03.- Separata Estrategias y Materiales Taller 2

DIRECCIÓN REGIONAL DE EDUCACIÓN LIMA METROPOLITANA

TALLER DIRIGIDO A DOCENTES MONITOREADOS DE LAS INSTITUCIONES EDUCATIVASDE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR DE LIMA

METROPOLITANA 2014 DÍA 2 ASESORES PEDAGÓGICOS DE MATEMATICA

2014

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I.

Concepto de Resolución de problema

El amplio consenso existente en torno a la importancia de la resolución de problemas en el aula matemática contrasta vivamente con la ausencia de acuerdo en relación con lo que ello significa. La resolución de problemas en general ha recibido distintas definiciones en función de la teoría psicológica que la ha abordado. Así, los teóricos de la Gestalt consideraron que el núcleo de la resolución de problemas consistía en la comprensión del problema como un todo. Su compromiso con la noción de insight les llevó a considerar la resolución de problemas como una actividad que requería la integración, de forma novedosa, de las respuestas anteriormente aprendidas. Para los teóricos del conductismo la clave residía en las conexiones entre las acciones ejecutadas por el sujeto que resuelve el problema y las condiciones bajo las cuales se manifiestan esas acciones. El análisis de la psicología del procesamiento de la información integra, en cierta medida, del conocimiento necesario para que la resolución de problemas tenga lugar. En el ámbito de las matemáticas, este paradigma inspira definiciones como la de Cawley y Miller (1986), quienes definen la resolución de problemas matemáticos (RPM) como la interpretación de la información y el análisis de los datos para alcanzar una respuesta aceptable o con objeto de sentar las bases para una o más alternativas posibles. En esta misma línea se sitúa la definición de Orton (1990, cit.en Nortes, 1992),quien concibe la resolución de problemas «como generadora de un proceso a través del cual quien aprende combina elementos del procedimiento, reglas, técnicas, destrezas y conceptos previamente adquiridos para dar soluciones a una situación nueva». II.

Modelos de resolución de problema

Polya (1945) Miguel de Guzmán (1994): Schoenfeld (1979) Mayer (1991)

Garofalo y Lester (1985)

1ª FASE Comprensión del problema Familiarízate con el problema.

2ª FASE Planificación

-Análisis -Exploración - Representación -Traducción -Integración - Orientación

-Diseño

Búsqueda de estrategias.

-Planificación

-Organización

3ª FASE Ejecución del plan Lleva adelante tu estrategia.

Implementación -Monitorización -Ejecución -Ejecución

4ª FASE Supervisión Revisa el proceso y saca consecuencias de él. -Verificación -Verificación

-Verificación

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EJEMPLO DE PROBLEMAS DE ALTA DEMANDA COGNITIVA: PROBLEMA 1: Bertha quiere completar el diagrama insertando tres números, uno en cada celda vacía. Ella quiere que los tres primeros números sumen 100, los tres del medio sumen 200 y los tres últimos sumen 300.

¿Qué número debe colocar en la celda que está en el medio del diagrama? A 50; B 60; C 70; D 75;

E 100.

PROBLEMA 2: Pinta de rojo los números, según la secuencia:

¿Qué observas? ¿Hay alguna regularidad en los números pintados? ¿Qué números han sido pintados? Fíjate en las cifras de los números de cada diagonal… PROBLEMA 3: El equipo de básquet está conformado por:

Hoy, Carlos (170 cm) se integra al equipo. ¿Su inclusión aumentará o disminuirá la estatura promedio del equipo? ¿Por qué? PROBLEMA 4: Si P, Q y R son los puntos medios de los segmentos respectivos, ¿cuánto vale el área sombreada?

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a) 3/4

b) 1

c) 4/5

d) 1/2

e) 15/2

PROBLEMA 5: En el aeropuerto hay una cinta transportadora de 500 metros de largo, que se mueve a 4 km/hora. Ana y Bruno suben simultáneamente a la cinta. Ana camina a una velocidad de 6 km/hora sobre la cinta, mientras Bruno permanece quieto. Cuando Ana llega al final de la cinta, ¿a qué distancia está de Bruno? A 100 m; B 160 m; C 200 m; D 250 m; E 300 m. PROBLEMA 6: Tony gana más que Leandro, pero menos que Manuel. Manuel gana más que Moisés y menos que José. Leandro gana más que Moisés y menos que José. ¿Quién gana menos? a) Manuel

