03 Capítulo 1

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Capítulo 1 1. Estructura atómica y cristalina de los materiales. Introducción. En el capítulo anterior se definieron los cuatro niveles estructurales de los cuales dependen las propiedades de los materiales. Sin embargo, puesto que el objetivo que se persigue en este tema de estudio, es el de comprender y controlar los niveles de la micro y macroestuctura de los diversos materiales, con el fin de mejorar sus propiedades y hacerlos útiles en ciertas aplicaciones especiales; resulta necesario conocer en principio, la estructura atómica y la cristalina ya que ambas influyen en la forma en que los átomos se enlazan y se arreglan; permitiendo así clasificarlos en metales, cerámicos y polímeros. Estructura atómica. En teoría el átomo puede ser considerado como un pequeño cuerpo esférico; el cual esta constituido por un núcleo que contiene pequeñas partículas denominadas protones y neutrones. El núcleo esta rodeado por partículas más diminutas llamadas electrones, los cuales se encuentran alrededor del núcleo, ocupando niveles energéticos distintos. Por ser el átomo en su conjunto eléctricamente neutro, la carga de cada protón y electrón tiene el mismo valor y es igual a 1.6 x 1019 C. El número atómico de un átomo en particular, se define como el número de protones o de electrones contenidos en él. Además, toda la masa del átomo (M), se encuentra en el núcleo y es un valor promedio entre los protones y neutrones; y tiene como unidad al (gm/gm.mol). La figura 1.1 muestra el caso de la estructura atómica del aluminio, el cual según la tabla periódica tiene un número atómico de 13; es decir, contiene 13 protones y 13 electrones. Y cuya masa atómica es de 26.98 gm/gm.mol.

Figura 1.1 Estructura atómica del aluminio mostrando los electrones en las capas K, L, M

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Según la figura anterior la configuración electrónica del aluminio puede ser escrita como: 1s22s22p63s23p1, por lo tanto la valencia de este elemento es +3; y tiene la capacidad de ceder sus 3 electrones de valencia. Cuando un átomo presenta la tendencia de ganar electrones, es decir completar su nivel externo de energía, se dice que es electronegativo. Por el contrario, si tiene la tendencia de ceder sus electrones y con ello dejar su nivel externo de energía vacío es electropositivo. Si su nivel externo esta completo, es decir tiene 8 electrones, su valencia es cero y el elemento es inerte o químicamente estable. 1.1 Enlace atómico de sólidos. Existen cuatro mecanismos por medio de los cuales se enlazan o unen los átomos. En los tres primeros la unión se logra cuando los átomos llenan sus niveles externos s y p. Estos son: 1.1.1 Unión metálica: Los elementos metálicos que exhiben una valencia baja, puede ceder con facilidad sus electrones para formar un mar o nube de electrones que rodea a los centros de átomos. El aluminio es un ejemplo típico de esta clase de elementos, pues al liberar sus tres electrones de valencia; deja un cuerpo central o nódulo constituido por el núcleo y los electrones internos.

Figura 1.1.1 Unión metálica del aluminio.

Dicho cuerpo central se convierte en un ión con carga positiva igual a 3. Los electrones de valencia que forman la nube, se ligan a diversos nódulos de átomos, manteniéndolos unidos por atracción mutua, produciéndose así la fuerte unión metálica. La figura 1.1.1 muestra la unión entre los átomos del aluminio. Los enlaces metálicos son no direccionales, los electrones que mantienen unidos a los nódulos no están fijos en una posición. Cuando se dobla un metal y los átomos intentan cambiar su relación entre ellos; la dirección del enlace se desliza en lugar de romperse. Esto permite que estos materiales sean conformados en configuraciones útiles. Además al ceder con facilidad sus electrones, permite también que sean buenos conductores eléctricos. 1.1.2 Enlace covalente: Este tipo de enlace es muy fuerte debido a que se comparten electrones entre dos o más átomos. El germanio con valencia + 4, acepta ocho electrones en su nivel externo (ley del octeto); cuando comparte electrones con otros cuatro átomos vecinos. La figura 1.1.2.a, muestra el enlace covalente del germanio.

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En este tipo de enlace los átomos se acomodan de tal manera que los enlaces covalentes tengan una relación direccional fija entre ellos. En el caso del germanio los átomos se acomodan formando un tetraedro con ángulos de 109° entre los enlaces covalentes. La figura 1.1.2.b ilustra la estructura tetraédrica del germanio.

Figura 1.1.2.a Enlace covalente del germanio, mostrando a los electrones compartidos entre los átomos, con el nivel externo completo.

Debido a que las uniones covalentes son muy fuertes, los materiales sólidos enlazados de este modo tienen poca ductilidad y escasa conductividad eléctrica. Al pretender doblar una barra de germanio los enlaces covalentes se rompen debido a que los átomos cambian su relación entre ellos. Al igual, para que fluya o se mueva un electrón, y se forme una corriente eléctrica es necesario que se rompa el enlace; siendo necesario aplicar altas temperaturas o voltajes en el material.

Figura 1.1.2.b Estructura tetraédrica del germanio, con un ángulo de enlace de aproximadamente 109°.

Por lo tanto los materiales enlazados covalentemente son frágiles en vez de dúctiles, comportándose como aislantes eléctricos y no como conductores. Muchos cerámicos y polímeros están unidos por este tipo de enlace; lo que explica, el porqué una loza se rompe al ser golpeada y porque el ladrillo es mal conductor del calor y de la electricidad. 1.1.3 Enlace iónico: Existen materiales como el Cloruro de sodio (NaCl) o sal común, en el cual se encuentran presentes más de un tipo de átomos. Estos elementos tienen la facilidad de poder donar o aceptar electrones. Al átomo que dona electrones se le conoce como electropositivo, y el que los acepta como electronegativo. En este compuesto, el átomo de sodio con valencia +1 dona su electrón al átomo de cloro y se convierte en un ión cargado positivamente, mientras el cloro con valencia -1 acepta un electrón y se convierte en un ión negativo. En estas condiciones, ambos átomos tienen su nivel energético externo lleno o vacío.

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El átomo que aporta el o los electrones se le conoce como catión, y el que lo o los acepta, como anión. Así, los iones con cargas opuestas se atraen entre sí, produciéndose el enlace iónico. La figura 1.1.3 muestra el tipo de enlace en el cloruro de sodio.

Figura 1.1.3 La unión iónica ocurre cuando el sodio y el cloro quedan con distintos tipos de carga. Siendo el sodio un catión y el cloro un anión. En la figura se muestra con rojo al electrón cedido por el sodio y aceptado por el cloro.

Cuando se aplica una carga a un cristal de cloruro de sodio, se rompe el equilibrio eléctrico entre los iones; por esta razón los materiales enlazados iónicamente se comportan como frágiles. Además tienen baja conductividad eléctrica, ya que la carga eléctrica es transportada por el movimiento de iones enteros y no de electrones, lo que resta movilidad. Muchos materiales cerámicos y minerales, están parcialmente unidos en forma iónica. Sin embargo se debe notar que muchos materiales incluyendo los metales se unen combinando los tres mecanismos de enlace. Como ejemplo citemos al hierro, el cual además de estar unido por el enlace metálico, también tiene enlaces covalentes, lo cual le proporciona cierta fragilidad. 1.1.4 Enlace de Van der Waals: Este enlace une moléculas o grupos de átomos mediante atracciones electrostáticas débiles. Moléculas de plásticos, cerámicos, gases como el metano, el agua y otras sustancias más, presentan la tendencia de polarizarse permanentemente o instantáneamente en alguna parte o porción. Es decir, parte de una molécula adquiere carga positiva y la otra negativa. La atracción electrostática entre las porciones positivas y negativas entre ellas, produce el débil enlace de Van der Waals. La figura 1.1.4 muestra la unión de la molécula de agua mediante la polarización intermolecular.

