03 - Capacitancia y Dielectricos - Problemas Resueltos

Ejemplo 1 – Capacitor de placas paralelas. Un capacitor de placas paralelas y capacitancia de 245 F tiene una carga de 0.148 C en cada placa. Las placas están separadas por una distancia de 0.328 mm. Determine: a. b. c. d.

La diferencia de potencial entre las placas considerando que están al vacío. El área de cada placa. La magnitud del campo eléctrico entre las placas. La densidad superficial de carga en cada placa.

a. Partiendo del concepto de capacitancia: 𝑄 𝑄 𝐶= ⟹ 𝑉= 𝑉 𝐶 0.148𝑥10−6 𝐶 𝑉= 245𝑥1012𝐹 𝑽 = 𝟔𝟎𝟒 𝑽 b. Para un capacitor de placas paralelas: 𝐴 𝐶𝑑 𝐶0 = 𝜀0 ⟹ 𝐴= 𝑑 𝜀0 (245𝑥1012 𝐹)(0.328𝑥10−3 𝑚) 𝐴= 8.854𝑥10−12 𝐹/𝑚 𝑨 = 𝟗. 𝟎𝟖𝒙𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝟐 c. Considerando que el campo eléctrico entre las placas es uniforme, tenemos que: 𝑉 𝑉 = 𝐸𝑑 ⟹ 𝐸= 𝑑 604 𝑉 𝐸= 0.328𝑥10−3 𝑚 𝑬 = 𝟏. 𝟖𝟒𝒙𝟏𝟎𝟔 𝑽⁄𝒎 d. Si recordamos, el campo eléctrico para 2 placas paralelas a una distancia cercana es: 𝜎 𝐶2 𝐸= ⟹ 𝜎 = 𝐸𝜀0 = (1.84𝑥106 𝑉⁄𝑚) (8.854𝑥10−12 ) 𝜀0 𝑁𝑚2 𝝈 = 𝟏. 𝟔𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟓 𝑪⁄ 𝟐 𝒎 O bien: 𝑄 0.148𝑥10−6 𝐶 𝜎= = = 1.63𝑥10−5 𝐶⁄ 2 𝑚 𝐴 9.08𝑥10−3 𝑚2 −𝟓 𝑪 𝝈 = 𝟏. 𝟔𝟑𝒙𝟏𝟎 ⁄𝒎𝟐

Ejemplo 2 – Capacitor de placas paralelas. Un capacitor de placas paralelas con forma circular tiene una capacitancia de 10.0 F y está conectado a una batería de 12.0 V. Determine: a. La carga en cada placa. b. La carga en cada placa si se duplica la separación entre ellas mientras el capacitor sigue conectado a la batería. c. La carga en cada placa si en lugar de duplicar la separación, se duplica el radio su radio. Ahora suponiendo que el capacitor se desconecta de la batería, determine: d. ¿Cuál sería el voltaje si la separación de las placas se duplica? e. ¿Cuál seria el voltaje si en lugar de duplicar la separación entre placas, se duplica el radio su radio? a. Partiendo del concepto de capacitancia: 𝐶=

𝑄 𝑉

⟹

𝑄 = 𝐶𝑉

𝑄 = (10.0𝑥106 𝐹)(12 𝑉) 𝑸 = 𝟏𝟐𝟎 𝑪 b. Tambien Para un capacitor de placas paralelas: 𝐶=

𝜀0 𝐴 𝑑

𝑦

𝑄 = 𝐶𝑉

Si se duplica la distancia entre placas, entonces la capacitancia se reduce a la mitad por lo tanto la carga tanbién se reduce en la misma proporción: 𝑸 = 𝟔𝟎 𝑪 c. Si en lugar de duplicar la separación entre placas se duplica su radio, entonces el área crece en un factor de 4, por lo tanto la capacitancia y la carga crecen en la misma proporción: 𝑸 = 𝟒𝟖𝟎 𝑪

d. Cuando el capacitor se conecta a la batería fluye suficiente carga para para mantener una diferencia de potencial de 12.0 volts entre las placas. A partir del concepto de capacitancia tenemos: 𝐶=

