04. Formulario de Funciones

Formulario de Algebra I

Funciones

Funciones Definición de función

Una función es una relación binaria que cumple dos condiciones.

 f  :  A →  B  f  =  A × B = {( x,  y ) /  x ∈  A,  y ∈ B} Condición de Existencia: ∀ x ∈  A; ∃

 y ∈ B / ( x,  y ) ∈  f  ∨  y =  f  ( x )

Condición de Unicidad:

⇒  y1

Si: ( x,  y1 ) ∈  f  ∧ ( x,  y 2 ) ∈  f 

=

y2

Dominio de una función

 Dom[ f  ] = { x ∈  A /  y =  f  ( x )} Rango de una función

 Rg [ f  ] = { y ∈ B /  y =  f  ( x )} Expresiones que se debe evitar

a

0

;

2n

−a;

log(0) ; log(− a ) ; arcsin(a ) a > 1 ; arccos(a) a > 1

Composición de funciones

Sean  f  :  A →  B y g :  B → C  Donde la condición es:  I ( f  ) =  D( g )

( f  (g

o

o

g ) :  A → B ⇒

( f 

 f  ) :  B → A ⇒

(g

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o

o

g )( x ) =  f [g ( x)]  f  )( x ) = g [ f  ( x)]

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Formulario de Algebra I

Funciones

Clasificación de funciones Función Inyectiva:

 x1 , x 2 ∈  A /  f  ( x1 ) ≠  f  ( x 2 ) ⇒  x1 ≠ x 2 ∨

 x1 , x 2 ∈  A /  f  ( x1 ) =  f  ( x 2 ) ⇒  x1 = x 2 Función Sobreyectiva: ∀ y ∈ B; ∃  x ∈  A / ( x,  y ) ∈  f  ∨  y =

 f  ( x )

Función Biyectiva:

Si es una función inyectiva y sobreyectiva, entonces es una función biyectiva. Función Inversa

 f  − ( y ) = { x /  x ∈  A ∧  y =  f  ( x )} 1

Operaciones de funciones Suma:

( f  ± g )( x ) =  f  ( x) ± g ( x)

Suma por una constante:

( f  ± k )( x) =  f ( x) ± k 

Producto:

( f  ⋅ g )( x) =  f  ( x) ⋅ g ( x)

Producto por una constante:

(kf  )( x ) = kf ( x )

Cociente:

⎛  f  ⎞  f  ( x ) ⎜⎜ ⎟⎟( x ) =  ; g ( x ) ≠ 0 ( ) g g  x ⎝   ⎠

Valor Absoluto:

(  f  )( x ) =  f  ( x)

Función Par e Impar Función Par:

 f  ( x ) =  f  (−  x) Función Impar:

 f  (−  x ) = − f  ( x)

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Formulario de Algebra I

Funciones

Función Identidad

 I  A :  A →  A tal que  I  A ( x ) = x Propiedades: o

Sea una función  f  :  A →  B , y dos funciones identidades  I  A :  A →  A y

 I  B :  B →  B tenemos que:

( f 

o

( I  B o

 I  A )( x ) =  f  ( I  A ( x )) =  f  ( x )

o

 f  )( x ) =  I  B ( f  ( x )) =  f  ( x )

Sea una función invertible  f  :  A →  B , tal que  f 

−1

:  B →  A , entonces:

 f   f  −1 =  f  −1  f  =  I  A o

o

o

Sean  f  :  A →  B y g :  B → C  funciones invertibles, entonces:

( f 

o

g)

−1

=

g

−1

o

f 

−1

Imagen directa

Sea  f  :  A →  B y  A1 ⊂  A , se llama imagen directa de  A1 por  f  el conjunto de las imágenes de todos los elementos de  A1 . Es decir:

 f  ( A1 ) = { y ∈ B / ∃ x ∈  A1 ∧  f  ( x ) =  y} O bien:  y ∈  f  ( A1 ) ⇔ ∃ x ∈  A1 /  y =  f  ( x ) Imagen inversa

Sea  f  :  A →  B y  B1 ⊂  B , se llama imagen inversa de  B1 por  f  el conjunto de los  x ∈  A tales que  f  ( x ) ∈ B . Es decir:

 f  −1 ( B1 ) = { x ∈  A /  f  ( x ) ∈ B1 } O bien:  y ∈  f 

−1

( B1 ) ⇔  f  ( x ) ∈ B1

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Formulario de Algebra I

Funciones

Análisis de Gráficas Simetrías: Simetría con el Eje X:

F ( x,  y ) = F ( x,− y )

Simetría con el Eje Y:

F ( x, y ) = F (−  x, y )

Simetría con el Origen: F ( x,  y ) = F (−  x,− y ) Asintotas:  Asintotas Verticales:

 D( y ) = 0 ( D( y ) : Denominador cuando  y está despejado)  Asintotas Horizontales:

 D( x ) = 0 ( D( x ) : Denominador cuando  x está despejado) Intersecciones con los Ejes Coordenados: Intersecciones con el Eje X:

 y = 0  f  ( x ) = 0 Intersecciones con el Eje Y:

 x = 0  y =  f  (0) Transformaciones: Traslación Horizontal a la Derecha:

 y =  f  ( x − c )

Traslación Horizontal a la Izquierda:

 y =  f  ( x + c )

Traslación Vertical hacia Abajo:

 y =  f  ( x ) − c

Traslación Vertical hacia Arriba:

 y =  f  ( x ) + c

Reflexión con el Eje X:

 y = −  f  ( x )

Reflexión con el Eje Y:

 y =  f  (−  x )

Reflexión sobre el Origen:

 y = −  f  (−  x )

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