03 Congruencia de Triangulos y Sus Aplicaciones

 

Colegios

GEOMETRÍA

TRILCE

Semana 3 Quinto Quin to Católica Católica

CONGR CO NGRUE UENC NCIA IA DE TRI TRIÁN ÁNGU GUL LOS Y SU SUS S AP APLI LICA CACI CION ONES ES Aplicacion Aplic aciones es de la congruenc congruencia ia de de triángulos triángulos

Triángulos congruentes

1.

N

B 



a

c 

 

A

Pro Propie piedad dad de la Bis Bisec ectri triz z a)

 

c 

C

b

M

 

a

R 

b 

Q O

   ABC

P

 

PR = PQ OR = OQ

=  MNQ

Q

Casos Ca sos de congr congruen uencia cia de tr trián iángulo gulos s

b)

Caso Ca so I: (ALA (ALA))

O  

QN = QM   ON = OM OM

N

M Q

 



 



 

a

a 2.

Pro Propie piedad dad de la Me Media diatri triz z a)

Caso Ca so II: (LA (LAL) L) L

L : Mediatriz de AB

O b

 



OA = OB

b

 



a

 

B

A a b)

Caso Ca so III: (LL (LLL) L)

Q m : Mediatriz de PQ

RP = RQ

 b

c 

c

b

P R

a

TRILCE   Ca Católica

 

a

m

 

19

  

Ciclo  Católica 4.

Observación:

Pr Propi opied edad ad de la Medi Median ana a Re Rela lati tiva va a la hipot hipoten enus usa a

B

Propie Pro piedad dad en un Trián Triángulo gulo Isó Isósc scele eles s B



 

 



 A

M

C

Si: BM es mediana BM =



A

 



Si:

BMC; C;   BM

AB = BC Altura Mediana Bisectriz Mediatriz

BH

3.

2

C

H

AMB: AM isós ósce cele less   B:  ’s is

Problemas para la clase 1.

Si: Si: BC = CE ; AB = 7 y ED = 9 , calc calcul ular ar “AD” “AD”.. E B

Teo eore rema ma de los los pu punt ntos os me medi dios os





B

 A

 

M

  AC

 

N

L1

C

 A.  A C.. 16 18 2.



D

B. D. 15 14

Ha Hall llar ar “x “x”, ”, si si:: BF = BC y AF = EC EC..  A

A Si:: Si

C

x 50°

AM = BM

BN = NC

L1 / / A C

MN =

F

B

AC 2

E

130°

C

También:  A.  A. 60° C. 5 0 °

B. 80° D. 75°

B 3.

M

 

Si ABCD e es s un cua cuadra drado, do, ca calcu lcula larr "H "HD", D", a adem demás ás::  AP = 7 m y CQ = 12 1 2 m. B

N

 

C

Q  A H

A Si:: Si

20

C

D

P

AM = BM

MN // AC

BN = CN

MN =

AC 2

 A.  A. 5 m C. 6 m

B. 4 m D. 3,5 m

TRILCE   Ca Católica

 

EOMETRÍA G EOMETRÍA

4.

Cal Calcu cullar “EF” “EF”,, si: AC = AE ; BF = 7 m y FC = 5 m.

9.

De Dell gráf gráfic ico; o; cal calcul cular ar "   ". B

B F  A

E

 

C 7



 A

C

M a

3a

 A.  A. 10º C . 18 º

E

 A.  A. 12 m C . 17 m 5.

 

B. 15 m D . 19 m

10.

B. 15º D . 20º

En la figu figura ra:: MN   , calcula calcularr "MN", si AD=6m.   // AD B

En la fi figur gura, a, calcul calcular ar “AB “AB”, ”, si si:: ED ED = 12 m y BC = CD. N

B M

 A

  37°

 

C

D

E  A

C

 A.  A. 2 m C. 4 m

B. 3 m D. 5 m

D

 A.  A. 16 m C . 24 m

B. 15 m D . 20 m

11.

Si: AB=8m AB=8m;; BC=14m y AC=10m AC=10m.. Cal Calcula cularr "MN" "MN".. B

6.

