03 TEXTO ESCOLAR_ARIT 2°
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Problemario...
Description
a í r t e m o e G
Intelectum
IA
Aritmética
Indicadores
de logro
Unidad 1
Unidad 2
• Identica las clases clases de proposiciones proposiciones lógicas lógicas (simples y compuestas) compuestas) y los operadores lógicos (negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional). • Determina el valor de verdad de los esquemas moleculares, aplicando los operadores lógicos. • Comprende la relación de pertenencia entre elemento y conjunto. • Determina la inclusión e igualdad entre conjuntos. • Realiza las operaciones básicas entre conjuntos (unión, intersecció intersección, n, diferencia, diferencia simétrica y complemento). • Aplica las distintas leyes de idempotencia, conmutativa, asociativa y distributiva al resolver problemas sobre conjuntos. • Identica el orden, lugar y base de un numeral. • Realiza correctamente la conversión de números entre bases. • Expresa las propiedades sobre adición, sustracc sustracción, ión, multiplicaci multiplicación ón y división en el conjunto de los números naturales. • Identica las propiedades de los números enteros en la recta numérica.
• Identica los principios de divisibilidad y hace uso de cada uno de sus criterios. • Utiliza los principios de la divisibilidad en la adición, sustracción y multiplicación de múltiplos. • Utiliza los criterios de divisibilidad en la resolución de problemas. • Discrimina entre números números primos primos y complejos. complejos. • Identica números primos entre sí (PESÍ). • Evalúa los divisores de los números utilizando la descomposic descomposición ión ca nónica. • Aplica las propiedades de los números primos. • Comprende los métodos utilizados para el cálculo del MCD y MCM. • Demuestra las propiedades del MCD y el MCM. • Comprende la denición de densidad en los racionales. • Analiza las operaciones entre números racionales. • Aplica operaciones de adición, multiplicaci multiplicación ón división y multiplicac multiplicación ión en las diferentes clases de fracciones.
GRACIAS A LOS PRIMOS Dentro de la familia de los cicádicos, más conocidos como cigarras, sobresalen dos especies particulares por vivir uno de los ciclos de vida más particulares, tanto dentro del reino de los insectos como fuera de este: la Magicicada que tiene un ciclo de 13 años y la Magicicada que tredecim que tiene uno de 17 años . que septendecim La supervivencia de las cigarras depende de las propiedades de los números más fundamentales de las matemáticas: los números primos, números que son solo divisibles por sí mismos y por 1 . La elección de un ciclo de 13 y 17 años no parece muy arbitraria ya que estos permiten a las cigarras tener una ventaja evolutiva, pues estos números primos ayudan a evitar a otros animales de ciclos de vida periódicos . Por ejemplo: si un depredador aparece cada seis años en el bosque, una cigarra con un ciclo de ocho o nueve años coincidiría con el depredador mucho más frecuente que una cigarra con una ciclo de siete años .
Contenido: Unidad 1
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Lógica proposicional. Teoría de conjuntos. Numeración. Operaciones básicas en el conjunto (Z+).
Unidad 2
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Teoría de divisibilidad. Números primos. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Conjunto de números racionales(q).
Unidad 3
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Unidad 4
Potenciación y radicación en Z+. Razones y proporciones. Magnitudes proporcionales . Regla de tres. Tanto por ciento.
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Promedios. Estadística. Análisis combinatorio. Probabilidad.
Unidad 3
Unidad 4
• Evalúa los criterios de inclusión y exclusión de cuadrados y cubos per fectos. • Comprende el proceso de extracción de la raíz cuadrada y cúbica de números naturales por defecto y exceso. • Calcula la raíz cuadrada y cúbica, así como las potencias de números naturales. • Identica las clases de razón y proporción. • Utiliza la denición de razones, proporciones y las series de razones geométricas equivalentes. • Evalúa las propiedades sobre razones, proporciones y serie de razo nes geométricas equivalentes. • Analiza las propiedades sobre las magnitudes directas e inversas en problemas con engranajes y reparto proporcional. • Diferencia entre regla de tres directa e inversa. • Evalúa el tanto por ciento relacionado con aumentos o descuentos únicos.
• Identica el promedio aritmético, ponderado, geométrico y armónico, además evalúa sus propiedades. • Calcula el promedio de un conjunto de números. • Discrimina entre entre variable variable cualitativa cualitativa y cuantitativa. cuantitativa. • Dene y comprende las medidas de posición (media, mediana y moda). • Emplea cuadros estadístic estadísticos os para presentar datos ordenadamente. • Calcula la media, la mediana y la moda de datos clasicados y no cla sicados. • Organiza los datos en un gráco gráco estadístico (histogramas, (histogramas, pictogra mas, diagrama de barras). • Utiliza los principios fundamentales de conteo de adición y multipli cación. • Utiliza el principio de de multiplicación y adición adición en los problemas problemas propuestos.
