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Calculo de limites (Formas Indeterminadas) En el calculo de limites, (en algunos casos) se presentan las formas indeterminadas de la forma: 0 ∞ , , ∞ − ∞, 1∞ , 0 0 , ∞0 , 0 ∞ , ∞ ⋅ 0 , 0 ⋅ ∞ .La siguiente tabla presenta el tipo de limite, la
0 ∞
forma indeterminada, los diferentes casos, una explicación de cómo se puede tratar cada caso y un ejemplo. Limite
Forma indet.
Casos
Ejemplo
1.1 Si f(x) y g(x) son expresiones tipo polinomio, se factorizan y luego se elimina el factor común . Ejemplo : calcular el limite
Si se sustituye x = 2, se obtiene la
lim
x 2 − 5x + 6
x →2 x 2 − x − 2
f(x) g(x) x→x0 lim
0 0
1.2. Si f(x) 0 g(x) son expresiones con radicales se debe multiplicar al numerador y denominador por el factor racionalizante de f(x) o g(x). Ejemplo: Calcular el limite
lim
3 z −1
z →1 z −1
indeterminación de la forma
x 2 − 5x + 6
0 0
( x − 2)( x − 3) x →2 ( x − 2)( x + 1) = x −3 2 −3 1 lim = =− 3 x →2 x +1 2 +1 lim
x →2 x 2 − x − 2
= lim
Si se sustituye z =1, se obtiene la indeterminación de la forma
lim
3 z −1
z →1 z −1
0 0
.
=
3 z −1 3 z 2 + 3 z + 1 z →1 z −1 3 z 2 + 3 z + 1
lim
= lim
z −1
3
( z −1)( z 2 + 3 z +1)
1
1
= = lim 3 z →1 z 2 + 3 z + 1 3 1.3. Si f(x) o g(x) son expresiones con logaritmos se debe aplicar antilogaritmos para trasformar la expresión. Se puede utilizar los resultados:
Si se sustituye u =0, se obtiene la indeterminación de la forma Se aplica : ln( u )
M
1
i) lim (1 + kε ) ε = e k ε →0
k
n k ii) lim (1 + ) =e n n →∞
Ejemplo : lim u →0
Limite
Forma indet.
ln( 1 + u ) u
Casos
0 0
.
1
= ln( u M ) 1
ln( 1 + u ) = lim ln( 1 + u ) u u u →0 u →0 lim
1
= ln[ lim (1 + u ) u ] u →0
= ln( e) = 1
Ejemplo Página 1 de 5
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[email protected] 1.4. Si f(x) o g(x) son expresiones de tipo exponencial se debe aplicar un buen cambio de variable para transformar la expresión en otra que contenga solo expresiones con logaritmos. Ejemplo
a p −1 lim p p →0
Si se sustituye p = 0, se obtiene la indeterminación de la forma
0 0
.
Se puede aplicar el cambio de variable:
p = ln( 1 + z)
z →a 0 −1 =0
a p −1 = z
z a p −1 lim = ln( 1 + z) p z →0 p →0 lim
lim 1
=
z →0
ln( 1 + z ) z z →0 lim
1 =
1
ln( lim (1 + z) z ) z →0
1 =1 = ln( e)
f(x) g(x) x →x 0 lim
0 0
5. Si f(x) o g(x) son expresiones trigonometricas, se deben aplicar identidades trigonometricas , para luego simplificar.
Si se sustituye x = 0, se obtiene la
Nota: se puede utilizar el
Sen2(x)=1-cos2(x)=(1-cos(x))(1+ cos(x))
resultado: lim u →0
sen (u ) =1 u
sen 2 ( x ) Ejemplo: lim x →0 1 − cos( x )
indeterminación de la forma
0 0
.
Se puede utilizar la identidad:
sen 2 ( x ) = x →0 1 − cos( x ) lim
(1 − cos( x ))( 1 + cos( x )) 1 − cos( x ) x →0 lim
lim (1 + cos( x )) = x →0 = 1+cos(0) = 1+1 =2
Limite
Forma indet.