De Dell grá gráfi fico, co, ca calcu lcula larr ““AD” AD”,, sie siendo: ndo: CM = M MD D y BC = 5 u B

C

M

53° 

M 30°  A

 A.  A. 4 u C. 8 u 7.

 



 A

D

12.

Si Si:: AC = 32 m , cal calcul cular ar “BE” “BE”..





C

 A.  A. 8 m C. 4 m

B. 6 u D . 10 u

N

B. 6 m D. 5 m

En la fi figura gura:: AB=2 AB=2m; m; BC=6m y AR=RC. Ca Calcul lcular ar "RL" "RL".. L B

B





18° 36°

 A

E

 A.  A. 16 m C . 12 m 8.

 A C

 A.  A. 4 m C. 8 m

B. 18 m D . 15 m 13.

Ca Calc lcul ular ar “x “x”, ”, si: si: PC = 2AB 2AB y AP = PB PB..

C

R

B. 6 m D. 9 m

Cal Calcula cularr "BC"; si; BH=8cm BH=8cm;; AH=3cm AH=3cm;; AO=OM y BM=M BM=MC. C. B

B

M O x  A

 A.  A. 15° C. 18°

TRILCE   C Ca atólica

 A

C

P

B. 20° D. 14°

 A.  A. 5 cm C . 8 cm

 

H

 

C

B. 6 cm D . 10 c m

21

 

Ciclo  Católica 14. 14.

En un triángul triángulo o isósc isóscele eles s ABC; AB=BC AB=BC se traza lla a

20.

bisectriz interior   AP ; en la prolongación del lado AC se

10cm; si "Q" es punto medio de   AD  . Calcular "BQ". B

ubica el punto "E", de tal manera que: m   APE=90º y  AE=12m. Calcula Calcularr "PC".  A  A.. 5 m C. 7 m 15.

Del gráfico, gráfico, el ttri riángul ángulo o ADC es e equil quiláte átero ro y su lado mi mide de

B. 6 m D. 8 m

 A

15º

 

Del grá gráfi fico: co: AH= AH=HQ; HQ; L1  y L2  son me mediatri diatrices ces de B   D  y

C

Q



QC   respectivamente; si m B

  ABC=100º. Calcular "x". L1

M

D

 A.  A. 5 m

B. 5  3   m

C. 5  2   m

  2 D. 10   m

L2 D

Tarea Ta rea domiciliaria domiciliaria

xº

 A

H   Q

 

C

N

1.  A  A.. 10º C. 2 0 16.

En lla a fig figura ura,, PQ PQ = AC. Calc Calcul ular ar "BP "BP". ".

B. 12º D . 18º

Q

En un tr triá iángul ngulo o rect rectáng ángulo ulo ABC ABC rec recto to en “C”, en   AB se ubica el punto "L" y luego se traza las mediatrices



B

AC y de   AL   y   LB   que intersectan a   AC  y   BC   en "M" y "N" respectivamente. Calcular “MN”, si: AM = 9 m y

P

NB = 12 m B. 15 m D . 18 m

punto "Q" en   AC   y un punto "P " en   BC   tal que:  AQ=QC=BP.. Calcula  AQ=QC=BP Calcularr m   PQC. Si: m   BCA=mº

C. 90 º  

18.

mº 2 3 mº 2

 A.  A. 3 C. 5

 

B. 180 º  

 

D. 90 º  

2.

B. 4 D. 6

Si los los tri triáng ángulo ulos s AB ABC C y TKC son equ equil iláte áteros ros,, cal calcul cular  ar  "x".

5 mº

B

2 x

3 mº

100°  A

punto medio de   BC  . Calcular "PM"; si AC=a y AB=b; (a>b)

C.

2

B. 2a - b D.

a b

K

T

2

tal que m   APB=90º y m   BAP=m   PAC, siendo "M"

a b



C

En un triá triángul ngulo o ABC ABC se toma un punt punto o "P" en su in inter terior ior,,

 A  A.. a - b

10

 A

En un tri triángul ángulo o rectá rectángul ngulo o ABC ABC recto en ""B"; B"; se toma un

 A  A.. 90 º  

 





 A  A.. 12 m C . 20 m 17.

