04 Bab 3
July 4, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
Short Description
Download 04 Bab 3...
Description
B A B
Matriks
3 A.
Pengertian Matriks
B.
Operasi Hitung pada Matriks
C.
Determinan dan Invers Matriks
D.
Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear
Sumber: www.smanela-bali.net
Pernahkah kalian mengamati denah tempat duduk di kelas? Berdasarkan denah tersebut, pada baris dan kolom berapakah kalian berada? Siapa sajakah yang duduk pada baris pertama? Dengan menggunakan matriks, kalian dapat meringkas penyajian denah tersebut sehingga dengan mudah diketahui letak tempat duduk dan teman-teman kalian. Dalam matriks, letak tempat duduk tersebut dinyatakan sebagai elemen-elemen matriks. Agar kalian lebih memahami tentang matriks ini, pelajarilah bab berikut.
Bab 3 Matriks
51
A. Pen Penger gertia tian n Matr Matriks iks Pada 17 April 2003, Universitas Pendidikan Literatur Indonesia (UPLI), mewisuda 2.630 mahasiswanya. 209 wisudawan di antaranya adalah wisudawan dari Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FPMIPA). Berikut ini data wisudawan FPMIPA UPLI pada April 2003 tersebut.
Sumber: Koleksi Penerbit
Jurusan
Matematika Fisika Biologi Kimia
Banyak Wisudawan Program Program Non Kependidikan Kependidikan
34 34 51 51
8 6 12 13
Dengan menghilangkan judul baris dan judul kolomnya, penulisan data tersebut dapat diringkas sebagai berikut.
34 34 51 51
6 12 13 8
Perhatikan susunan kumpulan bilangan di atas. Susunan kumpulan bilangan di atas berbentuk persegi panjang dan dinyatakan dalam baris dan kolom. Susunan suatu kumpulan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom dengan menggunakan kurung biasa/ siku ini disebut matriks. Sebuah matriks dapat diberi nama menggunakan huruf kapital, seperti A,, B, C , dan seterusnya. Misalnya nama matriks di atas adalah matriks A. A matriks A.
A4 2
34 34 51 51
6 12 13 8
Baris pertama Baris kedua Baris ketiga Baris keempat Kolom pertama Kolom kedua
Matriks A terdiri Matriks A terdiri atas 4 baris dan 2 kolom. Oleh karena itu, matriks A dikatakan berordo 4 2. Adapun bilangan-bilangan yang terdapat dalam matriks dinamakan elemen matriks. matriks. Pada matriks A A tersebut, kita dapat menuliskan elemen-elemennya sebagai berikut. • Ele Eleme menn-ele elemen men pada pada bar baris is per pertam tamaa adala adalah h 34 dan dan 8. 8. • Ele Eleme menn-ele eleme men n pada pada bari bariss kedu keduaa adala adalah h 34 dan dan 6. • Elem Elemenen-elem elemen en pad padaa baris baris ket ketiga iga ada adalah lah 51 dan 12. • Elem Elemenen-elem elemen en pad padaa baris baris kee keempa mpatt adala adalah h 51 51 dan dan 13. 52
52
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
• •
Elemen-eleme Elemen-e lemen n pada pada kolo kolom m perta pertama ma adala adalah h 34, 34, 34, 34, 51, 51, dan dan 51. 51. ElemenElem en-elem elemen en pada pada kol kolom om kedu keduaa adala adalah h 8, 6, 12, 12, dan dan 13. 13.
Uraian ini menggambarkan definisi berikut. Matrik Matrikss adalah susunan bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang berbentuk persegi panjang. Baris sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks. Kolom matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak matriks dalam sebuah matriks. Secara umum, matriks berordo i j dengan i dan j j bilangan asli dapat ditulis sebagai berikut.
Ai j
a11 a21 a i1
a12
a22
ai 2
a1 j
Baris pertama
a2 j aij
Baris kedua
Baris ke-i ke-i Kolom pertama Kolom kedua Kolom ke- j j
Beberapa jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen-elemen matriks adalah sebagai berikut. baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris. 1. Matriks baris Misalnya: P [ 5 2], Q [10 9 8] kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom. 2. Matriks kolom Misalnya:
R
1 4 3
,
0 1
S
persegi adalah matriks yang banyak baris sama dengan banyak 3. Matriks persegi adalah kolom. Misalnya: 8 3 0 3 1 T , W 2 0 4 3 2 4 4 0 nol adalah matriks yang semua elemennya nol. 4. Matriks nol Misalnya: 0 0 0 O 0 0 0 Bab 3 Matriks
53
5 . Ma tr i ks i de nt it as adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0. Misalnya:
1 0 I
0
, 1
1 0 0 J 0 1 0 0 0 1
utamanya 6 . Matriks Skalar adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol. Misalnya:
4 K 0
0
4
2
, L 0 0
0
0
2
0
0
2
7 . Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen di luar diagonal utamanya bernilai nol. Misalnya:
6
0
D
7
0
1 , D 0 0
0
0
2
0
0
3
Matri ks segi segitig tigaa atas atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen di 8 . Matriks bawah diagonal utamanya bernilai nol. Misalnya: 5 7 8 4 1 2 3 0 3 2 6 S 0 4 5 , T 0 0 4 12 0 0 6 0 0 0 16 9 . Matriks segitiga bawah bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
Misalnya:
3 X 6 2
0
0
0 1
5 4
2 4 , Y 5 7
0
0
0
3
0
0
6
1
0
8
5
1
) adalah sebuah matriks yang disusun 10 . Transpos matriks A atau (A t ) dengan cara menuliskan baris ke-i ke-i matriks A A menjadi kolom ke-i ke- i dan sebaliknya, menuliskan kolom ke- j matriks j matriks A A menjadi menjadi baris ke- j j.. Misalnya: 8 3 0 8 2 4
Jika W 2 4
0
4
t 4 , maka W 3 0 0
0 4
4 0
54
54
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Beberapa sifat matriks adalah sebagai berikut. 1. 2.