• Dene y discrimin discrimina a entre variación, permutación y combinación. • Analiza el experimento aleatorio y dene correctamente un espacio muestral.
DEBERÍAS SABER QUE ... ... Las hembras ponen sus huevos antes de morir, es ahí cuando los insectos jóvenes (o ninfas) caen al suelo y penetran en la tierra pudiendo vivir dentro de ella de 4 a 17 años (dependiendo de la especie) alimentándose de la savia de las raíces . Después de ese período empiezan a cavar túneles para luego subir en masa a los árboles para transformarse en adultos con alas y genitalia desarrollada, listos para el apareamiento. El momento crítico y más débil se da en las primeras tres horas después de que salen a la superficie ya que sus alas y su nueva piel aún no están listas. Finalmente mueren, otra vez en masa, dejando sus larvas enterradas para la secuela . De acuerdo a los estudios realizados, los ciclos de vida de sus principales depredadores en la superficie son de 2 y 3 años . ¿Se imaginan lo que pasaría si cada vez que salen las cigarras de su morada subterránea esto coincidiera con el momento de reproducción de sus depredadores una y otra vez sin parar? La respuesta es simple las cigarras se extinguirían. al tener un ciclo primo de vida es imposible que esto ocurra .
unidad 1
LÓGICA PROPOSICIONAL PROPOSICIÓN LÓGICA
Nota
Es aquella expresión en la que se arma algo y se caracteriza por tener un solo valor veritativo, es decir, puede ser verdadera o falsa pero no ambas a la vez. Si una proposición es verdadera se le asignará la letra V y si es falsa la letra F.
A la veracidad o falsedad de una proposición se le denomina valor de verdad.
Notación
Representaremos a las proposiciones mediante las letras minúsculas de la segunda mitad del alfabeto: p, q, r, s, ... A estas se les denomina variables proposicionales . Ejemplos: • p: Ricardo es ingeniero industrial.
Observación
Los enunciados: • Prohibido jugar • ¡Cuidado! • ¿Qué hiciste? no son proposiciones.
• q: Inés estudia matemática.
CLASES DE PROPOSICIONES LÓGICAS a) Proposiciones simples o atómicas. Son aquellas que están constituidas por una sola proposición.
Ejemplos: • 7 es un número impar.
• Johana viajó a Cusco.
b) Proposiciones compuestas o moleculares . Son aquellas que están constituidas por dos o más proposiciones enlazadas entre sí por conjunciones gramaticales o afectadas por el adverbio de negación no.
Ejemplos: • Voy a la biblioteca o al teatro. Si estudio entonces aprobaré el curso de Aritmética. •
CONECTIVOS LÓGICOS
Nota
Llamados también operadores. Son símbolos que reemplazan a las conjunciones gramaticales y al adverbio de negación no. Los conectivos lógicos que más usaremos son los siguientes: En el lenguaje común
Símbolo
No es cierto que... ... y... ... o... Si... entonces... ... si y solo si...
Nombre de la proposición
Negación Conjunción Disyunción Condicional Bicondicional
+ / 0 &
+
Las conjunciones gramaticales son palabras que enlazan proposiciones, sintagmas o palabras. Por ejemplo: y, e, ni, o, etc.
Atención
Por convención + se coloca a la izquierda de la proposición que se niega.
PROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSICAS La negación ( + )
Dada una proposición p. Se denomina negación de p a la proposición denotada por proposición inicial, convirtiéndola en falsa cuando es verdadera y viceversa. Su tabla de verdad es: p
V F Ejemplos: • p: 2 es un número primo. (V) • +p: 2 no es un número primo. (F)
+
p, la cual niega a la Ten en cuenta
p
+
F V
+
p se lee: “no p” o “no es cierto que p”.
• q: un rectángulo tiene 3 lados. (F) • +q: no es cierto que un rectángulo tiene 3 lados. (V)
Una tabla de verdad es un diagrama que permite expresar todos los posibles valores de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus proposiciones simples.
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 1
5
La conjunción ( / ) Recuerda
Una proposición conjuntiva será verdadera, si sus proposiciones componentes (p y q) son verdaderas. En otros casos, será falsa.
Es la proposición compuesta por las proposiciones p y q, relacionadas mediante el conectivo lógico y. Se denota: p / q (se lee: p y q). Su tabla de verdad es: p
q
p / q
V V F F
V F V F
V F F F
Ejemplo: • Miguel piensa y Juan actúa. p
q
/
La disyunción ( 0 )
Es la proposición compuesta por las proposiciones p y q, relacionadas mediante el conectivo lógico o. Se denota: p 0 q (se lee: p o q).
Nota
Una proposición disyuntiva será falsa, si sus proposiciones componentes (p y q) son falsas. En otros casos, será verdadera.