Figura 1.1.4 El enlace de Van der Waals se forma mediante la polarización de moléculas o grupos de átomos. En el agua los electrones de oxígeno tienden a concentrarse lejos del hidrógeno. Esta diferencia de carga resultante permite la débil unión.

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Por lo tanto este tipo enlace es secundario, puesto que los átomos están unidos por enlaces covalentes formando moléculas; y estas a su vez por el enlace de Van der Waals. Como ejemplo consideremos la formación del polietileno a partir de las moléculas de etileno. El etileno, un gas, cuya fórmula es C2H4, tiene sus átomos de carbono unidos por enlaces covalentes dobles con los de hidrógeno, para formar la molécula o monómero de etileno. En presencia del calor, presión o un catalizador la doble unión covalente entre los átomos de carbono se rompe, ocasionando que cada átomo de carbono tenga un enlace incompleto, ahora la molécula de etileno se denomina mero o unidad. Estos enlaces se completan cuando se enlazan débilmente (Van der Waals) los meros de etileno, formando largas cadenas moleculares o polímeros. Ejemplo 1 El cromo, que tiene un número atómico igual a 24; presenta cuatro isótopos: 4.31% de los átomos de cromo tienen 26 neutrones, 83.76% tienen 28 neutrones, en 9.55% existen 29 neutrones, y en 2.38% hay 30 neutrones. Calcule la masa atómica (M) del cromo. Respuesta: Como los átomos de cromo tienen diferente número de neutrones en el núcleo, éste se comporta como un isótopo, y su masa atómica puede calcularse como el promedio de las masas atómicas de los diversos átomos (isótopos), por lo que su valor puede no ser un número entero; así: La masa atómica de los átomos con 26 neutrones es; (M) = 24 + 26 = 50 gm/gm.mol. La masa atómica de los átomos con 28 neutrones es; (M) = 24 + 28 = 52 gm/gm.mol. La masa atómica de los átomos con 26 neutrones es; (M) = 24 + 29 = 53 gm/gm.mol. La masa atómica de los átomos con 26 neutrones es; (M) = 24 + 30 = 54 gm/gm.mol. Y la masa atómica del cromo es: (M) = (0.0431) (50) + (0.8376) (52) + (0.0955) (53) + (0.0238) (54) = 52.0569 gm/gm.mol. Ejemplo 2 Para un átomo cualquiera, calcule el número máximo de electrones en la capa “O”, y determine su número atómico si están completos todos los niveles de energía en las capas K, L, M, N y O. Respuesta: Para este átomo hay cinco capas cuánticas, así (n = 5); aplicando la fórmula 2n2 para encontrar los electrones en cada capa, se tiene: 2 (5)2 = 50 electrones. Otra manera de encontrar el número de electrones en la capa “O”, es a través del número de niveles de energía que hay en cada capa cuántica; aplicando la fórmula 2 (l ) + 1 así: l = 0, 1, 2, 3, 4. RNC

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Entonces para

l = 0, se tiene: l = 1, se tiene: l = 2, se tiene: l = 3, se tiene: l = 4, se tiene:

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2 (0) + 1 = 1 orbital. 2 (1) + 1 = 3 orbitales. 2 (2) + 1 = 5 orbitales. 2 (3) + 1 = 7 orbitales. 2 (4) + 1 = 9 orbitales.

Como la suma total de orbitales es igual 25, entonces el número total de electrones en la capa “O”, es: Total de electrones = (25 orbitales) (2 electrones/orbital) = 50. El número atómico de ese elemento, es el número de electrones ubicados alrededor del núcleo del átomo, en los cinco orbitales, estando completos todos los niveles de energía; así: En las cinco capas estarán ubicados según la fórmula 2n2. Capa K = 1 --------------------- 2 electrones. L = 2 ---------------------- 8 electrones. M = 3 --------------------- 18 electrones. N = 4 ---------------------- 32 electrones. O = 5 ---------------------- 50 electrones. Por lo tanto, hay un total de 110 electrones en el átomo.

Ejemplo 3 Calcular el número de átomos en 100 gm. de aluminio, si todos los electrones de valencia pueden conducir corriente eléctrica. Determine también, el número de estos portadores en los 100 gm. de aluminio. Respuesta: Puesto que en un gm.mol de aluminio hay 6.02 x 1023 átomos, y según la tabla periódica tiene una masa atómica de 26.98 gm/gm.mol, con una valencia de +3; entonces: (6.02 x 10 23 átomos ) ( gm. mol ) No. de átomos de alu min io  (100 gm )  22.31 x10 23 átomos. ( gm. mol ) (29.98 gm.) Y el número de portadores de carga eléctrica es:

No. de electrones  (22.31 x 10 23 átomos )

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(3 electrones )  6.693 x 10 24 electrones. (átomo)

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Ejemplo 4 Sin recurrir a la tabla periódica, utilizar la estructura electrónica para determinar si un elemento con número atómico 35; es electropositivo, electronegativo o inerte. Considere que todos los niveles internos de energía están ocupados. Respuesta: Utilizando el siguiente recurso nemotécnico, podemos obtener la estructura electrónica del elemento, así: 1 2 3 4 5 6 7

s2 s2 s2 s2 s2 s2 s2

p6 p6 p6 p6 p6

d10 d10 f14 d10 f14 d10

X35 = 1s22s22p63s23p63d10 4s24p5

Puesto que, en la cuarta capa cuántica solo hay 7 electrones, el elemento es electronegativo. 1.2 Estructura cristalina. La mayoría de los materiales tecnológicos, excepto la mayoría de los vidrios y los polímeros; son de naturaleza cristalina. Es decir poseen un arreglo bidimensional o tridimensional repetitivo entre sus átomos. Este arreglo o disposición de los átomos, desempeña un papel importante en las propiedades y el comportamiento de un material sólido. Como por ejemplo en los metales, cierto tipo de ordenamiento permite una excelente ductilidad; mientras que en otros producen una gran resistencia. Los materiales tecnológicos pueden organizar sus átomos de tres maneras distintas a saber, sin considerar las imperfecciones naturales en el material. Desordenamiento: En gases inertes y en la mayoría de los líquidos, los átomos y moléculas se distribuyen aleatoriamente, es decir carecen de un arreglo ordenado. En el argón, los átomos se distribuyen de manera aleatoria ocupando el espacio donde se confina el gas. La figura 1.2.1 muestra el desordenamiento bidimensional atómico del argón.

Figura 1.2.1 El argón por ser un gas inerte, no presenta un ordenamiento regular entre sus átomos.

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Ordenamiento de corto alcance: En los cristales cerámicos como el vidrio (SiO2), cada molécula formada por cuatro átomos de oxígeno y uno de silicio; tiene un ordenamiento particular entre sus átomos, con un ángulo de aproximadamente 109° entre los enlaces covalentes, describiendo una estructura tetraédrica. Sin embargo las moléculas no presentan un arreglo espacial definido, sino que tienden a unirse de manera aleatoria. La figura 1.2.2 muestra la forma en que se ordenan bidimensionalmente los átomos y moléculas del vidrio.

Figura 1.2.2 Ordenamiento particular de los átomos del vidrio (enlace covalente), sin embargo las moléculas tienden a unirse de manera aleatoria.