( A A B)t A A t B t ( A At)t A A
3.
(cA cA))t cAt, c adalah konstanta
4.
t t ( AB) AB)t B A
Ass ah K omp ompet etens ensi i A
1
1 . Berikut ini adalah data hasil panen Bu Bariah salama 4 bulan (dalam ton). Hasi Ha sill pa pane nen n Bu Bula lan n pe pert rtam ama a
Bula Bu lan n ke kedu dua a
Bula Bu lan n ke keti tiga ga
Bula Bu lan n ke keem empa patt
Ma ng ga
1
2
3
3
P i s an g
5
3
2
4
Jambu
10
8
12
6
Tentukanlah: a. bentuk matriks dari data di atas b. banyaknya baris dan kolom pada matriks yang anda peroleh c. d. e. f. g.
elemen-elemen elemen-elemen elemen-elemen elemen-elemen elemen-elemen
pada baris pertama pada baris ketiga pada kolom pertama pada kolom ketiga pada baris ketiga kolom keempat
2 . Diketahui matriks
1
0 A 2 A 3
1
2
1
1
1
1
1
2
4
3 0 5
Tentukanlah: a. banyaknya baris dan kolom b. elemen-elemen pada setiap baris c. elemen-elemen pada setiap kolom d. letak elemen-elemen berikut (i) 2 (iii) 4 (ii) 3 (iv) 5 3 . Sebutkanlah jenis dari setiap matriks berikut ini!
a.
K (2 5
Bab 3 Matriks
3)
10 b. M 5 1
3 c. O 2 4
0 1 5
0 6 0
55
1
2
d. L 4 6
1
3
5 1
1 7
e.
2
0
0
1
N
0 P 0 0
f.
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0 1
4 . Tentukanlah transpos dari setiap matriks berikut!
a.
b.
P
4
5
8
7
1
2
4
5
Q
1
c.
3 6
11 R 5 3
d. S
9 6
7 1
4
8
1
8
7
5
3
10
4 8
6
2
16
14
6 2 4 12
ASAH KEMAMPUAN
Waktu : 60 menit
1. Perhatikan tabel jarak antardua kota dalam satuan kilometer berikut! Ba Band ndun ung g
Jaka Ja kart rta a
Bogo Bo gorr
0
180
126
106
96
675
Jaka rta Jakarta Bogor
180 126
0 54
54 0
275 232
115 61
793 801
Tasikmalaya
106
275
232
0
202
649
Sukabumi
96
115
61
202
0
771
Surabaya
675
793
801
649
771
0
Bandung
Tasi Ta sikm kmal alay aya a Su Suka kabu bumi mi
Bobot soal: 30
Sura Su raba baya ya
a . Dengan menghilangkan judul baris dan judul kolomnya, tuliskanlah matriks yang kita peroleh! b. Tentukanlah ordo matriks! c. Tuliskanlah elemen-elemen pada setiap baris matriks! d. Tuliskanlah elemen-elemen pada setiap kolom matriks!
transpos dari matriks tersebut. Samakah matriks e . Tentukanlah tersebut dengan matriks transposnya? Mengapa demikian? 56
56
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
2.
3.
Berikan contoh contoh dari setiap matriks berikut! a . Matriks berordo 2 7 b. Matriks berordo 7 2 c. Matriks berordo 5 5 d. Matriks berordo 1 4 e . Matriks berordo 4 1 f. Matriks identitas berordo 5 5
Bobot soal: 30
g. Transpos matriks identitas berordo 5 5 Tentukanlah x, jika At B.
2 a . A 8 2
b. A
3
2 dan B 1 4 2
4 8
x2
xp B dan 1 4
Bobot soal: 40
1
p
3
8 c. A 0
2 p dan B 40 1
4x
1 d. A 8
6 1 dan B 0 x 2p
1
0
0
3 p
B. Oper Operasi asi Hitung Hitung pada Matr Matriks iks B. 1. Penju Penjumlaha mlahan n dan Pengu Penguranga rangan n Matri Matriks ks Niko Sentera dan Ucok mengikuti tes untuk membuat SIM C. Tes ini terdiri atas tes tertulis dan tes praktek. Hasil tes mereka ini tampak seperti pada tabel berikut. Nilai Tes Nama
Niko Sentera Ucok
Tertulis
Praktek
Nilai Total
4
4
8
5
2
7
Penjumlahan tersebut dapat juga dilakukan dengan menggunakan matriks, yaitu sebagai berikut.
54 24 54 24 78 Bab 3 Matriks
57
Perhatikan bahwa kedua matriks yang dijumlahkan memiliki ordo yang sama. Hasil matriks yang diperoleh adalah matriks yang berordo sama, diperoleh dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang seletak. Bagaimana dengan pengurangan matriks? Pengurangan matriks juga dapat dilakukan jika ordo matriks yang akan dikurangkan sama. Hasil pengurangan matriks ini merupakan matriks yang berordo sama, diperoleh dengan cara mengurangkan elemen-elemen yang seletak.
ontoh C ontoh Diketahui matriks-matriks berikut.
A
1 4
1
2
3 2 , B 2 1 3
4
5
, dan C 2 6 1
1
5
4 3
Tentukanlah: A B a . A
A e . B A
A b. B A
f.
B C
A ( (B B C ) g. A
c.
