03.- Curvas de Remanso

TRABAJO: UNIVERSIDAD JOSE FAUSTINO SANCHEZ CARRION

“CURVAS DE REMANSO”

FECHA MARZO 2014

CURVAS DE REMANSO Se conoce como curvas de remando o ejes hidráulicos, a los perfiles longitudinales que adquiere la superficie libre del líquido en un canal cuando se efectúa un escurrimiento bajo las condiciones de flujo gradualmente variado. Geométricamente, el perfil de la superficie libre está definido por los tirantes reales que se tenga a lo largo del escurrimiento. Basándose en observaciones empíricas, se ha logrado obtener los diferentes tipos de curvas, cuya forma depende de las condiciones de tirantes y pendientes que se tenga en cada caso.

CLASIFICACION Y NOMENCLATURA DE LAS CURVAS DE REMANSO: Tipos de pendiente de fondo (S0): 1) Pendiente suave: Se dice que la pendiente es suave, cuando para las condiciones hidráulicas (Q) y características del canal (b, T, n, S 0) dadas, se generan un tirante normal (Yn) mayor que el crítico (Yc); esto es Yn > Yc, también S0 > Sc. 2) Pendiente crítica: Es aquella pendiente de fondo con la cual se satisface, para las condiciones dadas, que el tirante normal es igual al tirante crítico. Aquí se cumple: Yn = Yc S0 = S c 3) Pendiente fuerte: Es aquella con la cual, para las condiciones dadas, se produce un tirante normal menor que el crítico. En esta se cumple que: Yn < Yc S0 = S c

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4) Pendiente horizontal: Es aquella en la cual S0 = 0 y como consecuencia el tirante normal se hace infinito, es decir:

1 2/ 3 1 /2 V= R S n Si

S=0 → v =0

Además de la ecuación de continuidad: Si

Q v = =0→ A=∞→ Y n=∞ A

5) Pendiente adversa: Es aquella en la cual el líquido trabaja en contra de la gravedad, ya que el fondo del canal (en comparación con un plano horizontal), aumenta en el sentido del flujo, es decir la pendiente es negativa. El tirante Yn no existe en este tipo de pendiente por no tener significado físico, lo cual se observa al sustituir el valor negativo de S 0 en la ecuación:

1 Q= A R2 /3 S 01 /2 n Si

S 0 es negativo → √ S 0 = imaginario

ZONAS DE GENERACION DE LAS CURVAS DE REMANSO: a. Zona 1 Se dice que una curva de remanso se presenta en la zona 1, cuando el tirante real de escurrimiento posee valores mayores que el normal y el crítico, pudiendo ser éste mayor que aquel o viceversa.

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Es decir, Donde:

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y > yn , y > y n y n > y c ó y c> y n

b. Zona 2 La curva de remanso se localiza en la zona 2, cuando el tirante real del flujo se encuentra comprendido entre el tirante normal y el crítico, pudiendo ser:

yc< y < yn ó yn < y < yc

c. Zona 3: La curva de remando se localiza en la zona 3, cuando el tirante real posee valores menores que el normal y el crítico, pudiendo ser ese mayor que aquel o viceversa, es decir:

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y < yn , y < y n Siendo:

y n > y c ó y c> y n

Tomando en consideración la clasificación realizada por Bakhmeteff, de las curvas de remanso basada en el tipo de pendiente y las zonas de generación del perfil, se tienen las curvas M1, M2, M3, C1, …, A 2, A3, las mismas que se muestran en la siguiente tabla:

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De acuerdo con los tipos de pendientes, se sabe que el tirante normal, en las curvas H, es infinito, mientras que en las curvas A, no es real, por lo cual en ambos casos, no puede existir ninguna curva de remanso en la zona 1, luego es imposible que existan las curvas H1, A1; de otro lado la C2, no es una curva propiamente dicha sino más bien una recta (flujo crítico uniforme). De este análisis se desprende que de las 15 curvas de remanso aparentes que se puedan generar, en realidad solo se tienen 12 curvas.

PROPIEDADES REMANSO:

GENERALES

DE

LAS

CURVAS

DE

Las siguientes propiedades son comunes a todas las curvas: 1. Las curvas de que tienen el tirante normal Y n se acercan a ella asintotáticamente. En efecto:

Si y tiende a Yn el valor de SE tiende a S0 lo que hace que:

Y por lo cual:

Esto significa que el perfil del flujo es paralelo al fondo del canal, es decir, que no se puede cortar nunca a la línea del tirante normal pero puede confundirse con ella en régimen uniforme (curvas M1, M2, C3, S2, S3).

