04 Raz. Matematico

Razonamiento Matemático

LÓGICA LÓGIC A RECREA RECR EATIVA TIVA Para medir tu capacidad: ¿Cuántos palitos debes mover como mínimo, para que la igualdad se verifique?

relación que permitan dar solución a un problema. Introducción Expresiones como “soy incapaz para la matemática”, “no he nacido para los números”, “me falta la memoria para aprender fórmulas ”, etc., son un producto amargo del tipo de enseñanza memorística y mecanizada que hemos recibido desde nuestra infancia. En consecuencia nos corresponde revertir esta situación, poniendo en práctica nuestra capacidad de análisis y raciocinio objetivo. Queremos contribuir a ello desarrollando este tema del razonamiento este tema del razonamiento lógico.

 

=

  * * *

Resolución: Objetivos. Desarrollar la capacidad de análisis del estudiante. Dar al estudiante estudiante las herramientas herramientas metodológicas metodológicas adecuada para enfrentar situaciones complejas a partir de un análisis progresivo de situaciones sencillas. ejercitar la capacidad capacidad de observación para establecer establecer

Capacidades a desarrollar.

MAPA CONCEPTUAL LÓGICA RECREATIVA

ENUNCIADOS

PROBLEMAS SOBRE MATEMÁTICA RECREATIVA

PROBLEMAS SOBRE RELACIÓN DE TIEMPOS

PROBLEMAS SOBRE CUADRADOS MÁGICOS

PROBLEMAS SOBRE CERILLOS

PROBLEMAS SOBRE ACERTIJOS LÓGICOS

CASOS

CASOS

TÉCNICAS

MÉTODOS

BIBLIOGRAFÍA: * RAZ. LÓGICO



LUIS RUBINOS

* RAZ. LÓGICO



ADUNI

097

PROBLEMAS SOBRE ORDEN DE NÚMEROS

 Razonamiento Matemático - 1ero. Secundaria

 Actividad 

¡DESAFÍO!

1) Pendiente en el café: Esta mañana mañana se me cayó un pendiente en el café. Y aunque la tasa estaba llena, el pendiente no se mojo. ¿sera posible?.

Los Quince Tantos En los organismos más simples un Cambia una carta de individuo es sola una célula, por lugar, lo quede se llama unicelular. manera que las de cada montón sumen quince tantos.

Rpta.:

2) Un granjero tiene 75 pavos. Vino la plaga y murieron todos menos 5. ¿Cuántos pavos quedan? Rpta.:

 6

 3

3) Tengo 100 sillas sillas y ciento cincuenta niños. niños. ¿Cuántas sillas sillas quedan ?

 5

 2

6 

3 

 4

A

Rpta.: 5 

2  4 

A

4) Si Domingo murió y el Sábado lo enterraron, ¿Cuál fue el Ultimo día que vivió?  

 9

5) Con que debo llenar llenar una caja de metal para que pese menos?

 8

9 

Rpta.:

 7

8  7 

6) La botella y el corcho : Una botella botella de vino, vino, taponada con un corcho este llene hasta la mitad ¿Que podemos hacer para beber el vino sin sacar el corcho ni romper la botella?.  

 

  *

Rpta.:

OBJETIVOS: En esta sección vamos a plantear situaciones en las que solo necesitamos una pequeña dosis de concentración para dar con la respuesta debida. No es necesario para este tipo de preguntas recurrir a la teoría matemática si no generalmente al sentido común con el que todos manejamos los problemas diarios de la vida. Veamos entonces algunos de estas situaciones: Introductorio: Con 8 palitos mondadientes forma cuatro triángulos y dos cuadrados. Los palitos

Rpta.:

7) Si un tren eléctrico transita de sur a norte, norte, ¿Hacia donde se dirige el humo?  

Rpta.:

8) ¿Cuántos panes como máximo, to puedes comer con el estomago vació?  

Rpta.:

9) Si Mario cae a un pozo con agua agua de poca profundidad. profundidad. ¿Cómo sale?  

Rpta.:

Mondadientes tendría que

10) Los esposos García tienen tres hijas y cada hija tiene un hermano. ¿Cuántas personas hay en total?

colocarse de Rpta.:

la siguiente forma: Recuerda que alguien dijo: "¡No digas que es imposible! más bien di ¡N° lo he intentado intentado todavía!.... pero pero .... ¡Allá voy!”

11) El naranjo: Subió a un árbol de naranjas, sin naranjas, y bajo con naranjas. Como se explica esto? Rpta.:

Hay grandes hombre que hacen a los demás sentirse pequeños. Pero la verdadera grandeza 098

 Compendio Académico - I Bimestre 12) Un barco se hundió entre las fronteras de Perú y Chile, con 80 pasajeros a bordo, mueren 60 ¿En que país entierran a los sobrevivientes? Rpta.: 13) Quien lo hace lo hace silbando, quien lo compra lo hace llorando y quien lo usa, no lo ve; ¿Que será? Rpta.:

3) Azúcar al Café: ¿Cómo puede ud. Poner un terrón de azúcar en el café sin que se le moje? Naturalmente, después de haberlo sacado de su papel o plástico. Rpta.:

4) Se tiene una lamina cuadrangular si corto en una esquina. ¿Cuántas esquinas quedan?

14) Si el día de hoy fuese como mañana faltarían 3 días para ser viernes, ¿Que día es hoy?

Rpta.: 5) ¿Que relación de parentesco hay entre ud. Y con el hijo del hijo del padre de su madre?

 

 

Rpta.:

15) Por una calle van 3 triciclos, en cada triciclo van 3 cajones y en cada cajón 3 conejos. ¿Cuántos conejos vienen? Rpta.:

Rpta.:

6) Edad del Griego: nació el séptimo día del año 40 a. de c.; y murió el séptimo día del año 40 d. de c. ,Cuántos años vivió? Rpta.:

16) Los siete pescados: Hay siete personas sentadas a la mesa . Entre la criada con una fuente con siete pescados; cada uno de los comensales se sirve una y queda en una fuente ¿Cómo es posible?