( A A B) C
A B d. A Jawab Ja wab::
1 2 3 4 A B 4 2 2 1 a . A 1 1 3 6
1 3 4 2 1 3
Jadi, A B Jadi, A 3 A 2 b. B A 3
2 2 2
24 21 16
2 2 2
3 7 2
2
3 . 7
1 1 4 6 1 4
2 2 1
4 ( 2 ) 2 31 2 4 2 1 2 3 ( 1) 6 1 2
3
2
7
58
58
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
2 Jadi, B A A 2 2
2
. 7 3
3 4 5 5 c. B C 2 1 2 3 3 6 1 4 4 5 35 2 2 13 3 1 6 4 2 1 4 . Jadi, B C 4 2 4 1 A B 4 d. A 1
2 3 2 2 3 1
24 1 3 21 4 2 16 13 4 6 1 . Jadi, A Jadi, A B 6 4 5 3 A 2 e . B A 3
1 1 4 1 6 4
3 1 2 4 3 1 4 Jadi, B A A 6 4
Bab 3 Matriks
4 2
12 6 1
2 4 4
1 4 2
1 6
4
4 6 4
6 1 5
2 2 1
4 6 4
1 5 6
6
1 . 5 59
2 ( A A B ) C 2 f. 2
25 2 2 2 1 3 ( A B Jadi, ( A B)) C 0 3
2 5
33 7 4
12
Jadi, A ( Jadi, A (B B C )
0 3
3 6
3
3
1 4 2
2 4 4
2 1
2 1 14 3
3 0
3 6 . 3
2 2 1
1 (B A ( B C ) 4 g. A 1
5 3 4
5 3 2 7 1 2
3
24
3 1 2 3
3 3
6
3
. 3
6
A s ah K omp ompet etens ens i 2 1 . Diketahui matriks-matriks berikut. 1 3 1 4 , , dan C A B 0 3 2 5
Tentukanlah: A B a . A A b. B A c. (B C )t d. (C B)t A B)t e . ( A
2 3
1 4
f. B C A B C g. A A B) C h. ( A A ( (B B C ) i. A t (B B C )t j. A (
2 . Diketahui matriks-matriks berikut.
3 D 1
1 0
2
0 3 , E 1
4 2
2 3
2 , dan F 2
3 0
4 1
60
60
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Tentukanlah: a. (D E) F b. (E F ) D c. (D E) F (E E F ) d. D ( (E E F ) e. D (
1 2
f. g. h. i. j.
D ( (E E F ) (F E) D (D F ) E D ( (E E F ) (D F ) E
2 3
5 2
, B , dan C 3 . Diketahui A 3 4 0 1 1 0
Tentukanlah ( A A C ) ( ( A A B)
Proyek Perintis 1979
4 . Hitunglah: b1 3
2 a1 a 2 2 3a3
c1 2
3a1 1 2 c 2 3 a2 4 3 a3 c 3 4
4 2 b3 1 b2
2b1 4
c1 1
c2 4 2c 3
3 1 b3
b2
5 . Diketahui:
1 P 5
6 , Q 4 7 5
2
3
6
3 4
1 6 , dan R 3 8
7
4
2
3 Jika mungkin, selesaikanlah operasi matriks berikut ini. Jika tidak, berikan alasannya! Q)) R a. (P Q Q)) R b. (P Q
c. P ( Q d. P ( Q
R) R)
B. 2. Perka Perkalian lian Bilang Bilangan an Real Real denga dengan n Matriks Matriks Setelah Kita mempelajari penjumlahan dua dan tiga matriks. Sekarang, lakukan penjumlahan matriks A A berordo berordo i j secara berulang sebanyak n kali. a
a
a22
a2 j
ai 2
a
11
a 21 A a i1
1 j
12
aij
maka:
a11 a12 a2 1 a22 A A A a a i1 i2 Bab 3 Matriks
a1 j
a1 j
a2 j
a11 a12 a2 j a2 1 a22 aij ai 1 ai 2
aij
a11 a12 a1 j a2 1 a22 a2 j a a a ij i1 i2 61
a11 a11 a12 a12 a12 a1 j a1 j a1 j a11 n n n a21 a21 a22 a22 a22 a2 j a2 j a2 j a21 n n n nA ai 1 ai 1 ai 1 ai 2 a i2 ai 2 aij aij aij n n n
na11
na21 nA na i1
na12
na1 j
na22
na2 j
nai 2
naij
Dari uraian ini, kita dapat menarik kesimpulan sebagai berikut.
Jika Jika A A sebuah sebuah matriks dan k bilangan real maka hasil kali kA kA adalah adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing elemen matriks A matriks A dengan dengan k.
C ontoh ontoh Diketahui matriks-matriks berikut. 2
A 3 4
1
0
2 1
1
B 2 7
Tentukanlah: a . A A A A A A b. 3 A c. 3B
3 5 d. B A B e . 3 A
2(3 A)) f. 2(3 A A g. (2 3) A
Jawab Ja wab::
2 A A A A A 3 a . A 4 Jadi, Jadi, A A A A A A
2 1 2 2 3 2 3 1 4 1 4 6 3 9 6 . 12 3 1
6 2 9 1 12 1
6 3 3
62
62
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
2 1 A 3 3 2 b. 3 A 4 1 32 31 6 3 3 3 2 9 3 4
31
6 Jadi, 33 A A 9 12 0 c. 3B 3 2 7
12
3
6 . 3 3
3 5 1
30 32 37
31 3 3 35 0
Jadi, 33B B
6 3
6 21
0 Jadi, B 2 7
3
6
9
21
15
3
9 . 15
0 1)B B ( 1) 2 d. B ( 1) 7
0
1 0 1 2 1 7
3 5 1
1 1 1 3 1 5
0 2 7
1 3 5
1 3 . 5
A B B 3 A A ( B) e . 3 A
Bab 3 Matriks
6 9 12
0 6 2 3 7 3
1 6 3 7 5 5
9 2 2
63
6
Jadi, 3 A 3 A B 7 5 6 A) 2 9 f. 2(3 A) 12 2 6 2 9 2 12
2
9 .
