxima frecuencia a muestrear. Esa frecuencia límite se llama frecuencia de Nyquist. Por ejemplo un CD de audio contiene datos musicales muestreados a 44,1kHz (44 100 muestras por segundo) ya que el oído humano puede captar los sonidos hasta 16kHz y a veces hasta 22kHz.

Teorema del muestreo uniforme en el dominio del tiempo Sea una señal analógica, cuya frecuencia más alta es (o sea que la señal es de banda limitada). Si se realiza un muestreo regular de ) con frecuencia de muestreo mayor o igual a , entonces se puede determinar por completo a partir de la señal discreta. Dicho de otra manera, la información completa de la señal analógica original que cumple el criterio anterior se describe completamente por la serie total de muestras resultantes del proceso de muestreo, de la siguiente manera:

o

36

donde

y

Se observa que cada muestra está multiplicada por la función “muestreadora”

y todas estas funciones resultantes se suman para obtener

Muestreo y reconstitución de

37

En caso de que la señal sea muestreada a una tasa inferior a la indicada las trasladadas vecinas se superponen dando origen al fenómeno llamado “aliasing” y no se puede recuperar la señal inicial. Si se cumple con la condición indicada de nada sirve aumentar la frecuencia de muestreo.

Encabalgamiento de señales. “aliasing” Como se constata con las fórmulas expuestas la señal analógica no se obtiene mediante interpolación lineal de los puntos resultantes del muestreo. También existe un teorema similar cuando se considera el dominio de las frecuencias. Teorema del muestreo uniforme en el dominio de la frecuencia Sea una señal analógica, cuyo banda es – (es decir fuera de ese intervalo ), entonces su transformada de Fourier se puede determinar en forma unívoca a partir de los valores de tomados en los puntos equidistantes , mediante la fórmula

38

REFERENCIAS [1] Claude GASQUET, Patrick WITOMSKI Analyse de Fourier et applications, Université de Grenoble I, Dunod (1996) [2] Hwei P. HSU, Iberoamérica,(1987)

Análisis

de

Fourier,

[3] http://www.jhu.edu/~signals/index.html

39

Addison-Wesley