7) Estoy en el mar y no me ahogo, estoy en el aire y no vuelo y estoy en medio de to brazo ¿Quién soy? Rpta.:

Rpta.:

17) Un sastre cortador: Un sastre corta cada minuto un metro de una tela que mide diez metros ¿Cuánto tardara en tenerla completamente cortada? Rpta.:

18) Un ladrillo tiene 6 caras. Si se forma un bloque con dos ladrillos ¿Cuántas caras tiene este bloque?

8) Karina, hace dos días tenia 30 años y el próximo año cumplirá 33, ¿Cuándo nació Karina?  

9) Si por cada tres chapitas de gaseosa, obsequian una gaseosa, por 9 chapitas, el número de gaseosas que obtendré es: Rpta.:

Rpta.:

19) Un caracol sube por un acantilado de 9m de altura. Cada día por cada 3m que sube baja 2m. ¿Cuántos días tardaría para llegar a la cima?  TAREA PARA LA CASA 

Rpta.:

20) La mitad de 4 mas la mitad de 6 mas la mitad de 6 y 4 es: Rpta.:

Rpta.:

10) Camino del bosque: Raquel y su perro deciden entrar en el bosque ¿Hasta que parte del mismo pueden hacerlo? Rpta.:

11) A un árbol subí donde manzanas habían, manzanas no comí ni manzanas deje, ¿Cuántas manzanas habían?  

Rpta.:

12) 5 monitos comen 10 plátanos en 10 minutos, ¿En cuántos minutos se comerán 4 monitos 12 plátanos? Rpta.:

1) Un chivatito nace en Huancayo y al venderlo (a los pocos días) es trasladado a Lima, ¿Dónde le salieron sus cachitos?

13) Una secretaria puede escribir una letra en medio segundo.

Rpta.:

Hay gente tan lenta de sentido común que no le queda el más pequeño rincón para el sentido propio.

2) Un cazador dispara su escopeta hacia un árbol donde se encuentran 16 palomas. Si mata 10; ¿Cuántas quedan en el árbol? Rpta.:

099

 Razonamiento Matemático - 1ero. Secundaria SUB TEMA:

sólo tiene 2 hermanos. Sin embargo todos son hijos de la misma familia y tienen los mismos padres ambos vivos ¿Cuántas personas conforman la familia de Maritza?

MATEMÁTICA RECREATIVA En esta sección se te recomienda: 1) Libera to imaginación. Los problemas aquí planteados tienen pequeños detalles que aparentemente no son muy útiles, sin embargo debes tenerlos en cuenta. 2) Si es posible, haz un gráfico de la situación que te plantean y en él indica los datos. 3) Debes intentar una y otra alternativa de solución al problema y decidirte por la que cumpla con el mas mínimo detalle. 4) Algunas preguntas son de tipo capcioso. Probablemente tengas que leerlos mas veces que en los problemas comunes, hasta encontrar el pequeño tr uco escondido. “El Titulo de Triunfador esta reservado solo al que se atreve” En esta vida la paciencia ha de ser un plan de cada día; pero la necesitamos en particular para nosotros,  por que nadie se nos hace tan pesado como nosotros mismos.

Rpta.:

6) David intentando hacer razonar a José le comenta: “José, Cómo me podrías demostrar que la mitad del número nueve es exactamente cuatro?”. Ud. ¿Cómo la haría? 7) Si disponen de 27 dados y con todos ellos forman un cubo del cual luego pintas todas sus caras, ¿Cuántas de los 27 dados tendrán solo dos de sus caras pintadas? iAverígualo! ¡Tú Puedes!  

Rpta.:

8) Utilizando cinco números 3, exprese, el número 100 mediante operaciones A aritméticas B A¡Inténtalo!.  

Rpta.:

B

B

9) Utilizando los dígitosAdel 1Bal 8 y A sustituyendo por ellos las letras A y B. Los que pongas en B deben ser la suma de sus dos "A" vecinas.

ProblemasSan Francisco de Sales  para Clases    1) Del 1 al 8 : Escribir en cada cuadradito los números del 1 al 8, con la condición de que la diferencia entre dos números vecinos no sea nunca menos que 4.

 

 

10) Boca abajo y boca arriba, tenemos sobre la mesa una hilera de copas. Hay 5 boca arriba alterándose con 4 que están boca abajo.

Rpta.:

2) Ahora que los viajes son rapidisimos no se acostumbra ya llevar enormes equipajes sin ser considerado un viajero anticuado. Por eso Juan en su reciente viaje a Bogotá solo llevó un equipaje que pesaba 9/10 Kg. mas 9/10 Kg. del peso de dicho equipaje ¿Cuánto pesa su equipaje? Rpta.:

Rpta.:

Se trata de ir dando vuelta a las copas, siempre de dos en dos, hasta conseguir que queden 4 boca arriba y 5 boca abajo. ¿Sera ud. Capaz de conseguirlo?  

Rpta.:

11) Las cifras del 1 al 9 hay que distribuirlas en la rueda que se muestra (en cada circulo) de manera que las tres cifras de cada una de las filas sume siempre 15.

3) Se tienen 5 trozos de cadenas de 3 eslabones cada uno. Si necesitamos unirlos en un solo trozo de 15 eslabones ¿Cuántos eslabones tendremos que abrir como mínimo y soldar de nuevo para conseguirlo?  

Rpta.:

4) ¿Quién es el hijo del abuelo, del bisnieto de mi abuelo? Rpta.:

5) Maritza tiene 2 hermanos, pero cada uno de sus hermanos

 

Rpta.:

12. ¿Cuál es el mayor número que se puede escribir con cuatro cifras iguales? ¡Piensa bien la respuesta! 100

 Compendio Académico - I Bimestre  

Rpta.:  TAREA PARA LA CASA 

13) Si necesitamos 23 minutos para hornear un pastel: ¿Cuánto tiempo necesitamos para hornear cinco pasteles?

S/.4, ¿Cuántos hijos tenia que premiar?"

Rpta.:

14) En un determinado mes existen 5 jueves, 5 viernes y 5 sábados. ¿Hallar el día de la semana que cae 25 de dicho mes? Rpta.: 15) Distribuir los números del 1 al 8 en los ocho casilleros. de modo que no pueden haber dos números consecutivos en casilleros adyacentes.

Rpta.:

20) Utilizando cinco números 1, exprese el número 100 mediante operaciones aritméticas ¡Intentalo!.  