2
6 3 3
2 3
12 2 6 18 2 3 24
12 Jadi, 2(3 A A)) 18 24 2 A 6 6 A A 6 3 g. (2 3) A 4 62 63 64 12 Jadi, (2 3) A A 18 24
12 6 6
12 . 6 6
2 1 1
61
12 6 2 18 6 1 24
12 6 6
12 . 6 6
B. 3. Perka Perkalian lian Dua Matri Matriks ks Pernahkah kita bermain domino? Bagaimanakah memasangkan kartukartu dalam permainan domino? Agar selembar kartu domino dapat dipasangkan dengan kartu domino yang lain, jumlah mata bagian kanan kartu tersebut harus sama dengan jumlah mata bagian kiri kartu pasangannya. 2 4
4 1
2 1 64
64
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Prinsip pemasangan kartu domino ini dapat kita gunakan untuk memahami perkalian dua matriks, yaitu sebuah matriks A A dapat dapat dikalikan dengan matriks B jika banyak b anyak kolom matriks matriks A sama dengan banyak baris A sama matriks B. Adapun elemen-elemen matriks hasil kali ini adalah jumlah dari hasil kali elemen-elemen pada baris matriks A matriks A dengan dengan elemen-elemen pada kolom matriks B. Am p Bp n C mn ordo hasil perkalian
a c
e f dan B d g h a b e f ae bg af bh c d g h ce dg cf dh b
A
A B
C ontoh ontoh Diketahui matriks-matriks berikut.
1 dan C C 3 8 , dan
1 B 7 5 , B
3 A 6 A
2
4
2 4
Tentukanlah: a . AB b. BA c. AC AB AC AC d. AB A((B C ) e . A Jawab Ja wab::
3
a . AB
6
5
4
1 7
3 1 4 7
61 5 7 31
Jadi, AB Jadi, AB
41
1
b. BA
7
8
2
8
2
32 48
31 6 2 5 8 41
. 52 38
3 6
5
4
1 3 2 6 7 3 86
Bab 3 Matriks
1 4 2 5
15
6 2 8 5 69
15
14
69
68
Jadi, BA BA
52 38
14
52
. 65
1 2 3 4 6 5 3 4 3 1 4 3 3 2 4 4 15 22 6 1 5 3 6 2 5 4 21 32 15 22 Jadi, AC Jadi, AC . 21 32 15 22 16 16 31 38 AB AC AC d. AB 21 32 20 20 41 52
c. AC
AB AC AB AC
16
16
20
20
16 Jadi, Jadi, AB AB AC AC 20
16
20
.
1 8 3
1 5 7
3 6
4
3 6
4 5
A((B C ) e . A
16 20
Jadi, A A((B C ) Jadi,
0 4
2
0 4
16 20
2 4 16 20
16
.
20
A s ah K omp ompet etens ensi i 3 1 . Diketahui matriks-matriks berikut. 2 5 30 11 , K L , 1 3 4 11
Tentukanlah: a . KL b. LK c. KM d. MK KL KM e . KL M ) f. K (L M MK g. LK MK M )K h. (L M
3 1
dan M
5 2
KL)) M M i. (KL j. K (LM ) 4(KM KM ) k. 4( l. (4K ) M M tK t) m. 4( M n. ((4 M t)K t)t M )t o. (K (L M ((L L M M )K )t p. ((
66
66
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
2.
Diketahui matriks-matriks berikut. 1
3
2
0 0 4 4 4 3 Tentukanlah matriks C yang yang memenuhi 3C 3C 2 A A B.
A 1 A 5
3.
4.
1 B 1 5
4 3
Diketahui matriks-matriks berikut. 2c 3b 4 a A A 2b 3c dan B a Tentukanlah nilai c agar A A 2Bt!
3
2
2a 1 b7
Tentukan nilai x yang menyebabkan perkalian matriks berikut menghasilkan matriks nol. (1 x x ) )
6
3
2
1
1 x
Contoh-contoh dan latihan yang telah Kita kerjakan menggambarkan sifatsifat operasi hitung matriks.
Jik a set Jika setiap iap mat matrik rikss ber beriku ikutt dap dapat at dio diopera perasik sikan an di man manaa a adalah konstanta, maka berlaku sifat-sifat berikut. •
P Q Q Q P
•
(P Q) R P ( (Q Q R)
•
P(Q R) PQ PQ PR
•
(P Q)R PR PR QR
•
P(Q R) PQ PQ PR
•
(P Q)R PQ PQ QR
•
a(P Q) aP aP aQ
•
a(P Q) aP aP aQ
•
(a b)P aP aP bP
•
(a b)P aP aP bP
•
(ab ab))P a(bP bP))
•
a(PQ PQ)) (aP aP))Q P(aQ aQ))
•
(PQ PQ))R P(QR QR))
Bab 3 Matriks
67
ASAH KEMAMPUAN
2 Waktu : 60 menit
1 . Diketahui matriks-matriks berikut. 1 ab a1 0 1 , dan A A B , dan C C b c c d 1
Bobot soal: 20
0
1
Jika Jika A A Bt C 2, tentukan nilai d. 2 . Tentukanlah nilai a dan b yang memenuhi persamaan-persamaan berikut! a.
b.
c.
a 3
6 2 2 b
5 12 4 14
27 23
1 1 1 15 4 1 3 a 2 a b 7 7 20 4 5 2 1 2c 1 d b 3 3 7 b 4 3 c
3 . Diketahui:
x 3 y 1
2 a 1 b
Bobot soal: 20
1 a1
Bobot soal: 60
a 2 3 p b 5 2 q Tentukanlah
x y
.