Por lo consiguiente, un material presenta ordenamiento de corto alcance si el arreglo característico entre sus átomos se restringe solamente a átomos circunvecinos. El vapor de agua, algunas cerámicas y la mayoría de los polímeros presentan un ordenamiento de corto alcance. Ordenamiento de largo alcance: Cuando los átomos se distribuyen por todo el sólido, formando un patrón reticular repetitivo, se dice que los átomos o agrupan en un ordenamiento general o de largo alcance. La figura 1.2.3 ilustra un arreglo bidimensional de los átomos de un material sólido. La red o retícula (látice) esta formada por un conjunto de puntos o nodos (puntos reticulares), los cuales siguen un mismo patrón regular, de manera que las inmediaciones de cada punto en la red son idénticas. Además uno o más átomos pueden estar asociados con cada punto de red. Así, cada átomo tiene un ordenamiento particular de corto alcance respecto a los otros, pero además, existe un ordenamiento general o de largo alcance al estar la red distribuida uniformemente en todo el material.

Figura 1.2.3 Representación bidimensional del ordenamiento de largo alcance.

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Los metales, la mayoría de las cerámicas y ciertos polímeros, presentan este tipo de ordenamiento, y son de naturaleza cristalina. La configuración de la retícula (red) difiere de un material a otro en forma y dimensión, dependiendo del tamaño de los átomos y del tipo de enlace interatómico. La retícula (red) cristalina de un material se refiere al tamaño, forma y ordenamiento atómico dentro de la red. 1.2.1 Sistemas cristalográficos. La celda unitaria es la menor subdivisión, que conserva todas las características generales de la retícula o red. Los puntos o nodos reticulares, se encuentran en los vértices (esquinas) de la celda unitaria, y en algunos casos en el centro, caras y bases de la celda. Los parámetros que describen el tamaño y la forma de la celda unitaria son las dimensiones de los lados y los ángulos que forman los ejes. Por ser la celda unitaria microscópica las dimensiones de los lados suelen medirse en Ángstrom, el cual tiene una equivalencia de: 1 Angstrom ( A ) = 1 x 10-8 cm = 1 x 10-10 m = 1 x 10-1 m. Según el tipo de geometría que tenga la celda unitaria, serán las dimensiones de los lados que se necesiten para definirla: así, para la cúbica simple sólo se requiere un lado para describirla completamente, puesto que los tres ángulos son iguales a 90°. En la hexagonal se requieren dos dimensiones; los lados de las bases y la altura del hexágono, además de dos ángulos de 90° y uno de 120°. Mientras más compleja sea la geometría de la celda mayor será el número de dimensiones requeridas, como de ángulos diferentes. Existen ciertas características distintivas en la celda unitaria, como por ejemplo: El parámetro de red, el número de átomos o puntos de red contenidos en la celda, el radio del átomo, la relación entre el radio del átomo y el parámetro de red, el número de coordinación, el factor de empaquetamiento y la densidad, las cuales coadyuvan en la descripción de la estructura del material y su comportamiento. Aunque existen catorce tipos de celdas unitarias o redes de Bravais, agrupadas en siete sistemas cristalinos; como se indican en la tabla 1.2.1.1, solo nos concentraremos en los sistemas cúbico y hexagonal, debido a que incluyen a casi todos los materiales tecnológicos cristalinos de importancia comercial. Tabla 1.2.1.1 Características de los siete sistemas cristalinos.

Sistema Cúbico Tetragonal Ortorrómbico Hexagonal Romboédrico Monoclínico Triclínico

Longitud de los ejes a1 = a2 = a3 a1 = a2 ≠ a3 a1 ≠ a2 ≠ c a1 = a2 ≠ c a1 = a2 = a3 a≠b≠c a≠b≠c

Ángulos axiales. Todos los ángulos son de 90°. Todos los ángulos son de 90°. Todos los ángulos son de 90°. Dos ángulos de 90° y uno de 120°. Todos los ángulos son iguales y diferentes de 90°. Dos ángulos de 90° y uno diferente de 90°. Todos los ángulos distintos entre sí y diferentes de 90°.

La figura 1.2.1.1 ilustra las catorce retículas o redes de Bravais en tres dimensiones, haciendo hincapié en las variantes de los sistemas cúbico y hexagonal.

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Cúbico simple.

Tetragonal simple.

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Cúbico centrado en el cuerpo

Cúbico centrada en las caras.

Tetragonal centrado en el cuerpo

Hexagonal.

Ortorrómbico simple.

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Ortorrómbico centrado en las bases.

Ortorrómbico centrado en el cuerpo.

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Ortorrómbico centrado en las caras.

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Romboédrico

Monoclínico simple.

Monoclínico centrado en las bases.

Triclínico.

Figura 1.2.1.1 Los siete sistemas cristalinos con sus variantes, suman las catorce retículas o redes de Bravais.

1.2.2 Estructuras cristalográficas. Sistema cúbico simple (CS). Este sistema o retículo no es representativo de ningún tipo de material metálico tecnológico, sin embargo es un modelo excelente para introducir ciertos conceptos de interés concernientes a la celda unitaria, debido a su simplicidad. Parámetro de red: Básicamente el cristal cúbico simple (CS), es una caja cuadrada con los átomos ubicados en los ocho vértices. Los ocho átomos localizados en los vértices se arreglan de modo que la distancia entre sus centros sea a. A esta distancia se le denomina parámetro de RNC

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red o constante de retícula a 0 . La figura 1.2.2.1 muestra al cristal cúbico en forma esquemática y compacta en tres dimensiones.

Figura 1.2.2.1 Celda unitaria cúbica simple esquematizada y compactada.

Radio atómico: Se define como la distancia del centro de un átomo a su periferia y se denota por la letra (R). Relación entre el parámetro de red y el radio atómico: Para determinar esta relación es necesario considerar el sistema cristalino en forma compacta, y observar la arista del cubo, diagonal del cubo o diagonal de la cara, para saber en cual de ellos los átomos se juntan o están en contacto íntimo. En el caso del sistema cúbico simple, en la figura 1.2.2.2 se observa que los átomos se juntan en las aristas del cubo. Por lo consiguiente, por simple inspección tenemos que a = 2R.

Figura 1.2.2.2 Relación entre el parámetro de red y el radio atómico para una celda cúbica simple.

a  2R

Número de átomos o puntos de red contenidos en la celda unitaria: Puesto que en cada vértice de la CS, hay situado un átomo, éste es compartido por ocho cubos (octantes), por lo tanto, a cada celda unitaria le corresponde un átomo; es decir:

1 átomo vértices átomo x8 1 8 vértice celda unitaria celda unitaria La figura 1.2.2.3 muestra en color rojo la fracción de cada átomo por vértice incluido en la celda unitaria.

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Figura 1.2.2.3

Celda unitaria cúbica simple en la cual se muestra en color rojo la fracción de cada átomo (1/8 de átomo) por vértice que se incluye en la celda.

Número de coordinación: Se define como el número de átomos en contacto o los átomos más cercanos a un átomo en particular, situado en la celda unitaria o en la red. Este número de coordinación indica la eficiencia con la que los átomos se acomodan para formar la estructura. En el caso de la celda cúbica simple la cual contiene sólo un átomo o punto de red por celda unitaria, por simple inspección se observa que tiene un número de coordinación de 6; es decir, cada átomo de la celdilla esta en contacto con otros 6. Esto se ilustra en la figura 1.2.2.4.

Figura 1.2.2.4

El átomo rojo en la celdilla de referencia tiene seis vecinos en color azul, tres correspondientes a la misma celdilla y los restantes a celdillas contiguas a la de referencia.

Factor de empaquetamiento: Se entiende por factor de empaquetamiento (FE), a la fracción del volumen de la celdilla que ocupan los átomos; considerando que estos son esferas sólidas. La siguiente expresión sirve para calcular el factor de empaquetamiento de cualquier celda unitaria.

FE 

(númerode átomos/ celda)(volumende cada átomo) volumende la celda unitaria

Ejemplo 5 Calcule el factor de empaquetamiento para la celda cúbica simple (CS).