b) Moisés

c) Tony

d) José

e) Leandro

PROBLEMA 7: La señora González cultiva fresas y arvejas. Este año ella cambió la forma rectangular del terreno dedicado a las arvejas a una cuadrada, aumentando uno de sus lados en 3 metros. Como resultado de este cambio, el terreno de las fresas disminuyó su área en 15 m2. ¿Cuál era el área del terreno de las arvejas antes del cambio? A) 5 m2; B) 10 m2; C) 9 m2; 2 2 D) 18 m ; E) 15 m . PROBLEMA 8: El diagrama muestra un tablero para el juego Canguro. Al comienzo el Canguro está en la Escuela (E). De acuerdo a las reglas del juego, el Canguro está en cualquier posición que no sea su Casa (C), él puede saltar a cualquiera de las dos posiciones vecinas. El juego termina cuando el Canguro llega a C. ¿De cuántas formas distintas se puede mover el Canguro desde E hasta C dando exactamente 13 saltos? A) 32; B) 12; C) 144D)64;

si

E) 1024.

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III.

LOS MATERIALES DIDÁCTICOS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

Durante la realización del taller se presentan los problemas y materiales implicados en la resolución de los mismos. A continuación se realizan una serie de tareas en las que se pretende la manipulación, construcción, observación, expresión de conjeturas y descubrimiento de distintas relaciones entre los conceptos implicados y soluciones de los problemas propuestos. La discusión y debate en gran grupo nos permitirá enriquecer y comunicar las distintas construcciones realizadas a la vez que se da lugar a un espacio de crítica sobre la viabilidad de las tareas, problemas y materiales presentados. Algunos de los materiales que se proponen: MATERIAL

Papel

Palillos y plastilina Palillos y garbanzos

Geoplano

DESCRIPCIÓN Papel de cualquier color uniforme, papel charol, papel vegetal, cartulina para poder doblar y pegar. En ocasiones es necesaria la goma de pegar para poder hacer modelos Palillos y/o pajitas de refrescos le longitudes inversas y bolas de plastilina para unir los extremos de los palillos/pajitas. Tablero de madera o plástico de forma cuadrada de 25x25 cm2 en el que se encuentren distribuidos 25 clavos de cabeza plana, clavados parcialmente formando una cuadrícula. Elásticos de caucho de varios colores. El número de clavos puede variar: 3x3, 4x4, n x n ,...

Mapas

Mapas de carreteras, planos urbanos.

Corcho

Corcho de embalar.

Pentominós

Doce figuras distintas formadas cada una de ellas por cinco cuadrados iguales.

CONCEPTOS TRABAJADOS        

Rectas y ángulos. Construcción de polígonos. Clasificación de cuadriláteros. Construcción de poliedros. Perpendicularidad. Paralelismo. Simetrías. Construcción de conceptos.

 Construcción de polígonos.  Construcción de poliedros.  Teorema de Euler.  Segmentos. Polígonos. Polígonos semejantes. Descomposiciones de polígonos.  Comprobaciones del teorema de Pitágoras.  Geometría del geoplano: Algoritmo para el cálculo del área en función del número de clavos que abarca el polígono.  Problemas de recorridos mínimos, caminos posibles, distancias reales y en línea recta, escala del mapa, etc.  Averiguar y comparar distancias en la línea recta entre poblaciones.  Estudiar itinerarios posibles. Semejanza.  Montaje de modelos  Teorema de Pitágoras.  Áreas equivalentes.  Concavidad y convexidad.

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FICHA N° 01:

ROMPECABEZAS GEOMÉTRICOS1 De: Azucena Riechert

Los rompecabezas geométricos son figuras geométricas compuestas por la unión de varias piezas. Estimulan la imaginación y son generadores de problemas. Estos rompecabezas representan para los chicos un gran desafío, ya que al plantearse como un juego, los invita a disfrutar, mientras aprenden cosas sin tener la intención. A continuación le mostramos algunos de los rompecabezas que usted puede encontrar en nuestra página 2.