Diketahui matriks-matriks berikut.
2 A 1 A 2
2 2
2
x1 1 dan X x2 x3 1
3
A I )X 0. Kemudian, 1 . Perlihatkan bahwa persamaan AX X dapat dinyatakan sebagai ( A gunakan hasil ini untuk menentukan matriks X ! 2 . Dengan cara yang sama, tentukanlah matriks Y yang memenuhi AY 4Y ! 68
68
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
C. Dete Determin rminan an dan Inver Invers s Matriks Matriks C. 1. De Deter termi minan nan Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang disebut determinan. determinan. Determinan Determinan dari matriks persegi A A dinotasikan dinotasikan dengan A . Untuk matriks A A berordo 2 2, determinan matriks A A didefinisikan sebagai berikut. a b a b , maka determinan matriks A matriks A adalah adalah A ad ad bc bc.. c d c d
Jika Ji ka A A
Adapun untuk matriks B berordo 3 3, determinan matriks B in i didefinisikan sebagai berikut menggunakan kaidah Sarrus.
a Jika B d g B
a b d e g h
b e h
c f i
a b d e g h
f , maka determinan matriks B adalah i c
aei bfg cdh ceg afh bdi
C ontoh ontoh 1 Diketahui matriks A matriks A 3
2 2 dan B 1 4 3
2 5 4
6 1 4
Tentukanlah A dan B . Jawab Ja wab::
1 1 4 ( 2)3 4 6 10 Jadi, A 10. A
2 B 1 3
3
4 2 5 6 1 4 1 3
3 5 4
2 5 1 (3)(6)(3) 4 1 4 4 5 (3) 2 (6) 4 (3) 1 1 10 54 16 60 48 3 83 Jadi, B 83.
Bab 3 Matriks
69
4
A s ah K omp ompet etens ensi i
1 . Tentukanlah determinan dari setiap matriks berikut
8 A A 3
2 , B 2 1 8 4
2 D 3 1
3
4 0 , C 16 10
4 0 5 , E 22 1 10
4 1
0
17
8 1
12 9 6 , dan F 3
7
14
2
9 4 1
0 1
3
2 . Tentukanlah nilai x dari setiap persamaan berikut a.
b.
c.
2x
x1
3
x5
1
x1
3 0 x1
6x 6
0 0 5x
2x
x1
x
2
x1
d.
e.
f.
2x 1
3 3 x1
x 2 x 1
2
3 5
6
matriks A dan dan B sebagai berikut. 3 . Diketahui matriks A
2 A 3 A 0
1 4 0 dan B 7 0 2 5 Buktikan bahwa AB A B . 1
0
1
3
1
2
0
1
Tanpa mengevaluasi determinan secara langsung, tunjukkan bahwa: sin
cos
sin
sin
cos
sin 0
sin
cos
sin
Sumber : Elementary Linear Algebra
70
70
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
C. 2. Inv Invers ers Mat Matrik rikss Matriks persegi A A mempunyai invers, jika ada matriks B sedemikian hingga AB AB BA BA I n n dengan I matriks identitas. Pada persamaan AB BA AB BA I n n, A A dan B disebut saling invers. invers. Berikut ini adalah syarat suatu matriks A A mempunyai invers. matriks A tidak tidak mempunyai invers. Oleh karena itu, • Jika A 0, maka matriks A dikatakan matriks A A sebagai matriks singular. • Jika A 0, maka matriks A A mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A A sebagai matriks nonsingular.
C ontoh ontoh 3 B dan 3 2
5 2
7
Tunjukkan bahwa A bahwa A
7 saling invers! 5
Jawab Ja wab::
Kita harus membuktikan bahwa AB bahwa AB BA BA I 2 2 .
5 AB AB 2
3
7
3
BA BA
2
7 5
7 1 5 0
3 2 5
7
2
3
1
0
1
0
Sifat-sifat invers matrik:
0 1
1
Perhatikan bahwa bentuk AB AB BA BA I 2 2 sehingga dapat dikatakan bahwa A bahwa A dan B saling invers.
a
Untuk matriks A
c
inversnya sebagai berikut. 1 Adj A A1 det A d b 1 ad bc c a
Catatan 1
1. ( A )1 A1 1 2. ( AB) B A 3. ( AT )1 ( A1)T
berordo 2 2 ini, kita dapat menentukan d b
Untuk menentukan invers suatu matriks dengan ordo 3 3, kalian harus memahami tentang matriks minor, kofaktor, dan adjoint.
a. M at at r i ks k s M i no nor Matriks minor M ij diperoleh dengan cara menghilangkan elemenelemen pada baris ke-i ke-i dan kolom ke- j matriks j matriks A A berordo 3 3, sehingga didapat matriks baru dengan ordo 2 2. Determinan dari matriks tersebut disebut minor dari determinan matriks A A,, ditulis dengan | M ij|. a11 a12 a13
A a21
a22
a23
a31
a32
a33
Bab 3 Matriks
71
Minor-minor dari matriks A A adalah sebagai berikut. M11
a22 a32
a2233 a3333
M21
a12 a32
a13 13 a33 33
M 31
a12 a22
a13 13 a23 23
M12
a21 a31
a 2233 a 3333
M22
a11 a31
a 13 13 a 33 33
M 32
a11 a21
a 13 13 a 23 23
a21
a 2222
a11
a12
a11
a12
M13
a31 a 3322
M23
a31 a 3322
M 33
a21 a 2222
b. K of ofak to tor Kofaktor dari baris ke-i ke-i dan kolom ke- j j dituliskan dengan Aij. Untuk menentukannya ditentukan dengan rumus 1)ii + j | M Aij = (1) j | M ij| Kofaktor-kofaktor dari matriks A A adalah sebagai berikut. 1+1 A11 = (1) | M 11| = | M 11| A12 = (1)1 + 2 | M 12| = | M 12| A13 = (1)1 + 3 | M 13| = | M 13| A21 = (1)2 + 1 | M 21| = | M 21| 2+2
A22 = A23 = A31 = A32 = A33 =
c.