Su tabla de verdad es: p
q
p 0 q
V V F F
V F V F
V V V F
La condicional (
Nota
La proposición condicional será falsa únicamente cuando el antecedente sea verdadero y el consecuente sea falso.
La proposición bicondicional será verdadera en los casos en que las proposiciones que la conforman tengan el mismo valor de verdad.
• Hoy es viernes o es mayo. p
q
0
)
&
Es aquella proposición en la que dos proposiciones simples: p y q se relacionan mediante el conectivo lógico si... entonces... Se denota: p q (se lee: si p entonces q). &
Su tabla de verdad es: p
q
p & q
V V F F
V F V F
V F V V
La bicondicional ( Atención
Ejemplo:
Donde:
Ejemplo:
p: antecedente q: consecuente
• Si estudio, entonces aprobaré. p
&
q
)
+
Es aquella proposición en la que dos proposiciones simples: p y q, se relacionan mediante el conectivo lógico si y solo si . Se denota: p q (se lee: p si solo si q). +
Su tabla de verdad es: p
q
p + q
V V F F
V F V F
V F F V
Ejemplo: • Habrá desle si y solo si hay garantías. p
+
q
La disyunción exclusiva ( 9 )
Es aquella proposición en la que se relacionan dos proposiciones simples: p y q, mediante el conectivo lógico o... o... Se denota: p 9 q (se lee: o p o q). Su tabla de verdad es: Observación
p
q
p 9 q
Una proposición disyuntiva exclusiva es verdadera si las proposiciones que la conforman tienen valores de verdad diferentes.
V V F F
V F V F
F V V F
6
Intelectum 2.°
Ejemplo: • O ganamos o empatamos. p
9
q
A ESQUEMAS MOLECULARES Un esquema molecular es la combinación de variables proposicionales, conectivos lógicos y signos de agrupación. Ejemplos: • p / (q +p) • [(+q 0+p) / p] q • (p 9 q) / (+p q) &
&
+
Evaluación de esquemas moleculares
Consiste en obtener los valores del conectivo principal a partir de los valores de cada una de las variables proposicionales. Ejemplo: Evalúa el siguiente esquema molecular: (q / p) (p 0 +q) &
Conectivo principal
Resolución: Procedimiento: 1.° Negamos q: +q 2.° Evaluamos (q / p) y (p 0 +q). 3.° Evaluamos (q / p) (p 0 +q). &
p
q
V V F F
V F V F
(q V F V F
p) V V F F
/
V F F F
&
V V V V
(p V V F F
0
q) F V F V
+
V V F V
Matriz principal
Clasificación de los esquemas moleculares
Observación
En un esquema molecular, el conectivo principal es el ope rador de mayor jerarquía que se encuentra libre de signos de colección. También, denominamos ma triz principal de una tabla de verdad, a la columna que con tiene los valores de verdad correspondientes al conectivo principal. Ejemplo:
Conectivo principal
p
q
q
+
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
(+p
/
q)
F
F
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
F
V
V
F
F
Según los valores obtenidos en la matriz principal, los esquemas moleculares se clasican en: Matriz principal
Tautológicos. Cuando los valores de la matriz principal, son todos verdaderos.
Ejemplo: p
q
V V F F
V F V F
[(p V V F F
0
V V V F
q) / V F F F V V F F
+
p]
F F V V
&
q
V V V V
V F V F
El esquema es tautológico.
`
Tautología Atención
Contradictorios. Cuando los valores de la matriz principal, son todos falsos.
Ejemplo: p
q
+
V V F F
V F V F
V F V F
(+q) F V F V
9
[q
/
F F F F
V F V F
V F V F
(+p F F V V
0
V F V F
q)] V F V F
El esquema es contradictorio.
`
Contradicción
Para evaluar una tabla de verdad de 2 variables proposicionales se necesitan 4 valores de verdad. Para evaluar una tabla de verdad de 3 variables proposicionales se necesitan 8 valores de verdad. En general, el número de valores de verdad que se asigna a cada variable resulta de aplicar la formula 2 n, donde n es el número de variables proposicionales que hay en el esquema molecular.
Consistentes. Cuando en la matriz principal hay por lo menos una verdad y una falsedad.
Ejemplo: p
q
V V F F
V F V F
(+p 0 F V F F V V V V
q) V F V F
(+q V F V F V F F F F V V V /
+
p) F F V V
+
El esquema es consistente.
`
Consistencia
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 1
7
Problemas resueltos 1
De los siguientes enunciados, indica cuáles son proposiciones lógicas. a) Los gatos son mamíferos. mamíferos. b) ¿Cuál es tu edad? c) El ácido sulfúrico corroe corroe la madera. d) Sé honesto y trabajador. e) 8 es un número par y mayor que 7. 7.
