03. Constantes de Tempo

BC1707: Métodos Experimentais em Engenharia 1.

8 µ 20 

Umcapacitorde

UFABC

Resolução Lista 03 (Marcos) v1.0

1 Ω

 ,inicialmente  ,i nicialmentedescarregado, descarregado, éconectado é conectadoem emsérie série aum a umresistor resistor de

 fontedealimentaçãode

.Pergunta-se:

4  1

eambosauma

a) Quaissãoacorrenteetensãonocapacitorimediatamenteapósaconexãoàfontedealimentação? b) Quaissãoacorrenteetensãonocapacitor

çã c)

apósaconexão? apósaconexão?

Qualéatensãonocapacitorapós minuto? minuto?

Como todos os elementos estão ligados em série, eles formam uma malha fechada. Assim, de acordo com a segunda lei de Kirchhoff:

⇒++== ⇒+ =   ⇒  +/1  =1 / ⇒  (/ ) =  / ⇒∫⇒ / ==∫/ +  −−/   ⇒   =+  0 = 0 V = = − /  = =(1 )   =  −−/       0 = 2 0 1   = 0 V    −−/) ≈= 72,087µAV 0 2×10 −− /−−)/V ⇒ 04 =0,=20(1 =0, =20(1 02×10   A  604 =20(1 =0,02×10−/−−/−)/≈ ≈191,92,1VµA

Como sabemos que

, obtemos

. Logo, tomando a constante de tempo

:

Substituindo os valores, resultamos com:

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Umcapacitorde

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10 0 µ 2 ,2  1 Ω 10 emsériecomumresistorde

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5

foitotalmentecarregadoporumafontedetensão.

 Atensãodealimentaçãofoientão desconectadaeocapacitorsedescarregousobreoresistor.Após minutos,a tensãomedidasobreocapacitorfoide

.Pergunta-se:

a) Qualeraatensãodafontedealimentação? b) Qualeraatensãonoresistor

çã c)

minutosapósafonteserdesconectada?

Estimeemquantotemposedaráadescargadocapacitor.

Para responder tais perguntas, precisamos primeiramente conhecer a tensão no capacitor. Similarmente ao

⇒++=0=0 ⇒+1  =0 ⇒1 = 1 ⇒∫  =∫  ⇒l⇒n||==−/+  0 = =   =−/ =  5 ×60 s =22,2 V = 2 ,2  ≈30 V −×/ =10 ×60 s 60 ≈30−/ ≈16,46 V  ≈0, 0 5  3  =−/=0,05 ⇒≈3=3×10  s =50 min

exercício anterior, temos:

Sabemos que se

, então

a) Assim, como

b) Quando

. Logo, tomando a constante de tempo

, temos:

, temos:

c) Admitindo uma descarga eficaz do capacitor quando aproximado de

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:

, teremos decorrido um tempo

, pois:

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2µ=100 1 −. 

3.  Aequaçãodecargadeumcapacitorde Pede-se:

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édadapor:

a) QualovalordaconstantedetempodocircuitoRC?

b) Qualéaexpressãodacorrentedecargadocapacitor?

çã =/ c)

Qualéaexpressãodavariaçãodetensãonosterminaisdocapacitor?

Utilizando como base a solução genérica da tensão no capacitor do exercício 1:

como

 =(1−/)  =(1−/) = 50.10 0 =20 µs  =/  = 10 −. =0,002−. A 50.0 0 =100/  = 2×1010 − 1 −. =0,05 1 −. GV , temos que:

a) Comparando a equação genérica com a equação do enunciado, obtemos:

b) Como

, temos que:

c) A tensão de carga no capacitor é dada pela equação do início, onde

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50 µ

Nafigura1estãorepresentadasasformasdeondadetensãonocapacitorde

enoresistordocircuitoRC,

quandoachavedocircuitoéfechada,comdoisvaloresdiferentesderesistência. Pede-se:

a) Determine as constantes de tempo correspondentes a cada caso. Avalie as incertezas associadas a estes valores,deacordocomométodoutilizadoparaobtê-los.

 =10 

b) Determineosvaloresdatensãoedacorrentenocapacitorpara c)

 ,emambososcasos.

Forneça a expressãoda variação da tensãono capacitor para o caso emque o circuito tem constante de tempomaior(respostamaislenta)

Figura1.Formasdeondaregistradasaosefecharachavedocircuito,paraastensõesnocapacitorenoresistor

çã

paradoisvaloresdiferentesderesistência.

a) Quando a chave é fechada, o capacitor é carregado. Portanto, no gráfico ilustrado na figura 1, a forma de onda do capacitor é vermelha, enquanto que do resistor é azul. Sabemos também a solução para a equação

 =(1−/) = ln 1  2,8s;4 V 5,6 s;4 V  =ln 12,8 s46 V ≈2,549 s  =ln15,6 s46 V =2 ≈5,097 s

diferencial da tensão no capacitor em carga:

Com isso, podemos isolar a constante de tempo:

e utilizar quaisquer pontos legíveis das curvas vermelhas do gráfico para encontrar seu respectivo valor médio como, por ex., o ponto inferior (2):

  para a curva superior (1) e o ponto

  para a curva

e estimar sua respectiva incerteza por propagação de erro:

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       =±√    +          ⇒ =±    +()ln1      ∴ ≈±2,459 s 02,,28 ss +6 V4 V0,2lnV1  46 V  ≈±⌈0,285 s⌉ =±0,3 s   ∴ ≈±5,097 s 05,,26 ss +6 V4 V0,2lnV1  46 V  ≈±⌈0,498 s⌉ =±0,5 s  == 25,,51±0,±0,35  ss           =  / =    /      1100ss ≈5≈ 50×10,8 V − · 65,8 ≈4,0 mA  1100ss ≈5,≈ 50×102 V − · 65,2 ≈7,8 mA 2,5 5,1  =  =  −/  =0,=61(21−/−,/,)  =0,=60(5188 −−//,,) − /  ,  − /  ,       1 0 s =6 ( 1  )≈5 , 8 9 V  1 0 s =6 ( 1  )≈5 , 1 6 V      10 s = 6·50×102,5 − −/, ≈2,20 mA  10 s = 6·50×105,1 − −/, ≈8,28 mA resultando com:

b) De acordo com o gráfico, como

, temos que:

c) De acordo com a expressão de tensão acima e com a expressão para corrente:

temos que:

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Umalunomediucomummultímetro,acada

25

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segundos,ovalordatensãonumcapacitorde

10 0 µ

sendo

carregado,obtendoosresultadosdatabela1.Noentanto,oalunoseesqueceudemedirovalordaresistênciado circuitoRCeovalordatensãodafontedealimentação. Determine,apartirdosdadosexperimentais,essesvaloresquefaltavamnorelatóriodoalunoesquecido.

0 112,,,196073166 333,,,159792456 444,,,135784959 444,,,67876871

Tabela1.MedidasdeTensão×Tempoemperíododecargadecapacitor

2:05 51:1:14050 2:2:2:035505 3:3:4:241050 4:5:3050 Tempo

( 

çã

 )

Tensão(   )

De acordo com a expressão para a tensão de um capacitor sendo carregada:

temos que:

 =(1−/)  =      ln 1    ⇒{ // == ⇒ =  ⇒ ln1  = ln1                   ⇒ln[1   ]=ln[1   ]                 ⇒1   =1   25 s; 1,101 V 50 s; 1,976 V

Assim, escolhendo duas coordenadas da tabela, podemos encontrar o valor da tensão alimentação. Tomando então Fernando Freitas Alves

 e

, temos:

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

  da fonte de

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11 ,976 =1  1,101/ =1  1,101  1 , 9 7 6 2 , 2 0 2 1 , 1 0 1 ⇒1  =1  +  ⇒ 1,101  2,202 + 1,976 =0 ⇒1,101 + 11,1,90762,1 202 =0 ⇒= 2,2021,976 ≈5,36V 156 275 s; 4,7 7 V 300 s; 4,861 V 41 ,861 =1  4,7 7/ ⇒≈5,18 V   =0,9999 =  = ln 1  ≈106,1 s 106,1 − =106,1 kΩ ≈ 1000×10

É válido notar que esse valor é apenas uma aproximação, pois o mesmo pode mudar para combinações de pontos diferentes (dentro das

 combinações possíveis) devido às aproximações adotadas na aquisição. Para

o último par ordenado, por exemplo,

 e

o que é um valor mais exato (pode ser verificado se encontrar o

, temos:

  da reta que relaciona a linearidade da

equação logarítmica com a constante de tempo – neste caso, obtém-se um

).

O valor da resistência pode ser encontrado pela relação com a constante de tempo:

onde a constante é dada por:

com valor médio de cada ponto da tabela:

Logo:

O resultado da aproximação encontra-se na figura abaixo:

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6.  As formas de ondas da figura 2 representam a variação de carga e corrente no capacitor para duas posições diferentesdachavenocircuito Pede-se:



a) Relacioneasfiguras(a)e(b)comasrespectivasposiçõesdachavenocircuito:1ou2.Explique. b) Determineovalordaresistência . c)

Determineovalordatensãodealimentação.

=5

d) Qualseriaatensãoindicadanovoltímetroem

 ,nascondiçõesdafigura2(a)?

(a)

(b)

Figura2.Formasdeondaregistradasparaascargasecorrentesnocapacitoremduasposiçõesdiferentesda

çã =30 µC / 50 µF =6 V á =120 µA

chavenocircuito.

a) Inicialmente, quando a chave está na posição 2, o capacitor está carregando. Logo, a carga cresce exponencialmente atém estabilizar em seu valor máximo, que o mesmo que o fornecido pela bateria , assim como ilustrado na figura 2a. O contrário acontece com a corrente: ela

inicia em seu valor máximo (

) e começa a decair até se tornar nula. Isso acontece porque,

quando a tensão chega ao valor máximo, não há mais diferença de potencial entre o terminal positivo do capacitor e da bateria, o que faz com que não haja mais corrente. Por outro lado, quando a chave está na posição 1, o capacitor não está mais ligado com a bateria e o curto o faz descarregar com o resistor. A forma de onda possui formato como o da figura 2b: a carga máxima decai exponencialmente até se anular, pois a energia armazenada é dissipada pelo resistor; a corrente mesmo módulo que a corrente de carga neste caso, no tanto, possui sentido contrário, pois agora a polaridade do



capacitor que indica o sentido da corrente; seu módulo também decai exponencialmente até se anular. b) O valor da resistência  pode ser encontrado pela relação: Fernando Freitas Alves

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=  =  = |á| = 1260VµA =50 kΩ =  = 520,5µsF =50 kΩ =  = 3500 µµFC =6 V −/)=6 (1 −/,)     = ( 1   =5 s 5 =6 (1 −/,)≈5,19 V 5 ≈ 25600µµFC =5,2 V

Ele também pode ser encontrado pela relação com a constante de tempo:

c) Como ressaltado no item a), o valor da tensão de alimentação (bateria) pode ser encontrado pela seguinte relação:

d) Durante a carga (figura 2a), vimos que a equação que rege a tensão no capacitor é dada por:

Logo, em

, obtém-se:

valor esse que coincide com o gráfico da figura:

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