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Las curvas que tienden al tirante normal se acercan a ella asintotáticamente, hacia aguas arriba para pendientes menores que la crítica, y hacia aguas abajo para pendientes superiores a la crítica. En otras palabras cuando una singularidad rompe la uniformidad del escurrimiento, el régimen que se establece lejos de ella es necesariamente uniforme. Una singularidad hará sentir sus efectos hacia aguas arriba en régimen subcrítico y hacia abajo en régimen supercrítico. Esta profundidad resulta muy importante para los cálculos de la curva de remanso, puesto, que ella se hará, desde la sección de control hasta una sección en la que el tirante difiera en uno o dos por ciento respecto al tirante normal. 2. Las curvas que tienden al tirante crítico Y c se acercan a ella, en este punto, en forma perpendicular a la línea de tirante Y c. En efecto, si y tiende a yc el valor de F tiende a 1, lo que hace que:

y por lo cual:

Esto es, el perfil del flujo se vuelve vertical en la proximidad del tirante crítico (curvas M2, S2, H2, A2). Esto significa que si el perfil se desarrolla en un régimen supercrítico ocurre una discontinuidad, presentándose el resalto hidráulico antes de que y alcance el valor de yc(curvas M3,H3,A3), por lo contrario si el perfil se desarrolla en régimen subcrítico, dicho perfil logra una gran curvatura al aproximarse y al valor

yc para volverse vertical en el punto en que y = yc(curvas (M2, H2, A2). 3. Cuando el tirante y tiende a ser muy grande las curvas tienden a ser tangentes a una horizontal. EN efecto, si y tiende al infinito entonces SE y F2 tienden a 0, es decir:

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y por lo cual:

que corresponde a una línea horizontal que forma un ángulo θ (sen θ = S0) con el fondo del canal. Esto significa que la superficie del agua es asintotática (curvas H2, A2).

EJEMPLOS PRACTICOS DE CURVAS DE RAMANSO: En la siguiente figura se presentan algunos ejemplos prácticos de curvas de remanso o perfiles del flujo, y a continuación algunos comentarios de dichos perfiles:

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1. Perfiles tipo M: Representa a la curva de remanso más común, este es el más importante de todos los perfiles de flujo desde el punto de vista práctico. Ejemplos típicos de perfil M1 son el perfil detrás de una represa, vertedero, compuertas y otros accidentes naturales, como estrechamientos y curvas. Su longitud puede ser de varios kilómetros extendiéndose hacia aguas arribe desde la estructura de control hasta una sección en la que el tirante difiera en uno o dos por ciento respecto al normal. Las inundaciones que se producen en las zonas bajas de Costa Rica, como en la Zona Atlántica, son producidas por este tipo de curvas de remanso, Al crecer las mareas actúan como represas que generan curvas de remanso M1 de gran longitud en los cauces de los ríos, produciendo inundaciones de grandes áreas. El perfil M2 ocurre en pendiente suave, cuando el tirante se reduce en el sentido del flujo, por ejemplo en un estrechamiento de la sección o en la proximidad de una rápida o una caída. El perfil M3 se puede encontrar aguas debajo de un cambio de pendiente de supercrítica a subcrítica, o después de la descarga de una compuerta con pendiente suave. Está regido por las condiciones aguas abajo y termina normalmente en un resalto hidráulico. Los perfiles M2 y M3 son muy cortos en comparación con el M1. 2. Perfiles tipo S: El perfil S1 es producido por una estructura de control, como presa o compuerta, situada en un canal de gran pendiente, también se produce cuando el resalto es ahogado, principia después de un resalto hidráulico y termina en la obstrucción. El perfil S2 se encuentra normalmente a la entrada de un tramo de gran pendiente o aguas debajo de un cambio de pendiente de suave a fuerte. Su longitud es generalmente corta, extendiéndose desde la sección de control (tirante crítico) hasta aguas abajo, hasta una sección en la que el tirante es mayor en uno o dos por ciento respecto del tirante normal. El perfil S3 se puede producir aguas abajo de una compuerta, situada sobre un canal de gran pendiente, o aguas debajo de la intersección de un cambio de un tramo con gran pendiente, a otro con menos pendiente pero siempre en pendiente fuerte.