𝜀0 𝐴 𝑑

𝑦

𝑉=

𝑄 𝐶

Al momento de desconectar la batería y duplicar las distancia entre las placas, la capacitancia se reduce a la mitad y la diferencia de potencial del capacitor se duplica: 𝑽 = 𝟐𝟒. 𝟎 𝑽

e. Si en lugar de duplicar la separación entre placas se duplica su radio, entonces el área crece en un factor de 4, por lo tanto la capacitancia crece en la misma proporción y la diferencia de potencial se reduce en un factor de 4: 𝑽 = 𝟑. 𝟎 𝑽

Ejemplo 3 – Capacitor de placas paralelas. Se construye un condensador de placas paralelas utilizando dos láminas de metal cuadradas, cada una de lado L = 10 cm. Las placas están separadas por una distancia d = 2 mm y se aplica voltaje entre las placas. Como consecuencia, la intensidad del campo eléctrico entre las placas es E = 4000 V/m. ¿Cuál es el valor de la Energía Potencial almacenada en el condensador?

Solución: Partiendo del concepto de capacitancia: 𝐴 = (0.1𝑚)(0.1𝑚) = 0.01𝑚2 Partiendo del concepto de capacitancia: 𝐴 𝐶 = 𝜀0 𝑑 𝐶 = (8.854𝑥10−12 𝐹⁄𝑚) (

0.01 𝑚2 ) 2.0𝑥10−3 𝑚

𝐶 = 4.427𝑥10−11 𝐹 𝐸=

𝑉 𝑑

⟹

𝑉 = (4000.0

𝑉 = (𝐸)(𝑑)

𝑉 ) (2𝑥10−3 𝑚) 𝑚

𝑉 = 8.0 𝑉 1

𝐸𝑃 = 2 𝐶𝑉 2 1

𝐸𝑃 = 2 (4.427𝑥10−11𝐹)(8.0 𝑉)2 𝑬𝑷 = 𝟏. 𝟒𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟗 𝑱 = 𝟏. 𝟒𝟐 𝜼𝑱

Ejemplo 4 – Capacitor de placas paralelas. Se tiene un capacitor de placas paralelas circulares cuyo diámetro es de 4.0 cm y están separadas por una distancia de 1.0 mm al vacío. Si se conecta a una batería de 15 V, determine su capacitancia, carga eléctrica y el campo eléctrico en el espacio entre las placas.

Solución: 𝐴 = 𝜋(0.02 𝑚)2 = 1.26𝑥10−3 𝑚2 Partiendo del concepto de capacitancia: 𝐴 𝐶 = 𝜀0 𝑑 1.26𝑥10−3 𝑚2 𝐶 = (8.854𝑥10−12 𝐹⁄𝑚) ( ) 1.0𝑥10−3 𝑚 𝐶 = 1.113𝑥10−11 𝐹 𝑄 ⟹ 𝑄 = (𝐶)(𝑉) 𝑉 𝑄 = (1.113𝑥10−11 )(15 𝑉) 𝑄 = 1.669𝑥10−10 𝑉 𝐶=

De la relación de potencial eléctrico y campo eléctrico uniforme, tenemos: 𝑉 𝑉 = (𝐸)(𝑑) ⟹ 𝐸= 𝑑 15 𝑉 𝐸= 1.0𝑥10−3 𝑚 𝐸 = 15000 𝑁/𝐶

Ejemplo 5 – Capacitor cilíndrico. SZ14-P24.10 Un capacitor cilíndrico consiste en un núcleo sólido conductor con radio de 0.25 cm, coaxial con un tubo conductor exterior hueco. Los dos conductores están rodeados por aire, y la longitud del cilindro es de 12.0 cm. Si el capacitor tiene una capacitancia es de 36.7 F y una diferencia de potencial de 125 V, determine: a. El radio del tubo hueco. b. La densidad lineal de carga. a. Recuerde que la capacitancia solo depende de la geometría del objeto y para un capacitor cilíndrico tenemos: 2𝜋𝜖𝑜 𝐿 ⟹ 𝑟 𝑙𝑛 ( 𝑏 ) 𝑟𝑎 𝑟𝑏 2𝜋𝜖𝑜 𝐿 𝑙𝑛 ( ) = 𝑟𝑎 𝐶 2𝜋𝜖𝑜 𝐿 𝑟𝑏 = 𝑒( 𝐶 ) 𝑟𝑎 𝐶=