(1)2 + 3 | M 22| = (1) | M 23| = 3+1 (1) | M 31| = (1)3 + 2 | M 32| = (1)3 + 3 | M 33| =
| M 22| | M 23| | M 31| | M 32| | M 33|
A dj dj oi nt nt
Misalkan suatu matriks A A berordo n n dengan Aij kofaktor dari matriks A matriks A,, maka A11 A21 An1 A A A 12 22 n2 Adjo int A Adj A
A1n A2 n Anm matriks A berordo Untuk matriks A berordo 3 3, maka A11 A21 A31 Adj A A12 A22 A32 A13 A23 A33
72
72
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
ontoh C ontoh
1 2 3 Tentukan invers dari matriks A 2 5 3 . 1 0 8
Jawab Jaw ab:: 1 2 3 1 2 A 2 5 3 2 5 1 0 8 1 0
40 6 0 15 0 32 46 47 1 5 3 40 0 40 0 8
A11
A12
A13
A21
2 3 1 6 0 16
A22
A23
A31
A32
A33
1 2 2 5 54 1
2 3 16 3 13 1 8
2 5 0 5 5 1 0 0 8
Adj A
1 3 83 5 1 8 1 2 0 2 2 1 0
2 3 6 15 9 5 3
1 3 3 6 3 2 3
40 13 5
16 9 5 2
3 1
40 16 9 13 5 3 40 16 9 5 2 1 Adj A 1 13 5 3 A 1 A 5 2 1
Bab 3 Matriks
73
Untuk menentukan determinan dari matriks berordo 3 3, selain dengan kaidah Sarrus, dapat juga digunakan matriks minor dan kofaktor. A11
A12
A13
Misalkan matriks A A21 A22 A23 A31 A32 A33 Determinan matriks A A (det A A)) dapat ditentukan menggunakan rumus: (i) | A A| | = a A + a A + a A 11 11
= a11 M11 = a11
a22 a32
12 12 13 13 a12 M12 a13 M13
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
A| | = a21 A21 + a22 A22 + a23 A23 (ii) | A =
a21 M21 a22 M22 a23 M23
= a21
a12 a32
a13 a33
a22
a11 a31
a13 a33
a23
a11 a31
a12 a32
(ii iii) i) | A A| | = a31 A31 + a32 A32 + a33 A33 = a31 M31
a32 M32 a33 M33
12 = a31 a a22
a13 a23
a32 a11 a13 a33 a11 a12 a21
a23
ontoh C ontoh
a21
a22
1 3 3
Tentukan determinan dari matriks B 1 4 3 . 1 3 4
Jawab Jaw ab:: Untuk menentukan determinannya, dapat digunakan ketiga rumus yang telah dijelaskan di atas. Gunakan salah satu rumus tersebut. B
a11 A411 3 a12 A12 1 a313 A13 1 4 1 3 3
3 4 1 16 16 9 7 33 1
1 4 3 4
1 3 3 3 3
4
ompet etens ensi i 5 A s ah K omp 1 . Tentukanlah invers dari setiap matriks berikut! 1 1 3 5 6 15 2( a b ) 2( a b ) A 14 1 , B 2 5 , C 1 , 1 2( a b ) 2( a b ) 74
74
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
1 1 2 1 2 1 D 2 4 3 , dan E 1 1 1 3 6 8 1 1 0 2 . Tentukanlah nilai x sehingga setiap matriks berikut singular! 2 1 4 x 9 x 9 A , B , dan C 8 x 2 x
1 3x
1 3 4 x 2 4 1 A kI ) adalah matriks singular, tentukanlah 3 . Diketahui matriks A . Jika matriks ( A 2 1 nilai k!
1
4 . Diketahui matriks A
2
1 1 B dan 0 2
1
Jika XA XA B, tentukanlah matriks X . . Jika 4
EBTANAS 1995
ASAH KEMAMPUAN
3 Waktu : 60 menit
ab 1 . Tentukanlah syarat agar matriks a
tidak mempunyai a b a
Bobot soal: 10
invers.
1
3
2 . Diketahui matriks A 2
t
4 . Tunjukkan bahwa ( A ) ( A A )
4
7
2
3
5
4
3 . Diketahui matriks A
Jika At
1 t
dan B
1 .
Bobot soal: 10
1
. 3
Bobot soal: 50
k At , tentukanlah nilai k. EBTANAS 1997
4 . Tunjukkan bahwa
Bab 3 Matriks
2
1
3
7
5
3
8
7
9
8
3
4
1
6
2 habis dibagi 19.