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3. Perfil tipo C: En este tipo de perfiles hay solamente dos, debido a que los tirantes normal y crítico coinciden, estos deberán ser aproximadamente horizontales, pero la inestabilidad propia del estado crítico se manifiesta en la forma de ondulación apreciable. 4. Perfiles tipo H: Estos son los casos límites de los perfiles tipo M cuando el fondo del canal se hace horizontal. Los perfiles H2 y H3 corresponden a los perfiles M2 y M3 pero ningún perfil H1 puede establecerse ya que yn es infinito. 5. Perfiles de tipo A: Los perfiles A no ocurren frecuentemente, pues la pendiente S0 negativa es rara. El perfil A1 es imposible, ya que el valor de yn no es real y los perfiles A2 y A3 son similares a los perfiles H2 y H3, respectivamente..

PROCEDIMIENTOS PARA DETERMINAR EL TIPO DE CURVA DE REMANSO: Este procedimiento permite predecir la forma general del perfil del flujo, lo cual constituye una parte muy significativa en todos los problemas de diseño de una canal para un flujo gradualmente variado. Las pautas que se siguen son: 1. Dibujar el perfil longitudinal del canal distorsionando las escalas vertical y horizontal. Dado que un canal es una obra esencialmente lineal se deberá tener una escala vertical mucho mayor que la horizontal, para hacer apreciables las fluctuaciones de la curva de remanso o eje hidráulico.

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2. En el perfil longitudinal marcar las singularidades como los cambios de pendiente, forma de sección transversal, cambio de rugosidad, cambio de dimensiones, etc. Y diferenciar los distintos tramos que se originan, tanto por cambios de pendiente como por cambios del tipo de material del fondo del canal

3. Calcular yn y dibujar la línea teórica de profundidad normal para cada tramo, de acuerdo con los datos particulares en cada uno. Hay que tener presente que de acuerdo con la ecuación de Manning conjugada con la de continuidad, se tiene:

Q=

1 A5 /3 1/2 A5 Q ∙ n S → f y = ( n ) 2 = 1/ 2 n p2 /3 p S

( )

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yn depende de la forma de la sección transversal, de la pendiente y del coeficiente de rugosidad, por lo cual si cálculo será imprescindible toda vez que exista una variación de estos valores.

4. Calcular yc y dibujar la línea teórica de profundidad crítica, para las secciones transversales que se tengan. Recordar que de acuerdo con la ecuación para el flujo crítico, se tiene: 3

3

A Q2 A c Q2 = → f ( y c )= c = g Tc Tc g Yc depende únicamente de la forma de la sección transversal, por lo que mientras esta se mantenga constante en todos los tramos aun cuando la pendiente o el coeficiente de rugosidad varíen, el tirante crítico es el mismo para todos los casos.

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5. Definir y ubicar las posibles secciones de control que se presenten a lo largo de los tramos en estudio. Recordad que una sección de control, es físicamente ubicable, y en ella el tirante se puede calcular en función del caudal. La ubicación de una sección de control, es de suma importancia para el cálculo de la curva de remanso, ya que la curva de remanso se calcula siempre iniciando de la sección de control hacia aguas arriba o hacia aguas abajo a partir de ella.

6. Establecer las condiciones de pendiente de fondo para cada tramo, comparando el tirante normal con el tirante crítico. Con esto se obtiene la letra de la curva (M, C, S, H o A).

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7. Establecer la zona de generación y por lo tanto el número de la curva (1, 2 o 3), comparando el tirante real (obtenido en la sección de control) con el normal y el crítico.

8. A partir de la 6 y 7 definir los tipos de curva, con su letra y número, para con esto determinar su geometría. Definido la geometría del perfil y partiendo de la profundidad real en cada sección de control, trazar en cada tramo un perfil continuo correspondiente.

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9. Observar si en algún lugar del perfil se presenta el resalto hidráulico. Cuando el flujo es supercrítico en la porción aguas arriba de un tramo pero subcrítico en la porción aguas abajo, el perfil del flujo tiene que pasar a la profundidad crítica en algún lugar del tramo; esto se realiza formándose el resalto hidráulico.

SECCION DE CONTROL: Se define como sección de control a aquella sección particular de un canal, en la que la profundidad del flujo es conocida o puede ser controlada a un nivel requerido, Este tipo de sección se cumple con dos condiciones: 1. Es físicamente ubicable. 2. El tirante real se puede calcular en función del caudal.