𝑟𝑏 = 𝑟𝑎 𝑒 (

𝑟𝑎 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜, 𝑟𝑏 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑜 ℎ𝑢𝑒𝑐𝑜

2𝜋𝜖𝑜 𝐿 𝐶 )

Sustituyendo valores: 2𝜋(8.854𝑥10−12 𝐹⁄𝑚 )(0.12 𝑚) ( ) (36.7𝑥10−12𝐹)

𝑟𝑏 = (0.0025 𝑚)𝑒 𝒓𝒃 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟑 𝒎 = 𝟎. 𝟑𝟎 𝒄𝒎

De los conceptos de capacitancia y densidad lineal de carga tenemos: 𝑄 𝑄 𝑦 𝜆= 𝑉 𝐿 𝑄 𝐶𝑉 𝜆= = 𝐿 𝐿 (36.7𝑥10−12 𝐹)(125 𝑉) 𝜆= 0.120 𝑉 𝐶=

𝝀 = 𝟑. 𝟖𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟖 𝑪⁄𝒎

Ejemplo 6 – Capacitor de esférico. SZ14-P24.11 Un capacitor esférico está formado por dos corazas concéntricas esféricas y conductoras separadas por vacío con una carga de 3.3 C cuando está conectado a una diferencia de potencial de 220 V. Si el radio interior de la coraza externa es de 4.0 cm, determine: a. La capacitancia del dispositivo. b. El radio de la esfera interior. c. El campo eléctrico inmediatamente fuera de la superficie de la esfera interior. a. Por los datos que tenemos, procedemos al cálculo de la capacitancia del dispositivo: 𝑄 𝑉 3.3𝑥10−9 𝐶 𝐶= 220 𝑉 𝐶=

𝑪 = 𝟏. 𝟓𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑭 b. Ahora para un capacitor de forma esférica tenemos que: 𝐶 = 4𝜋𝜖𝑜 [

𝑟𝑎 𝑟𝑏 ] ⟹ 𝑟𝑏 − 𝑟𝑎

𝑟𝑎 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎, 𝑟𝑏 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎

𝑟𝑎 − 𝑟𝑏 4𝜋𝜖𝑜 =( ) 𝑟𝑏 𝑟𝑎 𝐶 𝑟𝑎 𝑟𝐵 4𝜋𝜖𝑜 − =( ) 𝑟𝑏 𝑟𝑎 𝑟𝑏 𝑟𝑎 𝐶 1 1 4𝜋𝜖𝑜 − =( ) 𝑟𝑏 𝑟𝑎 𝐶 𝑟𝑏 = (

1 4𝜋𝜖 1 ( 𝐶 𝑜) + 𝑟 𝑎

𝑟𝑏 = ( (

)

1 ) 𝐹/𝑚) 1 ) + ( ) 0.04 𝑚 1.5𝑥10−11 𝐹

4𝜋(8.854𝑥10−12

𝒓𝒃 = 𝟎. 𝟎𝟑𝟎𝟖 𝒎 = 𝟑. 𝟖 𝒄𝒎

c. Podemos considerar la esfera interna como una carga puntual localizada en su centro y utilizando la ley de Coulomb tenemos: 𝐸=

1 𝑞 4𝜋𝜖𝑜 𝑟 2

𝐸=

1 3.30 × 10−9𝐶 4𝜋𝜖𝑜 (0.0308 𝑚)2

𝑬 = 𝟑. 𝟏𝟐 × 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝑪

Ejemplo 7 – Capacitores y dieléctricos. Un capacitor de placas paralelas tiene un área de 200 cm2 y una separación entre placas de 4 mm. Se conecta a una fuente de voltaje de 20 V hasta llegar a su carga eléctrica máxima y en ese momento se desconecta de la fuente de voltaje. A continuación, se introduce un dieléctrico de teflón (k = 2.1). Bajo estas condiciones determine la capacitancia del condensador armado, la carga eléctrica, el voltaje que alcanza y la energía potencial almacenada.