5
Sea la proposición compuesta: (p 0 q) (+p q) Indica qué tipo de esquema es. +
Resolución:
Construimos la tabla de verdad y evaluamos el esquema molecular:
Resolución:
Los enunciados a, c y e son proposiciones lógicas, ya que se les puede asignar un valor de verdad o falsedad. Los enunciados b y d no son proposiciones lógicas. ` a, c y e son proposiciones lógicas. 2
&
p
q
V V F F
V F V F
(p 0 q) V V V F
(+p F F V V
+
V V V V
&
V V V F
q) V F V F
Tautología
Al construir la tabla de verdad de: (p +q) / +q El número de valores verdaderos en el operador principal es: &
Resolución:
6
Elaboramos la tabla de verdad: p
q
V V F F
V F V F
(p V V F F
El esquema es tautológico.
`
&
F V V V
q) F V F V
+
/
F V F V
q
+
F V F V
Sabiendo que (r q) 0 +p es falso; halla los valores de verdad de p, q y r. &
Resolución:
Se tiene: (r
q)
&
0
¿Cuántas posibles combinaciones en los valores de verdad de p, q, r, s y t existen?
1
Para que (1) sea falso se debe cumplir: F
F
El número de posibles combinaciones de los valores de verdad de n proposiciones componentes es 2 n. En el problema se tiene 5 proposiciones: p, q, r, s, y t. Entonces: n.º de posibles combinaciones = 25 = 32 Halla el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si 4 + 2 = 6 entonces 7 2 8. II. 5 es mayor que 2 ó 4 es menor que que 1.
Entonces: (r
q)
&
&
F Para que (2) sea falso se debe cumplir:
2
8.
F
Luego: (r V
F
&
q) F
0
II. 5 es mayor que 2 ó 4 es menor que que 1. 0 V F V
F `
p = V; q = F; r = V
+
p
F (p = V)
F
Intelectum 2.°
&
F
F
8
p
+
F
V
En el problema: I. Si 4 + 2 = 6, entonces 7
0
2 F
Resolución:
V
F
0
Resolución:
4
p
F
En el operador principal hay dos valores verdaderos.
`
3
+
A 7
Halla la tabla de verdad del siguiente esquema molecular. (p q) (+p 0 q) &
+
Resolución:
Construimos la tabla de verdad y evaluamos el esquema molecular: p
q
V V F F
V F V F
(p V V F F
q) V F V F
&
V F V V
(+p F F V V
+
V V V V
0
V F V V
q) V F V F
10 Si (p / q) es verdadero y (q t) es falso, ¿cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. +[+(q / p) / p] II. +(+p 0 t) 0 q III. [+p 0 (q / +t)] +(q t) &
+
&
Resolución:
Primero determinamos los valores de verdad de p, q y t. Del enunciado: t p / q q &
Matriz principal V 8
Determina el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares, si p = V; q = F y r = V. I. (p 0 q) / r (+p / +r) II. [p (q / r)] (+p 0 r) &
&
F
Para que (p / q) sea verdadero, se debe cumplir: y q = V p=V
&
Para que (q t) sea falso, se debe cumplir: q = V y t = F Luego: II. +(+p 0 t) 0 q I. +[+(q / p) / p] +(+(V) 0 F) 0 V +[+(V / V) / V] +(F 0 F) 0 V +[+(V) / V] +(F) 0 V +[F / V] V 0 V +(F) V V &
Resolución:
I. (p V
0
q) F
r
/
&
V
(+p F
/
V
r) F
+
F V F
II. [p V
&
(q F
r)] V
/
+
(+p F
r) V
0
III. [+p 0 (q / +t)] +(q t) [+(V) 0 (V / +(F))] +(V F) [F 0 (V / V)] +(F) [F 0 V] V V V V ` Todas son verdaderas. +
F
V
&
+
F
&
+
F
+
+
9
Se define el conectivo lógico a mediante la siguiente tabla de verdad: p
q
p a q
V V F F
V F V F
F V F V
11 Representa simbólicamente la siguiente proposición compuesta: "Iré de vacaciones o estaré sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar".
Evalúa el siguiente esquema molecular y da como respuesta los valores de verdad de la matriz principal. (+q a p) a +( p a q) Resolución:
Elaboramos la tabla de verdad: p
q (+q
a
V V F F
V F V F
F F V V
F V F V
p) V V F F
a
+
F V F V
V F V F
(p V V F F
a
F V F V
q) V F V F
Resolución:
Reconocemos las proposiciones: p: iré de vacaciones q: estaré sin hacer mada r: tengo tiempo s: tengo que ir a trabajar De la proposición compuesta, se observa que p y q son consecuencia de r y as. Por lo tanto, la proposición compuesta se puede representar simbólicamente de la siguiente manera: (r / as) (p 0 q) &
Matriz principal
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 1
9
TEORÍA DE CONJU NT NTOS OS NOCIÓN DE CONJUNTO
Nota
• Los elementos de un conjunto pueden ser abstractos (número, letras, etc.) o concretos (personas, animales, etc.). • Los conjuntos se repre sentan mediante guras geométricas cerradas llamadas: “Diagramas de Venn-Euler”.