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Una sección crítica es una sección de control debido a que se puede establecer una relación definida entre el tirante crítico y el caudal a partir de la ecuación general del flujo crítico. Para el caso de una sección rectangular, se obtiene que la velocidad crítica es:

V c =√ g y c De otro lado, si en la superficie libre de una canal se produce una onda superficial, esta adquiere una celeridad c, es decir, una velocidad con respecto a la corriente, que aproximadamente es igual a:

c=√ gy Se comparan los valores de la velocidad y la celeridad, se observa que en el estado crítico, la velocidad es igual a la celeridad de dichas ondas. Si el régimen es subcrítico, la velocidad del flujo es menor que la crítica y que la celeridad de dichas ondas, por lo tanto, en este régimen, es posible la transmisión de disturbios hacia aguas arriba; lo contrario acontece con el régimen supercrítico en el que los disturbios solo se transmiten hacia aguas abajo. Un mecanismo de control como una compuerta puede hacer sentir su fluencia hacia aguas arribe, es decir, el régimen subcrítico está sujeto a un control desde aguas abajo. Por el contrario, el régimen supercrítico no puede quedar influenciado por lo que ocurra aguas abajo, y solo puede quedar controlado desde aguas arriba. Para el cálculo del perfil del flujo variado se establece la sección de control que proporcione las condiciones iniciales y se procede a calcular hacia aguas arriba de la sección de control o hacia aguas abajo, según que el régimen en que se desarrolla el perfil sea subcrítico o supercrítico. Algunos ejemplos de secciones de control son las presas vertederos y compuertas así como también la intersección bien definida de la línea de perfil de flujo y la correspondiente al tirante crítico, esto último ocurre en el punto de cambio de pendiente de dos tramos, el de aguas arriba de pendiente suave y el de aguas debajo de pendiente fuerte, como se muestra.

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CURVAS DE REMANDO POR CAMBIOS DE PENDIENTE: En el diseño de canales se pueden presentar curvas de remanso en pendientes suaves y fuertes; aunque pueden existir las pendientes horizontales, adversa y crítica, es poco probable que como diseñador, lo podamos incluir en algún trabajo. Por lo cual, como la ilustración del movimiento gradualmente variado, se presenta una breve discusión de los 6 perfiles del eje hidráulico, generados exclusivamente por cambio de la pendiente del fondo. Es decir, que se sipone que todas las otras características permanecen constantes. Los seis casos generales son:      

De De De De De De

pendiente pendiente pendiente pendiente pendiente pendiente

suave a pendiente más suave. suave a pendiente menos suave. suave a pendiente fuerte. fuerte a pendiente menos fuerte. fuerte a pendiente más fuerte. fuerte a pendiente suave.

1.- DE PENDIENTE SUAVE A PENDIENTE MÁS SUAVE Sean

yn 1 ,

yn 2

los tirantes normales en cada uno de los dos tramos

(figura 5.18). En el primer tramo, por ser pendiente suave (flujo subcrítico), se cumple que, yn1 > yc, En el segundo tramo, por ser pendiente más suave (flujo subcrítico), también se cumple que yn2 > yc. En tirante normal del segundo tramo, es mayor que la del primero, porque su pendiente es menor que la del primero. Por lo tanto, yn2 > yn1.

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Como toda singularidad (en este caso, el cambio de pendiente) en un flujo subcrítico, crea efectos hacia aguas arriba, por lo que en el segundo tramo se produce un flujo uniforme, mientras que en el primer tramo se presenta una curva M1. La curva M1 se calcula de la sección de control que es el cambio de pendiente, con un tirante real yn2, hacia aguas arriba hasta un y1 = 1.02yn1.

2.- DE PENDIENTE SUAVE A PENDIENTE MENOS SUAVE

Por consideraciones similares al caso 1 se tiene que:

yn2 < yn1

En ambos tramos se cumple que:

yn1 > yc (pendiente suave) yn2 > yc (pendiente menos suave)

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Como toda singularidad (en este caso, el cambio de pendiente) en un flujo subcrítico, crea efectos hacia aguas arriba, por lo que en el segundo tramo se produce un flujo uniforme, mientras que en el primer tramo se presenta una curva M2. La curva M2 se calcula de la sección de control que es el cambio de pendiente, con un tirante real yn2, hacia aguas arriba hasta un y1 = 0.98 yn1.