Casos 1.1 Si f(x) y g(x) son expresiones tipo polinomio, se divide cada uno de los
Ejemplo
x →∞ , tanto el numerador tiende a
Si ∞ por lo que se obtiene la indeterminación
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[email protected] términos del numerador y denominador entre la variable elevada al mayor exponente . Se utiliza el resultado:
lim
k
x →±∞ x n
de la forma
= 0; si n > 0
f(x) x → x 0 g(x)
∞ ∞
6
=
5x 2 − 5x + 6
1.2. Si f(x) 0 g(x) son expresiones con radicales se procede igual que en el caso anterior pero al dividir el radical entre la variable elevado al mayor exponente, se introduce esta elevada al índice del radical. Ejemplo: Calcular el limite
x
5 6 5− + x x2 5 − 0 + 0 5 lim = = 2−0+0 2 x →2 2 − 1 + 2 x x2
x →∞ 2 x 2 − x − 2
lim
x2
5 −5 + 2 2 x2 5x 2 − 5 x + 6 x x lim = lim x →∞ 2 x 2 − x − 2 x →∞ x 2 x 2 2 − − 2 2 x x x2
Ejemplo : calcular el limite
lim
∞ ∞
Si z →∞ , tanto el numerador tiende a ∞ por lo que se obtiene la indeterminación de la forma
∞ ∞
En este caso el mayor exponente para la variable z es 2, ya que : 3 6 2 4 8 2
=z ;
z
3 6 z + z + z 2 + 2z − 3 z →∞ 4 z 8 − 5z + 3z 2 − 5z + 1
z
=z
3 6 z + z + z 2 + 2z − 3 lim = z →∞ 4 z 8 − 5z + 3z 2 − 5z + 1
lim
lim
3 6 z + z z2 z 3 + +2 − z2 z2 z2 z2
z →∞ 4 z8 − 5z
z2
lim
z →∞
+3
z2 z2
−5
z z2
+
z2
6 3 z + z +1 + 2 1 − 3 z z2 z6 z6 8 4 z −5 z +3 −5 1 + 1 z z2 z8 z8
=
2 3 − z z2 lim = 5 5 1 z →∞ 41− +3− + z z2 z7 3 1+
1
=
1
z5
+1 +
3 1 + 0 +1 + 0 − 0 1 +1 2 1 = = = 41−0 +3 −0 + 0 1+3 4 2 Limite
Forma Indet.
Caso 1.1 Si f(x) y g(x) son expresiones tipo fracción, se procede a restar la fracciones lo cual nos conduce al caso
Ejemplo Como
lim
1
x→ 0 x2
= ∞ ,
obtiene la indeterminación
lim
1
x→ 0 x4
=∞; se
∞ − ∞.
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[email protected] de la forma indeterminada
x2 − 1 1 1 lim − lim = x → 0 x 2 x 4 x → 0 x 4
∞ ∞
f (x) g (x lim 1 − 1 ) x → x 0 f 2 (x) g2 (x)
Como
=
lim
x→ 0
( x2 − 1)
lim x 4 f1(x)g 2 (x) - f 2 (x)g 1(x) x→ 0 lim se obtiene que f (x)g (x) x →x 0 2 2
Ejemplo :
lim
x → x0
(
f(x ) - g) (x ) ∞- ∞
(
( x +1)( x + 2) −3x
=0
Si x →∞ , tanto el numerador tiende a ∞ por lo que se obtiene la indeterminación de la forma ∞ - ∞
1.2. Si f(x) 0 g(x) son expresiones con radicales se multiplica y divide por el factor racionalizante de la expresión Ejemplo: Calcular el limite
lim
= 0 – 1 = -1,
1 1 lim − = - ∞ 2 x→ 0 x x4
1 1 lim − x → 0 x2 x4
x →∞
En este caso se multiplica y divide por el factor racionalizante :
)
lim
x →∞ =
(
( x +1)( x +2) +3x
)(
( x +1)( x + 2) − 3x ( x +1)( x + 2) + 3x ( x +1)( x + 2) + 3x
( x +1)( x + 2) − 9 x 2 = x →∞ ( x +1)( x + 2) + 3x lim
lim
x →∞
lim
x →∞
x 2 +3x +2 −9 x 2 ( x +1)( x +2) +3x
−8x 2 +3x +2 ( x +1)( x +2) +3x
= =
3 2 + x x2 lim =-∞ 1 1 1 2 3 x →∞ ( + )( + )+ x x3 x4 x3 x4 −8+
Limite
Forma indet.
Caso
Ejemplo
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)
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Si .
Lim f(x)
=1;
x →x0
Lim g(x)
x →x0
=∞
Se utiliza el resultado:
lim ( f(x) )
1∞
g(x)
x → x0
e
=
lim g(x)[f(x)-1]
x → x0
Si
x →∞ ,
la base tiende a
exponente tiende a
indeterminación de la forma : 1∞ 2 x−5
x −1 lim x + 2 x →∞
(2x-5)[ = xlim →∞
e
=
2 x −5
x −1
lim x + 2
x →∞ lim
x → x0
(
g(x)
f(x))
∞0
0∞
e
lim (2x-5)[
x →∞
= lim (2x-5)[
e
Ejemplo : calcular el limite =
1; y
el
∞ por lo que se obtiene la
x →∞
.
x-1 -1] x+2
x-1-x-2 ] x+2 -3 ] x+2
-6x+15 lim e x+2 x →∞
15 -6+ x = xlim →∞ 1+ 2 x e =
−6 + 0 e 1+ 0
=
e −6
Estos casos serán tratados con el Teorema de L`Hopital, para obtener su solución (en caso de que exista).
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