Rpta.:  ¿Quién puede jactarse de  no tener defectos? El que  examina los suyos aprende a perdonar los ajenos. Metastasio

 

Rpta.:

16) El cubo de primos: En los vértices del cubo adjunto, colocar los números del 0 al 7 para que la suma de los dos de cada arista sea un número Primo.

1) Dos padres deciden dar propina a sus respectivos hijos. uno de ellos dio a su hijo 150 soles, mientras que el otro dio a su hijo 100, sin embargo los 2 hijos juntos aumentaron su capital solo en 150. 6 ¿Cómo es posible esto? Rpta.:

 

Rpta.:

17) Si un borrachin forma un cigarro con 3 colillas: ¿Cuántos cigarros fumaria el día que recoge 14 colillas? Rpta.:

18) Acabo de vender - dijo un granjero - nueve caballos y siete vacas en s/. 25000. Supongo que habrá recibido ud. mas por los caballos que por las vacas - repuso le un amigo suyo. Si contesto - me han dado por cada caballo el doble que por cada vaca; ¿Cuánto se pagó por cada animal? Rpta.:

2) Con una lupa que aumenta cuatro veces, se observe un ángulo dibujado en un papel de 15 grados de medida; razona y contesta: ¿Cuál Sera la medida que tendría el ángulo a través de la lupa? Rpta.:

3) Andrea le pide propina a su papi y este le da 12 monedas de un sol y le dice “Forma con estas monedas seis filas de 4 monedas cada fila y luego serán tuyas”. Si Andrea lo logró: ¿Cómo lo hizo?. Rpta.:

4) En cada uno de los casilleros que aparecen se debe ubicar un número de modo que al completarlo, se hallan usado los números 1;2;....;9. Si además no deben haber dos casilleros con un lado o vértice común que contengan 2 números consecutivos ¿Cómo hacerlo?.

19) Un padre de familia emocionado por saber que sus hijos aprobaron con altas notas sus cursor bimestrales, se dispone a premiarlos con dinero, para lo cual reflexiona del siguiente modo: “Si les doy S/. 15 a cada uno me faltarían S/.8 y si les doy s/.12 a cada uno me sobrarían

Rpta.:

5) Supongamos que tenemos un papel cuadrado de área 2 2 1m y lo dividimos en cuadraditos de 1 mm de área. Si los colocamos luego en fila ¿Qué longitud se obtendría?. Rpta.:

101

 Razonamiento Matemático - 1ero. Secundaria 6) Utilizando cinco números 5, exprese el número 100 mediante operaciones aritméticas ¡Intentalo!.

20 arios y Alfredo es 15 años mayor que Jorge. ¿Cuántas veces la edad de Jorge tiene Alfredo?

Rpta.:

Rpta.:

7) La configuración que se expone a c o n t i n u a c i ó n , representa una igualdad incorrecta; moviendo solo un palito de los mostrados, transformar dicha false igualdad en una igualdad verdadera.

 

12) Juguemos con el reloj : Divide la esfera del reloj en 6 partes, como lo desee, pero de modo que en cada parte la suma de los números que en el aparecen sea la misma Rpta.:

13) En la siguiente figura tenemos una "casita" con palitos de fósforo. Si solo moviéramos tres palitos convertiríamos la "casita" en cuatro triángulos de lados guales cada uno. ¿Te atreves a mover esos tres palitos?.

Rpta.:

8) Jorge le preguntó a su profesor por su edad y este le contesto: “Mi edad es el - exceso del quíntuple de la edad que tendré dentro de 7 años, sobre el quíntuple de la edad que tuve hace dos años”. ¿Cuál es la edad del profesor? Rpta.:

9) El cuadrado sin marco: Este cuadrado se lo doy a ud. Con marco por S/. 12 – dijo el vendedor, sin embargo en otro marco que cuesta la mitad que este, se lo vendo a S/.10, ¿Cuánto cuesta el cuadro sin marco?. Rpta.:

10) En los vértices del cubo adjunto, colocar los números del 0 al 7 para que la suma de los 4 de cada arista sea un número primo

Rpta.:

11) Alfredo y Jorge son respectivamente el primero y el Ultimo de los hermanos de una familia; la suma de s us edades es

102

 Compendio Académico - I Bimestre CONTEO DE FIGURAS, trazos y lineas

Observa ¿Cuántos cuadrados distintos puedes contar en el dibujo del joven hindú con turbantes?

¿Cuántos triángulos distintos puedes contar en el dibujo del gato?

Objetivos:

*

Desarrollar la capacidad de observación y análisis en el estudiante.

*

Proporcionar al alumno estrategias y métodos de conteo así como herramientas de análisis de figuras.

Capacidades a Desarrollar  1. Razonamiento y Demostración

2. Comunicación Matemática (Interpretación de Gráficos y Expres - Simbólicas)

103

 Razonamiento Matemático - 1ero. Secundaria RED CONCEPTUAL

CONTEO DE FIGURAS

CONTEO DIRECTO

CONTEO POR INDUCCIÓN

CONTEO POR FÓRMULA

Capacidades a Desarrollar: Capacidad I. Razonamiento y Demostración Capacidad II. Interpret ación de gráficos y representaci ones

BIBLIOGRAFÍA: * COLECCIÓN - PAMER (ACADEMIA) * EDITORIAL - ADUNI (COMPENDIO) * EDITORIAL - COVEÑAS

104

 Compendio Académico - I Bimestre Conteo de Figuras

Ejemplos

Los ejercicios de conteo de figuras generalmente forman parte de todos los exámenes de ingreso a los centros de estudios de educación superior. No por que impliquen el use de complicadas operaciones matemáticas; sino, por que evalúan el nivel de análisis, de síntesis y la capacidad de atención y concentración del postulante. Este tipo de ejercicios también desarrollan la percepción visual, entrenan la atención y concentración, por lo tanto, contribuyen al desarrollo del pensamiento lógico matemático. Para contar figuras se presentan los siguientes métodos:

1. ¿Cuántos segmentos hay en la figura?

 

2

1.- El Método de Schoenk : En este método se le asigna a números o letras a cada una de las figuras simples que forman la figura completa, dichos números o letras se colocan de menor a mayor, para luego contar las figuras agrupándolas en forma ascendente.   Ejemplo: ¿Cuantos Triángulos hay en la figura? 1

2

 

Solución Primero se colocan los números de forma creciente y consecutiva comenzando de la unidad: 3 1

luego: Sumamos los números 1 + 2 + 3 = 6 segmentos en total. 2. ¿Cuántos triángulos hay en la figura hay en la siguiente figura?