3.- DE PENDIENTE SUAVE A PENDIENTE FUERTE

Sean yn1, yn2 los tirantes normales en cada uno de los dos tramos (figura 5.20). En el primer tramo, por ser pendiente suave (flujo subcrítico), se cumple que, yn1 > yc. Para pasar de un flujo subcrítico (primer tramo) a un flujo supercrítico (segundo tramo), en el cambio de pendiente, que es la sección de control, se produce el yc. Como toda singularidad (en este caso, el cambio de pendiente) en un flujo subcrítico, crea efectos hacia aguas arriba, en el primer tramo se presenta una curva M2. La curva M2 se calcula de la sección de control con un tirante real yc, hacia un y1 = 0.98yn1.

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Como toda singularidad (en este caso, el cambio de pendiente) en un flujo supercrítico, crea efectos hacia aguas abajo, en el segundo tramo se presenta una curva S2. La curva S2 se calcula de la sección de control con un tirante real yc, hacia aguas abajo, hasta un y1 = 1.02yn2.

4.- DE PENDIENTE FUERTE A PENDIENTE MENOS FUERTE

Sean yn1, yn2 los tirantes normales en cada uno de los dos tramos (figura 5.21). En el primer tramo, por ser pendiente fuerte (flujo supercrítico), se cumple que yn1 < yc. En el segundo tramo, por ser pendiente menos fuerte (flujo supercrítico), también se cumple que yn2 < yc. El tirante normal del segundo tramo, es mayor que la del primero, porque su pendiente es menor, por lo tanto, yn2 > yn1. Como toda singularidad (en este caso, el cambio de pendiente) en un flujo supercrítico, crea efectos hacia aguas abajo, por lo que en el primer tramo se produce un flujo uniforme, mientras que en el segundo tramo se

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presenta una curva S3. La curva S3 se calcula de la sección de control que es el cambio de pendiente, con un tirante real yn1, hacia aguas abajo hasta un y1 = 0.98n2.

5.- DE PENDIENTE FUERTE A PENDIENTE MAS FUERTE

Por consideraciones similares al caso 4 se tiene que: yn1 > yn2 (figura 5.22)

En ambos tramos se cumple que: yn1 < yc (pendiente fuerte) yn2 < yc (pendiente más fuerte)

Como toda singularidad (en este caso, el cambio de pendiente) en un flujo supercrítico, crea efectos hacia aguas abajo, por lo que en el primer tramo se produce un flujo uniforme, mientras que en el segundo tramo se presenta una curva S2. La curva S2 se calcula de la sección de control que

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es el cambio de pendiente, con un tirante real yn1, hacia aguas abajo hasta un y1 = 1.02 yn2.

6.- DE PENDIENTE FUERTE A PENDIENTE SUAVE

Sean yn1, yn2 los tirantes normales en cada uno de los dos tramos (figura 5.23). En el primer tramo, por ser pendiente fuerte (flujo supercrítico), se cumple que, yn1 < yc.

En el segundo tramo, por ser pendiente suave (flujo subcrítico), se cumple que yn2 > yc.

El tirante normal del segundo tramo, es mayor que la del primero, porque su pendiente es menor, por lo tanto, yn2 > yn1.

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Para pasar de un flujo supercrítico (primer tramo), a un flujo subcrítico (segundo tramo), se debe producir un resalto hidráulico, lo que no se conoce de antemano es su ubicación, lo que se consigue sólo realizando algunos cálculos previos.

Una forma práctica de determinar la ubicación del resalto hidráulico, es con el siguiente proceso: 1. A partir del yn1 (tirante normal del primer tramo, el de mayor pendiente), calcular el conjugado mayor y2. 2. Comparar y2, con yn2 (tirante normal en el segundo tramo, el de menor pendiente): 

Si y2 > yn2 el resalto es barrido (figura 5.24) y se ubica en el tramo de menor pendiente (segundo tramo). Antes del resalto se presenta una curva M3, La curva M3, se calcula de la sección de control que es el cambio de pendiente, con un tirante real yn1, hacia aguas abajo hasta un y1 = y’1. El tirante y’1, debe recalcularse a partir del tirante conjugado mayor conocido y’2 = yn2.

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

Si y2 = yn2 el resalto es claro (figura 5.25) y se inicia justo en el cambio de pendiente, en este caso no se presenta ninguna curva de remanso.



Si y2 < yn2 el resalto es ahogado (figura 5.26) y se ubica en el tramo de mayor pendiente. Después del resalto y antes del tirante conjugado mayor y2, del tramo con mayor pendiente, con el tirante normal yn2 del tramo con menor pendiente. La curva S1, se calcula de la sección de control que es el cambio de pendiente, con un tirante real yn2, hacia aguas arriba hasta un y1 = y2.

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