Se entiende por conjunto a la colección, agrupación o reunión de objetos distinguidos entre sí; los cuales reciben el nombre de elementos. Ejemplos: • Los tigres. • Letras de la palabra GENIO.
• Libros de aritmética en una biblioteca. • Meses del año.
Notación
Representación gráfica
Nombre del conjunto (letra mayúscula)
• La relación de pertenencia es una relación exclusiva de elemento a conjunto.
Diagrama de Venn-Euler:
A A = { j; o; s; u; e}
• j
• o • s
• u
Elementos del conjunto A (letras minúsculas separadas por punto y coma).
Atención N
representa al conjunto de los números naturales: N = {0; 1; 2; 3; ...}
• e
RELACIÓN DE PERTENENCIA Si x es un elemento del conjunto A, entonces se dice que “x pertenece al conjunto A” y se denota: x ! A En el caso de no pertenecer x al conjunto A, se denota: x " A
Observación
En general, los conjuntos determinados por comprensión tienen la siguiente estructura: Tal que F=
Ejemplo: Sea el conjunto I = {4; 9; 16; 25}; entonces: • 4 ! I: 4 pertenece al conjunto I. • 10 " I: 10 no pertenece al conjunto I.
• 16 ! I: 16 pertenece pertenece al conjunto conjunto I. • 21 " I: 21 no pertenece al conjunto I.
/
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO CONJUNTO Forma general del elemento
Características comunes de los elementos
Por extensión
Por comprensión
Es cuando se nombran todos y cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplo: P = {4; 5; 6; 7; 8}
Es cuando se indica una característica particular y común a sus elementos. Ejemplo: P = {Los número naturales mayores que 3 y menores que 9} Se puede escribir: P = {x / x ! N / 3
n 2
-
Fm - 1
f m
H
Donde: Lm: límite inferior de la clase mediana. c: ancho de la clase mediana. Fm - 1: frecuencia absoluta acumulada de la clase precedente a la clase mediana. f m: frecuencia absoluta de la clase mediana. Ejemplo: Del cuadro 3: Me = 600 + 100
d
20 - 19 9
n
7 = 611, 1
Observación: La clase mediana es aquella cuya frecuencia absoluta acumulada es igual a la mitad de los datos o mayor a ella por primera vez y contiene a la mediana. Observación
3. Moda (Mo)
DEL CUADRO 3: Ii
f i
[400; 500 H
7
[500; 600 H
12
[600; 700 H
9
[700; 800 H
5
[800; 900 H
4
[900; 1000]
3
A. Para datos no clasificados
! Mo
El intervalo de clase modal, es aquel intervalo que tiene mayor frecuencia.
Ejemplo: Sean los datos: 1; 20; 30; 100; 12; 18; 100; 18; 100
&
Mo = 100
B. Para datos clasificados Mo = Lo + c
f
d1 d1 + d 2
p
Donde: d1: diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la frecuencia absoluta de la clase anterior. d2: diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la frecuencia absoluta de la clase siguiente. Lo: límite inferior de l as clase modal. c: ancho de la clase modal. Ejemplo: del cuadro 3: Mo = 500 + 100
d
5 5+3
n
= 562,5
Observación: La clase modal es aquella cuya frecuencia absoluta es mayor.
58
Intelectum 2.°
A
Problemas resueltos 1
Del siguiente cuadro de frecuencias: Ii
f i
[5; 11H
64
[11; 17H
80
16 800 + 1975b 96 + 13b
Fi
=
163 &
Completando la tabla, tenemos:
[17; 23H
Ii
f i
[50; 100H
32
[100; 150 H
48
[150; 200 H
56
[200; 250]
64
240
[23; 29H [29; 35]
72
400
Halla: f 3 + f 4 + F4
Nos piden el número de personas que gastan entre S/.126 y S/.178, entonces:
Resolución:
Completando el recuadro, tenemos:
48
Ii
f i
Fi
[5; 11H
64
64
[11; 17H
80
144
[17; 23H
96
240
[23; 29H
88
328
[29; 35]
72
400
▪
F1 = 64
▪
f 3 = F3 - F2 = 240 - 144
&
100
28 150
x
200
y
Por proporcionalidad: x 50
F2 = 144
&
=
24 48
y 50
/
x = 25
&
=
28 56
y = 25
Luego, el número de personas que gastan entre S/.126 y S/.178 semanalmente es: x + y = 25 + 25 = 50
F4 = F3 + f 4 F5 = F4 + f 5
400 = (240 + f 4) + 72
& f 4 = 88 /
F4 = 328
3
Piden: 96 + 88 + 328 = 512
2
56 24
& f 3 = 96 ▪
b = 8
De la pregunta 2, halla la mediana. Resolución:
En la tabla de frecuencias:
Se tiene la distribución de gastos semanales de un grupo de personas. f i 64 7b 6b
Ii
f i
Fi
[50 ; 100H
32
32
[100 ; 150H
48
80
[150 ; 200H
56
136
[200 ; 250]
64
200
!