3

Solución Se empieza el conteo de la siguiente forma: Figura de un número : Figura de dos números Figura de tres números

: :

1, 2, 3 = 3 23 = 1 123 = 1

Luego sumamos las respuestas total

  (+)

Solución: Colocamos los números comenzando de la unidad en cada uno de los espacios de la figura.

= 5 Triángulos

2.- El Método mediante la inducción:  (Formula) en este puede colocar otra método se aplica la fórmula deSe la sumatoria devez los luego procedemos a laesta suma números naturales para la cual veamos cómo salió fórmula:

Si:

6 6 6 6+6 2x 6

= = = = =



4x3 12+ 2 + 3 3 + 2 + 1 (+) 4+4+4 4x3

6 = 6

S

1

2

3

4

5



S

2 5 x 10 S Luego: sumamos 2los números 1 + 2 + 3 + 4 + 5 S  25

 ╗ ╗  2

De aca se deduce la formula:

1

105

2

3

4

5

6

7

8

 Razonamiento Matemático - 1ero. Secundaria Solución: Método practico: Contamos los cuadros cada uno dibujado y nos resulta 8 en total, luego:

8(8  1) 2 8x 9 S 2 S  36 S

 

  Rpta.: 05. ¿Cuántos triángulos hay en la figura? Cuadriláteros en total

Observación: Estos métodos solo se aplican a estos tipos de figuras.

Me preguntas ¿Qué es Dios? no se que decirte; lo que si puedo afirmar es que siempre será mucho más de lo que la naturaleza humana puede ofrecerte Francisco Jaramillo

 

Rpta.:

06. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

 Actividad 

01. Cuántos segmentos hay:

   

Rpta.:

07. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

Rpta.:

02. Calcular el número de segmentos que aparecen en la siguiente figura.

 

Rpta.:

 

03. Calcular la cantidad de segmentos que se pueden ubicar en la siguiente figura:

08. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?

  C  

D 04. Un profesor ofrece a unBalumno de 1° B un cierto puntaje por cada segmento que encuentre en laEfigura siguiente: F G I

Rpta.:

09. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

Rpta.:

A

Rpta.:

H 106

 Compendio Académico - I Bimestre  

Rpta.:

10. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?  

Rpta.:

15. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?  

Rpta.:

11. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?

  Rpta.: 16. ¿Cuántos hexágonos hay en la siguiente figura?

 

Rpta.:

12. Se ofrece una recompensa de S/. 3 por cada cuadrilátero que aparezca en la siguiente figura. ¿Cuánto de recompensa recibirá el que de la cantidad exacta de cuadriláteros?

 

Rpta.:

17. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?

 

Rpta.:

13. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

 

18. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?

   

Rpta.:

Rpta.:

Rpta.: Ninguno puede ser feliz si no se aprecia a sí mismo

14. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?

Jean Jacques Rousseau

107

 Razonamiento Matemático - 1ero. Secundaria  TAREA PARA LA CASA 

19. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura? a) 4 d) 6

b) 3 e) N. A.

c) 8

04. ¿Cuántos triángulos hay?  

Rpta.:

20. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

a) 14 d) 36

b) 26 e) 24

c) 42

05. ¿Cuántos cuadriláteros hay?  

Rpta.:

01. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? a) 6 d) 18

b) 8 e) 15

c) 9

06. ¿Cuántos semicírculos hay?

a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

02. ¿Cuántos segmentos hay? a) 4 d) 16

b) 8 e) 24

c) 12

07. ¿Cuántos triángulos hay?

a) 9 d) 12

b) 10 e) 15

c) 11

03. ¿Cuántos cuadriláteros hay? a) 26 d) 17

b) 22 e) 24

08.¿Cuántos trapecios hay?

108

c) 13

 Compendio Académico - I Bimestre d) 13

e) 11

14. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? a) 21 d) 6

b) 17 e) 7

c) 9

09. ¿Cuántos segmentos hay?

* a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

a) 6 d) 15

c) 7

* * *

b) 9 * e) 18

*

* c) 12

*

15. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura? 10. ¿Cuántos segmentos hay?

a) 30 d) 42

b) 31 e) 28

c) 35

a) 27 d) 26

b) 30 e) 28

c) 29

11. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

a) 26 d) 20

b) 22 e) 24

c) 21

01. Cuántos triángulos hay en:

12. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

a) 8 d) 14

en Clases  b) 4

c) 5

e) 7

13. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?

a) 12 d) 19

b) 17 e) 24

03. Cuántos cuadrados interior:

a) 9

c) 13

02. Cuántos triángulos hay en:

Practicando a) 3 d) 6

b) 11 e) 16

b) 12

*contienen*

c) 18 dos asteriscos en su

c) 8

a) 4 d) 8 109

b) 5 e) 10

c) 6

 Razonamiento Matemático - 1ero. Secundaria 04. Cuántos rectángulos hay en:

a) 12 d) 21

b) 18 e) 24

c) 30

10. Cuántos bloques están en contacto con otros “7” y cuántos con otros “5” en: a) 13 d) 16

b) 14 e) más de 16

c) 15

05. Cuántos cuadrados hay en: a) 4,5 d) 4,4

b) 2,5 1 e) 3,2 2

c) 2,2

6 11. El número total de triángulos en7 la figura es: 3 a) 14 d) 21

b) 19 e) 22

c) 20

06. Cuántos cuadrados hay en:

a) 10 d) 15

b) 12 e) más de 15

c) 14

12. El número total de sectores circulares que puede contarse es: a) 10 d) 12

b) 9 e) 13

c) 11

07. Cuántos triángulos tienen un asterisco (*)

a) 30 d) 45

b) 35 e) 60

c) 40

13. Cuántos triángulos hay en:

a) 5 d) 9

b) 6 e) 10

c) 8

08. Cuántos trapecios hay en:

a) 18 d) 34

b) 30 e) 40

c) 33

14. Calcular el número total de triángulos en: a) 6 b) 8 d) 12 e) más de 12 09. Cuántas semicircunferencias hay en:

c) 10

a) 30 d) 41

b) 21 e) 51

c) 31

15. El número total de triángulos en la figura es:

110

 Compendio Académico - I Bimestre TRAZADO DE FIGURAS Vértice Impar: ¡Hola amigos! y seguimos pues con el estudio de FIGURAS pero ya no vamos a contar si no vamos a ver si es posible dibujarlos de un solo trazo sin levantar el lápiz

de lineas  

Ejemplo:

*

Es aquel punto donde convergen un número

Ejemplo:

La figura es posible dibujarla de un solo trazo sin pasar por una misma línea 2 veces. Primero hay que entender el concepto de vértice

Aplicación: En la siguiente figura, hallar la cantidad de vértices pares e impares respectivamente. *

Vértice

Vértices pares  

=

Vértices impares =

Ejemplo

CONDICIONES NECESARIAS 1. La figura es posible dibujarla de un solo trazo si posee sólo vértices Ejemplo: Vértice par:  Es aquel punto donde convergen un número

de lineas

111

 Razonamiento Matemático - 1ero. Secundaria *

Vértice impar es aquel donde convergen 3 líneas

(

)

02. Para que sea posible recorrer una figura sin pasar una misma línea 2 veces. La figura debe tener a lo más_______________ 2. La figura es posible dibujarla de un sólo trazo si posee a lo más 2 vértices

empezando por uno de

esos puntos y terminando en el  

punto.

03. La siguiente figura es posible dibujarla de un solo trazo comenzando desde un vértice y terminando en el mismo vértice.

Ejemplo:

a) Verdadero b) Falso 04. La siguiente figura es posible dibujarlo o recorrerlo sin pasar por el mismo trazo. a) Verdadero b) Falso I

II

05. La siguiente figura no es posible dibujarla de un solo trazo. 3. Si la figura posee más de 2 vértices

a) Verdadero

III

no es posible dibujarlo de un solo trazo.  

b) Falso

Ejemplo:

06. A continuación de las preguntas del 6 al 13 se dan 3 pares de figuras ¿Cual de ellas es posible dibujarla de un solo trazo? I

II

¡RECUERDEN! Utiliza bien estas 3 condiciones y todo será fácil.

III

 Actividad  a) I d) I, II y III

b) II e) I y II

a) Sólo II d) Sólo I

b) I y II e) ninguno

c) II y III

07.

01. Colocar verdadero (V) o (F) según: * *

Un vértice es la intersección de 2 líneas o más. ( ) Vértice par es aquel donde convergen un número par de líneas. ( )

08.

112

c) III

 Compendio Académico - I Bimestre

I

a) I y III d) Todas

b) II y IIIII

a) I d) II y III

III I y II c)

b) III e) I y II

c) I y III

e) II y III 13.

09.

 TAREA PARA LA CASA 

I

II

a) Sólo II d) I y III

b) I III e) I y II

c) III

10.

a) I y II d) todos

b) II y III e) ninguno

c) I y III

14. ABCD es un cuadrado de 8cm. de lado el cual se ha dividido en 4 partes iguales. ¿Cuántos centímetros como mínimo se deben recorrer con el lápiz para dibujarlo sin levantar el lápiz del papel?

II

I

a) I y II d) Todos

b) III y I e) Ninguno

11.

c) II y III

15. Un maratonista desea recorrer una ciudad con la condición de pasar tan sólo una vez por cada calle o avenida. ¿Podrá lograrlo? a) b) c) d) e)

III

I

a) I d) II

Si no no se sabe tal vez es imposible

II

b) I y II e) IIIIII

c) II y III 01. Colocar verdadero (V) o falso (F) según:

12.

A

B

D

C

113

*

Vértice par es aquel punto en el cual convergen un número par de lineas. ( )

*

Si una figura tiene vértices pares no es posible di buj arl o de un sol o traz o ( )

 Razonamiento Matemático - 1ero. Secundaria 02. En el gráfico indicar la cantidad de vértices pares e impares respectivamente. a) b) c) d) e)

8 y 12 11 y 9 15 y 5 17 y 3 14 y 6

a) Sólo III d) I y III

b) Sólo II e) II y III

c) Sólo II

I

09.

II

III

II 03. La siguienteI figura es posible dibujandoIII de un solo trazo comenzando desde vértice y terminando en el mismo vértice.

a) II y III d) Sólo II

b) I y II e) Sólo III

c) Sólo I

10.

a) verdadero b) falso I

a) I y III

II

04. La siguiente figura es posible dibujarlo oIII recorrerlo sin pasar por el mismo trazo.

b) II y III c) I y II

a) verdadero

d) Todos

b) falso

e) Ninguno

05. La siguiente figura no es posible recorrerlo sin pasar una vez por un mismo trazo. I

II

I

II

III

11.

III

a) verdadero b) falso A continuación de las preguntas del 6 al 13 se dan tres pares de figuras . ¿Cuál de ellas es posible dibujarlo o recorrerlo I de u solo trazo?II III 06.

a) Sólo I d) I y II

b) Sólo II e) II y III

c) Sólo III

12.

a) I d) Todos

b) II I e) II y III

c) I y II II

07. a) II y I

III

a) II d) III

I

b) II y III e) Ninguno

c) I y II II

08. III

114

b) II y III

c) Sólo I

 Compendio Académico - I Bimestre Guía de  Clase  A.  Construir las siguientes figuras de un sólo trazo comenzando de cualquier punto. Indicar si se puede o no. 01.

07.

a) SI

b) NO

a) SI

b) NO

a) SI

b) NO

a) SI

b) NO

08.

a) SI

b) NO

02. 09.

a) SI

b) NO

03.

10. a) SI

b) NO

04.

B. De las figuras que se muestran a continuación. ¿Cuántos no se puede realizar con un trazo continuo y si pasar dos veces por el mismo trazo pudiendo cruzarse los trazos?.

a) SI

b) NO

a) SI

b) NO

01.

05.

06.

