03. Formulario de Relaciones

Formulario de Algebra I

Relaciones

Relaciones Definición de relación:

 R ⊂  A × B = {( x,  y ) /  x ∈  A,  y ∈ B}

Dominio de una relación:

 Dom[ R] = { x ∈  A / ( x,  y ) ∈ R}

Rango de una relación:

 Rg[ R] = { y ∈ B / ( x,  y ) ∈ R}

Relación Inversa:

 R ⊂  B ×  A 1  R − = {( y, x ) / ( x,  y ) ∈ R}

Composición de relaciones:

 R ⊂  A × B ∧ S ⊂  B × C  S o  R = {( x,  y ) / ∃  y ∈ B ∧ ( x,  y ) ∈ R ∧ ( y , z ) ∈ S }

Propiedades de la composición:

-

 Asociatividad:

(T  o S ) o R = T  o (S o R) -

Relación Inversa:

(S o  R )−1

=  R

−1

o

S

−1

Relaciones definidas

 R es una relación definida en A, ⇔  R ⊂  A 2 ∨  R ⊂  A × A  R es una relación definida en A, ⇔  R ∈ P ( A 2 ) Propiedades de las relaciones definidas:  R ⊂  A

2

-

Reflexividad:

 R es reflexiva ⇔ ∀ x :  x ∈  A ⇒ ( x, x ) ∈ R

-

No reflexividad:

 R no es reflexiva ⇔ ∃ x /  x ∈  A ∧ ( x, x ) ∉ R

-

 Arreflexividad:

 R es arreflexiva ⇔ ∀ x :  x ∈  A ⇒ ( x, x ) ∉ R

-

Simetría:

 R es simétrica ⇔ ∀ x∀ y ∈  A : ( x,  y ) ∈ R ⇒ ( y, x ) ∈ R

-

No simétrica:

 R no es simétrica ⇔ ∃ x∃ y / ( x,  y ) ∈ R ∧ ( y, x ) ∉ R

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Relaciones

-

 Asimetría:

 R es asimétrica ⇔ ∀ x∀ y : ( x,  y ) ∈ R ⇒ ( y, x ) ∉ R

-

 Antisimetría:

 R es antisimétrica ⇔ ∀ x∀ y : ( x,  y ) ∈ R ∧ ( y, x ) ∈ R ⇒  x = y

-

Transitividad:

 R es transitiva ⇔ ∀ x∀ y∀ z : ( x,  y ) ∈ R ∧ ( y, z ) ∈ R ⇒ ( x, z ) ∈ R

-

No transitividad:

 R no es transitiva ⇔ ∃ x∃ y∃ z / ( x,  y ) ∈ R ∧ ( y, z ) ∈ R ⇒ ( x, z ) ∉ R

-

 Atransitividad:

 R es atransitiva ⇔ ∀ x∀ y∀ z : ( x,  y ) ∈ R ∧ ( y, z ) ∈ R ⇒ ( x, z ) ∉ R

Relaciones de Equivalencia (~) 2

La relación  R ⊂  A es de equivalencia en A, si y solo si cumple la: -

Reflexividad:

∀ x :  x ∈  A ⇒ x ~ x

-

Simetría:

∀ x∀ y : x ~ y ⇒ y ~ x

-

Transitividad:

∀ x∀ y∀ z : x ~ y ∧ y ~ z ⇒ x ~ z

Clases de equivalencia:

Clase de equivalencia del elemento a ∈  A es el conjunto de todos los elementos de  A equivalentes a a :

K a = { x ∈  A / x ~ a } Conjunto de índices:

Sea  A ≠ φ  un conjunto dotado de una relación de equivalencia. Se denomina conjunto de índices a un conjunto formado por los representantes de cada clase de equivalencia. Es decir:

 I  = {a ∈  A / K a es una clase de equivalencia en  A} Conjunto cociente:

El conjunto formado por las clases de equivalencia se llama conjunto cociente de  A por la relación de equivalencia, donde  I  es el conjunto de índices:

 A

~

= {K u / u ∈ I }

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Relaciones

Partición de un conjunto:

Sean dos conjuntos  A ≠ Ø e  I  ≠ Ø tales que, cualquiera que sea elemento u ∈ I  , existe un subconjunto K u ⊂  A . Entonces el conjunto {K u  / u ∈  I } es una partición de  A si y solo sí: i.