Me (intervalo mediano)
f
n 2
32
n 50
100
150
200
250
2
Ii
Si el gasto promedio semanal es de S/.163, ¿cuántas personas gastan entre S/.126 y S/.178?
= 100;
c = 200 - 150 = 50
Luego; en la fórmula: Me = Lm + c
Resolución:
Me = 150 + 50
Construimos la tabla de frecuencias con los datos del gráco.
4
-
Fm - 1
f m
d
100 - 80 56
f i
Xi
[50; 100H
32
75
Ii
f i
[100; 150 H
6b
125
[140; 150 H
50
[150; 200 H
7b
175
[150; 160 H
60
[200; 250]
64
225
[160; 170 H
70
[170; 180 H
80
[180; 190]
40
32 # 75 + 6b # 125 + 7b # 175 + 64 # 225 96 + 13b
=
163
n
`
Me = 167,86
Del siguiente cuadro de frecuencia, halla la moda.
Ii
Del enunciado: X = 163
p
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 4
59
Resolución:
Resolución:
Se identica el intervalo modal, en la tabla de frecuencias:
Completamos la tabla, teniendo en cuenta que es simétrica.
Ii
f i
[140; 150 H
50
[150; 160 H
60
[160; 170 H
70
[170; 180 H
80
[180; 190]
40
Luego, en la fórmula:
Ancho de clase: c = 180 - 170 = 10 Además: Mo d1 = 80 - 70 = 10 d2 = 80 - 40 = 40
Mo
=
Lo + c #
f
d1 d1 + d 2
` Mo = 170 + 10 Ç
5
d
f i
hi
Xi
[25; 45H
a
0,2
35
[45; 65H
b
55
[65; 85H
b
75
[85; 105]
a
0,2
95
Donde el número de observaciones es: n Se cumple: n = 2(a + b)
p
10 10 + 40
Ii
35a + 55b + 75b + 95a
Además: X =
n
= 172
X=
_
2 a+b
_ i 130 = 2 2 _a + bi
130 a + b
&
i
=
130a + 130b
_
2 a+b
i
X = 65
También:
Se tiene el diagrama de barras de la distribución del número de hijos de un grupo de padres de familia. Halla la media.
0,2 + 0,2 + h2 + h2 = 1 2h2 = 0,6 & h2 = 0,3
f i
` h2 + X = 0,3 + 65 = 65,3
180 120
8
60 40 n° de hijos 1
2
3
En el gráfico de barras se muestran las preferencias de 500 personas por cuatro marcas de galletas: A, B, C y D. Halla: q1 + q3
4
Marca A Marca B
27%
31%
Resolución:
Ii
f i
1
60
2
180
3
120
4
40
θ3
Entonces:
Marca C 11K%
Resolución:
Debemos tener en cuenta que en un diagrama circular, el ángulo correspondiente a un sector circular se calcula así: qi =
Resolución:
Observando el gráco de barras, la mayor frecuencia (180) es: 2
7
Mo = 2
qi = hi Ç 360°
En el gráfico:
Dada la siguiente tabla simétrica de distribución. Halla: h 2 + X Ii
hi
[25; 45H [65; 85H [85; 105]
Intelectum 2.°
θ1 θ3
[45; 65H
60
Marca D 10K%
` X . 2,35 = 2
Del problema 5, halla la moda.
`
θ4
1 # 60 + 2 # 180 + 3 # 120 + 4 # 40 X= 400
400
6
θ1
θ2
Construimos la tabla de frecuencias con los datos del gráco.
0,20
f i n
Ç 360°
qi = hi Ç 100% Ç 360°
Del enunciado: 27% + 31% + 11K% + 10K% = 100% 21K% = 42% K = 2 Luego: q3 = 22% Ç 360° / q1 = 27% Ç 360° q3 = 79,2° q1 = 97,2° Piden: q1 + q3 = 97,2° + 79,2° = 176,4°
A
ANÁLISIS COMBINATORIO
Podemos considerar al análisis combinatorio como el conjunto de procedimientos y técnicas que nos permite determinar el número de agrupaciones que pueden formarse a partir de ciertas condiciones.
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL CONTEO Principio de multiplicación Si un acontecimiento A puede efectuarse de m maneras diferentes y cuando ha sido efectuado, se realiza otro acontecimiento B; que puede efectuarse de n maneras diferentes, entonces ambos acontecimientos (A y B) se podrán realizar de m Ç n maneras diferentes. Ejemplo: Si para ir de A hasta B se tienen dos caminos diferentes y para ir de B a C se tienen tres caminos diferentes, ¿de cuántas maneras diferentes se puede ir de A a C pasando siempre por B?