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Respuesta: Puesto que existe un átomo o punto de red en la celda unitaria, además de que el volumen de un átomo considerándolo como una esfera sólida es (4  R3/3), y siendo el volumen de la celda unitaria a3 y teniendo en cuenta la relación a = 2R, se tiene: (1 )(4 R 3 / 3) FE   0.52 (2 R) 3 En los materiales metálicos, el factor de empaquetamiento más eficiente tiene un valor de 0.74 y corresponde a los metales con estructura cristalina centrada en las caras (CCC) y Hexagonal compacta (HC). Las celdas con estructura centrada en el cuerpo (CC) tienen un factor de 0.68 y la cúbica simple un factor de 0.52. La tabla 1.2.2.1 muestra algunas de las características de cristales metálicos comunes.

Estructura

Cúbica Simple (CS) Cúbica centrada en el cuerpo (CC) Cúbica centrada en las caras (CCC) Hexagonal Compacta (HC)

Tabla 1.2.2.1 Características generales de algunos metales típicos. a en función Átomos por Número de Factor de Metales típicos de R celda coordinación empaquetamiento

a = 2R

1

6

0.52

Ninguno

a = 4R/ 3

2

8

0.68

a = 4R/ 2

4

12

0.74

Fe, Ti, W, Mo, Nb, Ta, Cr, Zr. Fe, Cu, Al, Au, Ag, Ni.

a = 2R co = 1.633 ao

6

12

0.74

Zn, Co, Mg.

Densidad: La densidad (  ) de un material puede ser definida como real y teórica; la densidad real es aquella en la cuál se contemplan las imperfecciones del material, y por lo tanto resulta ser menor que la teórica. La densidad teórica puede ser calculada utilizando las propiedades de la estructura cristalina, mediante la siguiente expresión:



(átomos/ celda unitaria)(masa atómica del elemento) (volumende la celda unitaria)(númerode Avogadro)

Ejemplo 6 Determine la densidad teórica del aluminio CCC, cuyo parámetro de red es de 0.404958 m . Respuesta: El aluminio CCC, tiene 4 átomos por celda unitaria y una masa atómica de 26.981 gm/gm.mol. Así la densidad teórica del aluminio es:

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

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(4)(26.981)  2.7 gm / cm 3 . (4.04958 x 10 8 ) 3 (6.02 x 10 23 )

La densidad real es de 2.69 gm/cm3. La ligera discrepancia entre las densidades teórica y real, es consecuencia de los defectos o imperfecciones en la red. La figura 1.2.2.5 ilustra las variantes de las celdas unitarias cúbica y hexagonal, en tres dimensiones tanto en su forma esquemática como compacta.

Figura 1.2.2.5 Modelos didácticos de las celdas unitarias cúbica y hexagonal en sus formas esquemática y compacta.

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Ningún metal tecnológico tiene la estructura cúbica simple (CS); aunque este tipo de estructura se encuentra en los materiales cerámicos. Ejemplo 7 Determine el factor de empaquetamiento para la celda Hexagonal compacta ilustrada en la figura 1.2.2.5 Respuesta: La solución del problema puede facilitarse mediante la determinación de los siguientes términos: Número de átomos contenidos en la celda unitaria o red hexagonal, el volumen de un átomo y el volumen de la celda unitaria. En primer lugar representemos a la celda hexagonal compacta en forma esquematizada como se ilustra en la figura siguiente, y observemos que esta formada por tres prismas iguales coloreados de azul, amarillo y azul turquesa. Además sus ejes (a1, a2, a3 y co) forman dos ángulos de 90º y uno de 120º. A cualquiera de los prismas se le denomina celda unitaria de la red hexagonal. Dicha celda (Red) se ilustra enseguida en color azul. En ella hay cuatro átomos o puntos de red, cuyos vértices forman ángulos de 120º. Los átomos son compartidos con los otros prismas y por esta razón solo 1/6 de átomo esta contenido en el prisma. De igual forma existen también cuatro átomos o puntos de red, cuyos vértices forman ángulos de 60º. Estos al ser compartidos con los otros prismas, solo 1/12 de átomo queda encerrado dentro del prima.

Red Hexagonal Compacta Esquematizada

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De tal suerte que el número de átomos que corresponden al prisma puede ser calculado de la siguiente forma:

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1 1 No. de átomos  4 ( )  4 ( )  1  2 6 12

Puesto que la red hexagonal esta compuesta tres prismas, entonces hay 6 átomos en la red o celda hexagonal compacta (HC). Por otra parte el átomo puede ser considerado para propósitos de cálculo como una esfera perfecta, así que su volumen, se calcula con la siguiente expresión: Celda unitaria de la red HC

Volumen de un átomo 

4  ( R) 3 3

Para calcular el volumen de la celda unitaria, es necesario calcular el área de la base del prisma y multiplicarla por la altura co, así: El área de la base se calcula considerando la figura, en la cual se observa que dicha área esta dada por el producto de (ao x h), y es igual a (ao x ao sen 60º): Por lo tanto el área de la base del prisma es: Ab = (ao)2 cos 30º Por último el volumen de la celda unitaria (prisma) es igual al área de la base Ab multiplicada por la altura, es decir:

Volumen de la celda unitaria  (a o ) 2 c o cos 30º

Una vez encontrados los tres términos, se sustituyen en la ecuación correspondiente del factor de empaquetamiento, como sigue:

FE 

(número de átomos / celda )(volumen de cada átomo) volumen de la celda unitaria

4 4  ( R) 3 ( 6)  ( R ) 3 3 3 FE    0.74 (3)(a o ) 2 (1.633 a o ) cos 30º (3)(2 R ) 2 (1.633 x 2 R ) cos 30º ( 6)

Nota: El término co = 1.633 ao se toma de la tabla 2.6.1 y al compactar la red hexagonal, se observa que ao = 2R. El valor 0.74 indica que el 74% de la red o celda unitaria está ocupado por átomos.

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1.2.3 Alotropía y polimorfismo. El término alotropía se adjudica a los materiales que pueden tener más de una estructura cristalina, a distintas temperaturas y presiones. Elementos puros, como el hierro y el titanio pueden presentar más de una estructura cristalina cuando cambia su temperatura. Por ejemplo el titanio tiene una estructura HC por debajo de los 882 °C y por encima tiene una estructura CC. Dicho transformación estructural va acompañada de un cambio porcentual en volumen, durante el calentamiento o enfriamiento del material. Sin embargo, sí este cambio en volumen; no se controla adecuadamente, éste puede agrietarse y fallar. Cabe mencionar que estas transformaciones, son la base para el tratamiento térmico del hierro y del titanio. El término polimorfismo, es de uso más general; porque muchos materiales cerámicos, tales como el Sílice (SiO2), son llamados polimórficos. Ejemplo 8 Por encima de los 882 °C, el titanio tiene una estructura cristalina CC; con ao = 0.332 m . Por debajo de esta temperatura tiene una estructura HC con ao = 0.2978 m y co = 0.4735 m . a) Determine el porcentaje de cambio en volumen cuando el titanio CC se transforma en titanio HC. b) ¿Se trata de una contracción o de una expansión? Respuesta: Puesto que el titanio CC, se transforma en titanio HC al descender la temperatura por debajo de 882 °C; entonces observando la figura de la celda unitaria CC, se tiene:

El volumen de la celda unitaria se calcula como: Vcc = (ao)3 = (0.332 m )3 = 0.03659m 3. Además como se sabe dicha celda contiene 2 átomos o puntos de red.

Por otra parte, la celda unitaria HC está formada por tres prismas sesgados, como el ilustrado en la figura; así, el volumen de la celda unitaria HC, puede calcularse como: VHC = (ao)2 co cos 30°, así; VHC= (0.2978 m )2 (0.4735 m ) cos 30° = 0.03636m 3. Además la celda unitaria HC, también contiene 2 átomos o puntos de red.