El primer contacto con los rompecabezas es de juego libre. Luego, a través de actividades sugeridas, se los estimula a pensar, cuestionar, intercambiar ideas matemáticas, compartir diseños y generar diferentes problemas. Se les exige que observen, expliquen, describan y comuniquen ciertas formas y propiedades de las figuras, desarrollando así la habilidad de razonar. El siguiente rompecabezas “rectángulo” de 7 piezas es una muestra de ello. Mientras los chicos juegan, arman diferentes objetos como: casas, personas (fig. izq.), objetos abstractos, etc. Luego unen piezas para hacer otras del rompecabezas, las comparan, registran las soluciones mediante dibujos y trabajan visualmente con ángulos y lados. Pueden ampliar las piezas creando otras; por ejemplo, las piezas 2 y 4 unidas pueden ser una ampliación de la pieza 2. También se les pide que inventen su propio rompecabezas de 7 piezas. Los chicos disfrutan de crear rompecabezas para que otros los resuelvan. Este rompecabezas también permite, en grados superiores, abordar los siguientes conceptos: fracción, paralelismo, simetría y área. Incentive a sus chicos en este tipo de juegos y actividades para nutrir su pensamiento geométrico y así estarán en mejores condiciones de entender la geometría que se ve en la escuela. Para ello le proponemos que experimente el siguiente desafío:

 Recorte las piezas del rompecabezas y juegue libremente. 1

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1 Pierre van Hiele.”Desarrollando el pensamiento geométrico a través de actividades que comienzan como un juego.” TeachingChildrenMathematics 5(6):310-16, February 1999. 2 En nuestra página, en materiales para el aula, encontrará una Galería de Puzzles Geométricos muy interesantes para trabajar con los chicos.

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 Nombre todas las piezas del rompecabezas.  Construya una casa alta pero estrecha, con sólo dos piezas y luego, la misma casa, con sólo tres piezas; ahora una casa baja y ancha con dos piezas y con tres piezas; luego una casa con cinco piezas y una casa con seis piezas.  A parte del rectángulo, ¿qué otra pieza se puede formar con las siete piezas del rompecabezas?  ¿Qué piezas pueden ser hechas combinando otras piezas del rompecabezas? ¿Por qué? Explore diferentes maneras en que una pieza dada del rectángulo puede ser cubierta por dos o más piezas de las restantes.

FICHA II. IMÁGENES PARA MATEMATIZAR. De: BetinaZolkower Imagen 1: Escultura de ladrillos: Esta fotografía ha sido tomada por B. Zolkower en el PS1 Museum (Long Island City, Queens, NY)

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PREGUNTAS 1. ¿Cuántos ladrillos hay? 2. ¿Qué dimensiones tiene la construcción? 3. ¿Para qué está hecha? 4. ¿Cuál es el volumen de ladrillos? 5. ¿Qué volumen ocupa la construcción? 6. ¿Cómo se armó? 7. ¿Cuántas hileras tiene? 8. ¿Cuánto pesa? 9. ¿Se podrán llevar en una camioneta (peso, espacio)? 10. ¿Cuántas vistas se necesitan para reproducir la construcción? 11. ¿Qué superficie ocupa la construcción? 12. ¿Cuál es la altura? 13. ¿Qué regularidad hay en el número de ladrillos usados en cada pared? 14. ¿Qué función cumple la construcción? 15. ¿Cuál es el perímetro de la construcción? 16. ¿Por qué se usó ese ángulo de visión para sacar la foto?

SITUACIONES PROBLEMÁTICAS: 1) Si tuviera que cubrir el interior de la construcción ¿cuántos ladrillos necesitaría? ¿Se cubrirá con ladrillos enteros? 2) Un artista plástico quiere realizar esta obra: a) ¿Cuántos ladrillos requiere la construcción de la misma? b) ¿Podrá trasladar en el baúl de un auto mediano que tiene una capacidad de 0,5m³ aproximadamente? c) Atendiendo a la organización de ladrillos: c1- ¿Cuántos ladrillos hay en cada capa? c2- ¿Cuál es la mínima capa que se puede armar? c3- ¿Cuántos ladrillos tendrá la capa 20? ¿Y la 100? c4- Encontrar una fórmula que permita calcular el número de ladrillos para cualquier número de capa? d) d-1 ¿Qué área ocupa la construcción sobre el piso con una capa? ¿Y con dos capas? ¿Y con 20?. Generalizar para la capa n.

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MOLINILLOS (dibujo).