∀u : u ∈ I  ⇒ K u ≠ Ø

ii.

u ≠ v ⇒ K u ∩ K v = Ø

iii.

∀a ∈  A, ∃ u ∈ I  / a ∈ K u

Relaciones de equivalencia definidas en un conjunto:

Si ~ es una relación de equivalencia definida en el conjunto  A ≠ Ø, entonces existe un subconjunto  I  ⊂  A , tal que cualquiera que sea u en  I  , existe K u ⊂  A : i.

u ∈ I  ⇒ K u ≠ Ø

ii.

a ~ a ' ⇔ a ∧ a ' ∈ K u

iii.

K u ∩ K v ≠ Ø ⇒ K u = K v

iv.

u ≠ v ⇒ K u ∩ K v ≠ Ø

v.

∀a ∈  A, ∃ u ∈ I  / a ∈ K u

Partición y relación de equivalencia: 2

 R ⊂  A {K u  / u ∈ I }: una partición de  A

(a, b ) ∈ R ⇔ a ∧ b ∈ K u ∃ u ∈  I  / a ∈ K u

-

Reflexibilidad: a ∈  A

-

Simetría: (a, b ) ∈ R

-

Transitividad: (a, b ) ∈ R ∧ (b, c ) ∈ R

⇒

⇒

a ∧ b ∈ K u

⇒

⇒

b ∧ a ∈ K u

⇒

a ∧ a ∈ K u ⇒

a, b ∧ c ∈ K u

(b, a ) ∈ R ⇒

a ∧ c ∈ K u

⇒

(a, c ) ∈ R

Relaciones de Orden 2

Orden Amplio: Sea  R ⊂  A ,  R es una relación de orden amplio en A si y solo sí cumple la:

-

Reflexividad:

a ∈  A ⇒ (a, a ) ∈ R

-

 Antisimetría:

-

Transitividad:

(a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ⇒ a = b (a, b ) ∈ R ∧ (b, c ) ∈ R ⇒ (a, c ) ∈ R

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Relaciones

Orden Parcial: Sea  R una relación de orden parcial de  A ⇔ existen pares de elementos

incomparables: ∃ a, ∃ b / (a, b ) ∉ R ∧ (b, a ) ∉ R Orden Total: Sea  R una relación de orden total de  A ⇔ no existen pares de elementos

incomparables:

a ≠ b ⇒ (a, b ) ∈ R ∨ (b, a ) ∈ R 2

Orden Estricto: Sea  R ⊂  A ,  R es una relación de orden estricto en A si y solo sí cumple

la: -

 Arreflexividad:

a ∈  A ⇒ (a, a ) ∉ R

-

 Asimétrica:

-

Transitividad:

(a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∉ R (a, b ) ∈ R ∧ (b, c ) ∈ R ⇒ (a, c ) ∈ R

El signo de preceder:

Sea (a, b ) ∈ R y se puede igualmente denotar por aRb y con el signo de preceder a

p

b.

Con esta notación se tiene: - Reflexividad: - Antisimetría: - Transitividad: - Linealidad:

a ∈  A ⇒ a p a a pb∧b p a ⇒ a =b a pb∧b p c ⇒ a pc a ≠ b⇒ a pb∨b p a

Relaciones Funcionales

Sea  R una relación binaria que  R ⊆  A × B , que es lo mismo decir de que  R es una relación o aplicación de  A en  B :  R :  A →  B , Si  R cumple dos condiciones: -

Condición de Existencia:

∀a ∈  A, ∃ b ∈ B / (a, b ) ∈ R

-

Condición de Unicidad:

(a, b) ∈ R ∧ (a, c ) ∈ R ⇒ b = c

Se dice que esta relación  R que cumple estas dos condiciones, se llama Función, Aplicación o Transformación Lineal y se denota por  f  :

 f  :  A →  B

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