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Por último se observa que para formar una celda HC, a partir de una celda CC; se necesita la misma cantidad de átomos. Por lo tanto: a) Para calcular el porcentaje de cambio en volumen, se requiere conocer tanto el volumen final como el inicial, de ambas celdas; así:

% V 

V f  Vo Vo

x 100 

0.03636  0.03659 x 100   0.62 % 0.03659

b) El signo negativo indica que el titanio se contrae al enfriarse. 1.3 Puntos, direcciones y planos cristalográficos. Ciertas direcciones y planos en la celda unitaria revisten particular importancia. Los materiales, principalmente los metales se deforman, en aquellas direcciones a lo largo de las cuales los átomos están en contacto más estrecho. De igual forma, estos se deforman a través de aquellos planos de átomos que están empaquetados más estrechamente. 1.3.1 Direcciones en la celda unitaria. Una dirección representada dentro de un cristal o celda unitaria, es un vector dirigido de un punto o posición de algún átomo a otro átomo o punto de red. Para ello es necesario localizar ciertos puntos, los cuales están representados por coordenadas (x, y, z), en un sistema dextrógiro. La figura 1.3.1 ilustra una celda cúbica, cuyo origen es el sistema coordenado dextrógiro. Para localizar los puntos o posición de los átomos, es conveniente medir las distancias en función del parámetro de red a partir del origen y moverse en cada una de las coordenadas x, y, z; las coordenadas de los puntos se expresan como tres distancias numéricas encerradas entre paréntesis circular y separándolas por comas.

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Ejemplo 9 Trace una celda cúbica y localice los puntos o posición de los átomos en todos los vértices.

Respuesta: Los puntos localizados en todos los vértices se muestran en la figura siguiente, note como las distancias fueron medidas en función del parámetro de red, a partir del origen.

Ejemplo 10 Trace una celda cúbica y localice los siguientes puntos: a). (½, 0, 0)

b). (½, 1, 0)

c). (0, 0, ½)

d). (0, ½, 1)

e). (½, 1, 0)

Respuesta: Los puntos localizados se muestran en la figura. Note que todos ellos son positivos y por lo tanto se encuentran localizados en el primer octante del sistema cúbico tridimensional. En caso de alguna distancia sea negativa es necesario trasladar el origen a otro punto que convenga, como se mostrará mas adelante.

Para trazar una dirección dentro de una celda unitaria, es necesario cumplir con los siguientes pasos:

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1. Utilizando un sistema de coordenadas dextrógiro, localizar las coordenadas de dos puntos que estén en esa dirección. 2. Restar las coordenadas del punto inicial (cola), a las coordenadas del punto final (cabeza); para obtener el número de parámetros de red recorridos en la dirección de cada eje del sistema de coordenadas. 3. Reducir las fracciones y/o los resultados obtenidos de la reta a los mínimos enteros. 4. Encerrar los números entre corchetes  , no utilice comas. En caso de obtener un signo negativo, represéntelo con una barra sobre el número. Es importante recalcar que la dirección puede estar representada en la celdilla y por consiguiente el problema se reduce en encontrar los números encerrados entre corchetes; es decir la notación de la dirección, o en su caso dada la notación trazar la dirección dentro de la celdilla. Ejemplo 11 Determine la notación para las siguientes direcciones mostradas en el sistema cúbico mostrado en la figura 11.a

Respuesta: Para encontrar la notación de cada dirección, es necesario localizar las coordenadas de los puntos “cola y cabeza” de cada vector, midiendo el valor de cada coordenada a partir del origen “O”, los cuales se ilustran en la figura 11.b.

1.a

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Posteriormente se procede a restar las coordenadas de los puntos, las cuales serán encerradas entre corchetes, testando la o las coordenadas negativas para que finalmente se eliminen fracciones si es necesario. Por lo tanto: Dirección A: (0, 1, 0) – (1, 1, 1) = -1, 0, -1 = [ 1 0 1 ]; no hay fracciones que eliminar. Dirección B: (1/2, 0, 0) – (0, 0, 1) = ½, 0, -1 = [½,0 1 ]; si hay fracciones que eliminar.

2[½,0 1 ] = [1 0 2 ] Dirección C: (1, 0,1/2) – (1/2, 1, 0) = ½, -1, ½ = [½, 1 , ½]; si hay fracciones que eliminar.

2 [½, 1 , ½] = [1 2 1]

Ejemplo 12

Trace la dirección [1 3 3 ]; en un sistema cúbico. Traslade el origen si es necesario. Respuesta: Para trazar esta dirección, es necesario en primer lugar; convertir los valores enteros a fracciones. Esto es con el propósito de ocupar un solo octante o bien que la dirección quepa dentro de la celdilla. Así: [1 3 3 ] = (⅓) [1 3 3 ]= [⅓ 1 1 ] Posteriormente se observa, que hay dos coordenadas negativas, lo cual intuye trasladar el origen como se ilustra en la figura; a partir del cual se medirán los valores de las coordenadas, obteniéndose finalmente el trazo del vector.

1.3.2 Planos en la celda unitaria. Dado un plano en el interior de una celdilla se requiere encontrar una notación que represente dicho plano, para ello debe utilizarse el procedimiento siguiente: 1. Identificar los puntos en los cuales el plano interseca a los ejes coordenados x, y, z; en función del número de parámetros de red. Si el plano pasa a través del origen, el origen del sistema de coordenadas deberá ser trasladado. 2. Enseguida, tomar los recíprocos de estas intersecciones. 3. Elimine las fracciones pero no reduzca a los mínimos enteros. 4. Encierre el resultado entre paréntesis  , no utilice comas. De nuevo, los números negativos se testarán.

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Ejemplo 13 Un sistema cúbico contiene el siguiente plano, como se muestra en la figura. Encontrar la notación correspondiente para dicho plano. Respuesta: Utilizando el procedimiento anterior, se tiene que las intersecciones del plano con los ejes, a partir del origen “O” son: x =1, y =1, Z = ½. Obsérvese que el plano no pasa por el origen. En seguida se toman los recíprocos de estas intersecciones, quedando de esta manera:

1 1  1 x 1 1 1 a2    1 y 1 1 1 a3    2 z 1 2 a1 

En el siguiente paso no hay fracciones que eliminar, y por último estos recíprocos (valores), se encierran entre paréntesis; quedando el plano representado por la siguiente notación: 1 1 2 .

Ejemplo 14 Un sistema cúbico contiene el siguiente plano, como se muestra en la figura. Encontrar la notación correspondiente para dicho plano.

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Respuesta: En este caso, se sugiere trasladar el origen “O”, al origen (0, 0, 0); entonces a partir de este nuevo origen, se tiene que las intersecciones son: x = -1/2, y =  , Z = 1. Observe que la coordenada y es un valor muy grande, es decir; el plano es paralelo al eje y. Así los recíprocos de las coordenadas son: a1  2 a2  0 a3  1

Puesto que no hay fracciones que eliminar, el plano tendrá la notación 2 0 1. Ejemplo 15 Dada la notación 1 0 1 en un sistema cúbico, trace el plano correspondiente. Respuesta: Según la notación del plano, tenemos que a1  1, a2  0, a3  1 ; entonces los recíprocos de estos valores darán las intersecciones del plano con los ejes x, y, z; así dichas intersecciones son: x = 1, y =  , z = 1 . Por lo tanto el plano queda representado, de la siguiente manera. Note que el origen del plano es el punto (0, 0, 0) y que además el plano es paralelo al eje y. Recuerde también, que cuando el plano pasa por el origen del sistema coordenado, es necesario trasladar dicho origen, según convenga a nuestro interés.