Nota
Otra forma de visualizar nues tro ejemplo es a través del diagrama de árbol. Camino A - B
Camino B - C
Camino A - C
a1
b1 b2 b3
a1b1 a1b2 a1b3
a2
b1 b2 b3
a2b1 a2b2 a2b3
Resolución: A
B 2 maneras
Para ir de A hasta C, pasando siempre por B habrán 2 maneras distintas.
C
Ç 3 = 6
Se observa que en total hay 6 maneras diferentes para ir desde A hasta C.
3 maneras
Principio de adición Si un acontecimiento A puede realizarse de m maneras diferentes y otro acontecimiento B puede realizarse de n maneras diferentes, siendo imposible realizar ambos eventos de manera simultánea o uno seguido del otro, entonces para poder llevar a cabo cualquiera de ellos (A o B) se podrá realizar de m + n maneras diferentes. Ejemplo: Luis puede viajar de Arequipa a Tumbes por vía aérea, utilizando 2 líneas de transporte aéreo o por vía terrestre a través de 3 líneas de ómnibus. ¿De cuántas maneras puede realizar el viaje de Arequipa a Tumbes? Resolución:
Atenc ión
El factorial de un número entero positivo, denotado por n! o n , es el producto de todos los números enteros y consecutivos desde la unidad hasta n. Es decir: n! = 1 Ç 2 Ç 3 Ç 4 Ç ... Ç n
Por lo tanto, Luis podrá ir de Arequipa a Tumbes, por vía aérea o terrestre de 2 + 3 = 5 maneras diferentes.
o
2
3 Variaciones
Permutaciones
Combinaciones
Las variaciones simples de n elementos de orden r son todas las ordenaciones de r elementos, sin repetición, de un conjunto de n objetos.
Las permutaciones simples de n elementos, son las variaciones simples de n elementos de orden n.
Las combinaciones simples de n elementos de orden r, son todas las agrupaciones de r elementos sin repetición, de un conjunto de n objetos, sin importar el orden.
Propiedad El número de variaciones simples de n elementos de orden r, denotado por Vr n , está dado por:
Propiedad El número de permutaciones simples de n elementos denotado por Pn, está dado por: Pn = n!
Propiedad El número de combinaciones simples de n elementos de orden r, denotado por Cnr , está dado por:
Ejemplo: n! n! n n Vr Cr ¿Cuántos números de tres cifras _n r i ! _n r i ! # r ! distintas se pueden formar con los Ejemplo: Ejemplo: dígitos 2; 4 y 6? ¿Cuántos números de dos cifras ¿Cuántos comités de 3 miembros distintas se pueden formar con los Resolución: se pueden elegir de un grupo de En este caso n 3, luego: = dígitos 2; 4 y 6? 5 personas? P3 = 3! = 1 Ç 2 Ç 3 = 6 Resolución: Resolución: En este caso n = 3 y r = 2, luego: En este caso n = 5 y r = 3, entonces: 3! 1#2#3 3 =
=
-
V2
=
_3
-
i
2 !
=
Recue rda
• n! = (n - 1)! Ç n • 1! = 1 • 0! = 1
-
1
=
6
5
C3
5! =
_5
-
3 i ! # 3!
=
10
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 4
61
Problemas resueltos 1
¿Cuántas combinaciones se pueden obtener con las letras A, B, C y D tomándolas de 2 en 2?
5
Resolución:
n = 4
r = 2
/
Resolución:
Luego, por denición sabemos: n Cr
4 C2
2
Tomemos el caso de que el grupo está formado por 2 doctores y 2 enfermeras, entonces el número de maneras para este caso es:
n! =
_n
r i ! # r !
-
5
4! =
_4
=
2! # 2!
=
n
Vk
&
4
V4
=
5
3! 1! # 2!
=
30
=
5#1
=
5
n!
=
` n.°
_n - k i ! 4!
-
i
4 !
4! 0!
=
4
=
6
4! 1
maneras diferentes.
de maneras de efectuarse la elección: 30
+ 5 = 35
En el consejo de una ciudad hay 10 consejeros y 5 regidores. ¿Cuántos comités pueden formarse si cada comité debe de constar de 5 consejeros y 3 regidores? Resolución:
¿Cuántos comités de 3 miembros se pueden elegir de un grupo de 6 personas?
El número de maneras de escoger 5 consejeros de 10 es: C10 5
Resolución:
Un comité estará constituido por un grupo de tres personas sin importar el orden en que hayan sido nombradas, entonces el número de maneras en que se puede elegir es: 6
C3
`
4
#
Ahora, ambas posibilidades se pueden dar, pero no a la vez, entonces el número de maneras de efectuarse la elección será la suma de ambas posibilidades:
` V 4 = 4! = 24
3
3
C1 # C3
k = 4
_4
5! 3! # 2!