Solución: 𝐴 = 200 𝑐𝑚2 = 0.02 𝑚2 Calculamos la capacitancia para determinar la carga máxima que alcanza el capacitor: 𝐴 𝐶0 = 𝜀0 𝑑 0.02 𝑚2 −12 𝐹⁄ 𝐶0 = (8.854𝑥10 𝑚) (4.0𝑥10−3 𝑚) 𝐶0 = 4.43𝑥10−11 𝐹 𝑄 ⟹ 𝑄 = (𝐶0 )(𝑉0 ) 𝑉0 𝑄 = (4.43𝑥10−11 𝐹)(20 𝑉) 𝐶0 =

𝑄 = 8.854𝑥10−10 𝐶 Al desconectar de la fuente de voltaje, la carga se mantiene constante aún con el uso del dieléctrico. Para un condensador armado con el material dieléctrico tenemos: 𝐶 = 𝐾𝐶0 = (2.1)(4.43𝑥10−11𝐹) = 9.297𝑥10−11 𝐹 1 1 𝑉 = 𝑉0 = ( ) (20 𝑉) = 9.52 𝑉 𝐾 2.1 1𝑄

2

1

1

= 2 𝐶𝑉 2 = 2 𝑄𝑉 𝐶 −10 )2 𝐶 1 (8.854𝑥10 𝐸𝑃 = 2 ( ) = 4.22𝑥10−9 𝐽 −11 9.297𝑥10 𝐹 𝐸𝑃 = 2

Ejemplo 8 – Capacitores y dieléctricos. Un capacitor de placas paralelas tiene un área de 200 cm2 y una separación entre placas de 4 mm. Determine: a. b. c. d.

La capacitancia total con aire entre las placas. La capacitancia cuando se llene todo el espacio entre las placas con teflón (k = 2.1). La carga libre que adquiere el capacitor al conectarlo a una fuente de 12 volts. La carga inducida en el dieléctrico.

a. A = 200 cm2 = 0.02 m2 d = 4 x 10-3 m 𝐴 0.02 𝑚2 = (8.854𝑥10−12𝐹/𝑚) ( ) 𝑑 4𝑥10−3 𝑪𝟎 = 𝟒. 𝟒𝟐𝟕𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑭 𝐶0 = 𝜀0

b. Si K = 2.1

C = K C0

𝐶 = (2.1)(4.427𝑥10−11 𝐹) 𝑪 = 𝟗. 𝟐𝟗𝟕𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑭

c. Considerando que la diferencia de potencial suministrada al capacitor antes del uso del dieléctrico es V0 = 12 V (tome en cuenta que al utilizar el dieléctrico, la diferencia de potencial disminuye), entonces: 𝑄 = 𝐶0 𝑉0 = 𝐶 𝑉 = (4.427𝑥10−11 𝐹)(12 𝑉) 𝑸 = 𝟓. 𝟑𝟏𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝑪 Este valor de carga eléctrica se mantiene aún utilizando el material dieléctrico. d. Para calcular la carga eléctrica inducida en el dieléctrico utilizamos el concepto de la densidad superficial de carga en las placas del capacitor y las caras del dieléctrico en contacto con ellas: 1

𝜎𝑖 = 𝜎 (1 − 𝐾 ) 1

Dividiendo toda la ecuación entre el área del capacitor (A): 1

𝑄𝑖 = 𝑄 (1 − 𝐾 ) = (5.312𝑥10−10𝐶) (1 − 2.1) 𝑸𝒊 = 𝟐. 𝟕𝟖𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝑪

Ejemplo 9 – Capacitores y dieléctricos. SZ12-P24.71 En la figura se presenta un capacitor que tiene un área A = 100 cm2 y una separación entre sus placas d = 1 mm, además de que contiene 2 dieléctricos entre sus placas. Si los valores de las constantes de los dieléctricos son K1 = 3.5 y K2 = 2 y el capacitor se conecta a una fuente que proporciona 12 volts, calcule: a. La capacitancia del capacitor sin los dieléctricos b. Con el uso de dieléctricos. c. La carga del capacitor d. La energía total del capacitor sin el uso de dieléctricos y con el uso de ellos. a. Primero determinamos la capacitancia en ausencia de un dieléctrico. Tome en cuenta que este valor solo va a depender de las características geometricas del capacitor: 𝐶0 = 𝜀0