Direcciones y planos cristalográficos en la celda hexagonal compacta. Se ha diseñado una notación especial para las celdas hexagonales compactas, debido a la simetría singular que presenta este cuerpo geométrico. En el caso de las direcciones cristalográficas el procedimiento empleado es el mismo que para la celda cúbica; sin embargo, puede utilizarse tanto un sistema coordenado de tres ejes como uno de cuatro; como se indica en la figura siguiente.

Figura 1.3.2 Sistema coordenado de cuatro ejes.

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En este sistema coordenado a1 representa al eje x, a2 al eje y, y a3 es un eje redundante, el cual complementa la profundidad de la celda HC. En la figura se observa que la 43

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suma vectorial de a1 + a2 = -a3, donde el eje a3 es redundante. Por último c, representa al eje z. Recordemos que todos estas distancias están medidas en función del número de parámetros de red. Las direcciones en las celdas HC, se denotan mediante el sistema de tres ejes, pudiendo cambiar la notación de éste, al de cuatro ejes, utilizando las siguientes ecuaciones: a1  a2 

1 3 1 3

(2a 1  a 2 ) ( 2a 2  a 1 ) 1

a 3   (a 1  a 2 ) 3 c  c

Donde a1 , a 2 , a3 , c  son las coordenadas para el sistema de cuatro ejes y a1 , a 2 , c son para el sistema de tres ejes. Después de la transformación, los valores de a1 , a 2 , a3 , c , Pueden requerir simplificación de fracciones o reducción a los mínimos enteros.

Ejemplo 15

Trace la dirección 2 2 1  en una celda hexagonal, utilice el sistema coordenado de cuatro ejes; y compruebe que se obtiene una dirección equivalente si se utiliza un sistema de tres ejes. Respuesta: Puesto que la dirección está en coordenadas para tres ejes, donde a1  2, a 2  2, c  1 ; enseguida se obtiene a partir de las ecuaciones las coordenadas para cuatro ejes; así: a1  2, a 2  2, a 3  0, c  1. Por lo consiguiente la dirección queda denotada para cuatro ejes como 2 2 0 1 ; sin embargo es necesario reducir a los mínimos enteros, por lo tanto la dirección queda 1 1 0 1 / 2. Para trazar la dirección se traslada el origen “O” hacia abajo en dirección de a1 , un parámetro de red; y a partir de este nuevo origen se recorre un parámetro de red sobre el eje  a1 , un parámetro de red sobre el eje a 2 , ninguno sobre el eje a3 , y medio parámetro de red sobre el c; este recorrido se hace uniendo la cabeza del primer vector con la cola del segundo, y así sucesivamente. Por último se une el nuevo origen con la cabeza del último vector; como se muestra en la figura en color azul turquesa.

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Por otra parte, si trazamos la dirección en tres ejes, solo debemos de seguir el método convencional a partir del origen “O” y se obtiene el vector en color rojo. Por lo tanto la dirección 1 1 0 1 / 2 es equivalente a la dirección 2 2 1 . Distancia de repetición, densidad y fracción de empaquetamiento lineal. Anteriormente se menciono que los materiales se deforman en aquellas direcciones en las cuales los átomos están en contacto más estrecho. Es decir, una dirección puede ser más compacta que otra; si sus átomos están más juntos o más separados. Para determinar éste hecho, se define la distancia de repetición, como el recorrido a lo largo de la dirección, medido de centro a centro de los átomos contenidos en ella. La densidad lineal es el número de átomos o puntos de red por unidad de longitud a lo largo de una dirección en particular. Asimismo se define la fracción de empaquetamiento lineal, como la fracción de la dirección verdaderamente cubierta por átomos. Ejemplo 16

Calcular la distancia de repetición, la densidad lineal y la fracción de empaquetamiento para el hierro CC., que tiene un parámetro de red a0  0.2866m. en la dirección 1 0 1 . Respuesta: En primer lugar se traza la celda cúbica centrada en el cuerpo, enseguida se representa la dirección en dicha celda, junto con los átomos que contenidos a través de su longitud. En la figura se muestra que la dirección es la diagonal de la cara lateral izquierda del cubo y que la distancia de repetición medida es solo una (centro a centro de los átomos). Observando que la dirección tiene como longitud ( a0 2 ). La densidad lineal se calcula como el cociente que resulta de dividir el número de distancias de repetición contenidas a lo largo de la dirección, entre la longitud de la dirección; según la relación:

l 

Número de dis tan cias de repetición 1  Longitud de la dirección. a0 2

l 

puntos de red 1  2.467 m 0.2866 2

La densidad lineal, también puede calcularse en función de los átomos que contiene la dirección por cada cm. de su longitud. Observe que hay medio átomo en un vértice y otro medio átomo en el otro vértice; por consiguiente hay un átomo contenido en dicha dirección. La relación para el cálculo es la siguiente:

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l 

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número de átomos contenidos en la dirección 1  Longitud de la dirección 2.866 x 10 8





2

 2.467 x 10 7

átomos cm

Por último para calcular la fracción de empaquetamiento lineal en la dirección, es decir; la fracción de la dirección verdaderamente cubierta por átomos, se multiplica la densidad lineal por el diámetro del átomo correspondiente (dos veces el radio atómico en m. ); así:

  puntos de red   m   0.612  (2)  0.1241 Fel   2.467 m punto de red    

El resultado indica que el 61% de la longitud de la dirección esta cubierta por átomos, y el 39% restante está vacía; por lo tanto los átomos no están en contacto estrecho en esta dirección. Densidad y fracción de empaquetamiento planar. Se define la densidad planar como el número de átomos por unidad de superficie cuyo centro está sobre el plano. La fracción de empaquetamiento planar es el área sobre dicho plano cubierta por dichos átomos. Ejemplo 17 Calcule la densidad planar y el factor de empaquetamiento planar, para el magnesio HC; que tiene como parámetro de red a0  3.2087 A y una altura co  5.209 A , en el plano 2 1 1 0 . Respuesta: Se traza la celda hexagonal compacta, luego con los recíprocos de las coordenadas del plano, se obtienen las intersecciones del plano con los ejes; estos valores son: 1 a1  , a 2  1, a3  1, c   2 1 Es decir, el plano corta al eje a1 en , al eje a 2 en 1, al eje 2 a3 en 1 y es paralelo al eje c . La figura ilustra tanto la celda como el plano. Observe que en el plano, se muestran los átomos o puntos de red contenidos en él. Observe que no todos los átomos corresponden al plano, por ejemplo; en los vértices solo está contenido una cuarta parte del átomo correspondiente, mientras en el lado derecho del plano RNC

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existe uno. Note que este átomo, corresponde a uno de los tres átomos que forman el triángulo equilátero interno en dicha celda. Esto quiere decir que el plano contiene un total de:

1  1 2 4

Número de átomos contenidos en el plano = 4 

El área del plano se calcula multiplicando la base por la altura, esto es: A p  b x h La base del plano corresponde a la base de un triángulo isósceles, como se ilustra en la misma figura. Éste triángulo tiene dos lados iguales, cuyo valor es a0 y uno desigual cuyo valor es desconocido; además tiene dos ángulos de 30° y uno de 120°. Aplicando principios de geometría plana y trigonometría, se obtiene el valor desconocido, el cual corresponde a la base del plano. Dicho valor es b  5.557 A . Así, el área del plano es A p  5.557 x 10 8 5.209 x 10 8  2.89 x 10 15 cm 2 . Con el número de átomos contenidos en el plano y el área del plano, se calcula la densidad planar con la siguiente relación:

p 

Número de átomos contenidos en el plano 2 átomos   6.92 x 1014 15 2.89 x 10 cm 2 Área del plano

Para calcular la fracción de empaquetamiento planar, es necesario considerar la geometría del átomo como una esfera perfecta cuya área es Aa   r 2 . Puesto que el radio atómico es 1.604 A , entonces el área de un átomo es Aa  8.08 x 10 16 cm 2 . Así, la fracción de empaquetamiento planar se calcula a través de la relación: Fe p 





Ärea que ocupan los átomos 2  8.08 x 10 16   0.56 Ärea del plano 2.89 x 10 15

Este valor indica que el 56% del área del plano esta ocupada por átomos, mientras el 44% esta vacía. Siendo este un plano donde los átomos no están en contacto estrecho. Note que el empaquetamiento en un plano nunca puede ser igual al 100%, porque aún los átomos estén juntos, estos dejarán siempre espacios vacíos. Además es común en la práctica, comparar las densidades lineales y planares de distintas direcciones y planos; con el propósito de conocer cual de ellas es la más compacta. Porque al aplicar una fuerza en esa dirección o plano el material se deformará o deslizará, hasta fallar.