 

6

C

 A.  A. 80° C. 4 0 ° 3.

B. 50° D. 20°

En lla a fig figura ura,, ABC ABCD D es un cu cuad adra rado. do. Si AM = 8 y CN = 6, hallar hall ar "MN".

3 B

19.

En un tri triángu ángulo lo acu acutá tángul ngulo o ABC; ABC; la m   ABC=60º y la altura BH=6cm, por "H" se trazan HE y HF perpendicula-

 A

res a las bisectrices de los ángulos     ABH y     HB C respectivamente. Calcular "EF".

C 8

 A  A.. 1 cm C . 2 cm

6

B. 4 cm D . 3 cm

M

 A.  A. 10 C. 1 4

22

D

N

B. 12 D. 1 6

TRILCE   Ca Católica

 

EOMETRÍA G EOMETRÍA

4.

En la fi figur gura, a, ABC ABCD D es un cua cuadra drado. do. Ha Hall llar ar "EB", "EB", si DE= DE=17 17 y CF = 1 12. 2. E

B

8.

Se ttie iene ne un tr tria iangul ngulo oA ABC BC dond donde e el ángul ángulo o ex exter terior ior de A es igual a 40°, las mediatrices de   AB   y   AC   se cortan en "P". Calcular el ángulo CBP.

F

 A.  A. 80° C. 50°

 A

9.

C

B. 40° D. 60°

En un triá triángul ngulo oA ABC BC s se e traz traza a la la me medi diana ana   BM   y del vértice A se traza una recta que corta a la mediana   BM   en

D

"P" y al lado   BC  en "N". Hallar "PN" , si   AN  mide 12 cm  A  A.. 5 C. 1 7 5.

B. 6 D. 7

y "P" es punto medio de   BM BM . .  A.  A. 1 cm C. 3

E n la s sig iguie uiente nte fi figur gura, a, ha hall llar ar lla a med medida ida d de e   PN   si  AC=15m. 10.

B. 2 D. 4

En un tri triángul ángulo o rectá rectángulo ngulo ABC (r (recto ecto en "B "B") ") se tr traza aza lla a altura   BH  y la bisectriz interior    AE   que se cortan en P

B

(E en   BC  ), halla hallarr PH, si BH=7 y BE=4. BC ), P  



 A.  A. 3 C. 5

N

11.

15

 A  A.. 6 C . 5, 5 6.

En un tri trián ángul gulo o AB ABC, C, por el v vér érti tice ce "B" s se e tra traza za una paralela a   AC AC ,  , las medianas   AN   y   CM   prolongadas cortan respectivamente en "E" y "F" a la paralela respectivamente pectiv amente.. Hall Hallar ar "AC", si: FE=16.



 A

B. 4 D. 6

C

B. 5 D . 7, 5

 A.  A. 16 C. 4

mediatriz atriz de   AC   y AB=2cm. Se Segú gún n el gráf gráfiico   L   es medi Calcular "TB".

12.

B. 8 D. 2

Hal Halla larr "MN" "MN",, si AB=6m AB=6m,, BC=8m y AC=7m B

B

N

M

<

L T



 

   

 A 3



 A

 A  A.. 1 cm C . 1, 5 7.

 A.  A. 9 m C. 1 2

C

B. 2 D . 2, 5

13.

C



B. 10,5 D . 1 3,5

Ha Hall llar ar "   ", si: AB = 2(QF). B

Ca Calcu lcula larr "x", "x", si: si: AM = 2(B 2(BC) C) B

Q x



 A

 

3 F

C

3x  A

 A  A.. 10° C. 9 °

TRILCE   C Ca atólica

M

B. 30° D. 1 5 °

C

 A.  A. 10° C. 45°

 

B. 20° D. 50°

23

 

Ciclo  Católica 14.

En lla a fi figur gura, a, AB = 1 18, 8, BC = 16 y AC = 2 20. 0. Ha Hall llar ar "FG". "FG".

15.

Si AB = BC y BH = 10, halla hallarr ""AD" AD".. B

B

C

F G



 



C

45°

A A

 A  A.. 7 C. 9

24

B. 8 D. 11

 A.  A. 18 C. 1 5

H

D

B. 25 D. 2 0

TRILCE   Ca Católica