𝐴 𝑑

𝐶0 = (8.854𝑥10−12𝐹/𝑚) (

0.01 𝑚2 ) 1𝑥10−3 𝑚

𝑪𝟎 = 𝟖. 𝟖𝟓𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑭

b. Ahora al introducir los dieléctricos entre las placas, estos se comportan como capacitores individuales conectados en serie, por lo tanto podemos representarlos de la siguiente forma:

Entonces las capacitancias C1 y C2 están dadas por: 𝐶1 = 𝐶0 𝐾1 𝐶0 = 𝜀0 (1𝐴 ) 2𝑑

y

𝐶2 = 𝐶0 𝐾2 donde C0 es:

Por otro lado, para 2 capacitores en serie la capacitancia equivalente se determina: 1 1 1 = + 𝐶𝑒𝑞 𝐶1 𝐶2 𝐶1 𝐶2 𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 Sustituyendo C1 y C2: [(𝜀0 (1𝐴 )) 𝐾1 ] [(𝜀0 (1𝐴 )) 𝐾2 ] 𝐶𝑒𝑞 =

2𝑑

2𝑑

[(𝜀0 (1𝐴 )) 𝐾1 ] + [(𝜀0 (1𝐴 )) 𝐾2 ] 2𝑑

2𝑑

Resolviendo algebraicamente y agrupando términos:

𝐶𝑒𝑞

2𝜀0𝐴 2 ) (𝐾1 𝐾2 ) 𝑑 = 2𝜀 𝐴 ( 0 ) (𝐾1 + 𝐾2 ) 𝑑

𝐶𝑒𝑞 =

(

2𝜀0 𝐴 𝐾1 𝐾2 ( ) 𝑑 𝐾1 + 𝐾2

Por último sustituimos términos.

𝐶𝑒𝑞 =

2(8.854𝑥10−12 𝐹⁄𝑚)(0.01 𝑚2 ) (3.5)(2.0) ( ) 1𝑥10−3 𝑚 3.5 + 2.0

𝑪𝒆𝒒 = 𝟐. 𝟐𝟓𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝑭

c. Tomando en cuenta que el capacitor armado con los dos dieléctricos se conecta a la fuente de potencial eléctrico de 12 V, tenemos lo siguiente: 𝑄 = 𝐶𝑒𝑞 𝑉 𝑄 = (2.25𝑥10−10 𝐹)(12 𝑉) 𝑸 = 𝟐. 𝟕𝒙𝟏𝟎−𝟗 𝑪

d. Finalmente para el cálculo de la energía potencial necesaria para cargar el capacitor antes y despues del uso de los dieléctricos: 1𝑄

2

𝐸𝑃0 = 2 𝐸𝑃0

𝐶0 −9 2 1 (2.7𝑥10 𝐶) = 2( ) 8.854𝑥10−11 𝐹

𝑬𝑷𝟎 = 𝟒. 𝟏𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟖 𝑱 𝑄2 𝐶𝑒𝑞 −9 2 1 (2.7𝑥10 𝐶) 𝐸𝑃 = 2 ( ) 2.25𝑥10−10 𝐹 1

𝐸𝑃 = 2

𝑬𝑷 = 𝟏. 𝟔𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟖 𝑱

Ejemplo 10 – Capacitores y dieléctricos. SZ12-P24.72 En la figura se presenta un capacitor que tiene un área A = 1.0 cm2 y una separación entre sus placas d = 2 mm, además de que contiene 2 dieléctricos. Si los valores de las constantes de los dieléctricos son K1 = 4.9 y K2 = 5.6 y el capacitor se conecta a una fuente que proporciona 10 volts, calcule: a. La capacitancia equivalente con los dieléctricos. b. La carga del capacitor. c. La energía necesaria para cargar el capacitor armado con los dieléctricos. a. Observe la distribución de los dieléctricos. En el espacio entre las placas, estos se comportan como dos capacitores conectados en paralélo, con área A/2 cada uno, por lo se puede representar de la siguiente forma:

Por lo tanto las capacitancias C1 y C2 están dadas por: 𝐶1 = 𝐶0 𝐾1 𝐶0 = 𝜀0

y

𝐶2 = 𝐶0 𝐾2 donde C0 es:

𝐴 2𝑑

Y por otro lado, para 2 capacitores en paralelo la capacitancia equivalente se determina: 𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 𝐶𝑒𝑞 = 𝜀0

𝐶𝑒𝑞 =

𝐴 𝐴 𝐾1 + 𝜀0 𝐾 2𝑑 2𝑑 2

𝜀0 𝐴 (𝐾1 + 𝐾2 ) 2𝑑

Sustituyendo valores:

𝐶𝑒𝑞

(8.854𝑥10−12 𝐹⁄𝑚)(1𝑥10−4 𝑚2) (4.9 + 5.6) = 2(2𝑥10−3 𝑚)

𝑪𝒆𝒒 = 𝟐. 𝟑𝟐𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟐 𝑭 b. Tomando en cuenta que el capacitor armado con los dos dieléctricos se conecta a la fuente de potencial eléctrico de 12 V, tenemos lo siguiente: 𝑄 = 𝐶𝑒𝑞 𝑉 𝑄 = (2.324𝑥10−12 𝐹)(10 𝑉) 𝑸 = 𝟐. 𝟑𝟐𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑪 c. Finalmente para el cálculo de la energía potencial necesaria para cargar el capacitor antes y despues del uso de los dieléctricos: 𝑄2 𝐶𝑒𝑞 −11 𝐶)2 1 (2.324𝑥10 𝐸𝑃 = 2 ( ) 2.324𝑥10−12 𝐹 1

𝐸𝑃 = 2

𝑬𝑷 = 𝟐. 𝟑𝟐𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝑱

Ejemplo 11 – Capacitores en arreglos serie – paralelo SZ14-C24-P17 En la figura cada capacitor tiene una capacitancia de 4 F y la diferencia de potencial entre a y b es de 28 V, determine: a. La carga en cada capacitor. b. La diferencia de potencial a través de cada capacitor. c. La diferencia de potencial entre los puntos a y d. d. La energía potencial de cada capacitor y la energía potencial del circuito. (Young & Freedman, 2009) La solución de este problema se lleva a cabo reemplazando cada arreglo en serie o paralelo por sus respectivas capacitancias equivalentes hasta reducir a un solo capacitor. Posteriormente en cada red de capacitores se aplican las reglas de carga y voltaje correspondientes a los arreglos en serie-paralelo, iniciando con el capacitor equivalente de toda la red y retrocediendo hasta el circuito original. Iniciamos con el arreglo de capacitores C1 y C2 (en serie): 1 1 1 = + 𝐶12 𝐶1 𝐶2 𝐶1 𝐶2 𝐶1 + 𝐶2 (4𝑥10−6𝐹)(4𝑥10−6𝐹) = = 𝟐. 𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟔 𝑭 (4𝑥10−6 𝐹) + (4𝑥10−6 𝐹)

𝐶12 = 𝐶12

Continuamos con el arreglo de capacitores C 12 y C3 (en paralelo): 𝐶123 = 𝐶12 + 𝐶3 𝐶123 = (2.0𝑥10−6 𝐹) + (4𝑥10−6 𝐹) = 𝟔. 𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟔 𝑭 Por último el arreglo de capacitores C123 y C4 (en serie): 1 𝐶1234

=

𝐶123

+

1 𝐶4

𝐶123𝐶4 𝐶123 + 𝐶4 (6𝑥10−6 𝐹)(4𝑥10−6 𝐹) = = 𝟐. 𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟔 𝑭 (6𝑥10−6 𝐹) + (4𝑥10−6𝐹)