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1.3.3 Notación para direcciones y planos en la celda unitaria. En el apartado anterior, se utilizó una notación para representar a las direcciones y los planos en la celda unitaria. Recordemos que para las direcciones representadas en tres ejes, la notación se indicó a1 a 2 a3 , para cuatro ejes a1 a 2 a 3 c . Asimismo los planos se representaron con la notación a1 a 2 a3 c , sin embargo esta notación no resulta práctica. Para simplificar el problema se ideó una notación abreviada para estos casos, conocida como los índices de Miller-Bravais.

1.3.4 Importancia de los índices de Miller. Es posible asignar una notación abreviada para indicar direcciones y planos cristalográficos en la celda unitaria. Dicha notación es conocida como los índices de MillerBravais, los cuales sustituyen a la notación anterior. Utilice la notación h k l para indicar una dirección en un sistema coordenado de tres ejes. En un sistema de cuatro ejes la notación para una dirección es h k i l . En sistema de cuatro ejes un plano se representa con la notación h k i l . Así:

h k l  = a1 a 2 a3  h k i l  = a1 a2 a3 c h k i l  = a1 a 2 a3 c ;

donde h  k   i .

Ejemplo 18 Determine los índices de Miller para las direcciones mostradas en la celda unitaria cúbica, que aparece en la figura.

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Respuesta: Dirección A: El punto de la cola se resta del de la cabeza, y se obtiene; (0, 0, 1) – (1, 0, 0) = 101 Estos valores se encierran entre corchetes, quedando la dirección representada por 1 0 1  . Observando que no hay fracciones que eliminar; los índices de Miller que representan a la dirección A, son h, k , l  1 0 1 

Dirección B: Éste mismo procedimiento se aplica para la dirección B, y se obtiene; (1, 0, 1) – (1/2, 1, 0) = ½, 1, 1. Así los índices de Miller para esta dirección son 12 1 1 .





Eliminando fracciones se tiene finalmente, 2, 2, 1 que son los índices de Miller de la dirección B. Ejemplo 19

Determine los índices de Miller para el plano mostrado en la figura.

Respuesta: Encontrando las intersecciones del plano con los ejes coordenados, se tiene; el plano corta al eje x a una distancia de un parámetro de red, corta al eje y a una distancia de un parámetro de red y es paralelo al eje z. Es decir: x = 1, y = 1, z =  Enseguida se obtienen los recíprocos de estas intersecciones, obteniéndose los índices de Miller.

h  1, k  1, l  0 , encerrando entre paréntesis, se obtienen finalmente los índices de Miller para el plano, como 1, 1, 0 . No hay fracciones que eliminar.

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Imperfecciones cristalinas. En todos los materiales el arreglo de los átomos contiene imperfecciones. Estas ejercen un efecto profundo respecto al comportamiento de los materiales, controlando dichas imperfecciones cristalinas se pueden mejorar las propiedades mecánicas y físicas y crear más y mejores materiales. Las imperfecciones se clasifican en: defectos de punto, defectos lineales (dislocaciones), defectos de superficie y defectos de volumen. Es oportuno aclarar que dichas imperfecciones sólo representan defectos en relación con el arreglo atómico, y no con el material mismo. De hecho estos defectos pudieran haber sido agregados intencionalmente con el propósito de obtener un conjunto deseado de propiedades. Los defectos de punto se clasifican a su vez en: Vacancias, la cuál se produce cuando falta un átomo en un sitio normal de la red o celda

unitaria. Defectos intersticiales, cuando se inserta un átomo adicional en una posición normalmente desocupada dentro de la estructura cristalina. Defectos sustitucionales, cuando se remplaza un átomo que ocupa una posición normal en la

red, por otro de tipo distinto, grande o pequeño. Sí el átomo es grande, los átomos circundantes se comprimen; sí el átomo es pequeño, éstos se tensionan. El defecto Frenkel es un defecto vacancia- intersticio (sólo en materiales iónicos) formado cuando un ión que ocupa una posición normal en la red, abandona dicha posición para ocupar un sitio intersticial, dejando detrás una vacancia. El defecto Schottky (sólo en materiales iónicos) es un par de vacancias; donde a falta de un anión debe faltar también un catión, con el propósito de asegurar la neutralidad eléctrica del material. Este defecto es común en materiales cerámicos. Dislocaciones o defectos de línea, hacen presencia en la red durante el proceso de solidificación del material o durante su deformación. Este defecto explica la deformación y el endurecimiento en los materiales metálicos, aunque también esta presente en los materiales cerámicos y polímeros. Estas se clasifican en dislocaciones de tornillo, de borde y mixtas.

El proceso mediante el cuál se mueve una dislocación causando que se deforme un material se conoce como deslizamiento. Cualquier tipo de dislocación puede producir deslizamiento en el material. Cualquier defecto puntual altera el arreglo perfecto de la red, distorsionándola a partir del defecto. Por lo consiguiente, cualquier dislocación que se mueva a través de las cercanías de un defecto puntual, encontrará una red en la cuál los átomos no están en posiciones de equilibrio.

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Este hecho requiere que se aplique un esfuerzo mayor en el material para que la dislocación venza al defecto y éste pueda seguir su movimiento; incrementándose así, la resistencia mecánica del material. Los defectos superficiales son las fronteras o planos que separan un material en regiones o zonas que tienen la misma estructura cristalina pero con orientaciones cristalográficas distintas. Dichas regiones o zonas reciben el nombre de granos, las cuales tienen el mismo arreglo atómico, siendo distinta su orientación. Los granos están separados por superficies estrechas en las cuales los átomos no están correctamente espaciados denominadas fronteras de grano. En ellas los átomos pueden estar muy juntos o muy separados creando regiones o zonas de compresión y tensión respectivamente. Un método para modificar las propiedades de un material es mediante el control del tamaño de grano. Un grano pequeño implica un mayor número de granos, y por ende un mayor número de fronteras de grano y viceversa. Si cualquier dislocación se mueve una distancia corta en el interior de un material, se encontrara enseguida con una frontera de grano la cuál le impedirá su movimiento, incrementándose así la resistencia del material. Se puede controlar el tamaño de grano a través de la solidificación, la generación de aleaciones y el tratamiento térmico. Existe una técnica conocida como microscopia óptica, la cuál es utilizada para detectar características microestructurales, como las fronteras de grano que requieren una ampliación menor a los 2000 aumentos. El proceso para preparar una muestra microestructura se conoce como metalografía.

de cierto metal para observar y registrar su

El proceso consiste en lijar y pulir una muestra del material, hasta obtener un acabado espejo en su superficie. Enseguida, ésta se expone a un ataque químico o grabado; por lo que las fronteras de grano se disuelven en mayor grado que el resto de cada grano. Un rayo de luz proveniente de un microscopio óptico se refleja o dispersa sobre la superficie de la muestra. Dependiendo de la forma en que la superficie fue atacada químicamente, la luz se dispersa en mayor grado en las fronteras de grano que en el resto de muestra; apareciendo como líneas oscuras. Una forma mediante la cuál se especifica el tamaño de grano es el número de tamaño de grano ASTM (American Society Testing & materials), dado por la siguiente ecuación: N  2 n 1 Donde:

N = Número de granos por pulgada cuadrada a partir de una fotografía tomada en una ampliación x 100.