115

 Razonamiento Matemático - 1ero. Secundaria pasar dos veces por el mismo trayecto, pudiendo cruzarse los recorridos. a) 1 d) 4 02.

b) 2 e) N. A. (I)

c) 3 B A

(II)

a) Si d) faltan datos (III)

a) Sólo I d) I y III(I)

b) Sólo II e) (II) Todas

02. ¿Podrá un joven entrar al laberinto y recorrer todos los caminos, sin pasar dos veces por un mismo trazo, pudiendo cruzarse en los recorridos hechos?

c) I y II

(III)

a) b) c) d) e)

03.

a) Sólo I(I) d) II y III

b) Sólo (II)II e) todas

b) No c) no se puede e) no me sale

c) (III) I y II

Si, si entra por “A” No puede Si, si entre por “B” Se pierde N. A.

03. Podrá un pirata entrar a un laberinto y recorrer todos los caminos, sin pasar dos veces por un mismo tramo, pudiendo cruzar los recorridos hechos.

04.



a) Sólo I d) II y III (I)

b) Sólo II (II) e) I y III



c) Sólo III (III)

a) b) c) d) e)

05.

Si No le faltaría un tramo faltan datos se cansa





D.  Cerillos: 

01. De los siguientes gráficos mover un cerillo para que se verifique la igualdad: 

a) Sólo I d) I y III

b) Sólo II e) I y II

c) II y III

C. 01. Podrá un perro que se encuentra en su casa coger un hueso, con la condición de que recorra todo el trayecto, sin

a) 

b) 

c) 

d) e) 116



 Compendio Académico - I Bimestre

OPERADORES MATEMÁTICOS  ¿Puedes escribir del 1 al 10 utilizando 4 veces el número cuatro y solamente las Marco conceptual Objetivos:

OPERACIONES MATEMÁTICAS

1. Conocer en todas sus variantes el concepto de operación matemática 2. Conocer diversas formas de definición de operación matemática 3. Comprender propiedades de las operaciones matemáticas. 4. Conocer la definición de ley de composición interna y sentar las bases para su estudio

OPERADORES MATEMÁTICOS CLASES OPERADORES SIMPLES

OPERADORES MATEMÁTICOS Este es un capitulo de poca dificultad, pero de gran aplicación, su objeto fundamental al utilizarlo en una prueba de admisión , es medir la capacidad del alumno para captar relaciones nuevas, a los que se supone no esta acostumbrado; el principio fundamental que se utiliza en estos problemas, es el valor numérico.

*

OPERADORES CON TABLAS

BIBLIOGRAFÍA: * RAZ. MATEMÁTICO  EDITORIAL ADUNI * RAZ. MATEMÁTICO  EDITORIAL COVEÑAS

pueden ser definidas para uno, dos, tres o más cantidades según nuestro deseo.

¿Qué es una Operación Matemática?

Nueva operación en este caso definido Ejemplo de una de estas operaciones sería: por 2 cantidades: a y b, los representan. Regla de Símbolo definición a  bu = a2 + 5b  arbitrario operador

Es un procedimiento que se emplea para transformar con Sujeción a ciertas reglas, una o varias cantidades o funciones, en otros, ó también para efectuar con ellos determinados cálculos. *

OPERADORES COMPLEJOS

¿Qué es un Operador Matemático?

Es un símbolo determinado que sirve para representar a una determinada operación matemática. Así por ejemplo:

a  5 Hallar: 5 b 2 2 5  5x2  25  10  35

+  Representa la Operación Suma. -

 Representa la Operación Resta.

 

Solución:

 Representa la Operación Radicación.

Teniendo como base las operaciones anteriores, es que se “CREAN” nuevas operaciones, con diferentes reglas de definición, arbitrariamente elegidos; reglas que se obtienen combinando, según como queramos, a nuestras operaciones usuales básicos o conocidos ( +; -; ; etc). Y para representarlos podemos también utilizar “nuevos” símbolos escogidos al azar.

“El optimista se equivoca con tanta frecuencia como el pesimista, pero es incomparablemente feliz”. N. Hill

No esta demás decir; que las “nuevas” operaciones

117

 Razonamiento Matemático - 1ero. Secundaria Problemas   para la Clase  01. Si a  b = 4a + 5b Calcular: 2  3  

Rpta.: 2

02. Si m # n = m + n Calcular: 1 # 5  

13. Siendo # una operación definida por; x # y = x2 - y3; calcular:  [(-1) # (-2)] # [(+1) # (+2)]   Rpta.: 2

14. Si x % y = (x + y)(xy), calcular el valor de (-1)%(-2)  

Rpta.:

2

2

03.  es un operador de tal modo que: x  y = x + 5y; según esto, calcular: 2  5 Rpta.: 04. Si y

15. Si m  n = mn + 1; si: m es par m  n = (m + n) ; si m es impar hallar: (4  3)  2   16.

= 5y + 1, hallar el valor de:

1  

Rpta.:

Rpta.: es un operador de tal modo que: x

= 7x - 25 si x > 4

x

= 25 - 7x si x < 4; calcular 2 + 5 -

Rpta.:

1

05. Calcular 7  1 sabiendo que m  n = 5 (m + n) - 5 (m - n)

 

 

17. Sabiendo que: m = 2m + 3,

Rpta.:

06. Si se cumple que: x Hallar :

4 -

 

2

2

07. Sabiendo que x y = x + y

2

Calcular: (5p 1) (3 2) Rpta.:

 

Rpta.:

Hallar el valor de: 3 + 1  

(8  2)  (3  3)

Rpta.:

20. Si: 2 2 m  n = (m + n)(m - mn + n )

Rpta.:

 TAREA PARA LA CASA 

09. Si se sabe que: m  n = 2m + 3n; hallar: (1  2) (3  1)  

3

19. Sabiendo que a = 2a + 5

q

08. Si p  q = + 2, hallar:

 

Rpta.:

18. Si a  c = 3a + 2c ; calcular el valor de (2  1)  (1  0)

Rpta.:

 

Hallar: 5

= 3x - 1 2 2

Rpta.:

Rpta.:

10. Si se cumple que: m  n = mn + 1; si: m > n, y m  n = m + n - 1; si: m < n . Hallar (8  2)  (3  5)

01. Si a # b = (a + b)(a - b); Calcular: 7 # 2 a) 46 d) 45

b) 44 e) 49

Rpta.:

2

11. Si se sabe que: x * y = (x + y + 1)(x + y - 1)hallar:(8 * 1)*10  

Rpta.:

c) 42 5

02. Si se conoce que: m @ n = 5m - 2m ; Calcular el valor de 1 @ 0

2 - 6-2

a) 6 d) 1 118

b) 5 e) 0

c) 10

 Compendio Académico - I Bimestre 1 + 2 03. Si x

= 5x + 1, calcular 2

a) 8 d) 11

b) 3 e) 17 2

c) 5

3

b) 510 e) 417

a) 2 d) 31

b) 25 e) 47 N

06. Si se sabe que: M  N = M - 1 Hallar: (3  2)  2 a) 64 d) 15

c) 37

c) 63

07. Calcular 5  2 sabiendo que:

a) 15 d) 38

b) 16 e) 70

e) -12

b) 6 e) 9

c) 20

14. Si: p  q =

, hallar:

c) 11

c) 58

2

b) 111 e) 120

b) 35 e) 42

a) 7 d) 5

08. Si a # b = (a + b) - (a - b) ; Hallar: (2 # 1) # 3 a) 93 d) 114

3b)8 15 4 + 8 4 12 c) -15

2p + 1 2 13. Si x  y = x + 2xy + y ; 3 Calcular: (-1)  (-2)

2

2

c) 3

12. Se sabe que:

x  y = (x + y) + (x - y) a) 51 d) 69

b) 4 e) 19

,

b) 24 e) 35

2

b

11. Si: n = -n; hallar: 8A- 4B- (C2 +=1)AB - C a) -13 d) 13

Calcular: a) 57 d) 55

c) 13

10. Se sabe que: a ( ) b = a + b ; Hallar: [3 ( ) 2] - 29

c) 642

05. Sabiendo que: x = 2x + 7, 1

 

b) 10 e) 9 a

04. Si a  c = 3a + 2c , calcular el valor de (2  1)  (1  0) a) 542 d) 480

a) 8 d) 15

2(11  725)  726 a) 2 d) 6

c) 96

2 b) 3 e) 8

15. Si: a = 2a ; hallar el valor de: 09. Si se sabe que: z

2

= z + z + 1, calcular el valor de.

119

c) 4

 Razonamiento Matemático - 1ero. Secundaria SUB TEMA: OPERADORES MATEMÁTICOS ad= Hoy veremos el capitulo más sencillo de 1er bimestres sólo tienes que tener en cuenta las 4 operaciones fundamentales.   *

OPERACIÓN MATEMÁTICA

cd=

Se puede usar cualquier símbolo para mi “nueva operación matemática” Ejemplo: , #, , , , , , ..., etc. PROPIEDADES DE LA OPERACIONES MATEMÁTICAS.

1. CLAUSURA O CERRADURA. Si a y b pertenecen a un conjunto “C” por ejemplo, la operación definida también pertenecen a dicho conjunto. *

OPERADOR MATEMÁTICO  

Ejemplo:

En N  la suma es cerrada 3+4=7

OPERACIÓN

OPERADOR

Suma

+

Resta

-

Multiplicación



División



3  N , 4  N  entonces 7  -

N 

En N  la multiplicación es cerrada: 8 x 5 = 40 8  N , 5  N  entonces 40  N 

 

Aplicación: -

 

En N  se define: a  b = 3a + 4b ¿Es cerrada?

Solución:

1. Mediante Formula:   Ejemplo: a  b = 2a + 3b

Luego:

12= 35=  

Ejemplo:

x = 2x + 3

Luego:

2 =

3 = a

b

c

a

b

c

d

d  

 

Entonces:

a  b=

b  c= 120

c

b

a

a

a

b

c

b

b

c

a

c

c

a

b

En A = {a, b, c} se define la tabla:

a b c d a 2. Mediante Tabla: Es el conjunto b A =c{a, b, c,dd} podemos a bdefinir la siguiente tabla. c d a b c d



¿Es cerrada? Solución:

 Compendio Académico - I Bimestre Es aquel que operando con cualquier número se obtiene el mismo número. z x y   

y Ejemplos: z x z - El elemento neutro de la suma es el 0 y x z x 3 + 0 = 3,y

2. PROPIEDAD CONMUTATIVA a,b  C

-

4 x 1 = 4, 19 x 1 = 19 ,  

8x3=3x8

*

En N  se define: a  b = a - b + 2 ¿Cuál será el elemento neutro?

Solución: - En B = {x, y, z} se define la tabla.

En Z la multiplicación es conmutativa. *

etc

Aplicación: -

8+3=3+4  2 + 7 = 7 + 2 -

El elemento neutro de la multiplicación es el 1.

a  b = b  a

Ejemplos: En N  la suma es conmutativa

z11 + 0 = x 11 y

7x2=2x7

 Aplicación:

 

En N  se define a  = a + b + 3 ¿Será conmutativa?

Solución:

-



m

n

p

m

n

p

m

n

p

m

n

p

m

n

p

¿Cuál será el elemento neutro? 4. ELEMENTO INVERSO  Actividad  Es aquel que operando con un número se obtiene el elemento neutro. El inverso de un número es único para ese número.   Ejemplo: En la suma el inverso de 4 es -4 Por que 4 (-4) = 0   *

Aplicación: Del ejemplo anterior para la operación  hallar el inverso de 3 y el inverso de 5. -1 Inverso de 3 (3 ) = -1 Inverso de 5 (5 )=

*

Del ejemplo anterior de la tabla, hallar: -1 Inverso de x (x ) = -1 Inverso de y (y ) =a b c d -1 Inverso de z (z a ) =b c d a

En C = {m, n, p} se define la tabla. ¿es conmutativa?