PREGUNTAS 1. ¿Cuántos cuadraditos sombreados tiene cada figura? ¿Cómo será la figura siguiente? ¿y la siguiente? 2. ¿Cómo están construidas? 3. ¿Son semejantes las figuras?¿En qué se parecen? 4. ¿Cómo aumentan? ¿Cuál es la regularidad? 5. ¿Qué pasa con el perímetro de las figuras? Calculá el perímetro de cada figura. ¿Cómo varía el perímetro de una figura a la otra? Sin dibujar ni construir, decí cuál es el perímetro de la próxima figura. ¿y de la Nº 22? 6. ¿Qué pasa con el área de las figuras? 7. ¿Área y perímetro aumentan de la misma forma? ¿Cuál aumenta más? Pareciera ser una sucesión ¿qué cantidad de cuadraditos pintados va a tener la próxima figura? ¿Cuántos cuadraditos pintados va a tener la figura número 50? ¿Y la figura n? SITUACIONES PROBLEMÁTICAS: 1) Esta es la vista superior de un complejo de departamentos. Cada cuadradito representa un departamento. La primera torre tiene dos pisos, la 2º torre, tres pisos y la 3º de cuatro pisos. ¿Cuántos departamentos tiene el complejo? Si se sigue construyendo con esta sucesión ¿Cuántos departamentos tendrá la torre n? 2) Observando las figuras: a) Completar hasta la sexta figura de la sucesión. b) ¿Cuántos cuadraditos de colores se necesitan para armar la décima figura de la sucesión? Y para la ubicada en el lugar 25? Y en la 100? c) Armar una posible fórmula. d) Algunas fórmulas posibles del patrón son: a) 8 + 4n, b) 4 (n + 3) – 4, c) 4 (2+n) ¿Podrías decir cómo se pensaron? ¿Podrías encontrar otras?

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3) Observando la sucesión de figuras: a) ¿Cómo aumenta el perímetro? ¿Y el área? b) Armar una gráfica para comparar los crecimientos. FICHA III. DEMOSTRACIONES VISUALES. AUTORAS: PATRICIA CUELLO-ADRIANA RABINO

Contenidos: Expresiones algebraicas - Identidades – Propiedades de los números naturales. ¿Qué son las “demostraciones sin palabras”?. Generalmente son dibujos o diagramas que ayudan al lector a ver por qué una proposición matemática en particular puede ser verdadera, como también para ver cómo uno puede empezar a demostrar que es verdadera. Muchos argumentan que las demostraciones sin palabras no son demostraciones verdaderas. Entonces, ¿qué son? La respuesta no es simple. James Robert Brown en el libro Philosophy of Mathematics: An Introduction to the World of Proofs and Pictures (Routledge, Londres, 1999) dice: “A los matemáticos, como al resto de la gente, les gustan las ideas inteligentes, en particular se deleitan con un dibujo ingenioso. Pero esta apreciación no acalla un escepticismo prevaleciente. Después de todo un diagrama es, a lo sumo, un caso particular, por lo tanto no se puede establecer un teorema general. Aún peor, puede ser categóricamente de falsas apariencias. Aunque no en forma universal, la actitud prevaleciente es que los dibujos no son más que ideas heurísticas; son psicológicamente sugestivas y pedagógicamente importantes, pero no demuestran nada. Quiero oponerme a este punto de vista y decir que los dibujos juegan un rol legítimo en la evidencia y la justificación, un rol que va más allá de lo heurístico. En síntesis, los dibujos pueden demostrar teoremas”.(Citado en la Introducción de “Proofswithoutwords II” de Roger B. Nelsen. Ed. TheMathematicalAssociation of America. 2000). Los problemas visuales permiten generalizar expresiones y verificarlas a través del dibujo. Si se tuvieran que demostrar estas expresiones desde el álgebra, habría que utilizar métodos de demostración de alto nivel, como es el caso del método de Inducción Completa (contenido que no corresponde a nivel medio). Además, este método permite demostrar igualdades entre expresiones algebraicas pero no así deducir dichas igualdades. ¿Cómo se puede implementar esta metodología?

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Teniendo en claro el objetivo se les entrega la imagen a los alumnos y se les pregunta qué les sugiere la situación. Analizada las figuras, pasan al trabajo (individual o en grupos) bajo la consigna de qué me dice este dibujo y de qué forma puedo expresar eso algebraicamente. En la puesta en común, con el aporte

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FICHA IV. ROMPECABEZAS EL ROMPECABEZAS EXAGONAL: ¿DÓNDE ESTÁ LA MATEMÁTICA? Extraído de Ivan Moscovich, Deviously Difficult Mind-Bending Puzzles, 2004.