4 7
0 9
2 1
2 5
3 4
Bobot soal: 30
75
Buktikan bahwa jika matriks B dapat bertukar tempat, maka AB maka AB1 B1 A A jika jika dan hanya jika AB jika AB BA BA.. Sumber: Elementary Linear Algebra
D. Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode grafik, metode eliminasi, dan metode substitusi. Pada bab ini, kita akan menyelesaikan sistem persamaan linear tersebut dengan menggunakan matriks. Misalkan, sistem persamaan linear berikut. ax by ax by e cx dy cx dy f f Sistem persamaan linear tersebut dapat kita tuliskan dalam persamaan matriks berikut. a bx e
c
d
y f
Persamaan matriks ini dapat kita selesaikan dengan menggunakan sifat berikut. Jika AX B, B, maka maka X A A1B, dengan | A A| | 0 1. Jika AX 1 XA B, B, maka maka X BA , dengan | A A| | 0 2. Jika XA
ontoh C ontoh Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut! 3x 4y 5 5x 6y 1 Jawab Ja wab::
Terlebih dahulu, ubah sistem persamaan linear tersebut menjadi persamaan matriks berikut. 3 4 x 5
5
6 y 1 A X B Kemudian, tentukan determinan matriks A matriks A,, yaitu : 3
5
4
6
18 (20) 38
Penyelesaian sistem persamaan linear tersebut dapat kita tentukan dengan cara berikut. 76
76
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
6 1 38 5
A1
1 y 38 5 x
6
A1
X Jadi, x
4
3
4 5 3 1
11 19 17 19
B
17 dan y 19
11 . 19
Selain dengan cara di atas, sistem persamaan linear dapat juga diselesaikan dengan menggunakan aturan Cramer berikut.
Jika AX Jika AX B maka x1
A j A1 A . , x2 2 , …, x j A A A
A adalah matriks yang didapat dengan mengganti elemen-elemen j pada kolom- j j dari matriks A matriks A dengan dengan elemen-elemen matriks B.
C ontoh ontoh Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan aturan Cramer! 3x 4y 5 5x 6y 1 Jawab Ja wab::
Terlebih dahulu, tentukan A , A1 , dan A2 A
A1
A2
3 5
4
5 1
4 6
3 5 5 1
Jadi, x
38
6
34
22
A1 34 38 A
A 17 22 dan y 2 19 38 A
11 . 19
Dengan demikian, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah x adalah
Bab 3 Matriks
17 dan y 11 . 19 19
77
4
ASAH KEMAMPUAN
Waktu : 60 menit 1.
Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan invers matriks dan aturan Cramer.
x y x y 4x 3y 0 b. 3 y 4 x 12 0 3y 2 x 6 c. x 3 y 3 d. x y 5 a.
2.
3y x x 6 y 14 x 5 f. 9 x 0 2 x y 1 g. x 3y 8 x 1 2 y 1 h. x y 5 x y 3 e.
Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan invers matriks dan aturan Cramer.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Bobot soal: 40
Bobot soal: 60
x y 2 z 9 2 x 4 y 3 z 1 3x 6 y 5 0 x z 1 2 y z 1 2 x y 2 x z 1 2 x y z 3 y 2 z 4 x y 2 x 9 2 x 4 y 3 z 1 3x 6y 5 z 0 x y 2 z 8 x 2 y 3z 1 3 x 7 y 4 z 10 x 2 y 3z 2 x 5y z 9 3x 6 y 9 z 6 0
78
78
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
R angkuman 1.
Matriks adalah susunan suatu kumpulan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom.
2.
Baris suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks.
3.
Kolom suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks.
4. Jenis-jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen-elemen matriks • Mat Matrik rikss baris, baris, yaitu yaitu mat matrik rikss yang yang terdi terdiri ri dari dari satu satu baris baris.. • Mat Matrik rikss kolom kolom,, yaitu yaitu matr matriks iks yan yang g terdir terdirii dari dari satu satu kolom kolom.. • Matri Matriks ks perseg persegi, i, yaitu yaitu matriks matriks yang banya banyak k barisnya barisnya sama denga dengan n banyak banyak kolomn kolomnya. ya. • Mat Matrik rikss nol, nol, yait yaitu u matrik matrikss yang yang semu semuaa elemen elemennya nya nol nol.. • Mat Matriks riks identi identitas, tas, yaitu yaitu matri matriks ks yang yang elemen-el elemen-elemen emen diago diagonal nal utaman utamanya ya sama sama dengan dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0. • Matri Matriks ks skala skalar, r, yaitu matrik matrikss yang elemen elemen-eleme -elemen n diago diagonal nal utama utamanya nya sama, sedan sedangkan gkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol. • Matri Matriks ks diagon diagonal, al, yaitu yaitu matrik matrikss perseg persegii yang yang elemen elemen di luar luar elemen elemen diago diagonalny nalnyaa bernilai bernilai nol. • Matr Matriks iks segitig segitigaa atas, atas, yaitu yaitu matriks matriks perseg persegii yang yang elemen-el elemen-elemen emen di bawah diago diagonal nal utamanya bernilai nol. • Matr Matriks iks segitig segitigaa bawah, bawah, yaitu yaitu matriks matriks perseg persegii yang eleme elemen-ele n-elemen men di atas atas diagona diagonall utamanya bernilai nol. 5.
Matriks A transpos Matriks A transpos ( A At) adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara menuliskan baris ke-ii matriks ke matriks A menjadi kolom ke–i ke–i dan sebaliknya. A menjadi Beberapa sifat matriks adalah sebagai berikut. A B)t At Bt a. ( A At)t A A b. ( A t c. (cA cA)) cAt , c adalah konstanta t t AB)t B A d. ( AB)
a b A adalah: adalah: c d , maka determinan matriks A
Jika A A 6. Jika
A a b ad ad bc bc.. c d
a
Jika A A 7. Jika
c 1 A 1 ad bc
Bab 3 Matriks
A adalah: adalah: , maka invers matriks A d d b c a b
79
Ulangan Bab 3 ○
○
I.
Pi lihla lihlah h jawa jawab ban yan yang pa paling tep tepat!
x5
2
4
1 . Jika 5
1 y 1
4 2
0 16
○
○
, 5
2
○
○
○
○
maka . . . .
○
x D. y = 3
A. y = 3x
○
B. y = 2x
E.
y
○
○
○
C. y = x
○
○
○
1 2 . Invers dari matriks 2 a b 1 2 a b
2 a b 1 2 a b 1
adalah . . . .