𝐶1234 = 𝐶1234

1

La figura del último circuito es equivalente al circuito original. Ahora aplicamos las reglas de carga y voltaje así como la ecuación de capacitancia a partir del último circuito obtenido y en retroceso en cada una de las etapas. En el capacitor equivalente de todo el circuito: 𝑄𝑡 = 𝑄1234 = 𝐶1234 𝑉 𝑄𝑡 = (2.4𝑥10−6 𝐹)(28 𝑉) 𝑸𝒕 = 𝟔. 𝟕𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟓 𝑪 Ahora regresamos al circuito previo, capacitores C 123 y C4 en serie: 𝑄123 = 𝑄4 = 𝑄𝑡 𝑄123 = 6.72𝑥10−5 𝐶 𝑸𝟒 = 𝟔. 𝟕𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟓 𝑪 𝑉𝑡 = 𝑉123 + 𝑉4 𝑄123 6.72𝑥10−5 𝐶 = = 𝟏𝟏. 𝟐 𝑽 𝐶123 6.0𝑥10−6 𝐹 𝑄4 6.72𝑥10−5 𝐶 𝑉4 = = = 𝟏𝟔. 𝟖 𝑽 𝐶4 4.0𝑥10−6 𝐹 𝑉123 =

Ahora regresamos al circuito previo, capacitores C 12 y C3 en paralelo: 𝑉123 = 𝑉12 = 𝑉3 𝑉12 = 11.2 𝑉 𝑽𝟑 = 𝟏𝟏. 𝟐 𝑽 𝑄123 = 𝑄12 + 𝑄3 𝑄12 = 𝐶12 𝑉12 = (2𝑥10−6𝐹)(11.2 𝑉) = 𝟐. 𝟐𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟓 𝑪 𝑄3 = 𝐶3 𝑉3 = (4.0𝑥10−6 𝐹)(11.2 𝑉) = 𝟒. 𝟒𝟖𝒙𝟏𝟎−𝟓 𝑪

Por último regresamos al circuito original para el cálculo de los capacitores C1 y C2 en serie: 𝑄12 = 𝑄1 = 𝑄2 𝑸𝟏 = 𝟐. 𝟐𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟓 𝑪 𝑸𝟐 = 𝟐. 𝟐𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟓 𝑪 𝑉12 = 𝑉1 + 𝑉2 𝑄1 2.24𝑥10−5 𝐶 = = 𝟓. 𝟔 𝑽 𝐶1 4.0𝑥10−6𝐹 𝑄2 2.24𝑥10−5 𝐶 𝑉2 = = = 𝟓. 𝟔 𝑽 𝐶2 4.0𝑥10−6 𝐹 𝑉1 =

Finalmente para el cálculo de la energía potencial de cada capacitor y la energía potencial total, se recomienda organizar los datos en una tabla.

𝑬𝒑 =

𝟐 𝟏𝑸 𝟐 𝑪

𝟏

𝟏

= 𝟐𝑪𝑽𝟐 = 𝟐𝑸𝑽

#

C

Q

V

EP

C1

4.0 F

22.4 C

5.6 V

6.3 x 10-5 J

C2

4.0 F

22.4 C

5.6 V

6.3 x 10-5 J

C3

4.0 F

44.8 C

11.2 V

2.51 x 10-4 J

C4

4.0 F

67.2 C

16.8 V

5.64 x 10-4 J

Circuito

2.4 F

67.2 C

28.0 V

9.41 x 10-4 J

Ejemplo 12 – Capacitores en arreglos serie – paralelo El circuito de la imagen muestra 4 capacitores en un arreglo serie-paralelo con las siguientes capacitancias: C1 = 20 F, C2 = 15 F, C3 = 12 F y C4 = 30 F. Si la diferencia de potencial entre los puntos a y b es de 20 V, determine los valores de energía potencial que almacena cada capacitor y la de todo el circuito. Indique cuales son los valores correctos:

Iniciamos con el arreglo de capacitores C1 y C2 (en serie): 1 1 1 = + 𝐶12 𝐶1 𝐶2 𝐶1 𝐶2 𝐶1 + 𝐶2 (20𝑥10−6 𝐹)(15𝑥10−6 𝐹) = = 𝟖. 𝟓𝟏𝒙𝟏𝟎−𝟔 𝑭 (20𝑥10−6𝐹) + (15𝑥10−6𝐹)

𝐶12 = 𝐶12

Continuamos con el arreglo de capacitores C 12 y C3 (en paralelo): 𝐶123 = 𝐶12 + 𝐶3 𝐶123 = (8.57𝑥10−6𝐹) + (12𝑥10−6𝐹) = 𝟐. 𝟎𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟓 𝑭 Por último el arreglo de capacitores C123 y C4 (en serie): 1 𝐶1234