3. ELEMENTO NEUTRO

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d a b c d 01. La operación matemática en un proceso que consiste en la ________________ de una o más ___________ en otra cantidad llamada _____________. 02. la operación matemática es representada por un símbolo llamado. 03. Si: a  b = 2a + b Hallar: 3  4 a) 9 d) 12 121

b) 10 e) 13

c) 11

 Razonamiento Matemático - 1ero. Secundaria 10. Dada la siguiente tabla: 04. Se define en: A = {a, b, c, d} la siguiente tabla:

" b " b a  b; a  b 

a  b  

 

 

Hallar: (b bd)  (a  c) a) a b) b d) d e) b y d

a 05. Se define:

4 + 5 4 2 3 a) 66 b) 67 d) 69 e) 70 06. Si m # n = 2m + 3n Hallar: (2 # 3) # (4 # 2) 3 a) 76  b)2 77 d) 79 e)4 80 2 3 07. Se define: 3 4

1 c) 68

c) 478 4

2

4

3

3

2

4

Calcular: S P = (2  1) (1  2) (2* 3)* a) 5 b)(3*6 4) d) 8 e) 9

a) m d) q

x

2

= ab - bc c



a

1

2

3

0

2

3

0

1

1

2

3

0

1

2

0

1

1

1

1

0

3

c) p 4

1

1

1

2

4

c) 2 p

2

4

3 4

1b) n 1 e) r 1 2

a

c

d

a

b

b

d

a

b

c

c

a

b

c

d

d

b

c

d

a

S

" l b | b) 2 (a* b)* (c* d) e) 5



m n p q r

m

x = 3(x - 1) Hallar x en:

c) 3

n

p

q

p q q p m n n r r m

m n p q r

n r r m q r p n n p

b) 2 e) 3

= 2(x - 1)

d

c

d

a c d e b d e a a) 4 /7 b) 7 /3 c ee) 13 a /3 b d) 13/6 d a b c 14. En el conjunto: e A = b{0, 1, 2,c 3, 4}d

a b c d e

09. Se define en: A {2, 3, 4}

a) 1 d) 0,2

0

13. Si:

Hallar:

Calcular:

c) a /b



3 3 2 Hallar el elemento Neutro. a) m b) n 1  d) q e) r 2 12. Del ejercicio1anterior: 1 1 -1 -1 -1 -1 Hallar: (n  p )  (q r ) 2 2 4

c) 7

08. Si:

a) 1 d) 4

2

11. Se tiene la siguiente tabla:

2

-

Hallar:

 

b) x a = e) d

a) b d) 1

c) c

c 3 2 x = x + 3x

Calcular:

r

c) 0,5

122



a

b

e b c c) 13/7 d e a

 Compendio Académico - I Bimestre  TAREA PARA LA CASA 

04. Se define en: A =a{a, b, c, d} La siguiente tabla: c

b

3

2 5

Hallar “x” en: (x  x)  (3  1) = (4  3)  (4  1) a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 15. Se define en. C = {a, b, c, d, e}

 

2

2

Hallar: (c  a)  (d  b) # a) a b) 5 b d) d e) 7 a ó c 5

6

7

c) 7c

6

5

05. Se define: 6

5

7

6

7

6

5

7

x

= 2x+ 3

x

I. II. III. IV.



a

b

c

d

a

c

d

a

b

b

d

a

b

c

c

a

b

c

d

¿Cuál de las siguientes proporciones esa verdadera? d b c d [a  (x  c)]  d = c, si x = e Se cumple la propiedad conmutativa Se cumple la propiedad de clausura El elemento neutro es “a” a) I y III d) I y IV

b) III y IV e) Todas

-

Toda operación matemática presenta una regla de definición ( ) El elemento neutro es aquél que operado con otro elemento se obtiene el elemento inverso. ( ) La operación matemática es representada por el operador. ( ) Toda operación matemática presenta elemento  neutro (20  5) ( )

02. El resultado de operar un elemento con su inverso es el __________________________________ "  b "  b 03. Si a  b = a - 2b a b   a  b; a  b Hallar 5  2 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

a) 19 d) 22

b) 20 e) 23

c) 21

06. Si: m % n = 2m % - nd y: m  n = n a- 3m c

c

b

a

d

a

b

 

Hallar: a) 2 d) -1

c) II y III

01. Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: -

= E4x -5  (5# 6)#(6# 7) Hallar: 5 + 3

b

d

a

b

c

c

a

b

c

d

d

a

b) 1 be) -2c

d

c) 0

07. Se define:N  |  b  l " (d%c)(b%a) Calcular: a) -2 d) 1 08. Si:

 

M = (5 2) (4 

z y w x y

3)

b) v-1 w x y z c) 0 e) 2 x y z v w y z v w x z v w x y2 v w x = bc y - za w x y z w

Hallar:  -

c) 3

123

 Razonamiento Matemático - 1ero. Secundaria 09. Se define en A = {5, 6, 7} a b “x” en: (3  x)  (4  1) = (3  2)  (1  0) Hallar a) 0 d) 3

x = 3

b) 1 e) 4

1 2

c) 2

4

15. Se define en: C = {m, n, p, q, r}

 

1 2 3 4  Calcular:



3

2

1

0

4 a) 31 d) 20,2 1

0 1 2 3

3 c) 2 1 0

2 0,7 1 0 3

1 0 3 2

0 3 2 1

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 1 b)2 2 2 e)3 3 3 4

10. Dada la siguiente tabla:

¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? I. Es conmutativa II. Es cerrada III. No tiene elemento neutro

 

Calcular: a) a d) 1



m

n

p

q

r

r q p n

p q r m

p r m n

r m n p

m n p q

n p q r

m

r bp b) e) c

q

r c)m b/a

 

b) II y III e) todas

c) III

OPERADORES MATEMÁTICOS 01. Si: K* = 2K - 1, E = E + 1, N = 4N Hallar: 5* + 7 - 9  

11. Se tiene la siguiente tabla:

a) I d) I y II

Rpta.:

02. Si:

x+2 =x+5 a Señalar b lo incorrecto a) 6 = 9

x

b) a = a + 3

3 x-2

c) - 3 = 0

d) E - 2 = E - 5

e) 100 =103 Hallar el elemento neutro: a) v b) w d) y e) z

c) x

03.  

12. Del ejercicio anterior, hallar: -1 -1 -1 -1 -1   [(w  z )]  (y  v )  x   = x+4

x

= 5-x   b) 10 e) 13

Hallar:

Rpta.: 2  3

04. a  b = 3a + a

Hallar “x” en: a) 9 d) 12

2

Hallar: Rpta.:

c) 11 05.

14. En el conjunto:

= 2a

5 + 6 + 3

13. Si: x

a-1

= 3a - 2b

B = {0, 1, 2, 3, 4}   

 ╗ 2  (PRIMER AÑO)

 

" b Hallar: a  b Rpta.:

" b 2

06. x = 3x - 2, x = 2x 124

ф   (12 * 9)  2 

(4 * 3)* (8 * 6)  