○
○
d
,
dan
1
1
0
A + Bt = C t, di mana Bt . Jika A 1
transpos dari B, maka nilai d adalah . . . . A. 1 D. 2 B. 0 E. 4 C. 1 dan C adalah matriks persegi ordo 5. A, B, dan
○
○
○
○
2 1
1 3
dua dengan A = , B 1 4 , dan 1 1
○
AC = B. B. Maka matriks C adalah . . . .
○
0 1
○
○
ab
a b
○
○
○
a b a b
○
○
○
○
a b ab
0 1 3 5
E.
0 1 5 1
0 1 5
C. 1
○
○
C. a b
B.
0 1
D. 1 5
○
○
ab
A. 1 11
○
○
ab
0
○
○
B.
a1 , B c
○
1 x 2
C
○
○
ab
Diketahui 1 ab A b c
○
○
ab A. ab
4.
○
○
3 4 6. Invers matriks A = 2 1 adalah . . . .
○
ab D. ab
ab
a b
○
○
○
○
○
ab
E.
ab
ab
○
○
a b
1 4 5 5 D. 2 3 5 5
○
○
5 x 13
○
○
, maka x dan 6 y 24
y berturut-turut adalah . . . .
○
○
2 1 5 5 E. 3 4 5 5
○
○
○
D . 4 dan 5 E. 2 dan 4
3 2 5 5 B. 4 1 5 5
○
○
A . 3 dan 2 B. 3 dan 2 C... 3 dan 2 C.
4 5 3 5
○
○
1 3 . Jika 4
1 5 A. 2 5
○
○
○
4 1 11 C. 112 3 11 11
○
80
80
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
○
x
y a b
7. Jika
2
3
a
1 1 b dan x 2 3 p , maka y 5 1 q
○
○
○
○
○
○
2 1 1 3 2 11 . Jika A 3 2 dan B , maka 4 2 1 1 3
○
○
A B B = = . . . .
○
○
adalah . . . . 4 11 p A. 2 q 7 5 p 1 B. 4 3 q
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
1 p 12 q
9 C. 13
○
D. 6
6 E. 5
1
1 13 9
p
q p q
6 D. 11 13 8 E. 13 9
9 3 12 8
5 11 11 8 13 5 6
8 3
○
○
○
○
5
6 8 5 A . 11 13 8 1 3 9 5 2 4 B. 9 4 2 3
○
○
○
○
4 2 C. 3 9 4 2
○
2 3 maka A1 = . . . . , maka A 4 5
○
○
○
12 . Jika A
○
○
○
8.
0 Nilai determinan 2 3
2 3 0 4 adalah . . . . 4 0
○
○
○
○
2 1 1 1 2 A. 2 1 2
2 1 D. 2 2
1 1 2 1
○
○
A. 3
D. 0 1 E. 2
B. 2 C. 1
○
○
○
○
○
○
0 2 3 a 2 3 9. Diketahui K 5 4 4b , L 2 0 7 3 4 0 8 3c 11
○
○
t
○
○
○
○
○
7 3
○
E. 1 2
○
○
○
10 . Diketahui 3 3
○
12 4 3 0 a 1 2 12 3 , maka nilai 4 2 1 2
a adalah . . . .
○
4 1 , dan C ,
maka ( AB) AB)C = . . . .
8 5 A . 20 13 2 1
○
○
○
○
○
B.
10 9 4 3
○
○
18 16 D. 46 38 4 4 8 6 E. 20 14 2 2
○
○
○
○
Bab 3 Matriks
1 Jika ka A 13 . Ji
○
○
C. 1 4
3 2
1 3 1 5
○
○
Kalau K = L , maka c adalah . . . . A. 1 6 D. 1 3
5 C. 4
1 2 1 4
○
○
A. 4 B. 2 C. 2
E.
○
○
B.
2 4 B. 3 5
D . 4 E. 6
○
○
○
18 C. 46 4
15 39 3
○
81
○
1 2 3 2 14 . Diketahui A dan B . 1 3 2 2
○
○
○
○
Nilai
( AB) AB)1
I I . Jawab Jawablah lah pert rtan anyaa yaan n be beri k ut de denga ngan n jelas jelas dan tepat!
=....
○
1.
x dan y memenuhi persamaan matriks.
○
4 A. 9 2
3
7 2
1
D.
1
1x 3
○
○
1 3
○
○
2
Tentukanlah nilai x + y.
○
4 3 9 2
7 2
6 2
○
○
B.
3 2x y 2 1
○
○
E.
3 2 1 1
○
○
○
○
Jikaa diketa diketahui hui 2. Jik 1 2 dan B = A = A 3 4
6 5
5 4
○
7 6 C. 9 8
○
○
○
○
Tentukanlah ( AB) AB)–1 At. 3. Jika x memenuhi
x log a l og b 2
○
1 0 Misalkan A A adalah adalah matriks 15 . Misalkan . Nilai dari 2 3 2 A 2 A A + I adalah adalah . . . . .
○
○
○
○
log 2a b log b
1
log a
1
1
maka tentukanlah nilai x.
○
○
○
1 0 A. 26 2 7
4 D. 0
4 0
○
○
○
Jikaa a, b, c dan d memenuhi persamaan 4. Jik a b 2 d c 1 1
2c
○
○
0 1 B. 26 1 27 27
2 3 E. 1 4
○
○
○
○
0 C. 4
0 4
○
○
○
2 a 1
1
maka tentukanlah a + b + c + d.
○
○
d b
5.
Hitunglah determinan dari: 3 1 a. P = 4 2
○
○
○
○
○
○
○
○
1 b. Q = 4 7
2
3
5
6
8
9
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
82
82
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
View more...
Comments