Y si el grupo está formado por 1 doctor y 3 enfermeras, entonces el número de maneras para este caso es:
Resolución: /
=
6
¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 4 personas, en una banca de 4 asientos?
n = 4
3
C 2 # C2
4!
2 i ! # 2!
-
Del personal médico de un hospital se eligen 5 doctores y 3 enfermeras para que de ellos, se escojan 4 miembros donde haya no menos de dos enfermeras. ¿De cuántas maneras puede efectuarse la elección?
6! =
6
C3
_6 =
=
3 i ! # 3!
-
6#5#4 3!
=
=
(10
10! 5) ! # 5 !
=
-
10! 5 ! # 5!
=
252
El número de maneras de escoger 3 regidores de 5 es: 5! 5! C 53 10 2! # 3! (5 3) ! # 3! =
=
=
-
6 # 5 # 4 # 3! 3! # 3 !
Por cada manera, de las 252, de escoger 5 consejeros, hay 10 maneras de escoger 3 regidores, entonces: 252 Ç 10 = 2520
20
Por lo tanto, se pueden formar 2520 comités formados por 5 consejeros y 3 regidores.
En un club participan 24 socios para la elección de un presidente, un vicepresidente y un tesorero. ¿De cuántas maneras diferentes se puede llevar a cabo dicha elección?
7
Resolución:
Formas de escoger al:
Una persona tiene 4 anillos diferentes. ¿De cuántas maneras distintas puede colocarlos en sus dedos de la mano derecha poniendo un sólo anillo por dedo? Resolución:
Presidente
Vicepresidente
24
23
#
Tesorero
#
22
Otra forma: 24
V3
=
∴ V324
62
24!
_24 - 3i ! = 12
=
24! 21!
=
144 maneras
Intelectum 2.°
24 # 23 # 22 # 21! 21!
= 12
144
El 1.er anillo se puede colocar en cualquiera de los cinco dedos de la mano derecha. El 2.° anillo se puede colocar en cualquiera de los cuatro dedos restantes. El 3.er anillo se puede colocar en cualquiera de los tres dedos restantes. El 4.° anillo se puede colocar en cualquiera de los dos dedos restantes. Luego, los anillos pueden colocarse de: 5 # 4 # 3 # 2 = 120 formas diferentes.
A
probabilidades
EXPERIMENTO ALEATORIO
Nota
Un experimento aleatorio es una prueba cuyo resultado no es predecible de forma absoluta, pues estos dependen del azar. Ejemplos: • Lanzar un dado y observar el resultado. • Lanzar dos monedas simultáneamente y observar el resultado.
ESPACIO MUESTRAL
Aquellos experimentos cuyos resultados son totalmente predecibles, se denominan experimentos no aleatorios o determinísticos. Ejemplo: La suma de dos números impares.
Se llama espacio muestral al conjunto de todos los r esultados posibles de un determinado experimento aleatorio, denotado por W. Observación
Ejemplos: Para los experimentos anteriores, tenemos: W1 = {1; 2; 3; 4; 5; 6} W2 = {CC; CS; SC; SS}
A cada elemento del espacio muestral se le denomina punto muestral.
EVENTO Es cualquier subconjunto del espacio muestral ( W). Ejemplos: • Para el espacio muestral W1, sea el evento: A: obtener un número par & A = {2; 4; 6} • Para el espacio muestral W2, sea el evento: B: obtener al menos una cara & B = {CC; CS; SC} Atenc ión
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD Esta definición fue dada por Laplace a finales del siglo XVII, el cual se define de la siguiente manera: La probabilidad de un evento es la razón entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles, siempre que nada obligue a creer que algunos de estos sucesos debe tener preferencia a los demás, lo que hace que todos sean igualmente probables.
En un espacio muestral de n elementos, se puede denir 2 n eventos diferentes. Ejemplo: Sea el espacio muestral: W = {C;
S}
En él se pueden denir 2 2 = 4 eventos, los cuales son: φ; {C}; {S}; {C; S}
Es decir, sea A un evento de cierto experimento aleatorio, entonces: P(A) = n.º de casos favorables n.º de casos totales Recue rda
Ejemplo: Halla la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado. Resolución: Espacio muestral:
W = {1;
2; 3; 4; 5; 6}
&
Al espacio muestral W, se le denomina evento seguro y se cumple:
n(W) = 6
P(W) = 1
Sea el evento: A: se obtiene un número par al lanzar un dado. Entonces: A = {2; 4; 6} 1 W
& n(A) = 3
Nota
Luego, el número de casos totales es n( W) = 6 y el número de casos favorables es n(A) P(A) = n.º de casos favorables n.º de casos totales `
P (A) =
1 2
=
3 6
=
1 2
= 3.
Al conjunto vacío Q, se le denomina evento imposible y cumple: P(Q) = 0 Para todo evento A de un espacio muestral, se cumple: 0 # P(A)
# 1
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 4
63
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