Existen dos maneras de trabajar con este rompecabeza: dándoselo para hacer antes de trabajar con las preguntas sugeridas, o bien dándoles el rompecabeza armado y que vayan directamente a contestar las preguntas. Optamos por la primera Se reparten las piezas en colores a los alumnos para que armen libremente un exágono regular. Luego de realizado esto, los alumnos pueden copiar los distintos diseños que hayan surgido en papeles afiches para tenerlos a la vista de toda la clase. Posteriormente, los alumnos pasan a contestar las siguientes preguntas - que podrán seleccionarse de acuerdo al año escolar y a lo planificado curricularmente por el docente. Para poder hacer esto el docente debe realizar primero por si mismo la actividad a fin de anticipar posibles ideas y estrategias de sus alumnos y pensar su acción didáctica para llevarlos al máximo de sus posibilidades de razonamiento, comunicación y resolución de porblemas, de acuerdo al tópico involucrado en cada pregunta. El pedido de justificación de las afirmaciones que surjan, posiblemente primero de la visualización del rompecabezas y luego del uso de la medida, llevará a los alumnos a intentar pruebas basadas en las propiedades geométricas de las figuras y a la posibilidad de discutir condiciones necesarias y suficientes para la construcción de este rompecabeza. Contesten (individualmente o por grupos): 1. ¿Qué clases de triángulos hacen este rompecabezas? 2. ¿Cómo están relacionados unos con otros? 3. ¿Cómo construirías el rompecabezas con transportador? 4. ¿Cómo construirías el rompecabezas con regla y compás? 5. ¿Qué propiedades del exágono regular han usado en cada tipo de construcción? 6. Encuentren otras formas de hacer un exágono con estas piezas (¡existen al menos 15 maneras!)

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7. ¿Qué relaciones conoces de los tres tipos de triángulos entre sí que te ayudan a encontrar maneras de unirlos para construir el rompecabeza? ¿De cuántas maneras puedes hacerlo? 8. ¿Cuáles de esas formas son simétricas? ¿Cuáles no? 9. ¿Qué tipos de simetrías pudiste encontrar al solucionar el rompecabezas? 10. ¿Qué fracción del rompecabezas es roja (o está hecha con triángulos equiláteros rectángulos)? (Lo mismo para la amarilla -triángulos isósceles- y la verde -triángulos rectángulos). 11. a) Agranda el rompecabezas 4 veces es tamaño actual. b) Reduce el rompecabezas a ¼ del actual. c) Encuentra una regla para ampliar o reducir este rompecabezas a cualquier tamaño. - Sobre la base del estudio de este rompecabezas, diseña uno propio que sea: a) un rompecabezas exagonal diferente (con piezas diferentes) b) un octógono c) un pentágono A estos problemas podemos enriquecerlos presentando otros afines como los siguientes: MÁS SOBRE HEXÁGONOS: a) Hexágono: ¿Se puede cortar un pedazo de cartón con la forma de un hexágono regular dentro de 8 cuadriláteros congruentes? b) Diseños hexagonales

a) Dibuje el próximo diseño. b) ¿Cuántos corazones tiene? c) ¿Cuántos corazones tendría el décimo diseño? ¿Cómo lo sabe? Encuentre una fórmula que nos permita obtener el número de corazones de cualquier diseño como los de arriba. c) Hexágonos y triángulos: Un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen igual perímetro. Encontrar la razón entre sus áreas. d) Dos hexágonos regulares: Sin usar raíces, encontrar la razón de las áreas de los hexágonos inscriptos y circunscriptos en un mismo círculo.

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FICHA V. LA TABLA DE RAZONES Es una herramienta práctica que sirve para organizar información numérica. Con ella se pueden resolver situaciones problemáticas y cálculos “puros”, de usando multiplicación y división, con diversas estrategias. Se puede trabajar con números naturales, decimales, fraccionarios y porcentajes. La tabla de razones tiene muchas ventajas: Es una herramienta de cálculo muy flexible (se ajusta a las posibilidades de quien la usa); Es una manera simple de organizar números y de mantener un registro de las operaciones y de los resultados; crea un patrón visible que otros pueden analizar con facilidad y que también puede usar el maestro para evaluar el trabajo de sus alumnos, ya que muestra todos los pasos intermedios para el cálculo; y permite desarrollar conexiones entre f racciones, porcentajes y decimales, a la vez que relaciona estrategias de multiplicación y de adición.

A continuación se detallan algunas situaciones que se resuelven con ella y se ejemplifican soluciones posibles (que no son las únicas): 1.

En una caja hay 12 botellas. ¿Cuántas botellas hay en 4 cajas? ¿y en 6 cajas? ¿y en 28 cajas?

2. Si, 3785 kg de harina se colocan en bolsas de 25 kg ¿Cuántas bolsas se pueden preparar? ¿Sobran kg? 3. Cálculo de una división: 1772 : 47.

4. Cálculo de una multiplicación: 375 x 69.

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