=

1 𝐶123

+

1 𝐶4

𝐶123𝐶4 𝐶123 + 𝐶4 (2.06𝑥10−5 𝐹)(30𝑥10−6𝐹) = = 𝟏. 𝟐𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟓 𝑭 (2.06𝑥10−5 𝐹) + (30𝑥10−6 𝐹)

𝐶1234 = 𝐶1234

Ahora aplicamos las reglas de carga y voltaje, así como la ecuación de capacitancia a partir del último circuito obtenido y en retroceso en cada una de las etapas. En el capacitor equivalente de todo el circuito: 𝑄𝑡 = 𝑄1234 = 𝐶1234 𝑉 𝑄𝑡 = (1.22𝑥10−5𝐹)(20 𝑉) 𝑸𝒕 = 𝟐. 𝟒𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟒 𝑪

Ahora regresamos al circuito previo, capacitores C123 y C4 en serie: 𝑄123 = 𝑄4 = 𝑄𝑡 𝑄123 = 2.44𝑥10−4 𝐶 𝑸𝟒 = 𝟐. 𝟒𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟒 𝑪 𝑉𝑡 = 𝑉123 + 𝑉4 𝑄123 2.44𝑥10−4 𝐶 𝑉123 = = = 𝟏𝟏. 𝟖𝟔 𝑽 𝐶123 2.06𝑥10−5 𝐹 𝑄4 2.44𝑥10−4𝐶 𝑉4 = = = 𝟖. 𝟏𝟒 𝑽 𝐶4 30.0𝑥10−6 𝐹 Ahora regresamos al circuito previo, capacitores C 12 y C3 en paralelo: 𝑉123 = 𝑉12 = 𝑉3 𝑉12 = 11.86 𝑉 𝑽𝟑 = 𝟏𝟏. 𝟖𝟔 𝑽 𝑄123 = 𝑄12 + 𝑄3 𝑄12 = 𝐶12 𝑉12 = (8.57𝑥10−6𝐹)(11.86 𝑉) = 𝟏. 𝟎𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟒 𝑪 𝑄3 = 𝐶3 𝑉3 = (12.0𝑥10−6 𝐹)(11.86 𝑉) = 𝟏. 𝟒𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟒 𝑪

Por último, regresamos al circuito original para el cálculo de los capacitores C 1 y C2 en serie: 𝑄12 = 𝑄1 = 𝑄2 𝑸𝟏 = 𝟏. 𝟎𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟒 𝑪 𝑸𝟐 = 𝟏. 𝟎𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟒 𝑪 𝑉12 = 𝑉1 + 𝑉2 𝑄1 1.02𝑥10−4𝐶 = = 𝟓. 𝟎𝟗 𝑽 𝐶1 20.0𝑥10−6 𝐹 𝑄2 2.24𝑥10−5 𝐶 𝑉2 = = = 𝟔. 𝟕𝟖 𝑽 𝐶2 4.0𝑥10−6 𝐹 𝑉1 =

Finalmente, para el cálculo de la energía potencial de cada capacitor y la energía potencial total, se recomienda organizar los datos en una tabla.

𝑬𝒑 =

𝟐 𝟏𝑸 𝟐 𝑪

𝟏

𝟏

= 𝟐𝑪𝑽𝟐 = 𝟐𝑸𝑽

#

C

Q

V

EP

C1

20.0 F

1.02x10-4 C

5.09 V

2.585 x 10-4 J

C2

15.0 F

1.02x10-4 C

6.78 V

3.447 x 10-4 J

C3

12.0 F

1.42x10-4 C

11.86 V

8.446 x 10-4 J

C4

30.0 F

2.44x10-4 C

8.14 V

9.928 x 10-4 J

2.44x10-4 C

20.0 V

2.44 x 10-3 J

Ceq 1.22x10-5

Los ejemplos presentados en esta guía son parte del material de apoyo para el profesor de la obra: University Physics vol. 2, 14th Edition Young, Hugh D./Freedman, Roger A. ©2018 Pearson Education Inc. Chapter 24, Capacitance and Dielectrics

Compilación, traducción y edición: M. en E. Dante Real Miranda Profesor de la academia de Física ESIQIE – IPN 2020-2021