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n = índice o tamaño de grano. Un índice grande indica que el material esta constituido por muchos granos, es decir, los granos son muy pequeños y por lo tanto el material tiene una resistencia mecánica alta.

Además de las fronteras de grano, existen otros tipos de imperfecciones de superficie de menor eficacia, como son los bordes de grano de ángulo pequeño, fallas de apilamiento y bordes de macla, los cuales pueden ser consultados por el lector en cualquiera de las referencias bibliográficas recomendadas al final del capítulo. Los defectos de volumen son producidos durante la solidificación, y se clasifican en contracción y porosidad gaseosa. Durante la solidificación el material se contrae y se encoge hasta en un 7% de su volumen produciendo cavidades, si la contracción se inicia en la superficie del material. Sí una de las superficies se solidifica más lentamente que las demás, entonces la contracción aparece en forma de rechupe. Es posible controlar la formación de cavidades y rechupes mediante la técnica del rebosadero, la cuál consiste en una reserva de metal líquido conectada a la fundición. Conforme el metal solidifica y se contrae, fluye metal líquido del rebosadero hacia la fundición, con el propósito de llenar el hueco reducido por la contracción. La porosidad gaseosa consiste en la disolución de gases cuando el metal se encuentra en estado líquido. Es decir, muchos metales tienen la capacidad de permitir la incorporación de ciertos gases en solución. Sin embargo, al solidificarse sólo una fracción de ellos queda atrapada en su estructura cristalina. La parte excedente queda atrapada en el metal sólido produciendo el defecto de porosidad gaseosa. Existen diversas formas de controlar la porosidad gaseosa en fundiciones, y son:   

Mantener baja la temperatura del líquido. Agregar material al líquido para que se combine con dicho gas formando un sólido. Mantener baja la presión parcial de dicho gas.

Resumen Es de importancia notar que las propiedades físicas, mecánicas y químicas de los materiales dependen de los cuatro niveles estructurales, sin embargo la estructura cristalina ejerce una gran influencia sobre las propiedades mecánicas. La estructura cristalina de los materiales se resume en catorce tipos de celdas unitarias, o redes de Bravais, agrupadas en siete sistemas cristalinos. La mayoría de los materiales tecnológicos tienen estructuras del tipo cúbica y hexagonal. Las direcciones y planos compactos en la celda unitaria permiten conocer si el material se deforma con facilidad o si es altamente resistente. Dichas direcciones y planos se representan mediante los índices de Miller-Bravais en coordenadas de tres y cuatro ejes. El control de las imperfecciones cristalinas permite mejorar las propiedades del material. RNC

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Ejercicios. 1. Calcule el radio atómico en cm. Para un metal CCC., con un parámetro de red de 3.5161 A y con un átomo por punto de red. ¿De que metal se trata? 2. La densidad del litio que tiene una estructura CC. y un átomo por punto de red es de 6.94 gm/cm3. Calcule el parámetro de red y el radio atómico del litio. 3.

El bismuto tiene una estructura hexagonal, con a0  0.4546m y co  1.186m. La densidad es de 9.808 gm/cm3. Determine: a) el volumen de la celda unitaria, b) cuantos átomos existen en cada celda unitaria.

4. Por encima de los 912 °C, el hierro tiene una estructura cristalina CCC; con ao = 0.3589 m . Por debajo de esta temperatura tiene una estructura CC, con ao = 0.2866 m . a) Determine el porcentaje de cambio en volumen cuando el hierro CC se transforma en hierro CCC. b) ¿Se trata de una contracción o de una expansión? 5.

Una lámina de cobre tiene un espesor de 3 mm. Sí todas las celdas unitarias del cobre están organizadas de manera que a0 es perpendicular a la superficie de la lámina. Determine: a) el número de celdas unitarias en la lámina, b) el espesor de la misma en función de celdas unitarias.

6. Dados los siguientes índices de Miller, trace las direcciones en una celda cúbica.

1 0 1, 0 1 0, 1 2 2, 2 1 3, 3 1 2 7. Dados los siguientes índices de Miller, trace las direcciones en una celda hexagonal compacta.

0 11 0, 1 1 2 0, 1 1 2 1, 1 0 1 0, 2 1 1 0 8. Obtenga los índices de Miller para las direcciones ilustradas en la celda cúbica unitaria, mostrada en la figura. 9. Obtenga los índices de Miller para los planos ilustrados en la celda cúbica unitaria, mostrada en la figura.

Problema 8

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Problema 9

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10. Obtenga los índices de Miller para las direcciones ilustradas en la celda hexagonal compacta, mostrada en la figura. 11. Obtenga los índices de Miller para los planos ilustrados en la celda hexagonal compacta, mostrada en la figura.

Problema 10

Problema 11

12. Determine la distancia de repetición, la densidad lineal, y la fracción de empaquetamiento para el aluminio CCC., que tiene un parámetro de red de 0.4049 m. en las siguientes direcciones: 1 0 0, 1 1 0, y 1 1 1. ¿Cuál de estas direcciones es la más compacta? 13. Determine la densidad planar y la fracción de empaquetamiento para el hierro CC., en los planos 1 0 0 , 1 1 0 , y 1 1 1. ¿Cuál de estos planos es el más compacto? 14. Determine la densidad planar y la fracción de empaquetamiento para el zinc HC., en los planos 0 0 0 1, 1 1 0 0, y 1 1 2 2 . ¿Cuál de estos planos es el más compacto? 15. Determine la distancia de repetición, la densidad lineal, y la fracción de empaquetamiento para el magnesio HC., que tiene un parámetro de red de 0.32087 m. y una altura de 0.5209 m. en las siguientes direcciones: 1 0 0, 1 1 0, y 1 1 1. ¿Cuál de estas direcciones es la más compacta? 16. Suponga que se cuentan 20 granos por pulgada cuadrada en una fotomicrografía tomada en una ampliación x 100 de un metal. Determine el índice de tamaño de grano. 17. Suponga que se cuentan 18 granos por pulgada cuadrada en una fotomicrografía tomada en una ampliación x 250 de un metal. Determine el índice de tamaño de grano. 18. Haga una investigación documental referente a las estructuras cristalinas complejas 19. Establezca la diferencia entre un material anisotrópico y uno isotrópico.

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20. Mediante principios básicos demuestre que la distancia entre dos planos de átomos paralelos adyacentes, con los mismos índices de Miller denominada distancia interplanar d hkl , para los cristales cúbicos; está dada por la expresión: d hkl 

a0 h2  k 2  l 2

Donde ao es el parámetro de red y h, k , l son los índices de Miller de los planos adyacentes considerados.

Referencias. Donald R. Askeland, Ciencia e Ingeniería de los Materiales, Internacional Thomsom, 1998. Schaffer-Saxena-Antolovich-Sanders-Warner, Ciencia y Diseño de Materiales para Ing., CECSA, 1999. Novelo Coral Ramón, Apuntes de clase, 2003. Meter A. Thornton &Vito J.Colangelo, Ciencia de materiales para Ingeniería, Prentice-Hall, 1987. Van Vlack, Materiales para Ingeniería, CECSA, 1985.

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